Statisztika - bevezetés Méréselmélet PE MIK MI_BSc VI_BSc 1

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "Statisztika - bevezetés Méréselmélet PE MIK MI_BSc VI_BSc 1"

Átírás

1 Statisztika - bevezetés Méréselmélet PE MIK MI_BSc VI_BSc

2 Bevezetés Véletlen jelenség fogalma jelenséget okok bizonyos rendszere hozza létre ha mindegyik figyelembe vehető egyértelmű leírás általában ez lehetetlen vagy nehezen megoldható célszerűtlen Statisztika_bevezetés/

3 Bevezetés Sokaság a valamennyi elemet tartalmazó halmaz tulajdonságait akarjuk meghatározni típusai véges sokaság megszámlálhatóan végtelen sokaság végtelen sokaság Statisztika_bevezetés/3

4 Bevezetés Minta a teljes sokaság még véges esetben is nehezen kezelhető helyette mintát veszünk véges sokaság: selejtek száma megszámlálhatóan végtelen sokaság: egy műszakban a leállások száma végtelen sokaság: adott számú mérés minta tulajdonságai alapján következtetünk a teljes sokaságra Statisztika_bevezetés/4

5 Bevezetés Valószínűségi változó olyan mennyiségek leírására, amelyek értéke nem állandó, de meghatározható, hogy mekkora valószínűséggel esnek adott határok közé diszkrét valószínűségi változó értékét véges vagy megszámlálhatóan végtelen elemű készletből veszi fel folytonos valószínűségi változó értékét valós számok folytonos sokaságából veszi fel Statisztika_bevezetés/5

6 Bevezetés Diszkrét valószínűségi változók jellemzése egyszerűbb eset két lehetséges kimenetel bonyolultabb eset több lehetséges kimenetel események számának megjelenítése osztályokba sorolással egyértelmű és összehasonlítható besorolás egy adott osztályba tartozó elemek száma arányos az adott intervallumba esés valószínűségével relatív gyakorisági index Statisztika_bevezetés/6

7 Bevezetés relatív gyakorisági index megadása: relatív gyakoriság i = elemszám az i - dik osztályban a minta teljes elemszáma azaz annak valószínűsége, hogy az eredmény vagy tetszőleges kiválasztott mintaelem melyik osztályba esik: ( x ) = P( x < x x ) p < i min i max ahol p(x) lesz a (diszkrét) sűrűségfüggvény. i i Statisztika_bevezetés/7

8 Bevezetés A p(x) sűrűségfüggvény tulajdonságai: p(x i ) 0 x i -re Σ p(x i ) =. Kumulált/összegzett valószínűségek értelmezése: F ( k) = P( x k) = p( xi ) x k ez lesz a (diszkrét) eloszlásfüggvény. i Statisztika_bevezetés/8

9 Folytonos valószínűségi változók Folytonos valószínűségi változók diszkrét v.v. esetében több mérést végzünk / több mintát veszünk, akkor az osztályba sorolás finomítható az osztályszélesség csökkentésével határátmenetben x 0 azaz a diszkrét valószínűségi változó a valós számok közül tetszőleges értéket vehet fel, azaz folytonos valószínűségi változóként értelmezhető Statisztika_bevezetés/9

10 Folytonos valószínűségi változók folytonos valószínűségi változó értelmezése: ahol f(x) a (folytonos) sűrűségfüggvény. tulajdonságai: P(x=x 0 ) = 0 ahol x 0 tetszőleges érték, továbbá az egyezés nem lehetetlen esemény f(x) 0 - < x < f ( x) dx = P ( a < x b) f ( x) b = a dx Statisztika_bevezetés/0

11 Folytonos valószínűségi változók Folytonos eloszlásfüggvény a diszkrétről a folytonos esetre történő áttérés elve hasonló a sűrűségfüggvényhez x 0 határátmenetnél a folytonos eloszlás függvény értelmezése: F x k ( x ) ( ) k = P x xk = f ( x) dx Statisztika_bevezetés/

12 Paraméterek és statisztikák Sokaság leírása a sűrűség- és eloszlásfüggvényekkel Sokaság ismerete: a sűrűség- és az eloszlásfüggvény alakjának és paramétereinek ismerete Sűrűség- és eloszlásfüggvények jellemzése paraméterekkel (konstansok, momentumok) Sokaság jellemzése mintavételezéssel Minta jellemzése statisztikával / jellemzőkkel Paraméterek jellemzése statisztikával Statisztika_bevezetés/

13 Paraméterek és statisztikák Várható érték (paraméter) folytonos v.v. diszkrét v.v. E E = ( x) xf ( x) dx = µ ( x) x p( ) = i i x i statisztikája (mintabeli megfelelője) x = N N i= x i Statisztika_bevezetés/3

14 Paraméterek és statisztikák várható érték tulajdonságai E ϕ ( ( x) ) ϕ( x) f ( x) E(cx) = ce(x) E(c) = c = dx E(x +x + +x n ) = E(x )+ E(x )+ + E(x n ) Statisztika_bevezetés/4

15 Paraméterek és statisztikák számtani átlag tulajdonságai várható érték E( x) = E( x ) + + E( x ) K n = ne x n n variancia [ ] [ ( )] = µ Var( x) = [ Var( x ) Var( x )] [ nvar( x) ] + K+ n = = n n Var( x) n Statisztika_bevezetés/5

16 Paraméterek és statisztikák Medián - µ e azaz az érték, amelynél nagyobbat és kisebbet egyforma valószínűséggel vesz fel a valószínűségi változó, azaz F(µ e ) = 0,5 tapasztalati medián a nagyság szerint sorba rendezett elemek közül a középső (páratlan számú elemnél) vagy a középső kettő átlaga (páros számú elemnél) Statisztika_bevezetés/6

17 Paraméterek és statisztikák Módusz a valószínűségi változó legnagyobb valószínűségű értéke a sűrűségfüggvény maximum helye (több módusz is lehet) tapasztalati módusz: a legnagyobb gyakoriságú osztály (a legtöbb elemet tartalmazó osztály) osztályindexe Statisztika_bevezetés/7

18 Paraméterek és statisztikák Variancia (paraméter) az adatok térbeli elhelyezkedésének jellemzésére megadása: folytonos v.v. Var diszkrét v.v. Var ( ) [ ( )] x x E x f ( x) dx = E ( x µ ) = = x elméleti szórásnégyzet [ ] = σ = D ( x) [ ] ( ) [ ( )] x x E x p( x ) = E ( µ ) i i i Statisztika_bevezetés/8

19 Paraméterek és statisztikák korrigált tapasztalati szórásnégyzet (statisztika) s = n n ( x i x) i= variancia tulajdonságai Var(cx) = c Var(x) Var(x +x + +x n ) = Var(x )+ Var(x )+ + Var(x n ) független x, x,, x n valószínűségi változók esetén Statisztika_bevezetés/9

20 Diszkrét eloszlások Binomiális eloszlás akkor alkalmazzuk, ha a bekövetkező esemény kétféle lehet (pl. bináris döntések) sűrűség függvény n x x n x ( x) = p ( p) n a teljes elemszám p x a kérdéses esemény p a bekövetkezés valószínűsége Statisztika_bevezetés/0

21 Diszkrét eloszlások várható értéke varianciája E(x) = np Var(x) = np(-p) a mintavétel visszatevéssel történik gyakorlati alkalmazások bizonyos eseteinél nincs visszatevés, ilyenkor közelítésként megfelelő, ha n << N, azaz a vizsgált mintaszám sokkal kisebb, mint a teljes sokaság elemszáma Statisztika_bevezetés/

