STATISZTIKA. ( x) 2. Eloszlásf. 9. gyakorlat. Konfidencia intervallumok. átlag. 45% 40% 35% 30% 25% 20% 15% 10% 5% 0% (cm)

Átírás

1 Normális eloszlás sűrűségfüggvénye STATISZTIKA 9. gyakorlat Konfidencia intervallumok f σ π ( µ ) σ ( ) = e /56 p 45% 4% 35% 3% 5% % 5% % 5% Normális eloszlás sűrűségfüggvénye % (cm) 3/56 F Eloszlásf sfüggvény ( µ ) σ ( ) = e σ π d 4/56,9 Valósz színűségek Normális eloszlás s jelölése,8,7,6,5,4,3,, átlag N(µ, σ) /56 6/56

2 NORM.ELOSZLÁS NORM.ELOSZL(;középért rték;szórás;eloszlásfv) X: Az az érték, amelynél l az eloszlást st ki kell számítani. Középérték: Az eloszlás s középértk rtéke (várhat rható értéke). Szórás: Az eloszlás s szórása. sa. Eloszlásfv sfv: Logikai érték. Ha értéke IGAZ, akkor a NORM.ELOSZL függvf ggvény az eloszlásf sfüggvény értékét t számítja ki, ha értéke HAMIS, akkor a sűrűségfs gfüggvényét. NORM.ELOSZL() függvf ggvény ellenőrz rzése =NORM.ELOSZL(;;;IGAZ) =NORM.ELOSZL(,96;;;IGAZ) 7/56 8/56 Sűrűségfüggvény előáll llítása Átlag: kg Szórás: kg NORM.ELOSZL(;;;hamis),45,4,35,3,5,,5 Eloszlásf sfüggvény előáll llítása Átlag: kg Szórás: kg NORM.ELOSZL(;;;igaz),,8,6,4,,, / /56 Példa. Példa. Átlag: kg Szórás: kg Mi a színűsége, hogy 8 kg-nál kisebb lesz a tömege? t,8% Átlag: kg Szórás: kg Mi a színűsége, hogy kg-nál kisebb, de 9 kg-nál l nagyobb lesz a tömege? 97,7% - 5,87% = 8,86% /56 /56

3 INVERZ.NORM INVERZ.NORM(val ínűség;középérték;sz szórás) Valósz színűség: A standard normális eloszláshoz shoz tartozó színűség. Középérték: Az eloszlás s középértk rtéke (várhat rható értéke). Szórás: Az eloszlás s szórása. sa. Ha bármelyik b argumentum értéke nem szám, akkor az INVERZ.NORM az #ÉRT# RTÉK! hibaért rtéket adja vissza. Ha színűség g < vagy színűség g >, akkor az INVERZ.NORM eredménye a #SZÁM! hibaért Ha szórás, akkor az INVERZ.NORM a #SZÁM! hibaért rtéket adja eredmény Az INVERZ.NORM a standard normális eloszlást st használja, ha középértk rték k = és s szórás s = (lásd INVERZ.NORM függvf ggvény ellenőrz rzése =INVERZ.NORM(,975;;) =INVERZ.NORM(,84;;) INVERZ.STNORM). 3/56 4/56 Standard normális eloszlás s jelölése NORMALIZÁLÁS N(, ) z i = i µ σ 5/56 6/56 NORMALIZÁLÁS A függvf ggvény a középértk rték és s a szórás értékkel megadott eloszlás s alapján n normalizált lt értéket ad eredmény Szintais NORMALIZÁLÁS(;középért rték;szórás) X: A normalizáland landó érték. Középérték: Az eloszlás s középértk rtéke (várhat rható értéke). Szórás: Az eloszlás s szórása. sa. Ha szórás, akkor a NORMALIZÁLÁS eredménye a #SZÁM! hibaért rték lesz Standard normáleloszl leloszlás sűrűségfüggvénye φ ( /56 8/56 k lesz. ) π = µ, medián, módusz π e 3

