Vektoranalízis Vektor értékű függvények

Átírás

1 Vektoranalízis VS Vektoranalízis Vektor értékű üggvények A diákon megjelenő szövegek és képek csak a szerző (Kocsis Imre, DE MFK engedélyével használhatók el!

2 Vektoranalízis VS A korábbi ejezetekben tanulmányoztuk azokat a üggvényeket, amelyek értékkészlete a valós számok halmazának egy részhalmaza. Ezek egyrészt az R R típusú egyváltozós, valós értékű üggvények, másrészt az R n R típusú n változós, valós értékű üggvények voltak. Ebben a részben olyan üggvényekkel oglalkozunk, amelyek értékkészlete az R m halmaz egy részhalmaza (m>, egész szám. Mivel R m m dimenziós lineáris tér, úgy is ogalmazhatunk, hogy az értékkészletben m dimenziós vektorok vannak. A diákon megjelenő szövegek és képek csak a szerző (Kocsis Imre, DE MFK engedélyével használhatók el!

3 Vektoranalízis VS A vektor értékű üggvényen általában az R n R m alakú üggvényeket értjük, és bizonyos alapvető ogalmakat ezekre adunk meg, de a geometriai és a izikai alkalmazások szempontjából az alábbi üggvénytípusok a legontosabbak: R R (síkgörbék R R (térgörbék R R R R (vektormezők A diákon megjelenő szövegek és képek csak a szerző (Kocsis Imre, DE MFK engedélyével használhatók el!

4 Vektoranalízis VS 4 Deiníció: koordinátaüggvények Az R n R m típusú (x,x,, x n ( (x,x,,x n, (x,x,,x n,, m (x,x,,x n üggvény koordinátaüggvényei az,,, m : R n R n változós, valós értékű üggvények. A diákon megjelenő szövegek és képek csak a szerző (Kocsis Imre, DE MFK engedélyével használhatók el!

5 Vektoranalízis VS 5 Az R R típusú t ( (t, (t, (t üggvény (térgörbe koordinátaüggvényei speciálisan az,, : R R egyváltozós, valós értékű üggvények. A koordinátaüggvények értékei adják a üggvényértékek koordinátáit. A diákon megjelenő szövegek és képek csak a szerző (Kocsis Imre, DE MFK engedélyével használhatók el!

6 Vektoranalízis VS 6 Az R R típusú (x, x, x ( (x, x, x, (x, x, x, (x, x, x üggvény (vektormező koordinátaüggvényei speciálisan az,, : R R háromváltozós, valós értékű üggvények. A koordinátaüggvények értékei adják a üggvényértékek koordinátáit. A diákon megjelenő szövegek és képek csak a szerző (Kocsis Imre, DE MFK engedélyével használhatók el!

7 Vektoralgebra VE 7 Egyenes előállítása R R üggvénnyel Az r helyzetvektor által meghatározott ponton átmenő, v irányvektorú egyenest állítja elő a következő üggvény: r(t r + t v, t R Megjegyzés A t paraméterértékek és az egyenes pontjai között kölcsönösen egyértelmű megeleltetést jelent a enti üggvénykapcsolat. A diákon megjelenő szövegek és képek csak a szerző (Kocsis Imre, DE MFK engedélyével használhatók el!

8 Vektoralgebra VE 8 Legyen r ( x, y, z, r ( x, y, z, v ( v, v, v. Ekkor a enti vektorüggvény koordinátákra bontva (az egyenes paraméteres egyenletrendszere: x(t x + v t y(t y + v t, t R z(t z + v t r v A diákon megjelenő szövegek és képek csak a szerző (Kocsis Imre, DE MFK engedélyével használhatók el!

9 Vektoralgebra VE 9 Példa r (,5,, v ( 4,-,. Ekkor az egyenes: x(t + 4 t y(t 5 t, t R z(t + t Az egyenes néhány pontja és a hozzá tartozó paraméterérték: t t t - P (,5, P (,-,5 P (-,8, A diákon megjelenő szövegek és képek csak a szerző (Kocsis Imre, DE MFK engedélyével használhatók el!

10 Vektoralgebra VE Sík előállítása R R üggvénnyel Az r helyzetvektor által meghatározott ponton átmenő, az u és a v vektorokkal párhuzamos síkot állítja elő a következő üggvény: r(t,s r + t u + s v, (t,s R A diákon megjelenő szövegek és képek csak a szerző (Kocsis Imre, DE MFK engedélyével használhatók el!