22 Diszkrét eloszlások Poisson-eloszlás ritka események modellezésére alkalmazási feltételei bármely egységben előforduló esemény független legyen a többi egységbelitől az esemény bekövetkezésének valószínűsége bármely egységben azonos és arányos az egység méretével annak valószínűsége, hogy két vagy több előfordulás következik be, az egység méretének csökkentével nullához tart Statisztika_bevezetés/

23 Diszkrét eloszlások ha a binomiális eloszlásnál a p bekövetkezési valószínűség igen kicsi, az n elemszám igen nagy, de np=λ konstans értékkel, akkor Poissoneloszlást kapunk sűrűségfüggvénye: p ( x) = e λ x λ x! várható értéke, varianciája: E(x) = Var(x) = λ Statisztika_bevezetés/3

24 Mintavétel szabályai a jó minta sajátosságai véletlenszerű reprezentatív megfelelően nagy külső változók által ellenőrzött Statisztika_bevezetés/4

25 Mintavétel szabályai véletlenszerű: a sokaság bármely eleme minta lehet vaktában történő mintavétel tévhit: jelenségek előfordulási sorrendje véletlenszerű reprezentatív nehezen teljesíthető véletlenszerűség fontosabb Statisztika_bevezetés/5

26 Mintavétel szabályai elegendően nagy cél: általánosítás de nem ész nélkül! befolyásoló tényezők eltérés nagysága a vizsgált változó dinamikája alkalmazott statisztikai módszer mérésnél lehetséges hibák költség Statisztika_bevezetés/6

27 Mintavétel szabályai független változó által ellenőrzött hasonló egyedek csoportja fehér egerek előzetes vizsgálatok kontrol csoport csoportok homogenitása matematikai kompenzáció más tényezők figyelembe vételére kovariancia analízis egyforma méretű minták Statisztika_bevezetés/7

28 Folytonos eloszlások normális eloszlás Normális eloszlás ha sok, egymástól független, egyenként kis hatású tényező összeadódik (pl. véletlen mérési hiba) sűrűségfüggvény eloszlásfüggvény F f ( x) ( x ) i = = xi ( x µ ) σ e π σ ( x µ ) σ e π σ dx Statisztika_bevezetés/8

29 Normális eloszlás várható érték variancia szokásos jelölés E(x) = µ Var(x) = σ N(µ, σ ) Statisztika_bevezetés/9

30 Normális eloszlás Normalizált (standardizált) normális eloszlás u-eloszlás legyen u a következő valószínűségi változó u paraméterei E Var ( u) = u = x µ σ ( ) x µ E x µ E = = 0 σ σ x µ σ ( u) = Var = Var( x) = σ Statisztika_bevezetés/30

31 Normális eloszlás ennek alapján u sűrűségfüggvénye f ( u) = e π u azaz nem szerepelnek a paraméterek a sűrűségfüggvényben, így az értékek megadhatók táblázatosan u-eloszlás táblázata Statisztika_bevezetés/3

32 Normális eloszlás a normalizált normális eloszlás segítségével annak valószínűsége, hogy a N(µ, σ ) eloszlású x valószínűségi változó nem halad meg egy adott a értéket: P ( x a) = F( a) = a e π σ ( x µ ) σ dx = u a e π u dx = F ( u ) a ahol u a = a µ σ Statisztika_bevezetés/3

33 Centrális határeloszlás tétele Centrális határeloszlás tétele bármilyen eloszlású sokaságból vett minták számtani középértéke közelítőleg normális eloszlást követ az eredeti eloszlás várható értéke körül, varianciája pedig σ /n. Tehát az x N(µ, σ /n) eloszlású v.v., így az N(0, ) eloszlású. u = x σ / µ Ha az eredeti eloszlás szimmetrikus, akkor már 4 elemű mintára is jó a közelítés n Statisztika_bevezetés/33

34 χ - eloszlás bevezetése legyen egy N(µ, σ ) eloszlás vegyünk ebből n db mintát: x,, x n ezek mindegyikét normalizáljuk ezek négyzetösszegét véve χ -eloszlású v.v. kapunk: χ = u + u az eloszlás szabadsági foka: ν a függetlenség miatt ν = n n + K+ u n = u i i= u i x = i µ σ Statisztika_bevezetés/34

35 χ - eloszlás sűrűségfüggvénye Statisztika_bevezetés/35

36 χ - eloszlás várható értéke E ( ) ( χ = E u = E u ) = E ( u ) i= varianciája n i Var( χ ) = ν n i= i n i= [ ] i = Var( ui ) n 0 = ν i= Statisztika_bevezetés/36

37 Tapasztalati szórásnégyzet eloszlása normális eloszlású sokaságból vett mintákra megadása s = n n ( x i x) i= belátható (Fisher-Cohran tétel), hogy a ( x i x) χ σ i= eloszlású, ν = n- szabadsági fokkal n e kifejezés várható értéke E n i= ( ) ( ) x x = σ E χ = σ ( n ) i Statisztika_bevezetés/37

38 Tapasztalati szórásnégyzet eloszlása ennek alapján a tapasztalati szórás várható értéke így s eloszlású s ν vagy χ eloszlású, ν = n- szabadsági fokkal példa E n = n i= ( ) ( ) ( ) s E x x = E χ = σ σ χ σ ν i σ n χ -eloszlás táblázat Statisztika_bevezetés/38

39 χ - eloszlás χ -eloszlás kritikus értékei Statisztika_bevezetés/39

40 χ - eloszlás χ -eloszlás α valószínűséghez tartozó felső kritikus értéke Statisztika_bevezetés/40

41 Student- vagy t-eloszlás értelmezése az u eloszlás nem használható, ha a minta elemszáma kicsi, nincs elegendő minta σ becsléséhez ilyenkor alkalmazzuk a t - eloszlást legyen ξ normális eloszlású v.v., ekkor ξ-ből a következő kifejezéssel kapunk Student-féle t- eloszlású v.v.-t: t = u χ n ξ E = χ σ ν ( ξ ) ξ E( ξ ) ξ = s ξ Statisztika_bevezetés/4

42 Student- vagy t-eloszlás sűrűségfüggvénye Statisztika_bevezetés/4

43 Student- vagy t-eloszlás egyetlen paramétere van, mely a nevezőben szereplő szórásnégyzetnek a szabadsági foka várható értéke E(t) = 0 ha ν, akkor a t-eloszlás közeledik normális eloszláshoz (ν > 30 esetén már helyettesíthető) a szabadsági fok alapján táblázatból kikereshetők adott α valószínűséghez és ν szabadsági fokhoz tartozó t α/ kritikus értékek Statisztika_bevezetés/43

44 Student- vagy t-eloszlás legyen t v.v. az n elemű minta középértéke alapján: t = x s x µ x µ = s / n ekkor megadható, hogy t v.v. α valószínűséggel veszi fel a (-t α/, t α/ ) intervallumon kívül eső értékeket t-eloszlás táblázata Statisztika_bevezetés/44

45 Student- vagy t-eloszlás t-eloszlás kritikus értékei Statisztika_bevezetés/45

46 Student- vagy t-eloszlás szabadsági fok konfidencia szint Statisztika_bevezetés/46

47 F-eloszlás értelmezése legyen χ és χ két egymástól független χ eloszlású v.v. ν és ν szabadsági fokkal a következő kifejezés F-eloszlású F = χ χ / ν / ν ahol a számláló szabadsági foka ν a nevezőé pedig ν Statisztika_bevezetés/47

