Sokszínû matematika 12. A KITÛZÖTT FELADATOK EREDMÉNYE

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "Sokszínû matematika 12. A KITÛZÖTT FELADATOK EREDMÉNYE"

Átírás

1 Sokszínû mtemtik. A KITÛZÖTT FELADATOK EREDMÉNYE

2 SOKSZÍNÛ MATEMATIKA A KITÛZÖTT FELADATOK EREDMÉNYE Logik, bizonítási módszerek. Logiki feldtok, kijelentések. Feltéve, hog középsõ kérdésre válszolt: középsõ lókötõ, hrmdik lovg.. Aki ellopt z elefántot, mindig hzudik.. Piki.. Lovg plinket, lókötõ plnkot mond. 5. Kiss Kt, Szbó Rék, Ng Sár, Vrg Eszter. 6. Zoli: villmos, kosárlbd; Bálint: bicikli, kézilbd; Pisti: busz, úszás. Rejtvén: Német.. Logiki mûveletek negáció, konjunkció, diszjunkció. Fehér dobozbn: piros, zöld goló. Piros dobozbn: fehér, sárg goló. Kék dobozbn: sárg, piros goló. Zöld dobozbn: kék, fehér goló. Sárg dobozbn: zöld, kék goló.. Øp = A négzetnek vn oln szöge, melik nem derékszög. Øq = Vn oln háromszög, melik nem derékszögû. Ør = A szbálos ötszögnek vn oln szöge, melik derékszög. Øs = Nincs oln deltoid, melik rombusz = Egetlen deltoid sem rombusz. Øt = Minden trpéz prlelogrmm. Øu = Nincs homorúszögû háromszög. = Minden háromszög nem homorúszögû. Øw = Vn oln háromszög, mel köré nem írhtó kör. ØA = A ngobb vg egenlõ, mint p. ( ³ p) ØB = A kisebb, mint 5. ØC = Szbálos dobókockávl dobhtunk 6-nál ngobbt is. ØD = 9-nek -nál kevesebb osztój vn. ØE = Minden másodfokú egenletnek -nál kevesebb göke vn.. A= p A p p= p } = ØA = Minden flubn vn post. ØB = Vn oln ember, ki nem kékszemû. ØC = Vn oln pók, meliknek 8-nál több szeme vn. ØD = A február sose 0 npos. ØE = Vn oln szállod, melben vn oln szob, hol nincs telefon. ØF = Minden munkhel oln, hog senki sem dolgozik.

3 . Mit szoktál mondni kkor, mikor vlki megkérdezi, hog plink z jelenti, hog igen? 5. ) Piki igzmondó, Niki és Tiki hzug. b) Tiki biztosn igzmondó, Niki hzug, Pikirõl nem tudjuk. 6. ) ØH Ø(ØH) = M hétfõ vn. b) H Ù F Ø(H Ù F) = M nem hétfõ vn, vg nem vgok fárdt. = ØH ÚØF c) H ÙØF Ø(H ÙØF) = M nem hétfõ vn, vg fárdt vgok. = ØH Ú F d) ØH Ù F Ø(ØH Ù F) = M hétfõ vn, vg nem vgok fárdt. = H ÚØF e) ØH ÙØF Ø(ØH ÙØF) = M hétfõ vn, vg fárdt vgok. 7. ) M Ú T hétfõn igz Ø(M Ú T) = M nem hétfõ vn és tegnp nem vsárnp volt. = ØM ÙØT b) ØM ÚØT csk hétfõn nem igz Ø(ØM ÚØT) = M hétfõ vn és tegnp vsárnp volt. = M Ù T c) ØT Ú M minden np igz Ø(ØT Ú M) = Tegnp vsárnp volt és m nincs hétfõ. = T ÙØM d) ØM ÚØT csk hétfõn nem igz Ø(ØM ÚØT) = M hétfõ vn és tegnp vsárnp volt. = M Ù T 8. ) Én megek veled vg Ottóvl. b) Veled megek, vg Ottóvl megek. c) Nem megek veled. d) Te nem még, vg én nem megek. = Nem megek veled. 9. ) A Ù B ÙØC b) (A Ú B) ÙØC c) ØA ÙØB) ÙØC d) (A Ù B) Ú C 0. A, B, D vg A, C, E, tehát csk A-ról mondhtjuk biztosn, hog hzudik.. ) Az ABCD húrnégszög és átlói nem merõlegesek. LEHET IGAZ b) Az ABCD húrnégszög és ADC<) < 90º és BCD háromszög egenlõ szárú. HAMIS = NEM LEHET IGAZ c) Az átlók nem merõlegesek, z ADC<) < 90º és BCD háromszög nem egenlõ szárú. BIZTOS IGAZ d) Nem húrnégszög és z átlók merõlegesek és z ADC<) ³ 90º. HAMIS = NEM LEHET IGAZ Rejtvén: A leghátsó kivételével mindenki megszbdulht következõ strtégiávl: leghátsó fehéret mond, h pártln számú fehér spkát lát, különben feketét mond.. Logiki mûveletek implikáció, ekvivlenci. ) B A b) ØA ØB c) A B d) A Ú AØB. ) A B b) ØB ØA c) B A d) B A e) ØB ØA ( 00-es kidásbn sjtóhib vn feldt szövegében: szombt helett vsárnp áll) f) B «A g) A «B

4 SOKSZÍNÛ MATEMATIKA A KITÛZÖTT FELADATOK EREDMÉNYE. ) H z n szám 6-r végzõdik, kkor -gel oszthtó. b) H z n szám -vel oszthtó, kkor nem prím. c) H z n szám -gel oszthtó, kkor nem prím és páros. d) Az n szám páros és számjegeinek összege -ml oszthtó, kkor és csk kkor, h 6-tl oszthtó. e) Az n szám -vel oszthtó kkor és csk kkor, h -gel oszthtó és számjegeinek összege -ml oszthtó. f) H n nem páros, de számjegeinek összege oszthtó -ml, kkor n nem oszthtó 6-tl.. ) (T Ù O) N b) D «C c) A (B Ú C) d) S Ø(A Ù B) 5. Kti. 6. Gbi csk lán lehet. 7. Igen válsz: vn rn, nem válsz: nincs rn. Rejtvén: Vn oln eset, mikor kártát kell megfordítni, még kkor is, h kihsználjuk, hog minden számjegbõl vn.. Teljes indukció. n = -re =. T.f. n-re, biz. n + -re: n = + = nn ( + ) ( n+ )( n+ ) n + ( n+ )( n+ ) nn ( + ) + ( n + ) n + = = =. ( n + )( n + ) ( n+ )( n+ ) n +. ) n = -re 9½8. T.f. n-re, biz. n + -re: 5 n+ n+ + n+ n+ = 50 5 n n+ + n+ n = = 8 5 n n+ + (5 n n+ + n+ n ). b) A feldt helesen: ½6 n + n+ + n. n = -re ½66. T.f. n-re, biz. n + -re: 6 n+ + n+ + n+ = 6 6 n + n+ + n = 6 n + (6 n + n+ + n ). c) A feldt helesen: 7½ 5n+ +5 n n+. n = -re 7½9. T.f. n-re, biz. n + -re: 5(n+)+ +5 n+ n+ = 5n n n+ = = 5n n n+ ( 5n+ +5 n + n+ ).

5 *. IGAZ ( ) háromszögek szám -ml növelhetõ. n = 6, 7, 8-r:. 5, 6, 7 (= 5 ), 8 kifizethetõ, után hármsávl bármi. 5. Pisti tévedett. -rõl indulv drbok szám minden lépésben -vel nõ, íg csk pártln lehet. 6. -rõl indulv drbok szám minden lépésben -ml vg 5-tel nõ. ) 00 = + 00 = elérhetõ. b) 00 = = c),, 5, 8 kivételével minden szám lehet: (,, 6, 7 lehet) 9 (= + + 5), 0 (= + ), (= + 5)-rõl indulv hármsávl minden elérhetõ. 7. ) A tgok szimmetrikusk középsõre nézve: n = n +(n + ) (n ) (n ) + (n ) = (n ). Teljes indukció második lépése: (n ) +n +n +n + n = n n + +8n = (n +). b) n n ( ) n = ( ) ( ) 8. Becsléssel: nn ( + ), nn ( + ) + + ( ) ( + ) = ( ) ( + ) ( ) ( + )( + n n n n ) n n =. n n n n n = n. n n Teljes indukcióvl: n = : ³. T.f. n-re, biz. n + -re: = nn ( + ) + n n n n n + n + = n + n + + = n +. n 9. Egenesek szám:... n nn ( + ) Síkrészek szám: = (sejtés) = ( n) +. Az n + -edik egenes z elõzõ n egenest n pontbn metszi, ezek n + részre osztják z egenest, és mindegik egenesdrb kettévág eg-eg síkrészt, íg síkrészek szám n + -gel nõ. 5

6 SOKSZÍNÛ MATEMATIKA A KITÛZÖTT FELADATOK EREDMÉNYE * 0. Körök szám:... n. nn ( ) Síkrészek szám: = + ( ( n )) sejtés. T.f.h. n körre igz. Az n + -edik kör n pontbn metszi z elõzõ n kört, ez n ív körön, melek kettévágnk eg síkrészt, íg n-nel nõ síkrészek szám. Kiszínezhetõ. körre igz. T.f.h. n körre igz. Rjzoljuk be z n + -edik kört, és minden, körön belüli síkrészt színezzük z ellenkezõjére. Ezzel z új htárvonlk jók lesznek, régiek nem változnk. A háromszögek esete bbn különbözik, hog két háromszögnek mimum 6 metszéspontj lehet. *. n = -re igz: T.f.h. létezik ilen konve n-szög. Ennek eg tompszögét levágv konve n + szöget kpunk. -nál több hegesszög nem lehet. T.f.h. vn, ezek összege 80º-nál kisebb. A konve n-szög szögösszege (n ) 80º. A megmrdt n db szög összege (n ) 80º-nál ngobb kellene legen, mi nem lehet. *. n = -re igz. T.f.h. minden n+ -nél nem ngobb tömeg,,..., n tömegekkel kimérhetõ. Adott eg n+ -nél ngobb, de n+ -nél nem ngobb tömeg. n+ -bõl n+ -t levéve n+ mrd, íg eg n+ -et hsználunk, mi mrd, n+ -nél nem ngobb, tehát,,..., n tömegekkel kimérhetõ. Rejtvén: A szemüveg kkor párásodik be, h hidegrõl melegre meg be. 6

7 Számsoroztok. A számsorozt foglm, példák soroztokr. A pozitív páros számok soroztánk n-edik tgj: n, sorozt elsõ n tgjánk összege: n(n + ).. ) n n( n + ) b) c) (n )(n n +). A bizonításokt például teljes indukcióvl lehet elvégezni.. ) Érdemes n -t átlkítni íg: b) Az n -t itt íg érdemes felírni: n n n n n =... ( + )... ( )... n n = n + n n 5. A sejtés áltlánosn íg írhtó fel: n + n n + n = n + n + +n + n n +n. Az összegzés után bizonítás közvetlenül dódik.. Példák rekurzív soroztokr. ), b), c) teljes indukcióvl könnû igzolni.. =. Az eges ferde vonlk mentén dódó összegek következõk:,,,, 5, 8,,,, 55, 89,... Az áltlános sejtés tehát z lehet, hog z n-edik sorbn álló számok öszege f n. A sejtés teljes indukcióvl igzolhtó. = +. ábr. A sorozt tuljdonságit teljes indukcióvl igzolhtjuk. A szemléltetést z. ábrán lehet elvégezni. = 5. A sorozt tuljdonságit teljes indukcióvl igzolhtjuk, sorozt tgjink szemléltetését. ábrán végezhetjük el.. ábr 7

8 . Számtni soroztok = + = A feltételbõl = és d = dódik. Íg zt legkisebb pozitív egész n-et keressük, melre + ( n ) n 000. Az eredmén: n =.. Elég igzolni, hog z + c =b és egenlõségek ekvivlensek. b+ c + + b = + c. ) = 7, d =. b) Két megoldás vn: =, d =, 59 =, d =. c) A kitûzött feldt hibás. A heles feldt: + 7 =, + 7 =. Ennek két megoldás vn: = 7, d =, 67 =, d = Nem. Indirekt bizonítást lklmzv rr z ellentmondásr jutunk, hog rcionális szám SOKSZÍNÛ MATEMATIKA A KITÛZÖTT FELADATOK EREDMÉNYE 8. 50,5 másodperc ltt esik le test 0 m mgsról ( ) = = Az egenlõtlenséget kielégítõ egész koordinátájú pontok szám.. Mértni soroztok. = 6, q =... q =. 0. 8

9 5. ) =, q = b) A feldtbn hib vn, heles feldt: 7 = 6, 5 = 7. Az egetlen megoldás: =, q = ( q = eset nem d jó megoldást). c) Két megoldás vn: = 5, q =, = 5, q = A helesen kitöltött táblázt: Két megoldás vn:, 8, ;,, (A második megoldás esetében számtni sorozt differenciáj 0, mértni sorozt hándos.) 9. A számtni sorozt elsõ tgj, különbsége Kmtszámítás, törlesztõrészletek kiszámítás 0. Jelölje p z + = számot (ez z eghvi kmt kiszámításához szükséges), kkor hvi törlesztõ részlet: p 5000 p 57 Ft.. Feltesszük, hog hvont egenlõ részletekben törlesztjük kölcsönt, ekkor szükséges 0 hvi összeg q = + = jelölés felhsználásávl: Tehát kölcsönt felvehetjük. q q Ft. 9

10 Térgeometri. Térelemek SOKSZÍNÛ MATEMATIKA A KITÛZÖTT FELADATOK EREDMÉNYE. 5 rész. ) 5 vg 8 rész. b) 9, 0 vg rész.. ) b) c) º; 0º 6. 5,6º; 90º 7. ; 5; 9,º; 8,º *9. Igz. A sík és tér felosztás n. n+ véges; n végtelen trtomán n nn ( ) = n n n n n = ( + ) ( )( ) *7. n n + 0

11 . Testek osztálozás, szbálos testek. Igen. Pl. ilen eg térbeli kereszt.. Legkevesebb 6, legfeljebb 0.. tetréder kock oktéder dodekéder ikozéder. 5. ; ; 0 6 cm 6. 8,6 cm; 6, cm *7. *8. 6. A terület foglm, sokszögek területe.. cm; 5,8º; 5,6º. 7,8 cm;,7 cm; 6,68º. 7-szerese. 5. része A súlvonl megfelelõ egenes. 7. 7,05 cm területegség. * 0. Igen. Az oldli lehetnek: és 6, vg és. *. b) n =, vg 6 esetén.

12 5. A kör és részeinek területe. ; 9 SOKSZÍNÛ MATEMATIKA A KITÛZÖTT FELADATOK EREDMÉNYE.. Igen.. 6,8 km-rel 5. ),09 cm b) cm c),9 cm 6. 0,56 m 7. ) 5,5 cm b) 5,8 cm c) 5,7 cm d),5 cm 8. ) b) 0. Egenlõk.. 5, cm. 6,77 cm *. 6,88 cm 6. A térfogt foglm, hsáb és henger térfogt. 8 féle. A m = 6 (; ; 6). A min = 66 (; ; ).. Élei: 6 ; 8 ; 0 ; V = 960 ; A = 75; 5º; 6,9º. Élei: cm; 6 cm; 8 cm. A = 08 cm. Élei: 0 cm; 5 cm; 0 cm. V = 000 cm 5. ) A = 686,6 cm ; V = 866 cm b) A =, cm ; V = cm c) A = 79,6 cm ; V = 596, cm d) A = 58,8 cm ; V = 68, cm 6. ) V = 785, cm ; A = 7, cm b) V = 0000 cm ; A = 68, cm c) V = 790,9 cm ; A = 5080,99 cm 7.,6% 8. V =,76 cm ; A = 58,7 cm V = 58,9 cm ; A = 9,57 cm 9. V = 68, cm ; A = 08, cm V = 005, cm ; A = 65,5 cm 0. V = 88,5 cm ; V = 7,5 cm A = 0,9 cm ; A = 500, cm *. A = cm ; V = 6 cm *. féle.

13 7. A gúl és kúp térfogt. ) 76,9 cm ;,78 cm b) 6,6 cm ; 87, cm c) 08,09 cm ; 656,7 cm d) 500 cm ; 80,77 cm. ) 57,08 cm ; 0, cm b) 0,59 cm ; 0,59 cm c) 0,59 cm ; 0,59 cm. 58,9 cm. 678, cm 5. 78,55 cm 6. 65,5 cm 7.,6 cm ;,. cm 8. 66,6. cm ; 7, cm 9. 0,6 cm ; 5,78 cm *. A= ; V = *. = r esetén A csonk gúl és csonk kúp. ) 6,69 cm b) 8,58 cm ; 70, cm c) 8,76º. ) 5,9 cm ; 75,96 cm b) 8,9 cm ; 88,5 cm. ) 57,75 cm ; 9,8 cm b) 5,9 dm ; 58,58 dm c) 07,9 dm ; 57,58 dm. 97,9 cm ; 9,8 cm 5. V =,. cm ; V =,. cm A = 7,7 cm ; A = 66,5 cm 6. A = 60 cm ; = 5,º π dm ; π dm 8. ) 8,9 cm; 6, cm b),85 cm; 8,5 cm 9. 67,87 dm 0. 90, dm

14 9. A gömb térfogt és felszíne SOKSZÍNÛ MATEMATIKA A KITÛZÖTT FELADATOK EREDMÉNYE. ) cm ; 5 05 cm b) 50 cm ; 507 cm. 97 m. 0 cm π r. ; rész , N 8.,6 dm ; 6,6 dm *9. * r π V = h ( r h) π R 8 * cm ; 0 06 cm 0. Egmásb írt testek. 0 cm. 6,7 cm. ) 0 cm; cm; cm b) 60 cm ; 55,6 cm. 6 cm ,% 7. r =,07 cm; A = 89,6 cm ; igz ,57 cm ; 68, cm *9. 9,% 0. A A V = ; = 8 V., cm. 5 m 9 (m kúp mgsság)

15 Vlószínûségszámítás, sttisztik. Geometrii vlószínûség. 0,9.. 0,5.. = 8,» 7.. 0, = p = = ,. +, p = b 5, b ³ 0, ½b½³. p =

16 9. 0 <. SOKSZÍNÛ MATEMATIKA A KITÛZÖTT FELADATOK EREDMÉNYE + ( ) p =. Rejtvén: A vlószínûség, mert három pont meghtároz eg síkot.. Várhtó érték. Tornádór fogdv nereség várhtó értéke: 0,. Villámr fogdv nereség várhtó értéke: 0. Szélvészre fogdv nereség várhtó értéke: 0,. Tehát Villámr érdemes fogdni.. 80 Ft =..» 0, Páros: -ml oszthtó: tel oszthtó: =. 0 =. 0 =. Tehát -ml oszthtór érdemes tippelni = Ft helett 00 Ft-tl számolv: 00 = 0, = 00 (Ft).. Sttisztik. Mgrország minden tekintetben utolsó. Nugti nelveket tekintve Szlovéni vezet, Csehország második. Vlmel idegen nelveknél számít, hog z ország korábbn más országokkl egütt lkotott eg állmot. 6

17 . d) Budpesten szállodát.. ) Többség z iskolábn tnórán tlálkozott z internettel. b) Egütt nem 00%. c) Mit jelent megismerkedni? Lehet, hog megismerkedett vele, de nem szokott internetezni! 5. ) b),68»,7 6. Zöldek, mert bár z dtok ugnzok, z õ grfikonjuk szemre erõteljesebb növekedést mutt. 7. Péter jvított, ezért z tengelen z egség ngobb legen. Péter rontott, ezért z tengelen z egség kisebb legen. 8. b),5. c) 6,8. d) Ahol z 50%-ot eléri: osztálközepe: 750 ezer. 0. ) 00 = 59. b) Az egmás utáni tgok távolság felezõdik: 9; 99; 59; 79; 69; 7;.... ) Az átlg -ml nõ, szórás nem változik. b) Az átlg és szorzás is z 5-szöröse lesz.. H legngobb 5 lenne, terjedelem mitt legkisebb 7. Középen medián mitt 8, 8 vg 7, 9 áll. Ezen szám összege 8, többi összege 6 8 = 6 kellene legen, de z nem lehet, mert egik sem kisebb 7-nél. A legngobb szám lehet legkisebb 6, középen 7, 9 vg 8, 8 közül csk 8, 8 lehet, mert 8 módusz, íg számok: 6, 6, 6, 8, 8, 8, 8,.. c) Iskoli végzettség, testvérek szám. = ,