4 Standard normális eloszlás eloszlásf sfüggvénye Φ ( ) = e π d 9/56,9,8,7,6,5,4,3,, Standard normáleloszl leloszlás eloszlásf sfüggvénye,6,84, /56 Standard normáleloszl leloszlás s 68%-os színűsége /56 A normál l eloszlás s nevezetes értékei Megbízhatóság % ,9 µ ± z % σ,96,58 3,9 /56 STNORMELOSZL Z: Az az érték, amelynél l az eloszlást st ki kell számítani. Ha a z argumentum értéke nem szám, akkor a STNORMELOSZL az #ÉRT# RTÉK! hibaért rtéket adja eredmény 3/56 INVERZ.STNORM INVERZ.STNORM(val ínűség) Valósz színűség: A standard normális eloszláshoz shoz tartozó színűség. Ha a színűség értéke nem szám, akkor az INVERZ.STNORM az #ÉRT# RTÉK! hibaért rtéket adja eredmény Ha színűség g < vagy színűség g >, akkor az INVERZ.NORM eredménye a #SZÁM! hibaért Az INVERZ.STNORM függvf ggvény adott színűségértékkel olyan z értéket keres, amelynél l STNORMELOSZL(z) = színűség. Így az INVERZ.STNORM pontossága függ az STNORM.ELOSZL pontosságától. Az INVERZ.STNORM függvf ggvény iteráci ciós s keresési si eljárást alkalmaz. Amennyiben a keresés s nem konvergál l lépés s után, a függvf ggvény #HIÁNYZIK hibaért rtékkel tér t vissza. 4/56 4

5 Alapvető összefüggések + = F ( ) = f ( ) d F( ) f ( ) d = Az eloszlás s alakjának jellemzése Ferdeség g (skewness( skewness,, normális eloszlás= s= körüli érték) lim F( ) = lim F( ) = + Csúcsoss csosság g (kurtosis( kurtosis,, normális eloszlás= s= körüli érték) 5/56 6/56 Ferdeség g számítása sa Balra ferde eloszlás n n i i= s ( n )( n ) Aszimmetria mérőszm száma Értéke: mínusz m és s plusz tartomány Nulla esetén n szimmetrikus eloszlás 3,8,6,4,, 7/56-3, -, -,,,, 3, 8/56 Jobbra ferde eloszlás Mikor ferde az eloszlás? s?,45,4,35,3,5,,5,,5,,4,6,8, Statisztikailag igazolt ferdeség, ha a ferdeségi mutató értéke meghaladja a ferdeségi érték k szórásának kétszeresk tszeresét. t. Az eloszlás s nem szimmetrikus 9/56 3/56 5

6 Egyéb b aszimmetria mutatók Csúcsos és s lapos eloszlás Aszimmetria hányadosh Pearson-mutat mutató Bowley-mutat mutató F-mutató ( Q F = ( Q A = 3 3 Mo σ Me) ( Me Q ) Me) + ( Me Q ),8,6,4,, 3/56-3, -, -,,,, 3, 3/56 Csúcsoss csosság g számítása sa n( n + ) ( n )( n )( n 3) 3( n ) ( n )( 3) n 4 i i= s n A csúcsoss csossági érték értelmezése Nulla esetén n normális eloszlás Pozitív érték k esetén n az adatok szélesebb csoportban helyezkednek el Negatív érték k esetén n az adatok szűkebb csoportban helyezkednek el. Statisztikailag igazolt eltérés: a csúcsoss csosság értéke meghaladja a szórásának kétszeresk tszeresét 33/56 34/56 Összefoglalás rték k megbízhat zhatósági tartománya Ismert σ:,96σ,96σ P µ + =,95 n n Ismeretlen σ: t,5 P µ n s t + s =,95 n,5 35/56 36/56 6