11 Vektoralgebra VE Legyen r (x,y,z, r (x,y,z, u (u,u,u, v (v,v,v. Ekkor a enti vektorüggvény koordinátákra bontva: x(t,s x + u t + v s y(t,s y + u t + v s, t,s R z(t,s z + u t + v s r u v A diákon megjelenő szövegek és képek csak a szerző (Kocsis Imre, DE MFK engedélyével használhatók el!

12 Vektoralgebra VE Példa r (,5,, u (4,-,, v (,,7. Ekkor a sík: x(t,s + 4 t + s y(t,s 5 t + s, t,s R z(t,s + t + 7 s A sík néhány pontja és a hozzá tartozó paraméterérték: (t,s (, P (,5, (t,s (, (t,s (-, P (8,6,8 P (-,,9 A diákon megjelenő szövegek és képek csak a szerző (Kocsis Imre, DE MFK engedélyével használhatók el!

13 Vektoralgebra VE Sík normálvektoros előállítása Az r helyzetvektor által meghatározott ponton átmenő, az n normálvektorú sík egyenlete: r -r, n (A < > jel a skaláris szorzást jelöli. A diákon megjelenő szövegek és képek csak a szerző (Kocsis Imre, DE MFK engedélyével használhatók el!

14 Vektoralgebra VE 4 Legyen r (x,y,z, r (x,y,z, n (A,B,C Ekkor a enti egyenlet: r -r, n (x,y,z - (x, y, z, (A,B,C (x-x, y-y, z-z, (A,B,C A (x-x + B (y-y + C (z-z A x + B y+ C z + (-A x -B y -C z A x + B y+ C z+ D A diákon megjelenő szövegek és képek csak a szerző (Kocsis Imre, DE MFK engedélyével használhatók el!

15 A (x-x + B (y-y + C (z-z ormula a sík általános egyenlete. A változók együtthatói a sík egy normálvektorának koordinátái. Vektoralgebra VE 5 A diákon megjelenő szövegek és képek csak a szerző (Kocsis Imre, DE MFK engedélyével használhatók el! Az általános egyenletet elosztva a n(a,b,c normálvektor hosszával a sík normál egyenletét kapjuk: a (x-x + b (y-y + c (z-z ahol C B A A a + + C B A B b + + C B A D d + + C B A C c + +

16 Vektoralgebra VE 6 Megjegyzés A normál egyenlet különlegessége: a pont távolsága az P ( p, p, p a (x-x + b (y-y + c (z-z normál egyenletű síktól: d,e a ( p -x + b ( p -y + c ( p -z A diákon megjelenő szövegek és képek csak a szerző (Kocsis Imre, DE MFK engedélyével használhatók el!

17 Vektoralgebra VE 7 Megjegyzés Kapcsolat egy sík adatai (és így közvetve a kétéle egyenlete között: Ha u és v egy síkkal párhuzamos vektorok (de egymással nem párhuzamosak, akkor u v a sík normálvektora. A diákon megjelenő szövegek és képek csak a szerző (Kocsis Imre, DE MFK engedélyével használhatók el!

18 Vektoralgebra VE 8 Szögeladatok Egyenesek szöge egyenlő az irányvektoraik szögével. Síkok szöge egyenlő a normálvektoraik szögével. A diákon megjelenő szövegek és képek csak a szerző (Kocsis Imre, DE MFK engedélyével használhatók el!

19 Vektoralgebra VE 9 Egyenes és sík szöge az egyenes irányvektorának és a sík normálvektorának szögéből számítható. A diákon megjelenő szövegek és képek csak a szerző (Kocsis Imre, DE MFK engedélyével használhatók el!

20 Vektoralgebra VE Távolságeladatok A d,e távolság kiszámítható a következőképpen: T ABP d(a, B d, e d, e T ABP d(a, B A diákon megjelenő szövegek és képek csak a szerző (Kocsis Imre, DE MFK engedélyével használhatók el!

21 Vektoralgebra VE A d,s távolság kiszámítható a következőképpen: V ABCP T ABC d,s d,s V T ABCP ABC A diákon megjelenő szövegek és képek csak a szerző (Kocsis Imre, DE MFK engedélyével használhatók el!

