STATISZTIKAI ALAPOK. Statisztikai alapok_eloszlások_becslések 1

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "STATISZTIKAI ALAPOK. Statisztikai alapok_eloszlások_becslések 1"

Átírás

1 STATISZTIKAI ALAPOK Statisztikai alapok_eloszlások_becslések 1

2 Pulzus példa Egyetemista fiatalokból álló csoport minden tagjának (9 fő) megmérték a pulzusát (PULSE1), majd kisorsolták ki fusson és ki nem (RAN). Futás után újból mérték a pulzust (PULSE). A résztvevők néhány jellemzőjét (dohányzás, nem, magasság, testsúly stb.) a pulzus adatokkal együtt táblázatos formában rögzítették. A táblázatban egy sor egyazon személy adatait tartalmazza. Statisztikai alapok_eloszlások_becslések

3 MÉRÉSI SKÁLÁK Minőségi változók (attributes) névleges (nominal, categorical) sorrendi (ordered categorical) Mennyiségi változók (variables) intervallum (interval) arányos (proportional) Statisztikai alapok_eloszlások_becslések 3

4 AZ ADATOK ÁBRÁZOLÁSA Yogi Berra: " You can observe a lot by watching " Statisztikai alapok_eloszlások_becslések 4

5 Mérési adatok ábrázolása: Pont ábrázolás (Dotplot) Dotplot for Y Y1 Sok adatra a dotplot nem elég informatív Statisztikai alapok_eloszlások_becslések 5

6 Mérési adatok ábrázolása: dobozos ábra (Bo-Plot) Statisztikai alapok_eloszlások_becslések 6

7 Mérési adatok ábrázolása: hisztogram Gyakorisági hisztogram Statisztikai alapok_eloszlások_becslések 7

8 Mérési adatok ábrázolása: hisztogram Kumulált gyakorisági hisztogram Statisztikai alapok_eloszlások_becslések 8

9 Dobozos ábra és hisztogram szimmetrikus eloszlásból vett mintára Ma = 63 Min = 37 75% = % = 44.8 Median = % 5% 10% 15% 0% 5% 30% re l. gya k. Statisztikai alapok_eloszlások_becslések 9

10 Dobozos ábra és hisztogram aszimmetrikus eloszlásból vett mintára M a = 1 5 M in = % = % =.0 M e d ia n = 4.4 outlier % 5% 10% 15% 0% 5% frequency Statisztikai alapok_eloszlások_becslések 10

11 1. Hasonlítsuk össze a futás előtti és utáni pulzus értékeket! Két változó együttes ábrázolása. Hasonlítsuk össze nemek szerint a testmagasságokat! Statisztikai alapok_eloszlások_becslések 11

12 Két változó együttes ábrázolása 3. Van-e összefüggés/kapcsolat a testmagasság és a testsúly értékek között? 3/b. Készíthetünk informatívabb ábrát is? Statisztikai alapok_eloszlások_becslések 1

13 Milyen típusú kérdéseket tehetünk fel az adatsor láttán? Milyen érték körül ingadoznak a mért nyugalmi pulzus-értékek (átlag, medián)? Mekkora a nyugalmi pulzus-értékek ingadozása (szórás)? Nőtt a vizsgált személyek pulzusa a futás után? MINTA (9 hallgató) Csak ez érdekel minket? Statisztikai alapok_eloszlások_becslések 13

14 Milyen típusú kérdésekre keresünk majd választ a félév során? Az egyetemista fiatalok (sokaságának) nyugalmi pulzusértéke milyen tartományban található adott (pl. 90%-os) valószínűséggel? Az egyetemista fiatalok (sokaságának) nyugalmi pulzusértéke milyen határérték alatt található adott (pl. 95%-os) valószínűséggel? Befolyásolja-e a futás a pulzus értékét? Várhatóan növekszik-e a pulzus-érték a futás hatására? Különbözik a nők és a férfiak testmagasságának várható értéke? Statisztikai alapok_eloszlások_becslések 14

15 ALAPFOGALMAK (Vázlat) Véletlen jelenség Sokaság és minta Valószínűségi változó diszkrét vagy folytonos Sűrűség- és eloszlásfüggvény Statisztika és paraméter Véletlen és rendszeres hiba Statisztikai alapok_eloszlások_becslések 15

16 Az ingadozás, bizonytalanság elkerülhetetlen: ha újra megmérjük ugyanannak a személynek a pulzusát, nem lesz ugyanannyi a gyártott termékpéldányok különböznek ha egy tételből többször veszünk mintát, a talált selejtarány változik ha másik mintát veszünk a vízből, nem lesz teljesen azonos ha másik napon veszünk mintát, nem lesz ugyanolyan azaz az ismételt mérési eredmények nem azonosak Valószínűségi (véletlen) változó fogalma Statisztikai alapok_eloszlások_becslések 16

17 Sokaság (population) és minta (sample) a sokaság érdekel, de a minta van a kezünkben! Példák a sokaságra, mi lehet a minta az egyes esetekben? egyetemista fiatalok nyugalmi pulzus-értéke a szennyezett vízminta nitrát-koncentrációja egy alkatrészről lekerülő csavarok átmérője a futószalagon gyártott konzervek töltőtömege a lehetséges mérési eredmények a lehetséges gyártott darabok sokasága Statisztikai alapok_eloszlások_becslések 17

18 Diszkrét valószínűségi változó Példák: pénzérme: fej/írás dobókocka dobás Kísérlet: dobjuk föl a pénzérmét 10-szer, az eredmény (kimenetel) : k-szor fej p() p k P k F() F i Statisztikai alapok_eloszlások_becslések i k 18 k P k p

19 Folytonos valószínűségi változó Példák: testmagasság, pulzus vízminta koncentrációja Sűrűségfüggvény (density function) P a b a b f Statisztikai alapok_eloszlások_becslések 19 b a d

20 Folytonos valószínűségi változó Eloszlásfüggvény (distribution function) F() F( i ) i F i P i f Statisztikai alapok_eloszlások_becslések 0 i d

21 Statisztika (jellemző) - a mintát jellemzik - valószínűségi változók számtani átlag (sample mean) 1 N N i1 tapasztalati medián i és várható érték (epected value) medián paraméter - a sokaságot jellemzik - konstansok E f ( ) d szórásnégyzet (mean square) variancia (variance) (korrigált) Var E N f 1 s N 1 i i1 Statisztikai alapok_eloszlások_becslések 1 d

22 Módusz, medián, várható érték módusz várható érték = 8 medián = Statisztikai alapok_eloszlások_becslések

23 Várható értékre és a varianciára vonatkozó azonosságok Ec cex Var c c Var Példa Egy lombikba töltött folyadék térfogatának várható értéke 10,05 cm 3, a térfogat varianciája 4*10-4 (cm 3 ). Mekkora a várható érték és a variancia mm 3 -ben? Jelölje a térfogatot cm 3 -ben. E Var * E 10 *10, * Var 10 *410 A várható érték tehát mm 3, a variancia pedig 400 (mm 3 ). Statisztikai alapok_eloszlások_becslések 3

24 E Várható értékre és a varianciára vonatkozó azonosságok E E E Var Var Var Var csak független val. váltózókra! Ha mindegyik i azonos eloszlású és független:... 1 ne Var... n nvar E n 1 Példa azonos eloszlású független változókra: ismételt mérések Független mérés (ismétlés) fogalma Statisztikai alapok_eloszlások_becslések 4

25 Véletlen és rendszeres hiba Hiba: a mért érték és a valódi érték különbsége mért értékek () Véletlen hiba Rendszeres (és véletlen) hiba valódi érték (μ 0 ) A mérés várható értéke [E()] hol található a két ábrán? Statisztikai alapok_eloszlások_becslések 5

26 Torzítatlan mérés Ha a mérés várható értéke megegyezik a valódi értékkel, azaz nincs rendszeres hiba. E 0 Statisztikai alapok_eloszlások_becslések 6

27 NORMÁLIS ELOSZLÁS f 1 ep 1 Két paramétere van: és E f() f() Var Rövid jelölése: N, különböző Statisztikai alapok_eloszlások_becslések 7 különböző

