A differenciál- és integrálszámítás alapjai

Átírás

1 A dirciál- és itrálszámítás lpji I. Dirci- és dirciálháydos D. Ly : R R értlmzv z itrvllumo. Ly ttszőls lm z itrvllumk. Az háydost z -b vtt dirciháydosák vy külöbséi háydosák vzzük. D. Ly : R R értlmzv z itrvllumo. Az üvéy z -b dirciálhtó[driválhtó] h létzik lim htárérték [ dirciháydosok htárérték]. Ezt htárértékt z -bli dirciálháydosák vy driváltják vzzük. Jlölés: vy d d Mjyzésk:.. Sok stb mköyíti számolást h dirciháydosokt z h jlölés bvztésévl lkb írjuk l. Ekkor dirciálháydos lim htárérték- h h h h0 h kl ylő [myib létzik]. Trmészts h pozitív és tív értékkt is lvht k mllő hoy vy.. A lim htárérték kiszámításkor h0 üvéy htárértékét krssük h z -b z. potb szrplt lk sté pdi h üvéy htárértékét kll h kiszámítuk 0-b. [Trmészts ics értlmzv -b h ics értlmzv 0-b.] Ezért dirciálháydos mhtározásáál lklmzhtjuk üvéyk htárértékér votkozó diíciókt és tétlkt.. A továbbikb m ojuk kiíri hoy illtv. Ez úyis mától érttődő mrt 0-vl m oszthtuk thát zk hlyk dirciháydosok icsk értlmzv. Példák: h 0. Ly c c R. Ekkor z üvéy mid -r -b driválhtó és driváltj mi- c c dütt 0. Uyis lim lim lim Ly lim. Ekkor mid -r -b driválhtó és driváltj: lim lim

2 . Ly. Ekkor üvéy 0 kivétlévl midütt dirciálhtó. Ly 0. Ekkor lim lim lim lim. [A lim lim ylősé zért áll mrt h és sok kivétlll 0 0 kkor vés tljsül viszot vés sok t lhyás m bolyásolj htárértékt.] H 0 kkor tikhz hsoló kpjuk hoy lim lim. Thát üvéy másodikb. H 0 kkor lim lim 00 illtv 0 0 sté -b driválhtó és driváltj z lső stb 0 sté lim lim Thát 0 lim sté htárérték m létzik mrt z üvéy jobb- és bloldli htárérték m yzik m 0-b. Íy thát z üvéy 0-b m dirciálhtó. Gykorló ldtok. A dirciháydosok vizsáltávl dötsük l hoy z lábbi üvéyk dirciálhtók- mdott potb! b 0 h c d h Jobboldli és bloldli dirciálháydos A üvéyk jobb- illtv bloldli htárértékéhz vlmit jobbról illtv blról olytoossá diíciójához hsoló bszélhtük jobboldli illtv bloldli dirciálháydosról. D. Ly : R R értlmzv z [ itrvllumo. Az üvéy z -b jobbról di- rciálhtó h létzik lim htárérték dirciháydosok jobboldli htárérték. + 0 Ezt htárértékt z -bli jobboldli dirciálháydosák [driváltják] vzzük. Jlölés:.

3 D. Ly : R R értlmzv z ] itrvllumo. Az üvéy z -b blról di- rciálhtó h létzik lim htárérték dirciháydosok jobboldli htárérték. 0 Ezt htárértékt z -bli bloldli dirciálháydosák [driváltják] vzzük. Jlölés:. A üvéy-htárértékkről modott korábbi tétl kövtkzméy: Tétl: Ly : R R értlmzv z itrvllumo. Az dirciálhtó -b kkor és csk kkor h jobbról és blról is dirciálhtó -b és D. H z : R R értlmzv v z b potjáb kkor zt modjuk hoy z dirciálhtó z itrvllumo és z dirciálhtó b itrvllumo. b mid D. H z : R R értlmzv v z [ b] itrvllumo és z dirciálhtó b mid potjáb vlmit -b jobbról b-b blról dirciálhtó kkor zt modjuk hoy z dirciálhtó z itrvllumo. [ b] D. H dirciálhtó z b itrvllumo kkor driváltüvéyék vy driváltják vzzük. Jlölés: vy : b R üvéyt z d d. Péld: A korább látott példák lpjá z c üvéy driváltüvéy z 0 üvéy üvéy driváltj üvéy.

