(2) A d(x) = 2x + 2 függvénynek van véges határértéke az x0 = 1 helyen, így a differenciálhányados: lim2x

Átírás

1 DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁS MINTAPÉLDÁK.. Példa. Határozzuk mg az f = függvénnk az = hlhz tartozó diffrnciahánados függvénét, majd vizsgáljuk mg, hog f diffrnciálható- az -ban adjuk mg az = hlhz tartozó diffrnciálhánadost. Mgoldás: f f d, R\{} A d = + függvénnk van végs határérték az = hln, íg a diffrnciálhánados: lim.. Példa f = c cr az értlmzési tartománának mindn pontjában diffrnciálható, mrt stén c c d, Íg f ' lim d lim. thát f ', azaz az állandó függvén származtatottja az azonosan függvén. f = függvén diffrnciahánadosa d Íg f ' lim d lim. thát f ', azaz az f= függvén származtatottja az azonosan függvén. f = mindnütt diffrnciálható, hiszn d, lim d lim. thát f '. Íg f ',. Példa. Tkintsük az f = függvént és vizsgáljuk az = hln foltonosság és a diffrnciálhatóság tkinttébn. Mutassuk mg, hog foltonos a függvén a -ban, d ott mégsm diffrnciálható. Mgoldás: A függvén grafikonját a 9. ábra mutatja b. A függvén az értlmzési tartomána R mindn hlén foltonos, íg a -ban is, mivl a hlttsítési érték mggzik a határértékkl a bal és jobb oldali határértékkt számítva mindkét stbn -t, kapunk. A hln a diffrnciálhánados: d f f ha, ha.

2 DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁS Ez azt jlnti, hog a diffrnciahánadosnak a pontban nincs határérték, hiszn a jobb és bal oldali határérték nm gzik mg, mivl lim d lim lim és lim d lim lim. Thát a függvénnk a hln nm létzik a driváltja, nm diffrnciálható.. Példa. Határozzuk mg az alábbi függvénk driváltjait! f = , R, f = + sin R, h, h = +, h = ln7, 7 h. Mgoldás: Az összg, különbség és a skalárszoros függvén driválási szabála alapján: f = = 7 + ln + 8 sin = 7 + ln + + 8sin. A szorzat függvén driválási szabála alapján: f = + sin + + sin = + sin + +. A hánados és szorzat függvén driválási szabála alapján: ' ' h' ' ' ' sin. Mivl a h függvén a g = + és az fu = u függvénk sgítségévl h = fg alakban állítható lő, íg az összttt függvén driválási szabálát kll alkalmazni: h = f g g = +. Mivl a h függvén a g = 7 és az fu = lnu függvénk sgítségévl h = fg alakban állítható lő, íg az összttt függvén driválási szabála alapján: h' f 'g g'. 7

3 DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁS Mivl a h függvén a z = 7 -, a gu = u, és az ft = t függvénk sgítségévl h = fgz alakban állítható lő, íg az összttt függvén driválási szabála alapján:. 7 z' g'z f 'gz h' 7 Bvztő fladatok Határozza mg az alábbi függvénk lső drivált függvénét: sin ln sin log 8 log j i d h c g b f a Mgoldások j i d h c g b f a ' sin ' ln ' sin ' ln ln log 8 log ' Driválás gakorlása. Driválja az alábbi függvénkt! 7

4 tg ln ln ln ln DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁS ln sin sin ln tg ctg log sin sin tgsin sin sin sin a a a 7 Drivált fogalma, jlntés. Miln szögbn mtszik az X tnglt a kövtkző görbék? a b c. Lgn f. Igaz-, hog f a f a?. Határozza mg az függvén abcisszájú pontjához húzott érintő gnltét!. Adja mg az függvén abcisszájú pontjához húzott érintő gnltét!. Diffrnciálja a drivált fogalmának flhasználásával az a f 7. Írja fl az f b f 7 görb, pontjához tartozó érintő gnltét! 8. Adja mg az f görb érintőjénk az gnltét az abcisszájú pontban! 9. Határozza mg az f parabola és az f gns mtszéspontjaiban a parabolához tartozó érintők gnltét!. Az f 7 függvén kép parabola. Írja fl az abcisszájú pontjában az érintő gnltét!

5 Összttt függvénk driválása DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁS. Végzz l a kövtkző függvénk driválását! a b sin f ln f sin 7 ln7 f sin c d f ctg 7 8 ln 7 tg f ln sin f 7 9 f 9 sin7 8 g f h i j k ln 7 ln f ln sin 8 sin sin tg 7 f ln 7 tg 7 f ctg f ln ctg9 ln 7

6 Magasabb-rndű driváltak DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁS. Határozza mg a kövtkző függvénk magasabb-rndű driváltjait! a? b 8? c? d ln? f g h sin????. Lgn. Számítsa ki a függvén ötödik driváltját!. Határozza mg az függvén tizdik driváltját! Számítsa ki a századik és az n -dik driváltját is!. Igazolja, hog az sin függvén kilégíti az diffrnciálgnltt!. Bizonítsa b, hog az függvén kilégíti az diffrnciálgnltt! f. Határozza mg az f -t és az f -t! 7. Lgn