22 Vektoranalízis VS Az R n R m típusú üggvények dierenciálása Deiníció: R n R m típusú lineáris üggvények Az (x, x,..., x n x x A M x n alakú üggvényeket, ahol A egy (m n típusú mátrix, R n R m típusú lineáris üggvényeknek nevezzük. Az A mátrix az üggvény mátrixa. A diákon megjelenő szövegek és képek csak a szerző (Kocsis Imre, DE MFK engedélyével használhatók el!

23 Vektoranalízis VS Deiníció: dierenciálhányados Az :D( R n R m üggvény dierenciálható a D értelmezési tartomány P belső pontjában, ha van olyan A:R n R m lineáris üggvény, melyre lim P P A P P P Ekkor az A üggvényt az üggvény P dierenciálhányadosának nevezzük. helyen vett A diákon megjelenő szövegek és képek csak a szerző (Kocsis Imre, DE MFK engedélyével használhatók el!

24 Vektoranalízis VS 4 Tétel A dierenciálhányados mátrixa a koordinátaüggvények parciális deriváltjaiból áll: m M K K n n M m A diákon megjelenő szövegek és képek csak a szerző (Kocsis Imre, DE MFK engedélyével használhatók el!

25 A diákon megjelenő szövegek és képek csak a szerző (Kocsis Imre, DE MFK engedélyével használhatók el! Vektoranalízis VS 5 R n R típusú üggvények (n változós üggvények (,...,, grad ' n R R n típusú üggvények (görbék ' ' ' m m M M A dierenciálhányados mátrixa speciális esetekben: R R típusú üggvények (vektormezők

26 Vektoranalízis VS 6 Deiníció: dierenciál Ha az :D( R n R m üggvény dierenciálható a P pontban, akkor az P pontbeli, P ponthoz tartozó dierenciálja: ( P-P ΔP. Deiníció: lineáris közelítés Ha az :D( R n R m üggvény dierenciálható a P pontban, akkor az P pontbeli lineáris közelítése: + ( P-P + ΔP, avagy: - ΔP. A diákon megjelenő szövegek és képek csak a szerző (Kocsis Imre, DE MFK engedélyével használhatók el!

27 Vektoranalízis VS 7 Deiníció Az R R típusú üggvények dierenciálása Az (x, x, x a a a a a a a a a x x x alakú üggvények az R R típusú lineáris üggvények. A diákon megjelenő szövegek és képek csak a szerző (Kocsis Imre, DE MFK engedélyével használhatók el!

28 Vektoranalízis VS 8 Az (x, x, x ( (x, x, x, (x, x, x, (x, x, x üggvény (vektormező koordinátaüggvényei az,, : R R háromváltozós, valós értékű üggvények. A dierenciálhányados speciálisan: A diákon megjelenő szövegek és képek csak a szerző (Kocsis Imre, DE MFK engedélyével használhatók el!

29 Vektoranalízis VS 9 Példa (x, x, x (x x 4 + x x, x -x, 6 x határozzuk meg az üggvény dierenciálhányadosát; írjuk el a lineárist közelítést a P (,4, helyen; számoljuk ki az üggvény közelítő értékét a P (.,.8,. helyen! A diákon megjelenő szövegek és képek csak a szerző (Kocsis Imre, DE MFK engedélyével használhatók el!

30 A diákon megjelenő szövegek és képek csak a szerző (Kocsis Imre, DE MFK engedélyével használhatók el! + 6 x x x x 4x x x x, x, (x 4 Vektoranalízis VS (x, x, x (x x 4 + x x, x -x, 6 x, P (,4, 6 (,4,

31 A diákon megjelenő szövegek és képek csak a szerző (Kocsis Imre, DE MFK engedélyével használhatók el! Vektoranalízis VS (x, x, x (x x 4 + x x, x -x, 6 x A lineáris közelítés ormulája: + ( P-P (,4, ( 6, 6, 4 + x 4 x x x, x, (x 6 (,4,

32 A diákon megjelenő szövegek és képek csak a szerző (Kocsis Imre, DE MFK engedélyével használhatók el! Vektoranalízis VS (.,.8,. + x 4 x x x, x, (x P (.,.8,.

