Gráfelmélet (2017. február 15.) Bogya Norbert, Kátai-Urbán Kamilla

Átírás

1 rálmélt (2017. ruár 15.) Boy Norrt, Káti-Urán Kmill A ráok z inormtikán ykrn lőoruló mtmtiki struktúrák. Az intrnt is lotó y ráként, kár y ott épült villmos álózt is. Az mrk közötti ismrtsék is kzltők ráként (Fook). A PS is ráként kzli térképkt, és rálmélti loritmusok sználtávl állítj lő z útvonlt. A kémii molkulák is vizsáltók ráként, mint z tomok és köztük lévő kötésk mjlnítés. 1. Alpolmk 1. Diníió (rá). A = (V, E, α) ármst ránk nvzzük, V és E két lmz, α: E {{u, v}: u, v V } y lképzés. A V lmz lmit rá súsink (pontjink), z E lmz lmit rá élink nvzzük. Ttszőls E élr, α = {u, v}, kkor u-t és v-t z él vépontjink ívjuk. H u = v, kkor z élt urokélnk nvzzük. 2. Mjyzés. A nti iníió irányítás nélküli ráokt m, z α lképzés monj m, oy mly súsok és élk állnk kpsoltn. A továikn ráoknál z α lképzést nm jlöljük. Azt, oy vépontj vy kzőpontj v, úy is kijztjük, oy illszkik z v pontr. 3. Diníió. Lyn ott y = (V, E) rá. Az, E élkt töszörös élnk vy páruzmos élnk nvzzük, α = α, zz uynzokr pontokr illszknk. A különöző lklmzások során urokélk és töszörös élk lvszttik jlntőséükt. Pélául városok közötti útvonltrvzésnél ninsnk urokélk, vy Fook ismrtséi ráján sinsnk s urokélk, s páruzmos élk. (Ez zt jlnti, oy nm szoktuk ltünttni, oy Ann ismri sját mát, illtv ismri Áámot, kkor zt sk yélképpn ismri.) Ez inokoltj, oy olyn ráokt vizsáljunk, mlykn ninsnk ilyn különls élk. 4. Diníió (Eyszrű rá). Azokt ráokt, mlykn nins urokél és ninsnk töszörös élk, yszrű ráoknk nvzzük. A különöző lklmzásokn töször lőkrül z, oy rá élin krsztül szrtnénk tnni y sétát. Nyilván z élkn történő sét közn súsokon és élkn lunk át, íy különöző sétákt különözttünk m ttól üőn, oy mikn nm krunk töször is krsztülmnni. 5. Diníió (Sét). Lyn = (V, E) y rá. Ey v 0, 1, v 1,..., v k 1, k, v k soroztot sétánk nvzünk, v 0, v 1,..., v k sorozt V -li pontok y sorozt, és z i E élk vépontji v i 1 és v i minn i {1,..., k} stén. H v 0 = v k, kkor zárt sétáról szélünk. A k számot sét osszánk nvzzük. 6. Diníió (Vonl). H y sét élsoroztán nins ismétlőés, kkor sétát vonlnk, illtv zárt vonlnk nvzzük. 7. Diníió (Út). H y sét pontsoroztán nins ismétlőés, kkor sétát útnk, illtv körnk nvzzük. (Kör stén trmésztsn z lső és z utolsó súsnk m kll yzni, z ismétlőés tillm zkr nm vontkozik.) 8. Mjyzés. H nins y sétán súsismétlés, kkor rntáltn nins élismétlés sm. Tát y út yn vonl is. 9. Diníió (Fokszám). A = (V, E) rá y v V pontjánk okszám, v pontól kiinuló élk szám zzl mállpoássl, oy urokél kttővl növli okszámot. A v sús okszámát (v)-vl jlöljük.

2 10. Pél V = {,,,,,,, i}, E = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 }, 1 α = {, }, 2 α = {, } = 3 α, 4 α = {, }, 5 α = {, }, 6 α = {, }, 7 α = {, }, 8 α = {i, }, 9 α = {, }, 10 α = {, }, 11 α = {, }, 12 α = {i} i 8 7 A, 9,, 4,, 8, i, 12,, 12, i, 8,, 4,, 10,, 3,, 2, y 10 osszú sét. Az, 1,, 10,, 5,, 7, y 4 osszú zárt sét. A, 7,, 1,, 3, y 3-osszú út. Az, 5,, 6,, 9, y 3-osszú kör. A rán: () = 3, () = 4 és () = 3. A okszám iníiójáól kövtkzik z lái tétl. 11. Tétl. Ey = (V, E) rá stén pontok okszámink össz myzik z élk számánk kétszrsévl, zz (v) = 2 E. v V 12. Diníió. A rá y v pontját izolált pontnk nvzzük, v okszám null. 13. Diníió. Ey ráot -rulárisnk nvzünk, minn pontjánk okszám. Ey ráot rulárisnk nvzünk, vlmilyn -r -ruláris. 14. Diníió. Ey n-pontú rá összs pontján véilv n r okszámot kpunk. Ezkt monoton növkvő sorrn rkv kpjuk rá okszámsoroztát. 15. Pél. A 10. Pél rájánk okszámsorozt 2, 2, 3, 3, 3, 3, 4, 4. Trmésztsn y okszámsoroztoz tö (nm izomor) rá is trtozt. Aloritmikusn mtó olyn yszrű rá, mlynk uynz okszámsorozt. Ey ilyn láttó jo olli árán. 16. Tétl. Pontosn kkor tó m y rá, mlynk 1, 2,..., n okszámsorozt, n i=1 i páros. 17. Tétl. H y rá okszámsorozt 1, 2,..., n, kkor pártln i -k szám páros. 18. Diníió. Ey = (V, E) ránk H = (V, E ) rá y részráj, V V és E E. Azz H rá minn sús rá súsi közül krül ki, és H-n két pont össz vn kötv, kkor z két pont -n is össz vn kötv. 2

3 19. Pél Pélául nti 2 rá részráj 1 ránk, viszont 3 nm részráj. 20. Diníió. Ey rá összüő, ármly két pontj között vn út. (A null osszú utt is mnjük, tát ytln izolált pont is összüő.) 21. Tétl. Lyn = (V, E) y ttszőls rá. Ekkor rá V pontlmzánk létzik olyn V 1, V 2,..., V n osztályozás, oy különöző V i -k között nins él, illtv minyik V i pontlmz és rá illszkő élk áltl mtározott részrá összüő. 22. Diníió. Az lőző tétln szrplő V i -kz trtozó ráokt z rti rá összüőséi komponnsink nvzzük. 23. Pél. j i k A nti ránk 4 összüőséi komponns vn, zk különöző színnl vnnk jlölv rán. 2. Spiális vonlk és utk Nyon réi z prolém, oy y ráot l tuunk- rjzolni ruzánk lmlés nélkül. A prolém molás Eulr nvéz űzőik, ki molott könisri ik prolémáját. A városlkók ttték l Eulrnk kérést, oy városn lévő, Prl olyón átívlő ét íon át lt- úy sétálni, oy minyik íon pontosn yszr mnjünk át, és uyno érkzzünk, onnn linultunk. C A D B 3

4 Eulr 1736-n mt válszt, mly szrint nm lt. A város m Klinyinrá névn ismrt, és vilááorún íjit lomázták, íy z rti prolém már lvszttt létjoosultsáát, zonn zt prolémát trtják rálmélt lső kérésénk. 24. Diníió (Eulr-vonl). Ey olyn vonlt, mly rá minn élét pontosn yszr trtlmzz, Eulr-vonlnk nvzzük. H vonl zárt, kkor zárt Eulr-vonlnk ívjuk. 25. Tétl. Lyn y izolált pont nélküli rá. Ekkor -n pontosn kkor vn zárt Eulr-vonl, összüő, és minn pont ok páros, -n pontosn kkor vn Eulr-vonl, összüő, és llj két r pártln okú pontj vn. 26. Pél A 1 okszámsorozt 2, 3, 3, 4, 4, íy n nins zárt Eulr-vonl, Eulr-vonl vn, pélául z,,,,,,,, vonl. A 2 okszámsorozt 2, 2, 2, 4, 4, íy n vn zárt Eulr-vonl, pélául z,,,,,,, vonl. A 3 okszámsorozt 2, 3, 3, 3, 3, íy n zárt és nyitott Eulr-vonl sins. Trmésztsn óik kérés, oy z élk lytt mikor tuunk z összs ponton átmnni. Hmilton tlált ki y táljátékot, mlyn y rá összs pontján klltt véimnni pontosn yszr. Az ő munkássáánk tisztltér nvzték l z ilyn utkt Hmilton-útnk. 27. Diníió (Hmilton-út, Hmilton-kör). H y rán y út minn ponton átmy, kkor zt Hmilton-útnk nvzzük. H y rán y kör minn ponton átmy, kkor Hmiltonkörnk nvzzük. Az Eulr-vonl létzéséz kpsolóó tétl y nyon yszrű krktrizáiós tétl volt. Sőt, yors loritmus tó, mi Eulr vonlt és kört m outputként. Ezzl szmn Hmiltonút és kör stén nins s krktrizáiós tétl, s tékony loritmus. Ismrts néány tétl, mly izonyos ráok stén műköik, zk közül mi sk yt mlítünk m, mi olyn ltétlkt trtlmz, mi lnő, nm szüksés. 28. Tétl (Dir tétl). H y yszrű rá minn pontjánk okszám llá kkor, mint pontok számánk l, kkor vn nn Hmilton-út. H y yszrű rá minn pontjánk okszám llá kkor, mint pontok számánk l, és vn llá 3 pontj, kkor vn nn Hmilton-kör. 3. Fák 29. Diníió. Ey ráot ánk nvzünk, urokmnts, körmnts és összüő. 30. Pél. Az lái rá y. 31. Diníió. Ey ráot minimálisn összüőnk nvzünk, összüő, ármly élét lyv már nm összüő. 4

5 32. Diníió. Ey ráot mximális körmntsnk nvzünk, nins nn kör, ármly új élt ozzávév már lnn nn. 33. Tétl (Fák kvivlns jllmzés). Lyn y urokmnts rá. Ekkor kövtkzők kvivlnsk. A rá. A rá ármly két különöző pontj között pontosn y út vn. A rá minimálisn összüő. A rá mximális körmnts. A rá összüő, és yl kvs él vn, mint sús. A rá körmnts, és yl kvs él vn, mint sús. 34. Mjyzés. Ey ott n stén z n-pontú összüő ráok között y n-pontú lkvs élt trtlmzó rá. 35. Tétl. Vés, ynél tö pontú án llá két lsőokú pont vn. 36. Diníió (Erő). Ey körmnts ráot rőnk nvzünk. 37. Pél. Az lái rá y rő. 38. Mjyzés. Az rő úy is lotó, mint ák súsiszjunkt ysítés. 4. ráprmétrk 39. Diníió (Párosítás). Lyn = (V, E) y rá. Két E-li élt ütlnnk vy innk nvzünk, vépontjik néy különöző súsot nk. Fütln élknk y M lmzát párosításnk nvzzük. Az M párosítást -n tljs párosításnk nvzzük, minn pontj vlmly M-li él vépontj. A rán mximális mértű párosítás lmszámát ν()-vl jlöljük, zz ν() = mx{ M : M párosítás -n}. 40. Diníió (Loó pontlmz). Lyn = (V, E) y rá. A rá pontjink y S lmzát loó pontlmznk nvzzük, minn élénk llá z yik vépontj S-n vn. A rán minimális mértű loó pontlmz lmszámát τ()-vl jlöljük, zz 41. Tétl. Ttszőls rár ν() τ(). τ() = min{ S : S loó pontlmz -n}. 42. Diníió. Ey yszrű ráot k-színztőnk nvzünk, súsi kiszínztők k r színnl úy, oy ármly élénk vépontji különöző színűk. A rá kromtikus számánk nvzzük zt lkis k számot, mllyl rá k-színztő. A kromtikus számát χ()-vl jlöljük. 5

6 43. Pél. A jo olli rán piros élk párosítást, kék súsok pi loó pontlmzt lkotnk. A súsok nv mlltti számok ráok (2) y jó 3-színzését jlölik, lsznált színk: 1, 2, 3. A mott párosítás mitt tujuk, oy (1) (3) 5 ν(). Viszont ν() < 6, mrt 6 ütln élz már 12 súsr lnn szüksé, sk 10 sús vn. Eől kövtkzik, oy ν() = q(2) r(3) 5, tát pirossl mjlölt {, q, r, p, } párosítás mximális. (2) (1) A mott loó pontlmz mitt, τ() 6. Azonn 6 τ() is tljsül, mrt vn p(1) rán két súsiszjunkt kör: p, q, r, p és,,,,,,,. A 3 osszú kör loásáoz llá 2 sús, 7 osszú kör loásáoz llá 4 sús szüksés. Tát τ() = 6. (1) (2) A mott 3-színzés jó, tát χ() 3. Viszont 2 színnl nm tujuk jól színzni, mrt rá trtlmz pártln kört, pélául p, q, r áromszöt. Tát χ() = Páros ráok 44. Diníió (Páros rá). Ey = (V, E) ráot páros ránk nvzünk, pontji olyn A és F iszjunkt lmz osztályoztók, oy minn E-li él yik vépontj A-n, másik pi F -n vn. Az A és F lmzokt páros rá két színosztályánk nvzzük. F A 45. Tétl. A rá pontosn kkor páros rá, nins nn pártln osszú kör. 46. Tétl. H páros rán vn tljs párosítás, kkor két színosztály lmszám myzik. 47. Tétl (Kőni-tétl). H y vés páros rá, kkor ν() = τ(). 48. Diníió. Lyn M y ttszőls párosítás -n. A v 0, 1, v 1,..., k, v k utt M-r vontkozó jvító ltrnáló útnk nvzzük, v 0 és v k nm illszkik ytln M-li élr sm, k pártln, továá 2, 4,..., k 1 M (és íy 1, 3,..., k / M). 49. Tétl. Lyn y rá és nn M y párosítás. H létzik P : 1, 2,..., k jvító ltrnáló út M-r nézv, kkor M nm mximális lmszámú párosítás. Ekkor z M = (M \E(P )) (E(P )\M) párosítás nyo lmszámú M-nél. Azz M n különözik M-től, oy lyjuk M-ől zokt z élkt, mlyk nn vnnk jvító útn, és ozzájuk jvító út zon lmit, mlyk ninsnk M-n. 50. Tétl (Br tétl). Lyn y rá és M y nm optimális párosítás -n. Ekkor létzik M-r vontkozó jvító ltrnáló út. 51. Aloritmus (Myr-mószr: Mximális párosítás krsés jvító ltrnáló utk sítséévl). Input: rá. Kiinuló lépés: lyn M y ttszőls párosítás. Áltlános lépés: krsünk M-r vontkozón jvító utt. H tlálunk, kkor 49. Tétln lírt móon z M párosítást lsréljük, és újr utttjuk z áltlános lépést. H nm tlálunk jvító utt, kkor M mximális lmszámú párosítás. 6

7 52. Pél. Az lái l olli árán piros élk ráon y M = {,, j} párosítást nk. H és élkz zöl élkt ozzávsszük, kkor i-ől - mnő jvító ltrnáló utt kpunk. A 49. Tétln lírt móon jvító útn szrplő M-li élkt lsréljük z út M-n kívüli élir. Mivl z ltrnáló út pártln osszú, és M-n kívüli élll kzőik (és vézőik), íy párosítás lmszámát növltük. A jo olli árán z új párosításn szrplő élkt jlöltük pirossl. i j i j 53. Mjyzés. Az lőző loritmus ttszőls ráokr műköik. Az ytln prolémát z jlnti, oyn krssünk ráokn jvító ltrnáló utt. Kőni Déns és Erváry Jnő mtk y loritmust rr z str, mikor z input rá páros. Az ő tisztltükr nvzték l z loritmust myr mószrnk (Hunrin mto). 54. Diníió. Ey X V súslmz szomszésáát N(X)-szl jlöljük, és olyn súsokt sorolunk z N(X) lmz, mlyk vlmlyik X lmzli súsl össz vnnk kötv. 55. Tétl (Kőni Hll-tétl). Lyn y páros rá A, F pontosztályokkl. Pontosn kkor létzik A-t lő párosítás, ármly X A súslmzr N(X) X. 56. Tétl. Lyn y páros rá A, B pontosztályokkl. Pontosn kkor létzik tljs párosítás -n, A = F és ármly X A-r N(X) X. 57. Tétl. Minn ruláris páros rán létzik tljs párosítás. 6. Síkráok 58. Diníió (Síkrá). Ey ráot síkránk nvzünk, lrjzoltó síkr úy, oy z éli (mik stl ör vonlk) sk súsoknál tlálkoznk, és nm mtszik ymást más pontn. A y ilyn lrjzolását síkli térképnk nvzzük. Ey síkli térkép éli áltl tárolt trültkt trtományoknk (orszáoknk) nvzzük. (A sík lytt ttszőls lülttl ltn olozni, íy értlm vn pélául ömr vy tóruszr vló lrjzolásról szélni.) 59. Tétl (Eulr-tétl). Lyn y olyn síkli térkép, mlynk n sús, él és t trtomány vn. Ekkor n + t = Diníió (Topoloikus részrá). H T ráot úy kpjuk y ráól, oy néány súsát ( ozzá kpsolóó élkkl yütt) lyjuk, néány élét lyjuk, y 2-okú súsát lyjuk, és rjt lévő két élt y kpsoljuk vy z lőzőkt vés sokszor lklmzzuk ymás után, kkor T ráot rá topoloikus részrájánk nvzzük. 61. Jlölés. Jlölj K 5 zt z 5-pontú ráot, ol ármly két különöző pont között pontosn y él vn. Jlölj K 3,3 zt páros áot, ol pontosztályok 3-3 lműk, és pontosztályok között minn pontól minn pont pontosn y él vzt. 62. Tétl (Kurtowszki-tétl). A rá pontosn kkor síkrá, K 5 és K 3,3 nm topoloikus részráj. 63. Tétl (Néyszíntétl). Minn yszrű síkrá stén χ() 4. 7