KORLÁTOS. mateking.hu BINOMIÁLIS ELOSZLÁS. Egy úton hetente átlag 3 balesetes nap van. Mi a valószínűsége, hogy egy adott héten 2 balesetes nap van?

Átírás

1 NEVEZETES DISZKRÉT ÉS FOLYTONOS ELOSZLÁSOK HIPERGEO. BINOM. POISSON VAN ITT EGY FELADAT ISMERTHOGY MENNYI AZ ÖSSZES ELEM ÉS AZ ÖSSZES SELEJT VAGYIS N K ILLETVE n k. CSAK VALAMI %-OS IZÉ ISMERT A VÁRHATÓ AZ ÁTLAG AZ ARÁNY A VALÓSZÍNŰSÉG STB. VISSZATEVÉS NÉLKÜLI VISSZATEVÉSES KORLÁTOS NEM KORLÁTOS HIPERGEOMETRIAI matking.hu ELOSZLÁS K N K ( ) k n k P k N n K E( ) n N D( ) K ( N K )( N n) n N ( N ) BINOMIÁLIS ELOSZLÁS P( n k k nk k) p ( p) E( ) np D( ) np( p) POISSON ELOSZLÁS k P( k) k! E ( ) D ( ) Egy úton 30 nap alatt napon történt balst. Ebből a 30 napból kiválasztunk gy htt mi a valószínűség hogy zn a hétn balsts nap van? =balsts nap Az összs lm N=30 nap bből sljts a balsts nap K=. A minta n=7 és itt k= 4 7 B 5 3 N 30 K n 7 k balsts napot szrtnénk B P ( ) 30 7 Egy úton htnt átlag 3 balsts nap van. Mi a valószínűség hogy gy adott hétn balsts nap van? =balsts nap Egy különösn balszrncsés hétn sm lht 7-nél több balsts nap thát itt KORLÁTOS MAX 7. n 7 mrt 7 napot választunk p 3/ balsts nap P 7 ( ) Egy úton htnt átlag 3 balst történik. Mi a valószínűség hogy gy adott hétn balst van? =balst Balst viszont lht akármnnyi átlagosan 3 szokott lnni d miért is n lhtn mondjuk 000 balst. Vagyis itt NEM KORLÁTOS E ( ) 3 a vártó 3 P( )! 3

2 EGYENLETES EXP NORM Folytonos valószínűségi változók többnyir időt távolságot mg olyanokat mérnk hogy hány kiló hány litr stb. Trmésztükből adódóan itt nincs értlm olyat kérdzni hogy a? mindn ilyn valószínűség nulla. Csak intrvallumokat van értlm kérdzni hogy a? P a? vagy Pa b? P mrt P vagy A valószínűségkt az loszlásfüggvény vagy a sűrűségfüggvény sgítségévl tudjuk kiszámolni és többnyir mi döntjük l hogy mlyikt sználjuk. Azok akik lküzdhttln vágyat érznk az intgrálás iránt sználják bátran a sűrűségfüggvényt mindnki másnak az loszlásfüggvény ajánlott azzal ugyanis könnybb.. lépés hogy a valószínűségt átalakítjuk loszlásfüggvényr a. lépés pdig az hogy mgkrssük a konkrét loszlásfüggvényt.. matking.hu ELOSZLÁS NEVE Egynlts loszlás PARAMÉTEREI:(ab) a P ( a) F( a) f ( dx a P ( a) F( a) f ( dx P ( a b) F( b) F( a) f ( dx b a ELOSZLÁSFÜGGVÉNY SŰRŰSÉGFÜGGVÉNY VÁRHHATÓ ÉRTÉK SZÓRÁS 0 x a x a F( a x b a x b f ( b a b a a b b a E( ) D( ) b x 0 különbn a a a b. Exponnciális loszlás PARAMÉTEREI: (λ) A dolgok időbli vagy távolságbli bkövtkzésénk loszlása. 4 7 Normális B 5 3 loszlás PARAMÉTEREI: (mσ) B 4 A dolgok mnnyiségbli 5 loszlása. Standard normális loszlás F( F ( x x m ( =Lásd standard normális loszlás táblázat! x 0 0 x 0 f ( f x x ( x 0 0 x m E( ) D( ) E( ) m D( ) x ( E( ) 0 D( )

