Sokszínû matematika 12. A KITÛZÖTT FELADATOK EREDMÉNYE

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "Sokszínû matematika 12. A KITÛZÖTT FELADATOK EREDMÉNYE"

Átírás

1 Sokszínû mtemtik. A KITÛZÖTT FELADATOK EREDMÉNYE

2 SOKSZÍNÛ MATEMATIKA A KITÛZÖTT FELADATOK EREDMÉNYE Logik, bizonítási módszerek. Logiki feldtok, kijelentések. Feltéve, hog középsõ kérdésre válszolt: középsõ lókötõ, hrmdik lovg.. Aki ellopt z elefántot, mindig hzudik.. Piki.. Lovg plinket, lókötõ plnkot mond. 5. Kiss Kt, Szbó Rék, Ng Sár, Vrg Eszter. 6. Zoli: villmos, kosárlbd; Bálint: bicikli, kézilbd; Pisti: busz, úszás. Rejtvén: Német.. Logiki mûveletek negáció, konjunkció, diszjunkció. Fehér dobozbn: piros, zöld goló. Piros dobozbn: fehér, sárg goló. Kék dobozbn: sárg, piros goló. Zöld dobozbn: kék, fehér goló. Sárg dobozbn: zöld, kék goló.. Øp = A négzetnek vn oln szöge, melik nem derékszög. Øq = Vn oln háromszög, melik nem derékszögû. Ør = A szbálos ötszögnek vn oln szöge, melik derékszög. Øs = Nincs oln deltoid, melik rombusz = Egetlen deltoid sem rombusz. Øt = Minden trpéz prlelogrmm. Øu = Nincs homorúszögû háromszög. = Minden háromszög nem homorúszögû. Øw = Vn oln háromszög, mel köré nem írhtó kör. ØA = A ngobb vg egenlõ, mint p. ( ³ p) ØB = A kisebb, mint 5. ØC = Szbálos dobókockávl dobhtunk 6-nál ngobbt is. ØD = 9-nek -nál kevesebb osztój vn. ØE = Minden másodfokú egenletnek -nál kevesebb göke vn.. A= p A p p= p } = ØA = Minden flubn vn post. ØB = Vn oln ember, ki nem kékszemû. ØC = Vn oln pók, meliknek 8-nál több szeme vn. ØD = A február sose 0 npos. ØE = Vn oln szállod, melben vn oln szob, hol nincs telefon. ØF = Minden munkhel oln, hog senki sem dolgozik.

3 . Mit szoktál mondni kkor, mikor vlki megkérdezi, hog plink z jelenti, hog igen? 5. ) Piki igzmondó, Niki és Tiki hzug. b) Tiki biztosn igzmondó, Niki hzug, Pikirõl nem tudjuk. 6. ) ØH Ø(ØH) = M hétfõ vn. b) H Ù F Ø(H Ù F) = M nem hétfõ vn, vg nem vgok fárdt. = ØH ÚØF c) H ÙØF Ø(H ÙØF) = M nem hétfõ vn, vg fárdt vgok. = ØH Ú F d) ØH Ù F Ø(ØH Ù F) = M hétfõ vn, vg nem vgok fárdt. = H ÚØF e) ØH ÙØF Ø(ØH ÙØF) = M hétfõ vn, vg fárdt vgok. 7. ) M Ú T hétfõn igz Ø(M Ú T) = M nem hétfõ vn és tegnp nem vsárnp volt. = ØM ÙØT b) ØM ÚØT csk hétfõn nem igz Ø(ØM ÚØT) = M hétfõ vn és tegnp vsárnp volt. = M Ù T c) ØT Ú M minden np igz Ø(ØT Ú M) = Tegnp vsárnp volt és m nincs hétfõ. = T ÙØM d) ØM ÚØT csk hétfõn nem igz Ø(ØM ÚØT) = M hétfõ vn és tegnp vsárnp volt. = M Ù T 8. ) Én megek veled vg Ottóvl. b) Veled megek, vg Ottóvl megek. c) Nem megek veled. d) Te nem még, vg én nem megek. = Nem megek veled. 9. ) A Ù B ÙØC b) (A Ú B) ÙØC c) ØA ÙØB) ÙØC d) (A Ù B) Ú C 0. A, B, D vg A, C, E, tehát csk A-ról mondhtjuk biztosn, hog hzudik.. ) Az ABCD húrnégszög és átlói nem merõlegesek. LEHET IGAZ b) Az ABCD húrnégszög és ADC<) < 90º és BCD háromszög egenlõ szárú. HAMIS = NEM LEHET IGAZ c) Az átlók nem merõlegesek, z ADC<) < 90º és BCD háromszög nem egenlõ szárú. BIZTOS IGAZ d) Nem húrnégszög és z átlók merõlegesek és z ADC<) ³ 90º. HAMIS = NEM LEHET IGAZ Rejtvén: A leghátsó kivételével mindenki megszbdulht következõ strtégiávl: leghátsó fehéret mond, h pártln számú fehér spkát lát, különben feketét mond.. Logiki mûveletek implikáció, ekvivlenci. ) B A b) ØA ØB c) A B d) A Ú AØB. ) A B b) ØB ØA c) B A d) B A e) ØB ØA ( 00-es kidásbn sjtóhib vn feldt szövegében: szombt helett vsárnp áll) f) B «A g) A «B

4 SOKSZÍNÛ MATEMATIKA A KITÛZÖTT FELADATOK EREDMÉNYE. ) H z n szám 6-r végzõdik, kkor -gel oszthtó. b) H z n szám -vel oszthtó, kkor nem prím. c) H z n szám -gel oszthtó, kkor nem prím és páros. d) Az n szám páros és számjegeinek összege -ml oszthtó, kkor és csk kkor, h 6-tl oszthtó. e) Az n szám -vel oszthtó kkor és csk kkor, h -gel oszthtó és számjegeinek összege -ml oszthtó. f) H n nem páros, de számjegeinek összege oszthtó -ml, kkor n nem oszthtó 6-tl.. ) (T Ù O) N b) D «C c) A (B Ú C) d) S Ø(A Ù B) 5. Kti. 6. Gbi csk lán lehet. 7. Igen válsz: vn rn, nem válsz: nincs rn. Rejtvén: Vn oln eset, mikor kártát kell megfordítni, még kkor is, h kihsználjuk, hog minden számjegbõl vn.. Teljes indukció. n = -re =. T.f. n-re, biz. n + -re: n = + = nn ( + ) ( n+ )( n+ ) n + ( n+ )( n+ ) nn ( + ) + ( n + ) n + = = =. ( n + )( n + ) ( n+ )( n+ ) n +. ) n = -re 9½8. T.f. n-re, biz. n + -re: 5 n+ n+ + n+ n+ = 50 5 n n+ + n+ n = = 8 5 n n+ + (5 n n+ + n+ n ). b) A feldt helesen: ½6 n + n+ + n. n = -re ½66. T.f. n-re, biz. n + -re: 6 n+ + n+ + n+ = 6 6 n + n+ + n = 6 n + (6 n + n+ + n ). c) A feldt helesen: 7½ 5n+ +5 n n+. n = -re 7½9. T.f. n-re, biz. n + -re: 5(n+)+ +5 n+ n+ = 5n n n+ = = 5n n n+ ( 5n+ +5 n + n+ ).

5 *. IGAZ ( ) háromszögek szám -ml növelhetõ. n = 6, 7, 8-r:. 5, 6, 7 (= 5 ), 8 kifizethetõ, után hármsávl bármi. 5. Pisti tévedett. -rõl indulv drbok szám minden lépésben -vel nõ, íg csk pártln lehet. 6. -rõl indulv drbok szám minden lépésben -ml vg 5-tel nõ. ) 00 = + 00 = elérhetõ. b) 00 = = c),, 5, 8 kivételével minden szám lehet: (,, 6, 7 lehet) 9 (= + + 5), 0 (= + ), (= + 5)-rõl indulv hármsávl minden elérhetõ. 7. ) A tgok szimmetrikusk középsõre nézve: n = n +(n + ) (n ) (n ) + (n ) = (n ). Teljes indukció második lépése: (n ) +n +n +n + n = n n + +8n = (n +). b) n n ( ) n = ( ) ( ) 8. Becsléssel: nn ( + ), nn ( + ) + + ( ) ( + ) = ( ) ( + ) ( ) ( + )( + n n n n ) n n =. n n n n n = n. n n Teljes indukcióvl: n = : ³. T.f. n-re, biz. n + -re: = nn ( + ) + n n n n n + n + = n + n + + = n +. n 9. Egenesek szám:... n nn ( + ) Síkrészek szám: = (sejtés) = ( n) +. Az n + -edik egenes z elõzõ n egenest n pontbn metszi, ezek n + részre osztják z egenest, és mindegik egenesdrb kettévág eg-eg síkrészt, íg síkrészek szám n + -gel nõ. 5

6 SOKSZÍNÛ MATEMATIKA A KITÛZÖTT FELADATOK EREDMÉNYE * 0. Körök szám:... n. nn ( ) Síkrészek szám: = + ( ( n )) sejtés. T.f.h. n körre igz. Az n + -edik kör n pontbn metszi z elõzõ n kört, ez n ív körön, melek kettévágnk eg síkrészt, íg n-nel nõ síkrészek szám. Kiszínezhetõ. körre igz. T.f.h. n körre igz. Rjzoljuk be z n + -edik kört, és minden, körön belüli síkrészt színezzük z ellenkezõjére. Ezzel z új htárvonlk jók lesznek, régiek nem változnk. A háromszögek esete bbn különbözik, hog két háromszögnek mimum 6 metszéspontj lehet. *. n = -re igz: T.f.h. létezik ilen konve n-szög. Ennek eg tompszögét levágv konve n + szöget kpunk. -nál több hegesszög nem lehet. T.f.h. vn, ezek összege 80º-nál kisebb. A konve n-szög szögösszege (n ) 80º. A megmrdt n db szög összege (n ) 80º-nál ngobb kellene legen, mi nem lehet. *. n = -re igz. T.f.h. minden n+ -nél nem ngobb tömeg,,..., n tömegekkel kimérhetõ. Adott eg n+ -nél ngobb, de n+ -nél nem ngobb tömeg. n+ -bõl n+ -t levéve n+ mrd, íg eg n+ -et hsználunk, mi mrd, n+ -nél nem ngobb, tehát,,..., n tömegekkel kimérhetõ. Rejtvén: A szemüveg kkor párásodik be, h hidegrõl melegre meg be. 6

7 Számsoroztok. A számsorozt foglm, példák soroztokr. A pozitív páros számok soroztánk n-edik tgj: n, sorozt elsõ n tgjánk összege: n(n + ).. ) n n( n + ) b) c) (n )(n n +). A bizonításokt például teljes indukcióvl lehet elvégezni.. ) Érdemes n -t átlkítni íg: b) Az n -t itt íg érdemes felírni: n n n n n =... ( + )... ( )... n n = n + n n 5. A sejtés áltlánosn íg írhtó fel: n + n n + n = n + n + +n + n n +n. Az összegzés után bizonítás közvetlenül dódik.. Példák rekurzív soroztokr. ), b), c) teljes indukcióvl könnû igzolni.. =. Az eges ferde vonlk mentén dódó összegek következõk:,,,, 5, 8,,,, 55, 89,... Az áltlános sejtés tehát z lehet, hog z n-edik sorbn álló számok öszege f n. A sejtés teljes indukcióvl igzolhtó. = +. ábr. A sorozt tuljdonságit teljes indukcióvl igzolhtjuk. A szemléltetést z. ábrán lehet elvégezni. = 5. A sorozt tuljdonságit teljes indukcióvl igzolhtjuk, sorozt tgjink szemléltetését. ábrán végezhetjük el.. ábr 7