28 Normalizált (standardizált) normális eloszlás A normális eloszlás eloszlásfüggvényét (F()) numerikus integrálással számíthatjuk, azonban ehhez háromdimenzió táblázatra lenne szükség. Célszerű tehát transzformációt keresnünk. z Ez 0 Varz 1 z ~ N 0,1 f z 1 z ep z-táblázat használata Statisztikai alapok_eloszlások_becslések 8

29 Normalizált (standardizált) normális eloszlás z Ez 0 Varz 1 z-táblázat használata f z 1 z ep Nem szerepel benne egyetlen paraméter sem Statisztikai alapok_eloszlások_becslések 9

30 Mire jó nekünk a z-táblázat? ahol z a a P a Pz z a Statisztikai alapok_eloszlások_becslések 30

31 Példák a normális eloszlás alkalmazására 1. példa Tegyük fel, hogy ismerjük az egyetemista fiatalok nyugalmi pulzusértékének eloszlását. Kérdés: A fiatalok 90%-ának pulzusa milyen érték alatt található? (Vagy egy véletlenszerűen kiválasztott fiatal pulzusa 90%-os valószínűsége milyen érték alatt lesz?). példa Határozzuk meg azt a szimmetrikus intervallumot, melyben egy 10 g tömegű súly (egyszeri) lemérésekor kapott érték 95%-os valószínűséggel lesz, ha a mérés torzítatlan és varianciája 0,5 g! Statisztikai alapok_eloszlások_becslések 31

32 P P 1 a f z z 1 a z f z P z 1 a z f α jelölést bevezetve: P z 1 / z / / alsó -z 0 fölsõ z / z Mi változik a számításban, ha 99%-os valószínűségi intervallumot kérdezünk? 0,05 0,01 1-0,95 0,99 1-/ 0,975 0,995 z 1,96,58 Statisztikai alapok_eloszlások_becslések 3

33 3. példa Határozzuk meg annak valószínűségét, hogy az normális eloszlású valószínűségi változó a (-σ, +σ ) intervallumba eső értéket vesz fel! (Pl. azt kérdezzük, hogy milyen valószínűséggel esik a 10±0,5 intervallumba, ha =10, =0,5) P F F alsó felső Statisztikai alapok_eloszlások_becslések 33

34 P() P() z z Statisztikai alapok_eloszlások_becslések 34

35 zalsó 1 z fölső 1 Intervallum szélessége z P Statisztikai alapok_eloszlások_becslések 35

36 4. példa Egy próbatest átmérőjére vonatkozó specifikáció: 9,6 cm±0,5 cm. Sok (száz) darabot megvizsgálva azt találták, hogy az átlagos átmérő 9,5 cm, a méret-ingadozás szórásnégyzete pedig 0,05cm. A próbatestek mekkora hányada nem felel meg a specifikációnak, azaz mekkora lesz a selejtarány? 5. példa (. példa módosítva) A 10 g-os súlyt most ötször mérjük le. Milyen szimmetrikus intervallumban lesz a mintaelemek átlaga 95%-os valószínűséggel? (A mérés torzítatlan és varianciája 0,5 g.) Statisztikai alapok_eloszlások_becslések 36

37 Statisztikai alapok_eloszlások_becslések 37 n i n i n... n E E n n E E E n n E E n n i i * ] 1 [ 1 n n Var Var n n Var n n Var Var n i i n i i * * A számtani középérték (átlag)

38 Centrális határeloszlási tétel Bármilyen eloszlású sokaságból vett minták számtani középértéke közelítőleg normális eloszlást követ az eredeti eloszlás várható értéke körül, varianciájuk pedig /n; tehát N(, /n) eloszlású. Statisztikai alapok_eloszlások_becslések 38

39 . példa 5. példa z átlag z n f() alsó egyedi ( ) fölsõ f() átlag alsó átlag fölsõ P P z 1 / z / 10 1,96 0,5 10 1,96 0,5 0, P z n z 1 / / n P 10 1,96 0, ,96 0,5 5 0, 95 Szűkebb intervallum! Statisztikai alapok_eloszlások_becslések 39

40 átlag 1. átlag alsó átlag fölsõ f() 0.8 alsó fölsõ 0.4 egyedi Statisztikai alapok_eloszlások_becslések 40

41 - (khi-négyzet-) eloszlás 0.0 f( ) =4 =7 =10 n i1 z i Egy paramétere van: ν ami négyzetösszeg szabadsági foka E Var Statisztikai alapok_eloszlások_becslések 41

42 - táblázat használata f( ) Statisztikai alapok_eloszlások_becslések 4

43 s A normális eloszlású sokaságból vett minta tapasztalati szórásnégyzetének eloszlása 1 n 1 n i i1 Bizonyítható, hogy: n i1 i (Részletes levezetése a Fisher-Cochran tétel felhasználásával az előadáson.) Ezt felhasználva: eloszlású n 1 szab. fokkal s eloszlású n 1 szab. fokkal Statisztikai alapok_eloszlások_becslések 43

44 6.a példa (5. példa szövege, de új kérdéssel) Egy 10 g tömegű súlyt (etalont) ötször mérünk le. Milyen szimmetrikus intervallumban lesz a minta szórásnégyzete 95%-os valószínűséggel? (Az adatok normális eloszlásúak, varianciájuk 0,5 g.) f( ) s s 0, 95 P s alsó fölső 4 alsó 0, 975 0, fölső 0, 05 11, als ó föls õ Statisztikai alapok_eloszlások_becslések 44

45 s s 0, 95 P s P alsó alsó fölső fölső 0,4844 0,5 P s 4 P alsó 11,143 0,5 4 s 0,95 fölső 6.b példa Határozzuk meg azt az értéket, amelyet s 95%-os valószínűséggel nem halad meg! s 0, 95 P s P s fölső fölső 0,95 egyoldali! fölső 0, 05 9,488 Statisztikai alapok_eloszlások_becslések 45

46 7. példa Egy oldat koncentrációját háromszor megmérve az alábbi adatokat kapták: 8,; 8,3 és 8,5 mg/cm 3. a) Jellemezzük a mintát! - statisztikák számítása (átlag, szórásnégyzet) - valószínűségi/ingadozási tartomány számítása az átlagra és a szórásnégyzetre Csak a minta érdekel minket? Statisztikai alapok_eloszlások_becslések 46

47 Paraméterbecslés Konfidencia-intervallum Becslésnél a sokaság tulajdonságaira (paramétereire) következtetünk a minta adatai (jellemzői/statisztikái) alapján. A becslés kivitelezése: Pontbecslés (egyetlen értéket ad meg) Intervallumbecslés: konfidencia-intervallum, amely bizonyos valószínűséggel magában foglalja a paraméter igazi értékét kétoldali megbízhatósági intervallum egyoldali megbízhatósági intervallum (alsó vagy felső határérték) Statisztikai alapok_eloszlások_becslések 47

48 Statisztikai alapok_eloszlások_becslések 48 b) Adjunk becslést a minta mögött álló sokaság varianciájára! - pontbecslés - intervallumbecslés (pl. 90%-os valószínűséggel) 1 fölső alsó P ˆ s 1 felső alsó s s P 7. példa folytatása 1 felső alsó s P

49 Konfidencia-intervallum szemlélete: Sokszor elvégezve a mintavételt a számított konfidenciaintervallumok adott %-ra lesz igaz, hogy tartalmazzák a valódi paraméterértéket. Tehát a konfidencia-intervallum határai lesznek valószínűségi változók. Statisztikai alapok_eloszlások_becslések 49

50 7. példa folytatása c) Adjunk becslést a sokaság várható értékére! - pontbecslés - intervallumbecslés, ha a variancia előzetesen ismert ˆ P 1 alsó felső P z / z / 1 n n A varianciára előzetes becslés kell! És ha nincs? t-eloszlással számolunk Statisztikai alapok_eloszlások_becslések 50

51 t-eloszlás (Student-eloszlás) t z E s pl. t= s n f(t) 0. Et t Egy paramétere van: ν ami a nevezőben szereplő szórás szabadsági foka (n-1) Statisztikai alapok_eloszlások_becslések 51

52 t-táblázat használata f(t) fejlécben: α a kétoldali kritikus értékhez láblécben: α az egyoldali kritikus értékhez / / -t / 0 t / Statisztikai alapok_eloszlások_becslések 5