3 EGYENLETES ELOSZLÁS Valaki gy tlfonhívást vár ami 0.00 és 5.00 között érkzik mindn időpontban ugyanakkora valószínűséggl. Mkkora a valószínűség hogy délig hívják? =hány óra van a=0 b=5 Az gynlts loszlás loszlásfüggvény 0 x a x a F( a x b most a=0 és b=5 b a b x 0 x 0 x 0 F( 0 x x Az hogy délig hívják: 0 P( ) F() 04 5 EXPONENCIÁLIS ELOSZLÁS matking.hu Egy bankba általában ügyfél érkzik óránként. Mkkora valószínűséggl tlik l 0 prc úgy hogy nm jön snki? =ltlt idő prc prc Ha 0 prcig nm jön snki akkor a két ügyfél között ltlt idő 0 prcnél több thát a P ( 0) valószínűségt szrtnénk kiszámolni. Vártóan ügyfél érkzik óránként zért az ügyflk közt ltlt idő 60/=5 prc vagyis a vártó érték E( ) 5 prc és így / 5 0 Az xponnciális loszlás loszlásfüggvény 0 F( x x 0 0 x most / F( 0x x 0 0 x Az hogy 0 prcig nm jön snki: 00 P( 0) F(0)

4 NORMÁLIS ELOSZLÁS Egy bankban az ügyflk napi száma normális loszlású 560 fő vártó értékkl és 40 fő szórással. Mkkora a valószínűség hogy gy adott napon az ügyflk száma 60-nál kvsbb? Mkkora a valószínűség hogy az ügyflk száma 480-nál kvsbb? A normális loszlás sűrűségfüggvény xm f ( amit sajnálatos módon nm tudunk intgrálni mivl pdig az loszlásfüggvény a sűrűségfüggvény intgrálja zért loszlásfüggvény nincs. Ezt a kis kllmtlnségt úgy tudjuk kiiktatni hogy bvztünk gy spciális normális loszlást amink a vártó érték nulla a szórása pdig gy. Ezt standard normális loszlásnak nvzzük sűrűségfüggvény ( x loszlásfüggvény pdig gy táblázat formájában létző függvény amink jl Φ( x ). matking.hu A normális loszlásból úgy tudunk standard normális loszlást csinálni hogy a -ből kivonjuk a vártó értékét és losztjuk a szórással. A normális loszlás loszlásfüggvény thát: x m F ( Most gy olyan normális loszlásunk van ahol a vártó érték 560 a szórás pdig 40. E( ) m 560 D ( ) 40 Annak valószínűség hogy gy adott napon az ügyflk száma 60-nál kvsbb: 60 m 60 P ( 60) F(60) (5) B 5 3 Annak valószínűség hogy az ügyflk száma 480-nál kvsbb: 4 7 B m 80 P ( 480) F(480) ( ) () x Φ( x ) ( ( 4

