MIKROMECHANIKAI ÉRZÉKELŐK ELEKTROMOS-,

Átírás

1 MIKROMECHANIKAI ÉRZÉKELŐK ELEKTROMOS-, MECHANIKAI- ÉS TERMIKUS MODELLEZÉSE Doktor értkzés Vízváry Zsolt oklvls gépészmérnök Tdományos Vztő: Dr. Kovács Ádám Bdapst, 5. áprls

2 BUDAPESTI MŰSZAKI ÉS GAZDASÁGTUDOMÁNYI EGYETEM GÉPÉSZMÉRNÖKI KAR Szrző nv: Vízváry Zsolt Értkzés cím: Mkromchanka érzéklők lktromos-, mchanka- és trmks modllzés Témavztő nv (ha volt): Dr. Kovács Ádám Értkzés bnyújtásának hly (Tanszék, Intézt): Bdapst Műszak és Gazdaságtdomány Egytm, Műszak Mchanka Tanszék Dátm: 5. áprls 5. Bírálók: Javaslat: bíráló nv nylvános vtára gn/nm bíráló nv nylvános vtára gn/nm bíráló nv (ha van) nylvános vtára gn/nm A bíráló bzottság javaslata: Dátm: (név, aláírás) a bíráló bzottság lnök

3 Nylatkozat Allírott Vízváry Zsolt kjlntm, hogy zt a doktor értkzést magam készítttm és abban csak a mgadott forrásokat használtam fl. Mndn olyan részt, amlyt szó szrnt, vagy azonos tartalomban, d átfogalmazva más forrásból átvttm, gyértlműn, a forrás mgadásával mgjlöltm. A dolgozat bírálata és a védésről készült jgyzőkönyv a Bdapst Műszak és Gazdaságtdomány Egytm Gépészmérnök Karának dékán hvatalában lérhtő. Bdapst, 5. áprls 5. Aláírás

4 Elctrcal-, Mchancal- and Thrmal modllng of Mcromchancal Strctrs Abstract Th topc of ths work s modllng copld mchancal problms, whch occrs n MEMS (Mcro-Elctro-Mchancal Systms). In th most cass on has to dal wth mchancal, thrmal and lctrc ffcts. In th frst parts n my work th drvaton and fnt lmnt dscrtzaton of pzothrmolastc qatons ar prsntd. I drv th copld pzothrmolastc qatons sng a modfd hyprbolc qaton of hat condcton whch s mor adqat n mcro scal. Th qatons ar vald for homognos, lnar lastc, ansotropc matral. Nmrcal calclatons ar carrd ot on modllng xampls wth an own fnt lmnt cod. Th nxt part shows th thrmomchancal analyss of ral mcromchancal strctrs. Th ffcts of gomtrcal paramtrs, matral proprts and bondary condtons ar prsntd. Fnally, lastcty modls masrmnt of slcon-ntrd s prsntd.

5 Tartalom 1 TARTALOM 1. Bvztés.... Pzo-trmo-lasztks alapgynltk Lnárs kapcsolt pzo-trmo-lasztks gynltk Az általánosított lnárs pzo-trmo-lasztks gynltk Kzdt és prmfltétlk Pzo-trmo-lasztks problémák végslms mgfogalmazása Végslms gynltk hly szrnt dszkrtzácója Hly szrnt dszkrtzácó a klasszks hővztés gynlt stén Az gyüttható mátrxok lm a klasszks hővztés gynlt stén Hly szrnt dszkrtzácó a módosított hővztés gynlt stén Az gyüttható mátrxok lm a módosított hővztés gynlt stén Végslms gynltk dő szrnt dszkrtzácója Végslm program pzo-trmo-lasztks fladatokhoz (PTE) Elmtíps Tszt példák Mchanka analízs Trmomchanka analízs Pzolktromos analízs Mntapélda Mndkét végén bfogott tartó Mkromchanka szrkztk kapcsolt modllzés Egy dmnzós kapactív gyorslásérzéklő Mchanka analízs Trmomchanka analízs A mchanka és trmomchanka rdményk összhasonlítása Gázérzéklő Négyhdas gázérzéklő szrkzt Kéthdas gázérzéklő szrkzt Szlícm-ntrd rgalmasság modlszának mghatározása Mérés Mérés lrndzés A mnták Számítások Analtks modll Végslm modll Erdményk Összfoglalás Smmary Tézsk... 9 Irodalom Pblkácók Köszöntnylvánítás... 11

6 1. Bvztés 1. BEVEZETÉS A korszrű, nagy sbsségű számítógépkkl ma már rndkívül sokfél folyamatrányítás és szabályozás fladat oldható mg. Ezknk a fladatoknak az rdménys mgoldásához fltétlnül szükségs, hogy az llnőrzndő és szabályozn kívánt folyamatokat jllmző fzka, kéma paramétrkt folyamatosan érzékljük, mérjük. Ezkhz a méréskhz szükség van érzéklőkr (sznzorok). A szabályozás paramétrkt nmcsak mérn kll, d stnként b s kll avatkozn a folyamatba. Ezkt az szközökt, amlykt fordított működésű érzéklőknk s tknthtünk, bavatkozóknak (aktátorok) nvzzük. Az érzéklők és bavatkozók ktatása, fjlsztés napjankra klcsfontosságúvá vált. A félvztő tchnka rohamos fjlődés lhtővé ttt az gyr nagyobb mértékű mnatürzálást. Ez az érzéklők és bavatkozók szmpontjából rndkívül fontos, hszn mnél ksbb a mérőszköz, annál kvésbé zavarja mg a szabályozn kívánt folyamatot. A félvztő tchnka stébn pdg még arra s lhtőség van, hogy a kértéklő áramkör s lkészíthtő gy chpn blül. Az érzéklők és bavatkozók többfél működés lvn alaplnak: pl. mchanka, optka, mágnss, stb. Ezkn a fő katgórákon blül azonban újabb működés lvk különböztthtők mg: pl. a mchanka érzéklőkön blül bszélhtünk pzorzsztív, kapactív, pzolktromos, rzgőlms stb. érzéklőkről. Dolgozatomban kzárólag a mchanka érzéklőkkl foglalkozom, azon blül s lsősorban a pzorzsztív, pzolktromos és kapactív működés lvűkkl. A pzorzsztív és kapactív érzéklők lsődlgs alapanyaga a szlícm. A szlícm rndkívül jó mchanka tlajdonságokkal rndlkző anyag. A szlícm gykrstály sznt tökéltsn lnársan rgalmasan, rdg anyagként vslkdk szobahőmérsékltn, folyás nélkül törk gészn 6 o C-g. Magasabb hőmérsékltn a törés lőtt ks mértékű folyás tapasztalható [1]. Emlltt lktromos tlajdonsága s jók, zért s kdvlt alapanyag a mkromchankában. Szlícm alapú érzéklők lhtnk példál nyomásmérők, rőmérő cllák, gyorslásérzéklők, amlykkl a hétköznapok során s találkozhatnk. Az lyn szközökt a nmztköz rodalomban MEMS-nk nvzk (Mcro Elctro-Mchancal Systm). Az lktromchanka érzéklők működés azon alapl, hogy a különböző nrgákat átalakítják mchanka nrgából lktromos nrgát, lltv fordítva -, zért fjlsztésük ktatása több tdomány - anyagtdomány, lktromosságtan, hőtan, mchanka, fzka, kéma - határtrültér sk. Kapactív érzéklők stébn a mchanka jllgű nformácó az lmozdlás, amt lktromos jllé kívánnk alakítan. Ezt úgy thtjük mg, hogy készítünk gy kondnzátort, mlynk gyk fgyvrzt a mozgó lm, am általában mmbrán, d lht bármlyn más flfüggszttt strktúra, a másk pdg gy rögzíttt flült, am a mozgó flülttl szmbn van. Így az lmozdlás változás a kapactás mgváltozását okozza. Mnél nagyobb az lmozdlás, annál nagyobb a kapactás változása s. Számítás nhézségt okozhat az szközök nagy részénél az, hogy a mozgó rész rgalmas, am matt