53 7. példa folytatása c) Adjunk becslést a sokaság várható értékére! - pontbecslés - intervallumbecslés, ha a variancia előzetesen ismert - intervallumbecslés, ha a variancia előzetesen nem ismert P P P 1 alsó felső t t 1 t t s n t s 1 n t= s n Statisztikai alapok_eloszlások_becslések 53

54 8. (gyakorló) példa 10 ismételt mérés eredménye a következő: 4,46; 3,93; 5,79; 5,17; 3,8; 5,39; 6,54; 3,85; 4,19; 5,50. - Adjunk 95%-os konfidencia-intervallumot a várható értékre! - Adjuk meg a várható érték alsó 95%-os konfidencia-intervallumát! Variable Konfidencia-intervallum_1 Mean Std.Dv. N Confidence -95,000% Confidence +95,000% 4,8640 0, ,1875 5,5405 Variable Konfidencia-intervallum_ Mean Std.Dv. N Confidence -95,0% 4,8640 0, ,3158 Statisztikai alapok_eloszlások_becslések 54

55 9. (gyakorló) példa Egy nyolc elemű mintából számolt szórásnégyzet értéke 0,03. - Adjunk 90%-os konfidencia-intervallumot a varianciára! - Milyen határérték felett van a sokaság varianciája 90%-os valószínűséggel! P P 0, 90 alsó s P alsó fölső ( 7) ( 7) alsó 0,95,167 ( 7) ( 7) 14, 067 felső 0,05 felső 0,90 0,0114 0,0743 0, 90 s 0, 90 P alsó P P s felső 0,90 ( 7) ( 7) felső 0,1 0,0134 0, 90 1,017 Statisztikai alapok_eloszlások_becslések 55

56 F-eloszlás 1 Legyen és két, egymástól független, -eloszlású valószínűségi változó 1, ill. szabadsági fokkal. Az alábbi kifejezés F-eloszlású, ahol a számláló szabadsági fokainak száma 1, a nevezőé : 1 F 1 F s s 1 / / 1 ha 1, akkor F s s 1 Statisztikai alapok_eloszlások_becslések 56

57 Statisztikai alapok_eloszlások_becslések 57 F-táblázat használata f(f) F F 1 1 1, 1, F F 1, 1 0,05 1 0,95, 1, F F pl.

58 9. példa analitikus azonos analitikai módszerrel egy-egy méréssorozatot végez, amelyek 4 ill. 7 mérésből állnak. Milyen intervallumban lesz 90 % valószínűséggel a két minta szórásnégyzetének aránya? Minthogy azonos módszerről van szó, a variancia változatlan: 1 P F s / s F = 0,90 alsó 1 fölső,05 3,6 4, 76 F alsó F 0 F felső 1 1 F0,95 3,6 F 6,3 8,94 0,05 0,11 Statisztikai alapok_eloszlások_becslések 58

59 Paraméterbecslés (folytatás) f ˆ A becslés valószínűségi változó! a - a és b becslés torzítatlan c - c becslésnél a várható érték nem a paraméter b - a jobb becslés mint b, mert kisebb a várható érték körüli ingadozása paraméter becslés Statisztikai alapok_eloszlások_becslések 59 ˆ

60 A becslések tulajdonságai Torzítatlan becslés: E ˆn torzítás: E ˆn korrekció: ˆ E n Aszimptotikusan torzítatlan becslés: lim E ˆ n n Statisztikai alapok_eloszlások_becslések 60

61 Torzítatlan becslés E ˆn Példák: E - A számtani átlag torzítatlan becslése a várható értéknek 1 n E n E E i i 1 n i i i ˆ i n i - Az n-edik mért érték torzítatlan becslése a várható értéknek ˆ 4 E 4 Statisztikai alapok_eloszlások_becslések 61

62 A becslés hatásossága: A becslés hatásosságának mértéke a varianciája. Minél kisebb a variancia, annál hatásosabb (efficiensebb) a becslés. Példák: ˆ Var n hatásosabb ˆ 4 Var 4 kevésbé hatásos Statisztikai alapok_eloszlások_becslések 6

63 Konzisztens becslés: lim P 0 n A minta elemszámának növelésével a becslés a paraméter igazi értékéhez tart, pontosabban n növelésével egyre csökken annak valószínűsége, hogy -tól jelentősen eltérjen. Példák: ˆ n ˆn n ˆ konzisztens ˆ 4 nem konzisztens Statisztikai alapok_eloszlások_becslések 63

64 A becslések általánosabb minősítése Közepes négyzetes hiba (Mean square error) MSE E E ˆ E ˆ E ˆ E ˆ ˆ E ˆ E ˆ Var ˆ bias bias = torzítás Statisztikai alapok_eloszlások_becslések 64

65 Becslési módszerek legkisebb négyzetek módszere: a mért adatok és a becslés közötti eltérések négyzetösszegét minimalizálja, n pl. i min i1 maimum-likelihood módszer: azt a sűrűségfüggvényt, illetve paramétereit fogadjuk el becslésként, amelyből a legnagyobb valószínűséggel kapnánk a ténylegesen kapott mérési adatokat. Statisztikai alapok_eloszlások_becslések 65

STATISZTIKAI ALAPOK. Statisztikai alapok_eloszlások_becslések 1

STATISZTIKAI ALAPOK. Statisztikai alapok_eloszlások_becslések 1 STATISZTIKAI ALAPOK Statisztikai alapok_eloszlások_becslések 1 Pulzus példa Egyetemista fiatalokból álló csoport minden tagjának (9 fő) megmérték a pulzusát (PULSE1), majd kisorsolták ki fusson és ki nem

Részletesebben

Statisztika - bevezetés Méréselmélet PE MIK MI_BSc VI_BSc 1

Statisztika - bevezetés Méréselmélet PE MIK MI_BSc VI_BSc 1 Statisztika - bevezetés 00.04.05. Méréselmélet PE MIK MI_BSc VI_BSc Bevezetés Véletlen jelenség fogalma jelenséget okok bizonyos rendszere hozza létre ha mindegyik figyelembe vehető egyértelmű leírás általában

Részletesebben

Véletlen jelenség: okok rendszere hozza létre - nem ismerhetjük mind, ezért sztochasztikus.

Véletlen jelenség: okok rendszere hozza létre - nem ismerhetjük mind, ezért sztochasztikus. Valószín ségelméleti és matematikai statisztikai alapfogalmak összefoglalása (Kemény Sándor - Deák András: Mérések tervezése és eredményeik értékelése, kivonat) Véletlen jelenség: okok rendszere hozza

Részletesebben

Nagy számok törvényei Statisztikai mintavétel Várható érték becslése. Dr. Berta Miklós Fizika és Kémia Tanszék Széchenyi István Egyetem

Nagy számok törvényei Statisztikai mintavétel Várható érték becslése. Dr. Berta Miklós Fizika és Kémia Tanszék Széchenyi István Egyetem agy számok törvényei Statisztikai mintavétel Várható érték becslése Dr. Berta Miklós Fizika és Kémia Tanszék Széchenyi István Egyetem A mérés mint statisztikai mintavétel A méréssel az eloszlásfüggvénnyel

Részletesebben

KÖVETKEZTETŐ STATISZTIKA

KÖVETKEZTETŐ STATISZTIKA ÁVF GM szak 2010 ősz KÖVETKEZTETŐ STATISZTIKA A MINTAVÉTEL BECSLÉS A sokasági átlag becslése 2010 ősz Utoljára módosítva: 2010-09-07 ÁVF Oktató: Lipécz György 1 A becslés alapfeladata Pl. Hányan láttak

Részletesebben

6. Előadás. Vereb György, DE OEC BSI, október 12.

6. Előadás. Vereb György, DE OEC BSI, október 12. 6. Előadás Visszatekintés: a normális eloszlás Becslés, mintavételezés Reprezentatív minta A statisztika, mint változó Paraméter és Statisztika Torzítatlan becslés A mintaközép eloszlása - centrális határeloszlás

Részletesebben

[Biomatematika 2] Orvosi biometria

[Biomatematika 2] Orvosi biometria [Biomatematika 2] Orvosi biometria 2016.02.29. A statisztika típusai Leíró jellegű statisztika: összegzi egy adathalmaz jellemzőit. A középértéket jelemzi (medián, módus, átlag) Az adatok változékonyságát

