IV. Algebra. Algebrai átalakítások. Polinomok

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "IV. Algebra. Algebrai átalakítások. Polinomok"

Átírás

1 Alger Algeri átlkítások olinomok 6 ) Öttel oszthtó számok pl: áltlánosn 5 $ l lkú, hol l tetszôleges egész szám Mtemtiki jelöléssel: 5 $ l hol l! Z ) $ k+ vgy$ k- hol k! Z $ m- vgy $ m+ lkú, hol m! Z ) 7$ n + 6 vgy 7$ n - lkú, hol n! Z 65 ) Ezek pártln számok, így pl: ) Az ilyen lkú számok háromml osztv -t nk mrékul Ilyenek pl: Az ilyen lkn megott számok 7-tel osztv ötöt nk mrékul l: 5 - ) Ez megegyezik résszel 66 $ l + 0, vgy $ l - lkú, hol l! Z 67 A feltételek lpján z ollk csökkenô sorrenen: $ k +, $ k, $ k - lkúk A háromszög kerülete három oll összege K = $ k + + $ k + + $ k - = 6k l:,, 5 vgy 9, 0, 68 ) Legyen két szám, ( + ) + ( - ) = Így igz z állítás ) A feltételek szerint három szám közül középsô k lkú, két szomszéos szám k +, illetve k - lkú A három szám számtni k- + k+ k+ 6k közepe: = = k Az állítás igz Legyen két szám, ( + ) - ( - ) = = Az állítás hmis 69 ) A, ) C, B, ) C, e) B, f) A, g) A, h) A ) - x + x + x + 7x ) y + 6y + y + y -6y - 0, y z - z + 6z - 7z + 8z - 5z + z ) szerint: szerint: ) c szerint: c - c - c + c szerint: -88 -c - c + c c x - x + x + x + 00 x

2 98 Algeri átlkítások olinomok 6 ) xy 7xy - xy -xy 9 7 xy xy 8 9xy xy ) 5c 7c - 6c c c - 6 c 5 c 9c - c -c c 6 7 x 5 x xy 5 -y _ -xi 65 ) =- - =- 06, x = 05, - y =- - = ) x y= xy = - x y=- - x y =- 5xy= c =- c =- - = c =- 6 c =- 66 ) - ) x- y y - 5 ) -m- 9+ n e) 5-67 ) 6c+ ) 0x - x - 9 ) x y+ xy 68 ) 8x- y+ 5z ) 5m -mn- n -5c - c ) 0c -7c - ce ) y- z ) - c - c , - c + c ) c - 0, c + 0, 5c 60 ) 5 5 x y ) - x - x y- xy - y - 6 ) 8 -- ) - x + x -x- 6 ) 9-5 ) 0-8c+ 9 8m- 9n ) 0-6 ) 6 ) - ) kl e) - c f) 6x y - 0 n g) - 6 ) + ) c + -9i + 9j - k ) -x -6xy- y e) ) 6x 5 ) 8 5m ) p 6 e) - 8c f) 6 g) t h) - 0 i) 6 j) k) - x ) - 6 ) 6xy - c ) - mn e) - 0, xy f) -, k 5 g) 0, n+ m k k h) - x y +

3 Nevezetes zonosságok ) 8 ) 0 7 8c ) - e 5 7 e) g h 7 f) i g) l h) j l i) k 9m n 9 68 ) G = ) H = G$ H= nr 7 mr 7n mr 5 G 7 m G 7 m ) = e) = H 6 n r H n r 69 ) - 8 ) - 5c + 0c x - x + 0x ) i -8i - 6i e) - 6pq+ pq- 8pq f) - r s - r s + r s + r s 5 k k 650 ) - + n n- n ) k- k k -i - 6i + 5i - ) x n 5x n - 9x n ) - 7+ ) c + 7c- ) - 6p + p q+ pq- 8q e) uv-9uv- uv+ uv f) 6x - 9x y+ 9x y -6xy - 6x + xy 65 ) - 0 ) + c + c + c - ) - e) 9e - 6 Nevezetes zonosságok A következô feltoknál nevezetes zonosságok felismerése cél 65 A következô párosításokt lehet megtenni: - C - B c - D e - C Nincs párj:, A, E kifejezéseknek 65 A lehetséges párosítások: A - B- c C- D- c F- G- e Nincs párj z E,, e kifejezéseknek 655 Zárójelfelontás után láthtó, hogy _ -i - = -- H két tg négyzetének különségére vontkozó zonosságot lklmzzuk, kkor _ -i - = _ -i - = _ --i_ - + i= _ - i_ + i Így tehát z ), illetve kifejezéssel egyenlô 656 ) _ c - i ) _ + i _ l - 0i ) _ 7z- 8ri e) _ j+ 5ii J N f) l- k K O g) ` - j h) ` + 5j i) `p - q j L 657 A-hoz válszthtó:, ) B-hez válszthtó ), e) C-hez válszthtó:, ) D-hez válszthtó: g)

4 00 Nevezetes zonosságok A teljes négyzetté átírt lk: A x! =_ x! i B x! 9=_ x! i J N C x! 6= x! K O D x 8x x - + = _ - i L 658 ) + + ) c - 0c+ 5 ) e) e + e+ 9 f) f + 6f+ 9 g) h) i) x y x y + x y j) x y - x y + x y ) _ - i ) _ -i - _ c + i - ) _ - 5, i + 05, e) _ e -5i -9 f) _ f -5, i -75, 660 ) + + c + + c+ c ) x + y + + xy+ y mx m 8m 6 ) x x + x - e) f) c c- 0c 66 ) _ y+ zi ) _- + + ci _-c- + ei ) _ y-zi e) _ y! i f) `m + m+ j 66 ) `c + c+ j ) `x + j _ - + i 66 ) x + x y+ xy + y ) k - k l+ kl + l ) c + c + c+ e) f) g) p - p q+ pq - q h) x + 50x y+ 0xy + 8y i) 8x y - 6x y + 5x y - 7x y j) - y - y - y - y ) - ) - 9 c - 5 ) 9-5c e) 9f - n 8 f) 6i j - 9k g) 5r - 9r h) - i) 9x y ) _ + i ) _ c- i _ + i ) y_ 5x- 5zi e) c_ + 7i f) y_ xy- zi 666 ) _ - ni ) ` - j y _ y+ xi ) 9x`x - j e) y y ` - j f) _ + i g) y ` y- j n k k n 667 ) x _ - xi ) y ` + y j 7z - z k ` - j ) x - `x + j