7 1. Bvztés 3 az lmozdlás nm konstans a lmz pontjaban, így a kapactás az lmozdlásnak nm lnárs függvény. Gondoljnk példál a mmbránokra, ahol a mmbrán közpén a lgnagyobb a lhajlás. Ez a trvzhtőség szmpontjából s bonyolítja a hlyztt, hszn nm síkkondnzátorról van szó, így a várható kapactásváltozás kszámításához s nmrks szmlácóra lht szükség. Kapactív típsú érzéklőkt bavatkozóként s lht alkalmazn. Az lktromos fszültség hatására kalakló térrősség a mozgó fgyvrzt lmozdlását okozza. Pzorzsztív érzéklők stén olyan érzéklőkről bszélünk, ahol llnállást (pzorzsztor) alakítanak k az érzéklő azon hlyén, ahol a szrkztbn mchanka fszültségk kltkzhtnk. A pzollnállás működés a nyúlásmérő bélygkéhz hasonló. Mchanka fszültség változás hatására llnállás változás kövtkzk b. Az llnállásokat általában Whatston-hídba szokták kapcsoln. A pzorzsztvtás nm használható bavatkozókban. Pzolktromos jlnségről akkor bszélünk, ha mchanka fszültség hatására, lktromos fszültség, lltv áram kltkzk a szrkztbn, vagy fordítva. Ebből adódóan a pzolktromos szközök bavatkozóként s működhtnk. Problémát okozhat vszont az, hogy hosszabb djű statks trhlés stén fllépht szökés áram, azaz az lktromos jl dőbn változhat annak llnér, hogy a mchanka trhlés változatlan. Kzdtbn az lktromchanka érzéklők fjlsztés talán amatt, hogy félvztő tchnka alapokon nygszk a fzksok és vllamosmérnökök szaktrült volt. Ennk rdményként zkt az érzéklőkt annak llnér, hogy valamlyn mchanka jllmző mérésér fjlszttték mchanka szmpontból nm vzsgálták. Ennk még ma s érzhtő az a kdvzőtln hatása, hogy az érzéklők és bavatkozók anyagjllmzőr vonatkozóan korlátozottak, olykor llntmondásosak az rodalomban található adatok, noha mára már számos pblkácót találhatnk, amly a mkromchanka szrkztk mchanka vzsgálatával foglalkozk. Az érzéklők és bavatkozók vzsgálatát nhzít az s, hogy gyakran nm cspán gy mchanka problémát kll vzsgáln, hanm valamlyn kapcsolt fladatot s. Hogy pontosan mlyt, az az adott szköztől függ. Attól függőn, hogy mly mzők vannak kapcsolva, bszélhtünk lktromchanka (pzolktromos), trmomchanka vagy mndhárom mző kapcsoltsága és rgalmas alakváltozás stén ún. pzo-trmo-lasztks (pzohőrgalmas) fladatról. A pzo-trmo-lasztks konstttív gynltk lvztését lőször MINDLIN-nél [] találhatjk mg. Az gynltk lvztés, összfoglalása NOWINSKI [3] könyvébn s szrpl. Ő zkr az gynltkr a pzo-trmo-lasztks lnvzést használja. Az lnvzésk tknttébn az rodalom még nm gységs tknttbn. A lgltrjdtbb a pzo-trmo-lasztks lnvzés, d smrtsk még a trmo-lktro-mchanka, trmo-lktrolasztks vagy trmo-pzolktromos lnvzésk s. ALTAY és DÖKMECI [4] különbségt tsz a pzo-trmo-lasztks és a trmo-pzo-lasztks lnvzésk között. Ők a pzo-trmo-lasztks gynltkt a trmo-pzo-lktromos gynltk spcáls sténk tkntk, ahol a hőmérséklt mző

8 1. Bvztés 4 nncs a pzolktromos gynltkhz kapcsolva. Ckkükbn tévsn hvatkoznak NOWINSKI-r s, mvl a [3] könyvbn lírt gynltk összkapcsolják a hőmérsékltmzőt az lktromos és mchanka mzőkkl. Dolgozatomban a pzo-trmolasztks, lltv pzo-hőrgalmas lnvzéskt fogom használn NOWINSKI nyomán. Pzo-trmo-lasztks fladatok anyaggynlt már az 197-s évktől smrtk, azonban zkkl a fladatokkal az 199-s évkg nm sokan foglalkoztak. A 9-s évktől azonban talán épp a sznzortchnka fjlődés matt az lyn pblkácók száma rohamosan nő. Kzdtbn főlg analtks mgoldás lhtőségkkl foglalkoznak (pl. végtln hosszú szalag, félvégtln tér), d az zrdfordlóhoz közldv már található gy-két olyan ckk s, am zknk az gynltknk a végslms mgoldását tárgyalja. A kapcsolt pzo-trmo-lasztks fladatok analtks mgoldására spcáls példák vannak az rodalomban. MINDLIN [5] nagyfrkvncájú rzgéskt vzsgál kétdmnzós gynltkkl pzolktromos krstály lmzkn a trmks hatást s fgylmb vév. DUBE és társa [6] pontos analtks mgoldást ad gy végtln hosszú, koncntrált nyomatékkal trhlt pzo-trmo-lasztks ortotróp szalagra. LEE és SARAVANOS [7] kompozt héjakat vzsgál a végslm módszr sgítségévl, d ckkükbn a hőmérséklt csak az lmozdlás és lktromos mzőkhöz tartozó trhlés vktorban jlnk mg, thát valójában csak két mző kapcsolásáról van szó. ASHIDA és TAUCHERT [8] pzo-trmolasztks hngrs lmzk síkfszültség problémával foglalkozk. Hvatkozott ckkük korább ckkknél általánosabb stkt vzsgál. STAM és CARMAN [9] koncntrksan gymáshoz csatolt pzolktromos hngrk trmolktromchanka vslkdését vzsgálja. CHEN és SHEN [1] hngrszmmtrks pzo-trmo-lasztks héjat vzsgál analtks módszrkkl. QIN [11] rpdéskt vzsgál pzolktromos félsíkon a prmlm módszrrl. QIN [1], [13], [14] pzo-trmo-lasztks Grn-függvény lőállításával foglalkozk lmzkr különböző nyílásokkal. BELYAEV [15] a hővztés gynltt és dnamks határérték problémát vzsgál pzo-trmo-lasztks anyagokban. TARN [16] és MELNIK [17] nmrks módszrkkl közlítk mg a problémát, d nm a végslm módszrrl. Végslms mgfogalmazást találhatnk FUNG és társa [18], valamnt KOKO és társa [19] ckkébn, d gykbn sm közlk az gynltk alapjat. Részlts lvztést közöl BOURANTA és társa []. Ők vrtáls lmozdlásokat és varácós lvkt használnak a végslms gynltk lvztéséhz. GÖRNANDT és GABBERT [1] szntén varácós lvkt használnak az gynltk flírásához. Az tóbb két ckk gyakorlatlag gyanazt a mátrx dffrncálgynltt rdményz (BOURANTA-ék ckk [] tartalmaz gy ks lírást), azonban rdményük ltér mnd a [18], mnd a [19] ckk végslms flírásától. Dolgozatomban nm varácós lvkt fogok használn a végslms gynltrndszr flírásához, hanm a Galjorkn súlyozott maradvány módszrt. A tsztán mchanka és trmomchanka fladatok mgoldása lvbn ma már nm okoz nagy problémát. A lgtöbb végslm programcsomag tartalmaz olyan modlokat, amlyk sgítségévl zk a fladatok mgoldhatóak. Trmésztsn zn a trültn s

9 1. Bvztés 5 adódnak olyan fladat típsok, amlykt zk a programok nm fdnk l (pl. általánosított hővztés gynlt). BALLA [] kanddáts értkzésébn nagyon alaposan lvzt általános str a hőrgalmasságtan végslms gynltt. Dolgozatomban nagy mértékbn támaszkodom az ő mnkájára. A pzolktromos stkr s vannak már modlok, sőt az ANSYS [3] végslm programnál már bzonyos hármas kapcsoltság s van, d ott valójában csak az lktromos és a trmks, lltv a trmks és a mchanka mzők kapcsoltak páronként. FUNK és társa [4] háromdmnzós trmo-lktro-mchanka szmlácót smrttnk MEMS szközökr, d ckkükből kdrül, ők s csak páronként kapcsolták össz az gynltkt. Annak llnér, hogy a tsztán mchanka és trmomchanka fladatok mgoldhatóak a krskdlm végslm programokkal, modllzés szmpontjából a mkromchanka szközök modllzés tartogat még khívásokat, hszn szükségsk az anyagjllmzők. Sok stbn nm zotróp a fladat (pl. szlícm). CHEN és társa [5] ckkébn azzal foglalkozk, hogy m a hatása annak, hogyha a szlícmot zotróp anyagnak tétlzzük fl mkrostrktúrák trvzés során. Kérdéss az s, hogy azok az anyagjllmzők, amlykt nagyobb próbatstkn mghatároznak, használhatóak- ks mértkbn, lltv vékony rétgk stén. MAZZA és DUAL [6] mkrométr nagyságú, éls sarkokkal kalakított szlícm gykrstály szrkztk mchanka vslkdését vzsgálja. PEARSON és társa [1] ksmértű szlícm krstályok dformácójával és törésévl foglalkozk. WEI és társa [7] a mkroszrkzt hatását vzsgálják a szlícm vékonyrétgk hővztés tknttébn. FANG és társa [8], [9] hőtáglás gyütthatót határoznak mg mkromértű vékonyrétgkbn. Szntén a hőtáglás gyüttható mghatározásával foglalkozk ZIEBART, és társa [3]. A szrkztk gomtrája s fontos lht. Általában különböző marás tchnológákkal alakítják k az szközökt, d különböző rétgkt s képzhtnk a flültn. Ez különösn fontos a modllzés szmpontjából, hszn a különböző anyagú rétgk különböző anyagjllmzők matt okoznak problémát. Anyagjllmzők tknttébn az lső pblkácó, am a szlícmmal, mnt mchanka anyaggal foglalkozk PETERSEN ckk [31]. Azonban a ckk nagy rész nm az anyagjllmzők mghatározásával, hanm a szlícm mgmnkálhatóságával foglalkozk. Jól szmléltt, hogy félvztő tchnológa módszrkkl mlyn módon alakíthatóak k mmbránok, bmélydésk, lykak és hogyan bfolyásolják a szlícm krstálytan jllmző zkt a tchnológa folyamatokat. Az gys tchnológa lépésk folyamán a szlícmot sznnyzk, doppolják. Ennk kövtkztébn az anyagjllmző mgváltozhatnak, lltv maradó fszültség kltkzk, azaz lőfordlhat, hogy a kalakított szrkzt thrmnts állapotban sm fszültségmnts. Ezért szükségs lht a szrkztbn maradó fszültségk mghatározása. Ezzl foglalkozk PAN és HSU [3] mkrostrktúrák stén. LEE és társa [33] a sznnyző anyagok hatását tanlmányozza a Yong-modlszra. CHU, MEHREGANY [34] a maradó fszültségk vastagság mnt loszlását vzsgálja vékony

10 1. Bvztés 6 p -rétgkbn 1. DING, és társa [35] bórral adalékolt p -rétgkbn ébrdő maradó fszültségkkl és a rétg mchanka tlajdonságaval foglalkozk. A mkromchanka tchnológákkal lőállított lktro-mchanka érzéklők között a lgltrjdtbbk a nyomásérzéklők és gyorslásérzéklők. Még manapság s jlnnk mg olyan ckkk bbn a témában, amlyk az érzéklő mchanka vslkdésévl, jllmzővl mchanka mértzésévl nm foglalkoznak. Az érzéklő jllmzőt csak mérés útján állapítják mg. Ennk az lht az oka, hogy a mkromchanka szközök lőállítása nm jár nagy költségkkl gy már mglévő tszta térrl rndlkző ntéztbn, üzmbn, így néhány prototíps lőállításával és tsztléssl próbálják mgtaláln a mgfllő paramétrkt. Nm tartalmaznak mchanka számítást a kövtkző ckkk [36] (1983), [37] (1989), [38] (1997), [39] (1998), [4], [41] (1999), [4], [43], [44], [45] (). Az élsdő pac vrsny azonban mgkövtl a szrkztk mchanka trvzését, llnőrzését s. Az zrdfordlóhoz közldv gyr több az olyan pblkácó, am már tartalmaz valamfél mchanka számítást. Az lső általában gyorslásérzéklővl kapcsolatos pblkácók analtks képltkt tartalmaznak z lső sajátfrkvnca mghatározására. Rtkábban lőfordl, hogy a lhajlást s mghatározzák analtksan. ROYLANCE és ANGELL [46] gyk végén bfogott tartó jllgű gyorslásérzéklő lőállításával foglalkozk. SEIDEL és CSEPREGI [47] s hasonló szrkztk optmalzálást tűz k fladatál. Egy nnél bonyolltabb két tömggl rndlkző gyorslásérzéklő sajátfrkvncáját vzsgálja SHENés társa [48]. ELGAMEL [49] nyomásérzéklő mmbránok lhajlás-kapactásváltozás között kapcsolattal foglalkozk. A mkromchanka szrkztk modllzésér bonyolltabb gomtrák stén kéznfkvőnk látszk a végslm módszr. CAO és társa [5] gy pzorzsztív mmbrán lkészítését és modllzését mtatja b. Ők s és z általában jllmző a mkromchanka szrkztkkl foglalkozó ckkkr az ANSYS programot használták. Ckkükbn a szrkztbn fllépő alakváltozásokat számították k. CRAZZOLARA és társa [51] pzorzsztív gyorslásérzéklő vzsgálatára használják a végslm módszrt, azonban a közölt rdményk csak kvaltatívak (cspán a fszültségkomponns lőjlér vonatkozóan tsz mgállapításokat). YOSHIDA és társa [5] gy kapactív típsú gyorslásérzéklő vzsgálatát végzt l. A számítások az lmozdlás-mzőr vonatkoznak, gyans bből számolható k a kapactásváltozás. Szntén gyorslásérzéklő modllzését találhatjk mg LÜDTKE és társa [53] mnkájában. Ez szntén az lmozdlás mző mghatározására trjd k, az rdménykt analtks számításokkal s összvtk. LI és társa [54] s az lmozdlásokat számítja k gy groszkóp modllzés során. CHOUAF és társa [55] már a mkromchanka módszrkkl lőállított mmbránok krtks pontjaban vzsgálja a fszültségkt. Többfajta végslm modllt s készítnk a fladat modllzésér. XIAO és társa [56] gyorslásérzéklő modáls analízsét végz l. PLAZA és társa [57] ckkébn már gy átfogó mchanka vzsgálatot láthatnk. Mnd az lmozdlás mzőt, mnd a fszültségmzőt mghatározták, zn kívül a 1 Félvztő anyagok stén p típsúra adalékolt rétg.

11 1. Bvztés 7 szrkzt sajátfrkvncát s kszámolták. BLASQUEZ és társa [58] pdg már gy nyomásérzéklő trmomchanka számításat mtatja b. Kapactív típsú érzéklőknél a két fgyvrzt között rőhatás lépht fl az lktromos térrő matt. Ennk hatásával foglalkozk PUERS és LAPADATU [59]. LUCK és AGBA [6] pzolktromos érzéklők és bavatkozók trvzés alaplvvl foglalkozk. A ckk tlajdonképpn a pzo-trmo-lasztks alapgynltkt mtatja b. A ktatások ma már nmcsak a mkromchanka szközök trvzésévl, hanm a mgbízhatóság kérdésvl s foglalkoznak. A szlícm törésmchanka jllmzővl foglalkozk HAUCH és társa [61]. SHARPE és társa [6] a mntadarab mérténk hatását vzsgálja a Yong-modlszra és a törés szlárdságra. TAYEBI és TAYEBI [63] MEMSszközök nmrks törésmchanka analízsévl foglalkozk. MUHLSTEIN, BROWN [64] és MESCHEDER, KRONAST és NAYCHUK [65] mgbízhatóság és kfáradás jlnségkt vzsgálnak mkromchanka szközök stébn. Dolgozatom lső részébn áttkntést nyújtok a pzo-trmo-lasztks konstttv gynltkről, azok lvztéséről. Galjorkn módszrévl lvégzm a pzo-trmolasztks gynltk hly szrnt dszkrtzácóját mnd a klasszks, mnd az általánosított hővztés gynlt flhasználásával. Elkészítttm gy végslm programot, amly alkalmas pzo-trmo-lasztks statka problémák mgoldására. A programot FORTRAN nylvn írtam SMITH és GRIFFITHS [66] könyvénk és mntaprogramjanak flhasználásával. Az általam kapott rdménykt összvtttm mnd a könyvbl programok, mnd a COSMOS/M. [67] végslm program rdményvl. Szót jtk még az dőbl dszkrtzácó lhtőségről, hszn a tljs mátrx dffrncálgynlt mgoldásához rr s szükség van. Konkrét mkromchanka szrkztk mchanka, lltv trmomchanka vzsgálatát végztm l szntén a COSMOS/M., lltv az ANSYS programcsomaggal, mly az 5. fjztbn található.

12 . Pzo-trmo-lasztks alapgynltk 8. PIEZO-TERMO-ELASZTIKUS ALAPEGYENLETEK.1 Lnárs kapcsolt pzo-trmo-lasztks gynltk A pzo-trmo-lasztks fladatok lnársan rgalmas tlajdonságú anyagok stén krülnk lő, zért az anyagtörvényk lvztéséhz khasználhatjk zt, és ks alakváltozásokat tétlzünk fl. A pzo-trmo-lasztks gynltk három a mchanka, a trmks és az lktromos mző összkapcsolásával adódnak. Az anyagtörvényk lvztéséhz szükségsk a három mzőt líró gynltk. Az lktromágnss fladatokat a Maxwll-gynltk fogalmazzák mg. Ezk az gynltk mnd az lktromos, mnd a mágnss vslkdést lírják. A pzo-trmo-lasztks gynltkbn azonban csak az lktromos vslkdésnk kll szrpln, így mgthtjük, hogy a mágnss tér hatását lgyszrűsítjük, vagy lhanyagoljk. Az anyagtörvényk lvztésénk összfoglalását NOWINSKI [3] mnkája alapján thtjük mg. A lvztés során a szorzások jl: Skalárs szorzat: ( a b ) Kétszrs skalárs szorzat: : ( A : B ) Vktoráls szorzat: ( a b ) Dadks szorzat: o ( a o b ) Skalárral való szorzás stén nm tszk szorzás jlt. ( a b ) A vktor és tnzor mnnységkt vastag dőlt btűk jlölk a skalárokat normál álló btűk. A Maxwll-gynltk: ahol H a mágnss térrősség, E az lktromos térrősség, D az lktromos ltolás vktor, B a mágnss ndktvtás, D H = J, t B E =, t B =, D = γ, (.1) (.) (.3) (.4)

13 . Pzo-trmo-lasztks alapgynltk 9 J az áramsűrűség, γ az lktromos töltés térbl sűrűség. A mchanka tartalmat a mozgásgynltk képvslk. A mozgásgynlt flírásánál khasználható az, hogy csak ks alakváltozásokat tétlzünk fl, így nm tszünk különbségt a kzdt és a pllanatny konfgrácó között. Mndn az smrt kzdt konfgrácóban írható fl: σ F = ρ& &, (.5) T σ = σ, (.6) ahol σ - a Cachy-fél fszültség tnzor, F a térfogaton mgoszló rőrndszr vktora, az lmozdlás vktor, ρ sűrűség. Szntén a ks alakváltozás matt a gomtra gynlt a kövtkző formában írható: ahol ε az alakváltozás tnzor. 1 ε = o ( o ), (.7) A trmks részt a hőáramra vonatkozó konstttív összfüggésk, lltv az ntrópára vonatkozó gynltk flírásával építhtjük b az anyagtörvénykb. Az anyagtörvényknk k kll légítnük a trmodnamka I. és II. főtétlét s. Ahhoz, hogy z tljsüljön, célszrű a konstttív gynltk lvztésénél a főtétlkből kndln. Az I. főtétl stébn a globáls alak mgfogalmazásánál az gynlt még nm tartalmazza az lktromos tagot, zt majd később a lokáls alaknál llsztjük b az lktro-mágnss mző mnkájából származtatva, a mágnss tér mnkáját lhanyagolva. A trmodnamka I. főtétl rgalmas alakváltozás stér. ahol dk az lm mozgás nrga növkmény, d az lm blső nrga növkmény, dq az lm lnylt hő növkmény, dw az lm külső mnka növkmény. d k d = dq dw, (.8)

14 . Pzo-trmo-lasztks alapgynltk 1 Ezt flírhatjk az dő szrnt drváltakra s: k & & = q& w&, (.9) ahol k a fajlagos mozgás nrga, a fajlagos blső nrga, q a fajlagos lnylt hő, w a fajlagos külső mnka. A változók fölött pont dő szrnt drváltat jlnt. Egy hővztő rgalmas tstr a (.9) gynlt a kövtkző alakban írható (globáls alak): d dt V v dv = q nda ρrdv v σ nda A V A V ρ ahol v a sbsség, n a da flült normálvktora, q a hőáram, R a blső hőforrás rősség. F vdv, (.1) A (.1)-s főtétl thát azt fjz k, hogy a blső nrga és a mozgás nrga összgénk dőbl változása mggyzk a flültn átadott hő, a tst blsjébn kltkző hő, a tst flültén működő rők és a térfogat rők tljsítményénk összgévl. Ez az gynlt az ún. globáls alak, azaz az gész rndszrr vonatkozk. A későbbkbn azonban célszrűbb számnkra nnk az gynltnk a lokáls alakja. A továbbakban néhány átalakítást végzünk: d dt V ρdv = V d dρ ρ dv dt dt Ha ρ állandó, akkor a (.11) a kövtkző alakban írható: d d dv dv d ρ = ρ. t dt V V (.11) (.1)

15 . Pzo-trmo-lasztks alapgynltk 11 A (.1) bal oldalának másk tagja a kövtkzőképpn alakítható át, szntén a ρ állandó fgylmbvétlévl: d 1 ρv dv = ρv v& dv = v ρ& & dv. dt V V V (.13) A (.5) mozgásgynlt alapján: v ρ & dv = v ( σ F ) dv. V V (.14) A (.13)-at és (.14)-t a (.1)-b hlyttsítv, a Gass-Osztogradszkj-tétlt flhasználva, majd átrndzv: d ρ v σ v F ρr F v q ( v σ) dv =, dt V (.15) azaz V d ρ v σ v F ρr F v q v σ σ : o v dv = dt = V d ρ ρr q σ : o v dv =. dt (.16) A (.16)-os gynltből pdg mgkapjk a trmodnamka I. főtétlénk lokáls alakját: d ρ = ρr - q σ : o v. d t (.17) Ez a lokáls alak azonban csak hővztő rgalmas tst stén érvénys. Ezn kívül fgylmb kll még vnn az lktromos rők mnkáját s. Az lktromágnss konstttív gynltk a kövtkzők: D = ε E, B = µ H m, ahol ε a prmttvtás, µ m a prmabltás. Az lktromágnss rők fajlagos mnkája: 1 1 w m = ( E D H B) = ( ε E E µ mh H ). (.18) (.19) (.)

16 . Pzo-trmo-lasztks alapgynltk 1 Ebből az lktromos rész (a mágnss részt lhanyagolva): w 1 E = ε. (.1) Ennk mgfllőn a tljsítmény: dw dt de dd = ε E = E. dt dt (.) Így a (.17)-s lokáls alak a kövtkző módon gészül k: d dd ρ = ρr - q σ : o v E. dt dt (.3) Az I. főtétl mlltt szükségs még a trmodnamka II. főtétl, vagy más névn a Class-Dhm gynlőtlnség: ds q ρt ρr q T, dt T (.4) ahol s az ntrópa. A ρr szorzat hlyér a (.3)-t hlyttsítv a (.4) gynlőtlnség a kövtkző módon alakl: ds d dd q ρt ρ σ : o v E T dt dt dt T (.5) Ezk tán bvztjük a szabadnrga függvényt (Hlmholtz-függvény). Ez a függvény a blső nrga és az ntrópa és hőmérséklt szorzatának különbség: Ψ = Ts. (.6) Fltétlzzük, hogy z a szabadnrga függvény az alakváltozás tnzornak, az lktromos ltolás vktornak, valamnt a hőmérsékltnk s függvény: Ψ = Ψ( ε, D,T). (.7) A (.5)-bn a blső nrga hlyér bhlyttsíthtő a (.6), azaz a blső nrga kfjzhtő a szabad nrga függvény sgítségévl és zt hlyttsíthtjük b a trmodnamka II. főtétléb:

17 . Pzo-trmo-lasztks alapgynltk 13 T T t : t T ρs t s ρt t ρ t s ρt Ψ q D E v σ d d d d d d d d d d o, (.8) azaz T T t : t T ρs t ρ - Ψ q D E v σ d d d d d d o. (.9) Ugyanígy lmnálhatjk a blső nrgát a (.3) gynltből s: t : ρr - t T s t s T t ρ d d d d d d d d D E v σ q = Ψ o. (.3) A (.7) matt a szabadnrga függvény dő szrnt drváltja a kövtkzőképpn írható: D D ε ε & & & & Ψ Ψ Ψ = Ψ T T. (.31) A (.31)-t bhlyttsítv a (.3)-ba és a (.9)-b a kövtkzőkt kapjk: R) ρ(ts ρ T s T ρ : ρ = Ψ Ψ Ψ q D E D ε σ ε & & & & (.3) T T ρ T s T ρ : ρ Ψ Ψ Ψ q D E D ε σ ε & & & d d (.33) A fnt gynltnk lltv gynlőtlnségnk mndn stbn tljsüln kll, ε&, T & és D & ttszőlgs értékr. Mvl a zárójls tagok nm függnk drváltaktól, zért zknk azonosan nllának kll lnnük. Így a kövtkző összfüggésk kaphatók: ε σ Ψ = ρ, (.34) T - s Ψ =, (.35) D E Ψ = ρ, (.36)

18 . Pzo-trmo-lasztks alapgynltk 14 továbbá: q ρ(t s& - R) =, q T, T = T, T (.37) (.38) (.39) ahol T - a kzdt hőmérséklt [K], - a hőmérséklt-különbség. A (.37) gynltt szokás nrga mérlg gynltnk nvzn. Fltétlzzük, hogy a hőmérséklt-különbség a kzdt hőmérséklthz képst kcs. <<1. T (.4) A hőrgalmasságtanban szntén szrpl z a hőmérséklt-különbség. Ott a szakrodalomban a hőmérséklt-különbségr vonatkozó szokásos mgszorítás 1- K. A hőrgalmasságtan gynltk lvztés hasonló a jln lvztéshz. BALLA [] dolgozatában kfjt, hogy az gynltk lvztéséhz nnél szgorúbb mgszorítás szükségs, nnk llnér azonban az így lvzttt gynltk a kísérlt rdménykkl jó gyzést mtatnak. Ezk tán tkntsük a szabad nrga függvény Taylor-sorba fjtését a (,,T ) pont körül a másodfokú tagokg! Ahhoz, hogy a sorba fjtés során a másodrndű tagoknál magasabb rndű tagokat lhanyagolhassk, szntén szükségs, hogy a hőmérsékltkülönbség, az alakváltozás tnzor lm és az lktromos ltolás vktor lm kcsk lgynk. Ez a szakrodalomban mgadottnál szgorúbb mgkötést jlnt a hőmérsékltkülönbségr. Sorba fjtv: ρψ( ε, D,T Ψ ) = ρψ(,,t ) ρ ε 1 Ψ ρ ε : ε Ψ ρ D : D Ψ : ε ρ D Ψ ρ T Ψ D ρ T Ψ Ψ Ψ ρ ε : ε D ρ : ε ρ D. D ε T D T T (.41)

