Kétváltozós függvények ábrázolása síkmetszetek képzése által

Átírás

1 Kétváltozós függvének ábrázolása síkmetszetek képzése által ) Ábrázoljuk a z + felületet! Az [,] síkkal párhuzamos síkokkal z c) képzett metszetek körök: + c, tehát a felület z tengelű forgásfelület; Az [,z] koordinátasíkban, tehát a síkmetszet egenlete z, azaz parabola; Az [,z] koordinátasíkban, tehát a síkmetszet egenlete z, azaz parabola; Tehát a felület z tengelű forgásparaboloid, amel az origóban érinti az [,] síkot: z -nál + sugarú kör). ) Ábrázoljuk az + + z felületet! A felület eg sugarú gömb, mert mindhárom koordinátasíkkal való metszet kör: +, + z, + z. ) Ábrázoljuk a z + felületet! Az [,] síkmetszet: z, tehát +, azaz egenes; Az [,z] síkmetszet:, tehát z, azaz parabola; Az [,z] síkmetszet:, tehát z, azaz parabola. A felület ún. parabolikus henger. 4) Ábrázoljuk a z cos + ) felületet! Koszinusz vezérgörbéjű henger 5) Ábrázoljuk a z ep + felületet! Eponenciális vezérgörbéjű henger, az alkotók az egenessel párhuzamosak. 6) Ábrázoljuk a z ln + felületet! z tengelű forgásfelület, melnek meridiángörbéje: z ln.

2 7) Ábrázoljuk a felületet! Hiperbolikus henger, alkotói a z tengellel párhuzamosak. 8) Ábrázoljuk a z ep + ) felületet! z tengelű forgásfelület, melnek meridiángörbéje: z ep.

3 ábra. Az. feladat megoldása ábra. A. feladat megoldása

4 ábra. A. feladat megoldása ábra. A 4. feladat megoldása 4

5 4e+8 e+8 e+8 e ábra. Az 5. feladat megoldása ábra. A 6. feladat megoldása 5

6 .5 z.5 7. ábra. A 7. feladat megoldása ábra. A 8. feladat megoldása 6

7 Kétváltozós függvének határértéke és foltonossága Definíció. Az f,) kétváltozós függvénnek az, ) pontban a határértéke A, ha minden tetszőleges ε > számhoz létezik olan δε) > szám, hog minden < δ és < δ egenlőtlenségeknek eleget tevő,) pontra f,) A < ε. Jelölés: lim f,) A Ezzel ekvivalens definíció: Az f,) függvénnek az, ) pontban A a határértéke, ha bármel, az, ) ponthoz konvergáló n, n ) értékrendszer sorozat) mellett az f n, n ) sorozat A-hoz konvergál. Ez azt jelenti, hog ha az f,) kétváltozós kifejezésben helébe tetszőleges olan ) függvént helettesítünk, amelre ), az ilen módon kapott f, )) egváltozós függvénnek mindig az A szám a határértéke az helen. Definíció. Az f,) függvén az, ) pontban foltonos, ha Feladatok lim f,) f, ). 9) Határozzuk meg az f,) kétváltozós függvén határértékét, ha + és. Közlekedjünk a szóban forgó helhez az görbén. Erre teljesül, hog esetén. Tehát vizsgálandó az f ) + függvén határértéke esetén: + + lim f ) lim. Vagis, ha van határértéke a kétváltozós függvénnek az, helen, akkor az csak lehet. Az első definíció alapján igazoljuk, hog a valóban határérték: + < ε, ha δ < < + δ és > N. 7

8 Valóban, uganis: + + ) 4 + < + 4 < δ+ 4 N < ε. ) Számítsuk ki a következő határértéket: lim lim + ) + A függvén logaritmusának a határértékét fogjuk kiszámítani: + ln + ) lim + ln +, ) uganis: lim ln + ), mert + ) e, ha ; továbbá: lim, mert < ε, ha δ < < + δ és elég nag. ) Határozzuk meg a következő határértéket: lim + ) e +) Igaz a következő egenlőtlenség: < + ) e +) < + ) e +). Tehát, ha igaz, hog helettesítéssel: lim + ) e +) lim u u e u lim u L Hospital szabállal belátható, hog ez a határérték. u e u. ) Van-e határértéke a z kétváltozós függvénnek az, + 4 helen? 8

9 A,) ponttól különböző heleken a függvénnek van értelme. A határértéket az m egenes mentén keresve: z m + m 4 4 m + m 4, ha. A határértéket az parabola mentén keresve z Ebből következik, hog a tekintett függvénnek a,) helen nincs határértéke. Parciális deriváltak, láncszabál ) Határozzuk meg az alábbi kétváltozós függvének és változók szerinti parciális deriváltjait. a) f,) e sin + ) f,) f,) b) f,) arc tan f,) e 4 sin + ) + cos + ) ) { } e sin + ) cos + ) e 6 sin + ) + cos + ) ) { } e 6 sin + ) cos + ) ) arc tan + ) ) + f,) + + ) ) + ) c) z z 9

