Mértani helyek 289. III. Mértani helyek

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "Mértani helyek 289. III. Mértani helyek"

Átírás

1 értni helek 89 III. értni helek 3.. Lineáris feltételekkel dott mértni helek Gkrn tlálkoztok oln feldttl, melekben eg közös tuljdonsággl rendelkező pontok hlmzát kell meghtározni. ár z áltlános iskolából tudjátok, hog z ilen hlmzt z illető pontok mértni helének nevezzük. Áltlábn eg mértni hel meghtározásánál pontok közös tuljdonságából következtetünk eg oln tuljdonságr, melből zonnl kiolvshtó, hog mértni hel milen hlmznk része. Ilenkor, h nem ekvivlens átlkításokkl jutottunk ehhez tuljdonsághoz, kkor be kell bizonítni, hog z áltlunk megsejtett ponthlmz minden pontj eleme mértni helnek vg ki kell zárni zon pontokt, melek nem rendelkeznek z dott tuljdonsággl.. feldt. Htározzuk meg zon pontok mértni helét, melek egenlő távolságr vnnk z A és B rögzített pontoktól. ) z α síkbn (A, B α ) b) térben. (,) egoldás. ) Vegünk fel eg derékszögű koordinátrendszert, melnek origój z A pont és z O tengel z AB egenes. A pontok koordinátái A(, ) és Bb (,). Eg (, ) pont pontosn kkor teljesíti feldtbeli feltételt, h + = ( b) +, vgis h b =. Tehát mértni hel eg egenes. Ez z AB szksz felezőmerőlegese. b) A derékszögű koordinátrendszert z előzőhöz hsonló módon vegük fel. A pontok koordinátái A(,,) és Bb (,,). Az (,, z) pont pontosn kkor vn egenlő távolságr z A és B pontoktól, h b + + = + +, vgis h =. mértni hel eg sík. (Az ekvivlens átlkítások z ( b) z B(b,,) A B(b, ) = b/ 9. ábr Tehát mitt nem szükséges egik esetben sem külön bebizonítni, hog vlóbn minden pont hozzátrtozik mértni helhez.) Ez z AB szksz felezőmerőleges síkj. egjegzés. H feldt nem dott koordinátákkl vn megfoglmzv, célszerű A = b/. ábr (,,z) számolások egszerűsítése végett lehető legmegfelelőbb koordinátrendszert válsztni. Lássuk mi történt voln, h tetszőlegesen válsztunk koordinátrendszert: ) H z dott pontok A (, ) és Bb (, b ), kkor z (, ) pont pontosn kkor vn egenlő távolságr z A és B pontoktól, h ( ) + ( ) = ( b ) + ( b ), vgis h ( b ) + ( b ) + b + b =, ez pedig eg egenes egenlete. Az első megoldás esetén látszott, hog mértni hel merőleges AB -re és felezi zt, z előbbi egenlet lpján ennek bizonítás további számolásokt igénelne.

2 9 értni helek b) H z dott pontok A (,, ) és Bb (, b, b ), kkor z (, ) pont pontosn 3 3 kkor vn egenlő távolságr z A és B pontoktól, h innen ( ) + ( ) + ( z ) = ( b ) + ( b ) + ( z b ), 3 3 ( b ) ( b ) ( b ) z b + b + b = pedig eg sík egenlete. Akárcsk z ) pontnál z utóbbi egenletből nem derül ki zonnl, mint z előző koordinátrendszer válsztásánál, hog ez sík merőleges AB -re és felezi zt.. feldt. Htározzuk meg zon pontok mértni helét, meleknek két dott e és e egenestől mért távolságik rán dott pozitív állndó. egoldás. Két esetet kell tárglnunk: h z egenesek párhuzmosk, illetv e h metszik egmást. I. eset. e e. Vegük fel koordinátrendszert úg, hog z O tengel legen z * e egenes. Az egenesek egenletei: e : = és e : =. k= e = e k + k (,) k = k -. ábr. ábr E g (, ) távolsági z egenesektől: d = és d =. Tehát k= e = e (,) = k összefüggés kell teljesüljön. (A feldt feltételeiből világos, hog nincs rjt egik egenesen sem.) Innen két esetünk vn: k = k( ) =, h k k k = k( ) = ( k >, tehát ez mindig lehetséges) + k Tehát, h k, kkor z ekvivlens átlkítások mitt mértni hel két egenes: k k = és =, h pedig k =, kkor csk eg egenes: =. k + k (Ez utóbbi esetben tuljdonképpen két egenestől mért távolság egenlő) II. eset. e e = { O}. Legen derékszögű koordinátrendszer középpontj z O pont és z O tengel z e egenes. Az egenesek egenletei: e : = és e : = m ( m ) h e e és e : = illetve e : =, h e e., ez

3 értni helek 9 k = + m e e k = + m e km k m = - + (,) = km + + k m e = (,) m O. H e A d e, kkor z (, ) pont távolsági z egenesektől: d = m, tehát 3. ábr 4. ábr = + m = k feltételnek kell teljesülnie. (Láthtó, hog z m + m = m -et tejesítő pont nincs rjt mértni helen) Ismét két eset tárglás szükséges: m km = k =, h k + m m + k + m m = k + km =. m + k + + m Tehát h k + m, kkor mértni hel z e km km = és = egenletű k + m k + + m egenesekből áll (, ) pont kivételével, h pedig (,) m k = + m e, kkor z = és = egenletű egenesekből (, ) pont kivételével. B. H e e, kkor két egenest tekinthetjük 5. ábr derékszög ű koordinátrendszer tengeleinek. Az (, ) pont távolsági z egene- sektől: d = és d =, tehát mértni hel z = k és = k k egenesekből áll (, ) pont kivételével. (H z () és () egenletekben m, kkor éppen fenti egenleteket kpjuk.) egjegzés. A második esetben, h k = -et helettesítünk, kkor két egenes áltl meghtározott szög belső és külső szögfelezőjének egenletéhez jutunk. * 3. feldt. A P (, b ) ( b, ) rögzített ponton át húzunk két változó egmásr merőleges d és d egenest. A d egenes z O tengelt A -bn, míg d egenes z O tengelt B -ben metszi. Htározzuk me g P pont AB egenesre eső = - = k és

4 9 értni helek vetületének mértni helét. egoldás * H d O, jelöljük m -gl d egenes iránténezőjét ( m, mert ellenkező P esetben nem metszi z O tengelt). A d P iránténezője, d és d egenesek m egenletei: d : = b + m( ) és A P d : = b ( ). Tehát z A és B m m b koordinátái: A, m és B, + B m. 6. ábr m b Az AB egenes egenlete: AB : m ( + mb) + m ( m b) ( m b)( + mb) =, A P ponton áthldó AB -re merőleges egenes egenlete: d : m ( m b) m ( + mb) m ( m b) + m ( + mb) b =, tehát két ( m b) b ( + mb) egenes metszéspontjánk koordinátái:, m( + b) m ( + b). ( m b) Az = egenlőségből kifejezve z m -et és behelettesítve z m + b ( ) b ( + mb) = egenlőségbe z + b = b összefüggéshez jutunk. m ( + b) Ez eg egenes egenlete, tehát mértni hel része eg egenesnek. eg kellene vizsgálnunk, hog z egenes minden pontj hozzátrtozik-e mértni helhez. Ehhez ( m b) szükséges megvizsgálni, hog m esetén z = és m + b b ( + mb) = m + b ( ) ( ) milen értékeket vehet fel. Ez utóbbi egenlőségek lpján b b m = =. Ebből következik, hog bármel b + b b ( ) ( ) 3 \ + b értéket felvehet z bszcisszáj. 3 3 b d O esetén vetület éppen z, b b pont, tehát mértni hel + + z + b = b egenletű egenes. Ez tuljdonképpen P (,) és P (, b ) pontokon átmenő egenes. * egjegzés. Kereshettük voln mértni helet bbn z esetben is, h b, + és csk zokt és d egeneseket tekintjük, melek pozitív féltengeleket met- d

5 értni helek 93 szik. Ebben z esetben z m kell teljesítse z lábbi egenlőtlenségeket: m < b b vg m > és < < m, b < vg, innen, + m m b. 3 b H m,, kko r () és (3) összefüggésekből +, b és b 3, + b, e z pe d ig z ( ) ( ) b P nílt szkszt htározz meg. m, + esetén P nílt szkszhoz ju tunk. H pedig tengelekkel párhuzmos egeneseket tekintjük, kkor ebben z esetben is vetület z pont lesz. Tehát itt mértni hel ( PP ) nílt szksz. 4. feldt. Htározzuk meg zon pontok mértni helét, melek (, ) koordinátáir + <. egoldás. Rögzített -re + < pontosn kkor, h <, de z, d pont d d : + = egenesen vn, tehát zokr z (, ) O párokr teljesül z + < egenlőtlenség, meleknek megfelelő pontok d : = egenesen z pont ltt helezke dnek el. Az -et változtv különböző félegeneseket kpunk, meleknek egesí- z + = egenletű 7. ábr tése d eg enes áltl meghtározott lsó nílt félsík. Íg z + < egenlőtlenséget teljesítő pontok egenes áltl meghtározott felső nílt félsíkot lkotják ( 7. ábrán bevonlkázott rész). 5. feldt. Htározzuk meg zon pontok = mértni helét, melek (, ) koordinátáir = +, + és + 5. C egoldás. Az előző feldthoz hsonlón B okosko dv kpjuk, hog mértni hel három A félsík metszete, éspedig z = egenes áltl = 5 htárolt lsó zárt félsík, z = + egenes áltl htárolt felső zárt félsík és z = 5 O 5 egenes áltl htárolt lsó zárt félsík metszete. Ez 8. ábr z ABC belső D trtomán z oldlivl egütt. (8. ábr) 6. feldt. Htározzuk meg z + kifejezés minimumát, h, + és + 5.