5 Nevezetes zonosságok ) y_ + + ci ) ` --j mn_ n + 5-mi ) 5c_ ci 669 ) _ + i_ yi ) _ j- i_ 6+ ji _ x-yi_ x-yi ) _ -i_ 5m-ni e) _ x- yi_ + i f) _ m-i_ 5-mi g) _ 5i_ x-i h) _ u- i_ 7u+ i 670 ) _ + i_ yi ) _ + i_ n-mi _ i+ ji_ i-ki ) _ u- vi_ 5+ i e) _ -i_ -i f) _ 7n+ 5mi_ -i g) _ i+ ki_ i-5ji h) x_ i_ x-i 67 ) _ -i_ -i ) _ -i_ -5i _ c- i_ c+ i ) _ + 0i_ -i e) ` g + g- j = _ g+ i_ g-i f) -` k - 6k+ 8j =-_ k-i_ k- i=-_ -ki_ k-i g) -` l -l- 0j =-_ l- 5i_ l+ i= _ 5- li_ l+ i 67 ) _ yi_ x-yi ) _ m- ni_ m+ ni _ q- i_ q+ i ) _ r+ i_ r-i e) _ i_ x-i f) _ + 5i_ -5i g) _ - ci_ + ci h) _ + i_ -i 67 ) `8+ c j`8-c j ) `l - kj`l + kj `5ur + p j`5ur -p j J NJ N J ) `7- j`7+ j e) p- K p+ OK O f) 5 NJ q 5 N - 6 q + K OK 6 O L L L L 67 ) _ - xyi_ + xyi ) `p + j`p -j _ p+ i_ p-i ) `- cj`+ cj e) `i - jj`i + jj f) _ 9uv+ i_ 9uv-i g) `0m - 8n j`0m + 8n j h) _ - 0, xi_ + 0, xi J 6 NJ 6 N 675 ) 0x, - y K 0, y 7 OK 7 O ) `0, + 05, j`0, -05, j L L J 9 NJ 9 N J k k- k k x - y - K x + y 5 8 OK 5 8 L L 5m NJ 5m N m - K + OK m O L L J 0, t NJ 0, t N e) - + K t r OK t r O L L 676 ) _ + i ) _ x- yi _ n - i ) _ c+ i e) _ - i f) _ + i g) _ c + i h) -_ + i i) -_ + i j) -`c- j 677 ) ` + j ) `c - j ` m - nj ) ` k + lj e) - `i + jj 5

6 0 Nevezetes zonosságok 678 ) _ + i` - + j ) _ - i` + + j _ m+ ni` m + mn+ n j ) _ c- i`c + c+ j e) _ + i` + + j f) _ l+ i`l - l+ 9j g) _ r- 7i`r + 7r+ 9j h) _ q+ i` q - q+ j i) _ - ji`6+ j+ j j 679 ) _ + i`- + j ) _ - i`+ + j _ + i` - + j ) _ - ii`+ 6i+ 9i j e) `5 y j`5x - 0xy + 6y j J NJ 9 N f) k- l k + kl + l K 5 OK 0 5 O L L 680 ) _ + i ) _ m- ni _ p- qi ) _ c + i J 68 ) _ 5m + i ) _ - i _ + 6i N ) - c K O L 68 ) _ - i_ + i ) _ c- i_ c+ i 7_ m+ i_ m-i ) x_ x- i_ i e) c _ c+ i_ c-i f) _ - i_ + i 68 ) 6 _ m- ni_ m+ ni ) 5_ i+ ji_ i-ji 8r _ p+ qi_ p-qi ) u v `u - 9v j 68 ) _ - i ) 5_ c+ i 6_ m + i ) r_ s- i e) u_ - vi f) j k_ j+ ki 685 ) _ + i - = _ + + i_ + -i ) _ c-i - = _ c--i_ c- + i 5 -_ x- yi = _ 5- yi_ 5+ x-yi ) -_ i+ ji = _ -i- ji_ + i+ ji e) _ -5i - 6= _ -5-6i_ i f) _ m-ni - 9= _ m-n-7i_ m- n+ 7i 686 ) _ - i_ + + i ) _ c+ i_ c- + i _ e- fi_ e+ f+ i ) k + l -k l- kl = _ k+ li` k - kl+ l j - kl_ k+ li= _ k+ li_ k-li e) _ i- ji_ i+ ji f) _ yi - z_ xi= _ yi_ y-zi 687 ) _ -i_ -i ) _ + i_ + i _ c-i_ c-i ) _ e-5fi_ e-fi e) _ i- i_ i+ i f) _ g+ i_ g-i g) _ k- 5li_ k+ li h) _ m+ 5ni_ m-ni 688 ) _ i_ i ) _ i_ i _ y-i_ y-i ) _ y+ 6i_ y+ i

7 Nevezetes zonosságok ) _ + i+ _ + i= _ + i` + j ) _ - i` + + j + 6_ - i= _ - i` + 8+ j m `m - j+ ` m - j= _ m- i_ m+ i `m - m+ j ) _ n+ mi` n - nm+ m j - nm_ n+ mi= _ n+ mi_ n-mi e) _ + i+ _ + i= _ + i ` + + j f) e ` e - j + e _ e+ i= _ e+ i9 e _ e- i+ e C = e _ e+ i` e - e + j ) = ` + j - = ` + + j` - + j ) ` + j - = ` - + j` + + j = _ + i_ - i+ + = _ + i_ -i ) = _ + i+ _ - i_ + i= _ + i` + -j = = _ + i_ + i_ -i 69 ) x - + x - = _ x- i` x + j ) x + x + 7x + 7 = x _ i+ 7x_ i+ _ i= = _ i_ i_ i y ` y - j + y _ y+ i= y _ y+ i` y - y + j ) y y + 5y= `y + j`y + 5y-j e) x x + 7x- x- = _ i` x - 9j + 9x_ i -( ) = = _ i` x + 6 8j = _ i_ i_ i f) ` x -9j -0y_ x- 7i= _ x-7i_ x- 0y+ 7i 69 Legyen n egész szám _ n+ i -_ n+ i = 8n+ 8= 8_ n+ i Mivel n + egész szám, így z állítás izonyított 69 Legyen k egész szám _ k+ i - k = k+, mi minen k egész esetén pártln 69 Felhsználv z elôzô felt megolását: K = = = ) Legyen n =, ekkor tört: n$ _ n- i+ _ n- i_ n+ i _ n- i_ n+ i = = n$ _ n+ i - n+ _ n- i_ n+ i ) Jelöljük t n-nel Ekkor: n$ _ n+ i- _ n+ i_ n- i $ _ n + i = = n$ _ n+ i- _ n+ i_ n-i n +

8 0 Algeri törtek 696 H egész szám, kkor közös nevezôre hozv: 80 _ + 5i -_ -5i : = + 5, mely minen -r pártln egész _ -5i _ - 5i_ + 5i szám 697 A kiseik egész számot t-vel jelölve: t + _ t+ i + 8t_ t+ ib = t + t + t + t+ = `t + t+ j, mely egy egész szám négyzete Algeri törtek 698 Az ), ), j) eseten minen vlós szám esetén értelmezhetô z ott kifejezés )!! e)!- f) e! 0 g) f!- h) n! i) h! 0 h! 699 Az ),, e) kifejezések esetéen (-)-szeresére változik tört értéke, töi eseten változtln mr 700 ) Nem változik ) Nem változik Kétszeresére változik ) Négyszeresére változik e) Nem változik 70 ) - ) , vgy - ) c - - c 5-5, vgy - - n+ m e) Az elôzô felt következménye 70 ) 5,! 0 ) x,! 0, 6 5! 0, x! 0 ) 6 6q s t, pq! 0 e), 5p 6r r s q! 0 70 ) -,! ) -,! n -,! c ) -, m i! j

9 Algeri törtek 05 - e), c! 0! - c f), c! 0 c! - + c+ f k g), e! 0 f! h), i k! 0 i! k - f i- k r+ n + i), s! 0 s! - t j), n! 0! - s+ t + c- 705 ),! ) -,!, c! - + c+ + ) -e-, e! e), m! n f),! m- n - + g),! ) +,! ),! 5 c- - 9, c! ),! e) A számláló nem lkíthtó szorzttá, így nem egyszerûsíthetô tört 7 f), f! 0 g) -, g! 5 - f k h) -, l! 0 l! k i) n_ -mi, m! - l c 5_ e+ fi j), c! k), e! c- _ e- fi f 707 ) `x - y j ) x - xy+ y _ x- yi` x + y j x- y ) _ yi` x + y j e) x + xy+ y x - f) x ) - ) c - 0 c e - e + ) g+ h _ g- hi` g + h j e) n - _ n- mi f) n + `n - nm+ m j