18 SOKSZÍNÛ MATEMATIKA A KITÛZÖTT FELADATOK EREDMÉNYE Gondolkodási módszerek összefogllás. Hlmzok, kijelentések, esemének. ((Z \ H) \ E) È (H Ç E) = (Z Ç _ H Ç _ E) È (H Ç E) (p Z ÙØp H ÙØp E ) Ú (p H Ù p E ) (E Z E H E E ) + (E H E E ) = (E Z _ E H _ E E ) + (E H E E ) görög slát, tirmisu. ) Nem igz. b) Nem igz. c) Nem igz. d) Nem igz.. Április 0 npos. A hlmzábrán láthtón eddig np volt felsorolv, íg hiánzó szám 0 = 7. ) N npos: 5. b) E _ nem esõs:. c) E S N = E S N 7: nem esõs, nem szeles és nem npos. d) S È E: szeles vg esõs: 0. e) E S = E S nem esõs és nem szeles: 0. f) N Ç (S È E) npos és (szeles vg esõs):.. ) Minden -vel és 5-tel oszthtó természetes szám oszthtó 0-zel. Vn oln -ml oszthtó szám, mel 0-zel is oszthtó. H eg szám oszthtó 0-zel, kkor oszthtó -vel és 5-tel is. b) Vn egenlõ szárú derékszögû háromszög. Nincs oln egenlõ szárú háromszög, melnek pont eg 60º-os szöge vn. H eg háromszögnek pont eg 60º-os szöge vn, kkor nem lehet egenlõ szárú.. Kombintorik, vlószínûség = =.. ) 6! b) 5!! c)! 7! 8

19 . ) b) =. = 05, Ugnnni: 6. Páros: páros vg páros és pártln. Pártln: pártln vg pártln és páros. (Szimmetri elv.) 6. többszöröseinek szám + 7 többszöröseinek szám 7 többszöröseinek szám = 8 = = 8. Íg keresett vlószínûség: = 0, ! 7. Komplementer: mind különbözõ 5! = =, 7 9. ) b) = = =0, ,6 0,8 +0,6 0, 0, +0, 0, 0,65 = 0,606. P(két fej) = + =. 5 8 P(szbálos érme, feltéve, hog két fejet dobunk) = 8 = = 0,

20 SOKSZÍNÛ MATEMATIKA A KITÛZÖTT FELADATOK EREDMÉNYE Algebr és számelmélet összefogllás. Számok és mûveletek... Igen, négzete is irrcionális.. Pl.:,.... km %-át. 6. 7%-os hszon. 7.» 77%,» 9% tnuló.. Számelmélet, oszthtóság A számjegek összege, nem lehet prím.. Nincs. p és p + közül z egik páros, p = -re nem igz.. Igen, 00 = 7, minden prímténezõ kisebb 5-nél. 5. ) Pl.: 988 = b) Pl.: 988 = es, 8-s, 9-es *8. n = 5 és n =.. Htván, gök, logritmus nullár végzõdik.. ) 8 éves, 70 kg-os tnuló esetén 7 00 m. b) kg.. ) 5 = b) 5 c) 0 =

21 5. ) 9 5 = 5 b) 6. ) Az elsõ ngobb. b) Az elsõ ngobb. 7. ) ; > b) 6; b ³ 0; b ¹ ; b ¹ 6 0 *8. A kifejezés = n. ( ) 9. ) b) 6 c) 6 0. ) = 9< 9 = 7 b) c) log 5 log log75 log log9 = < log7 = < = < = < = < 9 = 7 5 log = = log 0, 5 < log7 = < log5 5 = < log 8= 6 7. ) = 0 b) 5 5 = = =, 5 8 c) =. Mûveletek rcionális kifejezésekkel. ) ( ) b) b (5b + )(5b ) c) 7(c +). Pl. d ½(d ) + (d ) +(d ). ) 000 b) = ( 7). ) b) c) ( 9) b 8 ( + ) 5. Egenletek, egenlõtlenségek. 7,5 liter 0%-os és,5 liter 80%-os km km. 6. Legkésõbb órkor. 7. ) n = 8; 9; ; 5 b) n = 0; ; ; ; ; 5; 6 c) 7 < n <

22 SOKSZÍNÛ MATEMATIKA A KITÛZÖTT FELADATOK EREDMÉNYE 8. m széles, m hosszú. 9. I. 0 órát, óránként 0 db. II. 6 ór; óránként 5 db ért vette. *. p= ; p= ; p= *. p = 0 5. b) = 6,5; =,5 c) =. ) = 7 b) = c) = ; = 0 * 5. n = 6. ) < vg > b) 5 < < vg < 7. ) π π π 8π = + k k b) = + kπ; + lπ ; k, l Z ; Z c) π π = + lπ ; l Z d) = kπ; = + lπ ; k, l Z π 7π 5 8. ) kπ + + kπ; b) lπ + π π + lπ ; l Z 6. Egenletrendszerek. ) Kb. 65 Ft liter üdítõ ár. b) Ft-nk dódik liter ár. Az ár nem rános z üdítõ menniségével.. 8 piros; kék.. 9 polc; könv.. ) 77-szerese. b) 98,7%-kl kisebb. 5. ) = ; = b) = ; = ; 5 5 c) = 0; = ; = 0; = 7 6. ) = ; = 9; = ; Î R\{0} b) = ; = c) = ; = 5; = ; = 5; = ; = 5; = ; = 5; 5 = 5; 5 = ; 6 = 5; 6 = ; 7 = 5; 7 = ; 8 = 5; 8 = = ; =

23 Függvének összefogllás. A függvén foglm, grfikonj, egszerû tuljdonsági. ) = sin p p p p b) c) =lg 0, 0 d) e) =tg p p p p 9 f) A függvén görbéje nem rjzolhtó meg pontosn, két szksz mentén mindenütt sûrûn elhelezkedõ pontokból áll.. ) injektív; b) egik sem; c) egik sem; d) szürjektív; e) bijektív; f) injektív.. Mûveletek függvénekkel. ) f f: R R, ; b) f g: R R, ; c) g f: R R, ; d) g g: R R,.. f f: R R, ; f f f: R R, ; + + f f... f: R R,, z fn-szer szerepel. + n

24 . ) f : R R, ; b) g : R \ { } R \ { }, ; + c) h : [0; ] [0; ], ; d) k : [0; ] [ ; 0], ; SOKSZÍNÛ MATEMATIKA A KITÛZÖTT FELADATOK EREDMÉNYE. Függvéntuljdonságok. ) b) c) 8 6 =( +) ( ) 6 6. ) b) c) Zérushel: =. Zérushel: = 7. Zérushel: =.. ) b) c) A kitûzött feldtbn hib vn. A heles függvén: log, 5 6 log Î [; + [ log Minimumhel = 0, mini- Minimumhel =, mini- A függvénnek minimumum értéke: ; mimum- mum érték: ; mimum- m nincs (lulról nem helek: =, =, hel: = 5, mimum ér- korlátos), mimumhemimum értéke: 5. ték: 6. le =, mimum érték:.

25 d) = sin½½ p p p p p p p p Minimumhelek: és = π = π, minimum értéke:, mimumhelek: és = π = π, mimum értéke:, z = 0 helen heli minimum vn függvénnek, minimum értéke 0. e) Minimumhel = 0, minimum értéke: 0, π π mimumhelek =, =, mimum értéke.. A függvén zérushele: = 0, minimumhele =, minimum értéke:, mimumhele =, mimum értéke:. p p p p 5. ) Az egetlen vlós gök: =. b) Az egetlen vlós gök: =. c) A két vlós gök: = és =. 6. ) A kitûzött feldtbn hib vn. A heles feldt: log log, >, ¹. A megoldás: <. b) A megoldás: < <. π π c) A megoldások következõ intervllumok: + kπ < < + kπ, k Z. 7. ) Eg vlós göke vn: =. b) Két vlós göke vn: = 0, =. c) A két vlós gök: = és =. 8. Nem periodikus, indirekt úton lehet bizonítni. 5

26 Geometri összefogllás. Alpvetõ foglmk. ) hmis; b) igz. ) AB cm; b) igz SOKSZÍNÛ MATEMATIKA A KITÛZÖTT FELADATOK EREDMÉNYE. A szögek ngság: º, 57º, 7º, 87º, 0º.. A hjó z észki iránnl +05º-ot bezáró, közelítõleg délnugti iránbn hld. 5. Jelölje prk hosszbbik oldlánk hosszát, rövidebbikét b. H kkor köz- b, refogott lkzt négzet, h kkor z ösvének és prk htár eg htszöget fog b >, közre. 6. Legfeljebb pontot kphtunk íg. Nincs mindig megfelelõ pont. 7. A metszéspontok szám ) 8 térrész; b) 5 térrész; c) 6 térrész; d) 9 térrész.. Geometrii trnszformációk. Két megfelelõ négzet vn, csúcsik rendre (6; 0), 0; 6), ( 6; 0), (0; 6), illetve (8; 8), ( 8; 8), ( 8; -8), (8; 8).. ) A közös rész eg oldlú szbálos háromszög. K = cm, T = cm 9» 0,77 cm. 68 b) Az egesítés eg konkáv hétszög. K = 0 cm, T = cm, 087 cm ) A'( ; 0), B'(; 6), C'(6; ) b) A'( 0; ), B'( ; ), C'(0; 6) cm 8. A ngítás 80-szoros, kép és vászon távolság,95 m.. Vektorok. Szögfüggvének. h»,9 m.. d» 8,5 m..» 5,5º.. ) sin = 0,6; tg = ctg = ;. 6

27 b) cos = 0,8; tg = ctg = ;. c) sin» 0,909; cos» 0,99; ctg» 0,76. d) tg = 5+»,6; sin» 0,909; cos» 0, Az osztópontok helvektori rendre B csúcstól C csúcs felé hldv: 5b + c b + c b + c b + c b + 5c,,,,. 6 6 b b c c b c 6. fab = +, fbc = +, fca = +, s ABC = c b + d + + b + c + d + c b + d b c d 7. ) b), c) = Az átlók felezõpontjit összekötõ szksz felezõpontj zonos középvonlk metszéspontjávl. 9. = 6. Nevezetes síkidomok tuljdonsági. ) = 0º; b» 7,5 cm; c» 7,05 cm. b)»,97 cm;»,º; g»,69º. c) c» 8,88 cm;» 6,9º; b» 7,8º. d)» 59,6º; b» 8,05º; g» 9,59º.. A befogók:» 8,6 cm; b» 8,6 cm. A hegesszögek:» 65,9º; b»,08º; 68 T = cm, 087 cm. 9. )» 75,5º; T» 7557,8 m. b) A mimális területû játéktér oldli 9,6 m és 7,9 m, területe T» 8779, m. 5. ) = 50º; b = 60º; g = 70º. b)»,06 cm; b»,6 cm; c»,76 cm; T»,99 cm. c) T»,5 cm ; T b»,6 cm ; T c»,6 cm. 6. A belsõ szögfelezõk áltl meghtározott négszög szögei vlmelik körüljárási iránbn: 87,5º; 5º; 9,5º; 65º. H eg konve négszög belsõ szögfelezõi közrefognk eg négszöget, kkor z mindig húrnégszög. 7. ) Az oldlfelezõ pontok áltl meghtározott négszög tégllp, íg z eredeti négszög átlói merõlegesek egmásr. b) Az oldlfelezõ pontok áltl meghtározott négszög rombusz, íg z eredeti négszög átlói egenlõ hosszúk. 7

28 SOKSZÍNÛ MATEMATIKA A KITÛZÖTT FELADATOK EREDMÉNYE 8. ) n = 9; b) n ( sokszög oldlszám) lehetséges értékei:, 5, 6, 7, A sokszög oldlink szám: n = k A legkisebb szög 7º-os, legngobb 7º-os. 5. Koordinátgeometri. ) A'(; 0), B'(8; ), C'( 6; ) b) c) S ; d) K ABC = ( ), 6 e) T ABC = 86. Az érintõ egenlete: + =.. A csúcsok koordinátái (0; 0), (0; ), (; 0), háromszög területe 6 egség.. A H ( ; 5) hrmdoló pontr illeszkedõ érintõk egenlete = és 8 5 = 5, H ( ; 7) hrmdoló pontr illeszkedõ érintõk egenlete pedig = és = A súlpontok hlmz z = + egenletû egenes kivéve ; pontot, 9 9 ugnis ekkor nem jön létre háromszög. 6. ) = ; = b) = 7. T = 9 8. A két érintõ hjlásszöge», = ; T =. 0. ) b) c)

29 Középszintû érettségi gkorló feldtsorok. Feldtsor I. rész. 9 =. 6. A kock eg lpján Pitgorsz-tétével kpjuk lpátló hosszát: l = 6 cm; mjd BDH è -ben szintén Pitgorsz tételével kock testátlóját, mel: d = 6 cm. E A D H l d F B G C. B állítás hmis. Pl.: D C Az ábrán láthtó derékszögû trpéz nem húrnégszög. A. A bl oldlon lévõ szorzást (zárójelfelbontást) elvégezve, mjd -et kiemelve két tgból kpjuk, hog +(b +) +b. Ez kifejezés egenlõ + c + 6-tl, melbõl másodfokú polinomok egütthtóink egenlõségébõl következik, hog b + = c és b = 6, ezekbõl egenesen ered b = és c = 5 érték. B 5. BDC =?; =? Az ABC è hrmdik szöge ekkor 70º. BD szögfelezõ két háromszögre bontj z ABC è -et: CDB è -ben belsõ szögek összegére vontkozó összefüggés lpján: = 80º (90º + 5º) = 55º. B C D A 6. A két germek életkoránk összege:. Az p életkor feldt feltétele szerint ekkor:. Nég év múlv germekek életkoránk összege: +8. Az p életkor nég év múlv: +. A feldt szerint felírhtó + = + 6 egenletbõl következik, hog jelenleg két germek életkoránk összege év, íg z p most 6 éves. 7. Két egenes párhuzmosságánk feltétele, hog irántngenseik (meredekségük) megegezzen. Jelölje rendre z egeneseket e és f. Az e egenes egenletébõl leolvsv nnk normálvektorát, mjd iránvektorát kpjuk, hog: n e (; 0) v e (0; ) me = 0. -vel beszorozv z f egenes egenletét, leolvsv szintén norálvektorát, iránvektorát, ered: 9

30 SOKSZÍNÛ MATEMATIKA A KITÛZÖTT FELADATOK EREDMÉNYE n f (; 8) v f (8; ) A párhuzmosság feltételébõl most már következik, hog: = 0 8 vgis: m f = 8. = Célszerû feldtot grfikus úton megoldni. Ábrázoljuk z egenlõtlenség bl oldlán álló p p f() = cos függvént ; -on, mjd g ()= f ( ) = cos jobb oldlon álló g ( )= konstns függvént, és olvssuk le z egenlõtlenség meg- oldásit, (figelve nitott-zárt intervllumokr). p ; p p ; p 9. Az,,,, 5 számjegekbõl képezhetõ ötjegû számok szám: 5! = 60.! 0. ( ) ( ) kifejezés szorzttá lkításánál hsználjuk fel z ( + b)( b) = b zonosságot, mjd emeljük ki z ( )-t. Íg kpjuk z ( )( + ) szorztot.. A feldt eredméne számolhtó klsszikus vlószínûséggel. Jelentse A esemén, hog pontosn fejet dobunk. Ekkor mivel lehetõségek következõ: FFF; III; FII; IIF; IFI; IFF; FIF; IFF. kedvezõ eset PA ( ) = =. összes eset 8 p p p p. Az dott egenlõtlenség megoldhtó lgebri úton, de tlán itt is, mint 8. feldtnál lénegesen egszerûbb, h ábrázoljuk z egenlõtlenség bl és jobb oldlán álló kifejezéseket függvénként, mjd leolvssuk kpott eredmént. Legen: f() = ½ 5½ és g() = 8. Megjegzés: Az lgebri megoldásnál hsználjuk fel, hog bármel ½½ ( ÎR + ) esetén, íg itt: egenlõtlenséget kell csk megoldnunk. 8 g () 5 f () 0

31 . Feldtsor II. rész / A. z út hossz: km A B [ km] s km A v = képletbe helettesítve: 60 t h = [ h] 5 ) mibõl ered, hog z út hossz: km km b) = 6, 66. h c) A töltõállomáson 59 Ft-ot fizetett (50 Ft/l-t) gépkocsi vezetõje. Az egész úton ( km-en) összesen 59 : 50 = 0,68 l volt z üzemngfogsztás, ezért egenes ránossággl számolv 00 km-en 7, l átlgfogsztást kpunk.. A szbálos tetréder minden éle 0 cm élû kock egeg lpátlój. A lpátló hossz Pitgorsz-tételével: A szbálos tetréder felszíne: A = 00 cm. A szbálos tetréder térfogt 000 V =, cm. l = 0 cm. A= l, mibõl: mibõl Megjegzés: Részletesebb megoldássl számoljnk fkultációs és z emelt szintû mtemtikát tnulók, felhsználv, hog bármel tetréder térfogt számolndó: V T = m képlettel, hol z lplp területére hsznál- b ják Tè = sing összefüggést, vlmint testmgsság hosszánk számolásánál bizonítsák be, hog test m- gsságánk tlppontj z lplp súlpontjáb esik. Innen Pitgorsz tételével ered testmgsság hossz. V = l, A E A H D l =0cm F B D m S G C C B 5. A megoldott tesztek szám: n. Ekkor: n + 97 = 90 n n + 97 = 90n és n + 7 = 87 n n + 7 = 87n.

32 SOKSZÍNÛ MATEMATIKA A KITÛZÖTT FELADATOK EREDMÉNYE Az. egenletbõl kivonv. egenletet kpjuk: 97 7 = 90n 87n melbõl ered, hog kitöltött tesztek szám n = 8 db. 6. ) ÎR A feldt átfoglmzv: ½ + ½ + ½ ½ = 0. Középszinten nem kötelezõ tudni e feldtot grfikusn megoldni, kezdjük hát lgebri úton. Ismert, hog: +, h + = {, h < és, h = { +, h < Számegenes segítségével könnebben felírhtók z értelmezési trtománok és hozzájuk trtozó egenletek.. esetben z < ÉT-on felírjuk hozzá trtozó egenletet, mel: ( ) + ( + ) = 0, 0 ÉT: () < () < () ³ melbõl kpjuk: = 9, mi z ÉT-nk megfelel.. esetben z ÉT: <, hozzá trtozó egenlet most íg lkul: ( + ) + ( + ) = 0, melbõl 7 ¹ 0, tehát nincs megoldás.. esetben z ÉT: ³, z egenlet: ( + ) + ( ) = 0, z = 5,5 = mel szintén megfelel z ÉT-nk, hog. esetben kpott megoldás is., A feldtnk tehát két megoldás vn 9 és. Mtemtik fkultáción vg emelt szintû mtemtikát tnulók oldják meg feldtot függvének segítségével is. Legen f() = ½ +½ + ½ ½ és g() = 0 konstns függvén. +, h < f( ) = + + = 7, h <, h g () 7 f (),5 5,5

33 b) Kezdjük feldtot feldt ÉT-nk vizsgáltávl. A logritmus mitt + < 0 és > 0 és + > 0 egenlõtlenségek metszeteként ered, hog: > feldt ÉT-. A logritmusok összegére vontkozó összefüggésbõl z egenlet átírhtó következõ lkb: log [( + )( )] = log ( + ). Mivel log függvén szigorún monoton (vlmint felhsználv z ( + b)( b) = = b zonosságot) ered: 9 = + mel másodfokú egenlet rendezés utáni gökei: = 5 és =. Az egenletnek eg megoldás vn, z = 5, mel megfelel z ÉT-nk.. Feldtsor II. rész / B 7. ) Készítsünk elõbb koordinát-rendszerben rjzot! AB egenlete: = ; z AC átló párhuzmos z tengellel, tehát mivel ez z egenes áthld z M(; 6) átló metszésponton, ezért = 6 z egenlete. Készítsünk megoldástervet, mjd lássunk hozzá feldt megoldásához. Terv:. AC Ç AB = A.. C kiszámítás felezõpont segítségével, hiszen M pont felezi AC átlót.. BC egenletének felírás.. BC Ç AB = B. Megjegzés: emelt szintûek tehetik, hog felírják M középpontú r = AM sugrú Thlész-kört, mjd e kör és AB egenes metszetének egik pontjként kpják B pontot (másik metszéspont kkor éppen A pont). 5. D kiszámítás felezõpont segítségével, mert M pont felezi BD átlót. Megoldás:.= = 6 A = } (; 6). C(; 6). n AB = v BC (; ); P 0 : C(; 6) Þ BC: + = 0. B(; ) 5. D(0; 0) Megoldás: A(; 6), B(; ), C(; 6), D(0; 0). b) Számítsuk ki elõször z AD távolságot! dad = AD = ( d ) + ( d ) = 60 8, 97 D(0; 0) 0 0 Mivel feldt szövege szerint egség cm ngságú, ezért AD» 8,97 cm. A vlóságbn 80 m = cm, íg kicsinítés mértéke kb. : AB: = A(; 6) B(; ) M(; 6) AC: =6 C(; 6)

34 8. Készítsünk tábláztot! SOKSZÍNÛ MATEMATIKA A KITÛZÖTT FELADATOK EREDMÉNYE Lánok Úszók: 80 fõ 6 Atletizálók: 95 fõ 9 76 Tornászok: 5 fõ 85 0 ) Jelentse A esemén, hog kiválsztott sportolók mindegike lán. 0 PA ( ) = 0, 00 b) Jelentse B esemén, hog kiválsztott fõ mindegike tletizál. 95 PB ( ) = 00, 00 c) Jelentse C esemén, hog kiválsztottk mindegike tletizáló lán. 9 PC ( ) = 0, d) D esemén: A kiválsztott sportolók ugnzt sportágt ûzik. Ekkor kiválsztott fõ kikerülhet z úszók körébõl, z tletizálók körébõl vg tornászok körébõl PD ( ) = , Nézzünk elõször néhán dtot. A jnuári lklmzottk szám: 60 fõ A jnuári forglom: 0 millió Ft A jnuári fõre esõ forglom: 500 ezer Ft p Februárbn válllt létszámemelkedését z + szorzó jelzi, kkor z fõre esõ 00 p forglomnövekedést z + kell, hog jelezze. 00 Íg februári 5,5%-os összforglom növekedés következõ egenlettel írhtó fel: Fiúk Összesen: 00 fõ = p p 00

35 Mindkét oldlt osztjuk rel, mjd elvégezve beszorzásokt és rendezve z egenletet p + 50p 775 = 0 másodfokú egenlethez jutunk, melnek gökei p = 5 és p = 55. A megoldás p = 5. ) A válllt 0 millió,55 = forglmt bonolított le. b) Az eg fõre esõ forglom februárbn 0%-kl nõtt jnuárihoz képest. c) Februárbn vállltnál 60,05 = 6 fõ dolgozott. Ellenõrizzük feldtot! A februári fõre esõ forglom , = Ft volt, h ezt beszorozzuk februárbn ott dolgozók számávl, tehát 6 fõvel, kkor z egész februári forglmt kell kpnunk = Ft. Vgis számolásunk heles.. Feldtsor I. rész. Igen. Igen, pl. lepkék.. Két megoldást is djunk. () () () () () () () () () (). Nem. A 00 pártln, íg két szám összegeként csk úg írhtó fel, h z egik páros, másik pártln. A z egetlen páros prímszám, íg másik szám 00 lenne, de 00 oszthtó -ml, íg nem prím. 5. A Ç B = [; [ A B féle lehet: 0 : 0; : 9; : 8; : 7; : 6; 5 : 5; 6 : ; 7 : ; 8 : ; 9 : ; 0 : f () = +; ³ [ ; 7[-on 7 5

EMELT SZINTÛ FELADATSOROK

EMELT SZINTÛ FELADATSOROK EMELT SZINTÛ FELADATSOROK. Feldtsor / A megoldások. A bl oldlon álló tört értelmezési trtomán : ³ 0, ¹ 0, zz 0, 0,. Bõvítjük törtet z + összeggel: = 0, íg hándosuk

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2007. október 25. KÖZÉPSZINT I.

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2007. október 25. KÖZÉPSZINT I. MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 007. október 5. KÖZÉPSZINT I. ) Az A hlmz elemei háromnál ngyobb egyjegyű számok, B hlmz elemei pedig húsznál kisebb pozitív pártln számok. Sorolj fel z hlmz elemeit! ( pont) A B AB

Részletesebben

Árki Tamás Konfárné Nagy Klára Kovács István Trembeczki Csaba Urbán János. sokszínû FELADATGYÛJTEMÉNY MEGOLDÁSOK. Mozaik Kiadó Szeged, 2009

Árki Tamás Konfárné Nagy Klára Kovács István Trembeczki Csaba Urbán János. sokszínû FELADATGYÛJTEMÉNY MEGOLDÁSOK. Mozaik Kiadó Szeged, 2009 Árki Tmás Konfárné Ng Klár Kovács István Trembeczki sb Urbán János sokszínû FELDTGYÛJTEMÉNY MEGOLDÁSOK 0 Mozik Kidó Szeged, 009 TRTLOMJEGYZÉK TRTLOMJEGYZÉK Megoldások 0. évfolm 0.. Gondolkodási módszerek

Részletesebben

Függvények, 7 8. évfolyam

Függvények, 7 8. évfolyam Függvének, 7 8. évfolm Orosz Gul 01. június 8. TARTALOMJEGYZÉK Trtlomjegzék Feldtok 7 1. Grfikonok................................... 7. Geometrii trnszformáiók.......................... 19 3. Geometrii

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Mtemtik emelt szint 1111 ÉRETTSÉGI VIZSGA 011. május. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ NEMZETI ERŐFORRÁS MINISZTÉRIUM Formi előírások: Fontos tudnivlók 1.

Részletesebben

14. modul Számtani és mértani közép, nevezetes egyenlőtlenségek

14. modul Számtani és mértani közép, nevezetes egyenlőtlenségek MATEMATIKA A 10. évfolym 14. modul Számtni és mértni közép, nevezetes egyenlőtlenségek Készítette: Vidr Gábor Mtemtik A 10. évfolym 14. modul: Számtni és mértni közép, nevezetes egyenlőtlenségek A modul

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára 8. évfolym TMt1 feldtlp MATEMATIKA FELADATLAP 8. évfolymosok számár tehetséggondozó változt 11:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll dolgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feldtokt tetszés szerinti

Részletesebben

Megoldás: Mindkét állítás hamis! Indoklás: a) Azonos alapú hatványokat úgy szorzunk, hogy a kitevőket összeadjuk. Tehát: a 3 * a 4 = a 3+4 = a 7

Megoldás: Mindkét állítás hamis! Indoklás: a) Azonos alapú hatványokat úgy szorzunk, hogy a kitevőket összeadjuk. Tehát: a 3 * a 4 = a 3+4 = a 7 A = {1; 3; 5; 7; 9} A B = {3; 5; 7} A/B = {1; 9} Mindkét állítás hamis! Indoklás: a) Azonos alapú hatványokat úgy szorzunk, hogy a kitevőket összeadjuk. Tehát: a 3 * a 4 = a 3+4 = a 7 Azonos alapú hatványokat

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 4. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 4. évfolyamosok számára 4. évfolym Mt2 feldtlp MATEMATIKA FELADATLAP 4. évfolymosok számár 2014. jnuár 23. 15:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll dolgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feldtokt tetszés szerinti sorrenden

Részletesebben

Matematika emelt szintû érettségi témakörök 2015. Összeállította: Kovácsné Németh Sarolta (gimnáziumi tanár)

Matematika emelt szintû érettségi témakörök 2015. Összeállította: Kovácsné Németh Sarolta (gimnáziumi tanár) Mtemtik emelt szintû érettségi témkörök 05 Összeállított: Kovácsné Németh Srolt (gimnáziumi tnár) Tájékozttó vizsgázóknk Tisztelt Vizsgázó! szóeli vizsgán tétel címéen megjelölt tém kifejtését és kitûzött

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 6. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 6. évfolyamosok számára 6. évfolym Mt2 feldtlp MATEMATIKA FELADATLAP 6. évfolymosok számár 2014. jnuár 23. 15:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll dolgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feldtokt tetszés szerinti sorrenden

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára 8. évfolym TMt1 feldtlp MATEMATIKA FELADATLAP 8. évfolymosok számár tehetséggondozó változt 11:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll dolgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feldtokt tetszés szerinti

Részletesebben

MATEMATIKA 10. A tankönyv feladatai és a feladatok megoldásai

MATEMATIKA 10. A tankönyv feladatai és a feladatok megoldásai Dr Gerőcs László Számdó László MTEMTIK 0 tnkönyv feldti és feldtok megoldási megoldások olvsásához crobt Reder progrm szükséges, mely ingyenesen letölthető z internetről (például: dobelhu weboldlról) feldtokt

Részletesebben

Matematika emelt szintû érettségi témakörök 2011. Összeállította: Kovácsné Németh Sarolta (gimnáziumi tanár)

Matematika emelt szintû érettségi témakörök 2011. Összeállította: Kovácsné Németh Sarolta (gimnáziumi tanár) Mtemtik emelt szintû érettségi témkörök 0 Összeállított: Kovácsné Németh Srolt (gimnáziumi tnár) Tájékozttó vizsgázóknk szóeli vizsg leírás: z emelt szintû szóeli vizsg z Okttási Hivtl áltl kidott tételsor

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára 8. évfolym TMt2 feltlp MATEMATIKA FELADATLAP 8. évfolymosok számár tehetséggonozó változt 15:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll olgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feltokt tetszés szerinti sorrenen

Részletesebben

Hasonlósági transzformációk II. (Befogó -, magasság tétel; hasonló alakzatok)

Hasonlósági transzformációk II. (Befogó -, magasság tétel; hasonló alakzatok) Hasonlósági transzformációk II. (Befogó -, magasság tétel; hasonló alakzatok) DEFINÍCIÓ: (Hasonló alakzatok) Két alakzat hasonló, ha van olyan hasonlósági transzformáció, amely az egyik alakzatot a másikba

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT. Koordináta-geometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT. Koordináta-geometria MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT 1) Adott két pont: A 4; 1 felezőpontjának koordinátáit! AB felezőpontja legyen F. Koordináta-geometria és B 3 1; Írja fel az AB szakasz 1 3 4

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Koordináta-geometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Koordináta-geometria MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Koordináta-geometria A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett

Részletesebben

12. Trigonometria I.

12. Trigonometria I. Trigonometria I I Elméleti összefoglaló Szögmérés A szög mérésének két gyakran használt módja van: fokban, illetve radiánban (ívmértékben) mérünk A teljesszög 0, ennek a 0-ad része az A szög nagyságát

Részletesebben

Néhány egyszerű tétel kontytetőre

Néhány egyszerű tétel kontytetőre Néhány egyszerű tétel kontytetőre ekintsük z ábr szerinti szimmeikus kontytetőt! ábr Az ABC Δ területe: ABC' m,v; ( ) z ABC Δ területe: ABC m ; ( ) z ABC* Δ területe: ABC* m ( 3 ) Az ábr szerint: m,v cos

Részletesebben

PÉLDA: Négyezer-hatszázöt 4 6 0 5 Jel Szám

PÉLDA: Négyezer-hatszázöt 4 6 0 5 Jel Szám 7. TESZTFÜZET JAVÍTÓKULCS / 2 ELEMI SZÁMOLÁSI KÉSZSÉG Minden helyes megoldás esetén 1, ármilyen hiányosság vgy hi esetén 0 pontot kell dni. SZÁMÍRÁS A BETŰVEL MEGADOTT SZÁMOKAT ÍRD LE SZÁMJEGYEKKEL! 02

Részletesebben

A Gauss elimináció ... ... ... ... M [ ]...

A Gauss elimináció ... ... ... ... M [ ]... A Guss elimiáció Tekitsük egy lieáris egyeletredszert, mely m egyeletet és ismeretlet trtlmz: A feti egyeletredszer együtthtómátri és kibővített mátri: A Guss elimiációs módszer tetszőleges lieáris egyeletredszer

Részletesebben

Matematika. Második kötet KÍSÉRLETI TANKÖNYV

Matematika. Második kötet KÍSÉRLETI TANKÖNYV Mtemtik Második kötet 10 KÍSÉRLETI TNKÖNYV tnkönyv megfelel z 51/0 (XII. ) EMMI rendelet: sz. melléklet: Kerettnterv gimnáziumok 9 évfolym számár.04 Mtemtik 6. sz. melléklet: Kerettnterv szkközépiskolák

Részletesebben

Informatika alapjai Tantárgyhoz Kidolgozott Excel feladatok

Informatika alapjai Tantárgyhoz Kidolgozott Excel feladatok SZENT ISTVÁN EGYETEM Gépészmérnöki Kr Orov Lászlóné dr. Informtik lpji Tntárgyhoz Kidolgozott Ecel feldtok Gödöllı, 8. Bevezetı Ez feldtgyőjtemény összefogllj z Informtik lpji tntárgy keretében okttott,

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 6. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 6. évfolyamosok számára 2009. jnuár 23. MATEMATIKA FELADATLAP 6. évfolymosok számár 2009. jnuár 23. 15:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll olgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feltokt tetszés szerinti sorrenen olhto

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 4. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 4. évfolyamosok számára 4. évfolym Mt1 feldtlp MATEMATIKA FELADATLAP 4. évfolymosok számár 2014. jnuár 18. 11:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll dolgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feldtokt tetszés szerinti sorrenden

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

Mértani helyek 289. III. Mértani helyek

Mértani helyek 289. III. Mértani helyek értni helek 89 III. értni helek 3.. Lineáris feltételekkel dott mértni helek Gkrn tlálkoztok oln feldttl, melekben eg közös tuljdonsággl rendelkező pontok hlmzát kell meghtározni. ár z áltlános iskolából

Részletesebben

Matematika tanmenet 12. osztály (heti 4 óra)

Matematika tanmenet 12. osztály (heti 4 óra) Matematika tanmenet 12. osztály (heti 4 óra) Tankönyv: Ábrahám Gábor Dr. Kosztolányiné Nagy Erzsébet Tóth Julianna: Matematika 12. középszint Példatárak: Fuksz Éva Riener Ferenc: Érettségi feladatgyűjtemény

Részletesebben

MATEMATIKA C 12. évfolyam 4. modul Még egyszer!

MATEMATIKA C 12. évfolyam 4. modul Még egyszer! MATEMATIKA C 1. évfolyam 4. modul Még egyszer! Készítette: Kovács Károlyné Matematika C 1. évfolyam 4. modul: Még eygszer! Tanári útmutató A modul célja Időkeret Ajánlott korosztály Modulkapcsolódási pontok

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára 8. évfolym TMt2 feltlp MATEMATIKA FELADATLAP 8. évfolymosok számár tehetséggonozó változt 15:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll olgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feltokt tetszés szerinti sorrenen

Részletesebben

Összegezés az ajánlatok elbírálásáról

Összegezés az ajánlatok elbírálásáról 9. melléklet 92./2011. (XII.30.) NFM rendelethez Összegezés z jánltok elbírálásáról 1. Az jánltkérő neve és címe: Pécs Megyei Jogú Város Önkormányzt 7621 Pécs, Széchenyi tér 1. sz. 2. A közbeszerzés tárgy

Részletesebben

Perspektíva (Kidolgozott feladatok)

Perspektíva (Kidolgozott feladatok) Perspektí (idolgozott feldtok) 1. feldt z 1.. ábrán egy épület két etületét (megfelelõ kicsinyítésben) és etítõ rendszert dtk meg. Szerkesszünk perspektí képet! megoldás során z átmetszõ módszert sználjk

Részletesebben

= 3 és az y = 1 egyenletű egyenesek metszéspontjának (M)

= 3 és az y = 1 egyenletű egyenesek metszéspontjának (M) Matematika PRÉ megoldókulcs 04. január 8. MATEMATIKA PRÓBAÉRETTSÉGI MEGOLDÓKULCS KÖZÉPSZINT I. rész: Az alábbi feladat megoldása kötelező volt! ) Adja meg az x+ y = 3 és az y = egyenletű egyenesek metszéspontjának

Részletesebben

Add meg az összeadásban szereplő számok elnevezéseit!

Add meg az összeadásban szereplő számok elnevezéseit! 1. 2. 3. 4. Add meg az összeadásban szereplő számok elnevezéseit! Add meg a kivonásban szereplő számok elnevezéseit! Add meg a szorzásban szereplő számok elnevezéseit! Add meg az osztásban szereplő számok

Részletesebben

P R Ó B A É R E T T S É G I 2 0 0 4. m á j u s KÖZÉPSZINT JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

P R Ó B A É R E T T S É G I 2 0 0 4. m á j u s KÖZÉPSZINT JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ P R Ó B A É R E T T S É G I 0 0 4. m á j u s MATEMATIKA KÖZÉPSZINT JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Formai előírások: A dolgozatot a vizsgázó által használt színűtől eltérő színű tollal kell javítani, és a

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika középszint 131 ÉRETTSÉGI VIZSGA 013. október 15. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ EMBERI ERŐFORRÁSOK MINISZTÉRIUMA Fontos tudnivalók Formai előírások:

Részletesebben

Matematikai analízis. Editura Didactică şi Pedagogică

Matematikai analízis. Editura Didactică şi Pedagogică András Szilárd Mureşn Mrin Mtemtiki nlízis és lklmzási Editur Didctică şi Pedgogică Bucureşti, 2005 Descriere CIP Bibliotecii Nţionle României ANDRÁS SZILÁRD, MARIAN MUREŞAN Mtemtiki nlízis és lklmzási/

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 4. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 4. évfolyamosok számára 4. évfolym AMt3 feldtlp MATEMATIKA FELADATLAP 4. évfolymosok számár 20. jnuár 28. 1:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll dolgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feldtokt tetszés szerinti sorrenden

Részletesebben

NÉGYOSZTÁLYOS FELVÉTELI Részletes megoldás és pontozás a Gyakorló feladatsor II.-hoz

NÉGYOSZTÁLYOS FELVÉTELI Részletes megoldás és pontozás a Gyakorló feladatsor II.-hoz NÉGYOSZTÁLYOS FELVÉTELI Részletes megoldás és pontozás a Gyakorló feladatsor II.-hoz Gedeon Veronika (Budapest) A javítókulcsban feltüntetett válaszokra a megadott pontszámok adhatók. A pontszámok részekre

Részletesebben

Matematika. 9.osztály: Ajánlott tankönyv és feladatgyűjtemény: Matematika I-II. kötet (Apáczai Kiadó; AP-090803 és AP-090804)

Matematika. 9.osztály: Ajánlott tankönyv és feladatgyűjtemény: Matematika I-II. kötet (Apáczai Kiadó; AP-090803 és AP-090804) Matematika A definíciókat és tételeket (bizonyítás nélkül) ki kell mondani, a tananyagrészekhez tartozó alap- és közepes nehézségű feladatokat kell tudni megoldani A javítóvizsga 60 -es írásbeliből áll.

Részletesebben

Sokszínû matematika 10. A KITÛZÖTT FELADATOK EREDMÉNYE

Sokszínû matematika 10. A KITÛZÖTT FELADATOK EREDMÉNYE Sokszínû mtemtik 0. A KITÛZÖTT FELADATOK EREDMÉNYE Összeállított: FRÖHLICH LAJOS gimnáziumi tnár A Gondolkodási módszerek és Vlószínûségszámítás c. fejezeteket szkmilg ellenõrizte: DR. HAJNAL PÉTER egyetemi

Részletesebben

www.easymaths.hu -1 0 1 Egy harmadik fajta bolha mindig előző ugrásának kétszeresét ugorja és így a végtelenbe jut el.

www.easymaths.hu -1 0 1 Egy harmadik fajta bolha mindig előző ugrásának kétszeresét ugorja és így a végtelenbe jut el. Végtele sok vlós számból álló összegeket sorokk evezzük. sorb szereplő tgokt képzeljük el úgy, mit egy bolh ugrásit számegyeese. sor összege h létezik ilye z szám hov bolh ugrási sorá eljut. Nézzük például

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika középszint 080 ÉRETTSÉGI VIZSGA 009. május 5. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI ÉS KULTURÁLIS MINISZTÉRIUM Fontos tudnivalók Formai előírások:

Részletesebben

Analízis II. harmadik, javított kiadás

Analízis II. harmadik, javított kiadás Ljkó Károly Anlízis II. hrmdik, jvított kidás Debreceni Egyetem Mtemtiki és Informtiki Intézet 2003 c Ljkó Károly ljko @ mth.klte.hu Amennyiben hibát tlál jegyzetben, kérjük jelezze szerzőnek! A jegyzet

Részletesebben

Kalandtúra 5. Általános iskola. Makara Ágnes. 5. osztályos matematika tankönyv feladatainak megoldása

Kalandtúra 5. Általános iskola. Makara Ágnes. 5. osztályos matematika tankönyv feladatainak megoldása Kalandtúra. Általános iskola. osztálos matematika tankönv feladatainak megoldása akara Ágnes TERÉSZETES SZÁOK EGOLÁSOK 8. a) < c d > a a < d) a < c e) c > d f) a < < c g) > d > a h) c > > d. TERÉSZETES

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika középszint 11 ÉRETTSÉGI VIZSGA 01. május 8. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ NEMZETI ERŐFORRÁS MINISZTÉRIUM Fontos tudnivalók Formai előírások: 1.

Részletesebben

A III. forduló megoldásai

A III. forduló megoldásai A III. forduló megoldásai 1. Egy dobozban pénzérmék és golyók vannak, amelyek vagy ezüstből, vagy aranyból készültek. A dobozban lévő tárgyak 20%-a golyó, a pénzérmék 40%-a ezüst. A dobozban levő tárgyak

Részletesebben

17. Szélsőérték-feladatok megoldása elemi úton

17. Szélsőérték-feladatok megoldása elemi úton 7. Szélsőéték-feldtok egoldás elei úton I. Eléleti összefoglló Függvény szélsőétéke Definíció: Az f: A B függvénynek x A helyen (bszolút) xiu vn, h inden x A esetén f(x) f(x ).A függvény (bszolút) xiu

Részletesebben

Lajk o K aroly Kalkulus II. Debreceni Egyetem Matematikai es Informatikai Int ezet 2003 1

Lajk o K aroly Kalkulus II. Debreceni Egyetem Matematikai es Informatikai Int ezet 2003 1 Ljkó Károly Klkulus II. Debreceni Egyetem Mtemtiki és Informtiki Intézet 2003 1 c Ljkó Károly ljko @ mth.klte.hu Amennyiben hibát tlál jegyzetben, kérjük jelezze szerzőnek! A jegyzet dvi, pdf és ps formátumbn

Részletesebben

KOMPLEX SZÁMOK A GEOMETRIÁBAN

KOMPLEX SZÁMOK A GEOMETRIÁBAN KMPLEX SZÁMK GEMETRIÁBN Mirce Bechenu Ismert, hogy kölcsönösen egyértelmű (ijektív) megfeleltetés létezik sík pontji és komplex számok hlmz közt. Ez megfeleltetés lehetővé teszi zt, hogy komplex számokt

Részletesebben

A lehetetlenségre visszavezetés módszere (A reductio ad absurdum módszer)

A lehetetlenségre visszavezetés módszere (A reductio ad absurdum módszer) A lehetetlenségre visszavezetés módszere (A reductio ad absurdum módszer) Ezt a módszert akkor alkalmazzuk, amikor könnyebb bizonyítani egy állítás ellentettjét, mintsem az állítást direktben. Ez a módszer

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2008. május 06. KÖZÉPSZINT I.

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2008. május 06. KÖZÉPSZINT I. 1) Adja meg a Például: 1 ; 8 8 M 1 ; 10 5 MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 008. május 06. KÖZÉPSZINT I. nyílt intervallum két különböző elemét! ( pont) ( pont) ) Egy 7-tagú társaságban mindenki mindenkivel egyszer

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2006. február 21. KÖZÉPSZINT I.

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2006. február 21. KÖZÉPSZINT I. MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 006. február 1. KÖZÉPSZINT I. 1) Mennyi annak a mértani sorozatnak a hányadosa, amelynek harmadik tagja 5, hatodik tagja pedig 40? ( pont) 3 1 5 a a q 5 6 1 40 a a q Innen q Összesen:

Részletesebben

JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika középszint 051 ÉRETTSÉGI VIZSGA 005. május 9. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÉRETTSÉGI VIZSGA Az írásbeli vizsga időtartama: 180 perc JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI MINISZTÉRIUM Fontos tudnivalók

Részletesebben

13. Trigonometria II.

13. Trigonometria II. Trigonometria II I Elméleti összefoglaló Tetszőleges α szög szinusza a koordinátasíkon az i vektortól az óramutató járásával ellentétes irányban α szöggel elforgatott e egységvektor második koordinátája

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 4. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 4. évfolyamosok számára 4. évfolym Mt2 feldtlp MATEMATIKA FELADATLAP 4. évfolymosok számár : ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll dolgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feldtokt tetszés szerinti sorrenden oldhtod meg. Minden

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2013. május 7. KÖZÉPSZINT

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2013. május 7. KÖZÉPSZINT MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 01. május 7. KÖZÉPSZINT 1) Az A és B halmazokról tudjuk, hogy B\ A 1; ; 4; 7. Elemeinek felsorolásával adja meg az A halmazt! A ; 5; 6; 8; 9 I. AB 1; ; ; 4; 5; 6; 7; 8; 9 és ) Egy

Részletesebben

SULINOVA PROGRAMTANTERVÉHEZ ILLESZKEDŐ TANMENET 9. ÉVFOLYAM SZÁMÁRA

SULINOVA PROGRAMTANTERVÉHEZ ILLESZKEDŐ TANMENET 9. ÉVFOLYAM SZÁMÁRA 1 SULINOVA PROGRAMTANTERVÉHEZ ILLESZKEDŐ TANMENET 9. ÉVFOLYAM SZÁMÁRA Heti óraszám: 3 Éves óraszám: 37 x 3 = 111 A tanmenet 101 óra beosztását tartalmazza. A dolgozatok írása és javítása 10 órát foglal

Részletesebben

BEVEZETÉS AZ ANALÍZISBE

BEVEZETÉS AZ ANALÍZISBE BEVEZETÉS AZ ANALÍZISBE Mezei István, Frgó István, Simon Péter Eötvös Loránd Tudományegyetem Alklmzott Anlízis és Számításmtemtiki Tnszék ii Trtlomjegyzék 1. Előszó 1 2. Hlmzok, relációk, függvények 3

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika középszint 091 ÉRETTSÉGI VIZSGA 011. május 3. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ NEMZETI ERŐFORRÁS MINISZTÉRIUM Fontos tudnivalók Formai előírások:

Részletesebben

54. Mit nevezünk rombusznak? A rombusz olyan négyszög,

54. Mit nevezünk rombusznak? A rombusz olyan négyszög, 52. Sorold fel a deltoid tulajdonságait! 53. Hogy számoljuk ki a deltoid területét? A deltoid egyik átlója a deltoid Átlói. A szimmetriaátló a másik átlót és a deltoid szögét. A szimmetriatengely két ellentétes

Részletesebben

Geometria. a. Alapfogalmak: pont, egyenes, vonal, sík, tér (Az alapfogalamakat nem definiáljuk)

Geometria. a. Alapfogalmak: pont, egyenes, vonal, sík, tér (Az alapfogalamakat nem definiáljuk) 1. Térelemek Geometria a. Alapfogalmak: pont, egyenes, vonal, sík, tér (Az alapfogalamakat nem definiáljuk) b. Def: félegyenes, szakasz, félsík, féltér. c. Kölcsönös helyzetük: i. pont és (egyenes vagy

Részletesebben

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit. Komplex számok (2)

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit. Komplex számok (2) 2. előadás Komplex számok (2) 1. A a + bi (a, b) kölcsönösen egyértelmű megfeleltetés lehetővé teszi, hogy a komplex számokat a sík pontjaival, illetve helyvektoraival ábrázoljuk. A derékszögű koordináta

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2011. május 3. KÖZÉPSZINT

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2011. május 3. KÖZÉPSZINT MATMATIKA ÉRTTSÉGI 011. május 3. KÖZÉPSZINT 1) gyszerűsítse a következő törtet, ahol b 6 b b 36 6 I. Az egyszerűsítés utáni alak: b 6 Összesen: pont ) A, 4 és 5 számjegyek mindegyikének felhasználásával

Részletesebben

Analízis elo adások. Vajda István. 2012. szeptember 10. Neumann János Informatika Kar Óbudai Egyetem. Vajda István (Óbudai Egyetem)

Analízis elo adások. Vajda István. 2012. szeptember 10. Neumann János Informatika Kar Óbudai Egyetem. Vajda István (Óbudai Egyetem) Vajda István Neumann János Informatika Kar Óbudai Egyetem 1 / 36 Bevezetés A komplex számok értelmezése Definíció: Tekintsük a valós számpárok R2 halmazát és értelmezzük ezen a halmazon a következo két

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika középszint 061 ÉRETTSÉGI VIZSGA 006. május 9. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI MINISZTÉRIUM Fontos tudnivalók Formai előírások: A dolgozatot

Részletesebben

JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika középszint 051 É RETTSÉGI VIZSGA 005. október 5. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI MINISZTÉRIUM Fontos tudnivalók Formai előírások: A dolgozatot

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2010. október 19. EMELT SZINT

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2010. október 19. EMELT SZINT 1) MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 010. október 19. EMELT SZINT a) Mely valós számok elégítik ki az alábbi egyenlőtlenséget? 3 3 1 1 8 b) Az alábbi f és g függvényt is a f 3 és g 0,5,5 I. 3;6. intervallumon értelmezzük.

Részletesebben

15. Koordinátageometria

15. Koordinátageometria I. Elméleti összefoglaló Koordinátákkal adott vektorok 15. Koordinátageometria Ha a(a ; a ) és b(b ; b ) a sík két vektora, λ valós szám, akkor az a vektor hossza: a = a + a a két vektor összege : a +

Részletesebben

ALKALMAZÁSI SZINTEK I. ALKALMAZÁS MEGÉRTÉS MAGASABB RENDŐ MŐVELETEK. 1. változat ISMERET

ALKALMAZÁSI SZINTEK I. ALKALMAZÁS MEGÉRTÉS MAGASABB RENDŐ MŐVELETEK. 1. változat ISMERET ALKALMAZÁSI SZINTEK I. ALKALMAZÁS MEGÉRTÉS MAGASABB RENDŐ MŐVELETEK ISMERET 1. változt KOGNITÍV KÖVETELMÉNYEK ISMERET MEGÉRTÉS ALKALMAZÁS MAGASABB RENDŐ MŐVELETEK TÉNYEK ÉS ELEMI INFORMÁCIÓK ISMERETE FOGALMAK,

Részletesebben

x = 1 = ı (imaginárius egység), illetve x 12 = 1 ± 1 4 2

x = 1 = ı (imaginárius egység), illetve x 12 = 1 ± 1 4 2 Komplex számok A valós számok és a számegyenes pontjai között kölcsönösen egyértelmű megfeleltetés létesíthető. A számfogalom a számegyenes pontjainak körében nem bővíthető tovább. A számfogalom bővítését

Részletesebben

I. rész. Feladatsor. 2. Andi keresett két olyan számot, amelyre teljesül, hogy a < b. Igaz-e, hogy a < b?

I. rész. Feladatsor. 2. Andi keresett két olyan számot, amelyre teljesül, hogy a < b. Igaz-e, hogy a < b? 1. Feladatsor I. rész 1. Adott két halmaz. A a 9-nél kisebb páros pozitív egészek; B a 30-nál kisebb, 6-tal osztható pozitív egészek halmaza. Adja meg az A B és a B \ A halmazokat!. Andi keresett két olyan

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika középszint 111 É RETTSÉGI VIZSGA 011. október 18. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ NEMZETI ERŐFORRÁS MINISZTÉRIUM Fontos tudnivalók Formai előírások:

Részletesebben

Elméleti kérdés minták (3 x 5 pont) 1. Definiálja két halmaz unióját! Készítsen hozzá Venn-diagramot!

