STATISZTIKAI ALAPOK. Statisztikai alapok_eloszlások_becslések 1
|
|
- Gyula Borbély
- 4 évvel ezelőtt
- Látták:
Átírás
1 STATISZTIKAI ALAPOK Statisztikai alapok_eloszlások_becslések 1
2 Pulzus példa Egyetemista fiatalokból álló csoport minden tagjának (9 fő) megmérték a pulzusát (PULSE1), majd kisorsolták ki fusson és ki nem (RAN). Futás után újból mérték a pulzust (PULSE). A résztvevők néhány jellemzőjét (dohányzás, nem, magasság, testsúly stb.) a pulzus adatokkal együtt táblázatos formában rögzítették. A táblázatban egy sor egyazon személy adatait tartalmazza. Statisztikai alapok_eloszlások_becslések
3 MÉRÉSI SKÁLÁK, VÁLTOZÓK TÍPUSAI Minőségi változók (attributes) névleges (nominal, categorical) sorrendi (ordered categorical) Mennyiségi változók (variables) intervallum (interval) arányos (proportional) Minden változótípust a megfelelő statisztikai módszerrel kell elemezni! Statisztikai alapok_eloszlások_becslések 3
4 LEÍRÓ STATISZTIKÁK Milyen mutatókkal jellemezhetjük az adatokat? 1. Helyzeti mutatók (számtani) átlag: az értékek számtani közepe medián: sorba rendezve a középső érték 1 N N i1 i módusz: a leggyakoribb érték Statisztikai alapok_eloszlások_becslések 4
5 LEÍRÓ STATISZTIKÁK. Szóródási mutatók terjedelem: a ma. és a min. érték közti különbség kvartilis, interkvartilis terjedelem (IQR) ld. később szórásnégyzet és szórás (SD): 1 átlagtól való átlagos négyzetes eltérés s N 1 N i i1 RSD%: relatív szórás RSD% = s ҧ 100 Statisztikai alapok_eloszlások_becslések 5
6 AZ ADATOK ÁBRÁZOLÁSA Yogi Berra: " You can observe a lot by watching " Statisztikai alapok_eloszlások_becslések 6
7 Mérési adatok ábrázolása: Pont ábrázolás (Dotplot) Sok adatra a dotplot nem elég informatív Statisztikai alapok_eloszlások_becslések 7
8 Mérési adatok ábrázolása: Dobozos ábra (Bo-plot) kvartilis IQR Statisztikai alapok_eloszlások_becslések 8
9 Mérési adatok ábrázolása: hisztogram Gyakorisági hisztogram Statisztikai alapok_eloszlások_becslések 9
10 Mérési adatok ábrázolása: hisztogram Kumulált gyakorisági hisztogram Statisztikai alapok_eloszlások_becslések 10
11 Dobozos ábra és hisztogram szimmetrikus eloszlásból vett mintára M a = 63 M in = 37 75% = % = 44.8 M edian = % 5% 10% 15% 0% 5% 30% rel. g y ak. Statisztikai alapok_eloszlások_becslések 11
12 Dobozos ábra és hisztogram aszimmetrikus eloszlásból vett mintára M a = 1 5 M in = % = % =. 0 M e d ia n = 4. 4 outlie r % 5% 10% 15% 0% 5% frequency Statisztikai alapok_eloszlások_becslések 1
13 1. Hasonlítsuk össze a futás előtti és utáni pulzus értékeket! Két változó együttes ábrázolása. Hasonlítsuk össze nemek szerint a testmagasságokat! Statisztikai alapok_eloszlások_becslések 13
14 Két változó együttes ábrázolása 3. Van-e összefüggés/kapcsolat a testmagasság és a testsúly értékek között? 3/b. Készíthetünk informatívabb ábrát is? Statisztikai alapok_eloszlások_becslések 14
15 Milyen típusú kérdéseket tehetünk fel az adatsor láttán? Milyen érték körül ingadoznak a mért nyugalmi pulzus-értékek (átlag, medián)? Mekkora a mért nyugalmi pulzus-értékek ingadozása (szórás)? Nőtt a vizsgált személyek pulzusa a futás után? MINTA (9 hallgató) Csak ez érdekel minket? Statisztikai alapok_eloszlások_becslések 15
16 Milyen típusú kérdésekre keresünk majd választ a félév során? Az egyetemista fiatalok (sokaságának) nyugalmi pulzus-értéke milyen tartományban található adott (pl. 90%-os) valószínűséggel? Az egyetemista fiatalok (sokaságának) nyugalmi pulzus-értéke milyen határérték alatt található adott (pl. 95%-os) valószínűséggel? Milyen ingadozásra számíthatunk a pulzus értékekben, ha további hallgatókat vonunk be a vizsgálatba? Befolyásolja-e a futás a pulzus értékét? Várhatóan növekszik-e a pulzus-érték a futás hatására? Különbözik az egyetemisták testmagasságának várható értéke nemek szerint? SOKASÁG (lehetséges értékek) Statisztikai alapok_eloszlások_becslések 16
17 ALAPFOGALMAK (Vázlat) Sokaság és minta Véletlen jelenség Valószínűségi változó diszkrét vagy folytonos Sűrűség- és eloszlásfüggvény Statisztika és paraméter Véletlen és rendszeres hiba Statisztikai alapok_eloszlások_becslések 17
18 Sokaság (population) és minta (sample) a sokaság érdekel, de a minta van a kezünkben! Példák a sokaságra, mi lehet a minta az egyes esetekben? egyetemista fiatalok nyugalmi pulzus-értéke a szennyezett vízminta nitrát-koncentrációja egy alkatrészről lekerülő csavarok átmérője a futószalagon gyártott konzervek töltőtömege a lehetséges mérési eredmények a lehetséges gyártott darabok sokasága Véletlen mintavétel! Sokaság (population) Minta (sample) Statisztikai alapok_eloszlások_becslések 18
19 Az ingadozás, bizonytalanság elkerülhetetlen: ha újra megmérjük ugyanannak a személynek a pulzusát, nem lesz ugyanannyi azaz az ismételt mérési eredmények nem lesznek azonosak ha másik napon / másik készüléken / másik személy mér, nem kapunk ugyanolyan értéket reprodukálhatósági ingadozás ha másik mintát veszünk a szennyezett vízből, nem lesz teljesen azonos a gyártott termékpéldányok különböznek ha egy tételből többször veszünk mintát, a talált selejtarány változik mintán belüli inhomogenitás A mérési eredmények valószínűségi (véletlen) változók! Statisztikai alapok_eloszlások_becslések 19
20 Valószínűségi változó fogalma Azok a mennyiségek, amelyeknek az értéke nem állandó, hanem esetről esetre más és más, azonban meghatározható, hogy mekkora valószínűséggel esnek megadott határok közé. Statisztikai alapok_eloszlások_becslések 0
21 Diszkrét valószínűségi változó Példák: pénzérme: fej/írás dobókocka dobás Kísérlet: dobjuk föl a pénzérmét 10-szer, az eredmény (kimenetel) : k-szor fej p() p k P k F() F i Statisztikai alapok_eloszlások_becslések i k 1 k P k p
22 Folytonos valószínűségi változó Példák: testmagasság, pulzus vízminta koncentrációja Sűrűségfüggvény (density function) P a b a b f Statisztikai alapok_eloszlások_becslések b a d
23 Folytonos valószínűségi változó Eloszlásfüggvény (distribution function) F() F( i ) i F i P i f Statisztikai alapok_eloszlások_becslések 3 i d
24 Statisztika (jellemző) - a mintát jellemzik - valószínűségi változók számtani átlag (sample mean) 1 N N i1 tapasztalati medián i és várható érték (epected value) medián paraméter - a sokaságot jellemzik - konstansok E f ( ) d szórásnégyzet (mean square) variancia (variance) (korrigált) N Var E f s 1 N 1 i i1 Statisztikai alapok_eloszlások_becslések 4 d