48 F-eloszlás a tapasztalati szórásnégyzetnél levezetettek alapján: s σ ν = χ s σ = χ ν ebből F = ha σ σ = s s / σ / σ akkor F = s s Statisztika_bevezetés/48

49 F-eloszlás sűrűségfüggvénye Statisztika_bevezetés/49

50 F-eloszlás táblázatbeli megadás a ν és ν szabadsági fokok alapján történik legyen F α (ν,ν ) a ν és ν szabadsági fokokkal jellemzett F-eloszlású v.v.-nak az a kritikus értéke, amelyet csak α valószínűséggel halad meg. Ekkor F α ( ν, ν ) = F α ( ν, ν ) azaz a kritikus intervallum határai közül a felsőt a táblázatból, az alsót számolással kapjuk meg. Statisztika_bevezetés/50

51 F-eloszlás F-eloszlás kritikus értéke F-táblázat Statisztika_bevezetés/5

52 F-eloszlás számláló szabadsági foka nevező szabadsági foka Statisztika_bevezetés/5

A valószínűségszámítás elemei

A valószínűségszámítás elemei A valószínűségszámítás elemei Kísérletsorozatban az esemény relatív gyakorisága: k/n, ahol k az esemény bekövetkezésének abszolút gyakorisága, n a kísérletek száma. Pl. Jelenség: kockadobás Megfigyelés:

Részletesebben

[Biomatematika 2] Orvosi biometria

[Biomatematika 2] Orvosi biometria [Biomatematika 2] Orvosi biometria 2016.02.15. Esemény Egy kísérlet vagy megfigyelés (vagy mérés) lehetséges eredményeinek összessége (halmaza) alkotja az eseményteret. Esemény: az eseménytér részhalmazai.

Részletesebben

[Biomatematika 2] Orvosi biometria

[Biomatematika 2] Orvosi biometria [Biomatematika 2] Orvosi biometria 2016.02.29. A statisztika típusai Leíró jellegű statisztika: összegzi egy adathalmaz jellemzőit. A középértéket jelemzi (medián, módus, átlag) Az adatok változékonyságát

Részletesebben

6. Előadás. Vereb György, DE OEC BSI, október 12.

6. Előadás. Vereb György, DE OEC BSI, október 12. 6. Előadás Visszatekintés: a normális eloszlás Becslés, mintavételezés Reprezentatív minta A statisztika, mint változó Paraméter és Statisztika Torzítatlan becslés A mintaközép eloszlása - centrális határeloszlás

Részletesebben

[Biomatematika 2] Orvosi biometria

[Biomatematika 2] Orvosi biometria [Biomatematika 2] Orvosi biometria 2016.02.22. Valószínűségi változó Véletlentől függő számértékeket (értékek sokasága) felvevő változókat valószínűségi változóknak nevezzük(jelölés: ξ, η, x). (pl. x =

Részletesebben

Készítette: Fegyverneki Sándor

Készítette: Fegyverneki Sándor VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS Összefoglaló segédlet Készítette: Fegyverneki Sándor Miskolci Egyetem, 2001. i JELÖLÉSEK: N a természetes számok halmaza (pozitív egészek) R a valós számok halmaza R 2 {(x, y) x, y

Részletesebben

Statisztika I. 8. előadás. Előadó: Dr. Ertsey Imre

Statisztika I. 8. előadás. Előadó: Dr. Ertsey Imre Statisztika I. 8. előadás Előadó: Dr. Ertsey Imre Minták alapján történő értékelések A statisztika foglalkozik. a tömegjelenségek vizsgálatával Bizonyos esetekben lehetetlen illetve célszerűtlen a teljes

Részletesebben

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 4 IV. MINTA, ALAPsTATIsZTIKÁK 1. MATEMATIKAI statisztika A matematikai statisztika alapfeladatát nagy általánosságban a következőképpen

Részletesebben

biometria II. foglalkozás előadó: Prof. Dr. Rajkó Róbert Matematikai-statisztikai adatfeldolgozás

biometria II. foglalkozás előadó: Prof. Dr. Rajkó Róbert Matematikai-statisztikai adatfeldolgozás Kísérlettervezés - biometria II. foglalkozás előadó: Prof. Dr. Rajkó Róbert Matematikai-statisztikai adatfeldolgozás A matematikai-statisztika feladata tapasztalati adatok feldolgozásával segítséget nyújtani

Részletesebben

A valószínűségszámítás elemei

A valószínűségszámítás elemei Alapfogalmak BIOSTATISZTIKA ÉS INFORMATIKA A valószínűségszámítás elemei Jelenség: minden, ami lényegében azonos feltételek mellett megismételhető, amivel kapcsolatban megfigyeléseket lehet végezni, lehet

Részletesebben

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 3 III. VÉLETLEN VEKTOROK 1. A KÉTDIMENZIÓs VÉLETLEN VEKTOR Definíció: Az leképezést (kétdimenziós) véletlen vektornak nevezzük, ha Definíció:

Részletesebben

Eseményalgebra. Esemény: minden amirl a kísérlet elvégzése során eldönthet egyértelmen hogy a kísérlet során bekövetkezett-e vagy sem.

Eseményalgebra. Esemény: minden amirl a kísérlet elvégzése során eldönthet egyértelmen hogy a kísérlet során bekövetkezett-e vagy sem. Eseményalgebra. Esemény: minden amirl a kísérlet elvégzése során eldönthet egyértelmen hogy a kísérlet során bekövetkezett-e vagy sem. Elemi esemény: a kísérlet egyes lehetséges egyes lehetséges kimenetelei.

Részletesebben

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 10 X. SZIMULÁCIÓ 1. VÉLETLEN számok A véletlen számok fontos szerepet játszanak a véletlen helyzetek generálásában (pénzérme, dobókocka,

Részletesebben

Statisztika I. 4. előadás Mintavétel. Kóczy Á. László KGK-VMI. Minta Mintavétel Feladatok. http://uni-obuda.hu/users/koczyl/statisztika1.

Statisztika I. 4. előadás Mintavétel. Kóczy Á. László KGK-VMI. Minta Mintavétel Feladatok. http://uni-obuda.hu/users/koczyl/statisztika1. Statisztika I. 4. előadás Mintavétel http://uni-obuda.hu/users/koczyl/statisztika1.htm Kóczy Á. László KGK-VMI koczy.laszlo@kgk.uni-obuda.hu Sokaság és minta Alap- és mintasokaság A mintasokaság az a részsokaság,

Részletesebben

Statisztika I. 4. előadás Mintavétel. Kóczy Á. László KGK-VMI. Minta Mintavétel Feladatok. http://uni-obuda.hu/users/koczyl/statisztika1.

