Normális eloszlás paramétereire vonatkozó próbák

Átírás

1 Normális eloszlás paramétereire vonatkozó próbák Az alábbi próbák akkor használhatók, ha a meggyelések függetlenek, és feltételezhetjük, hogy normális eloszlásúak a meggyelések függetlenek, véges szórású eloszlásból származnak, és a minta mérete, azaz n "elég nagy", például n 100 (az átlag a centrális határeloszlástétel alapján közel normális eloszlású)

2 Normális eloszlás paramétereire vonatkozó próbák Az alábbi próbák akkor használhatók, ha a meggyelések függetlenek, és feltételezhetjük, hogy normális eloszlásúak a meggyelések függetlenek, véges szórású eloszlásból származnak, és a minta mérete, azaz n "elég nagy", például n 100 (az átlag a centrális határeloszlástétel alapján közel normális eloszlású) z-próba (vagy u-próba): várható értékre vonatkozó hipotézis esetén, ha a σ szórás ismert

3 Normális eloszlás paramétereire vonatkozó próbák Az alábbi próbák akkor használhatók, ha a meggyelések függetlenek, és feltételezhetjük, hogy normális eloszlásúak a meggyelések függetlenek, véges szórású eloszlásból származnak, és a minta mérete, azaz n "elég nagy", például n 100 (az átlag a centrális határeloszlástétel alapján közel normális eloszlású) z-próba (vagy u-próba): várható értékre vonatkozó hipotézis esetén, ha a σ szórás ismert t-próba (vagy Student-próba): várható értékre vonatkozó hipotézis esetén, ha a σ szórás nem ismert (csak az sn tapasztalati szórás) F -próba: szórásra vonatkozó hipotézis esetén Kapcsolat a kondenciaintervallummal: egymintás próbánál akkor fogadjuk el a nullhipotézist α terjedelem mellett, ha a benne megadott érték (várható érték vagy szórás) az 1 α megbízhatósági szint kondenciaintervallumba esik.

4 FisherBartlett-tétel Valójában az eloszlás valódi szórása a legtöbb esetben nem ismert. A σ szórást az sn korrigált tapasztalati szórással helyettesítjük. Kérdés, hogyan változik így az eloszlás. Tétel (FisherBartlett) Tegyük fel, hogy X 1, X 2,..., X n független m várható érték, σ szórású, normális eloszlású valószín ségi változók. Ekkor 1 X N ( m, σ2 n 2 X és s n függetlenek; ), azaz (X m) n/σ eloszlása standard normális; 3 (n 1)sn 2 /σ 2 eloszlása n 1 szabadsági fokú χ 2 -eloszlás; 4 (X m) n/s n eloszlása n 1 szabadsági fokú t-eloszlás. Itt sn = 1 n ) (X j X ) n 2 = n (( 1 1 n 1 n j=1 n j=1 X 2 j ) X 2 ).

5 Egymintás egyoldali z-próba (one-sample one-sided z test) A próba a normális eloszlás várható értékére vonatkozik ismert szórás mellett. Torzítatlan, konzisztens, leger sebb próba egyoldali esetben (a NeymanPearsonlemma alapján bizonyítható). X 1, X 2,..., X n N(m, σ 2 ), ahol m ismeretlen paraméter, σ > 0 ismert. Próbastatisztika (eloszlása standard normális H 0 mellett, ezt beláttuk): z = X m 0 σ n. Egyoldali ellenhipotézis (one-sided): H 0 : m m 0 ; H 1 : m > m 0. Ha z > Φ 1 (1 α), akkor elvetjük a nullhipotézist, különben elfogadjuk. A p-érték ilyenkor 1 Φ(z). p < 0, 05: a várható érték szignikánsan több m 0 -nál. p 0, 05: a várható érték nem több szignikánsan m 0 -nál.

6 Az egyoldali z-próba kritikus értéke Az α = 0, 05 terjedelm egyoldali z-próba kritikus értéke: Φ 1 (1 α) = Φ 1 (0, 95) = 1, 645.

7 Példa: egymintás egyoldali z-próba Feltételezés: a testmagasság normális eloszlású. Az európai férak átlagos testmagassága 177, 6 cm. Megmértük 90 holland fér testmagasságát, a magasságok átlaga 181,7 cm lett. A szórást 8,5 cm-nek feltételezve mondhatjuk-e, hogy a holland férak testmagassága szignikánsan több az európai átlagnál?

8 Példa: egymintás egyoldali z-próba Feltételezés: a testmagasság normális eloszlású. Az európai férak átlagos testmagassága 177, 6 cm. Megmértük 90 holland fér testmagasságát, a magasságok átlaga 181,7 cm lett. A szórást 8,5 cm-nek feltételezve mondhatjuk-e, hogy a holland férak testmagassága szignikánsan több az európai átlagnál? H 0 : m 177, 6; H 1 : m > 177, 6. z = X m 0 σ n = 181, 7 177, 6 90 = 4, 57. 8, 5 α = 0, 05 terjedelem mellett Φ 1 (1 α) = 1, 645, így z > Φ 1 (1 α). p-érték: 1 Φ(4, 57) < 0, 0001 < 0, 05. Elutasítjuk a nullhipotézist. Az adatok alapján a holland férak testmagasságának várható értéke szignikánsan több 177,6 cm-nél, vagyis az európai átlagnál.