Részletesebben

STATISZTIKA. A Föld pályája a Nap körül. Philosophiae Naturalis Principia Mathematica (A természetfilozófia matematikai alapelvei, 1687)

STATISZTIKA. A Föld pályája a Nap körül. Philosophiae Naturalis Principia Mathematica (A természetfilozófia matematikai alapelvei, 1687) STATISZTIKA 10. Előadás Megbízhatósági tartományok (Konfidencia intervallumok) Sir Isaac Newton, 1643-1727 Philosophiae Naturalis Principia Mathematica (A természetfilozófia matematikai alapelvei, 1687)

Részletesebben

Leíró és matematikai statisztika el adásnapló Matematika alapszak, matematikai elemz szakirány 2016/2017. tavaszi félév

Leíró és matematikai statisztika el adásnapló Matematika alapszak, matematikai elemz szakirány 2016/2017. tavaszi félév Leíró és matematikai statisztika el adásnapló Matematika alapszak, matematikai elemz szakirány 2016/2017. tavaszi félév A pirossal írt anyagrészeket nem fogom közvetlenül számon kérni a vizsgán, azok háttérismeretként,

Részletesebben

Statisztika elméleti összefoglaló

Statisztika elméleti összefoglaló 1 Statisztika elméleti összefoglaló Tel.: 0/453-91-78 1. Tartalomjegyzék 1. Tartalomjegyzék.... Becsléselmélet... 3 3. Intervallumbecslések... 5 4. Hipotézisvizsgálat... 8 5. Regresszió-számítás... 11

Részletesebben

biometria II. foglalkozás előadó: Prof. Dr. Rajkó Róbert Matematikai-statisztikai adatfeldolgozás

biometria II. foglalkozás előadó: Prof. Dr. Rajkó Róbert Matematikai-statisztikai adatfeldolgozás Kísérlettervezés - biometria II. foglalkozás előadó: Prof. Dr. Rajkó Róbert Matematikai-statisztikai adatfeldolgozás A matematikai-statisztika feladata tapasztalati adatok feldolgozásával segítséget nyújtani

Részletesebben

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 8 VIII. REGREssZIÓ 1. A REGREssZIÓs EGYENEs Két valószínűségi változó kapcsolatának leírására az eddigiek alapján vagy egy numerikus

Részletesebben

Kabos: Statisztika II. t-próba 9.1. Ha ismert a doboz szórása de nem ismerjük a

Kabos: Statisztika II. t-próba 9.1. Ha ismert a doboz szórása de nem ismerjük a Kabos: Statisztika II. t-próba 9.1 Egymintás z-próba Ha ismert a doboz szórása de nem ismerjük a doboz várhatóértékét, akkor a H 0 : a doboz várhatóértéke = egy rögzített érték hipotézisről úgy döntünk,

Részletesebben

Matematikai statisztika c. tárgy oktatásának célja és tematikája

Matematikai statisztika c. tárgy oktatásának célja és tematikája Matematikai statisztika c. tárgy oktatásának célja és tematikája 2015 Tematika Matematikai statisztika 1. Időkeret: 12 héten keresztül heti 3x50 perc (előadás és szeminárium) 2. Szükséges előismeretek:

Részletesebben

III. Képességvizsgálatok

III. Képességvizsgálatok Képességvizsgálatok 7 A folyamatképesség vizsgálata A 3 fejezetben láttuk, hogy ahhoz, hogy egy folyamat jellemzıjét a múltbeli viselkedése alapján egy jövıbeni idıpontra kiszámíthassuk (pontosabban, hogy

Részletesebben

Matematikai alapok és valószínőségszámítás. Statisztikai becslés Statisztikák eloszlása

Matematikai alapok és valószínőségszámítás. Statisztikai becslés Statisztikák eloszlása Matematikai alapok és valószínőségszámítás Statisztikai becslés Statisztikák eloszlása Mintavétel A statisztikában a cél, hogy az érdeklõdés tárgyát képezõ populáció bizonyos paramétereit a populációból

Részletesebben

A valószínűségszámítás elemei

A valószínűségszámítás elemei A valószínűségszámítás elemei Kísérletsorozatban az esemény relatív gyakorisága: k/n, ahol k az esemény bekövetkezésének abszolút gyakorisága, n a kísérletek száma. Pl. Jelenség: kockadobás Megfigyelés:

Részletesebben

Normális eloszlás tesztje

Normális eloszlás tesztje Valószínűség, pontbecslés, konfidenciaintervallum Normális eloszlás tesztje Kolmogorov-Szmirnov vagy Wilk-Shapiro próba. R-funkció: shapiro.test(vektor) balra ferde eloszlás jobbra ferde eloszlás balra

Részletesebben

1. Adatok kiértékelése. 2. A feltételek megvizsgálása. 3. A hipotézis megfogalmazása

1. Adatok kiértékelése. 2. A feltételek megvizsgálása. 3. A hipotézis megfogalmazása HIPOTÉZIS VIZSGÁLAT A hipotézis feltételezés egy vagy több populációról. (pl. egy gyógyszer az esetek 90%-ában hatásos; egy kezelés jelentősen megnöveli a rákos betegek túlélését). A hipotézis vizsgálat

Részletesebben

A Statisztika alapjai

A Statisztika alapjai A Statisztika alapjai BME A3c Magyar Róbert 2016.05.12. Mi az a Statisztika? A statisztika a valóság számszerű információinak megfigyelésére, összegzésére, elemzésére és modellezésére irányuló gyakorlati

Részletesebben

Több valószínűségi változó együttes eloszlása, korreláció

Több valószínűségi változó együttes eloszlása, korreláció Tartalomjegzék Előszó... 6 I. Valószínűségelméleti és matematikai statisztikai alapok... 8 1. A szükséges valószínűségelméleti és matematikai statisztikai alapismeretek összefoglalása... 8 1.1. Alapfogalmak...

Részletesebben

STATISZTIKA. A maradék független a kezelés és blokk hatástól. Maradékok leíró statisztikája. 4. A modell érvényességének ellenőrzése

STATISZTIKA. A maradék független a kezelés és blokk hatástól. Maradékok leíró statisztikája. 4. A modell érvényességének ellenőrzése 4. A modell érvényességének ellenőrzése STATISZTIKA 4. Előadás Variancia-analízis Lineáris modellek 1. Függetlenség 2. Normális eloszlás 3. Azonos varianciák A maradék független a kezelés és blokk hatástól

Részletesebben

A maximum likelihood becslésről

A maximum likelihood becslésről A maximum likelihood becslésről Definíció Parametrikus becsléssel foglalkozunk. Adott egy modell, mellyel elképzeléseink szerint jól leírható a meghatározni kívánt rendszer. (A modell típusának és rendszámának

Részletesebben

egyetemi jegyzet Meskó Balázs

egyetemi jegyzet Meskó Balázs egyetemi jegyzet 2011 Előszó 2. oldal Tartalomjegyzék 1. Bevezetés 4 1.1. A matematikai statisztika céljai.............................. 4 1.2. Alapfogalmak......................................... 4 2.

Részletesebben

Bevezetés a hipotézisvizsgálatokba

Bevezetés a hipotézisvizsgálatokba Bevezetés a hipotézisvizsgálatokba Nullhipotézis: pl. az átlag egy adott µ becslése : M ( x -µ ) = 0 Alternatív hipotézis: : M ( x -µ ) 0 Szignifikancia: - teljes bizonyosság csak teljes enumerációra -

Részletesebben

Anyagvizsgálati módszerek Mérési adatok feldolgozása. Anyagvizsgálati módszerek

Anyagvizsgálati módszerek Mérési adatok feldolgozása. Anyagvizsgálati módszerek Anyagvizsgálati módszerek Mérési adatok feldolgozása Anyagvizsgálati módszerek Pannon Egyetem Mérnöki Kar Anyagvizsgálati módszerek Statisztika 1/ 22 Mérési eredmények felhasználása Tulajdonságok hierarchikus

Részletesebben

Kísérlettervezés alapfogalmak

Kísérlettervezés alapfogalmak Kísérlettervezés alapfogalmak Rendszermodellezés Budapest University of Technology and Economics Fault Tolerant Systems Research Group Budapest University of Technology and Economics Department of Measurement

Részletesebben

Biomatematika 2 Orvosi biometria

Biomatematika 2 Orvosi biometria Biomatematika 2 Orvosi biometria 2017.02.13. Populáció és minta jellemző adatai Hibaszámítás Valószínűség 1 Esemény Egy kísérlet vagy megfigyelés (vagy mérés) lehetséges eredményeinek összessége (halmaza)

Részletesebben

[Biomatematika 2] Orvosi biometria

[Biomatematika 2] Orvosi biometria [Biomatematika 2] Orvosi biometria 2016.02.15. Esemény Egy kísérlet vagy megfigyelés (vagy mérés) lehetséges eredményeinek összessége (halmaza) alkotja az eseményteret. Esemény: az eseménytér részhalmazai.