5 A POISSON ELOSZLÁS ÉS AZ EXPONENCIÁLIS ELOSZLÁS KAPCSOLATA Egy bnzinkúthoz óránként átlag autó érkzik.. Mkkora a valószínűség hogy 0 prc alatt három autó érkzik?. Mkkora a valószínűség hogy két autó érkzés közt lgalább 0 prc tlik l? Az lső kérdés az autók számáról míg a második az érkzésük közt ltlt időről szól. Az autók száma diszkrét loszlás és mivl érkzht bármnnyi zért Poisson az ltlt idő folytonos loszlás és történtsn xponnciális.. autók száma 0 prc alatt darab POISSON A vártó érték óránként autó thát prc alatt /60=0 és 0 prc alatt E ( ) darab P( 3) 3! 3 3 3! 08. autók közt ltlt idő prc EXPONENCIÁLIS matking.hu 35 A vártó érték óránként autó thát az átlagosan ltlt idő 60/=5 prc E ( ) 5 prc P( 0) F(0) Mindkét loszlás ugyanazt a történtt írja l csak az gyik a bkövtkzésk számát vizsgálja a másik pdig a köztük ltlt időt. Így hát nnk a bizonyos -nak mindkét hlyn történő rjtélys flbukkanása sm pusztán a véltln műv. A két valójában ugyanaz. Ehhz azt kll mgértnünk hogy Poisson-loszlás vártó érték függ a vizsgált időtartamtól hosszabb idő alatt többn jönnk rövidbb idő alatt kvsbbn mondjuk 0 prc alatt d 5 prc alatt már 3. Az xponnciális loszlás vártó érték viszont a vártóan ltlt idő ami 5 prc és z nm függ a vizsgált időtartamtól. Fél óra alatt ugyanúgy átlagosan 5 prcnként érkznk az autók mint 0 prc alatt. Itt thát a mindig ugyanannyi. B 4 4 B / Ha pdig a Poisson loszlásnál éppn akkora időtartamot nézünk ami az xponnciális loszlásnál az idő múlásának 5 a mértékgység akkor a két mindig mggyzik. Nézzük mg mi a hlyzt zzl a konkrét példánk stébn. 7 3 Ha az xponnciális loszlásnál az ltlt időt prcbn mérjük akkor a vártó érték 5 prc és így. Most számoljuk ki a -t a Poisson-loszlásnál gy prcs időtartamra. Óránként -n jönnk thát gy prc alatt /60=0 vagyis 0 a két thát mggyzik. Ha az xponnciális loszlásnál az ltlt időt mondjuk órában mérjük akkor az 5 prcs vártó érték lássuk csak 5 prc = 5/60 óra thát úgy durván 0083 óra. Ekkor / Most számoljuk ki a -t a Poisson-loszlásnál gy órás időtartamra. Mivl a fladat úgy szólt hogy óránként -n jönnk a jlk szrint. A két thát ilynkor is mggyzik. 5

6 0A. Egy úton htnt átlag 3 balst történik. Mi a valószínűség hogy adott hétn? 0B. Egy úton htnt átlag 3 balsts nap van. Mi a valószínűség hogy adott hétn? 0. Egy bankba óránként átlag 4 ügyfél érkzik. a) Mi a valószínűség hogy 7 prc alatt éppn -n érkznk? b) Mi a valószínűség hogy 7 prc alatt lgfljbb -n érkznk? c) Mi a valószínűség hogy 5 prc alatt lgalább -n érkznk? d) Az stk hány százalékában nm jön 0 prcig snki? 03. Egy napilap az stk 03%-ában jlnik mg hibátlanul a hibák száma Poissonloszlást kövt. Mkkora a sajtóhibák vártó napi száma? P E( ) D( ) E( ) D( )? 04. Egy üvgtáblában a gyártás során vártóan 0 hiba kltkzik. Mkkora a valószínűség hogy gy tábla hibátlan? a) Mi a valószínűség hogy 0 táblából kttő hibás? b) Ha gy mgrndlőnk 00 darab hibátlan táblát kll lszállítani vártóan hány üvgtáblát kll lgyártani? 05. Egy vizsgán a llgatóknak általában 60%-a mgbukik. Egy nap 0-n vizsgáznak mi a valószínűség hogy éppn a 0%-uk mgy át? a) Mi a valószínűség hogy lgfljbb -n mnnk át? b) Mi a valószínűség hogy lgalább -n mnnk át? c) Mi a valószínűség hogy lgalább 4-n mnnk át? 06A. Egy bizonyos évszakban mindn nap 0 valószínűséggl sik ső. Mi a valószínűség hogy gy hétn három nap sik? 06B. Egy újságárus óránként átlag 4 darab újságot ad l. Mi a valószínűség hogy 0 prc alatt lgfljbb darabot? 08. Egy könyvbn 00 oldalon átlag 80 nyomdahiba találtó. Mi a valószínűség hogy 0 gymást kövtő oldalon 7 hiba lsz? 09. Egy bankba az stk 03%-ában nm érkzik ügyfél gy óra alatt. Az ügyflk száma Poisson loszlású. a) Mkkora az ügyflk vártó száma óránként? b) P E( X ) D( X ) X E( X ) D( X )? 6

