Mértani helyek 289. III. Mértani helyek

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "Mértani helyek 289. III. Mértani helyek"

Átírás

1 értni helek 89 III. értni helek 3.. Lineáris feltételekkel dott mértni helek Gkrn tlálkoztok oln feldttl, melekben eg közös tuljdonsággl rendelkező pontok hlmzát kell meghtározni. ár z áltlános iskolából tudjátok, hog z ilen hlmzt z illető pontok mértni helének nevezzük. Áltlábn eg mértni hel meghtározásánál pontok közös tuljdonságából következtetünk eg oln tuljdonságr, melből zonnl kiolvshtó, hog mértni hel milen hlmznk része. Ilenkor, h nem ekvivlens átlkításokkl jutottunk ehhez tuljdonsághoz, kkor be kell bizonítni, hog z áltlunk megsejtett ponthlmz minden pontj eleme mértni helnek vg ki kell zárni zon pontokt, melek nem rendelkeznek z dott tuljdonsággl.. feldt. Htározzuk meg zon pontok mértni helét, melek egenlő távolságr vnnk z A és B rögzített pontoktól. ) z α síkbn (A, B α ) b) térben. (,) egoldás. ) Vegünk fel eg derékszögű koordinátrendszert, melnek origój z A pont és z O tengel z AB egenes. A pontok koordinátái A(, ) és Bb (,). Eg (, ) pont pontosn kkor teljesíti feldtbeli feltételt, h + = ( b) +, vgis h b =. Tehát mértni hel eg egenes. Ez z AB szksz felezőmerőlegese. b) A derékszögű koordinátrendszert z előzőhöz hsonló módon vegük fel. A pontok koordinátái A(,,) és Bb (,,). Az (,, z) pont pontosn kkor vn egenlő távolságr z A és B pontoktól, h b + + = + +, vgis h =. mértni hel eg sík. (Az ekvivlens átlkítások z ( b) z B(b,,) A B(b, ) = b/ 9. ábr Tehát mitt nem szükséges egik esetben sem külön bebizonítni, hog vlóbn minden pont hozzátrtozik mértni helhez.) Ez z AB szksz felezőmerőleges síkj. egjegzés. H feldt nem dott koordinátákkl vn megfoglmzv, célszerű A = b/. ábr (,,z) számolások egszerűsítése végett lehető legmegfelelőbb koordinátrendszert válsztni. Lássuk mi történt voln, h tetszőlegesen válsztunk koordinátrendszert: ) H z dott pontok A (, ) és Bb (, b ), kkor z (, ) pont pontosn kkor vn egenlő távolságr z A és B pontoktól, h ( ) + ( ) = ( b ) + ( b ), vgis h ( b ) + ( b ) + b + b =, ez pedig eg egenes egenlete. Az első megoldás esetén látszott, hog mértni hel merőleges AB -re és felezi zt, z előbbi egenlet lpján ennek bizonítás további számolásokt igénelne.

2 9 értni helek b) H z dott pontok A (,, ) és Bb (, b, b ), kkor z (, ) pont pontosn 3 3 kkor vn egenlő távolságr z A és B pontoktól, h innen ( ) + ( ) + ( z ) = ( b ) + ( b ) + ( z b ), 3 3 ( b ) ( b ) ( b ) z b + b + b = pedig eg sík egenlete. Akárcsk z ) pontnál z utóbbi egenletből nem derül ki zonnl, mint z előző koordinátrendszer válsztásánál, hog ez sík merőleges AB -re és felezi zt.. feldt. Htározzuk meg zon pontok mértni helét, meleknek két dott e és e egenestől mért távolságik rán dott pozitív állndó. egoldás. Két esetet kell tárglnunk: h z egenesek párhuzmosk, illetv e h metszik egmást. I. eset. e e. Vegük fel koordinátrendszert úg, hog z O tengel legen z * e egenes. Az egenesek egenletei: e : = és e : =. k= e = e k + k (,) k = k -. ábr. ábr E g (, ) távolsági z egenesektől: d = és d =. Tehát k= e = e (,) = k összefüggés kell teljesüljön. (A feldt feltételeiből világos, hog nincs rjt egik egenesen sem.) Innen két esetünk vn: k = k( ) =, h k k k = k( ) = ( k >, tehát ez mindig lehetséges) + k Tehát, h k, kkor z ekvivlens átlkítások mitt mértni hel két egenes: k k = és =, h pedig k =, kkor csk eg egenes: =. k + k (Ez utóbbi esetben tuljdonképpen két egenestől mért távolság egenlő) II. eset. e e = { O}. Legen derékszögű koordinátrendszer középpontj z O pont és z O tengel z e egenes. Az egenesek egenletei: e : = és e : = m ( m ) h e e és e : = illetve e : =, h e e., ez

3 értni helek 9 k = + m e e k = + m e km k m = - + (,) = km + + k m e = (,) m O. H e A d e, kkor z (, ) pont távolsági z egenesektől: d = m, tehát 3. ábr 4. ábr = + m = k feltételnek kell teljesülnie. (Láthtó, hog z m + m = m -et tejesítő pont nincs rjt mértni helen) Ismét két eset tárglás szükséges: m km = k =, h k + m m + k + m m = k + km =. m + k + + m Tehát h k + m, kkor mértni hel z e km km = és = egenletű k + m k + + m egenesekből áll (, ) pont kivételével, h pedig (,) m k = + m e, kkor z = és = egenletű egenesekből (, ) pont kivételével. B. H e e, kkor két egenest tekinthetjük 5. ábr derékszög ű koordinátrendszer tengeleinek. Az (, ) pont távolsági z egene- sektől: d = és d =, tehát mértni hel z = k és = k k egenesekből áll (, ) pont kivételével. (H z () és () egenletekben m, kkor éppen fenti egenleteket kpjuk.) egjegzés. A második esetben, h k = -et helettesítünk, kkor két egenes áltl meghtározott szög belső és külső szögfelezőjének egenletéhez jutunk. * 3. feldt. A P (, b ) ( b, ) rögzített ponton át húzunk két változó egmásr merőleges d és d egenest. A d egenes z O tengelt A -bn, míg d egenes z O tengelt B -ben metszi. Htározzuk me g P pont AB egenesre eső = - = k és

4 9 értni helek vetületének mértni helét. egoldás * H d O, jelöljük m -gl d egenes iránténezőjét ( m, mert ellenkező P esetben nem metszi z O tengelt). A d P iránténezője, d és d egenesek m egenletei: d : = b + m( ) és A P d : = b ( ). Tehát z A és B m m b koordinátái: A, m és B, + B m. 6. ábr m b Az AB egenes egenlete: AB : m ( + mb) + m ( m b) ( m b)( + mb) =, A P ponton áthldó AB -re merőleges egenes egenlete: d : m ( m b) m ( + mb) m ( m b) + m ( + mb) b =, tehát két ( m b) b ( + mb) egenes metszéspontjánk koordinátái:, m( + b) m ( + b). ( m b) Az = egenlőségből kifejezve z m -et és behelettesítve z m + b ( ) b ( + mb) = egenlőségbe z + b = b összefüggéshez jutunk. m ( + b) Ez eg egenes egenlete, tehát mértni hel része eg egenesnek. eg kellene vizsgálnunk, hog z egenes minden pontj hozzátrtozik-e mértni helhez. Ehhez ( m b) szükséges megvizsgálni, hog m esetén z = és m + b b ( + mb) = m + b ( ) ( ) milen értékeket vehet fel. Ez utóbbi egenlőségek lpján b b m = =. Ebből következik, hog bármel b + b b ( ) ( ) 3 \ + b értéket felvehet z bszcisszáj. 3 3 b d O esetén vetület éppen z, b b pont, tehát mértni hel + + z + b = b egenletű egenes. Ez tuljdonképpen P (,) és P (, b ) pontokon átmenő egenes. * egjegzés. Kereshettük voln mértni helet bbn z esetben is, h b, + és csk zokt és d egeneseket tekintjük, melek pozitív féltengeleket met- d

5 értni helek 93 szik. Ebben z esetben z m kell teljesítse z lábbi egenlőtlenségeket: m < b b vg m > és < < m, b < vg, innen, + m m b. 3 b H m,, kko r () és (3) összefüggésekből +, b és b 3, + b, e z pe d ig z ( ) ( ) b P nílt szkszt htározz meg. m, + esetén P nílt szkszhoz ju tunk. H pedig tengelekkel párhuzmos egeneseket tekintjük, kkor ebben z esetben is vetület z pont lesz. Tehát itt mértni hel ( PP ) nílt szksz. 4. feldt. Htározzuk meg zon pontok mértni helét, melek (, ) koordinátáir + <. egoldás. Rögzített -re + < pontosn kkor, h <, de z, d pont d d : + = egenesen vn, tehát zokr z (, ) O párokr teljesül z + < egenlőtlenség, meleknek megfelelő pontok d : = egenesen z pont ltt helezke dnek el. Az -et változtv különböző félegeneseket kpunk, meleknek egesí- z + = egenletű 7. ábr tése d eg enes áltl meghtározott lsó nílt félsík. Íg z + < egenlőtlenséget teljesítő pontok egenes áltl meghtározott felső nílt félsíkot lkotják ( 7. ábrán bevonlkázott rész). 5. feldt. Htározzuk meg zon pontok = mértni helét, melek (, ) koordinátáir = +, + és + 5. C egoldás. Az előző feldthoz hsonlón B okosko dv kpjuk, hog mértni hel három A félsík metszete, éspedig z = egenes áltl = 5 htárolt lsó zárt félsík, z = + egenes áltl htárolt felső zárt félsík és z = 5 O 5 egenes áltl htárolt lsó zárt félsík metszete. Ez 8. ábr z ABC belső D trtomán z oldlivl egütt. (8. ábr) 6. feldt. Htározzuk meg z + kifejezés minimumát, h, + és + 5.

