IV. Algebra. Algebrai átalakítások. Polinomok

Átírás

1 Alger Algeri átlkítások olinomok 6 ) Öttel oszthtó számok pl: áltlánosn 5 $ l lkú, hol l tetszôleges egész szám Mtemtiki jelöléssel: 5 $ l hol l! Z ) $ k+ vgy$ k- hol k! Z $ m- vgy $ m+ lkú, hol m! Z ) 7$ n + 6 vgy 7$ n - lkú, hol n! Z 65 ) Ezek pártln számok, így pl: ) Az ilyen lkú számok háromml osztv -t nk mrékul Ilyenek pl: Az ilyen lkn megott számok 7-tel osztv ötöt nk mrékul l: 5 - ) Ez megegyezik résszel 66 $ l + 0, vgy $ l - lkú, hol l! Z 67 A feltételek lpján z ollk csökkenô sorrenen: $ k +, $ k, $ k - lkúk A háromszög kerülete három oll összege K = $ k + + $ k + + $ k - = 6k l:,, 5 vgy 9, 0, 68 ) Legyen két szám, ( + ) + ( - ) = Így igz z állítás ) A feltételek szerint három szám közül középsô k lkú, két szomszéos szám k +, illetve k - lkú A három szám számtni k- + k+ k+ 6k közepe: = = k Az állítás igz Legyen két szám, ( + ) - ( - ) = = Az állítás hmis 69 ) A, ) C, B, ) C, e) B, f) A, g) A, h) A ) - x + x + x + 7x ) y + 6y + y + y -6y - 0, y z - z + 6z - 7z + 8z - 5z + z ) szerint: szerint: ) c szerint: c - c - c + c szerint: -88 -c - c + c c x - x + x + x + 00 x

2 98 Algeri átlkítások olinomok 6 ) xy 7xy - xy -xy 9 7 xy xy 8 9xy xy ) 5c 7c - 6c c c - 6 c 5 c 9c - c -c c 6 7 x 5 x xy 5 -y _ -xi 65 ) =- - =- 06, x = 05, - y =- - = ) x y= xy = - x y=- - x y =- 5xy= c =- c =- - = c =- 6 c =- 66 ) - ) x- y y - 5 ) -m- 9+ n e) 5-67 ) 6c+ ) 0x - x - 9 ) x y+ xy 68 ) 8x- y+ 5z ) 5m -mn- n -5c - c ) 0c -7c - ce ) y- z ) - c - c , - c + c ) c - 0, c + 0, 5c 60 ) 5 5 x y ) - x - x y- xy - y - 6 ) 8 -- ) - x + x -x- 6 ) 9-5 ) 0-8c+ 9 8m- 9n ) 0-6 ) 6 ) - ) kl e) - c f) 6x y - 0 n g) - 6 ) + ) c + -9i + 9j - k ) -x -6xy- y e) ) 6x 5 ) 8 5m ) p 6 e) - 8c f) 6 g) t h) - 0 i) 6 j) k) - x ) - 6 ) 6xy - c ) - mn e) - 0, xy f) -, k 5 g) 0, n+ m k k h) - x y +

3 Nevezetes zonosságok ) 8 ) 0 7 8c ) - e 5 7 e) g h 7 f) i g) l h) j l i) k 9m n 9 68 ) G = ) H = G$ H= nr 7 mr 7n mr 5 G 7 m G 7 m ) = e) = H 6 n r H n r 69 ) - 8 ) - 5c + 0c x - x + 0x ) i -8i - 6i e) - 6pq+ pq- 8pq f) - r s - r s + r s + r s 5 k k 650 ) - + n n- n ) k- k k -i - 6i + 5i - ) x n 5x n - 9x n ) - 7+ ) c + 7c- ) - 6p + p q+ pq- 8q e) uv-9uv- uv+ uv f) 6x - 9x y+ 9x y -6xy - 6x + xy 65 ) - 0 ) + c + c + c - ) - e) 9e - 6 Nevezetes zonosságok A következô feltoknál nevezetes zonosságok felismerése cél 65 A következô párosításokt lehet megtenni: - C - B c - D e - C Nincs párj:, A, E kifejezéseknek 65 A lehetséges párosítások: A - B- c C- D- c F- G- e Nincs párj z E,, e kifejezéseknek 655 Zárójelfelontás után láthtó, hogy _ -i - = -- H két tg négyzetének különségére vontkozó zonosságot lklmzzuk, kkor _ -i - = _ -i - = _ --i_ - + i= _ - i_ + i Így tehát z ), illetve kifejezéssel egyenlô 656 ) _ c - i ) _ + i _ l - 0i ) _ 7z- 8ri e) _ j+ 5ii J N f) l- k K O g) ` - j h) ` + 5j i) `p - q j L 657 A-hoz válszthtó:, ) B-hez válszthtó ), e) C-hez válszthtó:, ) D-hez válszthtó: g)

