Fizikai geodézia és gravimetria / 12. VONATKOZTATÁSI RENDSZER PARAMÉTEREINEK MEGHATÁROZÁSA g MÉRÉSEK ALAPJÁN.

Átírás

1 MSc Fzka godéza és gravmtra / 1. BMEEOAFML01 VONATKOZTATÁSI RENDSZER PARAMÉTEREINEK MEGHATÁROZÁSA g MÉRÉSEK ALAPJÁN. Godéza vonatkoztatás rndszrnk (Godtc Rfrnc Systm = GRS) a godéza földmodllt matmatkalag mghatározó mnnységk (paramétrk) (mnt, pl. a vonatkoztatás flült a mért, f lapultsága, a Föld tömgét jllmző km gocntrkus gravtácós állandó, a Föld ω forgás szögsbsség, stb.) számszrű értéksorát nvzzük. Mghatározása gomtra és fzka jllgű mérés rdményk gyütts fldolgozásával lhtségs Korlátozódjunk a nhézség rőtér pontncál gömbfüggvény-sornak csak az lső néhány tagjára. A lggyszrűbb st a k = 0 értékhz tartozó központos (cntráls) rőtér lnn, d z még túl durva közlítés a föld szntflültk alakjára, zért a gyakorlatban lfogadott lggyszrűbb stbn k = -g összgzzük a sor tagjat. Így jutunk a Claraut által lvzttt, és róla lnvztt Claraut-fél szntszfrodokra. Ezk km a 1 U = 1 J P ( snψ ) + ω r cos ψ = állandó (1) r r gynltébn az U normálpotncál függvénynk a 0. és a. fokú gömbfüggvény tagja szrpl. Jó közlítéssl, nnk r szrnt parcáls dffrncálhányadosa abszolút értékként kapjuk mg az U potncálfüggvényhz tartozó normál nhézség rőtér térrősségét a U km a = 1 J P snψ ω r cos ψ. () r r r gömbfüggvénysor alakban. Írjuk fl az (1) és a () összfüggéskt az gynlítőn ( ψ = 0, r = a, = ) és a pólusokon ( ψ = 90, r = b, = p ): km 1 1 = + U 1 J + ω a a km a U = 1 J b b km = + 1 J ω a a km a = 1 J p b b amlybn a b = a ( 1 f ) hlyttsítéssl a normál nhézség rőtrt mghatározó összsn 8 mnnység 1

2 ( U,,, km, J, a, f és ω) p szrpl. Itt f a szntszfrod f = ( a b) / a gomtra lapultsága. Fjzzük k az lső három gynltből km-t, U-t és J -t, és írjuk b zk kfjzését a ngydkb, amt végül oldjunk mg f-r. Így az 5 ω a p f = () nvzts alakra, a szntszfrodok Claraut-fél összfüggésér jutunk. Ennk jlntőség abban van, hogy lhtőségt nyújt valamly szntszfrod f gomtra lapultságának mghatározására az ω forgás szögsbsség és a szfrod a gynlítő félátmérőjénk smrtébn, a normál nhézség térrősség p sark és gynlítő érték, vagys fzka jllgű mnnységk alapján. A () jobb oldal lső tagjában az gynlítő cntrfugáls és nhézség térrősség arányát szokás m-ml és a másodk tagot pdg β-val jlöln. Ez utóbb p β = (4) arányszámot nhézség lapultságnak nvzzük. Itt jgyzzük mg, hogy használjuk még a potncál gömbfüggvény-sora.- fokú, nullarndű C A J = (5) Ma gyütthatójára a sztatka lapultság, és thttlnség nyomatékok C A (6) C arányszámára a dnamka lapultság lnvzéskt s. Flhasználásukkal a szntszfrodok néhány összfüggés (az f gomtra lapultság 10 nagyságrndjég és a ψ ϕ közlítéssl) a normál nhézség térrősség a szntszfrod flszínén a ϕ földrajz szélsség függvényébn: = (1 + β sn ϕ +...), (7) ahol a nhézség lapultság p β = = J + m +... ; (8) a szfrod hlyvktor hossza r = a (1 f sn ϕ +...), (9) ahol a b m f = = J (10) a a szntszfrod gomtra lapultsága.

3 Végül a szntszfrodokra flírható az 5 ω a p f = U = km a km = a (1 1+ = 5 f + f m m + m +...) három alapösszfüggés a bnn szrplő hét mghatározó mnnység km, U,, ; a, f és ω) ( p β, (11) között. Így 4 knduló mnnység smrtébn a földmodll fnnmaradó tovább jllmzőj a (11) három összfüggés flhasználásával kszámítható. A 4 knduló mnnység közül az 6 1 ω = 7, sc és az a = m flvétl kéznfkvő, hszn pl. a Föld forgás szögsbsségét csllagászat méréskből nagyon pontosan smrjük. Ugyanakkor vgyük észr, hogy a () Claraut-fél összfüggésbn ugyanazok a és β smrtlnk szrplnk, mnt a normál nhézség gyorsulás (7) képltébn! Így az f lapultság mghatározására vonatkozó fladatunkat vsszavzthtjük a g normálképlt gyütthatónak mghatározására. Ennk mgfllőn, ha lgndő számú φ földrajz szélsségű pontban smrjük a g nhézség gyorsulás méréskkl mghatározott és a szfrod flszínér rdukált értékét, akkor a (7) összfüggést közvtítő gynltként alkalmazva a és a β a lgksbb négyztk alaplvénk flhasználásával mghatározhatók. Ennél a számításnál fontos alapkövtlmény hogy a kgynlítésb bvont g értékk n tartalmazzanak szabályos hbát, zért ha a földflszínn különböző tngrsznt fltt h magasságokban mértük a g értékkt, akkor zkt át kll számítanunk (rdukáln kll) a szntszfrod flültér. A szntszfrod fltt magasságokat vszont nm smrjük, zért hlytt csak az zt jól közlítő tngrszntr tudjuk átszámítan a mérésnkt. A g értékk átszámítása lőtt vszont tsztáznunk kll, hogy mt s értünk h magasságban a trpszntn mghatározott g érték tngrsznt mgfllőjén. Ezzl kapcsolatosan két flfogás létzk: 1.) A g tngrsznt mgfllőjén azt az értékt értjük, amlyt a fzka földflszín alatt, a tömgk blsjébn a tngrszntg nyúló kút alján mérnénk mközbn mndn tömg az rdt hlyztébn maradna..) A g tngrsznt mgfllőjén azt a g értékt képzljük, amlyt úgy mérnénk, hogy a tngrsznt fltt tömgkt ltávolítanánk (dózrokkal ltünttnénk). Az lső lgondolásnak mgfllő átszámítás során három lépésbn jutunk rdményr: lőször Bougur-rdukcóval ltávolítjuk a tömgkt a földflszín és a tngrsznt között, zt kövtőn Fay-rdukcóval lvsszük a pontot a tngrszntr, majd gy harmadk lépésbn smét Bougur rdukcót alkalmazva vsszaállítjuk a tömgkt az rdt hlyztükb: g P' = gp δ gb + δgf δgb = gp δg B + δgf. (1)

4 A másodk lgondolás szrnt átszámítás során csak az lőző két lépést kll lvégznünk, thát gy Bougur és gy Fay-rdukcót kll számítanunk: g P' = gp δ gb + δgf. (1) Az 1. lképzlés hbája, hogy a mghatározandó flültn kívül nm lhtnk tömgk (a god flült mtszht bl a tömgkb), z a Laplac-gynlt mgoldásánál alapfltvés volt, d a másodk flfogás szrnt rdukcó sm jó, mrt z vszont ltüntt a god fltt tömgkt, így mghamsítja a Föld össztömgét. A Bougur rdukcó: 6 δ = kπρh = ρ h[m] 10 [10 m/s ], (14) g B A Fay-rdukcó: 6 δ = h[m] 10 [10 m/s ], (15) g F A (1) szrnt rdukcó ρ = 670kg/m átlagos földkérg sűrűség stén a (14) és a (15) összvonásával: gp' = gp h. (16) Ezkkl a rdukált g értékkkl már végrhajtható a kgynlítés (bár még zk s tartalmaznak ks szabályos hbát, mvl nm a szfrodra, hanm a tngrszntr rdukáltunk). A közvtítő gynltk: = g p + v = ( 1+ β sn ϕ ). (17) Előzts értékkt vszünk fl: = 0 + δ 0 = β = β 0 + δβ β 0 = A közvtítő gynltkt a lnarzálás céljából sorbafjtjük: = ( ) 0 + δ + δβ, β (18) bből: g + v = ( β ϕ ) ( β ϕ ) δ ( ϕ )δβ sn sn + 0 sn. (19) ( ) 0 a b A javítás gynltk: v = aδ + bδβ + l. (0) A mgoldás: δ 1 = x = ( A A) A l 0, β f. (1) δβ 4

5 Mntaszámítás: FI() h() g() [fok-p-mp] [m] [m/s^] a = [m] OMEGA =.79116E-04 [1/s] GAMMA0 = [m/s^] BETA0 = rd. g() A() B() L() A*A MATRIX: A*L VEKTOR: AZ ISMERETLENEK: d GAMMA = d BETA = A VONATKOZASI RENDSZER PARAMETEREI: a = [m] OMEGA =.79116E-04 [1/s] GAMMA = [m/s^] BETA = f = /f = 9.85 km = E+15 [m^/s^] M =.5974E+5 [kg] U =.66744E+08 [m^/s^] 5