KORLÁTOS. mateking.hu BINOMIÁLIS ELOSZLÁS. Egy úton hetente átlag 3 balesetes nap van. Mi a valószínűsége, hogy egy adott héten 2 balesetes nap van?

Átírás

1 NEVEZETES DISZKRÉT ÉS FOLYTONOS OK HIPERGEO. BINOM. POISSON VAN ITT EGY FELADAT ISMERTHOGY MENNYI AZ ÖSSZES ELEM ÉS AZ ÖSSZES SELEJT VAGYIS N K ILLETVE n k. CSAK VALAMI %-OS IZÉ ISMERT A VÁRHATÓ AZ ÁTLAG AZ ARÁNY A VALÓSZÍNŰSÉG STB. VISSZATEVÉS NÉLKÜLI VISSZATEVÉSES KORLÁTOS NEM KORLÁTOS HIPERGEOMETRIAI mtking.hu K N K ( ) k n k P k N n K E( ) n N D( ) K ( N K )( N n) n N ( N ) BINOMIÁLIS n k k nk k) p ( p) E( ) np D( ) np( p) POISSON k k) k! E ( ) D ( ) Egy úton np ltt npon történt blst. Ebből npból kiválsztunk gy htt mi vlószínűség hogy zn hétn blsts np vn? =blsts np Az összs lm N= np bből sljts blsts np K=. A mint n=7 és itt k= 7 B N K n 7 k blsts npot szrtnénk. 7 8 B P ( ) 7 Egy úton htnt átlg blsts np vn. Mi vlószínűség hogy gy dott hétn blsts np vn? =blsts np Egy különösn blszrncsés hétn sm lht 7-nél több blsts np thát itt KORLÁTOS MAX 7. n 7 mrt 7 npot válsztunk p / 7 blsts np P 7 ( ) 7 Egy úton htnt átlg blst történik. Mi vlószínűség hogy gy dott hétn blst vn? =blst Blst viszont lht kármnnyi átlgosn szokott lnni d miért is n lhtn mondjuk blst. Vgyis itt NEM KORLÁTOS E ( ) vártó )!

2 EGYENLETES EXP NORM Folytonos vlószínűségi változók többnyir időt távolságot mg olynokt mérnk hogy hány kiló hány litr stb. Trmésztükből dódón itt nincs értlm olyt kérdzni hogy? mindn ilyn vlószínűség null. Csk intrvllumokt vn értlm kérdzni hogy? P? vgy P b? P mrt P vgy A vlószínűségkt z loszlásfüggvény vgy sűrűségfüggvény sgítségévl tudjuk kiszámolni és többnyir mi döntjük l hogy mlyikt sználjuk. Azok kik lküzdhttln vágyt érznk z intgrálás iránt sználják bátrn sűrűségfüggvényt mindnki másnk z loszlásfüggvény jánlott zzl ugynis könnybb.. lépés hogy vlószínűségt átlkítjuk loszlásfüggvényr. lépés pdig z hogy mgkrssük konkrét loszlásfüggvényt.. mtking.hu NEVE Egynlts loszlás PARAMÉTEREI:(b) P ( ) ) f ( P ( ) ) f ( P ( b) b) ) f ( b FÜGGVÉNY SŰRŰSÉGFÜGGVÉNY VÁRHHATÓ ÉRTÉK SZÓRÁS x x x b x b f ( b b b b E( ) D( ) b x különbn b. Exponnciális loszlás PARAMÉTEREI: (λ) A dolgok időbli vgy távolságbli bkövtkzésénk loszlás. 7 Normális B loszlás PARAMÉTEREI: (mσ) B A dolgok mnnyiségbli loszlás. Stndrd normális loszlás 7 F ( x x m ( =Lásd stndrd normális loszlás táblázt! x x f ( f x x ( x x m E( ) D( ) E( ) m D( ) x ( E( ) D( )

3 EGYENLETES Vlki gy tlfonhívást vár mi. és. között érkzik mindn időpontbn ugynkkor vlószínűséggl. Mkkor vlószínűség hogy délig hívják? =hány ór vn = b= Az gynlts loszlás loszlásfüggvény x x x b most = és b= b b x x x x x Az hogy délig hívják: ) ) EXPONENCIÁLIS mtking.hu Egy bnkb áltlábn ügyfél érkzik óránként. Mkkor vlószínűséggl tlik l prc úgy hogy nm jön snki? =ltlt idő prc prc H prcig nm jön snki kkor két ügyfél között ltlt idő prcnél több thát P ( ) vlószínűségt szrtnénk kiszámolni. Vártón ügyfél érkzik óránként zért z ügyflk közt ltlt idő 6/= prc vgyis vártó érték E( ) prc és így / Az xponnciális loszlás loszlásfüggvény x x x most / x x x Az hogy prcig nm jön snki: ) )