Részletesebben

Valószínűségszámítás összefoglaló

Valószínűségszámítás összefoglaló Statisztikai módszerek BMEGEVGAT Készítette: Halász Gábor Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Gépészmérnöki Kar Hidrodinamikai Rendszerek Tanszék, Budapest, Műegyetem rkp. 3. D ép. 334. Tel:

Részletesebben

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 4 IV. MINTA, ALAPsTATIsZTIKÁK 1. MATEMATIKAI statisztika A matematikai statisztika alapfeladatát nagy általánosságban a következőképpen

Részletesebben

Normális eloszlás paramétereire vonatkozó próbák

Normális eloszlás paramétereire vonatkozó próbák Normális eloszlás paramétereire vonatkozó próbák Az alábbi próbák akkor használhatók, ha a meggyelések függetlenek, és feltételezhetjük, hogy normális eloszlásúak a meggyelések függetlenek, véges szórású

Részletesebben

STATISZTIKA ELŐADÁS ÁTTEKINTÉSE. Matematikai statisztika. Mi a modell? Binomiális eloszlás sűrűségfüggvény. Binomiális eloszlás

STATISZTIKA ELŐADÁS ÁTTEKINTÉSE. Matematikai statisztika. Mi a modell? Binomiális eloszlás sűrűségfüggvény. Binomiális eloszlás ELŐADÁS ÁTTEKINTÉSE STATISZTIKA 9. Előadás Binomiális eloszlás Egyenletes eloszlás Háromszög eloszlás Normális eloszlás Standard normális eloszlás Normális eloszlás mint modell 2/62 Matematikai statisztika

Részletesebben

Hipotézis vizsgálatok

Hipotézis vizsgálatok Hipotézis vizsgálatok Hipotézisvizsgálat Hipotézis: az alapsokaság paramétereire vagy az alapsokaság eloszlására vonatkozó feltevés. Hipotézis ellenőrzés: az a statisztikai módszer, amelynek segítségével

Részletesebben

x, x R, x rögzített esetén esemény. : ( ) x Valószínűségi Változó: Feltételes valószínűség: Teljes valószínűség Tétele: Bayes Tétel:

x, x R, x rögzített esetén esemény. : ( ) x Valószínűségi Változó: Feltételes valószínűség: Teljes valószínűség Tétele: Bayes Tétel: Feltételes valószínűség: Teljes valószínűség Tétele: Bayes Tétel: Valószínűségi változó általános fogalma: A : R leképezést valószínűségi változónak nevezzük, ha : ( ) x, x R, x rögzített esetén esemény.

Részletesebben

y ij = µ + α i + e ij

y ij = µ + α i + e ij Elmélet STATISZTIKA 3. Előadás Variancia-analízis Lineáris modellek A magyarázat a függő változó teljes heterogenitásának két részre bontását jelenti. A teljes heterogenitás egyik része az, amelynek okai

Részletesebben

Biostatisztika VIII. Mátyus László. 19 October

Biostatisztika VIII. Mátyus László. 19 October Biostatisztika VIII Mátyus László 19 October 2010 1 Ha σ nem ismert A gyakorlatban ritkán ismerjük σ-t. Ha kiszámítjuk s-t a minta alapján, akkor becsülhetjük σ-t. Ez további bizonytalanságot okoz a becslésben.

Részletesebben

Statisztika I. 8. előadás. Előadó: Dr. Ertsey Imre

Statisztika I. 8. előadás. Előadó: Dr. Ertsey Imre Statisztika I. 8. előadás Előadó: Dr. Ertsey Imre Minták alapján történő értékelések A statisztika foglalkozik. a tömegjelenségek vizsgálatával Bizonyos esetekben lehetetlen illetve célszerűtlen a teljes

Részletesebben

Kísérlettervezés alapfogalmak

Kísérlettervezés alapfogalmak Kísérlettervezés alapfogalmak Rendszermodellezés Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Méréstechnika és Információs Rendszerek Tanszék Kísérlettervezés Cél: a modell paraméterezése a valóság alapján

Részletesebben

STATISZTIKA ELŐADÁS ÁTTEKINTÉSE. Mi a modell? Matematikai statisztika. 300 dobás. sűrűségfüggvénye. Egyenletes eloszlás

STATISZTIKA ELŐADÁS ÁTTEKINTÉSE. Mi a modell? Matematikai statisztika. 300 dobás. sűrűségfüggvénye. Egyenletes eloszlás ELŐADÁS ÁTTEKINTÉSE STATISZTIKA 7. Előadás Egyenletes eloszlás Binomiális eloszlás Normális eloszlás Standard normális eloszlás Normális eloszlás mint modell /56 Matematikai statisztika Reprezentatív mintavétel

Részletesebben

Minőség-képességi index (Process capability)

Minőség-képességi index (Process capability) Minőség-képességi index (Process capability) Folyamatképesség 68 12. példa Egy gyártási folyamatban a minőségi jellemző becsült várható értéke µ250.727 egység, a variancia négyzetgyökének becslése σ 1.286

Részletesebben

Hipotézis STATISZTIKA. Kétmintás hipotézisek. Munkahipotézis (H a ) Tematika. Tudományos hipotézis. 1. Előadás. Hipotézisvizsgálatok

Hipotézis STATISZTIKA. Kétmintás hipotézisek. Munkahipotézis (H a ) Tematika. Tudományos hipotézis. 1. Előadás. Hipotézisvizsgálatok STATISZTIKA 1. Előadás Hipotézisvizsgálatok Tematika 1. Hipotézis vizsgálatok 2. t-próbák 3. Variancia-analízis 4. A variancia-analízis validálása, erőfüggvény 5. Korreláció számítás 6. Kétváltozós lineáris

Részletesebben

Matematika A3 Valószínűségszámítás, 6. gyakorlat 2013/14. tavaszi félév

Matematika A3 Valószínűségszámítás, 6. gyakorlat 2013/14. tavaszi félév Matematika A3 Valószínűségszámítás, 6. gyakorlat 2013/14. tavaszi félév 1. A várható érték és a szórás transzformációja 1. Ha egy valószínűségi változóhoz hozzáadunk ötöt, mínusz ötöt, egy b konstanst,

Részletesebben

STATISZTIKA. Egymintás u-próba. H 0 : Kefir zsírtartalma 3% Próbafüggvény, alfa=0,05. Egymintás u-próba vagy z-próba

STATISZTIKA. Egymintás u-próba. H 0 : Kefir zsírtartalma 3% Próbafüggvény, alfa=0,05. Egymintás u-próba vagy z-próba Egymintás u-próba STATISZTIKA 2. Előadás Középérték-összehasonlító tesztek Tesztelhetjük, hogy a valószínűségi változónk értéke megegyezik-e egy konkrét értékkel. Megválaszthatjuk a konfidencia intervallum

Részletesebben

e (t µ) 2 f (t) = 1 F (t) = 1 Normális eloszlás negyedik centrális momentuma:

e (t µ) 2 f (t) = 1 F (t) = 1 Normális eloszlás negyedik centrális momentuma: Normális eloszlás ξ valószínűségi változó normális eloszlású. ξ N ( µ, σ 2) Paraméterei: µ: várható érték, σ 2 : szórásnégyzet (µ tetszőleges, σ 2 tetszőleges pozitív valós szám) Normális eloszlás sűrűségfüggvénye:

Részletesebben

A bergengóc lakosság szemszín szerinti megoszlása a négy tartományban azonos:

A bergengóc lakosság szemszín szerinti megoszlása a négy tartományban azonos: A. Matematikai Statisztika 2.MINTA ZH. 2003 december Név (olvasható) :... A feladatmegoldásnak az alkalmazott matematikai modell valószínűségszámítási ill. statisztikai szóhasználat szerinti megfogalmazását,

Részletesebben

Matematikai alapok és valószínőségszámítás. Középértékek és szóródási mutatók

Matematikai alapok és valószínőségszámítás. Középértékek és szóródási mutatók Matematikai alapok és valószínőségszámítás Középértékek és szóródási mutatók Középértékek A leíró statisztikák talán leggyakrabban használt csoportját a középértékek jelentik. Legkönnyebben mint az adathalmaz

Részletesebben

Statisztikai becslés

Statisztikai becslés Kabos: Statisztika II. Becslés 1.1 Statisztikai becslés Freedman, D. - Pisani, R. - Purves, R.: Statisztika. Typotex, 2005. Reimann J. - Tóth J.: Valószínűségszámítás és matematikai statisztika. Tankönyvkiadó,

Részletesebben

Matematikai statisztikai elemzések 3.

