1. Példa. A gamma függvény és a Fubini-tétel.

Átírás

1 . Példa. A gamma függvény és a Fubini-tétel.. Az x exp x + t )) függvény az x, t tartományon folytonos, és nem negatív, ezért alkalmazható rá a Fubini-tétel. I x exp x + t )) dxdt + t dt π 4. [ exp x + t )) + t ) ] dt Ugyanakkor u xt helyettesítéssel I x exp x + t )) dtdx x exp x ) x exp x ) exp xt) ) dtdx exp u ) du x dx exp x ) dx), vagyis exp x ) dx π. ) Ebb l elemi számolással u x helyettesítéssel π exp x ) ) dx Γ.. Tekintsük a gamma és a béta függvények közötti B x, y) Γ x) Γ y) Γ x + y) nevezetes kapcsolatot. A gamma függvény mellett vezessük be a Γ x, λ) függvényt. Egyszer u tλ helyettesítéssel Γ x, λ) t x exp λt) dt, x, λ >. u λ ) x exp u) du λ Γ x) λ x.

2 Ebb l s t/ t) helyettesítéssel I Γ x + y) Γ x + y) Γ x + y) Γ x + y) Γ x + y, + s) s x ds + s) x+y) s x ds + t t Γ x + y) B x, y). ) x+y) ) x t t t t) dt ) x+y) ) x t t t) dt t x t) y dt Az integrandus folytonos és nem negatív, ezért alább a két integrál felcserélhet : amib l I Γ x) Γ x + y, + s) s x ds exp t + s)) t x+y s x dtds exp t + s)) t x+y s x dsdt t x+y exp t) t x+y exp t) Γ x, t) dt t x+y exp t) Γ x) dt t x exp ts) s x dsdt t y exp t) dt Γ x) Γ y), Γ x + y) B x, y) Γ x) Γ y).. Példa. A χ n eloszlás s r ségfüggvénye. Legyen N, ) és határozzuk meg az η eloszlását! Ha x, akkor F η x) P < x ). Ha x > akkor F η x) P < x ) P x < < x ) π x x π ) exp t dt. x ) exp t dt

3 Deriválással, ha x > f η x) π exp y ) y x x exp x ). πx Az n szabadságfokú χ n változót mint n darab független, standard normális eloszlású változó négyzetének összegét deniáljuk..ha n, akkor, miként már láttuk, a χ N, ) s r ségfüggvénye k x) πx exp x ), x >. Az indukciós sejtés szerint k n x) n/ Γ n/) xn/ exp x ), x >. Az összeg eloszlására vonatkozó konvolúciós képlet szerint k n+ x) k x y) k n y) dy k x y) k n y) dy, R hiszen ha y, akkor k n y). Ha x, y, akkor x y, amib l k x y), vagyis ha x, akkor k n+ x). Ha x >, akkor a k x y) k n y) a [, x] intervallumon kívül nulla, vagyis k n+ x) A t y/x helyettesítéssel k n+ x) x k x y) k n y) dy π exp x/) n/ Γ n/) x y n/ x y dy. exp x/) x n/ t n/ xdt π n/ Γ n/) x tx exp x/) xn/ x π n/ Γ n/) B n, ), ahol B x, y) a béta függvény. A béta és a gamma függvény közötti azonosságot valamint a Γ /) π összefüggést felhasználva k n+ x) xn+)/ π xn+)/ exp x/) Γ n/) Γ /) n/ Γ n/) Γ n + ) /) exp x/) n/ Γ n + ) /) n+)/ Γ n + ) /) xn+)/ exp x ). 3

4 3. Példa. Független valószín ségi változók hányadosának s r ségfüggvénye. Legyenek és η valószín ségi változók, és legyen f az együttes s r ségfüggvényük. Határozzuk meg a ζ η változó s r ségfüggvényét! Megjegyezzük, hogy mivel feltételeztük, hogy a, η) párnak létezik f s r ségfüggvénye, ezért P η ) P, η) R {}) fdλ, R {} vagyis, bár a hányados, mint valószín ségi változó nem feltétlenül minden kimenetelre értelmes, de egy nullmérték halmaztól eltekintve értelmes, vagyis valószín ségi változó, amelynek az eloszlása egyértelm en meghatározott. Legyen h a ζ s r ségfüggvénye, és H jelölje az eloszlásfüggvényt. Ha G jelöli az η eloszlásfüggvényét és g a s r ségfüggvényét, akkor a függetlenség miatt alább behelyettesíthetjük a feltételt ) ) H z) P η < z P R η < z η y dg y) ) ) P dg y) P g y) dy R P y < z y < z ) g y) dy + P > yz) g y) dy + R P yz) g y) dy + y < z ) P y < z g y) dy P < yz) g y) dy P < yz) g y) dy. A majorált konvergencia tétel miatt az integrálok alatt deriválhatunk. Ha f Emlékeztetünk, hogy egy Z f a, x) dµ x) X paraméteres integrálba akkor lehet a paraméer szerint bederiválni, ha az integrandust a paraméter szerint lederiválva a kapott f a, x) α kétváltozós függvénynek van az integrálandó változó szerint integrálható g x) majoránsa amely a paraméter szerint egyenletesen majorálja a lederivált kétváltozós függvényt, vagyis f α a, x) g x) L µ). 4

5 jelöli a s r ségfüggvényét, akkor h z) f yz) yg y) dy + f yz) g y) y dy. f yz) yg y) dy 4. Deníció. Ha α és β pozitív számok, akkor az.. f x) Γ α + β) Γ α) Γ β) xα x) β, x, ) s r ségfüggvénnyel rendelkez eloszlást α, β) paraméter béta eloszlásnak hívjuk és B a, β) módon jelöljük, a g x) Γ α + β) Γ α) Γ β) xα + x) α+β, x > s r ségfüggvénnyel rendelkez eloszlást általánosított, vagy másodfajú béta eloszlásnak nevezzük. A másodfajú béta eloszlást B α, β)-val fogjuk jelölni. 5. Állítás. Ha a béta eloszlású, akkor az η másodfajú béta eloszlású. Ha η másodfajú béta eloszlású, akkor a béta eloszlású. η + η Bizonyítás: Ha ϕ u) u/ u), akkor ϕ x) x/ + x), és a s r ségfüggvények transzformációs szabálya szerint g x) f ϕ x) ) d dx ϕ x) Γ α + β) x Γ α) Γ β) + x ) α x + x Γ α + β) Γ α) Γ β) xa + x) α+β. ) β + x) A fordított irány igazolása analóg. 5

6 6. Példa. Két független χ eloszlás hányadosa másodfajú béta eloszlás. Ha x, y >, akkor a hányados s r ségfüggvényének képlete alapján m+n)/ Γ m/) Γ n/) x m/ m+n)/ Γ m/) Γ n/) y xy) m/ exp xy ) y n/ exp y ) dy y m+n)/ exp y ) + x) dy. Az integrandust ismételten a Γ függvényre akarjuk visszavinni, ezért helyettesítést végzünk. t y + x) x m/ m+n)/ Γ m/) Γ n/) x m/ Γ m + n) /) Γ m/) Γ n/) + x). m+n)/ ) m+n)/ t exp t) + x + x dt 7. Deníció. Ha λ és a pozitív számok, akkor az f x) λa Γ a) xa exp λx), x > s r ségfüggvénnyel rendelkez eloszlást a, λ) paraméter gamma eloszlásnak hívjuk és Γ a, λ) módon jelöljük. A Γ eloszlás jelent ségét az adja, hogy egyrészt az exponenciális eloszlás általánosítása, Γ, λ) éppen a λ paraméter exponenciális eloszlás, másrészt szorosan köt dik a normális eloszlás négyzetének eloszlásához. 8. Állítás. A χ n és a Γ n/, /) eloszlások megegyeznek. 9. Állítás. Ha τ k ) n k független, azonos λ paraméter exponenciális eloszlású változók, akkor a σ n τ + τ τ n ) eloszlása Γ n, λ), általánosabban ha a τ i független változók eloszlása Γ a i, λ), akkor a ) összeg eloszlása Γ n i a i, λ). Bizonyítás: A Γ, λ) s r ségfüggvénye λ Γ ) x exp λx) λ exp λx), x >, 6

7 éppen a λ paraméter exponenciális eloszlás s r ségfüggvénye. Az állítást elegend két változóra belátni, az általános eset ebb l indukcióval következik. x λ a Γ a) x t)a exp λ x t)) exp λx) Γ a) Γ b) exp λx) Γ a) Γ b) x exp λx) xa+b Γ a) Γ b) Γ a + b) exp λx) xa+b, x t) a t b dt λ b Γ b) tb exp λt) dt x xz) a xz) b xdz z) a z b dz ahol az utolsó lépésben felhasználtuk a gamma és a béta függvények közötti nevezetes azonosságot.. Állítás. Két független Γ eloszlás hányadosa másodfajú béta eloszlású, vagyis ha Γ a, λ) és η Γ b, λ) valamint a és az η függetlenek, akkor η B a, b). Bizonyítás: A hányados valószín ségi változó s r ségfüggvényének képletét felírva, és kihasználva a két változó nem negativitását, ha u >, akkor λ a Γ a) uy)a exp λuy) Γ a) Γ b) ua Γ a) Γ b) ua Γ a) Γ b) ua + u) a+b Γ a + b) Γ a) Γ b) ua + u) a+b, λ b Γ b) yb exp λy) ydy y a+b exp λy u + )) dy ) a+b t exp t) λ + u) t a+b exp t) dt λ + u) dt ami éppen a B a, b).. Példa. Az exponenciális és a Poisson-eloszlás kapcsolata. 7

8 Legyen t <, és τ n ) n független, azonos λ paraméter exponenciális eloszlású változók. A τ n ) n változók tekinthet k egymást követ események id pontjainak. Legyen t) a [, t] id szak alatt bekövetkezett események száma. Határozzuk meg a t) eloszlását. Vezessük be a σ n n k τ k változót. Az el z példa alapján a σ n+ eloszlása Γ n +, λ). Parciálisan integrálva, illetve felhasználva, hogy Γ n + ) n! P t) < n + ) P σ n+ > t) Ebb l [ λ n+ x n λt)n n! Γ n + ) t exp λx) λ λ n+ Γ n + ) xn exp λx) dx ] t + exp λt) + P t) < n). P t) n) P t) < n + ) P t) < n) λt)n n! t n λn x n exp λx) dx Γ n + ) exp λt), tehát a t) λt paraméter Poisson-eloszlást alkot.. Állítás. Ha Γ a, λ) és η Γ b, λ) valamint a és az η függetlenek, akkor η B a, b), + η B a, b). 3) Bizonyítás: A hányados valószín ségi változó s r ségfüggvényének képletét felírva, és kihasználva a két változó nem negativitását, ha u >, akkor λ a Γ a) uy)a exp λuy) Γ a) Γ b) ua Γ a) Γ b) ua Γ a) Γ b) ua + u) a+b Γ a + b) Γ a) Γ b) ua + u) a+b, λ b Γ b) yb exp λy) ydy y a+b exp λy u + )) dy ) a+b t exp t) λ + u) t a+b exp t) dt λ + u) dt 8

9 ami éppen a B a, b). A második állítás igazolása a következ : ) ) /η P + η < x P + /η < x P η < x + )) η P η < x ), x így deriválással az imént belátottak alapján a s r ségfüggvény Γ a + b) Γ a) Γ b) Ez elemi számolással ami pedig x x Γ a + b) Γ a) Γ b) ami éppen a B a, b) s r ségfüggvénye. ) a + x/ x)) a+b x). ) a x x) a+b x x), Γ a + b) Γ a) Γ b) xa x) b, 3. Példa. Exponenciális eloszlású valószín ségi változók összege és az egyenletes eloszlásból származó rendezett minta kapcsolata. Legyenek k ) n k független azonos, λ paraméter exponenciális eloszlású valószín ségi változók. Legyen σ m m k k. Határozzuk meg az η k σ k /σ n változók eloszlását. ) P η < x) P < x n A eloszlása Γ, λ), a n k k eloszlása Γ n, λ). Ebb l a 3) miatt az η eloszlása B, n ). A B, n ) eloszlás s r ségfüggvénye f x) A Γ n) n )! értéket beírva Γ n) Γ ) Γ n ) x x) n, x, ). f x) n ) x) n x, ). Legyenek τ k ) n k a, ) intervallumon egyenletes eloszlású változók és jelölje τ a legkisebb elemet, vagyis τ min τ k. {τ < x} pontosan akkor, ha legalább egy elem az n )-b l kisebb mint x, tehát F x) P τ < x) x) n. 9

10 A τ s r ségfüggvénye F x) n ) x) n amely éppen azonos az f x) függvénnyel, vagyis az η eloszlása azonos a τ eloszlásával. Hasonlóan a k i i eloszlása Γ k, λ) a n ik+ i eloszlása Γ n k, λ) így az η k eloszlása B k, n k), amely s r ségfüggvénye ) Γ n) Γ k) Γ n k) xk x) n k n n ) x k x) n k. k Határozzuk meg az τ k eloszlásfüggvényét. Az egyszer bb jelölés kedvéért legyen el ször τ k egyenletes eloszlásból származó n elem rendezett minta k-dik eleme. A {τ k < x} esemény ekvivalens avval, hogy legalább k változó kisebb mint x. Ebb l n ) n F k x) P τ k < x) x i x) n i. i A derivált kiszámolásának komplikáltsága miatt a s r ségfüggvény meghatározása a következ : F k x + h) F k x) h ik P x τ k < x + h). h Tekintsük a x < x + h intervallumokat. A P x τ k < x + h) annak a valószín sége, hogy legfeljebb k ) változó kisebb mint x és legalább k változó kisebb mint x + h. Annak a valószín sége, hogy r változó esik az [x, x + h) intervallumba h r o h r ) nagyságrend, így egyedül az r, illetve az r eseteket kell megvizsgálnunk. Ha az {x τ k < x + h} esemény teljesül, akkor az r lehetetlen, így a s r ségfüggvény meghatározásakor egyedül az r esetet kell kiszámolnunk. Ilyenkor k elem kisebb mint x, egy az [x, x + h) intervallumban van és n k elem nagyobb mint x, vagyis P x τ k < x + h) ) n n h x k x) n k + k +o h). Ebb l a s r ségfüggvény ) n n x k x) n k. k Ha n helyébe n )-et írunk, akkor éppen az η k s r ségfüggvényét kapjuk. 4. Példa. Rendezett minta s r ségfüggvénye.

11 Legyenek a k ) n k változók függetlenek és rendelkezzenek azonos eloszlással. Jelölje F a közös eloszlásfüggvényt és f a közös s r ségfüggvényt. Ha k jelöli a rendezett minta k-dik elemét akkor az el z példa gondolatmenetét általánosítva F k x + h) F k x) h P x k < x + h) h ) n n f x) h F x) k F x)) n k + k +o h), vagyis a k s r ségfüggvénye ) n n f x) F x) k F x)) n k. k