10 06 Algeri törtek _ - i _ c- i ) ) _ + i 5_ c+ i + ) c + _ m+ i i - e) f) m _ m - i i g) 70 ) ) _ u - i _ t + i h) u + t - t + 5_ x- yi+ _ x- yi x- y = _ + 5i p_ p-qi-x_ p- qi p- q = p- x p - x _ i _ c+ i`c - c+ j c - c+ = _ c- i_ c+ i- _ c+ i c-- 7 ) _ + i` - + j = + ) x_ y-i-_ y- i x - = x_ y- i x _ x- i x- = _ x- i_ i x + 7 ) _ + i_ + i + = ) + + _ i _ c-i_ c- i c - = ) c - c - _ i Algeri törtek összeás, kivonás 7 ) 7 ) m ) 6-7c -7 0 ) 5n+ 59m ) 0 xy + y 6 _ + i_ + 5i + 5 = _ + i_ + i + _ + 7i_ + i + 7 = + + _ i u- v + 65

11 Algeri törtek összeás, kivonás c ) ) 5 n- m ) 9r- 5s 8 76 ) c + 0x -, x! 0 ), x 6x x! 0 5p n -, m n p! 0 ), mnp! 0 e) 6-7 -,! 0 f),! 0 g) 7gf - 5e f + eg, 6e f g e f g! 0 h) ,! m - m+ i),! 0 j), m n! 0 mn ),! 0 ),! 0 _ - i _ + i 7i 9 -, i! ), _ i - i _ + i!- e) 7e- f -k k, e! f f) =, _ e- fi_ e+ fi _ j- k i_ j+ k i k - j j! k g), _ - i_ + i -! 78 ) c+ 8 c+ 8 m + n =, c! ), _ c- i_ c+ i c - m - n m! n + 9,! ), x! ) 0,!- _ x - i m + mn-n, 5`m - n j m! n 70 ) 6x -, x! ), x - +!

12 08 Algeri törtek m+ n c-, m! n ), _ n- mi _ c+ i c! e) e - 8e+ `i + ij+ j j, e! 0! f), e`e - 9j ` j - i j j! i g) x +, x`x - j x! 0! h) 0, u v! 0, u! v 7 ) 6-6-,! 0,! _ - i_ + i ) - p + p+ 7,!, _ - i _ + i _ p- i_ p+ i p! ) m + g +, m!- e), _ m + i 5_ g - i g! 7 ) ,!- ),! 6_ + i - 9-6m + 5 6m - 5 =, m! _ m- i_ m+ i - 9m ) - p + 5p-5 8x -8, p! e) =-, x! _ p+ i_ p-i _ - xi_ + xi 7 ) - +,! ), =- - _ -i! ` + j _ - i =,! ), _ + i _ -i ` j! 7 ) Hsználjuk fel z - =-_ -i összefüggést Közös nevezôre hozás után kpjuk: c-c - c+ c + - c_ -i_ -ci_ -ci, hol c! 0,! c,! c A számláló szorzttá lkíthtó következôképpen: _ -ci_ -i_ -ci A tört értéke egyszerûsítés után: c ) 0 Az ) részhez hsonlón kpjuk, hogy tört értéke - ) Két tg négyzetének különségére vontkozó zonosság töszöri lklmzásávl kpjuk, hogy tört értéke:

13 Algeri törtek szorzás, osztás 09 Algeri törtek szorzás, osztás 75 ) c, c! 0 ) 5c,! 0 9, c! 0 ), x y z! 0 50c 5y p m e) 6, c! 0 f), c x y! 0 x 76 ) _ - i,! 0 ), e g! 0 _ p- qi q, n p q! 0, p! - ) x-y, x, y! 0, x! - y npq e), c = 5 77 ),! ) ` + + j, = 9 _ yi` x - xy+ y j, x! y ),! 5_ x- y 6 i _ - i e),! -- _ - i_ + i ),!! ), m! m!0 - m + - -k k,! ) =, j! k _ + i j - k k - j q+ p e), p q! 0 p! q f) x +, x!! q- p g), x!, x! 0 x + 79 ),! 0,! ),!! - =,! _ - i _ - i - - c 70 A feltétel mitt: =, eôl c J N - = -, = + c K c L O, J N = K + L c O, h! 0, c! 0,! 0,! c

14 0 Algeri törtek c 7 A feltétel mitt, h! 0,! 0 kkor + =, tehát J c N J c N J N J c N + $ K - = - O K O K O K O L L L L 7 Legyen és m n-jegyû pozitív egész, melyeken n jegyû szám ismétlôik m-szer Ekkor: m- n m- n n n $$$ 0^ h + 0^ h + $$$ l = =, tehát törtek értéke: $$$ m- n m- n n n 0^ h + 0^ h + $$$ l 85 =-- c, 7 Az + + c= 0 feltételôl: =--c, c=-- Ezeket feltételeket írjuk e z állítás l olli nevezôie: c -_--ci c + -_--ci + -_--i Végezzük el nevezôen zárójelfelontást, és z összevonást A következôt kpjuk: = 0 Közös nevezôre hozás, mj feltétel felhsználás után kpjuk, hogy kifejezés 0 c c 7 A tört számlálój: c ` + j - `c + j, nevezôje peig: ` + c j+ + `c+ j, így tört értéke egyszerûsítés után: `+ c j- ` c+ j= _ -ci - -` - c j = _ -ci_ --ci 75 A háromszög olli: x y z Reciprok értékek szorzt: x = $ = J + N Összegük fele: y = K O J - N Különségük fele: z = K O K O K O A három L L szám közül legngyo y és teljesül y<z, h!, tehát már csk zt kell J J + NN J J - NN igzolnunk, hogy: y =x +z, zz: K K O = K K O + H - K K O K K O L L L L tel minen tgot szorzunk, kkor z így keletkezett állítás már nyilvánvló 76 Áltlánosn: _ x + y - zci + _ x + yc - zi + _ xc+ y - zi = = `x + y + z j` + + c j+ _ + c + ci_ xy-yz-zxi 5 Így tört értéke z,, c ármely értéke esetén 6

5. A logaritmus fogalma, a logaritmus azonosságai

5. A logaritmus fogalma, a logaritmus azonosságai A ritmus foglm ritmus zonossági I Elméleti összefoglló H > 0 > 0 > 0 vlós számok és n tetszőleges vlós szám kkor 0 n n H > 0 > 0 > 0 vlós számok kkor H > kkor z f( ) kkor z f( ) függvén szigorún monoton

Részletesebben

XX. Nemzetközi Magyar Matematika Verseny

XX. Nemzetközi Magyar Matematika Verseny XX. Nemzetközi Mgyr Mtemtik Verseny onyhá, 011. március 11 15. 11. osztály 1. felt: Igzoljuk, hogy ármely n 1 természetes szám esetén. Megolás: Az összeg tgji k k 1+ k = = 1+ + n +... < 1+ 1+ n 3 1+ k

Részletesebben

A 2013/2014. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny első forduló MATEMATIKA I. KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA) Javítási-értékelési útmutató

A 2013/2014. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny első forduló MATEMATIKA I. KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA) Javítási-értékelési útmutató Okttási Hivtl A 013/014 tnévi Országos Középiskoli Tnulmányi Verseny első forduló MATEMATIKA I KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA) Jvítási-értékelési útmuttó 1 Oldj meg vlós számok hlmzán egyenletet! 3 5 16 0

Részletesebben

5. Logaritmus. I. Nulladik ZH-ban láttuk: 125 -öt kapjunk. A 3 5 -nek a 3. hatványa 5, log. x Mennyi a log kifejezés értéke?

