Bojtár-Gáspár: A végeselemmódszer matematikai alapjai

Átírás

1 Bojtár Imr Gáspár Zsolt A végslmmódszr matmatka alapja Elktronkusan ltölthtő lőadásvázlat építőmérnök hallgatók számára. Kadó: BME Tartószrkztk Mchankája Tanszék Budapst, 9 ISBN

2 BEVEZETÉS Ez a sgédlt a BME Építőmérnök Karán az MSc képzésbn oktatott Végslmmódszr matmatka alapja című tantárgy lőadásanak vázlatát tartalmazza, kövtv a 4 hts képzésbn lhangzott lgfontosabb tudnvalókat. Célja, hogy a hallgatók számára sgítségt nyújtson a tárgy alapjanak lsajátításához. A szrzők

3 Bvztő mgjgyzés a hallgatóknak: A tantárgy lsajátításához célszrű átsmétln az alább fogalmak körét: a./ Matmatkából: - dffrncálgynltk (prmérték-fladatok) vzsgálata, - varácós fladatok vzsgálata, különös tkntttl a mchanka fladatok nrgalvű mgközlítésér, - funkconálanalízs alapfogalma (oprátorok, funkconál, szmmtrkus, blnárs és poztív oprátor, kvadratkus funkconál mnmumtétl, ortogonaltás és mnmumfltétlk, stb). b./ Mchankából: - munkatétlk, nrgatétlk, - szlárdságtan alapgynlt, - BSc végslms tárgyban tanultak.. hét: Mchanka fladatok közlítő mgoldás módszrnk osztályozása A közlítő módszrk osztályozásának alapvtő szmpontja: - mt értünk közlítésn (hbán)? - hogyan kívánjuk a hbát kcsvé tnn? Adott a Φ (akár nmlnárs) oprátor d, amly az Ω R tartományon értlmztt u U függvénykt a W függvénytérbn értlmztt f függvénykb képz l: Oprátoron olyan lőírást értünk, amly gy halmaz lmhz gyértlműn hozzárndl ugyanzn vagy gy másk halmaz lmt. A Φ : X Y oprátor thát gy olyan lőírás, amlyk gy DΦ X részhalmaz mndn x lméhz hozzárndl az Y halmaz gy és csaks gy lmét. A D Φ részhalmazt a Φ oprátor (értlmzés) tartományának nvzzük. (Az oprátor dfnálásához mndg hozzátartozk D Φ mgadása s. Azonos lőírás különböző tartományokon különböző oprátorokat jlnt.) Az L oprátor lnárs oprátor, ha X és Y lnárs tér, és mndn x, y D valamnt α, β valós szám stén L( α x+β y) =α L x+β L y. Az X halmazt lnárs térnk nvzzük, ha értlmzhtő gy összadásnak és gy skalárral való szorzásnak nvzhtő művlt, vagys mndn x, y X lmpárhoz hozzárndlt gy x+ y X lm, továbbá mndn α skalárhoz és x X lmhz hozzárndlt gy α x X lm, valamnt mndn x, y, z X és ttszőlgs α, β skalár stén tljsülnk a kövtkző fltétlk:. x + y= y+ x,. ( x + y) + z= x+ ( y+ z), 3. létzk O X ún. nullalm, mlyr x + O= x, L 3

4 Φ u= f, f W. (.) Az U ( tárgytér ) és W ( képtér ) függvénytrk végtln dmnzósak, a prmfltétlkt pdg az Ω tartomány S prmén írhatjuk lő. Az gyszrűség kdvéért lgynk most zk homogénk: Bu=. Az nhomogén prmfltétlk fgylmbvétlévl később, a gyakorlat mgoldások bmutatásánál foglalkozunk... Példa Tkntsünk gy l hosszúságú, önsúlyával trhlt és flül mgfogott przmatkus rudat. Most Ω R az a [,l] ntrvallum, mlynk prm az x= és az x= l pont. A szrkztr érvénys dffrncálgynlt: d u EA = p, dx d vagys a (most lnárs) dffrncáloprátor: Φ= EA, az smrtln dx f x = p pdg a rúd folyómétrsúlya. A függvény u( x ), az adott függvény ( ) du = =. dx (most homogén) prmfltétlk: u ( ), ( l) A prmérték-fladat pontos mgoldását u -lal, nnk közlítését un -nl jlöljük. Értlmzzünk mndkét függvénytérbn gy-gy hbavktort az alább módon: g u u tárgyhba, (./a) = n h= f Φu n képhba. (./b) A továbbakban majdnm mndg fltétlzzük, hogy a Φ oprátor lnárs. Ezt külön hangsúlyozandó lyn stkbn az oprátort L-ll jlöljük. Mvl L lnárs oprátor, így a két hbavktor között kapcsolat bbn az stbn h= L g alakú lsz. Ha a közlítő mgoldást az U függvénytér gy végs dmnzójú bázsfüggvényk lnárs kombnácójaként írjuk fl, akkor: U n altrébn a./ El kll döntn, hogy a g, a h, vagy pdg mndkét hbavktor lmzésévl foglalkozunk, továbbá hbafltétlt kll adnunk a kválasztott változatra, és mérés lvt (mtrkát) kll értlmznünk az U és W függvénytrkr. Ezt a matmatka művltt nvzzük a hbalv kválasztásának. 4. α ( x+ y) =α x+α y, 5. ( α+β ) x=α x+β x, 6. ( αβ ) x= α( βx), 7. x= O és x= x. d=,,3 stén az Ω tartományt rndr általában l-ll, A-val lltv V-vl jlöljük. 4

