KORLÁTOS. mateking.hu BINOMIÁLIS ELOSZLÁS. Egy úton hetente átlag 3 balesetes nap van. Mi a valószínűsége, hogy egy adott héten 2 balesetes nap van?

Átírás

1 NEVEZETES DISZKRÉT ÉS FOLYTONOS OK HIPERGEO. BINOM. POISSON VAN ITT EGY FELADAT ISMERTHOGY MENNYI AZ ÖSSZES ELEM ÉS AZ ÖSSZES SELEJT VAGYIS N K ILLETVE n k. CSAK VALAMI %-OS IZÉ ISMERT A VÁRHATÓ AZ ÁTLAG AZ ARÁNY A VALÓSZÍNŰSÉG STB. VISSZATEVÉS NÉLKÜLI VISSZATEVÉSES KORLÁTOS NEM KORLÁTOS HIPERGEOMETRIAI mtking.hu K N K ( ) k n k P k N n K E( ) n N D( ) K ( N K )( N n) n N ( N ) BINOMIÁLIS n k k nk k) p ( p) E( ) np D( ) np( p) POISSON k k) k! E ( ) D ( ) Egy úton 0 np ltt npon történt blst. Ebből 0 npból kiválsztunk gy htt mi vlószínűség hogy zn hétn blsts np vn? =blsts np Az összs lm N=0 np bből sljts blsts np K=. A mint n=7 és itt k= 7 B N 0 K n 7 k blsts npot szrtnénk. 7 8 B P ( ) 0 7 Egy úton htnt átlg blsts np vn. Mi vlószínűség hogy gy dott hétn blsts np vn? =blsts np Egy különösn blszrncsés hétn sm lht 7-nél több blsts np thát itt KORLÁTOS MAX 7. n 7 mrt 7 npot válsztunk p / 7 0 blsts np P 7 ( ) 0 07 Egy úton htnt átlg blst történik. Mi vlószínűség hogy gy dott hétn blst vn? =blst Blst viszont lht kármnnyi átlgosn szokott lnni d miért is n lhtn mondjuk 000 blst. Vgyis itt NEM KORLÁTOS E ( ) vártó )! NEVEZETES DISZKRÉT ÉS FOLYTONOS OK tl:06707

2 EGYENLETES EXP NORM Folytonos vlószínűségi változók többnyir időt távolságot mg olynokt mérnk hogy hány kiló hány litr stb. Trmésztükből dódón itt nincs értlm olyt kérdzni hogy? mindn ilyn vlószínűség null. Csk intrvllumokt vn értlm kérdzni hogy? P? vgy P b? P mrt P vgy A vlószínűségkt z loszlásfüggvény vgy sűrűségfüggvény sgítségévl tudjuk kiszámolni és többnyir mi döntjük l hogy mlyikt sználjuk. Azok kik lküzdhttln vágyt érznk z intgrálás iránt sználják bátrn sűrűségfüggvényt mindnki másnk z loszlásfüggvény jánlott zzl ugynis könnybb.. lépés hogy vlószínűségt átlkítjuk loszlásfüggvényr. lépés pdig z hogy mgkrssük konkrét loszlásfüggvényt.. mtking.hu NEVE Egynlts loszlás PARAMÉTEREI:(b) P ( ) ) f ( dx P ( ) ) f ( dx P ( b) b) ) f ( dx b FÜGGVÉNY SŰRŰSÉGFÜGGVÉNY VÁRHHATÓ ÉRTÉK SZÓRÁS 0 x x x b x b f ( b b b b E( ) D( ) b x 0 különbn b. Exponnciális loszlás PARAMÉTEREI: (λ) A dolgok időbli vgy távolságbli bkövtkzésénk loszlás. 7 Normális B loszlás PARAMÉTEREI: (mσ) B A dolgok mnnyiségbli loszlás. Stndrd normális loszlás 7 0 F ( x x m ( =Lásd stndrd normális loszlás táblázt! x 0 0 x 0 f ( f x x ( x 0 0 x m E( ) D( ) E( ) m D( ) x ( E( ) 0 D( ) NEVEZETES DISZKRÉT ÉS FOLYTONOS OK tl:06707