6 94 értni helek egoldás. Tuljdonképpen z 5. feldtbn kpott D trtomán pontji között kell keresni olt, mel koordinátáir + minimális. Tudjuk, hog e g (, ) pont távolság z O ponttól +, tehát z O -hoz legközelebb eső keressü k. Ez éppen z A csúcs, tehát in ( m + ) = + = 5. (, ) D D -beli pontot 3.. Lineáris progrmozás Vlmenni szervezetnek döntéseket kell hozni erőforrásink llokálásáról és felhsználásáról. ivel ezek z erőforrások csk korlátozottn állnk rendelkezésre, menedzsmentnek folmtosn döntéseket kell hozni felhsználásukról nnk érdekében, hog válllkozás céljit minél hmrbb elérhesse. Lehetséges célok például forglom vg nereség növelése, vlmint költségek minimlizálás. Ilen strtégii döntések hoztl lineáris vg nem-lineáris progrmozás segítségével érhető el. A lineáris és nem-lineáris progrmozás oln mtemtiki technikák, melek felhsználhtók rr, hog eg válllt z erőforrásit céliránosn hsználj fel. Tnkönvünkben csk lineáris progrmozássl fogllkozunk. Ahhoz, hog eg döntési problémát optimlizálási problémává lehessen lkítni, különböző feltételeknek kell teljesülniük: Különböző döntési lterntíváknk kell létezniük, melek válllt célját ngmértékben befolásolják és ezek mtemtiki változók formájábn kifejezhetőknek kell lenniük. Az erőforrásoknk korlátozottn kell rendelkezésre állniuk. Világosn meg kell tudni foglmzni zt válllti célt, mel döntési lterntíváktól függ és ezt is ki kell tudni fejezni döntési változók mtemtiki függvéneként. A fentieknek megfelelő optimlizálási modellek három lpvető komponensből állnk: A döntési változók oln értékek, meleket döntéshozó befolásolni tud. Ezek számár keressük z optimális értékeket. A célfüggvén döntési változók eg függvéne, melet mimlizálni vg minimlizálni kell. (Pl. költségek minimlizálás, nereség mimlizálás) A korlátok oln feltételek, melek megengedett változókombinációk hlmzát behtárolják. Feld t. Eg háziállt táplálékánk trtlmzni kell négféle tápngból leglább, kg,,4 kg, kg és 4, kg menniséget. Két tkrmánféleség áll rendelkezésünkre: A és B. kg A tkrmánbn rendre,; ;,;,7 kg vn z eges tápngokból, kg B tkrmán ezekből ;,;,;,6 kg-ot trtlmz. Az A tkrmá n egségár millió lej/kg, B tkrmáné 3 millió lej/kg. Htározzuk meg gzdságos tkrmánkeverék összetételét! egoldás. indenekelőtt feldtot át kell írni mtemtiki változók segítségével: A döntési változók z A és B tkrmánokból rendelt menniségek kg-bn. Legen ez és. Ekkor célfüggvén z összár: f (, ) = + 3, mit minimlizálni kell következő korlátozási feltételek mellett:

7 értni helek 95,, ;,, 4 ;, +, ;, 7 +, 6 4, ;, A korlátozási feltételek egenértékűek következőkkel: Ábrázoljuk z előbbi feltételeket teljesítő pontokt z O derékszögű koordinátrendszerben. (9. ábr) 7 6 = + = 4 A = + = d B C 9. ábr. ábr A 9. ábrán bevonlkázott rész korlátozási feltételeket teljesítő pontok hlmz. Ezt lehetséges megoldások hlmzánk nevezzük. Ezek közül kell kiválsztnunk zt, melre + 3 értéke minimális. Vezessünk be eg prmétert és legen = eg d 3 egenes egenlete. Az előbbi egenescslád egenesei pár- huzmosk egmássl és metszéspontjuk z O tengell el (, ) pont. Ezen ege- nesek közül zt kell kiválsztnunk, mel metszi lehetséges megoldások trtománát és minimális. Azz d = d egenest ddig toljuk párhuzmosn felfele, meddig lesz közös pontj trtománnl. Könnű belátni, hog ez közös pont tr- h trtománt htároló egenesek egikével sem párhuz- tomán htárán vn, sőt mos d egenes, kkor vlmel csúcsbn tlálhtó. H párhuzmos vlmel htáregenessel és ezt z egenest érinti először párhuzmos eltolás során, kkor ezen egenes minden pontjábn minimális célfüggvén értéke, íg végpontokbn is. Következésképpen elégséges kiszámolni célfüggvén értékét végpontokbn és ezek közül legkisebb lesz minimális. Htározzuk meg trtomán csúcsink koordinátáit. Az egenesek egenleteiből lkotott rendszereket megoldv kpjuk, hog z A, B és C metszéspontok 4 koordinátái: A, 3, B 7 3, és C ( 6, ). A célfüggvén értékei ezekben 4 4 pontokbn: f, 3 3 = + 3 = , f 3, = + 3 = = 6, 5 és 3

8 96 értni helek f ( 6, ) = = 8. Azonnli, hog B pont esetében vn minimum. Tehát z optimális, h 3 kg-ot vásárolunk z A tkrmánból é s 3,5 kg-ot B tkrmánból, ez 6, 5 millió lejbe kerül és trtlmz,3 kg-ot z I. tápngból,,7 kg-ot II. tápngból, kg-ot III. tápngból és 4, kg-ot IV. tápngból. Feldtok. Eg üzem kétféle oln árut készít, melekhez z A, B és C gépsorok is kellenek. Az első áru eg egségének elkészítéséhez z A gépsoron 5 ór, B gépsoron ór, C gépsoron ór kell; második áru eg egségének elkészítéséhez z A gépsoron 3 ór, B gépsoron 3 ór, C gépsoron 7 ór kell. Az A gépnek 8 ór, B gépnek 45 ór és C gépnek 89 ór szbd idej e vn. ) Hán egség árut készíthetnek rendelkezésre álló idő ltt, h z cél, hog lehető legtöbbet készítsenek. b) H z első árunál egségenként 5 pénzegség, míg másodiknál 9 pénzegség nereség, htározd meg mimális nereséget biztosító gártási strtégiát! enni ekkor ez mimális nereség?. A XI. E. osztál tedélutánr készül. A lánok elhtározzák, hog szendvicseket készítenek. A szendvicsek elkészítéséhez következő nersng gűlt össze: dkg vj, dkg sonk, dkg sjt, db kemén tojás. Keneret bármikor vásárolhtnk szomszéd boltbn. Kétféle szendvicset készítenek: sonkást é s sjtost. Eg sonkás szendvicshez 3dkg vjt, 3dkg sonkát, dkg sjtot, /4 tojást és eg szelet keneret hsználnk fel. A sjtos szendvicshez dkg vjr, dkg sonkár, 5dkg sjtr és / tojásr és eg szelet kenérre vn szükség. A rendelkezésre álló nersngból hán drb sonkás és hán drb sjtos szendvicset készítsenek úg, hog lehető legtöbben jóllkjnk ( szendvicsek szám lehető legngobb legen)? 3. Az A és B típusú ruhák elkészítéséhez következő munkműveletek szükségesek: unkművelet A B Szbás 3perc 3perc Vrrás perc 4perc Hegesztés perc Eg műszkon belül szbásr összesen 4 perc, vrrásr összesen 44 perc, hegesztésre összesen 8 perc fordíthtó. Az A típusú ruh 6 Pe (pénzegség) hszonnl, B típusú 3 Pe hszonn l jár. Az A típusú ruh termelési értéke drbonként 45 Pe, B típusú ruh termelési értéke drbonként 5 Pe. Hán drbot termeljen gár eg műszkbn, h ) mimális hszonr, b) mimális termelési értékre, c) mimális hszon mellett mimális drbszám elérésére töreks zik? Létezik-e oln termelési progrm, mel mindhárom követelmént egszerre kielégíti?

9 értni helek ásodrendű görbék Az eddig tnulmánozott mértni helek egenletei elsőfokúk voltk mindkét változóbn. Azz egenesek, szkszok vg ezek áltl htárolt trtománok voltk. A továbbikbn oln mértni heleket tnulmánozunk, melek egenletében másodfokú tgok (, és ) is megjelennek. Az ilen görbéket nevezzük másodrendű görbéknek A kör ár z áltlános iskolából tudjátok, hog kör zon pontok mértni hele síkbn, melek eg dott ponttól egenlő távolságr vnnk. A kör egenletei Htározzuk meg kör egenletét. Először z origó középpontú kör egenletét htároz kör sugr r. Ekkor z (, ) pont pontosn kkor vn rjt zuk meg. Legen körön, h origótól mért távolság r, zz + = r innen z origó középpontú r sugrú kör egenlete: C : + = r (), (Az ekvivlens átlkításokból következik, hog minden () egenletet teljesítő koordinátájú pont rjt vn körön) O r (,) O O r (,) O O. ábr. ábr 3. ábr Írjuk fel most eg tetszőleges O (, ) középpontú r sugrú kör egenletét. Az (, ) pont pontosn kkor vn rjt körön, h pedig egenértékű C :( ) + ( ) = r (), ( ) + ( ) = r, ez egenlettel, ez utóbbi egenlet z O (, ) középpontú r sugrú kör egenlete egjegzés. Tuljdonképpen C ( O, r) kör C ( Or, ) kör (, ) vektorrl vló párhuzm os eltolás áltli képe (3. ábr), innen pedig z () összefüggésből zonnl következik, hog ( O, r) egenlete () egenlet. C H () összefüggésben elvégezzük négzetre emeléseket és rendezzük, kkor z r = lkú másodfokú kétismeretlenes ( )

10 98 értni helek egenletet kpjuk. Ezt z egenletet z áltlános másodfokú kétismeretlenes A + B + C + D + E + F = egenlettel összevetve megállpíthtjuk, hog z áltlános kétismeretlenes egenlet csk kkor lehet kör egenlete, h A= C és B =. Ebben z esetben A -vl vló végigosztás után kpjuk, hog z egenlet C : b + c = (3) lkú. Ezt z egenletet nevezzük kör áltlános (descrtesi) vg normálegenletének. Vizsgáljuk meg, hog z, b, c számok befolásolják-e kör létezését. Egészítsük ki teljes négzetekre (3) összefüggést. (3) ( + ) + ( + b) ( + b c) =. Láthtó, hog: h + b < c, kkor nem léteznek (3) összefüggés, zt is szoktuk mondni, hog ekkor képzetes körünk vn; h + b = c, kkor z egenletet csk P(, b) pont elégíti ki, ilenkor nullkörről vg elfjult körről beszélünk; 3 h + b > c, kkor (3) egenlet P(, b) középpontú r = + b c sugrú vlódi kör egenlete. A kör prméteres egenletei H z ( ) egenletben végigosztunk r -tel, kkor z = + egenlethez r r jutunk. ivel! ϕ [, π) úg, hog = cos ϕ és = sin ϕ (ez éppen z ( r r, ) pontot z origóvl összeköt ő egenes O tengellel bezárt szöge), fennállnk = r cosϕ C : (4) = r sin ϕ összefüggések, miket kör prméteres egenleteinek nevezünk. H kör középpontj z O (, ), kkor prméteres egenletek: = + r cos ϕ C : (5) = + r sin ϕ egjegzés. H eg pont z ( + r, ) pontból indulv egenletes szögsebességgel mozog C ( O, r) körön, kkor ϕ > idő múlv z ( + r cos ϕ, + r sin ϕ) pontbn lesz. A kör belső illetve külső trtomán (, ) párok, melekre teljesül A kör síkot két diszjunkt trtománr bontj fel. A belső pontok hlmzát (z ellipszis belsejét vg belső trtománát) Int( C )-vel és külső pontok hlmzát (z

11 értni helek 99 ellipszis külső trtománát) { f } { f } Et( C ) = (, ) (, ) > Et( C ) -vel jelöljük (4. ábr). H tekintjük z f :, f (, ) = ( ) + ( ) r kétváltozós függvént, kkor: C = {(, ) f(, ) = } Et( C ) Int( C ) = (, ) (, ) < C Int( C ) Egenes és kör kölcsönös helzetei 4. ábr Eg egenes és eg kör három különböző kölcsönös helzetben lehet: nincs közös pontjuk (5. ábr), eg közös pontjuk vn, zz érinti (6. ábr) vg két különböző közös pontjuk vn, zz metszi (7. ábr) (A metszéspontokt megkphtjuk kör egenletéből és z egenes egenletéből álló rendszer megoldásából, mi tuljdonképpen eg másodfokú egenlet megoldásához vezet vissz, tehát innen is következtethetünk metszéspontok lehetséges számár.) 5. ábr 6. ábr 7. ábr A dott pontbn húzott érintő és normális egenletei ielőtt körhöz húzott érintő egenletét felírnánk, tekintsünk eg A + B + C + D + E + F = egenletű görbét és htározzuk meg z (, ) pontjábn húzott érintő egenletét. Az egenletből kifejezhető függvéneként. Íg, h z egenlet bl oldlát, mint függvénét tekintjük és deriváljuk, kpjuk: A + B + C + C + D + E =, honn n A + c + D = tő iránténezője B + C + E, tehát z (, ) pontbn húzott érin A + c + D m = egenlete: B + C + E, tehát z érintő A + c + D = B + C + E A + B + C + + D + E A + B + C ( 6) Tehát A ( ) ( ) ( ) ( ) ivel (, ) görbe pontj, következik, hog teljesíti z () összefüggést. + B + C = D E F

12 3 értni helek ( ) ( ) ( ) Innen (6) A + B + C + + D + + E + + F = A + B + C + D + E + F = (7) Ez utóbbi összefüggést nevezzük z érintő duplázott egenletének, mert görbe egenletéből z,,, és helettesítésekkel kpjuk. e Íg z () egenletű körhöz z (, ) C pontbn húzott érintő n egenlete: + = r (8) Értelmezés. Eg görbe dott pontjábn húzott érintőre merőleges egenest görbe ezen pontjához trtozó normálisánk nevezzük. (8. ábr) A (8) egenletből zonnl írhtjuk, hog z () egenletű körhöz z (, ) C pontbn húzott normális egenlete = (9) Pont körre vontkozó htván 8. ábr Feldt. Eg dott kört metszünk eg dott ponton át húzott egenessel. Számítsuk ki z pont és metszéspontok áltl meghtározott szkszok hosszánk szorztát. A B A B T O 9. ábr 3. ábr egoldás. Vegünk fel eg koordinátrendszert úg, hog z origój kör O középpontjáb kerüljön. Jelöljük z és z A vlmint B metszéspontok koordin,, B,. átáit következőképpen: ( ), A ( ) és ( ) ivel z, A és B pontok kollineárisk, írhtjuk, hog A B, h Et( C ) A B A B = = A B,h Int( C )., h C A B = + ( )( ) ( )( ) = = =

13 értni helek = ( )( ) ( )( ) = A OA + OB + + r = + r. Ez utóbbi egenlőségnél hsználtuk, hog z OA + OB vektor átmeg z AB húr felező pontján, tehát merőleges rr,, A és B kollineárisk, íg A ( OA + OB) A ( OA + OB) = vlmint mivel A C + =. Tehát bebizonítottuk, hog A B = + r, ez pedig nem r ( ) függ z egenes megválsztásától, csk z pont helzetétől és kör sugrától. H érintőt húzunk z pontból körhöz, kkor ez z érintő szksz hosszánk négzete. Ezt z állndót z pont C körre vontkozó htvánánk nevezzük. O r, h Et( C ) Tehát ρ = r O, h Int( C )., h C Feldt. Htározzuk meg zon pontok mért ni helét, meleknek két dott körre vontko zó htván egenlő. (Tekintsük csk zt z esetet, h mindkét körre nézve külső pont, vg mindkét körre nézve belső pontról vn szó.) egoldás. Vegünk fel eg koordinátrendszert úg, hog z O tengel két kör középpontját összekötő egenes legen. Ekkor körök középpontjink koordinátái: O o. Azon (, ) pontokt keressük, melekre O ( o, ) és (, ) ( ) ( ) o + r = o + r, hol r és r körök sugri. Az előbbi összefüggésből pedig kpjuk, hog z pont koordinátáir o o r + r ( o o) + r r o + o = = (h o o o o, zz h ( ) nem koncentrikusk körök.) Tehát mértni hel eg O -nl párhuzmos egenes, zz eg oln egenes, mel merőleges z OO egenesre. Ezt z egenest két kör htvántengelének nevezzük. T T T T O O O O 3. ábr 3. ábr

14 3 értni helek egjegzések.. H körök nem metszik egmást, kkor htvántengel zon pontok mértni hele, melekből két körhöz húzhtó érintő szkszok hossz egenlő.. H körök két különböző pontbn metszik egmást, kkor htvántengel metszéspontok áltl meghtározott egenes. (3. ábr) 3. H körök érintik egmást, kkor htvántengel közös érintő. (33. ábr) 4. H körök sugri egenlők, kkor htvántengel középpontok áltl meghtározott szksz felezőmerőlegese. (34. ábr) 5. H körök koncentrikusk, kkor nincs htvántengelük. T T T T O O O O 33. ábr 34. ábr Gkorltok és feldtok. A kör következő egenleteiből htározd meg kör középpontját és sugrát: ) + 4 = b) = c) = d) =. Írd fel z ( 3, ) középpontú és d = 8 átmérőjű kör egenletét! Írd fel z = bszcisszájú pontjibn húzhtó érintőinek egenletét! 3. Htározd meg z + 4 = egenletű kör középpontjánk koor- és sugrát! Í rd fel körhöz z ( 3, 7) pontból húzhtó érintők egenletét! dinátáit 4. Htározd meg z ABC köré írt kör egenletét, h csúcsok koordinátái: A(, ), B (, 5) és C ( 6, 3). 5. Htározd meg zon kör egenletét, melnek középpontj ( 6, 7) és érintője z 5 4 = egenletű egenes! 6. Írd fel z = kör + = egenesre merőleges normálisánk egenletét. 7. Eg ( 3, ) középpontú kör = egenletű egenesen eg 6 hosszúságú húrt htároz meg. Írd fel kör egenletét!

15 értni helek Eg O középpontú kör AB átmérőjének hossz 4 ( > ). kör eg változó pontj. ) Írd fel z AO és BO háromszög ek köré írt P illetve Q középpontú körök egenletét; b) Bizonítsd be, hog P és Q pontok AB egenestől mért távolságink szorzt állndó és AP BQ. c) Htározd meg z AP és BQ egenesek metszéspontjánk mértni helét! 9. Htározd meg d : cosα + = és d : cosα = ( α ) egenesek metszéspontjánk mértni helét Az ellipszis Htározzuk meg zon pontok mértni helét, meleknek két dott ponttól mért távolságink összege állndó és ngobb, mint ez távolság. ielőtt számolni kezdenénk, próbáljuk elképzelni ezt m értni helet. Rögzítsük le ezt z összeget és vágjunk eg ilen hosszúságú mdzgot. H lerögzítjük két végét z dott pontokb és kifeszítjük mdzgot, kkor kifeszítési pont távolságink összege z dott pontoktól egenlő mdzg 35. ábr hosszávl, zz ez eg pontj mértni helnek. Íg h eg ceruzávl feszítjük ki és minden ilen ponton végighúzzuk, kkor kirjzolódik mértni hel. (35. és 36. ábrák) Az íg kpott lkztot nevezzük ellipszisnek. Értelmezés. Azon pontok mértni helét, meleknek két dott ponttól mért távolságink összege állndó és ngobb, mint pontok közti távolság ellipszisnek nevezzük. Az dott pontokt pedig z ellipszis fókuszink vg gújtópontjink. 36.ábr A fókuszok áltl meghtározott egenest fokális tengelnek, fókuszok és z ellipszis eg tetszőleges pontj áltl meghtározott szkszokt pedig vezérsugrknk nevezzük. egjegzés. H fókuszok egbeesnek, kkor tuljdonképpen eg pont körül forgtjuk ceruzát és ekkor mértni hel eg kör lesz, tehát kör eg sjátos ellipszis. Htározzuk meg z ellipszis egenletét. Az ellipszis egenletei Az ellipszis knonikus egenlete Először eg oln ellipszis egenletét htározzuk meg, melnek fókuszi z O tengelen helezkednek el szimmetrikusn z origór. Tehát legenek F (,) c és F ( c, ) fókuszok és z állndó összeg (37. ábr). Ekkor eg (, ) pont pontosn kkor vn rjt z ellipszisen, h

16 34 értni helek ( ) ( ) c c + = ( c) ( c) 4 + = 4 + ( + c) < ()) ( + c) + = + c (( + c) + ) = ( + c) (menniben + c ()) ( c ) ( c ) + = ( c) + = ( + c) + 4 ( c) + + (menniben -b B + = (3). c Können ellenőrizhető, hog h és 37. ábr teljesítik z előbbi feltételt, kkor fennállnk z () és () egenlőtlenségek is, tehát (3) összefüggés z ellipszis egenlete. Azonnl láthtó, hog z ellipszis O tengelen levő B és B pontji eg enlő távolságr vnnk fókuszoktól és ez távolság. Íg h b B pont ordinátáj, kkor z OBF -ből b = c, innen z ellipszis egenlete következővé lkul: E : + = (4) b Ez z ellipszis implicit vg knonikus egenlete. Sőt z is beláthtó, hog h (, ) E, kkor (, ),(, ),(, ) E, tehát z ellipszis szimmetrikus tengelekre és z origór nézve. Az O tengelen fekvő A és A pontjir = AF + AF = A F + AF = AA, tehát z A illetve A - -c c A F O F bszcisszáj illetve. Azt mondjuk, hog AA z ellipszis ngtengele és BB z ellipszis kistengele. Íg fél ngtengel hossz, míg b fél kistengel hossz. O z ellipszis középpontj és fókuszok középponttól mért c távolságát nevezzük z ellipszis lineáris ecentricitásánk, lineáris ecentricitás és fél ngtengel hándosát pedig numerikus ecentricitásnk nevezzük és e -v el jelöljük, tehát c b e = =. Az ellipszis fókuszán átmenő és ngtengelre merőleges húr félhosszúságát z ellipszis prméterének szokás nevezni. A p prmétert z ellipszis b (3) egenletéből =± c helettesítéssel kpjuk: p =. Az ellipszis csúcsegenlete H z ellipszist párhuzmosn eltoljuk z (,) vektorrl, kkor z egenlete követ- ( ) b b p kezővé lkul: + = = E : = p (5). b Ezt nevezzük z ellipszis csúcsegenletének. b B A

17 értni helek 35 b - A -c F r B b O -b B c p r c F A 38.ábr: Az ellipszis dti F, F fókuszok O szimmetri-középpont FF fokális tengel FF = c fókusztávolság c lineáris ecentricitás AA = ngtengel fél ngtengel BB = b kistengel b fél kistengel r, r vezérsugrk ( r + r = ) p prméter Az O (, ) középpontú koordinát- tengelekkel párhuzmos tengelű ellipszis knonikus egenlete H z ellipszist páthuzmosn eltoljuk z (, ) vektorrl (39. ábr), kkor z ellipszis egenlete E ( ) ( ) : + = (6) lkú lesz b F O O c A 39. ábr F Az origó középpontú α Nézzük csk meg, mit jelent koordináták szempontjából, h elforgtunk vlmit α szöggel. A legegszerűbb, h felírjuk pontok ffiumit. Ekkor X. osztálból tudjuk, hog z + i ffiumú pont α szöggel vló pozitív trigonometrikus iránb történő origó körüli forgtás esetén z ( + i)(cosα+ isin α) ffiumú pontb kerül. Tehát z (, ) pont forgtás utáni koordinátái ( cos α sin α, sin α + cos α). Tehát szöggel elforgtott ellipszis egenlete ellipszisünket visszforgtjuk z eredetibe, kkor z ( ) cos( α) sin( α), sin( α) + cos( α ) = ( cos α+ sin α, sin α+ cos α) pontb kerül és erre felírv knonikus egenletet, kpjuk: ( cos α + sin α) ( sin α + cos α + ) b h z F O 4. ábr (, ) pontj z = (7), F α

18 36 értni helek ez utóbbi pedig z origó körül α szöggel elforgtott ellipszis egenlete Áltlános helzetű ellipszis egenlete Beláthtó, hog eg tetszőleges ellipszist megkphtunk eg origó középpontú koordináttengeleken fekvő kis- és ngtengelű ellipszisből eg forgtássl és eg párhuzmos eltolássl (lásd 4. ábrát). Legen forgtás szöge α és z eltolás- vektor z (, ). Ekkor z ellipszis egenlete: (( ) cos α+ ( ) sin α) ( ( ) sin α+ ( ) cos α) Az ellipszis prméteres egenletei H megfigeljük (4) egenletet, kijelenthetjük, hog = cos ϕ és = sin ϕ, innen b = cos ϕ, ϕ [, π ) (9) = bsin ϕ z ellipszis prméteres egenletei Ekkor z O (, ) O α F F 4. ábr + = (8) b! ϕ [, π) úg, hog középpontú koordináttengelekkel párhuzmos tengelű ellipszis prméteres egenletei: = + cos ϕ, ϕ [, π ) () = + bsin ϕ Az origó középpontú α szöggel elforgtott ellipszis prméteres egenletei: cos α+ sin α = cos ϕ sin α cos α sin ϕ = cos αcos ϕ bsin αsin ϕ + = = sin αcos ϕ + bcos αsin ϕ () Áltlános helzetű ( szöggel elforgtott és (, ) vektorrl párhuzmosn eltolt) α ellipszis prméteres egenletei: = + cos αcos ϕ bsin αsin ϕ () = + sin αcos ϕ + bcos αsin ϕ Felvetődik kérdés, hog z (, ) E pont ismeretében megszerkeszthető-e ϕ szög?

19 értni helek 37 Tekintsük (4) egenletű ellipszist. Ekkor eg oln ϕ szöget keresünk, melre = cos ϕ és = sin ϕ. b Egelőre z első negedben vizsgálódunk. Ehhez kellene eg befogójú és befogójú és b átfogójú illetve eg átfogójú háromszög. Szerkesszük meg z origó középpontú és kis illetve ng féltengel sugrú köröket (ld. 4. ábrát). Vetítsük z pontot tengelekre ( és - O A F vetületek tlppontji). Legenek D illetve E z O -re húzott merőleges és ng kör vlmint z O -r húzott merőleges és kis kör 4. ábr metszéspontji. Beláthtó, hog ekkor z O D és OE derékszögű háromszögekből cos( OD ) = és cos( OE ) =. ivel mindkét szög z első negedben b vn és + =, következik, hog m ( OE ) = m( OD ) = ϕ. Tehát b megszerkesztettük ϕ szöget. Hsonlón járunk el többi negedben is. Az ellipszis belső illetve külső trtomán Az ellipszis síkot két diszjunkt trtománr bontj fel. A belső pontok hlmzát (z ellipszis belsejét vg belső trtománát) Int( E )-vel és külső pontok hlmzát (z ellipszis külső trtománát) f :, E Et(E ) -vel F f (, ) = + kétváltozós függvént. Ekkor felírhtjuk, hog: b = {(, ) f(, ) = } {, f } { f } Int( E ) = ( ) (, ) < Et( E ) = (, ) (, ) > Egenes és ellipszis kölcsönös helzetei Int( E ) E b -b B B ϕ E D A jelöljük (43. ábr). Tekintsük z Et( E ) 43. ábr Eg egenes és eg ellipszis három különböző kölcsönös helzetben lehet: nincs közös pontjuk (44. ábr), eg közös pontjuk vn, zz érinti (45. ábr) vg két különböző közös pontjuk vn, zz metszi (46. ábr) (A metszéspontokt megkphtjuk z ellipszis egenletéből és z egenes egenletéből álló rendszer

20 38 értni helek megoldásából, mi tuljdonképpen eg másodfokú egenlet megoldásához vezet vissz, tehát innen is következtethetünk metszéspontok lehetséges számár.) 44. ábr 45. ábr 46. ábr Adott pontbn húzott érintő és normális egenlete Duplázássl zonnl írhtjuk, hog (4) egenletű ellipszishez z (, ) pontbn húzott érintő egenlete: + = (4) b (47. ábr). A (3) egenlet lpján normális egenlete: b = b (5.) 47. ábr Gkorltok és feldtok. Írd fel z ellipszis egenletét z lábbi esetekben, mjd ábrázold is: ) fókuszok F (, ) és F (, ), ng féltengel = 5 ; b) z egik fókusz F (, ), középpont C (, 4) és ng féltengel = ; c) középpontj z origó, tengelei koordináttengelek és átmeg z 9 A 4, 5 és A 3, pontokon; 5 d) ngtengele 6, fókuszi F ( 4, ) és F (, ).. Írd fel = ellipszis knoniku s egenletét. 3. Htározd meg = 676 egenletű ellipszis = 5 bszcisszájú pontjához húzott érintő egenletét. 4. Bizonítsd be, hog h eg O középpontú, F és F fókuszú ellipszis tetszőleges pontj, kkor F F + O = + b, hol illetve b ng illetve kis féltengel hossz. 5. Bizonítsd be, hog z összes oln háromszög közül, meleknek z egik oldl rögzített és kerületük állndó, z egenlőszárú háromszög területe legngobb. 6. Bizonítsd be, hog z ellipszishez dott pontbn húzott érintő és normális vezérsugrk áltl meghtározott szög külső illetve belső szögfelezői. (Ezt z ellipszis optiki tuljdonságánk is szokták nevezni, mert ennek következtében z ellipszis egik fókuszábn elhelezett fénforrásból kiinduló tetszőleges fénsugár z ellipszisről (elliptikus tükörről) történő visszverődés után másik fókuszon fog átmenni)

Függvények tanulmányozása 211

Függvények tanulmányozása 211 Függvének tnulmánozás KÚPSZELETEK A KÖR A kör értelmezését mint mértni helet már z áltlános iskoláól ismeritek. A foglmk rögzítése céljáól felelevenítjük ezt z értelmezést: Értelmezés. Az O ponttól r távolságr

Részletesebben

VI. Deriválható függvények tulajdonságai

VI. Deriválható függvények tulajdonságai 1 Deriválhtó függvének tuljdonsági VI Deriválhtó függvének tuljdonsági Ebben fejezetben zt vizsgáljuk, hog deriválhtó függvének esetén derivált milen összefüggésben vn függvén más tuljdonságivl, és hogn

Részletesebben

KIDOLGOZÁSA - INFORMATIKAI MATEMATIKA SZAK -

KIDOLGOZÁSA - INFORMATIKAI MATEMATIKA SZAK - ANALITIKUS MÉRTANBÓL KITŰZÖTT ÁLLAMVIZSGA TÉTELEK KIDOLGOZÁSA - INFORMATIKAI MATEMATIKA SZAK - Trtlomjegyzék 1. Anlitikus mértn síkbn 1.1. Síkbeli egyenesek egyenletei Descrtes-féle koordinát rendszerhez

Részletesebben

1. feladat Oldja meg a valós számok halmazán a következő egyenletet: 3. x log3 2

1. feladat Oldja meg a valós számok halmazán a következő egyenletet: 3. x log3 2 A 004/005 tnévi Országos Középiskoli Tnulmányi Verseny második fordulójánk feldtmegoldási MATEMATIKÁBÓL ( I ktegóri ) feldt Oldj meg vlós számok hlmzán következő egyenletet: log log log + log Megoldás:

Részletesebben

9. Exponenciális és logaritmusos egyenletek, egyenlőtlenségek

9. Exponenciális és logaritmusos egyenletek, egyenlőtlenségek . Eponenciális és ritmusos egenletek, egenlőtlenségek Elméleti összefoglló H >, b>, és vlós számok, kkor + ( ) b ( b) H >, kkor z z ( ) ( ) f függvén szigorún monoton növekvő, míg h <

Részletesebben

A VIZSGAKÉRDÉSEK LISTÁJA A VÁLASZTHATÓ TANTÁRGYBÓL

A VIZSGAKÉRDÉSEK LISTÁJA A VÁLASZTHATÓ TANTÁRGYBÓL MŰSZAKI ISKOLA ÉRETTSÉGI VIZSGA ADA, 06jnuár 0/06-ös iskolév, júniusi vizsgidőszk A VIZSGAKÉRDÉSEK LISTÁJA A VÁLASZTHATÓ TANTÁRGYBÓL Munkterület: GÉPÉSZET, ELEKTROTECHNIKA, ÉPITÉSZET Tntárg: MATEMATIKA

Részletesebben

Az ABCD köré írható kör egyenlete: ( x- 3) + ( y- 5) = 85. ahol O az origó. OB(; 912). Legyen y = 0, egyenletrendszer gyökei adják.

Az ABCD köré írható kör egyenlete: ( x- 3) + ( y- 5) = 85. ahol O az origó. OB(; 912). Legyen y = 0, egyenletrendszer gyökei adják. 5 egyes feldtok Az dott körök k : x + ( y- ) = és k : ( x- ) + y = K (; 0), r, K (; 0), r K K = 0 > +, két körnek nincs közös pontj Legyen (; ) Az egyenlô hosszú érintôszkszokr felírhtjuk következô egyenletet:

Részletesebben

Heves Megyei Középiskolák Palotás József és Kertész Andor Matematikai Emlékversenye évfolyam (a feladatok megoldása)

Heves Megyei Középiskolák Palotás József és Kertész Andor Matematikai Emlékversenye évfolyam (a feladatok megoldása) Okttási Hivtl E g r i P e d g ó g i i O k t t á s i K ö z p o n t Cím: 00 Eger, Szvorényi u. 7. Postcím: 00 Eger, Szvorényi u. 7. elefon: /50-90 Honlp: www.oktts.hu E-mil: POKEger@oh.gov.hu Heves Megyei

Részletesebben

IX. A TRIGONOMETRIA ALKALMAZÁSA A GEOMETRIÁBAN

IX. A TRIGONOMETRIA ALKALMAZÁSA A GEOMETRIÁBAN 4 trigonometri lklmzás geometrián IX TRIGONOMETRI LKLMZÁS GEOMETRIÁN IX szinusz tétel Feldt Számítsd ki z háromszög köré írhtó kör sugrát háromszög egy oldl és szemen fekvő szög függvényéen Megoldás z

Részletesebben

Differenciálgeometria feladatok

Differenciálgeometria feladatok Differenciálgeometri feldtok 1. sorozt 1. Egy sugrú kör csúszás nélkül gördül egy egyenes mentén. A kör egy rögzített kerületi pontj áltl leírt pályát cikloisnk nevezzük. () Írjuk fel ciklois egy c: R

Részletesebben

MATEMATIKA FELZÁRKÓZTATÓ TANFOLYAM

MATEMATIKA FELZÁRKÓZTATÓ TANFOLYAM MATEMATIKA FELZÁRKÓZTATÓ TANFOLYAM Felhsznált segédletek, példtárk:. Nemzetközi Elıkészítı Int. NEI. Összefoglló feldtgőjtemén ÖF. Szécheni István Fıiskol Távokt. SzIT. Mőszki Fıiskol Példtár MFP Szent

Részletesebben

l.ch TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE ÉS DIFFERENCIÁLHATÓSÁGA

l.ch TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE ÉS DIFFERENCIÁLHATÓSÁGA l.ch TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE ÉS DIFFERENCIÁLHATÓSÁGA A kétváltozós függvének két vlós számhoz rendelnek hozzá eg hrmdik vlós számot, másként foglmzv számpárokhoz rendelnek hozzá eg hrmdik számot.

Részletesebben

Függvények, 7 8. évfolyam

Függvények, 7 8. évfolyam Függvének, 7 8. évfolm Orosz Gul 01. június 8. TARTALOMJEGYZÉK Trtlomjegzék Feldtok 7 1. Grfikonok................................... 7. Geometrii trnszformáiók.......................... 19 3. Geometrii

Részletesebben

MAGYARÁZAT A MATEMATIKA NULLADIK ZÁRTHELYI MINTAFELADATSOR FELADATAIHOZ 2010.

MAGYARÁZAT A MATEMATIKA NULLADIK ZÁRTHELYI MINTAFELADATSOR FELADATAIHOZ 2010. MAGYARÁZAT A MATEMATIKA NULLADIK ZÁRTHELYI MINTAFELADATSOR FELADATAIHOZ 00.. Tetszőleges, nem negatív szám esetén, Göktelenítsük a nevezőt: (B). Menni a 0 kifejezés értéke? (D) 0 0 0 0 0000 400 0. 5 Felhasznált

Részletesebben

1. MECHANIKA-SZILÁRDSÁGTAN GYAKORLAT (kidolgozta: Szüle Veronika, egy. Ts; Tarnai Gábor mérnöktanár.) Matematikai összefoglaló, kiinduló feladatok

1. MECHANIKA-SZILÁRDSÁGTAN GYAKORLAT (kidolgozta: Szüle Veronika, egy. Ts; Tarnai Gábor mérnöktanár.) Matematikai összefoglaló, kiinduló feladatok /0 SZÉCHENYI ISTVÁN EGYETEM LKLMZOTT MECHNIK TNSZÉK MECHNIK-SZILÁRDSÁGTN GYKORLT (kidolgozt: Szüle Veronik, eg Ts; Trni Gábor mérnöktnár) Mtemtiki összefoglló, kiinduló feldtok Mátrilgebri összefoglló:

Részletesebben

VIII. Függvények tanulmányozása

VIII. Függvények tanulmányozása 5 Függvének tnulmánozás VIII. Függvének tnulmánozás 8.. A monotonitás vizsgált, egenlőtlenségek Tekintsük z f :[, b] foltonos és (, b) -n deriválhtó függvént. A de- f ( ) f ( ) rivált értelmezésében szereplő

Részletesebben

V. Koordinátageometria

V. Koordinátageometria oordinátgeometri Szkszt dott rányn osztó pont súlypont koordinátái 6 6 6 ) xf + 9 yf + N 7 N F 9 i ) 7 O c) O N d) O c N e) O O 6 6 + 8 B( 8) 7 N 5 N N N 6 A B C O O O BA( 6) A B BA A B O $ BA A B Hsonlón

Részletesebben

Matematika OKTV I. kategória 2017/2018 második forduló szakgimnázium-szakközépiskola

Matematika OKTV I. kategória 2017/2018 második forduló szakgimnázium-szakközépiskola O k t a t á s i H i v a t a l A 017/018. tanévi Országos Középiskolai Tanulmáni Versen második forduló MATEMATIKA I. KATEGÓRIA (SZAKGIMNÁZIUM, SZAKKÖZÉPISKOLA) Javítási-értékelési útmutató 1. Adja meg

Részletesebben

5. A logaritmus fogalma, a logaritmus azonosságai

5. A logaritmus fogalma, a logaritmus azonosságai A ritmus foglm ritmus zonossági I Elméleti összefoglló H > 0 > 0 > 0 vlós számok és n tetszőleges vlós szám kkor 0 n n H > 0 > 0 > 0 vlós számok kkor H > kkor z f( ) kkor z f( ) függvén szigorún monoton

Részletesebben

2. Egyenletek I. Feladatok 1. a) b) c) d) 2. a) b) c) d) 3. a) b) c) d) e)

2. Egyenletek I. Feladatok 1. a) b) c) d) 2. a) b) c) d) 3. a) b) c) d) e) . Egenletek I. Feldtok. Oldj meg z lábbi egenleteket egenletrendszereket vlós számok hlmzán. ) b) ( ) ( ) 8 Klmár László Mtemtik Versen döntője 99. 8. osztál c) ( ) ( ) ( ) ( ) OKTV II. ktegóri. forduló

Részletesebben

1. MECHANIKA-SZILÁRDSÁGTAN GYAKORLAT (kidolgozta: Szüle Veronika, egy. Ts; Tarnai Gábor mérnöktanár.) Matematikai összefoglaló, kiinduló feladatok

1. MECHANIKA-SZILÁRDSÁGTAN GYAKORLAT (kidolgozta: Szüle Veronika, egy. Ts; Tarnai Gábor mérnöktanár.) Matematikai összefoglaló, kiinduló feladatok SZÉCHENYI ISTVÁN EGYETEM LKLMZOTT MECHNIK TNSZÉK MECHNIK-SZILÁRDSÁGTN GYKORLT (kidolgozt: Szüle Veronik, eg Ts; Trni Gáor mérnöktnár) Mtemtiki összefoglló, kiinduló feldtok Mátrilgeri összefoglló: ) Mátri

Részletesebben

hajlító nyomaték és a T nyíróerő között ugyanolyan összefüggés van, mint az egyenes rudaknál.

hajlító nyomaték és a T nyíróerő között ugyanolyan összefüggés van, mint az egyenes rudaknál. 5 RÚDELADATOK 51 íkgörbe rudk Grhof 1 -féle elmélete íkgörbe rúd: rúd köépvonl ( ponti ál) íkgörbe e P n e t Jelöléek: A köépvonl mentén pontokt ívkoordinátávl onoítjuk Pl P pont A P pontbn (P pontho trtoó

Részletesebben

Néhány szó a mátrixokról

Néhány szó a mátrixokról VE 1 Az Néhány szó mátrixokról A : 11 1 m1 1 : m......... 1n n : mn tábláztot, hol ij H (i1,,m, j1,,n) H elemeiből képzett m n típusú vlós mátrixnk nevezzük. Továbbá zt mondjuk, hogy A-nk m sor és n oszlop

Részletesebben

Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2012/2013 Matematika I. kategória (SZAKKÖZÉPISKOLA) Döntő Megoldások

Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2012/2013 Matematika I. kategória (SZAKKÖZÉPISKOLA) Döntő Megoldások Országos Középiskolai Tanulmáni Versen / Matematika I kategória (SZAKKÖZÉPISKOLA) Döntő Megoldások Eg papírlapra felírtuk a pozitív egész számokat n -től n -ig Azt vettük észre hog a felírt páros számok

Részletesebben

Minta feladatsor I. rész

Minta feladatsor I. rész Mint feldtsor I. rész. Írj fel z A számot htványként! A / pont/. Mekkor hosszúságú dróttl lehet egy m m-es tégllp lkú testet z átlój mentén felosztni két derékszögű háromszögre? Adj meg hosszúságot mértékegységgel!

Részletesebben

Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2010/2011 Matematika I. kategória (SZAKKÖZÉPISKOLA) Az 1. forduló feladatainak megoldása

Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2010/2011 Matematika I. kategória (SZAKKÖZÉPISKOLA) Az 1. forduló feladatainak megoldása Okttási Hivtl Országos Középiskoli Tnulmányi Verseny 00/0 Mtemtik I ktegóri (SZAKKÖZÉPISKOLA) Az forduló feldtink megoldás Az x vlós számr teljesül hogy Htározz meg sin x értékét! 6 sin x os x + 6 = 0

Részletesebben

Frissítve: Síkidomok másodrendű nyomatékai. Egy kis elmélet 1 / 21

Frissítve: Síkidomok másodrendű nyomatékai. Egy kis elmélet 1 / 21 Frissíte: 2015.02.16. Síkidomok másodrendű nomtéki Eg kis elmélet 1 / 21 Frissíte: 2015.02.16. Síkidomok másodrendű nomtéki 1. péld: Számítsk ki súlponti és tengelekre számított másodrendű nomtékokt! Megjegzés:

Részletesebben

a b a leghosszabb. A lapátlók által meghatározott háromszögben ezzel szemben lesz a

a b a leghosszabb. A lapátlók által meghatározott háromszögben ezzel szemben lesz a 44 HANCSÓK KÁLMÁN MEGYEI MATEMATIKAVERSENY MEZŐKÖVESD, évfolym MEGOLDÁSOK Mutssuk meg, hogy egy tetszőleges tégltest háromféle lpátlójából szerkesztett háromszög hegyesszögű lesz! 6 pont A tégltest egy

Részletesebben

Matematika szintfelmérő szeptember

Matematika szintfelmérő szeptember Matematika szintfelmérő 015. szeptember matematika BSC MO 1. A faglaltok éjszakáján eg közvéleménkutatásban vizsgált csoport %-ának ízlett az eperfaglalt, 94%-ának pedig a citromfaglalt. A két gümölcsfaglalt

Részletesebben

2. MECHANIKA-STATIKA GYAKORLAT (kidolgozta: Triesz Péter, egy. ts.; Tarnai Gábor, mérnök tanár) Erők eredője, fölbontása

2. MECHANIKA-STATIKA GYAKORLAT (kidolgozta: Triesz Péter, egy. ts.; Tarnai Gábor, mérnök tanár) Erők eredője, fölbontása SZÉCHENYI ISTVÁN EGYETEM LKLMZOTT MECHNIK TNSZÉK. MECHNIK-STTIK GYKORLT (kidolgozt: Triesz Péter, eg. ts.; Trni Gábor, mérnök tnár) Erők eredője, fölbontás.1. Péld dott eg erő és eg egenes irán-egségvektor:

Részletesebben

Az integrálszámítás néhány alkalmazása

Az integrálszámítás néhány alkalmazása Az integrálszámítás néhány lklmzás (szerkesztés ltt) Dr Toledo Rodolfo 4 november 4 Trtlomjegyzék Két függvények áltl htárolt terület Forgástestek térfogt és felszíne 5 3 Ívhosszszámítás 7 4 Feldtok 8

Részletesebben

F.I.1. Vektorok és vektorműveletek

F.I.1. Vektorok és vektorműveletek FI FÜGGELÉK: FI Vektorok és vektorműveletek MATEMATIKAI ÖSSZEFOGLALÓ Skláris menniség: oln geometrii vg fiiki menniség melet ngság (előjel) és mértékegség jelleme Vektor menniség: iránított geometrii vg

Részletesebben

11. évfolyam feladatsorának megoldásai

11. évfolyam feladatsorának megoldásai évolym eldtsoránk megoldási Oldjuk meg természetes számok hlmzán következő egyenleteket x ) y 6 x! 3 b) y 6 3 ) Átrendezve megoldndó egyenlet y 6 x! 3 H x 0, kkor H x, kkor H x, kkor H x 3, kkor H x, kkor

Részletesebben

Differenciálszámítás. Lokális szélsőérték: Az f(x) függvénynek az x 0 helyen lokális szélsőértéke

Differenciálszámítás. Lokális szélsőérték: Az f(x) függvénynek az x 0 helyen lokális szélsőértéke Differenciálszámítás Lokális növekedés (illetve csökkenés): H z f() függvény deriváltj z 0 helyen pozitív: f () > 0 (illetve negtív: f () < 0), kkor z f() függvény z 0 helyen növekvően (illetve csökkenően)

Részletesebben

Tehetetlenségi nyomatékok

Tehetetlenségi nyomatékok Tehetetlenségi nyomtékok 1 Htározzuk meg z m tömegű l hosszúságú homogén rúd tehetetlenségi nyomtékát rúd trtóegyenesét metsző tetszőleges egyenesre vontkozón, h rúd és z egyenes hjlásszöge α, rúd középpontjánk

Részletesebben

Vektorok. Vektoron irányított szakaszt értünk.

Vektorok. Vektoron irányított szakaszt értünk. Vektorok Vektoron irányított szkszt értünk A definíció értelmében tehát vektort kkor ismerjük, h ismerjük hosszát és z irányát A vektort kövér kis betűkkel (, b stb) jelöljük, megkülönböztetve z, b számoktól,

Részletesebben

Gyakorló feladatsor 11. osztály

Gyakorló feladatsor 11. osztály Htvány, gyök, logritmus Gykorló feldtsor 11. osztály 1. Számológép hsznált nélkül dd meg z lábbi kifejezések pontos értékét! ) b) 1 e) c) d) 1 0, 9 = f) g) 7 9 =. Számológép hsznált nélkül döntsd el, hogy

Részletesebben

FELVÉTELI VIZSGA, július 15.

FELVÉTELI VIZSGA, július 15. BABEŞ-BOLYAI TUDOMÁNYEGYETEM, KOLOZSVÁR MATEMATIKA ÉS INFORMATIKA KAR FELVÉTELI VIZSGA, 8. július. Írásbeli vizsg MATEMATIKÁBÓL FONTOS TUDNIVALÓK: ) A feleletválsztós feldtok (,,A rész) esetén egy vgy

Részletesebben

N-ed rendű polinomiális illesztés

N-ed rendű polinomiális illesztés ed rendű polinomiális illesztés 1 oldl Tegük fel, hog dottk vlmilen fiziki menniség függvénében mért értékek, zz mérési értékpárok, hlmz ( db mérési pont) A mérés mindig trtlmz vlmekkor bizontlnságot mért

Részletesebben

Síkbeli egyenesek Egy egyenes az x = 1 4t, y = 2 + t parméteres egyenletekkel adott. Határozzuk meg

Síkbeli egyenesek Egy egyenes az x = 1 4t, y = 2 + t parméteres egyenletekkel adott. Határozzuk meg Analitikus mértan 5. FELADATLAP Síkbeli egyenesek 5.1. Írjuk fel annak az egyenesnek a paraméteres egyenleteit, amely (i) áthalad az M 0 (1, 2) ponton és párhuzamos a a(3, 1) vektorral; (ii) áthalad az

Részletesebben

1. MECHANIKA-MOZGÁSTAN GYAKORLAT (kidolgozta: Szüle Veronika, egy. ts.) Matematikai összefoglaló

1. MECHANIKA-MOZGÁSTAN GYAKORLAT (kidolgozta: Szüle Veronika, egy. ts.) Matematikai összefoglaló SZÉCHENYI ISTVÁN EGYETEM ALKALMAZOTT MECHANIKA TANSZÉK 1 MECHANIKA-MOZGÁSTAN GYAKORLAT (kidolgozt: Szüle Veronik, eg ts) Mtemtiki összefoglló 11 Mátrilgeri összefoglló: ) Mátri értelmezése, jelölése: Mátri:

Részletesebben

Egy szép és jó ábra csodákra képes. Az alábbi 1. ábrát [ 1 ] - ben találtuk; talán már máskor is hivatkoztunk rá.

Egy szép és jó ábra csodákra képes. Az alábbi 1. ábrát [ 1 ] - ben találtuk; talán már máskor is hivatkoztunk rá. Egy szép és jó ábr csodákr képes Az lábbi. ábrát [ ] - ben tláltuk; tlán már máskor is hivtkoztunk rá.. ábr Az különlegessége, hogy vlki nem volt rest megcsinál(tt)ni, még h sok is volt vele munk. Ennek

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások Megoldások 1. Tekintsük az alábbi szabályos hatszögben a következő vektorokat: a = AB és b = AF. Add meg az FO, DC, AO, AC, BE, FB, CE, DF vektorok koordinátáit az (a ; b ) koordinátarendszerben! Alkalmazzuk

Részletesebben

Többváltozós analízis gyakorlat, megoldások

Többváltozós analízis gyakorlat, megoldások Többváltozós analízis gakorlat, megoldások Általános iskolai matematikatanár szak 7/8. őszi félév. Differenciál- és integrálszámítás alkalmazásai. Határozzuk meg az alábbi differenciálegenletek összes,

Részletesebben

1. ALKALMAZOTT ÖSSZEFÜGGÉSEK

1. ALKALMAZOTT ÖSSZEFÜGGÉSEK Gkorlt 08 echnik II. Szilárdságtn 0 08 Segédlet KÜLPONTOS HÚZÁS-NYOÁS Trtlom. ALKALAZOTT ÖSSZEFÜGGÉSEK.... GYAKORLATOK PÉLDÁI.... TOVÁBBI FELADATOK..... Külpontos húzás-nomás..... Hjlítás és húzás... 9

Részletesebben

9. Írjuk fel annak a síknak az egyenletét, amely átmegy az M 0(1, 2, 3) ponton és. egyenessel;

9. Írjuk fel annak a síknak az egyenletét, amely átmegy az M 0(1, 2, 3) ponton és. egyenessel; Síkok és egyenesek FELADATLAP Írjuk fel annak az egyenesnek az egyenletét, amely átmegy az M 0(,, ) ponton és a) az M(,, 0) ponton; b) párhuzamos a d(,, 5) vektorral; c) merőleges a x y + z 0 = 0 síkra;

Részletesebben

1) Adja meg a következő függvények legbővebb értelmezési tartományát! 2) Határozzuk meg a következő függvény értelmezési tartományát!

1) Adja meg a következő függvények legbővebb értelmezési tartományát! 2) Határozzuk meg a következő függvény értelmezési tartományát! Függvének Feladatok Értelmezési tartomán ) Adja meg a következő függvének legbővebb értelmezési tartománát! a) 5 b) + + c) d) lg tg e) ln + ln ( ) Megoldás: a) 5 b) + + = R c) és sosem teljesül. d) tg

Részletesebben

Emelt szintő érettségi tételek. 3. tétel: Nevezetes ponthalmazok síkban és térben

Emelt szintő érettségi tételek. 3. tétel: Nevezetes ponthalmazok síkban és térben . tétel: Nevezetes ponthlmzok síkn és téren Ponthlmzok: Sík vgy tér részhlmzi, áltlán utsításokkl djuk meg: A P x; y R x + y = B= R Nevezetes ponthlmzok: = { ( ) } vgy { PO= r, r>. Két pont szkszfelezı

Részletesebben

, D(-1; 1). A B csúcs koordinátáit az y = + -. A trapéz BD

, D(-1; 1). A B csúcs koordinátáit az y = + -. A trapéz BD Kör és egyenes kölcsönös helyzete Kör érintôje 7 9 A húr hossza: egység 9 A ( ) ponton átmenô legrövidebb húr merôleges a K szakaszra, ahol K az adott kör középpontja, feltéve, hogy a kör belsejében van

Részletesebben

5. Logaritmus. I. Nulladik ZH-ban láttuk: 125 -öt kapjunk. A 3 5 -nek a 3. hatványa 5, log. x Mennyi a log kifejezés értéke?

