TERMÉKTERVEZÉS NUMERIKUS MÓDSZEREI Előadás jegyzet Dr. Goda Tibor. 3. Lineáris háromszög elem

Átírás

1 TERMÉKTERVEZÉS NUMERIKUS MÓDSZEREI Előadás jgyzt Dr. Goda Tibor 3. Lináris háromszög lm - A végslms mgoldás olyan approximációs függvénykn alapul, amlyk az gys lmk vislkdését írják l (lmozdulás függvény vagy hőmérséklt függvény, stb.) - Ezn részmgoldások kombinációja adja a tljs vizsgált rndszr mgoldását, - A végslm módszr alapgynltit D-s linárisan rugalmas fladaton krsztül mutatjuk b, fltétlzv, hogy az lmozdulás vktor komponnsink lmn blüli változása lináris függvénnyl írható l (lggyszrűbb lmtípus), - További fltétlzésk: kis alakváltozások, homogén és izotróp tst, - A tárgyalt mgközlítés a virtuális munka lvén alapul (a külső rők által végztt virtuális munka gynlő a blső fszültségkhz tartozó virtuális alakváltozási nrgiával), - A VEM paramétrkt rndl a csomópontokhoz és az lmkhz, - A végslms számítás célja a csomóponti lmozdulások, valamint az gys lmkhz tartozó alakváltozások és fszültségk mghatározása.

2 - Az lm csomóponti lmozdulás vktora - u T =[u i, v i, u j, v j, u k, v k,], (1) - ahol u i, u j és u k az i, j, k csomópontok x-irányú lmozdulásai, v i, v j és v k az i, j, k csomópontok y-irányú lmozdulásai. - Az lmn blüli fltétlztt lmozdulás függvény alakja x és y irányba a kövtkző u(x,y)=α 1 +α x+α 3 y (a) v(x,y)=α 4 +α 5 x+α 6 y. (b) - Az lmn blüli lináris közlítés kisbb nagyobb hibát okozhat az adott lm nagyságától és lhlyzkdésétől függőn, azaz, hogy a fszültséggyűjtő környztn blül vagy kívül van-. - A () gynlt 6 konstanst tartalmaz, továbbá van 6 csomóponti lmozdulás érték (3 csomópont csomópontonként szabadságfokkal ( DOF)). - A () gynlt új alakja a kövtkző u(x,y)=f(u i, u j, u k, x i, y i, x j, y j, x k, y k, x, y), (3a) v(x,y)=f(v i, v j, v k, x i, y i, x j, y j, x k, y k, x, y). (3b) - Mátrix jlölés alkalmazásával, u(x, y) u (x, y) = = Nu, v(x, y) (4) - ahol N a formafüggvény mátrix. - Az lmozdulás mző folytonos a szomszédos lmk között, d az lmozdulások driváltjai (azaz az alakváltozások és fszültségk) már nm. Az utóbbiak érték az lmn blül nm változik (ha az lmozdulás mzőt az lmn blül lináris függvénnyl közlítjük).

3 - Az alakváltozás-lmozdulás (gomtriai) gynltk a vizsgált str: u ε x x v ε = ε =, (5) y y ε xy u v + y x - Mátrix alakban: ε=bu, (6) - ahol B az alakváltozás-lmozdulás mátrix. - A fszültség-alakváltozás kapcsolat (anyagtörvény) a jln str vonatkozóan (sík alakváltozási állapot): ν ν E(1 ν ) ν σ = Dε, D = 1 0 (1 + ν )(1 ν ) 1 ν (7) 1 ν 0 0 (1 ν ) ahol D az anyag vagy konstitutív mátrix. - Az lm csomóponti rői a kövtkzők F T =[F ix F iy F jx F jy F kx F ky ], (8) - A virtuális munka lv kimondja, hogy a külső rők által végztt munka, 1 T δ W = u F, (9) - gynlő a tljs tstbn flhalmozódó virtuális alakváltozási nrgiával: 1 T δ U = ε σ dv. (10) - A (6), (7) gynltk (10) gynltb történő hlyttsítés után - végül T ( DBdV ) u, 1 T δ U = u B (11) T ( B DBdV ) u K u F = ahol K az lm mrvségi mátrixa. =, (1)

4 - A szrkzt mrvségi mátrixa: K = K, (13) ( ) - Hasonló módon, a szrkztr vonatkozó trhlés és csomóponti lmozdulás vktor: F = F u = ( ) és u. (14) - A virtuális munka lvénk mindn gys lmr történő alkalmazása után a kövtkző gynltt kapjuk Ku = F, (15) amly algbrai gynltkt tartalmazó gynltrndszrnk fll mg. Az gynltrndszr ismrtlni a csomóponti lmozdulás vktor komponnsi. - A számítás utolsó lépés az gys lmkhz tartozó alakváltozások és fszültségk mghatározása. ( )

5 PREPROCESSOR INPUT DATA Control Data, Matrials, Nod and Elmnt Dfinition, Boundary Conditions, Loads Elmnt Fil Load Fil FORM ELEMENT [k] Rad Elmnt Data, Calculat Elmnt Stiffns Matrix, [k] Elmnt Fil FORM SYSTEM [k] Assmbl Elmnt [k]s to Form th Systm Stiffnss Matrix, [K] APPLY DISPLACEMENT BOUNDARY CONDITIONS COMPUTE DISPLACEMENTS Solv th Systm Equations [K]{D} = {F} for th Displacmnts {D} = [K] -1 {F} Load Fil COMPUTE STRESSES Calculat Strsss and Output Fils for Postprocssor Plotting Displacmnt, Strss Fils POSTPROCESSOR Finit Elmnt Computr Program Block Diagram