3 EGYENLETES Vlki gy tlfonhívást vár mi 0.00 és.00 között érkzik mindn időpontbn ugynkkor vlószínűséggl. Mkkor vlószínűség hogy délig hívják? =hány ór vn =0 b= Az gynlts loszlás loszlásfüggvény 0 x x x b most =0 és b= b b x 0 x 0 x 0 0 x x Az hogy délig hívják: 0 ) ) 0 EXPONENCIÁLIS mtking.hu Egy bnkb áltlábn ügyfél érkzik óránként. Mkkor vlószínűséggl tlik l 0 prc úgy hogy nm jön snki? =ltlt idő prc prc H 0 prcig nm jön snki kkor két ügyfél között ltlt idő 0 prcnél több thát P ( 0) vlószínűségt szrtnénk kiszámolni. Vártón ügyfél érkzik óránként zért z ügyflk közt ltlt idő 60/= prc vgyis vártó érték E( ) prc és így / 0 Az xponnciális loszlás loszlásfüggvény 0 x x 0 0 x most / 0 0 0x x 0 0 x Az hogy 0 prcig nm jön snki: 00 0) 0) NEVEZETES DISZKRÉT ÉS FOLYTONOS OK tl:06707

4 NORMÁLIS Egy bnkbn z ügyflk npi szám normális loszlású 60 fő vártó értékkl és 0 fő szórássl. Mkkor vlószínűség hogy gy dott npon z ügyflk szám 60-nál kvsbb? Mkkor vlószínűség hogy z ügyflk szám 80-nál kvsbb? A normális loszlás sűrűségfüggvény xm f ( mit sjnáltos módon nm tudunk intgrálni mivl pdig z loszlásfüggvény sűrűségfüggvény intgrálj zért loszlásfüggvény nincs. Ezt kis kllmtlnségt úgy tudjuk kiikttni hogy bvztünk gy spciális normális loszlást mink vártó érték null szórás pdig gy. Ezt stndrd normális loszlásnk nvzzük sűrűségfüggvény ( x loszlásfüggvény pdig gy táblázt formájábn létző függvény mink jl Φ( x ). mtking.hu A normális loszlásból úgy tudunk stndrd normális loszlást csinálni hogy -ből kivonjuk vártó értékét és losztjuk szórássl. A normális loszlás loszlásfüggvény thát: x m F ( Most gy olyn normális loszlásunk vn hol vártó érték 60 szórás pdig 0. E( ) m 60 D ( ) 0 Annk vlószínűség hogy gy dott npon z ügyflk szám 60-nál kvsbb: 60 m 60 P ( 60) 60) () B Annk vlószínűség hogy z ügyflk szám 80-nál kvsbb: 7 B 80 m 80 P ( 80) 80) ( ) () x Φ( x ) ( ( NEVEZETES DISZKRÉT ÉS FOLYTONOS OK tl:06707

