Improprius integrálás

Átírás

1 Improprius intgrálás Tnulási cél Htározott intgrál foglmánk kitrjsztés végtln intrvllumr. Dfiníciók lklmzás konkrét fldtok stén. Motivációs péld Eddig htározott intgrált csk végs zárt intrvllumon számoltunk. H z intgrndus z dott intrvllumon folytonos, kkor htározott intgrál létzik és primitív függvény ismrtén könnyn mghtározhtó. Vlószínűség-számításnál tlálkozhtunk kövtkző típusú fldttl. f, h. Lgyn Bizonyítsuk, hogy f függvény és z tngly áltl közzárt trült ngyság. Korái ismrtink lpján tudjuk, hogy h gy f függvény dott intrvllumon nm vsz fl ngtív értékt, kkor f és z tngly áltl közzárt trült ngyságát f dott intrvllumhoz trtozó htározott intgrálj dj mg. Thát n z stn d intgrált klln kiszámolni. Ezzl z gond, hogy htározott intgrál számolásánál ddig végs értékkkl dolgoztunk, mlykt tudtunk hlyttsítni Nwton-Liniz-formulá. A -t nm tudjuk hlyttsítni. A kérdés zután áltlánosn úgy foglmzhtó mg, hogy miként tudunk intgrálni olyn stn, mikor z intgrálási intrvllum nm végs, zz htári között szrpl, vgy, vgy mindkttő. Err djuk mg válszt z láikn. Elmélti összfoglló A dfiníciók jo mgértéséhz próáljuk mg kikövtkzttni d intgrál értékét. Gondolkodjunk kövtkzőképpn. Számoljuk ki lső lépésn htározott intgrált,00 intrvllumon. Mjd z intrvllum flső htárát toljuk gyr kijj és kijj. Mivl z intgrndus folytonos, így ármly, intrvllumon ( ) htározott intgrálok létznk. Primtitív függvényt tudunk dni, így zkt z intgrálokt ki is tudjuk számolni. Mjd vizsgáljuk mg, hogy zn értékkről mit tudunk mondni d d d

2 d Jlöljuk -vl flső htárt és állítsuk lő vl htározott intgrálokt. d Jól láthtó, h z intrvllum flső értékét gyr kijj toljuk, kkor gyr kis értékt kll kivonni -ől. Thát h flső htár végtln, kkor z intgrál értékét -nk vhtjük. Másképp mgfoglmzv: mivl végs zárt intrvllumon számolt htározott intgrálok értékit lő tudtuk állítni flső intgrációs htár függvényként, mly gyr közl és közl sik -hz (trt -hz), h flsőhtár mindn htáron túl növkszik, zért d lgyn. Adjuk mg most már gy folytonos függvénynk gy végtln nyúló intrvllumon értlmztt intgráljánk dfinícióját, mit szokás improprius intgrálnk nvzni. Dfiníció: Lgyn f( ) z [, [ intrvllum értlmztt folytonos függvény. Ekkor f ( ) d improprius intgrál pontosn kkor létzik, h lim f ( ) d htárérték létzik (végs), és kkor z improprius intgrál érték lgyn éppn kpott htárérték, zz f ( ) d lim f ( ) d. H htárérték létzik, kkor szokás zt mondni, hogy z improprius intgrál konvrgns. H htárérték nm létzik (nm végs), kkor z improprius intgrál nm létzik. Ilyn stn szokás zt mondni, hogy z improprius intgrál divrgns. A htározott intgrálhoz hsonlón z improprius intgrálhoz is tudunk gomtrii jlntés dni. H ( ) 0, intrvllumon és f ( ) d konvrgns, kkor z improprius f z intgrál érték éppn f függvény és z tngly áltl közzárt trült mérőszámát dj z, intrvllumon. H ( ) 0 f z, intrvllumon és f ( ) d konvrgns, kkor z improprius intgrál érték iztosn nmpozitív, d szolút érték éppn függvény és z tngly áltl közzárt trült mérőszámát dj mg. Thát áltlán gy függvény, intrvllumon vtt intgrálj szmléltsn nnk síkrésznk z lőjls trültét dj mg, mi függvény grfikonj és z tngly között