33 Vektoranalízis VS Megjegyzés Adott vektormező (pl. sebességtér az áramló olyadékban, térerőség az elektromos erőtérben esetén a dierenciálhányados mátrixának elemei üggenek a koordinátarendszer megválasztásától. Az alábbiakban két olyan jellemzőt adunk meg, melyek a dierenciálhányados mátrix elemeiből számíthatók, de invariánsak a koordinátarendszer megváltoztatásával szemben, és közvetlen izikai tartalommal bírnak. A diákon megjelenő szövegek és képek csak a szerző (Kocsis Imre, DE MFK engedélyével használhatók el!

34 Vektoranalízis VS 4 Deiníció: vektormező divergenciája div + + Megjegyzés A divergencia egyenlő a dierenciálhányados mátrix őátlójában lévő elemek összegével. A divergencia a orrásossággával ügg ügg össze: egy vektormező orrásmentes, ha a divergenciája. A diákon megjelenő szövegek és képek csak a szerző (Kocsis Imre, DE MFK engedélyével használhatók el!

35 Vektoranalízis VS 5 Példa (x,x,x (x x 4 +x, x -5x, 6x x, P (-,, (x, x, x x x 4 x x 6x 4x 6x x div (x,x,x x x 4 x + 6x (,, 6 4 div (-,, A diákon megjelenő szövegek és képek csak a szerző (Kocsis Imre, DE MFK engedélyével használhatók el!

36 Vektoranalízis VS 6 Deiníció: vektormező rotációja rot ( +,, Könnyebben megjegyezhető az alábbi ormula: rot i det j k A determináns ormális kiejtésével a rotáció enti képletét kapjuk. A rotáció az örvényességgel ügg össze: egy vektormező örvénymentes, ha a rotációja (vektor. A diákon megjelenő szövegek és képek csak a szerző (Kocsis Imre, DE MFK engedélyével használhatók el!

37 Vektoranalízis VS 7 Példa Határozzuk meg az (x,x,x (x x 4 +x, x -5x, 6x x vektormező rotációját! A parciális derivált üggvényekből képzett derivált üggvény: (x, x, x x x x 4 x 6x 4x 6x x Ennek elemeiből összeállítható a rotáció üggvény: rot i det rot (x,x,x ( 6x, 4x x, x - j k A diákon megjelenő szövegek és képek csak a szerző (Kocsis Imre, DE MFK engedélyével használhatók el!

38 A diákon megjelenő szövegek és képek csak a szerző (Kocsis Imre, DE MFK engedélyével használhatók el! Vektoranalízis VS 8 Példa k j i det rot 4 6x 6x x x x 4x x x x, x, (x Határozzuk meg az (x,x,x (x x 4 +x, x -5x, 6x x vektormező rotációját a P (-,, helyen! 6 4,, ( rot (-,, ( 6-, -+4, - ( 6, 4, A parciális derivált üggvények pontbeli értékeiből kiszámítható a rotáció pontbeli értéke:

39 Vektoranalízis VS 9 Jelölés: nabla operátor (,, A nabla operátor segítségével röviden elírhatók a dierenciál operátorok: div + + rot (, +, A diákon megjelenő szövegek és képek csak a szerző (Kocsis Imre, DE MFK engedélyével használhatók el!

40 Vektoranalízis VS 4 Megjegyzések A divergencia és a rotáció megjelenik az elektromágneses tér jellemzői közti összeüggéseket megadó Maxwell egyenletek dierenciális alakjában: E: elektromos térerősség D: elektromos eltolódás H: mágneses térerősség J: áramsűrűség ρ: elektromos töltéssűrűség D rot H J + t B rot E t div D ρ div B A diákon megjelenő szövegek és képek csak a szerző (Kocsis Imre, DE MFK engedélyével használhatók el!

41 Vektoranalízis VS 4 Az R R típusú üggvények (térgörbék dierenciálása Deiníció: koordinátaüggvények Az t ( (t, (t, (t üggvény koordinátaüggvényei az,, : R R egyváltozós, valós értékű üggvények. A térgörbék vizsgálatához általában elegendő a koordinátaüggvényekkel való számolás. A diákon megjelenő szövegek és képek csak a szerző (Kocsis Imre, DE MFK engedélyével használhatók el!