25 Várható értékre és a varianciára vonatkozó azonosságok /1 Ec cex Var c c Var Példa Egy lombikba töltött folyadék térfogatának várható értéke 10,05 cm 3, a térfogat varianciája 4*10-4 (cm 3 ). Mekkora a várható érték és a variancia mm 3 -ben? Jelölje a térfogatot cm 3 -ben. E Var * E 10 *10, * Var 10 *410 A várható érték tehát mm 3, a variancia pedig 400 (mm 3 ). Statisztikai alapok_eloszlások_becslések 5
26 E Várható értékre és a varianciára vonatkozó azonosságok / E E E Var Var Var Var csak független val. váltózókra! Ha mindegyik i azonos eloszlású és független:... 1 ne Var... n nvar E n 1 Példa azonos eloszlású független változókra: ismételt mérések Független mérés (ismétlés) fogalma Statisztikai alapok_eloszlások_becslések 6
27 Véletlen és rendszeres hiba Hiba: a mért érték és a valódi érték különbsége mért értékek () Véletlen hiba Rendszeres (és véletlen) hiba valódi érték (μ 0 ) A mérés várható értéke [E()] hol található a két ábrán? Torzítatlan mérés: Ha a mérés várható értéke megegyezik a valódi értékkel. Statisztikai alapok_eloszlások_becslések 7
28 NORMÁLIS ELOSZLÁS f 1 ep 1 Két paramétere van: és E f() f() Var Rövid jelölése: N, különböző Statisztikai alapok_eloszlások_becslések 8 különböző
29 Normalizált (standardizált) normális eloszlás A normális eloszlás eloszlásfüggvényét (F()) numerikus integrálással számíthatjuk, azonban ehhez háromdimenziós táblázatra lenne szükség. Célszerű tehát transzformációt keresnünk. z Ez 0 Varz 1 z ~ N 0,1 f z 1 z ep Statisztikai alapok_eloszlások_becslések 9
30 Normalizált (standardizált) normális eloszlás z Ez 0 Varz 1 z-táblázat használata f z 1 z ep Nem szerepel benne egyetlen paraméter sem Statisztikai alapok_eloszlások_becslések 30
31 Mire jó nekünk a z-táblázat? ahol z a a P a Pz z a Statisztikai alapok_eloszlások_becslések 31
32 Példák a normális eloszlás alkalmazására 1. példa Tegyük fel, hogy ismerjük az egyetemista fiatalok nyugalmi pulzusértékének eloszlását. Kérdés: A fiatalok 90%-ának pulzusa milyen érték alatt található? (Vagy egy véletlenszerűen kiválasztott fiatal pulzusa 90%-os valószínűsége milyen érték alatt lesz?). példa Határozzuk meg azt a szimmetrikus intervallumot, melyben egy 10 g tömegű súly (egyszeri) lemérésekor kapott érték 95%-os valószínűséggel lesz, ha a mérés torzítatlan és varianciája 0,5 g! Statisztikai alapok_eloszlások_becslések 3
33 P P 1 a f z z 1 a z f z P z 1 a z f α jelölést bevezetve: P z 1 / z / / alsó -z 0 fölsõ z / z Mi változik a számításban, ha 99%-os valószínűségi intervallumot kérdezünk? 0,05 0,01 1-0,95 0,99 1-/ 0,975 0,995 z 1,96,58 Statisztikai alapok_eloszlások_becslések 33
34 3. példa Határozzuk meg annak valószínűségét, hogy az normális eloszlású valószínűségi változó a (-σ, +σ ) intervallumba eső értéket vesz fel! (Pl. azt kérdezzük, hogy milyen valószínűséggel esik a 10±0,5 intervallumba, ha =10, =0,5) P F F alsó felső Statisztikai alapok_eloszlások_becslések 34
35 P() P() z z Statisztikai alapok_eloszlások_becslések 35
36 zalsó 1 z fölső 1 Intervallum szélessége ±σ ±σ ±3σ z P Statisztikai alapok_eloszlások_becslések 36
37 4. példa Egy próbatest átmérőjére vonatkozó specifikáció: 9,6 cm±0,5 cm. Sok (száz) darabot megvizsgálva azt találták, hogy az átlagos átmérő 9,5 cm, a méret-ingadozás szórásnégyzete pedig 0,05cm. A próbatestek mekkora hányada nem felel meg a specifikációnak, azaz mekkora lesz a selejtarány? 5. példa (. példa módosítva) A 10 g-os súlyt most ötször mérjük le. Milyen szimmetrikus intervallumban lesz a mintaelemek átlaga 95%-os valószínűséggel? (A mérés torzítatlan és varianciája 0,5 g.) Statisztikai alapok_eloszlások_becslések 37
38 Statisztikai alapok_eloszlások_becslések 38 n i n i n... n E E n n E E E n n E E n n i i * ] 1 [ 1 n n Var Var n n Var n n Var Var n i i n i i * * A számtani középérték (átlag)
39 Centrális határeloszlási tétel Bármilyen eloszlású sokaságból vett minták számtani középértéke közelítőleg normális eloszlást követ az eredeti eloszlás várható értéke körül, varianciájuk pedig /n; tehát N(, /n) eloszlású. Statisztikai alapok_eloszlások_becslések 39
40 . példa 5. példa z átlag z n f() alsó egyedi () fölsõ f() átlag alsó átlag fölsõ P P z 1 / z / 101,960,5 101,960,5 0, P z n z 1 / / n P 101,960, ,960,5 5 0, 95 Szűkebb intervallum! Statisztikai alapok_eloszlások_becslések 40
41 átlag 1. átlag alsó átlag fö lsõ f() 0.8 alsó fölsõ 0.4 egyedi Statisztikai alapok_eloszlások_becslések 41
42 - (khi-négyzet-) eloszlás 0.0 f( ) =4 =7 =10 n i1 z i Egy paramétere van: ν ami négyzetösszeg szabadsági foka E Var Statisztikai alapok_eloszlások_becslések 4
43 - táblázat használata f( ) Statisztikai alapok_eloszlások_becslések 43
44 s A normális eloszlású sokaságból vett minta tapasztalati szórásnégyzetének eloszlása 1 n 1 n i i1 Bizonyítható, hogy: n i1 i eloszlású n 1 szab. fokkal (Részletes levezetése a Fisher-Cochran tétel felhasználásával az előadáson.) Ezt felhasználva: s eloszlású n 1 szab. fokkal Statisztikai alapok_eloszlások_becslések 44
45 6.a példa (5. példa szövege, de új kérdéssel) Egy 10 g tömegű súlyt (etalont) ötször mérünk le. Milyen szimmetrikus intervallumban lesz a minta szórásnégyzete 95%-os valószínűséggel? (Az adatok normális eloszlásúak, varianciájuk 0,5 g.) f( ) s s 0, 95 P s alsó fölső P 0, 95 alsó fölső alsó fölső 0, 975 0,4844 0, 05 11,143 alsó fölsõ Statisztikai alapok_eloszlások_becslések 45
46 s s 0, 95 P s alsó fölső P alsó fölső 0,48440,5 P s 4 P alsó 11,1430,5 4 s 0,95 fölső 6.b példa Határozzuk meg azt az értéket, amelyet s 95%-os valószínűséggel nem halad meg! s 0, 95 P s P s fölső fölső 0,95 egyoldali! fölső 0, 05 9,488 Statisztikai alapok_eloszlások_becslések 46
47 7. példa Egy oldat koncentrációját háromszor megmérve az alábbi adatokat kapták: 8,; 8,3 és 8,5 mg/cm 3. a) Jellemezzük a mintát! - statisztikák számítása (átlag, szórásnégyzet) - valószínűségi/ingadozási tartomány számítása az átlagra és a szórásnégyzetre (ha ismerjük a várható értéket és a varianciát) Csak a minta érdekel minket? Statisztikai alapok_eloszlások_becslések 47