4 00 Nevezetes zonosságok A teljes négyzetté átírt lk: A x! =_ x! i B x! 9=_ x! i J N C x! 6= x! K O D x 8x x - + = _ - i L 658 ) + + ) c - 0c+ 5 ) e) e + e+ 9 f) f + 6f+ 9 g) h) i) x y x y + x y j) x y - x y + x y ) _ - i ) _ -i - _ c + i - ) _ - 5, i + 05, e) _ e -5i -9 f) _ f -5, i -75, 660 ) + + c + + c+ c ) x + y + + xy+ y mx m 8m 6 ) x x + x - e) f) c c- 0c 66 ) _ y+ zi ) _- + + ci _-c- + ei ) _ y-zi e) _ y! i f) `m + m+ j 66 ) `c + c+ j ) `x + j _ - + i 66 ) x + x y+ xy + y ) k - k l+ kl + l ) c + c + c+ e) f) g) p - p q+ pq - q h) x + 50x y+ 0xy + 8y i) 8x y - 6x y + 5x y - 7x y j) - y - y - y - y ) - ) - 9 c - 5 ) 9-5c e) 9f - n 8 f) 6i j - 9k g) 5r - 9r h) - i) 9x y ) _ + i ) _ c- i _ + i ) y_ 5x- 5zi e) c_ + 7i f) y_ xy- zi 666 ) _ - ni ) ` - j y _ y+ xi ) 9x`x - j e) y y ` - j f) _ + i g) y ` y- j n k k n 667 ) x _ - xi ) y ` + y j 7z - z k ` - j ) x - `x + j

5 Nevezetes zonosságok ) y_ + + ci ) ` --j mn_ n + 5-mi ) 5c_ ci 669 ) _ + i_ yi ) _ j- i_ 6+ ji _ x-yi_ x-yi ) _ -i_ 5m-ni e) _ x- yi_ + i f) _ m-i_ 5-mi g) _ 5i_ x-i h) _ u- i_ 7u+ i 670 ) _ + i_ yi ) _ + i_ n-mi _ i+ ji_ i-ki ) _ u- vi_ 5+ i e) _ -i_ -i f) _ 7n+ 5mi_ -i g) _ i+ ki_ i-5ji h) x_ i_ x-i 67 ) _ -i_ -i ) _ -i_ -5i _ c- i_ c+ i ) _ + 0i_ -i e) ` g + g- j = _ g+ i_ g-i f) -` k - 6k+ 8j =-_ k-i_ k- i=-_ -ki_ k-i g) -` l -l- 0j =-_ l- 5i_ l+ i= _ 5- li_ l+ i 67 ) _ yi_ x-yi ) _ m- ni_ m+ ni _ q- i_ q+ i ) _ r+ i_ r-i e) _ i_ x-i f) _ + 5i_ -5i g) _ - ci_ + ci h) _ + i_ -i 67 ) `8+ c j`8-c j ) `l - kj`l + kj `5ur + p j`5ur -p j J NJ N J ) `7- j`7+ j e) p- K p+ OK O f) 5 NJ q 5 N - 6 q + K OK 6 O L L L L 67 ) _ - xyi_ + xyi ) `p + j`p -j _ p+ i_ p-i ) `- cj`+ cj e) `i - jj`i + jj f) _ 9uv+ i_ 9uv-i g) `0m - 8n j`0m + 8n j h) _ - 0, xi_ + 0, xi J 6 NJ 6 N 675 ) 0x, - y K 0, y 7 OK 7 O ) `0, + 05, j`0, -05, j L L J 9 NJ 9 N J k k- k k x - y - K x + y 5 8 OK 5 8 L L 5m NJ 5m N m - K + OK m O L L J 0, t NJ 0, t N e) - + K t r OK t r O L L 676 ) _ + i ) _ x- yi _ n - i ) _ c+ i e) _ - i f) _ + i g) _ c + i h) -_ + i i) -_ + i j) -`c- j 677 ) ` + j ) `c - j ` m - nj ) ` k + lj e) - `i + jj 5