Elméleti kérdés minták (3 x 5 pont) 1. Definiálja két halmaz unióját! Készítsen hozzá Venn-diagramot! Elméleti kérdés minták (3 x 5 pont) 1. Deiniálja két halmaz unióját! Készítsen hozzá Venn-diagramot!. Csoportosítsa a négyszögeket az oldalak párhuzamossága, és egyenlősége alapján! 3. Határozza meg a

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Számelmélet

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Számelmélet MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Számelmélet A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

MATEMATIKA PRÓBAÉRETTSÉGI MEGOLDÓKULCS

MATEMATIKA PRÓBAÉRETTSÉGI MEGOLDÓKULCS Matematika PRÉ megoldókulcs 0. január. MTEMTIK PRÓBÉRETTSÉGI MEGOLDÓKULCS = KÖZÉP SZINT = I. rész: z alábbi feladat megoldása kötelező volt! ) Oldd meg az alábbi egyenletet a valós számok halmazán! tg

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika középszint 0813 ÉRETTSÉGI VIZSGA 008. május 6. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI ÉS KULTURÁLIS MINISZTÉRIUM Fontos tudnivalók Formai előírások:

Részletesebben

Inlernet Online-utalványok könyvelése a Termékpartnernél. Kérdés. Válasz

Inlernet Online-utalványok könyvelése a Termékpartnernél. Kérdés. Válasz Inlernet Online-utlványok könyvelése Termékprtnernél Kérdés Törzsvásárló rendelkezésére z Inlernet online, névre szóló utlványt állít ki. A kiállítot utlvány értéke 2-3 npon belül megérkezik Termékprtner

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2005. május 28. KÖZÉPSZINT I.

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2005. május 28. KÖZÉPSZINT I. ) Mely valós számokra igaz, hogy 7 7 MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 005. május 8. KÖZÉPSZINT I. 7? Összesen: pont ) Egy 40 000 Ft-os télikabátot a tavaszi árleszállításkor 0%-kal olcsóbban lehet megvenni. Mennyi

Részletesebben

3 2 x 1 = 5. (9 pont) 2. Mekkora a szabályos kilencszög kerülete és területe, ha a legrövidebb átlója 85? (11 pont)

3 2 x 1 = 5. (9 pont) 2. Mekkora a szabályos kilencszög kerülete és területe, ha a legrövidebb átlója 85? (11 pont) 1997 Írásbeli érettségi-felvételi feladatok 1. Oldja meg a következő egyenletet a valós számok halmazán: 3 2 x 1 2 2 x 1 + 2 2x 1 3 2 x 1 = 5. (9 pont) 2 2. Mekkora a szabályos kilencszög kerülete és területe,

Részletesebben

Számsorozatok (1) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Számsorozatok (1) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit Számsorozatok (1) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit 1. Valós számsorozaton valós számok meghatározott sorrendű végtelen listáját értjük. A hangsúly az egymásután következés rendjén van.

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika középszint 1313 ÉRETTSÉGI VIZSGA 013. május 7. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ EMBERI ERŐFORRÁSOK MINISZTÉRIUMA Fontos tudnivalók Formai előírások:

Részletesebben

Síkbeli egyenesek. 2. Egy egyenes az x = 1 4t, y = 2 + t parméteres egyenletekkel adott. Határozzuk meg

Síkbeli egyenesek. 2. Egy egyenes az x = 1 4t, y = 2 + t parméteres egyenletekkel adott. Határozzuk meg Analitikus mértan 3. FELADATLAP Síkbeli egyenesek 1. Írjuk fel annak az egyenesnek a paraméteres egyenleteit, amely (i) áthalad az M 0 (1, 2) ponton és párhuzamos a a(3, 1) vektorral; (ii) áthalad az origón

Részletesebben

6. Laboratóriumi gyakorlat KAPACITÍV SZINTÉRZÉKELŐK

6. Laboratóriumi gyakorlat KAPACITÍV SZINTÉRZÉKELŐK 6. Lbortóriumi gykorlt KAPAITÍV SZINTÉRZÉKELŐK. A gykorlt célj A kpcitív szintmérés elvének bemuttás. A (x) jelleggörbe ábrázolás szigetelő és vezető olyékok esetén. Egy stbil multivibrátor elhsználás

Részletesebben

MEGOLDÓKULCSOK. 1. feladatsor (1. osztály)

MEGOLDÓKULCSOK. 1. feladatsor (1. osztály) MEGOLDÓKULCSOK 1. feladatsor (1. osztály) 1. feladat 8 9 10 14 15 16 10 11 12 18 19 20 1. pontdoboz: Hibátlan számszomszédok írása 1 pont, hiba 0 pont. 2. feladat 20 17 14 11 8 5 2 2. pontdoboz: Szabályfelismerésért

Részletesebben

Geometria 1 normál szint

Geometria 1 normál szint Geometria 1 normál szint Naszódi Márton nmarci@math.elte.hu www.math.elte.hu/ nmarci ELTE TTK Geometriai Tsz. Budapest Geometria 1 p.1/4 Vizsga 1. Írásban, 90 perc. 2. Index nélkül nem lehet vizsgázni!

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika középszint 0631 É RETTSÉGI VIZSGA 006. október 5. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI ÉS KULTURÁLIS MINISZTÉRIUM Formai előírások: Fontos tudnivalók

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika középszint 1414 ÉRETTSÉGI VIZSGA 014. május 6. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ EMBERI ERŐFORRÁSOK MINISZTÉRIUMA Fontos tudnivalók Formai előírások:

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika középszint 063 ÉRETTSÉGI VIZSGA 006. február. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI MINISZTÉRIUM Fontos tudnivalók Formai előírások: A dolgozatot

Részletesebben

I. Egyenlet fogalma, algebrai megoldása

I. Egyenlet fogalma, algebrai megoldása 11 modul: EGYENLETEK, EGYENLŐTLENSÉGEK MEGOLDÁSA 6 I Egyenlet fogalma, algebrai megoldása Módszertani megjegyzés: Az egyenletek alaphalmazát, értelmezési tartományát később vezetjük be, a törtes egyenletekkel

Részletesebben

Dr`avni izpitni center MATEMATIKA

Dr`avni izpitni center MATEMATIKA Dr`avni izpitni center *P05C10113M* ŐSZI IDŐSZAK MATEMATIKA ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ 005. augusztus 9., hétfő SZAKMAI ÉRETTSÉGI VIZSGA RIC 005 P05-C101-1-3M ÚTMUTATÓ a szakmai írásbeli érettségi vizsga feladatainak

Részletesebben

1. Olvassuk be két pont koordinátáit: (x1, y1) és (x2, y2). Határozzuk meg a két pont távolságát és nyomtassuk ki.

1. Olvassuk be két pont koordinátáit: (x1, y1) és (x2, y2). Határozzuk meg a két pont távolságát és nyomtassuk ki. Számítás:. Olvassuk be két pont koordinátáit: (, y) és (2, y2). Határozzuk meg a két pont távolságát és nyomtassuk ki. 2. Olvassuk be két darab két dimenziós vektor komponenseit: (a, ay) és (b, by). Határozzuk

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA MATEmATIkA I 6 VI KOmPLEX SZÁmOk 1 A komplex SZÁmOk HALmAZA A komplex számok olyan halmazt alkotnak amelyekben elvégezhető az összeadás és a szorzás azaz két komplex szám összege és szorzata

Részletesebben

Matematika. Első kötet KÍSÉRLETI TANKÖNYV

Matematika. Első kötet KÍSÉRLETI TANKÖNYV Mtemtik Első kötet 0 KÍSÉRLETI TANKÖNYV A tnkönyv megfelel z 5/0 (XII. ) EMMI rendelet: sz. melléklet: Kerettnterv gimnáziumok 9 évfolym számár.04 Mtemtik 6. sz. melléklet: Kerettnterv szkközépiskolák

Részletesebben

Matematika kisérettségi I. rész 45 perc NÉV:...

Matematika kisérettségi I. rész 45 perc NÉV:... Matematika kisérettségi I. rész 45 perc NÉV:... 1. Az A halmaz elemei a háromnál nagyobb egyjegyű számok, a B halmaz elemei pedig a húsznál kisebb pozitív páratlan számok. Sorolja fel az halmaz elemeit!

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika középszint 081 É RETTSÉGI VIZSGA 009. október 0. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI ÉS KULTURÁLIS MINISZTÉRIUM Fontos tudnivalók Formai előírások:

Részletesebben

GEOMETRIA. b a X O Y. A pótszögek olyan szögpárok, amelyek az összege 90. A szögek egymás pótszögei. b a

GEOMETRIA. b a X O Y. A pótszögek olyan szögpárok, amelyek az összege 90. A szögek egymás pótszögei. b a GOMTRI ndrea Philippou, Marios ntoniades Szakaszok és félegyenesek gy szakasz felezőmerőlegese egy olyan egyenes, félegyenes vagy szakasz, ami áthalad a szakasz középpontján és merőleges a szakaszra. Tétel:

Részletesebben

JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika középszint 0511 ÉRETTSÉGI VIZSGA 005. május 10. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÉRETTSÉGI VIZSGA Az írásbeli vizsga időtartama: 180 perc JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI MINISZTÉRIUM Fontos tudnivalók

Részletesebben

KÉZIKÖNYV a MATEMATIKA

KÉZIKÖNYV a MATEMATIKA Alkotószerkesztő: Csatár Katalin KÉZIKÖNYV a MATEMATIKA a középiskolák 9. évfolama számára II. kötetéhez Celldömölk, Szerzők KORNAI JÚLIA, KOVÁCS ELŐD, LÖVEY ÉVA, PÁLOVICSNÉ TUSNÁDY KATALIN, SCHUBERT MIHÁLY

Részletesebben