9 Egymintás kétoldali z-próba A próba a normális eloszlás várható értékére vonatkozik ismert szórás mellett. Nem leger sebb (nincs leger sebb próba ebben a feladatban). X 1, X 2,..., X n N(m, σ 2 ), ahol m ismeretlen paraméter, σ > 0 ismert. Próbastatisztika (eloszlása standard normális H 0 mellett): z = X m 0 σ n. Kétoldali ellenhipotézis (two-sided): H 0 : m = m 0 ; H 1 : m m 0. Ha z > Φ 1 (1 α/2), akkor elvetjük a nullhipotézist, különben elfogadjuk. A p-érték ilyenkor 2 2Φ( z ). Φ a standard normális eloszlásfüggvény: Φ(t) = t 1 2π e x2 /2 dx. p < 0, 05: a várható érték szignikánsan eltér m 0 -tól. p 0, 05: nincs szignikáns eltérés m 0 -tól.

10 A kétoldali z-próba kritikus értéke Az α = 0, 05 terjedelm kétoldali z-próba kritikus értéke: Φ 1 (1 α/2) = Φ 1 (0, 975) = 1, 96.

11 Példa: egymintás z-próba Egy gyárban a min ségellen rzésnél azt feltételezik, hogy egy bizonyos típusú kalapács fejének a tömegét mérve a mérési eredmények független normális eloszlású valószín ségi változók m várható értékkel és σ = 3 gramm szórással. A termékkatalógus szerint egy adott típusú kalapács fejének 364 g tömeg nek kell lennie. A fenti eljárással megmérték 20 kalapács fejének tömegét. Az átlag 367,2 gramm lett. Ez alapján állítható-e, hogy a kalapácsok fejének tömege szigni- kánsan eltér az el írt 364 grammtól?

12 Példa: egymintás z-próba Egy gyárban a min ségellen rzésnél azt feltételezik, hogy egy bizonyos típusú kalapács fejének a tömegét mérve a mérési eredmények független normális eloszlású valószín ségi változók m várható értékkel és σ = 3 gramm szórással. A termékkatalógus szerint egy adott típusú kalapács fejének 364 g tömeg nek kell lennie. A fenti eljárással megmérték 20 kalapács fejének tömegét. Az átlag 367,2 gramm lett. Ez alapján állítható-e, hogy a kalapácsok fejének tömege szigni- kánsan eltér az el írt 364 grammtól? H 0 : m = 364; H 1 : m 364. z = X m 0 σ n = 367, = 4, α = 0, 05 terjedelem mellett Φ 1 (1 α/2) = 1, 96. p = 1, < 0, 05. z < Φ 1 (1 α/2), elutasítjuk a nullhipotézist. A kalapácsok fejének tömegének várható értéke a minta alapján szignikánsan eltér az el írt 364 grammtól.

13 t-eloszlás egyoldali kritikus értékei Az f = 9 szabadsági fokú α = 0, 05 terjedelm egyoldali t-próba kritikus értéke: t 9,0,05 = 1, 83.

14 Egymintás egyoldali t-próba (one-sample one-sided t-test) A normális eloszlás várható értékére, ismeretlen szórás esetén leger sebb próba. X 1, X 2,..., X n N(m, σ 2 ), ahol m, σ ismeretlen paraméterek. Próbastatisztika, aminek eloszlása t-eloszlás H 0 mellett a FisherBartlett-tétel szerint: t = X m 0 sn n. Egyoldali ellenhipotézis (one-sided): H 0 : m m 0 ; H 1 : m > m 0. Ha t > t n 1,α, azaz p < α, elutasítjuk a nullhipotézist; ilyenkor a várható érték szignikánsan több m 0 -nál. Ha t t n 1,α, azaz p α, elfogadjuk a nullhipotézist, a várható érték nem több szignikánsan m 0 -nál az adatok alapján. A kritikus érték: t n 1,α az f = n 1 szabadsági fokú (degree of freedom) t-eloszlás 1 α-kvantilise, vagyis az f = n 1 szabadsági fokú egyoldali t-próba kritikus értéke α terjedelem (level of signicance) mellett.

15 Egymintás t-próba, fordított irányú ellenhipotézis A normális eloszlás várható értékére vonatkozik ismeretlen szórás esetén. X 1, X 2,..., X n N(m, σ 2 ), ahol m, σ ismeretlen paraméterek. Próbastatisztika (eloszlása t-eloszlás H 0 mellett): t = X m 0 s n n. Egyoldali ellenhipotézis: H 0 : m m 0 ; H 1 : m < m 0. Ha t < t n 1,α, akkor elvetjük a nullhipotézist, különben elfogadjuk. A kritikus érték: t n 1,α az f = n 1 szabadsági fokú t-eloszlás α-kvantilise, vagyis az a szám, melyre az alábbi teljesül: ( Z 0 α = P(Y t n 1,α ) = P t n 1,α ), Z Z n 1 2 ahol Z 0, Z 1,..., Z n 1 független standard normális eloszlásúak. p < 0, 05: a várható érték szignikánsan kisebb m 0 -nál.

16 Példa: egymintás egyoldali t-próba Egy adott helyen vett tíz mintából megmértük az ivóvíz keménységét. Az alábbi eredmények adódtak (mg/l CaO): Állíthatjuk-e az adatok alapján, hogy az ivóvíz keménységének várható értéke szignikánsan meghaladja a 350 mg/l egészségügyi határértéket?

17 Példa: egymintás egyoldali t-próba Egy adott helyen vett tíz mintából megmértük az ivóvíz keménységét. Az alábbi eredmények adódtak (mg/l CaO): Állíthatjuk-e az adatok alapján, hogy az ivóvíz keménységének várható értéke szignikánsan meghaladja a 350 mg/l egészségügyi határértéket? n = 10; X = 358; s n = 10, 77 Feltételezzük, hogy a mérési eredmények normális eloszlásúak, az egymintás egyoldali t-próbát alkalmazzuk: H 0 : m 50; H 1 : m > 50. t = X m 0 s n n = = 2, , 77 Az f = n 1 = 9 szabadsági fokú egyoldali t-próba kritikus értéke α = 0, 05 szignikanciaszint (terjedelem) mellett t 9;0,05 = 1, 833.