5. Logaritmus. I. Nulladik ZH-ban láttuk: 125 -öt kapjunk. A 3 5 -nek a 3. hatványa 5, log. x Mennyi a log kifejezés értéke? . Logritmus I. Nulldik ZH-bn láttuk:. Mennyi kifejezés értéke? (A) Megoldás I.: BME 0. szeptember. (7B) A feldt ritmus definíciójából kiindulv gykorltilg fejben végiggondolhtó. Az kérdés, hogy -öt hánydik

Részletesebben

Győry Ákos: A Titu-lemma. A Titu-lemma. Győry Ákos Földes Ferenc Gimnázium, Miskolc

Győry Ákos: A Titu-lemma. A Titu-lemma. Győry Ákos Földes Ferenc Gimnázium, Miskolc A Titu-lemm Győry Ákos Földes Feren Gimnázium, Miskol Az lái feldtsort jórészt z 5. Rátz László Vándorgyűlésen elhngzott nygól állítottm össze, néhány feldttl kiegészítettem, néhol pedig új izonyításokkl

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 4. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 4. évfolyamosok számára 4. évfolym Mt2 feltlp MATEMATIKA FELADATLAP 4. évfolymosok számár 2015. jnuár 22. 15:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll olgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feltokt tetszés szerinti sorrenen

Részletesebben

IX. A TRIGONOMETRIA ALKALMAZÁSA A GEOMETRIÁBAN

IX. A TRIGONOMETRIA ALKALMAZÁSA A GEOMETRIÁBAN 4 trigonometri lklmzás geometrián IX TRIGONOMETRI LKLMZÁS GEOMETRIÁN IX szinusz tétel Feldt Számítsd ki z háromszög köré írhtó kör sugrát háromszög egy oldl és szemen fekvő szög függvényéen Megoldás z

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP

MATEMATIKA FELADATLAP MATEMATIKA FELADATLAP 8. évfolymosok számár tehetséggonozó változt :00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll olgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feltokt tetszés szerinti sorrenen olhto meg. Minen

Részletesebben

Lineáris egyenletrendszerek

Lineáris egyenletrendszerek Lineáris egyenletrendszerek lineáris elsőfokú, z ismeretlenek ( i -k) elsőfokon szerepelnek. + + n n + + n n m + m +m n n m m n n mn n m (m n)(n )m A A: együtthtó mátri Megoldás: milyen értékeket vehetnek

Részletesebben

Minta feladatsor I. rész

Minta feladatsor I. rész Mint feldtsor I. rész. Írj fel z A számot htványként! A / pont/. Mekkor hosszúságú dróttl lehet egy m m-es tégllp lkú testet z átlój mentén felosztni két derékszögű háromszögre? Adj meg hosszúságot mértékegységgel!

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára 8. évfolym AMt1 feltlp MATEMATIKA FELADATLAP 8. évfolymosok számár 11:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll olgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feltokt tetszés szerinti sorrenen olhto meg. Minen

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Exponenciális és Logaritmusos feladatok

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Exponenciális és Logaritmusos feladatok MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Eponenciális és Logritmusos feldtok A szürkített hátterű feldtrészek nem trtoznk z érintett témkörhöz, zonbn szolgálhtnk fontos információvl z

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 6. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 6. évfolyamosok számára 6. évfolym Mt2 feltlp MATEMATIKA FELADATLAP 6. évfolymosok számár 2015. jnuár 22. 15:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll olgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feltokt tetszés szerinti sorrenen

Részletesebben

Kombinációs hálózatok egyszerűsítése

Kombinációs hálózatok egyszerűsítése Komináiós hálóztok egyszerűsítése enesózky Zoltán 24 jegyzetet szerzői jog véi. zt ME hllgtói hsználhtják, nyomtthtják tnulás éljáól. Minen egyé felhsználáshoz szerző elegyezése szükséges. él: speifikáióvl

Részletesebben

FELVÉTELI FELADATOK 8. évfolyamosok számára. M 1 feladatlap. Név:...

FELVÉTELI FELADATOK 8. évfolyamosok számára. M 1 feladatlap. Név:... 2005. jnuár-feruár FEVÉTEI FEADATOK 8. évfolymosok számár M 1 feltlp Név:... Születési év: hó: np: A feltokt tetszés szerinti sorrenen olhto meg. Minen próálkozást, mellékszámítást feltlpon végezz! Mellékszámításokr

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára 8. évfolym TMt2 feltlp MATEMATIKA FELADATLAP 8. évfolymosok számár tehetséggonozó változt 15:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll olgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feltokt tetszés szerinti sorrenen

Részletesebben

Ptolemaios-tétele, Casey-tétel, feladatok

Ptolemaios-tétele, Casey-tétel, feladatok Kutov ntl Ptolemios, sey, feldtok Kutov ntl (Kposvár) Ptolemios-tétele, sey-tétel, feldtok Ptolemios-tétel: H egy konvex négyszög szemközti oldli és, ill. és d; átlói e és f, kkor + d e f. Egyenlőség kkor

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára 8. évfolym TMt1 feldtlp MATEMATIKA FELADATLAP 8. évfolymosok számár tehetséggondozó változt 11:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll dolgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feldtokt tetszés szerinti

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 6. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 6. évfolyamosok számára 6. évfolym Mt1 feltlp MATEMATIKA FELADATLAP 6. évfolymosok számár 2014. jnuár 18. 11:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll olgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feltokt tetszés szerinti sorrenen

Részletesebben

823. A helyesen kitöltött keresztrejtvény: 823. ábra. 823. A prímek összege: 2+ 5+ 2= 9; 824. a) 2 1, 2 4, 5 3, 3 5, 2$ 825.

823. A helyesen kitöltött keresztrejtvény: 823. ábra. 823. A prímek összege: 2+ 5+ 2= 9; 824. a) 2 1, 2 4, 5 3, 3 5, 2$ 825. Egész kitevôjû htváok 7 8 A helese kitöltött keresztrejtvé: 8 ár 8 A rímek összege: + + 9 8 ) $ $ 8 ) $ $ 9$ $ 7 $ $ 0 c) $ ( + ) ( + ) 8 ) $ $ k ( - ) - - - ) r s - 7 m k l ( + ) 7 8 ( - ) 8 ( + ) 7 (

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára 8. évfolym TMt2 feltlp MATEMATIKA FELADATLAP 8. évfolymosok számár tehetséggonozó változt 15:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll olgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feltokt tetszés szerinti sorrenen

Részletesebben

7. tétel: Elsı- és másodfokú egyenletek és egyenletrendszerek megoldási módszerei

7. tétel: Elsı- és másodfokú egyenletek és egyenletrendszerek megoldási módszerei 7. tétel: Elsı- és másodfokú egyenletek és egyenletrendszerek megoldási módszerei Elsıfokú függvények: f : A R A R, A és f () = m, hol m; R m 0 Az elsıfokú függvény képe egyenes. (lásd késı) m: meredekség,

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára 2007. feruár 1. MATEMATIKA FELADATLAP 8. évfolymosok számár 2007. feruár 1. 15:00 ór M 2 feltlp NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: A feltokt tetszés szerinti sorrenen olhto meg. Minen próálkozást, mellékszámítást

Részletesebben

GAZDASÁGI MATEMATIKA I.