Matematikai statisztikai elemzések 3. Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kara Prof. Dr. Závoti József Matematikai statisztikai elemzek 3. MSTE3 modul Becslelmélet: alapfogalmak, nevezetes statisztikák, intervallum-becsl SZÉKESFEHÉRVÁR

Részletesebben

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 9 IX. ROBUsZTUs statisztika 1. ROBUsZTUssÁG Az eddig kidolgozott módszerek főleg olyanok voltak, amelyek valamilyen értelemben optimálisak,

Részletesebben

Egymintás próbák. Alapkérdés: populáció <paramétere/tulajdonsága> megegyezik-e egy referencia paraméter értékkel/tulajdonsággal?

Egymintás próbák. Alapkérdés: populáció <paramétere/tulajdonsága> megegyezik-e egy referencia paraméter értékkel/tulajdonsággal? Egymintás próbák σ s μ m Alapkérdés: A populáció egy adott megegyezik-e egy referencia paraméter értékkel/tulajdonsággal? egymintás t-próba Wilcoxon-féle előjeles

Részletesebben

Biomatematika 12. Szent István Egyetem Állatorvos-tudományi Kar. Fodor János

Biomatematika 12. Szent István Egyetem Állatorvos-tudományi Kar. Fodor János Szent István Egyetem Állatorvos-tudományi Kar Biomatematikai és Számítástechnikai Tanszék Biomatematika 12. Regresszió- és korrelációanaĺızis Fodor János Copyright c Fodor.Janos@aotk.szie.hu Last Revision

Részletesebben

Két diszkrét változó függetlenségének vizsgálata, illeszkedésvizsgálat

Két diszkrét változó függetlenségének vizsgálata, illeszkedésvizsgálat Két diszkrét változó függetlenségének vizsgálata, illeszkedésvizsgálat Szűcs Mónika SZTE ÁOK-TTIK Orvosi Fizikai és Orvosi Informatikai Intézet Orvosi fizika és statisztika I. előadás 2016.11.09 Orvosi

Részletesebben

Hipotéziselmélet - paraméteres próbák. eloszlások. Matematikai statisztika Gazdaságinformatikus MSc szeptember 10. 1/58

Hipotéziselmélet - paraméteres próbák. eloszlások. Matematikai statisztika Gazdaságinformatikus MSc szeptember 10. 1/58 u- t- Matematikai statisztika Gazdaságinformatikus MSc 2. előadás 2018. szeptember 10. 1/58 u- t- 2/58 eloszlás eloszlás m várható értékkel, σ szórással N(m, σ) Sűrűségfüggvénye: f (x) = 1 e (x m)2 2σ

Részletesebben

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 10 X. SZIMULÁCIÓ 1. VÉLETLEN számok A véletlen számok fontos szerepet játszanak a véletlen helyzetek generálásában (pénzérme, dobókocka,

Részletesebben

y ij = µ + α i + e ij STATISZTIKA Sir Ronald Aylmer Fisher Példa Elmélet A variancia-analízis alkalmazásának feltételei Lineáris modell

y ij = µ + α i + e ij STATISZTIKA Sir Ronald Aylmer Fisher Példa Elmélet A variancia-analízis alkalmazásának feltételei Lineáris modell Példa STATISZTIKA Egy gazdálkodó k kukorica hibrid termesztése között választhat. Jelöljük a fajtákat A, B, C, D-vel. Döntsük el, hogy a hibridek termesztése esetén azonos terméseredményre számíthatunk-e.

Részletesebben

Valószínűségi változók. Várható érték és szórás

Valószínűségi változók. Várható érték és szórás Matematikai statisztika gyakorlat Valószínűségi változók. Várható érték és szórás Valószínűségi változók 2016. március 7-11. 1 / 13 Valószínűségi változók Legyen a (Ω, A, P) valószínűségi mező. Egy X :

Részletesebben

Kiválasztás. A változó szerint. Rangok. Nem-paraméteres eljárások. Rang: Egy valamilyen szabály szerint felállított sorban elfoglalt hely.

Kiválasztás. A változó szerint. Rangok. Nem-paraméteres eljárások. Rang: Egy valamilyen szabály szerint felállított sorban elfoglalt hely. Kiválasztás A változó szerint Egymintás t-próba Mann-Whitney U-test paraméteres nem-paraméteres Varianciaanalízis De melyiket válasszam? Kétmintás t-próba Fontos, hogy mindig a kérdésnek és a változónak

Részletesebben

A mérési eredmény megadása

A mérési eredmény megadása A mérési eredmény megadása A mérés során kapott értékek eltérnek a mérendő fizikai mennyiség valódi értékétől. Alapvetően kétféle mérési hibát különböztetünk meg: a determinisztikus és a véletlenszerű

Részletesebben

Hipotézis, sejtés STATISZTIKA. Kétmintás hipotézisek. Tudományos hipotézis. Munkahipotézis (H a ) Nullhipotézis (H 0 ) 11. Előadás

Hipotézis, sejtés STATISZTIKA. Kétmintás hipotézisek. Tudományos hipotézis. Munkahipotézis (H a ) Nullhipotézis (H 0 ) 11. Előadás STATISZTIKA Hipotézis, sejtés 11. Előadás Hipotézisvizsgálatok, nem paraméteres próbák Tudományos hipotézis Nullhipotézis felállítása (H 0 ): Kétmintás hipotézisek Munkahipotézis (H a ) Nullhipotézis (H

Részletesebben

Elemi statisztika fizikusoknak

Elemi statisztika fizikusoknak 1. oldal Elemi statisztika fizikusoknak Pollner Péter Biológiai Fizika Tanszék pollner@elte.hu Az adatok leírása, megismerése és összehasonlítása 2-1 Áttekintés 2-2 Gyakoriság eloszlások 2-3 Az adatok

Részletesebben

Statisztika I. 10. előadás. Előadó: Dr. Ertsey Imre

Statisztika I. 10. előadás. Előadó: Dr. Ertsey Imre Statisztika I. 10. előadás Előadó: Dr. Ertsey Imre Varianciaanalízis A különböző tényezők okozta szórás illetőleg szórásnégyzet összetevőire bontásán alapszik Segítségével egyszerre több mintát hasonlíthatunk

Részletesebben

Statisztika. Politológus képzés. Daróczi Gergely április 17. Politológia Tanszék

Statisztika. Politológus képzés. Daróczi Gergely április 17. Politológia Tanszék Statisztika Politológus képzés Daróczi Gergely Politológia Tanszék 2012. április 17. Outline 1 Leíró statisztikák 2 Középértékek Példa 3 Szóródási mutatók Példa 4 Néhány megjegyzés a grafikonokról 5 Számítások

Részletesebben

Többváltozós lineáris regressziós modell feltételeinek tesztelése I.

