Mértani helyek 289. III. Mértani helyek

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "Mértani helyek 289. III. Mértani helyek"

Átírás

1 értni helek 89 III. értni helek 3.. Lineáris feltételekkel dott mértni helek Gkrn tlálkoztok oln feldttl, melekben eg közös tuljdonsággl rendelkező pontok hlmzát kell meghtározni. ár z áltlános iskolából tudjátok, hog z ilen hlmzt z illető pontok mértni helének nevezzük. Áltlábn eg mértni hel meghtározásánál pontok közös tuljdonságából következtetünk eg oln tuljdonságr, melből zonnl kiolvshtó, hog mértni hel milen hlmznk része. Ilenkor, h nem ekvivlens átlkításokkl jutottunk ehhez tuljdonsághoz, kkor be kell bizonítni, hog z áltlunk megsejtett ponthlmz minden pontj eleme mértni helnek vg ki kell zárni zon pontokt, melek nem rendelkeznek z dott tuljdonsággl.. feldt. Htározzuk meg zon pontok mértni helét, melek egenlő távolságr vnnk z A és B rögzített pontoktól. ) z α síkbn (A, B α ) b) térben. (,) egoldás. ) Vegünk fel eg derékszögű koordinátrendszert, melnek origój z A pont és z O tengel z AB egenes. A pontok koordinátái A(, ) és Bb (,). Eg (, ) pont pontosn kkor teljesíti feldtbeli feltételt, h + = ( b) +, vgis h b =. Tehát mértni hel eg egenes. Ez z AB szksz felezőmerőlegese. b) A derékszögű koordinátrendszert z előzőhöz hsonló módon vegük fel. A pontok koordinátái A(,,) és Bb (,,). Az (,, z) pont pontosn kkor vn egenlő távolságr z A és B pontoktól, h b + + = + +, vgis h =. mértni hel eg sík. (Az ekvivlens átlkítások z ( b) z B(b,,) A B(b, ) = b/ 9. ábr Tehát mitt nem szükséges egik esetben sem külön bebizonítni, hog vlóbn minden pont hozzátrtozik mértni helhez.) Ez z AB szksz felezőmerőleges síkj. egjegzés. H feldt nem dott koordinátákkl vn megfoglmzv, célszerű A = b/. ábr (,,z) számolások egszerűsítése végett lehető legmegfelelőbb koordinátrendszert válsztni. Lássuk mi történt voln, h tetszőlegesen válsztunk koordinátrendszert: ) H z dott pontok A (, ) és Bb (, b ), kkor z (, ) pont pontosn kkor vn egenlő távolságr z A és B pontoktól, h ( ) + ( ) = ( b ) + ( b ), vgis h ( b ) + ( b ) + b + b =, ez pedig eg egenes egenlete. Az első megoldás esetén látszott, hog mértni hel merőleges AB -re és felezi zt, z előbbi egenlet lpján ennek bizonítás további számolásokt igénelne.

2 9 értni helek b) H z dott pontok A (,, ) és Bb (, b, b ), kkor z (, ) pont pontosn 3 3 kkor vn egenlő távolságr z A és B pontoktól, h innen ( ) + ( ) + ( z ) = ( b ) + ( b ) + ( z b ), 3 3 ( b ) ( b ) ( b ) z b + b + b = pedig eg sík egenlete. Akárcsk z ) pontnál z utóbbi egenletből nem derül ki zonnl, mint z előző koordinátrendszer válsztásánál, hog ez sík merőleges AB -re és felezi zt.. feldt. Htározzuk meg zon pontok mértni helét, meleknek két dott e és e egenestől mért távolságik rán dott pozitív állndó. egoldás. Két esetet kell tárglnunk: h z egenesek párhuzmosk, illetv e h metszik egmást. I. eset. e e. Vegük fel koordinátrendszert úg, hog z O tengel legen z * e egenes. Az egenesek egenletei: e : = és e : =. k= e = e k + k (,) k = k -. ábr. ábr E g (, ) távolsági z egenesektől: d = és d =. Tehát k= e = e (,) = k összefüggés kell teljesüljön. (A feldt feltételeiből világos, hog nincs rjt egik egenesen sem.) Innen két esetünk vn: k = k( ) =, h k k k = k( ) = ( k >, tehát ez mindig lehetséges) + k Tehát, h k, kkor z ekvivlens átlkítások mitt mértni hel két egenes: k k = és =, h pedig k =, kkor csk eg egenes: =. k + k (Ez utóbbi esetben tuljdonképpen két egenestől mért távolság egenlő) II. eset. e e = { O}. Legen derékszögű koordinátrendszer középpontj z O pont és z O tengel z e egenes. Az egenesek egenletei: e : = és e : = m ( m ) h e e és e : = illetve e : =, h e e., ez

3 értni helek 9 k = + m e e k = + m e km k m = - + (,) = km + + k m e = (,) m O. H e A d e, kkor z (, ) pont távolsági z egenesektől: d = m, tehát 3. ábr 4. ábr = + m = k feltételnek kell teljesülnie. (Láthtó, hog z m + m = m -et tejesítő pont nincs rjt mértni helen) Ismét két eset tárglás szükséges: m km = k =, h k + m m + k + m m = k + km =. m + k + + m Tehát h k + m, kkor mértni hel z e km km = és = egenletű k + m k + + m egenesekből áll (, ) pont kivételével, h pedig (,) m k = + m e, kkor z = és = egenletű egenesekből (, ) pont kivételével. B. H e e, kkor két egenest tekinthetjük 5. ábr derékszög ű koordinátrendszer tengeleinek. Az (, ) pont távolsági z egene- sektől: d = és d =, tehát mértni hel z = k és = k k egenesekből áll (, ) pont kivételével. (H z () és () egenletekben m, kkor éppen fenti egenleteket kpjuk.) egjegzés. A második esetben, h k = -et helettesítünk, kkor két egenes áltl meghtározott szög belső és külső szögfelezőjének egenletéhez jutunk. * 3. feldt. A P (, b ) ( b, ) rögzített ponton át húzunk két változó egmásr merőleges d és d egenest. A d egenes z O tengelt A -bn, míg d egenes z O tengelt B -ben metszi. Htározzuk me g P pont AB egenesre eső = - = k és

4 9 értni helek vetületének mértni helét. egoldás * H d O, jelöljük m -gl d egenes iránténezőjét ( m, mert ellenkező P esetben nem metszi z O tengelt). A d P iránténezője, d és d egenesek m egenletei: d : = b + m( ) és A P d : = b ( ). Tehát z A és B m m b koordinátái: A, m és B, + B m. 6. ábr m b Az AB egenes egenlete: AB : m ( + mb) + m ( m b) ( m b)( + mb) =, A P ponton áthldó AB -re merőleges egenes egenlete: d : m ( m b) m ( + mb) m ( m b) + m ( + mb) b =, tehát két ( m b) b ( + mb) egenes metszéspontjánk koordinátái:, m( + b) m ( + b). ( m b) Az = egenlőségből kifejezve z m -et és behelettesítve z m + b ( ) b ( + mb) = egenlőségbe z + b = b összefüggéshez jutunk. m ( + b) Ez eg egenes egenlete, tehát mértni hel része eg egenesnek. eg kellene vizsgálnunk, hog z egenes minden pontj hozzátrtozik-e mértni helhez. Ehhez ( m b) szükséges megvizsgálni, hog m esetén z = és m + b b ( + mb) = m + b ( ) ( ) milen értékeket vehet fel. Ez utóbbi egenlőségek lpján b b m = =. Ebből következik, hog bármel b + b b ( ) ( ) 3 \ + b értéket felvehet z bszcisszáj. 3 3 b d O esetén vetület éppen z, b b pont, tehát mértni hel + + z + b = b egenletű egenes. Ez tuljdonképpen P (,) és P (, b ) pontokon átmenő egenes. * egjegzés. Kereshettük voln mértni helet bbn z esetben is, h b, + és csk zokt és d egeneseket tekintjük, melek pozitív féltengeleket met- d

5 értni helek 93 szik. Ebben z esetben z m kell teljesítse z lábbi egenlőtlenségeket: m < b b vg m > és < < m, b < vg, innen, + m m b. 3 b H m,, kko r () és (3) összefüggésekből +, b és b 3, + b, e z pe d ig z ( ) ( ) b P nílt szkszt htározz meg. m, + esetén P nílt szkszhoz ju tunk. H pedig tengelekkel párhuzmos egeneseket tekintjük, kkor ebben z esetben is vetület z pont lesz. Tehát itt mértni hel ( PP ) nílt szksz. 4. feldt. Htározzuk meg zon pontok mértni helét, melek (, ) koordinátáir + <. egoldás. Rögzített -re + < pontosn kkor, h <, de z, d pont d d : + = egenesen vn, tehát zokr z (, ) O párokr teljesül z + < egenlőtlenség, meleknek megfelelő pontok d : = egenesen z pont ltt helezke dnek el. Az -et változtv különböző félegeneseket kpunk, meleknek egesí- z + = egenletű 7. ábr tése d eg enes áltl meghtározott lsó nílt félsík. Íg z + < egenlőtlenséget teljesítő pontok egenes áltl meghtározott felső nílt félsíkot lkotják ( 7. ábrán bevonlkázott rész). 5. feldt. Htározzuk meg zon pontok = mértni helét, melek (, ) koordinátáir = +, + és + 5. C egoldás. Az előző feldthoz hsonlón B okosko dv kpjuk, hog mértni hel három A félsík metszete, éspedig z = egenes áltl = 5 htárolt lsó zárt félsík, z = + egenes áltl htárolt felső zárt félsík és z = 5 O 5 egenes áltl htárolt lsó zárt félsík metszete. Ez 8. ábr z ABC belső D trtomán z oldlivl egütt. (8. ábr) 6. feldt. Htározzuk meg z + kifejezés minimumát, h, + és + 5.