18 Példa: egymintás egyoldali t-próba Egy adott helyen vett tíz mintából megmértük az ivóvíz keménységét. Az alábbi eredmények adódtak (mg/l CaO): Állíthatjuk-e az adatok alapján, hogy az ivóvíz keménységének várható értéke szignikánsan meghaladja a 350 mg/l egészségügyi határértéket? n = 10; X = 358; s n = 10, 77 Feltételezzük, hogy a mérési eredmények normális eloszlásúak, az egymintás egyoldali t-próbát alkalmazzuk: H 0 : m 50; H 1 : m > 50. t = X m 0 s n n = = 2, , 77 Az f = n 1 = 9 szabadsági fokú egyoldali t-próba kritikus értéke α = 0, 05 szignikanciaszint (terjedelem) mellett t 9;0,05 = 1, 833. Mivel t > t 9;0,05, elutasítjuk a nullhipotézist, a vízkeménység szignikánsan meghaladja 350 mg/l határértéket. A p-érték: p = 0, 0217 < 0, 05.

19 Hipotézisvizsgálat: példa az R szoftverben Tíz mintából mértük meg a víz keménységét. Nullhipotézis (null hypothesis, H 0 ): m 350 Ellenhipotézis (alternative hypothesis, H 1 ): m > 350 > viz<-c(348, 367, 349, 337, 359, 360, 363, 352, 371, 344) > t.test(viz, mu=350, alternative="greater")

20 Hipotézisvizsgálat: példa az R szoftverben Tíz mintából mértük meg a víz keménységét. Nullhipotézis (null hypothesis, H 0 ): m 350 Ellenhipotézis (alternative hypothesis, H 1 ): m > 350 > viz<-c(348, 367, 349, 337, 359, 360, 363, 352, 371, 344) > t.test(viz, mu=350, alternative="greater") One Sample t-test data: viz t = , df = 9, p-value = alternative hypothesis: true mean is greater than percent confidence interval: Inf mean of x : 358 Most p = < 0, 05 = α, elutasítjuk a nullhipotézist.

21 Egymintás kétoldali t-próba (one-sample two-sided t-test) A normális eloszlás várható értékére, ismeretlen szórás esetén. leger sebb (nincs ilyen). X 1, X 2,..., X n N(m, σ 2 ), ahol m, σ ismeretlen paraméterek. Próbastatisztika (eloszlása t-eloszlás/student-eloszlás H 0 mellett): Nem t = X m 0 s n n. Kétoldali ellenhipotézis (two-sided): H 0 : m = m 0 ; H 1 : m m 0. Ha t > t n 1,α, azaz p < α, akkor elutasítjuk a nullhipotézist, a várható érték szignikánsan eltér m 0 -tól. Ha t t n 1,α, azaz p α, akkor elfogadjuk H 0 -t, a várható érték nem tér el szignikánsan m 0 -tól. A kritikus érték: t n 1,α az f = n 1 szabadsági fokú (degree of freedom) t-eloszlás 1 α/2-kvantilise, vagyis az f = n 1 szabadsági fokú (degree of freedom) kétoldali t-próba kritikus értéke α terjedelem (level of signicance) mellett.

22 Kétoldali t-próba kritikus értékei Az f = 29 szabadsági fokú α = 0, 05 terjedelm kétoldali t-próba kritikus értéke: t 29;0,05 = 2, 04.

23 Példa: Egymintás kétoldali t-próba Egy gyógyszer hatóanyagtartalma a csomagolás szerint 10 mg. Harminc tabletta hatóanyag-tartalmát megmérve a mérések átlaga 9, 8, korrigált tapasztalati szórása 0, 62 lett. A szignikanciaszintet α = 0, 05-nek választva az adatok alapján szignikánsan eltér-e a hatóanyag-tartalom várható értéke a 10 mg-tól?

24 Példa: Egymintás kétoldali t-próba Egy gyógyszer hatóanyagtartalma a csomagolás szerint 10 mg. Harminc tabletta hatóanyag-tartalmát megmérve a mérések átlaga 9, 8, korrigált tapasztalati szórása 0, 62 lett. A szignikanciaszintet α = 0, 05-nek választva az adatok alapján szignikánsan eltér-e a hatóanyag-tartalom várható értéke a 10 mg-tól? n = 30; X = 9, 8; s n = 0, 62 Egymintás kétoldali t-próbát végezhetünk, normális eloszlást feltételezve. H 0 : m = 10; H 1 : m 10; α = 0, 05; f = n 1 = 29. t = X m 0 s n n = 9, , = 1, 77. A kritikus érték: t 29,0,05 = 2, 045 t = 1, 77 2, 045, nincs szignikáns eltérés. p-érték: p = 0, , 05.

25 Kétmintás, egyoldali, párosítatlan Student-féle t-próba A várható érték összehasonlítására azonos szórás esetén (two-sample one-sided unpaired Student t-test). X 1,..., X n1, Y 1,..., Y n2 független normális eloszlású azonos szórású valószín ségi változók: X i N(m 1, σ 2 ), Y i N(m 2, σ 2 ), ahol m 1, m 2, σ ismeretlen paraméterek. Egyoldali ellenhipotézis: H 0 : m 1 m 2 ; H 1 : m 1 > m 2.