6 0 Nevezetes zonosságok 678 ) _ + i` - + j ) _ - i` + + j _ m+ ni` m + mn+ n j ) _ c- i`c + c+ j e) _ + i` + + j f) _ l+ i`l - l+ 9j g) _ r- 7i`r + 7r+ 9j h) _ q+ i` q - q+ j i) _ - ji`6+ j+ j j 679 ) _ + i`- + j ) _ - i`+ + j _ + i` - + j ) _ - ii`+ 6i+ 9i j e) `5 y j`5x - 0xy + 6y j J NJ 9 N f) k- l k + kl + l K 5 OK 0 5 O L L 680 ) _ + i ) _ m- ni _ p- qi ) _ c + i J 68 ) _ 5m + i ) _ - i _ + 6i N ) - c K O L 68 ) _ - i_ + i ) _ c- i_ c+ i 7_ m+ i_ m-i ) x_ x- i_ i e) c _ c+ i_ c-i f) _ - i_ + i 68 ) 6 _ m- ni_ m+ ni ) 5_ i+ ji_ i-ji 8r _ p+ qi_ p-qi ) u v `u - 9v j 68 ) _ - i ) 5_ c+ i 6_ m + i ) r_ s- i e) u_ - vi f) j k_ j+ ki 685 ) _ + i - = _ + + i_ + -i ) _ c-i - = _ c--i_ c- + i 5 -_ x- yi = _ 5- yi_ 5+ x-yi ) -_ i+ ji = _ -i- ji_ + i+ ji e) _ -5i - 6= _ -5-6i_ i f) _ m-ni - 9= _ m-n-7i_ m- n+ 7i 686 ) _ - i_ + + i ) _ c+ i_ c- + i _ e- fi_ e+ f+ i ) k + l -k l- kl = _ k+ li` k - kl+ l j - kl_ k+ li= _ k+ li_ k-li e) _ i- ji_ i+ ji f) _ yi - z_ xi= _ yi_ y-zi 687 ) _ -i_ -i ) _ + i_ + i _ c-i_ c-i ) _ e-5fi_ e-fi e) _ i- i_ i+ i f) _ g+ i_ g-i g) _ k- 5li_ k+ li h) _ m+ 5ni_ m-ni 688 ) _ i_ i ) _ i_ i _ y-i_ y-i ) _ y+ 6i_ y+ i

7 Nevezetes zonosságok ) _ + i+ _ + i= _ + i` + j ) _ - i` + + j + 6_ - i= _ - i` + 8+ j m `m - j+ ` m - j= _ m- i_ m+ i `m - m+ j ) _ n+ mi` n - nm+ m j - nm_ n+ mi= _ n+ mi_ n-mi e) _ + i+ _ + i= _ + i ` + + j f) e ` e - j + e _ e+ i= _ e+ i9 e _ e- i+ e C = e _ e+ i` e - e + j ) = ` + j - = ` + + j` - + j ) ` + j - = ` - + j` + + j = _ + i_ - i+ + = _ + i_ -i ) = _ + i+ _ - i_ + i= _ + i` + -j = = _ + i_ + i_ -i 69 ) x - + x - = _ x- i` x + j ) x + x + 7x + 7 = x _ i+ 7x_ i+ _ i= = _ i_ i_ i y ` y - j + y _ y+ i= y _ y+ i` y - y + j ) y y + 5y= `y + j`y + 5y-j e) x x + 7x- x- = _ i` x - 9j + 9x_ i -( ) = = _ i` x + 6 8j = _ i_ i_ i f) ` x -9j -0y_ x- 7i= _ x-7i_ x- 0y+ 7i 69 Legyen n egész szám _ n+ i -_ n+ i = 8n+ 8= 8_ n+ i Mivel n + egész szám, így z állítás izonyított 69 Legyen k egész szám _ k+ i - k = k+, mi minen k egész esetén pártln 69 Felhsználv z elôzô felt megolását: K = = = ) Legyen n =, ekkor tört: n$ _ n- i+ _ n- i_ n+ i _ n- i_ n+ i = = n$ _ n+ i - n+ _ n- i_ n+ i ) Jelöljük t n-nel Ekkor: n$ _ n+ i- _ n+ i_ n- i $ _ n + i = = n$ _ n+ i- _ n+ i_ n-i n +