5. Logaritmus. I. Nulladik ZH-ban láttuk: 125 -öt kapjunk. A 3 5 -nek a 3. hatványa 5, log. x Mennyi a log kifejezés értéke? . Logritmus I. Nulldik ZH-bn láttuk:. Mennyi kifejezés értéke? (A) Megoldás I.: BME 0. szeptember. (7B) A feldt ritmus definíciójából kiindulv gykorltilg fejben végiggondolhtó. Az kérdés, hogy -öt hánydik

Részletesebben

10. Koordinátageometria

10. Koordinátageometria I. Nulladik ZH-ban láttuk: 0. Koordinátageometria. Melyek azok a P x; y pontok, amelyek koordinátái kielégítik az Ábrázolja a megoldáshalmazt a koordináta-síkon! x y x 0 egyenlőtlenséget? ELTE 00. szeptember

Részletesebben

EMELT SZINTÛ FELADATSOROK

EMELT SZINTÛ FELADATSOROK EMELT SZINTÛ FELADATSOROK. Feldtsor / A megoldások. A bl oldlon álló tört értelmezési trtomán : ³ 0, ¹ 0, zz 0, 0,. Bõvítjük törtet z + összeggel: = 0, íg hándosuk

Részletesebben

Az elégséges szint eléréséhez szükséges ismeretek matematikából a 9. évfolyamon

Az elégséges szint eléréséhez szükséges ismeretek matematikából a 9. évfolyamon Pdáni Ktolikus Gkorlóiskol, Veszprém Az elégséges szint eléréséhez szükséges ismeretek mtemtikáól 9. évfolmon Az elégséges szint eléréséhez szükséges ismeretek mtemtikáól 9. évfolmon Cél: pontos, kitrtó

Részletesebben

A 2013/2014. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny első forduló MATEMATIKA I. KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA) Javítási-értékelési útmutató

A 2013/2014. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny első forduló MATEMATIKA I. KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA) Javítási-értékelési útmutató Okttási Hivtl A 013/014 tnévi Országos Középiskoli Tnulmányi Verseny első forduló MATEMATIKA I KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA) Jvítási-értékelési útmuttó 1 Oldj meg vlós számok hlmzán egyenletet! 3 5 16 0

Részletesebben

1. MECHANIKA-MOZGÁSTAN GYAKORLAT (kidolgozta: Szüle Veronika, egy. ts.) Matematikai összefoglaló

1. MECHANIKA-MOZGÁSTAN GYAKORLAT (kidolgozta: Szüle Veronika, egy. ts.) Matematikai összefoglaló SZÉCHENYI ISTVÁN EGYETEM ALKALMAZOTT MECHANIKA TANSZÉK MECHANIKA-MOZGÁSTAN GYAKORLAT (kidolgozt: Szüle Veronik, eg ts) Mtemtiki összeoglló Mátrilgeri összeoglló: ) Mátri értelmezése, jelölése: Mátri: skláris

Részletesebben

M. 2. Döntsük el, hogy a következő két szám közül melyik a nagyobb:

M. 2. Döntsük el, hogy a következő két szám közül melyik a nagyobb: Mgyr Ifjúság (Rábi Imre) Az előző években közöltük Mgyr Ifjúságbn közös érettségi-felvételi feldtok megoldását mtemtikából és fizikából. Tpsztltuk, hogy igen ngy volt z érdeklődés lpunk e szám iránt. Évente

Részletesebben

II. EGYENLETEK ÉS EGYENLŐTLENSÉGEK

II. EGYENLETEK ÉS EGYENLŐTLENSÉGEK Egyenletek és egyenlőtlenségek 5 II EGYENLETEK ÉS EGYENLŐTLENSÉGEK Az idők folymán ngyon sok gykorlti problém merült fel, melynek megoldásához egyenletekre volt szükség A mi egyszerű és tömör mtemtiki

Részletesebben

Koordináta-geometria alapozó feladatok

Koordináta-geometria alapozó feladatok Koordináta-geometria alapozó feladatok 1. Határozd meg az AB szakasz felezőpontját! (1,5 ; 3,5) (0,5 ; ) (6,5 ; 8,5) (4,5 ; ) (0,5 ; 1,5) (0 ; 0) (0 ; 8,5) (1 ; 1) ( 1,5 ; ) (3,5 ; 3) (0 ; 3) ( 1 ; 1,5).

Részletesebben

4. Hatványozás, gyökvonás

4. Hatványozás, gyökvonás I. Nulldik ZH-bn láttuk:. Htványozás, gyökvonás. Válssz ki, hogy z lábbik közül melyikkel egyezik meg következő kifejezés, h, y és z pozitív számok! 7 y z z y (A) 7 8 y z (B) 7 8 y z (C) 9 9 8 y z (D)

Részletesebben

VI. Kétismeretlenes egyenletrendszerek

VI. Kétismeretlenes egyenletrendszerek Mtemtik A 9. évfolm 7. modul: EGYENLETEK Tnári kézikönv VI. Kétismeretlenes egenletrendszerek Behelettesít módszer Mintpéld Két testvér érletpénztárnál jeget vásárol. Az egik vonljegért és eg átszálló

Részletesebben

Kétváltozós függvények ábrázolása síkmetszetek képzése által

Kétváltozós függvények ábrázolása síkmetszetek képzése által Kétváltozós függvének ábrázolása síkmetszetek képzése által ) Ábrázoljuk a z + felületet! Az [,] síkkal párhuzamos síkokkal z c) képzett metszetek körök: + c, tehát a felület z tengelű forgásfelület; Az

Részletesebben

Középiskolás leszek! matematika. 13. feladatsor 1. 2. 3. 4. 5. 6.

Középiskolás leszek! matematika. 13. feladatsor 1. 2. 3. 4. 5. 6. Középiskolás leszek! mtemtik Melyik számot jelentheti A h tudjuk hogy I felennyi mint S S egyenlõ K és O összegével K egyenlõ O és L különbségével O háromszoros L-nek L negyede 64-nek I + S + K + O + L

Részletesebben

44. HANCSÓK KÁLMÁN MEGYEI MATEMATIKAVERSENY MEZŐKÖVESD, 2015 Szóbeli feladatok megoldásai. Megoldás: 6

44. HANCSÓK KÁLMÁN MEGYEI MATEMATIKAVERSENY MEZŐKÖVESD, 2015 Szóbeli feladatok megoldásai. Megoldás: 6 9 évfolm HNCSÓK KÁLMÁN MEGYEI MTEMTIKVERSENY MEZŐKÖVESD 5 Szóbeli feldto megoldási ) dju meg zot z egész értéeet mele mellett z 6 6 Z 6 6 6 6 is egész szám! pot 6 6 6 pot mide egész -re pártl íg or lesz

Részletesebben

= n 2 = x 2 dx = 3c 2 ( 1 ( 4)). = π 13.1

= n 2 = x 2 dx = 3c 2 ( 1 ( 4)). = π 13.1 Htározott integrál megoldások + 7 + + 9 = 9 6 A bl végpontokt válsztv: i = i n, i+ i = n, fξ i = i 6 d = lim n n i= i n n = n lim n n i = lim n i= A jobb végpontokt válsztv: fξ i = n i, n i d = lim n n

Részletesebben

Síkbeli egyenesek. 2. Egy egyenes az x = 1 4t, y = 2 + t parméteres egyenletekkel adott. Határozzuk meg

Síkbeli egyenesek. 2. Egy egyenes az x = 1 4t, y = 2 + t parméteres egyenletekkel adott. Határozzuk meg Analitikus mértan 3. FELADATLAP Síkbeli egyenesek 1. Írjuk fel annak az egyenesnek a paraméteres egyenleteit, amely (i) áthalad az M 0 (1, 2) ponton és párhuzamos a a(3, 1) vektorral; (ii) áthalad az origón

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Exponenciális és Logaritmusos feladatok

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Exponenciális és Logaritmusos feladatok MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Eponenciális és Logritmusos feldtok A szürkített hátterű feldtrészek nem trtoznk z érintett témkörhöz, zonbn szolgálhtnk fontos információvl z

Részletesebben

4 x. Matematika 0 1. előadás. Végezzük el a műveleteket! Alakítsuk szorzattá a következő kifejezéseket! 5. Oldjuk meg az alábbi egyenleteket!

4 x. Matematika 0 1. előadás. Végezzük el a műveleteket! Alakítsuk szorzattá a következő kifejezéseket! 5. Oldjuk meg az alábbi egyenleteket! Mtemtik 0. elődás Végezzük el műveleteket!. 6... Alkítsuk szorzttá következő kifejezéseket!. 8 6 6. 7. 8. y Oldjuk meg z lái egyenleteket! 9. 0. 7 0 7 6. 7. Egy kétjegyű szám számjegyeinek összege. H felseréljük

Részletesebben

Egy látószög - feladat

Egy látószög - feladat Ehhez tekintsük z 1. ábrát is! Egy látószög - feldt 1. ábr Az A pont körül kering C pont, egy r sugrú körön. A rögzített A és B pontok egymástól távolság vnnk. Az = CAB szöget folymtosn mérjük. Keressük

Részletesebben

9. osztály 1.) Oldjuk meg a valós számhármasok halmazán a következő egyenletet!

9. osztály 1.) Oldjuk meg a valós számhármasok halmazán a következő egyenletet! HANCSÓK KÁLMÁN MEGYEI MAEMAIKAVERSENY MEZŐKÖVESD Sóeli feldto és megoldáso ostál ) Oldju meg vlós sámhármso hlmán öveteő egenletet! ( pont) A egenlet l oldlát átlíthtju öveteőéppen: A l oldl egi tgj sem

Részletesebben

3 függvény. Számítsd ki az f 4 f 3 f 3 f 4. egyenlet valós megoldásait! 3 1, 3 és 5 3 1

3 függvény. Számítsd ki az f 4 f 3 f 3 f 4. egyenlet valós megoldásait! 3 1, 3 és 5 3 1 Érettségi, M, I-es feladatsor, természettudomány.. Számítsd ki a C! összeget! log 4. Határozd meg a. Számítsd ki az egyenlet valós megoldásait! összeg értékét, ha és az 4. Adott az f : 0,, f. Adottak az

Részletesebben

az eredő átmegy a közös ponton.

az eredő átmegy a közös ponton. M Műszaki Mechanikai Tanszék STTIK dr. Uj József c. egetemi tanár g közös ponton támadó koncentrált erők (centrális erőrendszer) Két erő eredője: = +, Több erő eredője: = + ++...+ n, az eredő átmeg a közös

Részletesebben

Középpontos hasonlóság szerkesztések

Középpontos hasonlóság szerkesztések Középpontos hasonlóság szerkesztések 1. Adott az AV B konvex szög és a belsejében egy P pont. Húzzunk a P ponton át egy egyenest úgy, hogy a szög száraiból kimetszett szeletek aránya 3 : 4 legyen. Legyen

Részletesebben

II. A számtani és mértani közép közötti összefüggés

II. A számtani és mértani közép közötti összefüggés 4 MATEMATIKA A 0. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE II. A számtni és mértni közép közötti összefüggés Mintpéld 6 Számítsuk ki következő számok számtni és mértni közepeit, és ábrázoljuk számegyenesen számokt és közepeket!

Részletesebben

823. A helyesen kitöltött keresztrejtvény: 823. ábra. 823. A prímek összege: 2+ 5+ 2= 9; 824. a) 2 1, 2 4, 5 3, 3 5, 2$ 825.

823. A helyesen kitöltött keresztrejtvény: 823. ábra. 823. A prímek összege: 2+ 5+ 2= 9; 824. a) 2 1, 2 4, 5 3, 3 5, 2$ 825. Egész kitevôjû htváok 7 8 A helese kitöltött keresztrejtvé: 8 ár 8 A rímek összege: + + 9 8 ) $ $ 8 ) $ $ 9$ $ 7 $ $ 0 c) $ ( + ) ( + ) 8 ) $ $ k ( - ) - - - ) r s - 7 m k l ( + ) 7 8 ( - ) 8 ( + ) 7 (

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások Megoldások 1. Írd fel a K (0; 2) középpontú 7 sugarú kör egyenletét! A keresett kör egyenletét felírhatjuk a képletbe való behelyettesítéssel: x 2 + (y + 2) 2 = 49. 2. Írd fel annak a körnek az egyenletét,

Részletesebben

Többváltozós analízis gyakorlat

Többváltozós analízis gyakorlat Többváltozós nlízis gykorlt Áltlános iskoli mtemtiktnár szk 07/08. őszi félév Ajánlott irodlom (sok gykorló feldt, megoldásokkl: Thoms-féle klkulus 3., Typote, 007. (Jól hsználhtók z -. kötetek is Fekete

Részletesebben

Exponenciális és logaritmusos kifejezések, egyenletek

Exponenciális és logaritmusos kifejezések, egyenletek Eponenciális és logaritmusos kifejezések, egyenletek. Hatványozási azonosságok. Számítsd ki a következő hatványok pontos értékét! a) 8 b) 4 c) d) 7 e) f) 9 0, g) 0, 9 h) 6 0, 7,, i) 8 j) 6 k) 4 l) 49,.

Részletesebben

A kör. A kör egyenlete

A kör. A kör egyenlete A kör egyenlete A kör A kör egyenlete 8 a) x + y 6 b) x + y c) 6x + 6y d) x + y 9 8 a) x + y 6 + 9 b) x + y c) x + y a + b 8 a) (x - ) + (y - ) 9, rendezve x + y - 8x - y + b) x + y - 6x - 6y + c) x +

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások Megoldások 1. Határozd meg a szakasz hosszát, ha a végpontok koordinátái: A ( 1; ) és B (5; )! A szakasz hosszához számítsuk ki a két pont távolságát: d AB = AB = (5 ( 1)) + ( ) = 6 + 1 = 7 6,08.. Határozd

Részletesebben

Ptolemaios-tétele, Casey-tétel, feladatok

Ptolemaios-tétele, Casey-tétel, feladatok Kutov ntl Ptolemios, sey, feldtok Kutov ntl (Kposvár) Ptolemios-tétele, sey-tétel, feldtok Ptolemios-tétel: H egy konvex négyszög szemközti oldli és, ill. és d; átlói e és f, kkor + d e f. Egyenlőség kkor

Részletesebben

Geometria. 1. feladat

Geometria. 1. feladat Geometri 1. feldt A kerületi és középponti szögek tétele lpján LAB =AO B (mivel LAB érintőszárú kerületiszög). Hsonlón KAB =AO 1 B. A szimmetri mitt AO O 1 =O 1 O B és BO 1 O =O O 1 A. Így AO O 1 =O 1

Részletesebben

Emelt szintő érettségi tételek. 19. tétel: Vektorok. Szakaszok a koordinátasíkon. Irányított szakasz, melynek állása, iránya és hossza van.

Emelt szintő érettségi tételek. 19. tétel: Vektorok. Szakaszok a koordinátasíkon. Irányított szakasz, melynek állása, iránya és hossza van. 19. tétel: Vektrk. Szkszk krdinátsíkn. Vektr: Iráníttt szksz, melnek állás, irán és hssz vn. Jele: v = AB Vektr bszlút értéke: A vektrt meghtárzó iráníttt szksz ngság. Jele: v = AB Vektrk kölcsönös helzete:

Részletesebben

A keresett kör középpontja Ku ( ; v, ) a sugara r = 1. Az adott kör középpontjának koordinátái: K1( 4; 2)

A keresett kör középpontja Ku ( ; v, ) a sugara r = 1. Az adott kör középpontjának koordinátái: K1( 4; 2) 55 A kör 87 8 A keresett kör középpontja Ku ( ; v, ) a sugara r = Az adott kör középpontjának koordinátái: K( ; ) és a sugara r =, az adott pont P(; ) Ekkor KP = és KK = () ( u ) + ( v ) =, () ( u ) +

Részletesebben

Hatványozás és négyzetgyök. Másodfokú egyenletek

Hatványozás és négyzetgyök. Másodfokú egyenletek Defiíció: R, Z Htváyozás és égyzetgyök 0 h 0... ( téyezős szorzt) h h 0, 0. A htváyozás zoossági: : m ( ) m m m m m Defiíció: Az x vlós szám ormállkják evezzük z hol 0 és egész szám. 0 kifejezést, h x

Részletesebben

Geometriai transzformációk, transzformációs egyenletek és alkalmazásuk a geoinformatikában

Geometriai transzformációk, transzformációs egyenletek és alkalmazásuk a geoinformatikában Geometrii trnszformációk, trnszformációs egenletek és lklmzásuk geoinformtikán Szkdolgozt Bódis Ktlin Szeged 999 Trtlomjegzék Trtlomjegzék Bevezetés.... Feldtok...5. A Föld felszínének sík vló leképezése...5.

Részletesebben

Vektoralgebra. Ebben a részben a vektorokat aláhúzással jelöljük

Vektoralgebra. Ebben a részben a vektorokat aláhúzással jelöljük Vektorlger VE Vektorlger Een részen vektorokt láhúzássl jelöljük Vektorlger VE Szdvektorok Helyzetvektorok (kötött vektorok) Az irányított szkszok hlmzán z eltolás, mint ekvivlenci reláció, áltl generált

Részletesebben

Egybevágóság szerkesztések

Egybevágóság szerkesztések Egybevágóság szerkesztések 1. Adott az ABCD trapéz, alapjai AB és CD. Szerkesszük meg a vele tengelyesen szimmetrikus trapézt, ha az A csúcs tükörképe a BC oldal középpontja. Nyilvánvaló, hogy a tengelyes

Részletesebben

Koordináta-geometria feladatok (emelt szint)

Koordináta-geometria feladatok (emelt szint) Koordináta-geometria feladatok (emelt szint) 1. (ESZÉV Minta (2) 2004.05/7) Egy ABC háromszögben CAB = 30, az ACB = 45. A háromszög két csúcsának koordinátái: A(2; 2) és C(4; 2). Határozza meg a harmadik

Részletesebben

4. előadás: A vetületek általános elmélete

4. előadás: A vetületek általános elmélete 4. elődás: A vetületek áltlános elmélete A vetítés mtemtiki elve Két mtemtikilg meghtározott felület prméteres egyenletei legyenek következők: x = f 1 (u, v), y = f 2 (u, v), I. z = f 3 (u, v). ξ = g 1

Részletesebben

Informatika alapjai Tantárgyhoz Kidolgozott Excel feladatok

Informatika alapjai Tantárgyhoz Kidolgozott Excel feladatok SZENT ISTVÁN EGYETEM Gépészmérnöki Kr Orov Lászlóné dr. Informtik lpji Tntárgyhoz Kidolgozott Ecel feldtok Gödöllı, 8. Bevezetı Ez feldtgyőjtemény összefogllj z Informtik lpji tntárgy keretében okttott,

Részletesebben

Lineáris programozás

Lineáris programozás Lieáris progrmozás Lieáris progrmozás Lieáris progrmozás 2 Péld Egy üzembe 4 féle terméket állítk elő 3 féle erőforrás felhszálásávl. Ismert z erőforrásokból redelkezésre álló meyiség (kpcitás), termékek

Részletesebben

Szinusz- és koszinusztétel

Szinusz- és koszinusztétel Szinusz- és koszinusztétel. Htározzuk meg z oldlk rányát, h α 0, β 60. α + β + γ 80 γ 80 α β 80 0 60 90 A szinusztételt felhsználv z oldlk rány: zz : : : sin β : sin 0 : sin 60 : sin 90 : : : : : :. Htározzuk

Részletesebben

Bevezetés. Alapműveletek szakaszokkal geometriai úton

Bevezetés. Alapműveletek szakaszokkal geometriai úton 011.05.19. Másodfokú egyenletek megoldás geometrii úton evezetés A középiskoli mtemtik legszerteágzóbb része másodfokú egyenletek megoldás. A legismertebb módj természetesen megoldóképlet hsznált. A képlet

Részletesebben

Bolyai János Matematikai Társulat. Rátz László Vándorgyűlés Baja

Bolyai János Matematikai Társulat. Rátz László Vándorgyűlés Baja Bolai János Matematikai Társulat Rátz László Vándorgűlés 06. Baja Záródolgozat dr. Nag Piroska Mária, Dunakeszi Dunakeszi, 06.07.. A Vándorgűlésen Erdős Gábor az általános iskolai szekcióban tartott szemináriumot

Részletesebben

Végeredmények, emelt szintû feladatok részletes megoldása

Végeredmények, emelt szintû feladatok részletes megoldása Végeredmények, emelt szintû feldtok részletes megoldás I. gyökvonás. gyökfoglom kiterjesztése. négyzetgyök lklmzási. számok n-edik gyöke 5. z n-edik gyökfüggvény, z n-edik gyök lklmzás 6 II. Másodfokú

Részletesebben

f (ξ i ) (x i x i 1 )

f (ξ i ) (x i x i 1 ) Villmosmérnök Szk, Távokttás Mtemtik segédnyg 4. Integrálszámítás 4.. A htározott integrál Definíció Az [, b] intervllum vlmely n részes felosztásán (n N) z F n ={,,..., n } hlmzt értjük, melyre = <

Részletesebben

JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika emelt szint 051 ÉRETTSÉGI VIZSGA 005.október 5. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI MINISZTÉRIUM Fontos tudnivalók Formai előírások: A dolgozatot

Részletesebben

Koordináta geometria III.

Koordináta geometria III. Koordináta geometria III. TÉTEL: A P (x; y) pont akkor és csak akkor illeszkedik a K (u; v) középpontú r sugarú körre (körvonalra), ha (x u) 2 + (y v) 2 = r 2. Ez az összefüggés a K (u; v) középpontú r

Részletesebben

(d) a = 5; c b = 16 3 (e) b = 13; c b = 12 (f) c a = 2; c b = 5. Számítsuk ki minden esteben a háromszög kerületét és területét.

(d) a = 5; c b = 16 3 (e) b = 13; c b = 12 (f) c a = 2; c b = 5. Számítsuk ki minden esteben a háromszög kerületét és területét. Euklidész tételei megoldások c = c a + c b a = c c a b = c c b m c = c a c b 1. Számítsuk ki az derékszögű ABC háromszög hiányzó oldalainak nagyságát, ha adottak: (a) c a = 1,8; c b =, (b) c = 10; c a

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Koordináta-geometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Koordináta-geometria MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Koordináta-geometria A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett

Részletesebben