3 hlyzkdik l z, intrvllumon. En z érdks, hogy olyn lkzt trültéről szélünk, mi vízszints irányn -ig nyúlik, thát nm korlátos. Szmléltsn nyilvánvló, hogy gy ilyn lkztnk csk kkor létzht trült, h flé hldv z lkzt gyr kskny lsz, zz függvény grfikonj simul z tnglyhz, mi zt jlnti, függvény htárérték végtlnn 0. (D z önmgán nm lgndő fltétl z improprius intgrál konvrgnciájár. H gy függvény htárérték végtlnn null, z improprius intgrálj még lht divrgns.) Dfiníció: Lgyn f( ) ], ] intrvllumon értlmztt folytonos függvény. Ekkor f ( ) d improprius intgrál pontosn kkor létzik, h lim f ( ) d htárérték létzik (végs) és kkor z improprius intgrál érték lgyn éppn kpott htárérték, zz f ( ) d lim f ( ) d. H htárérték végs, kkor szokás zt mondni, hogy z improprius intgrál konvrgns. Mindn más stn z improprius intgrál nm létzik, másképpn divrgns. Itt is kimondhtjuk, hogy gy függvény ], ] intrvllumon vtt intgrálj szmléltsn nnk síkrésznk z lőjls trültét dj mg, mi függvény grfikonj és z tngly között hlyzkdik l z ], ] intrvllumon.

4 Nyilván csk kkor lht konvrgns gy ilyn intgrál, h z -n 0, zz lim f 0. f függvény htárérték Dfiníció: H z gyik intgrációs htár sm végs, kkor z intgrálást úgy fogjuk fl, hogy mind z lsó, mind flső htárt végsnk válsztjuk, mjd mindkttőt gyr kijj és kijj toljuk (z lsót mínusz végtln, flsőt plusz végtln) és kkor f ( ) d lim f ( ) d. Az improprius intgrál kkor lsz konvrgns, h htárértékk külön-külön létznk, mindn más stn pdig divrgns. Egy függvény, intrvllumon vtt intgrálj szmléltsn nnk síkrésznk z lőjls trültét dj mg, mi függvény grfikonj és z tngly közötti hlyzkdik l z, intrvllumon.

5 Nyilván csk kkor lht konvrgns gy ilyn intgrál, h z -n és -n is 0, zz f f lim lim 0. f függvény htárérték Kidolgozott fldtok Htározzuk mg z lái improprius intgrálok értékét.. fldt d Az intgrndus értlmzv vn és folytonos [, [, Továikn folytonosságot nm vizsgáljuk, csk olyn fldtot nézünk, mlykr fltétlk tljsülnk. Alklmzhtjuk dfiníciót. A flső intgrációs htárn szrplő jlét csréljük l -r. d lim d Első lépésként végzzük l z intgrálást, és után jöht htárérték krsés. Szükségünk vn gy primitív függvényr. Azért hogy mgoldás jon átláthtó lgyn, végzzük l külön htároztln intgrál krsését, mjd térjünk vissz z improprius intgrál mghtározásához. d d c c Folytssuk z improprius intgrálást: d lim d lim lim Alklmzzuk korái htárértékr vontkozó ismrtinkt. Első lépésként lég htárértékét vizsgálni. Mivl nvző mindn htáron túl növkdni fog, zért rciprok gyr kis pozitív szám lsz, zz h 0 Most már tudunk htárértékt dni. lim 0 Thát htárérték létzik (végs), z improprius intgrál konvrgns és érték d. fldt 8 d

6 Ez is gy improprius intgrál, mrt flső htár. Alklmzzuk dfiníciót. A jlét csréljük l -r. d lim d 8 8 Külön végzzük l htároztln intgrál számítását. Vgyük észr, hogy z intgrndus most gy lináris kifjzés ngtív kitvős htványként írhtó fl. Ekkor hsználhtó z lái intgrációs szály: F f d c h F( ) f ( ). ( ) d d ( ) d c ( ) c ( ) Vn primitív függvényünk, folytssuk z improprius intgrálást: d lim d lim ( ) d lim ( ) lim ( ) lim ( ) 6 Most is z összg lső tgját kll vizsgálnunk, mivl második tg konstns, így önmgához trt. Hsználjuk fl korái htárértékr vontkozó ismrtinkt, zz h ( ) ( ) Thát lim ( ) 6 6 Mivl htárérték nm gy végs vlós szám, hnm zért z improprius intgrál nm létzik, zz divrgns.. fldt 0 d Egy improprius intgrálll vn dolgunk. A dfiníció szrint írjuk át z intgrált.