6 94 értni helek egoldás. Tuljdonképpen z 5. feldtbn kpott D trtomán pontji között kell keresni olt, mel koordinátáir + minimális. Tudjuk, hog e g (, ) pont távolság z O ponttól +, tehát z O -hoz legközelebb eső keressü k. Ez éppen z A csúcs, tehát in ( m + ) = + = 5. (, ) D D -beli pontot 3.. Lineáris progrmozás Vlmenni szervezetnek döntéseket kell hozni erőforrásink llokálásáról és felhsználásáról. ivel ezek z erőforrások csk korlátozottn állnk rendelkezésre, menedzsmentnek folmtosn döntéseket kell hozni felhsználásukról nnk érdekében, hog válllkozás céljit minél hmrbb elérhesse. Lehetséges célok például forglom vg nereség növelése, vlmint költségek minimlizálás. Ilen strtégii döntések hoztl lineáris vg nem-lineáris progrmozás segítségével érhető el. A lineáris és nem-lineáris progrmozás oln mtemtiki technikák, melek felhsználhtók rr, hog eg válllt z erőforrásit céliránosn hsználj fel. Tnkönvünkben csk lineáris progrmozássl fogllkozunk. Ahhoz, hog eg döntési problémát optimlizálási problémává lehessen lkítni, különböző feltételeknek kell teljesülniük: Különböző döntési lterntíváknk kell létezniük, melek válllt célját ngmértékben befolásolják és ezek mtemtiki változók formájábn kifejezhetőknek kell lenniük. Az erőforrásoknk korlátozottn kell rendelkezésre állniuk. Világosn meg kell tudni foglmzni zt válllti célt, mel döntési lterntíváktól függ és ezt is ki kell tudni fejezni döntési változók mtemtiki függvéneként. A fentieknek megfelelő optimlizálási modellek három lpvető komponensből állnk: A döntési változók oln értékek, meleket döntéshozó befolásolni tud. Ezek számár keressük z optimális értékeket. A célfüggvén döntési változók eg függvéne, melet mimlizálni vg minimlizálni kell. (Pl. költségek minimlizálás, nereség mimlizálás) A korlátok oln feltételek, melek megengedett változókombinációk hlmzát behtárolják. Feld t. Eg háziállt táplálékánk trtlmzni kell négféle tápngból leglább, kg,,4 kg, kg és 4, kg menniséget. Két tkrmánféleség áll rendelkezésünkre: A és B. kg A tkrmánbn rendre,; ;,;,7 kg vn z eges tápngokból, kg B tkrmán ezekből ;,;,;,6 kg-ot trtlmz. Az A tkrmá n egségár millió lej/kg, B tkrmáné 3 millió lej/kg. Htározzuk meg gzdságos tkrmánkeverék összetételét! egoldás. indenekelőtt feldtot át kell írni mtemtiki változók segítségével: A döntési változók z A és B tkrmánokból rendelt menniségek kg-bn. Legen ez és. Ekkor célfüggvén z összár: f (, ) = + 3, mit minimlizálni kell következő korlátozási feltételek mellett:

7 értni helek 95,, ;,, 4 ;, +, ;, 7 +, 6 4, ;, A korlátozási feltételek egenértékűek következőkkel: Ábrázoljuk z előbbi feltételeket teljesítő pontokt z O derékszögű koordinátrendszerben. (9. ábr) 7 6 = + = 4 A = + = d B C 9. ábr. ábr A 9. ábrán bevonlkázott rész korlátozási feltételeket teljesítő pontok hlmz. Ezt lehetséges megoldások hlmzánk nevezzük. Ezek közül kell kiválsztnunk zt, melre + 3 értéke minimális. Vezessünk be eg prmétert és legen = eg d 3 egenes egenlete. Az előbbi egenescslád egenesei pár- huzmosk egmássl és metszéspontjuk z O tengell el (, ) pont. Ezen ege- nesek közül zt kell kiválsztnunk, mel metszi lehetséges megoldások trtománát és minimális. Azz d = d egenest ddig toljuk párhuzmosn felfele, meddig lesz közös pontj trtománnl. Könnű belátni, hog ez közös pont tr- h trtománt htároló egenesek egikével sem párhuz- tomán htárán vn, sőt mos d egenes, kkor vlmel csúcsbn tlálhtó. H párhuzmos vlmel htáregenessel és ezt z egenest érinti először párhuzmos eltolás során, kkor ezen egenes minden pontjábn minimális célfüggvén értéke, íg végpontokbn is. Következésképpen elégséges kiszámolni célfüggvén értékét végpontokbn és ezek közül legkisebb lesz minimális. Htározzuk meg trtomán csúcsink koordinátáit. Az egenesek egenleteiből lkotott rendszereket megoldv kpjuk, hog z A, B és C metszéspontok 4 koordinátái: A, 3, B 7 3, és C ( 6, ). A célfüggvén értékei ezekben 4 4 pontokbn: f, 3 3 = + 3 = , f 3, = + 3 = = 6, 5 és 3

8 96 értni helek f ( 6, ) = = 8. Azonnli, hog B pont esetében vn minimum. Tehát z optimális, h 3 kg-ot vásárolunk z A tkrmánból é s 3,5 kg-ot B tkrmánból, ez 6, 5 millió lejbe kerül és trtlmz,3 kg-ot z I. tápngból,,7 kg-ot II. tápngból, kg-ot III. tápngból és 4, kg-ot IV. tápngból. Feldtok. Eg üzem kétféle oln árut készít, melekhez z A, B és C gépsorok is kellenek. Az első áru eg egségének elkészítéséhez z A gépsoron 5 ór, B gépsoron ór, C gépsoron ór kell; második áru eg egségének elkészítéséhez z A gépsoron 3 ór, B gépsoron 3 ór, C gépsoron 7 ór kell. Az A gépnek 8 ór, B gépnek 45 ór és C gépnek 89 ór szbd idej e vn. ) Hán egség árut készíthetnek rendelkezésre álló idő ltt, h z cél, hog lehető legtöbbet készítsenek. b) H z első árunál egségenként 5 pénzegség, míg másodiknál 9 pénzegség nereség, htározd meg mimális nereséget biztosító gártási strtégiát! enni ekkor ez mimális nereség?. A XI. E. osztál tedélutánr készül. A lánok elhtározzák, hog szendvicseket készítenek. A szendvicsek elkészítéséhez következő nersng gűlt össze: dkg vj, dkg sonk, dkg sjt, db kemén tojás. Keneret bármikor vásárolhtnk szomszéd boltbn. Kétféle szendvicset készítenek: sonkást é s sjtost. Eg sonkás szendvicshez 3dkg vjt, 3dkg sonkát, dkg sjtot, /4 tojást és eg szelet keneret hsználnk fel. A sjtos szendvicshez dkg vjr, dkg sonkár, 5dkg sjtr és / tojásr és eg szelet kenérre vn szükség. A rendelkezésre álló nersngból hán drb sonkás és hán drb sjtos szendvicset készítsenek úg, hog lehető legtöbben jóllkjnk ( szendvicsek szám lehető legngobb legen)? 3. Az A és B típusú ruhák elkészítéséhez következő munkműveletek szükségesek: unkművelet A B Szbás 3perc 3perc Vrrás perc 4perc Hegesztés perc Eg műszkon belül szbásr összesen 4 perc, vrrásr összesen 44 perc, hegesztésre összesen 8 perc fordíthtó. Az A típusú ruh 6 Pe (pénzegség) hszonnl, B típusú 3 Pe hszonn l jár. Az A típusú ruh termelési értéke drbonként 45 Pe, B típusú ruh termelési értéke drbonként 5 Pe. Hán drbot termeljen gár eg műszkbn, h ) mimális hszonr, b) mimális termelési értékre, c) mimális hszon mellett mimális drbszám elérésére töreks zik? Létezik-e oln termelési progrm, mel mindhárom követelmént egszerre kielégíti?

9 értni helek ásodrendű görbék Az eddig tnulmánozott mértni helek egenletei elsőfokúk voltk mindkét változóbn. Azz egenesek, szkszok vg ezek áltl htárolt trtománok voltk. A továbbikbn oln mértni heleket tnulmánozunk, melek egenletében másodfokú tgok (, és ) is megjelennek. Az ilen görbéket nevezzük másodrendű görbéknek A kör ár z áltlános iskolából tudjátok, hog kör zon pontok mértni hele síkbn, melek eg dott ponttól egenlő távolságr vnnk. A kör egenletei Htározzuk meg kör egenletét. Először z origó középpontú kör egenletét htároz kör sugr r. Ekkor z (, ) pont pontosn kkor vn rjt zuk meg. Legen körön, h origótól mért távolság r, zz + = r innen z origó középpontú r sugrú kör egenlete: C : + = r (), (Az ekvivlens átlkításokból következik, hog minden () egenletet teljesítő koordinátájú pont rjt vn körön) O r (,) O O r (,) O O. ábr. ábr 3. ábr Írjuk fel most eg tetszőleges O (, ) középpontú r sugrú kör egenletét. Az (, ) pont pontosn kkor vn rjt körön, h pedig egenértékű C :( ) + ( ) = r (), ( ) + ( ) = r, ez egenlettel, ez utóbbi egenlet z O (, ) középpontú r sugrú kör egenlete egjegzés. Tuljdonképpen C ( O, r) kör C ( Or, ) kör (, ) vektorrl vló párhuzm os eltolás áltli képe (3. ábr), innen pedig z () összefüggésből zonnl következik, hog ( O, r) egenlete () egenlet. C H () összefüggésben elvégezzük négzetre emeléseket és rendezzük, kkor z r = lkú másodfokú kétismeretlenes ( )

10 98 értni helek egenletet kpjuk. Ezt z egenletet z áltlános másodfokú kétismeretlenes A + B + C + D + E + F = egenlettel összevetve megállpíthtjuk, hog z áltlános kétismeretlenes egenlet csk kkor lehet kör egenlete, h A= C és B =. Ebben z esetben A -vl vló végigosztás után kpjuk, hog z egenlet C : b + c = (3) lkú. Ezt z egenletet nevezzük kör áltlános (descrtesi) vg normálegenletének. Vizsgáljuk meg, hog z, b, c számok befolásolják-e kör létezését. Egészítsük ki teljes négzetekre (3) összefüggést. (3) ( + ) + ( + b) ( + b c) =. Láthtó, hog: h + b < c, kkor nem léteznek (3) összefüggés, zt is szoktuk mondni, hog ekkor képzetes körünk vn; h + b = c, kkor z egenletet csk P(, b) pont elégíti ki, ilenkor nullkörről vg elfjult körről beszélünk; 3 h + b > c, kkor (3) egenlet P(, b) középpontú r = + b c sugrú vlódi kör egenlete. A kör prméteres egenletei H z ( ) egenletben végigosztunk r -tel, kkor z = + egenlethez r r jutunk. ivel! ϕ [, π) úg, hog = cos ϕ és = sin ϕ (ez éppen z ( r r, ) pontot z origóvl összeköt ő egenes O tengellel bezárt szöge), fennállnk = r cosϕ C : (4) = r sin ϕ összefüggések, miket kör prméteres egenleteinek nevezünk. H kör középpontj z O (, ), kkor prméteres egenletek: = + r cos ϕ C : (5) = + r sin ϕ egjegzés. H eg pont z ( + r, ) pontból indulv egenletes szögsebességgel mozog C ( O, r) körön, kkor ϕ > idő múlv z ( + r cos ϕ, + r sin ϕ) pontbn lesz. A kör belső illetve külső trtomán (, ) párok, melekre teljesül A kör síkot két diszjunkt trtománr bontj fel. A belső pontok hlmzát (z ellipszis belsejét vg belső trtománát) Int( C )-vel és külső pontok hlmzát (z