8 0 Algeri törtek 696 H egész szám, kkor közös nevezôre hozv: 80 _ + 5i -_ -5i : = + 5, mely minen -r pártln egész _ -5i _ - 5i_ + 5i szám 697 A kiseik egész számot t-vel jelölve: t + _ t+ i + 8t_ t+ ib = t + t + t + t+ = `t + t+ j, mely egy egész szám négyzete Algeri törtek 698 Az ), ), j) eseten minen vlós szám esetén értelmezhetô z ott kifejezés )!! e)!- f) e! 0 g) f!- h) n! i) h! 0 h! 699 Az ),, e) kifejezések esetéen (-)-szeresére változik tört értéke, töi eseten változtln mr 700 ) Nem változik ) Nem változik Kétszeresére változik ) Négyszeresére változik e) Nem változik 70 ) - ) , vgy - ) c - - c 5-5, vgy - - n+ m e) Az elôzô felt következménye 70 ) 5,! 0 ) x,! 0, 6 5! 0, x! 0 ) 6 6q s t, pq! 0 e), 5p 6r r s q! 0 70 ) -,! ) -,! n -,! c ) -, m i! j

9 Algeri törtek 05 - e), c! 0! - c f), c! 0 c! - + c+ f k g), e! 0 f! h), i k! 0 i! k - f i- k r+ n + i), s! 0 s! - t j), n! 0! - s+ t + c- 705 ),! ) -,!, c! - + c+ + ) -e-, e! e), m! n f),! m- n - + g),! ) +,! ),! 5 c- - 9, c! ),! e) A számláló nem lkíthtó szorzttá, így nem egyszerûsíthetô tört 7 f), f! 0 g) -, g! 5 - f k h) -, l! 0 l! k i) n_ -mi, m! - l c 5_ e+ fi j), c! k), e! c- _ e- fi f 707 ) `x - y j ) x - xy+ y _ x- yi` x + y j x- y ) _ yi` x + y j e) x + xy+ y x - f) x ) - ) c - 0 c e - e + ) g+ h _ g- hi` g + h j e) n - _ n- mi f) n + `n - nm+ m j

10 06 Algeri törtek _ - i _ c- i ) ) _ + i 5_ c+ i + ) c + _ m+ i i - e) f) m _ m - i i g) 70 ) ) _ u - i _ t + i h) u + t - t + 5_ x- yi+ _ x- yi x- y = _ + 5i p_ p-qi-x_ p- qi p- q = p- x p - x _ i _ c+ i`c - c+ j c - c+ = _ c- i_ c+ i- _ c+ i c-- 7 ) _ + i` - + j = + ) x_ y-i-_ y- i x - = x_ y- i x _ x- i x- = _ x- i_ i x + 7 ) _ + i_ + i + = ) + + _ i _ c-i_ c- i c - = ) c - c - _ i Algeri törtek összeás, kivonás 7 ) 7 ) m ) 6-7c -7 0 ) 5n+ 59m ) 0 xy + y 6 _ + i_ + 5i + 5 = _ + i_ + i + _ + 7i_ + i + 7 = + + _ i u- v + 65

11 Algeri törtek összeás, kivonás c ) ) 5 n- m ) 9r- 5s 8 76 ) c + 0x -, x! 0 ), x 6x x! 0 5p n -, m n p! 0 ), mnp! 0 e) 6-7 -,! 0 f),! 0 g) 7gf - 5e f + eg, 6e f g e f g! 0 h) ,! m - m+ i),! 0 j), m n! 0 mn ),! 0 ),! 0 _ - i _ + i 7i 9 -, i! ), _ i - i _ + i!- e) 7e- f -k k, e! f f) =, _ e- fi_ e+ fi _ j- k i_ j+ k i k - j j! k g), _ - i_ + i -! 78 ) c+ 8 c+ 8 m + n =, c! ), _ c- i_ c+ i c - m - n m! n + 9,! ), x! ) 0,!- _ x - i m + mn-n, 5`m - n j m! n 70 ) 6x -, x! ), x - +!

12 08 Algeri törtek m+ n c-, m! n ), _ n- mi _ c+ i c! e) e - 8e+ `i + ij+ j j, e! 0! f), e`e - 9j ` j - i j j! i g) x +, x`x - j x! 0! h) 0, u v! 0, u! v 7 ) 6-6-,! 0,! _ - i_ + i ) - p + p+ 7,!, _ - i _ + i _ p- i_ p+ i p! ) m + g +, m!- e), _ m + i 5_ g - i g! 7 ) ,!- ),! 6_ + i - 9-6m + 5 6m - 5 =, m! _ m- i_ m+ i - 9m ) - p + 5p-5 8x -8, p! e) =-, x! _ p+ i_ p-i _ - xi_ + xi 7 ) - +,! ), =- - _ -i! ` + j _ - i =,! ), _ + i _ -i ` j! 7 ) Hsználjuk fel z - =-_ -i összefüggést Közös nevezôre hozás után kpjuk: c-c - c+ c + - c_ -i_ -ci_ -ci, hol c! 0,! c,! c A számláló szorzttá lkíthtó következôképpen: _ -ci_ -i_ -ci A tört értéke egyszerûsítés után: c ) 0 Az ) részhez hsonlón kpjuk, hogy tört értéke - ) Két tg négyzetének különségére vontkozó zonosság töszöri lklmzásávl kpjuk, hogy tört értéke:

13 Algeri törtek szorzás, osztás 09 Algeri törtek szorzás, osztás 75 ) c, c! 0 ) 5c,! 0 9, c! 0 ), x y z! 0 50c 5y p m e) 6, c! 0 f), c x y! 0 x 76 ) _ - i,! 0 ), e g! 0 _ p- qi q, n p q! 0, p! - ) x-y, x, y! 0, x! - y npq e), c = 5 77 ),! ) ` + + j, = 9 _ yi` x - xy+ y j, x! y ),! 5_ x- y 6 i _ - i e),! -- _ - i_ + i ),!! ), m! m!0 - m + - -k k,! ) =, j! k _ + i j - k k - j q+ p e), p q! 0 p! q f) x +, x!! q- p g), x!, x! 0 x + 79 ),! 0,! ),!! - =,! _ - i _ - i - - c 70 A feltétel mitt: =, eôl c J N - = -, = + c K c L O, J N = K + L c O, h! 0, c! 0,! 0,! c

14 0 Algeri törtek c 7 A feltétel mitt, h! 0,! 0 kkor + =, tehát J c N J c N J N J c N + $ K - = - O K O K O K O L L L L 7 Legyen és m n-jegyû pozitív egész, melyeken n jegyû szám ismétlôik m-szer Ekkor: m- n m- n n n $$$ 0^ h + 0^ h + $$$ l = =, tehát törtek értéke: $$$ m- n m- n n n 0^ h + 0^ h + $$$ l 85 =-- c, 7 Az + + c= 0 feltételôl: =--c, c=-- Ezeket feltételeket írjuk e z állítás l olli nevezôie: c -_--ci c + -_--ci + -_--i Végezzük el nevezôen zárójelfelontást, és z összevonást A következôt kpjuk: = 0 Közös nevezôre hozás, mj feltétel felhsználás után kpjuk, hogy kifejezés 0 c c 7 A tört számlálój: c ` + j - `c + j, nevezôje peig: ` + c j+ + `c+ j, így tört értéke egyszerûsítés után: `+ c j- ` c+ j= _ -ci - -` - c j = _ -ci_ --ci 75 A háromszög olli: x y z Reciprok értékek szorzt: x = $ = J + N Összegük fele: y = K O J - N Különségük fele: z = K O K O K O A három L L szám közül legngyo y és teljesül y<z, h!, tehát már csk zt kell J J + NN J J - NN igzolnunk, hogy: y =x +z, zz: K K O = K K O + H - K K O K K O L L L L tel minen tgot szorzunk, kkor z így keletkezett állítás már nyilvánvló 76 Áltlánosn: _ x + y - zci + _ x + yc - zi + _ xc+ y - zi = = `x + y + z j` + + c j+ _ + c + ci_ xy-yz-zxi 5 Így tört értéke z,, c ármely értéke esetén 6