48 Paraméterbecslés Konfidencia-intervallum Becslésnél a sokaság tulajdonságaira (paramétereire) következtetünk a minta adatai (jellemzői/statisztikái) alapján. A becslés kivitelezése: Pontbecslés (egyetlen értéket ad meg) Intervallumbecslés: konfidencia-intervallum, amely bizonyos valószínűséggel magában foglalja a paraméter igazi értékét kétoldali megbízhatósági intervallum egyoldali megbízhatósági intervallum (alsó vagy felső határérték) Statisztikai alapok_eloszlások_becslések 48
49 Pl. a várható értékre: egy L és U határolta (kétoldali) intervallum: P L U 1 A 100(1-α)%-os alsó L határ: P P L 1 A 100(1-α)%-os fölső U határ: U 1 STATISZTIKAI ALAPOK 49
50 Statisztikai alapok_eloszlások_becslések 50 b) Adjunk becslést a minta mögött álló sokaság varianciájára! - pontbecslés - intervallumbecslés (pl. 90%-os valószínűséggel) 1 fölső alsó P ˆ s 1 felső alsó s s P 7. példa folytatása 1 felső alsó s P
51 7. példa folytatása c) Adjunk becslést a sokaság várható értékére! - pontbecslés - intervallumbecslés, ha a variancia előzetesen ismert ˆ P 1 alsó felső P z 1 / z / n n Akkor számolhatunk z-eloszlással, ha a varianciára van előzetes becslésünk! És ha nincs? t-eloszlással számolunk Statisztikai alapok_eloszlások_becslések 51
52 Konfidencia-intervallum szemlélete Sokszor elvégezve a mintavételt a számított konfidencia-intervallumok adott %-ra lesz igaz, hogy tartalmazzák a valódi paraméterértéket. Tehát a konfidencia-intervallum határai lesznek valószínűségi változók. Statisztikai alapok_eloszlások_becslések 5
53 t-eloszlás (Student-eloszlás) t z E s pl. t= s n f(t) 0. Et t Egy paramétere van: ν ami a nevezőben szereplő szórás szabadsági foka (n-1) Statisztikai alapok_eloszlások_becslések 53
54 t-táblázat használata f(t) fejlécben: α a kétoldali kritikus értékhez láblécben: α az egyoldali kritikus értékhez / / -t / 0 t / Statisztikai alapok_eloszlások_becslések 54
55 7. példa folytatása c) Adjunk becslést a sokaság várható értékére! - pontbecslés - intervallumbecslés, ha a variancia előzetesen ismert - intervallumbecslés, ha a variancia előzetesen nem ismert P P 1 t t 1 t t s n t s 1 P alsó felső n t= s n Statisztikai alapok_eloszlások_becslések 55
56 8. (gyakorló) példa 10 ismételt mérés eredménye a következő: 4,46; 3,93; 5,79; 5,17; 3,8; 5,39; 6,54; 3,85; 4,19; 5,50. - Adjunk 95%-os konfidencia-intervallumot a várható értékre! - Adjuk meg a várható érték alsó 95%-os konfidencia-intervallumát! Variable Konfidencia-intervallum_1 Mean Std.Dv. N Confidence -95,000% Confidence +95,000% 4,8640 0, ,1875 5,5405 Variable Konfidencia-intervallum_ Mean Std.Dv. N Confidence -95,0% 4,8640 0, ,3158 Statisztikai alapok_eloszlások_becslések 56
57 9. (gyakorló) példa Egy nyolc elemű mintából számolt szórásnégyzet értéke 0,03. - Adjunk 90%-os konfidencia-intervallumot a varianciára! - Milyen határérték felett van a sokaság varianciája 90%-os valószínűséggel! P P 0, 90 alsó s P alsó fölső ( 7) ( 7) alsó 0,95,167 ( 7) ( 7) 14, 067 felső 0,05 felső 0,90 0,0114 0,0743 0, 90 s 0, 90 P alsó P P s felső 0,90 ( 7) ( 7) felső 0,1 0,0134 0, 90 1,017 Statisztikai alapok_eloszlások_becslések 57
58 F-eloszlás 1 Legyen és két, egymástól független, -eloszlású valószínűségi változó 1, ill. szabadsági fokkal. Az alábbi kifejezés F-eloszlású, ahol a számláló szabadsági fokainak száma 1, a nevezőé : 1 F 1 F 1 s s / / 1 ha 1, akkor F 1 s s Statisztikai alapok_eloszlások_becslések 58
59 Statisztikai alapok_eloszlások_becslések 59 F-táblázat használata f(f) F F 1 1 1, 1, F F 1, 1 0,05 1 0,95, 1, F F pl.
60 9. példa analitikus azonos analitikai módszerrel egy-egy méréssorozatot végez, amelyek 4 ill. 7 mérésből állnak. Milyen intervallumban lesz 90 % valószínűséggel a két minta szórásnégyzetének aránya? Minthogy azonos módszerről van szó, a variancia változatlan: 1 P F alsó s s 1 F fölső = 0,90 F felső,05 3,6 4, 76 F 0 F alsó 1 1 F0,953,6 F 6,3 8,94 0,05 0,11 Statisztikai alapok_eloszlások_becslések 60
61 Paraméterbecslés (folytatás) f ˆ A becslés valószínűségi változó! a - a és b becslés torzítatlan c - c becslésnél a várható érték nem a paraméter b - a jobb becslés mint b, mert kisebb a várható érték körüli ingadozása paraméter becslés Statisztikai alapok_eloszlások_becslések 61 ˆ
62 A becslések tulajdonságai Torzítatlan becslés: E ˆn E ˆn torzítás: korrekció: ˆ E n lim E ˆ Aszimptotikusan torzítatlan becslés: n n Statisztikai alapok_eloszlások_becslések 6
63 Torzítatlan becslés E ˆn Példák: E - A számtani átlag torzítatlan becslése a várható értéknek 1 n E n E E i i 1 n i i i ˆ i n i - Az n-edik mért érték torzítatlan becslése a várható értéknek ˆ 4 E 4 Statisztikai alapok_eloszlások_becslések 63
64 A becslés hatásossága: A becslés hatásosságának mértéke a varianciája. Minél kisebb a variancia, annál hatásosabb (efficiensebb) a becslés. Példák: ˆ Var n hatásosabb ˆ 4 Var 4 kevésbé hatásos Statisztikai alapok_eloszlások_becslések 64
65 lim Konzisztens becslés: 0 n ˆ n A minta elemszámának növelésével a becslés a paraméter igazi értékéhez tart, pontosabban n növelésével egyre csökken annak valószínűsége, hogy -tól jelentősen eltérjen. Példák: P ˆn n ˆ konzisztens ˆ 4 nem konzisztens Statisztikai alapok_eloszlások_becslések 65
66 A becslések általánosabb minősítése Közepes négyzetes hiba (Mean square error) MSE E E ˆ E ˆ E ˆ E ˆ ˆ E ˆ E ˆ Var ˆ bias bias = torzítás Statisztikai alapok_eloszlások_becslések 66
67 Becslési módszerek legkisebb négyzetek módszere: a mért adatok és a becslés közötti eltérések négyzetösszegét minimalizálja, n pl. i min i1 maimum-likelihood módszer: azt a sűrűségfüggvényt, illetve paramétereit fogadjuk el becslésként, amelyből a legnagyobb valószínűséggel kapnánk a ténylegesen kapott mérési adatokat. Statisztikai alapok_eloszlások_becslések 67
STATISZTIKAI ALAPOK. Statisztikai alapok_eloszlások_becslések 1
STATISZTIKAI ALAPOK Statisztikai alapok_eloszlások_becslések 1 Pulzus példa Egyetemista fiatalokból álló csoport minden tagjának (9 fő) megmérték a pulzusát (PULSE1), majd kisorsolták ki fusson és ki nem
RészletesebbenStatisztika - bevezetés Méréselmélet PE MIK MI_BSc VI_BSc 1
Statisztika - bevezetés 00.04.05. Méréselmélet PE MIK MI_BSc VI_BSc Bevezetés Véletlen jelenség fogalma jelenséget okok bizonyos rendszere hozza létre ha mindegyik figyelembe vehető egyértelmű leírás általában
RészletesebbenVéletlen jelenség: okok rendszere hozza létre - nem ismerhetjük mind, ezért sztochasztikus.