26 Kétmintás, egyoldali, párosítatlan Student-féle t-próba A várható érték összehasonlítására azonos szórás esetén (two-sample one-sided unpaired Student t-test). X 1,..., X n1, Y 1,..., Y n2 független normális eloszlású azonos szórású valószín ségi változók: X i N(m 1, σ 2 ), Y i N(m 2, σ 2 ), ahol m 1, m 2, σ ismeretlen paraméterek. Egyoldali ellenhipotézis: H 0 : m 1 m 2 ; H 1 : m 1 > m 2. Próbastatisztika (eloszlása t-eloszlás m 1 = m 2 mellett): X Y t = (n1 1)sn 2 1 (X ) + (n 2 1)sn 2 2 (Y ) n 1 n 2 (n 1 + n 2 2). n 1 + n 2 Ha t > t n1+n2 2, 1 α, akkor elvetjük a nullhipotézist, különben elfogadjuk. A t n1+n2 2, 1 α kritikus érték az f = n 1 + n 2 2 szabadsági fokú egyoldali t-próba kritikus értéke α terjedelem mellett (a megfelel eloszlás 1 α-kvantilise). Ha p < α: elvetjük H 0 -t, az els várható érték szignikánsan nagyobb a másodiknál.

27 Kétmintás t-próba: példa Két különböz márkájú vaj tömegét mértük meg, az X típusúét tízszer, az Y típusúét nyolcszor. Az Az átlagok és korrigált tapasztalati szórások (kg-ban): X = 0, 217, s n (X ) = 0, 027, Y = 0, 203, s n (Y ) = 0, 03. Állíthatjuk-e α = 0, 05 szignikanciaszint mellett, hogy az X típusú vajak tömege szignikánsan több az Y típusú vajénál?

28 Kétmintás t-próba: példa Két különböz márkájú vaj tömegét mértük meg, az X típusúét tízszer, az Y típusúét nyolcszor. Az Az átlagok és korrigált tapasztalati szórások (kg-ban): X = 0, 217, s n (X ) = 0, 027, Y = 0, 203, s n (Y ) = 0, 03. Állíthatjuk-e α = 0, 05 szignikanciaszint mellett, hogy az X típusú vajak tömege szignikánsan több az Y típusú vajénál? t = Behelyettesítve: X Y (n1 1)sn 2 1 (X ) + (n 2 1)sn 2 2 (Y ) n 1 n 2 (n 1 + n 2 2). n 1 + n 2 t = 0, 217 0, , , 03 = 1,

29 Kétmintás t-próba: példa Két különböz márkájú vaj tömegét mértük meg, az X típusúét tízszer, az Y típusúét nyolcszor. Az Az átlagok és korrigált tapasztalati szórások (kg-ban): X = 0, 217, s n (X ) = 0, 027, Y = 0, 203, s n (Y ) = 0, 03. Állíthatjuk-e α = 0, 05 szignikanciaszint mellett, hogy az X típusú vajak tömege szignikánsan több az Y típusú vajénál? H 0 : m 1 m 2, H 1 : m 1 > m 2 A próbastatisztika értéke: t = 1, 04. Az f = n 1 + n 2 2 = = 16 szabadsági fokú egyoldali t-próba kritikus értéke α = 0, 05 szignikanciaszint (terjedelem) mellett: t 16,0,95 = 1, 746.

30 Kétmintás t-próba: példa Két különböz márkájú vaj tömegét mértük meg, az X típusúét tízszer, az Y típusúét nyolcszor. Az Az átlagok és korrigált tapasztalati szórások (kg-ban): X = 0, 217, s n (X ) = 0, 027, Y = 0, 203, s n (Y ) = 0, 03. Állíthatjuk-e α = 0, 05 szignikanciaszint mellett, hogy az X típusú vajak tömege szignikánsan több az Y típusú vajénál? H 0 : m 1 m 2, H 1 : m 1 > m 2 A próbastatisztika értéke: t = 1, 04. Az f = n 1 + n 2 2 = = 16 szabadsági fokú egyoldali t-próba kritikus értéke α = 0, 05 szignikanciaszint (terjedelem) mellett: t 16,0,95 = 1, 746. Itt t = 1, 04 < 1, 746 = t 16,0,95, ezért elfogadjuk H 0 -t. Az X típusú vaj tömege nem haladja meg szignikánsan az Y típusúét. p-érték: 0,149>0,05

31 Kétmintás t-próba: ugyanez a példa Excelben

32 Kétmintás t-próba: példa Kétféle joghurt cukortartalmát szeretnénk összehasonlítani. Az els b l n 1 = 20, a másodikból n 2 = 12 dobozban mértük meg a cukortartalmat (grammban). Az átlagok és korrigált tapasztalati szórások grammban számolva (X 1,..., X 20 az els minta, Y 1,..., Y 12 a második): X = 18, 4, s n (X ) = 1, 2, Y = 19, 9, s n (Y ) = 1, 3. Állíthatjuk-e α = 0, 05 szignikanciaszint mellett, hogy a kétféle joghurtban szignikánsan eltér a cukortartalom?

33 Kétmintás, kétoldali, párosítatlan Student-féle t-próba A várható érték összehasonlítására azonos szórás esetén (two-sample two-sided unpaired Student t-test). X 1,..., X n1, Y 1,..., Y n2 független normális eloszlású azonos szórású valószín ségi változók: X i N(m 1, σ 2 ), Y i N(m 2, σ 2 ), ahol m 1, m 2, σ ismeretlen paraméterek. Kétoldali ellenhipotézis: H 0 : m 1 = m 2 ; H 1 : m 1 m 2.

34 Kétmintás, kétoldali, párosítatlan Student-féle t-próba A várható érték összehasonlítására azonos szórás esetén (two-sample two-sided unpaired Student t-test). X 1,..., X n1, Y 1,..., Y n2 független normális eloszlású azonos szórású valószín ségi változók: X i N(m 1, σ 2 ), Y i N(m 2, σ 2 ), ahol m 1, m 2, σ ismeretlen paraméterek. Kétoldali ellenhipotézis: H 0 : m 1 = m 2 ; H 1 : m 1 m 2. Próbastatisztika (eloszlása t-eloszlás H 0 mellett): X Y t = (n1 1)sn 2 1 (X ) + (n 2 1)sn 2 2 (Y ) n 1 n 2 (n 1 + n 2 2). n 1 + n 2 Ha t > t n1+n 2 2,1 α, akkor elutasítjuk a nullhipotézist, különben elfogadjuk. A t n1+n 2 2,1 α kritikus érték az f = n 1 + n 2 2 szabadsági fokú kétoldali t-próba kritikus értéke α terjedelem mellett (a megfelel eloszlás 1 α/2-kvantilise). Ha p < α: elvetjük H 0 -t, az várható értékek szignikánsan eltérnek egymástól.