7 T.ELOSZLÁS S. A Student-féle t-eloszlás értékét t számítja ki. A t-eloszlt eloszlás s kisszámú mintát tartalmazó adathalmazok hipotézisvizsg zisvizsgálatánál l használhat lható.. A függvény a t-eloszlt eloszlás s kritikus értékeinek táblt blázata helyett is jól j használhat lható. Szintais T.ELOSZLÁS(;szabads szabadságfok;szél) X: Az a szám, amelynél l a függvf ggvény értékét t ki kell számítani. Szabadságfok: Az eloszlás s szabadságfok gfokának száma. Szél: Az eredmény nyül l kapott eloszlássz sszélek száma. Ha szél l =, akkor a T.ELOSZLÁS S egyszélű eloszlást st ad eredmény nyül, míg m g ha szél l =, akkor az T.ELOSZLÁS S eredménye kétszk tszélű eloszlás s lesz. Ha bármelyik b argumentum értéke nem szám, akkor a T.ELOSZLÁS S az #ÉRTÉK! hibaért rtéket adja eredmény Ha szabadságfok <, akkor a T.ELOSZLÁS S eredménye a #SZÁM! hibaért A program a szabadságfok és s a szél l argumentumnál l csak az egész szérték részt veszi figyelembe. Ha a szél l argumentum értéke nem vagy, akkor a T.ELOSZLÁS eredménye a #SZÁM! hibaért 37/56 Ha <, akkor a T.ELOSZLÁS S eredménye a #NUM! hibaért rték. T.ELOSZLÁS S. Ha a szél l =, akkor a T.ELOSZLÁS S számítása: sa: T.ELOSZLÁS S = P( X> ), ahol X a t-eloszlt eloszlást st követk vető véletlen változv ltozó.. Ha a szél l =, akkor a T.ELOSZLÁS S számítása: sa: T.ELOSZLÁS S = P( X > ) = P(X > vagy X < -). Mivel az < nem megengedett, < esetén T.ELOSZLÁS S használatakor vegye figyelembe, hogy T.ELOSZLÁS( S(-,df,) = T.ELOSZLÁS(, S(,df,) = P(X > -) és s T.ELOSZLÁS( S(-,df,) = T.ELOSZLÁS( S( df,) = P( X > ). 38/56 T.ELOSZLÁS S ellenőrz rzése rték k 68%-os megbízhat zhatósági tartománya =T.ELOSZLÁS(,96;3;) S(,96;3;) =T.ELOSZLÁS(,96;3;) S(,96;3;) s P µ n + s n =,68 39/56 4/56 rték k 95%-os megbízhat zhatósági tartománya rték k 99%-os megbízhat zhatósági tartománya s s P,96 µ +,96 =,95 n n s s P,58 µ +,58 =,99 n n 4/56 4/56 7

8 INVERZ.T Szintais INVERZ.T(val ínűség;szabadságfok gfok) Valósz színűség: A Student-féle t-eloszláshoz shoz tartozó színűség. Szabadságfok: Az eloszlás s szabadságfok gfokának száma. Ha bármelyik b argumentum értéke nem szám, akkor a INVERZ.T az #ÉRT# RTÉK! hibaért rtéket adja eredmény Ha színűség g < vagy színűség g >, akkor a INVERZ.T eredménye a #SZÁM! hibaért A program a szabadságfok argumentumnál l csak az egész szérték k részt r veszi figyelembe. Ha szabadságfok <, akkor a INVERZ.T a #SZÁM! hibaért rtéket adja eredmény Az INVERZ.T függvf ggvény a t értéket adja eredmény nyül, ha a P( X > t) = színűségnél l X t-eloszlt eloszlású véletlen változv ltozó és s P( X > t) = P(X < -t vagy X > t). Egyszélű t-értéket kapunk eredmény nyül, ha a színűség g helyett a * színűség értéket használjuk. Ha a színűség g,5, a szabadságfokok száma, a kétszk tszélű értéket az INVERZ.T(,5;) kifejezés s adja, amelynek értéke,839. Az egyszélű érték k ugyanennél a színűségnél és s szabadságfokn gfoknál l INVERZ.T(*,5;) alakban számíthat tható,, amelynek eredménye, /56 INVERZ.T ellenőrz rzése =INVERZ.T(,5;) =INVERZ.T(,3;) 44/56 Kefir zsírtartalma ismert szórás Kefir zsírtartalma ismeretlen szórás s n=3 átlag= 3,% s=,5% =,9% konfidenciasz int(95%) = ±,96 s C. I. alsó széle = 3,% C. I. felső széle = 3,38% = ±,8% 45/56 n=3 átlag= 3,% s=,5% =,9% s SzF=n =n- = 3- = 9 INVERZ.T(,5, 9) =,45 Konfidenciaszint(95%)=,9*,45=,86 46/56 Kefir zsírtartalma ismeretlen szórás Őszi búza b hektolitertömege 8 kg C.I.95% alsó széle: 3,-,86=3,4 n=3 átlag=75 kg s= 5 kg C.I.95% alsó széle: 3,+,86=3,386 47/56 s =,74kg konfidenciasz int(95%) = ±,96 s C. I. alsó széle = 69,63kg C. I. felső széle = 8,37kg = ± 5,37kg 48/56 8

9 rték k megbízhat zhatósági intervalluma véges v sokaságban s N n s N n P,96,96 µ + =,95 n N n N rték k megbízhat zhatósági intervalluma véges v sokaságban Sokaság g középértk rtéke: kg Véletlen elemű minta Minta középértk rtéke: 6 55 kg Minta szórása: sa: Minta S.E.: kg 6 65 kg Minta fpc:,964 49/56 5/56 rték k megbízhat zhatósági intervalluma véges v sokaságban P ( 655,96 665,964 µ 655+,96 665,964) =, 95 P ( 496 µ 7348) =, 95 Sokaság g középértk rtéke: kg 5/56 9