Széchenyi István Egyetem. Alkalmazott Mechanika Tanszék

Átírás

1 Széchnyi István Egytm Alkalmazott Mchanika Tanszék Végslm analízis Elmélti kérdésk gytmi mstrképzésbn (MSc) résztvv járm mérnöki, mchatronikai mérnök és logisztikai mérnök szakos hallgatók számára 0. októbr 0.. Mit értünk gy tst pontjainak lmozdulásvktorán? Válaszát szmléltss gy ábra sgítségévl. Adja mg a flhasznált zikai mnnyiségk lnvzését! Írja fl az lmozdulásvktor koordinátáit.. Dniálja a driválttnzort. Írja fl a driválttnzor koordinátáit Dscarts-fél koordinátarndszrbn.. Hogyan bontható szét a driválttnzor alakváltozási és mrv tst szr forgást líró részr? Adja mg, hogy az gys részk milyn tulajdonságokkal rndlkznk!. Írja fl az alakváltozási tnzort az u lmozdulásvktor koordinátáinak driváltjai sgítségévl az xyz koordináta-rndszrbn!. Írja fl a kinmatikai gynltt tnzorgynlt és skalárgynltk formájában is! 6. Származtassa a kompatibilitási gynltt a kinmatikai gynltb l. 7. Írja fl gy szilárd tst r kr vonatkozó gynsúlyi gynlténk intgrális alakját. Az gynltbn flhasznált mnnyiségkt szmléltss gy ábrán. 8. Írja fl gy szilárd tst nyomatékokra vonatkozó gynsúlyi gynlténk intgrális alakját. Az gynltbn flhasznált mnnyiségkt szmléltss gy ábrán. 9. Egy tst lmi térfogatának gynsúlyát flhasználva vzss l a tst flültén mgoszló trhlés ( p ( r)) és a fszültségtnzor (F ) közötti összfüggést! 0. Egy tst r kr vonatkozó gynsúlyi gynlténk intgrális alakjából kiindulva vzss l az r kr vonatkozó gynsúlyi gynlt dirnciális alakját! Írja fl a kapott gynltt vktor- és skalárgynltk formájában is!. Írja fl a Hook-törvényt tnzor- illtv skalárgynltk alakjában. Milyn fltétlk mlltt érvénys a Hook-törvény? Nvzz mg a flírt összfüggésbn szrpl mnnyiségkt.. Írja fl azt a skalár gynltrndszrt, amly sgítségévl a lináris rugalmasságtani fladat mgoldható!. Írja fl a lináris rugalmasságtani fladat ismrtln függvényit! Adja mg az gys ismrtln függvényk lnvzését!