6 94 értni helek egoldás. Tuljdonképpen z 5. feldtbn kpott D trtomán pontji között kell keresni olt, mel koordinátáir + minimális. Tudjuk, hog e g (, ) pont távolság z O ponttól +, tehát z O -hoz legközelebb eső keressü k. Ez éppen z A csúcs, tehát in ( m + ) = + = 5. (, ) D D -beli pontot 3.. Lineáris progrmozás Vlmenni szervezetnek döntéseket kell hozni erőforrásink llokálásáról és felhsználásáról. ivel ezek z erőforrások csk korlátozottn állnk rendelkezésre, menedzsmentnek folmtosn döntéseket kell hozni felhsználásukról nnk érdekében, hog válllkozás céljit minél hmrbb elérhesse. Lehetséges célok például forglom vg nereség növelése, vlmint költségek minimlizálás. Ilen strtégii döntések hoztl lineáris vg nem-lineáris progrmozás segítségével érhető el. A lineáris és nem-lineáris progrmozás oln mtemtiki technikák, melek felhsználhtók rr, hog eg válllt z erőforrásit céliránosn hsználj fel. Tnkönvünkben csk lineáris progrmozássl fogllkozunk. Ahhoz, hog eg döntési problémát optimlizálási problémává lehessen lkítni, különböző feltételeknek kell teljesülniük: Különböző döntési lterntíváknk kell létezniük, melek válllt célját ngmértékben befolásolják és ezek mtemtiki változók formájábn kifejezhetőknek kell lenniük. Az erőforrásoknk korlátozottn kell rendelkezésre állniuk. Világosn meg kell tudni foglmzni zt válllti célt, mel döntési lterntíváktól függ és ezt is ki kell tudni fejezni döntési változók mtemtiki függvéneként. A fentieknek megfelelő optimlizálási modellek három lpvető komponensből állnk: A döntési változók oln értékek, meleket döntéshozó befolásolni tud. Ezek számár keressük z optimális értékeket. A célfüggvén döntési változók eg függvéne, melet mimlizálni vg minimlizálni kell. (Pl. költségek minimlizálás, nereség mimlizálás) A korlátok oln feltételek, melek megengedett változókombinációk hlmzát behtárolják. Feld t. Eg háziállt táplálékánk trtlmzni kell négféle tápngból leglább, kg,,4 kg, kg és 4, kg menniséget. Két tkrmánféleség áll rendelkezésünkre: A és B. kg A tkrmánbn rendre,; ;,;,7 kg vn z eges tápngokból, kg B tkrmán ezekből ;,;,;,6 kg-ot trtlmz. Az A tkrmá n egségár millió lej/kg, B tkrmáné 3 millió lej/kg. Htározzuk meg gzdságos tkrmánkeverék összetételét! egoldás. indenekelőtt feldtot át kell írni mtemtiki változók segítségével: A döntési változók z A és B tkrmánokból rendelt menniségek kg-bn. Legen ez és. Ekkor célfüggvén z összár: f (, ) = + 3, mit minimlizálni kell következő korlátozási feltételek mellett:

7 értni helek 95,, ;,, 4 ;, +, ;, 7 +, 6 4, ;, A korlátozási feltételek egenértékűek következőkkel: Ábrázoljuk z előbbi feltételeket teljesítő pontokt z O derékszögű koordinátrendszerben. (9. ábr) 7 6 = + = 4 A = + = d B C 9. ábr. ábr A 9. ábrán bevonlkázott rész korlátozási feltételeket teljesítő pontok hlmz. Ezt lehetséges megoldások hlmzánk nevezzük. Ezek közül kell kiválsztnunk zt, melre + 3 értéke minimális. Vezessünk be eg prmétert és legen = eg d 3 egenes egenlete. Az előbbi egenescslád egenesei pár- huzmosk egmássl és metszéspontjuk z O tengell el (, ) pont. Ezen ege- nesek közül zt kell kiválsztnunk, mel metszi lehetséges megoldások trtománát és minimális. Azz d = d egenest ddig toljuk párhuzmosn felfele, meddig lesz közös pontj trtománnl. Könnű belátni, hog ez közös pont tr- h trtománt htároló egenesek egikével sem párhuz- tomán htárán vn, sőt mos d egenes, kkor vlmel csúcsbn tlálhtó. H párhuzmos vlmel htáregenessel és ezt z egenest érinti először párhuzmos eltolás során, kkor ezen egenes minden pontjábn minimális célfüggvén értéke, íg végpontokbn is. Következésképpen elégséges kiszámolni célfüggvén értékét végpontokbn és ezek közül legkisebb lesz minimális. Htározzuk meg trtomán csúcsink koordinátáit. Az egenesek egenleteiből lkotott rendszereket megoldv kpjuk, hog z A, B és C metszéspontok 4 koordinátái: A, 3, B 7 3, és C ( 6, ). A célfüggvén értékei ezekben 4 4 pontokbn: f, 3 3 = + 3 = , f 3, = + 3 = = 6, 5 és 3

8 96 értni helek f ( 6, ) = = 8. Azonnli, hog B pont esetében vn minimum. Tehát z optimális, h 3 kg-ot vásárolunk z A tkrmánból é s 3,5 kg-ot B tkrmánból, ez 6, 5 millió lejbe kerül és trtlmz,3 kg-ot z I. tápngból,,7 kg-ot II. tápngból, kg-ot III. tápngból és 4, kg-ot IV. tápngból. Feldtok. Eg üzem kétféle oln árut készít, melekhez z A, B és C gépsorok is kellenek. Az első áru eg egségének elkészítéséhez z A gépsoron 5 ór, B gépsoron ór, C gépsoron ór kell; második áru eg egségének elkészítéséhez z A gépsoron 3 ór, B gépsoron 3 ór, C gépsoron 7 ór kell. Az A gépnek 8 ór, B gépnek 45 ór és C gépnek 89 ór szbd idej e vn. ) Hán egség árut készíthetnek rendelkezésre álló idő ltt, h z cél, hog lehető legtöbbet készítsenek. b) H z első árunál egségenként 5 pénzegség, míg másodiknál 9 pénzegség nereség, htározd meg mimális nereséget biztosító gártási strtégiát! enni ekkor ez mimális nereség?. A XI. E. osztál tedélutánr készül. A lánok elhtározzák, hog szendvicseket készítenek. A szendvicsek elkészítéséhez következő nersng gűlt össze: dkg vj, dkg sonk, dkg sjt, db kemén tojás. Keneret bármikor vásárolhtnk szomszéd boltbn. Kétféle szendvicset készítenek: sonkást é s sjtost. Eg sonkás szendvicshez 3dkg vjt, 3dkg sonkát, dkg sjtot, /4 tojást és eg szelet keneret hsználnk fel. A sjtos szendvicshez dkg vjr, dkg sonkár, 5dkg sjtr és / tojásr és eg szelet kenérre vn szükség. A rendelkezésre álló nersngból hán drb sonkás és hán drb sjtos szendvicset készítsenek úg, hog lehető legtöbben jóllkjnk ( szendvicsek szám lehető legngobb legen)? 3. Az A és B típusú ruhák elkészítéséhez következő munkműveletek szükségesek: unkművelet A B Szbás 3perc 3perc Vrrás perc 4perc Hegesztés perc Eg műszkon belül szbásr összesen 4 perc, vrrásr összesen 44 perc, hegesztésre összesen 8 perc fordíthtó. Az A típusú ruh 6 Pe (pénzegség) hszonnl, B típusú 3 Pe hszonn l jár. Az A típusú ruh termelési értéke drbonként 45 Pe, B típusú ruh termelési értéke drbonként 5 Pe. Hán drbot termeljen gár eg műszkbn, h ) mimális hszonr, b) mimális termelési értékre, c) mimális hszon mellett mimális drbszám elérésére töreks zik? Létezik-e oln termelési progrm, mel mindhárom követelmént egszerre kielégíti?

9 értni helek ásodrendű görbék Az eddig tnulmánozott mértni helek egenletei elsőfokúk voltk mindkét változóbn. Azz egenesek, szkszok vg ezek áltl htárolt trtománok voltk. A továbbikbn oln mértni heleket tnulmánozunk, melek egenletében másodfokú tgok (, és ) is megjelennek. Az ilen görbéket nevezzük másodrendű görbéknek A kör ár z áltlános iskolából tudjátok, hog kör zon pontok mértni hele síkbn, melek eg dott ponttól egenlő távolságr vnnk. A kör egenletei Htározzuk meg kör egenletét. Először z origó középpontú kör egenletét htároz kör sugr r. Ekkor z (, ) pont pontosn kkor vn rjt zuk meg. Legen körön, h origótól mért távolság r, zz + = r innen z origó középpontú r sugrú kör egenlete: C : + = r (), (Az ekvivlens átlkításokból következik, hog minden () egenletet teljesítő koordinátájú pont rjt vn körön) O r (,) O O r (,) O O. ábr. ábr 3. ábr Írjuk fel most eg tetszőleges O (, ) középpontú r sugrú kör egenletét. Az (, ) pont pontosn kkor vn rjt körön, h pedig egenértékű C :( ) + ( ) = r (), ( ) + ( ) = r, ez egenlettel, ez utóbbi egenlet z O (, ) középpontú r sugrú kör egenlete egjegzés. Tuljdonképpen C ( O, r) kör C ( Or, ) kör (, ) vektorrl vló párhuzm os eltolás áltli képe (3. ábr), innen pedig z () összefüggésből zonnl következik, hog ( O, r) egenlete () egenlet. C H () összefüggésben elvégezzük négzetre emeléseket és rendezzük, kkor z r = lkú másodfokú kétismeretlenes ( )

10 98 értni helek egenletet kpjuk. Ezt z egenletet z áltlános másodfokú kétismeretlenes A + B + C + D + E + F = egenlettel összevetve megállpíthtjuk, hog z áltlános kétismeretlenes egenlet csk kkor lehet kör egenlete, h A= C és B =. Ebben z esetben A -vl vló végigosztás után kpjuk, hog z egenlet C : b + c = (3) lkú. Ezt z egenletet nevezzük kör áltlános (descrtesi) vg normálegenletének. Vizsgáljuk meg, hog z, b, c számok befolásolják-e kör létezését. Egészítsük ki teljes négzetekre (3) összefüggést. (3) ( + ) + ( + b) ( + b c) =. Láthtó, hog: h + b < c, kkor nem léteznek (3) összefüggés, zt is szoktuk mondni, hog ekkor képzetes körünk vn; h + b = c, kkor z egenletet csk P(, b) pont elégíti ki, ilenkor nullkörről vg elfjult körről beszélünk; 3 h + b > c, kkor (3) egenlet P(, b) középpontú r = + b c sugrú vlódi kör egenlete. A kör prméteres egenletei H z ( ) egenletben végigosztunk r -tel, kkor z = + egenlethez r r jutunk. ivel! ϕ [, π) úg, hog = cos ϕ és = sin ϕ (ez éppen z ( r r, ) pontot z origóvl összeköt ő egenes O tengellel bezárt szöge), fennállnk = r cosϕ C : (4) = r sin ϕ összefüggések, miket kör prméteres egenleteinek nevezünk. H kör középpontj z O (, ), kkor prméteres egenletek: = + r cos ϕ C : (5) = + r sin ϕ egjegzés. H eg pont z ( + r, ) pontból indulv egenletes szögsebességgel mozog C ( O, r) körön, kkor ϕ > idő múlv z ( + r cos ϕ, + r sin ϕ) pontbn lesz. A kör belső illetve külső trtomán (, ) párok, melekre teljesül A kör síkot két diszjunkt trtománr bontj fel. A belső pontok hlmzát (z ellipszis belsejét vg belső trtománát) Int( C )-vel és külső pontok hlmzát (z