7 d lim d 0 0 Első lépésként djunk primitív függvényt. Vgyük észr, hogy gy összttt függvénnyl vn dolgunk. A lső függvény, újr hsználhtó z lái intgrációs szály: F f d c h F( ) f ( ). Így: d c Folytssuk z intgrálást kpott primitív függvény flhsználásávl. 0 lim d lim lim lim 0 0 Mivl gy konstns függvény mindig önmgához trt, zért csk zt klln vizsgálni, hogy z lső tg, zz vjon hov trt, h. Hsználjuk fl, hogy mivl lim, kkor lim lim 0. Így lim 0 Thát z improprius intgrál konvrgns és érték d 0. fldt 0 d Egy improprius intgrálll vn dolgunk. A dfiníció szrint írjuk át z intgrált. 0 0 d lim d Ahhoz, hogy tová tudjunk lépni, szükségünk vn gy primitív függvényr. Vgyük észr, 0 hogy z intgrndus gy összttt függvény, mlyn külső függvény, lső függvény

8 pdig, zz gy lináris függvény. A külső függvény mitt z intgrndust ngtív kitvőjű htvány átírv, zz vn intgrálási módszrünk: 0 c 8 0 d 0 d 0 c 0 lim d lim lim Hsználjuk fl, hogy h gy ngyon ngy értékkt vsz fl, kkor Mivl lim, így gy szám, zért önmgához fog trtni, így csk zt kll vizsgálni, lim 0. n Most már térjünk vissz z rdti fldthoz. lim 0 00 Thát z improprius intgrál konvrgns és érték 0 d 00 hov fog trtni. Kidolgozott fldtok. fldt d Alklmzzuk dfiníciót. Most z lsó intgrációs htárn szrplő -t kll lcsrélni. Az új lsó htár lgyn. d lim d Ahhoz, hogy tová tudjunk lépni, szükségünk vn gy primitív függvényr. Vizsgáljuk mg d htároztln intgrált. Mivl nvző gy lsőfokú (lináris) polinom, így

9 driváltj gy szám, n z stn éppn. Egy ővítéssl kilkíthtjuk számlálón f nvző driváltját, mjd hsználhtjuk z ln f c intgrálási szályt. f ln d d c Vn primitív függvényünk, folytssuk z improprius intgrálást. d lim d lim ln Hsználjuk Nwton-Liniz tétlt, ügylv rr, hogy z lsó intgrációs htár most éppn. lim ln lim ln ln lim ln ln lim 0 ln lim ln lim ln Korái htárértékkr vontkozó ismrtink lpján mondhtjuk, h, kkor. Mivl mindn htáron túl növkvő számok trmészts lpú logritmus is mindn htáron túl növkvő, így lim ln Thát z improprius intgrál nm létzik, másképpn divrgns, mivl vizsgált htárérték nm végs.. fldt 6 7 d Alklmzzuk dfiníciót. Most is z lsó intgrációs htárt kll lcsrélni. 6 6 d lim d 7 7 A kövtkző lépés primitív függvény lőállítás. Az intgrndus most is összttt függvény 6 gy lináris lső függvénnyl. A külső függvény,mit csk kkor tudunk intgrálni, h 7 átírjuk ngtív kitvős htványként. Mjd lklmzzuk lináris lső függvényr vontkozó intgrálási szályt: F f d c h F( ) f ( ). Hjtsuk végr mgdott lépéskt. 7 6 d 6 7 d 6 c

10 6 c 0 c 6 A primitív függvény ismrtén folytssuk z improprius intgrálást lim d lim lim 7 Most z összg lső tgj gy konstns, mi önmgához, zz 0 -hoz trt. A második tg htárértékét kll vizsgálni. Hldjunk lépésnként. H, kkor ( ). Mivl mindn htáron túl növkvő pozitív számok ötödik gyök is mindn htáron túl növkvő szám lsz, zért lim. Mindn htáron túl növkvő pozitív számok rciproki pdig gyr közl snk nullához, zz 6 6 lim 0 Most már tudjuk fjzni z improprius intgrálást. 0 0 lim Thát z improprius intgrál konvrgns és érték éppn. fldt 6 d d Alklmzzuk szokott módon dfiníciót d lim 8 d A kövtkző lépés most is primitív függvény lőállítás. Az intgrndus gy összttt függvény gy lináris lső függvénnyl. Most is lklmzzuk z lái intgrálási szályt: F f d c h F( ) f ( ) d 8 c c 7 7 Térjünk vissz z improprius intgrálhoz d lim 8 d lim lim 7 7 7