19 . Pzo-trmo-lasztks alapgynltk 15 A (.41) gynlt ε, D és szrnt drválásával lőállítható a fszültségtnzor, az lktromos térrősség vktor és az ntrópa a (.34), (.35) és (.36) szrnt. Tkntsük a tst trhltln, úgynvztt trmészts állapotát! Ekkor ε = D = és T=T. Ebbn az állapotban Ψ,,T ) = és a (.41) jobb oldalán szrplő lnárs tagok -vá válnak, ( vagys: Ψ Ψ σ = ρ = ρ ε ε Ψ Ψ E = ρ = ρ D D Ψ ρ ε Ψ : ε ρ ε D Ψ D ρ ε T Ψ ρ D Ψ D ρ ε D Ψ : ε ρ D T (.4) (.43) Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ ρs = ρ = ρ ρ ρ D ρ : ε T T D T ε T (.44) A trmészts állapotban ε = D =, = valamnt σ =, E = és s =. Ebből kövtkzőn az alább konstansoknak s rndr nllának kll lnn: Ψ Ψ ρ =, ρ ε D = Ψ, ρ =. T A mgmaradó gyütthatókra vzssük b a kövtkző jlöléskt: 1 Ψ 1 Ψ ρ = c, ρ m 1 Ψ =, ρ = a ε D T Ψ ρ ε D, Ψ Ψ = h, ρ = β, ρ = p. ε T D T Ezkkl az gyütthatókkal a konstttív gynltk a kövtkző formában adódnak: σ = c : ε h D β, (.45) E = h : ε m D p, (.46) ρs = β : ε p D a. (.47) A szakrodalomban szokás az lktromos térrősség vktor hlytt az lktromos ltolás vktort kfjzn. A végslms gynltkhz s célszrűbb z a forma. Így a konstttív gynltk a kövtkző alakban írhatók:

20 . Pzo-trmo-lasztks alapgynltk 16 σ = c : ε h E β (.48) D = h: ε m E p (.49) ρs = β : ε p E a (.5) A mátrxok rndjénk jobb áttknthtőség matt a konstttív gynltk ndxs alakban a kövtkzők: j jkl jk j σ = c ε kl h Ek β, (.51) kl k D = h εkl m Ek p, (.5) ρ s = β j ε p E a. Az gyüttható mátrxok szmmtra tlajdonsága a kövtkzők: j (.53) jkl jkl jlk klj = c = c c, c = k k m = m, j j β = β, kl lk h = h. (.54) (.55) (.56) (.57) Jól látható a (.48) gynltből, hogy amnnybn az lktromos térrősség vktor és a hőmérséklt-különbség nlla, akkor a Hook-törvényhz jtnk. Ha cspán az lktromos térrősség vktort tkntjük nllának, akkor a Dhaml-Nmann anyagtörvényt kapjk. Hasonlóan a (.49) gynlt stén, ha az alakváltozás tnzor és a hőmérséklt-különbség nlla, akkor az lktromosságtanból jól smrt lnárs anyagtörvény áll lő. A fntkhz tljsn hasonló módon jthatnk l a hőáramra vonatkozó gynlthz, a Forr-fél hővztés törvényhz. q = k T. (.58) A pzo-trmo-lasztks mző gynltkt úgy kaphatjk mg, hogy a kapott konstttív gynltkt bhlyttsítjük a (.1)-(.4) Maxwll gynltkb, a (.5) mozgásgynltb és a (.37) nrga mérlg gynltb. Fltétlzhtjük azt, hogy a mágnss tér lhanyagolható, vagy lgalábbs dőbn állandó. Ezzl a (.) tovább alakítható:

21 . Pzo-trmo-lasztks alapgynltk 17 E =. A (.59) gynlt abban az stbn tljsül, ha E = Φ (.59), ahol Φ lktrosztatks potncál. Ezk tán az lktromos térrősség hlyér mndg zt hlyttsíthtjük. A (.49)-t a (.4)-b hlyttsítv adódk az lső pzo-trmo-lasztks mzőgynlt: h : o m Φ p γ =. A (.5) mozgásgynltb hlyttsítv a (.48) összfüggést azt kapjk, hogy (.6) c : o ρ& F β h Φ =. (.61) A (.37)-b pdg a (.5) összfüggésből az ntrópát és a (.58)-as Forr törvényt hlyttsíthtjük b. Mvl kcs, zért T hlyér közlítésként T -t írhatnk: ( T ( β : o & p Φ & a& ) ρr) k T - =. (.6) A (.6)-(.6) gynltk thát a pzo-trmo-lasztks mzőgynltk, amlyk lsődlgs változó az lmozdlás, a hőmérséklt-különbség és az lktromos potncál. Konkrét fladatok stén még tovább tagok s lhanyagolhatóak. Általában lyn a blső hőforrás, vagy az lktromos töltéssűrűség.. Az általánosított lnárs pzo-trmo-lasztks gynltk A Forr-fél hővztésből az kövtkzk, hogy a tstbn végtln nagy a hőtrjdés sbsség. Ematt olyan általánosított lméltkt dolgoztak k, amlykkl a hővztés gynlt hprbolkssá válk és így hllám-típsú hőáram lírására alkalmasak. Ilyn gynlt kdolgozására több módszr s van. A szakrodalomban a lgnkább ltrjdt a Forr-törvény CATTANEO [68] és VERNOTTE [69] által javasolt általánosítása. Az általánosított hprbolks hővztés gynlt a kövtkző: 1 τ q = k T, t (.63) ahol τ az ún. rlaxácós dő, anyagjllmző. Ezzl a módosítással lérhtő, hogy a hővztés gynlt már tartalmaz gy hőáramsbsség tagot s. A τ rlaxácós dő mghatározásával, bcslésévl többn foglalkoztak (CHESTER [7], FRANCIS [71]), érték 1-1 s s (gázok - fémk) között lht. A rlaxácós dő ks érték matt általában makroszkopks mértkbn nm

22 . Pzo-trmo-lasztks alapgynltk 18 fltétln szükségs a hprbolks hővztés gynlt használata, azonban mkro- és nanométrs tartományban az stk többségébn már z írja l mgfllőn a hővztés folyamatot [7], [73]. Az általános hővztés gynlt kapcsán a ma napg számos pblkácó jlnk mg, újabb hőtrjdés mchanzmsokat fltétlzv a (.63)-as gynlthz képst még más tagokat építnk b. Ugyanakkor vannak, akk mgkérdőjlzk a hprbólks hővztés gynlt létjogosltságát, vagy tovább problémákat vtnk fl (ZANCHINI [74]) vl kapcsolatban. Az általánosított Hővztés gynlttl kapcsolatos vtás kérdéskről SZEKERES [75] ckk ad áttkntést. Dolgozatomban az rdt CATTANEO és VERNOTTE által javasolt (.63)-as gynltt használom. Azt, hogy mkronos mérttartományban már jlntőség lht a hprbólks hővztés gynltnk, az a dmnzótlanított hővztés gynlt alapján látható b. Tkntsük a kövtkző gydmnzós módosított hővztés gynltt: T T 1 τ = a, t t x ahol a a hőmérséklt vztés tényző, anyagjllmző ( k a = ). ρ c A (.64)-t tovább alakítva: (.64) T T T τ = a t t x Dmnzótlanítva a távolságot és a hőmérsékltt: (.65) ahol L a jllmző mért (pl. a fal vastagsága), T - a végtln távol pont hőmérséklt, x ξ =, L T(x, t) T ϑ = T T T - a fal hőmérséklt a kzdt dőpontban. Ezkkl a (.65): 1 a ϑ t ( T T ) τ ( T T ) = ( T T ) 1 a ϑ t, ϑ L ξ (.66) (.67) (.68)

23 . Pzo-trmo-lasztks alapgynltk 19 Bvztv a Forr-számot: A Forr-számra fnnáll: L a ϑ τ t Így a (.69) a kövtkző képpn írható: Bvztv a a τ Π = jlölést: L ϑ F F L a τ L a ϑ ϑ = t ξ a t = L df a = dt ϑ ϑ = L F ξ (.69) (.7) (.71) (.7) ϑ ϑ Π = ϑ F F (.73) Tkntsünk két gyszrű számpéldát! A hőmérséklt vztés tényző általában m /s nagyságrndű. A rlaxácós dő nagyságrndj pdg a s nagyságrndjéb sk. Azt vzsgálom, hogy a hprbolks tagnak mlyn L jllmző mért stén lsz 1%- os hatása ( Π =.1). 1. példa: m 4 1 a 1, τ = 1 s, Π =.1 s L = 1 5. példa: m m 5 1 a 1, τ = 1 s, Π =.1 s L = 3, m A jllmző mért a flvtt anyagjllmzőkkl, thát a mkronos mérttartományba sk. Vagys mgállapítható, hogy mkronos mérttartományban, lltv az alatt ndokolt lht a módosított hővztés gynlt használata, érdms zt az adott konkrét stbn mérlgln.