11 értni helek 99 ellipszis külső trtománát) { f } { f } Et( C ) = (, ) (, ) > Et( C ) -vel jelöljük (4. ábr). H tekintjük z f :, f (, ) = ( ) + ( ) r kétváltozós függvént, kkor: C = {(, ) f(, ) = } Et( C ) Int( C ) = (, ) (, ) < C Int( C ) Egenes és kör kölcsönös helzetei 4. ábr Eg egenes és eg kör három különböző kölcsönös helzetben lehet: nincs közös pontjuk (5. ábr), eg közös pontjuk vn, zz érinti (6. ábr) vg két különböző közös pontjuk vn, zz metszi (7. ábr) (A metszéspontokt megkphtjuk kör egenletéből és z egenes egenletéből álló rendszer megoldásából, mi tuljdonképpen eg másodfokú egenlet megoldásához vezet vissz, tehát innen is következtethetünk metszéspontok lehetséges számár.) 5. ábr 6. ábr 7. ábr A dott pontbn húzott érintő és normális egenletei ielőtt körhöz húzott érintő egenletét felírnánk, tekintsünk eg A + B + C + D + E + F = egenletű görbét és htározzuk meg z (, ) pontjábn húzott érintő egenletét. Az egenletből kifejezhető függvéneként. Íg, h z egenlet bl oldlát, mint függvénét tekintjük és deriváljuk, kpjuk: A + B + C + C + D + E =, honn n A + c + D = tő iránténezője B + C + E, tehát z (, ) pontbn húzott érin A + c + D m = egenlete: B + C + E, tehát z érintő A + c + D = B + C + E A + B + C + + D + E A + B + C ( 6) Tehát A ( ) ( ) ( ) ( ) ivel (, ) görbe pontj, következik, hog teljesíti z () összefüggést. + B + C = D E F

12 3 értni helek ( ) ( ) ( ) Innen (6) A + B + C + + D + + E + + F = A + B + C + D + E + F = (7) Ez utóbbi összefüggést nevezzük z érintő duplázott egenletének, mert görbe egenletéből z,,, és helettesítésekkel kpjuk. e Íg z () egenletű körhöz z (, ) C pontbn húzott érintő n egenlete: + = r (8) Értelmezés. Eg görbe dott pontjábn húzott érintőre merőleges egenest görbe ezen pontjához trtozó normálisánk nevezzük. (8. ábr) A (8) egenletből zonnl írhtjuk, hog z () egenletű körhöz z (, ) C pontbn húzott normális egenlete = (9) Pont körre vontkozó htván 8. ábr Feldt. Eg dott kört metszünk eg dott ponton át húzott egenessel. Számítsuk ki z pont és metszéspontok áltl meghtározott szkszok hosszánk szorztát. A B A B T O 9. ábr 3. ábr egoldás. Vegünk fel eg koordinátrendszert úg, hog z origój kör O középpontjáb kerüljön. Jelöljük z és z A vlmint B metszéspontok koordin,, B,. átáit következőképpen: ( ), A ( ) és ( ) ivel z, A és B pontok kollineárisk, írhtjuk, hog A B, h Et( C ) A B A B = = A B,h Int( C )., h C A B = + ( )( ) ( )( ) = = =

13 értni helek = ( )( ) ( )( ) = A OA + OB + + r = + r. Ez utóbbi egenlőségnél hsználtuk, hog z OA + OB vektor átmeg z AB húr felező pontján, tehát merőleges rr,, A és B kollineárisk, íg A ( OA + OB) A ( OA + OB) = vlmint mivel A C + =. Tehát bebizonítottuk, hog A B = + r, ez pedig nem r ( ) függ z egenes megválsztásától, csk z pont helzetétől és kör sugrától. H érintőt húzunk z pontból körhöz, kkor ez z érintő szksz hosszánk négzete. Ezt z állndót z pont C körre vontkozó htvánánk nevezzük. O r, h Et( C ) Tehát ρ = r O, h Int( C )., h C Feldt. Htározzuk meg zon pontok mért ni helét, meleknek két dott körre vontko zó htván egenlő. (Tekintsük csk zt z esetet, h mindkét körre nézve külső pont, vg mindkét körre nézve belső pontról vn szó.) egoldás. Vegünk fel eg koordinátrendszert úg, hog z O tengel két kör középpontját összekötő egenes legen. Ekkor körök középpontjink koordinátái: O o. Azon (, ) pontokt keressük, melekre O ( o, ) és (, ) ( ) ( ) o + r = o + r, hol r és r körök sugri. Az előbbi összefüggésből pedig kpjuk, hog z pont koordinátáir o o r + r ( o o) + r r o + o = = (h o o o o, zz h ( ) nem koncentrikusk körök.) Tehát mértni hel eg O -nl párhuzmos egenes, zz eg oln egenes, mel merőleges z OO egenesre. Ezt z egenest két kör htvántengelének nevezzük. T T T T O O O O 3. ábr 3. ábr

14 3 értni helek egjegzések.. H körök nem metszik egmást, kkor htvántengel zon pontok mértni hele, melekből két körhöz húzhtó érintő szkszok hossz egenlő.. H körök két különböző pontbn metszik egmást, kkor htvántengel metszéspontok áltl meghtározott egenes. (3. ábr) 3. H körök érintik egmást, kkor htvántengel közös érintő. (33. ábr) 4. H körök sugri egenlők, kkor htvántengel középpontok áltl meghtározott szksz felezőmerőlegese. (34. ábr) 5. H körök koncentrikusk, kkor nincs htvántengelük. T T T T O O O O 33. ábr 34. ábr Gkorltok és feldtok. A kör következő egenleteiből htározd meg kör középpontját és sugrát: ) + 4 = b) = c) = d) =. Írd fel z ( 3, ) középpontú és d = 8 átmérőjű kör egenletét! Írd fel z = bszcisszájú pontjibn húzhtó érintőinek egenletét! 3. Htározd meg z + 4 = egenletű kör középpontjánk koor- és sugrát! Í rd fel körhöz z ( 3, 7) pontból húzhtó érintők egenletét! dinátáit 4. Htározd meg z ABC köré írt kör egenletét, h csúcsok koordinátái: A(, ), B (, 5) és C ( 6, 3). 5. Htározd meg zon kör egenletét, melnek középpontj ( 6, 7) és érintője z 5 4 = egenletű egenes! 6. Írd fel z = kör + = egenesre merőleges normálisánk egenletét. 7. Eg ( 3, ) középpontú kör = egenletű egenesen eg 6 hosszúságú húrt htároz meg. Írd fel kör egenletét!

15 értni helek Eg O középpontú kör AB átmérőjének hossz 4 ( > ). kör eg változó pontj. ) Írd fel z AO és BO háromszög ek köré írt P illetve Q középpontú körök egenletét; b) Bizonítsd be, hog P és Q pontok AB egenestől mért távolságink szorzt állndó és AP BQ. c) Htározd meg z AP és BQ egenesek metszéspontjánk mértni helét! 9. Htározd meg d : cosα + = és d : cosα = ( α ) egenesek metszéspontjánk mértni helét Az ellipszis Htározzuk meg zon pontok mértni helét, meleknek két dott ponttól mért távolságink összege állndó és ngobb, mint ez távolság. ielőtt számolni kezdenénk, próbáljuk elképzelni ezt m értni helet. Rögzítsük le ezt z összeget és vágjunk eg ilen hosszúságú mdzgot. H lerögzítjük két végét z dott pontokb és kifeszítjük mdzgot, kkor kifeszítési pont távolságink összege z dott pontoktól egenlő mdzg 35. ábr hosszávl, zz ez eg pontj mértni helnek. Íg h eg ceruzávl feszítjük ki és minden ilen ponton végighúzzuk, kkor kirjzolódik mértni hel. (35. és 36. ábrák) Az íg kpott lkztot nevezzük ellipszisnek. Értelmezés. Azon pontok mértni helét, meleknek két dott ponttól mért távolságink összege állndó és ngobb, mint pontok közti távolság ellipszisnek nevezzük. Az dott pontokt pedig z ellipszis fókuszink vg gújtópontjink. 36.ábr A fókuszok áltl meghtározott egenest fokális tengelnek, fókuszok és z ellipszis eg tetszőleges pontj áltl meghtározott szkszokt pedig vezérsugrknk nevezzük. egjegzés. H fókuszok egbeesnek, kkor tuljdonképpen eg pont körül forgtjuk ceruzát és ekkor mértni hel eg kör lesz, tehát kör eg sjátos ellipszis. Htározzuk meg z ellipszis egenletét. Az ellipszis egenletei Az ellipszis knonikus egenlete Először eg oln ellipszis egenletét htározzuk meg, melnek fókuszi z O tengelen helezkednek el szimmetrikusn z origór. Tehát legenek F (,) c és F ( c, ) fókuszok és z állndó összeg (37. ábr). Ekkor eg (, ) pont pontosn kkor vn rjt z ellipszisen, h