2 . Adja mg a lináris rugalmasságtani fladat prmfltétlit. A prmfltétlkt szmléltss ábra sgítségévl.. Dniálja a kinmatikailag lhtségs lmozdulásmz t! Mit értünk kinmatikailag lhtségs alakváltozás és kinmatikailag lhtségs fszültségmz alatt? 6. A kinmatikailag lhtségs lmozdulásmz vl és az abból származtatott alakváltozással és fszültséggl flírt linárisan rugalmas prmérték fladat gynlti és prmfltétli közül mlyk tljsülnk, és mlyk nm? 7. Milyn fltétlk mlltt mondhatjuk, hogy gy kinmatikailag lhtségs fszültségmz mggyzik az gzakt mgoldással? 8. Dniálja a statikailag lhtségs fszültségmz t! Mit értünk statikailag lhtségs alakváltozás alatt? 9. A statikailag lhtségs fszültségmz illtv az abból származtatható statikailag lhtségs alakváltozás és a statikailag lhtségs lmozdulásmz sgítségévl flírt linárisan rugalmas prmérték fladat gynlti és prmfltétli közül mlyk tljsülnk és mlyk nm? 0. Milyn fltétlk mlltt mondhatjuk, hogy gy statikailag lhtségs lmozdulásmz és statikailag lhtségs alakváltozási mz mggyzik az gzakt mgoldással?. Dniálja a virtuális lmozdulásmz t! Milyn tulajdonságokkal rndlkzik a virtuális lmozdulásmz?. Dniálja az lmozdulásmz variációját! Milyn tulajdonságokkal rndlkzik az lmozdulásmz variációja?. Egy rugalmas tst F + f = 0 gynsúlyi gynltéb l kiindulva vzss l a virtuális munka lvét!. Az F A dv u (V ) (A u) 0 F n da (A u p) p 0 da (V ) u fdv = 0 virtuális munka lvéb l kiindulva vzss l a virtuális lmozdulás lvt!. Írja fl a virtuális lmozdulás lvét. A virtuális lmozdulás lvébn a rugalmasságtan gynltrndszréb l mly gynltk szrplnk, és mlyk nm? 6. Dniálja a tljs potnciális nrgiát! Adja mg a potnciális nrgia gys tagjainak kiszámítási módját (képltét). 7. Az lmozdulásmz δ u variációjának sgítségévl számítsa ki az alakváltozási mz δa variációját! 8. Az alakváltozás δa variációjának ismrtébn számítsa ki a fszültségmz δf variációját. 9. Mit mond ki a potnciális nrgia minimuma lv? 0. Bizonyítsa b a potnciális nrgia minimuma lvt!. Bizonyítsa b, hogy a potnciális nrgia ls variációja tartalmazza az gynsúlyi gynltt illtv a dinamikai prmfltétlt. Milyn módon tljsülnk itt zk az gynltk?

3 . Milyn szükségs és milyn légségs fltétlt lht mgfogalmazni ahhoz, hogy a potnciális nrgiának, mint funkcionálnak, széls érték lgyn?. Mi a Ritz-módszr lényg?. Számítsa ki az ábrán látható rúd középvonalának y irányú lmozdulását a z koordináta függvényébn. A számításhoz használjon Ritz-módszrt és az lmozdulást közlíts másodfokú függvénnyl. Csak a hajlításból származó alakváltozási nrgiát vgy gylmb. A mgoldás sgítségévl (v (z) függvény) számítsa ki a rúd igénybvétlit (nyírór, hajlítónyomaték). Mggyzik- a kapott mgoldás az gzakt mgoldással? Válaszát indokolja. (Ábrák: lásd a házi fladatnál.). Írja fl a σ T = [ σ x σ y σ z τ xy τ yz τ zx és ε T = [ ε x ε y ε z γ xy γ yz γ zx mátrixok sgítségévl (a mátrixok lmink fltünttésévl) a Hook-fél anyagtörvényt. 6. Írja fl a σ T = [ σ x σ y σ z τ xy τ yz τ zx és ε T = [ ε x ε y ε z γ xy γ yz γ zx mátrixok sgítségévl gy V térfogatú tst alakváltozási nrgiáját. 7. Írja fl az u T = [ u v w és ε T = [ ε x ε y ε z γ xy γ yz γ zx mátrixok sgítségévl gy V térfogatú tst potnciális nrgiáját. Nvzz mg a flírt összfüggésbn szrpl gyéb mnnyiségkt. 8. Három dimnziós tst mchanikai modlljébn hány függtln lmozdulás koordináta szrpl? 9. Három dimnziós tst mchanikai modlljébn gy ponthoz hány szabadsági fok tartozik? 0. Mit nvzünk izoparamtrikus végslmnk?. Írja fl, hogy gy végslm csomóponti koordinátái és a végslm közlít függvényi sgítségévl hogyan számítható ki a végslm gy ttsz lgs pontjának x, y és z koordinátája?. Írja fl, hogy gy végslm csomóponti lmozdulás paramétri és a végslm közlít függvényi sgítségévl hogyan számítható ki a végslm gy ttsz lgs pontjának x, y és z irányú lmozdulásai?. 8 ζ 6 η 7 Írja fl az ábrán látható nyolc csomópontú végslm? számú csomópontjához tartozó alakfüggvényénk (közlít függvényénk) képltét! ξ

