SIKALAKVÁLTOZÁSI FELADAT MEGOLDÁSA VÉGESELEM-MÓDSZERREL

Átírás

1 SIKALAKVÁLTOZÁSI FELADAT MEGOLDÁSA VÉGESELEM-MÓDSZERREL ADOTT: Az ábrán látható db végslmből álló tartószrkzt gomtriája, mgfogása és trhlés. A négyzt alakú síkalakváltozási végslmk mért 0 X 0 mm. p Anyagjllmzők: E MPa 0, Trhlés: p 00MPa 0 mm 0 mm 0 mm FELADAT: Egy végslm mrvségi mátrixának flírása Globális mrvségi mátrix flírása Kondnzált mrvségi mátrix flírása Csomóponti thrvktor flírása Egys csomópontok lmozdulásainak mghatározása

2 Gomtria és lmozdulásmző közlítés: Izoparamtrikus végslm-módszr stén a gomtriát és az lmozdulásmzőt ugyanolyan függvénykkl közlítjük: Egy lm gomtriájának közlítés: r H x Egy lm lmozdulásának közlítés: u H q ahol H az alakfüggvényk mátrixa, x a csomóponti koordináták vktora, q a csomóponti lmozdulások vktora csomópontú négyszög lm stén zk az alábbi alakúak: H r x x y x h h h h y x h h h h x y y x y H u q u v u h h h h v v h h h h u u v u v

3 . ALAKFÜGGVÉNYEK ÉS DERIVÁLTJAIK. csomópontú négyszöglm alakfüggvényi: A lokális csomópontozás lgyn az alábbi: Így az alakfüggvényk: h h h h. Alakfüggvényk és szrinti driváltjai. alakfüggvényk szrinti driváltjai h h h h alakfüggvényk szrinti driváltjai h h h h. Alakfüggvényk x és y szrinti driváltjai Mivl az alakfüggvényk -nk és -nak a függvényi, zért x és y szrinti driválásukhoz a láncszabályt alkalmazzuk. Ez alapján: h h h h h h y y y i i i x x x, illtv: i i i A fnti összfüggést mátrixos alakban is fl tudjuk írni:

4 h h i i x x x hi hi y y y, ahol J x x az -dik lm Jacobi mátrixának invrz, amiből y y az -dik lm Jacobi mátrixa kifjtv flhasználva a gomtria közlítését: J x y az -dik lm Jacobi mátrixa. x y J x y hi hi h h h h h h h h xi yi x x x x y y y y i i x y hi hi h h h h h h h h x x i yi x x x i i y y y y Bhlyttsítv az alakfüggvényk és szrinti driváltjait, valamint az gys lmk csomópontjainak x és y koordinátáit, az gys lmk Jacobi mátrixai: J J Mivl a lm azonos, Jacobi mátrixuk is mggyzik, illtv mivl téglalap alakúak a Jacobi mátrix lmi nm függnk -től és -tól.

5 Egy diagonálmátrix invrz a diagonállmk rciprokait tartalmazó diagonálmátrix, így a Jacobi mátrixok invrz: J J 0 0, 0, 0 Ezt, illtv az alakfüggvényk és szrinti driváltjait bhlyttsítv a kiinduló mátrixgynltb, az alakfüggvényk x és y szrinti driváltjai: h 0, 0 x h 0 0, y h 0, 0 x h 0 0, y h 0, 0 x h 0 0, y h 0, 0 x h 0 0, y 0 0 0

6 . ALAKVÁLTOZÁS KÖZELÍTÉSE Az alakváltozási jllmzőkt az lmozdulás driválásával kapjuk: u H q B q B ahol a driváló mátrix, H az alakfüggvényk mátrixa. B h h h h x x x x x h 0 h 0 h 0 h 0 h h h h H y 0 h 0 h 0 h 0 h y y y y h h h h h h h h y x y x y x y x y x Bhlyttsítv az alakfüggvényk x és y szrinti driváltjait: B B

7 . FESZÜLTSÉGMEZŐ KÖZELÍTÉSE D D B q ahol D az -dik lm anyagjllmző mátrixa: D 0 0, 0, E D 0 0, 0, , 0, 0, D B D B

8 . AZ ELEMEK MEREVSÉGI MÁTRIXA A fntikt bhlyttsítv a rugalmas prmérték fladat gyng alakjába gy lm mrvségi mátrixára az alábbi összfüggés adódik: T dt K B D B J dd dv dt dd K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K xx xy xx xy xx xy xx xy yx yy yx yy yx yy yx yy xx xy xx xy xx xy xx xy yx yy yx yy yx yy yx yy xx Kxy K xx K xy K xx K xy K xx K xy yx yy yx yy yx yy yx yy xx xy xx xy xx xy xx xy yx yy yx yy yx yy yx yy

9 Az intgrálásokat lmnként lvégzv: Kxx d d d d d d d d d Kxy d d d d d d d d d Flhasználva, hogy: A dd A A dd A A dd 0 A dd 0 A dd 0 Add A Thát lég a négyzts és konstans tagokkal foglalkozni, így pl: K xx d d d d

10 Kiszámolva a maradék 6 intgrált, gy lm mrvségi mátrixa numrikusan az alábbi alakú: GLOBÁLIS MEREVSÉGI MÁTRIX ELŐÁLLÍTÁSA Egy lm lokális csomópontszámai és DOF számai: 8 6 Figyljük mg, hogy az i-dik lokális csomóponthoz tartozó vízszints lmozduláshoz tartozó DOF szám i-, míg a függőlgs lmozduláshoz tartozó DOF szám i 7 5 lokális DOF szám lokális csomópontszám

11 A tljs, végslmből álló szrkzt globális csomópontszámai, DOF számai és lmszámai: 6 5 A globális sorszámozás, valamint az lmk sorszámozása ttszőlgsn történht. Itt gy lhtségs st krül bmutatásra. Figyljük mg, hogy az i-dik globális csomóponthoz tartozó vízszints lmozduláshoz tartozó DOF szám i-, míg a függőlgs lmozduláshoz tartozó DOF szám i. 8 7 végslm sorszáma globális DOF szám globális csomópontszám Kapcsolat a lokális és globális csomópontszámok között (connctivity matrix): lmk sorszáma lokális csomópontszámok Kapcsolat a lokális és globális DOF számok között (DOF matrix): lmk sorszáma lokális DOF számok MATLAB: %Connctivity matrix: nn=[,5,,;5,6,,]; %DOF matrix: DOF=zros(,8); DOF(:,::7)=*nn-; DOF(:,::8)=*nn;

12 Áttérés a lokális szorsámozásról a globális sorszámozásra az gys lmk mrvségi mátrixai stén:. mrvségi mátrix: A DOF mátrixból kiolvasható, hogy az gys lokális DOF számokhoz mly globális DOF számot kll hozzárndlni. Például: Az(,) hlyn lévő 0000 érték globális sorszámozás szrint a (7,7) hlyr krül. Az(,) hlyn lévő érték globális sorszámozás szrint a (7,8) hlyr krül. Ennk mgfllőn mindn lmt rakjunk b globális sorszámozás szrint a mgfllő hlyr.. mrvségi mátrix globális sorszámozás szrint:

13 . mrvségi mátrix: mrvségi mátrix globális sorszámozás szrint:

14 Adjuk össz a globális sorszámozás szrinti mrvségi mátrixot, z lsz a globális mrvségi mátrix:

15 MATLAB: Kglob=zros(,); for =: Kglob(DOF(,:),DOF(,:))= Kglob(DOF(,:),DOF(,:))+K; nd 6. KONDENZÁLT MEREVSÉGI MÁTRIX ELŐÁLLÍTÁSA: A kinmatikai prmfltétlkt úgy vsszük figylmb a globális mrvségi mátrixnál, hogy azon DOF számoknak mgfllő sorokat és oszlopokat, mlyk l vannak kötv kinullázunk, kivév a főátló lmit, ahova -t írunk. Így kapjuk mg a kondnzált mrvségi mátrixot. Jln stbn a bfalazás miatt a q, q, q 7, q8 lmozdulás koordináták 0-ák, így a globális mrvségi mátrix.. 7. és 8. sorát és oszlopát kll kinullázni, kivév a főátló lmit, thát az (,), a (,), a (7,7) és a (8,8) hlykt, ahová -k krülnk. Így a kondnzált mrvségi mátrix:

16 7. CSOMÓPONTI TEHERVEKTOR ELŐÁLLÍTÁSA Síkalakváltozási fladat stén a vastagságot gységnyink vsszük. Így gy élr ható trhlés: N F p A 00 0mm mm 000N mm Mivl a trhlés konstans, a kapott rő gynlő arányban oszlik mg az él csomópontja között. 000N 000N 000N 000N 000N 000N 000N

17 A trhlés a.. és 6. DOF-ra hat, így a csomóponti thrvktor: Figylmb vév a kinmatikai prmfltétlkt, az.. 7. és 8. sor nullázandó, így a csomóponti thrvktor:

18 8. CSOMÓPONTI ELMOZDULÁSVEKTOR KISZÁMÍTÁSA K q f q K f Matlabbal lvégzv a csomóponti lmozdulásvktor: Az lmozdulásmző 0-szorosan flnagyítva: 0 0 0,076-0,087 0, , , , ,069-0,86