Többváltozós lineáris regressziós modell feltételeinek tesztelése I. Többváltozós lineáris regressziós modell feltételeinek tesztelése I. - A hibatagra vonatkozó feltételek tesztelése - Kvantitatív statisztikai módszerek Petrovics Petra Többváltozós lineáris regressziós

Részletesebben

Általánosan, bármilyen mérés annyit jelent, mint meghatározni, hányszor van meg

Általánosan, bármilyen mérés annyit jelent, mint meghatározni, hányszor van meg LMeasurement.tex, March, 00 Mérés Általánosan, bármilyen mérés annyit jelent, mint meghatározni, hányszor van meg a mérendő mennyiségben egy másik, a mérendővel egynemű, önkényesen egységnek választott

Részletesebben

NEVEZETES FOLYTONOS ELOSZLÁSOK

NEVEZETES FOLYTONOS ELOSZLÁSOK Bodó Beáta - MATEMATIKA II 1 NEVEZETES FOLYTONOS ELOSZLÁSOK EXPONENCIÁLIS ELOSZLÁS 1. A ξ valószínűségi változó eponenciális eloszlású 80 várható értékkel. (a) B Adja meg és ábrázolja a valószínűségi változó

Részletesebben

Egyszempontos variancia analízis. Statisztika I., 5. alkalom

Egyszempontos variancia analízis. Statisztika I., 5. alkalom Statisztika I., 5. alkalom Számos t-próba versus variancia analízis Kreativitás vizsgálata -nık -férfiak ->kétmintás t-próba I. Fajú hiba=α Kreativitás vizsgálata -informatikusok -építészek -színészek

Részletesebben

Többváltozós lineáris regressziós modell feltételeinek

Többváltozós lineáris regressziós modell feltételeinek Többváltozós lineáris regressziós modell feltételeinek tesztelése I. - A hibatagra vonatkozó feltételek tesztelése - Petrovics Petra Doktorandusz Többváltozós lineáris regressziós modell x 1, x 2,, x p

Részletesebben

Közlemény. Biostatisztika és informatika alapjai. Alapsokaság és minta

Közlemény. Biostatisztika és informatika alapjai. Alapsokaság és minta Közlemény Biostatisztika és informatika alajai. előadás: Az orvostudományban előforduló nevezetes eloszlások 6. szetember 9. Veres Dániel Statisztika és Informatika tankönyv (Herényi Levente) már kaható

Részletesebben

Matematikai statisztika szorgalmi feladatok

Matematikai statisztika szorgalmi feladatok Matematikai statisztika szorgalmi feladatok 1. Feltételes várható érték és konvolúció 1. Legyen X és Y független és azonos eloszlású valószín ségi változó véges második momentummal. Mutassuk meg, hogy

Részletesebben

Matematikai alapok és valószínőségszámítás. Normál eloszlás

Matematikai alapok és valószínőségszámítás. Normál eloszlás Matematikai alapok és valószínőségszámítás Normál eloszlás A normál eloszlás Folytonos változók esetén az eloszlás meghatározása nehezebb, mint diszkrét változók esetén. A változó értékei nem sorolhatóak

Részletesebben

Intervallumbecsle s Mintave tel+ Hipote zisvizsga lat Egyminta s pro ba k Ke tminta s pro ba k Egye b vizsga latok O sszef.

Intervallumbecsle s Mintave tel+ Hipote zisvizsga lat Egyminta s pro ba k Ke tminta s pro ba k Egye b vizsga latok O sszef. Intervallumbecsle s Mintave tel+ Hipote zisvizsga lat Egyminta s pro ba k Ke tminta s pro ba k Egye b vizsga latok O sszef. Feladatok Gazdaságstatisztika 7. Statisztikai becslések (folyt.); 8. Hipotézisvizsgálat

Részletesebben

A sokaság elemei közül a leggyakrabban előforduló érték. diszkrét folytonos

A sokaság elemei közül a leggyakrabban előforduló érték. diszkrét folytonos Középérték Középérték A középérték a statisztikai adatok tömör számszerű jellemzése. helyzeti középérték: módusz medián számított középérték: számtani átlag kronológikus átlag harmonikus átlag mértani

Részletesebben

A konfidencia intervallum képlete: x± t( α /2, df )

A konfidencia intervallum képlete: x± t( α /2, df ) 1. feladat. Egy erdőben az egy fészekben levő tojásszámokat vizsgáltuk egy madárfajnál. A következő tojásszámokat találtuk: 1, 1, 1,,,,,,, 3, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 5, 6, 7. Mi a mintának a minimuma, maximuma,

Részletesebben

Statisztika I. 9. előadás. Előadó: Dr. Ertsey Imre

Statisztika I. 9. előadás. Előadó: Dr. Ertsey Imre Statisztika I. 9. előadás Előadó: Dr. Ertsey Imre Statisztikai hipotézis vizsgálatok elsősorban a biometriában alkalmazzák, újabban reprezentatív jellegű ökonómiai vizsgálatoknál, üzemi szinten élelmiszeripari

Részletesebben

Gyakorló feladatok. Az alábbi feladatokon kívül a félév szemináriumi anyagát is nézzék át. Jó munkát! Gaál László

Gyakorló feladatok. Az alábbi feladatokon kívül a félév szemináriumi anyagát is nézzék át. Jó munkát! Gaál László Gyakorló feladatok Az alábbi feladatokon kívül a félév szemináriumi anyagát is nézzék át. Jó munkát! Gaál László I/. A vizsgaidőszak második napján a hallgatók %-ának az E épületben, %-ának a D épületben,

Részletesebben

Biometria, haladó biostatisztika EA+GY biometub17vm Szerda 8:00-9:00, 9:00-11:00 Déli Tömb 0-804, Lóczy Lajos terem

Biometria, haladó biostatisztika EA+GY biometub17vm Szerda 8:00-9:00, 9:00-11:00 Déli Tömb 0-804, Lóczy Lajos terem Biometria, haladó biostatisztika EA+GY biometub17vm Szerda 8:00-9:00, 9:00-11:00 Déli Tömb 0-804, Lóczy Lajos terem Előadások-gyakorlatok 2018-ban (13 alkalom) IX.12, 19, 26, X. 3, 10, 17, 24, XI. 7, 14,

Részletesebben

Eseményalgebra. Esemény: minden amirl a kísérlet elvégzése során eldönthet egyértelmen hogy a kísérlet során bekövetkezett-e vagy sem.

Eseményalgebra. Esemény: minden amirl a kísérlet elvégzése során eldönthet egyértelmen hogy a kísérlet során bekövetkezett-e vagy sem. Eseményalgebra. Esemény: minden amirl a kísérlet elvégzése során eldönthet egyértelmen hogy a kísérlet során bekövetkezett-e vagy sem. Elemi esemény: a kísérlet egyes lehetséges egyes lehetséges kimenetelei.

Részletesebben

Segítség az outputok értelmezéséhez

Segítség az outputok értelmezéséhez Tanulni: 10.1-10.3, 10.5, 11.10. Hf: A honlapra feltett falco_exp.zip-ben lévő exploratív elemzések áttanulmányozása, érdekességek, észrevételek kigyűjtése. Segítség az outputok értelmezéséhez Leiro: Leíró

Részletesebben

Biometria az orvosi gyakorlatban. Korrelációszámítás, regresszió

Biometria az orvosi gyakorlatban. Korrelációszámítás, regresszió SZDT-08 p. 1/31 Biometria az orvosi gyakorlatban Korrelációszámítás, regresszió Werner Ágnes Villamosmérnöki és Információs Rendszerek Tanszék e-mail: werner.agnes@virt.uni-pannon.hu Korrelációszámítás

Részletesebben

Statisztika I. 4. előadás Mintavétel. Kóczy Á. László KGK-VMI. Minta Mintavétel Feladatok. http://uni-obuda.hu/users/koczyl/statisztika1.