GAZDASÁGI MATEMATIKA I. GAZDASÁGI MATEMATIKA I.. A HALMAZELMÉLET ALAPJAI. Hlmzok A hlmz, hlmz eleme lpfoglom (nem deniáljuk ket). Szokásos jelölések: hlmzok A, B, C (ngy bet k), elemek, b, c (kis bet k), trtlmzás B ( eleme z

Részletesebben

I. HALMAZOK, KOMBINATORIKA

I. HALMAZOK, KOMBINATORIKA I HLMZOK, KOMINTORIK VEGYES KOMINTORIKI FELDTOK dott 9 külsõre egyform érme z érmék közül z egyik hmis, tömege könnye töinél Rendelkezésünkre áll egy kétkrú mérleg, mellyel összehsonlításokt tudunk végezni

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 4. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 4. évfolyamosok számára 2009. jnuár 23. MATEMATIKA FELADATLAP 4. évfolymosok számár 2009. jnuár 23. 15:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll olgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feltokt tetszés szerinti sorrenen olhto

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 6. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 6. évfolyamosok számára . évfolym AMt feltlp MATEMATIKA FELADATLAP. évfolymosok számár 0. jnuár. :00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll olgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feltokt tetszés szerinti sorrenen olhto meg.

Részletesebben

Mért követelmény: A statisztikai táblák és a statisztikai sorok kapcsolatának felismerése.

Mért követelmény: A statisztikai táblák és a statisztikai sorok kapcsolatának felismerése. FELELETVÁLASZTÁS Süi Ilon Mért követelmény: A sttisztiki tálák és sttisztiki sorok kpsoltánk felismerése. 1. Milyen sttisztiki sorokt trtlmznk z lái kétimenziós sttisztiki tálák! Betőjelekkel válszolj!

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára 8. évfolym TMt2 feldtlp MATEMATIKA FELADATLAP 8. évfolymosok számár tehetséggondozó változt 15:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll dolgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feldtokt tetszés szerinti

Részletesebben

a b a leghosszabb. A lapátlók által meghatározott háromszögben ezzel szemben lesz a

a b a leghosszabb. A lapátlók által meghatározott háromszögben ezzel szemben lesz a 44 HANCSÓK KÁLMÁN MEGYEI MATEMATIKAVERSENY MEZŐKÖVESD, évfolym MEGOLDÁSOK Mutssuk meg, hogy egy tetszőleges tégltest háromféle lpátlójából szerkesztett háromszög hegyesszögű lesz! 6 pont A tégltest egy

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára 8. évfolym TMt1 feldtlp MATEMATIKA FELADATLAP 8. évfolymosok számár tehetséggondozó változt 11:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll dolgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feldtokt tetszés szerinti

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára 8. évfolym AMt2 feltlp MATEMATIKA FELADATLAP 8. évfolymosok számár 15:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll olgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feltokt tetszés szerinti sorrenen olhto meg. Minen

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 4. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 4. évfolyamosok számára 2009. jnuár 29. MATEMATIKA FELADATLAP 4. évfolymosok számár 2009. jnuár 29. 15:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll olgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feltokt tetszés szerinti sorrenen olhto

Részletesebben

Exponenciális és logaritmikus egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlôtlenségek

Exponenciális és logaritmikus egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlôtlenségek Eponenciális és logritmikus egyenletek, Eponenciális és logritmikus egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlôtlenségek Eponenciális egyenletek 60 ) = ; b) = ; c) = ; d) = 0; e) = ; f) = ; g) = ; h) =- 7

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 6. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 6. évfolyamosok számára 2007. jnuár 26. MATEMATIKA FELADATLAP 6. évfolymosok számár 2007. jnuár 26. 15:00 ór M 1 feltlp NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: A feltokt tetszés szerinti sorrenen olhto meg. Minen próálkozást, mellékszámítást

Részletesebben

II. Lineáris egyenletrendszerek megoldása

II. Lineáris egyenletrendszerek megoldása Lieáris egyeletredszerek megoldás 5 II Lieáris egyeletredszerek megoldás Kettő vgy három ismeretlet trtlmzó egyeletredszerek Korábbi tulmáyitok sorá láttátok, hogy vgy ismeretlet trtlmzó lieáris egyeletredszerek

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 6. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 6. évfolyamosok számára 6. évfolym Mt1 feltlp MATEMATIKA FELADATLAP 6. évfolymosok számár 2015. jnuár 17. 11:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll olgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feltokt tetszés szerinti sorrenen

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 6. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 6. évfolyamosok számára 6. évfolym Mt2 feldtlp MATEMATIKA FELADATLAP 6. évfolymosok számár 2014. jnuár 23. 15:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll dolgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feldtokt tetszés szerinti sorrenden

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára 2008. jnuár 26. MATEMATIKA FELADATLAP 8. évfolymosok számár 2008. jnuár 26. 11:00 ór M 1 feltlp NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll olgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feltokt tetszés szerinti sorrenen

Részletesebben

l.ch TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE ÉS DIFFERENCIÁLHATÓSÁGA

l.ch TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE ÉS DIFFERENCIÁLHATÓSÁGA l.ch TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE ÉS DIFFERENCIÁLHATÓSÁGA A kétváltozós függvének két vlós számhoz rendelnek hozzá eg hrmdik vlós számot, másként foglmzv számpárokhoz rendelnek hozzá eg hrmdik számot.

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 6. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 6. évfolyamosok számára 6. évfolym Mt1 feltlp MATEMATIKA FELADATLAP 6. évfolymosok számár 2013. jnuár 18. 15:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll olgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feltokt tetszés szerinti sorrenen

Részletesebben

Vektorok. Vektoron irányított szakaszt értünk.

Vektorok. Vektoron irányított szakaszt értünk. Vektorok Vektoron irányított szkszt értünk A definíció értelmében tehát vektort kkor ismerjük, h ismerjük hosszát és z irányát A vektort kövér kis betűkkel (, b stb) jelöljük, megkülönböztetve z, b számoktól,

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára MATEMATIKA FELADATLAP 8. évfolymosok számár 11:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll olgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feltokt tetszés szerinti sorrenen olhto meg. Minen próálkozást, mellékszámítást

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 4. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 4. évfolyamosok számára 4. évfolym Mt1 feltlp MATEMATIKA FELADATLAP 4. évfolymosok számár 2017. jnuár 21. 11:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll olgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feltokt tetszés szerinti sorrenen

Részletesebben

9. Exponenciális és logaritmusos egyenletek, egyenlőtlenségek

9. Exponenciális és logaritmusos egyenletek, egyenlőtlenségek . Eponenciális és ritmusos egenletek, egenlőtlenségek Elméleti összefoglló H >, b>, és vlós számok, kkor + ( ) b ( b) H >, kkor z z ( ) ( ) f függvén szigorún monoton növekvő, míg h <

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 6. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 6. évfolyamosok számára 2009. jnuár 23. MATEMATIKA FELADATLAP 6. évfolymosok számár 2009. jnuár 23. 15:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll olgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feltokt tetszés szerinti sorrenen olhto

Részletesebben

FELVÉTELI FELADATOK 8. évfolyamosok számára. M 2 feladatlap. Név:...

FELVÉTELI FELADATOK 8. évfolyamosok számára. M 2 feladatlap. Név:... 2005. jnuár-feruár FELVÉTELI FELADATOK 8. évfolymosok számár M 2 feltlp Név:... Születési év: hó: np: A feltokt tetszés szerinti sorrenen olhto meg. Minen próálkozást, mellékszámítást feltlpon végezz!

Részletesebben

Készségszint-mérés és - fejlesztés a matematika kompetencia területén

Készségszint-mérés és - fejlesztés a matematika kompetencia területén Kis Tigris Gimázium és Szkiskol Készségszit-mérés és - fejlesztés mtemtik kompeteci területé Vlj Máté 0. Bevezetés A Második Esély A Második Esély elevezés egy oly okttási strtégiát tkr, melyek egyik legfő

Részletesebben

Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens

Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens Lineáris egyenletrendszerek Összeállított: dr. Leitold Adrien egyetemi docens 2008.09.08. Leontieff-modellek Leontieff-modellek: input-output modellek gzdság leírásár legyen n féle, egymássl összefüggésben

Részletesebben

A Riemann-integrál intervallumon I.

A Riemann-integrál intervallumon I. A Riemnn-integrál intervllumon I. A htározott integrál foglm és kiszámítás Boros Zoltán Debreceni Egyetem, TTK Mtemtiki Intézet, Anĺızis Tnszék Debrecen, 2017. március 6. Zárt intervllum felosztási A továbbikbn,

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 4. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 4. évfolyamosok számára 4. évfolym Mt2 feldtlp MATEMATIKA FELADATLAP 4. évfolymosok számár 2014. jnuár 23. 15:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll dolgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feldtokt tetszés szerinti sorrenden

Részletesebben

Algebrai struktúrák, mátrixok

Algebrai struktúrák, mátrixok A számítástudomány mtemtiki lpji Algebri struktúrák, mátrixok ef.: Algebri struktúrán olyn nemüres hlmzt értünk melyen leglább egy művelet vn definiálv. ef.: A H nemüres hlmzon értelmezett kétváltozós

Részletesebben

1. MECHANIKA-MOZGÁSTAN GYAKORLAT (kidolgozta: Szüle Veronika, egy. ts.) Matematikai összefoglaló

1. MECHANIKA-MOZGÁSTAN GYAKORLAT (kidolgozta: Szüle Veronika, egy. ts.) Matematikai összefoglaló SZÉCHENYI ISTVÁN EGYETEM ALKALMAZOTT MECHANIKA TANSZÉK MECHANIKA-MOZGÁSTAN GYAKORLAT (kidolgozt: Szüle Veronik, eg ts) Mtemtiki összeoglló Mátrilgeri összeoglló: ) Mátri értelmezése, jelölése: Mátri: skláris

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 6. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 6. évfolyamosok számára 6. évfolym Mt2 feltlp MATEMATIKA FELADATLAP 6. évfolymosok számár 2017. jnuár 26. 15:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll olgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feltokt tetszés szerinti sorrenen

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 6. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 6. évfolyamosok számára 2006. jnuár 27. MATEMATIKA FELADATLAP 6. évfolymosok számár 2006. jnuár 27. 15:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: A feltokt tetszés szerinti sorrenen olhto meg. Minen próálkozást, mellékszámítást feltlpon

Részletesebben

Gyökvonás. Hatvány, gyök, logaritmus áttekintés

Gyökvonás. Hatvány, gyök, logaritmus áttekintés Htvány, gyök, logritmus áttekintés. osztály Gyökvonás Négyzetgyök: Vlmely nem negtív vlós szám négyzetgyöke olyn nem negtív vlós szám, melynek négyzete z szám. Mgj.: R = Azonosságok: b ; b k ;, h, b R

Részletesebben

Mátrixok és determinánsok

Mátrixok és determinánsok Informtik lpji Mátriok és erminánsok számok egyfjt tábláztát mátrink hívjuk. mátriok hsználhtóság igen sokrétő kezdve mtemtikávl, folyttv számítástechnikán és fizikán keresztül, egészen z elektrotechnikáig.

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 6. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 6. évfolyamosok számára 6. évfolym AMt1 feldtlp MATEMATIKA FELADATLAP 6. évfolymosok számár 2011. jnuár 21. 15:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll dolgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feldtokt tetszés szerinti sorrenden

Részletesebben

4 x. Matematika 0 1. előadás. Végezzük el a műveleteket! Alakítsuk szorzattá a következő kifejezéseket! 5. Oldjuk meg az alábbi egyenleteket!

4 x. Matematika 0 1. előadás. Végezzük el a műveleteket! Alakítsuk szorzattá a következő kifejezéseket! 5. Oldjuk meg az alábbi egyenleteket! Mtemtik 0. elődás Végezzük el műveleteket!. 6... Alkítsuk szorzttá következő kifejezéseket!. 8 6 6. 7. 8. y Oldjuk meg z lái egyenleteket! 9. 0. 7 0 7 6. 7. Egy kétjegyű szám számjegyeinek összege. H felseréljük

Részletesebben

n természetes szám esetén. Kovács Béla, Szatmárnémeti

n természetes szám esetén. Kovács Béla, Szatmárnémeti osztály Igzolju, hogy 3 < ármely természetes szám eseté Kovács Bél, Sztmárémeti Az összeg egy tetszőleges tgj: Ezt ővítjü és lítju úgy, hogy felothssu ét tört összegére ) )( ( ) ( ) )( ( ) )( ( ) )( (

Részletesebben

Irracionális egyenletek, egyenlôtlenségek

Irracionális egyenletek, egyenlôtlenségek 9 Irracionális egyenletek, egyenlôtlenségek Irracionális egyenletek, egyenlôtlenségek Irracionális egyenletek /I a) Az egyenlet bal oldala a nemnegatív számok halmazán, a jobb oldal minden valós szám esetén

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 4. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 4. évfolyamosok számára 4. évfolym AMt2 feltlp MATEMATIKA FELADATLAP 4. évfolymosok számár 2012. jnuár 26. 15:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll olgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feltokt tetszés szerinti sorrenen

Részletesebben

1. MECHANIKA-MOZGÁSTAN GYAKORLAT (kidolgozta: Szüle Veronika, egy. ts.) Matematikai összefoglaló

1. MECHANIKA-MOZGÁSTAN GYAKORLAT (kidolgozta: Szüle Veronika, egy. ts.) Matematikai összefoglaló SZÉCHENYI ISTVÁN EGYETEM ALKALMAZOTT MECHANIKA TANSZÉK 1 MECHANIKA-MOZGÁSTAN GYAKORLAT (kidolgozt: Szüle Veronik, eg ts) Mtemtiki összefoglló 11 Mátrilgeri összefoglló: ) Mátri értelmezése, jelölése: Mátri:

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 6. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 6. évfolyamosok számára 2008. jnuár 25. MATEMATIKA FELADATLAP 6. évfolymosok számár 2008. jnuár 25. 15:00 ór M 1 feltlp NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll olgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feltokt tetszés szerinti sorrenen

Részletesebben

Matematika I. Mőszaki informatikai mérnm. rnökasszisztens. Galambos GáborG JGYPK 2011

Matematika I. Mőszaki informatikai mérnm. rnökasszisztens. Galambos GáborG JGYPK 2011 Mtemtik I. Mőszki informtiki mérnm rnöksszisztens http://jgypk.u jgypk.u-szeged.hu/tnszek/szmtech szmtech/oktts/mtemtik-.pdf Glmbos GáborG JGYPK - Mtemtik I. Felsıfokú Szkképzés A Mtemtik I. fıbb f témái:

Részletesebben

Magasabbfokú egyenletek

Magasabbfokú egyenletek 86 Magasabbfokú egyenletek Magasabbfokú egyenletek 5 90 a) =! ; b) =! ; c) = 5, 9 a) Legyen = y Új egyenletünk: y - 5y+ = 0 Ennek gyökei: y=, y= Tehát egyenletünk gyökei:, =!,, =! b) Új egyenletünk: y

