DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁS. 1. A differenciálhányados fogalma

Átírás

1 DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁS A dirnciálhánados oalma Példa: Ln adva a koordinátarndszrbn üvén raikonja (örbéj) és vizsáljuk, ho adott pontjához hoan lhtn érintőt húzni Mivl adott ( ( )) ponton át ismrt mrdkséű nst középiskolás ismrtink alapján m tudunk rajzolni (az = m( ) + összüés szrint), zért a ladat az érintő mrdkséénk mhatározása A üvén raikonjának másik, ( ()) pontján is áthaladó szlő mrdksé m( ) = () ( ) Az érintő mrdkséét (amnnibn általán létzik érintő) ú kaphatjuk m, ho az pontot közlítjük az ponthoz, azaz () ( m( ) m( ) = ) Spciálisan: Határozzuk m az = parabola = pontjába húzott érintő nltét! A üvén P( ) pontjához tartozó érintő mrdkéét (irántannsét) az m() = Í az érintő nlt: = ( ) + = = ( + ) = Diníció: Az () ( ) hánadost, mivl dirnciák hánadosa, az üvén pontjában vtt dirnciahánadosának nvzzük Diníció: Az üvén dirnciálható (va rövidn driválható) az értlmzési tartománának () ( pontjában, ha a ) vés határérték létzik A határértékt a üvén pontbli dirnciálhánadosának (va rövidn driváltjának) nvzzük Jlölésk: ( ), ( ), ( d d ) va ( d d )

2 Mjzés: Az () ( ) hánados az ( ( )) és ( ()) pontokra illszkdő szlő, a () ( ) az ( ( )) pontba húzott érintő mrdkséét adja Mjzés: a) Ha a nti (vés) határérték nm létzik, akkor azt mondjuk, ho az üvén az pontban nm dirnciálható b) A, illtv határértékkkl értlmzhtő az pontbli jobb, illtv bal oldali dirnciálhánados is, mlk adott pontbli dirnciálhánados létzésénél szükséképpn nlők Példa: Számítsuk ki az, és a k üvénk dirnciálhánadosát a pontban! a) b) c) 8 k k Diníció: Az driváltjának va dirnciálhánados-üvénénk nvzzük azt a üvént, mlnk értlmzési tartomána mindazon hlk, ahol a üvén dirnciálható és érték itt Jl: Példa: Számítsuk ki az és üvénk dirnciálhánadosát ttszőls hln! a) b) Mivl mindkét stbn ttszőls volt, zért és

3 Diníció: Az P pontbli érintőjénk irántanns (mrdksé), azaz az érintő nlt: dirnciálhánados az üvén örbéjénk Példa: Írjuk l az üvén pontjába húzott érintő nltét! Az érintő mrdkséét az adott pontbli dirnciálhánados érték adja, azaz m Í az érintő nlt: Példa: Írjuk l az üvén pontjába húzott érintő nltét! Az érintő mrdkséét az adott pontbli dirnciálhánados érték adja, azaz m Í az érintő nlt: A oltonossá és a dirnciálhatósá kapcsolata Tétl: Ha az üvén az pontban dirnciálható, akkor ott oltonos is Bizonítás: Mindn D \ pontban iaz a kövtkző nlősé: Innn a üvénk határértékér vonatkozó tétl szrint:

4 Mivl a üvén dirnciálható az létzik, jlöljük zt ho oltonos az pontban, zért a -lal, í pontban vés határérték Ez éppn azt jlnti, Mjzés: Ellnpélda: A tétl mordítása nm iaz, azaz a oltonossából nm kövtkzik a dirnciálhatósá Az üvén mindn pontban oltonos, d az pontban mésm dirnciálható, uanis pontban), ha Azaz és, (A üvén örbéjénk nm létzik érintőj bbn a Dirnciálási szabálok Tétl: Néhán lmi üvén dirnciálhánadosa: c (konstans) cos sin n a ln lo a sin (n ttszőls) n n t a ln a ct arct ln a cos arcct cos sin arcsin arccos

5 Bizonítás: Az n n n üvén dirnciálhánadosa, ahol n N + I módszr A dirnciálhánados oalma szrint: Mivl n n n n n n n n n n n n n n n n n n n ttszőls, zért, ami a bizonítandó állítás II módszr A tljs indukció módszrévl: a) n -r a diníció szrint: n -r a diníció szrint:, azaz, thát tljsül azaz, thát tljsül, b) Tük l, ho k k k k n -ra tljsül az állítás, azaz, ahol k N + c) Vizsáljuk k k n -r is B kll látni, ho k k, ahol k N + Flhasználva az lőző indukciós ltvést, továbbá a szorzat dirnciálására vonatkozó szabált: k k k k k k k k k k k k azaz a tulajdonsá tljsül n k -ra is Mivl a tulajdonsá n k -ról n k -r öröklődött, zért ttszőls n n n, ahol n N +, n N + stén is iaz, azaz Tétl: Ha az és üvénk az pontban dirnciálhatók, akkor a) c c b) c) d), bárml c R stén, stén 5

6 6 Tétl: Ha a üvén dirnciálható az pontban és üvén dirnciálható az pontban, akkor az összttt üvén is dirnciálható az pontban és Mjzés: Az összttt üvén dirnciálszámításra mismrt tétl érvéns akkor is, amikor az összttt üvént több (vés számú) üvénből képzzük Példák: Határozzuk m az alábbi üvénk dirnciálhánadosát! a)? 8 Alkalmazzuk az össz dirnciálására vonatkozó szabált: b)? sin Alkalmazzuk a szorzat dirnciálására vonatkozó szabált: cos sin cos sin sin sin sin sin c)? Alkalmazzuk a hánados dirnciálására vonatkozó szabált: d)? Alkalmazzuk az összttt üvén dirnciálására vonatkozó szabált: 6 )? sin Ez többszörösn összttt üvén: cos cos sin sin sin sin sin )? ln Alkalmazzuk az összttt üvén dirnciálására vonatkozó szabált: ln

7 )? I módszr: Ez összttt ponnciális üvén Mivl az alapban is szrpl a ütln változó, zért írjuk át alapú ponnciális üvénr: ln ln ln és, í ln ln ln ln ln ln II módszr: Az únvztt loaritmikus driválást is használhatjuk azokban az stkbn, amikor az alapban is szrpl a ütln változó: Ln Mindkét oldal loaritmusát vév: ln ln, majd mindkét oldalt driválva: ln Rndzv -ra: ln, majd (Mjzés: -t visszahlttsítv: ln ln -t összttt üvénként driváltuk) Maasabb rndű dirnciálhánadosok Diníció: Ha az üvén pontban, akkor dirnciálhánadosát az üvén -val jlöljük driváltüvén dirnciálható az -bli második dirnciálhánadosának nvzzük és Mjzés: Hasonlóképpn értlmzhtő üvén harmadik, ndik stb dirnciálhánadosa is k A k-adik dirnciálhánados jlölésér az szimbólum használható létzés és érték az üvén lokális vislkdésér jllmző Példa: Határozza m az 5 üvén második, harmadik, ndik és ötödik dirnciálhánadosát!

8 5 L Hospital szabál alkalmazása Tétl: Ha üvénk az és (va és körnztébn dirnciálhatók, továbbá, akkor ) és az és Példák: L Hospital szabál alkalmazásával határozza m a kövtkző határértékkt! ln a)? A tört hlttsítési értékér ln ln adódik Alkalmazva a L Hospital szabált: sin b)? A tört hlttsítési értékér sin sin adódik Alkalmazva a L Hospital szabált: cos cos c) ln? A szorzat hlttsítési értékér kövtkző módon: ln ln? A tört hlttsítési értékér ln ln adódik Alakítsuk át törtté az rdti kijzést a adódik Alkalmazva a L Hospital szabált: ln 8

9 6 A dirnciálszámítás alkalmazásai üvén Példa: Írjuk l az pontjába húzott érintő nltét! Az érintőns mrdkséét az érték adja Az érintő nlt az 5, azaz 5, mlből összüés alapján lírva: Példa: Miln szö alatt mtszi az hiprbola az parabolát? Két örb szöén az érintőik által bzárt szöt értjük a két örb közös pontjában A két örb mtszéspontja: M( ) Az érintők nltéhz kiszámoljuk az irántannsükt: m m Mivl, zért Mivl, zért m m A két érintő nlt az M( ) pontban: és Szöük irán- va normálvktoraik skaláris szorzatából számolható ki: n n n cos Normálvktoraik: n( ) és n( -), í 5 cos n, mlből 7, 57 Diníció: Ha az üvénnk létzik driváltüvén, akkor az értlmzési tartománának azokat az pontjait, ahol ( ) =, az stacionárius pontjainak nvzzük Tétl: Az üvén értlmzési tartománának pontjában lokális szélsőérték van, ha ( ) = és a driváltüvén -ban lőjlt vált Mépdi, ha natívból pozitívba m át, akkor lokális minimuma, ha pozitívból natívba, akkor lokális maimuma van Mjzés: A drivált zérusérték és lőjlváltása a szélsőérték létzésénk lésés, d nm szüksés ltétl, azaz az lőjlváltás hiána mllt is adódhat szélsőérték Példa: Vizsáljuk az és az Mjzés: üvénkt az = pontban Mindkét üvénnél ( ) = Ebbn a pontban csak a második üvén vált lőjlt, í = -ban csak a másodiknak van szélsőérték Az üvénnk lht szélsőérték olan pontban is, ahol nm dirnciálható Í pl az üvénnk a pontban minimuma van, d a hln nm dirnciálható 9

10 Hasonlóképpn a dirnciálható üvénnk a pontban minimuma van, d a hln nm Példa: E lül nitott, nézt alapú doboz készítéséhz m trültű lmzt használnak l Hoan válasszuk m a doboz mértit, ho téroata a lnaobb ln? Ln az alapél, a maassá, kkor a krstt téroat A ladat ltétl szrint:, mlből A két nltből thát V A téroatnak azon a pozitív ök jöht szóba) V értékr lht szélsőérték, amlr, innn, azaz (A ladat ltétli miatt csak A szélsőérték típusára a második driváltüvén lőjlváltásából kövtkztthtünk: mivl az adott pontban (+) ( ) lőjlváltás van, zért maimumhl V,7 (m ) Az adott lmzből készíthtő maimális téroatú nézt alapú doboz alapél, 8 m, maassáa, m, a maimális téroat pdi, 7 m 6 Tétl: Ha az üvén az akkor a üvén az b, a intrvallum mindn pontjában dirnciálható és a intrvallumon növkvő, ha, akkor csökknő b Mjzés: A tétl érvéns zárt intrvallum, sőt vétln intrvallum stén is Diníció: Az üvén raikonjának az (a b) intrvallumhoz tartozó ívét konvnk (illtv konkávnak) nvzzük, ha az ív bárml pontjához húzott érintőj ölött (illtv alatt) hlzkdik l