Statisztika I. 4. előadás Mintavétel. Kóczy Á. László KGK-VMI. Minta Mintavétel Feladatok. http://uni-obuda.hu/users/koczyl/statisztika1. Statisztika I. 4. előadás Mintavétel http://uni-obuda.hu/users/koczyl/statisztika1.htm Kóczy Á. László KGK-VMI koczy.laszlo@kgk.uni-obuda.hu Sokaság és minta Alap- és mintasokaság A mintasokaság az a részsokaság,

Részletesebben

Kutatásmódszertan és prezentációkészítés

Kutatásmódszertan és prezentációkészítés Kutatásmódszertan és prezentációkészítés 10. rész: Az adatelemzés alapjai Szerző: Kmetty Zoltán Lektor: Fokasz Nikosz Tizedik rész Az adatelemzés alapjai Tartalomjegyzék Bevezetés Leíró statisztikák I

Részletesebben

Biomatematika 13. Varianciaanaĺızis (ANOVA)

Biomatematika 13. Varianciaanaĺızis (ANOVA) Szent István Egyetem Állatorvos-tudományi Kar Biomatematikai és Számítástechnikai Tanszék Biomatematika 13. Varianciaanaĺızis (ANOVA) Fodor János Copyright c Fodor.Janos@aotk.szie.hu Last Revision Date:

Részletesebben

A biostatisztika alapfogalmai, hipotézisvizsgálatok. Dr. Boda Krisztina Boda PhD SZTE ÁOK Orvosi Informatikai Intézet

A biostatisztika alapfogalmai, hipotézisvizsgálatok. Dr. Boda Krisztina Boda PhD SZTE ÁOK Orvosi Informatikai Intézet A biostatisztika alapfogalmai, hipotézisvizsgálatok Dr. Boda Krisztina Boda PhD SZTE ÁOK Orvosi Informatikai Intézet Hipotézisvizsgálatok A hipotézisvizsgálat során a rendelkezésre álló adatok (statisztikai

Részletesebben

A valószínűségszámítás elemei

A valószínűségszámítás elemei Alapfogalmak BIOSTATISZTIKA ÉS INFORMATIKA A valószínűségszámítás elemei Jelenség: minden, ami lényegében azonos feltételek mellett megismételhető, amivel kapcsolatban megfigyeléseket lehet végezni, lehet

Részletesebben

2. A ξ valószín ségi változó eloszlásfüggvénye a következ : x 4 81 F (x) = x 4 ha 3 < x 0 különben

2. A ξ valószín ségi változó eloszlásfüggvénye a következ : x 4 81 F (x) = x 4 ha 3 < x 0 különben 1 feladatsor 1 Egy dobozban 20 fehér golyó van Egy szabályos dobókockával dobunk, majd a következ t tesszük: ha a dobott szám 1,2 vagy 3, akkor tíz golyót cserélünk ki pirosra; ha a dobott szám 4 vagy

Részletesebben

Mintavétel fogalmai STATISZTIKA, BIOMETRIA. Mintavételi hiba. Statisztikai adatgyűjtés. Nem véletlenen alapuló kiválasztás

Mintavétel fogalmai STATISZTIKA, BIOMETRIA. Mintavételi hiba. Statisztikai adatgyűjtés. Nem véletlenen alapuló kiválasztás STATISZTIKA, BIOMETRIA. Előadás Mintavétel, mintavételi technikák, adatbázis Mintavétel fogalmai A mintavételt meg kell tervezni A sokaság elemei: X, X X N, lehet véges és végtelen Mintaelemek: x, x x

Részletesebben

Statisztika I. 4. előadás Mintavétel. Kóczy Á. László KGK-VMI. Minta Mintavétel Feladatok. http://uni-obuda.hu/users/koczyl/statisztika1.

Statisztika I. 4. előadás Mintavétel. Kóczy Á. László KGK-VMI. Minta Mintavétel Feladatok. http://uni-obuda.hu/users/koczyl/statisztika1. Statisztika I. 4. előadás Mintavétel http://uni-obuda.hu/users/koczyl/statisztika1.htm Kóczy Á. László KGK-VMI koczy.laszlo@kgk.uni-obuda.hu Sokaság és minta Alap- és mintasokaság A mintasokaság az a részsokaság,

Részletesebben

Biometria gyakorló feladatok BsC hallgatók számára

Biometria gyakorló feladatok BsC hallgatók számára Biometria gyakorló feladatok BsC hallgatók számára 1. Egy üzem alkalmazottainak megoszlása az elért teljesítmény %-a szerint a következı: Norma teljesítmény % Dolgozók száma 60-80 30 81-90 70 91-100 90

Részletesebben

[Biomatematika 2] Orvosi biometria

[Biomatematika 2] Orvosi biometria [Biomatematika 2] Orvosi biometria 2016.02.22. Valószínűségi változó Véletlentől függő számértékeket (értékek sokasága) felvevő változókat valószínűségi változóknak nevezzük(jelölés: ξ, η, x). (pl. x =

Részletesebben

Nemparaméteres próbák

Nemparaméteres próbák Nemparaméteres próbák Budapesti Mőszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Gépészmérnöki Kar Hidrodinamikai Rendszerek Tanszék 1111, Budapest, Mőegyetem rkp. 3. D ép. 334. Tel: 463-16-80 Fax: 463-30-91 http://www.vizgep.bme.hu

Részletesebben

Biostatisztika Összefoglalás

Biostatisztika Összefoglalás Biostatisztika Összefoglalás A biostatisztika vizsga A biostatisztika vizsga az Orvosi fizika és statisztika I. fizika vizsgájával egy napon történik. A vizsga keretében 30 perc alatt 0 kérdésre kell válaszolni

Részletesebben

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 3 III. VÉLETLEN VEKTOROK 1. A KÉTDIMENZIÓs VÉLETLEN VEKTOR Definíció: Az leképezést (kétdimenziós) véletlen vektornak nevezzük, ha Definíció:

Részletesebben

1. Két pályázat esetén a nyerési esélyeket vizsgálják. Mintát véve mindkét pályázat esetén az egyik. (b) Mit nevezünk másodfajú hibának?

1. Két pályázat esetén a nyerési esélyeket vizsgálják. Mintát véve mindkét pályázat esetén az egyik. (b) Mit nevezünk másodfajú hibának? Statisztika 2015. május 08. D csoport Név Neptun kód 1. Két pályázat esetén a nyerési esélyeket vizsgálják. Mintát véve mindkét pályázat esetén az egyik pályázatnál 320 pályázóból 42 nyert, a másik pályázatnál

Részletesebben

2013 ŐSZ. 1. Mutassa be az egymintás z-próba célját, alkalmazásának feltételeit és módszerét!

2013 ŐSZ. 1. Mutassa be az egymintás z-próba célját, alkalmazásának feltételeit és módszerét! GAZDASÁGSTATISZTIKA KIDOLGOZOTT ELMÉLETI KÉRDÉSEK A 3. ZH-HOZ 2013 ŐSZ Elméleti kérdések összegzése 1. Mutassa be az egymintás z-próba célját, alkalmazásának feltételeit és módszerét! 2. Mutassa be az

Részletesebben

Biostatisztika Összefoglalás

Biostatisztika Összefoglalás Biostatisztika Összefoglalás A biostatisztika vizsga A biostatisztika vizsga az Orvosi fizika és statisztika I. fizika vizsgájával egy napon történik. A vizsga keretében 30 perc alatt 0 kérdésre kell válaszolni

Részletesebben

Elméleti összefoglaló a Sztochasztika alapjai kurzushoz

Elméleti összefoglaló a Sztochasztika alapjai kurzushoz Elméleti összefoglaló a Sztochasztika alapjai kurzushoz 1. dolgozat Véletlen kísérletek, események valószín sége Deníció. Egy véletlen kísérlet lehetséges eredményeit kimeneteleknek nevezzük. A kísérlet

Részletesebben

Statisztika Elıadások letölthetık a címrıl

Statisztika Elıadások letölthetık a címrıl Statisztika Elıadások letölthetık a http://www.cs.elte.hu/~arato/stat*.pdf címrıl Konfidencia intervallum Def.: 1-α megbízhatóságú konfidencia intervallum: Olyan intervallum, mely legalább 1-α valószínőséggel

Részletesebben

Mi az adat? Az adat elemi ismeret. Az adatokból információkat

Mi az adat? Az adat elemi ismeret. Az adatokból információkat Mi az adat? Az adat elemi ismeret. Tények, fogalmak olyan megjelenési formája, amely alkalmas emberi eszközökkel történő értelmezésre, feldolgozásra, továbbításra. Az adatokból gondolkodás vagy gépi feldolgozás

Részletesebben

Statisztikai módszerek 7. gyakorlat

Statisztikai módszerek 7. gyakorlat Statisztikai módszerek 7. gyakorlat A tanult nem paraméteres próbák: PRÓBA NEVE Illeszkedés-vizsgálat Χ 2 próbával Homogenitás-vizsgálat Χ 2 próbával Normalitás-vizsgálataΧ 2 próbával MIRE SZOLGÁL? A val.-i

Részletesebben