Részletesebben

2. Egyenletek I. Feladatok 1. a) b) c) d) 2. a) b) c) d) 3. a) b) c) d) e)

2. Egyenletek I. Feladatok 1. a) b) c) d) 2. a) b) c) d) 3. a) b) c) d) e) . Egenletek I. Feldtok. Oldj meg z lábbi egenleteket egenletrendszereket vlós számok hlmzán. ) b) ( ) ( ) 8 Klmár László Mtemtik Versen döntője 99. 8. osztál c) ( ) ( ) ( ) ( ) OKTV II. ktegóri. forduló

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 6. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 6. évfolyamosok számára 2006. feruár 2. MATEMATIKA FELADATLAP 6. évfolymosok számár 2006. feruár 2. 15:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: A feltokt tetszés szerinti sorrenen olhto meg. Minen próálkozást, mellékszámítást feltlpon

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára 2009. jnuár 29. MATEMATIKA FELADATLAP 8. évfolymosok számár 2009. jnuár 29. 15:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll olgozz! Zsszámológépt nm hsználhtsz. A fltokt ttszés szrinti sorrnn olhto mg. Minn

Részletesebben

3. Algebrai kifejezések, átalakítások

3. Algebrai kifejezések, átalakítások I Elméleti összefoglaló Műveletek polinomokkal Algebrai kifejezések, átalakítások Az olyan betűs kifejezéseket, amelyek csak valós számokat, változók pozitív egész kitevőjű hatványait, valamint összeadás,

Részletesebben

1. A Horner-elrendezés

1. A Horner-elrendezés 1. A Horner-elrendezés A polinomok műveleti tulajdonságai Polinomokkal a szokásos módon számolhatunk: Tétel (K2.1.6, HF ellenőrizni) Tetszőleges f,g,h polinomokra érvényesek az alábbiak. (1) (f +g)+h =

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára 8. évfolym TMt1 feldtlp MATEMATIKA FELADATLAP 8. évfolymosok számár tehetséggondozó változt 11:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll dolgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feldtokt tetszés szerinti

Részletesebben

1992. évi verseny, 2. nap. legkisebb d szám, amelyre igaz, hogy bárhogyan veszünk fel öt pontot

1992. évi verseny, 2. nap. legkisebb d szám, amelyre igaz, hogy bárhogyan veszünk fel öt pontot 1991. évi verseny, 1. nap 1. Bizonyítsd be, hogy 1 101 + 1 102 + 1 103 +... + 1 200 < 1 2. 2. Egy bálon 42-en vettek részt. Az első lány elmondta, hogy 7 fiúval táncolt, a második lány 8-cal, a harmadik

Részletesebben

www.easymaths.hu -1 0 1 Egy harmadik fajta bolha mindig előző ugrásának kétszeresét ugorja és így a végtelenbe jut el.

www.easymaths.hu -1 0 1 Egy harmadik fajta bolha mindig előző ugrásának kétszeresét ugorja és így a végtelenbe jut el. Végtele sok vlós számból álló összegeket sorokk evezzük. sorb szereplő tgokt képzeljük el úgy, mit egy bolh ugrásit számegyeese. sor összege h létezik ilye z szám hov bolh ugrási sorá eljut. Nézzük például

Részletesebben

Törtek. Rendelhetőek nagyon jó szemléltethető eszközök könyvesboltokban és internetek is, pl:

Törtek. Rendelhetőek nagyon jó szemléltethető eszközök könyvesboltokban és internetek is, pl: Törtek A törteknek kétféle értelmezése van: - Egy egészet valamennyi részre (nevező) osztunk, és abból kiválasztunk valahány darabot (számláló) - Valamennyi egészet (számláló), valahány részre osztunk

Részletesebben

4. előadás: A vetületek általános elmélete

4. előadás: A vetületek általános elmélete 4. elődás: A vetületek áltlános elmélete A vetítés mtemtiki elve Két mtemtikilg meghtározott felület prméteres egyenletei legyenek következők: x = f 1 (u, v), y = f 2 (u, v), I. z = f 3 (u, v). ξ = g 1

Részletesebben

Kémia 2. 2. ZH Nappali Dátum: Név: Neptun-kód: 1. Rendezze az alábbi két reakcióegyenletet oxidációs szám változás alapján!

Kémia 2. 2. ZH Nappali Dátum: Név: Neptun-kód: 1. Rendezze az alábbi két reakcióegyenletet oxidációs szám változás alapján! AI Csoport H2S + K2Cr2O7 + H2SO4 = Cr2(SO4)3 + K2SO4 + S + H2O H2O2 + Na3CrO3 = Na2CrO4 + H2O + NaOH 2. Mekkora a ph-ja 0,1 mg/dm 3 -es kénsav oldatnak? (Megoldás: 5,69019608) 3. Mekkora lesz a keletkezett

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 6. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 6. évfolyamosok számára 6. évfolym Mt2 feltlp MATEMATIKA FELADATLAP 6. évfolymosok számár 2013. jnuár 24. 15:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll olgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feltokt tetszés szerinti sorrenen

Részletesebben

M. 2. Döntsük el, hogy a következő két szám közül melyik a nagyobb:

M. 2. Döntsük el, hogy a következő két szám közül melyik a nagyobb: Mgyr Ifjúság (Rábi Imre) Az előző években közöltük Mgyr Ifjúságbn közös érettségi-felvételi feldtok megoldását mtemtikából és fizikából. Tpsztltuk, hogy igen ngy volt z érdeklődés lpunk e szám iránt. Évente

Részletesebben

Házi feladatok megoldása. Harmadik típusú nyelvek és véges automaták. Házi feladatok megoldása. VDA-hoz 3NF nyelvtan készítése

Házi feladatok megoldása. Harmadik típusú nyelvek és véges automaták. Házi feladatok megoldása. VDA-hoz 3NF nyelvtan készítése Hrmdik típusú nyelvek és véges utomták Formális nyelvek, 10. gykorlt Házi feldtok megoldás 1. feldt Melyik nyelvet fogdj el következő utomt? c q 0 q 1 q 2 q 3 q 1 q 4 q 2 q 4 q 2 q 0 q 4 q 3 q 3 q 4 q

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára 8. évfolym Mt2 feldtlp MATEMATIKA FELADATLAP 8. évfolymosok számár 15:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll dolgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feldtokt tetszés szerinti sorrenden oldhtod meg.