Statisztika I. 4. előadás Mintavétel. Kóczy Á. László KGK-VMI. Minta Mintavétel Feladatok. http://uni-obuda.hu/users/koczyl/statisztika1. Statisztika I. 4. előadás Mintavétel http://uni-obuda.hu/users/koczyl/statisztika1.htm Kóczy Á. László KGK-VMI koczy.laszlo@kgk.uni-obuda.hu Sokaság és minta Alap- és mintasokaság A mintasokaság az a részsokaság,

Részletesebben

Kabos: Statisztika II. t-próba 9.1. Ha ismert a doboz szórása de nem ismerjük a

Kabos: Statisztika II. t-próba 9.1. Ha ismert a doboz szórása de nem ismerjük a Kabos: Statisztika II. t-próba 9.1 Egymintás z-próba Ha ismert a doboz szórása de nem ismerjük a doboz várhatóértékét, akkor a H 0 : a doboz várhatóértéke = egy rögzített érték hipotézisről úgy döntünk,

Részletesebben

1. Adatok kiértékelése. 2. A feltételek megvizsgálása. 3. A hipotézis megfogalmazása

1. Adatok kiértékelése. 2. A feltételek megvizsgálása. 3. A hipotézis megfogalmazása HIPOTÉZIS VIZSGÁLAT A hipotézis feltételezés egy vagy több populációról. (pl. egy gyógyszer az esetek 90%-ában hatásos; egy kezelés jelentősen megnöveli a rákos betegek túlélését). A hipotézis vizsgálat

Részletesebben

A Statisztika alapjai

A Statisztika alapjai A Statisztika alapjai BME A3c Magyar Róbert 2016.05.12. Mi az a Statisztika? A statisztika a valóság számszerű információinak megfigyelésére, összegzésére, elemzésére és modellezésére irányuló gyakorlati

Részletesebben

GVMST22GNC Statisztika II. Keleti Károly Gazdasági Kar Vállalkozásmenedzsment Intézet

GVMST22GNC Statisztika II. Keleti Károly Gazdasági Kar Vállalkozásmenedzsment Intézet GVMST22GNC Statisztika II. 3. előadás: 8. Hipotézisvizsgálat Kóczy Á. László Keleti Károly Gazdasági Kar Vállalkozásmenedzsment Intézet Hipotézisvizsgálat v becslés Becslés Ismeretlen paraméter Közeĺıtő

Részletesebben

Intervallumbecsle s Mintave tel+ Hipote zisvizsga lat Egyminta s pro ba k Ke tminta s pro ba k Egye b vizsga latok O sszef.

Intervallumbecsle s Mintave tel+ Hipote zisvizsga lat Egyminta s pro ba k Ke tminta s pro ba k Egye b vizsga latok O sszef. Intervallumbecsle s Mintave tel+ Hipote zisvizsga lat Egyminta s pro ba k Ke tminta s pro ba k Egye b vizsga latok O sszef. Feladatok Gazdaságstatisztika 7. Statisztikai becslések (folyt.); 8. Hipotézisvizsgálat

Részletesebben

KÖVETKEZTETŐ STATISZTIKA

KÖVETKEZTETŐ STATISZTIKA ÁVF GM szak 2010 ősz KÖVETKEZTETŐ STATISZTIKA A MINTAVÉTEL BECSLÉS A sokasági átlag becslése 2010 ősz Utoljára módosítva: 2010-09-07 ÁVF Oktató: Lipécz György 1 A becslés alapfeladata Pl. Hányan láttak

Részletesebben

Biostatisztika VIII. Mátyus László. 19 October

Biostatisztika VIII. Mátyus László. 19 October Biostatisztika VIII Mátyus László 19 October 2010 1 Ha σ nem ismert A gyakorlatban ritkán ismerjük σ-t. Ha kiszámítjuk s-t a minta alapján, akkor becsülhetjük σ-t. Ez további bizonytalanságot okoz a becslésben.

Részletesebben

Biostatisztika Összefoglalás

Biostatisztika Összefoglalás Biostatisztika Összefoglalás A biostatisztika vizsga A biostatisztika vizsga az Orvosi fizika és statisztika I. fizika vizsgájával egy napon történik. A vizsga keretében 30 perc alatt 0 kérdésre kell válaszolni

Részletesebben

STATISZTIKA. A maradék független a kezelés és blokk hatástól. Maradékok leíró statisztikája. 4. A modell érvényességének ellenőrzése

STATISZTIKA. A maradék független a kezelés és blokk hatástól. Maradékok leíró statisztikája. 4. A modell érvényességének ellenőrzése 4. A modell érvényességének ellenőrzése STATISZTIKA 4. Előadás Variancia-analízis Lineáris modellek 1. Függetlenség 2. Normális eloszlás 3. Azonos varianciák A maradék független a kezelés és blokk hatástól

Részletesebben

Bevezetés a biometriába Dr. Dinya Elek egyetemi tanár. PhD kurzus. KOKI,

Bevezetés a biometriába Dr. Dinya Elek egyetemi tanár. PhD kurzus. KOKI, Bevezetés a biometriába Dr. Dinya Elek egyetemi tanár PhD kurzus. KOKI, 2015.09.17. Mi a statisztika? A sokaság (a sok valami) feletti áttekintés megszerzése, a sokaságról való információszerzés eszköze.

Részletesebben

egyetemi jegyzet Meskó Balázs

egyetemi jegyzet Meskó Balázs egyetemi jegyzet 2011 Előszó 2. oldal Tartalomjegyzék 1. Bevezetés 4 1.1. A matematikai statisztika céljai.............................. 4 1.2. Alapfogalmak......................................... 4 2.

Részletesebben

Matematikai alapok és valószínőségszámítás. Statisztikai becslés Statisztikák eloszlása

Matematikai alapok és valószínőségszámítás. Statisztikai becslés Statisztikák eloszlása Matematikai alapok és valószínőségszámítás Statisztikai becslés Statisztikák eloszlása Mintavétel A statisztikában a cél, hogy az érdeklõdés tárgyát képezõ populáció bizonyos paramétereit a populációból

Részletesebben

Matematikai alapok és valószínőségszámítás. Középértékek és szóródási mutatók

Matematikai alapok és valószínőségszámítás. Középértékek és szóródási mutatók Matematikai alapok és valószínőségszámítás Középértékek és szóródási mutatók Középértékek A leíró statisztikák talán leggyakrabban használt csoportját a középértékek jelentik. Legkönnyebben mint az adathalmaz

Részletesebben

A pont példájának adatai C1 C2 C3 C

A pont példájának adatai C1 C2 C3 C A 3..5 pont példájának adatai C C C3 C4 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.96 0.003 0.437 0.458 0.7336 0.00785 0.34957 0.565 0.3308 0.0096 0.43840 0.979 0.343 0.0440 0.44699 0.3008 0.370 0.083 0.44986

Részletesebben

Kutatásmódszertan és prezentációkészítés

Kutatásmódszertan és prezentációkészítés Kutatásmódszertan és prezentációkészítés 10. rész: Az adatelemzés alapjai Szerző: Kmetty Zoltán Lektor: Fokasz Nikosz Tizedik rész Az adatelemzés alapjai Tartalomjegyzék Bevezetés Leíró statisztikák I

Részletesebben

Gyakorló feladatok. Az alábbi feladatokon kívül a félév szemináriumi anyagát is nézzék át. Jó munkát! Gaál László

Gyakorló feladatok. Az alábbi feladatokon kívül a félév szemináriumi anyagát is nézzék át. Jó munkát! Gaál László Gyakorló feladatok Az alábbi feladatokon kívül a félév szemináriumi anyagát is nézzék át. Jó munkát! Gaál László I/. A vizsgaidőszak második napján a hallgatók %-ának az E épületben, %-ának a D épületben,

Részletesebben

Mérési hibák 2006.10.04. 1

Mérési hibák 2006.10.04. 1 Mérési hibák 2006.10.04. 1 Mérés jel- és rendszerelméleti modellje Mérési hibák_labor/2 Mérési hibák mérési hiba: a meghatározandó értékre a mérés során kapott eredmény és ideális értéke közötti különbség

Részletesebben

Általánosan, bármilyen mérés annyit jelent, mint meghatározni, hányszor van meg

Általánosan, bármilyen mérés annyit jelent, mint meghatározni, hányszor van meg LMeasurement.tex, March, 00 Mérés Általánosan, bármilyen mérés annyit jelent, mint meghatározni, hányszor van meg a mérendő mennyiségben egy másik, a mérendővel egynemű, önkényesen egységnek választott