11 konv örb konkáv örb Tétl: Ha az üvén második dirnciálhánadosa az intrvallumon nm natív, akkor raikonjának az a b intrvallumhoz tartozó ív konv, ha nm pozitív, akkor konkáv Mjzés: a b A konv és konkáv ívk találkozási pontját inliós pontnak nvzzük A tétlből kövtkzik, ho inliós pont csak olan pontban lht, amlbn ( ) = Ez csak szüksés, d nm lésés ltétl Elésés ltétl oalmaz m a kövtkző tétl: Tétl: Az üvénnk az pontban inliós pontja van, ha ( ) =, és a második driváltüvén -ban lőjlt vált 5 Példa: Vizsáljuk az és az üvént az pontban Mindkét üvénnél ( ) = Ebbn a pontban csak a második üvén vált lőjlt, í = -ban csak a másodiknak van inliós pontja 7 Kétváltozós üvénk dirnciálszámítása (kiészítő ana) Mjzés: Az kétváltozós üvén szrinti parciális dirnciálhánadosának kiszámításánál a dirnciálást az változó szrint hajtjuk vér, az változót konstansnak tkintv Tljsn hasonló módon értlmzhtő az szrinti parciális dirnciálhánados kiszámítása Jl:, illtv Mjzés: A parciális dirnciálhánadosok kiszámításánál mindazon dirnciálási szabálok alkalmazhatók, amlkt az változós üvénknél mismrtünk

12 Példa: Számítsuk ki az üvén parciális dirnciálhánadosait! Az szrinti dirnciálhánadosnál -t konstansnak tkintv: Az szrinti dirnciálhánadosnál -t tkintjük konstansnak: Mjzés: Az és dirnciálhánadosokat vs másodrndű dirnciálhánadosoknak, mí az és dirnciálhánadosokat tiszta másodrndű dirnciálhánadosoknak nvzzük A vs másodrndű dirnciálhánadosok mznk, í az rdmén nm ü attól, ho az s változók szrinti parciális dirnciálásokat miln sorrndbn véztük Példa: Számítsuk ki az üvén lső és második parciális dirnciálhánadosait! Az lső parciális dirnciálhánadosok: 66 és A második szrinti parciális dirnciálhánadosok: 6 6 és a második szrinti parciális dirnciálhánadosok: 6 és P Tétl: Ha az pontban az kétváltozós üvén lső parciális dirnciálhánadosai nullával nlők, a második parciális dirnciálhánadosai oltonosak, akkor stén -nk D P P P P P -ban van hli szélsőérték - mépdi P stén hli minimuma -, mí ha D P P P P, P stén hli maimuma, akkor -nk P -ban nincs hli szélsőérték Mjzés: Ha DP P P P, akkor a szélsőérték kérdés nm ldönthtő Példa: Krssük m az 8 üvén hli szélsőértékit!

13 Az lső parciális dirnciálhánadosok: és 8 A lhtsés szélsőértékk az lső parciális dirnciálhánadosok zérushli: 8 Az nltrndszr moldásai: P és P 6 A második parciális dirnciálhánadosok: 6 és 8 Ezkből D P D P P P 6 8 6, és P P P P 6 8 azaz a, P maimum A P miatt hli 6 pontban van hli szélsőérték, mépdi 6 P pontban nincs hli szélsőérték 8 Fladatok FELADAT Írja l az alábbi üvénk dirnciálhánadosát általánosan, majd az adott hln!, 5,,,,, 6 5, FELADAT Dirnciálható- az 5 6, üvén az,, hln? a) 8, 5 7 üvén az, 5, 5 hln? b)

14 FELADAT Határozza m az alábbi üvénk dirnciálhánadosát! cos cos sin sin ln sin ln sin 6 ln 7 cos 6 5 cos sin cos ln 8 ln 9 sin sin sin ct l ln 8 arct 6 sin cos ln sin5 9 arcsin 5 arct sin FELADAT Határozza m az alábbi üvénk stén a második, stnként a harmadik dirnciálhánadosokat! 5 cos sin sin 7 ln 8 cos 9 sin ln 7 ln,, 8 cos ln ln sin 6 cos 6 sin,, cos 8sin, 6cos sin sin cos sin ln sin 9 ln cos,

15 5 FELADAT L Hospital szabál alkalmazásával határozza m a kövtkző határértékkt! ln sin sin t ln t7 56 ct 59 sin A szám- 56 A szorzatot törtté alakítjuk és a L Hospital szabált alkalmazzuk, í ct cos t cos 58 A L Hospital szabált kétszr alkalmazzuk, í ln láló vés, a nvző határérték vétln, zért a tört határérték ln sin 59 Törtté alakítva, amir alkalmazzuk a L Hospital szabált, í a sin sin krstt határérték 6 FELADAT Határozza m az alábbi üvénk stén a mllő örbék adott pontjához tartozó érintő mrdkséét, és írja l az érintőns nltét! 6, az hln ( ), az hln ( ) 6 5, az hln ( 5 ) , az hln ( 8 ) 66 sin, az hln ( ) 6, az,, hln ( ) 6, az hln ( ), az hln ( 6 6 ) , az hln ( 5, az kivétlévl) sin, az hln 6 cos 6 6, az hln 6 5

16 7 FELADAT Mkkora szö alatt mtszik mást az alábbi örbék? 7 5 és és és és ( 6, ) ( 9 ) ( 7,6 ) ( 7, ) 8 FELADAT Görbék érintőivl kapcsolatos ladatok 8 Határozza m az 7 nltű örbénk az 5 nltű nssl párhuzamos érintőjét! Írja l az érintő nltét! ( 5 ) 8 Hol lsz az sin cos örb érintőjénk mrdksé? ( az k Z pontokban) k, 8 Ml hln lsz párhuzamos az szölzőjévl? ( az nltű örb érintőj az lső síknd hln) 5 8 Határozza m az nltű örbénk azokat a pontjait, amlkhz húzott érintők párhuzamosak az nltű nssl! Írja l az érintők nltét is! ( az érintési pontok: A( 9) és B(- -9)) 85 Határozza m az nltű örbénk azokat a pontjait, amlkhz húzott érintők párhuzamosak az nltű nssl! Írja l az érintők nltét! ( a krstt pont: P( )) 86 Határozza m az nltű parabolának azt a pontját, amlhz tartozó érintő párhuzamos az A( ) és a B( -) pontokra illszkdő szlővl! ( a krstt pont koordinátái: P( )) 87 Írja l az nltű parabolához az A(- 5) és a B( ) ponton át húzható érintők nltét! ( az A ponton át húzható:, illtv a B ponton át húzható: és ) 88 Határozza m az 8 örbénk azokat a pontjait, amlkhz húzott érintők mrőlsk az nltű nsr! Írja l az érintők nltét! ( az érintési pontok: 6 P 6 és 6 6 ) P, az nsk nlt: 6 és 6

17 9 FELADAT Szélsőértéks ladatok 9 Határozza m annak a 6 séni krültű télalapnak a trültét, amlnk az átlói a lhtő lrövidbbk! ( A télalap oldali 5-5 sé, azaz néztről van szó A krstt trült 5) 9 Flbontható- a két részr ú, ho a részk köbénk az össz maimális, va minimális ln? ( Minimuma van, ha a két rész 6-6 maimuma nincs) 9 E nlő szárú háromszö krült 5 cm Mkkorára válasszuk a háromszö szöit, ho az oldalakra írt élkörök trülténk az össz a lhtő lkisbb ln? ( A körök suara,5-,5 cm, azaz a háromszö nlő oldalú) 9 E oráshnr maassáának és suarának az össz cm Válasszuk m az adatokat ú, ho a hnr téroata maimális ln! ( cm cm) r 6 m 8 95 Határozza m a cm suarú körb írt lnaobb trültű télalapot! ( A krstt télalap oldalai nlők, azaz nézt) 96 Határozza m a cm suarú ömbb írható maimális téroatú körhnr maassáát és alapkörénk suarát! ( r 97 Miln mértzésű ln az az litr űrtartalmú, hnr alakú konzrvdoboz, amlt minimális analhasználással akarunk lkészítni? ( r m ) 98 Három nlő szélsséű dszkalapból lül nitott csatornát kll készítni Mkkora ln a két oldaldszka lhajlása a üőls irántól, ho a csatorna átrsztőképssé a lnaobb ln? ( ) m 99 E télalap oldalai 6 cm és cm A télalap sarkaiból mkkora oldalú néztkt kll lváni, ho a nnmaradó részt ölül nitott dobozzá hajtoatva, a kltkztt doboz téroata a lhtő lnaobb ln? ( ) 9 E lül nitott, nézt alapú doboz készítéséhz m trültű lmzt használhatunk l Hoan válasszuk m a doboz mértit, ho maimális téroatot kapjunk, és mkkora z a ) lnaobb téroat? ( az alapél m, a lnaobb téroat,7 m ) 9 E csatorna krsztmtszt m kll, ho ln Hoan válasszuk m a csatorna r és h mértét, ho minimális krült adódjék? Mkkora lsz z a minimális krült? ( r, 75 m, a minimális krült 5, m) 9 Osszuk l a -t két részr ú, ho az ik rész nézténk és a másik 8 rész köbénk össz minimális ln! ( és ) 7

18 9 Adott körlap itatóspapírból Mkkora középponti szöű körcikkt vájunk ki blől, ho az abból készítndő tölcsér alakú szűrő maimális téroatú ln? ( a körcikk középponti szö közlítőn 9) 9 A séni alkotójú ns körkúpok közül határozza m a maimális téroatút! ( m = és r = 6) 95 Íjunk az tnl és az nltű parabola által határolt síkrészb maimális trültű télalapot! Mik lsznk a télalap csúcspontjai? ( A ( ), B ( ), C ( 8 ) és D ( 8 ) 96 A mlléklt trvrajzon a alak összhosszúsáa 9 m, a olosó szélssé m Hán métr ln, ha azt akarjuk, ho a szoba ütts trült a lhtő lnaobb ln? ( m) 97 Válasszuk ki az 5 cm krültű nlő szárú háromszök közül azt, amlbn minimális az oldalakra rajzolható néztk trültössz! ( nlő oldalú háromszö) 98 E olótól km távol lévő A városból a olópart mnti B városba rndszrsn szállítmánok mnnk A és B távolsáa 8 km Az séni szállítmán szállítási költsé viziúton kilométrnként l akkora, mint szárazöldi úton Miln iránban kll az utat mépítni a olóparthoz, ho a szállítmánok a lkisbb költsél érjnk B-b, ltétlzv, ho a oló a vizsálati szakaszon nm kanaro? ( Az utat a olóra mrőls irántól -os szöbn kll vztni a olói a B város lé) 99 8 dm téroatú nézts oszlop alakú csomaot az ábrán látható módon kötöttünk át Hoan válasszuk m a csoma mértit, ho az átkötő zsin hossza a lhtő lrövidbb ln? ( a b, 7 dm) 9 Miln maasan kll a lámpát az oszlopra lrősítni, ho az úttstnk az oszlop talppontjától d távolsára lévő pontjában a mviláítás rőssé maimális ln? A mviláítás rőssé (I) a kövtkző összüésből kapható m: I c, sin r ahol c a énorrás énrjétől üő állandó ( h d Ih c üvén maimumát a h, 7d h d értékénél vszi l) 8

19 9 E cm átmérőjű oráshnr alakú atörzsből télalap krsztmtsztű rndát aranak Mkkorák a télalap oldalai, ha a) a krsztmtszt trült maimális b) a télalap oldalhosszúsáainak néztössz maimális c) a télalap krült maimális d) a télalap átlóhosszúsáa maimális? ( 5 állandó érték 5 állandó érték) FELADAT Határozza m a kövtkző kétváltozós üvénk lső és a második parciális dirnciálhánadosait! sin cos cos 5 ln 7 5,, és 6 cos, cos, cos sin cos sin és sin 7, ln,, és FELADAT Krss m az alábbi üvénk hli szélsőértékit! ( P -ban hli maimum, 5 P 5 -ban hli minimum) ( 6 ( P -ban hli maimum) 9 P -ban hli minimum) 5 6 7