16 34 értni helek ( ) ( ) c c + = ( c) ( c) 4 + = 4 + ( + c) < ()) ( + c) + = + c (( + c) + ) = ( + c) (menniben + c ()) ( c ) ( c ) + = ( c) + = ( + c) + 4 ( c) + + (menniben -b B + = (3). c Können ellenőrizhető, hog h és 37. ábr teljesítik z előbbi feltételt, kkor fennállnk z () és () egenlőtlenségek is, tehát (3) összefüggés z ellipszis egenlete. Azonnl láthtó, hog z ellipszis O tengelen levő B és B pontji eg enlő távolságr vnnk fókuszoktól és ez távolság. Íg h b B pont ordinátáj, kkor z OBF -ből b = c, innen z ellipszis egenlete következővé lkul: E : + = (4) b Ez z ellipszis implicit vg knonikus egenlete. Sőt z is beláthtó, hog h (, ) E, kkor (, ),(, ),(, ) E, tehát z ellipszis szimmetrikus tengelekre és z origór nézve. Az O tengelen fekvő A és A pontjir = AF + AF = A F + AF = AA, tehát z A illetve A - -c c A F O F bszcisszáj illetve. Azt mondjuk, hog AA z ellipszis ngtengele és BB z ellipszis kistengele. Íg fél ngtengel hossz, míg b fél kistengel hossz. O z ellipszis középpontj és fókuszok középponttól mért c távolságát nevezzük z ellipszis lineáris ecentricitásánk, lineáris ecentricitás és fél ngtengel hándosát pedig numerikus ecentricitásnk nevezzük és e -v el jelöljük, tehát c b e = =. Az ellipszis fókuszán átmenő és ngtengelre merőleges húr félhosszúságát z ellipszis prméterének szokás nevezni. A p prmétert z ellipszis b (3) egenletéből =± c helettesítéssel kpjuk: p =. Az ellipszis csúcsegenlete H z ellipszist párhuzmosn eltoljuk z (,) vektorrl, kkor z egenlete követ- ( ) b b p kezővé lkul: + = = E : = p (5). b Ezt nevezzük z ellipszis csúcsegenletének. b B A

17 értni helek 35 b - A -c F r B b O -b B c p r c F A 38.ábr: Az ellipszis dti F, F fókuszok O szimmetri-középpont FF fokális tengel FF = c fókusztávolság c lineáris ecentricitás AA = ngtengel fél ngtengel BB = b kistengel b fél kistengel r, r vezérsugrk ( r + r = ) p prméter Az O (, ) középpontú koordinát- tengelekkel párhuzmos tengelű ellipszis knonikus egenlete H z ellipszist páthuzmosn eltoljuk z (, ) vektorrl (39. ábr), kkor z ellipszis egenlete E ( ) ( ) : + = (6) lkú lesz b F O O c A 39. ábr F Az origó középpontú α Nézzük csk meg, mit jelent koordináták szempontjából, h elforgtunk vlmit α szöggel. A legegszerűbb, h felírjuk pontok ffiumit. Ekkor X. osztálból tudjuk, hog z + i ffiumú pont α szöggel vló pozitív trigonometrikus iránb történő origó körüli forgtás esetén z ( + i)(cosα+ isin α) ffiumú pontb kerül. Tehát z (, ) pont forgtás utáni koordinátái ( cos α sin α, sin α + cos α). Tehát szöggel elforgtott ellipszis egenlete ellipszisünket visszforgtjuk z eredetibe, kkor z ( ) cos( α) sin( α), sin( α) + cos( α ) = ( cos α+ sin α, sin α+ cos α) pontb kerül és erre felírv knonikus egenletet, kpjuk: ( cos α + sin α) ( sin α + cos α + ) b h z F O 4. ábr (, ) pontj z = (7), F α

18 36 értni helek ez utóbbi pedig z origó körül α szöggel elforgtott ellipszis egenlete Áltlános helzetű ellipszis egenlete Beláthtó, hog eg tetszőleges ellipszist megkphtunk eg origó középpontú koordináttengeleken fekvő kis- és ngtengelű ellipszisből eg forgtássl és eg párhuzmos eltolássl (lásd 4. ábrát). Legen forgtás szöge α és z eltolás- vektor z (, ). Ekkor z ellipszis egenlete: (( ) cos α+ ( ) sin α) ( ( ) sin α+ ( ) cos α) Az ellipszis prméteres egenletei H megfigeljük (4) egenletet, kijelenthetjük, hog = cos ϕ és = sin ϕ, innen b = cos ϕ, ϕ [, π ) (9) = bsin ϕ z ellipszis prméteres egenletei Ekkor z O (, ) O α F F 4. ábr + = (8) b! ϕ [, π) úg, hog középpontú koordináttengelekkel párhuzmos tengelű ellipszis prméteres egenletei: = + cos ϕ, ϕ [, π ) () = + bsin ϕ Az origó középpontú α szöggel elforgtott ellipszis prméteres egenletei: cos α+ sin α = cos ϕ sin α cos α sin ϕ = cos αcos ϕ bsin αsin ϕ + = = sin αcos ϕ + bcos αsin ϕ () Áltlános helzetű ( szöggel elforgtott és (, ) vektorrl párhuzmosn eltolt) α ellipszis prméteres egenletei: = + cos αcos ϕ bsin αsin ϕ () = + sin αcos ϕ + bcos αsin ϕ Felvetődik kérdés, hog z (, ) E pont ismeretében megszerkeszthető-e ϕ szög?

19 értni helek 37 Tekintsük (4) egenletű ellipszist. Ekkor eg oln ϕ szöget keresünk, melre = cos ϕ és = sin ϕ. b Egelőre z első negedben vizsgálódunk. Ehhez kellene eg befogójú és befogójú és b átfogójú illetve eg átfogójú háromszög. Szerkesszük meg z origó középpontú és kis illetve ng féltengel sugrú köröket (ld. 4. ábrát). Vetítsük z pontot tengelekre ( és - O A F vetületek tlppontji). Legenek D illetve E z O -re húzott merőleges és ng kör vlmint z O -r húzott merőleges és kis kör 4. ábr metszéspontji. Beláthtó, hog ekkor z O D és OE derékszögű háromszögekből cos( OD ) = és cos( OE ) =. ivel mindkét szög z első negedben b vn és + =, következik, hog m ( OE ) = m( OD ) = ϕ. Tehát b megszerkesztettük ϕ szöget. Hsonlón járunk el többi negedben is. Az ellipszis belső illetve külső trtomán Az ellipszis síkot két diszjunkt trtománr bontj fel. A belső pontok hlmzát (z ellipszis belsejét vg belső trtománát) Int( E )-vel és külső pontok hlmzát (z ellipszis külső trtománát) f :, E Et(E ) -vel F f (, ) = + kétváltozós függvént. Ekkor felírhtjuk, hog: b = {(, ) f(, ) = } {, f } { f } Int( E ) = ( ) (, ) < Et( E ) = (, ) (, ) > Egenes és ellipszis kölcsönös helzetei Int( E ) E b -b B B ϕ E D A jelöljük (43. ábr). Tekintsük z Et( E ) 43. ábr Eg egenes és eg ellipszis három különböző kölcsönös helzetben lehet: nincs közös pontjuk (44. ábr), eg közös pontjuk vn, zz érinti (45. ábr) vg két különböző közös pontjuk vn, zz metszi (46. ábr) (A metszéspontokt megkphtjuk z ellipszis egenletéből és z egenes egenletéből álló rendszer

20 38 értni helek megoldásából, mi tuljdonképpen eg másodfokú egenlet megoldásához vezet vissz, tehát innen is következtethetünk metszéspontok lehetséges számár.) 44. ábr 45. ábr 46. ábr Adott pontbn húzott érintő és normális egenlete Duplázássl zonnl írhtjuk, hog (4) egenletű ellipszishez z (, ) pontbn húzott érintő egenlete: + = (4) b (47. ábr). A (3) egenlet lpján normális egenlete: b = b (5.) 47. ábr Gkorltok és feldtok. Írd fel z ellipszis egenletét z lábbi esetekben, mjd ábrázold is: ) fókuszok F (, ) és F (, ), ng féltengel = 5 ; b) z egik fókusz F (, ), középpont C (, 4) és ng féltengel = ; c) középpontj z origó, tengelei koordináttengelek és átmeg z 9 A 4, 5 és A 3, pontokon; 5 d) ngtengele 6, fókuszi F ( 4, ) és F (, ).. Írd fel = ellipszis knoniku s egenletét. 3. Htározd meg = 676 egenletű ellipszis = 5 bszcisszájú pontjához húzott érintő egenletét. 4. Bizonítsd be, hog h eg O középpontú, F és F fókuszú ellipszis tetszőleges pontj, kkor F F + O = + b, hol illetve b ng illetve kis féltengel hossz. 5. Bizonítsd be, hog z összes oln háromszög közül, meleknek z egik oldl rögzített és kerületük állndó, z egenlőszárú háromszög területe legngobb. 6. Bizonítsd be, hog z ellipszishez dott pontbn húzott érintő és normális vezérsugrk áltl meghtározott szög külső illetve belső szögfelezői. (Ezt z ellipszis optiki tuljdonságánk is szokták nevezni, mert ennek következtében z ellipszis egik fókuszábn elhelezett fénforrásból kiinduló tetszőleges fénsugár z ellipszisről (elliptikus tükörről) történő visszverődés után másik fókuszon fog átmenni)

MATEMATIKA FELZÁRKÓZTATÓ TANFOLYAM

MATEMATIKA FELZÁRKÓZTATÓ TANFOLYAM MATEMATIKA FELZÁRKÓZTATÓ TANFOLYAM Felhsznált segédletek, példtárk:. Nemzetközi Elıkészítı Int. NEI. Összefoglló feldtgőjtemén ÖF. Szécheni István Fıiskol Távokt. SzIT. Mőszki Fıiskol Példtár MFP Szent

Részletesebben

Függvények, 7 8. évfolyam

Függvények, 7 8. évfolyam Függvének, 7 8. évfolm Orosz Gul 01. június 8. TARTALOMJEGYZÉK Trtlomjegzék Feldtok 7 1. Grfikonok................................... 7. Geometrii trnszformáiók.......................... 19 3. Geometrii

Részletesebben

5. A logaritmus fogalma, a logaritmus azonosságai

5. A logaritmus fogalma, a logaritmus azonosságai A ritmus foglm ritmus zonossági I Elméleti összefoglló H > 0 > 0 > 0 vlós számok és n tetszőleges vlós szám kkor 0 n n H > 0 > 0 > 0 vlós számok kkor H > kkor z f( ) kkor z f( ) függvén szigorún monoton

Részletesebben

hajlító nyomaték és a T nyíróerő között ugyanolyan összefüggés van, mint az egyenes rudaknál.

hajlító nyomaték és a T nyíróerő között ugyanolyan összefüggés van, mint az egyenes rudaknál. 5 RÚDELADATOK 51 íkgörbe rudk Grhof 1 -féle elmélete íkgörbe rúd: rúd köépvonl ( ponti ál) íkgörbe e P n e t Jelöléek: A köépvonl mentén pontokt ívkoordinátávl onoítjuk Pl P pont A P pontbn (P pontho trtoó

Részletesebben

Minta feladatsor I. rész

Minta feladatsor I. rész Mint feldtsor I. rész. Írj fel z A számot htványként! A / pont/. Mekkor hosszúságú dróttl lehet egy m m-es tégllp lkú testet z átlój mentén felosztni két derékszögű háromszögre? Adj meg hosszúságot mértékegységgel!