42 Vektoranalízis VS 4 Tétel Az (,, :[a,b] R üggvény dierenciálható a t [a,b] helyen, ha az,, : [a,b] R koordinátaüggvényei dierenciálhatók a t helyen. Ha az (,, : [a,b] R dierenciálható a t helyen, akkor a dierenciálhányadosa: ' ' ' A diákon megjelenő szövegek és képek csak a szerző (Kocsis Imre, DE MFK engedélyével használhatók el!

43 Vektoranalízis VS 4 Megjegyzés Az R R típusú üggvényeket szokás r-rel, a dierenciálást pedig vessző helyett ponttal jelölni: r (t r(t & x& x& x& (t (t (t A izikában előorduló R R üggvényeknél a t paraméter (változó általában az idő, így a pont az idő szerinti deriválásra utal. A diákon megjelenő szövegek és képek csak a szerző (Kocsis Imre, DE MFK engedélyével használhatók el!

44 Vektoranalízis VS 44 Példa Határozzuk meg az r(t ( t 4, 5t -7t, 6t-t üggvény dierenciálhányadosát a t helyen! r&(t t t 7 6 t r&( A diákon megjelenő szövegek és képek csak a szerző (Kocsis Imre, DE MFK engedélyével használhatók el!

45 Vektoranalízis VS 45 Deiníció: érintő vektor Az r&(t hosszúságúra normált egységvektornak nevezzük. vektort érintő vektornak, az egységnyi r(t & e r(t & vektort érintő A diákon megjelenő szövegek és képek csak a szerző (Kocsis Imre, DE MFK engedélyével használhatók el!

46 Vektoranalízis VS 46 Deiníció: érintő egyenes Dierenciálható térgörbe érintő egyenese (lineáris közelítése: r(t e(t r(t + r(t & (t t A diákon megjelenő szövegek és képek csak a szerző (Kocsis Imre, DE MFK engedélyével használhatók el!

47 Vektoranalízis VS 47 Példa Határozzuk meg az r(t ( t 4, 5t -7t, 6t-t üggvény érintő egyenesét a t helyen! r(t e(t r(t + r(t & (t t r( r& ( e(t (t t + 4t 6 6t A diákon megjelenő szövegek és képek csak a szerző (Kocsis Imre, DE MFK engedélyével használhatók el!

48 Vektoranalízis VS 48 Megjegyzés: R R üggvények dierenciálása Az R R üggvények dierenciálásáról leírtak egyszerűen átvihetők az R R üggvényekre. Minden ogalom és ormula érvényes, a különbség csupán annyi, hogy három helyett két koordinátaüggvénnyel kell dolgozni. Míg az R R üggvények a térgörbék (térbeli pályák, addig az R R üggvények a síkgörbék (síkbeli pályák vizsgálatában játszanak ontos szerepet. A diákon megjelenő szövegek és képek csak a szerző (Kocsis Imre, DE MFK engedélyével használhatók el!

49 Vektoranalízis VS 49 A dierenciálhányados izikai jelentése Ha a t r(t üggvény egy mozgó pont hely-idő üggvénye, akkor a dierenciálhányados vektor adott időpontban érvényes pillanatnyi sebesség: v (t r(t & A diákon megjelenő szövegek és képek csak a szerző (Kocsis Imre, DE MFK engedélyével használhatók el!

50 Vektoranalízis VS 5 Példa Tekintsünk a következő síkbeli mozgást, melynek hely-idő üggvénye: r(t ( cost, sint (a síkbeliség miatt ez egy R R üggvény Mivel r(t, a mozgás pályája az origó középpontú, egység sugarú. A diákon megjelenő szövegek és képek csak a szerző (Kocsis Imre, DE MFK engedélyével használhatók el!

51 Vektoranalízis VS 5 A hely-idő üggvény: r(t ( cost, sint A sebesség üggvény: v(t ( - sint, cost A sebesség nagysága: v 9 cos x + 9 sin x azaz itt egy egyenletes körmozgásról van szó, egység nagyságú sebességgel. A diákon megjelenő szövegek és képek csak a szerző (Kocsis Imre, DE MFK engedélyével használhatók el!

52 Vektoranalízis VS 5 v(t ( - sint, cost A pillanatnyi sebesség a tπ/6 időpontban: π v 6 cos π 6, sin π 6, A diákon megjelenő szövegek és képek csak a szerző (Kocsis Imre, DE MFK engedélyével használhatók el!