35 Kétmintás t-próba: példa Kétféle joghurt cukortartalmát szeretnénk összehasonlítani. Az els b l n 1 = 20, a másodikból n 2 = 12 dobozban mértük meg a cukortartalmat (grammban). Az átlagok és korrigált tapasztalati szórások grammban számolva (X 1,..., X 20 az els minta, Y 1,..., Y 12 a második): X = 18, 4, sn (X ) = 1, 2, Y = 19, 9, sn (Y ) = 1, 3. Állíthatjuk-e α = 0, 05 szignikanciaszint mellett, hogy a kétféle joghurtban szignikánsan eltér a cukortartalom? Feltételezzük, hogy a minták függetlenek, normális eloszlásúak, azonos szórásúak.

36 Kétmintás t-próba: példa Kétféle joghurt cukortartalmát szeretnénk összehasonlítani. Az els b l n 1 = 20, a másodikból n 2 = 12 dobozban mértük meg a cukortartalmat (grammban). Az átlagok és korrigált tapasztalati szórások grammban számolva (X 1,..., X 20 az els minta, Y 1,..., Y 12 a második): X = 18, 4, s n (X ) = 1, 2, Y = 19, 9, s n (Y ) = 1, 3. Állíthatjuk-e α = 0, 05 szignikanciaszint mellett, hogy a kétféle joghurtban szignikánsan eltér a cukortartalom? Feltételezzük, hogy a minták függetlenek, normális eloszlásúak, azonos szórásúak. t = Behelyettesítve: X Y (n1 1)sn 2 1 (X ) + (n 2 1)sn 2 2 (Y ) n 1 n 2 (n 1 + n 2 2). n 1 + n 2 t = 18, 4 19, , , 3 = 3,

37 Kétmintás t-próba: példa Kétféle joghurt cukortartalmát szeretnénk összehasonlítani. Az els b l n 1 = 20, a másodikból n 2 = 12 dobozban mértük meg a cukortartalmat (grammban). Az átlagok és korrigált tapasztalati szórások grammban számolva (X 1,..., X 20 az els minta, Y 1,..., Y 12 a második): X = 18, 4, s n (X ) = 1, 2, Y = 19, 9, s n (Y ) = 1, 3. Állíthatjuk-e α = 0, 05 szignikanciaszint mellett, hogy a kétféle joghurtban szignikánsan eltér a cukortartalom? Feltételezzük, hogy a minták függetlenek, normális eloszlásúak, azonos szórásúak. H 0 : m 1 = m 2, H 1 : m 1 m 2 A próbastatisztika értéke: t = 3, 3. Az f = n 1 + n 2 2 = = 30 szabadsági fokú kétoldali t-próba kritikus értéke α = 0, 05 szignikanciaszint (terjedelem) mellett: t 16,0,95 = 2, 042.

38 Kétmintás t-próba: példa Kétféle joghurt cukortartalmát szeretnénk összehasonlítani. Az els b l n 1 = 20, a másodikból n 2 = 12 dobozban mértük meg a cukortartalmat (grammban). Az átlagok és korrigált tapasztalati szórások grammban számolva (X 1,..., X 20 az els minta, Y 1,..., Y 12 a második): X = 18, 4, s n (X ) = 1, 2, Y = 19, 9, s n (Y ) = 1, 3. Állíthatjuk-e α = 0, 05 szignikanciaszint mellett, hogy a kétféle joghurtban szignikánsan eltér a cukortartalom? Feltételezzük, hogy a minták függetlenek, normális eloszlásúak, azonos szórásúak. H 0 : m 1 = m 2, H 1 : m 1 m 2 A próbastatisztika értéke: t = 3, 3. Az f = n 1 + n 2 2 = = 30 szabadsági fokú kétoldali t-próba kritikus értéke α = 0, 05 szignikanciaszint (terjedelem) mellett: t 16,0,95 = 2, 042. Itt t = 3, 3 > 2, 042 = t 30,0,975, ezért elutasítjuk H 0 -t. cukortartalma szignikánsan különböz A kétféle joghurt

39 Kétmintás t-próba: példa Kétféle joghurt cukortartalmát szeretnénk összehasonlítani. Az els b l n 1 = 20, a másodikból n 2 = 12 dobozban mértük meg a cukortartalmat (grammban). Az átlagok és korrigált tapasztalati szórások grammban számolva (X 1,..., X 20 az els minta, Y 1,..., Y 12 a második): X = 18, 4, s n (X ) = 1, 2, Y = 19, 9, s n (Y ) = 1, 3. Állíthatjuk-e α = 0, 05 szignikanciaszint mellett, hogy a kétféle joghurtban szignikánsan eltér a cukortartalom? Feltételezzük, hogy a minták függetlenek, normális eloszlásúak, azonos szórásúak. H 0 : m 1 = m 2, H 1 : m 1 m 2 A próbastatisztika értéke: t = 3, 3. Az f = n 1 + n 2 2 = = 30 szabadsági fokú kétoldali t-próba kritikus értéke α = 0, 05 szignikanciaszint (terjedelem) mellett: t 16,0,95 = 2, 042. Itt t = 3, 3 > 2, 042 = t 30,0,975, ezért elutasítjuk H 0 -t. A kétféle joghurt cukortartalma szignikánsan különböz ha a szórások azonosak, és a próba alkalmazható (ezt eddig feltettük).