7 0. Egy újságárus óránként 48 darab újságot szokott ladni amiből átlag 36 napilap. Mi a valószínűség hogy a) 0 prc alatt lgfljbb napilapot ad l? b) 5 prc alatt éppn 7 újságot ad l? c) a 7 ladott újságból 4 napilap?. Annak valószínűség hogy gy hírlapárus ngydóra alatt gytln 6 lapot sm tud ladni a) Mnnyit szokott ladni átlagosan óránként? b) Mkkora valószínűséggl ad l félóra alatt 0 darabot? c) Lgfljbb milyn hosszú idig nm tud ladni gytln lapot sm lgalább 06 valószínűséggl?. Egy bizonyos hónap 30 napjából átlag nap szokott sni. Mi a valószínűség hogy gy hétn három nap sik? 3. Egy könyvbn 00 oldalon átlag 80 nyomdahiba találtó. Mi a valószínűség hogy 0 gymást kövtő oldalon 7 hiba lsz? 4. Egy vizsgán a llgatóknak általában 60%-a mgbukik. Egy nap 0-n vizsgáznak mi a valószínűség hogy a) lgfljbb -n mnnk át? b) lgalább -n mnnk át? 5. Az X valószínűségi változó gynlts loszlású vártó érték 0 szórása 3. Mkkora a ( X 9) P a P( X ) és a ( 0 X 5) P valószínűség? 6. Egy tűzoltóságra átlagosan kétóránként érkzik riasztás. Mi a valószínűség hogy a) 8 óra alatt lgfljbb riasztás érkzik? b) gy kor érkző riasztás után a kövtkző 9 30 és 0 00 között érkzik? 7. Egy ügyfélszolgálatra érkző sgélyhívások száma Poisson-loszlású a köztük ltlt idő xponnciális loszlású valószínűségi változó annak valószínűség hogy 5 prc alatt érkzik hívás a) Hány hívás érkzik átlagosan óránként? b) Mkkora a valószínűség hogy fél óra alatt lgalább három hívás érkzik? c) Mkkora a valószínűség hogy két hívás közt lgalább 0 prc tlik l? 8. Egy üzlt a kövtkző 0 napból 3 nap zárva tart. Kiválasztunk 5 napot mi a valószínűség hogy 3 nap lsz nyitva? 7