Részletesebben

STATISZTIKA ELŐADÁS ÁTTEKINTÉSE. Mi a modell? Matematikai statisztika. 300 dobás. sűrűségfüggvénye. Egyenletes eloszlás

STATISZTIKA ELŐADÁS ÁTTEKINTÉSE. Mi a modell? Matematikai statisztika. 300 dobás. sűrűségfüggvénye. Egyenletes eloszlás ELŐADÁS ÁTTEKINTÉSE STATISZTIKA 7. Előadás Egyenletes eloszlás Binomiális eloszlás Normális eloszlás Standard normális eloszlás Normális eloszlás mint modell /56 Matematikai statisztika Reprezentatív mintavétel

Részletesebben

Statisztika I. 9. előadás. Előadó: Dr. Ertsey Imre

Statisztika I. 9. előadás. Előadó: Dr. Ertsey Imre Statisztika I. 9. előadás Előadó: Dr. Ertsey Imre Statisztikai hipotézis vizsgálatok elsősorban a biometriában alkalmazzák, újabban reprezentatív jellegű ökonómiai vizsgálatoknál, üzemi szinten élelmiszeripari

Részletesebben

Matematika III. 4. A valószínűségi változó és jellemzői Prof. Dr. Závoti, József

Matematika III. 4. A valószínűségi változó és jellemzői Prof. Dr. Závoti, József Matematika III. 4. A valószínűségi változó és jellemzői Prof. Dr. Závoti, József Matematika III. 4. : A valószínűségi változó és jellemzői Prof. Dr. Závoti, József Lektor : Bischof, Annamária Ez a modul

Részletesebben

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 9 IX. ROBUsZTUs statisztika 1. ROBUsZTUssÁG Az eddig kidolgozott módszerek főleg olyanok voltak, amelyek valamilyen értelemben optimálisak,

Részletesebben

Biomatematika 8. Szent István Egyetem Állatorvos-tudományi Kar. Fodor János

Biomatematika 8. Szent István Egyetem Állatorvos-tudományi Kar. Fodor János Szent István Egyetem Állatorvos-tudományi Kar Biomatematikai és Számítástechnikai Tanszék Biomatematika 8. Valószínűség-számítás II. Fodor János Copyright c Fodor.Janos@aotk.szie.hu Last Revision Date:

Részletesebben

Biometria az orvosi gyakorlatban. Számítógépes döntéstámogatás

Biometria az orvosi gyakorlatban. Számítógépes döntéstámogatás SZDT-01 p. 1/23 Biometria az orvosi gyakorlatban Számítógépes döntéstámogatás Werner Ágnes Villamosmérnöki és Információs Rendszerek Tanszék e-mail: werner.agnes@virt.uni-pannon.hu Gyakorlat SZDT-01 p.

Részletesebben

Matematikai statisztika c. tárgy oktatásának célja és tematikája

Matematikai statisztika c. tárgy oktatásának célja és tematikája Matematikai statisztika c. tárgy oktatásának célja és tematikája 2015 Tematika Matematikai statisztika 1. Időkeret: 12 héten keresztül heti 3x50 perc (előadás és szeminárium) 2. Szükséges előismeretek:

Részletesebben

A mérési eredmény megadása

A mérési eredmény megadása A mérési eredmény megadása A mérés során kapott értékek eltérnek a mérendő fizikai mennyiség valódi értékétől. Alapvetően kétféle mérési hibát különböztetünk meg: a determinisztikus és a véletlenszerű

Részletesebben

[Biomatematika 2] Orvosi biometria

[Biomatematika 2] Orvosi biometria [Biomatematika 2] Orvosi biometria 2016.02.08. Orvosi biometria (orvosi biostatisztika) Statisztika: tömegjelenségeket számadatokkal leíró tudomány. A statisztika elkészítésének menete: tanulmányok (kísérletek)

Részletesebben

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 2 II. A valószínűségi VÁLTOZÓ És JELLEMZÉsE 1. Valószínűségi VÁLTOZÓ Definíció: Az leképezést valószínűségi változónak nevezzük, ha

Részletesebben

Kiválasztás. A változó szerint. Rangok. Nem-paraméteres eljárások. Rang: Egy valamilyen szabály szerint felállított sorban elfoglalt hely.

Kiválasztás. A változó szerint. Rangok. Nem-paraméteres eljárások. Rang: Egy valamilyen szabály szerint felállított sorban elfoglalt hely. Kiválasztás A változó szerint Egymintás t-próba Mann-Whitney U-test paraméteres nem-paraméteres Varianciaanalízis De melyiket válasszam? Kétmintás t-próba Fontos, hogy mindig a kérdésnek és a változónak

Részletesebben

MÉRÉSI EREDMÉNYEK PONTOSSÁGA, A HIBASZÁMÍTÁS ELEMEI

MÉRÉSI EREDMÉNYEK PONTOSSÁGA, A HIBASZÁMÍTÁS ELEMEI MÉRÉSI EREDMÉYEK POTOSSÁGA, A HIBASZÁMÍTÁS ELEMEI. A mérési eredmény megadása A mérés során kapott értékek eltérnek a mérendő fizikai mennyiség valódi értékétől. Alapvetően kétféle mérési hibát különböztetünk

Részletesebben

Dr. Karácsony Zsolt. Miskolci Egyetem november

Dr. Karácsony Zsolt. Miskolci Egyetem november Valószínűségszámítás és Matematikai statisztika Dr. Karácsony Zsolt Miskolci Egyetem, Alkalmazott Matematikai Tanszék 2013-2014 tanév 1. félév Miskolci Egyetem 2013. november 11-18 - 25. Dr. Karácsony

Részletesebben

Statisztikai következtetések Nemlineáris regresszió Feladatok Vége

Statisztikai következtetések Nemlineáris regresszió Feladatok Vége [GVMGS11MNC] Gazdaságstatisztika 10. előadás: 9. Regressziószámítás II. Kóczy Á. László koczy.laszlo@kgk.uni-obuda.hu Keleti Károly Gazdasági Kar Vállalkozásmenedzsment Intézet A standard lineáris modell

Részletesebben

Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kara. Prof. Dr. Závoti József. Matematika III. 4. MA3-4 modul. A valószínűségi változó és jellemzői

Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kara. Prof. Dr. Závoti József. Matematika III. 4. MA3-4 modul. A valószínűségi változó és jellemzői Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kara Prof. Dr. Závoti József Matematika III. 4. MA3-4 modul A valószínűségi változó és jellemzői SZÉKESFEHÉRVÁR 2010 Jelen szellemi terméket a szerzői jogról

Részletesebben

y ij = µ + α i + e ij STATISZTIKA Sir Ronald Aylmer Fisher Példa Elmélet A variancia-analízis alkalmazásának feltételei Lineáris modell

y ij = µ + α i + e ij STATISZTIKA Sir Ronald Aylmer Fisher Példa Elmélet A variancia-analízis alkalmazásának feltételei Lineáris modell Példa STATISZTIKA Egy gazdálkodó k kukorica hibrid termesztése között választhat. Jelöljük a fajtákat A, B, C, D-vel. Döntsük el, hogy a hibridek termesztése esetén azonos terméseredményre számíthatunk-e.

Részletesebben

Matematikai statisztikai elemzések 3.