40 Normális eloszlásra vonatkozó kétmintás próbák Az alábbiakat kell ellen rizni kétmintás próbáknál: A minta normális eloszlású, vagy a mintaelemszám elég nagy (a centrális határeloszlástétel alapján az átlag közel normális eloszlású).

41 Normális eloszlásra vonatkozó kétmintás próbák Az alábbiakat kell ellen rizni kétmintás próbáknál: A minta normális eloszlású, vagy a mintaelemszám elég nagy (a centrális határeloszlástétel alapján az átlag közel normális eloszlású). Kétmintás esetben: a két minta egymástól független (unpaired eset). Ha a két minta természetes módon párosítható, párosított (paired) próba alkalmazható. Példa: megmérjük húsz ember vérnyomását egy adott napon reggel és este. Igaz-e, hogy a reggeli érték jelent sen eltér az estit l? Ha a szórásokról feltételezhetjük, hogy megegyeznek: a Student-féle t- próba alkalmazható. Ha a szórásokról nem tételezhetjük fel, hogy megegyeznek: a Welch-féle t-próba alkalmazható.

42 Példa: párosított t-próba 1991 és 2010 között feljegyezték az éves csapadékösszeget Budapesten, illetve Szegeden. Az átlag Budapesten 533 mm, a korrigált tapasztalati szórás 139, Szegeden az átlag 540 mm, a korrigált tapasztalati szórás 143 lett (forrás: OMSZ). Állíthatjuk-e, hogy Szegeden szignikánsan nagyobb a csapadékmennyiség várható értéke? év átlag sn Budapest Szeged

43 Példa: párosított t-próba 1991 és 2010 között feljegyezték az éves csapadékösszeget Budapesten, illetve Szegeden. Az átlag Budapesten 533 mm, a korrigált tapasztalati szórás 139, Szegeden az átlag 540 mm, a korrigált tapasztalati szórás 143 lett (forrás: OMSZ). Állíthatjuk-e, hogy Szegeden szignikánsan nagyobb a csapadékmennyiség várható értéke? év átlag sn Budapest Szeged A két adatsor nem független, mert egy éven belül a két város id járása nem független (az egyes minták sem teljesen függetlenek, és nem biztos, hogy normális eloszlásúak). Ezért párosított (paired) t-próba alkalmazható, egyoldali nullhipotézissel. H 0 : m 1 m 2, H 1 : m 1 < m 2, ahol m 1 a budapesti, m 2 a szegedi csapadékmennyiség várható értéke.

44 Példa: párosított t-próba 1991 és 2010 között feljegyezték az éves csapadékösszeget Budapesten, illetve Szegeden. Az átlag Budapesten 533 mm, a korrigált tapasztalati szórás 139, Szegeden az átlag 540 mm, a korrigált tapasztalati szórás 143 lett (forrás: OMSZ). Állíthatjuk-e, hogy Szegeden szignikánsan nagyobb a csapadékmennyiség várható értéke? év átlag sn Budapest Szeged A két adatsor nem független, mert egy éven belül a két város id járása nem független (az egyes minták sem teljesen függetlenek, és nem biztos, hogy normális eloszlásúak). Ezért párosított (paired) t-próba alkalmazható, egyoldali nullhipotézissel. H 0 : m 1 m 2, H 1 : m 1 < m 2, ahol m 1 a budapesti, m 2 a szegedi csapadékmennyiség várható értéke. A próbát elvégezve a p-értékre 0, 366 adódott.

45 Példa: párosított t-próba 1991 és 2010 között feljegyezték az éves csapadékösszeget Budapesten, illetve Szegeden. Az átlag Budapesten 533 mm, a korrigált tapasztalati szórás 139, Szegeden az átlag 540 mm, a korrigált tapasztalati szórás 143 lett (forrás: OMSZ). Állíthatjuk-e, hogy Szegeden szignikánsan nagyobb a csapadékmennyiség várható értéke? év átlag sn Budapest Szeged A két adatsor nem független, mert egy éven belül a két város id járása nem független (az egyes minták sem teljesen függetlenek, és nem biztos, hogy normális eloszlásúak). Ezért párosított (paired) t-próba alkalmazható, egyoldali nullhipotézissel. H 0 : m 1 m 2, H 1 : m 1 < m 2, ahol m 1 a budapesti, m 2 a szegedi csapadékmennyiség várható értéke. A próbát elvégezve a p-értékre 0, 366 adódott. Elfogadjuk a nullhipotézist, az adatok alapján Szegeden nem több szignikánsan a csapadékmennyiség várható értéke, mint Budapesten.

46 Welsh-féle t-próba A várható érték összehasonlítására párosítatlan esetben (two-sample two-sided unpaired Welch t-test). Legyenek X 1,..., X n1, Y 1,..., Y n2 független normális eloszlású valószín ségi változók: X i N(m 1, σ2 2), Y i N(m 2, σ2 2 ), ahol m 1, m 2, σ 1, σ 2 ismeretlen paraméterek. Kétoldali ellenhipotézis: H 0 : m 1 = m 2 ; H 1 : m 1 m 2. Próbastatisztika: t = X Y s 2 n 1 (X ) n 1. + s 2 n 2 (Y ) n 2 Ha t > t f,1 α, akkor elvetjük a nullhipotézist, különben elfogadjuk. A t f,1 α kritikus érték az f szabadsági fokú kétoldali t-próba kritikus értéke α terjedelem mellett (a megfelel eloszlás 1 α/2-kvantilise). Szabadsági fok: f s 2 n 1 (X ) n 1 s 4 n 1 (X ) n 2 1 (n1 1) + + s 2 n 2 (Y ) n 2. s 4 n 2 (Y ) n2 2(n2 1) Ha p < α: elvetjük H 0 -t, az várható értékek szignikánsan eltérnek egymástól.