4 A lyszrűbb lmi üvéyk driváltj A lyszrűbb lmi üvéyk driváltjit z lábbi tábláztb ollhtjuk össz: Mjyzés: c c R α R lo si A htváyüvéy driváltjához lé bl oldli tábláztrész második soráb álló áltláos lkot mjyzi és hszái. Üyi kll zob rr hoy z áltláos lk sté szüksészrű hoy htváylp pozitív ly. Azob h oly yöküvéyről v szó mly változó tív értékir is értlmzv v kkor drivált ti második táblázt lpjá változó tív értékir is létzik d m írhtó l z áltláos törtkitvőjű htváylkb. Ezért z áltláos képltt sok ormális zz úy hszálják hoy átmtil áttérk törtkitvőjű htváylkr k sítséévl lkészítik driváltüvéyt mjd törtkitvőjű htváyt visszlkítják yökös lkr. Áltláos szbály bb z stb hoy hol driváltüvéyr kpott kijzés értlmzv v ott driváltüvéy is létzik és myzik kpott üvéyl. 0 cos si A ykr hszált stkr htváy- és yöküvéyk driváltját külö összollhtjuk: t ct cos si rc si rccos rc t cos rc ct N N + N

5 II. Művltk dirciálhtó üvéykkl. A dirciálhtósá és művltk kpcsolt. Össz és külöbsé driváltj Tétl: Ly és dirciálhtó -b. Ekkor is dirciál-. H és dirciálhtó z I itrvllumo kkor htó itt és driváltüvéy. is dirciálhtó -b és Tétl: Ly és dirciálhtó -b. Ekkor is dirciál-. H és dirciálhtó z I itrvllumo kkor htó itt és driváltüvéy. is dirciálhtó -b és Kidolozott ldt 6. Htározzuk m z si üvéy driváltját z Moldás: hly! 6 Mivl h k hol h si és k és h k mid potb driválhtók zért is midütt driválhtó és h k zz 6 cos 0. Thát 6 cos 9 cos. Szorzt driváltj Tétl: Ly és dirciálhtó z potb. Ekkor is dirciálhtó -b és. H és dirciálhtó z I itrvllumo kkor is dirciálhtó itt és driváltüvéy. Kövtkzméy I.: A ti tétlből -b és c c R hlyttsítéssl kpjuk hoy h dirciálhtó c R kkor c is dirciálhtó -b és driváltj c c. Kövtkzméy II.: A szorzt driváltjár votkozó tétl lső kövtkzméyéből illtv z össz driváltjár votkozó tétlből kpjuk hoy h p -dokú poliomüvéy zz... 0 kkor p p midütt dirciálhtó és driváltj: p....

6 6 Kövtkzméy III: A tétl lklmzhtó mcsk két hm több tból álló szorzt driválásár is. Három üvéy sté például z lábbikt kpjuk: Ly és h dirciálhtó z potb. Ekkor h is dirciálhtó -b és h h h h h h h h Ek lpjá áltláos is l tudjuk íri y k téyzős szorzt driváltját: k k k k Péld: A szorzt driváltjár votkozó tétl lklmzáskét lkészíthtjük z N üvéy driváltját. Láttuk korább hoy h kkor. Ly. Alklmzzuk szorzt driváltjár votkozó tétlt!. Ezt olytthtjuk is ti k téyzős szorzt driváltj lpjá hsoló mkphtjuk hoy. Kidolozott ldtok. Htározzuk m z lábbi szorztüvéyk driváltját! b c h si d cos si k si m Moldás: 6 b c h cos si si si d si si cos cos cos si cos si k cos si cos cos si si si m

7 Háydos driváltj Tétl: H üvéy dirciálhtó -b és 0 kkor z üvéy is dirciálhtó - b és driváltj. H üvéy dirciálhtó z I itrvllumo és itt 0 kkor z üvéy is dirciálhtó z I itrvllumo és driváltüvéy. Tétl: H és dirciálhtó -b és driváltj kkor z 0 kkor z üvéy is dirciálhtó -b és. H z és dirciálhtó z I itrvllumo és itt üvéy is dirciálhtó z I itrvllumo és driváltüvéy: 0 Kidolozott ldtok:. Myi z üvéy driváltj z hly? Moldás: Mivl számláló h és vző midütt dirciálhtó és vző = sté m 0 zért is dirciálhtó z -b. 7 h zért háydos dri- h h váltjár votkozó szbály értlméb.. Ly t. Htározzuk m z driváltüvéyét! Moldás: si Mivl továbbá si és cos midütt driválhtó zért midütt driválhtó hol cos vző m 0 zz k k Z kivétlévl midütt driválhtó. Itt driváltj háydos driváltjár votkozó szbállyl számíthtó ki: si cos si cos cos cos si si cos cos cos