8 9. Egy éttrmbn dolgozó 0 pincér közül 7 tud némtül. Egyik st éppn 8 pincér dolgozik és közülük 5-n a traszon. Mi a valószínűség hogy a traszon dolgozók közül -n bszélnk némtül? 0. Valaki két lövést ad l gy céltáblára mindkét alkalommal ugyanakkora d lgalább 06 valószínűséggl talál célba. Annak valószínűség hogy csak gy lövés talál célba 03. Mkkora valószínűséggl talál mindkttő?. Egy smény karaktrisztikus loszlásának szórása 04. Mkkora az smény bkövtkzésénk valószínűség az lgalább /3?. Egy st átlagosan óránként 0 hullócsillagot látni. Ha a hullócsillagok száma Poissonloszlást kövt mkkora a valószínűség hogy ngydóra alatt a) kttőt látni? b) lgfljbb kttőt látni? c) lgalább kttőt látni? c) Lgfljbb milyn hosszú idig nm látni gytln hullócsillagot sm lgalább 07 valószínűséggl? 3. Egy szövt anyagában átlag 0 métrnként van apró hiba. a) Mi a valószínűség hogy gy 6 métrs darab hibátlan? b) Mi a valószínűség hogy 30 métrnyi szövtt 6 métrs darabokra vágnak akkor pontosan két hibás darab lsz? c) Mi a valószínűség hogy 30 métrnyi szövtt 6 métrs darabokra vágnak akkor mind hibátlan lsz? d) Mi a valószínűség hogy 30 métrnyi szövtt 5 métrs darabokra vágnak akkor mind hibátlan lsz? ) 0 métrnyi szövtből mlyik stbn kltkzik több hibátlan darab? 4. A valószínűségi változó gynlts loszlású vártó érték 0 szórása 3. Mkkora ( 9) P illtv ( ) P? 5. Valaki gy tlfonhívást vár ami rggl 8 órától sdéks érkzés gynlts loszlást kövt. Annak valószínűség hogy a hívás 0-ig bfut 0. a) Mi a valószínűség hogy -ig hívják? b) Mi a valószínűség hogy 3.00 és 4.00 között hívják? c) Mi a valószínűség hogy 3.00-ig nm hívják 4.00-ig hívják? 6. Egy mobiltlfon élttartama xponnciális loszlású 4 év vártó élttartammal. a) Mkkora a valószínűség hogy lgalább 8 évig működik? b) Mkkora a valószínűség hogy 8 évnél tovább d 0-nél kvsbb idig működik? c) Mi a valószínűség hogy már 8 év működik a kövtkző évbn lromlik? 7. Egy trmék élttartama xponnciális loszlású valószínűségi változó 4 év szórással. a) Mkkora valószínűséggl hibásodik mg a gyártástól számított évn blül? 8

9 b) Lgfljbb mkkora lht a garanciaidő a trmékknk lgfljbb 0%-át szrtnék garanciálisan javítani vagy csrélni? 8. Egy tűzoltóságra átlagosan kétóránként érkzik riasztás. Mi a valószínűség hogy a) 8 óra alatt lgfljbb riasztás érkzik? b) gy.00-kor érkző riasztás után a kövtkző 3.30 és 4.00 között érkzik? 9. Egy bankba óránként átlag 4 ügyfél érkzik. Mi a valószínűség hogy a) 0 prc alatt lgalább -n érkznk az ügyflk száma Poisson-loszlást kövt? b) két ügyfél érkzés között 5 prc is ltlik az ltlt idő xponnciális loszlású? 30. Egy bankban az stk ngydébn fordul lő hogy gy ügyflt 0 prcn blül nm kövt másik. Egy óra alatt vártóan hány ügyfél érkzik? Mi a valószínűség hogy két ügyfél érkzés közt 5 prc is ltlik? 3. Egy üzltbn két óra alatt átlagosan 30 vvő fordul mg. A vvők érkzés között ltlt idő xponnciális loszlású valószínűségi változó. a) 0.00-kor érkzik gy vvő. Mi a valószínűség hogy a kövtkző vvő 0. és 0.5 között érkzik? b) Ha a 0.00-kor érkző vvő után már prc nm érkztt újabb vvő mi a valószínűség hogy 0.5-ig érkzni fog? 3. Egy bankban az stk ngydébn fordul lő hogy gy ügyflt 5 prcn blül nm kövt másik. Egy óra alatt vártóan hány ügyfél érkzik? a) Mi a valószínűség hogy gy 0.00-kor érkző ügyfél után 0. és 0.7 között érkzik a kövtkző? b) Mi a valószínűség hogy két ügyfél érkzés közt 5 prc is ltlik akkor kvsbb mint 0 prc tlik l? 33. Egy vonatra való várakozási idő xponnciális loszlású valószínűségi változó óránként átlagosan járat érkzik. Ha már 5 prc nm jött mkkora valószínűséggl kll még lgalább további 4 prct várni? Egy múzum pénztáránál a sorban állással töltött időt méri a valószínűségi változó órában mgadva amink sűrűségfüggvény: f 0 5 ( 5 x x 0 0 x a) Mkkora valószínűséggl krül sorra valaki ngyd órán blül? b) Mkkora valószínűséggl krül sorra fél órán blül már ngyd órája vár? 34. Egy készülék élttartama xponnciális loszlású valószínűségi változó száz ilyn készülékből átlagosan 55 hibásodik 400 üzmórán blül. a) Mkkora a készülék vártó élttartama? b) Mkkora valószínűséggl lsz 0 készülékből 6 olyan ami a vártó élttartamnál tovább működik? 35. Egy ügyfélszolgálatra óránként átlag 8 hívás fut b. Mi a valószínűség hogy 9