Valószín ségelméleti és matematikai statisztikai alapfogalmak összefoglalása (Kemény Sándor - Deák András: Mérések tervezése és eredményeik értékelése, kivonat) Véletlen jelenség: okok rendszere hozza
RészletesebbenNagy számok törvényei Statisztikai mintavétel Várható érték becslése. Dr. Berta Miklós Fizika és Kémia Tanszék Széchenyi István Egyetem
agy számok törvényei Statisztikai mintavétel Várható érték becslése Dr. Berta Miklós Fizika és Kémia Tanszék Széchenyi István Egyetem A mérés mint statisztikai mintavétel A méréssel az eloszlásfüggvénnyel
Részletesebben6. Előadás. Vereb György, DE OEC BSI, október 12.
6. Előadás Visszatekintés: a normális eloszlás Becslés, mintavételezés Reprezentatív minta A statisztika, mint változó Paraméter és Statisztika Torzítatlan becslés A mintaközép eloszlása - centrális határeloszlás
RészletesebbenKÖVETKEZTETŐ STATISZTIKA
ÁVF GM szak 2010 ősz KÖVETKEZTETŐ STATISZTIKA A MINTAVÉTEL BECSLÉS A sokasági átlag becslése 2010 ősz Utoljára módosítva: 2010-09-07 ÁVF Oktató: Lipécz György 1 A becslés alapfeladata Pl. Hányan láttak
RészletesebbenLeíró és matematikai statisztika el adásnapló Matematika alapszak, matematikai elemz szakirány 2016/2017. tavaszi félév
Leíró és matematikai statisztika el adásnapló Matematika alapszak, matematikai elemz szakirány 2016/2017. tavaszi félév A pirossal írt anyagrészeket nem fogom közvetlenül számon kérni a vizsgán, azok háttérismeretként,
Részletesebben[Biomatematika 2] Orvosi biometria
[Biomatematika 2] Orvosi biometria 2016.02.29. A statisztika típusai Leíró jellegű statisztika: összegzi egy adathalmaz jellemzőit. A középértéket jelemzi (medián, módus, átlag) Az adatok változékonyságát
RészletesebbenA valószínűségszámítás elemei
A valószínűségszámítás elemei Kísérletsorozatban az esemény relatív gyakorisága: k/n, ahol k az esemény bekövetkezésének abszolút gyakorisága, n a kísérletek száma. Pl. Jelenség: kockadobás Megfigyelés:
RészletesebbenSTATISZTIKA. A Föld pályája a Nap körül. Philosophiae Naturalis Principia Mathematica (A természetfilozófia matematikai alapelvei, 1687)
STATISZTIKA 10. Előadás Megbízhatósági tartományok (Konfidencia intervallumok) Sir Isaac Newton, 1643-1727 Philosophiae Naturalis Principia Mathematica (A természetfilozófia matematikai alapelvei, 1687)
Részletesebbenbiometria II. foglalkozás előadó: Prof. Dr. Rajkó Róbert Matematikai-statisztikai adatfeldolgozás
Kísérlettervezés - biometria II. foglalkozás előadó: Prof. Dr. Rajkó Róbert Matematikai-statisztikai adatfeldolgozás A matematikai-statisztika feladata tapasztalati adatok feldolgozásával segítséget nyújtani
RészletesebbenA Statisztika alapjai
A Statisztika alapjai BME A3c Magyar Róbert 2016.05.12. Mi az a Statisztika? A statisztika a valóság számszerű információinak megfigyelésére, összegzésére, elemzésére és modellezésére irányuló gyakorlati
RészletesebbenStatisztika elméleti összefoglaló
1 Statisztika elméleti összefoglaló Tel.: 0/453-91-78 1. Tartalomjegyzék 1. Tartalomjegyzék.... Becsléselmélet... 3 3. Intervallumbecslések... 5 4. Hipotézisvizsgálat... 8 5. Regresszió-számítás... 11
RészletesebbenMatematikai statisztika c. tárgy oktatásának célja és tematikája
Matematikai statisztika c. tárgy oktatásának célja és tematikája 2015 Tematika Matematikai statisztika 1. Időkeret: 12 héten keresztül heti 3x50 perc (előadás és szeminárium) 2. Szükséges előismeretek:
RészletesebbenIII. Képességvizsgálatok
Képességvizsgálatok 7 A folyamatképesség vizsgálata A 3 fejezetben láttuk, hogy ahhoz, hogy egy folyamat jellemzıjét a múltbeli viselkedése alapján egy jövıbeni idıpontra kiszámíthassuk (pontosabban, hogy
RészletesebbenMatematikai alapok és valószínőségszámítás. Statisztikai becslés Statisztikák eloszlása
Matematikai alapok és valószínőségszámítás Statisztikai becslés Statisztikák eloszlása Mintavétel A statisztikában a cél, hogy az érdeklõdés tárgyát képezõ populáció bizonyos paramétereit a populációból
RészletesebbenFEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI
FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 8 VIII. REGREssZIÓ 1. A REGREssZIÓs EGYENEs Két valószínűségi változó kapcsolatának leírására az eddigiek alapján vagy egy numerikus
RészletesebbenMatematikai alapok és valószínőségszámítás. Középértékek és szóródási mutatók
Matematikai alapok és valószínőségszámítás Középértékek és szóródási mutatók Középértékek A leíró statisztikák talán leggyakrabban használt csoportját a középértékek jelentik. Legkönnyebben mint az adathalmaz
RészletesebbenKabos: Statisztika II. t-próba 9.1. Ha ismert a doboz szórása de nem ismerjük a
Kabos: Statisztika II. t-próba 9.1 Egymintás z-próba Ha ismert a doboz szórása de nem ismerjük a doboz várhatóértékét, akkor a H 0 : a doboz várhatóértéke = egy rögzített érték hipotézisről úgy döntünk,
RészletesebbenSTATISZTIKA. A maradék független a kezelés és blokk hatástól. Maradékok leíró statisztikája. 4. A modell érvényességének ellenőrzése
4. A modell érvényességének ellenőrzése STATISZTIKA 4. Előadás Variancia-analízis Lineáris modellek 1. Függetlenség 2. Normális eloszlás 3. Azonos varianciák A maradék független a kezelés és blokk hatástól
RészletesebbenFEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI
FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 4 IV. MINTA, ALAPsTATIsZTIKÁK 1. MATEMATIKAI statisztika A matematikai statisztika alapfeladatát nagy általánosságban a következőképpen
RészletesebbenBiomatematika 2 Orvosi biometria
Biomatematika 2 Orvosi biometria 2017.02.13. Populáció és minta jellemző adatai Hibaszámítás Valószínűség 1 Esemény Egy kísérlet vagy megfigyelés (vagy mérés) lehetséges eredményeinek összessége (halmaza)
Részletesebben[Biomatematika 2] Orvosi biometria
[Biomatematika 2] Orvosi biometria 2016.02.15. Esemény Egy kísérlet vagy megfigyelés (vagy mérés) lehetséges eredményeinek összessége (halmaza) alkotja az eseményteret. Esemény: az eseménytér részhalmazai.