5 b./ Alkalmas bázsvktor-rndszrt kll flvnnünk a mgfllő függvénytrkbn a közlítő mgoldás szmpontjából szükségs altrk kfszítésér. Ezt a lépést hívjuk bázsválasztásnak. Nagyon fontos mgjgyzés, hogy a végslms tchnkák alapvtőn mndg hhz a lépéshz kapcsolódnak, és nm függnk a hbalv mgválasztásától! A bvzttt hbavktorok közül kválasztható akár g, akár h, akár mndkttő. Hbafltétlként alkalmazható valamlyn skalármnnységr, vktorra, tnzorra, stb. vonatkozó lőírás, d mgjgyzzük, hogy nvaranca tulajdonsága matt általában lőnyös a skalár mérték. A vktortrk mtrzálása blnárs funkconálok 3 értlmzésévl történht, a konkrét alak rögzítés attól függ, hogy mlyk hbavktor kválasztása mlltt döntünk. Ha a blnárs funkconálnál a két változót nm ugyanabból a lnárs térből vsszük, akkor vgyázn kll arra, hogy a két tér között bzonyos fajta dualtás álljon fnn (például a mchanka fladatoknál az lmk szorzata fajlagos nrga lgyn). A hbafltétlt két különböző krtérum alapján szokás flvnn: a./ Staconartás 4, vagy más névn hossz-fltétl: a hbavktor kválasztása után flírt blnárs alak érték lgyn mnmáls, 3 Ha az oprátor az X halmaz lmhz skalárt rndl hozzá, akkor az oprátor nv funkconál. Az X Y drkt szorzat olyan lnárs tér, mlynk lm olyan rndztt lmkttősök, amlyknk lső tagja az X, a másodk tagja az Y lnárs tér lm. Az X Y drkt szorzaton értlmztt A funkconált blnárs (mndkét változójában lnárs) funkconálnak nvzzük, ha A ( α x + x, y) = α A( x, y) + A( x, y), A ( x, α y+ y) = α A( x, y) + A( x, y), ahol x, x, x X, y, y, y Y és α valós szám. A blnárs funkconált gyakran < x, y> alakkal jlöljük. (Például blnárs funkconál lnárs függvénytrk stén a szorzatntgrállal dfnált < x, y>= x y dω skalárs szorzás, vagy ha X és Y végs dmnzós vktortér, akkor az Ω < x, y>= x T Ay szorzat, ahol A gy konstans lmű mátrx.) 4 A staconartás valójában csak állandóértékűségt jlnt, vagys azt, hogy az érntősík lgyn vízsznts, az lső varácó, lltv végs számú változó stén a gradns lgyn zérus. Az általunk vzsgált fladatoknál az L oprátor poztív, és így a staconartásból a mnmum s kövtkzk. Az L lnárs oprátort szmmtrkus oprátornak nvzzük a DL halmazon, ha mndn u, v DL stén tljsül, hogy < Lu, v>=< u, Lv>. Az L oprátort poztívnak nvzzük a D L tartományon, ha szmmtrkus és mndn u DL stén tljsül, hogy < Lu, u>, ahol < Lu, u>= pontosan akkor, ha u =. Például az önsúlyával trhlt függőlgs konzolra mgadott prmérték-fladatban az oprátor poztív, mrt parcáls ntgrálás szabályát alkalmazva: l d u < Lu,u>= EA udx, és a dx 5

6 b./ Ortogonaltás 5, vagy más névn vtült fltétl: a kszmlt hbavktor gy altérr lgyn ortogonáls. A kövtkzőkbn lmzzük mnd az öt gyakorlat jlntőségű változatot: a g, a h, valamnt a g és h flvétl stén a staconartás lltv az ortogonaltás fltétlt (g és h ortogonaltása lőírásának nncs értlm): Fltétl g h g és h Staconartás A C E Ortogonaltás B D A./ A g hbavktor vzsgálata a staconartás fltétl sgítségévl: Lgyn a közlítés un cϕ ϕ U. Ekkor a < g,g>= mn! fltétlt klln tljsítnünk. A közlítést bhlyttsítv < g,g >=< u c ϕ,u cϕ > = (.3) = alakú 6 ( ) j j = < u,u > < c ϕ,u > < u,c ϕ >+< c ϕ,c ϕ >. j j j j Innn a c k paramétrk szrnt drválással (a blnárs alak szmmtráját az általánosság kdvéért nm tétlzzük fl) a staconartás fltétl: < g,g >= < ϕk,u > < u, ϕk >+< ϕk,c jϕ j >+< c ϕ, ϕk >=. (.4) c k Ez a kfjzés nm alkalmas a c k gyütthatók mghatározására, mvl csak smrtln értékkt tartalmaz (mndn tagjában ott van az smrtln u és c ). B. / A g hbavktor ortogonaltásának lőírása gy ttszőlgs m M n,k,,...,n k = altérr ( m k M nk gy bázsát 7 alkotják): k n l l d u du du du l EA udx EA u EA dx = dx dx dx dx. Itt a szöglts zárójlbn lévő rész az u- ra vonatkozó prmfltétlk matt zérus. A másodk tag pdg nm lht ngatív, hszn gy függvény négyztét ntgráljuk. Az ntgrál csak akkor zérus, ha az u drváltja a zérusfüggvény, vagys az u konstans, d a prmfltétlk matt z u=-t jlnt. A szmmtra tljsüléséről (az < Lu,v>=< u,lv> gynlőségről) a parcáls ntgrálás szabályának kétszr alkalmazásával lht mggyőződn. 5 Ha két lm skalárs szorzata zérus, akkor azokat gymásra ortogonálsnak (mrőlgsnk) nvzzük. 6 A rövdség kdvéért az összgzés konvncót alkalmaztuk, vagys ha gy tagban ugyanaz a (néma) ndx kétszr szrpl, akkor az ndx mndn lhtségs értékévl k kll számítan zt a tagot, és összgzn azokat. Pl. most n n= cϕ. = u 7 Az m k függvényk lnársan függtlnk, d lnárs kombnácójukkal M n bármlyk lm lőállítható. 6

7 Ebbn az stbn a < g,mk >=< u c ϕ,mk >=< u,mk > < c ϕ,mk >= (k=,,n) (.5) fltétl nm ad használható rdményt. Két tovább kgészítő lőírás alkalmazása azonban sgít a fladat mgoldásában: - vgyünk fl gy ψ k Un függvénybázst úgy, hogy mk = Lψ k lgyn, - tétlzzük fl, hogy a blnárs alak az U és W trkt hozza dualtásba, és az L oprátort tkntv argumntumaban szmmtrkus: < p,l q>=< q,l p >. Ezkkl a fltétlkkl az ortogonaltás lőírás átalakítható: < u,lψ >=< c ϕ,l ψ >, k k k k ( ) < ψ, f >= c < ϕ,l ψ >. k =,...,n (.6) Az (.6) alatt összfüggés a c smrtlnkr nézv gy lnárs gynltrndszr, mlyből azok mghatározhatók: c < ϕ,l ψ > K < ϕn,l ψ> < ψ, f > M = M O M M c < ϕ,l ψ > L < ϕ,l ψ > < ψ, f > n n n n n (.7) Ezt a mgoldás tchnkát drkt módszrnk hívják, mrt közvtlnül a g hbavktorra vonatkozó fltétlkr épül. A mgoldás lénygébn a szmmtrkus (komplx függvényk stén önadjungált) oprátorok stébn alkalmazható ortogonáls sorfjtés ljárás általánosítása. C./ Staconartás fltétl a h hbavktorra: ( ϕ ) ( ϕ ) mn! < h,h>=< f L c, f L c >= (.8) j j Ennk fgylmbvétlévl k=,,n stén: < h,h>=< L( c ϕ), f L( c jϕ j) >+< f L( c ϕ), L( c jϕ j) >=. (.9) ck ck ck Mgjgyzzük, hogy z az ljárás a lgksbb négyztk hbalv névn smrt. Az (.9) alatt összfüggés ck -kra gy gynltrndszrt rdményz. A blnárs alak bbn az stbn a W tér mtrkáját adja mg, és ha z a blnárs alak argumntumaban szmmtrkus, akkor a fnt kfjzés a < L( c ϕ ), f L( c jϕ j) >= (.) ck ortogonaltás fltétlr gyszrűsödk. Mvl most már csak lnárs oprátorokat vzsgálunk, az gynlt tovább gyszrűsödk: < L ϕ, f c Lϕ >=, (.) mlyből k j j 7