47 F -próba Független normális eloszlású minták szórásának összehasonlítására. Legyenek most X 1, X 2,..., X n1, Y 1,..., Y n2 független normális eloszlású valószín ségi változók, ahol X i N(m 1, σ 2 1 ), Y i N(m 2, σ 2 2 ). Itt m 1, m 2, σ 1, σ 2 ismeretlen paraméterek. Kétoldali ellenhipotézis: H 0 : σ 1 = σ 2 ; H 1 : σ 1 σ 2. Próbastatisztika (eloszlása F -eloszlás H 0 mellett): F = s 2 n 1. sn 2 2 Ha F > F n1 1,n 2 1 vagy 1/F > F n2 1,n 1 1, akkor elvetjük a nullhipotézist, különben elfogadjuk, ahol F f1,f 2 az f 1, f 2 szabadsági fokú az F -eloszlás 1 α/2- kvantilise. p < 0, 05: a szórások szignikánsan eltérnek.

48 Az F -próba kritikus értéke Az F -próba kritikus értéke: F 19,11 = 3, 24, ez az eloszlás 1 α/2 = 0, 975-kvantilise

49 Kétmintás F -próba: példa Kétféle joghurt cukortartalmát szeretnénk összehasonlítani. Az els b l n 1 = 20, a másodikból n 2 = 12 dobozban mértük meg a cukortartalmat (grammban). Az átlagok és korrigált tapasztalati szórások (X 1,..., X 20 az els minta, Y 1,..., Y 12 a második): X = 18, 4, s n (X ) = 1, 2, Y = 19, 9, s n (Y ) = 1, 3. Állíthatjuk-e α = 0, 05 szignikanciaszint mellett, hogy a kétféle joghurtban szigni- kánsan eltér a cukortartalom szórása? Feltételezzük, hogy a minták függetlenek, normális eloszlásúak.

50 Kétmintás F -próba: példa Kétféle joghurt cukortartalmát szeretnénk összehasonlítani. Az els b l n 1 = 20, a másodikból n 2 = 12 dobozban mértük meg a cukortartalmat (grammban). Az átlagok és korrigált tapasztalati szórások (X 1,..., X 20 az els minta, Y 1,..., Y 12 a második): X = 18, 4, s n (X ) = 1, 2, Y = 19, 9, s n (Y ) = 1, 3. Állíthatjuk-e α = 0, 05 szignikanciaszint mellett, hogy a kétféle joghurtban szigni- kánsan eltér a cukortartalom szórása? Feltételezzük, hogy a minták függetlenek, normális eloszlásúak. H 0 : σ 1 = σ 2, H 1 : σ 1 σ 2 A próbastatisztika értéke: F = s 2 n 1 s = 1,22 = 0, 85, és 1 n 2 1,3 2 F = 1,32 = 1, 17. 1,2 2 2 Az (f 1, f 2 ) = (n 1 1, n 2 1) = (19, 11) szabadsági fokú F -próba kritikus értéke α = 0, 05 esetén: 3, 24, míg az (f 2, f 1 ) = (n 2 1, n 1 1) = (11, 19) szabadsági fok esetén 2, 76.

51 Kétmintás F -próba: példa Kétféle joghurt cukortartalmát szeretnénk összehasonlítani. Az els b l n 1 = 20, a másodikból n 2 = 12 dobozban mértük meg a cukortartalmat (grammban). Az átlagok és korrigált tapasztalati szórások (X 1,..., X 20 az els minta, Y 1,..., Y 12 a második): X = 18, 4, s n (X ) = 1, 2, Y = 19, 9, s n (Y ) = 1, 3. Állíthatjuk-e α = 0, 05 szignikanciaszint mellett, hogy a kétféle joghurtban szigni- kánsan eltér a cukortartalom szórása? Feltételezzük, hogy a minták függetlenek, normális eloszlásúak. H 0 : σ 1 = σ 2, H 1 : σ 1 σ 2 A próbastatisztika értéke: F = s 2 n 1 s = 1,22 = 0, 85, és 1 n 2 1,3 2 F = 1,32 = 1, 17. 1,2 2 2 Az (f 1, f 2 ) = (n 1 1, n 2 1) = (19, 11) szabadsági fokú F -próba kritikus értéke α = 0, 05 esetén: 3, 24, míg az (f 2, f 1 ) = (n 2 1, n 1 1) = (11, 19) szabadsági fok esetén 2, 76. Mivel F < 3, 24 és 1/F < 2, 76, elfogadjuk a nullhipotézist, a szórások nem térnek el szignikánsan, és a kétmintás t-próba valóban alkalmazható.

52 χ 2 -próba: illeszkedésvizsgálat Legyen A 1, A 2,..., A r teljes eseményrendszer, p 1, p 2,..., p r pedig olyan nemnegatív számok, melyek összege 1. H 0 : P(A k ) = p k minden k = 1, 2,..., r-re. H 1 : P(A k ) p k valamelyik k = 1, 2,..., r-re. n független meggyelést végzünk. N k : hányszor következett be A k. Ha van k, hogy N k < 4: néhány osztályt össze kell vonnunk, hogy a próbát alkalmazhassuk (vagyis A j és A k helyett A j A k -t és p j + p k -t tekintjük). Próbastatisztika: χ 2 = r k=1 (N k n p k ) 2 n p k.

53 χ 2 -próba Adott (A k ) r k=1 teljes eseményrendszer, és (p k) r k=1 számok: r k=1 p k = 1. H 0 : P(A k ) = p k minden k = 1, 2,..., r-re. Próbastatisztika (feltéve, hogy N k 4 minden k-ra): χ 2 = r k=1 H 1 : a nullhipotézis nem igaz (N k n p k ) 2 n p k.