RészletesebbenA maximum likelihood becslésről
A maximum likelihood becslésről Definíció Parametrikus becsléssel foglalkozunk. Adott egy modell, mellyel elképzeléseink szerint jól leírható a meghatározni kívánt rendszer. (A modell típusának és rendszámának
Részletesebben1. Adatok kiértékelése. 2. A feltételek megvizsgálása. 3. A hipotézis megfogalmazása
HIPOTÉZIS VIZSGÁLAT A hipotézis feltételezés egy vagy több populációról. (pl. egy gyógyszer az esetek 90%-ában hatásos; egy kezelés jelentősen megnöveli a rákos betegek túlélését). A hipotézis vizsgálat
RészletesebbenSTATISZTIKA ELŐADÁS ÁTTEKINTÉSE. Matematikai statisztika. Mi a modell? Binomiális eloszlás sűrűségfüggvény. Binomiális eloszlás
ELŐADÁS ÁTTEKINTÉSE STATISZTIKA 9. Előadás Binomiális eloszlás Egyenletes eloszlás Háromszög eloszlás Normális eloszlás Standard normális eloszlás Normális eloszlás mint modell 2/62 Matematikai statisztika
RészletesebbenValószínűségszámítás összefoglaló
Statisztikai módszerek BMEGEVGAT Készítette: Halász Gábor Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Gépészmérnöki Kar Hidrodinamikai Rendszerek Tanszék, Budapest, Műegyetem rkp. 3. D ép. 334. Tel:
RészletesebbenNormális eloszlás tesztje
Valószínűség, pontbecslés, konfidenciaintervallum Normális eloszlás tesztje Kolmogorov-Szmirnov vagy Wilk-Shapiro próba. R-funkció: shapiro.test(vektor) balra ferde eloszlás jobbra ferde eloszlás balra
RészletesebbenTöbb valószínűségi változó együttes eloszlása, korreláció
Tartalomjegzék Előszó... 6 I. Valószínűségelméleti és matematikai statisztikai alapok... 8 1. A szükséges valószínűségelméleti és matematikai statisztikai alapismeretek összefoglalása... 8 1.1. Alapfogalmak...
RészletesebbenStatisztika. Politológus képzés. Daróczi Gergely április 17. Politológia Tanszék
Statisztika Politológus képzés Daróczi Gergely Politológia Tanszék 2012. április 17. Outline 1 Leíró statisztikák 2 Középértékek Példa 3 Szóródási mutatók Példa 4 Néhány megjegyzés a grafikonokról 5 Számítások
RészletesebbenBevezetés a hipotézisvizsgálatokba
Bevezetés a hipotézisvizsgálatokba Nullhipotézis: pl. az átlag egy adott µ becslése : M ( x -µ ) = 0 Alternatív hipotézis: : M ( x -µ ) 0 Szignifikancia: - teljes bizonyosság csak teljes enumerációra -
RészletesebbenAnyagvizsgálati módszerek Mérési adatok feldolgozása. Anyagvizsgálati módszerek
Anyagvizsgálati módszerek Mérési adatok feldolgozása Anyagvizsgálati módszerek Pannon Egyetem Mérnöki Kar Anyagvizsgálati módszerek Statisztika 1/ 22 Mérési eredmények felhasználása Tulajdonságok hierarchikus
RészletesebbenKísérlettervezés alapfogalmak
Kísérlettervezés alapfogalmak Rendszermodellezés Budapest University of Technology and Economics Fault Tolerant Systems Research Group Budapest University of Technology and Economics Department of Measurement
Részletesebbenegyetemi jegyzet Meskó Balázs
egyetemi jegyzet 2011 Előszó 2. oldal Tartalomjegyzék 1. Bevezetés 4 1.1. A matematikai statisztika céljai.............................. 4 1.2. Alapfogalmak......................................... 4 2.
RészletesebbenA leíró statisztikák
A leíró statisztikák A leíró statisztikák fogalma, haszna Gyakori igény az, hogy egy adathalmazt elemei egyenkénti felsorolása helyett néhány jellemző tulajdonságának megadásával jellemezzünk. Ezeket az
RészletesebbenNormális eloszlás paramétereire vonatkozó próbák
Normális eloszlás paramétereire vonatkozó próbák Az alábbi próbák akkor használhatók, ha a meggyelések függetlenek, és feltételezhetjük, hogy normális eloszlásúak a meggyelések függetlenek, véges szórású
RészletesebbenStatisztika I. 8. előadás. Előadó: Dr. Ertsey Imre
Statisztika I. 8. előadás Előadó: Dr. Ertsey Imre Minták alapján történő értékelések A statisztika foglalkozik. a tömegjelenségek vizsgálatával Bizonyos esetekben lehetetlen illetve célszerűtlen a teljes
RészletesebbenSTATISZTIKA ELŐADÁS ÁTTEKINTÉSE. Mi a modell? Matematikai statisztika. 300 dobás. sűrűségfüggvénye. Egyenletes eloszlás
ELŐADÁS ÁTTEKINTÉSE STATISZTIKA 7. Előadás Egyenletes eloszlás Binomiális eloszlás Normális eloszlás Standard normális eloszlás Normális eloszlás mint modell /56 Matematikai statisztika Reprezentatív mintavétel
RészletesebbenHipotézis vizsgálatok
Hipotézis vizsgálatok Hipotézisvizsgálat Hipotézis: az alapsokaság paramétereire vagy az alapsokaság eloszlására vonatkozó feltevés. Hipotézis ellenőrzés: az a statisztikai módszer, amelynek segítségével
RészletesebbenElemi statisztika fizikusoknak
1. oldal Elemi statisztika fizikusoknak Pollner Péter Biológiai Fizika Tanszék pollner@elte.hu Az adatok leírása, megismerése és összehasonlítása 2-1 Áttekintés 2-2 Gyakoriság eloszlások 2-3 Az adatok
RészletesebbenKutatásmódszertan és prezentációkészítés
Kutatásmódszertan és prezentációkészítés 10. rész: Az adatelemzés alapjai Szerző: Kmetty Zoltán Lektor: Fokasz Nikosz Tizedik rész Az adatelemzés alapjai Tartalomjegyzék Bevezetés Leíró statisztikák I
RészletesebbenBiostatisztika VIII. Mátyus László. 19 October
Biostatisztika VIII Mátyus László 19 October 2010 1 Ha σ nem ismert A gyakorlatban ritkán ismerjük σ-t. Ha kiszámítjuk s-t a minta alapján, akkor becsülhetjük σ-t. Ez további bizonytalanságot okoz a becslésben.