8 c < L ϕ,lϕ > K < L ϕn,lϕ > < L ϕ, f > M = M O M M. c < L ϕ,lϕ > L < L ϕ,lϕ > < L ϕ, f > n n n n n (.) Mgjgyzzük, hogy ha ϕk -k az L oprátor sajátfüggvény 8, akkor tovább gyszrűsítv az < λϕ k k, f ckλϕ k k>= (nncs összgzés k szrnt) gysmrtlns gynltkr vzt, mlykből a krstt gyütthatók számíthatók: < ϕk, f > ck =. (nncs összgzés k szrnt) λ < ϕ, ϕ > k k k D./ Ortogonaltás fltétl a h hbavktorra: (.3) < h,m >=< f,m > < L( c ϕ ),m >=. k=,,n k k k Az L oprátor lnartását khasználva az gyütthatók c < L ϕ,m > K < L ϕn,m > < f,m > M = M O M M. c < L ϕ,m > L < L ϕ,m > < f,m > n n n n n (.4) módon számíthatók. Ez a kfjzés a súlyozott maradékok hbalv névn smrt a szakrodalomban. Az ortogonaltás fltétl a blnárs alak és az mk M n altér-bázs flvétlétől függőn többfél gyakorlat változat alapja. Mgjgyzzük, hogy nnk a hbalvnk az gyszrűsíttt változata gybsnk más hbalvkből spcáls stkbn adódó változatokkal (az gyzés alapja a Hlbrt-trkbn mgfogalmazható vtítés tétl analógája, amly összkapcsolja a mnmumfltétlt és az ortogonaltás fltétlt). Fontos tudn, hogy a szakrodalomban gys szrzők a súlyozott maradékok hbalvénk általánosításából kndulva d sorolnak több olyan ljárást (pl. a lgksbb négyztk módszrét, stb.) s, amlyt m általános stbn lvlg különböző változatnak tartunk. E./ Staconartás fltétl a g és h hbavktorokra: Vzssünk b gy < g,h> blnárs funkconált úgy, hogy az dualtást hozzon létr az U és W trk között. Igazolható, hogy ha az L oprátor poztív, akkor az u mgoldás pontjában a < g,h> funkconálnak mnmuma van. A 8 ϕ k az L oprátor sajátfüggvény, ha Lϕ k λϕ k k sajátfüggvényk ortogonálsak gymásra: = ( λ k a ϕ, ϕ =, ha j. j ϕk -hoz tartozó sajátérték). A 8

9 < g, h> = mn! (.5) fltétlt nrgtka hbalvnk nvzzük (az lnvzés alapja a < g, h> = mn! fltétl mchanka tartalmából adódott a szakrodalomban). Hlyttsítsük b.5-b a hbavktorok képltét: < u c ϕ, f L cϕ >= o j j ( ) mn! (.6) Ezt tagokra bontva a kövtkzőt kapjuk: < u, f >+< c ϕ,l( c jϕ j) > < u,l( c jϕ j) > < c ϕ, f >= mn! (.7) Az lső tag konstans, így lhagyhatjuk, mrt nm változtat a staconartás ponton. A harmadk tagban khasználjuk az L oprátor szmmtráját és azt, hogy Luo = f, így az a ngydk taggal mggyzk (a néma ndxk különbözőség nm számít): < c ϕ,l c ϕ > < c ϕ, f >=. (.8) ( ) mn! j j Szokás még kttővl osztan a függvényt (z sm változtat a staconartás ponton), mrt - a gyakorlat számításokban szükségs drválásoknál majd gyszrűbb alakot kapunk, - a mchanka példáknál a függvény így formalag s mggyzk a tljs potncáls nrga függvényévl: < c ϕ,l( c jϕ j) > < c ϕ, f >= mn! (.9) A staconartás fltétl szrnt a c k változók szrnt drváltaknak zérusnak kll lnnük: < ϕk,l( cϕ) >+ < c ϕ, L( c ϕ) > < ϕk, f > =.( k =,...,n) ck (.) Khasználva az L oprátor lnárs voltát: < ϕk,l( cϕ) >+ < c ϕ,l ϕk > < ϕk, f > =, ( k =,...,n) (.) majd a szmmtrkus voltát: ϕ,l c ϕ ϕ, f k =,...,n (.) < ( ) > < > =. ( ) k k A c k gyütthatók zn lnárs gynltrndszrből számíthatók: c < L ϕ, ϕ > K < L ϕn, ϕ > < ϕ, f > M = M O M M. (.3) c < L ϕ, ϕ > L < L ϕ, ϕ > < ϕ, f > n n n n n Az lmzés bfjzéséül újból mgjgyzzük, hogy a g és h-ra nm lht ortogonaltás fltétlt alkalmazn. A fntkbn tárgyalt osztályozás összfoglaló táblázata: Fltétl g h g és h Staconartás Lgksbb négyztk Enrgtka módszrk Ortogonaltás Drkt módszrk Súlyozott maradékok