54 χ 2 -próba Adott (A k ) r k=1 teljes eseményrendszer, és (p k) r k=1 számok: r k=1 p k = 1. H 0 : P(A k ) = p k minden k = 1, 2,..., r-re. Próbastatisztika (feltéve, hogy N k 4 minden k-ra): χ 2 = r k=1 H 1 : a nullhipotézis nem igaz (N k n p k ) 2 n p k. Legyen c krit az f = r 1 szabadsági fokú χ 2 -próba kritikus értéke α szignikanciaszint mellett. χ 2 > c krit vagy p < α: elutasítjuk H 0 -t, az eloszlás szignikánsan eltér (p k )-tól. χ 2 c krit vagy p α: elfogadjuk H 0 -t, az eloszlás nem tér el szignikánsan (p k )-tól.

55 χ 2 -próba Adott (A k ) r k=1 teljes eseményrendszer, és (p k) r k=1 számok: r k=1 p k = 1. H 0 : P(A k ) = p k minden k = 1, 2,..., r-re. Próbastatisztika (feltéve, hogy N i 4 minden k-ra): χ 2 = r k=1 H 1 : a nullhipotézis nem igaz (N k n p k ) 2 n p k. Legyen c krit az f = r 1 szabadsági fokú χ 2 -próba kritikus értéke α terjedelem (szignikanciaszint) mellett. Ez az f = r 1 szabadsági fokú χ 2 -eloszlás 1 α-kvantilise, vagyis P(Z Z 2 f < c krit ) = 1 α, ahol Z 1,..., Z f független standard normális eloszlású valószín ségi változók.

56 χ 2 -próba kritikus értéke Az f = 5 szabadsági fokú χ 2 -eloszlás s r ségfüggvénye. Az α = 0, 05 szignikanciaszint próba kritikus értéke: c krit = 11, 1.

57 χ 2 -próba: példa Dobókockával dobunk százszor. A terjedelmet α = 0, 05-nek választva elfogadhatóe, hogy szabályos a dobókocka?

58 χ 2 -próba: példa Dobókockával dobunk százszor. A terjedelmet α = 0, 05-nek választva elfogadhatóe, hogy szabályos a dobókocka? érték gyakoriság

59 χ 2 -próba: példa Dobókockával dobunk százszor. A terjedelmet α = 0, 05-nek választva elfogadhatóe, hogy szabályos a dobókocka? érték gyakoriság Minden szám legalább négyszer el fordult, alkalmazhatjuk a χ 2 -próbát. dobunk, r = 6, p k = 1/6, k = 1, 2,..., 6. A i : i-t H 0 : P(A k ) = 1/6 minden k-ra; H 1 : P(A k ) 1/6 valamelyik k-ra

60 χ 2 -próba: példa Dobókockával dobunk százszor. A terjedelmet α = 0, 05-nek választva elfogadhatóe, hogy szabályos a dobókocka? érték gyakoriság Minden szám legalább négyszer el fordult, alkalmazhatjuk a χ 2 -próbát. dobunk, r = 6, p k = 1/6, k = 1, 2,..., 6. A i : i-t H 0 : P(A k ) = 1/6 minden k-ra; H 1 : P(A k ) 1/6 valamelyik k-ra χ 2 = r k=1 (N k n p k ) 2 ( /6)2 ( /6)2 = + n p k 100 1/ /6 ( /6) = 7, /6

61 χ 2 -próba: példa Dobókockával dobunk százszor. A terjedelmet α = 0, 05-nek választva elfogadhatóe, hogy szabályos a dobókocka? érték gyakoriság

62 χ 2 -próba: példa Dobókockával dobunk százszor. A terjedelmet α = 0, 05-nek választva elfogadhatóe, hogy szabályos a dobókocka? érték gyakoriság H 0 : P(A k ) = 1/6 minden k-ra; H 1 : P(A k ) 1/6 valamelyik k-ra χ 2 = 7, 52; f = r 1 = 5; α = 0, 05; c krit = 11, 1

63 χ 2 -próba: példa Dobókockával dobunk százszor. A terjedelmet α = 0, 05-nek választva elfogadhatóe, hogy szabályos a dobókocka? érték gyakoriság H 0 : P(A k ) = 1/6 minden k-ra; H 1 : P(A k ) 1/6 valamelyik k-ra χ 2 = 7, 52; f = r 1 = 5; α = 0, 05; c krit = 11, 1 χ 2 = 7, 52 < c krit = 11, 1, illetve a p-értékre 0, 1847 > 0, 05. Elfogadjuk H 0 -t, elfogadható, hogy a dobókocka szabályos, nincs szignikáns eltérés az egyenletes eloszlástól.

64 χ 2 -próba: példa Dobókockával dobunk ezerszer. A terjedelmet α = 0, 05-nek választva elfogadhatóe, hogy szabályos a dobókocka?

65 χ 2 -próba: példa Ha ezerszer dobunk, és az alábbi eredmények adódnak: érték gyakoriság H 0 : P(A k ) = 1/6 minden k-ra; H 1 : P(A k ) 1/6 valamelyik k-ra χ 2 = 11, 68; f = r 1 = 5; α = 0, 05; c krit = 11, 1

66 χ 2 -próba: példa Ha ezerszer dobunk, és az alábbi eredmények adódnak: érték gyakoriság H 0 : P(A k ) = 1/6 minden k-ra; H 1 : P(A k ) 1/6 valamelyik k-ra χ 2 = 11, 68; f = r 1 = 5; α = 0, 05; c krit = 11, 1 χ 2 = 11, 68 > c krit = 11, 1, illetve a p-értékre 0, 039 < 0, 05. Elutasítjuk H 0 -t, nem fogadható el, hogy a dobókocka szabályos, a minta alapján az eloszlás szignikánsan eltér az egyenletes eloszlástól.