Matematikai statisztikai elemzések 3. Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kara Prof. Dr. Závoti József Matematikai statisztikai elemzek 3. MSTE3 modul Becslelmélet: alapfogalmak, nevezetes statisztikák, intervallum-becsl SZÉKESFEHÉRVÁR

Részletesebben

Többváltozós lineáris regressziós modell feltételeinek

Többváltozós lineáris regressziós modell feltételeinek Többváltozós lineáris regressziós modell feltételeinek tesztelése I. - A hibatagra vonatkozó feltételek tesztelése - Petrovics Petra Doktorandusz Többváltozós lineáris regressziós modell x 1, x 2,, x p

Részletesebben

Populációbecslés és monitoring. Eloszlások és alapstatisztikák

Populációbecslés és monitoring. Eloszlások és alapstatisztikák Populációbecslés és monitoring Eloszlások és alapstatisztikák Eloszlások Az eloszlás megadja, hogy milyen valószínűséggel kapunk egy adott intervallumba tartozó értéket, ha egy olyan populációból veszünk

Részletesebben

Több valószínűségi változó együttes eloszlása, korreláció

Több valószínűségi változó együttes eloszlása, korreláció Tartalomjegzék Előszó... 6 I. Valószínűségelméleti és matematikai statisztikai alapok... 8 1. A szükséges valószínűségelméleti és matematikai statisztikai alapismeretek összefoglalása... 8 1.1. Alapfogalmak...

Részletesebben

Véletlenszám generátorok és tesztelésük. Tossenberger Tamás

Véletlenszám generátorok és tesztelésük. Tossenberger Tamás Véletlenszám generátorok és tesztelésük Tossenberger Tamás Érdekességek Pénzérme feldobó gép: $0,25-os érme 1/6000 valószínűséggel esik az élére 51% eséllyel érkezik a felfelé mutató oldalára Pörgetésnél

Részletesebben

ORVOSI STATISZTIKA. Az orvosi statisztika helye. Egyéb példák. Példa: test hőmérséklet. Lehet kérdés? Statisztika. Élettan Anatómia Kémia. Kérdések!

ORVOSI STATISZTIKA. Az orvosi statisztika helye. Egyéb példák. Példa: test hőmérséklet. Lehet kérdés? Statisztika. Élettan Anatómia Kémia. Kérdések! ORVOSI STATISZTIKA Az orvos statsztka helye Élettan Anatóma Kéma Lehet kérdés?? Statsztka! Az orvos döntéseket hoz! Mkor jó egy döntés? Mennyre helyes egy döntés? Mekkora a tévedés lehetősége? Példa: test

Részletesebben

Eloszlás-független módszerek (folytatás) 14. elıadás ( lecke) 27. lecke khí-négyzet eloszlású statisztikák esetszámtáblázatok

Eloszlás-független módszerek (folytatás) 14. elıadás ( lecke) 27. lecke khí-négyzet eloszlású statisztikák esetszámtáblázatok Eloszlás-független módszerek (folytatás) 14. elıadás (7-8. lecke) Illeszkedés-vizsgálat 7. lecke khí-négyzet eloszlású statisztikák esetszámtáblázatok elemzésére Illeszkedés-vizsgálat Gyakorisági sorok

Részletesebben

Számítógépes döntéstámogatás. Statisztikai elemzés

Számítógépes döntéstámogatás. Statisztikai elemzés SZDT-03 p. 1/22 Számítógépes döntéstámogatás Statisztikai elemzés Werner Ágnes Villamosmérnöki és Információs Rendszerek Tanszék e-mail: werner.agnes@virt.uni-pannon.hu Előadás SZDT-03 p. 2/22 Rendelkezésre

Részletesebben

Adatok statisztikai értékelésének főbb lehetőségei

Adatok statisztikai értékelésének főbb lehetőségei Adatok statisztikai értékelésének főbb lehetőségei 1. a. Egy- vagy kétváltozós eset b. Többváltozós eset 2. a. Becslési problémák, hipotézis vizsgálat b. Mintázatelemzés 3. Szint: a. Egyedi b. Populáció

Részletesebben

A következő feladat célja az, hogy egyszerű módon konstruáljunk Poisson folyamatokat.

A következő feladat célja az, hogy egyszerű módon konstruáljunk Poisson folyamatokat. Poisson folyamatok, exponenciális eloszlások Azt mondjuk, hogy a ξ valószínűségi változó Poisson eloszlású λ, 0 < λ

Részletesebben

Példák: tojások száma egy madárfészekben (egy adott madárfaj esetén), egy egyed testhőmérséklete (adott faj és ivar esetén), a következő buszon az uta

Példák: tojások száma egy madárfészekben (egy adott madárfaj esetén), egy egyed testhőmérséklete (adott faj és ivar esetén), a következő buszon az uta Valószínűségi változók (véletlen változók, random variables) Változó: Névvel ellátott érték. (Képzeljünk el egy fiókot. A fiók címkéje a változó neve, a fiók tartalma pedig a változó értéke.) Valószínűségi

Részletesebben

Matematikai alapok és valószínőségszámítás. Valószínőségi eloszlások Binomiális eloszlás

Matematikai alapok és valószínőségszámítás. Valószínőségi eloszlások Binomiális eloszlás Matematikai alapok és valószínőségszámítás Valószínőségi eloszlások Binomiális eloszlás Bevezetés A tudományos életben megfigyeléseket teszünk, kísérleteket végzünk. Ezek többféle különbözı eredményre

Részletesebben

Modern műszeres analitika szeminárium Néhány egyszerű statisztikai teszt

Modern műszeres analitika szeminárium Néhány egyszerű statisztikai teszt Modern műszeres analitika szeminárium Néhány egyszerű statisztikai teszt Galbács Gábor KIUGRÓ ADATOK KISZŰRÉSE STATISZTIKAI TESZTEKKEL Dixon Q-tesztje Gyakori feladat az analitikai kémiában, hogy kiugrónak

Részletesebben

Statisztika I. 11. előadás. Előadó: Dr. Ertsey Imre

Statisztika I. 11. előadás. Előadó: Dr. Ertsey Imre Statisztika I. 11. előadás Előadó: Dr. Ertsey Imre Összefüggés vizsgálatok A társadalmi gazdasági élet jelenségei kölcsönhatásban állnak, összefüggnek egymással. Statisztika alapvető feladata: - tényszerűségek

Részletesebben

STATISZTIKA. András hármas. Éva ötös. Nóri négyes. 5 4,5 4 3,5 3 2,5 2 1,5 ANNA BÉLA CILI 0,5 MAGY. MAT. TÖRT. KÉM.

STATISZTIKA. András hármas. Éva ötös. Nóri négyes. 5 4,5 4 3,5 3 2,5 2 1,5 ANNA BÉLA CILI 0,5 MAGY. MAT. TÖRT. KÉM. STATISZTIKA 5 4,5 4 3,5 3 2,5 2 1,5 1 0,5 0 MAGY. MAT. TÖRT. KÉM. ANNA BÉLA CILI András hármas. Béla Az átlag 3,5! kettes. Éva ötös. Nóri négyes. 1 mérés: dolgokhoz valamely szabály alapján szám rendelése

Részletesebben

Gazdasági matematika II. vizsgadolgozat, megoldással,

Gazdasági matematika II. vizsgadolgozat, megoldással, Gazdasági matematika II. vizsgadolgozat, megoldással, levelező képzés Definiálja az alábbi fogalmakat! 1. Kvadratikus mátrix invertálhatósága és inverze. (4 pont) Egy A kvadratikus mátrixot invertálhatónak

Részletesebben

Tartalomjegyzék Szitaformulák Példák a szitaformulára Mintavételezés Bayes-tétel... 17