10 Általános mgjgyzésk a B-C-D-E alatt smrtttt hbalvkhz: - Az L oprátor ténylgs flépítés közömbös a hbalvk általános alakja szmpontjából (kvév az stnként gyszrűsítésknél flhasznált szmmtra fltétlkt). - A hbalv mgválasztása mghatározza a végső lépésbn mgoldandó gynltrndszr gyütthatómátrxának tulajdonságat (szmmtra, poztív dfnt jllg, stb.). - A homogén prmfltétlkr vonatkozó fltétlt a blnárs alak szmmtratulajdonságaval kapcsolatos átalakításoknál használtuk fl (parcáls ntgrálást lltv stnként a Gauss-Osztrogradszkj-tétlt alkalmazva). - Általános stbn (kllőn tágas altér mgválasztásával) a flsorolt hbalvk mndgyk mgfllő közlítést ad, zért nncs érdm válasz a mlyk a lgjobb kérdésr. Mchanka háttr (és mndkét hbavktor gyütts fgylmbvétl matt) azonban mgkülönböztttt fgylmt érdml a E pont alatt változat! - A hbalvk osztályozásakor nm jutottak szrphz a bázsmgválasztás szmpontja, valamnny hbalvr kdolgoztak már végslms tchnkákat. - A bmutatott klasszkus (úgynvztt tszta ) hbalvk mlltt a szakrodalomban vgys változatok s smrtk. Például: a./ Módosított varácós lv: ha valamly Π ( u) funkconál staconartás pontját kll mgkrsn a G( u )= mllékfltétl tljsítésévl, akkor a λ Lagrang-függvényk bvztés után az alább módosított alakot szokás vzsgáln: Πˆ =Π+ Ω λ G dω. A varácós lv bbn az stbn a kényszrfltétl klégítését s fgylmb vsz: δπ=δπ+ ˆ δλ G dω+ λδg dω=. A módszr hátránya, hogy rndszrnt a λ Lagrang-függvénykt s a bázsfüggvényk trébn kll flvnn, így az smrtlnk száma nő. Tovább hátrány, hogy kvadratkus Π és lnárs G stén a végső gynltrndszr szngulárs lsz. b./ Bünttő függvénykkl módosított fltétl: ttszőlgs funkconálhoz kapcsolható kényszrfltétl a lgksbb négyztk hbalvévl: Πˆ =Π+α G dω, ahol az α bünttő konstans. Nagy Ω α értékk mlltt a végső gynltrndszr rosszul kondconálttá Ω Ω

11 válk. Ha Π =, akkor vsszajutunk a lgksbb négyztk módszréhz. A B-C-D-E hbalvk alkalmazásához kapcsolódó mgjgyzésk:.. Példa - Az ortogonaltás hbalvk ( drkt módszr, súlyozott maradékok módszr) közvtlnül vztnk olyan gynltrndszrkr, amlykből az smrtlnk mghatározhatók. Akkor használják őkt, amkor: a fladathoz nm kapcsolódk varácós lv, a mgoldandó gynltrndszr gyütthatómátrxának szmmtrája nm alapvtő kövtlmény, vszonylag könnyn található nagyszámú lőnyös súlyfüggvény (vtítés rány). - A vtítés hbalvknél mgjlnnk mndazon drváltak, amlyk a fladat alapgynltébn szrplnk, zért nnk mgfllő fokszámú közlítő függvénykt kll alkalmazn. - A staconartás fltétlkhz kötődő, varácós lvű (lgksbb négyztk, nrgtka lv) módszrk alkalmazása stén szmmtrkus gyütthatómátrxú gynltrndszr adódk, a lgksbb négyztk módszrénél pdg bztosan poztív dfnt s. Az nrgtka hbalv lőny, hogy a blnárs alak szmmtra-fltétl a gyakorlatban parcáls ntgrálást rdményz, és nnk végrhajtásával lmnálhatók a magasabb rndű drváltak, alacsonyabb fokú közlítő függvényk használhatók. Krssük az alább fladat mgoldását: d u u x, x [, ], a prmfltétlk : u ( ), u ( ) dx + = = =. Bhlyttsítéssl könnyn mggyőződhtünk, hogy a fladat pontos mgoldása: sn x u = x. sn 3 A közlítő mgoldások pontosságát vzsgáljuk mg az x=,, hlykn, ahol a 4 4 pontos mgoldás érték (hat éls jgyr):,4437,,69747 és,656. A vzsgálandó példánknál a L d dx = + és ( ) f x = x. A kövtkzőkbn zt a fladatot mgoldjuk a fntkbn bmutatott négy közlítő módszrrl. Mndgyknél ugyanazt a kétdmnzós U altrt választjuk a

12 ϕ ( x) = x( x) és a ϕ ( x) = x ( x) bázst használva. Ezk a függvényk klégítk a prmfltétlkt és lgalább kétszr folytonosan drválhatók (zk végtlnszr s drválhatók). Mgoldás drkt módszrrl: Ennél a módszrnél a ψ k függvénykt s U gy kétdmnzós lnárs altréből kll választanunk, vagys zknk s k kll légítnük a prmfltétlkt, és kétszr folytonosan drválhatóknak kll lnnük. Trmésztsn használhatnánk a fnt altrt s (kkor mndn rdmény mggyzn a később bmutatott nrgtka módszr számaval), d most nkább válasszunk trgonomtrkus függvénykt: ψ= sn( π x), ψ = sn( π x). A korábban közölt képltk szrnt pl. az gyütthatómátrx (,) lm d sn( π x) < ϕ,lψ > = x ( x) + sn ( π x) dx =, 577 dx, vagy a lnárs gynltrndszr jobb oldalának másodk lm: ( π )( ) < ψ, f >= sn x x dx =, Hasonlóan számolva a több lmt s a krstt gyütthatók: c, 443, 577, 383, 9687 c =, 9374 =, 5955, Ez alapján a mgoldás közlítés: u( x ) =, 9687x( x ) +, 7998x ( x), mlynk a ngydkbn flvtt érték:,44444;,695465;,6754. A pontos értékktől való ltérésk,3%-nál ksbbk. Közlítés a lgksbb négyztk hbalvévl: Itt csak a korábban kválasztott ϕ és ϕ függvényt kll használnunk. Az gyütthatómátrx (,) ndxű lménk és a jobb oldal másodk lménk lőállítását részltsn flírjuk: d x ( x) d x( x) < L ϕ,lϕ > = + x ( x) + x ( x) dx =, 68333, dx dx d x ( x) < L ϕ, f > = + x ( x) ( x) dx =, 95 dx. Hasonlóan számolva a több lmt s a krstt gyütthatók: c 3, 36667, 68333, 9687, 8754 c =, , =, 95, 6947.

13 Ez alapján a mgoldás közlítés: u( x ) =, 8754x( x ) +, 6947x ( x), mlynk a ngydkbn flvtt érték:,438;,68693;, A pontos értékktől való ltérésk,5%-nál ksbbk. Közlítés a súlyozott maradékok lv alapján: Az M függvénytér lmnk nm kll a prmfltétlkt klégítnük, zért választhatjuk azokat gyszrű polnomoknak például az m = x, m = x bázst használva. Itt s az gyütthatómátrx (,) és a jobb oldal másodk lménk lőállítását mutatjuk b: d x ( x) < L ϕ,m > = + x ( x) xdx =, 95 dx, m, f x ( x) dx, < > = = 5. Hasonlóan számolva a több lmt s a krstt gyütthatók: c, 96667, 95, , 9774 c = =, 66667, 8, 5, 675. A mgoldás közlítés: u( x ) =, 9774x( x ) +, 675x ( x), mlynk a ngydkbn flvtt érték:,445798;,694444;, A pontos értékktől való ltérésk,3%-nál ksbbk. Közlítés az nrgtka hbalv alapján Itt csak a korábban bmutatott ϕ és ϕ függvényt kll használnunk. Újból az gyütthatómátrx (,) és a jobb oldal másodk lménk lőállítását smrttjük: d x ( x) < L ϕ, ϕ > = + x ( x) x( x) dx =, 5 dx,, f x ( x)( x) dx, < ϕ > = = 5. Most s hasonlóan számoljuk a több lmt: c, 3, 5, , 94 c = =, 5, 38, 5, 773. A mgoldás közlítés: u( x ) =, 94x( x ) +, 773x ( x), mlynk a ngydkbn flvtt érték:,4483;,694444;,6864. A pontos értékktől való ltérésk,5%-nál ksbbk. 3

14 Parcáls dffrncálgynltk stén az lőzőkbn bmutatott közlítő módszrkt a műszak mchankában az alább fladattípusok vzsgálatára használják (az osztályozás alapja a dffrncálgynltk gyütthatónak lmzés 9 ): - a./ Hprbolkus típusú dffrncálgynltk (pl. a rzgő húr gynlt: u u a =, a rzgő mmbrán gynlt: a u + a u u =, x t x y t stb.). - b./ Ellptkus típusú dffrncálgynltk (pl. a tárcsánál használt Laplacgynlt + =, a rugalmasságtan klasszkus gynlt, stb.). u u x y - c./ Parabolkus típusú dffrncálgynltk (pl. a hővztés gynlt u u rúdban: a = ). x t A Mchanka MSc tárgy krtébn (jln tárggyal párhuzamosan) mgadjuk a műszak mchankában tárgyalásra krülő alapvtő fladattípusok összfoglaló jllgű áttkntését, dffrncálgynltk (dffrncálgynlt rndszrk) lltv ntgrál-kfjzésk formájában gyaránt. Ennk a tárgynak a krtn blül alapvtőn az llptkus dffrncálgynltkkl lírható fladatok közlítő vzsgálata lsz a cél, bár nm zárjuk k más példák (pl. gy parabolkus jllgű hővztés fladat, stb.) lmzését sm. 9 Kétváltozós másodrndű lnárs (parcáls) dffrncálgynltk általános alakja ( u( x, y ) az smrtln függvény): u u u u u A + B + C + a + b + cu= f. (Az gyütthatók s lhtnk x és y függvény.) x x y y x y A dffrncálgynlt típusa attól függ, hogy a vzsgált tartományban mlyn a δ = AC B dszkrmnáns lőjl. Ha δ <, akkor hprbolkus; ha δ =, akkor parabolkus; ha δ >, akkor llptkus dffrncálgynltről bszélünk. Kttőnél több változós állandó gyütthatós másodrndű lnárs (parcáls) dffrncálgynltk stén a változók gy homogén lnárs transzformálásával lérhtő, hogy a másodrndű rész u κ alakú lgyn (nncsnk vgys drváltak). Ebbn az stbn llptkus a x dffrncálgynlt, ha az összs κ azonos lőjlű (és nncs zérus); hprbolkus, ha gynk az lőjl ltér a többtől (és nncs zérus); parabolkus, ha pontosan gy zérus van, a több pdg azonos lőjlű. Egy közönségs dffrncálgynltt llptkusnak nvzhtünk, ha a dffrncáloprátora (vagy annak --szrs) poztív. 4

15 Az llptkus dffrncálgynltkről (a közlítő mgoldások mnőségénk értékléséhz s) tudnunk kll, hogy: - mgoldásak általában kllőn smák, még vszonylag rosszul kondconált kndulás adatok stébn s, - a prmfltétl adatok hatása általában érzhtő az gész tartományon, vszont a - lokáls szngulartások hatása általában lokáls jlntőségű marad (Sant Vnant-lv). Flhasznált rodalom:./ Scharl P. : Hbalvk alkalmazása a numrkus számításokban, Kézrat, 976../ Bronstjn, I. N. Szmngyajv, K. A. Musol, G. Mühlg, H. : Matmatka kézkönyv, Typotx,. 3./ Poppr Gy. : A végslmmódszr matmatka alapja, Műszak Kadó,

16 . lőadás: A Galjorkn- és a Rtz-módszr lmélt részltnk bmutatása A./ A Galjorkn-módszr A módszrt Borsz Grgorjvcs Galjorkn publkálta 95-bn (Galjorkn, B.G.: Srs-solutons of som cass of qulbrum of lastc bams and plats, Vsthnk nzsnrov tchnkov. pp , 95). A Galjorkn-módszr a súlyozott maradékok hbalvén alapul. Ez az ljárás a lgáltalánosabban mgadott ortogonaltás fltétlt használja, zért nmlnárs dffrncálgynltk stén s alkalmazható. Ha thát a Φ u= f, Bu= prmérték-fladatban Φ akár nmlnárs oprátor, a h hbának zérusnak klln lnn, a zérus függvény pdg ortogonáls mndn az Ω -n értlmztt, ntgrálható v függvényr (zk halmazát jlöljük M-ml) < f Φ u,v >=, v M. (.) Galjorkn s az un -nl jlölt közlítő mgoldás számítására lőr flvtt n darab (a Bu= prmfltétlt klégítő, a kllő számban folytonosan drválható) lnársan függtln függvény ( ϕ, =,,, n ), - úgynvztt bázsfüggvény lnárs kombnácóját javasolta: u = n n c = ϕ. (.) Ebbn a közlítő függvénybn már csak n smrtln paramétr van, zért nm tudjuk bztosítan, hogy M mndn lmér ortogonáls lgyn a hba. Választhatunk azonban M M, mlynk lmr ortogonálssá thtő, gy n-dmnzós lnárs altrt ( ) n ugyans az ortogonaltás fltétlbn használt funkconál a másodk változójában lnárs, zért ha az M n lnárs tér gy bázsára ortogonáls a hba, akkor az M n mndn lmér s ortogonáls lsz. Jlöljük M n gy bázsát m,...,m n módon. Így a kövtkző n-smrtlns nmlnárs gynltrndszrt kll mgoldanunk: < f Φ c ϕ,m >=, k =,...,n. (.3) ( ) k Ez a fladat általában nm könnyű, bonyolult stbn még az ntgrálást sm tudjuk analtkusan lvégzn. Ha z skrül s, akkor a nmlnárs gynltrndszr mgoldásánál léphtnk fl más jllgű problémák (van- mgoldás, hány mgoldás van, stb.) Nagy valószínűséggl csak numrkusan, trácós ljárással krshtjük a mgoldás jó közlítését Fhérorosz származású mérnök és matmatkus. Élténk adatat lásd bővbbn a honlapon lltv a Tanszék honlapján lévő Rtz, Galjorkn és a mchanka fladatok numrkus közlítő módszr éltrajzban. 6

17 .. Példa. A Galjorkn-módszr nmlnárs dffrncálgynlt stén Oldjuk mg közlítőlg a kövtkző prmérték-fladatot a [, ] ntrvallumban : du u = sn x, u ( ) =. dx Válasszunk (a prmfltétlnk lgt tvő) három bázsfüggvényt, a lggyszrűbb polnomokat : 3 ϕ = x, ϕ = x, ϕ3 = x. Az M n lnárs térbn a prmfltétlt sm kll klégítnünk, így még gyszrűbb bázs választható: m =, m = x, m3 = x. Bhlyttsítv zkt az ortogonaltás fltétlkb a ( 3) cos( ) c + c + c + =, c c 3cc 4cc 3 5cc3 3c3 + cos( ) sn( ) =, c c 3cc cc3 5cc3 3c3 cos( ) sn( ) = nmlnárs gynltrndszrt kaptuk. Ennk gy számítógéps numrkus programmal kapott mgoldása: c =, 33; c =, 4; c =, Az zzl képztt u 3 % -nál ksbb hbával közlít a (ngatív lőjlű) pontos mgoldást a, ntrvallumban. (Mgjgyzzük, hogy a harmadfoknál csonkított vzsgált [ ] 3 x+ x / 4 Taylor-sor ksbb hbát ad, mnt a Galjorkn-módszrrl így kapott mgoldás.) Ha a dffrncáloprátor lnárs, akkor az lső hétn látottaknak mgfllőn a kapott lnárs gynltrndszrt c < L ϕ,m > K < L ϕn,m > < f,m > M = M O M M c < L ϕ,m > L < L ϕ,m > < f,m > n n n n n módon oldhatjuk mg. (Err már bmutattunk gy numrkus példát az lső hétn.) Korábban láttuk, hogy az M n lnárs tér lmnk nm klltt klégítnük a prmérték-fladatban szrplő prmfltétlkt, d azt sm mondtuk, hogy nm szabad Bhlyttsítéssl könnyn llnőrzhtő, hogy nnk a fladatnak a pontos mgoldása: x u =± sn. 7

18 klégítnük, zért lég kéznfkvő mgoldásnak tűnk az s, ha M n trt az U n térrl m = ϕ =,...,n. gyzőnk választjuk, sőt abban ugyanazt a bázst használjuk, vagys ( ) Így a mgoldás: c < L ϕ, ϕ > K < L ϕn, ϕ > < f, ϕ > M = M O M M. c < L ϕ, ϕ > L < L ϕ, ϕ > < f, ϕ > n n n n n Ezt a képltt összhasonlítva az lső hétn az nrgtka hbalv használatánál kapott képlttl, mgállapíthatjuk, hogy a két módszr ugyanarra az gynltrndszrr vzttt. Err az str s láttunk numrkus példát az lső hétn. Ha az L lnárs oprátor szmmtrkus oprátor, akkor a kapott gyütthatómátrx s szmmtrkus. Az lső hétn bmutatott példában az gyütthatómátrx szmmtrkus volt. Érdks fladat mgvzsgáln, hogy z nm a bázsfüggvényk szrncsés flvétlénk kövtkzmény, hanm az L oprátor valóban szmmtrkus oprátor... Példa. Szmmtrkus oprátor Az d L = + oprátorhoz még az értlmzés tartomány s hozzátartozk, vagys D L dx =, = prmfltétlkt tljsítő azoknak a [, ] ntrvallumban értlmztt, ( ) ( ) függvényknk a halmaza, amlyknk még a másodk drváltja s folytonos. Ez az oprátor szmmtrkus, mrt: d u d u du du dv < Lu,v> = + u vdx vdx uvdx v dx uvdx = dx + dx = dx + = dx dx dv d v d v = u u dx uvdx u v dx u,lv dx + + dx = + =< >. dx Itt kétszr alkalmaztuk a parcáls ntgrálás szabályát, a szöglts zárójlbn lévő kfjzésk pdg a v-r lltv az u-ra vonatkozó vonatkozó prmfltétlk matt zérusok. Ez a példa azt s mutatja, hogy ha a lnárs oprátor olyan tagok összg, mlyk mndgykébn páros számszor kll drváln (és mgfllők a prmfltétlk s), akkor a mgoldáshoz használt gyütthatómátrx lmt alacsonyabb drváltakkal s lő lht állítan. Például az lőző példában L két tag összg, az lsőbn két, a másodkban d nulla drválást kll végrhajtan. Így bvztv az R = és az R = oprátorokat, dx a mgoldás Itt a komplx függvénytanból smrt = képzts szám, bvztésér azért volt szükség, mrt az oprátor lső tagjának a (-)-szrs poztív, d a szmmtrát bzonyító gynltsor lső sorának végéből s látszk, hogy a ngatív lőjlhz szükség van az -r. 8

19 c < R kϕ,rkϕ > K < R kϕn,rkϕ > < f, ϕ > M = M O M M c < R ϕ,rϕ > L < R ϕ,rϕ > < f, ϕ > n k k n k n k n n alakba s írható (tt a k ndx szrnt összgzn kll). Ez az alak már sjtt, hogy a ϕ bázsfüggvénykr stlg lég lht nyhébb drválhatóság fltétlt lőírnunk A vzsgált példában ddg azt írtuk lő, hogy a bázsfüggvényk kétszr folytonosan drválhatók lgynk, mrt az L oprátorban másodk drvált s lőfordult. Ezn lgutóbb alakban az R k oprátorokban lgfljbb az lső drvált szrpl, thát lég lnn az lső drvált mglétét mgkövtlnünk. Az gazság azonban az, hogy az lső drváltat sm kll a vzsgált tartomány (ntrvallum) mndn pontjában smrnünk, ugyans a határozott ntgrálok érték nm változk, ha a tartomány gy nullmértékű halmazán (gydmnzós stbn dszkrét pontokban) mgváltoztatnánk az ntgrálandó függvény értékét, vagys gy nullmértékű halmazon az s mgngdhtő, hogy n smrjük a drvált értékét. Tkntsük végül azt az stt, amkor a lnárs oprátor sajátfüggvényből választjuk a bázsfüggvénykt, vagys úgy kll választanunk a bázsfüggvénykt, hogy Lϕ = λϕ lgyn, és a bázsfüggvényk ortogonálsak lgynk gymásra. A sajátfüggvényk matt < L ϕ, ϕ >= λ < ϕ, ϕ >, j j az ortogonaltás matt pdg ϕ, ϕ =, ha j. Így az gyütthatómátrx dagonáls j mátrx lsz, vagys a c k gyütthatók gysmrtlns gynltkből számíthatók: ϕk, f ck =. (nncs összgzés k szrnt) λ ϕ, ϕ k k k.3. Példa. Sajátfüggvényk alkalmazása; bázsfüggvényk számának növlés Az ddg s vzsgált sn( k x) valamnt L d dx = + oprátornak ( ( ) ( ) =, = prmfltétlkkl) a π (k=,, ) függvényk sajátfüggvény, hszn sn( ) = és ( ) ( π ) ( π ) sn( π ) Lsn k x = k + k x, sn kπ =, thát a sajátértékk: λ = k π. Az s könnyn blátható, hogy k értékétől függtlnül k k, k sn ( kπ x) dx < ϕ ϕ > = =. Ezkkl a bázsfüggvénykkl thát: kπ cos( kπ) sn( kπ) ck = sn ( kπ x)( x) dx= k π. k π k π 9

20 Az lső 5 darab gyüttható érték: k c k +, , , , ,58443 Ez a fladat jó lhtőségt ad arra, hogy mgvzsgáljuk, hogy hogyan változk a mgoldás pontossága a bázsfüggvényk számának függvényébn, például az ntrvallum ngydbn: Jól látható, hogy x=,5 x=,5 x=,75 Pontos, , , n=,57594, ,57594 n=, , ,59538 n=3, , , n=4, , , n=5,438697, , n=,4493, , a konvrgnca nm túl gyors, - hol nagyobb, hol ksbb értékt kapunk a pontos értéknél, - gy-gy pontban hol nagyobb, hol ksbb a változás s, attól s függőn, hogy a bázsfüggvénynk az adott pontban mkkora az érték (pl. ϕ 4 látszólag nm változtatott a mgoldáson, mrt a vzsgált pontokban éppn zérus az érték, d a hbafüggvény normája bztosan csökknt). Nézzük mg a bázsfüggvényk számának hatását a korább példánknál s. Most az gyütthatómátrx lmt nm a lvzttt képltkkl állítjuk lő, hanm az ortogonaltás fltétlkt írjuk fl, és annak drválásával vztjük l a mgoldandó gynltrndszrt..4. Példa. Bázsfüggvényk számának növlés A vzsgálandó gynlt és a prmfltétlk a kövtkzők: d u u x, u ( ) u ( ) dx + + = = =. Először csak gy bázsfüggvénnyl közlítünk: u( ) c x( x) ha azt ugyanarra a bázsfüggvényr írjuk fl a kövtkző lsz: =. Az ortogonaltás fltétl

21 ( ( ) ) ( ) L u ϕ dx = { c + c x x + x } x ( x ) dx =. Az ntgrálás lvégzés után: c+ = c = u( ) = x( x ). 8 8 Két függvénnyl történő közlítés stén lgyn: u( ) = cx ( x) + cx ( x). Az ortogonaltás fltétlk: ( ( ) ) ( ) ( )( ) L u ϕ dx = { c + c 6 x + x x c + c x + x } x ( x ) dx =, ( ( ) ) ( ) ( )( ) L u ϕ dx = { c + c 6 x + x x c + c x + x } x ( x ) dx =. Az ntgrálok kszámítása után: c c, c c c,c u( ) x( x) + = + = = = = + x sn x Összhasonlítva az u= x pontos mgoldást, valamnt u( ) és u ( ) értékt az sn 3 x = ; ; hlykn, a kövtkzőkt kapjuk: 4 4 x u u( ) u ( ),5,44,58,448,5,6975,6944,6944,75,66,58,69. Ha nm homogénk a prmfltétlk, akkor az ddg alkalmazott közlítő-függvénykt k kll gészítn gy olyan u p taggal, amlyk lgt tsz a mgadott (nhomogén) prmfltétlknk. Az u p tag mgválasztásakor a dffrncálgynltr csak annyban kll tkntttl lnnünk, hogy az az L oprátorban lőírt számban drválható lgyn. Thát: u u c ϕ n p = n = +. Mvl az u p tagnak nm smrtln az gyütthatója, az ortogonaltás fltétlbn z csak az gynltrndszr jobb oldalát bfolyásolja..5. Példa. Inhomogén prmfltétl Vzsgáljuk mg az alább, úgynvztt Bssl-fél dffrncálgynltt az (,) ntrvallumban nhomogén prmfltétlk mlltt: d u du x + x + ( x ) u =, u ( ) =, u( ) =. dx dx

22 Az lőírt prmfltétlkt az ( ) bázsfüggvényt, amlyk a homogén prmfltétlkt tljsít: ϕ = x x, thát a közlítő-függvényt u = x + c x x alakban krssük. Fltétl gynltként a h hbavktornak a ϕ -r való ortogonaltását írjuk lő: { ( ) ( x c + x + c 3 x + x x + c x x x x dx =. pontos mgoldással. (Itt I és I a két lsőrndű lsőfajú Bssl-függvény 3, az gyütthatókat pdg úgy vttük fl, hogy u klégíts a prmfltétlkt.).6. Példa. Húzott rúd u x = x függvény tljsít. Válasszunk gy p ( )( ) ( )}( ( )) ( ) ( )( ) c =, 83 u = x +, 83 x x. Intgrálás után a mgoldás: ( )( u = 3, 674 I x +, 7596 I x Hasonlítsuk össz néhány hlyn a közlítést az ( ) x u u,3,4769,476,5,767,757,8,9958,9965 ( )( ) )( ) Vzsgáljunk mg gy húzott konzolt, krsv az u (x) ltolódásfüggvény közlítését. ) ( ).. ábra: Húzott rúd vzsgálata A példához tartozó prmérték-fladat: d u du EA = p( x), u() = és a =. dx dx A Galjorkn-módszrrl történő mgoldáshoz válasszunk most két bázsfüggvényt, zk mndgyk klégít mndkét prmfltétlt: l 3 A fnt dffrncálgynlt mgoldása, mlyk sorfjtéssl számíthatók. A korszrű számítógép-algbra rndszrkbn ugyanúgy használhatók, hatók, mnt pl. a trgonomtrkus függvényk.