5 A POISSON ÉS AZ EXPONENCIÁLIS KAPCSOLATA Egy bnzinkúthoz óránként átlg utó érkzik.. Mkkor vlószínűség hogy 0 prc ltt három utó érkzik?. Mkkor vlószínűség hogy két utó érkzés közt lglább 0 prc tlik l? Az lső kérdés z utók számáról míg második z érkzésük közt ltlt időről szól. Az utók szám diszkrét loszlás és mivl érkzht bármnnyi zért Poisson z ltlt idő folytonos loszlás és történtsn xponnciális.. utók szám 0 prc ltt drb POISSON A vártó érték óránként utó thát prc ltt /60=0 és 0 prc ltt E ( ) drb )!! 08. utók közt ltlt idő prc EXPONENCIÁLIS mtking.hu A vártó érték óránként utó thát z átlgosn ltlt idő 60/= prc E ( ) prc 0) 0) Mindkét loszlás ugynzt történtt írj l csk z gyik bkövtkzésk számát vizsgálj másik pdig köztük ltlt időt. Így hát nnk bizonyos -nk mindkét hlyn történő rjtélys flbukknás sm pusztán véltln műv. A két vlójábn ugynz. Ehhz zt kll mgértnünk hogy Poisson-loszlás vártó érték függ vizsgált időtrtmtól hosszbb idő ltt többn jönnk rövidbb idő ltt kvsbbn mondjuk 0 prc ltt d prc ltt már. Az xponnciális loszlás vártó érték viszont vártón ltlt idő mi prc és z nm függ vizsgált időtrtmtól. Fél ór ltt ugynúgy átlgosn prcnként érkznk z utók mint 0 prc ltt. Itt thát mindig ugynnnyi. B B / 0 7 H pdig Poisson loszlásnál éppn kkor időtrtmot nézünk mi z xponnciális loszlásnál z idő múlásánk mértékgység kkor két mindig mggyzik. Nézzük mg mi hlyzt zzl konkrét példánk stébn. 7 H z xponnciális loszlásnál z ltlt időt prcbn mérjük kkor vártó érték prc és így. Most számoljuk ki -t Poisson-loszlásnál gy prcs időtrtmr. Óránként -n jönnk thát gy prc ltt /60=0 vgyis 0 két thát mggyzik. H z xponnciális loszlásnál z ltlt időt mondjuk órábn mérjük kkor z prcs vártó érték lássuk csk prc = /60 ór thát úgy durván 008 ór. Ekkor / 008. Most számoljuk ki -t Poisson-loszlásnál gy órás időtrtmr. Mivl fldt úgy szólt hogy óránként -n jönnk jlk szrint. A két thát ilynkor is mggyzik. NEVEZETES DISZKRÉT ÉS FOLYTONOS OK tl:06707

6 07. Egy bnkb z stk 0%-ábn nm érkzik ügyfél gy ór ltt. Az ügyflk szám Poisson loszlású. ) Mkkor z ügyflk vártó szám óránként? b) P E( X ) D( X ) X E( X ) D( X )? 08. Egy újságárus óránként 8 drb újságot szokott ldni miből átlg 6 npilp. Mi vlószínűség hogy ) 0 prc ltt lgfljbb npilpot d l? b) prc ltt éppn 7 újságot d l? c) 7 ldott újságból npilp? 09. Annk vlószínűség hogy gy hírlpárus ngydór ltt gytln 6 lpot sm tud ldni ) Mnnyit szokott ldni átlgosn óránként? b) Mkkor vlószínűséggl d l félór ltt 0 drbot? c) Lgfljbb milyn hosszú idig nm tud ldni gytln lpot sm lglább 06 vlószínűséggl? 0. Egy bizonyos hónp 0 npjából átlg np szokott sni. Mi vlószínűség hogy gy hétn három np sik?. Egy könyvbn 00 oldlon átlg 80 nyomdhib tláltó. Mi vlószínűség hogy 0 gymást kövtő oldlon 7 hib lsz?. Egy vizsgán llgtóknk áltlábn 60%- mgbukik. Egy np 0-n vizsgáznk mi vlószínűség hogy ) lgfljbb -n mnnk át? b) lglább -n mnnk át?. Az X vlószínűségi változó gynlts loszlású vártó érték 0 szórás. Mkkor ( X 9) P X ) és ( 0 X ) P vlószínűség?. Egy tűzoltóságr átlgosn kétóránként érkzik risztás. Mi vlószínűség hogy ) 8 ór ltt lgfljbb risztás érkzik? b) gy kor érkző risztás után kövtkző 9 0 és 0 00 között érkzik?. Egy ügyfélszolgáltr érkző sgélyhívások szám Poisson-loszlású köztük ltlt idő xponnciális loszlású vlószínűségi változó nnk vlószínűség hogy prc ltt érkzik hívás ) Hány hívás érkzik átlgosn óránként? b) Mkkor vlószínűség hogy fél ór ltt lglább három hívás érkzik? c) Mkkor vlószínűség hogy két hívás közt lglább 0 prc tlik l? NEVEZETES DISZKRÉT ÉS FOLYTONOS OK tl: