10. Határozatlan integrál

Átírás

1 0. Htároztln intrál Diníciók, lpszbályok H F =, zz F üvény rivált szármzék üvény, kkor F üvényt primitív ős üvényénk nvzzük. F mlltt bármly F+ üvény is primitív üvény -nk, hol ttszőls vlós állnó, mivl =0. Az üvény htároztln intrálj ltt primitív üvényink összsséét értjük, jlölésbn: F F hol F y vétln sok primitív üvény közül, pi htároztln intrációs állnó. A htároztln intrálás szbályi riválási szbályokból nyrhtők, llpvtőbbk kövtkzők: c c c állnó, c c... c c... A ütln változó lináris trnszormációjár vontkozó szbály : F b h F, kkor b F ykori spciális stk: b F b és h = ill. b=0. Alpintrálok * Htvány- és ponnciális üvényk Trionomtriks üvényk Ezt szbályt nm minnki tkinti lpintrálási szbálynk, mivl lényébn hlyttsítéss intrálás spciális st.

2 ln = st ln >0, ct ct = st t t * és vlós állnók, =,788 Pél 7 8 t ct 7 8 ln ln Hlyttsítéss intrálás mószr F F Ezt mószrt olyn szorztr lklmzzk, hol y összttt üvény vn összszorozv blső üvényénk riváltjávl. Itt két olot is hlyttsítünk: blső üvényt y séváltozóvl, és blső üvény / = riváltjávl szorzott irnciált, thát: =, =. A hlyttsítéssl kpott újbb intrálási problém rmélhtől yszrűbb z rtinél, és h sikrül mtlálni primitív üvényét, F-t, kkor hlyéb blső üvényt visszhlyttsítv, kpjk z rti problém molását. Pél hol pró átlkítás tán z =, = hlyttsítést lklmztk. Prciális intrálás mószr: Ezt mószrt olyn szorztr lklmzzk, hol z yik tényzőnk, -nk, ismrjük primitív üvényét, -t, másik, tényző riváltj pi yszrűbbé tszi szbály jobbollán szrplő új intrálási problémát blolli rtinél. A mószr nm mini lklmzhtó rménysn; tipiks üvénytípsok, mlykr műköik: lo,,,,, stb.

3 Pél ln ln ln ln hol = -hz nm -t, hnm z = primitív üvényt válsztottk, mly jln stbn yszrűsítést ttt lhtővé. Pél: kétlépéss hol minkét prciális intrálási lépésbn = válsztássl éltünk. Pél: kétlépéss implicit pl., lás jyzt, 87.ol.,..Pél Rcionális törtüvényk: résztörtkr bontás mószr Itt zonos átlkítássl pl. olyn rcionális törtt vzthtünk vissz lpintrálr, hol számláló konstns vy lsőokú, nvző pi másookú két vlós yökkl. A résztörtk nvzői yöktényzők lsznk, számlálói konstnsok A, B, zkt krssük htároztln yütthtóként. Ehhz közös nvzőr hozzk htároztln yütthtójú résztörtkt, mj htványi szrint összvonást vézünk számlálóbn. Pél: B A B A B B A A B A hol z ynlősé mitt z A + B =, A B = ynltrnszrt kpjk, mlyből A = /, B = /, thát ln ln. Fltok. FELADAT ALAPINTEGRÁLOK Intrálj üvényt lpintrálássl. H szüksés, lőször lkíts át zonossáok / yszrűsítésk sítséévl lpintrálok lináris kombinációjává! b c h i j

4 k p q l t m r. FELADAT HELYETTESÍTÉSES INTEGRÁLÁS s n t o Intrálj üvényt hlyttsítés mószrévl. Némi átlkítás szüksés lht! t ct b l r ln ln h m n s t c ln o i ln j p ct t k q 00 t v t t w y y z z. FELADAT PARIÁLIS INTEGRÁLÁS l b 00 lo c ln ln j k o t h ln i l ln m ln n p q ln ln ln r s. FELADAT RAIONÁLIS TÖRTFÜGGVÉNYEK INTEGRÁLÁSA RÉSZTÖRTEKRE BONTÁSSAL b c. FELADAT MÓDSZEREK KOMBINÁIÓJA ln b b c

5 h Molóklcs Alpintrálás b c ln ln ct ln ln ln h i ln j 0, 0 k 00 ln00 l t m 00 n t 0 00 p q ct r 0 o s ln t Hlyttsítéss intrálás ln ln b c 00 ln ln ln h ln i 00 j ct k t l ln m ln n o p t q ln r ln s ct t ln ln ln v t w 7 7 y y z z Prciális intrálás l l / b lo ln ln c ln ln ln ln tln h i j k l ln ln

6 m ln ln n ln ln ln o p q r ln ln s t ln ln ln ln ln Rcionális törtüvényk ln b ln c ln ln ln ln Mószrk kombinációj ln ln b ln b ln c ln t ln h 0.. Trükkös ltok. FELADAT Intrálj üvényt lmi intrálássl. H szüksés márpi szüksés, lőször lkíts át zonossáok / yszrűsítésk sítséévl lpintrálok lináris kombinációjává! 00 b ct c 7 h i j k l m n

7 o s p 0 q r lo lo t v ln w. FELADAT Intrálj üvényt lmi intrálássl. A trionomtriks kijzésk átlkításához / yszrűsítéséhz hsználj l z ismrt zonossáokt, pélál:, b c ct h i j n k o l m p t ct q r s t t ct v w ct ct y z t Molóklcs. lt b ct 00 c ln 7, ln, 0 8 ln h, 0 i, 0

8 j k ln ln l ln m n o ln ln ln p q r ln ln s t ln ln ln ln ln ln ln v, 0 w ln ln. lt b c ct tct ct h i j k l m n t ct o t p t ct q r t s t ct v w t ct y z