Részletesebben

F.I.1. Vektorok és vektorműveletek

F.I.1. Vektorok és vektorműveletek FI FÜGGELÉK: FI Vektorok és vektorműveletek MATEMATIKAI ÖSSZEFOGLALÓ Skláris menniség: oln geometrii vg fiiki menniség melet ngság (előjel) és mértékegség jelleme Vektor menniség: iránított geometrii vg

Részletesebben

Gyakorló feladatsor 11. osztály

Gyakorló feladatsor 11. osztály Htvány, gyök, logritmus Gykorló feldtsor 11. osztály 1. Számológép hsznált nélkül dd meg z lábbi kifejezések pontos értékét! ) b) 1 e) c) d) 1 0, 9 = f) g) 7 9 =. Számológép hsznált nélkül döntsd el, hogy

Részletesebben

EMELT SZINTÛ FELADATSOROK

EMELT SZINTÛ FELADATSOROK EMELT SZINTÛ FELADATSOROK. Feldtsor / A megoldások. A bl oldlon álló tört értelmezési trtomán : ³ 0, ¹ 0, zz 0, 0,. Bõvítjük törtet z + összeggel: = 0, íg hándosuk

Részletesebben

II. EGYENLETEK ÉS EGYENLŐTLENSÉGEK

II. EGYENLETEK ÉS EGYENLŐTLENSÉGEK Egyenletek és egyenlőtlenségek 5 II EGYENLETEK ÉS EGYENLŐTLENSÉGEK Az idők folymán ngyon sok gykorlti problém merült fel, melynek megoldásához egyenletekre volt szükség A mi egyszerű és tömör mtemtiki

Részletesebben

A 2013/2014. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny első forduló MATEMATIKA I. KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA) Javítási-értékelési útmutató

A 2013/2014. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny első forduló MATEMATIKA I. KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA) Javítási-értékelési útmutató Okttási Hivtl A 013/014 tnévi Országos Középiskoli Tnulmányi Verseny első forduló MATEMATIKA I KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA) Jvítási-értékelési útmuttó 1 Oldj meg vlós számok hlmzán egyenletet! 3 5 16 0

Részletesebben

VI. Kétismeretlenes egyenletrendszerek

VI. Kétismeretlenes egyenletrendszerek Mtemtik A 9. évfolm 7. modul: EGYENLETEK Tnári kézikönv VI. Kétismeretlenes egenletrendszerek Behelettesít módszer Mintpéld Két testvér érletpénztárnál jeget vásárol. Az egik vonljegért és eg átszálló

Részletesebben

4 x. Matematika 0 1. előadás. Végezzük el a műveleteket! Alakítsuk szorzattá a következő kifejezéseket! 5. Oldjuk meg az alábbi egyenleteket!

4 x. Matematika 0 1. előadás. Végezzük el a műveleteket! Alakítsuk szorzattá a következő kifejezéseket! 5. Oldjuk meg az alábbi egyenleteket! Mtemtik 0. elődás Végezzük el műveleteket!. 6... Alkítsuk szorzttá következő kifejezéseket!. 8 6 6. 7. 8. y Oldjuk meg z lái egyenleteket! 9. 0. 7 0 7 6. 7. Egy kétjegyű szám számjegyeinek összege. H felseréljük

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Exponenciális és Logaritmusos feladatok

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Exponenciális és Logaritmusos feladatok MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Eponenciális és Logritmusos feldtok A szürkített hátterű feldtrészek nem trtoznk z érintett témkörhöz, zonbn szolgálhtnk fontos információvl z

Részletesebben

Síkbeli egyenesek. 2. Egy egyenes az x = 1 4t, y = 2 + t parméteres egyenletekkel adott. Határozzuk meg

Síkbeli egyenesek. 2. Egy egyenes az x = 1 4t, y = 2 + t parméteres egyenletekkel adott. Határozzuk meg Analitikus mértan 3. FELADATLAP Síkbeli egyenesek 1. Írjuk fel annak az egyenesnek a paraméteres egyenleteit, amely (i) áthalad az M 0 (1, 2) ponton és párhuzamos a a(3, 1) vektorral; (ii) áthalad az origón

Részletesebben

Középiskolás leszek! matematika. 13. feladatsor 1. 2. 3. 4. 5. 6.

Középiskolás leszek! matematika. 13. feladatsor 1. 2. 3. 4. 5. 6. Középiskolás leszek! mtemtik Melyik számot jelentheti A h tudjuk hogy I felennyi mint S S egyenlõ K és O összegével K egyenlõ O és L különbségével O háromszoros L-nek L negyede 64-nek I + S + K + O + L

Részletesebben

II. A számtani és mértani közép közötti összefüggés

II. A számtani és mértani közép közötti összefüggés 4 MATEMATIKA A 0. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE II. A számtni és mértni közép közötti összefüggés Mintpéld 6 Számítsuk ki következő számok számtni és mértni közepeit, és ábrázoljuk számegyenesen számokt és közepeket!

Részletesebben

823. A helyesen kitöltött keresztrejtvény: 823. ábra. 823. A prímek összege: 2+ 5+ 2= 9; 824. a) 2 1, 2 4, 5 3, 3 5, 2$ 825.

823. A helyesen kitöltött keresztrejtvény: 823. ábra. 823. A prímek összege: 2+ 5+ 2= 9; 824. a) 2 1, 2 4, 5 3, 3 5, 2$ 825. Egész kitevôjû htváok 7 8 A helese kitöltött keresztrejtvé: 8 ár 8 A rímek összege: + + 9 8 ) $ $ 8 ) $ $ 9$ $ 7 $ $ 0 c) $ ( + ) ( + ) 8 ) $ $ k ( - ) - - - ) r s - 7 m k l ( + ) 7 8 ( - ) 8 ( + ) 7 (

Részletesebben

Geometriai transzformációk, transzformációs egyenletek és alkalmazásuk a geoinformatikában

Geometriai transzformációk, transzformációs egyenletek és alkalmazásuk a geoinformatikában Geometrii trnszformációk, trnszformációs egenletek és lklmzásuk geoinformtikán Szkdolgozt Bódis Ktlin Szeged 999 Trtlomjegzék Trtlomjegzék Bevezetés.... Feldtok...5. A Föld felszínének sík vló leképezése...5.

Részletesebben

Ptolemaios-tétele, Casey-tétel, feladatok

Ptolemaios-tétele, Casey-tétel, feladatok Kutov ntl Ptolemios, sey, feldtok Kutov ntl (Kposvár) Ptolemios-tétele, sey-tétel, feldtok Ptolemios-tétel: H egy konvex négyszög szemközti oldli és, ill. és d; átlói e és f, kkor + d e f. Egyenlőség kkor

Részletesebben

Hatványozás és négyzetgyök. Másodfokú egyenletek

Hatványozás és négyzetgyök. Másodfokú egyenletek Defiíció: R, Z Htváyozás és égyzetgyök 0 h 0... ( téyezős szorzt) h h 0, 0. A htváyozás zoossági: : m ( ) m m m m m Defiíció: Az x vlós szám ormállkják evezzük z hol 0 és egész szám. 0 kifejezést, h x

Részletesebben

Informatika alapjai Tantárgyhoz Kidolgozott Excel feladatok

Informatika alapjai Tantárgyhoz Kidolgozott Excel feladatok SZENT ISTVÁN EGYETEM Gépészmérnöki Kr Orov Lászlóné dr. Informtik lpji Tntárgyhoz Kidolgozott Ecel feldtok Gödöllı, 8. Bevezetı Ez feldtgyőjtemény összefogllj z Informtik lpji tntárgy keretében okttott,

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Koordináta-geometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Koordináta-geometria MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Koordináta-geometria A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT. Koordináta-geometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT. Koordináta-geometria MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT 1) Adott két pont: A 4; 1 felezőpontjának koordinátáit! AB felezőpontja legyen F. Koordináta-geometria és B 3 1; Írja fel az AB szakasz 1 3 4

Részletesebben

Végeredmények, emelt szintû feladatok részletes megoldása

Végeredmények, emelt szintû feladatok részletes megoldása Végeredmények, emelt szintû feldtok részletes megoldás I. gyökvonás. gyökfoglom kiterjesztése. négyzetgyök lklmzási. számok n-edik gyöke 5. z n-edik gyökfüggvény, z n-edik gyök lklmzás 6 II. Másodfokú

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Egyenletek, egyenletrendszerek

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Egyenletek, egyenletrendszerek 1) MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Egenletek, egenletrendszerek A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval

Részletesebben

Lineáris programozás

Lineáris programozás Lieáris progrmozás Lieáris progrmozás Lieáris progrmozás 2 Péld Egy üzembe 4 féle terméket állítk elő 3 féle erőforrás felhszálásávl. Ismert z erőforrásokból redelkezésre álló meyiség (kpcitás), termékek

Részletesebben

Exponenciális és logaritmikus egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlôtlenségek

Exponenciális és logaritmikus egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlôtlenségek Eponenciális és logritmikus egyenletek, Eponenciális és logritmikus egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlôtlenségek Eponenciális egyenletek 60 ) = ; b) = ; c) = ; d) = 0; e) = ; f) = ; g) = ; h) =- 7

Részletesebben

A VI. FEKETE MIHÁLY EMLÉKVERSENY

A VI. FEKETE MIHÁLY EMLÉKVERSENY A VI. FEKETE MIHÁLY EMLÉKVERSENY Elődó: Bgi Márk Elődás címe: Csillgászti elődás és kvíz A versenyzők feldtmegoldásokon törik fejüket. 88 VI. FEKETE MIHÁLY EMLÉKVERSENY Zent, 008. december. 9. évfolym.

Részletesebben

GAZDASÁGI MATEMATIKA I.

GAZDASÁGI MATEMATIKA I. GAZDASÁGI MATEMATIKA I.. A HALMAZELMÉLET ALAPJAI. Hlmzok A hlmz, hlmz eleme lpfoglom (nem deniáljuk ket). Szokásos jelölések: hlmzok A, B, C (ngy bet k), elemek, b, c (kis bet k), trtlmzás B ( eleme z

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára 8. évfolym Mt2 feldtlp MATEMATIKA FELADATLAP 8. évfolymosok számár 15:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll dolgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feldtokt tetszés szerinti sorrenden oldhtod meg.