8 . Számtni soroztok = + = A feltételbõl = és d = dódik. Íg zt legkisebb pozitív egész n-et keressük, melre + ( n ) n 000. Az eredmén: n =.. Elég igzolni, hog z + c =b és egenlõségek ekvivlensek. b+ c + + b = + c. ) = 7, d =. b) Két megoldás vn: =, d =, 59 =, d =. c) A kitûzött feldt hibás. A heles feldt: + 7 =, + 7 =. Ennek két megoldás vn: = 7, d =, 67 =, d = Nem. Indirekt bizonítást lklmzv rr z ellentmondásr jutunk, hog rcionális szám SOKSZÍNÛ MATEMATIKA A KITÛZÖTT FELADATOK EREDMÉNYE 8. 50,5 másodperc ltt esik le test 0 m mgsról ( ) = = Az egenlõtlenséget kielégítõ egész koordinátájú pontok szám.. Mértni soroztok. = 6, q =... q =. 0. 8

9 5. ) =, q = b) A feldtbn hib vn, heles feldt: 7 = 6, 5 = 7. Az egetlen megoldás: =, q = ( q = eset nem d jó megoldást). c) Két megoldás vn: = 5, q =, = 5, q = A helesen kitöltött táblázt: Két megoldás vn:, 8, ;,, (A második megoldás esetében számtni sorozt differenciáj 0, mértni sorozt hándos.) 9. A számtni sorozt elsõ tgj, különbsége Kmtszámítás, törlesztõrészletek kiszámítás 0. Jelölje p z + = számot (ez z eghvi kmt kiszámításához szükséges), kkor hvi törlesztõ részlet: p 5000 p 57 Ft.. Feltesszük, hog hvont egenlõ részletekben törlesztjük kölcsönt, ekkor szükséges 0 hvi összeg q = + = jelölés felhsználásávl: Tehát kölcsönt felvehetjük. q q Ft. 9

10 Térgeometri. Térelemek SOKSZÍNÛ MATEMATIKA A KITÛZÖTT FELADATOK EREDMÉNYE. 5 rész. ) 5 vg 8 rész. b) 9, 0 vg rész.. ) b) c) º; 0º 6. 5,6º; 90º 7. ; 5; 9,º; 8,º *9. Igz. A sík és tér felosztás n. n+ véges; n végtelen trtomán n nn ( ) = n n n n n = ( + ) ( )( ) *7. n n + 0

11 . Testek osztálozás, szbálos testek. Igen. Pl. ilen eg térbeli kereszt.. Legkevesebb 6, legfeljebb 0.. tetréder kock oktéder dodekéder ikozéder. 5. ; ; 0 6 cm 6. 8,6 cm; 6, cm *7. *8. 6. A terület foglm, sokszögek területe.. cm; 5,8º; 5,6º. 7,8 cm;,7 cm; 6,68º. 7-szerese. 5. része A súlvonl megfelelõ egenes. 7. 7,05 cm területegség. * 0. Igen. Az oldli lehetnek: és 6, vg és. *. b) n =, vg 6 esetén.

12 5. A kör és részeinek területe. ; 9 SOKSZÍNÛ MATEMATIKA A KITÛZÖTT FELADATOK EREDMÉNYE.. Igen.. 6,8 km-rel 5. ),09 cm b) cm c),9 cm 6. 0,56 m 7. ) 5,5 cm b) 5,8 cm c) 5,7 cm d),5 cm 8. ) b) 0. Egenlõk.. 5, cm. 6,77 cm *. 6,88 cm 6. A térfogt foglm, hsáb és henger térfogt. 8 féle. A m = 6 (; ; 6). A min = 66 (; ; ).. Élei: 6 ; 8 ; 0 ; V = 960 ; A = 75; 5º; 6,9º. Élei: cm; 6 cm; 8 cm. A = 08 cm. Élei: 0 cm; 5 cm; 0 cm. V = 000 cm 5. ) A = 686,6 cm ; V = 866 cm b) A =, cm ; V = cm c) A = 79,6 cm ; V = 596, cm d) A = 58,8 cm ; V = 68, cm 6. ) V = 785, cm ; A = 7, cm b) V = 0000 cm ; A = 68, cm c) V = 790,9 cm ; A = 5080,99 cm 7.,6% 8. V =,76 cm ; A = 58,7 cm V = 58,9 cm ; A = 9,57 cm 9. V = 68, cm ; A = 08, cm V = 005, cm ; A = 65,5 cm 0. V = 88,5 cm ; V = 7,5 cm A = 0,9 cm ; A = 500, cm *. A = cm ; V = 6 cm *. féle.

13 7. A gúl és kúp térfogt. ) 76,9 cm ;,78 cm b) 6,6 cm ; 87, cm c) 08,09 cm ; 656,7 cm d) 500 cm ; 80,77 cm. ) 57,08 cm ; 0, cm b) 0,59 cm ; 0,59 cm c) 0,59 cm ; 0,59 cm. 58,9 cm. 678, cm 5. 78,55 cm 6. 65,5 cm 7.,6 cm ;,. cm 8. 66,6. cm ; 7, cm 9. 0,6 cm ; 5,78 cm *. A= ; V = *. = r esetén A csonk gúl és csonk kúp. ) 6,69 cm b) 8,58 cm ; 70, cm c) 8,76º. ) 5,9 cm ; 75,96 cm b) 8,9 cm ; 88,5 cm. ) 57,75 cm ; 9,8 cm b) 5,9 dm ; 58,58 dm c) 07,9 dm ; 57,58 dm. 97,9 cm ; 9,8 cm 5. V =,. cm ; V =,. cm A = 7,7 cm ; A = 66,5 cm 6. A = 60 cm ; = 5,º π dm ; π dm 8. ) 8,9 cm; 6, cm b),85 cm; 8,5 cm 9. 67,87 dm 0. 90, dm

14 9. A gömb térfogt és felszíne SOKSZÍNÛ MATEMATIKA A KITÛZÖTT FELADATOK EREDMÉNYE. ) cm ; 5 05 cm b) 50 cm ; 507 cm. 97 m. 0 cm π r. ; rész , N 8.,6 dm ; 6,6 dm *9. * r π V = h ( r h) π R 8 * cm ; 0 06 cm 0. Egmásb írt testek. 0 cm. 6,7 cm. ) 0 cm; cm; cm b) 60 cm ; 55,6 cm. 6 cm ,% 7. r =,07 cm; A = 89,6 cm ; igz ,57 cm ; 68, cm *9. 9,% 0. A A V = ; = 8 V., cm. 5 m 9 (m kúp mgsság)

15 Vlószínûségszámítás, sttisztik. Geometrii vlószínûség. 0,9.. 0,5.. = 8,» 7.. 0, = p = = ,. +, p = b 5, b ³ 0, ½b½³. p =

16 9. 0 <. SOKSZÍNÛ MATEMATIKA A KITÛZÖTT FELADATOK EREDMÉNYE + ( ) p =. Rejtvén: A vlószínûség, mert három pont meghtároz eg síkot.. Várhtó érték. Tornádór fogdv nereség várhtó értéke: 0,. Villámr fogdv nereség várhtó értéke: 0. Szélvészre fogdv nereség várhtó értéke: 0,. Tehát Villámr érdemes fogdni.. 80 Ft =..» 0, Páros: -ml oszthtó: tel oszthtó: =. 0 =. 0 =. Tehát -ml oszthtór érdemes tippelni = Ft helett 00 Ft-tl számolv: 00 = 0, = 00 (Ft).. Sttisztik. Mgrország minden tekintetben utolsó. Nugti nelveket tekintve Szlovéni vezet, Csehország második. Vlmel idegen nelveknél számít, hog z ország korábbn más országokkl egütt lkotott eg állmot. 6

17 . d) Budpesten szállodát.. ) Többség z iskolábn tnórán tlálkozott z internettel. b) Egütt nem 00%. c) Mit jelent megismerkedni? Lehet, hog megismerkedett vele, de nem szokott internetezni! 5. ) b),68»,7 6. Zöldek, mert bár z dtok ugnzok, z õ grfikonjuk szemre erõteljesebb növekedést mutt. 7. Péter jvított, ezért z tengelen z egség ngobb legen. Péter rontott, ezért z tengelen z egség kisebb legen. 8. b),5. c) 6,8. d) Ahol z 50%-ot eléri: osztálközepe: 750 ezer. 0. ) 00 = 59. b) Az egmás utáni tgok távolság felezõdik: 9; 99; 59; 79; 69; 7;.... ) Az átlg -ml nõ, szórás nem változik. b) Az átlg és szorzás is z 5-szöröse lesz.. H legngobb 5 lenne, terjedelem mitt legkisebb 7. Középen medián mitt 8, 8 vg 7, 9 áll. Ezen szám összege 8, többi összege 6 8 = 6 kellene legen, de z nem lehet, mert egik sem kisebb 7-nél. A legngobb szám lehet legkisebb 6, középen 7, 9 vg 8, 8 közül csk 8, 8 lehet, mert 8 módusz, íg számok: 6, 6, 6, 8, 8, 8, 8,.. c) Iskoli végzettség, testvérek szám. = ,

18 SOKSZÍNÛ MATEMATIKA A KITÛZÖTT FELADATOK EREDMÉNYE Gondolkodási módszerek összefogllás. Hlmzok, kijelentések, esemének. ((Z \ H) \ E) È (H Ç E) = (Z Ç _ H Ç _ E) È (H Ç E) (p Z ÙØp H ÙØp E ) Ú (p H Ù p E ) (E Z E H E E ) + (E H E E ) = (E Z _ E H _ E E ) + (E H E E ) görög slát, tirmisu. ) Nem igz. b) Nem igz. c) Nem igz. d) Nem igz.. Április 0 npos. A hlmzábrán láthtón eddig np volt felsorolv, íg hiánzó szám 0 = 7. ) N npos: 5. b) E _ nem esõs:. c) E S N = E S N 7: nem esõs, nem szeles és nem npos. d) S È E: szeles vg esõs: 0. e) E S = E S nem esõs és nem szeles: 0. f) N Ç (S È E) npos és (szeles vg esõs):.. ) Minden -vel és 5-tel oszthtó természetes szám oszthtó 0-zel. Vn oln -ml oszthtó szám, mel 0-zel is oszthtó. H eg szám oszthtó 0-zel, kkor oszthtó -vel és 5-tel is. b) Vn egenlõ szárú derékszögû háromszög. Nincs oln egenlõ szárú háromszög, melnek pont eg 60º-os szöge vn. H eg háromszögnek pont eg 60º-os szöge vn, kkor nem lehet egenlõ szárú.. Kombintorik, vlószínûség = =.. ) 6! b) 5!! c)! 7! 8

19 . ) b) =. = 05, Ugnnni: 6. Páros: páros vg páros és pártln. Pártln: pártln vg pártln és páros. (Szimmetri elv.) 6. többszöröseinek szám + 7 többszöröseinek szám 7 többszöröseinek szám = 8 = = 8. Íg keresett vlószínûség: = 0, ! 7. Komplementer: mind különbözõ 5! = =, 7 9. ) b) = = =0, ,6 0,8 +0,6 0, 0, +0, 0, 0,65 = 0,606. P(két fej) = + =. 5 8 P(szbálos érme, feltéve, hog két fejet dobunk) = 8 = = 0,

20 SOKSZÍNÛ MATEMATIKA A KITÛZÖTT FELADATOK EREDMÉNYE Algebr és számelmélet összefogllás. Számok és mûveletek... Igen, négzete is irrcionális.. Pl.:,.... km %-át. 6. 7%-os hszon. 7.» 77%,» 9% tnuló.. Számelmélet, oszthtóság A számjegek összege, nem lehet prím.. Nincs. p és p + közül z egik páros, p = -re nem igz.. Igen, 00 = 7, minden prímténezõ kisebb 5-nél. 5. ) Pl.: 988 = b) Pl.: 988 = es, 8-s, 9-es *8. n = 5 és n =.. Htván, gök, logritmus nullár végzõdik.. ) 8 éves, 70 kg-os tnuló esetén 7 00 m. b) kg.. ) 5 = b) 5 c) 0 =

21 5. ) 9 5 = 5 b) 6. ) Az elsõ ngobb. b) Az elsõ ngobb. 7. ) ; > b) 6; b ³ 0; b ¹ ; b ¹ 6 0 *8. A kifejezés = n. ( ) 9. ) b) 6 c) 6 0. ) = 9< 9 = 7 b) c) log 5 log log75 log log9 = < log7 = < = < = < = < 9 = 7 5 log = = log 0, 5 < log7 = < log5 5 = < log 8= 6 7. ) = 0 b) 5 5 = = =, 5 8 c) =. Mûveletek rcionális kifejezésekkel. ) ( ) b) b (5b + )(5b ) c) 7(c +). Pl. d ½(d ) + (d ) +(d ). ) 000 b) = ( 7). ) b) c) ( 9) b 8 ( + ) 5. Egenletek, egenlõtlenségek. 7,5 liter 0%-os és,5 liter 80%-os km km. 6. Legkésõbb órkor. 7. ) n = 8; 9; ; 5 b) n = 0; ; ; ; ; 5; 6 c) 7 < n <

22 SOKSZÍNÛ MATEMATIKA A KITÛZÖTT FELADATOK EREDMÉNYE 8. m széles, m hosszú. 9. I. 0 órát, óránként 0 db. II. 6 ór; óránként 5 db ért vette. *. p= ; p= ; p= *. p = 0 5. b) = 6,5; =,5 c) =. ) = 7 b) = c) = ; = 0 * 5. n = 6. ) < vg > b) 5 < < vg < 7. ) π π π 8π = + k k b) = + kπ; + lπ ; k, l Z ; Z c) π π = + lπ ; l Z d) = kπ; = + lπ ; k, l Z π 7π 5 8. ) kπ + + kπ; b) lπ + π π + lπ ; l Z 6. Egenletrendszerek. ) Kb. 65 Ft liter üdítõ ár. b) Ft-nk dódik liter ár. Az ár nem rános z üdítõ menniségével.. 8 piros; kék.. 9 polc; könv.. ) 77-szerese. b) 98,7%-kl kisebb. 5. ) = ; = b) = ; = ; 5 5 c) = 0; = ; = 0; = 7 6. ) = ; = 9; = ; Î R\{0} b) = ; = c) = ; = 5; = ; = 5; = ; = 5; = ; = 5; 5 = 5; 5 = ; 6 = 5; 6 = ; 7 = 5; 7 = ; 8 = 5; 8 = = ; =

23 Függvének összefogllás. A függvén foglm, grfikonj, egszerû tuljdonsági. ) = sin p p p p b) c) =lg 0, 0 d) e) =tg p p p p 9 f) A függvén görbéje nem rjzolhtó meg pontosn, két szksz mentén mindenütt sûrûn elhelezkedõ pontokból áll.. ) injektív; b) egik sem; c) egik sem; d) szürjektív; e) bijektív; f) injektív.. Mûveletek függvénekkel. ) f f: R R, ; b) f g: R R, ; c) g f: R R, ; d) g g: R R,.. f f: R R, ; f f f: R R, ; + + f f... f: R R,, z fn-szer szerepel. + n

24 . ) f : R R, ; b) g : R \ { } R \ { }, ; + c) h : [0; ] [0; ], ; d) k : [0; ] [ ; 0], ; SOKSZÍNÛ MATEMATIKA A KITÛZÖTT FELADATOK EREDMÉNYE. Függvéntuljdonságok. ) b) c) 8 6 =( +) ( ) 6 6. ) b) c) Zérushel: =. Zérushel: = 7. Zérushel: =.. ) b) c) A kitûzött feldtbn hib vn. A heles függvén: log, 5 6 log Î [; + [ log Minimumhel = 0, mini- Minimumhel =, mini- A függvénnek minimumum értéke: ; mimum- mum érték: ; mimum- m nincs (lulról nem helek: =, =, hel: = 5, mimum ér- korlátos), mimumhemimum értéke: 5. ték: 6. le =, mimum érték:.

25 d) = sin½½ p p p p p p p p Minimumhelek: és = π = π, minimum értéke:, mimumhelek: és = π = π, mimum értéke:, z = 0 helen heli minimum vn függvénnek, minimum értéke 0. e) Minimumhel = 0, minimum értéke: 0, π π mimumhelek =, =, mimum értéke.. A függvén zérushele: = 0, minimumhele =, minimum értéke:, mimumhele =, mimum értéke:. p p p p 5. ) Az egetlen vlós gök: =. b) Az egetlen vlós gök: =. c) A két vlós gök: = és =. 6. ) A kitûzött feldtbn hib vn. A heles feldt: log log, >, ¹. A megoldás: <. b) A megoldás: < <. π π c) A megoldások következõ intervllumok: + kπ < < + kπ, k Z. 7. ) Eg vlós göke vn: =. b) Két vlós göke vn: = 0, =. c) A két vlós gök: = és =. 8. Nem periodikus, indirekt úton lehet bizonítni. 5

26 Geometri összefogllás. Alpvetõ foglmk. ) hmis; b) igz. ) AB cm; b) igz SOKSZÍNÛ MATEMATIKA A KITÛZÖTT FELADATOK EREDMÉNYE. A szögek ngság: º, 57º, 7º, 87º, 0º.. A hjó z észki iránnl +05º-ot bezáró, közelítõleg délnugti iránbn hld. 5. Jelölje prk hosszbbik oldlánk hosszát, rövidebbikét b. H kkor köz- b, refogott lkzt négzet, h kkor z ösvének és prk htár eg htszöget fog b >, közre. 6. Legfeljebb pontot kphtunk íg. Nincs mindig megfelelõ pont. 7. A metszéspontok szám ) 8 térrész; b) 5 térrész; c) 6 térrész; d) 9 térrész.. Geometrii trnszformációk. Két megfelelõ négzet vn, csúcsik rendre (6; 0), 0; 6), ( 6; 0), (0; 6), illetve (8; 8), ( 8; 8), ( 8; -8), (8; 8).. ) A közös rész eg oldlú szbálos háromszög. K = cm, T = cm 9» 0,77 cm. 68 b) Az egesítés eg konkáv hétszög. K = 0 cm, T = cm, 087 cm ) A'( ; 0), B'(; 6), C'(6; ) b) A'( 0; ), B'( ; ), C'(0; 6) cm 8. A ngítás 80-szoros, kép és vászon távolság,95 m.. Vektorok. Szögfüggvének. h»,9 m.. d» 8,5 m..» 5,5º.. ) sin = 0,6; tg = ctg = ;. 6

27 b) cos = 0,8; tg = ctg = ;. c) sin» 0,909; cos» 0,99; ctg» 0,76. d) tg = 5+»,6; sin» 0,909; cos» 0, Az osztópontok helvektori rendre B csúcstól C csúcs felé hldv: 5b + c b + c b + c b + c b + 5c,,,,. 6 6 b b c c b c 6. fab = +, fbc = +, fca = +, s ABC = c b + d + + b + c + d + c b + d b c d 7. ) b), c) = Az átlók felezõpontjit összekötõ szksz felezõpontj zonos középvonlk metszéspontjávl. 9. = 6. Nevezetes síkidomok tuljdonsági. ) = 0º; b» 7,5 cm; c» 7,05 cm. b)»,97 cm;»,º; g»,69º. c) c» 8,88 cm;» 6,9º; b» 7,8º. d)» 59,6º; b» 8,05º; g» 9,59º.. A befogók:» 8,6 cm; b» 8,6 cm. A hegesszögek:» 65,9º; b»,08º; 68 T = cm, 087 cm. 9. )» 75,5º; T» 7557,8 m. b) A mimális területû játéktér oldli 9,6 m és 7,9 m, területe T» 8779, m. 5. ) = 50º; b = 60º; g = 70º. b)»,06 cm; b»,6 cm; c»,76 cm; T»,99 cm. c) T»,5 cm ; T b»,6 cm ; T c»,6 cm. 6. A belsõ szögfelezõk áltl meghtározott négszög szögei vlmelik körüljárási iránbn: 87,5º; 5º; 9,5º; 65º. H eg konve négszög belsõ szögfelezõi közrefognk eg négszöget, kkor z mindig húrnégszög. 7. ) Az oldlfelezõ pontok áltl meghtározott négszög tégllp, íg z eredeti négszög átlói merõlegesek egmásr. b) Az oldlfelezõ pontok áltl meghtározott négszög rombusz, íg z eredeti négszög átlói egenlõ hosszúk. 7

28 SOKSZÍNÛ MATEMATIKA A KITÛZÖTT FELADATOK EREDMÉNYE 8. ) n = 9; b) n ( sokszög oldlszám) lehetséges értékei:, 5, 6, 7, A sokszög oldlink szám: n = k A legkisebb szög 7º-os, legngobb 7º-os. 5. Koordinátgeometri. ) A'(; 0), B'(8; ), C'( 6; ) b) c) S ; d) K ABC = ( ), 6 e) T ABC = 86. Az érintõ egenlete: + =.. A csúcsok koordinátái (0; 0), (0; ), (; 0), háromszög területe 6 egség.. A H ( ; 5) hrmdoló pontr illeszkedõ érintõk egenlete = és 8 5 = 5, H ( ; 7) hrmdoló pontr illeszkedõ érintõk egenlete pedig = és = A súlpontok hlmz z = + egenletû egenes kivéve ; pontot, 9 9 ugnis ekkor nem jön létre háromszög. 6. ) = ; = b) = 7. T = 9 8. A két érintõ hjlásszöge», = ; T =. 0. ) b) c)

29 Középszintû érettségi gkorló feldtsorok. Feldtsor I. rész. 9 =. 6. A kock eg lpján Pitgorsz-tétével kpjuk lpátló hosszát: l = 6 cm; mjd BDH è -ben szintén Pitgorsz tételével kock testátlóját, mel: d = 6 cm. E A D H l d F B G C. B állítás hmis. Pl.: D C Az ábrán láthtó derékszögû trpéz nem húrnégszög. A. A bl oldlon lévõ szorzást (zárójelfelbontást) elvégezve, mjd -et kiemelve két tgból kpjuk, hog +(b +) +b. Ez kifejezés egenlõ + c + 6-tl, melbõl másodfokú polinomok egütthtóink egenlõségébõl következik, hog b + = c és b = 6, ezekbõl egenesen ered b = és c = 5 érték. B 5. BDC =?; =? Az ABC è hrmdik szöge ekkor 70º. BD szögfelezõ két háromszögre bontj z ABC è -et: CDB è -ben belsõ szögek összegére vontkozó összefüggés lpján: = 80º (90º + 5º) = 55º. B C D A 6. A két germek életkoránk összege:. Az p életkor feldt feltétele szerint ekkor:. Nég év múlv germekek életkoránk összege: +8. Az p életkor nég év múlv: +. A feldt szerint felírhtó + = + 6 egenletbõl következik, hog jelenleg két germek életkoránk összege év, íg z p most 6 éves. 7. Két egenes párhuzmosságánk feltétele, hog irántngenseik (meredekségük) megegezzen. Jelölje rendre z egeneseket e és f. Az e egenes egenletébõl leolvsv nnk normálvektorát, mjd iránvektorát kpjuk, hog: n e (; 0) v e (0; ) me = 0. -vel beszorozv z f egenes egenletét, leolvsv szintén norálvektorát, iránvektorát, ered: 9

30 SOKSZÍNÛ MATEMATIKA A KITÛZÖTT FELADATOK EREDMÉNYE n f (; 8) v f (8; ) A párhuzmosság feltételébõl most már következik, hog: = 0 8 vgis: m f = 8. = Célszerû feldtot grfikus úton megoldni. Ábrázoljuk z egenlõtlenség bl oldlán álló p p f() = cos függvént ; -on, mjd g ()= f ( ) = cos jobb oldlon álló g ( )= konstns függvént, és olvssuk le z egenlõtlenség meg- oldásit, (figelve nitott-zárt intervllumokr). p ; p p ; p 9. Az,,,, 5 számjegekbõl képezhetõ ötjegû számok szám: 5! = 60.! 0. ( ) ( ) kifejezés szorzttá lkításánál hsználjuk fel z ( + b)( b) = b zonosságot, mjd emeljük ki z ( )-t. Íg kpjuk z ( )( + ) szorztot.. A feldt eredméne számolhtó klsszikus vlószínûséggel. Jelentse A esemén, hog pontosn fejet dobunk. Ekkor mivel lehetõségek következõ: FFF; III; FII; IIF; IFI; IFF; FIF; IFF. kedvezõ eset PA ( ) = =. összes eset 8 p p p p. Az dott egenlõtlenség megoldhtó lgebri úton, de tlán itt is, mint 8. feldtnál lénegesen egszerûbb, h ábrázoljuk z egenlõtlenség bl és jobb oldlán álló kifejezéseket függvénként, mjd leolvssuk kpott eredmént. Legen: f() = ½ 5½ és g() = 8. Megjegzés: Az lgebri megoldásnál hsználjuk fel, hog bármel ½½ ( ÎR + ) esetén, íg itt: egenlõtlenséget kell csk megoldnunk. 8 g () 5 f () 0

31 . Feldtsor II. rész / A. z út hossz: km A B [ km] s km A v = képletbe helettesítve: 60 t h = [ h] 5 ) mibõl ered, hog z út hossz: km km b) = 6, 66. h c) A töltõállomáson 59 Ft-ot fizetett (50 Ft/l-t) gépkocsi vezetõje. Az egész úton ( km-en) összesen 59 : 50 = 0,68 l volt z üzemngfogsztás, ezért egenes ránossággl számolv 00 km-en 7, l átlgfogsztást kpunk.. A szbálos tetréder minden éle 0 cm élû kock egeg lpátlój. A lpátló hossz Pitgorsz-tételével: A szbálos tetréder felszíne: A = 00 cm. A szbálos tetréder térfogt 000 V =, cm. l = 0 cm. A= l, mibõl: mibõl Megjegzés: Részletesebb megoldássl számoljnk fkultációs és z emelt szintû mtemtikát tnulók, felhsználv, hog bármel tetréder térfogt számolndó: V T = m képlettel, hol z lplp területére hsznál- b ják Tè = sing összefüggést, vlmint testmgsság hosszánk számolásánál bizonítsák be, hog test m- gsságánk tlppontj z lplp súlpontjáb esik. Innen Pitgorsz tételével ered testmgsság hossz. V = l, A E A H D l =0cm F B D m S G C C B 5. A megoldott tesztek szám: n. Ekkor: n + 97 = 90 n n + 97 = 90n és n + 7 = 87 n n + 7 = 87n.

32 SOKSZÍNÛ MATEMATIKA A KITÛZÖTT FELADATOK EREDMÉNYE Az. egenletbõl kivonv. egenletet kpjuk: 97 7 = 90n 87n melbõl ered, hog kitöltött tesztek szám n = 8 db. 6. ) ÎR A feldt átfoglmzv: ½ + ½ + ½ ½ = 0. Középszinten nem kötelezõ tudni e feldtot grfikusn megoldni, kezdjük hát lgebri úton. Ismert, hog: +, h + = {, h < és, h = { +, h < Számegenes segítségével könnebben felírhtók z értelmezési trtománok és hozzájuk trtozó egenletek.. esetben z < ÉT-on felírjuk hozzá trtozó egenletet, mel: ( ) + ( + ) = 0, 0 ÉT: () < () < () ³ melbõl kpjuk: = 9, mi z ÉT-nk megfelel.. esetben z ÉT: <, hozzá trtozó egenlet most íg lkul: ( + ) + ( + ) = 0, melbõl 7 ¹ 0, tehát nincs megoldás.. esetben z ÉT: ³, z egenlet: ( + ) + ( ) = 0, z = 5,5 = mel szintén megfelel z ÉT-nk, hog. esetben kpott megoldás is., A feldtnk tehát két megoldás vn 9 és. Mtemtik fkultáción vg emelt szintû mtemtikát tnulók oldják meg feldtot függvének segítségével is. Legen f() = ½ +½ + ½ ½ és g() = 0 konstns függvén. +, h < f( ) = + + = 7, h <, h g () 7 f (),5 5,5

33 b) Kezdjük feldtot feldt ÉT-nk vizsgáltávl. A logritmus mitt + < 0 és > 0 és + > 0 egenlõtlenségek metszeteként ered, hog: > feldt ÉT-. A logritmusok összegére vontkozó összefüggésbõl z egenlet átírhtó következõ lkb: log [( + )( )] = log ( + ). Mivel log függvén szigorún monoton (vlmint felhsználv z ( + b)( b) = = b zonosságot) ered: 9 = + mel másodfokú egenlet rendezés utáni gökei: = 5 és =. Az egenletnek eg megoldás vn, z = 5, mel megfelel z ÉT-nk.. Feldtsor II. rész / B 7. ) Készítsünk elõbb koordinát-rendszerben rjzot! AB egenlete: = ; z AC átló párhuzmos z tengellel, tehát mivel ez z egenes áthld z M(; 6) átló metszésponton, ezért = 6 z egenlete. Készítsünk megoldástervet, mjd lássunk hozzá feldt megoldásához. Terv:. AC Ç AB = A.. C kiszámítás felezõpont segítségével, hiszen M pont felezi AC átlót.. BC egenletének felírás.. BC Ç AB = B. Megjegzés: emelt szintûek tehetik, hog felírják M középpontú r = AM sugrú Thlész-kört, mjd e kör és AB egenes metszetének egik pontjként kpják B pontot (másik metszéspont kkor éppen A pont). 5. D kiszámítás felezõpont segítségével, mert M pont felezi BD átlót. Megoldás:.= = 6 A = } (; 6). C(; 6). n AB = v BC (; ); P 0 : C(; 6) Þ BC: + = 0. B(; ) 5. D(0; 0) Megoldás: A(; 6), B(; ), C(; 6), D(0; 0). b) Számítsuk ki elõször z AD távolságot! dad = AD = ( d ) + ( d ) = 60 8, 97 D(0; 0) 0 0 Mivel feldt szövege szerint egség cm ngságú, ezért AD» 8,97 cm. A vlóságbn 80 m = cm, íg kicsinítés mértéke kb. : AB: = A(; 6) B(; ) M(; 6) AC: =6 C(; 6)

34 8. Készítsünk tábláztot! SOKSZÍNÛ MATEMATIKA A KITÛZÖTT FELADATOK EREDMÉNYE Lánok Úszók: 80 fõ 6 Atletizálók: 95 fõ 9 76 Tornászok: 5 fõ 85 0 ) Jelentse A esemén, hog kiválsztott sportolók mindegike lán. 0 PA ( ) = 0, 00 b) Jelentse B esemén, hog kiválsztott fõ mindegike tletizál. 95 PB ( ) = 00, 00 c) Jelentse C esemén, hog kiválsztottk mindegike tletizáló lán. 9 PC ( ) = 0, d) D esemén: A kiválsztott sportolók ugnzt sportágt ûzik. Ekkor kiválsztott fõ kikerülhet z úszók körébõl, z tletizálók körébõl vg tornászok körébõl PD ( ) = , Nézzünk elõször néhán dtot. A jnuári lklmzottk szám: 60 fõ A jnuári forglom: 0 millió Ft A jnuári fõre esõ forglom: 500 ezer Ft p Februárbn válllt létszámemelkedését z + szorzó jelzi, kkor z fõre esõ 00 p forglomnövekedést z + kell, hog jelezze. 00 Íg februári 5,5%-os összforglom növekedés következõ egenlettel írhtó fel: Fiúk Összesen: 00 fõ = p p 00

35 Mindkét oldlt osztjuk rel, mjd elvégezve beszorzásokt és rendezve z egenletet p + 50p 775 = 0 másodfokú egenlethez jutunk, melnek gökei p = 5 és p = 55. A megoldás p = 5. ) A válllt 0 millió,55 = forglmt bonolított le. b) Az eg fõre esõ forglom februárbn 0%-kl nõtt jnuárihoz képest. c) Februárbn vállltnál 60,05 = 6 fõ dolgozott. Ellenõrizzük feldtot! A februári fõre esõ forglom , = Ft volt, h ezt beszorozzuk februárbn ott dolgozók számávl, tehát 6 fõvel, kkor z egész februári forglmt kell kpnunk = Ft. Vgis számolásunk heles.. Feldtsor I. rész. Igen. Igen, pl. lepkék.. Két megoldást is djunk. () () () () () () () () () (). Nem. A 00 pártln, íg két szám összegeként csk úg írhtó fel, h z egik páros, másik pártln. A z egetlen páros prímszám, íg másik szám 00 lenne, de 00 oszthtó -ml, íg nem prím. 5. A Ç B = [; [ A B féle lehet: 0 : 0; : 9; : 8; : 7; : 6; 5 : 5; 6 : ; 7 : ; 8 : ; 9 : ; 0 : f () = +; ³ [ ; 7[-on 7 5

Sokszínû matematika 12. A KITÛZÖTT FELADATOK EREDMÉNYE

Sokszínû matematika 12. A KITÛZÖTT FELADATOK EREDMÉNYE Sokszínû matematika. A KITÛZÖTT FELADATOK EREDMÉNYE Számsorozatok SOKSZÍNÛ MATEMATIKA A KITÛZÖTT FELADATOK EREDMÉNYE. A számsorozat fogalma, példák sorozatokra. A pozitív páros számok sorozatának n-edik

Részletesebben

Sokszínû matematika 12. A KITÛZÖTT FELADATOK EREDMÉNYE

Sokszínû matematika 12. A KITÛZÖTT FELADATOK EREDMÉNYE Sokszínû matematika. A KITÛZÖTT FELADATOK EREDMÉNYE SOKSZÍNÛ MATEMATIKA A KITÛZÖTT FELADATOK EREDMÉNYE Logika, bizonítási módszerek. Logikai feladatok, kijelentések. Feltéve, hog a középsõ a kérdésre válaszolt:

Részletesebben

9. Exponenciális és logaritmusos egyenletek, egyenlőtlenségek

9. Exponenciális és logaritmusos egyenletek, egyenlőtlenségek . Eponenciális és ritmusos egenletek, egenlőtlenségek Elméleti összefoglló H >, b>, és vlós számok, kkor + ( ) b ( b) H >, kkor z z ( ) ( ) f függvén szigorún monoton növekvő, míg h <

Részletesebben

Minta feladatsor I. rész

Minta feladatsor I. rész Mint feldtsor I. rész. Írj fel z A számot htványként! A / pont/. Mekkor hosszúságú dróttl lehet egy m m-es tégllp lkú testet z átlój mentén felosztni két derékszögű háromszögre? Adj meg hosszúságot mértékegységgel!

Részletesebben

2. Egyenletek I. Feladatok 1. a) b) c) d) 2. a) b) c) d) 3. a) b) c) d) e)

2. Egyenletek I. Feladatok 1. a) b) c) d) 2. a) b) c) d) 3. a) b) c) d) e) . Egenletek I. Feldtok. Oldj meg z lábbi egenleteket egenletrendszereket vlós számok hlmzán. ) b) ( ) ( ) 8 Klmár László Mtemtik Versen döntője 99. 8. osztál c) ( ) ( ) ( ) ( ) OKTV II. ktegóri. forduló

Részletesebben

EMELT SZINTÛ FELADATSOROK

EMELT SZINTÛ FELADATSOROK EMELT SZINTÛ FELADATSOROK. Feldtsor / A megoldások. A bl oldlon álló tört értelmezési trtomán : ³ 0, ¹ 0, zz 0, 0,. Bõvítjük törtet z + összeggel: = 0, íg hándosuk

Részletesebben

Az elégséges szint eléréséhez szükséges ismeretek matematikából a 9. évfolyamon

Az elégséges szint eléréséhez szükséges ismeretek matematikából a 9. évfolyamon Pdáni Ktolikus Gkorlóiskol, Veszprém Az elégséges szint eléréséhez szükséges ismeretek mtemtikáól 9. évfolmon Az elégséges szint eléréséhez szükséges ismeretek mtemtikáól 9. évfolmon Cél: pontos, kitrtó

Részletesebben

1. feladat Oldja meg a valós számok halmazán a következő egyenletet: 3. x log3 2

1. feladat Oldja meg a valós számok halmazán a következő egyenletet: 3. x log3 2 A 004/005 tnévi Országos Középiskoli Tnulmányi Verseny második fordulójánk feldtmegoldási MATEMATIKÁBÓL ( I ktegóri ) feldt Oldj meg vlós számok hlmzán következő egyenletet: log log log + log Megoldás:

Részletesebben

A VIZSGAKÉRDÉSEK LISTÁJA A VÁLASZTHATÓ TANTÁRGYBÓL

A VIZSGAKÉRDÉSEK LISTÁJA A VÁLASZTHATÓ TANTÁRGYBÓL MŰSZAKI ISKOLA ÉRETTSÉGI VIZSGA ADA, 06jnuár 0/06-ös iskolév, júniusi vizsgidőszk A VIZSGAKÉRDÉSEK LISTÁJA A VÁLASZTHATÓ TANTÁRGYBÓL Munkterület: GÉPÉSZET, ELEKTROTECHNIKA, ÉPITÉSZET Tntárg: MATEMATIKA

Részletesebben

MATEMATIKA FELZÁRKÓZTATÓ TANFOLYAM

MATEMATIKA FELZÁRKÓZTATÓ TANFOLYAM MATEMATIKA FELZÁRKÓZTATÓ TANFOLYAM Felhsznált segédletek, példtárk:. Nemzetközi Elıkészítı Int. NEI. Összefoglló feldtgőjtemén ÖF. Szécheni István Fıiskol Távokt. SzIT. Mőszki Fıiskol Példtár MFP Szent

Részletesebben

VI. Deriválható függvények tulajdonságai

VI. Deriválható függvények tulajdonságai 1 Deriválhtó függvének tuljdonsági VI Deriválhtó függvének tuljdonsági Ebben fejezetben zt vizsgáljuk, hog deriválhtó függvének esetén derivált milen összefüggésben vn függvén más tuljdonságivl, és hogn

Részletesebben

5. A logaritmus fogalma, a logaritmus azonosságai

5. A logaritmus fogalma, a logaritmus azonosságai A ritmus foglm ritmus zonossági I Elméleti összefoglló H > 0 > 0 > 0 vlós számok és n tetszőleges vlós szám kkor 0 n n H > 0 > 0 > 0 vlós számok kkor H > kkor z f( ) kkor z f( ) függvén szigorún monoton

Részletesebben

Középiskolás leszek! matematika. 13. feladatsor 1. 2. 3. 4. 5. 6.

Középiskolás leszek! matematika. 13. feladatsor 1. 2. 3. 4. 5. 6. Középiskolás leszek! mtemtik Melyik számot jelentheti A h tudjuk hogy I felennyi mint S S egyenlõ K és O összegével K egyenlõ O és L különbségével O háromszoros L-nek L negyede 64-nek I + S + K + O + L

Részletesebben

Matematika OKTV I. kategória 2017/2018 második forduló szakgimnázium-szakközépiskola

Matematika OKTV I. kategória 2017/2018 második forduló szakgimnázium-szakközépiskola O k t a t á s i H i v a t a l A 017/018. tanévi Országos Középiskolai Tanulmáni Versen második forduló MATEMATIKA I. KATEGÓRIA (SZAKGIMNÁZIUM, SZAKKÖZÉPISKOLA) Javítási-értékelési útmutató 1. Adja meg

Részletesebben

VI. Kétismeretlenes egyenletrendszerek

VI. Kétismeretlenes egyenletrendszerek Mtemtik A 9. évfolm 7. modul: EGYENLETEK Tnári kézikönv VI. Kétismeretlenes egenletrendszerek Behelettesít módszer Mintpéld Két testvér érletpénztárnál jeget vásárol. Az egik vonljegért és eg átszálló

Részletesebben

5. Logaritmus. I. Nulladik ZH-ban láttuk: 125 -öt kapjunk. A 3 5 -nek a 3. hatványa 5, log. x Mennyi a log kifejezés értéke?

5. Logaritmus. I. Nulladik ZH-ban láttuk: 125 -öt kapjunk. A 3 5 -nek a 3. hatványa 5, log. x Mennyi a log kifejezés értéke? . Logritmus I. Nulldik ZH-bn láttuk:. Mennyi kifejezés értéke? (A) Megoldás I.: BME 0. szeptember. (7B) A feldt ritmus definíciójából kiindulv gykorltilg fejben végiggondolhtó. Az kérdés, hogy -öt hánydik

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára 8. évfolym Mt2 feldtlp MATEMATIKA FELADATLAP 8. évfolymosok számár 15:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll dolgozz! Zsebszámológépet nem hsználhtsz. A feldtokt tetszés szerinti sorrendben oldhtod meg.

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2007. október 25. KÖZÉPSZINT I.

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2007. október 25. KÖZÉPSZINT I. MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 007. október 5. KÖZÉPSZINT I. ) Az A hlmz elemei háromnál ngyobb egyjegyű számok, B hlmz elemei pedig húsznál kisebb pozitív pártln számok. Sorolj fel z hlmz elemeit! ( pont) A B AB

Részletesebben

823. A helyesen kitöltött keresztrejtvény: 823. ábra. 823. A prímek összege: 2+ 5+ 2= 9; 824. a) 2 1, 2 4, 5 3, 3 5, 2$ 825.

823. A helyesen kitöltött keresztrejtvény: 823. ábra. 823. A prímek összege: 2+ 5+ 2= 9; 824. a) 2 1, 2 4, 5 3, 3 5, 2$ 825. Egész kitevôjû htváok 7 8 A helese kitöltött keresztrejtvé: 8 ár 8 A rímek összege: + + 9 8 ) $ $ 8 ) $ $ 9$ $ 7 $ $ 0 c) $ ( + ) ( + ) 8 ) $ $ k ( - ) - - - ) r s - 7 m k l ( + ) 7 8 ( - ) 8 ( + ) 7 (

Részletesebben

V. Koordinátageometria

V. Koordinátageometria oordinátgeometri Szkszt dott rányn osztó pont súlypont koordinátái 6 6 6 ) xf + 9 yf + N 7 N F 9 i ) 7 O c) O N d) O c N e) O O 6 6 + 8 B( 8) 7 N 5 N N N 6 A B C O O O BA( 6) A B BA A B O $ BA A B Hsonlón

Részletesebben

N-ed rendű polinomiális illesztés

N-ed rendű polinomiális illesztés ed rendű polinomiális illesztés 1 oldl Tegük fel, hog dottk vlmilen fiziki menniség függvénében mért értékek, zz mérési értékpárok, hlmz ( db mérési pont) A mérés mindig trtlmz vlmekkor bizontlnságot mért

Részletesebben

Matematika szintfelmérő szeptember

Matematika szintfelmérő szeptember Matematika szintfelmérő 015. szeptember matematika BSC MO 1. A faglaltok éjszakáján eg közvéleménkutatásban vizsgált csoport %-ának ízlett az eperfaglalt, 94%-ának pedig a citromfaglalt. A két gümölcsfaglalt

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Exponenciális és Logaritmusos feladatok

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Exponenciális és Logaritmusos feladatok MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Eponenciális és Logritmusos feldtok A szürkített hátterű feldtrészek nem trtoznk z érintett témkörhöz, zonbn szolgálhtnk fontos információvl z

Részletesebben

Differenciálszámítás. Lokális szélsőérték: Az f(x) függvénynek az x 0 helyen lokális szélsőértéke

Differenciálszámítás. Lokális szélsőérték: Az f(x) függvénynek az x 0 helyen lokális szélsőértéke Differenciálszámítás Lokális növekedés (illetve csökkenés): H z f() függvény deriváltj z 0 helyen pozitív: f () > 0 (illetve negtív: f () < 0), kkor z f() függvény z 0 helyen növekvően (illetve csökkenően)

Részletesebben

MATEMATIKA 9. osztály I. HALMAZOK. Számegyenesek, intervallumok

MATEMATIKA 9. osztály I. HALMAZOK. Számegyenesek, intervallumok MATEMATIKA 9. osztály I. HALMAZOK Számegyenesek, intervllumok. Töltsd ki tábláztot! Minden sorbn egy-egy intervllum háromféle megdás szerepeljen!. Add meg fenti módon háromféleképpen következő intervllumokt!

Részletesebben

IX. A TRIGONOMETRIA ALKALMAZÁSA A GEOMETRIÁBAN

IX. A TRIGONOMETRIA ALKALMAZÁSA A GEOMETRIÁBAN 4 trigonometri lklmzás geometrián IX TRIGONOMETRI LKLMZÁS GEOMETRIÁN IX szinusz tétel Feldt Számítsd ki z háromszög köré írhtó kör sugrát háromszög egy oldl és szemen fekvő szög függvényéen Megoldás z

Részletesebben

l.ch TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE ÉS DIFFERENCIÁLHATÓSÁGA

l.ch TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE ÉS DIFFERENCIÁLHATÓSÁGA l.ch TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE ÉS DIFFERENCIÁLHATÓSÁGA A kétváltozós függvének két vlós számhoz rendelnek hozzá eg hrmdik vlós számot, másként foglmzv számpárokhoz rendelnek hozzá eg hrmdik számot.

Részletesebben

11. évfolyam feladatsorának megoldásai

11. évfolyam feladatsorának megoldásai évolym eldtsoránk megoldási Oldjuk meg természetes számok hlmzán következő egyenleteket x ) y 6 x! 3 b) y 6 3 ) Átrendezve megoldndó egyenlet y 6 x! 3 H x 0, kkor H x, kkor H x, kkor H x 3, kkor H x, kkor

Részletesebben

MAGYARÁZAT A MATEMATIKA NULLADIK ZÁRTHELYI MINTAFELADATSOR FELADATAIHOZ 2010.

MAGYARÁZAT A MATEMATIKA NULLADIK ZÁRTHELYI MINTAFELADATSOR FELADATAIHOZ 2010. MAGYARÁZAT A MATEMATIKA NULLADIK ZÁRTHELYI MINTAFELADATSOR FELADATAIHOZ 00.. Tetszőleges, nem negatív szám esetén, Göktelenítsük a nevezőt: (B). Menni a 0 kifejezés értéke? (D) 0 0 0 0 0000 400 0. 5 Felhasznált

Részletesebben

Árki Tamás Konfárné Nagy Klára Kovács István Trembeczki Csaba Urbán János. sokszínû FELADATGYÛJTEMÉNY MEGOLDÁSOK. Mozaik Kiadó Szeged, 2009

Árki Tamás Konfárné Nagy Klára Kovács István Trembeczki Csaba Urbán János. sokszínû FELADATGYÛJTEMÉNY MEGOLDÁSOK. Mozaik Kiadó Szeged, 2009 Árki Tmás Konfárné Ng Klár Kovács István Trembeczki sb Urbán János sokszínû FELDTGYÛJTEMÉNY MEGOLDÁSOK 0 Mozik Kidó Szeged, 009 TRTLOMJEGYZÉK TRTLOMJEGYZÉK Megoldások 0. évfolm 0.. Gondolkodási módszerek

Részletesebben

A 2013/2014. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny első forduló MATEMATIKA I. KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA) Javítási-értékelési útmutató

A 2013/2014. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny első forduló MATEMATIKA I. KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA) Javítási-értékelési útmutató Okttási Hivtl A 013/014 tnévi Országos Középiskoli Tnulmányi Verseny első forduló MATEMATIKA I KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA) Jvítási-értékelési útmuttó 1 Oldj meg vlós számok hlmzán egyenletet! 3 5 16 0

Részletesebben

Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2010/2011 Matematika I. kategória (SZAKKÖZÉPISKOLA) Az 1. forduló feladatainak megoldása

Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2010/2011 Matematika I. kategória (SZAKKÖZÉPISKOLA) Az 1. forduló feladatainak megoldása Okttási Hivtl Országos Középiskoli Tnulmányi Verseny 00/0 Mtemtik I ktegóri (SZAKKÖZÉPISKOLA) Az forduló feldtink megoldás Az x vlós számr teljesül hogy Htározz meg sin x értékét! 6 sin x os x + 6 = 0

Részletesebben

a b a leghosszabb. A lapátlók által meghatározott háromszögben ezzel szemben lesz a

a b a leghosszabb. A lapátlók által meghatározott háromszögben ezzel szemben lesz a 44 HANCSÓK KÁLMÁN MEGYEI MATEMATIKAVERSENY MEZŐKÖVESD, évfolym MEGOLDÁSOK Mutssuk meg, hogy egy tetszőleges tégltest háromféle lpátlójából szerkesztett háromszög hegyesszögű lesz! 6 pont A tégltest egy

Részletesebben

Gyakorló feladatsor 11. osztály

Gyakorló feladatsor 11. osztály Htvány, gyök, logritmus Gykorló feldtsor 11. osztály 1. Számológép hsznált nélkül dd meg z lábbi kifejezések pontos értékét! ) b) 1 e) c) d) 1 0, 9 = f) g) 7 9 =. Számológép hsznált nélkül döntsd el, hogy

Részletesebben

Exponenciális és logaritmikus egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlôtlenségek

Exponenciális és logaritmikus egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlôtlenségek Eponenciális és logritmikus egyenletek, Eponenciális és logritmikus egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlôtlenségek Eponenciális egyenletek 60 ) = ; b) = ; c) = ; d) = 0; e) = ; f) = ; g) = ; h) =- 7

Részletesebben

Frissítve: Síkidomok másodrendű nyomatékai. Egy kis elmélet 1 / 21

Frissítve: Síkidomok másodrendű nyomatékai. Egy kis elmélet 1 / 21 Frissíte: 2015.02.16. Síkidomok másodrendű nomtéki Eg kis elmélet 1 / 21 Frissíte: 2015.02.16. Síkidomok másodrendű nomtéki 1. péld: Számítsk ki súlponti és tengelekre számított másodrendű nomtékokt! Megjegzés:

Részletesebben

Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2012/2013 Matematika I. kategória (SZAKKÖZÉPISKOLA) Döntő Megoldások

Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2012/2013 Matematika I. kategória (SZAKKÖZÉPISKOLA) Döntő Megoldások Országos Középiskolai Tanulmáni Versen / Matematika I kategória (SZAKKÖZÉPISKOLA) Döntő Megoldások Eg papírlapra felírtuk a pozitív egész számokat n -től n -ig Azt vettük észre hog a felírt páros számok

Részletesebben

Heves Megyei Középiskolák Palotás József és Kertész Andor Matematikai Emlékversenye évfolyam (a feladatok megoldása)

Heves Megyei Középiskolák Palotás József és Kertész Andor Matematikai Emlékversenye évfolyam (a feladatok megoldása) Okttási Hivtl E g r i P e d g ó g i i O k t t á s i K ö z p o n t Cím: 00 Eger, Szvorényi u. 7. Postcím: 00 Eger, Szvorényi u. 7. elefon: /50-90 Honlp: www.oktts.hu E-mil: POKEger@oh.gov.hu Heves Megyei

Részletesebben

a.) b.) c.) d.) e.) össz. 4 pont 2 pont 4 pont 2 pont 3 pont 15 pont

a.) b.) c.) d.) e.) össz. 4 pont 2 pont 4 pont 2 pont 3 pont 15 pont 1. Az alábbi feladatok egszerűek, akár fejben is kiszámíthatóak, de a piszkozatpapíron is gondolkodhat. A megoldásokat azonban erre a papírra írja! a.) A 2x 2 5x 3 0 egenlet megoldása nélkül határozza

Részletesebben

Függvények, 7 8. évfolyam

Függvények, 7 8. évfolyam Függvének, 7 8. évfolm Orosz Gul 01. június 8. TARTALOMJEGYZÉK Trtlomjegzék Feldtok 7 1. Grfikonok................................... 7. Geometrii trnszformáiók.......................... 19 3. Geometrii

Részletesebben

FELVÉTELI VIZSGA, július 15.

FELVÉTELI VIZSGA, július 15. BABEŞ-BOLYAI TUDOMÁNYEGYETEM, KOLOZSVÁR MATEMATIKA ÉS INFORMATIKA KAR FELVÉTELI VIZSGA, 8. július. Írásbeli vizsg MATEMATIKÁBÓL FONTOS TUDNIVALÓK: ) A feleletválsztós feldtok (,,A rész) esetén egy vgy

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára 8. évfolym Mt1 feldtlp MATEMATIKA FELADATLAP 8. évfolymosok számár 11:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll dolgozz! Zsebszámológépet nem hsználhtsz. A feldtokt tetszés szerinti sorrendben oldhtod meg.

Részletesebben

Juhász István Orosz Gyula Paróczay József Szászné Dr. Simon Judit MATEMATIKA 10. Az érthetõ matematika tankönyv feladatainak megoldásai

Juhász István Orosz Gyula Paróczay József Szászné Dr. Simon Judit MATEMATIKA 10. Az érthetõ matematika tankönyv feladatainak megoldásai Juhász István Orosz Gyul Próczy József Szászné Dr Simon Judit MATEMATIKA 0 Az érthetõ mtemtik tnkönyv feldtink megoldási A feldtokt nehézségük szerint szinteztük: K középszint, könnyebb; K középszint,

Részletesebben

F.I.1. Vektorok és vektorműveletek

F.I.1. Vektorok és vektorműveletek FI FÜGGELÉK: FI Vektorok és vektorműveletek MATEMATIKAI ÖSSZEFOGLALÓ Skláris menniség: oln geometrii vg fiiki menniség melet ngság (előjel) és mértékegség jelleme Vektor menniség: iránított geometrii vg

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Síkgeometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Síkgeometria MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Síkgeometri A szürkített hátterű feldtrészek nem trtoznk z érintett témkörhöz, zonbn szolgálhtnk fontos információvl z érintett feldtrészek megoldásához!

Részletesebben

44. HANCSÓK KÁLMÁN MEGYEI MATEMATIKAVERSENY MEZŐKÖVESD, 2015 Szóbeli feladatok megoldásai. Megoldás: 6

44. HANCSÓK KÁLMÁN MEGYEI MATEMATIKAVERSENY MEZŐKÖVESD, 2015 Szóbeli feladatok megoldásai. Megoldás: 6 9 évfolm HNCSÓK KÁLMÁN MEGYEI MTEMTIKVERSENY MEZŐKÖVESD 5 Szóbeli feldto megoldási ) dju meg zot z egész értéeet mele mellett z 6 6 Z 6 6 6 6 is egész szám! pot 6 6 6 pot mide egész -re pártl íg or lesz

Részletesebben

mateksoft.hu ( ) 2 x 10 y 14 Nevezetes azonosságok: Hatványozás azonosságai Azonos kitevőjű hatványok: + 9 ( 2x 3y) 2 4x 2 12xy + 9y 2

mateksoft.hu ( ) 2 x 10 y 14 Nevezetes azonosságok: Hatványozás azonosságai Azonos kitevőjű hatványok: + 9 ( 2x 3y) 2 4x 2 12xy + 9y 2 Nevezetes zoosságok: mteksoft.hu ( + ) + + ( x + ) x + 6 x + 9 ( x + y) 4x + 1xy + 9y ( ) + ( x ) x 6 x + 9 ( x y) 4x 1xy + 9y ( + + c) + + c + + c + c ( x + y + ) x + y + 4 + xy + 4x + 4y Htváyozás zoossági

Részletesebben

Végeredmények, emelt szintû feladatok részletes megoldása

Végeredmények, emelt szintû feladatok részletes megoldása Végeredmények, emelt szintû feldtok részletes megoldás I. gyökvonás. gyökfoglom kiterjesztése. négyzetgyök lklmzási. számok n-edik gyöke 5. z n-edik gyökfüggvény, z n-edik gyök lklmzás 6 II. Másodfokú

Részletesebben

Matematika érettségi 2015 május 5

Matematika érettségi 2015 május 5 ( ) A 6-tl vló oszthtóság feltétele, hogy szám oszthtó legyen -vel és -ml. 60 6 64 66 68 X {;8} X {;8} A minden tgdás: vn olyn A brn tgdás: nem brn Vn olyn szekrény, melyik nem brn (A) A D 49 b 4 ( 0)

Részletesebben

1. MECHANIKA-SZILÁRDSÁGTAN GYAKORLAT (kidolgozta: Szüle Veronika, egy. Ts; Tarnai Gábor mérnöktanár.) Matematikai összefoglaló, kiinduló feladatok

1. MECHANIKA-SZILÁRDSÁGTAN GYAKORLAT (kidolgozta: Szüle Veronika, egy. Ts; Tarnai Gábor mérnöktanár.) Matematikai összefoglaló, kiinduló feladatok /0 SZÉCHENYI ISTVÁN EGYETEM LKLMZOTT MECHNIK TNSZÉK MECHNIK-SZILÁRDSÁGTN GYKORLT (kidolgozt: Szüle Veronik, eg Ts; Trni Gábor mérnöktnár) Mtemtiki összefoglló, kiinduló feldtok Mátrilgebri összefoglló:

Részletesebben

VIII. Függvények tanulmányozása

VIII. Függvények tanulmányozása 5 Függvének tnulmánozás VIII. Függvének tnulmánozás 8.. A monotonitás vizsgált, egenlőtlenségek Tekintsük z f :[, b] foltonos és (, b) -n deriválhtó függvént. A de- f ( ) f ( ) rivált értelmezésében szereplő

Részletesebben

Vektorok. Vektoron irányított szakaszt értünk.

Vektorok. Vektoron irányított szakaszt értünk. Vektorok Vektoron irányított szkszt értünk A definíció értelmében tehát vektort kkor ismerjük, h ismerjük hosszát és z irányát A vektort kövér kis betűkkel (, b stb) jelöljük, megkülönböztetve z, b számoktól,

Részletesebben

4. Hatványozás, gyökvonás

4. Hatványozás, gyökvonás I. Nulldik ZH-bn láttuk:. Htványozás, gyökvonás. Válssz ki, hogy z lábbik közül melyikkel egyezik meg következő kifejezés, h, y és z pozitív számok! 7 y z z y (A) 7 8 y z (B) 7 8 y z (C) 9 9 8 y z (D)

Részletesebben

1. MECHANIKA-SZILÁRDSÁGTAN GYAKORLAT (kidolgozta: Szüle Veronika, egy. Ts; Tarnai Gábor mérnöktanár.) Matematikai összefoglaló, kiinduló feladatok

1. MECHANIKA-SZILÁRDSÁGTAN GYAKORLAT (kidolgozta: Szüle Veronika, egy. Ts; Tarnai Gábor mérnöktanár.) Matematikai összefoglaló, kiinduló feladatok SZÉCHENYI ISTVÁN EGYETEM LKLMZOTT MECHNIK TNSZÉK MECHNIK-SZILÁRDSÁGTN GYKORLT (kidolgozt: Szüle Veronik, eg Ts; Trni Gáor mérnöktnár) Mtemtiki összefoglló, kiinduló feldtok Mátrilgeri összefoglló: ) Mátri

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára 8. évfolym Mt2 feldtlp MATEMATIKA FELADATLAP 8. évfolymosok számár 15:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll dolgozz! Zsebszámológépet nem hsználhtsz. A feldtokt tetszés szerinti sorrendben oldhtod meg.

Részletesebben

M. 2. Döntsük el, hogy a következő két szám közül melyik a nagyobb:

M. 2. Döntsük el, hogy a következő két szám közül melyik a nagyobb: Mgyr Ifjúság (Rábi Imre) Az előző években közöltük Mgyr Ifjúságbn közös érettségi-felvételi feldtok megoldását mtemtikából és fizikából. Tpsztltuk, hogy igen ngy volt z érdeklődés lpunk e szám iránt. Évente

Részletesebben

4 x. Matematika 0 1. előadás. Végezzük el a műveleteket! Alakítsuk szorzattá a következő kifejezéseket! 5. Oldjuk meg az alábbi egyenleteket!

4 x. Matematika 0 1. előadás. Végezzük el a műveleteket! Alakítsuk szorzattá a következő kifejezéseket! 5. Oldjuk meg az alábbi egyenleteket! Mtemtik 0. elődás Végezzük el műveleteket!. 6... Alkítsuk szorzttá következő kifejezéseket!. 8 6 6. 7. 8. y Oldjuk meg z lái egyenleteket! 9. 0. 7 0 7 6. 7. Egy kétjegyű szám számjegyeinek összege. H felseréljük

Részletesebben

hajlító nyomaték és a T nyíróerő között ugyanolyan összefüggés van, mint az egyenes rudaknál.

hajlító nyomaték és a T nyíróerő között ugyanolyan összefüggés van, mint az egyenes rudaknál. 5 RÚDELADATOK 51 íkgörbe rudk Grhof 1 -féle elmélete íkgörbe rúd: rúd köépvonl ( ponti ál) íkgörbe e P n e t Jelöléek: A köépvonl mentén pontokt ívkoordinátávl onoítjuk Pl P pont A P pontbn (P pontho trtoó

Részletesebben

II. A számtani és mértani közép közötti összefüggés

II. A számtani és mértani közép közötti összefüggés 4 MATEMATIKA A 0. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE II. A számtni és mértni közép közötti összefüggés Mintpéld 6 Számítsuk ki következő számok számtni és mértni közepeit, és ábrázoljuk számegyenesen számokt és közepeket!

Részletesebben

Hatványozás és négyzetgyök. Másodfokú egyenletek

Hatványozás és négyzetgyök. Másodfokú egyenletek Defiíció: R, Z Htváyozás és égyzetgyök 0 h 0... ( téyezős szorzt) h h 0, 0. A htváyozás zoossági: : m ( ) m m m m m Defiíció: Az x vlós szám ormállkják evezzük z hol 0 és egész szám. 0 kifejezést, h x

Részletesebben

Teljes függvényvizsgálat példafeladatok

Teljes függvényvizsgálat példafeladatok Teljes függvénvizsgálat példafeladatok Végezz teljes függvénvizsgálatot az alábbi függvéneken! Az esetenként vázlatos megoldásokat a következő oldalakon találod, de javaslom, hog először önállóan láss

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Mtemtik emelt szint 1111 ÉRETTSÉGI VIZSGA 011. május. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ NEMZETI ERŐFORRÁS MINISZTÉRIUM Formi előírások: Fontos tudnivlók 1.

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára MATEMATIKA FELADATLAP 8. évfolymosok számár 11:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll olgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feltokt tetszés szerinti sorrenen olhto meg. Minen próálkozást, mellékszámítást

Részletesebben

9. osztály 1.) Oldjuk meg a valós számhármasok halmazán a következő egyenletet!

9. osztály 1.) Oldjuk meg a valós számhármasok halmazán a következő egyenletet! HANCSÓK KÁLMÁN MEGYEI MAEMAIKAVERSENY MEZŐKÖVESD Sóeli feldto és megoldáso ostál ) Oldju meg vlós sámhármso hlmán öveteő egenletet! ( pont) A egenlet l oldlát átlíthtju öveteőéppen: A l oldl egi tgj sem

Részletesebben

A VI. FEKETE MIHÁLY EMLÉKVERSENY

A VI. FEKETE MIHÁLY EMLÉKVERSENY A VI. FEKETE MIHÁLY EMLÉKVERSENY Elődó: Bgi Márk Elődás címe: Csillgászti elődás és kvíz A versenyzők feldtmegoldásokon törik fejüket. 88 VI. FEKETE MIHÁLY EMLÉKVERSENY Zent, 008. december. 9. évfolym.

Részletesebben

2. MECHANIKA-STATIKA GYAKORLAT (kidolgozta: Triesz Péter, egy. ts.; Tarnai Gábor, mérnök tanár) Erők eredője, fölbontása

2. MECHANIKA-STATIKA GYAKORLAT (kidolgozta: Triesz Péter, egy. ts.; Tarnai Gábor, mérnök tanár) Erők eredője, fölbontása SZÉCHENYI ISTVÁN EGYETEM LKLMZOTT MECHNIK TNSZÉK. MECHNIK-STTIK GYKORLT (kidolgozt: Triesz Péter, eg. ts.; Trni Gábor, mérnök tnár) Erők eredője, fölbontás.1. Péld dott eg erő és eg egenes irán-egségvektor:

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára 8. évfolym Mt2 feldtlp MATEMATIKA FELADATLAP 8. évfolymosok számár 15:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll dolgozz! Zsebszámológépet nem hsználhtsz. A feldtokt tetszés szerinti sorrendben oldhtod meg.

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Egyenletek, egyenletrendszerek

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Egyenletek, egyenletrendszerek 1) MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Egenletek, egenletrendszerek A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára 8. évfolym TMt1 feldtlp MATEMATIKA FELADATLAP 8. évfolymosok számár tehetséggondozó változt 11:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll dolgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feldtokt tetszés szerinti

Részletesebben

7. tétel: Elsı- és másodfokú egyenletek és egyenletrendszerek megoldási módszerei

7. tétel: Elsı- és másodfokú egyenletek és egyenletrendszerek megoldási módszerei 7. tétel: Elsı- és másodfokú egyenletek és egyenletrendszerek megoldási módszerei Elsıfokú függvények: f : A R A R, A és f () = m, hol m; R m 0 Az elsıfokú függvény képe egyenes. (lásd késı) m: meredekség,

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára 8. évfolym Mt1 feldtlp MATEMATIKA FELADATLAP 8. évfolymosok számár 11:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll dolgozz! Zsebszámológépet nem hsználhtsz. A feldtokt tetszés szerinti sorrendben oldhtod meg.

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK EMELT SZINT Bizonyítások

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK EMELT SZINT Bizonyítások ) MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK EMELT SZINT Bizonyítások A szürkített hátterű feldtrészek nem trtoznk z érintett témkörhöz, zonbn szolgálhtnk fontos információvl z érintett feldtrészek megoldásához!

Részletesebben

IV. Algebra. Algebrai átalakítások. Polinomok

IV. Algebra. Algebrai átalakítások. Polinomok Alger Algeri átlkítások olinomok 6 ) Öttel oszthtó számok pl: -0-5 0 5 áltlánosn 5 $ l lkú, hol l tetszôleges egész szám Mtemtiki jelöléssel: 5 $ l hol l! Z ) $ k+ vgy$ k- hol k! Z $ m- vgy $ m+ lkú, hol

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások Megoldások 1. Határozd meg a szakasz hosszát, ha a végpontok koordinátái: A ( 1; ) és B (5; )! A szakasz hosszához számítsuk ki a két pont távolságát: d AB = AB = (5 ( 1)) + ( ) = 6 + 1 = 7 6,08.. Határozd

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Egyenletek, egyenletrendszerek

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Egyenletek, egyenletrendszerek 1) MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Egenletek, egenletrendszerek A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval

Részletesebben

Bevezetés. Alapműveletek szakaszokkal geometriai úton

Bevezetés. Alapműveletek szakaszokkal geometriai úton 011.05.19. Másodfokú egyenletek megoldás geometrii úton evezetés A középiskoli mtemtik legszerteágzóbb része másodfokú egyenletek megoldás. A legismertebb módj természetesen megoldóképlet hsznált. A képlet

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára 8. évfolym TMt1 feldtlp MATEMATIKA FELADATLAP 8. évfolymosok számár tehetséggondozó változt 11:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll dolgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feldtokt tetszés szerinti

Részletesebben

Megoldás: Mindkét állítás hamis! Indoklás: a) Azonos alapú hatványokat úgy szorzunk, hogy a kitevőket összeadjuk. Tehát: a 3 * a 4 = a 3+4 = a 7

Megoldás: Mindkét állítás hamis! Indoklás: a) Azonos alapú hatványokat úgy szorzunk, hogy a kitevőket összeadjuk. Tehát: a 3 * a 4 = a 3+4 = a 7 A = {1; 3; 5; 7; 9} A B = {3; 5; 7} A/B = {1; 9} Mindkét állítás hamis! Indoklás: a) Azonos alapú hatványokat úgy szorzunk, hogy a kitevőket összeadjuk. Tehát: a 3 * a 4 = a 3+4 = a 7 Azonos alapú hatványokat

Részletesebben

= n 2 = x 2 dx = 3c 2 ( 1 ( 4)). = π 13.1

= n 2 = x 2 dx = 3c 2 ( 1 ( 4)). = π 13.1 Htározott integrál megoldások + 7 + + 9 = 9 6 A bl végpontokt válsztv: i = i n, i+ i = n, fξ i = i 6 d = lim n n i= i n n = n lim n n i = lim n i= A jobb végpontokt válsztv: fξ i = n i, n i d = lim n n

Részletesebben

JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika emelt szint 051 ÉRETTSÉGI VIZSGA 005.október 5. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI MINISZTÉRIUM Fontos tudnivalók Formai előírások: A dolgozatot

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Mtemtik középszint 061 ÉRETTSÉGI VIZSGA 007. október 5. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI ÉS KULTURÁLIS MINISZTÉRIUM Fontos tudnivlók Formi előírások:

Részletesebben

JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI MATEMATIKA ÚTMUTATÓ ÉRETTSÉGI VIZSGA EMELT SZINT% ÍRÁSBELI. ÉRETTSÉGI VIZSGA 2011. május 3. MINISZTÉRIUM NEMZETI ERFORRÁS

JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI MATEMATIKA ÚTMUTATÓ ÉRETTSÉGI VIZSGA EMELT SZINT% ÍRÁSBELI. ÉRETTSÉGI VIZSGA 2011. május 3. MINISZTÉRIUM NEMZETI ERFORRÁS Mtemtik emelt szint Jvítási-értékelési útmuttó MATEMATIKA EMELT SZINT% ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ NEMZETI ERFORRÁS MINISZTÉRIUM ÉRETTSÉGI VIZSGA 0. május. Mtemtik emelt szint

Részletesebben

Bolyai János Matematikai Társulat. Rátz László Vándorgyűlés Baja

Bolyai János Matematikai Társulat. Rátz László Vándorgyűlés Baja Bolai János Matematikai Társulat Rátz László Vándorgűlés 06. Baja Záródolgozat dr. Nag Piroska Mária, Dunakeszi Dunakeszi, 06.07.. A Vándorgűlésen Erdős Gábor az általános iskolai szekcióban tartott szemináriumot

Részletesebben

Ptolemaios-tétele, Casey-tétel, feladatok

Ptolemaios-tétele, Casey-tétel, feladatok Kutov ntl Ptolemios, sey, feldtok Kutov ntl (Kposvár) Ptolemios-tétele, sey-tétel, feldtok Ptolemios-tétel: H egy konvex négyszög szemközti oldli és, ill. és d; átlói e és f, kkor + d e f. Egyenlőség kkor

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára 8. évfolym Mt2 feldtlp MATEMATIKA FELADATLAP 8. évfolymosok számár 15:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll dolgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feldtokt tetszés szerinti sorrenden oldhtod meg.

Részletesebben

1) Adja meg a következő függvények legbővebb értelmezési tartományát! 2) Határozzuk meg a következő függvény értelmezési tartományát!

1) Adja meg a következő függvények legbővebb értelmezési tartományát! 2) Határozzuk meg a következő függvény értelmezési tartományát! Függvének Feladatok Értelmezési tartomán ) Adja meg a következő függvének legbővebb értelmezési tartománát! a) 5 b) + + c) d) lg tg e) ln + ln ( ) Megoldás: a) 5 b) + + = R c) és sosem teljesül. d) tg

Részletesebben

Az ABCD köré írható kör egyenlete: ( x- 3) + ( y- 5) = 85. ahol O az origó. OB(; 912). Legyen y = 0, egyenletrendszer gyökei adják.

Az ABCD köré írható kör egyenlete: ( x- 3) + ( y- 5) = 85. ahol O az origó. OB(; 912). Legyen y = 0, egyenletrendszer gyökei adják. 5 egyes feldtok Az dott körök k : x + ( y- ) = és k : ( x- ) + y = K (; 0), r, K (; 0), r K K = 0 > +, két körnek nincs közös pontj Legyen (; ) Az egyenlô hosszú érintôszkszokr felírhtjuk következô egyenletet:

Részletesebben

1. MECHANIKA-MOZGÁSTAN GYAKORLAT (kidolgozta: Szüle Veronika, egy. ts.) Matematikai összefoglaló

1. MECHANIKA-MOZGÁSTAN GYAKORLAT (kidolgozta: Szüle Veronika, egy. ts.) Matematikai összefoglaló SZÉCHENYI ISTVÁN EGYETEM ALKALMAZOTT MECHANIKA TANSZÉK 1 MECHANIKA-MOZGÁSTAN GYAKORLAT (kidolgozt: Szüle Veronik, eg ts) Mtemtiki összefoglló 11 Mátrilgeri összefoglló: ) Mátri értelmezése, jelölése: Mátri:

Részletesebben

4. Az a) és c) egyenlő, mindkettő a {12; 13} halmaz, valamint a b) és d) egyenlő mindkettő a {11; 12; 13; 14; 16; 17; 18} halmaz.

4. Az a) és c) egyenlő, mindkettő a {12; 13} halmaz, valamint a b) és d) egyenlő mindkettő a {11; 12; 13; 14; 16; 17; 18} halmaz. Megoldások hlmzok feldtink eredménei. Számhlmzok. ) 48 0 c) 70 3. 8 6. 0; ; ; 6; 3 7. ; 3; 9; 30; 73; 893 3. Műveletek rcionális számokkl. ) 3 0 c) 5 3. ) z első: 4, második:,48. második ngo z első:,35,

Részletesebben

Gyakorló feladatsor 9. osztály

Gyakorló feladatsor 9. osztály Gykorló feldtsor 9. osztály Hlmzok. Sorold fel z lábbi hlmzok elemeit! ) A={ legfeljebb kétjegyű 9-cel oszthtó páros pozitív számok} b) B={:prímszám, hol < 7} c) C={b=n+, hol nϵz és- n

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára 8. évfolym AMt2 feltlp MATEMATIKA FELADATLAP 8. évfolymosok számár 15:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll olgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feltokt tetszés szerinti sorrenen olhto meg. Minen

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára 8. évfolym Mt1 feldtlp MATEMATIKA FELADATLAP 8. évfolymosok számár 11:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll dolgozz! Zsebszámológépet nem hsználhtsz. A feldtokt tetszés szerinti sorrendben oldhtod meg.

Részletesebben

NULLADIK MATEMATIKA ZÁRTHELYI

NULLADIK MATEMATIKA ZÁRTHELYI A NULLADIK MATEMATIKA ZÁRTHELYI 20-09-2 Terem: Munkaidő: 0 perc. A dolgozat megírásához íróeszközön kívül semmilyen segédeszköz nem használható! Csak és kizárólag tollal tölthető ki a feladatlap, a ceruzával

Részletesebben

XX. Nemzetközi Magyar Matematika Verseny

XX. Nemzetközi Magyar Matematika Verseny XX. Nemzetközi Mgyr Mtemtik Verseny onyhá, 011. március 11 15. 11. osztály 1. felt: Igzoljuk, hogy ármely n 1 természetes szám esetén. Megolás: Az összeg tgji k k 1+ k = = 1+ + n +... < 1+ 1+ n 3 1+ k

Részletesebben

f (ξ i ) (x i x i 1 )

f (ξ i ) (x i x i 1 ) Villmosmérnök Szk, Távokttás Mtemtik segédnyg 4. Integrálszámítás 4.. A htározott integrál Definíció Az [, b] intervllum vlmely n részes felosztásán (n N) z F n ={,,..., n } hlmzt értjük, melyre = <

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP

MATEMATIKA FELADATLAP MATEMATIKA FELADATLAP 8. évfolymosok számár tehetséggonozó változt :00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll olgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feltokt tetszés szerinti sorrenen olhto meg. Minen

Részletesebben

14. modul Számtani és mértani közép, nevezetes egyenlőtlenségek

14. modul Számtani és mértani közép, nevezetes egyenlőtlenségek MATEMATIKA A 10. évfolym 14. modul Számtni és mértni közép, nevezetes egyenlőtlenségek Készítette: Vidr Gábor Mtemtik A 10. évfolym 14. modul: Számtni és mértni közép, nevezetes egyenlőtlenségek A modul

Részletesebben

Egy látószög - feladat

Egy látószög - feladat Ehhez tekintsük z 1. ábrát is! Egy látószög - feldt 1. ábr Az A pont körül kering C pont, egy r sugrú körön. A rögzített A és B pontok egymástól távolság vnnk. Az = CAB szöget folymtosn mérjük. Keressük

Részletesebben

Az integrálszámítás néhány alkalmazása

Az integrálszámítás néhány alkalmazása Az integrálszámítás néhány lklmzás (szerkesztés ltt) Dr Toledo Rodolfo 4 november 4 Trtlomjegyzék Két függvények áltl htárolt terület Forgástestek térfogt és felszíne 5 3 Ívhosszszámítás 7 4 Feldtok 8

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 6. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 6. évfolyamosok számára 6. évfolym AMt1 feldtlp MATEMATIKA FELADATLAP 6. évfolymosok számár 2011. jnuár 21. 15:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll dolgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feldtokt tetszés szerinti sorrenden

Részletesebben