2. A geometria alapfogalmai A geometria alapfogalmai: pont, vonal, egyenes, sík, tér.

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "2. A geometria alapfogalmai A geometria alapfogalmai: pont, vonal, egyenes, sík, tér."

Átírás

1 1. Mi z lpfoglom? Alpfoglom: olyn foglom, mit ismrtnk fogdunk l, nm tudunk más foglmk sgítségévl mghtározni, dfiniálni, lgflj szmléltsn körülírjuk. Mindn tudomány ilyn lpfoglmkr épül fl. (Egy foglmt úgy dfiniálunk, hogy más, ismrtnk tkinttt foglmkr vztjük vissz, vlük mgyrázzuk. Az ilyn mgyrázt dfiníció.) 2. A gomtri lpfoglmi A gomtri lpfoglmi: pont, vonl, gyns, sík, tér. Pont: Két gymást mtsző vonlll jlöljük. Az áécé ngytűivl nvzzük l. (Pontok összsség z lkzt. Egy pontól is állht gy lkzt, vgyis mg pont is gomtrii lkzt). A C B Vonl: lht gör törött gyns 3. Az gyns. (Elnvzés, hossz) Egyns: A gomtri gyik lpfoglm. Végtln hosszú. Mindkét irányn végtln trt. Az áécé kistűivl nvzzük l. c 4. A félgyns mghtározás. (Elnvzés, hossz) Félgyns: Az gynst ármly pontj két félgynsr ontj. A félgynst z áécé kistűivl nvzzük l. B f B kzdőpontú félgyns, és B kzdőpontú f félgyns. A félgyns végtln hosszú, d csk gy irányn trt végtln.

2 5. A szksz mghtározás. (Elnvzés, hossz) Szksz: Az gynsnk, két pontj áltl htárolt rész szksz. A szksz végs hosszú. Végpontjivl, vgy z áécé kistűivl nvzzük l. d szksz AB szksz A d B Térlmk: pont, vonl, sík közös nv 6. Két pont kölcsönös hlyzt: 1. Két pont illszkdik gymásr: A B 2. Két pont nm illszkdik gymásr: D E 7. Pont és gyns kölcsönös hlyzt: 1. A B pont illszkdik z gynsr: B 2. A D pont nm illszkdik z f gynsr: D f 8. Egy ponton át, hány gyns húzhtó? Egy dott ponton krsztül végtln sok gyns húzhtó. Egy pont nm htároz mg gy gynst.

3 9. Lgkvs hány pont htároz mg gy gynst? Két dott ponton krsztül pontosn gy gyns húzhtó. Két pont mghtároz gy gynst. D C 10. Pont és sík kölcsönös hlyzt: 1. A B pont illszkdik z síkr: B 2. A D pont nm illszkdik z síkr: D A két gyns illszkdik gymásr: Mindn pontjuk közös. 11. Mtsző gynsk foglm. Két gyns mtsző, h pontosn gy közös pontjuk vn. M mtszéspont Két mtsző gyns síkot mindig négy részr osztj. A két-két szmközti síkrész mindig gyvágó. (Két síkrész síkidom gyvágó, h gymásr orítv kölcsönösn fdik gymást. Egylőr érjük zzl mghtározássl.) d

4 12. Mrőlgs gynsk foglm, jlölés. A mrőlgs gynsk olyn mtsző gynsk, mlyk síkot négy gyvágó részr osztják. Így jlöljük, hogy és gynsk mrőlgsk gymásr: 13. Párhuzmos gynsk foglm, jlölés. Két gyns párhuzmos h gy síkn vnnk és nincs közös pontjuk. Így jlöljük, hogy és gynsk párhuzmosk: Két párhuzmos gyns síkot mindig három részr osztj. 14,Kitérő gynsk foglm. A két gyns kitérő h nm gy síkn vnnk. Két kitérő gynsnk nincs közös pontj. 15. Egyns és sík kölcsönös hlyzt. 1. Az gyns illszkdik síkr: Az gyns mindn pontj illszkdik síkr. Az gyns síkot két részr, két félsíkr osztj.

5 2. Az gyns döfi síkot: Az gynsnk és síknk pontosn gy közös pontj vn. döféspont D 3. Az gyns párhuzmos síkkl: Az gynsnk és síknk nincs közös pontj. 16. Két sík kölcsönös hlyzt: 1. Két sík illszkdik gymásr, h mindn pontjuk közös. 2. Két sík mtszi gymást, közös pontjik gy gynst lkotnk. 3. Két sík párhuzmos, h nincs közös pontjuk.

6 17. Két pont távolság Két pont távolság két pontot összkötő gyns szksz hossz. A A két pontot összkötő vonlk közül z gyns lgrövid. (Két pont között lgrövid út mindig z gyns.) Két pont között mindig csk gy gyns szksz húzhtó. B 18. Két (tö lmű) ponthlmz (lkzt) távolság A két ponthlmz (lkzt)lgközli pontjit összkötő gyns szksz. 19. Pont és gyns távolság A pontól z gynsr állított mrőlgs szksz hossz. (A két ponthlmz pontjit összkötő szkszok közül z lgrövid.) A 20. Két mtsző gyns távolság Két mtsző gyns távolság mindig 0. (Az és gynsk két lgközli pontj mtszéspont.)

7 21. Két párhuzmos gyns távolság Két párhuzmos gyns távolság: A két párhuzmos gynst összkötő mrőlgs szksz hossz. (A két ponthlmz pontjit összkötő szkszok közül z lgrövid.) 22. Pont és sík távolság A Pont és sík távolság pontól síkr állított mrőlgs szksz hossz. Mindn, döfésponton áthldó gynsr mrőlgsnk kll lnni. 23. Sík és vl párhuzmos gyns távolság Az gynsről síkr állított mrőlgs szksz hossz. 24. Két párhuzmos sík távolság A két síkot összkötő mrőlgs szksz hossz.

8

KOMPLEX SZÁMOK A GEOMETRIÁBAN

KOMPLEX SZÁMOK A GEOMETRIÁBAN KMPLEX SZÁMK GEMETRIÁBN Mirce Bechenu Ismert, hogy kölcsönösen egyértelmű (ijektív) megfeleltetés létezik sík pontji és komplex számok hlmz közt. Ez megfeleltetés lehetővé teszi zt, hogy komplex számokt

Részletesebben

Mértani helyek 289. III. Mértani helyek

Mértani helyek 289. III. Mértani helyek értni helek 89 III. értni helek 3.. Lineáris feltételekkel dott mértni helek Gkrn tlálkoztok oln feldttl, melekben eg közös tuljdonsággl rendelkező pontok hlmzát kell meghtározni. ár z áltlános iskolából

Részletesebben

Sokszínû matematika 10. A KITÛZÖTT FELADATOK EREDMÉNYE

Sokszínû matematika 10. A KITÛZÖTT FELADATOK EREDMÉNYE Sokszínû mtemtik 0. A KITÛZÖTT FELADATOK EREDMÉNYE Összeállított: FRÖHLICH LAJOS gimnáziumi tnár A Gondolkodási módszerek és Vlószínûségszámítás c. fejezeteket szkmilg ellenõrizte: DR. HAJNAL PÉTER egyetemi

Részletesebben

Mérési útmutató. A tesztváltozat címe: Szövegtani ismeretek 11. évfolyam A tesztváltozat száma: 1

Mérési útmutató. A tesztváltozat címe: Szövegtani ismeretek 11. évfolyam A tesztváltozat száma: 1 Mérési útmuttó A tsztváltozt ím: Szövgtni ismrtk 11. évolym A tsztváltozt szám: 1 A tszt típus: tuásszintmérő tszt A tszt lklmzás: ignosztikus mérés szövgtni ismrtk értéklésér, hiányosságok ltárásr Értéklés:

Részletesebben

0854. MODUL GEOMETRIAI ISMÉTLÉS. Kerület-, terület-, felszín-, térfogatszámítás ismétlése KÉSZÍTETTE: PUSZTAI JULIANNA

0854. MODUL GEOMETRIAI ISMÉTLÉS. Kerület-, terület-, felszín-, térfogatszámítás ismétlése KÉSZÍTETTE: PUSZTAI JULIANNA 0854. MODUL GEOMERIAI ISMÉLÉS Kerület-, terület-, felszín-, térfogtszámítás ismétlése KÉSZÍEE: PUSZAI JULIANNA 0854. Geometrii ismétlés Kerület-, terület-, felszín-, térfogtszámítás ismétlése nári útmuttó

Részletesebben

MATEMATIKA 10. A tankönyv feladatai és a feladatok megoldásai

MATEMATIKA 10. A tankönyv feladatai és a feladatok megoldásai Dr Gerőcs László Számdó László MTEMTIK 0 tnkönyv feldti és feldtok megoldási megoldások olvsásához crobt Reder progrm szükséges, mely ingyenesen letölthető z internetről (például: dobelhu weboldlról) feldtokt

Részletesebben

Sokszínû matematika 12. A KITÛZÖTT FELADATOK EREDMÉNYE

Sokszínû matematika 12. A KITÛZÖTT FELADATOK EREDMÉNYE Sokszínû mtemtik. A KITÛZÖTT FELADATOK EREDMÉNYE SOKSZÍNÛ MATEMATIKA A KITÛZÖTT FELADATOK EREDMÉNYE Logik, bizonítási módszerek. Logiki feldtok, kijelentések. Feltéve, hog középsõ kérdésre válszolt: középsõ

Részletesebben

Számelmélet. 4. Igazolja, hogy ha hat egész szám összege páratlan, akkor e számok szorzata páros!