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára 8. évfolym Mt2 feldtlp MATEMATIKA FELADATLAP 8. évfolymosok számár 15:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll dolgozz! Zsebszámológépet nem hsználhtsz. A feldtokt tetszés szerinti sorrendben oldhtod meg.

Részletesebben

A lecke célja: A tananyag felhasználója megismerje az erőrendszerek egyenértékűségének és egyensúlyának feltételeit.

A lecke célja: A tananyag felhasználója megismerje az erőrendszerek egyenértékűségének és egyensúlyának feltételeit. modul: Erőrendserek lecke: Erőrendserek egenértékűsége és egensúl lecke célj: tnng felhsnálój megsmerje erőrendserek egenértékűségének és egensúlánk feltételet Követelmének: Ön kkor sjátított el megfelelően

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Síkgeometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Síkgeometria MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Síkgeometri A szürkített hátterű feldtrészek nem trtoznk z érintett témkörhöz, zonbn szolgálhtnk fontos információvl z érintett feldtrészek megoldásához!

Részletesebben

14. modul Számtani és mértani közép, nevezetes egyenlőtlenségek

14. modul Számtani és mértani közép, nevezetes egyenlőtlenségek MATEMATIKA A 10. évfolym 14. modul Számtni és mértni közép, nevezetes egyenlőtlenségek Készítette: Vidr Gábor Mtemtik A 10. évfolym 14. modul: Számtni és mértni közép, nevezetes egyenlőtlenségek A modul

Részletesebben

Juhász István Orosz Gyula Paróczay József Szászné Dr. Simon Judit MATEMATIKA 10. Az érthetõ matematika tankönyv feladatainak megoldásai

Juhász István Orosz Gyula Paróczay József Szászné Dr. Simon Judit MATEMATIKA 10. Az érthetõ matematika tankönyv feladatainak megoldásai Juhász István Orosz Gyul Próczy József Szászné Dr Simon Judit MATEMATIKA 0 Az érthetõ mtemtik tnkönyv feldtink megoldási A feldtokt nehézségük szerint szinteztük: K középszint, könnyebb; K középszint,

Részletesebben

7. tétel: Elsı- és másodfokú egyenletek és egyenletrendszerek megoldási módszerei

7. tétel: Elsı- és másodfokú egyenletek és egyenletrendszerek megoldási módszerei 7. tétel: Elsı- és másodfokú egyenletek és egyenletrendszerek megoldási módszerei Elsıfokú függvények: f : A R A R, A és f () = m, hol m; R m 0 Az elsıfokú függvény képe egyenes. (lásd késı) m: meredekség,

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára 8. évfolym Mt1 feldtlp MATEMATIKA FELADATLAP 8. évfolymosok számár 11:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll dolgozz! Zsebszámológépet nem hsználhtsz. A feldtokt tetszés szerinti sorrendben oldhtod meg.

Részletesebben

Gyakorló feladatsor 9. osztály

Gyakorló feladatsor 9. osztály Gykorló feldtsor 9. osztály Hlmzok. Sorold fel z lábbi hlmzok elemeit! ) A={ legfeljebb kétjegyű 9-cel oszthtó páros pozitív számok} b) B={:prímszám, hol < 7} c) C={b=n+, hol nϵz és- n

Részletesebben

Házi feladatok megoldása. Harmadik típusú nyelvek és véges automaták. Házi feladatok megoldása. VDA-hoz 3NF nyelvtan készítése

Házi feladatok megoldása. Harmadik típusú nyelvek és véges automaták. Házi feladatok megoldása. VDA-hoz 3NF nyelvtan készítése Hrmdik típusú nyelvek és véges utomták Formális nyelvek, 10. gykorlt Házi feldtok megoldás 1. feldt Melyik nyelvet fogdj el következő utomt? c q 0 q 1 q 2 q 3 q 1 q 4 q 2 q 4 q 2 q 0 q 4 q 3 q 3 q 4 q

Részletesebben

Nevezetes középértékek megjelenése különböző feladatokban Varga József, Kecskemét

Nevezetes középértékek megjelenése különböző feladatokban Varga József, Kecskemét Vrg József: Nevezetes középértékek megjeleése külöböző feldtokb Nevezetes középértékek megjeleése külöböző feldtokb Vrg József, Kecskemét Hrmic éves tári pályámo sokszor tpsztltm, hogy tehetséges tulók

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2007. október 25. KÖZÉPSZINT I.

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2007. október 25. KÖZÉPSZINT I. MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 007. október 5. KÖZÉPSZINT I. ) Az A hlmz elemei háromnál ngyobb egyjegyű számok, B hlmz elemei pedig húsznál kisebb pozitív pártln számok. Sorolj fel z hlmz elemeit! ( pont) A B AB

Részletesebben

Vektoralgebra előadás fóliák. Elméleti anyag tételek, definíciók, bizonyítás vázlatok. Bércesné Novák Ágnes 1. Források, ajánlott irodalom:

Vektoralgebra előadás fóliák. Elméleti anyag tételek, definíciók, bizonyítás vázlatok. Bércesné Novák Ágnes 1. Források, ajánlott irodalom: Bevezetés számítástudomány mtemtiki lpji Vektorlger elődás fóliák Elméleti nyg tételek, definíciók, izonyítás vázltok Bércesné Novák Ágnes Források, jánlott irodlom: Hjós György: Bevezetés geometriá, Tnkönyvkidó,

Részletesebben

10.3. A MÁSODFOKÚ EGYENLET

10.3. A MÁSODFOKÚ EGYENLET .. A MÁSODFOKÚ EGYENLET A másodfokú egenlet és függvén megoldások w9 a) ( ) + ; b) ( ) + ; c) ( + ) ; d) ( 6) ; e) ( + 8) 6; f) ( ) 9; g) (,),; h) ( +,),; i) ( ) + ; j) ( ) ; k) ( + ) + 7; l) ( ) + 9.

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Mtemtik emelt szint 1111 ÉRETTSÉGI VIZSGA 011. május. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ NEMZETI ERŐFORRÁS MINISZTÉRIUM Formi előírások: Fontos tudnivlók 1.

Részletesebben

Tehát a lejtő hossza 90 méter. Hegyesszögek szögfüggvényei. Feladat: Megoldás: α = 30 h = 45 m s =? s = 2h = 2 45m s = 90m

Tehát a lejtő hossza 90 méter. Hegyesszögek szögfüggvényei. Feladat: Megoldás: α = 30 h = 45 m s =? s = 2h = 2 45m s = 90m Hegyesszögek szögfüggvényei Feldt: Kovás slád hétvégén kirándulni ment. Az útjuk során egy 0 -os emelkedőhöz értek. Milyen hosszú z emelkedő, h mgsság 45 méter? Megoldás: Rjzoljuk le keletkezett háromszöget!

Részletesebben

Sokszínû matematika 12. A KITÛZÖTT FELADATOK EREDMÉNYE

Sokszínû matematika 12. A KITÛZÖTT FELADATOK EREDMÉNYE Sokszínû matematika. A KITÛZÖTT FELADATOK EREDMÉNYE Számsorozatok SOKSZÍNÛ MATEMATIKA A KITÛZÖTT FELADATOK EREDMÉNYE. A számsorozat fogalma, példák sorozatokra. A pozitív páros számok sorozatának n-edik

Részletesebben

Sokszínû matematika 9. A KITÛZÖTT FELADATOK EREDMÉNYE

Sokszínû matematika 9. A KITÛZÖTT FELADATOK EREDMÉNYE Sokszínû matematika 9. A KITÛZÖTT FELADATOK EREDMÉNYE Összeállította: FRÖHLICH LAJOS gimnáziumi tanár A Kombinatorika, halmazok c. fejezetet szakmailag ellenõrizte: DR. HAJNAL PÉTER egetemi docens Tartalom

Részletesebben

1012/I. 1012/II. 1013.

1012/I. 1012/II. 1013. Húrnégyszögek, érintônégyszögek 7 0/ 0/ 0 008 Külsô pontól körhöz húzott érintôszkszok egyenlôk & A sokszög egy-egy csúcsáól induló érintôszkszok egyenlôk és két szomszédos oldl drji & Minden egyes érintôszkszól

Részletesebben

Perspektíva (Kidolgozott feladatok)

Perspektíva (Kidolgozott feladatok) Perspektí (idolgozott feldtok) 1. feldt z 1.. ábrán egy épület két etületét (megfelelõ kicsinyítésben) és etítõ rendszert dtk meg. Szerkesszünk perspektí képet! megoldás során z átmetszõ módszert sználjk

Részletesebben

Árki Tamás Konfárné Nagy Klára Kovács István Trembeczki Csaba Urbán János. sokszínû FELADATGYÛJTEMÉNY MEGOLDÁSOK. Mozaik Kiadó Szeged, 2009

Árki Tamás Konfárné Nagy Klára Kovács István Trembeczki Csaba Urbán János. sokszínû FELADATGYÛJTEMÉNY MEGOLDÁSOK. Mozaik Kiadó Szeged, 2009 Árki Tmás Konfárné Ng Klár Kovács István Trembeczki sb Urbán János sokszínû FELDTGYÛJTEMÉNY MEGOLDÁSOK 0 Mozik Kidó Szeged, 009 TRTLOMJEGYZÉK TRTLOMJEGYZÉK Megoldások 0. évfolm 0.. Gondolkodási módszerek

Részletesebben

Geometria. a. Alapfogalmak: pont, egyenes, vonal, sík, tér (Az alapfogalamakat nem definiáljuk)

Geometria. a. Alapfogalmak: pont, egyenes, vonal, sík, tér (Az alapfogalamakat nem definiáljuk) 1. Térelemek Geometria a. Alapfogalmak: pont, egyenes, vonal, sík, tér (Az alapfogalamakat nem definiáljuk) b. Def: félegyenes, szakasz, félsík, féltér. c. Kölcsönös helyzetük: i. pont és (egyenes vagy

Részletesebben

Háromszögek ismétlés Háromszög egyenlőtlenség(tétel a háromszög oldalairól.) Háromszög szögei (Belső, külső szögek fogalma és összegük) Háromszögek

Háromszögek ismétlés Háromszög egyenlőtlenség(tétel a háromszög oldalairól.) Háromszög szögei (Belső, külső szögek fogalma és összegük) Háromszögek 2013. 11.19. Háromszögek ismétlés Háromszög egyenlőtlenség(tétel a háromszög oldalairól.) Háromszög szögei (Belső, külső szögek fogalma és összegük) Háromszögek csoportosítása szögeik szerint (hegyes-,

