Az f függvénynek van határértéke az x = 2 pontban és ez a határérték 3-mal egyenl½o lim f(x) = 3.

Átírás

1 0-06, II. félév. FELADATLAP Eredmének. Van határértéke, illetve foltonos az f függvén az alábbi pontokban? (a) = Az f függvénnek van határértéke az = pontban és ez a határérték -mal egenl½o f() =.! Az f foltonos is az = pontban, mivel f( ) =. (b) = Az f függvénnek van határértéke az = pontban és ez a határérték -gel egenl½o f() =.! Az f viszont nem foltonos az = pontban, mivel f( ) = 6=. (c) = Az f függvénnek van határértéke az = pontban és ez a határérték -mal egenl½o f() =.! Az f foltonos is az = pontban, mivel f( ) =. (d) = Az f függvénnek nincs határértéke az = pontban, mivel a baloldali határértéke és a jobboldali határértéke ebben a pontban. Mivel az f-nek nincs határértéke az = pontban, ezért nem is foltonos.

2 0-06, II. félév (e) = 0 Az f függvénnek van határértéke az = 0 pontban és ez a határérték Az f foltonos is az = 0 pontban, mivel f(0) =. -gel egenl½o f() =.!0 (f) = Az f függvénnek nincs határértéke az = pontban, mivel a baloldali határértéke és a jobboldali határértéke 0 ebben a pontban. Mivel az f-nek nincs határértéke az = pontban, ezért nem is foltonos. (g) = Az f függvénnek nincs határértéke az = pontban, mivel a baloldali határértéke és a jobboldali határértéke ebben a pontban. Mivel az f-nek nincs határértéke az = pontban, ezért nem is foltonos. (h) = f foltonos az = pontban. (i) = Az f függvénnek van határértéke az = pontban és ez a határérték -vel egenl½o viszont nem foltonos az = pontban, mivel f() = 6=.. Számítsd ki a következ½o határértékeket: (a) (b) (c) ( + ) =! ( + ) =! ( + ) = +! f() =. Az f! (d)! + = 9 (e) (f)! + = +! + = + Az = + függvén gra kus képe

3 0-06, II. félév (g)! + 9 = 8 (h) (i) Az =! + 9 =! + 9 = + + függvén gra kus képe (j)! + + = 9 (k) (l)! + + =! + + = 0 Az = + 9 függvén gra kus képe

4 0-06, II. félév 0 0 Az = + + függvén gra kus képe (m) log = log 7 =!7 (n) log = +! (o) log = & (p) log = log 8 =!8 (q) log! = (r) log = + &0 Az = log függvén gra kus képe

5 0-06, II. félév Az = log függvén gra kus képe (s)!0 e = (t) (u)! e = +! e = (v) (w) () =! = 0! = +! 0 Az = e függvén gra kus képe

6 0-06, II. félév ()! = 0 (z)!0 =NEM LÉTEZIK Az = függvén gra kus képe Az = függvén gra kus képe. Vizsgáld meg, hog létezik-e a következ½o függvének határértéke az 0 = helen. Vizsgáld a foltonosságukat is, majd rajzold meg a gra kus képüket. +, ha R fg (a) f () =, ha =

7 0-06, II. félév 8 < + 7, ha < (b) f () =, ha = :, ha > (c) f () = +, ha +, ha >

8 0-06, II. félév (d) f () =. Létezik-e határértékük, illetve foltonosak-e az alábbi függvének az 0 pontban? Ábrázold a függvéneket! (a) f () =, ha < ( ), ha 0 =

9 0-06, II. félév (b) f () =, ha <, ha 0 = (c) f () =, ha 0 ln, ha > 0 0 = 0

10 0-06, II. félév. Számítsd ki a következ½o racionális törtfüggvének határértékét: (a) (b) (c)! = 8!! = 0 = 0 (d)!0 = nem létezik (e)! = Az = függvén gra kus képe

11 0-06, II. félév (f) (g) (h)!!! p = = = nem létezik Az = függvén gra kus képe 78 (i) ! = 78 (j) (k)!! (l) = 0!0 (+) (m) (n) (o)! (+) = = 78 7 = (+)!! = nem létezik (+) =

12 0-06, II. félév (p)! = (q)!0 = (r)! + = nem létezik (s) (t)! = + Az = (+) 0 függvén gra kus képe! = (gra kus képét lásd a : feladat d: pontjánál) (u)! + = (v)!0 + = (w)! + = nem létezik ()! + = nem létezik () (z)!! + = + + = 6. Határozd meg az összes el½obbi függvén aszimptotáit! Eredméneid ellen½orzésére tanulmánozd a megfelel½o határértékeket és a fenti ábrákat! 7. Határozd meg az alábbi függvének ferde aszimptotáit: (a) f () = + ; Megoldás: A ferde aszimptotát + fele az = m + n alakban keressük, ahol m = f ()!+ és n = (f () m).!+

13 0-06, II. félév Ekkor m = f () =!+!+ + =, + n = (f () m) =!+!+ + = =!+ + + ( ) + =!+ =. Tehát + fele a függvén ferde aszimptotája: A függvén ferde aszimptotája fele uganaz. Az f () = + függvén gra kus képe: = (b) f () = ; (+) Megoldás: A ferde aszimptotát + fele az = m + n alakban keressük, ahol m = f ()!+ 8 és n = (f () m).!+ Ekkor n = m = f () =!+ (f () m) =!+!+!+ ( + ) ( + ) =,! =!+ ( + ) =.

14 0-06, II. félév Tehát + fele a függvén ferde aszimptotája: =. A függvén ferde aszimptotája fele uganaz. Az f () = függvén gra kus képe: (+) (c) f () = + + ; Megoldás: n = m = f () =!+!+ (f () m) =!+!+ Tehát + fele a függvén ferde aszimptotája: + + =. + + =, + =!+ + + = 0. A függvén ferde aszimptotája fele uganaz. Az f () = + + függvén gra kus képe:

15 0-06, II. félév (d) f () = + ; Megoldás: n = f () + m = =!+!+ + (f () m) =!+!+ + =, =!+ + = 0. Tehát + fele a függvén ferde aszimptotája: =. A függvén ferde aszimptotája fele uganaz. Az f () = + függvén gra kus képe:

16 0-06, II. félév (e) f () = + + ; Megoldás: A ferde aszimptotát + fele az = m + n alakban keressük, ahol m = f ()!+ 8 és n = Ekkor f () m = =!+ tehát a függvénnek + fele nincs ferde aszimptotája. A függvénnek fele szintén nincs ferde aszimptotája. Az f () = + + függvén gra kus képe: 0 (f () m).!+!+ + + = +, 8 6 0

17 0-06, II. félév (f) f () = 7. Megoldás: n = m = f ()!+ (f () m) =!+!+ Tehát + fele a függvén ferde aszimptotája: 7 =!+ = 7, 7 = =!+ = 0. A függvén ferde aszimptotája fele uganaz. Az f () = 7 függvén gra kus képe: