ELOSZLÁS, ELOSZLÁSFÜGGVÉNY, SŰRŰSÉGFÜGGVÉNY

Átírás

1 ELOSZLÁS, ELOSZLÁSÜGGVÉNY, SŰRŰSÉGÜGGVÉNY AZ ELOSZLÁSÜGGVÉNY Egy célábla sugara 5 cm, a valószínűségi válozó jlns az, hogy milyn ávol lőünk a célábla középponjáól. Tgyük öl, hogy a céláblá bizosan laláljuk. A ladaunk az, hogy számísuk ki lőször mondjuk a P valószínűség. Ez az jlni, hogy gy cm sugarú kör blsjéb alálunk. Ennk kiszámolása igazán gyszrű, T r P, T 5 Hasonlóan izgalmas módon például P T,6 5 making.hu Mkkora lh zk alapján álalánosan a P valószínűség, ahol valamilyn szőlgs szám. Az ddigik alapján úgy űnik, hogy P T 5 5 Csakhogy sajnos zzl adódnak bizonyos problémák. Nézzük mg ugyanis például, mi örénik, =-. Há gyrész ugy P az jlni, hogy lőünk gy a céláblára, odamgyünk lmérni a ávolságo, lővsszük a mérőszalago és az lájuk, hogy a lövés ávolsága kvsbb, min mínusz cni. Nos nm udom kink milyn mérőszalagja van ohon, d z ugy lhln, há a valószínűség nulla: P. Ugyanakkor az lőző kis képlünk az mondja, hogy P há P, 5 5 Vagy i van mondjuk gy másik ügy, lgyn =6cm. Ez a valószínűség, hogy P 6 gészn B 7 bizosan %, mr ugy a céláblá bizosan laláljuk, márpdig a célábla sugara 5 cm, és 5 nhéz lnn úgy lalálni, ávolabb lőnénk, min 5 cni, vagyis ui, hogy 5, zér az plán ui, hogy 6. 7 B 5 6 P há P 6, 5 5 A mi kis képlünk szrin, viszon Ez gy piciké sok. A képl há kisbb javígaásra szorul.

2 Arról van szó, hogy normális -kr jó rdmény ad képlünk, csak olyan idióa -kr nm, amikor ngaív, vagy pdig úl sok. Ezér csinálunk gy kiköés az -r, és így kapjuk a jó képl: P Ez, ami így kapunk nm más, min gy üggvény. Az P hozzárndléssl mgado üggvény. Ez a üggvény a valószínűségi válozó loszlásüggvényénk nvzzük, és jlöljük. Thá a valószínűségi válozó loszlásüggvény P -l AZ ELOSZLÁSÜGGVÉNY: making.hu Nézzünk mg gy másik nagyon izgalmas céláblás s is. Kn lőnk céláblára. Az A alálai sély,7 a B alálai sély,8. Mindkn gy lövés adnak l gymásól ügglnül. Jlns a alálaok számá és adjuk mg az loszlásüggvény! Az lőző örénbn gy ávolságo jln, ami cm és 5cm közö bármi lh, mos viszon a alálaok számá, ami vagy vagy vagy és smmi más nm lh. Ez a aja valószínűségi válozó diszkrénk, míg az lőző olyonosnak nvzzük. I az loszlásüggvény úgy kapjuk mg, hogy készíünk gy loszlásáblázao: alálaok száma valószínűség EGYIK SEM TALÁL: A nm alál: -,7=, B nm alál: -,8=, B B 7 5,,, 6 7,7,,,8, 8 5,7,8, 56 CSAK AZ EGYIK TALÁL: A alál:,7 B nm alál: -,8=, vagy A nm alál: -,7=, B alál:,8

3 Az loszlásáblázaal mgvolnánk: alálaok száma Valószínűség,6,8,56 Az loszlásüggvény i gy lépcsőzsn mlkdő üggvény lsz: AZ ELOSZLÁSÜGGVÉNY:,6,,,6 P,8 P,6 P,56 making.hu Az loszlásüggvény há gy lépcsőzs üggvény lsz, ami mindn számnál ponosan akkorá ugrik, min az ado szám valószínűség. Vagyis = sén az ugrás P, 6. Azán = sén mgin ugrik, i az ugrás P, 8, d ahogyan a rajzon is lászik z hozzáadódik az lőzőhöz. Végül = sén az ugrás P, 56 ami szinén hozzáadódik az lőzőhöz és így a üggvény léri az -. olyonosnak nvzzük azoka a valószínűségi válozóka, amik olyonos mnnyiségk mérnk, ilyn például az idő, a ávolság. Ebbn az sbn az loszlásüggvény mindig olyonos üggvény lsz, ilyn vol az lőző örén. Diszkrénk nvzzük azoka a valószínűségi válozóka, amik mgszámlálóan sok érék vsznk l. Ez az jlni, hogy vagy végs soka, vagy végln, d úgy, hogy l udjuk sorolni az éréki. Az gész számok például diszkrénk számíanak, mr végln sokan vannak ugyan, d lsorolók: ;;; Ha a valószínűségi válozó diszkré, akkor az loszlásüggvény mindig gy lépcsőzsn mlkdő üggvény lsz, ami mindn gys sén éppn akkorá ugrik, min amkkora az ado valószínűség. B B Mindz oglaljuk össz.

4 OLYTONOS VALÓSZÍNŰSÉGI VÁLTOZÓ ELOSZLÁSÜGGVÉNYE a b A valószínűségi válozó olyonos, például a= és b=5, zk közö vh l érékk a. a b ahol a és b szőlgs számok. A céláblás sbn Ilynkor az loszlásüggvény is olyonos üggvény, ami a-ig nullá vsz öl, a és b köz növkszik és b uán végig gy vsz öl. Vagyis ahol a valószínűségi válozó működik, o a üggvény élr kl, lő és uána pdig hibrnál állapoban van. DISZKRÉT VALÓSZÍNŰSÉGI VÁLTOZÓ ELOSZLÁSÜGGVÉNYE P c AZ UGRÁS making.hu AZ UGRÁS P b AZ UGRÁS P a a b c A valószínűségi válozó diszkré és éréki: a ; b ; c ; sb. Ilynkor az loszlásüggvény mindig gy lépcsőzs üggvény, ami mindn számnál ponosan akkorá ugrik, min az ado szám valószínűség. Vagyis a sén az ugrás P a, azán b sén az ugrás P b és így ovább, és az ugrások összadódnak. Az loszlásüggvény há: 7 B a 5 P a a b P a 7 P b b c B 5...

5 .. Kn lőnk céláblára. Az A alálai sély,7 a B alálai sély,8. Mindkn gy lövés adnak l gymásól ügglnül. Jlns a alálaok számá. Adjuk mg az loszlásüggvény!.. Egy sorsjgy ára orin és mindn öödik sorsjgy nyr. 8 orinunk van és addig vszünk sorsjgy, amíg nm nyrünk vagy amíg l nm ogy a pénzünk. Jlns a vásárol sorsjgyk számá. Adjuk mg az loszlásüggvény!.. Egy dobozban van piros, hér és kék labda. Kivszünk három darabo visszavés nélkül. Jlns a húzo piros labdák számá. Adjuk mg loszlásá és loszlásüggvényé... Egy dobókocka oldala piros, oldala hér és oldala kék. A kockával háromszor dobunk, jlns a piros dobások számá. Adjuk mg loszlásá és loszlásüggvényé..5. Egy ogorvos a hé ö munkanapjából három nap rndl. Kiválaszunk az ö nap közül ké napo és i jlns a rndléss napok számá. Adjuk mg loszlásüggvényé..6. Egy dobozban céduláka hlyzünk l. Egy darab -s, ké darab -s és három darab -as liraú. A dobozból ké cédulá húzunk és jlns a húzo cédulákon szrplő számok összgé. Adjuk mg az loszlás és az loszlásüggvény!.7. Egy dobozban céduláka hlyzünk l. Egy darab -s, ké darab -s és három darab -as liraú. A dobozból ké cédulá húzunk és jlns a húzo cédulákon szrplő számok szorzaá. Adjuk mg az loszlás és az loszlásüggvény!.8. Egy dobozban van 5 piros és 5 hér golyó. Kivszünk 6 darabo, mi a valószínűség, hogy piros lsz közük, a visszavés nélkül húzunk? b visszavéssl húzunk? c mi a hlyz, piros és hér illv, piros és hér van?.9. Egy üzlbn -an vásárolnak, közülük 8-an rndlkznk bankkáryával. A pénzárnál -n állnak sorba, mi a valószínűség, hogy 7-nk lsz bankkáryája?.. Egy üzlbn vásárlóból álag 8-an rndlkznk bankkáryával. A pénzárnál -n állnak sorba, mi a valószínűség, hogy 7-nk lsz bankkáryája?.. Egy nap, valószínűséggl sik ső. Mi a valószínűség, hogy gy hén három nap sik?.. A közúi llnőrzésk során auóból -nél alálnak valamilyn szabályalanságo. Mi a valószínűség, hogy mgállío auóból éppn -nél alálnak? 5

6 .. Egy búoráruházban vásárlóból 8-an rklamálnak. Mi a valószínűség, hogy vvőből a kn rklamálnak? b lgalább kn rklamálnak? c lgalább ön rklamálnak? d az lső ké vvő rklamál? Csak az lső ké vvő rklamál? Az lső és a rmadik vvő rklamál?.. Egy vizsgán a llgaóknak álalában 6%-a mgbukik. Egy nap -n vizsgáznak, mi a valószínűség, hogy éppn a %-uk mgy á? a Mi a valószínűség, hogy lgljbb -n mnnk á? b Mi a valószínűség, hogy lgalább -n mnnk á? c Mi a valószínűség, hogy lgalább -n mnnk á?.5. Egy üzl a kövkző napból nap zárva ar. Kiválaszunk 5 napo, mi a valószínűség, hogy nap lsz nyiva?.6. Egy dobozban van 6 golyó, amiből piros. Kivszünk blől visszavéssl négy darabo. Mi a valószínűség, hogy piros?.7. Egy dobozban van 6 golyó, amiből piros. Kivszünk visszavés nélkül négy darabo, majd visszasszük, és a húzás mgisméljük. Mi a valószínűség, hogy lgljbb az gyik húzásban lsz lgljbb ké piros?.8. Egy érmbn dolgozó pincér közül 7 ud némül. Egyik s éppn 8 pincér dolgozik és közülük 5-n a raszon. Mi a valószínűség, hogy a raszon dolgozók közül -n bszélnk némül?.9. Egy kockával háromszor dobunk. Jlns annak a dobásnak a sorszámá, amikor lőször dobunk os, és lgyn nulla, gyálalán nm dobunk os. Adjuk mg loszlásá és loszlásüggvényé... A valószínűségi válozó loszlásüggvény,,, Adjuk mg az loszlás, a váró érék és a szórás! 6