10 z kiszámítása a logaritmikus deriválás szerint: lnz ln z z ln z z ln ln d) f,) f,) f,) ) A z,) függvént az cos + cos z + z cos egenlőség implicite határozza meg. Számítsuk ki a z,) függvén parciális deriváltjait! Az szerinti parciális deriválásnál -t állandónak tekintjük, íg z,) csak függvéne: cos + sinz) z + z cos z sin z cos sinz) z sin cos z z sin cos cos sin z Az szerinti parciális deriválásnál -et állandónak tekintjük, íg z, ) csak függvéne: sin + cos z sin z z + z cos z cos sin z) sin cos z z sin cos z cos sin z 5) e +e z +e z z implicite haározza meg a z,) függvént. Számítsuk ki a parciális deriváltjait!

11 e + e z z ) + e z z ) + z z + z z ez + e z ) z e ze z z z e ze z e z + e z e + e z z + z ) + e z z ) z + z z ez + e z ) z e ze z z z e ze z e z + e z 6) Mutassuk meg, hog az z, ) függvén kielégíti a megadott differenciálegenletet! a) z,) + ) ln z + z z z z ln + + ) ln + + z z ln + + ) ) ln + z +z + ) ln + + ) + ) + ) ln z b) z,) + e z + z + z z z + e + e ) + e e z z + e + e z + z + e e + + e + z

12 c) z,) z + z z z z z z ) z + z ) z Iránmenti deriválás Az f,,z) függvénnek az,,z ) pontban az ee,e,e ) iránban vett iránmenti deriváltja e ): [ ] f,,z) e gradf,,z ) e,,z ) e f,,z ) + e f,,z ) + e f,,z ) z Kétváltozós függvén nek, f, )-nak az ecos α, sin α) iránban vett iránmenti deriváltja az, ) helen: f α, ) f, )cos α + f, )sin α 7) Számítsuk ki a z ln + ) függvén iránmenti deriváltját az α 5 iránban! cos 5 cos sin5 sin Parciális deriváltak: f + + ) + + f +

13 Tehát: f α ) Számítsuk ki a z +4 4 függvén differenciálhánadosát az α 45 iránban! Parciális deriváltak: Tehát: z α ) + cos 45 sin45 z z ) ) 9) Számítsuk ki a z ln függvén α 6 iránban vett differenciálhánadosát az, helen! cos 6 Parciális deriváltak: sin6 z z ln Tehát: z α,) + ln z α, ) 4 + ln ) Határozzuk meg az alábbi függvének iránmenti deriváltját a megadott pontban és iránban!

14 a) f,) +, P,), α f, f 6; cos f,) 4, f,) 6. Tehát:, sin ; f α,) b) f,) cosh arc tan, P, ), α f sinh cosh + f sinh cosh cos sin + uganis: sinh e + e f α,) sinh + sinh + + { e 4 + e4 5 e 4 + e 4 ) Tehát: } ) + + e 4 + e4 5 + e 4 e4 5 { e 4 e4 5 } ) c) f,), P,), v i j v 9 + 4, íg cos α, sin α ; f f P ), f f P ). Tehát: f αp ) d) f,,z) e + ), P,,), v,, 5) v , íg cos α, cos α, cos α 5, valamint f e + ) f e + ) f z f P ) e f P ) Tehát f αp ) f P )cosα )+f P )cosα )+f zp )cosα ) 6 e

15 Felületi görbék érintői, érintősík A z f,) felületen haladó görbét az,) síkon megadott t), t) görbe ol módon határoz meg, hog e síkgörbére állított, z-vel párhuzamos alkotójú henger és a z f,) felület metszésvonala képezi a felületi görbét: rt) it) + jt) + kft),t)). Ennek érintővektora a t t -nak megfelelő helen: t ), t ): ṙt ) iẋt ) + jẏt ) + k [ f, )ẋt ) + f, )ẏt ) ]. Ha speciálisan az t), t) görbe a következő alakú egenes: + t cos α + t sin α, akkor a megfelelő térgörbe érintővektora a t pontban: ṙt ) i cos α + j sin α + k [ f, )cos α + f, )sin α ]. A k egütthatója éppen az f, )-nak α iránban vett iránmenti deriváltja. Ebben az esetben az érintő egenlete: cos α sin α z z. Az u,,z) z f,) függvén gradiense: A felületi görbe érintővektora: Skaláris szorzatuk: f α gradu,,z) f i f j + k. ṙt) ẋi + ẏj + [ f ẋ + f ẏ ] k. gradu)ṙt) f ẋf ẏ + f ẋ + f ẏ, tehát gradu ṙt), ahol ṙt) a felület eg pontján áthaladó tetszőleges felületi görbe érintője lehet. Ebből következik, hog eg felületi ponton áthaladó felületi görbék érintői eg síkban vannak; ez a felület adott pontbeli érintősíkja. Az érintősík normálvektora gradu vektor. Tehát az érintősík egenlete: f ) + f ) z z ). 5