Részletesebben

KOMPLEX SZÁMOK A GEOMETRIÁBAN

KOMPLEX SZÁMOK A GEOMETRIÁBAN KMPLEX SZÁMK GEMETRIÁBN Mirce Bechenu Ismert, hogy kölcsönösen egyértelmű (ijektív) megfeleltetés létezik sík pontji és komplex számok hlmz közt. Ez megfeleltetés lehetővé teszi zt, hogy komplex számokt

Részletesebben

Sokszínû matematika 12. A KITÛZÖTT FELADATOK EREDMÉNYE

Sokszínû matematika 12. A KITÛZÖTT FELADATOK EREDMÉNYE Sokszínû mtemtik. A KITÛZÖTT FELADATOK EREDMÉNYE SOKSZÍNÛ MATEMATIKA A KITÛZÖTT FELADATOK EREDMÉNYE Logik, bizonítási módszerek. Logiki feldtok, kijelentések. Feltéve, hog középsõ kérdésre válszolt: középsõ

Részletesebben

3 m ; a víz sodráé sec. Bizonyítsuk be, hogy a legnagyobb szöge 120 0 -os! α =. 4cos 2

3 m ; a víz sodráé sec. Bizonyítsuk be, hogy a legnagyobb szöge 120 0 -os! α =. 4cos 2 3... Egyenes szíjhatás esetén milyen hosszú szíj szükséges 50 cmes és 6 cm-es sugarú tárcsák összekapcsolásához, ha a tárcsák tengelyeinek távolsága 335 cm? 3... Csónakkal akarunk a folyó túlsó partjára

Részletesebben

JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI MATEMATIKA ÚTMUTATÓ ÉRETTSÉGI VIZSGA EMELT SZINT% ÍRÁSBELI. ÉRETTSÉGI VIZSGA 2011. május 3. MINISZTÉRIUM NEMZETI ERFORRÁS

JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI MATEMATIKA ÚTMUTATÓ ÉRETTSÉGI VIZSGA EMELT SZINT% ÍRÁSBELI. ÉRETTSÉGI VIZSGA 2011. május 3. MINISZTÉRIUM NEMZETI ERFORRÁS Mtemtik emelt szint Jvítási-értékelési útmuttó MATEMATIKA EMELT SZINT% ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ NEMZETI ERFORRÁS MINISZTÉRIUM ÉRETTSÉGI VIZSGA 0. május. Mtemtik emelt szint

Részletesebben

SZILÁRDSÁGTAN A minimum teszt kérdései a gépészmérnöki szak egyetemi ágon tanuló hallgatói részére (2004/2005 tavaszi félév, szigorlat)

SZILÁRDSÁGTAN A minimum teszt kérdései a gépészmérnöki szak egyetemi ágon tanuló hallgatói részére (2004/2005 tavaszi félév, szigorlat) SILÁRDSÁGTAN A minimum teszt kérdései a gépészmérnöki szak egetemi ágon tanuló hallgatói részére (2004/2005 tavaszi félév, szigorlat) Szilárdságtan Pontszám 1. A másodrendű tenzor értelmezése (2) 2. A

Részletesebben

Néhány egyszerű tétel kontytetőre

Néhány egyszerű tétel kontytetőre Néhány egyszerű tétel kontytetőre ekintsük z ábr szerinti szimmeikus kontytetőt! ábr Az ABC Δ területe: ABC' m,v; ( ) z ABC Δ területe: ABC m ; ( ) z ABC* Δ területe: ABC* m ( 3 ) Az ábr szerint: m,v cos

Részletesebben

13. Trigonometria II.

13. Trigonometria II. Trigonometria II I Elméleti összefoglaló Tetszőleges α szög szinusza a koordinátasíkon az i vektortól az óramutató járásával ellentétes irányban α szöggel elforgatott e egységvektor második koordinátája

Részletesebben

PÁLYÁZATI ÚTMUTATÓ. a Társadalmi Megújulás Operatív Program keretében

PÁLYÁZATI ÚTMUTATÓ. a Társadalmi Megújulás Operatív Program keretében PÁLYÁZATI ÚTMUTATÓ Társdlmi Megújulás Opertív Progrm keretében Munkhelyi képzések támogtás mikro- és kisválllkozások számár címmel meghirdetett pályázti felhívásához Kódszám: TÁMOP-2.1.3/07/1 v 1.2 A projektek

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára 8. évfolym TMt1 feldtlp MATEMATIKA FELADATLAP 8. évfolymosok számár tehetséggondozó változt 11:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll dolgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feldtokt tetszés szerinti

Részletesebben

x = 1 = ı (imaginárius egység), illetve x 12 = 1 ± 1 4 2

x = 1 = ı (imaginárius egység), illetve x 12 = 1 ± 1 4 2 Komplex számok A valós számok és a számegyenes pontjai között kölcsönösen egyértelmű megfeleltetés létesíthető. A számfogalom a számegyenes pontjainak körében nem bővíthető tovább. A számfogalom bővítését

Részletesebben

Algebrai egész kifejezések (polinomok)

Algebrai egész kifejezések (polinomok) Algebrai egész kifejezések (polinomok) Betűk használata a matematikában Feladat Mekkora a 107m 68m oldalhosszúságú téglalap alakú focipála kerülete, területe? a = 107 m b = 68 m Terület T = a b = 107m

Részletesebben

Feladatok a szinusz- és koszinusztétel témaköréhez 11. osztály, középszint

Feladatok a szinusz- és koszinusztétel témaköréhez 11. osztály, középszint TÁMOP-3.1.4-08/-009-0011 A kompetencia alapú oktatás feltételeinek megteremtése Vas megye közoktatási intézményeiben Feladatok a szinusz- és koszinusztétel témaköréhez 11. osztály, középszint Vasvár, 010.

Részletesebben

Koordináta-geometria feladatgyűjtemény (A feladatok megoldásai a dokumentum végén találhatók)

Koordináta-geometria feladatgyűjtemény (A feladatok megoldásai a dokumentum végén találhatók) Koordináta-geometria feladatgyűjtemény (A feladatok megoldásai a dokumentum végén találhatók) Vektorok 1. Egy négyzet két szemközti csúcsának koordinátái: A( ; 7) és C(4 ; 1). Határozd meg a másik két

Részletesebben

& ODl9 BC; OAl9 [BCD] & OAl9 BC. A két állításból & BC9 [OAlDl] & BC9 AlDl. Hasonlóan

& ODl9 BC; OAl9 [BCD] & OAl9 BC. A két állításból & BC9 [OAlDl] & BC9 AlDl. Hasonlóan Tetréder 9 788 789 788 Legyenek gömb érintési pontji lpsíkokkl Al, Bl, Cl és Dl ODl9 [ABC] & & ODl9 BC; OAl9 [BCD] & OAl9 BC A két állításból & BC9 [OAlDl] & BC9 AlDl Hsonlón beláthtó, hogy AB9 ClDl, AC9

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára 8. évfolym TMt1 feldtlp MATEMATIKA FELADATLAP 8. évfolymosok számár tehetséggondozó változt 11:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll dolgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feldtokt tetszés szerinti

Részletesebben

Matematikai problémák a közgazdaságtanból

Matematikai problémák a közgazdaságtanból Eötvös Loránd Tudománegetem Természettudomán kr Szkdolgozt Mtemtk problémák közgzdságtnból Konzulens: Dr. Skol Eszter Adjunktus Alklmzott Anlízs és Számításmtemtk Tnszék Készítette: Török Krsztn Mtemtk

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára 8. évfolym AMt2 feltlp MATEMATIKA FELADATLAP 8. évfolymosok számár 15:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll olgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feltokt tetszés szerinti sorrenen olhto meg. Minen

Részletesebben

Matematikai összefoglaló

Matematikai összefoglaló Mtemt össefoglló Vetoro Ngon so oln mennség vn, mel nem ellemehető egetlen sámml. A len mennségre legegserű és mnden áltl ól smert péld, vlmel pontn helete téren. Amor táéoódun és eg pont heletét meg ru

Részletesebben

15. Koordinátageometria

15. Koordinátageometria I. Elméleti összefoglaló Koordinátákkal adott vektorok 15. Koordinátageometria Ha a(a ; a ) és b(b ; b ) a sík két vektora, λ valós szám, akkor az a vektor hossza: a = a + a a két vektor összege : a +

Részletesebben

A vezeték legmélyebb pontjának meghatározása

A vezeték legmélyebb pontjának meghatározása A ezeték legméle pontjánk megtározás Elődó: Htiois Alen E 58. Vándorgűlés Szeged,. szeptemer 5. Vízszintes és ferde felfüggesztés - ezeték legméle pontj m / > < B Trtlom. Lángöre és prol függének A C m

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK EMELT SZINT Függvények Analízis

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK EMELT SZINT Függvények Analízis MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK EMELT SZINT Függvények Anlízis A szürkített hátterű feldtrészek nem trtoznk z érintett témkörhöz, zonbn szolgálhtnk fontos információvl z érintett feldtrészek megoldásához!

Részletesebben

Összetettebb feladatok

Összetettebb feladatok A szinusztétel és koszinusztétel lklmzás Összetettebb feldtok 055..,7 m háom kö közötti síkidom teülete. Kössük össze köök középpontjit, így kpunk egy háomszöget. Legyen m, b m, 5 m. Számítsuk ki koszinusztétellel

Részletesebben

Lajk o K aroly Kalkulus II. Debreceni Egyetem Matematikai es Informatikai Int ezet 2003 1

Lajk o K aroly Kalkulus II. Debreceni Egyetem Matematikai es Informatikai Int ezet 2003 1 Ljkó Károly Klkulus II. Debreceni Egyetem Mtemtiki és Informtiki Intézet 2003 1 c Ljkó Károly ljko @ mth.klte.hu Amennyiben hibát tlál jegyzetben, kérjük jelezze szerzőnek! A jegyzet dvi, pdf és ps formátumbn

Részletesebben

VB-EC2012 program rövid szakmai ismertetése

VB-EC2012 program rövid szakmai ismertetése VB-EC01 progrm rövid szkmi ismertetése A VB-EC01 progrmcsomg hrdver- és szoftverigénye: o Windows XP vgy újbb Windows operációs rendszer o Min. Gb memóri és 100 Mb üres lemezterület o Leglább 104*768-s

Részletesebben

17. Szélsőérték-feladatok megoldása elemi úton

17. Szélsőérték-feladatok megoldása elemi úton 7. Szélsőéték-feldtok egoldás elei úton I. Eléleti összefoglló Függvény szélsőétéke Definíció: Az f: A B függvénynek x A helyen (bszolút) xiu vn, h inden x A esetén f(x) f(x ).A függvény (bszolút) xiu

Részletesebben

Óravázlatok: Matematika 2. Tartományintegrálok

Óravázlatok: Matematika 2. Tartományintegrálok Órvázltok: Mtemtik 2. rtományintegrálok Brth Ferenc zegedi udományegyetem, Elméleti Fiziki nszék készültség: April 23, 23 http://www.jte.u-szeged.hu/ brthf/oktts.htm) ontents 1. A kettős integrál 1 1.1.