53 Vektoranalízis VS 5 Deiníció: binormális egységvektor A b r(t & && r(t r(t & && r(t vektort binormális & egységvektornak nevezzük, ha r(t r(t & Deiníció: őnormális egységvektor Az érintő vektor és a binormális egységvektor vektori szorzatát őnormális egységvektornak nevezzük: n b e A diákon megjelenő szövegek és képek csak a szerző (Kocsis Imre, DE MFK engedélyével használhatók el!

54 Vektoranalízis VS 54 A diákon megjelenő szövegek és képek csak a szerző (Kocsis Imre, DE MFK engedélyével használhatók el!

55 Vektoranalízis VS 55 Deiníció: kísérő triéder Az érintő, a őnormális és a binormális egységvektorok a görbe bármely pontjában (ahol nem tűnnek el ortonormált vektorrendszert alkotnak. Az (e,n,b hármast a görbe kísérő triéderének nevezzük. A görbék vizsgálatában a kísérő triéder által meghatározott koordinátarendszer alapvető ontosságú. A diákon megjelenő szövegek és képek csak a szerző (Kocsis Imre, DE MFK engedélyével használhatók el!

56 Vektoranalízis VS 56 Deiníció: simulósík Az e és az n vektorok által kieszített sík a görbe simulósíkja. Deiníció: normális sík Az n és a b vektorok által kieszített sík a görbe normális síkja. Deiníció: rektiikáló sík Az e és a b vektorok által kieszített sík a görbe rektiikáló síkja. A diákon megjelenő szövegek és képek csak a szerző (Kocsis Imre, DE MFK engedélyével használhatók el!

57 Vektoranalízis VS 57 Deiníció: görbület Azt, hogy egy görbe egy adott helyen mennyire tér el az egyenestől a görbülettel mérjük. A görbület az érintő vektor irányának megváltozásával ügg össze. Ha a görbe kétszer dierenciálható és az első deriváltja nem tűnik el, akkor a görbület: κ(t r(t & && r(t r(t & Megjegyzések Egyenes görbülete nulla. Kör görbülete a sugár reciproka. A diákon megjelenő szövegek és képek csak a szerző (Kocsis Imre, DE MFK engedélyével használhatók el!

58 Vektoranalízis VS 58 Deiníció: torzió Azt, hogy egy görbe mennyire csavarodik a torzióval mérjük. A torzió a binormális vektor irányának változásával ügg össze: a görbe mennyire tér el a simulósíkjától. Ha a görbe háromszor dierenciálható és a első és a második deriváltak vektori szorzata nem tűnik el, akkor a torzió: τ(t r(tr(t & && &&& r (t r(t & && r(t A diákon megjelenő szövegek és képek csak a szerző (Kocsis Imre, DE MFK engedélyével használhatók el!

59 Vektoranalízis VS 59 Megjegyzés Síkgörbe a saját simulósíkjában van, így a torziója nulla. Az állítás megordítása is igaz, így a torzió eltűnése a síkgörbék jellemzője: Egy háromszor dierenciálható görbe pontosan akkor síkgörbe, ha a torziója nulla. A diákon megjelenő szövegek és képek csak a szerző (Kocsis Imre, DE MFK engedélyével használhatók el!

60 Vektoranalízis VS 6 Síkgörbék dierenciálásával kapcsolatos megjegyzések Egy t (x(t,y(t síkgörbe vizsgálatakor szükség lehet az x és az y kapcsolatát leíró jellemzőkre: y '(x dy dx y "(x d y dx mivel a síkgörbék jellemzőit megadó számos ormula (pl. érintő egyenlete, érintési paraméterek, simulókör, görbület ezeket az értékeket tartartalmazza. Ezek a dierenciálhányadosok kiszámíthatók a t x(t és a t y(t üggvények deriváltjaival a következők szerint: A diákon megjelenő szövegek és képek csak a szerző (Kocsis Imre, DE MFK engedélyével használhatók el!

61 Vektoranalízis VS 6 Ha t x(t deriváltja nem tűnik el egy adott helyen, akkor ott y'(x y"(x dy dx d y dx y(t & x(t & & y(tx(t & && x(ty(t & ( x(t & x & (t y &(t && x (t && y (t dx dt dy dt d x dt d y dt A diákon megjelenő szövegek és képek csak a szerző (Kocsis Imre, DE MFK engedélyével használhatók el!