8 Gykorló ldtok:. Htározzuk m z lábbi háydosüvéyk driváltüvéyét! Állpítsuk m zt hlmzt is mly üvéyk dirciálhtók! b c h Összttt üvéy driváltj Tétl: [Lác-szbály] Tyük l hoy dirciálhtó -b h dirciálhtó -b. Ekkor h is dirciálhtó -b és h. H dirciálhtó z I itrvllumo és h dirciálhtó I itrvllumhoz trtozó értékkészlté kkor h is dirciálhtó z I itrvllumo és h. Mjyzés: A tétlt lklmzhtjuk többszörös összttt üvéykr is. Trmészts driválhtósá ltétlét vizsái kll mtközb kpott driváltk létzés lpltétl. Kidolozott ldt:. Htározzuk m z si üvéy driváltját! b Htározzuk m z üvéy driváltját! Moldás: Mivl h hol h si és és illtv h midütt dirci- álhtó zért is midütt dirciálhtó és h cos. b Mivl h hol Mjyzésk: h és és illtv h midütt dirciálhtó zért is midütt dirciálhtó és h 8 Sokszor héz átláti y-y kár többszörös összttt üvéy szrkztét és driváltják lkészítését. Az összttt üvéykkl vló báásmód sorá yo otos hoy jól ismrjük l z öszsztétlb szrplő üvéykt és jól állpítsuk m hoy mlyik külső és mlyik blső üvéy z össztétlb. Fő szbálykét zt érdms mjyzi hoy driválás sorá kívülről blé hlduk és z üvéy v lkívül mlyk értékét utoljár számítjuk ki. Pl. sté külső üvéy si és blső z üvéy sté külső üvéy z si üvéy mrt utoljár sius értékt számítjuk ki d és blső mllő si si mí si si cos. si si mrt utoljár éyztr mlük. Ek

9 Gykorló ldtok. A dirciálási szbályok sítséévl állpítsuk m z lábbi üvéyk driváltját! b c h d j. A dirciálási szbályok sítséévl állpítsuk m z lábbi üvéyk driváltját! b si cos t cos si. A dirciálási szbályok sítséévl állpítsuk m z lábbi üvéyk driváltját! c lo lo b lo 7 h d k lo 8. A dirciálási szbályok sítséévl állpítsuk m z lábbi üvéy driváltját! b c h rccos d k Msbb rdű driváltk D. Ly dirciálhtó z itrvllumo ly itt driváltüvéy. H dirciálhtó -b és itt driváltj kkor zt modjuk hoy z kétszr dirciálhtó -b. Az számot z -bli második driváltják vzzük és -vl jlöljük. Mjyzés: Hsoló diiálhtó z -bli -dik drivált Z z -dik drivált sítséévl [ diíció tljs idukcióvl ]. A jlölés: z lső második illtv hrmdik driváltt rdr -vl z -dik driváltt h -vl jlöljük. D. Ly H zo vlós számok hlmz mlykb z üvéy kétszr dirciálhtó. Ekkor : H R üvéyt z második driváltüvéyék vy rövid második driváltják vzzük és -szl jlöljük. Mjyzés: 9 Hsoló diiálhtó z üvéy -dik driváltüvéy [-dik driváltj].

10 Péld: Láttuk már hoy és második driváltj. Ebből kpjuk hoy kárháyszor dirciálhtó és k-dik driváltj: kétszr is dirciálhtó mid potb. Tljs idukcióvl bláthtó hoy k! k! k h k és k 0 h k. Kidolozott ldtok: 6. Készítsük l z lábbi üvéyk második és hrmdik driváltját! b cos c h si d l Moldás: ; ; 8 áll midkét driváltr votkozó. 8 b si ; cos ; 8si c h si cos ; ; driválhtósá z h cos cos cos cos si cos si h si si si si cos si cos R számhlmzo d l ; l A hrmdik driválthoz érdms második driváltt szorzttá lkíti: l l 0

11 7. Htározzuk m Moldás: si üvéy 08-dik driváltját! si cos ; si si ; si cos ; si si Láthtó hoy i lölről kzdődik thát si üvéy mid ydik driváltj öm lsz. Mivl 06 oszthtó -yl zért 06-ik drivált is si. A 08-ik drivált thát második driválttl zz -szl yzik m. si

12 III. Primitív üvéy htározt itrál A driválás bizoyos értlmű mordítás sorá rr vyuk kívácsik hoy y dott üvéy mlyik üvéy driváltjkét állíthtó lő. D. H F dirciálhtó z üvéyék vzzük. b - és itt F kkor F-t z b -hz trtozó primitív D. H F dirciálhtó z [ b] - és itt F kkor F-t z [ b] -hz trtozó primitív üvéyék vzzük. Mjyzés: H z üvéy sté yértlmű hoy mlyik itrvllumo tljsül F összüés kkor midpos ykorltb F-t rövid primitív üvéyék vzzük z itrvllum mjlölés élkül. Ezk utá rötö kövtkző kérdésk mrülhtk l:. mily tuljdosáiból kövtkzik hoy v primitív üvéy?. H -k több primitív üvéy v kkor zk mily kpcsoltb vk ymássl? Tétl: H -k v primitív üvéy mid Mjyzésk: és b [ b] közti értékt lvsz z - kkor rdlkzik Drbou-tuljdosál zz [ b] itrvllumo.. H m rdlkzik Drbou-tuljdosál y itrvllumo kkor zo z itvllumo ics primitív üvéy.. A Drbou-tuljdosá szüksés d m lésés ltétl primitív üvéy létzéséhz. Ly uyis [ ] itrvllumo kövtkzőképp értlmzv: h 0 h 0 Nyilvávló hoy [ ] itrvllumo mid és közé ső értékt lvsz mrt 0 íy itt rdlkzik Drbou-tuljdosál. Viszot h oly F üvéy mlyr F [ ] itrvllumo kkor F tljsü például [ ] itrvllumo zob yilvávló hoy itt m rdlkzik Drbou-tuljdosál mrt itt

13 és [ ] közé ső értékkt yáltlá m vsz l. Thát -k m létzik primitív üvéy itrvllumo. Tétl: H olytoos [ b] - kkor [ b] - v primitív üvéy. Mjyzés: A olytoossá lésés d m szüksés ltétl primitív üvéy létzésék. Tétl: Ly F z üvéy primitív üvéy z z [ b] G F c. [ b] itrvllumo kkor és csk kkor h v oly c kosts hoy z itrvllumo. G primitív üvéy -k [ b] itrvllumo A tétlből láthtó hoy primitív üvéyi csk y kostsb térhtk l ymástól thát h y primitív üvéyét mhtározzuk mkphtjuk z összs primitív üvéyét k sítséévl. D. Az I itrvllumhoz trtozó primitív üvéyik összsséét z htározt itrálják vzzük és d -szl vy rövid -l jlöljük. A továbbikb zokt üvéykt mlyk y dott I itrvllumo létzik primitív üvéy z dott I itrvllumo itrálhtó üvéykk ojuk vzi. A htározt itrál mdás sziorú vév z lábbi ormáb törtéik: d F F. Mivl tudjuk hoy primitív üvéyk csk y c kotsb térk l ymástól zért zt íy is írhtjuk y ttszőls primitív üvéy sítséévl: F d F c c R rövid d F c c R. A kitűzött és ykorló ldtok moldásáb z yszrűsé kdvéért z utóbbi lkot ojuk hszái és m írjuk ki hoy c R. Mjyzés: A primitív üvéy vzés sokkb zt tévs képztt klthti hoy primitív üvéy vlmily yszrűsíttt változt vizsált üvéyk. A szó jtés zob pro primo prím kijzéskb is szrplő lső lőször létző jtésű szór vzthtő vissz; primitív üvéy yszrű yit tsz: z üvéy mi lőször volt és miből driválássl szármzttássl kptuk z áltluk vizsált üvéyt. A primitív üvéy krsését továbbikb htározt itrál kiszámításák rövid itrálásk is ojuk vzi.

14 Alpitrálok Az ú. lmi üvéyk dirciálási szbályik ismrtéb kpjuk z ú. lpitrálokt mlykt z lmi üvéyk driváltjihoz hsoló tábláztb ollhtuk [ tábláztb primitív üvéy mlltt l v tüttv z z itrvllum mly primitív üvéy érvéys]. A htározt itrálokt mid stb y ttszőls válsztott primitív üvéy és y ttszőls c kosts vlós szám összkét djuk m. c rch c I d értlmzési trtomáy c I 0 vy I 0 rct rsh c rcsi c I c I c I c I vy I c I c 0 I si cos c I cos cos si c I t c I k k sh ch c I ch sh c I ch sh th c I - cth c I 0 vy I 0

15 IV. Itrálási módszrk A primitív üvéy krsés sok kérdést vt l. Láthttuk driválás kpcsá hoy viszoyl boyolult üvéykk is lht yszrű driváltj és viszoyl yszrű üvéykk is lht boyolult driváltj. A primitívüvéy-krsés sorá midképp jól kll tuduk drivái jól kll ismrük driválási szbályokt és sok stb zt is l kll képzük hoy mily típusú üvéy driváltj lht z üvéy mlyt épp vizsáluk. A htározt itrál krsésék éháy módszrét szrték bmutti továbbikb. Primitív üvéyk és művltk kpcsolt A driválási szbályok éháy yszrű kövtkzméy molmzhtó mly sítséükr v primitív üvéyk krséséb. Tétl: H itrálhtó z I itrvllumo és c ttszőls vlós szám kkor c itrvllumo és c d c d. is itrálhtó z I Tétl: H és itrálhtó z I itrvllumo kkor d d d. is itrálhtó z I itrvllumo és Tétl: H és itrálhtó z I itrvllumo kkor d d d. is itrálhtó z I itrvllumo és Sjos hsoló áltláos tétl m modhtó ki szorzt- és háydosüvéy illtv összttt üvéy itráljár. A későbbikb zob látjuk mjd hoy spciális stkb tlálhtuk kiutt bből szituációból.

16 Itrálás vizsált üvéy átlkításávl és lpitrálokr visszvztéssl A kidolozott és ykorló ldtok moldásáb yrát szrpi o már korább mlíttt +c zz y primitív üvéyt duk m és +c jlzi hoy hhz ttszőls kostst dv mkpjuk z összs primitív üvéyt. Kidolozott ldtok:. Htározzuk m z lábbi üvéyk htározt itrálját! b c d t Moldás: Vézzük l köbr mlést! d d 7 9 c b Vézzük l éyztr mlést osszuk l tokét! 7 d d d c c Vézzük l köbr mlést és osszuk l tokét! d d 8 c d d Vyük észr hoy éyztyök ltt tljs éyzt v! d d d d c d d c rct Vézzük l éyztr mlést! d 6 9 d 6 c

17 cos t d d d t c cos cos Gykorló ldtok:. Htározzuk m z lábbi üvéyk htározt itrálját! b c d 0 ct Liáris blső üvéyl rdlkző összttt üvéy htározt itrálj Tétl: H itrálhtó és b is itrálhtó és 0 és b ttszőls vlós szám továbbá b d F b c. d F c kkor Mjyzés: A tétl kimodáskor m jlöltük m z itrálhtósá itrvllumát. Trmészts h z I itrvllumo itrálhtó kkor b itrálhtósá oly itrvllumr votkozik hoy b z I itrvllumb ss. I lht zárt és yílt itrvllum is. Kidolozott ldtok:. Htározzuk m z lábbi üvéyk htározt itrálját! 0 b c d si Moldás: 0 d c c b d c c 7

18 c d d c c rct rct 6 d d ct c si Gykorló ldtok:. Htározzuk m z lábbi üvéyk htározt itrálját! b lkú üvéyk itrálás Kidolozott ldtok:. Htározzuk m z lábbi üvéyk htározt itrálját! A moldás sorá lklmzzuk z összttt üvéyr votkozó driválási szbályt! d b c Moldás: Az itrdus lkr hozhtó: d d c b Az itrdus lkr hozhtó: d d c c c Az itrdus d Az itrdus lkr hozhtó: d d c lkr hozhtó: 8

19 d d d rct c A yök lól -t kimlv lkr hozhtó: d d rcsi c. Az itrdus Gykorló ldtok: lkr hozhtó: d. Htározz m z lábbi üvéyk htározt itrálját! d c b si c Trioomtrikus üvéyk itrálás Kidolozott ldtok:. Htározzuk m z lábbi üvéy htározt itrálját! si b si si c si d si cos si Moldás: cos si d d si c 8 b si si d cos cos d cos cos8 d si si c c si d si cos d si si cos d cos cos c d Alkítsuk át z itrdust kisbb htváyú kijzéssé cos -r votkozó ddíciós tétl sítséévl! 6 9

20 si 8 d cos cos d 8 si si si d c cos si d cos cos si 8 c d cos cos si cos cos d d si cos d si d si si si si si cos c. Htározzuk m z lábbi üvéyk htározt itrálját! c cos t b si cos d si ct Moldás: cos cos cos cos d d d d d cos cos cos cos si si si ct si c. Az utolsó itrdus második tj lkú b Az itrdus 6 lkú: si cos d si c 6 c Az itrdus lkr hozhtó: t d si d cos cos c d Az itrdus lkr hozhtó: si Gykorló ldtok: d ct si d ct ct c. Htározzuk m z lábbi üvéyk htározt itrálját! cos b cos c cos d ct si cos ct 0

21 Rcioális törtüvéyk itrálás Kidolozott ldtok: 6. Krssük m z üvéy htározt itrálját [ itrvllumo! [z yszrűsé kdvéért válsztottuk pot zt z itrvllumot; máshol módszr hsoló működik] Moldás: A vző szorzttá lkíthtó:. A vző szorztlkját lhszálv törtt két tört összér tudjuk boti: Thát d d c. Hsoló kphtjuk m oly rcioális törtüvéyk htározt itrálját mlyk vzőj másodokú és két vlós yök v számlálób pdi y kosts áll. [A két vlós yök stéb kttős yököt is blértjük.] 7. Krssük m üvéy htározt itrálját [ itrvllumo! Moldás: Írjuk l törtt két tört összkét: Az lőzőkb már láttuk hoy d c Ebből zt kpjuk hoy és d c. d c 7 c Hsoló kphtjuk m oly rcioális törtüvéyk htározt itrálját mlyk vzőj két vlós yökkl rdlkző másodokú vzőj pdi lső okú poliom. [A két vlós yök stéb kttős yököt is blértjük.]

22 8. Krssük m üvéy htározt itrálját! Moldás: A vzők ics vlós yök bb z stb thát m működik z lőzőkb lklmzott módszr. Alkítsuk át úy törtt hoy számlálób vző driváltj szrplj!. Köy lőrizhtő hoy c d. M kll thát htározi htározt itrálját. Ehhz lkítsuk át törtt! Thát d d. Az itrdus liáris blső üvéyl rdlkző összttt üvéy blső üvéy. Ek rdméyképp zt kpjuk hoy c c d rct rct Thát vérdméy: c d rct. Hsoló lht kiszámíti oly rcioális törtüvéy htározt itrálját mlyk vzőjéb oly másodokú poliom áll mlyk ics vlós yök és számláló lső vy másodokú poliom. 9. Htározzuk m z lábbi üvéyk htározt itrálját! b 8 c d Moldás: Prciális törtkr botássl: d d d

23 c b A vzőt prciális törtkr botjuk úy hoy számlálób vzők driváltj jhss m! c d d d d c Átlkítássl vy poliomosztássl rdukálhtjuk számlálót: c d d d d A számlálót éyztr mlés utá poliomosztássl rdukáljuk mjd mrdék tot prciális törtkr botjuk: c d d d d A 0 8 kijzés prciális törtkr botásák mt: Írjuk l 0 8 B A B A B A B A lkb. Ekkor számlálókk zooskk kll iük zz 8 B A és 0 B A. A kpott yltrdszrt moldv A és 9 B dódik. Gykorló ldtok. Htározzuk m z lábbi üvéyk htározt itrálját! b c d

24 A prciális itrálás módszr Tétl: [Prciális itrálás szbály] H és dirciálhtó z I itrvllumo és itt üvéy létzik kkor primitív üvéy is létzik és. primitív Kidolozott ldtok: 0. Htározzuk m Moldás: si htározt itrálját! Ly cos és. Ekkor si si d cos cos d cos si c. thát ti jlöléskkl. Htározzuk m z lábbi üvéyk htározt itrálját! b c d Moldás: A prciális itrálás módszrévl: d d b A prciális itrálás módszrévl: c d d Ez utóbbit olyttv prciális itrálás módszrévl: d d c Ezt visszírv korábbi kijzésb vérdméy: c c A prciális itrálás módszrévl: d d d d d c d A prciális itrálás módszrévl:

25 d d Ez utóbbit olyttv prciális itrálás módszrévl: d d c Ezt visszírv korábbi kijzésb vérdméy: c. Htározzuk m z lábbi üvéyk htározt itrálját! c cos rc t b d si rc t Moldás: A prciális itrálás módszrévl: cos si cos d si si d si cos c cos b A prciális itrálás módszrévl: si si d cos cos d si Ez utóbbit olyttv prciális itrálás módszrévl: cos si cos cos d si d si c Ezt visszírv korábbi kijzésb vérdméy: cos si c A prciális itrálás módszrévl: rct rc t d rc t d rc t d rc t d A prciális itrálás módszrévl: rct cos c c

26 rc t d rc t Gykorló ldtok: rc t rc t c d rc t d 6. Htározzuk m z lábbi üvéyk htározt itrálját! b c d Itrálás hlyttsítéssl Tétl: [Hlyttsítéssl vló itrálás módszr] H primitív üvéy létzik I- és I - és z d F c. F c dirciálhtó z I itrvllumo kkor primitív üvéy is létzik Mjyzés: A tétlt kétél módo hszálhtjuk l. Eyszr úy hoy vlmly üvéy primitív üvéyét krsv y oly üvéyt krsük mlyr z primitív üvéy köy mdhtó és bb ivrzét írv mkpjuk krstt -hz trtozó primitív üvéyt. Másodszor pdi úy hoy dott vlmly üvéy mlyk ismrt primitív üvéy és z üvéy primitív üvéyét krssük. Kidolozott ldtok:. Htározzuk m primitív üvéyét [0] itrvllumo! Moldás: Ly és si [ 0 itrvllumo változik h itrvllumo]. Ekkor si cos cos. [0 ] cos d cos si si d c si c F c Ahhoz hoy primitív üvéyét mkpjuk z F -b -t zz j stb hlyéb rcsi rcsi -t kll íruk. Ekkor z F c üvéyhz jutuk. 6

27 Mjyzés: A szbály látszól boyolult m túlzott kövthtő. Viszot módszr yszrűsíthtő bizoyos tchiki trükkökkl mlyk véé hlys rdméyt kpjuk. [Ez z ú. izikus módszr mrt izikusok ykorlti számítások sorá zt lklmzzák.] Lássuk thát hoy lht yszrűsíti számolást! d értékét kll kiszámítuk. Vzssük b új változót midkét oldlt dirciálv vl mszorozv d costdt d cost dt si t hlyttsítéssl. Ekkor ylősét kpjuk z ylősé midkét oldlát dt -. Ezt visszírjuk illtv d hlyéb és kkor z lábbi ormát kpjuk: t si t si t rc si d si t costdt cos tdt c c Láthtó thát hoy yrészt z új változó bvztésévl sokkl áttkithtőbbé válik számolás másrészt z lklmzott tchik jobb kövthtővé tszi hoy z ys kijzésk hoy változk számolás sorá illtv k sítséévl állpíthtjuk m hoy yáltlá mit is kll csiái. Nyo otos zob mjyzi hoy z itt pusztá szimbolikus számítási módszr d dt üvéy dt-vl vló mszorzásák illtv dt-vl vló yszrűsítésk kokrét mtmtiki jtés ics. Az yszrűsé és áttkithtősé zob mlltt szól hoy lklmzzuk és hszáljuk középiskolás ldtmoldás sté is. Az lklmzás sorá zob midi hsúlyozi kll szimbolikus jllét cskúy mit például vét szimbólumák bvztéskor.. Htározzuk m z lábbi htározt itrált! Moldás: d Alkítsuk át y y d ydy hlyttsítéssl: d y y dy y y c c 7 7. Krssük m z üvéy htározt itrálját 0 itrvllumo! Moldás: Hlyttsítsük t -t! Ekkor t d dt. t 7

28 d t t t dt t t t dt t t t dt t c c t hlyttsítés rcioális tört- Mjyzés: H rcioális törtüvéyét kll itrái kkor üvéy itrálásár vzt. t Gykorló ldtok: 7. Htározzuk m z lábbi üvéyk htározt itrálját! c b d 0 A ykorló ldtok moldás Az I. jztb kitűzött ykorló ldtok moldás:. A dirciháydosok vizsáltávl dötsük l hoy z lábbi üvéyk dirciálhtók- mdott potb! b 0 h c d h Moldás: lim lim 7 9. Thát dirciálhtó -b és 9. b 0 lim 0 0 lim 0 c 8

29 9 lim lim d lim lim lim lim lim lim lim lim Mivl jobb- és bloldli dirciálháydosok myzk üvéy dirciálhtó z -b és. A II. jztb kitűzött ykorló ldtok moldás. Htározzuk m z lábbi háydosüvéyk driváltüvéyét! Állpítsuk m zt hlmzt is mly üvéyk dirciálhtók! b c h Moldás: Mivl számláló és vző midütt értlmzv v és tljs értlmzési trtomáyá driválhtó továbbá vzőb lvő üvéy midi pozitív zért háydosüvéy midütt driválhtó és driváltj b A háydosüvéy értlmzési trtomáy éyztyök mitt: R R \. A számláló midütt vző R hlmzo driválhtó. A vző z hlmzo pozitív zért háydosüvéy itt midhol driválhtó. c A számláló midütt pozitív és driválhtó vző midütt driválhtó d és zérushlyi vyis itt háydosüvéy ics értlmzv mitt -él és z -él m is driválhtó. Midhol máshol viszot driválhtó és driváltj: h

30 0. A dirciálási szbályok sítséévl állpítsuk m z lábbi üvéyk driváltját! b c h d j Moldás: Hszáljuk szorztüvéy driváltjár votkozó összüést! ] [ ] [ ] [ b Hszáljuk szorztüvéy driváltjár votkozó összüést! 9 ] [ ] [ ] [ c Hszáljuk z összttt üvéy driváltjár votkozó összüést! h d j

31 . A dirciálási szbályok sítséévl állpítsuk m z lábbi üvéyk driváltját! b si cos t cos si Moldás: si cos si cos cos cos si b coscos t cos t coscos t cost cost cos cos cos t cost si t t cos t cost si t t coscos t si t si cos cos. A dirciálási szbályok sítséévl állpítsuk m z lábbi üvéyk driváltját! c lo lo b lo 7 h d k lo 8 Moldás: z utolsó t sté lo átlkítást hszálv vy z összttt üvéy driváltjávl b 7 c h 7 7 d k 8 lo 88. A dirciálási szbályok sítséévl állpítsuk m z lábbi üvéy driváltját! b c h rccos d k Moldás: [ ] [ ] [ ] [ ]

32 b c rccos rccos rccos rccos rccos h d k IV. jztb kitűzött ykorló ldtok moldás. Htározzuk m z lábbi üvéyk htározt itrálját! b c d 0 Moldás: Vézzük l bszorzást! c d d 6 6 b Osszuk l tokét! c d d c c d d d

33 d Osszuk l tokét! d d d 0 0 Alklmzzuk z b b b b lbri zoossáot! d d d c c. Htározzuk m z lábbi üvéyk htározt itrálját! b Moldás: d c c b d c c. Htározzuk m z lábbi üvéyk htározt itrálját! Moldás: b si c Az itrdus lkr hozhtó: d d c b Az itrdus si lkr hozhtó: si d d c si cos c Az itrdus lkú: d c. Htározzuk m z lábbi üvéyk htározt itrálját! cos b cos c cos d ct Moldás: si cos cos cos d d si c ct

34 b cos d cos si d cos cossi d si si c c Alkítsuk át z itrdust kisbb htváyú kijzéssé sítséévl! cos d cos cos cos d 8 d cos si d cos cos cos si si d ct d d d c ct si si c 8 8 -r votkozó ddíciós tétl d si si cos d d d t ct c si cos si cos cos si si c Az itrdus lkú: cos ct d d si si c. Htározzuk m z lábbi üvéyk htározt itrálját! c b d Moldás: Átlkítássl vy poliomosztássl rdukálhtjuk számlálót: d 7 7 d c 7 d 7 9 d b A számlálóból lválsztjuk vzőt éyztr mlés utá mrdék pdi lkú: d d d c c Botsuk prciális törtkr: d d c

35 d Botsuk prciális törtkr: c d d d rct rct 6. Htározzuk m z lábbi üvéyk htározt itrálját! b c d Moldás: A prciális itrálás módszrévl: c d d d b A prciális itrálás módszrévl: c d d c A prciális itrálás módszrévl: c d d 9 d A prciális itrálás módszrévl: d d Ez utóbbit olyttv prciális itrálás módszrévl: c d d 9 Ezt visszírv korábbi kijzésb vérdméy: c

36 7. Htározzuk m z lábbi üvéyk htározt itrálját! c b d 0 Moldás: Alkítsuk át z itrdust y y d y dy hlyttsítéssl: d y ydy y y c c 6 6 b Alkítsuk át y y d y dy hlyttsítéssl: y d y y dy y y c c c Alkítsuk át z itrdust y y d y dy d y 6y y dy c 7 8 hlyttsítéssl: 0 y y 7 y 8 c d 600 y y d 0 0 d y y dy 0 c 0 dy hlyttsítéssl: y 600 y 0 y c 6