Tartalomjegyzék Szitaformulák Példák a szitaformulára Mintavételezés Bayes-tétel... 17 Valószínűségszámítás Földtudomány szak, 2015/2016. tanév őszi félév Backhausz Ágnes (ELTE TTK Valószínűségelméleti és Statisztika Tanszék)1 Tartalomjegyzék 1. Valószínűségi mező 3 1.1. Példák valószínűségi

Részletesebben

Statisztika. Politológus képzés. Daróczi Gergely április 17. Politológia Tanszék

Statisztika. Politológus képzés. Daróczi Gergely április 17. Politológia Tanszék Statisztika Politológus képzés Daróczi Gergely Politológia Tanszék 2012. április 17. Outline 1 Leíró statisztikák 2 Középértékek Példa 3 Szóródási mutatók Példa 4 Néhány megjegyzés a grafikonokról 5 Számítások

Részletesebben

Biomatematika 13. Varianciaanaĺızis (ANOVA)

Biomatematika 13. Varianciaanaĺızis (ANOVA) Szent István Egyetem Állatorvos-tudományi Kar Biomatematikai és Számítástechnikai Tanszék Biomatematika 13. Varianciaanaĺızis (ANOVA) Fodor János Copyright c Fodor.Janos@aotk.szie.hu Last Revision Date:

Részletesebben

Bevezetés. 1. előadás, 2015. február 11. Módszerek. Tematika

Bevezetés. 1. előadás, 2015. február 11. Módszerek. Tematika Bevezetés 1. előadás, 2015. február 11. Zempléni András Valószínűségelméleti és Statisztika Tanszék Természettudományi Kar Eötvös Loránd Tudományegyetem Áringadozások előadás Heti 2 óra előadás + 2 óra

Részletesebben

Biometria az orvosi gyakorlatban. Korrelációszámítás, regresszió

Biometria az orvosi gyakorlatban. Korrelációszámítás, regresszió SZDT-08 p. 1/31 Biometria az orvosi gyakorlatban Korrelációszámítás, regresszió Werner Ágnes Villamosmérnöki és Információs Rendszerek Tanszék e-mail: werner.agnes@virt.uni-pannon.hu Korrelációszámítás

Részletesebben

Backhausz Ágnes 1. Bevezetés A valószínűség elemi tulajdonságai... 5

Backhausz Ágnes 1. Bevezetés A valószínűség elemi tulajdonságai... 5 Valószínűségszámítás Földtudomány BSc szak, 2016/2017. őszi félév Backhausz Ágnes agnes@cs.elte.hu Tartalomjegyzék 1. Bevezetés 2 2. A Kolmogorov-féle valószínűségi mező 3 2.1. Klasszikus valószínűségi

Részletesebben

A mérések általános és alapvető metrológiai fogalmai és definíciói. Mérések, mérési eredmények, mérési bizonytalanság. mérés. mérési elv

A mérések általános és alapvető metrológiai fogalmai és definíciói. Mérések, mérési eredmények, mérési bizonytalanság. mérés. mérési elv Mérések, mérési eredmények, mérési bizonytalanság A mérések általános és alapvető metrológiai fogalmai és definíciói mérés Műveletek összessége, amelyek célja egy mennyiség értékének meghatározása. mérési

Részletesebben

Területi sor Kárpát medence Magyarország Nyugat-Európa

Területi sor Kárpát medence Magyarország Nyugat-Európa Területi sor Terület megnevezése Magyarok száma 2011.01.01. Kárpát medence 13 820 000 Magyarország 10 600 00 Nyugat-Európa 1 340 000 HIV prevalence (%) in adults in Africa, 2005 2.5 Daganatos halálozás

Részletesebben

A bergengóc lakosság szemszín szerinti megoszlása a négy tartományban azonos:

A bergengóc lakosság szemszín szerinti megoszlása a négy tartományban azonos: A. Matematikai Statisztika 2.MINTA ZH. 2003 december Név (olvasható) :... A feladatmegoldásnak az alkalmazott matematikai modell valószínűségszámítási ill. statisztikai szóhasználat szerinti megfogalmazását,

Részletesebben

Matematika III. 9. Statisztikai hipotézisek Prof. Dr. Závoti, József

Matematika III. 9. Statisztikai hipotézisek Prof. Dr. Závoti, József Matematika III. 9. Statisztikai hipotézisek Prof. Dr. Závoti, József Matematika III. 9. : Statisztikai hipotézisek Prof. Dr. Závoti, József Lektor : Bischof, Annamária Ez a modul a TÁMOP - 4.1.2-08/1/A-2009-0027

Részletesebben

Loss Distribution Approach

Loss Distribution Approach Modeling operational risk using the Loss Distribution Approach Tartalom»Szabályozói környezet»modellezési struktúra»eseményszám eloszlás»káreloszlás»aggregált veszteségek»további problémák 2 Szabályozói

Részletesebben

Bevezető Adatok rendezése Adatok jellemzése Időbeli elemzés. Gazdaságstatisztika KGK VMI

Bevezető Adatok rendezése Adatok jellemzése Időbeli elemzés. Gazdaságstatisztika KGK VMI Gazdaságstatisztika 2. előadás Egy ismérv szerinti rendezés Kóczy Á. László KGK VMI Áttekintés Gyakorisági sorok Grafikus ábrázolásuk Helyzetmutatók Szóródási mutatók Az aszimmetria mérőszámai Koncentráció

Részletesebben

A maximum likelihood becslésről

A maximum likelihood becslésről A maximum likelihood becslésről Definíció Parametrikus becsléssel foglalkozunk. Adott egy modell, mellyel elképzeléseink szerint jól leírható a meghatározni kívánt rendszer. (A modell típusának és rendszámának

Részletesebben

Statisztika 2. Dr Gősi Zsuzsanna Egyetemi adjunktus

Statisztika 2. Dr Gősi Zsuzsanna Egyetemi adjunktus Statisztika 2. Dr Gősi Zsuzsanna Egyetemi adjunktus Gyakorisági sorok Mennyiségi ismérv jellemző rangsor készítünk. (pl. napi jegyeladások száma) A gyakorisági sor képzése igazából tömörítést jelent Nagyszámú

Részletesebben

VALÓSZÍNŰSÉG, STATISZTIKA TANÍTÁSA

VALÓSZÍNŰSÉG, STATISZTIKA TANÍTÁSA VALÓSZÍNŰSÉG, STATISZTIKA TANÍTÁSA A VALÓSZÍNŰSÉGI SZEMLÉLET ALAPOZÁSA 1-6. OSZTÁLY A biztos, a lehetetlen és a lehet, de nem biztos események megkülünböztetése Valószínűségi játékok, kísérletek események

Részletesebben

Segítség az outputok értelmezéséhez

Segítség az outputok értelmezéséhez Tanulni: 10.1-10.3, 10.5, 11.10. Hf: A honlapra feltett falco_exp.zip-ben lévő exploratív elemzések áttanulmányozása, érdekességek, észrevételek kigyűjtése. Segítség az outputok értelmezéséhez Leiro: Leíró

Részletesebben

Valószínűségelmélet. Pap Gyula. Szegedi Tudományegyetem. Szeged, 2016/2017 tanév, I. félév

Valószínűségelmélet. Pap Gyula. Szegedi Tudományegyetem. Szeged, 2016/2017 tanév, I. félév Valószínűségelmélet Pap Gyula Szegedi Tudományegyetem Szeged, 2016/2017 tanév, I. félév Pap Gyula (SZTE) Valószínűségelmélet 2016/2017 tanév, I. félév 1 / 125 Ajánlott irodalom: CSÖRGŐ SÁNDOR Fejezetek

Részletesebben

CHT& NSZT Hoeffding NET mom. stabilis. 2011. november 9.