7 A SŰRŰSÉGÜGGVÉNY a b A sűrűségüggvény jl és úgy működik, hogy a valószínűségk a görb alai rülk lsznk. Vagyis b P a b d a Az loszlásüggvény és a sűrűségüggvény kapcsolaa gészn izgalmas. Eloszlásüggvényből sűrűségüggvény úgy kapunk, hogy az loszlásüggvény driváljuk: making.hu Sűrűségüggvényből pdig úgy lsz loszlásüggvény, ingráljuk, d mglhősn rükkös módon: d AZ ELOSZLÁSÜGGVÉNY ÉS SŰRŰSÉGÜGGVÉNY TULAJDONSÁGAI: loszlásüggvény ulajdonságai: I. lim II. lim III. Monoon nő IV. Balról olyonos sűrűségüggvény ulajdonságai: I. Nm ngaív II. d Ado loszlásüggvény, kll sűrűségüggvény: Ado sűrűségüggvény, kll loszlásüggvény: d 7

8 8 making.hu SŰRŰSÉGÜGGVÉNYBŐL ELOSZLÁSÜGGVÉNY Ado a valószínűségi válozó sűrűségüggvény, állísuk lő az loszlásüggvény! A képl alapján: d.eset =.ESET =.ESET.ESET d d =.ESET d d d =.ESET d d d Az loszlásüggvény: Az loszlásüggvényből a sűrűségüggvény úgy kapjuk vissza, a loszlásüggvény driváljuk. Ez a művl már mglhősn áralmalan, így mindnki próbálja ki ohon.

9 SŰRŰSÉGÜGGVÉNY TULAJDONSÁGAINAK TESZTELÉSE Ellnőrizzük, hogy lh- a valószínűségi válozó sűrűségüggvény az alábbi üggvény! A akkor sűrűségüggvény, d A.ESET =.ESET =.ESET d Ekkor A=/ d A d d A A making.hu ELOSZLÁSÜGGVÉNY TULAJDONSÁGAINAK TESZTELÉSE Ellnőrizzük, hogy lh- a valószínűségi válozó loszlásüggvény az alábbi üggvény! Lássuk az loszlásüggvény négy ulajdonságá! I. lim mos lim II. lim mos lim z ljsül z is ljsül III. Monoon nő IV. Balról olyonos Készíünk gy rajzo: Nos úgy űnik zk is rndbn vannak, há loszlásüggvény. 9

10 .. Lh- valamly valószínűségi válozó sűrűségüggvény az alábbi üggvény?.. Lh- valamly valószínűségi válozó sűrűségüggvény az alábbi üggvény?.. Lh- valamly valószínűségi válozó sűrűségüggvény az alábbi üggvény?.. A valószínűségi válozó sűrűségüggvény =? p +6<=?.. A valószínűségi válozó sűrűségüggvény 6 =? p <=? p 5 <=?.5. A valószínűségi válozó sűrűségüggvény különbn A A=? =? p <=?

11 .6. A valószínűségi válozó sűrűségüggvény Aln különbn A=? =?.7. A valószínűségi válozó sűrűségüggvény A=? =? A 6 különbn.8. A valószínűségi válozó sűrűségüggvény A különbn A=? =? E =? D =?.9*. A valószínűségi válozó sűrűségüggvény A A=? E =? E 9 =? D =? D 9 =?.. A valószínűségi válozó sűrűségüggvény A A=? E =? E különbn =? D =? D =?.. A valószínűségi válozó sűrűségüggvény A A=? =?

12 .. Lh- valamly valószínűségi válozó loszlásüggvény az alábbi üggvény?.. Lh- valamly valószínűségi válozó loszlásüggvény az alábbi üggvény?.. Lh- valamly valószínűségi válozó loszlásüggvény az alábbi üggvény?.5. A valószínűségi válozó loszlásüggvény A A=? =? p <=? E =?.6. Lh- valamly valószínűségi válozó loszlásüggvény az alábbi üggvény?.7. A valószínűségi válozó sűrűségüggvény A A=? =?

13 .8. A valószínűségi válozó sűrűségüggvény A ln különbn A=?.9. A valószínűségi válozó loszlásüggvény A A=? =? p >=? E =? D =?.. A valószínűségi válozó loszlásüggvény A A=? =? p <=?.. A valószínűségi válozó sűrűségüggvény A különbn A=? =? p <=?