16 A Φ,,z) implicit) alakú felületen haladó rt) it) + jt) + kzt) térgörbe esetén Φt), t), zt)). dφ dt Φ ẋt) + Φ ẏt) + Φ zżt), tehát az nφ,φ,φ z) vektor merőleges az ṙt) iẋt) + jẏt) + kżt) görbeérintőre, az érintővektorok az n normálvektorú érintősíkban vannak. Az,,z ) pontbeli érintősík egenlete: Φ ) + Φ ) + Φ zz z ). A Φ,,z) és a Ψ,,z) felületek metszésvonalát a két egenletből adódó egenletrendszer jellemzi. A metszésvonal érintősíkja: i j k t n Φ n Ψ Φ Φ Φ z Ψ Ψ Ψ z Ha a metszésvonal pl. szerint paraméterezhető, azaz leírható mint Φ, ), z)), illetve Ψ, ), z)), akkor dφ d Φ + Φ + Φ zz ; dψ d Ψ + Ψ + Ψ zz. Ekkor a metszésvonal szerint paraméterezett érintője: r ) i + )j + + z )k, ahol ) és z ) a fenti egenletrendszerből kiszámítható. Feladatok ) A z ln + ) felületnek a P,,) pontján áthaladó, z tengellel párhuzamos és az tengellel 6 -os szöget bezáró síkkal elmetszettük a felületet. Határozzuk meg a metszetgörbe érintőjének egenletrendszerét a P pontban. A felület P pontjára:,, z ln + ). Kiszámítjuk az iránmenti deriváltat: f cos 6 ; sin6 + ; f,) + ;,) 6

17 f α +. Az érintő egenletrendszere: z. ) Határozzuk meg a z sin felület érintősíkjának egenletét az π, pontban. z sin π. A parciális deriváltak: f cos,) ; f cos,) π 6 Tehát az érintősík egenlete: π ) z π 6 ) ) ) Melek a z felületnek azok a pontjai, ahol az érintősík párhuzamos a + 5z 5 síkkal? A felület normálisa: n z i z j+k. Az adott sík normálisa: n i j+5k, illetve n 5 i 5 j+k. Úg kell megadnunk az,,z ) pontot, hog ez a két vektor párhuzamos legen egmással. Kiszámítjuk a parciális deriváltakat: z 4 ; z +. Összevetve a sík normálvektorának egenletében szereplő egütthatókkal: 4 5 ; + 5, tehát,65; 9 5,8; z,. Teljes differenciál számítása A z f,) kétváltozós függvén teljes differenciálja: dz df f,)d + f,)d. A dz P, )d + Q, )d kifejezés teljes differenciál, ha P,) Q,). 7

18 4) Számítsuk ki a z ln sin + ) teljes differenciálját! z sin + ) cos + ) cot + ) z sin + ) cos + ) cot + ) Tehát dz cot + ) {d + d}. 5) Állapítsuk meg a sin e sin d + cos e sin d kifejezésről, hog teljes differenciál-e! P,) sine sin ; Q,) cos e sin. P cos e sin + cos sin e sin ; Q cos e sin + cos sin e sin. Mivel tehát P Q, íg az adott kifejezés teljes differenciál. Magasabbrendű deriváltak számítása 6) Deriváljuk le kétszer és szerint a következő függvént: Első deriváltak: A másodrendű parciális deriváltak: z e cos ln z z e cos ln; z z e sin. z z e cos ; A veges parciális deriváltak: z ) z z ) z z z e cos. z e sin ; z e sin. Látható, hog a veges parciális deriváltak megegeznek. 8

19 7) Számítsuk ki a z e cos ln függvén, illetve szerinti harmadik parciális deriváltját! z z ) z e cos ) e cos ; ) z )) z e cos + ) e sin. )) z ) e cos ln) e sin )) 8) Számítsuk ki a z e + kétváltozós függvén másodrendű parciális deriváltjait! z e + ; z e + ; z e + + ) e + ; z e + + ) e + ; z z 4e +. 9) Igazoljuk, hog a z + függvén és szerinti másodrendű parciális deriváltjainak összege zérus, vagis a függvén kielégíti a z + z ún. parciális differenciálegenletet ekkor z-t harmonikus függvénnek nevezzük). z + ; z 6; z 6; z + z 6 6. z 6; Iránmenti második derivált számítása A z f,) kétváltozós függvén α iránmenti első deriváltja: df,) dα f,)cos α + f,)sin α. 9

20 Ennek az α irán menti deriváltja az α irán menti második derivált: d f,) dα D αα f,) f,)cos α+f,)cos α sin α+f,)sin α. ) Számítsuk ki a z ln + ) függvén α irán menti második deriváltját, ha α 5, valamint, 8! z + + ; z + ; z + ) 6,8) 8 ; z + ) 7,8) 8 ; z + ),8) 8 ; d z,) dα D αα f,) + ) cos α + + ) cos α sinα + sin α; + ) Mivel cos 5, illetve sin5, íg cos 5 4, cos 5 sin5, illetve sin 5 4. Tehát: d z, ) dα ,9.