CHT& NSZT Hoeffding NET mom. stabilis. 2011. november 9. CHT& NSZT Hoeffding NET mom. stabilis Becslések, határeloszlás tételek Székely Balázs 2011. november 9. CHT& NSZT Hoeffding NET mom. stabilis 1 CHT és NSZT 2 Hoeffding-egyenlőtlenség Alkalmazása: Beengedés

Részletesebben

Populációbecslések és monitoring

Populációbecslések és monitoring Populációbecslések és monitoring A becslés szerepe az ökológiában és a vadgazdálkodásban. A becslési módszerek csoportosítása. Teljes számlálás. Statisztikai alapfogalmak. Fontos lehet tudnunk, hogy hány

Részletesebben

Matematika III. Nagy Károly 2011

Matematika III. Nagy Károly 2011 Matematika III előadások összefoglalója (Levelezős hallgatók számára) Nagy Károly 20 . Kombinatorika.. Definíció. Adott n darab egymástól különböző elem. Ezeknek egy meghatározott sorrendjét az n elem

Részletesebben

STATISZTIKA I. Változékonyság (szóródás) A szóródás mutatószámai. Terjedelem. Forgalom terjedelem. Excel függvények. Függvénykategória: Statisztikai

STATISZTIKA I. Változékonyság (szóródás) A szóródás mutatószámai. Terjedelem. Forgalom terjedelem. Excel függvények. Függvénykategória: Statisztikai Változékonyság (szóródás) STATISZTIKA I. 5. Előadás Szóródási mutatók A középértékek a sokaság elemeinek értéknagyságbeli különbségeit eltakarhatják. A változékonyság az azonos tulajdonságú, de eltérő

Részletesebben

A mintavétel szakszerűtlenségeinek hatása a monitoring-statisztikákra

A mintavétel szakszerűtlenségeinek hatása a monitoring-statisztikákra A mintavétel szakszerűtlenségeinek hatása a monitoring-statisztikákra Vörös Zsuzsanna NÉBIH RFI tervezési referens 2013. április 17. Egy kis felmérés nem kor Következtetések: 1. a jelenlevők nemi megoszlása:

Részletesebben

14 A Black-Scholes-Merton modell. Options, Futures, and Other Derivatives, 8th Edition, Copyright John C. Hull

14 A Black-Scholes-Merton modell. Options, Futures, and Other Derivatives, 8th Edition, Copyright John C. Hull 14 A Black-choles-Merton modell Copyright John C. Hull 01 1 Részvényárak viselkedése (feltevés!) Részvényár: μ: elvárt hozam : volatilitás Egy rövid Δt idő alatt a hozam normális eloszlású véletlen változó:

Részletesebben

Sztochasztikus folyamatok alapfogalmak

Sztochasztikus folyamatok alapfogalmak Matematikai Modellalkotás Szeminárium 2012. szeptember 4. 1 Folytonos idejű Markov láncok 2 3 4 1 Folytonos idejű Markov láncok 2 3 4 Folytonos idejű Markov láncok I Adott egy G = (V, E) gráf Folytonos

Részletesebben

Matematikai geodéziai számítások 10.

Matematikai geodéziai számítások 10. Matematikai geodéziai számítások 10. Hibaellipszis, talpponti görbe és közepes ponthiba Dr. Bácsatyai, László Matematikai geodéziai számítások 10.: Hibaellipszis, talpponti görbe és Dr. Bácsatyai, László

Részletesebben

Valószínűségszámítás

Valószínűségszámítás European Virtual Laboratory of Mathematics Project No. 2006 - SK/06/B/F/PP - 177436 Európai Virtuális Matematikai Laboratórium Árvai- Homolya Szilvia Valószínűségszámítás EVML e-könyvek Miskolc 2008 Sorozat

Részletesebben

a megoldásra ajánlott feladatokat jelöli, a nehezebb feladatokat jelöli

a megoldásra ajánlott feladatokat jelöli, a nehezebb feladatokat jelöli Gyakorló feladatok valószínűségszámításból végeredményekkel a megoldásra ajánlott feladatokat jelöli, a nehezebb feladatokat jelöli. Igaz-e, hogy tetszőleges A, B és C eseményekre teljesül a A B \ C =

Részletesebben

Virág Katalin. Szegedi Tudományegyetem, Bolyai Intézet

Virág Katalin. Szegedi Tudományegyetem, Bolyai Intézet Függetleségvizsgálat Virág Katali Szegedi Tudomáyegyetem, Bolyai Itézet Függetleség Függetleség Két változó függetle, ha az egyik változó megfigyelése a másik változóra ézve em szolgáltat iformációt; azaz

Részletesebben

biometria III. foglalkozás előadó: Prof. Dr. Rajkó Róbert Hipotézisvizsgálat

biometria III. foglalkozás előadó: Prof. Dr. Rajkó Róbert Hipotézisvizsgálat Kísérlettervezés - biometria III. foglalkozás előadó: Prof. Dr. Rajkó Róbert u-próba Feltétel: egy ormális eloszlású sokaság σ variaciájáak számszerű értéke ismert. Hipotézis: a sokaság µ várható értéke

Részletesebben

Véletlenszám generátorok és tesztelésük HORVÁTH BÁLINT

Véletlenszám generátorok és tesztelésük HORVÁTH BÁLINT Véletlenszám generátorok és tesztelésük HORVÁTH BÁLINT Mi a véletlen? Determinisztikus vs. Véletlen esemény? Véletlenszám: számok sorozata, ahol véletlenszerűen követik egymást az elemek Pszeudo-véletlenszám

Részletesebben

Statisztikai alapismeretek (folytatás)

Statisztikai alapismeretek (folytatás) Statisztikai alapismeretek (folytatás) 3. elıadás (5-6. lecke) Az alapsokaság fıbb jellemzıi () 5. lecke Folytonos változó megoszlásának jellemzése A sokasági átlag és szórás Átlag és szórás tulajdonságai

Részletesebben

Alap-ötlet: Karl Friedrich Gauss ( ) valószínűségszámítási háttér: Andrej Markov ( )

Alap-ötlet: Karl Friedrich Gauss ( ) valószínűségszámítási háttér: Andrej Markov ( ) Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Gépészmérnöki Kar Hidrodinamikai Rendszerek Tanszék, Budapest, Műegyetem rkp. 3. D ép. 334. Tel: 463-6-80 Fa: 463-30-9 http://www.vizgep.bme.hu Alap-ötlet:

Részletesebben

Két diszkrét változó függetlenségének vizsgálata, illeszkedésvizsgálat

Két diszkrét változó függetlenségének vizsgálata, illeszkedésvizsgálat Két diszkrét változó függetlenségének vizsgálata, illeszkedésvizsgálat Szűcs Mónika SZTE ÁOK-TTIK Orvosi Fizikai és Orvosi Informatikai Intézet Orvosi fizika és statisztika I. előadás 2016.11.09 Orvosi

Részletesebben

STATISZTIKA I. Centrális mutatók. Helyzeti középértékek. Középértékek. Bimodális eloszlás, U. Módusz, Mo. 4. Előadás.

STATISZTIKA I. Centrális mutatók. Helyzeti középértékek. Középértékek. Bimodális eloszlás, U. Módusz, Mo. 4. Előadás. Centrális mutatók STATISZTIKA I. 4. Előadás Centrális mutatók 1/51 2/51 Középértékek Helyzeti középértékek A meghatározása gyakoriság vagy sorszám alapján Számítás nélkül Az elemek nagyság szerint rendezett

Részletesebben