24 . Pzo-trmo-lasztks alapgynltk Hogyan bfolyásolja z a pzo-trmo-lasztks mzőgynltkt? A Forr-fél hővztés gynltt csak a (.6)-s gynltbn használtk fl, thát az új hővztés gynlt s zt az gynltt bfolyásolja. A (.37)-b bhlyttsítjük a (.5) konstttív gynltt, a hőáram vktor stén azonban nm használjk a Forr-törvényt. Így a (.6)-as gynlthz jtnk: ( T ( β : o & p Φ & a& ) ρr) q - =. A fnt gynltt más alakban s írhatjk az gyszrűbb áttkntés végtt: (.74) q ρr - T β : o & T p Φ& at& =. Az at szorzat hlyér szokás bvztn a alakváltozás mlltt): (.75) ρc szorzatot, ahol c a fajhő (állandó q ρr - T β : o & T p Φ& ρc& = (.76) Most alkalmazzk az 1 τ oprátort mndkét oldalra: t k ρ ( τr& R) - T β : ( τ o && o & ) T p ( τ Φ && Φ& ) ρc ( τ && & ) = (.77) Az általánosított hővztés gynlttl a pzo-trmo-lasztks mzőgynltk végül s a (.6), (.61) és a (.77) gynltk...3 Kzdt és prmfltétlk A pzo-trmo-lasztks mzőgynltk a fntk alapján smrtk. Ahhoz, hogy a fladat tljs lgyn, szükségsk még a kzdt és prmfltétlk. A kzdt és prmfltétlkt floszthatjk mchanka, trmks és lktromos típsú mllékfltétlkr. Az alábbakban közölt kzdt és prmfltétlk mnd a klasszks, mnd az általánosított hővztés gynlt stén mgfllnk. Kzdt fltétlk: ( x,) = ( x), &( x,) = & ( x), ( x,) = ( x), & ( x,) = & ( x), Φ ( x,) = Φ ( x), Φ & ( x,) = Φ& ( x).

25 . Pzo-trmo-lasztks alapgynltk 1 Prmfltétlk: A mchanka prmfltétlkn blül mgkülönbözttünk knmatka és dnamka prmfltétlkt. A knmatka prmfltétl azt jlnt, hogy az A flültű és V térfogatú tst gy A flültén adott az lmozdlás vktor, lltv gy A v flültén a sbsségvktor. A dnamka prmfltétl pdg azt jlnt, hogy gy A p flültn smrt a külső rőrndszr flültr mrőlgs rányú sűrűség vktora. Mchanka prmfltétlk: - knmatka: = ( x,t), x A, & = & ( x,t), x Av. - dnamka: σn = p ( x,t), x Ap. A trmks prmfltétlk stébn mgkülönbözttünk lső-, másod- és harmadfajú prmfltétlkt. Az lsőfajú prmfltétlnél a hőmérséklt különbségt smrjük a tst gy A T flültén. A másodfajú prmfltétl a hőáramvktor normáls komponnsét írja lő a flült gy A q részén. A harmadfajú prmfltétlnél pdg szntén a hőáram normáls komponnsét írjk lő, d bbn az stbn z konvktív hőátadás útján jön létr a tst gy A h flültén. Trmks prmfltétlk: - lsőfajú: = ( x,t), x AT. - másodfajú: qn = q( x,t), x Aq. - harmadfajú: qn = h * ( ), x Ah. A harmadfajú prmfltétl stén * h a hőátadás tényző, a környzt rfrnca hőmérsékltéből számított hőmérséklt különbség. Mgjgyzndő, hogy a sgárzás útján átvtt hőmérséklt a harmadfajú prmfltétlhz hasonló módon adható mg az ún. sgárzás hőátadás tényző sgítségévl []. Az lktromos prmfltétlnél az A Φ flültn írhatjk lő a potncált. Elktromos prmfltétl: Φ = Φ ( x,t), x AΦ

26 . Pzo-trmo-lasztks alapgynltk Új tdományos rdmény: Lvzttm a kapcsolt pzo-trmo-lasztks anyag- és mzőgynltkt gy módosított (CATTANEO és VERNOTTE által javasolt), hprbolks hővztés gynlt flhasználásával. A Forr-törvény alkalmazásával a kapcsolt pzo-trmo-lasztks gynltk már smrtk. A hprbolks hővztés gynlt flhasználása azért fontos, mrt a hőtrjdéssl kapcsolatos jlnségk így nm végtln nagy sbsséggl trjdnk, és nnk a mkronos mérttartományban nagy jlntőség van. Az gynltk lnársan rgalmas, homogén, anzotróp stbn érvénysk, ks alakváltozás mlltt. A mzőgynltk változó az lmozdlás, a hőmérséklt-különbség és az lktromos potncál. Ezk lhtnk a végslms gynltk változó s. A fjzt témájában mgjlnt pblkácóm: [P6], [P15], [P3]

27 3. Pzo-trmo-lasztks problémák végslms mgfogalmazása 3 3. PIEZO-TERMO-ELASZTIKUS PROBLÉMÁK VÉGESELEMES MEGFOGALMAZÁSA Az lőző fjztbn lvzttt gynltk gzakt mgoldása általános stbn nm állítható lő, sok spcáls stbn rndkívül bonyollt. A szakrodalomban találhatnk néhány példát, ahol spcáls gomtrákat vzsgálnak (fél sík, végtln hngr, végtln hosszú szalag), azonban a gyakorlatban lőfordló szrkztk gzakt vzsgálata rménytlnnk látszk. Az lyn fladatok stébn nmrks módszrkt kll alkalmazn. Kapcsolt parcáls dffrncálgynltk mgoldására több nmrks módszr s kínálkozk. Napjankban rndkívül ltrjdt és hatékony módszr a végslm módszr. Ebbn a fjztbn a pzo-trmo-lasztks gynltk végslms átírásával foglalkozom. Kapcsolt fladatok gynltt mgoldó nmrks módszrkről BALLA [] dolgozatában részlts áttkntést ad, így én csak a lgszükségsbb tdnvalókat közlöm. A fzka jlnségkt alapvtőn kétfél módon írhatjk l: vagy lokálsan vzsgálva a tstt (mzőt), vagy globálsan. Az lső stbn a jlnségt parcáls dffrncálgynlt (rndszr) írja l, a másodk stbn ntgrál gynlt (rndszr). Az ntgrál gynlt varácós lvből származtatható, d a dffrncálgynltből s mgalkotható. A varácós lvkből származtatott ntgrál gynltk lőny, hogy az gynltk mögött fzka tartalom van, és az így kapott gynltk mgoldása a prmfltétlkt s klégít, azonban gondot okoz az, hogy számos jlnség lírására nm létzk ún. trmészts varácós lv (pl. hővztés). Ebbn az stbn a dffrncálgynltből létrhozható ún. formáls varácós lv, d zk mögött nm fltétlnül létzk fzka tartalom. A kétfajta lírásnak mgfllőn a nmrks módszrk s két részr oszthatók. A dffrncálgynltkt végs dffrnca módszrkkl oldhatjk mg, azaz a dffrncálgynltt dszkrtzáljk. Ezk alapvtő hátránya, hogy csak az lőr mghatározott pontokban és dőpllanatokban kaphatnk közlítést, a pontok között loszlásról nncs nformácó. Problémát jlnthtnk a bonyollt gomtrájú szrkztk, lltv a magas dmnzó szám s. Ezzl szmbn az ntgrál gynltk mgoldására alkalmas módszrkkl (súlyozott maradványok módszr, végslm módszr) nncs lyn probléma. A végslm módszr napjankban rndkívül ltrjdt és a súlyozott maradványok módszrévl olyan fladatok mgoldására s alkalmas, amlykr nm létznk varácós lvk []. 3.1 Végslms gynltk hly szrnt dszkrtzácója A pzo-trmo-lasztks gynltk végslms mgfogalmazásához a Galjorkn módszr jól használható, mvl gyszrű és így az ntgrál gynltk lőállításához sm trmészts, sm formáls varácós lvkr nncs szükség.

28 3. Pzo-trmo-lasztks problémák végslms mgfogalmazása 4 A végslms líráshoz szükség van az gynltk hly szrnt dszkrtzácójára. Amnnybn dnamka problémáról lnn szó, az dő szrnt dszkrtzácó s szükségs. Az lmozdlás mzőt (), a hőmérséklt különbségt () és az lktromos potncált (Φ) tkntjük lsődlgs változóknak. A formafüggvényk sgítségévl a V térfogatú, A flültű tst flosztása tán zk a változók közlítés a kövtkző alakban írhatóak fl gy lmn blül: n ) = 1 ( r) = N ( r, t, n ( r ) = N ( r, t, = 1 = 1 ) Φ n Φ ( r ) = N ( r, t Φ, ) ahol,, Φ - a mzőfüggvényk közlítés, N, N, N - formafüggvényk, Φ,, Φ - a mzőfüggvényk csomópont érték, n gy lm csomópontszáma, t dő, r - hlyvktor. (3.1a) (3.1b) (3.1c) Szokás a hly szrnt és az dő szrnt dszkrtzácót szétválasztan, ú.n. szmdszkrtzácót alkalmazn, mrt záltal a végslm hálózat dmnzója csökknthtő, és az dőtartomány mgváltozásakor nm szükségs új végslm hálózatot gnráln. Szmdszkrtzácó stén azt fltétlzzük, hogy a formafüggvényk nm függnk az dőtől, gyanakkor a csomópont változók dőfüggők: n ) = 1 ( r) = N ( r) (t, n ( r ) = N ( r) (t), = 1 Φ n Φ ( r ) = N ( r) Φ (t). = 1 (3.a) (3.b) (3.c)

29 3. Pzo-trmo-lasztks problémák végslms mgfogalmazása 5 Az lsődlgs változók dő szrnt drváltja s könnyn lőállíthatóak. n ) = 1 & ( r) = N ( r) & (t, n & ( r ) = N ( r) & (t), = 1 Φ n & Φ ( r ) = N ( r) Φ & (t), = 1 (3.3a) (3.3b) (3.3c) n ) = 1 & ( r) = N ( r) & (t, n && ( r ) = N ( r) & (t), = 1 n && Φ Φ ( r ) = N ( r) Φ& (t), = 1 (3.4a) (3.4b) (3.4c) Az dő szrnt dszkrtzácótól a kövtkző alfjztbn lsz szó. Tkntsük hát lőször a hly szrnt dszkrtzácót! Hly szrnt dszkrtzácó a klasszks hővztés gynlt stén Rndzzük a csomópont értékkt gy oszlopvktorba! (Az dőfüggést a csomópont értékknél és a hlyfüggést a formafüggvényknél továbbakban nm írom k.) Y =, Φ ahol 1 1 Φ 1 =, =, Φ Φ = Φ3 (3.5) (3.6a,b,c)

30 3. Pzo-trmo-lasztks problémák végslms mgfogalmazása 6 A formafüggvénykt a fnt sorrndnk mgfllőn mátrxba rndzhtjük: N N = N, Φ N ahol N 1 N... N n N = N1 N... N n, N1 N... N n [ N N... ] N =, 1 Nn Φ Φ Φ [ N N... ] N. Φ = 1 N n (3.7) (3.8a) (3.8b) (3.8c) Tkntsük most a homognzált mozgásgynltt, hővztés gynltt és a Maxwllgynltkt! Ezknk az gynltknk a flhasználásával az lőző fjztbn bmtatott lsősorban a dnamka, másod- és harmadfajú trmks prmfltétlkt gyszrűn fgylmb lht vnn. A mágnss mző lhanyagolásával a (.) gynlt a kövtkző alakot ölt: E =. (3.9) A (3.9) gynlt atomatksan tljsül, ha az lktromos térrősség vktor potncálos: E = Φ. (3.1) A Galjorkn-módszr gy ú.n. súlyozott maradvány módszr. A súlyozott maradvány módszrk lényg, hogy a mgoldandó, homogén alakra hozott dffrncálgynltb az gynltk mgoldásának közlítését hlyttsítjük, a közlítés matt gy nm zérs maradványt (R) kapnk. Lgyn gy parcáls dffrncálgynlt P, mlyt az x(r) függvény klégít a V tartományon: P (x) =. (3.11) Lgyn az x(r) függvény gy közlítés az (,a,a,.., ) x r függvény. Ekkor nylván 1 a n P(x ) ( r,a,a,..,a ) = R, 1 n (3.1)

31 3. Pzo-trmo-lasztks problémák végslms mgfogalmazása 7 ahol ( r,a,a,.., ) R - a maradvány függvény. 1 a n A súlyozott maradványok módszr szrnt az a közlítés a lgjobb, amlyknél a maradvány súlyozott középérték nlla. V S( r )R( r,a,a,..,a ) dv, 1 n = (3.13) ahol S( r ) - a súlyfüggvény. Ahhoz, hogy az összs a paramétrt mghatározhassk, n db gynltr van szükség. Ezt az gynltrndszrt úgy állíthatjk lő, hogy n db súlyfüggvényt választnk, mlyknk gymástól lnársan függtlnknk kll lnn: V S ( r )R( r,a,a,..,a ) dv, =1..n, 1 n = ahol S ( r ) - gymástól lnársan függtln súlyfüggvényk. A Galjorkn-módszr stébn az S (r) súlyfüggvényk a formafüggvényk: (3.14) V N ( r )R( r,a,a,..,a ) dv, =1..n, 1 n = (3.15) A Galjorkn-módszrhz thát a dszkrtzálandó gynltkből fl kll építnünk gy maradványvktort mndn végslmr. A maradványvktor általában nm zérs, hszn a változókat közlítjük, pontos értékét nm tdjk, így a homognzált gynltk sm tljsülnk. R T a ρ&& σ F R & -ρr T : T Φ R = = q β & & o p. Φ R D γ (3.16) A fnt gynltbn σ, q és D az anyagtörvényk sgítségévl a mzőfüggvénykből számított értékkt jlölk. A Galjorkn-módszrt alkalmazva a kövtkző ntgrál gynlthz jtnk:

32 3. Pzo-trmo-lasztks problémák végslms mgfogalmazása 8 W T N R T W = W = dv = T N R N R dv. Φ V V Φ T Φ R W N (3.17) A globáls mátrx dffrncálgynltt az lmkr kapott súlyozott maradványokat összgzv kapjk: m W = W =, (3.18) ahol m a végslmk száma. Mnt azt a (3.16)-nél láthattk, a pzo-trmo-lasztks gynltk súlyozott maradványvktora három részből tvődk össz: a mozgásgynltből, a hővztés gynltből és a Maxwll-gynltkből származó részből. Amnnybn zkt a súlyozott maradványvktorokat mghatározzk, úgy a pzo-trmo-lasztks gynltkt végslms számításra alkalmas formában kapjk mg. = 1 A W komponns az lm csomópontszámával mggyző, gymáshoz hasonló módon lőállítható alblokkból épül fl: W 1 W W =.... W n E vktornak az -dk blokkja - gy 3x1-s vktor - a kövtkző módon áll lő: W = v N ( ρ & σ F ) & dv. A fnt alakot célszrű átalakítan és tagonként ntgráln: (3.19) (3.) V N ( ) dv = ( N ) dv σ σ ( N ) σ dv. V V (3.1) A (3.1)-bn az I-jlű térfogat ntgrál tovább alakítható gy flült ntrgrállá a Gass-Osztrogradszkj tétl sgítségévl: I II

33 3. Pzo-trmo-lasztks problémák végslms mgfogalmazása 9 ( ) dv ( N N ) da N ( = σ n = σ n)da V σ. A (3.) Ennk az átalakításnak az az lőny, hogy a flültn lévő prmfltétlkt könnyn fgylmb lht vnn (ld. lőző fjzt.3-as pontja), mvl az n vktor a da flült normálvktora: ( N ) da N σ n = p da, A A p ahol, A p az A p flültnk a vzsgált lmr ső rész (részflült). A (3.3) Nm vszm fgylmb a szomszédos lmk hatásat, mrt az gynltk összgzésénél, azaz az gész tst vzsgálatánál zk a hatások kjtk gymást a hatás llnhatás törvény matt. Ezn átalakítások tán a W komponns a kövtkző alakban írható fl: W = & N p da. σ(n ) dv N ρdv N FdV V V V Ap (3.4) Annyt kll még mgtnn, hogy a (3.4)-b a σ hlyér b kll hlyttsítnünk a (.48) anyagtörvényt, mvl a mzőváltozónk az lmozdlás és nm a fszültség. W = ( c ε h Φ β ) : (N ) dv N ρdv N FdV N p da = V V V Ap c : ε (N ) dv h Φ (N ) dv β (N ) dv N ρ & dv N FdV V V V V V A p N p da. (3.5) Az ε már kfjzhtő az lmozdlással a (.7) alapján. Ezt az átalakítást azonban most nm hajtom végr, később az gyüttható mátrxok lőállításánál még vsszatérk rá. A W komponns szntén az lm csomópontszámával mggyző, gymáshoz hasonló módón lőállítható alblokkból épül fl: & W 1 W W =.... W n (3.6)

34 3. Pzo-trmo-lasztks problémák végslms mgfogalmazása 3 Ennk a vktornak az -dk blokkja - gy skalár - a kövtkző módon áll lő: = T a & -ρr T : T Φ & W N q β o & p dv. Ezt az ntgrált s tagonként vzsgáljk: V (3.7) V N ( ) dv = ( N q ) q dv - N qdv. V V (3.8) A Gass-Osztrogradszkj tétl flhasználásával a (3.8) I-gyl jlölt tagja a kövtkző módon tovább alakítható: ( N ) dv = ( N q ) n da = N ( q n) V A I q da. (3.9) A fnt alak az lőző fjzt.3-as pontjában smrtttt másod- és harmadfajú prmfltétlkkl alakítható tovább: A II * N ( q n) da = N h ( ) da N q da. A A h az A h flültnk, A q az A q flültnk a vzsgált lmr ső rész (részflült). Ah Aq (3.3) Csakúgy, mnt a (3.3)-ban, tt sm vszm fgylmb a szomszédos lmk hatásat. A (.6) Forr törvény sgítségévl a (3.8) II-vl jlölt tagja s átalakítható: N ( N ) ( )dv q dv = k, V V így a (3.8) a kövtkző alakban írható: V N * ( q ) dv = N h ( ) da N qda k ( N ) ( )dv Ah Aq Bhlyttsítés tán a (3.7) az alább alakban írható fl: V. (3.31) (3.3)