Részletesebben

PÉLDA: Négyezer-hatszázöt 4 6 0 5 Jel Szám

PÉLDA: Négyezer-hatszázöt 4 6 0 5 Jel Szám 7. TESZTFÜZET JAVÍTÓKULCS / 2 ELEMI SZÁMOLÁSI KÉSZSÉG Minden helyes megoldás esetén 1, ármilyen hiányosság vgy hi esetén 0 pontot kell dni. SZÁMÍRÁS A BETŰVEL MEGADOTT SZÁMOKAT ÍRD LE SZÁMJEGYEKKEL! 02

Részletesebben

18. előadás ÁLLANDÓ KÖLTSÉGEK ÉS A KÖLTSÉGGÖRBÉK

18. előadás ÁLLANDÓ KÖLTSÉGEK ÉS A KÖLTSÉGGÖRBÉK 18. előadás ÁLLANDÓ KÖLTSÉGEK ÉS A KÖLTSÉGGÖRBÉK Kertesi Gábor Világi Balázs Varian 21. fejezete átdolgozva 18.1 Bevezető A vállalati technológiák sajátosságainak vizsgálatát eg igen fontos elemzési eszköz,

Részletesebben

Vektorgeometria (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Vektorgeometria (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit Vektorgeometria (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit 1. Tekintsünk a térben egy P (p 1, p 2, p 3 ) pontot és egy v = (v 1, v 2, v 3 ) = 0 vektort. Ekkor pontosan egy egyenes létezik,

Részletesebben

MECHANIKA I. - STATIKA. BSc-s hallgatók számára

MECHANIKA I. - STATIKA. BSc-s hallgatók számára ECHNK. - STTK BSc-s hllgtók sámár ECHNK. - STTK Tnkönv és jeget BSc-s hllgtók résére - - Dr. Glmbos rges echnk. Sttk tnkönv és jeget BSc-s hllgtók résére Írt és serkestette: Dr. Glmbos rges és Sándor

Részletesebben

A tér lineáris leképezései síkra

A tér lineáris leképezései síkra A tér lineáris leképezései síkra Az ábrázoló geometria célja: A háromdimenziós térben elhelyezkedő alakzatok helyzeti és metrikus viszonyainak egyértelmű és egyértelműen rekonstruálható módon történő ábrázolása

Részletesebben

Dr Polgár Mihályné Érdekes matematikai feladatok matek.fazekas.hu

Dr Polgár Mihályné Érdekes matematikai feladatok matek.fazekas.hu / KÜLÖNBÖZİ SZÁMHALMAZOK ) Kkukktojást keresünk! ) b) 60 0 0 8 6 8 0 c) d) π 8 0,000. 0,666. 0 0.) (nincs értelmezve 0-vl vló osztás) kidobjuk! 0 A megmrdt számhlmzbn 8 irrcionális szám: : dobjuk ki! nem

Részletesebben

M/D/13. Szorozzuk meg az egyenlet mindkét oldalát a közös nevezővel, 12-vel; így a következő egyenlethez jutunk: = 24

M/D/13. Szorozzuk meg az egyenlet mindkét oldalát a közös nevezővel, 12-vel; így a következő egyenlethez jutunk: = 24 OKTATÁSI MINISZTÉRIUM M/D/13 Dolgozók gimnáziuma Dolgozók szakközépiskolája Szakmunkások szakközépiskolája intenzív tagozat) 003. május ) Határozza meg a következő egyenlet racionális gyökét! 1 3 4 + 5

Részletesebben

Sűrűségmérés. 1. Szilárd test sűrűségének mérése

Sűrűségmérés. 1. Szilárd test sűrűségének mérése Sűrűségérés. Szilárd test sűrűségének érése A sűrűség,, definíciój hoogén test esetén: test töege osztv test V térfogtávl: V A sűrűség SI értékegysége kg/, hsználtos ég kg/d, kg/l és g/c Ne hoogén testnél

Részletesebben

Matematikai analízis. Editura Didactică şi Pedagogică

Matematikai analízis. Editura Didactică şi Pedagogică András Szilárd Mureşn Mrin Mtemtiki nlízis és lklmzási Editur Didctică şi Pedgogică Bucureşti, 2005 Descriere CIP Bibliotecii Nţionle României ANDRÁS SZILÁRD, MARIAN MUREŞAN Mtemtiki nlízis és lklmzási/

Részletesebben

Matematika emelt szintû érettségi témakörök 2014. Összeállította: Kovácsné Németh Sarolta (gimnáziumi tanár)

Matematika emelt szintû érettségi témakörök 2014. Összeállította: Kovácsné Németh Sarolta (gimnáziumi tanár) Mtemtik emelt szintû érettségi témkörök 04 Összeállított: Kovácsné Németh Srolt (gimnáziumi tnár) Tájékozttó vizsgázóknk Tisztelt Vizsgázó! szóeli vizsgán tétel címéen megjelölt tém kifejtését és kitûzött

Részletesebben

Exponenciális és logaritmusos kifejezések, egyenletek

Exponenciális és logaritmusos kifejezések, egyenletek Gyaorló feladato Eponenciális és logaritmusos ifejezése, egyenlete. Hatványozási azonosságo. Számítsd i a övetező hatványo pontos értéét! g) b) c) d) 7 e) f) 9 0, 9 h) 0, 6 i) 0,7 j), 6 ), l). A övetező

Részletesebben

Projektív ábrázoló geometria, centrálaxonometria

Projektív ábrázoló geometria, centrálaxonometria Projektív ábráoló geometria, centrálaonometria Ennél a leképeésnél a projektív teret seretnénk úg megjeleníteni eg képsíkon, hog a aonometrikus leképeést (paralel aonometriát) speciális esetként megkaphassuk.

Részletesebben

Kristályos szerkezetű anyagok. Kristálytan alapjai. Bravais- rácsok 1. Bravais- rácsok 2. Dr. Mészáros István Anyagtudomány tárgy előadásvázlat 2004.

Kristályos szerkezetű anyagok. Kristálytan alapjai. Bravais- rácsok 1. Bravais- rácsok 2. Dr. Mészáros István Anyagtudomány tárgy előadásvázlat 2004. Kristályos szerkezetű nygok BME, Anygtudomány és Technológi Tnszék Rácspontok, ideális rend, periodikus szerkezet Rendezettség z tomok között tuljdonságok Szimmetri, síklpok, hsdás, nizotrópi Dr. Mészáros

Részletesebben

A Szolgáltatás minőségével kapcsolatos viták

A Szolgáltatás minőségével kapcsolatos viták I. A Szolgálttó neve, címe DITEL 2000 Kereskedelmi és Szolgálttó Korlátolt Felelősségű Társság 1051. Budpest, Nádor u 26. Adószám:11905648-2- 41cégjegyzékszám: 01-09-682492 Ügyfélszolgált: Cím: 1163 Budpest,

Részletesebben

Matematika emelt szintû érettségi témakörök 2012. Összeállította: Kovácsné Németh Sarolta (gimnáziumi tanár)

Matematika emelt szintû érettségi témakörök 2012. Összeállította: Kovácsné Németh Sarolta (gimnáziumi tanár) Mtemtik emelt szintû érettségi témkörök 0 Összeállított: Kovácsné Németh Srolt (gimnáziumi tnár) Tájékozttó vizsgázóknk Tisztelt Vizsgázó! szóeli vizsgán tétel címéen megjelölt tém kifejtését és kitûzött

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP

MATEMATIKA FELADATLAP MATEMATIKA FELADATLAP 8. évfolymosok számár tehetséggonozó változt :00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll olgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feltokt tetszés szerinti sorrenen olhto meg. Minen

Részletesebben

Versenyfeladatok. Középiskolai versenyfeladatok megoldása és rendszerezése Szakdolgozat. Készítette: Nováky Csaba. Témavezető: Dr.

Versenyfeladatok. Középiskolai versenyfeladatok megoldása és rendszerezése Szakdolgozat. Készítette: Nováky Csaba. Témavezető: Dr. Verseyfeldtok Középiskoli verseyfeldtok megoldás és redszerezése Szkdolgozt Készítette: Nováky Csb Témvezető: Dr. Fried Ktli Eötvös Lorád Tudomáyegyetem Természettudomáyi Kr Mtemtik Alpszk Tári Szkiráy

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 4. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 4. évfolyamosok számára 4. évfolym Mt2 feldtlp MATEMATIKA FELADATLAP 4. évfolymosok számár 2014. jnuár 23. 15:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll dolgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feldtokt tetszés szerinti sorrenden

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára 8. évfolym TMt1 feldtlp MATEMATIKA FELADATLAP 8. évfolymosok számár tehetséggondozó változt 11:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll dolgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feldtokt tetszés szerinti

Részletesebben

Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2006-2007. tanévi első fordulójának feladatmegoldásai

Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2006-2007. tanévi első fordulójának feladatmegoldásai Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 006-007. tanévi első fordulójának feladatmegoldásai matematikából, a II. kategória számára 1. Melyek azok a pozitív egészek, amelyeknek pontosan négy pozitív

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára 8. évfolym TMt2 feltlp MATEMATIKA FELADATLAP 8. évfolymosok számár tehetséggonozó változt 15:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll olgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feltokt tetszés szerinti sorrenen

Részletesebben

FESZÍTŐMŰVES VASÚTI JÁRMŰALVÁZAK. Prof.Dr. Zobory István

FESZÍTŐMŰVES VASÚTI JÁRMŰALVÁZAK. Prof.Dr. Zobory István FESZÍTŐMŰVES VASÚTI JÁRMŰALVÁZAK Prof.Dr. Zobory István Budpest 04 Trtlomegyzék. Bevezetés... 3. A vsúti árművek teherviselő részeiről... 3. Alvázs (nem önhordó) kocsik... 3.. Kéttengelyes kocsik... 4..

Részletesebben