10 a) 0 prc alatt lgalább hívás érkzik a hívások száma Poisson-loszlású? b) két hívás között 5 prc is ltlik a hívások közt ltlt idő xponnciális loszlású? 36. A valószínűségi változó vártó érték 0 szórása 4. Lht- Poisson illtv binomiális loszlású? Ha ign mkkora a P ( 8) valószínűség? 37. A valószínűségi változó vártó érték 49 szórása 7. Lht- Poisson illtv binomiális loszlású? Ha ign mkkora a P ( 0) valószínűség? 38. Egy kamionsofőr az stk 368%-ában lgalább két órát várakozik a tárállomáson a várakozási idő xponnciális loszlású valószínűségi változó. a) Mkkora az átlagos várakozási idő? b) Mnnyi a valószínűség hogy gy adott stbn gy óránál kvsbbt kll várakoznia? D( ) c) P ( E( ) )? 39. Egy készülék élttartama xponnciális loszlású valószínűségi változó 5 év szórással. a) Mkkora a valószínűség hogy gy ilyn készülék lgalább 8 évig működik? b) Ha gy ilyn készülék már lgalább 8 év működik milyn valószínűséggl működik további lgalább 3 évig? 40. Egy úton 500 métrnként átlag 5 kátyú van. Mkkora a valószínűség hogy a) Egy 00 métrs szakasz hibátlan? b) Egy 00 métrs szakaszon lgalább két kátyú van? c) Két kátyú távolsága lgalább 50 métr d lgfljbb 300 métr? 4. Egy trmék garanciaidj két év. Mkkora a trmék vártó élttartama %-ukon kll garanciális javításokat végrjtani és 3%-ukat a javíttatlanság miatt csrélni? a) Mkkora a valószínűség hogy gy ilyn trmék lgalább 5 évig működik? b) Öt trmékt kiválasztva mkkora a valószínűség hogy lgalább kttő működik lgfljbb 3 évig? 4. Egy készülék élttartama xponnciális loszlású valószínűségi változó zr ilyn készülékből átlag 36 darab hibásodik mg a gyártástól számított fél évn blül. a) Mkkora a készülék vártó élttartama? b) Mkkora a valószínűség hogy gy ilyn készülék lgalább 0 évig működik? c) Ha gy ilyn készülék már lgalább 8 év működik milyn valószínűséggl működik további lgalább 3 évig? 43. Egy készülék élttartama xponnciális loszlású valószínűségi változó annak valószínűség hogy lgalább 6 évig működik. a) Mkkora a valószínűség hogy gy ilyn készülék lgfljbb 4 évig működik? b) Ha gy ilyn készülék már lgalább 4 év működik milyn valószínűséggl működik további lgalább 4 évig? 0