Számelmélet. 4. Igazolja, hogy ha hat egész szám összege páratlan, akkor e számok szorzata páros! Számelmélet - oszthatóság definíciója - oszthatósági szabályok - maradékos osztás - prímek definíciója - összetett szám definíciója - legnagyobb közös osztó definíciója - legnagyobb közös osztó meghatározása

Részletesebben

12. Trigonometria I.

12. Trigonometria I. Trigonometria I I Elméleti összefoglaló Szögmérés A szög mérésének két gyakran használt módja van: fokban, illetve radiánban (ívmértékben) mérünk A teljesszög 0, ennek a 0-ad része az A szög nagyságát

Részletesebben

10. Síkgeometria. I. Elméleti összefoglaló. Szögek, nevezetes szögpárok

10. Síkgeometria. I. Elméleti összefoglaló. Szögek, nevezetes szögpárok 10. Síkgeometria I. Elméleti összefoglaló Szögek, nevezetes szögpárok Egy adott pontból kiinduló két félegyenes a síkot két részre bontja. Egy-egy ilyen rész neve szögtartomány, vagy szög. A két félegyenest

Részletesebben

11. Geometriai transzformációk

11. Geometriai transzformációk 11. Geometriai transzformációk I. Elméleti összefoglaló Geometriai transzformációknak nevezzük azokat a függvényeket, amelyeknek az értelmezési tartománya és értékkészlete is ponthalmaz. Ha a transzformáció

Részletesebben

végtelen sok számot?

végtelen sok számot? Hogyan adjunk össze végtelen sok számot? Németh Zoltán, SZTE Bolyai Intézet www.math.u szeged.hu/~nemeth 2006. Akhilleusz, a görög hős és a teknősbéka versenyt futnak. Akhilleusz tízszer olyan gyorsan

Részletesebben

Érettségi feladatok: Egyenletek, egyenlőtlenségek 1 / 6. 2005. május 29. 13. a) Melyik (x; y) valós számpár megoldása az alábbi egyenletrendszernek?

Érettségi feladatok: Egyenletek, egyenlőtlenségek 1 / 6. 2005. május 29. 13. a) Melyik (x; y) valós számpár megoldása az alábbi egyenletrendszernek? Érettségi feladatok: Egyenletek, egyenlőtlenségek 1 / 6 Elsőfokú 2005. május 28. 1. Mely x valós számokra igaz, hogy x 7? 13. a) Oldja meg az alábbi egyenletet a valós számok halmazán! x 1 2x 4 2 5 2005.

Részletesebben

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit. Komplex számok (2)

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit. Komplex számok (2) 2. előadás Komplex számok (2) 1. A a + bi (a, b) kölcsönösen egyértelmű megfeleltetés lehetővé teszi, hogy a komplex számokat a sík pontjaival, illetve helyvektoraival ábrázoljuk. A derékszögű koordináta

Részletesebben

BOLYAI MATEMATIKA CSAPATVERSENY KÖRZETI SZÓBELI FORDULÓ 2005. OKTÓBER 29. 5. osztály

BOLYAI MATEMATIKA CSAPATVERSENY KÖRZETI SZÓBELI FORDULÓ 2005. OKTÓBER 29. 5. osztály 5. osztály Józsi bácsi egy farkassal, egy kecskével és egy fej káposztával egy folyóhoz érkezik, amin át szeretne kelni. Csak egy olyan csónak áll rendelkezésére, amellyel a felsoroltak közül csak egyet

Részletesebben

Geometria 1 normál szint

Geometria 1 normál szint Geometria 1 normál szint Naszódi Márton nmarci@math.elte.hu www.math.elte.hu/ nmarci ELTE TTK Geometriai Tsz. Budapest Geometria 1 p.1/4 Vizsga 1. Írásban, 90 perc. 2. Index nélkül nem lehet vizsgázni!

Részletesebben

54. Mit nevezünk rombusznak? A rombusz olyan négyszög,

54. Mit nevezünk rombusznak? A rombusz olyan négyszög, 52. Sorold fel a deltoid tulajdonságait! 53. Hogy számoljuk ki a deltoid területét? A deltoid egyik átlója a deltoid Átlói. A szimmetriaátló a másik átlót és a deltoid szögét. A szimmetriatengely két ellentétes

Részletesebben

2015. - ett - ) et a. A g, - az. t illeti meg, amely. megosztva is) -csapatsport a Tao. megosztva is lehet rendelkezni 3. - 2.1.

2015. - ett - ) et a. A g, - az. t illeti meg, amely. megosztva is) -csapatsport a Tao. megosztva is lehet rendelkezni 3. - 2.1. 2015. ett ) et. A g,. t illeti meg, mely tesz eleget, 1. 2, c. megosztv is) csptsport To. megosztv is lehet rendelkezni 3. 2.1. szerint 4 dtok 5. etek es 1 2 3 4 A 5 2 1. I 6, hogy. film szervezet [ide

Részletesebben

I. Síkgeometriai alapfogalmak, szögek, szögpárok

I. Síkgeometriai alapfogalmak, szögek, szögpárok 15. modul: SÍKIDOMOK 7 I. Síkgeometriai alapfogalmak, szögek, szögpárok Módszertani megjegyzés: A jelen modult többnyire kibővített ismétlésnek szántuk, és fő célja az alapfogalmak és az alapismeretek

Részletesebben

Ismétlő feladatsor: 10.A/I.

Ismétlő feladatsor: 10.A/I. Ismétlő feladatsor: 0.A/I. Harasztos Barnabás 205. január. Feladat Mekkora az alábbi ábrán (szürkével) jelölt síkidom összterülete? A terület egységének a négyzetrács egy négyzetének területét tekintjük!

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Számelmélet

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Számelmélet MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Számelmélet A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2013. október 15. EMELT SZINT

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2013. október 15. EMELT SZINT MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 0. október 5. EMELT SZINT ) Oldja meg a valós számok halmazán a következő egyenleteket! a) b) ( )( ) I. ( pont) (7 pont) a) A négyzetgyök függvény értelmezési tartománya és értékkészlete

Részletesebben

MATEMATIKA C 12. évfolyam 4. modul Még egyszer!

MATEMATIKA C 12. évfolyam 4. modul Még egyszer! MATEMATIKA C 1. évfolyam 4. modul Még egyszer! Készítette: Kovács Károlyné Matematika C 1. évfolyam 4. modul: Még eygszer! Tanári útmutató A modul célja Időkeret Ajánlott korosztály Modulkapcsolódási pontok

Részletesebben

Felkészülés a Versenyvizsgára

Felkészülés a Versenyvizsgára Felkészülés a Versenyvizsgára Feladatok 6. osztályosoknak 1. Ha egy tégla 2 kg meg egy fél tégla, akkor hány kg két tégla? 2. Elköltöttem a pénzem felét, maradt 100 Ft-om. Mennyi pénzem volt eredetileg?

Részletesebben

Feladatok és megoldások a 8. hétre Építőkari Matematika A3

Feladatok és megoldások a 8. hétre Építőkari Matematika A3 Feladatok és megoldások a 8. hétre Építőkari Matematika A3 1. Oldjuk meg a következő differenciálegyenlet rendszert: x + 2y 3x + 4y = 2 sin t 2x + y + 2x y = cos t. (1 2. Oldjuk meg a következő differenciálegyenlet

Részletesebben

Mérd fel magad könnyedén!

Mérd fel magad könnyedén! Mérd fel magad könnyedén!. Töltsük ki arab számokkal a kipontozott helyeket úgy, hogy igaz legyen az alábbi mondat: Ebben a mondatban... db -es,... db -es,... db 3-as,... db 4-es,... db 5-ös,... db 6-os,...

Részletesebben

A lehetetlenségre visszavezetés módszere (A reductio ad absurdum módszer)

A lehetetlenségre visszavezetés módszere (A reductio ad absurdum módszer) A lehetetlenségre visszavezetés módszere (A reductio ad absurdum módszer) Ezt a módszert akkor alkalmazzuk, amikor könnyebb bizonyítani egy állítás ellentettjét, mintsem az állítást direktben. Ez a módszer

Részletesebben

Regresszió számítás. Tartalomjegyzék: GeoEasy V2.05+ Geodéziai Kommunikációs Program

Regresszió számítás. Tartalomjegyzék: GeoEasy V2.05+ Geodéziai Kommunikációs Program Regresszió számítás GeoEasy V2.05+ Geodéziai Kommunikációs Program DigiKom Kft. 2006-2010 Tartalomjegyzék: Egyenes x változik Egyenes y változik Egyenes y és x változik Kör Sík z változik Sík y, x és z

Részletesebben

Skatulya-elv. Sava Grozdev

Skatulya-elv. Sava Grozdev Skatulya-elv Sava Grozdev Egy alapvető szabály, azaz elv azt állítja, hogy: ha m testet szétosztunk n csoportba és m > n, akkor legalább két test azonos csoportba fog kerülni. Ezt az elvet különböző országokban

Részletesebben

Mérd fel magad könnyedén!

Mérd fel magad könnyedén! Mérd fel magad könnyedén! 1. Töltsük ki arab számokkal a kipontozott helyeket úgy, hogy igaz legyen az alábbi mondat: Ebben a mondatban... db 1-es,... db 2-es,... db 3-as,... db 4-es,... db 5-ös,... db

Részletesebben