Részletesebbenx, x R, x rögzített esetén esemény. : ( ) x Valószínűségi Változó: Feltételes valószínűség: Teljes valószínűség Tétele: Bayes Tétel:
Feltételes valószínűség: Teljes valószínűség Tétele: Bayes Tétel: Valószínűségi változó általános fogalma: A : R leképezést valószínűségi változónak nevezzük, ha : ( ) x, x R, x rögzített esetén esemény.
Részletesebbeny ij = µ + α i + e ij
Elmélet STATISZTIKA 3. Előadás Variancia-analízis Lineáris modellek A magyarázat a függő változó teljes heterogenitásának két részre bontását jelenti. A teljes heterogenitás egyik része az, amelynek okai
RészletesebbenFEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI
FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 9 IX. ROBUsZTUs statisztika 1. ROBUsZTUssÁG Az eddig kidolgozott módszerek főleg olyanok voltak, amelyek valamilyen értelemben optimálisak,
RészletesebbenStatisztikai becslés
Kabos: Statisztika II. Becslés 1.1 Statisztikai becslés Freedman, D. - Pisani, R. - Purves, R.: Statisztika. Typotex, 2005. Reimann J. - Tóth J.: Valószínűségszámítás és matematikai statisztika. Tankönyvkiadó,
RészletesebbenHipotézis STATISZTIKA. Kétmintás hipotézisek. Munkahipotézis (H a ) Tematika. Tudományos hipotézis. 1. Előadás. Hipotézisvizsgálatok
STATISZTIKA 1. Előadás Hipotézisvizsgálatok Tematika 1. Hipotézis vizsgálatok 2. t-próbák 3. Variancia-analízis 4. A variancia-analízis validálása, erőfüggvény 5. Korreláció számítás 6. Kétváltozós lineáris
RészletesebbenSegítség az outputok értelmezéséhez
Tanulni: 10.1-10.3, 10.5, 11.10. Hf: A honlapra feltett falco_exp.zip-ben lévő exploratív elemzések áttanulmányozása, érdekességek, észrevételek kigyűjtése. Segítség az outputok értelmezéséhez Leiro: Leíró
RészletesebbenMinőség-képességi index (Process capability)
Minőség-képességi index (Process capability) Folyamatképesség 68 12. példa Egy gyártási folyamatban a minőségi jellemző becsült várható értéke µ250.727 egység, a variancia négyzetgyökének becslése σ 1.286
RészletesebbenA konfidencia intervallum képlete: x± t( α /2, df )
1. feladat. Egy erdőben az egy fészekben levő tojásszámokat vizsgáltuk egy madárfajnál. A következő tojásszámokat találtuk: 1, 1, 1,,,,,,, 3, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 5, 6, 7. Mi a mintának a minimuma, maximuma,
RészletesebbenSTATISZTIKA. Egymintás u-próba. H 0 : Kefir zsírtartalma 3% Próbafüggvény, alfa=0,05. Egymintás u-próba vagy z-próba
Egymintás u-próba STATISZTIKA 2. Előadás Középérték-összehasonlító tesztek Tesztelhetjük, hogy a valószínűségi változónk értéke megegyezik-e egy konkrét értékkel. Megválaszthatjuk a konfidencia intervallum
RészletesebbenA sokaság elemei közül a leggyakrabban előforduló érték. diszkrét folytonos
Középérték Középérték A középérték a statisztikai adatok tömör számszerű jellemzése. helyzeti középérték: módusz medián számított középérték: számtani átlag kronológikus átlag harmonikus átlag mértani
RészletesebbenMatematika A3 Valószínűségszámítás, 6. gyakorlat 2013/14. tavaszi félév
Matematika A3 Valószínűségszámítás, 6. gyakorlat 2013/14. tavaszi félév 1. A várható érték és a szórás transzformációja 1. Ha egy valószínűségi változóhoz hozzáadunk ötöt, mínusz ötöt, egy b konstanst,
RészletesebbenHipotéziselmélet - paraméteres próbák. eloszlások. Matematikai statisztika Gazdaságinformatikus MSc szeptember 10. 1/58
u- t- Matematikai statisztika Gazdaságinformatikus MSc 2. előadás 2018. szeptember 10. 1/58 u- t- 2/58 eloszlás eloszlás m várható értékkel, σ szórással N(m, σ) Sűrűségfüggvénye: f (x) = 1 e (x m)2 2σ
RészletesebbenKét diszkrét változó függetlenségének vizsgálata, illeszkedésvizsgálat
Két diszkrét változó függetlenségének vizsgálata, illeszkedésvizsgálat Szűcs Mónika SZTE ÁOK-TTIK Orvosi Fizikai és Orvosi Informatikai Intézet Orvosi fizika és statisztika I. előadás 2016.11.09 Orvosi
RészletesebbenKísérlettervezés alapfogalmak
Kísérlettervezés alapfogalmak Rendszermodellezés Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Méréstechnika és Információs Rendszerek Tanszék Kísérlettervezés Cél: a modell paraméterezése a valóság alapján
RészletesebbenNEVEZETES FOLYTONOS ELOSZLÁSOK
Bodó Beáta - MATEMATIKA II 1 NEVEZETES FOLYTONOS ELOSZLÁSOK EXPONENCIÁLIS ELOSZLÁS 1. A ξ valószínűségi változó eponenciális eloszlású 80 várható értékkel. (a) B Adja meg és ábrázolja a valószínűségi változó
RészletesebbenBiostatisztika Összefoglalás
Biostatisztika Összefoglalás A biostatisztika vizsga A biostatisztika vizsga az Orvosi fizika és statisztika I. fizika vizsgájával egy napon történik. A vizsga keretében 30 perc alatt 0 kérdésre kell válaszolni
RészletesebbenEgymintás próbák. Alapkérdés: populáció <paramétere/tulajdonsága> megegyezik-e egy referencia paraméter értékkel/tulajdonsággal?
Egymintás próbák σ s μ m Alapkérdés: A populáció egy adott megegyezik-e egy referencia paraméter értékkel/tulajdonsággal? egymintás t-próba Wilcoxon-féle előjeles
RészletesebbenMatematikai statisztikai elemzések 3.
Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kara Prof. Dr. Závoti József Matematikai statisztikai elemzek 3. MSTE3 modul Becslelmélet: alapfogalmak, nevezetes statisztikák, intervallum-becsl SZÉKESFEHÉRVÁR
Részletesebbene (t µ) 2 f (t) = 1 F (t) = 1 Normális eloszlás negyedik centrális momentuma:
Normális eloszlás ξ valószínűségi változó normális eloszlású. ξ N ( µ, σ 2) Paraméterei: µ: várható érték, σ 2 : szórásnégyzet (µ tetszőleges, σ 2 tetszőleges pozitív valós szám) Normális eloszlás sűrűségfüggvénye:
RészletesebbenValószínűségi változók. Várható érték és szórás
Matematikai statisztika gyakorlat Valószínűségi változók. Várható érték és szórás Valószínűségi változók 2016. március 7-11. 1 / 13 Valószínűségi változók Legyen a (Ω, A, P) valószínűségi mező. Egy X :
RészletesebbenA bergengóc lakosság szemszín szerinti megoszlása a négy tartományban azonos:
A. Matematikai Statisztika 2.MINTA ZH. 2003 december Név (olvasható) :... A feladatmegoldásnak az alkalmazott matematikai modell valószínűségszámítási ill. statisztikai szóhasználat szerinti megfogalmazását,
RészletesebbenBiostatisztika Összefoglalás
Biostatisztika Összefoglalás A biostatisztika vizsga A biostatisztika vizsga az Orvosi fizika és statisztika I. fizika vizsgájával egy napon történik. A vizsga keretében 30 perc alatt 0 kérdésre kell válaszolni
RészletesebbenStatisztika 2. Dr Gősi Zsuzsanna Egyetemi adjunktus
Statisztika 2. Dr Gősi Zsuzsanna Egyetemi adjunktus Gyakorisági sorok Mennyiségi ismérv jellemző rangsor készítünk. (pl. napi jegyeladások száma) A gyakorisági sor képzése igazából tömörítést jelent Nagyszámú
RészletesebbenSTATISZTIKA. András hármas. Éva ötös. Nóri négyes. 5 4,5 4 3,5 3 2,5 2 1,5 ANNA BÉLA CILI 0,5 MAGY. MAT. TÖRT. KÉM.
STATISZTIKA 5 4,5 4 3,5 3 2,5 2 1,5 1 0,5 0 MAGY. MAT. TÖRT. KÉM. ANNA BÉLA CILI András hármas. Béla Az átlag 3,5! kettes. Éva ötös. Nóri négyes. 1 mérés: dolgokhoz valamely szabály alapján szám rendelése
RészletesebbenKözlemény. Biostatisztika és informatika alapjai. Alapsokaság és minta
Közlemény Biostatisztika és informatika alajai. előadás: Az orvostudományban előforduló nevezetes eloszlások 6. szetember 9. Veres Dániel Statisztika és Informatika tankönyv (Herényi Levente) már kaható
RészletesebbenA mérési eredmény megadása
A mérési eredmény megadása A mérés során kapott értékek eltérnek a mérendő fizikai mennyiség valódi értékétől. Alapvetően kétféle mérési hibát különböztetünk meg: a determinisztikus és a véletlenszerű
RészletesebbenHipotézis, sejtés STATISZTIKA. Kétmintás hipotézisek. Tudományos hipotézis. Munkahipotézis (H a ) Nullhipotézis (H 0 ) 11. Előadás
STATISZTIKA Hipotézis, sejtés 11. Előadás Hipotézisvizsgálatok, nem paraméteres próbák Tudományos hipotézis Nullhipotézis felállítása (H 0 ): Kétmintás hipotézisek Munkahipotézis (H a ) Nullhipotézis (H
RészletesebbenSTATISZTIKA I. Változékonyság (szóródás) A szóródás mutatószámai. Terjedelem. Forgalom terjedelem. Excel függvények. Függvénykategória: Statisztikai
Változékonyság (szóródás) STATISZTIKA I. 5. Előadás Szóródási mutatók A középértékek a sokaság elemeinek értéknagyságbeli különbségeit eltakarhatják. A változékonyság az azonos tulajdonságú, de eltérő
RészletesebbenStatisztika I. 4. előadás Mintavétel. Kóczy Á. László KGK-VMI. Minta Mintavétel Feladatok. http://uni-obuda.hu/users/koczyl/statisztika1.
Statisztika I. 4. előadás Mintavétel http://uni-obuda.hu/users/koczyl/statisztika1.htm Kóczy Á. László KGK-VMI koczy.laszlo@kgk.uni-obuda.hu Sokaság és minta Alap- és mintasokaság A mintasokaság az a részsokaság,
RészletesebbenFEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI
FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 10 X. SZIMULÁCIÓ 1. VÉLETLEN számok A véletlen számok fontos szerepet játszanak a véletlen helyzetek generálásában (pénzérme, dobókocka,
RészletesebbenBiomatematika 2 Orvosi biometria
Biomatematika 2 Orvosi biometria 2017.02.05. Orvosi biometria (orvosi biostatisztika) Statisztika: tömegjelenségeket számadatokkal leíró tudomány. A statisztika elkészítésének menete: tanulmányok (kísérletek)
RészletesebbenStatisztikai alapfogalmak
Statisztika I. KÉPLETEK 2011-2012-es tanév I. félév Statisztikai alapfogalmak Adatok pontossága Mért adat Abszolút hibakorlát Relatív hibakorlát Statisztikai elemzések viszonyszámokkal : a legutolsó kiírt
RészletesebbenEseményalgebra. Esemény: minden amirl a kísérlet elvégzése során eldönthet egyértelmen hogy a kísérlet során bekövetkezett-e vagy sem.
Eseményalgebra. Esemény: minden amirl a kísérlet elvégzése során eldönthet egyértelmen hogy a kísérlet során bekövetkezett-e vagy sem. Elemi esemény: a kísérlet egyes lehetséges egyes lehetséges kimenetelei.
RészletesebbenStatisztika I. 9. előadás. Előadó: Dr. Ertsey Imre
Statisztika I. 9. előadás Előadó: Dr. Ertsey Imre Statisztikai hipotézis vizsgálatok elsősorban a biometriában alkalmazzák, újabban reprezentatív jellegű ökonómiai vizsgálatoknál, üzemi szinten élelmiszeripari
RészletesebbenStatisztika I. 4. előadás Mintavétel. Kóczy Á. László KGK-VMI. Minta Mintavétel Feladatok. http://uni-obuda.hu/users/koczyl/statisztika1.
Statisztika I. 4. előadás Mintavétel http://uni-obuda.hu/users/koczyl/statisztika1.htm Kóczy Á. László KGK-VMI koczy.laszlo@kgk.uni-obuda.hu Sokaság és minta Alap- és mintasokaság A mintasokaság az a részsokaság,
RészletesebbenGyakorló feladatok. Az alábbi feladatokon kívül a félév szemináriumi anyagát is nézzék át. Jó munkát! Gaál László
Gyakorló feladatok Az alábbi feladatokon kívül a félév szemináriumi anyagát is nézzék át. Jó munkát! Gaál László I/. A vizsgaidőszak második napján a hallgatók %-ának az E épületben, %-ának a D épületben,
RészletesebbenTöbbváltozós lineáris regressziós modell feltételeinek tesztelése I.