35 3. Pzo-trmo-lasztks problémák végslms mgfogalmazása 31 V N W ( ) da N qda k ( N ) ( ) dv = * N h Ah & T a dv V N Aq V & T β : o & dv N T p Φ dv - N ρr dv. (3.33) Φ A W komponns szntén az lm csomópontszámával mggyző, gymáshoz hasonló módon lőállítható alblokkból épül fl: V Φ W 1 Φ Φ W W =.... Φ W n (3.34) Ennk a vktornak az -dk blokkja amly a trmks részhz hasonlóan szntén gy skalár - a kövtkző módon állítható lő: V W Φ = V N Φ ( D γ) A (.49) sgítségévl z az gynlt átalakítható: W Φ A (3.36)-t tagonként ntgrálva kapjk a = V N Φ dv ( : m Φ p) γ) h o dv. Φ W -dk blokkját: (3.35) (3.36) W Φ = V N Φ Φ Φ Φ h: o dv N m Φ dv N p dv N γdv. V (3.37) A (3.1), (3.), (3.3) gynltkt a (3.5), (3.33), (3.37) gynltkb hlyttsítv a pzohőrgalmasságtan mátrx dffrncálgynlt mgalkotható. A mzőváltozókat a formafüggvény mátrxszal (3.7) és a csomópont értékkkl (3.5) kfjzhtjük. Y = N Y. (3.38) Mndn ntgrált úgy fjztm k, hogy abban a mzőváltozók szrpljnk, zért a (3.38) bhlyttsítés tán a mzőváltozók csomópont érték kmlhtők. V V W = M & Φ & K K K Φ F, (3.39)

36 3. Pzo-trmo-lasztks problémák végslms mgfogalmazása 3 F K L L W Φ = Φ & & & L, (3.4) Φ ΦΦ Φ Φ F Φ K K W = Φ K. (3.41) A fnt gynltkből az gynltrndszr mátrxformába átírható: F K K K K L M Φ Φ = Φ Φ ΦΦ Φ Φ F F K K K Φ L L Φ & & & && && &&. (3.4) Azaz a mátrx dffrncálgynlt az alább alakban s flírható: F Y K Y L Y M = & &&. (3.43) 3.1. Az gyüttható mátrxok lm a klasszks hővztés gynlt stén Az gyüttható mátrxokban a csomópont változók kmlés tán csak az anyagjllmzők és a formafüggvényk lltv azok drváltja szrplnk. Az gyüttható mátrxok lmt célszrű úgy mgadn, hogy számítógéps programozásra alkalmas formában szrpljnk. A végslm módszr stébn mgszokott ljárás az anyagtörvénykt vktoros formában fogalmazzák mg a mátrxos hlytt, khasználva a fszültségtnzor szmmtráját. ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ β E ε C σ T =, (3.44) ˆ ˆ p E η ε D =, (3.45) ˆ ˆ ρs λ = E κ ε β T, (3.46) ahol σˆ, εˆ - fszültség és alakváltozás vktor (6x1 mértű), E, D - vllamos térrősség és lmozdlás vktor (3x1), - hőmérséklt különbség, Ĉ, ê, βˆ, η, p - rgalmas (6x6), pzolktromos (3x6), hőfszültség (6x1), dlktromos (3x3), prolktromos (3x1) gyüttható mátrxok, ρ - sűrűség, s - ntrópa, κ (1x3), λ - gyütthatók.

37 3. Pzo-trmo-lasztks problémák végslms mgfogalmazása 33 Az gyüttható mátrxok lm a (3.5), (3.33) és (3.37) alapján adhatók mg. A mrvség mátrx lm: A K blokk már jól smrt a rgalmasságtanból, és a végslm módszrbn gyakran lőfordl: K = B T C ˆ B dxdydz. A (3.5) gynltnél matt nm részltztm azt, hogy a tovább. A több almátrx s hasonlóan állítható lő: (3.47) c ε hogyan alakítható ahol x B = y z y x z T K = B βˆ N dxdydz, Φ T T K = B ˆ B dxdydz, T K = B k B dxdydz h N N dxdydz, z N y x, T = B ˆ B dxdydz K Φ, T K = B p N dxdydz, Φ K ΦΦ x B = N y z = B T η B dxdydz, és k x B = N y z Φ. (3.48) (3.49) (3.5) (3.51) (3.5) (3.53)

38 3. Pzo-trmo-lasztks problémák végslms mgfogalmazása 34 A csllapítás mátrx lm: L = T T βˆ B N dxdydz, dxdydz L = T an N, Φ L = T T T B p ( B N )dxdydz. (3.54) (3.55) (3.56) A tömg mátrx lm: A tömg mátrxnak mndössz gy lm van: M = ρn N dxdydz. T (3.57) A trhlés vktor lm: F = N F dxdydz N ˆp da, * F = ρrn dxdydz N q da h N da, γ A p A q A h F = N Φ dxdydz. Φ (3.58) (3.59) (3.6) Hly szrnt dszkrtzácó a módosított hővztés gynlt stén Φ A módosított hővztés gynlt stén a W és W blokkok változatlanl maradnak, azonban a W -dk blokkja a (3.7) hlytt a kövtkző módon állítható lő: = τ Ta & T : T Φ & W N 1 q -ρr β o & p dv. t V (3.61)

39 3. Pzo-trmo-lasztks problémák végslms mgfogalmazása 35 A τ t 1 szorzó kmlhtő az ntgráljl lé, zért a tagonként ntgrálás gyanúgy végzhtő l, mnt a (3.7) stébn. Most azonban végr kll hajtan a bszorzást s. Fgylmb kll vnn továbbá azt s, hogy most a Forr törvény hlytt a (.65) módosított hővztés gynltt használjk: ( ) τ τ τ = dv t da t da t N 1 q N 1 h N 1 W q h V A A * q dv t dv t dv t T N 1 : T N 1 T a N 1 V V V Φ τ τ τ & & o & p β dv t R N 1 - V ρ τ. (3.6) A bszorzás tán a W -dk blokkja, a (.77) módosított hővztés gynlt flhasználásával a kövtkző módon írható: ( ) ( ) ( ) ( ) τ τ = dv da da N q τ q N h N W q h V A A * k & & & ( ) ( ) ( )dv dv dv T N : T N T a N V V V Φ Φ τ τ τ && & && o & o && & p β ( )dv τr R N - V ρ &. (3.63) Ennk mgfllőn a dffrncálgynlt-rndszr módosl. A (3.39) és (3.41) változatlan marad, míg a (3.4) hlytt a kövtkző gynlthz jtnk: F K C W Φ = Φ C & & & C. (3.64) Ezzl a mátrx dffrncálgynlt a kövtkző lsz: Φ Φ Φ L L Φ M M & & & ( && && & & L M M F K K K K Φ Φ = Φ Φ ΦΦ Φ F F K K K (. (3.65)

40 3. Pzo-trmo-lasztks problémák végslms mgfogalmazása Az gyüttható mátrxok lm a módosított hővztés gynlt stén Csakúgy, mnt a 3.1. pontban, az gyüttható mátrxokban a csomópont változók kmlés tán csak az anyagjllmzők és a formafüggvényk, lltv azok drváltja szrplnk. Az gyüttható mátrx lm hasonlóan adhatóak mg, mnt a klasszks hővztés gynlt stén, z stbn azonban a (3.5), (3.63) és (3.37) alapján. A mrvség mátrx lm: A mrvség mátrx lm nm változnak, gyanazok lsznk, mnt a 3.1. pontban. Ez trmészts s, hszn a hprbolks hővztés gynlt csak a rndszr dnamka tlajdonságat változtatja mg. A módosított hővztés gynlttl thát a tömgmátrx, a csllapítás mátrx és a trhlés vktor változk. A csllapítás mátrx lm: A csllapítás mátrx lm közül csak az L változk mg, a több nm változk: * L ( = TaN N dxdydz τh N N da. (3.66) A tömg mátrx lm: A tömg mátrxnál az M változatlan marad, vszont három újabb almátrx jlnk mg: T M τt βˆ B N dxdydz, A trhlés vktor lm: Az lözőkhz hasonlóan csak = = τt an A h dxdydz M N, Φ M T T τt B p ( B N )dxdydz. = F változk mg, a több komponns nm változk: (3.67) (3.68) (3.69) ( * ( R τr& ) N dxdydz N ( q τ q& ) da h ( τ& ) F = ρ N da. A q A h (3.7) A Galjorkn módszr nagy lőny, hogy bármlyn más kapcsolt gynlt átírására s alkalmas és nm szükségs trmészts varácós lvk mglét. Arra azonban érdms