11 7 A htárérték lőállításához zt kll mgnézni, hogy ngyon kicsi ngtív stén vjon hov trt? Hldjunk most is lépésnként. 7 H, kkor 7. D ngyon kicsi ngtív számokhoz közlítv 7 nullához gyr közli értékkt vsz fl, zz lim 0. Thát htárérték végs, z improprius intgrál konvrgns és érték: lim fldt 0 d Induljunk l szokott módon. 0 0 d lim d Folytssuk primitív függvény mgdásávl. Tört intgrndus stén z z lső mit érdms mgnézni, hogy vjon mi nvző driváltj. Láthtó, hogy számlálón éppn nvző driváltj szrpl. Így vn intgrálási szályunk, mit tudunk lklmzni. d ln c ln c Flhsználv, hogy csk pozitív értékkt vht fl, z szolút érték gyszrűn lhgyhtó. Térjünk vissz z improprius intgrálhoz d lim d lim ln lim ln ln A htárértéknél most is lépésnként hldjunk. H kkor 0 és kkor ln ln A htárérték thát végs, z improprius intgrál konvrgns és érték: 0 d lim ln ln ln ln ln Kidolgozott fldtok. fldt d

12 Egyik htár sm végs, így mindkttőt mgváltozttjuk, mjd mgváltozttott htárokkl trtunk z rdtikhz. Így kttős htárértékünk lsz. d lim d Primitív függvényt kll lőállítni. Az intgrndus gy törtfüggvény, mlynk számlálóján mjdnm nvző driváltj láthtó. Mivl, zért ővítsünk -ml és f hsználjuk ln f c intgrálási szályt. f d d ln c ln c Mivl mindn lhtségs stén pozitív értékt vsz fl, z szolút érték lhgyhtó. Folytssuk z improprius intgrálást. lim d lim ln( ) lim ln( ) ln( ) Hsználjuk fl, hogy h 0 és h, így lim ln( ) ln( ) ln Thát z gyik htárérték nm létzik, így. fldt d d improprius intgrál divrgns. Az lsó és flső htárt is l kll csrélni, mjd z lái két htárértékt kll vizsgálni: d lim d Végzzük l primitív függvény krsését. Az intgrndus gy törtfüggvény. Vgyük észr, hogy számlálón ővítéssl kilkíthtó nvző driváltj. Mivl ( ) 6, ővítsünk 6 -tl. 6 d d ln C 6 6 Mivl 0 mindn vlós stén, zért z szolút értékt továikn lhgyjuk.

13 lim d lim ln( ) lim ln( ) lim ln( ) Vizsgáljuk mg z lső htárértékt: h ln( ). Kövtkzik másik htárérték: h ln( ). Thát lim ln( ) lim ln( ) 6 6 Mivl htárértékk nm végsk, z improprius intgrál nm létzik. (Már z lső htárértékszámolás után mondhttuk voln, hogy z improprius intgrál divrgns.). fldt d Most is zzl kll kzdni fldtot, mind z lsó, mind flső intgrációs htárt lcsréljük. d lim d Szükségünk vn gy primitív függvényr, hogy tová tudjunk lépni. Az ilyn típusú intgráloknál észr kll vnni, hogy gy összttt függvény, mlynk lső függvény. A lső függvény driváltj pdig, mi gy gyszrű ővítéssl kilkíthtó z intgrndusn. H pdig gy összttt függvényt szorzunk éppn lső függvényénk driváltjávl, kkor hsználhtó koráról ismrt intgrálási szály: hol F f g g d F g c f Végzzük l számolást: d d c A primitív függvény sgítségévl htározzuk mg z improprius intgrált. Alklmzzuk z új htárokr Nwton -Liniz tétlt: d lim d lim lim lim A htárértékk vizsgált kövtkzik. Hldjunk lépésnként. H kkor és 0

14 Hsonló kövtkzttésr jutunk másik htárértéknél is. H kkor és 0 Thát két htárérték külön-külön létzik, z improprius intgrál konvrgns és érték: lim lim Mgjgyzés: Az rdmény mglhtősn furcs. H zonn árázoljuk függvényt, végrdmény gyértlmű. Jól láthtó, hogy függvény z origór szimmtrikus és így két gör ltti trült mggyzik. D z tngly fltti és ltti trültkt z intgrálás llntéts lőjlll dj mg. Így z összgük null lsz.