Részletesebben

2. Hatványozás, gyökvonás

2. Hatványozás, gyökvonás 2. Hatványozás, gyökvonás I. Elméleti összefoglaló Egész kitevőjű hatvány értelmezése: a 1, ha a R; a 0; a a, ha a R. Ha a R és n N; n > 1, akkor a olyan n tényezős szorzatot jelöl, aminek minden tényezője

Részletesebben

Vektoralgebra előadás fóliák. Elméleti anyag tételek, definíciók, bizonyítás vázlatok. Bércesné Novák Ágnes 1. Források, ajánlott irodalom:

Vektoralgebra előadás fóliák. Elméleti anyag tételek, definíciók, bizonyítás vázlatok. Bércesné Novák Ágnes 1. Források, ajánlott irodalom: Bevezetés számítástudomány mtemtiki lpji Vektorlger elődás fóliák Elméleti nyg tételek, definíciók, izonyítás vázltok Bércesné Novák Ágnes Források, jánlott irodlom: Hjós György: Bevezetés geometriá, Tnkönyvkidó,

Részletesebben

Konfár László Kozmáné Jakab Ágnes Pintér Klára. sokszínû. munkafüzet. Harmadik, változatlan kiadás. Mozaik Kiadó Szeged, 2012

Konfár László Kozmáné Jakab Ágnes Pintér Klára. sokszínû. munkafüzet. Harmadik, változatlan kiadás. Mozaik Kiadó Szeged, 2012 Konfár László Kozmáné Jk Ágnes Pintér Klár sokszínû munkfüzet 8 Hrmdik, változtln kidás Mozik Kidó Szeged, 0 Szerzõk: KONFÁR LÁSZLÓ áltlános iskoli szkvezetõ tnár KOZMÁNÉ JK ÁGNES áltlános iskoli szkvezetõ

Részletesebben

MAGYAR NYELVI FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára

MAGYAR NYELVI FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára 8. évfolym MNy1 feltlp MAGYAR NYELVI FELADATLAP 8. évfolymosok számár 2013. jnuár 19. 10:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll olgozz! Ügyelj küllkr! A feltokt tetszés szerinti sorrenen olhto meg. A

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára 8. évfolym Mt1 feldtlp MATEMATIKA FELADATLAP 8. évfolymosok számár 11:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll dolgozz! Zsebszámológépet nem hsználhtsz. A feldtokt tetszés szerinti sorrendben oldhtod meg.

Részletesebben

Középiskolás leszek! matematika. 13. feladatsor 1. 2. 3. 4. 5. 6.

Középiskolás leszek! matematika. 13. feladatsor 1. 2. 3. 4. 5. 6. Középiskolás leszek! mtemtik Melyik számot jelentheti A h tudjuk hogy I felennyi mint S S egyenlõ K és O összegével K egyenlõ O és L különbségével O háromszoros L-nek L negyede 64-nek I + S + K + O + L

Részletesebben

Kormányrendeletek. 2. Ez a rendelet a kihirdetését követő napon lép hatályba. Orbán Viktor s. k., miniszterelnök

Kormányrendeletek. 2. Ez a rendelet a kihirdetését követő napon lép hatályba. Orbán Viktor s. k., miniszterelnök 6 M 15 6 z nnlk n 115 1 nl ll nznnn zn nnn űkő zkkz l ll kznl nznk nnll züő nzkkől n z ln 15 kk kzn z lk kn, z ln 15 kk 1 kzn z lkn l kkzők nl l 1 1 ll nznnn zn nnn lő kznl nznk kzül z 1 llkl zn kznl nznk

Részletesebben

Matematikai analízis. Editura Didactică şi Pedagogică

Matematikai analízis. Editura Didactică şi Pedagogică András Szilárd Mureşn Mrin Mtemtiki nlízis és lklmzási Editur Didctică şi Pedgogică Bucureşti, 2005 Descriere CIP Bibliotecii Nţionle României ANDRÁS SZILÁRD, MARIAN MUREŞAN Mtemtiki nlízis és lklmzási/

Részletesebben

MATEMATIKA A 10. évfolyam

MATEMATIKA A 10. évfolyam MATEMATIKA A 0 évfolym modul Algeri zonosságok és másodfokú egyenletek Készítette: Dros Noémi Ágnes MATEMATIKA A 0 ÉVFOLYAM modul: ALGEBRAI AZONOSSÁGOK ÉS MÁSODFOKÚ EGYENLETEK TANÁRI ÚTMUTATÓ A modul célj

Részletesebben

Írásbeli szorzás kétjegyû szorzóval

Írásbeli szorzás kétjegyû szorzóval Írásli szorzás kétjgyû szorzóvl Kiolgozott mintpél Egy krtész 36 plántát ültttt gy sor. Hány plántát ül - t ttt 24 sor? Atok: sor 36 plánt 24 sor x Trv: x = 24 36 vgy x = 36 24 Bslés: x 20 40 = 800 Számolás:

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Mtemtik emelt szint 1111 ÉRETTSÉGI VIZSGA 011. május. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ NEMZETI ERŐFORRÁS MINISZTÉRIUM Formi előírások: Fontos tudnivlók 1.

Részletesebben

FELVÉTELI FELADATOK 6. osztályosok számára M 2 feladatlap

FELVÉTELI FELADATOK 6. osztályosok számára M 2 feladatlap 2004. jnuár-feruár FELVÉTELI FELADATOK 6. osztályosok számár M 2 feltlp Név:... Születési év: hó: np: A feltokt tetszés szerinti sorrenen olhto meg. Minen próálkozást feltlpon végezz! Mellékszámításokr

Részletesebben

ú ú Ö ő ť ú ő ü ü ű Í Í Í őł Ĺ ö úö ú ö ź ö ő ö ú ő ő Í ő Í ő ö ő ő ý ő ú ö Í ő í ő ö úö ł ő í ú ő ő ú ú ő Í ć ő ú ő ö ń ú ö í ö Í łł íí Í ő ő ő ö ő ő Í ő ő ő ö í ő ő ő ö ö ť ö ő ö ö Ĺ ü Ĺ ő ő ö ö í ö

Részletesebben

14. modul Számtani és mértani közép, nevezetes egyenlőtlenségek

14. modul Számtani és mértani közép, nevezetes egyenlőtlenségek MATEMATIKA A 10. évfolym 14. modul Számtni és mértni közép, nevezetes egyenlőtlenségek Készítette: Vidr Gábor Mtemtik A 10. évfolym 14. modul: Számtni és mértni közép, nevezetes egyenlőtlenségek A modul

Részletesebben

LINEÁRISAN FÜGGETLEN ÉS LINEÁRISAN ÖSSZEFÜGGŐ VEKTOROK. csak úgy teljesül, ha minden 0. úgy is teljesül, hogy van olyan 0

LINEÁRISAN FÜGGETLEN ÉS LINEÁRISAN ÖSSZEFÜGGŐ VEKTOROK. csak úgy teljesül, ha minden 0. úgy is teljesül, hogy van olyan 0 www.esymths.hu mtek ilágos oll Mosózi Arás LINEÁISAN FÜGGETLEN ÉS LINEÁISAN ÖSSZEFÜGGŐ VEKTOOK esymths.hu DEFINÍCIÓ: A... ektorok lieáris összefüggők, h... úgy is teljesül, hogy oly i Nézzük ezekre péákt!

Részletesebben

Összetettebb feladatok

Összetettebb feladatok A szinusztétel és koszinusztétel lklmzás Összetettebb feldtok 055..,7 m háom kö közötti síkidom teülete. Kössük össze köök középpontjit, így kpunk egy háomszöget. Legyen m, b m, 5 m. Számítsuk ki koszinusztétellel

Részletesebben

Végeredmények, emelt szintû feladatok részletes megoldása

Végeredmények, emelt szintû feladatok részletes megoldása Végeredmények, emelt szintû feldtok részletes megoldás I. gyökvonás. gyökfoglom kiterjesztése. négyzetgyök lklmzási. számok n-edik gyöke 5. z n-edik gyökfüggvény, z n-edik gyök lklmzás 6 II. Másodfokú

Részletesebben

Néhány szó a mátrixokról

Néhány szó a mátrixokról VE 1 Az Néhány szó mátrixokról A : 11 1 m1 1 : m......... 1n n : mn tábláztot, hol ij H (i1,,m, j1,,n) H elemeiből képzett m n típusú vlós mátrixnk nevezzük. Továbbá zt mondjuk, hogy A-nk m sor és n oszlop

Részletesebben