dimenziója Szirmay-Kalos László N= 1/r D D= (logn) / (log 1/r) D= (log4) / (log 3) = 1.26 N = 4, r = 1/3 Vonalzó ( l ) db r =1/3 N = 4 r 2 N 2 N m r m

Méret: px

Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "dimenziója Szirmay-Kalos László N= 1/r D D= (logn) / (log 1/r) D= (log4) / (log 3) = 1.26 N = 4, r = 1/3 Vonalzó ( l ) db r =1/3 N = 4 r 2 N 2 N m r m"

Fruzsina Szabó
4 évvel ezelőtt
Látták:

1 Fraktálok Hausdorff dimenzió Fraktálok N = N = 4 N = 8 Szirmay-Kalos László r = r = r = N= /r D D= (logn) / (log /r) Koch görbe D= (log4) / (log 3) =.6 N = 4, r = /3 Nem önhasonló objektumok dimenziója Vonalzó ( l ) db l r =/3 N = 4 r N r m N m Hossz( l )=l db = l N m = l (/r D ) m = = l (/r m ) D = / l D - D = - log Hossz( l ) / log l + Dimenziómérés s = hosszmérés log Hossz( l ) Fraktálok előáll llítása log l D- Matematikai gépek: Brownmozgás Kaotikus dinamikus rendszerek

Brown mozgás - Wiener féle f sztochasztikus folyamat Sztochasztikus folyamat (véletlen függvény) Trajektóriák folytonosak Független növekményű folyamat Növekmények 0 várható értékű normális eloszlás:

2 Brown mozgás - Wiener féle f sztochasztikus folyamat Sztochasztikus folyamat (véletlen függvény) Trajektóriák folytonosak Független növekményű folyamat Növekmények 0 várható értékű normális eloszlás: a független növekményűségből, a szórás az intervallum hosszával arányos Brown mozgás s alkalmazása ξ ξ ξ ξ 0 0,5 0,5 0,75 Kaotikus dinamikus rendszer: nyulak kis C értékre S n+ = C S n (-S n ) Kaotikus dinamikus rendszer: nyulak közepes k C értékre Kaotikus dinamikus rendszer: nyulak nagy C értékre Pseudo véletlenszám m generátor Iterált függvény: véletlenként hat r n+ = F(r n ) F nagy derivált!

3 Rossz: r n+ = F(r n ) Jó F Sűrűn kitölti a négyzetet Mindenütt u.a. az nagy derivált a [0, ]-ben van periodicity (r n,r n+ ) pairs Aperiodic length Kongruens generátor Kaotikus rendszerek a síkons F(x) = { g x + c } g x+c tört része g nagy F z = x + jy z z divergens konvergens Attraktor: H = F(H) z = r e iφ r r φ φ Attraktor előáll llítása Attraktor a labilis és a stabilis tartomány határa: kitöltött attraktor = amely nem divergens z n+ = z n : ha z < akkor fekete Attraktorhoz konvergálunk, ha az stabil z n+ = z n attraktora labilis

?? Kitölt ltött tt Julia halmaz: algoritmus Im z (X,Y) Kitölt ltött tt Julia halmaz: képk FilledJuliaDraw ( ) FOR Y = 0 TO Ymax DO Re z FOR X = 0 TO Xmax DO ViewportWindow(X,Y x, y) z = x + j y FOR i

4 Inverz iteráci ciós s módszerm H = F(H) H = F - (H) Julia halmaz: z z + c z n+ = z n z n+ = ± z n r n+ = r n φ n+ = φ n / + {0,} π r n φ n {0,}.{0,}{0,}... π n n- n- Nem lehet csak egy értékkel dolgozni??? Kitölt ltött tt Julia halmaz: algoritmus Im z (X,Y) Kitölt ltött tt Julia halmaz: képk FilledJuliaDraw ( ) FOR Y = 0 TO Ymax DO Re z FOR X = 0 TO Xmax DO ViewportWindow(X,Y x, y) z = x + j y FOR i = 0 TO n DO z = z + c IF z > infinity THEN WRITE(X,Y, white) ELSE WRITE(X,Y, black) Julia halmaz inverz iteráci cióval Im z (X,Y) JuliaDrawInverseIterate ( ) Kezdeti z érték választás FOR i = 0 TO n DO Re z x = Re z, y = Im z IF ClipWindow(x, y) WindowViewport(x, y X, Y) Pixel(X, Y) = fekete IF z = z - c if (rand(( ) > 0.5) z = -z Kezdeti z érték: z = z - c gyöke összefüggő Julia halmaz nem összefüggő, Cantor féle halmaz

Julia halmaz összefüggőségege H H-c Mandelbrot halmaz Azon c komplex számok,

halmaz, algoritmus Színes Mandelbrot halmaz MandelbrotDraw ( ) FOR Y = 0 TO Ymax

DO z = z + c IF z > infinity THEN WRITE(X,Y, white) ELSE WRITE(X,Y, black) Inverz

Attraktor: H = F(H) F: szabadon vezérelhető, legyen stabilis attraktora F = W W W

5 Julia halmaz összefüggőségege H H-c Mandelbrot halmaz Azon c komplex számok, amelyekre a z z + c Julia halmaza összefüggő c H-c H c z n+ = ± z n -c Mandelbrot halmaz, algoritmus Színes Mandelbrot halmaz MandelbrotDraw ( ) FOR Y = 0 TO Ymax DO FOR X = 0 TO Xmax DO ViewportWindow(X,Y x, y) c = x + j y z = 0 FOR i = 0 TO n DO z = z + c IF z > infinity THEN WRITE(X,Y, white) ELSE WRITE(X,Y, black) Inverz feladat: IFS modellezés F: többt bbértékű lineáris leképz pzés F x, y H F Attraktor: H = F(H) F: szabadon vezérelhető, legyen stabilis attraktora F = W W W n W(x,y) = [ax + by + c, dx + ey + f] H = W (H) W (H) W n (H) H = F(H) Stabilitás = kontrakció

IFS rajzolás: iteráci ciós s algoritmus IFSDraw (

Válassz k-t k p k valósz színűséggel [x,y] = [x,y]

6 IFS rajzolás: iteráci ciós s algoritmus IFSDraw ( ) Legyen [x,y] = [x,y] A + q megoldása a kezdő [x,y] FOR i = 0 TO n DO IF ClipWindow(x, y) WindowViewport(x, y X, Y) Write(X, Y, color); IF Válassz k-t k p k valósz színűséggel [x,y] = [x,y] A k + q k y (X,Y) x W k Egyszerű IFS-ek IFS modellezés IFS képekk

Hasonló dokumentumok

Fraktálok és káosz. Szirmay-Kalos László

Fraktálok és káosz. Szirmay-Kalos László Fraktálok és káosz Szirmay-Kalos László A természet geometriája Euklideszi geometria metrikus Sima egyenesre/síkra épít (analízis: differenciálás) Kicsiben mindenki lineáris: Skálafüggőség Méret lényeges