11 értni helek 99 ellipszis külső trtománát) { f } { f } Et( C ) = (, ) (, ) > Et( C ) -vel jelöljük (4. ábr). H tekintjük z f :, f (, ) = ( ) + ( ) r kétváltozós függvént, kkor: C = {(, ) f(, ) = } Et( C ) Int( C ) = (, ) (, ) < C Int( C ) Egenes és kör kölcsönös helzetei 4. ábr Eg egenes és eg kör három különböző kölcsönös helzetben lehet: nincs közös pontjuk (5. ábr), eg közös pontjuk vn, zz érinti (6. ábr) vg két különböző közös pontjuk vn, zz metszi (7. ábr) (A metszéspontokt megkphtjuk kör egenletéből és z egenes egenletéből álló rendszer megoldásából, mi tuljdonképpen eg másodfokú egenlet megoldásához vezet vissz, tehát innen is következtethetünk metszéspontok lehetséges számár.) 5. ábr 6. ábr 7. ábr A dott pontbn húzott érintő és normális egenletei ielőtt körhöz húzott érintő egenletét felírnánk, tekintsünk eg A + B + C + D + E + F = egenletű görbét és htározzuk meg z (, ) pontjábn húzott érintő egenletét. Az egenletből kifejezhető függvéneként. Íg, h z egenlet bl oldlát, mint függvénét tekintjük és deriváljuk, kpjuk: A + B + C + C + D + E =, honn n A + c + D = tő iránténezője B + C + E, tehát z (, ) pontbn húzott érin A + c + D m = egenlete: B + C + E, tehát z érintő A + c + D = B + C + E A + B + C + + D + E A + B + C ( 6) Tehát A ( ) ( ) ( ) ( ) ivel (, ) görbe pontj, következik, hog teljesíti z () összefüggést. + B + C = D E F

12 3 értni helek ( ) ( ) ( ) Innen (6) A + B + C + + D + + E + + F = A + B + C + D + E + F = (7) Ez utóbbi összefüggést nevezzük z érintő duplázott egenletének, mert görbe egenletéből z,,, és helettesítésekkel kpjuk. e Íg z () egenletű körhöz z (, ) C pontbn húzott érintő n egenlete: + = r (8) Értelmezés. Eg görbe dott pontjábn húzott érintőre merőleges egenest görbe ezen pontjához trtozó normálisánk nevezzük. (8. ábr) A (8) egenletből zonnl írhtjuk, hog z () egenletű körhöz z (, ) C pontbn húzott normális egenlete = (9) Pont körre vontkozó htván 8. ábr Feldt. Eg dott kört metszünk eg dott ponton át húzott egenessel. Számítsuk ki z pont és metszéspontok áltl meghtározott szkszok hosszánk szorztát. A B A B T O 9. ábr 3. ábr egoldás. Vegünk fel eg koordinátrendszert úg, hog z origój kör O középpontjáb kerüljön. Jelöljük z és z A vlmint B metszéspontok koordin,, B,. átáit következőképpen: ( ), A ( ) és ( ) ivel z, A és B pontok kollineárisk, írhtjuk, hog A B, h Et( C ) A B A B = = A B,h Int( C )., h C A B = + ( )( ) ( )( ) = = =

13 értni helek = ( )( ) ( )( ) = A OA + OB + + r = + r. Ez utóbbi egenlőségnél hsználtuk, hog z OA + OB vektor átmeg z AB húr felező pontján, tehát merőleges rr,, A és B kollineárisk, íg A ( OA + OB) A ( OA + OB) = vlmint mivel A C + =. Tehát bebizonítottuk, hog A B = + r, ez pedig nem r ( ) függ z egenes megválsztásától, csk z pont helzetétől és kör sugrától. H érintőt húzunk z pontból körhöz, kkor ez z érintő szksz hosszánk négzete. Ezt z állndót z pont C körre vontkozó htvánánk nevezzük. O r, h Et( C ) Tehát ρ = r O, h Int( C )., h C Feldt. Htározzuk meg zon pontok mért ni helét, meleknek két dott körre vontko zó htván egenlő. (Tekintsük csk zt z esetet, h mindkét körre nézve külső pont, vg mindkét körre nézve belső pontról vn szó.) egoldás. Vegünk fel eg koordinátrendszert úg, hog z O tengel két kör középpontját összekötő egenes legen. Ekkor körök középpontjink koordinátái: O o. Azon (, ) pontokt keressük, melekre O ( o, ) és (, ) ( ) ( ) o + r = o + r, hol r és r körök sugri. Az előbbi összefüggésből pedig kpjuk, hog z pont koordinátáir o o r + r ( o o) + r r o + o = = (h o o o o, zz h ( ) nem koncentrikusk körök.) Tehát mértni hel eg O -nl párhuzmos egenes, zz eg oln egenes, mel merőleges z OO egenesre. Ezt z egenest két kör htvántengelének nevezzük. T T T T O O O O 3. ábr 3. ábr

14 3 értni helek egjegzések.. H körök nem metszik egmást, kkor htvántengel zon pontok mértni hele, melekből két körhöz húzhtó érintő szkszok hossz egenlő.. H körök két különböző pontbn metszik egmást, kkor htvántengel metszéspontok áltl meghtározott egenes. (3. ábr) 3. H körök érintik egmást, kkor htvántengel közös érintő. (33. ábr) 4. H körök sugri egenlők, kkor htvántengel középpontok áltl meghtározott szksz felezőmerőlegese. (34. ábr) 5. H körök koncentrikusk, kkor nincs htvántengelük. T T T T O O O O 33. ábr 34. ábr Gkorltok és feldtok. A kör következő egenleteiből htározd meg kör középpontját és sugrát: ) + 4 = b) = c) = d) =. Írd fel z ( 3, ) középpontú és d = 8 átmérőjű kör egenletét! Írd fel z = bszcisszájú pontjibn húzhtó érintőinek egenletét! 3. Htározd meg z + 4 = egenletű kör középpontjánk koor- és sugrát! Í rd fel körhöz z ( 3, 7) pontból húzhtó érintők egenletét! dinátáit 4. Htározd meg z ABC köré írt kör egenletét, h csúcsok koordinátái: A(, ), B (, 5) és C ( 6, 3). 5. Htározd meg zon kör egenletét, melnek középpontj ( 6, 7) és érintője z 5 4 = egenletű egenes! 6. Írd fel z = kör + = egenesre merőleges normálisánk egenletét. 7. Eg ( 3, ) középpontú kör = egenletű egenesen eg 6 hosszúságú húrt htároz meg. Írd fel kör egenletét!

15 értni helek Eg O középpontú kör AB átmérőjének hossz 4 ( > ). kör eg változó pontj. ) Írd fel z AO és BO háromszög ek köré írt P illetve Q középpontú körök egenletét; b) Bizonítsd be, hog P és Q pontok AB egenestől mért távolságink szorzt állndó és AP BQ. c) Htározd meg z AP és BQ egenesek metszéspontjánk mértni helét! 9. Htározd meg d : cosα + = és d : cosα = ( α ) egenesek metszéspontjánk mértni helét Az ellipszis Htározzuk meg zon pontok mértni helét, meleknek két dott ponttól mért távolságink összege állndó és ngobb, mint ez távolság. ielőtt számolni kezdenénk, próbáljuk elképzelni ezt m értni helet. Rögzítsük le ezt z összeget és vágjunk eg ilen hosszúságú mdzgot. H lerögzítjük két végét z dott pontokb és kifeszítjük mdzgot, kkor kifeszítési pont távolságink összege z dott pontoktól egenlő mdzg 35. ábr hosszávl, zz ez eg pontj mértni helnek. Íg h eg ceruzávl feszítjük ki és minden ilen ponton végighúzzuk, kkor kirjzolódik mértni hel. (35. és 36. ábrák) Az íg kpott lkztot nevezzük ellipszisnek. Értelmezés. Azon pontok mértni helét, meleknek két dott ponttól mért távolságink összege állndó és ngobb, mint pontok közti távolság ellipszisnek nevezzük. Az dott pontokt pedig z ellipszis fókuszink vg gújtópontjink. 36.ábr A fókuszok áltl meghtározott egenest fokális tengelnek, fókuszok és z ellipszis eg tetszőleges pontj áltl meghtározott szkszokt pedig vezérsugrknk nevezzük. egjegzés. H fókuszok egbeesnek, kkor tuljdonképpen eg pont körül forgtjuk ceruzát és ekkor mértni hel eg kör lesz, tehát kör eg sjátos ellipszis. Htározzuk meg z ellipszis egenletét. Az ellipszis egenletei Az ellipszis knonikus egenlete Először eg oln ellipszis egenletét htározzuk meg, melnek fókuszi z O tengelen helezkednek el szimmetrikusn z origór. Tehát legenek F (,) c és F ( c, ) fókuszok és z állndó összeg (37. ábr). Ekkor eg (, ) pont pontosn kkor vn rjt z ellipszisen, h

16 34 értni helek ( ) ( ) c c + = ( c) ( c) 4 + = 4 + ( + c) < ()) ( + c) + = + c (( + c) + ) = ( + c) (menniben + c ()) ( c ) ( c ) + = ( c) + = ( + c) + 4 ( c) + + (menniben -b B + = (3). c Können ellenőrizhető, hog h és 37. ábr teljesítik z előbbi feltételt, kkor fennállnk z () és () egenlőtlenségek is, tehát (3) összefüggés z ellipszis egenlete. Azonnl láthtó, hog z ellipszis O tengelen levő B és B pontji eg enlő távolságr vnnk fókuszoktól és ez távolság. Íg h b B pont ordinátáj, kkor z OBF -ből b = c, innen z ellipszis egenlete következővé lkul: E : + = (4) b Ez z ellipszis implicit vg knonikus egenlete. Sőt z is beláthtó, hog h (, ) E, kkor (, ),(, ),(, ) E, tehát z ellipszis szimmetrikus tengelekre és z origór nézve. Az O tengelen fekvő A és A pontjir = AF + AF = A F + AF = AA, tehát z A illetve A - -c c A F O F bszcisszáj illetve. Azt mondjuk, hog AA z ellipszis ngtengele és BB z ellipszis kistengele. Íg fél ngtengel hossz, míg b fél kistengel hossz. O z ellipszis középpontj és fókuszok középponttól mért c távolságát nevezzük z ellipszis lineáris ecentricitásánk, lineáris ecentricitás és fél ngtengel hándosát pedig numerikus ecentricitásnk nevezzük és e -v el jelöljük, tehát c b e = =. Az ellipszis fókuszán átmenő és ngtengelre merőleges húr félhosszúságát z ellipszis prméterének szokás nevezni. A p prmétert z ellipszis b (3) egenletéből =± c helettesítéssel kpjuk: p =. Az ellipszis csúcsegenlete H z ellipszist párhuzmosn eltoljuk z (,) vektorrl, kkor z egenlete követ- ( ) b b p kezővé lkul: + = = E : = p (5). b Ezt nevezzük z ellipszis csúcsegenletének. b B A

17 értni helek 35 b - A -c F r B b O -b B c p r c F A 38.ábr: Az ellipszis dti F, F fókuszok O szimmetri-középpont FF fokális tengel FF = c fókusztávolság c lineáris ecentricitás AA = ngtengel fél ngtengel BB = b kistengel b fél kistengel r, r vezérsugrk ( r + r = ) p prméter Az O (, ) középpontú koordinát- tengelekkel párhuzmos tengelű ellipszis knonikus egenlete H z ellipszist páthuzmosn eltoljuk z (, ) vektorrl (39. ábr), kkor z ellipszis egenlete E ( ) ( ) : + = (6) lkú lesz b F O O c A 39. ábr F Az origó középpontú α Nézzük csk meg, mit jelent koordináták szempontjából, h elforgtunk vlmit α szöggel. A legegszerűbb, h felírjuk pontok ffiumit. Ekkor X. osztálból tudjuk, hog z + i ffiumú pont α szöggel vló pozitív trigonometrikus iránb történő origó körüli forgtás esetén z ( + i)(cosα+ isin α) ffiumú pontb kerül. Tehát z (, ) pont forgtás utáni koordinátái ( cos α sin α, sin α + cos α). Tehát szöggel elforgtott ellipszis egenlete ellipszisünket visszforgtjuk z eredetibe, kkor z ( ) cos( α) sin( α), sin( α) + cos( α ) = ( cos α+ sin α, sin α+ cos α) pontb kerül és erre felírv knonikus egenletet, kpjuk: ( cos α + sin α) ( sin α + cos α + ) b h z F O 4. ábr (, ) pontj z = (7), F α

18 36 értni helek ez utóbbi pedig z origó körül α szöggel elforgtott ellipszis egenlete Áltlános helzetű ellipszis egenlete Beláthtó, hog eg tetszőleges ellipszist megkphtunk eg origó középpontú koordináttengeleken fekvő kis- és ngtengelű ellipszisből eg forgtássl és eg párhuzmos eltolássl (lásd 4. ábrát). Legen forgtás szöge α és z eltolás- vektor z (, ). Ekkor z ellipszis egenlete: (( ) cos α+ ( ) sin α) ( ( ) sin α+ ( ) cos α) Az ellipszis prméteres egenletei H megfigeljük (4) egenletet, kijelenthetjük, hog = cos ϕ és = sin ϕ, innen b = cos ϕ, ϕ [, π ) (9) = bsin ϕ z ellipszis prméteres egenletei Ekkor z O (, ) O α F F 4. ábr + = (8) b! ϕ [, π) úg, hog középpontú koordináttengelekkel párhuzmos tengelű ellipszis prméteres egenletei: = + cos ϕ, ϕ [, π ) () = + bsin ϕ Az origó középpontú α szöggel elforgtott ellipszis prméteres egenletei: cos α+ sin α = cos ϕ sin α cos α sin ϕ = cos αcos ϕ bsin αsin ϕ + = = sin αcos ϕ + bcos αsin ϕ () Áltlános helzetű ( szöggel elforgtott és (, ) vektorrl párhuzmosn eltolt) α ellipszis prméteres egenletei: = + cos αcos ϕ bsin αsin ϕ () = + sin αcos ϕ + bcos αsin ϕ Felvetődik kérdés, hog z (, ) E pont ismeretében megszerkeszthető-e ϕ szög?

19 értni helek 37 Tekintsük (4) egenletű ellipszist. Ekkor eg oln ϕ szöget keresünk, melre = cos ϕ és = sin ϕ. b Egelőre z első negedben vizsgálódunk. Ehhez kellene eg befogójú és befogójú és b átfogójú illetve eg átfogójú háromszög. Szerkesszük meg z origó középpontú és kis illetve ng féltengel sugrú köröket (ld. 4. ábrát). Vetítsük z pontot tengelekre ( és - O A F vetületek tlppontji). Legenek D illetve E z O -re húzott merőleges és ng kör vlmint z O -r húzott merőleges és kis kör 4. ábr metszéspontji. Beláthtó, hog ekkor z O D és OE derékszögű háromszögekből cos( OD ) = és cos( OE ) =. ivel mindkét szög z első negedben b vn és + =, következik, hog m ( OE ) = m( OD ) = ϕ. Tehát b megszerkesztettük ϕ szöget. Hsonlón járunk el többi negedben is. Az ellipszis belső illetve külső trtomán Az ellipszis síkot két diszjunkt trtománr bontj fel. A belső pontok hlmzát (z ellipszis belsejét vg belső trtománát) Int( E )-vel és külső pontok hlmzát (z ellipszis külső trtománát) f :, E Et(E ) -vel F f (, ) = + kétváltozós függvént. Ekkor felírhtjuk, hog: b = {(, ) f(, ) = } {, f } { f } Int( E ) = ( ) (, ) < Et( E ) = (, ) (, ) > Egenes és ellipszis kölcsönös helzetei Int( E ) E b -b B B ϕ E D A jelöljük (43. ábr). Tekintsük z Et( E ) 43. ábr Eg egenes és eg ellipszis három különböző kölcsönös helzetben lehet: nincs közös pontjuk (44. ábr), eg közös pontjuk vn, zz érinti (45. ábr) vg két különböző közös pontjuk vn, zz metszi (46. ábr) (A metszéspontokt megkphtjuk z ellipszis egenletéből és z egenes egenletéből álló rendszer

20 38 értni helek megoldásából, mi tuljdonképpen eg másodfokú egenlet megoldásához vezet vissz, tehát innen is következtethetünk metszéspontok lehetséges számár.) 44. ábr 45. ábr 46. ábr Adott pontbn húzott érintő és normális egenlete Duplázássl zonnl írhtjuk, hog (4) egenletű ellipszishez z (, ) pontbn húzott érintő egenlete: + = (4) b (47. ábr). A (3) egenlet lpján normális egenlete: b = b (5.) 47. ábr Gkorltok és feldtok. Írd fel z ellipszis egenletét z lábbi esetekben, mjd ábrázold is: ) fókuszok F (, ) és F (, ), ng féltengel = 5 ; b) z egik fókusz F (, ), középpont C (, 4) és ng féltengel = ; c) középpontj z origó, tengelei koordináttengelek és átmeg z 9 A 4, 5 és A 3, pontokon; 5 d) ngtengele 6, fókuszi F ( 4, ) és F (, ).. Írd fel = ellipszis knoniku s egenletét. 3. Htározd meg = 676 egenletű ellipszis = 5 bszcisszájú pontjához húzott érintő egenletét. 4. Bizonítsd be, hog h eg O középpontú, F és F fókuszú ellipszis tetszőleges pontj, kkor F F + O = + b, hol illetve b ng illetve kis féltengel hossz. 5. Bizonítsd be, hog z összes oln háromszög közül, meleknek z egik oldl rögzített és kerületük állndó, z egenlőszárú háromszög területe legngobb. 6. Bizonítsd be, hog z ellipszishez dott pontbn húzott érintő és normális vezérsugrk áltl meghtározott szög külső illetve belső szögfelezői. (Ezt z ellipszis optiki tuljdonságánk is szokták nevezni, mert ennek következtében z ellipszis egik fókuszábn elhelezett fénforrásból kiinduló tetszőleges fénsugár z ellipszisről (elliptikus tükörről) történő visszverődés után másik fókuszon fog átmenni)

Függvények, 7 8. évfolyam

Függvények, 7 8. évfolyam Függvének, 7 8. évfolm Orosz Gul 01. június 8. TARTALOMJEGYZÉK Trtlomjegzék Feldtok 7 1. Grfikonok................................... 7. Geometrii trnszformáiók.......................... 19 3. Geometrii

Részletesebben

EMELT SZINTÛ FELADATSOROK

EMELT SZINTÛ FELADATSOROK EMELT SZINTÛ FELADATSOROK. Feldtsor / A megoldások. A bl oldlon álló tört értelmezési trtomán : ³ 0, ¹ 0, zz 0, 0,. Bõvítjük törtet z + összeggel: = 0, íg hándosuk

Részletesebben

Informatika alapjai Tantárgyhoz Kidolgozott Excel feladatok

Informatika alapjai Tantárgyhoz Kidolgozott Excel feladatok SZENT ISTVÁN EGYETEM Gépészmérnöki Kr Orov Lászlóné dr. Informtik lpji Tntárgyhoz Kidolgozott Ecel feldtok Gödöllı, 8. Bevezetı Ez feldtgyőjtemény összefogllj z Informtik lpji tntárgy keretében okttott,

Részletesebben

14. modul Számtani és mértani közép, nevezetes egyenlőtlenségek

14. modul Számtani és mértani közép, nevezetes egyenlőtlenségek MATEMATIKA A 10. évfolym 14. modul Számtni és mértni közép, nevezetes egyenlőtlenségek Készítette: Vidr Gábor Mtemtik A 10. évfolym 14. modul: Számtni és mértni közép, nevezetes egyenlőtlenségek A modul

Részletesebben

Síkbeli egyenesek. 2. Egy egyenes az x = 1 4t, y = 2 + t parméteres egyenletekkel adott. Határozzuk meg

Síkbeli egyenesek. 2. Egy egyenes az x = 1 4t, y = 2 + t parméteres egyenletekkel adott. Határozzuk meg Analitikus mértan 3. FELADATLAP Síkbeli egyenesek 1. Írjuk fel annak az egyenesnek a paraméteres egyenleteit, amely (i) áthalad az M 0 (1, 2) ponton és párhuzamos a a(3, 1) vektorral; (ii) áthalad az origón

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT. Koordináta-geometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT. Koordináta-geometria MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT 1) Adott két pont: A 4; 1 felezőpontjának koordinátáit! AB felezőpontja legyen F. Koordináta-geometria és B 3 1; Írja fel az AB szakasz 1 3 4

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Koordináta-geometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Koordináta-geometria MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Koordináta-geometria A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2007. október 25. KÖZÉPSZINT I.

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2007. október 25. KÖZÉPSZINT I. MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 007. október 5. KÖZÉPSZINT I. ) Az A hlmz elemei háromnál ngyobb egyjegyű számok, B hlmz elemei pedig húsznál kisebb pozitív pártln számok. Sorolj fel z hlmz elemeit! ( pont) A B AB

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Mtemtik emelt szint 1111 ÉRETTSÉGI VIZSGA 011. május. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ NEMZETI ERŐFORRÁS MINISZTÉRIUM Formi előírások: Fontos tudnivlók 1.

Részletesebben

Sokszínû matematika 12. A KITÛZÖTT FELADATOK EREDMÉNYE

Sokszínû matematika 12. A KITÛZÖTT FELADATOK EREDMÉNYE Sokszínû mtemtik. A KITÛZÖTT FELADATOK EREDMÉNYE SOKSZÍNÛ MATEMATIKA A KITÛZÖTT FELADATOK EREDMÉNYE Logik, bizonítási módszerek. Logiki feldtok, kijelentések. Feltéve, hog középsõ kérdésre válszolt: középsõ

Részletesebben

Árki Tamás Konfárné Nagy Klára Kovács István Trembeczki Csaba Urbán János. sokszínû FELADATGYÛJTEMÉNY MEGOLDÁSOK. Mozaik Kiadó Szeged, 2009

Árki Tamás Konfárné Nagy Klára Kovács István Trembeczki Csaba Urbán János. sokszínû FELADATGYÛJTEMÉNY MEGOLDÁSOK. Mozaik Kiadó Szeged, 2009 Árki Tmás Konfárné Ng Klár Kovács István Trembeczki sb Urbán János sokszínû FELDTGYÛJTEMÉNY MEGOLDÁSOK 0 Mozik Kidó Szeged, 009 TRTLOMJEGYZÉK TRTLOMJEGYZÉK Megoldások 0. évfolm 0.. Gondolkodási módszerek

Részletesebben

KOMPLEX SZÁMOK A GEOMETRIÁBAN

KOMPLEX SZÁMOK A GEOMETRIÁBAN KMPLEX SZÁMK GEMETRIÁBN Mirce Bechenu Ismert, hogy kölcsönösen egyértelmű (ijektív) megfeleltetés létezik sík pontji és komplex számok hlmz közt. Ez megfeleltetés lehetővé teszi zt, hogy komplex számokt

Részletesebben

13. Trigonometria II.

13. Trigonometria II. Trigonometria II I Elméleti összefoglaló Tetszőleges α szög szinusza a koordinátasíkon az i vektortól az óramutató járásával ellentétes irányban α szöggel elforgatott e egységvektor második koordinátája

Részletesebben

15. Koordinátageometria

15. Koordinátageometria I. Elméleti összefoglaló Koordinátákkal adott vektorok 15. Koordinátageometria Ha a(a ; a ) és b(b ; b ) a sík két vektora, λ valós szám, akkor az a vektor hossza: a = a + a a két vektor összege : a +

Részletesebben

Néhány egyszerű tétel kontytetőre

Néhány egyszerű tétel kontytetőre Néhány egyszerű tétel kontytetőre ekintsük z ábr szerinti szimmeikus kontytetőt! ábr Az ABC Δ területe: ABC' m,v; ( ) z ABC Δ területe: ABC m ; ( ) z ABC* Δ területe: ABC* m ( 3 ) Az ábr szerint: m,v cos

Részletesebben

Perspektíva (Kidolgozott feladatok)

Perspektíva (Kidolgozott feladatok) Perspektí (idolgozott feldtok) 1. feldt z 1.. ábrán egy épület két etületét (megfelelõ kicsinyítésben) és etítõ rendszert dtk meg. Szerkesszünk perspektí képet! megoldás során z átmetszõ módszert sználjk

Részletesebben

17. Szélsőérték-feladatok megoldása elemi úton

17. Szélsőérték-feladatok megoldása elemi úton 7. Szélsőéték-feldtok egoldás elei úton I. Eléleti összefoglló Függvény szélsőétéke Definíció: Az f: A B függvénynek x A helyen (bszolút) xiu vn, h inden x A esetén f(x) f(x ).A függvény (bszolút) xiu

Részletesebben

Matematikai analízis. Editura Didactică şi Pedagogică

Matematikai analízis. Editura Didactică şi Pedagogică András Szilárd Mureşn Mrin Mtemtiki nlízis és lklmzási Editur Didctică şi Pedgogică Bucureşti, 2005 Descriere CIP Bibliotecii Nţionle României ANDRÁS SZILÁRD, MARIAN MUREŞAN Mtemtiki nlízis és lklmzási/

Részletesebben

Lajk o K aroly Kalkulus II. Debreceni Egyetem Matematikai es Informatikai Int ezet 2003 1

Lajk o K aroly Kalkulus II. Debreceni Egyetem Matematikai es Informatikai Int ezet 2003 1 Ljkó Károly Klkulus II. Debreceni Egyetem Mtemtiki és Informtiki Intézet 2003 1 c Ljkó Károly ljko @ mth.klte.hu Amennyiben hibát tlál jegyzetben, kérjük jelezze szerzőnek! A jegyzet dvi, pdf és ps formátumbn

Részletesebben

PÉLDA: Négyezer-hatszázöt 4 6 0 5 Jel Szám

PÉLDA: Négyezer-hatszázöt 4 6 0 5 Jel Szám 7. TESZTFÜZET JAVÍTÓKULCS / 2 ELEMI SZÁMOLÁSI KÉSZSÉG Minden helyes megoldás esetén 1, ármilyen hiányosság vgy hi esetén 0 pontot kell dni. SZÁMÍRÁS A BETŰVEL MEGADOTT SZÁMOKAT ÍRD LE SZÁMJEGYEKKEL! 02

Részletesebben

x = 1 = ı (imaginárius egység), illetve x 12 = 1 ± 1 4 2

x = 1 = ı (imaginárius egység), illetve x 12 = 1 ± 1 4 2 Komplex számok A valós számok és a számegyenes pontjai között kölcsönösen egyértelmű megfeleltetés létesíthető. A számfogalom a számegyenes pontjainak körében nem bővíthető tovább. A számfogalom bővítését

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára 8. évfolym TMt1 feldtlp MATEMATIKA FELADATLAP 8. évfolymosok számár tehetséggondozó változt 11:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll dolgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feldtokt tetszés szerinti

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára 8. évfolym TMt1 feldtlp MATEMATIKA FELADATLAP 8. évfolymosok számár tehetséggondozó változt 11:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll dolgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feldtokt tetszés szerinti

Részletesebben

12. Trigonometria I.

12. Trigonometria I. Trigonometria I I Elméleti összefoglaló Szögmérés A szög mérésének két gyakran használt módja van: fokban, illetve radiánban (ívmértékben) mérünk A teljesszög 0, ennek a 0-ad része az A szög nagyságát

Részletesebben

Geometria. a. Alapfogalmak: pont, egyenes, vonal, sík, tér (Az alapfogalamakat nem definiáljuk)

Geometria. a. Alapfogalmak: pont, egyenes, vonal, sík, tér (Az alapfogalamakat nem definiáljuk) 1. Térelemek Geometria a. Alapfogalmak: pont, egyenes, vonal, sík, tér (Az alapfogalamakat nem definiáljuk) b. Def: félegyenes, szakasz, félsík, féltér. c. Kölcsönös helyzetük: i. pont és (egyenes vagy

Részletesebben

MATEMATIKA 10. A tankönyv feladatai és a feladatok megoldásai

MATEMATIKA 10. A tankönyv feladatai és a feladatok megoldásai Dr Gerőcs László Számdó László MTEMTIK 0 tnkönyv feldti és feldtok megoldási megoldások olvsásához crobt Reder progrm szükséges, mely ingyenesen letölthető z internetről (például: dobelhu weboldlról) feldtokt

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára 8. évfolym TMt2 feltlp MATEMATIKA FELADATLAP 8. évfolymosok számár tehetséggonozó változt 15:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll olgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feltokt tetszés szerinti sorrenen

Részletesebben

A Gauss elimináció ... ... ... ... M [ ]...

A Gauss elimináció ... ... ... ... M [ ]... A Guss elimiáció Tekitsük egy lieáris egyeletredszert, mely m egyeletet és ismeretlet trtlmz: A feti egyeletredszer együtthtómátri és kibővített mátri: A Guss elimiációs módszer tetszőleges lieáris egyeletredszer

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 4. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 4. évfolyamosok számára 4. évfolym Mt2 feldtlp MATEMATIKA FELADATLAP 4. évfolymosok számár 2014. jnuár 23. 15:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll dolgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feldtokt tetszés szerinti sorrenden

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 6. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 6. évfolyamosok számára 6. évfolym Mt2 feldtlp MATEMATIKA FELADATLAP 6. évfolymosok számár 2014. jnuár 23. 15:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll dolgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feldtokt tetszés szerinti sorrenden

Részletesebben

Projektív ábrázoló geometria, centrálaxonometria

Projektív ábrázoló geometria, centrálaxonometria Projektív ábráoló geometria, centrálaonometria Ennél a leképeésnél a projektív teret seretnénk úg megjeleníteni eg képsíkon, hog a aonometrikus leképeést (paralel aonometriát) speciális esetként megkaphassuk.

Részletesebben

Logisztika A. 4. gyakorlat Egységrakomány képzés

Logisztika A. 4. gyakorlat Egységrakomány képzés Logisztik A tntárgy 4. gykorlt Egységrkomány képzés MISKOLCI EGYETEM Anygmozgtási és Logisztiki Tnszék TERMELŐ VÁLLALAT ANYAGÁRAMLÁSI RENDSZERE Csomgolás: Csomgolás feldti: áru védelme, áru fogyszthtóvá

Részletesebben

Matematika emelt szintû érettségi témakörök 2015. Összeállította: Kovácsné Németh Sarolta (gimnáziumi tanár)

Matematika emelt szintû érettségi témakörök 2015. Összeállította: Kovácsné Németh Sarolta (gimnáziumi tanár) Mtemtik emelt szintû érettségi témkörök 05 Összeállított: Kovácsné Németh Srolt (gimnáziumi tnár) Tájékozttó vizsgázóknk Tisztelt Vizsgázó! szóeli vizsgán tétel címéen megjelölt tém kifejtését és kitûzött

Részletesebben

54. Mit nevezünk rombusznak? A rombusz olyan négyszög,

54. Mit nevezünk rombusznak? A rombusz olyan négyszög, 52. Sorold fel a deltoid tulajdonságait! 53. Hogy számoljuk ki a deltoid területét? A deltoid egyik átlója a deltoid Átlói. A szimmetriaátló a másik átlót és a deltoid szögét. A szimmetriatengely két ellentétes

Részletesebben

4. Egyéni és piaci kereslet. 4.1 Ár-ajánlati görbe (PCC)

4. Egyéni és piaci kereslet. 4.1 Ár-ajánlati görbe (PCC) 4. Egéni és iaci kereslet z előző részben megvizsgáltuk azt, hog miként határozható meg eg fogasztó otimális fogasztási szerkezete, illetve azt is elemeztük, hog eg költségvetési egenes helzetére miként

Részletesebben

Vektorgeometria (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Vektorgeometria (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit Vektorgeometria (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit 1. Tekintsünk a térben egy P (p 1, p 2, p 3 ) pontot és egy v = (v 1, v 2, v 3 ) = 0 vektort. Ekkor pontosan egy egyenes létezik,

Részletesebben

Analízis II. harmadik, javított kiadás

Analízis II. harmadik, javított kiadás Ljkó Károly Anlízis II. hrmdik, jvított kidás Debreceni Egyetem Mtemtiki és Informtiki Intézet 2003 c Ljkó Károly ljko @ mth.klte.hu Amennyiben hibát tlál jegyzetben, kérjük jelezze szerzőnek! A jegyzet

Részletesebben

MATEMATIKA C 12. évfolyam 4. modul Még egyszer!

MATEMATIKA C 12. évfolyam 4. modul Még egyszer! MATEMATIKA C 1. évfolyam 4. modul Még egyszer! Készítette: Kovács Károlyné Matematika C 1. évfolyam 4. modul: Még eygszer! Tanári útmutató A modul célja Időkeret Ajánlott korosztály Modulkapcsolódási pontok

Részletesebben

Inlernet Online-utalványok könyvelése a Termékpartnernél. Kérdés. Válasz

Inlernet Online-utalványok könyvelése a Termékpartnernél. Kérdés. Válasz Inlernet Online-utlványok könyvelése Termékprtnernél Kérdés Törzsvásárló rendelkezésére z Inlernet online, névre szóló utlványt állít ki. A kiállítot utlvány értéke 2-3 npon belül megérkezik Termékprtner

Részletesebben

Hasonlósági transzformációk II. (Befogó -, magasság tétel; hasonló alakzatok)

Hasonlósági transzformációk II. (Befogó -, magasság tétel; hasonló alakzatok) Hasonlósági transzformációk II. (Befogó -, magasság tétel; hasonló alakzatok) DEFINÍCIÓ: (Hasonló alakzatok) Két alakzat hasonló, ha van olyan hasonlósági transzformáció, amely az egyik alakzatot a másikba

Részletesebben

Tárgy: 2() 14. évi s ciális nyári gvenl[keztetés. Előterjesztő: Di. Földc vaboics gyző. Készítette: Dr. Fölűcsi Szabolcs jegyző

Tárgy: 2() 14. évi s ciális nyári gvenl[keztetés. Előterjesztő: Di. Földc vaboics gyző. Készítette: Dr. Fölűcsi Szabolcs jegyző Előterjesztő: Di. Földc vbocs gyző Tervezett 1 db htározt Véleményező Szociális és [gészségügyi Bizottság Bizottság: Pénzügyi-, Gzdsági Bizottság Készítette: Dr. Fölűcsi Szbolcs jegyző el z lábbi htározti

Részletesebben

GEOMETRIA. b a X O Y. A pótszögek olyan szögpárok, amelyek az összege 90. A szögek egymás pótszögei. b a

GEOMETRIA. b a X O Y. A pótszögek olyan szögpárok, amelyek az összege 90. A szögek egymás pótszögei. b a GOMTRI ndrea Philippou, Marios ntoniades Szakaszok és félegyenesek gy szakasz felezőmerőlegese egy olyan egyenes, félegyenes vagy szakasz, ami áthalad a szakasz középpontján és merőleges a szakaszra. Tétel:

Részletesebben

Matematika emelt szintû érettségi témakörök 2011. Összeállította: Kovácsné Németh Sarolta (gimnáziumi tanár)

Matematika emelt szintû érettségi témakörök 2011. Összeállította: Kovácsné Németh Sarolta (gimnáziumi tanár) Mtemtik emelt szintû érettségi témkörök 0 Összeállított: Kovácsné Németh Srolt (gimnáziumi tnár) Tájékozttó vizsgázóknk szóeli vizsg leírás: z emelt szintû szóeli vizsg z Okttási Hivtl áltl kidott tételsor

Részletesebben

Matematika. Második kötet KÍSÉRLETI TANKÖNYV

Matematika. Második kötet KÍSÉRLETI TANKÖNYV Mtemtik Második kötet 10 KÍSÉRLETI TNKÖNYV tnkönyv megfelel z 51/0 (XII. ) EMMI rendelet: sz. melléklet: Kerettnterv gimnáziumok 9 évfolym számár.04 Mtemtik 6. sz. melléklet: Kerettnterv szkközépiskolák

Részletesebben

Analízis elo adások. Vajda István. 2012. szeptember 10. Neumann János Informatika Kar Óbudai Egyetem. Vajda István (Óbudai Egyetem)

Analízis elo adások. Vajda István. 2012. szeptember 10. Neumann János Informatika Kar Óbudai Egyetem. Vajda István (Óbudai Egyetem) Vajda István Neumann János Informatika Kar Óbudai Egyetem 1 / 36 Bevezetés A komplex számok értelmezése Definíció: Tekintsük a valós számpárok R2 halmazát és értelmezzük ezen a halmazon a következo két

Részletesebben

10. Síkgeometria. I. Elméleti összefoglaló. Szögek, nevezetes szögpárok

10. Síkgeometria. I. Elméleti összefoglaló. Szögek, nevezetes szögpárok 10. Síkgeometria I. Elméleti összefoglaló Szögek, nevezetes szögpárok Egy adott pontból kiinduló két félegyenes a síkot két részre bontja. Egy-egy ilyen rész neve szögtartomány, vagy szög. A két félegyenest

Részletesebben

Bevezető, információk a segédlet használatához

Bevezető, információk a segédlet használatához Bevezető, információk segédlet hsználtához A segédlet z állmháztrtásbn felmerülő egyes gykoribb gzdsági események kötelező elszámolási módjáról szóló 38/2013. (IX. 19.) NGM rendelet XI. fejezete szerinti

Részletesebben

Modul I Képzési szükségletek elemzése

Modul I Képzési szükségletek elemzése Modul I Képzési szükségletek elemzése A Képzési szükséglet-elemzési kézikönyv szerzoje: Instituto do Emprego e Formção Profissionl 1 Képzési szükségletek elemzése A következo oldlkon Önnek módj lesz föltenni

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 4. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 4. évfolyamosok számára 4. évfolym AMt3 feldtlp MATEMATIKA FELADATLAP 4. évfolymosok számár 20. jnuár 28. 1:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll dolgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feldtokt tetszés szerinti sorrenden

Részletesebben

Költség Típus Mérték Esedékesség Jellemző 3,17% Havi törlesztő részletekben Változó, éves meghatározott százalék. 2,69% 3,15%

Költség Típus Mérték Esedékesség Jellemző 3,17% Havi törlesztő részletekben Változó, éves meghatározott százalék. 2,69% 3,15% K&H Bnk Zrt. 1095 Budpest, Lechner Ödön fsor 9. telefon: (06 1) 328 9000 fx: (06 1) 328 9696 Budpest 1851 www.kh.hu bnk@kh.hu hirdetmény Jelzáloglevél kmttámogtásos hitel kondícióiról Érvényes 2003. december

Részletesebben

0 /2013. sz. igazgatói utasítás Adatvédelmi Szabályzat

0 /2013. sz. igazgatói utasítás Adatvédelmi Szabályzat Alsó-Dun-völgyi Vízügyi Igzgtóság Ikt. szám: 0010-CCO/2013. Témfelelős és szerkesztette: dr. Szőke Év, dr. Petz Gábor 0 /2013. sz. igzgtói utsítás Adtvédelmi Szbályzt Az információs önrendelkezési jogról

Részletesebben

Lineáris algebra zárthelyi dolgozat javítókulcs, Informatika I. 2005.márc.11. A csoport

Lineáris algebra zárthelyi dolgozat javítókulcs, Informatika I. 2005.márc.11. A csoport Lineáris algebra zárthelyi dolgozat javítókulcs, Informatika I. 2005.márc.11. A csoport 1. Egy egyenesre esnek-e az A (2, 5, 1), B (5, 17, 7) és C (3, 9, 3) pontok? 5 pont Megoldás: Nem, mert AB (3, 12,

Részletesebben

Geometria 1 normál szint

Geometria 1 normál szint Geometria 1 normál szint Naszódi Márton nmarci@math.elte.hu www.math.elte.hu/ nmarci ELTE TTK Geometriai Tsz. Budapest Geometria 1 p.1/4 Vizsga 1. Írásban, 90 perc. 2. Index nélkül nem lehet vizsgázni!

Részletesebben

Add meg az összeadásban szereplő számok elnevezéseit!

Add meg az összeadásban szereplő számok elnevezéseit! 1. 2. 3. 4. Add meg az összeadásban szereplő számok elnevezéseit! Add meg a kivonásban szereplő számok elnevezéseit! Add meg a szorzásban szereplő számok elnevezéseit! Add meg az osztásban szereplő számok

Részletesebben

A lehetetlenségre visszavezetés módszere (A reductio ad absurdum módszer)

A lehetetlenségre visszavezetés módszere (A reductio ad absurdum módszer) A lehetetlenségre visszavezetés módszere (A reductio ad absurdum módszer) Ezt a módszert akkor alkalmazzuk, amikor könnyebb bizonyítani egy állítás ellentettjét, mintsem az állítást direktben. Ez a módszer

Részletesebben

6. Laboratóriumi gyakorlat KAPACITÍV SZINTÉRZÉKELŐK

6. Laboratóriumi gyakorlat KAPACITÍV SZINTÉRZÉKELŐK 6. Lbortóriumi gykorlt KAPAITÍV SZINTÉRZÉKELŐK. A gykorlt célj A kpcitív szintmérés elvének bemuttás. A (x) jelleggörbe ábrázolás szigetelő és vezető olyékok esetén. Egy stbil multivibrátor elhsználás

Részletesebben

Mechanika Kinematika. - Kinematikára: a testek mozgását tanulmányozza anélkül, hogy figyelembe venné a kiváltó

Mechanika Kinematika. - Kinematikára: a testek mozgását tanulmányozza anélkül, hogy figyelembe venné a kiváltó Mechanika Kinematika A mechanika a fizika része mely a testek mozgásával és egyensúlyával foglalkozik. A klasszikus mechanika, mely a fénysebességnél sokkal kisebb sebességű testekre vonatkozik, feloszlik:

Részletesebben

Összegezés az ajánlatok elbírálásáról

Összegezés az ajánlatok elbírálásáról 9. melléklet 92./2011. (XII.30.) NFM rendelethez Összegezés z jánltok elbírálásáról 1. Az jánltkérő neve és címe: Pécs Megyei Jogú Város Önkormányzt 7621 Pécs, Széchenyi tér 1. sz. 2. A közbeszerzés tárgy

Részletesebben

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit. Komplex számok (2)

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit. Komplex számok (2) 2. előadás Komplex számok (2) 1. A a + bi (a, b) kölcsönösen egyértelmű megfeleltetés lehetővé teszi, hogy a komplex számokat a sík pontjaival, illetve helyvektoraival ábrázoljuk. A derékszögű koordináta

Részletesebben

Megoldás: Mindkét állítás hamis! Indoklás: a) Azonos alapú hatványokat úgy szorzunk, hogy a kitevőket összeadjuk. Tehát: a 3 * a 4 = a 3+4 = a 7

Megoldás: Mindkét állítás hamis! Indoklás: a) Azonos alapú hatványokat úgy szorzunk, hogy a kitevőket összeadjuk. Tehát: a 3 * a 4 = a 3+4 = a 7 A = {1; 3; 5; 7; 9} A B = {3; 5; 7} A/B = {1; 9} Mindkét állítás hamis! Indoklás: a) Azonos alapú hatványokat úgy szorzunk, hogy a kitevőket összeadjuk. Tehát: a 3 * a 4 = a 3+4 = a 7 Azonos alapú hatványokat

Részletesebben

I. rész. Feladatsor. 2. Andi keresett két olyan számot, amelyre teljesül, hogy a < b. Igaz-e, hogy a < b?

I. rész. Feladatsor. 2. Andi keresett két olyan számot, amelyre teljesül, hogy a < b. Igaz-e, hogy a < b? 1. Feladatsor I. rész 1. Adott két halmaz. A a 9-nél kisebb páros pozitív egészek; B a 30-nál kisebb, 6-tal osztható pozitív egészek halmaza. Adja meg az A B és a B \ A halmazokat!. Andi keresett két olyan

Részletesebben

14. Vektorok. I. Elméleti összefoglaló. Vektor. Az irányított szakaszokat vektoroknak nevezzük:

14. Vektorok. I. Elméleti összefoglaló. Vektor. Az irányított szakaszokat vektoroknak nevezzük: 14. Vektorok I. Elméleti összefoglaló Vektor Az irányított szakaszokat vektoroknak nevezzük: Jelölés: a kezdő és a végpont megadásával: AB ; egy kisbetűvel: v, írásban aláhúzás is szokásos: a; nyomtatásban

Részletesebben

ZAJ- ÉS REZGÉSVÉDELEM

ZAJ- ÉS REZGÉSVÉDELEM ZAJ- ÉS REZGÉSVÉDELEM I.) ÁLTALÁNOS RENDELKEZÉSEK Htáskör: A Közép-Dun-völgyi Környezetvédelmi, Természetvédelmi és Vízügyi Felügyelőség, mint joghtósággl rendelkező mgyr htóság Ket. 18. (1) bekezdése,

Részletesebben

2. A geometria alapfogalmai A geometria alapfogalmai: pont, vonal, egyenes, sík, tér.

2. A geometria alapfogalmai A geometria alapfogalmai: pont, vonal, egyenes, sík, tér. 1. Mi z lpfoglom? Alpfoglom: olyn foglom, mit ismrtnk fogdunk l, nm tudunk más foglmk sgítségévl mghtározni, dfiniálni, lgflj szmléltsn körülírjuk. Mindn tudomány ilyn lpfoglmkr épül fl. (Egy foglmt úgy

Részletesebben

A kvadratrixról. Ez azt jelenti, hogy itt a görbe egy mozgástani származtatását vesszük elő 1. ábra. 1. ábra

A kvadratrixról. Ez azt jelenti, hogy itt a görbe egy mozgástani származtatását vesszük elő 1. ábra. 1. ábra 1 A kvadratrixról A kvadratrix más néven triszektrix nevű síkgörbéről az [ 1 ] és [ 2 ] munkákban is olvashatunk. A keletkezéséről készített animáció itt tekinthető meg: http://hu.wikipedia.org/wiki/kvadratrix#mediaviewer/file:quadratrix_animation.gif

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 4. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 4. évfolyamosok számára 4. évfolym Mt1 feldtlp MATEMATIKA FELADATLAP 4. évfolymosok számár 2014. jnuár 18. 11:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll dolgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feldtokt tetszés szerinti sorrenden

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

A hiperbolikus síkgeometria Poincaré-féle körmodellje

A hiperbolikus síkgeometria Poincaré-féle körmodellje A hiperbolikus síkgeometria Poincaré-féle körmodellje Ha egy aiómarendszerre modellt adunk, az azt jelenti, hogy egy matematikai rendszerben interpretáljuk az aiómarendszer alapfogalmait és az aiómák a

Részletesebben

- 43- A Képviselő-testület 2 igen szavazattal, 19 tartózkodás mellett elvetette a Pénzügyi Bizottság módosító javaslatát.

- 43- A Képviselő-testület 2 igen szavazattal, 19 tartózkodás mellett elvetette a Pénzügyi Bizottság módosító javaslatát. - 43- Lezárom vitát. A Pénzügyi Bizottságnk volt módosító indítvány, Jogi Bizottság támogtj, Környezetvédelmi szintén támogtj, Pétfürdo Rzönkormányzt módosító indítványsoroztot tett, ezeket sorbn megszvzzuk.

Részletesebben

Általános Szerződési Feltételek vezetékes műsorjel-elosztási szolgáltatáshoz B jelű melléklet Adatkezelési- és adatvédelmi szabályzat

Általános Szerződési Feltételek vezetékes műsorjel-elosztási szolgáltatáshoz B jelű melléklet Adatkezelési- és adatvédelmi szabályzat A Telephnt Távközlési és Telekommunikációs Szolgálttó Zártkörűen működő Részvénytársság ( továbbikbn: Telephnt Távközlési Zrt. vgy Szolgálttó ) z előfizetők személyes dtit bizlmsn, htályos jogszbályi előírásokkl

Részletesebben

1. A komplex számok definíciója

1. A komplex számok definíciója 1. A komplex számok definíciója A számkör bővítése Tétel Nincs olyan n természetes szám, melyre n + 3 = 1. Bizonyítás Ha n természetes szám, akkor n+3 3. Ezért bevezettük a negatív számokat, közöttük van

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 4. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 4. évfolyamosok számára 4. évfolym Mt2 feldtlp MATEMATIKA FELADATLAP 4. évfolymosok számár : ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll dolgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feldtokt tetszés szerinti sorrenden oldhtod meg. Minden

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára 8. évfolym TMt2 feltlp MATEMATIKA FELADATLAP 8. évfolymosok számár tehetséggonozó változt 15:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll olgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feltokt tetszés szerinti sorrenen

Részletesebben

Geometria. 9 10. évfolyam. Szerkesztette: Hraskó András, Surányi László. 2015. augusztus 4.

Geometria. 9 10. évfolyam. Szerkesztette: Hraskó András, Surányi László. 2015. augusztus 4. Geometria 9 10. évfolyam Szerkesztette: Hraskó András, Surányi László 2015. augusztus 4. Technikai munkák (MatKönyv project, TEX programozás, PHP programozás, tördelés...) Dénes Balázs, Grósz Dániel, Hraskó

Részletesebben

E42-101 Segédletek III. Excel alapok. Excel alapok

E42-101 Segédletek III. Excel alapok. Excel alapok z S1O1 hivtko- E42-101 Segédletek III. Excel lpok Excel lpok Áttekintés elemzésekre, A Microsoft dtbázis-kezelésre Excel egy tábláztkezelő (korlátozottn!) progrm, és dtok melyet grfikus dtbevitelre, megjelenítésére

Részletesebben

KÉRDŐÍV. (március hó 31. napja, 24 órai állás szerint) Születési idő. nős/férjezett

KÉRDŐÍV. (március hó 31. napja, 24 órai állás szerint) Születési idő. nős/férjezett H O R V Á T K Ö Z T Á R S A S Á G KÖZPONTI STATISZTIKAI HIVATAL KÉRDŐÍV (március hó 31. npj, 24 óri állás szerint) P-1 Nyomttvány A jelen nyomttványbn szereplő összes dtok titoknk számítnk és cskis sttisztiki

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2005. május 28. KÖZÉPSZINT I.

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2005. május 28. KÖZÉPSZINT I. ) Mely valós számokra igaz, hogy 7 7 MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 005. május 8. KÖZÉPSZINT I. 7? Összesen: pont ) Egy 40 000 Ft-os télikabátot a tavaszi árleszállításkor 0%-kal olcsóbban lehet megvenni. Mennyi

Részletesebben

Geometriai alapok Felületek

Geometriai alapok Felületek Geometriai alapok Felületek Geometriai alapok Felületek matematikai definíciója A háromdimenziós tér egy altere Függvénnyel rögzítjük a pontok helyét Parabolavezérgörbéjű donga 4 f z x + a C Elliptikus

Részletesebben

ÉVES GAZDASÁGSTATISZTIKAI JELENTÉS, 2012 Mezőgazdaság és szolgáltató ágazatok

ÉVES GAZDASÁGSTATISZTIKAI JELENTÉS, 2012 Mezőgazdaság és szolgáltató ágazatok KÖZPONTI STATISZTIKAI HIVATAL Az dtszolgálttás sttisztikáról szóló 1993. évi XLVI. törvény (Stt.) 8. (2) bekezdése lpján kötelező. Nyilvántrtási szám: 1886 ÉVES GAZDASÁGSTATISZTIKAI JELENTÉS, 2012 Mezőgzdság

Részletesebben

ÉVES GAZDASÁGSTATISZTIKAI JELENTÉS, 2012 Mezőgazdaság és szolgáltató ágazatok

ÉVES GAZDASÁGSTATISZTIKAI JELENTÉS, 2012 Mezőgazdaság és szolgáltató ágazatok KÖZPONTI STATISZTIKAI HIVATAL Az dtszolgálttás sttisztikáról szóló 1993. évi XLVI. törvény (Stt.) 8. (2) bekezdése lpján kötelező. Nyilvántrtási szám: 1886 ÉVES GAZDASÁGSTATISZTIKAI JELENTÉS, 2012 Mezőgzdság

Részletesebben

1.3.1. Repülőgép-hajtóművek... 18 1.3.2. Légcsavar... 22 1.3.3. A repülőgép-hajtóművek jellemzői... 62 1.4. Utazó üzemmód jellemzése...

1.3.1. Repülőgép-hajtóművek... 18 1.3.2. Légcsavar... 22 1.3.3. A repülőgép-hajtóművek jellemzői... 62 1.4. Utazó üzemmód jellemzése... rtlo. Repülési tuljdonságo... 8.. Nezetözi Egezénes égör... 8.. A repülőgépe erodinii jellezői....3. Rendelezésre álló tolóerő és teljesítén... 8.3.. Repülőgép-hjtóűve... 8.3.. égsvr....3.3. A repülőgép-hjtóűve

Részletesebben

BEVEZETÉS AZ ANALÍZISBE

BEVEZETÉS AZ ANALÍZISBE BEVEZETÉS AZ ANALÍZISBE Mezei István, Frgó István, Simon Péter Eötvös Loránd Tudományegyetem Alklmzott Anlízis és Számításmtemtiki Tnszék ii Trtlomjegyzék 1. Előszó 1 2. Hlmzok, relációk, függvények 3

Részletesebben

Csak akkor nyisd ki a tesztfüzetet, amikor ezt kérik! Ha valamit nem tudsz megoldani, nem baj, folytasd a következő feladattal!

Csak akkor nyisd ki a tesztfüzetet, amikor ezt kérik! Ha valamit nem tudsz megoldani, nem baj, folytasd a következő feladattal! 4. CÍMKE ÉVFOLYAM ORSZÁGOS KÉSZSÉG ÉS KÉPESSÉGMÉRÉS 2009.05.27. 08:00 08323 VÁLTOZAT Csk kkor nyisd ki tesztfüzetet, mikor ezt kérik! H vlmit nem tudsz megoldni, nem j, folytsd következő feldttl! ELEMI

Részletesebben

Koordináta-rendszerek

Koordináta-rendszerek Koordináta-rendszerek Térkép: a Föld felszín (részletének) ábrázolása síkban Hogyan határozható meg egy pont helyzete egy síkon? Derékszögű koordináta-rendszer: a síkban két, egymást merőlegesen metsző

Részletesebben

Matematika. 9.osztály: Ajánlott tankönyv és feladatgyűjtemény: Matematika I-II. kötet (Apáczai Kiadó; AP-090803 és AP-090804)

Matematika. 9.osztály: Ajánlott tankönyv és feladatgyűjtemény: Matematika I-II. kötet (Apáczai Kiadó; AP-090803 és AP-090804) Matematika A definíciókat és tételeket (bizonyítás nélkül) ki kell mondani, a tananyagrészekhez tartozó alap- és közepes nehézségű feladatokat kell tudni megoldani A javítóvizsga 60 -es írásbeliből áll.

Részletesebben

A csúszóvágásról, ill. - forgácsolásról

A csúszóvágásról, ill. - forgácsolásról A csúszóvágásról, ill. - forgácsolásról A vágás, ill. a forgácsolás célja: anyagi részek egymástól való elválasztása. A vágás, ill. a forgácsolás hagyományos eszköze: a kés. A kés a v haladási irányhoz

Részletesebben

11. Geometriai transzformációk

11. Geometriai transzformációk 11. Geometriai transzformációk I. Elméleti összefoglaló Geometriai transzformációknak nevezzük azokat a függvényeket, amelyeknek az értelmezési tartománya és értékkészlete is ponthalmaz. Ha a transzformáció

Részletesebben

Harmonikus rezgések összetevése és felbontása

Harmonikus rezgések összetevése és felbontása TÓTH.: Rezgésösszetevés (kibővített óravázlat) 30 005.06.09. Harmonikus rezgések összetevése és felbontása Gyakran előfordul hogy egy rezgésre képes rendszerben több közelítőleg harmonikus rezgés egyszerre

Részletesebben

Ultrarövid lézerimpulzusban jelenlevő terjedési irány és fázisfront szögdiszperzió mérése

Ultrarövid lézerimpulzusban jelenlevő terjedési irány és fázisfront szögdiszperzió mérése Ultrarövid lézerimpulzusban jelenlevő terjedési irán és fázisfront szögdiszperzió mérése I. Elméleti összefoglaló Napjainkban ultrarövid, azaz femtoszekundumos nagságrendbe eső fénimpulzusokat előállító

Részletesebben

Térbeli transzformációk, a tér leképezése síkra

Térbeli transzformációk, a tér leképezése síkra Térbeli transzformációk, a tér leképezése síkra Homogén koordináták bevezetése térben A tér minden P pontjához kölcsönösen egyértelműen egy valós (x, y, z) számhármast rendeltünk hozzá. (Descartes-féle

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika középszint 131 ÉRETTSÉGI VIZSGA 013. október 15. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ EMBERI ERŐFORRÁSOK MINISZTÉRIUMA Fontos tudnivalók Formai előírások:

Részletesebben

Átszámítások különböző alapfelületek koordinátái között

Átszámítások különböző alapfelületek koordinátái között Átszámítások különböző alapfelületek koordinátái között A különböző időpontokban, különböző körülmények között rögzített pontok földi koordinátái különböző alapfelületekre (ellipszoidokra geodéziai dátumokra)

Részletesebben

BUDAPEST FŐVÁROS X. KERÜLET KŐBÁNYAI ÖNKORMÁNYZAT llsl &Q jl ^[k>q^. POLGÁRMESTERE íjjjjg s/fp; 2 4 Budapest ;...V...

BUDAPEST FŐVÁROS X. KERÜLET KŐBÁNYAI ÖNKORMÁNYZAT llsl &Q jl ^[k>q^. POLGÁRMESTERE íjjjjg s/fp; 2 4 Budapest ;...V... Budpest Főváros X. kerület Kőbánv Önkormányzt Képviselő-testület üle BUDAPEST FŐVÁROS X. KERÜLET KŐBÁNYAI ÖNKORMÁNYZAT llsl &Q jl ^[k>q^. POLGÁRMESTERE íjjjjg s/fp; 2 4 Budpest ;...V... Tárgy: Jvslt Budpest

Részletesebben

Mit jelent az optimalizálás?

Mit jelent az optimalizálás? Mikroökon konómiai optimumfeladatok megoldási módszereim Alapvetõ deriválási szabálok. Feltételes szélsõ érték feladatok megoldása. Mit jelent az optimalizálás? feltételes szélsõérték-feladat döntési helzet

Részletesebben

Bevezető, információk a segédlet használatához

Bevezető, információk a segédlet használatához Bevezető, információk segédlet hsználtához A segédlet z állmháztrtásbn felmerülő egyes gykoribb gzdsági események kötelező elszámolási módjáról szóló 38/2013. (IX. 19.) NGM rendelet II. fejezete szerinti

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA MATEmATIkA I 6 VI KOmPLEX SZÁmOk 1 A komplex SZÁmOk HALmAZA A komplex számok olyan halmazt alkotnak amelyekben elvégezhető az összeadás és a szorzás azaz két komplex szám összege és szorzata

Részletesebben

NEMZETI SZAKKÉPZÉSI ÉS FELNŐTTKÉPZÉSI INTÉZET MÓDSZERTANI ÚTMUTATÓ A BEMENETI KOMPETENCIÁK MÉRÉSÉHEZ

NEMZETI SZAKKÉPZÉSI ÉS FELNŐTTKÉPZÉSI INTÉZET MÓDSZERTANI ÚTMUTATÓ A BEMENETI KOMPETENCIÁK MÉRÉSÉHEZ NEMZETI SZAKKÉPZÉSI ÉS FELNŐTTKÉPZÉSI INTÉZET MÓDSZERTANI ÚTMUTATÓ A BEMENETI KOMPETENCIÁK MÉRÉSÉHEZ 2007 Szkmi Irányító: Modláné Görgényi Ildikó Készítették: Kertész Adrienn Munk-és szervezet szkpszichológus,

Részletesebben

Mértan O.I. Globin, O.P. Vasulenko, A.V. Kozakivszka

Mértan O.I. Globin, O.P. Vasulenko, A.V. Kozakivszka MAGYARÁZAT Az ajánlott Mértan 0 osztály feladatgyűjtemény a középiskolák 0-es tanulóinak általános iskolai tudásszintjének felmérését szolgálja. A felmérés célja a tízedikes tanulók általános iskolában

Részletesebben

www.easymaths.hu -1 0 1 Egy harmadik fajta bolha mindig előző ugrásának kétszeresét ugorja és így a végtelenbe jut el.

www.easymaths.hu -1 0 1 Egy harmadik fajta bolha mindig előző ugrásának kétszeresét ugorja és így a végtelenbe jut el. Végtele sok vlós számból álló összegeket sorokk evezzük. sorb szereplő tgokt képzeljük el úgy, mit egy bolh ugrásit számegyeese. sor összege h létezik ilye z szám hov bolh ugrási sorá eljut. Nézzük például

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2010. október 19. EMELT SZINT

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2010. október 19. EMELT SZINT 1) MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 010. október 19. EMELT SZINT a) Mely valós számok elégítik ki az alábbi egyenlőtlenséget? 3 3 1 1 8 b) Az alábbi f és g függvényt is a f 3 és g 0,5,5 I. 3;6. intervallumon értelmezzük.

Részletesebben