4 ζ 6 8 η ξ Írja fl az ábrán látható húsz csomópontú végslm? számú csomópontjához tartozó alakfüggvényénk (közlít függvényénk) képltét!. Írja fl hogyan számítható ki gy D-s nyolc csomópontú végslm lmozdulás koordinátáinak ( u ) T = [ u v w T mátrixa a végslm q csomóponti lmozdulásvktora és az alakfüggvényk N mátrixa sgítségévl. A flírt összfüggésbn tüntss fl a mátrixok lmit is. Milyn mért az N mátrix? 6. Írja fl azt a mátrixot a mátrix lmink részlts fltünttésévl, amlynk az gy végslmr vonatkozó lmozdulás vktor koordinátákból l állított u mátrixszal vtt szorzata az ε alakváltozási koordinátákból álló mátrixot adja mg. 7. Írja fl ( hogyan számítható ki gy D-s nyolc csomópontú végslm alakváltozási koordinátáinak ε ) T [ = ε x ε y ε z γxy γyz γzx T mátrixa a végslm q csomóponti lmozdulásvktora és az alakfüggvényk N mátrixa sgítségévl. A flírt összfüggésbn tüntss fl a flhasznált mátrixok mértit és a mátrixok lmit is. 8. Írja l hogy hogyan határozható mg az N i (ξ, η, ζ) alakfüggvényk x, y és z koordináták szrinti driváltja a ξ, η és ζ szrinti driváltak flhasználásával! Írja l az gynltkt mátrixokba rndzv is! Az így kapott mátrix-gynltbn milyn nvzts mátrix fordul l? 9. Írja l részltsn, hogy hogyan számíthatók ki a D-s fladat stébn flírható Jacobi-mátrix lmi, ha ismrjük a végslm csomópontjainak koordinátáit? 0. Írja fl hogyan számítható ki gy D-s nyolc csomópontú végslm fszültségi koordinátáinak ( ) σ T [ = σ x σy σz τxy τyz τzx T mátrixa a végslm q csomóponti lmozdulásvktora és az alakfüggvényk driváltjainak B mátrixa sgítségévl. A flírt összfüggésbn tüntss fl a flhasznált mátrixok mértit és a mátrixok lmit is.. Írja fl tömörn azokat az összfüggéskt, amlyk sgítségévl gy D-s végslm csomóponti lmozdulásvktorát flhasználva kiszámíthatóak a végslm lmozdulás koordinátáit, alakváltozásit koordinátái illtv fszültség koordinátáit tartalmazó oszlopvktorok. Nvzz mg az összfüggéskbn szrpl mnnyiségkt.. Írja fl hogyan számítható ki gy végslm alakváltozási nrgiája a végslm q csomóponti lmozdulás vktorának ismrtébn. Tüntss fl, és a számítás során használja is ki, hogy a flhasznált mnnyiségk milyn koordináták függvényi. Nvzz mg a flhasznált mnnyiségkt.

5 . Hogyan számítható ki gy D-s végslm flülti trhléskb l származó f p thrvktora? Tüntss fl, és a számítás során használja is ki, hogy a flhasznált mnnyiségk milyn koordináták függvényi. Nvzz mg az összfüggésbn szrpl tagokat!. Hogyan számítható ki gy D-s végslm térfogati trhléskb l származó f f thrvktora? Tüntss fl, és a számítás során használja is ki, hogy a flhasznált mnnyiségk milyn koordináták függvényi. Nvzz mg az összfüggésbn szrpl tagokat!. Írja fl tömör, hogy hogyan számítható ki gy D-s végslm csomóponti lmozdulásvktorának, mrvségi mátrixának valamint thrvktorának sgítségévl a végslm potnciális nrgiája?