Sztochasztikus folyamatok alapfogalmak

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "Sztochasztikus folyamatok alapfogalmak"

Átírás

1 Matematikai Modellalkotás Szeminárium szeptember 4.

2 1 Folytonos idejű Markov láncok 2 3 4

3 1 Folytonos idejű Markov láncok 2 3 4

4 Folytonos idejű Markov láncok I Adott egy G = (V, E) gráf

5 Folytonos idejű Markov láncok I Adott egy G = (V, E) gráf Egy X t ; t [0, ) folyamat folytonos idejű Markov lánc, ha t-re X t V, és egy α(x, y) rátafüggvénnyel P(X t+dt = x X t = x) = 1 α(x)dt + o(dt) P(X t+dt = y X t = x) = α(x, y)dt + o(dt) α(x) = y x α(x, y).

6 Folytonos idejű Markov láncok II Az előzőekből, ha p x (t) = P(X t = x), p(t) = (p 1 (t), p 2 (t),..., p V (t)),

7 Folytonos idejű Markov láncok II Az előzőekből, ha p x (t) = P(X t = x), p(t) = (p 1 (t), p 2 (t),..., p V (t)), kapjuk ṗ x (t) = α(x)p x (t) + y x α(y, x)p y (t),

8 Folytonos idejű Markov láncok II Az előzőekből, ha p x (t) = P(X t = x), p(t) = (p 1 (t), p 2 (t),..., p V (t)), kapjuk azaz ṗ x (t) = α(x)p x (t) + y x α(y, x)p y (t), ṗ(t) = p(t)a, (1)

9 Folytonos idejű Markov láncok II Az előzőekből, ha p x (t) = P(X t = x), p(t) = (p 1 (t), p 2 (t),..., p V (t)), kapjuk ṗ x (t) = α(x)p x (t) + y x α(y, x)p y (t), azaz ṗ(t) = p(t)a, (1) ahol A x,y = α(x, y), ha x y, és α(x), ha x = y.

10 Mátrixexponenciális függvény Az (1) egyenlet megoldása: p(t) = p(0)e ta.

11 Mátrixexponenciális függvény Az (1) egyenlet megoldása: p(t) = p(0)e ta. De mit is jelent egy mátrix exponenciális függvénye?

12 Mátrixexponenciális függvény Az (1) egyenlet megoldása: p(t) = p(0)e ta. De mit is jelent egy mátrix exponenciális függvénye? e ta (ta) n =. n! n=0

13 Mátrixexponenciális függvény Az (1) egyenlet megoldása: p(t) = p(0)e ta. De mit is jelent egy mátrix exponenciális függvénye? e ta (ta) n =. n! n=0 Például legyen A = ( ).

14 Mátrixexponenciális függvény - példa Ekkor A = QDQ 1, ahol ( ) ( Q =, D = ) (, Q 1 2/3 1/3 = 1/3 1/3 ).

15 Mátrixexponenciális függvény - példa Ekkor A = QDQ 1, ahol ( ) ( Q =, D = ) (, Q 1 2/3 1/3 = 1/3 1/3 ). Tehát e ta = Q(tD) n Q 1 n=0 n! ( 1 0 = Q 0 e 3t ( 2/3 1/3 = 2/3 1/3 ) Q 1 ) + e 3t ( 1/3 1/3 2/3 2/3 ).

16 1 Folytonos idejű Markov láncok 2 3 4

17 béta-eloszlás I ξ legyen 7 db [0, 1]-en egyenletes eloszlású független véletlen szám közül a 5. legnagyobb:

18 béta-eloszlás I ξ legyen 7 db [0, 1]-en egyenletes eloszlású független véletlen szám közül a 5. legnagyobb:

19 béta-eloszlás I ξ legyen 7 db [0, 1]-en egyenletes eloszlású független véletlen szám közül a 5. legnagyobb:

20 béta-eloszlás I ξ legyen 7 db [0, 1]-en egyenletes eloszlású független véletlen szám közül a 5. legnagyobb: x

21 béta-eloszlás I ξ legyen 7 db [0, 1]-en egyenletes eloszlású független véletlen szám közül a 5. legnagyobb: x P(ξ [x, x + dx]) = 7! 2!4! x 2 dx(1 x dx) 4 + o(dx),

22 béta-eloszlás I ξ legyen 7 db [0, 1]-en egyenletes eloszlású független véletlen szám közül a 5. legnagyobb: x P(ξ [x, x + dx]) = 7! 2!4! x 2 dx(1 x dx) 4 + o(dx), így ξ sűrűsége az x [0, 1] helyen: f (x) = 7! 2!4! x 2 (1 x) 4

23 béta-eloszlás II Általában β(a, b) eloszlás sűrűsége a [0, 1] intervallumon: f (x) = Γ(a + b) Γ(a)Γ(b) x a 1 (1 x) b 1.

24 béta-eloszlás II Általában β(a, b) eloszlás sűrűsége a [0, 1] intervallumon: f (x) = Γ(a + b) Γ(a)Γ(b) x a 1 (1 x) b 1. Itt a, b pozitív, nem feltétlenül egész számok, és Γ(a) = 0 t a 1 e t dt Γ(n) = (n 1)!, n N

25 1 Folytonos idejű Markov láncok 2 3 4

26 - szemléletes definíció Egy M 1, M 2,... valószínűségi változó sorozat martingál, ha E( M k ) < és M k feltételes várható értéke "M 1,..., M k 1 ismeretében" épp M k 1 minden k-ra.

27 - szemléletes definíció Egy M 1, M 2,... valószínűségi változó sorozat martingál, ha E( M k ) < és M k feltételes várható értéke "M 1,..., M k 1 ismeretében" épp M k 1 minden k-ra. 1. Példa: Érmedobás játékban addig duplázom a tétet, míg először nem nyerek, utána kiszállok.

28 - szemléletes definíció Egy M 1, M 2,... valószínűségi változó sorozat martingál, ha E( M k ) < és M k feltételes várható értéke "M 1,..., M k 1 ismeretében" épp M k 1 minden k-ra. 1. Példa: Érmedobás játékban addig duplázom a tétet, míg először nem nyerek, utána kiszállok. A nyereményem: M 0 = 0, ha M k 1 = ( k 2 ) = 2 k 1 + 1, akkor P(M k = 1) = P(M k = 2 k + 1) = 1/2.

29 - szemléletes definíció Egy M 1, M 2,... valószínűségi változó sorozat martingál, ha E( M k ) < és M k feltételes várható értéke "M 1,..., M k 1 ismeretében" épp M k 1 minden k-ra. 1. Példa: Érmedobás játékban addig duplázom a tétet, míg először nem nyerek, utána kiszállok. A nyereményem: M 0 = 0, ha M k 1 = ( k 2 ) = 2 k 1 + 1, akkor P(M k = 1) = P(M k = 2 k + 1) = 1/2. Ha pedig M k 1 = 1, akkor M k = 1.

30 - szemléletes definíció Egy M 1, M 2,... valószínűségi változó sorozat martingál, ha E( M k ) < és M k feltételes várható értéke "M 1,..., M k 1 ismeretében" épp M k 1 minden k-ra. 1. Példa: Érmedobás játékban addig duplázom a tétet, míg először nem nyerek, utána kiszállok. A nyereményem: M 0 = 0, ha M k 1 = ( k 2 ) = 2 k 1 + 1, akkor P(M k = 1) = P(M k = 2 k + 1) = 1/2. Ha pedig M k 1 = 1, akkor M k = 1. Tehát E(M k M 1,..., M k 1 ) = M k.

31 Pólya féle urnamodell 2. Példa: Egy urnában kezdetben 3 piros és 5 zöld golyó van.

32 Pólya féle urnamodell 2. Példa: Egy urnában kezdetben 3 piros és 5 zöld golyó van. Egy lépésben kiveszek egy golyót, majd azt visszateszem egy másik, ugyanolyan színű golyóval együtt.

33 Pólya féle urnamodell 2. Példa: Egy urnában kezdetben 3 piros és 5 zöld golyó van. Egy lépésben kiveszek egy golyót, majd azt visszateszem egy másik, ugyanolyan színű golyóval együtt. Be lehet látni, hogy a piros golyók aránya martingál.

34 Pólya féle urnamodell 2. Példa: Egy urnában kezdetben 3 piros és 5 zöld golyó van. Egy lépésben kiveszek egy golyót, majd azt visszateszem egy másik, ugyanolyan színű golyóval együtt. Be lehet látni, hogy a piros golyók aránya martingál. Kérdés: Sok lépés után vajon konvergens-e a piros golyók aránya? Ha igen, mihez tart? Függ a limesz a véletlentől?

35 Pólya féle urnamodell 2. Példa: Egy urnában kezdetben 3 piros és 5 zöld golyó van. Egy lépésben kiveszek egy golyót, majd azt visszateszem egy másik, ugyanolyan színű golyóval együtt. Be lehet látni, hogy a piros golyók aránya martingál. Kérdés: Sok lépés után vajon konvergens-e a piros golyók aránya? Ha igen, mihez tart? Függ a limesz a véletlentől? A választ (egyelőre) nem tudjuk, ezért szimulálunk!

36 Pólya féle urnamodell 2. Példa: Egy urnában kezdetben 3 piros és 5 zöld golyó van. Egy lépésben kiveszek egy golyót, majd azt visszateszem egy másik, ugyanolyan színű golyóval együtt. Be lehet látni, hogy a piros golyók aránya martingál. Kérdés: Sok lépés után vajon konvergens-e a piros golyók aránya? Ha igen, mihez tart? Függ a limesz a véletlentől? A választ (egyelőre) nem tudjuk, ezért szimulálunk!

37 Pólya féle urnamodell 2. Példa: Egy urnában kezdetben 3 piros és 5 zöld golyó van. Egy lépésben kiveszek egy golyót, majd azt visszateszem egy másik, ugyanolyan színű golyóval együtt. Be lehet látni, hogy a piros golyók aránya martingál. Kérdés: Sok lépés után vajon konvergens-e a piros golyók aránya? Ha igen, mihez tart? Függ a limesz a véletlentől? A választ (egyelőre) nem tudjuk, ezért szimulálunk!

38 Pólya féle urnamodell 2. Példa: Egy urnában kezdetben 3 piros és 5 zöld golyó van. Egy lépésben kiveszek egy golyót, majd azt visszateszem egy másik, ugyanolyan színű golyóval együtt. Be lehet látni, hogy a piros golyók aránya martingál. Kérdés: Sok lépés után vajon konvergens-e a piros golyók aránya? Ha igen, mihez tart? Függ a limesz a véletlentől? A választ (egyelőre) nem tudjuk, ezért szimulálunk!

39 Pólya féle urnamodell 2. Példa: Egy urnában kezdetben 3 piros és 5 zöld golyó van. Egy lépésben kiveszek egy golyót, majd azt visszateszem egy másik, ugyanolyan színű golyóval együtt. Be lehet látni, hogy a piros golyók aránya martingál. Kérdés: Sok lépés után vajon konvergens-e a piros golyók aránya? Ha igen, mihez tart? Függ a limesz a véletlentől? A választ (egyelőre) nem tudjuk, ezért szimulálunk!

40 Monte Carlo szimuláció I ábra: 1000 szimuláció, 50 lépés

41 Monte Carlo szimuláció II ábra: szimuláció, 70 lépés

42 Monte Carlo szimuláció II ábra: szimuláció, 70 lépés A tényleges limesz a β(3, 5) eloszlás!

43 Brown mozgás 3. Példa: Brown mozgás ábra: Véletlen bolyongás, 100 lépés

44 Brown mozgás 3. Példa: Brown mozgás ábra: Véletlen bolyongás, 1000 lépés

45 Brown mozgás 3. Példa: Brown mozgás ábra: Véletlen bolyongás, lépés

46 Brown mozgás II A limeszben kapott folyamat a Brown mozgás.

47 Brown mozgás II A limeszben kapott folyamat a Brown mozgás. Definíció: X t Brown mozgás, ha X 0 = 0 minden s 1 t 1 s 2 t 2... t n esetén X t1 X s1,... X tn X sn függetlenek minden s t esetén X t X s N ( 0, σ 2 = t s ) t X t majdnem biztosan folytonos.

48 Orstein-Uhlenbeck folyamat I. Brown mozgás alkalmazása: SDE

49 Orstein-Uhlenbeck folyamat I. Brown mozgás alkalmazása: SDE Formálisan legyen dx t = θ(µ X t )dt + σdw t, ahol W t Brown mozgás. Ekkor X t Orstein-Uhlenbeck folyamat.

50 Orstein-Uhlenbeck folyamat I. Brown mozgás alkalmazása: SDE Formálisan legyen dx t = θ(µ X t )dt + σdw t, ahol W t Brown mozgás. Ekkor X t Orstein-Uhlenbeck folyamat. Ekkor d(x t e θt ) dt Végül t szerint integrálva = θx t e θt + e θt dx t dt = e θt θµ + σe θt dw t dt. X t = X 0 e θt + µ(1 e θt ) + t 0 σe θ(s t) dw s

51 Orstein-Uhlenbeck folyamat II. Az Orstein-Uhlenbeck folyamat további tulajdonságai:

52 Orstein-Uhlenbeck folyamat II. Az Orstein-Uhlenbeck folyamat további tulajdonságai: Nem martingál, de stacionárius, Gauss, Markov folyamat. Stacionárius eloszlás: N (µ, σ 2 /(2θ))

53 Orstein-Uhlenbeck folyamat II. Az Orstein-Uhlenbeck folyamat további tulajdonságai: Nem martingál, de stacionárius, Gauss, Markov folyamat. Stacionárius eloszlás: N (µ, σ 2 /(2θ)) Urna modell: Legyen egy urnában n zöld és n piros golyó. Egy lépésben kiveszünk egy véletlen golyót, és azt ellenkezö színűre cseréljük. Ha Y k a piros golyók száma k lépés után. Ekkor ( ) Y[nt] n (X t ) 0 t 1 n 0 t 1

54 Orstein-Uhlenbeck folyamat III. ábra: Orstein-Uhlenbeck folyamat realizációi (forrás: Wikipedia)

55 1 Folytonos idejű Markov láncok 2 3 4

56 Poisson folyamat Legyenek T 1, T 2,... iid Exp(λ) valószínűségi változók.

57 Poisson folyamat Legyenek T 1, T 2,... iid Exp(λ) valószínűségi változók. 0

58 Poisson folyamat Legyenek T 1, T 2,... iid Exp(λ) valószínűségi változók. 0 T 1

59 Poisson folyamat Legyenek T 1, T 2,... iid Exp(λ) valószínűségi változók. 0 T 1 T 1 + T 2

60 Poisson folyamat Legyenek T 1, T 2,... iid Exp(λ) valószínűségi változók. 0 T 1 T 1 + T 2 T 1 + T 2 + T 3

61 Poisson folyamat Legyenek T 1, T 2,... iid Exp(λ) valószínűségi változók. 0 T 1 T 1 + T 2 T 1 + T 2 + T 3 A félegyenesen kapott pontok: homogén 1 dimenziós Poisson folyamat

62 Poisson folyamat Legyenek T 1, T 2,... iid Exp(λ) valószínűségi változók. 0 A félegyenesen kapott pontok: homogén 1 dimenziós Poisson folyamat Egy I intervallumba eső pontok száma: POI (λ I ) eloszlású.

63 Többdimenziós Poisson folyamat Az előző észrevétel alapján több dimenzióban is definiálhatjuk: Poisson folyamat: Olyan véletlen térbeli pontok, hogy minden halmazba Poisson eloszlású pont esik, és diszjunkt halmazokra ezek függetlenek.

64 Többdimenziós Poisson folyamat Az előző észrevétel alapján több dimenzióban is definiálhatjuk: Poisson folyamat: Olyan véletlen térbeli pontok, hogy minden halmazba Poisson eloszlású pont esik, és diszjunkt halmazokra ezek függetlenek.

65 Többdimenziós Poisson folyamat Az előző észrevétel alapján több dimenzióban is definiálhatjuk: Poisson folyamat: Olyan véletlen térbeli pontok, hogy minden halmazba Poisson eloszlású pont esik, és diszjunkt halmazokra ezek függetlenek.

66 M/M/1 sorbanállási modell I Egy üzletbe a vásárlók λ paraméterű Poisson folyamat szerint érkeznek.

67 M/M/1 sorbanállási modell I Egy üzletbe a vásárlók λ paraméterű Poisson folyamat szerint érkeznek. Az egyetlen eladó µ paraméterű exponenciális eloszlású idő alatt szolgál ki egy vevőt.

68 M/M/1 sorbanállási modell I Egy üzletbe a vásárlók λ paraméterű Poisson folyamat szerint érkeznek. Az egyetlen eladó µ paraméterű exponenciális eloszlású idő alatt szolgál ki egy vevőt. érkezés kiszolgálás

69 M/M/1 sorbanállási modell I Egy üzletbe a vásárlók λ paraméterű Poisson folyamat szerint érkeznek. Az egyetlen eladó µ paraméterű exponenciális eloszlású idő alatt szolgál ki egy vevőt. érkezés kiszolgálás 0

70 M/M/1 sorbanállási modell I Egy üzletbe a vásárlók λ paraméterű Poisson folyamat szerint érkeznek. Az egyetlen eladó µ paraméterű exponenciális eloszlású idő alatt szolgál ki egy vevőt. érkezés kiszolgálás 0 1

71 M/M/1 sorbanállási modell I Egy üzletbe a vásárlók λ paraméterű Poisson folyamat szerint érkeznek. Az egyetlen eladó µ paraméterű exponenciális eloszlású idő alatt szolgál ki egy vevőt. érkezés kiszolgálás 0 1 2

72 M/M/1 sorbanállási modell I Egy üzletbe a vásárlók λ paraméterű Poisson folyamat szerint érkeznek. Az egyetlen eladó µ paraméterű exponenciális eloszlású idő alatt szolgál ki egy vevőt. érkezés kiszolgálás

73 M/M/1 sorbanállási modell I Egy üzletbe a vásárlók λ paraméterű Poisson folyamat szerint érkeznek. Az egyetlen eladó µ paraméterű exponenciális eloszlású idő alatt szolgál ki egy vevőt. érkezés kiszolgálás

74 M/M/1 sorbanállási modell I Egy üzletbe a vásárlók λ paraméterű Poisson folyamat szerint érkeznek. Az egyetlen eladó µ paraméterű exponenciális eloszlású idő alatt szolgál ki egy vevőt. érkezés kiszolgálás

75 M/M/1 sorbanállási modell II Belátható, hogy ha λ > µ, akkor "túl sok vevő érkezik", a várakozók száma tart a végtelenhez.

76 M/M/1 sorbanállási modell II Belátható, hogy ha λ > µ, akkor "túl sok vevő érkezik", a várakozók száma tart a végtelenhez. Ha λ < µ, akkor a sorhossz nem tart a végtelenhez, és sok idő múlva kb. geometriai eloszlású.

77 M/M/1 sorbanállási modell II Belátható, hogy ha λ > µ, akkor "túl sok vevő érkezik", a várakozók száma tart a végtelenhez. Ha λ < µ, akkor a sorhossz nem tart a végtelenhez, és sok idő múlva kb. geometriai eloszlású. Általánosítási lehetőségek: nem csak egy kiszolgáló (könnyű), nem Poisson folyamat az érkezési idő (nehéz).

78 Köszönöm a figyelmet!

előadás Diszkrét idejű tömegkiszolgálási modellek Poisson-folyamat Folytonos idejű Markov-láncok Folytonos idejű sorbanállás

előadás Diszkrét idejű tömegkiszolgálási modellek Poisson-folyamat Folytonos idejű Markov-láncok Folytonos idejű sorbanállás 13-14. előadás Diszkrét idejű tömegkiszolgálási modellek Poisson-folyamat Folytonos idejű Markov-láncok Folytonos idejű sorbanállás 2016. november 28. és december 5. 13-14. előadás 1 / 35 Bevezetés A diszkrét

Részletesebben

[Biomatematika 2] Orvosi biometria

[Biomatematika 2] Orvosi biometria [Biomatematika 2] Orvosi biometria 2016.02.22. Valószínűségi változó Véletlentől függő számértékeket (értékek sokasága) felvevő változókat valószínűségi változóknak nevezzük(jelölés: ξ, η, x). (pl. x =

Részletesebben

E.4 Markov-láncok E.4 Markov-láncok. Sok sorbanállási hálózat viselkedése leírható "folytonos idejű Markovláncok " segítségével.

E.4 Markov-láncok E.4 Markov-láncok. Sok sorbanállási hálózat viselkedése leírható folytonos idejű Markovláncok  segítségével. E.4 Markov-láncok Sok sorbanállási hálózat viselkedése leírható "folytonos idejű Markovláncok " segítségével. Egy Markov-láncot (MC) meghatároznak az alapját adó sorbanállási hálózat állapotai és az ezek

Részletesebben

Gazdasági matematika II. vizsgadolgozat, megoldással,

Gazdasági matematika II. vizsgadolgozat, megoldással, Gazdasági matematika II. vizsgadolgozat, megoldással, levelező képzés Definiálja az alábbi fogalmakat! 1. Kvadratikus mátrix invertálhatósága és inverze. (4 pont) Egy A kvadratikus mátrixot invertálhatónak

Részletesebben

Diszkrét idejű felújítási paradoxon

Diszkrét idejű felújítási paradoxon Magda Gábor Szaller Dávid Tóvári Endre 2009. 11. 18. X 1, X 2,... független és X-szel azonos eloszlású, pozitív egész értékeket felvevő valószínűségi változó (felújítási idők) P(X M) = 1 valamilyen M N

Részletesebben

Statisztika - bevezetés Méréselmélet PE MIK MI_BSc VI_BSc 1

Statisztika - bevezetés Méréselmélet PE MIK MI_BSc VI_BSc 1 Statisztika - bevezetés 00.04.05. Méréselmélet PE MIK MI_BSc VI_BSc Bevezetés Véletlen jelenség fogalma jelenséget okok bizonyos rendszere hozza létre ha mindegyik figyelembe vehető egyértelmű leírás általában

Részletesebben

Véletlen szám generálás

Véletlen szám generálás 2. elıadás Véletlen szám generálás LCG: (0 < m, 0

Részletesebben

Eseményalgebra. Esemény: minden amirl a kísérlet elvégzése során eldönthet egyértelmen hogy a kísérlet során bekövetkezett-e vagy sem.

Eseményalgebra. Esemény: minden amirl a kísérlet elvégzése során eldönthet egyértelmen hogy a kísérlet során bekövetkezett-e vagy sem. Eseményalgebra. Esemény: minden amirl a kísérlet elvégzése során eldönthet egyértelmen hogy a kísérlet során bekövetkezett-e vagy sem. Elemi esemény: a kísérlet egyes lehetséges egyes lehetséges kimenetelei.

Részletesebben

( 1) i 2 i. megbízhatóságú a levont következtetése? A matematikai statisztika eszközeivel értékelje a kapott eredményeket!

( 1) i 2 i. megbízhatóságú a levont következtetése? A matematikai statisztika eszközeivel értékelje a kapott eredményeket! 1. Név:......................... Egy szabályos pénzérmét feldobunk, ha az els½o FEJ az i-edik dobásra jön, akkor a játékos nyereménye ( 1) i i forint. Vizsgálja szimulációval a játékot, különböz½o induló

Részletesebben

A következő feladat célja az, hogy egyszerű módon konstruáljunk Poisson folyamatokat.

A következő feladat célja az, hogy egyszerű módon konstruáljunk Poisson folyamatokat. Poisson folyamatok, exponenciális eloszlások Azt mondjuk, hogy a ξ valószínűségi változó Poisson eloszlású λ, 0 < λ

Részletesebben

A valószínűségszámítás elemei

A valószínűségszámítás elemei Alapfogalmak BIOSTATISZTIKA ÉS INFORMATIKA A valószínűségszámítás elemei Jelenség: minden, ami lényegében azonos feltételek mellett megismételhető, amivel kapcsolatban megfigyeléseket lehet végezni, lehet

Részletesebben

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 3 III. VÉLETLEN VEKTOROK 1. A KÉTDIMENZIÓs VÉLETLEN VEKTOR Definíció: Az leképezést (kétdimenziós) véletlen vektornak nevezzük, ha Definíció:

Részletesebben

A valószínűségszámítás elemei

A valószínűségszámítás elemei A valószínűségszámítás elemei Kísérletsorozatban az esemény relatív gyakorisága: k/n, ahol k az esemény bekövetkezésének abszolút gyakorisága, n a kísérletek száma. Pl. Jelenség: kockadobás Megfigyelés:

Részletesebben

1. Név:... Neptun Kód:... Feladat: Egy összeszerel½o üzemben 3 szalag van. Mindehárom szalagon ugyanazt

1. Név:... Neptun Kód:... Feladat: Egy összeszerel½o üzemben 3 szalag van. Mindehárom szalagon ugyanazt 1. Név:......................... Egy összeszerel½o üzemben 3 szalag van. Mindehárom szalagon ugyanazt a gyártmányt készítik. Egy gyártmány összeszerelési ideje normális eloszlású valószín½uségi változó

Részletesebben

vásárlót átlag 2 perc alatt intéz el (blokkolás, kártyaleolvasás), de ez az

vásárlót átlag 2 perc alatt intéz el (blokkolás, kártyaleolvasás), de ez az 1. Név:......................... Egy ABC-ben délután (5-t½ol 9 óráig) a vásárlók száma óránként 200 várható érték½u Poisson eloszlású valószín½uségi változó. A pénztáros egy vásárlót átlag 2 perc alatt

Részletesebben

A maximum likelihood becslésről

A maximum likelihood becslésről A maximum likelihood becslésről Definíció Parametrikus becsléssel foglalkozunk. Adott egy modell, mellyel elképzeléseink szerint jól leírható a meghatározni kívánt rendszer. (A modell típusának és rendszámának

Részletesebben

TANTÁRGYI PROGRAM Matematikai alapok 2. útmutató

TANTÁRGYI PROGRAM Matematikai alapok 2. útmutató BGF PÉNZÜGYI ÉS SZÁMVITELI KAR Módszertani Intézeti Tanszéki Osztály TANTÁRGYI PROGRAM Matematikai alapok 2. útmutató 2015/2016. tanév I. félév Tantárgyi program Tantárgy megnevezése Tantárgy jellege/típusa:

Részletesebben

Operációkutatás. 4. konzultáció: Sorbanállás. Exponenciális elsozlás (ismétlés)

Operációkutatás. 4. konzultáció: Sorbanállás. Exponenciális elsozlás (ismétlés) Operációkutatás NYME KTK, gazdálkodás szak, levelező alapképzés 2002/2003. tanév, II. évf. 2.félév Előadó: Dr. Takách Géza NyME FMK Információ Technológia Tanszék 9400 Sopron, Bajcsy Zs. u. 9. GT fszt.

Részletesebben

12. előadás - Markov-láncok I.

12. előadás - Markov-láncok I. 12. előadás - Markov-láncok I. 2016. november 21. 12. előadás 1 / 15 Markov-lánc - definíció Az X n, n N valószínűségi változók sorozatát diszkrét idejű sztochasztikus folyamatnak nevezzük. Legyen S R

Részletesebben

Biometria az orvosi gyakorlatban. Számítógépes döntéstámogatás

Biometria az orvosi gyakorlatban. Számítógépes döntéstámogatás SZDT-01 p. 1/23 Biometria az orvosi gyakorlatban Számítógépes döntéstámogatás Werner Ágnes Villamosmérnöki és Információs Rendszerek Tanszék e-mail: werner.agnes@virt.uni-pannon.hu Gyakorlat SZDT-01 p.

Részletesebben

Bevezetés. 1. előadás, 2015. február 11. Módszerek. Tematika

Bevezetés. 1. előadás, 2015. február 11. Módszerek. Tematika Bevezetés 1. előadás, 2015. február 11. Zempléni András Valószínűségelméleti és Statisztika Tanszék Természettudományi Kar Eötvös Loránd Tudományegyetem Áringadozások előadás Heti 2 óra előadás + 2 óra

Részletesebben

Megoldások MATEMATIKA II. VIZSGA (VK) NBT. NG. NMH. SZAKOS HALLGATÓK RÉSZÉRE (Kérjük, hogy a megfelelő szakot jelölje be!

Megoldások MATEMATIKA II. VIZSGA (VK) NBT. NG. NMH. SZAKOS HALLGATÓK RÉSZÉRE (Kérjük, hogy a megfelelő szakot jelölje be! MATEMATIKA II. VIZSGA (VK) NBT. NG. NMH. SZAKOS HALLGATÓK RÉSZÉRE (Kérjük, hogy a megfelelő szakot jelölje be!) 2016. JANUÁR 21. Elérhető pontszám: 50 pont Megoldások 1. 6. 2. 7. 3. 8. 4. 9. 5. Össz.:

Részletesebben

Dr. Karácsony Zsolt. Miskolci Egyetem november

Dr. Karácsony Zsolt. Miskolci Egyetem november Valószínűségszámítás és Matematikai statisztika Dr. Karácsony Zsolt Miskolci Egyetem, Alkalmazott Matematikai Tanszék 2013-2014 tanév 1. félév Miskolci Egyetem 2013. november 11-18 - 25. Dr. Karácsony

Részletesebben

Wiener-folyamatok legfontosabb tulajdonságai. Poisson-folyamatok.

Wiener-folyamatok legfontosabb tulajdonságai. Poisson-folyamatok. Wiener-folyamatok legfontosabb tulajdonságai. Poisson-folyamatok. Láttuk, hogy a Wiener-folyamat teljesíti az úgynevezett funkcionális centrális határeloszlástételt. Ez az eredmény durván szólva azt fejezi

Részletesebben

Gyakorló feladatok a 2. dolgozathoz

Gyakorló feladatok a 2. dolgozathoz Gyakorló feladatok a. dolgozathoz. Tíz darab tízforintost feldobunk. Mennyi annak a valószínűsége hogy vagy mindegyiken írást vagy mindegyiken fejet kapunk? 9. Egy kör alakú asztal mellett tízen ebédelnek:

Részletesebben

Valószínűségelmélet. Pap Gyula. Szegedi Tudományegyetem. Szeged, 2016/2017 tanév, I. félév

Valószínűségelmélet. Pap Gyula. Szegedi Tudományegyetem. Szeged, 2016/2017 tanév, I. félév Valószínűségelmélet Pap Gyula Szegedi Tudományegyetem Szeged, 2016/2017 tanév, I. félév Pap Gyula (SZTE) Valószínűségelmélet 2016/2017 tanév, I. félév 1 / 125 Ajánlott irodalom: CSÖRGŐ SÁNDOR Fejezetek

Részletesebben

A Markovi forgalomanalízis legújabb eredményei és ezek alkalmazása a távközlő hálózatok teljesítményvizsgálatában

A Markovi forgalomanalízis legújabb eredményei és ezek alkalmazása a távközlő hálózatok teljesítményvizsgálatában A Markovi forgalomanalízis legújabb eredményei és ezek alkalmazása a távközlő hálózatok teljesítményvizsgálatában Horváth Gábor ghorvath@hit.bme.hu (Horváth András, Telek Miklós) - p. 1 Motiváció, problémafelvetés

Részletesebben

[Biomatematika 2] Orvosi biometria

[Biomatematika 2] Orvosi biometria [Biomatematika 2] Orvosi biometria 2016.02.15. Esemény Egy kísérlet vagy megfigyelés (vagy mérés) lehetséges eredményeinek összessége (halmaza) alkotja az eseményteret. Esemény: az eseménytér részhalmazai.

Részletesebben

Valószín ségelmélet házi feladatok

Valószín ségelmélet házi feladatok Valószín ségelmélet házi feladatok Minden héten 3-4 házi feladatot adok ki. A megoldásokat a következ órán kell beadni, és kés bb már nem lehet pótolni. Csak az mehet vizsgázni, aki a 13 hét során kiadott

Részletesebben

Legfontosabb bizonyítandó tételek

Legfontosabb bizonyítandó tételek Legfontosabb bizonyítandó tétele 1. A binomiális tétel Tetszőleges éttagú ifejezés (binom) bármely nem negatív itevőj ű hatványa polinommá alaítható a övetez ő módon: Az nem más, mint egy olyan n tényezős

Részletesebben

TANTÁRGYI PROGRAM Matematikai alapok II. útmutató

TANTÁRGYI PROGRAM Matematikai alapok II. útmutató BGF PÉNZÜGYI ÉS SZÁMVITELI KAR Módszertani Intézeti Tanszéki Osztály TANTÁRGYI PROGRAM Matematikai alapok II. útmutató 2013/2014. tanév II. félév Tantárgyi program Tantárgy megnevezése Tantárgy jellege/típusa:

Részletesebben

4. Előadás: Sorbanállási modellek, I.

4. Előadás: Sorbanállási modellek, I. 4. Előadás: Sorbanállási modellek, I. Wayne L. Winston: Operációkutatás, módszerek és alkalmazások, Aula Kiadó, Budapest, 2003 könyvének 20. fejezete alapján... A sorbanállási elmélet alapfogalmai A sorbanállási

Részletesebben

Számítógépes döntéstámogatás. Statisztikai elemzés

Számítógépes döntéstámogatás. Statisztikai elemzés SZDT-03 p. 1/22 Számítógépes döntéstámogatás Statisztikai elemzés Werner Ágnes Villamosmérnöki és Információs Rendszerek Tanszék e-mail: werner.agnes@virt.uni-pannon.hu Előadás SZDT-03 p. 2/22 Rendelkezésre

Részletesebben

Miért fontos számunkra az előző gyakorlaton tárgyalt lineáris algebrai ismeretek

Miért fontos számunkra az előző gyakorlaton tárgyalt lineáris algebrai ismeretek Az november 23-i szeminárium témája Rövid összefoglaló Miért fontos számunkra az előző gyakorlaton tárgyalt lineáris algebrai ismeretek felfrissítése? Tekintsünk ξ 1,..., ξ k valószínűségi változókat,

Részletesebben

Alap-ötlet: Karl Friedrich Gauss ( ) valószínűségszámítási háttér: Andrej Markov ( )

Alap-ötlet: Karl Friedrich Gauss ( ) valószínűségszámítási háttér: Andrej Markov ( ) Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Gépészmérnöki Kar Hidrodinamikai Rendszerek Tanszék, Budapest, Műegyetem rkp. 3. D ép. 334. Tel: 463-6-80 Fa: 463-30-9 http://www.vizgep.bme.hu Alap-ötlet:

Részletesebben

Bemenet modellezése (III.), forgalommodellezés

Bemenet modellezése (III.), forgalommodellezés Bemenet modellezése (III.), forgalommodellezés Vidács Attila 2007. október 31. Hálózati szimulációs technikák, 2007/10/31 1 Modellválasztás A modellezés kedvez esetben leegyszer södik a megfelel eloszlás

Részletesebben

4. rész. Nevezetes eloszlások és generálásuk. Játék a véletlennel. Komputerstatisztika kurzus

4. rész. Nevezetes eloszlások és generálásuk. Játék a véletlennel. Komputerstatisztika kurzus Valós és generálásuk Játék a véletlennel Komputerstatisztika kurzus diszkrét folytonos Box Muller Barczy Mátyás Informatikai Kar Debreceni Egyetem Marsaglia 1 A témái Valós diszkrét 1 Valós folytonos 2

Részletesebben

36 0,3. Mo.: 36 0,19. Mo.: 36 0,14. Mo.: 32 = 0,9375 32 = 0,8125 32 = 0,40625. Mo.: 32 = 0,25

36 0,3. Mo.: 36 0,19. Mo.: 36 0,14. Mo.: 32 = 0,9375 32 = 0,8125 32 = 0,40625. Mo.: 32 = 0,25 Valószínűségszámítás I. Kombinatorikus valószínűségszámítás. BKSS 4... Egy szabályos dobókockát feldobva mennyi annak a valószínűsége, hogy a -ost dobunk; 0. b legalább 5-öt dobunk; 0, c nem az -est dobjuk;

Részletesebben

biometria II. foglalkozás előadó: Prof. Dr. Rajkó Róbert Matematikai-statisztikai adatfeldolgozás

biometria II. foglalkozás előadó: Prof. Dr. Rajkó Róbert Matematikai-statisztikai adatfeldolgozás Kísérlettervezés - biometria II. foglalkozás előadó: Prof. Dr. Rajkó Róbert Matematikai-statisztikai adatfeldolgozás A matematikai-statisztika feladata tapasztalati adatok feldolgozásával segítséget nyújtani

Részletesebben

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 2 II. A valószínűségi VÁLTOZÓ És JELLEMZÉsE 1. Valószínűségi VÁLTOZÓ Definíció: Az leképezést valószínűségi változónak nevezzük, ha

Részletesebben

1. Absztrakt terek 1. (x, y) x + y X és (λ, x) λx X. műveletek értelmezve vannak, és amelyekre teljesülnek a következő axiómák:

1. Absztrakt terek 1. (x, y) x + y X és (λ, x) λx X. műveletek értelmezve vannak, és amelyekre teljesülnek a következő axiómák: 1. Absztrakt terek 1 1. Absztrakt terek 1.1. Lineáris terek 1.1. Definíció. Az X halmazt lineáris térnek vagy vektortérnek nevezzük a valós számtest (komplex számtest) felett, ha bármely x, y X elemekre

Részletesebben

Sztochasztikus temporális logikák

Sztochasztikus temporális logikák Sztochasztikus temporális logikák Teljesítmény és szolgáltatásbiztonság jellemzők formalizálása és ellenőrzése Majzik István Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Méréstechnika és Információs

Részletesebben

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 10 X. SZIMULÁCIÓ 1. VÉLETLEN számok A véletlen számok fontos szerepet játszanak a véletlen helyzetek generálásában (pénzérme, dobókocka,

Részletesebben

Matematika III. harmadik előadás

Matematika III. harmadik előadás Matematika III. harmadik előadás Kézi Csaba Debreceni Egyetem, Műszaki Kar Debrecen, 2013/14 tanév, I. félév Kézi Csaba (DE) Matematika III. harmadik előadás 2013/14 tanév, I. félév 1 / 13 tétel Az y (x)

Részletesebben

Tantárgy kódja Meghirdetés féléve 3 Kreditpont 4 Összóraszám (elm+gyak) 2+2

Tantárgy kódja Meghirdetés féléve 3 Kreditpont 4 Összóraszám (elm+gyak) 2+2 Tantárgy neve Alkalmazott matematika II. Tantárgy kódja MT003 Meghirdetés féléve 3 Kreditpont 4 Összóraszám (elm+gyak) 2+2 Számonkérés módja gyakorlati jegy Előfeltétel (tantárgyi kód) MT002 Tantárgyfelelős

Részletesebben

azonosságot minden 1 i, l n, 1 j k, indexre teljesítő együtthatókkal, amelyekre érvényes a = c (j) i,l l,i

azonosságot minden 1 i, l n, 1 j k, indexre teljesítő együtthatókkal, amelyekre érvényes a = c (j) i,l l,i A Cochran Fisher tételről A matematikai statisztika egyik fontos eredménye a Cochran Fisher tétel, amely a variancia analízisben játszik fontos szerepet. Ugyanakkor ez a tétel lényegét tekintve valójában

Részletesebben

Loss Distribution Approach

Loss Distribution Approach Modeling operational risk using the Loss Distribution Approach Tartalom»Szabályozói környezet»modellezési struktúra»eseményszám eloszlás»káreloszlás»aggregált veszteségek»további problémák 2 Szabályozói

Részletesebben

Gyakorló feladatok. Az alábbi feladatokon kívül a félév szemináriumi anyagát is nézzék át. Jó munkát! Gaál László

Gyakorló feladatok. Az alábbi feladatokon kívül a félév szemináriumi anyagát is nézzék át. Jó munkát! Gaál László Gyakorló feladatok Az alábbi feladatokon kívül a félév szemináriumi anyagát is nézzék át. Jó munkát! Gaál László I/. A vizsgaidőszak második napján a hallgatók %-ának az E épületben, %-ának a D épületben,

Részletesebben

Szám. szim. labor ea. Tőke Csaba U(0,1) GSL. Adott eloszlás. Brown-mozgás. Hivatkozások. BME Fizika Intézet október 7.

Szám. szim. labor ea. Tőke Csaba U(0,1) GSL. Adott eloszlás. Brown-mozgás. Hivatkozások. BME Fizika Intézet október 7. Számítógépes szimulációk 4. Véletlen számok BME Fizika Intézet 2015. október 7. Vázlat Egyenletes eloszlású pszeudovéletlen számok Véletlen számok generálása -lel szerinti véletlen számok generálása Véletlenszám-generátorok

Részletesebben

egyetemi jegyzet Meskó Balázs

egyetemi jegyzet Meskó Balázs egyetemi jegyzet 2011 Előszó 2. oldal Tartalomjegyzék 1. Bevezetés 4 1.1. A matematikai statisztika céljai.............................. 4 1.2. Alapfogalmak......................................... 4 2.

Részletesebben

Véletlenszám generátorok és tesztelésük HORVÁTH BÁLINT

Véletlenszám generátorok és tesztelésük HORVÁTH BÁLINT Véletlenszám generátorok és tesztelésük HORVÁTH BÁLINT Mi a véletlen? Determinisztikus vs. Véletlen esemény? Véletlenszám: számok sorozata, ahol véletlenszerűen követik egymást az elemek Pszeudo-véletlenszám

Részletesebben

Markov folyamatok és martingálok (BMETE95MM07) ütemterv. Balázs Márton 2012 ősz

Markov folyamatok és martingálok (BMETE95MM07) ütemterv. Balázs Márton 2012 ősz Markov folyamatok és martingálok (BMETE95MM07) ütemterv Balázs Márton 202 ősz Alább egy nagyon hozzávetőleges ütemterv, a félév elején finomodni fog még, aztán úgyse pont így sikerül majd. A Tematika és

Részletesebben

Feladatok a Gazdasági matematika II. tárgy gyakorlataihoz

Feladatok a Gazdasági matematika II. tárgy gyakorlataihoz Debreceni Egyetem Közgazdaságtudományi Kar Feladatok a Gazdasági matematika II tárgy gyakorlataihoz a megoldásra ajánlott feladatokat jelöli e feladatokat a félév végére megoldottnak tekintjük a nehezebb

Részletesebben

10. Előadás P[M E ] = H

10. Előadás P[M E ] = H HALMAZRENDSZEREK 10. Előadás Matematika MSc hallgatók számára Előadó: Hajnal Péter Jegyzetelő: Hajnal Péter 2010. április 20. Halmazrendszerek színezése Egy halmazrendszer csúcshalmazának színezése jó

Részletesebben

Készítette: Fegyverneki Sándor

Készítette: Fegyverneki Sándor VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS Összefoglaló segédlet Készítette: Fegyverneki Sándor Miskolci Egyetem, 2001. i JELÖLÉSEK: N a természetes számok halmaza (pozitív egészek) R a valós számok halmaza R 2 {(x, y) x, y

Részletesebben

10. Exponenciális rendszerek

10. Exponenciális rendszerek 1 Exponenciális rendszerek 1 Egy boltba exponenciális időközökkel átlagosan percenként érkeznek a vevők két eladó, ndrás és éla, átlagosan 1 illetve 6 vevőt tud óránként kiszolgálni mennyiben egy vevő

Részletesebben

1. Előszó. 2. Valószínűségszámítás

1. Előszó. 2. Valószínűségszámítás 1. Előszó Ez a jegyzet a BME Építőmérnök hallgatóinak számára az A3 előadáshoz készült. Ennek a tárgynak előfeltétele az A1 tárgy, ami az egy változós kalkulus, és az A2 tárgy, ami a többváltozós kalkulusból

Részletesebben

Legyen adott egy S diszkrét halmaz. Leggyakrabban S az egész számoknak egy halmaza, például S = {0, 1, 2,..., N}, {0, 1, 2,... }.

Legyen adott egy S diszkrét halmaz. Leggyakrabban S az egész számoknak egy halmaza, például S = {0, 1, 2,..., N}, {0, 1, 2,... }. . Markov-láncok. Definíció és alapvető tulajdonságok Legyen adott egy S diszkrét halmaz. Leggyakrabban S az egész számoknak egy halmaza, például S = {0,,,..., N}, {0,,,... }.. definíció. S értékű valószínűségi

Részletesebben

4.4. Egy úton hetente átlag 3 baleset történik. Mi a valószínűsége, hogy egy adott héten 2?

4.4. Egy úton hetente átlag 3 baleset történik. Mi a valószínűsége, hogy egy adott héten 2? HIPERGEO. BINOM. POISSON 4.1. Egy üzletben 100-an vásárolnak, közülük 80-an rendelkeznek bankkártyával. A pénztárnál 10-en állnak sorba, mi a valószínűsége, hogy 7-nek lesz bankkártyája? 4.2. Egy üzletben

Részletesebben

Matematika III. 4. A valószínűségi változó és jellemzői Prof. Dr. Závoti, József

Matematika III. 4. A valószínűségi változó és jellemzői Prof. Dr. Závoti, József Matematika III. 4. A valószínűségi változó és jellemzői Prof. Dr. Závoti, József Matematika III. 4. : A valószínűségi változó és jellemzői Prof. Dr. Závoti, József Lektor : Bischof, Annamária Ez a modul

Részletesebben

Informatikai rendszerek modellezése Dr. Sztrik, János

Informatikai rendszerek modellezése Dr. Sztrik, János Informatikai rendszerek modellezése Dr. Sztrik, János Informatikai rendszerek modellezése Dr. Sztrik, János Debreceni Egyetem Kelet-Magyarországi Informatika Tananyag Tárház Nemzeti Fejlesztési Ügynökség

Részletesebben

a megoldásra ajánlott feladatokat jelöli, a nehezebb feladatokat jelöli

a megoldásra ajánlott feladatokat jelöli, a nehezebb feladatokat jelöli Gyakorló feladatok valószínűségszámításból végeredményekkel a megoldásra ajánlott feladatokat jelöli, a nehezebb feladatokat jelöli. Igaz-e, hogy tetszőleges A, B és C eseményekre teljesül a A B \ C =

Részletesebben

0,424 0,576. f) P (X 2 = 3) g) P (X 3 = 1) h) P (X 4 = 1 vagy 2 X 2 = 2) i) P (X 7 = 3, X 4 = 1, X 2 = 2 X 0 = 2) j) P (X 7 = 3, X 4 = 1, X 2 = 2)

0,424 0,576. f) P (X 2 = 3) g) P (X 3 = 1) h) P (X 4 = 1 vagy 2 X 2 = 2) i) P (X 7 = 3, X 4 = 1, X 2 = 2 X 0 = 2) j) P (X 7 = 3, X 4 = 1, X 2 = 2) Legyen adott a P átmenetvalószín ség mátrix és a ϕ 0 kezdeti eloszlás Kérdés, hogy miként lehetne meghatározni az egyes állapotokban való tartózkodás valószín ségét az n-edik lépés múlva Deniáljuk az n-lépéses

Részletesebben

Asszociációs szabályok

Asszociációs szabályok Asszociációs szabályok Nikházy László Nagy adathalmazok kezelése 2010. március 10. Mi az értelme? A ö asszociációs szabály azt állítja, hogy azon vásárlói kosarak, amik tartalmaznak pelenkát, általában

Részletesebben

A Statisztika alapjai

A Statisztika alapjai A Statisztika alapjai BME A3c Magyar Róbert 2016.05.12. Mi az a Statisztika? A statisztika a valóság számszerű információinak megfigyelésére, összegzésére, elemzésére és modellezésére irányuló gyakorlati

Részletesebben

Poisson-eloszlás Exponenciális és normális eloszlás (házi feladatok)

Poisson-eloszlás Exponenciális és normális eloszlás (házi feladatok) Poisson-eloszlás Exponenciális és normális eloszlás (házi feladatok)./ Egy televízió készülék meghibásodásainak átlagos száma óra alatt. A meghibásodások száma a vizsgált időtartam hosszától függ. Határozzuk

Részletesebben

Véletlenszám generátorok és tesztelésük. Tossenberger Tamás

Véletlenszám generátorok és tesztelésük. Tossenberger Tamás Véletlenszám generátorok és tesztelésük Tossenberger Tamás Érdekességek Pénzérme feldobó gép: $0,25-os érme 1/6000 valószínűséggel esik az élére 51% eséllyel érkezik a felfelé mutató oldalára Pörgetésnél

Részletesebben

Elliptikus eloszlások, kopuláik. 7. előadás, 2015. március 25. Elliptikusság tesztelése. Arkhimédeszi kopulák

Elliptikus eloszlások, kopuláik. 7. előadás, 2015. március 25. Elliptikusság tesztelése. Arkhimédeszi kopulák Elliptiks eloszlások, kopláik 7. előadás, 215. márcis 25. Zempléni András Valószínűségelméleti és Statisztika Tanszék Természettdományi Kar Eötös Loránd Tdományegyetem Áringadozások előadás Sűrűségfüggényük

Részletesebben

VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS KIDOLGOZOTT FELADATOK

VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS KIDOLGOZOTT FELADATOK VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS KIDOLGOZOTT FELADATOK KOMBINATORIKA Példa: a) Hányféle módon rakható sorba egy csomag Magyar kártya 3 lapja? Nyilván 3! féle módon. Ez nagyon nagy szám, 3!,63 0 35. b) Hányféle módon

Részletesebben

Lagrange egyenletek. Úgy a virtuális munka mint a D Alembert-elv gyakorlati alkalmazását

Lagrange egyenletek. Úgy a virtuális munka mint a D Alembert-elv gyakorlati alkalmazását Lagrange egyenletek Úgy a virtuális munka mint a D Alembert-elv gyakorlati alkalmazását megnehezíti a δr i virtuális elmozdulások egymástól való függősége. (F i ṗ i )δx i = 0, i = 1, 3N. (1) i 3N infinitezimális

Részletesebben

Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kara. Prof. Dr. Závoti József. Matematika III. 4. MA3-4 modul. A valószínűségi változó és jellemzői

Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kara. Prof. Dr. Závoti József. Matematika III. 4. MA3-4 modul. A valószínűségi változó és jellemzői Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kara Prof. Dr. Závoti József Matematika III. 4. MA3-4 modul A valószínűségi változó és jellemzői SZÉKESFEHÉRVÁR 2010 Jelen szellemi terméket a szerzői jogról

Részletesebben

Matematikai statisztika feladatsor

Matematikai statisztika feladatsor Matematikai statisztika feladatsor Nagy-György Judit A feladatsor Bolla Marianna és Krámli András Statisztikai következtetések elmélete cím könyvének [1] elméletére épül, a fejezetek számozása és a jelölések

Részletesebben

Hierarchikus skálafüggetlen gráfok generálása fraktálokkal

Hierarchikus skálafüggetlen gráfok generálása fraktálokkal Hierarchikus skálafüggetlen gráfok generálása fraktálokkal Komjáthy Júlia Simon Károly Sztochasztika Tanszék Matematika Intézet Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem www.math.bme.hu/~komyju www.math.bme.hu/~simonk

Részletesebben

Félévi időbeosztás (nagyjából) házi feladat beadási határidőkkel (pontosan) Valószínűségszámítás 2. matematikusoknak és fizikusoknak, 2011 tavasz

Félévi időbeosztás (nagyjából) házi feladat beadási határidőkkel (pontosan) Valószínűségszámítás 2. matematikusoknak és fizikusoknak, 2011 tavasz Félévi időbeosztás (nagyjából) házi feladat beadási határidőkkel (pontosan) Valószínűségszámítás 2. matematikusoknak és fizikusoknak, 2011 tavasz Dátum Téma beadandó Feb 10Cs Konvolúció (normális, Cauchy,

Részletesebben

Matematikai statisztika c. tárgy oktatásának célja és tematikája

Matematikai statisztika c. tárgy oktatásának célja és tematikája Matematikai statisztika c. tárgy oktatásának célja és tematikája 2015 Tematika Matematikai statisztika 1. Időkeret: 12 héten keresztül heti 3x50 perc (előadás és szeminárium) 2. Szükséges előismeretek:

Részletesebben

Backhausz Ágnes 1. Bevezetés A valószínűség elemi tulajdonságai... 5

Backhausz Ágnes 1. Bevezetés A valószínűség elemi tulajdonságai... 5 Valószínűségszámítás Földtudomány BSc szak, 2016/2017. őszi félév Backhausz Ágnes agnes@cs.elte.hu Tartalomjegyzék 1. Bevezetés 2 2. A Kolmogorov-féle valószínűségi mező 3 2.1. Klasszikus valószínűségi

Részletesebben

[Biomatematika 2] Orvosi biometria

[Biomatematika 2] Orvosi biometria [Biomatematika 2] Orvosi biometria 2016.02.29. A statisztika típusai Leíró jellegű statisztika: összegzi egy adathalmaz jellemzőit. A középértéket jelemzi (medián, módus, átlag) Az adatok változékonyságát

Részletesebben

Wiener-folyamatok definiciója. A funkcionális centrális határeloszlástétel. Norbert Wienerre, a második pedig egy Brown nevű XIX. században élt angol

Wiener-folyamatok definiciója. A funkcionális centrális határeloszlástétel. Norbert Wienerre, a második pedig egy Brown nevű XIX. században élt angol Wiener-folyamatok definiciója. A funkcionális centrális határeloszlástétel. A valószínűségszámítás egyik nagyon fontos fogalma a Wiener-folyamat, amelyet Brownmozgásnak is hívnak. Az első elnevezés e fogalom

Részletesebben

14 A Black-Scholes-Merton modell. Options, Futures, and Other Derivatives, 8th Edition, Copyright John C. Hull

14 A Black-Scholes-Merton modell. Options, Futures, and Other Derivatives, 8th Edition, Copyright John C. Hull 14 A Black-choles-Merton modell Copyright John C. Hull 01 1 Részvényárak viselkedése (feltevés!) Részvényár: μ: elvárt hozam : volatilitás Egy rövid Δt idő alatt a hozam normális eloszlású véletlen változó:

Részletesebben

Itô-formula. A sztochasztikus folyamatok egyik legfontosabb formulája. Medvegyev Péter Matematika tanszék

Itô-formula. A sztochasztikus folyamatok egyik legfontosabb formulája. Medvegyev Péter Matematika tanszék Itô-formula A sztochasztikus folyamatok egyik legfontosabb formulája Medvegyev Péter Matematika tanszék 2008 Medvegyev (Corvinus Egyetem) Itô-formula 2008 1 / 39 Az Itô-formula Theorem Ha F kétszer folytonosan

Részletesebben

Dynkin, Evgenyij Boriszovics és Yushkevics, Alekszandr Adolfovics Tételek és feladatok Markov folyamatokról

Dynkin, Evgenyij Boriszovics és Yushkevics, Alekszandr Adolfovics Tételek és feladatok Markov folyamatokról Áttekintés Dynkin, Evgenyij Boriszovics és Yushkevics, Alekszandr Adolfovics Tételek és feladatok Markov folyamatokról című könyvéről Második fejezet: Néhány parciális differenciálegyenlet megoldása valószínűségszámítási

Részletesebben

CHT& NSZT Hoeffding NET mom. stabilis. 2011. november 9.

CHT& NSZT Hoeffding NET mom. stabilis. 2011. november 9. CHT& NSZT Hoeffding NET mom. stabilis Becslések, határeloszlás tételek Székely Balázs 2011. november 9. CHT& NSZT Hoeffding NET mom. stabilis 1 CHT és NSZT 2 Hoeffding-egyenlőtlenség Alkalmazása: Beengedés

Részletesebben

MODELLEK ÉS ALGORITMUSOK ELŐADÁS

MODELLEK ÉS ALGORITMUSOK ELŐADÁS MODELLEK ÉS ALGORITMUSOK ELŐADÁS Szerkesztette: Balogh Tamás 214. december 7. Ha hibát találsz, kérlek jelezd a info@baloghtamas.hu e-mail címen! Ez a Mű a Creative Commons Nevezd meg! - Ne add el! - Így

Részletesebben

Szindbád mellett, egyszerre csak egy háremhölgy jelenik meg. Szindbád. hogy a kalifának hány háremhölgye van, viszont semmit nem tud arról,

Szindbád mellett, egyszerre csak egy háremhölgy jelenik meg. Szindbád. hogy a kalifának hány háremhölgye van, viszont semmit nem tud arról, A Szindbád probléma. Optimális választás megtalálása. Rendkívül népszerű és egyben tanulságos a következő valószínűségi, optimalizációs probléma, mely Magyarországon Szindbád problémája néven vált ismertté.

Részletesebben

Regresszió. Csorba János. Nagyméretű adathalmazok kezelése március 31.

Regresszió. Csorba János. Nagyméretű adathalmazok kezelése március 31. Regresszió Csorba János Nagyméretű adathalmazok kezelése 2010. március 31. A feladat X magyarázó attribútumok halmaza Y magyarázandó attribútumok) Kérdés: f : X -> Y a kapcsolat pár tanítópontban ismert

Részletesebben

VEKTORTEREK I. VEKTORTÉR, ALTÉR, GENERÁTORRENDSZER október 15. Irodalom. További ajánlott feladatok

VEKTORTEREK I. VEKTORTÉR, ALTÉR, GENERÁTORRENDSZER október 15. Irodalom. További ajánlott feladatok VEKTORTEREK I. VEKTORTÉR, ALTÉR, GENERÁTORRENDSZER 2004. október 15. Irodalom A fogalmakat, definíciókat illetően két forrásra támaszkodhatnak: ezek egyrészt elhangzanak az előadáson, másrészt megtalálják

Részletesebben

Folyamatosan változó mennyiségek feldolgozása I. 6. előadás

Folyamatosan változó mennyiségek feldolgozása I. 6. előadás Folyamatosan változó mennyiségek feldolgozása I. 6. előadás 1 Tartalom folyamatosan változó mennyiségek sztochasztikus folyamatok mintavételezés LKN kollokáció geostatisztika, krigelés szűrések interpolációk

Részletesebben

1. tétel. Valószínűségszámítás vizsga Frissült: 2013. január 19. Valószínűségi mező, véletlen tömegjelenség.

1. tétel. Valószínűségszámítás vizsga Frissült: 2013. január 19. Valószínűségi mező, véletlen tömegjelenség. 1. tétel Valószínűségszámítás vizsga Frissült: 2013. január 19. Valószínűségi mező, véletlen tömegjelenség. A valószínűségszámítás tárgya: véletlen tömegjelenségek vizsgálata. véletlen: a kísérlet kimenetelét

Részletesebben

Babeş-Bolyai Tudományegyetem Fizika Kar, Kolozsvár. Hegyi Géza. Filozofia és Történelem Kar, Kolozsvár. M.A. Santos, R. Coelho és J.J.

Babeş-Bolyai Tudományegyetem Fizika Kar, Kolozsvár. Hegyi Géza. Filozofia és Történelem Kar, Kolozsvár. M.A. Santos, R. Coelho és J.J. Vagyoneloszlás a társadalmakban - egy fizikus megközelítése Néda Zoltán Babeş-Bolyai Tudományegyetem Fizika Kar, Kolozsvár Hegyi Géza Babeş-Bolyai Tudományegyetem Filozofia és Történelem Kar, Kolozsvár

Részletesebben

Geometriai valo szí nű se g

Geometriai valo szí nű se g Geometriai valo szí nű se g Szűk elméleti áttekintő Klasszikus valószínűség: Geometriai valószínűség: - 1 dimenzióban: - dimenzióban: - + dimenzióban: jó esetek összes eset jó szakaszok teljes szakasz

Részletesebben

Monte Carlo módszerek a statisztikus fizikában. Az Ising modell. 8. előadás

Monte Carlo módszerek a statisztikus fizikában. Az Ising modell. 8. előadás Monte Carlo módszerek a statisztikus fizikában. Az Ising modell. 8. előadás Démon algoritmus az ideális gázra időátlag fizikai mennyiségek átlagértéke sokaságátlag E, V, N pl. molekuláris dinamika Monte

Részletesebben

Matematikai geodéziai számítások 6.

Matematikai geodéziai számítások 6. Matematikai geodéziai számítások 6. Lineáris regresszió számítás elektronikus távmérőkre Dr. Bácsatyai, László Matematikai geodéziai számítások 6.: Lineáris regresszió számítás elektronikus távmérőkre

Részletesebben

Tartalomjegyzék. 1. Előszó 1

Tartalomjegyzék. 1. Előszó 1 Tartalomjegyzék 1. Előszó 1 2. Halmazok, relációk, függvények 3 2.1. Halmazok, relációk, függvények A............... 3 2.1.1. Halmazok és relációk................... 3 2.1.2. Relációk inverze és kompozíciója............

Részletesebben

Valószínűségszámítás

Valószínűségszámítás European Virtual Laboratory of Mathematics Project No. 2006 - SK/06/B/F/PP - 177436 Európai Virtuális Matematikai Laboratórium Árvai- Homolya Szilvia Valószínűségszámítás EVML e-könyvek Miskolc 2008 Sorozat

Részletesebben

Absztrakt vektorterek

Absztrakt vektorterek Absztrkt vektorterek Összeállított: dr. Leitold Adrien egyetemi docens 213. 1. 8. Absztrkt vektorterek /1. Absztrkt vektortér definíciój Legyen V egy hlmz, egy test (pl. vlós vgy komplex számtest), és

Részletesebben

Folytonos rendszeregyenletek megoldása. 1. Folytonos idejű (FI) rendszeregyenlet általános alakja

Folytonos rendszeregyenletek megoldása. 1. Folytonos idejű (FI) rendszeregyenlet általános alakja Folytonos rendszeregyenletek megoldása 1. Folytonos idejű (FI) rendszeregyenlet általános alakja A folytonos rendszeregyenletek megoldásakor olyan rendszerekkel foglalkozunk, amelyeknek egyetlen u = u(t)

Részletesebben

Matematika (mesterképzés)

Matematika (mesterképzés) Matematika (mesterképzés) Környezet- és Településmérnököknek Debreceni Egyetem Műszaki Kar, Műszaki Alaptárgyi Tanszék Vinczéné Varga A. Környezet- és Településmérnököknek 2016/2017/I 1 / 29 Lineáris tér,

Részletesebben

Alapja a véletlen minták kiértékelése. Sok szabadság fokú csatolt rendszerek

Alapja a véletlen minták kiértékelése. Sok szabadság fokú csatolt rendszerek Alapja a véletlen minták kiértékelése Matematikai rendszerek Fizikai szimuláció Sok szabadság fokú csatolt rendszerek Folyadékok, sejt struktúrák, kapcsolt szilárd rendszerek Nagy bizonytalanságú rendszerek

Részletesebben