Többváltozós lineáris regressziós modell feltételeinek tesztelése I. - A hibatagra vonatkozó feltételek tesztelése - Kvantitatív statisztikai módszerek Petrovics Petra Többváltozós lineáris regressziós
RészletesebbenBiomatematika 12. Szent István Egyetem Állatorvos-tudományi Kar. Fodor János
Szent István Egyetem Állatorvos-tudományi Kar Biomatematikai és Számítástechnikai Tanszék Biomatematika 12. Regresszió- és korrelációanaĺızis Fodor János Copyright c Fodor.Janos@aotk.szie.hu Last Revision
RészletesebbenÁltalánosan, bármilyen mérés annyit jelent, mint meghatározni, hányszor van meg
LMeasurement.tex, March, 00 Mérés Általánosan, bármilyen mérés annyit jelent, mint meghatározni, hányszor van meg a mérendő mennyiségben egy másik, a mérendővel egynemű, önkényesen egységnek választott
RészletesebbenA biostatisztika alapfogalmai, hipotézisvizsgálatok. Dr. Boda Krisztina Boda PhD SZTE ÁOK Orvosi Informatikai Intézet
A biostatisztika alapfogalmai, hipotézisvizsgálatok Dr. Boda Krisztina Boda PhD SZTE ÁOK Orvosi Informatikai Intézet Hipotézisvizsgálatok A hipotézisvizsgálat során a rendelkezésre álló adatok (statisztikai
RészletesebbenBevezető Adatok rendezése Adatok jellemzése Időbeli elemzés
Gazdaságstatisztika 2. előadás Egy ismérv szerinti rendezés Kóczy Á. László KGK VMI Áttekintés Gyakorisági sorok Grafikus ábrázolásuk Helyzetmutatók Szóródási mutatók Az aszimmetria mérőszámai Koncentráció
RészletesebbenTöbbváltozós lineáris regressziós modell feltételeinek
Többváltozós lineáris regressziós modell feltételeinek tesztelése I. - A hibatagra vonatkozó feltételek tesztelése - Petrovics Petra Doktorandusz Többváltozós lineáris regressziós modell x 1, x 2,, x p
Részletesebbeny ij = µ + α i + e ij STATISZTIKA Sir Ronald Aylmer Fisher Példa Elmélet A variancia-analízis alkalmazásának feltételei Lineáris modell
Példa STATISZTIKA Egy gazdálkodó k kukorica hibrid termesztése között választhat. Jelöljük a fajtákat A, B, C, D-vel. Döntsük el, hogy a hibridek termesztése esetén azonos terméseredményre számíthatunk-e.
RészletesebbenMintavétel fogalmai STATISZTIKA, BIOMETRIA. Mintavételi hiba. Statisztikai adatgyűjtés. Nem véletlenen alapuló kiválasztás
STATISZTIKA, BIOMETRIA. Előadás Mintavétel, mintavételi technikák, adatbázis Mintavétel fogalmai A mintavételt meg kell tervezni A sokaság elemei: X, X X N, lehet véges és végtelen Mintaelemek: x, x x
RészletesebbenPopulációbecslések és monitoring
Populációbecslések és monitoring A becslés szerepe az ökológiában és a vadgazdálkodásban. A becslési módszerek csoportosítása. Teljes számlálás. Statisztikai alapfogalmak. Fontos lehet tudnunk, hogy hány
RészletesebbenKiválasztás. A változó szerint. Rangok. Nem-paraméteres eljárások. Rang: Egy valamilyen szabály szerint felállított sorban elfoglalt hely.
Kiválasztás A változó szerint Egymintás t-próba Mann-Whitney U-test paraméteres nem-paraméteres Varianciaanalízis De melyiket válasszam? Kétmintás t-próba Fontos, hogy mindig a kérdésnek és a változónak
RészletesebbenMatematikai statisztika szorgalmi feladatok
Matematikai statisztika szorgalmi feladatok 1. Feltételes várható érték és konvolúció 1. Legyen X és Y független és azonos eloszlású valószín ségi változó véges második momentummal. Mutassuk meg, hogy
RészletesebbenMatematikai alapok és valószínőségszámítás. Normál eloszlás
Matematikai alapok és valószínőségszámítás Normál eloszlás A normál eloszlás Folytonos változók esetén az eloszlás meghatározása nehezebb, mint diszkrét változók esetén. A változó értékei nem sorolhatóak
RészletesebbenFeladatok: pontdiagram és dobozdiagram. Hogyan csináltuk?
Feladatok: pontdiagram és dobozdiagram Hogyan csináltuk? Alakmutatók: ferdeség, csúcsosság Alakmutatók a ferdeség és csúcsosság mérésére Ez eloszlás centrumát (középérték) és az adatok centrum körüli terpeszkedését
RészletesebbenIntervallumbecsle s Mintave tel+ Hipote zisvizsga lat Egyminta s pro ba k Ke tminta s pro ba k Egye b vizsga latok O sszef.
Intervallumbecsle s Mintave tel+ Hipote zisvizsga lat Egyminta s pro ba k Ke tminta s pro ba k Egye b vizsga latok O sszef. Feladatok Gazdaságstatisztika 7. Statisztikai becslések (folyt.); 8. Hipotézisvizsgálat
RészletesebbenA valószínűségszámítás elemei
Alapfogalmak BIOSTATISZTIKA ÉS INFORMATIKA A valószínűségszámítás elemei Jelenség: minden, ami lényegében azonos feltételek mellett megismételhető, amivel kapcsolatban megfigyeléseket lehet végezni, lehet
RészletesebbenBiometria az orvosi gyakorlatban. Korrelációszámítás, regresszió
SZDT-08 p. 1/31 Biometria az orvosi gyakorlatban Korrelációszámítás, regresszió Werner Ágnes Villamosmérnöki és Információs Rendszerek Tanszék e-mail: werner.agnes@virt.uni-pannon.hu Korrelációszámítás
RészletesebbenStatisztika I. 10. előadás. Előadó: Dr. Ertsey Imre
Statisztika I. 10. előadás Előadó: Dr. Ertsey Imre Varianciaanalízis A különböző tényezők okozta szórás illetőleg szórásnégyzet összetevőire bontásán alapszik Segítségével egyszerre több mintát hasonlíthatunk
Részletesebben2. A ξ valószín ségi változó eloszlásfüggvénye a következ : x 4 81 F (x) = x 4 ha 3 < x 0 különben
1 feladatsor 1 Egy dobozban 20 fehér golyó van Egy szabályos dobókockával dobunk, majd a következ t tesszük: ha a dobott szám 1,2 vagy 3, akkor tíz golyót cserélünk ki pirosra; ha a dobott szám 4 vagy
RészletesebbenBiometria, haladó biostatisztika EA+GY biometub17vm Szerda 8:00-9:00, 9:00-11:00 Déli Tömb 0-804, Lóczy Lajos terem
Biometria, haladó biostatisztika EA+GY biometub17vm Szerda 8:00-9:00, 9:00-11:00 Déli Tömb 0-804, Lóczy Lajos terem Előadások-gyakorlatok 2018-ban (13 alkalom) IX.12, 19, 26, X. 3, 10, 17, 24, XI. 7, 14,
Részletesebben2013 ŐSZ. 1. Mutassa be az egymintás z-próba célját, alkalmazásának feltételeit és módszerét!
GAZDASÁGSTATISZTIKA KIDOLGOZOTT ELMÉLETI KÉRDÉSEK A 3. ZH-HOZ 2013 ŐSZ Elméleti kérdések összegzése 1. Mutassa be az egymintás z-próba célját, alkalmazásának feltételeit és módszerét! 2. Mutassa be az
RészletesebbenEgyszempontos variancia analízis. Statisztika I., 5. alkalom
Statisztika I., 5. alkalom Számos t-próba versus variancia analízis Kreativitás vizsgálata -nık -férfiak ->kétmintás t-próba I. Fajú hiba=α Kreativitás vizsgálata -informatikusok -építészek -színészek
RészletesebbenGRADUÁLIS BIOSTATISZTIKAI KURZUS február hó 22. Dr. Dinya Elek egyetemi docens
GRADUÁLIS BIOSTATISZTIKAI KURZUS 2012. február hó 22. Dr. Dinya Elek egyetemi docens Biometria fogalma The active pursuit of biological knowledge by quantitative methods Sir R. A. Fisher, 1948 BIOMETRIA
Részletesebben