4 NORMÁLIS Egy bnkbn z ügyflk npi szám normális loszlású 6 fő vártó értékkl és fő szórássl. Mkkor vlószínűség hogy gy dott npon z ügyflk szám 6-nál kvsbb? Mkkor vlószínűség hogy z ügyflk szám 8-nál kvsbb? A normális loszlás sűrűségfüggvény xm f ( mit sjnáltos módon nm tudunk intgrálni mivl pdig z loszlásfüggvény sűrűségfüggvény intgrálj zért loszlásfüggvény nincs. Ezt kis kllmtlnségt úgy tudjuk kiikttni hogy bvztünk gy spciális normális loszlást mink vártó érték null szórás pdig gy. Ezt stndrd normális loszlásnk nvzzük sűrűségfüggvény ( x loszlásfüggvény pdig gy táblázt formájábn létző függvény mink jl Φ( x ). mtking.hu A normális loszlásból úgy tudunk stndrd normális loszlást csinálni hogy -ből kivonjuk vártó értékét és losztjuk szórássl. A normális loszlás loszlásfüggvény thát: x m F ( Most gy olyn normális loszlásunk vn hol vártó érték 6 szórás pdig. E( ) m 6 D ( ) Annk vlószínűség hogy gy dott npon z ügyflk szám 6-nál kvsbb: 6 m 6 P ( 6) 6) () 9 7 B Annk vlószínűség hogy z ügyflk szám 8-nál kvsbb: 7 B 8 m 8 P ( 8) 8) ( ) () x Φ( x ) ( (

5 A POISSON ÉS AZ EXPONENCIÁLIS KAPCSOLATA Egy bnzinkúthoz óránként átlg utó érkzik.. Mkkor vlószínűség hogy prc ltt három utó érkzik?. Mkkor vlószínűség hogy két utó érkzés közt lglább prc tlik l? Az lső kérdés z utók számáról míg második z érkzésük közt ltlt időről szól. Az utók szám diszkrét loszlás és mivl érkzht bármnnyi zért Poisson z ltlt idő folytonos loszlás és történtsn xponnciális.. utók szám prc ltt drb POISSON A vártó érték óránként utó thát prc ltt /6= és prc ltt E ( ) drb )!! 8. utók közt ltlt idő prc EXPONENCIÁLIS mtking.hu A vártó érték óránként utó thát z átlgosn ltlt idő 6/= prc E ( ) prc ) ) Mindkét loszlás ugynzt történtt írj l csk z gyik bkövtkzésk számát vizsgálj másik pdig köztük ltlt időt. Így hát nnk bizonyos -nk mindkét hlyn történő rjtélys flbukknás sm pusztán véltln műv. A két vlójábn ugynz. Ehhz zt kll mgértnünk hogy Poisson-loszlás vártó érték függ vizsgált időtrtmtól hosszbb idő ltt többn jönnk rövidbb idő ltt kvsbbn mondjuk prc ltt d prc ltt már. Az xponnciális loszlás vártó érték viszont vártón ltlt idő mi prc és z nm függ vizsgált időtrtmtól. Fél ór ltt ugynúgy átlgosn prcnként érkznk z utók mint prc ltt. Itt thát mindig ugynnnyi. B B / 7 H pdig Poisson loszlásnál éppn kkor időtrtmot nézünk mi z xponnciális loszlásnál z idő múlásánk mértékgység kkor két mindig mggyzik. Nézzük mg mi hlyzt zzl konkrét példánk stébn. 7 H z xponnciális loszlásnál z ltlt időt prcbn mérjük kkor vártó érték prc és így. Most számoljuk ki -t Poisson-loszlásnál gy prcs időtrtmr. Óránként -n jönnk thát gy prc ltt /6= vgyis két thát mggyzik. H z xponnciális loszlásnál z ltlt időt mondjuk órábn mérjük kkor z prcs vártó érték lássuk csk prc = /6 ór thát úgy durván 8 ór. Ekkor / 8. Most számoljuk ki -t Poisson-loszlásnál gy órás időtrtmr. Mivl fldt úgy szólt hogy óránként -n jönnk jlk szrint. A két thát ilynkor is mggyzik.