11 44. Egy üzlt napi forgalma közlítőlg normális loszlású valószínűségi változó. A vásárlók átlagos száma 560 fő a szórás 6 fő. Mkkora valószínűséggl lsz gy adott napon a vvők száma lgfljbb 600 fő? x Φ( x ) Egy tárátklőhlyn a várakozási idő jó közlítéssl normális loszlású valószínűségi változó 4 prc vártó értékkl. Annak valószínűség hogy az átklésig lgfljbb fél órát kll várni a) Mkkora valószínűséggl tart lgfljbb 0 prcig a várakozás? b) Mkkora a valószínűség hogy ngydóránál több d 36 prcnél kvsbbt kll várni? x ( Φ( x ) x ( Φ( x ) Egy iskolában a tanulók magasságának loszlása közlítőlg normális cm szórással. Annak valószínűség hogy gy tanuló 44 cm-nél alacsonyabb 059. Mkkora a valószínűség hogy gy tanuló lgalább 74 cm? x Φ( x ) x Φ( x ) Egy tszt mgírására 90 prc áll rndlkzésr a mgírási idő normális loszlású valószínűségi változó 65 prc vártó értékkl és 0 prc szórással. Mkkora valószínűséggl végz valaki kvsbb mint háromngyd óra alatt? x ( Φ( x ) x ( Φ( x )

12 48. Egy palackozó üzmbn 5 litrs gyümölcslvkt töltnk közlítőlg normális loszlással. Annak valószínűség hogy az üvgb töltött gyümölcslé a vártótól lgalább 5 millilitrrl ltér Mkkora a szórás? x Φ( x ) Egy métráru kiskrskdés által naponta ladott szövt hossza normális loszlású valószínűségi változó 45 m vártó értékkl és 9 m szórással. Mi a valószínűség hogy valamly nyitvatartási napon az ladott szövt hossza a 40 métrtől 0 métrnél nagyobb mértékbn tér l? x Φ( x ) x Φ( x ) Egy csomagoló üzmbn 900 g-os üvgkb töltnk mézkt. a) Lgfljbb mkkora szórást ngdhtünk mg az üvgkb töltött méz mnnyiség normális loszlású valószínűségi változó és annak valószínűség hogy gy üvgbn a méz mnnyiség nm 890 g és 90 g közé sik lgfljbb 0096 valószínűségű lht? b) Adjunk bcslést a Csbisv-gynlőtlnség sgítségévl hogy lgfljbb mkkora lht a szórás az üvgkb töltött méz mnnyiség ismrtln loszlású és annak valószínűség hogy nm 890 g és 90 g közé sik lgfljbb 0096! x ( Φ( x ) x ( Φ( x ) Egy üvgb töltött folyadék mnnyiség normális loszlású valószínűségi változó litr vártó értékkl. Mkkora a szórás annak valószínűség hogy a folyadék mnnyiség 990ml-nél kvsbb ()? Mi a valószínűség hogy gy üvgt tartalmazó csomagban lgalább üvg tartalma lgfljbb 990 millilitr? 5. Egy csomagolóüzmbn 500g-os konzrvkt töltnk g szórással. Mkkora a valószínűség hogy gy 0 darabos csomagban lgalább 8 konzrv 494 és 506 gramm közé sik?

13 53. Tapasztalatok szrint valamly szolgáltató vállalathoz naponta bérkző mgrndlésk száma jó közlítéssl normális loszlású valószínűségi változó 0 szórással. Mkkora a napi mgrndlésk számának vártó érték p ( 60) 0 x ( Φ( x ) x ( Φ( x ) Valamly üzltbn a vásárlók száma jó közlítéssl normális loszlású valószínűségi változó. Négy nyitvatartási napból átlagosan gyszr szokott lőfordulni hogy a vásárlók száma kvsbb mint 40. Mkkora a vásárlók átlagos száma a szórás? x ( Φ( x ) x ( Φ( x ) Egy palackozó üzmbn 5 litrs ásványvizkt töltnk közlítőlg normális loszlással. Annak valószínűség hogy az üvgb töltött ásványvíz a vártótól lgfljbb 4 millilitrrl tér l (3). Mkkora a szórás? 3