23 x x ϕ = x, ϕ = x. l 3l Bmutatjuk a mgoldandó gynltrndszr két lménk számítását: A tljs gynltrndszr: A mgoldás: l dϕ dx l 3 5lEA < Lϕ, ϕ >= EA ϕ dx=, 4al < f, ϕ >= a xϕ dx=. 5 3 l /3 5l / c = 5al / 4 EA. 3 5l / 8l /5 c 4al /5 c =, c = a l /(EA). Ez gyébként a szrncsés bázsfüggvény-flvétl matt mggyzk a pontos mgoldással: 3 a x u (x) =. 3 c ϕ + c ϕ = l x EA Ha azt a tényt s khasználjuk, hogy az L oprátor poztív, akkor az lőző alapgynlt még tovább gyszrűsödk, hszn az gynltrndszr így az alább formában írható fl: n j= c j< Rϕ j, Rϕ> < f, ϕ>=, =,,..., n. Most oldjunk mg gy olyan fladatot, amlykbn az smrtln függvény kétváltozós..7. Példa. Kétváltozós függvény Határozzuk mg az ábrán látható négyzt alaprajzú vékony lmz közlítő ltolódásfüggvényét a Galjorkn-módszr sgítségévl! A homogén, zotrop lmz vastagsága (h) állandó, flültén gynltsn mgoszló ( p ) thr működk, a prmk mnd a négy oldalon bfogottak. 3.. ábra: Bfogott lmz vzsgálata 3

24 A ks lmozdulásokat végző állandó vastagságú vékony lmz ltolódásfüggvényt tartalmazó prmérték-fladata kvázstatkus hatásokra tömör formában gyszrű alakú 4 : D w= p. Itt w az ltolódás kétváltozós függvény, p az ugyancsak kétváltozós trhlésfüggvény, 3 E h D a lmzmrvség ( D =, tt E a rugalmasság modulus, h a lmz ( ν ) vastagsága, ν pdg a Posson-tényző), végül = + a kétdmnzós x y Laplac-oprátor. A trhlés érték bbn a példában állandó a lmz gész flültén. A w prmfltétlk mnd a négy éln adottak (az x =, x= l prmkn w= és =, az y w y =, y= l élkn pdg w =, = ). x Válasszuk a lggyszrűbb stt, gytln a prmfltétlkt klégítő közlítő függvényt fgylmb vév: πx πy ϕ = cos cos 4 l l. A h hbavktorra vonatkozó ortogonaltás fltétl khasználásával: l l c D( ϕ ) ϕ dxdy pϕ dxdy =. l l Ha bhlyttsítjük a választott bázsfüggvényt bb az gynltb, akkor a kövtkzőt kapjuk: c D l l 4 4 π π x π y π π x π y cos cos + cos cos 6 l l l 8 l l l 4 π πx πy πx πy cos cos cos cos dx dy 6 l l l l l πx cos πy cos = 4 dx dy. l l Az ntgrálok kszámítása után az gynlt alakja lénygsn gyszrűbbn írható: 4 Dπ c pl =, l 4 nnn pdg c érték: 4 pl c =. 4 8Dπ Érdms összvtn a kapott rdményt az nnél a fladatnál a prmérték-fladatból közvtlnül kszámítható pontos mgoldással. Hasonlítsuk össz például a lmz p l l 4 Emlékzttőül: a BSc Tartók Statkája tárgy már bmutatta a lmzgynlt zn változatának lőállítását. 4

25 középpontjának függőlgs ltolódását. A Galjorkn-módszr szolgáltatta közlítő rdmény: 4 köz. pl wmax=, 8, D az lméltlg pontos rdmény: 4 lm. pl wmax=, 6. D Az ltérés ksbb, mnt %. Előfordulnak olyan prmérték-fladatok s, amkor a lnárs dffrncálgynlt és a prmfltétl s homogén. Ennk a fladatnak a trváls mgoldása zérusfüggvény. Ha azonban a lnárs dffrncáloprátorban szrpl gy paramétr s, akkor nnk a paramétrnk spcáls értéknél (a sajátértékknél) lhtnk nmtrváls mgoldások s. A Galjorkn-módszrt lyn fladatok mgoldására s használhatjuk..8. Példa. Sajátérték-fladat Határozzuk mg gy gyns tnglyű, állandó hajlító mrvségű, két végén bfogott rúd szabad rzgéshz tartozó lső két sajátérték közlítő értékét. A fladat (homogén) dffrncálgynlt: 4 d w 4 4 mω β w=, ahol β =. 4 dx EI Az gynltbn w(x) a rúdtnglyr mrőlgs ltolódások függvény (az x koordnáta a rúd baloldal végétől ndul a jobboldal flé rányítva), m a rúd tömg, ω a rúd sajátfrkvncája. A homogén prmfltétlk (l a rúd hossza): dw dw w ( ) =, =, w( l ) =, =. dx x = dx x = l Lgyn az alkalmazott közlítés függvény: πx 4πx w( x) = cϕ + cϕ = c cos + c cos l l. Az ortogonaltás fltétlk: l π 4 4 πx 4 4π 4 4 4πx 4 πx c ( ) β cos + cβ + c ( ) β cos + cβ cos dx= l l l l, l l π 4 4 πx 4 4π 4 4 4πx 4 4πx c ( ) β cos + cβ + c ( ) β cos + cβ cos dx= l l l l. l Intgrálás után az alább homogén lnárs gynltrndszrhz jutunk: π ( ) β β β l c =. 4 4 ( ) c π β β β l 5

26 Ennk csak akkor van nmtrváls mgoldása, ha az gyüttható-mátrx dtrmnánsa 8 zérus. A dtrmnáns értékét 4l / 5 -tl szorozva: ( βl) {( π ) + (4 π) }( β l) + ( π) (4 π ) = ( βl) 5897( β l) =. 5 5, 47 EI 4, EI Innn: ( β l) = 4,74, ( β l) =,4 ω =, ω =. l m l m Ezk az értékk mntgy,5%-os hbával közlítk a dffrncálgynlt pontos mgoldását. A sajátértékk smrtébn mghatározhatók a rzgésalakok s. Az lső sajátfrkvncánál a homogén gynltrndszr mgoldása: c = 3, 9c, vagys a rzgésalak πx 4πx w( x) = c 3.9 cos + cos l l. A másodk sajátfrkvncánál pdg: πx 4πx w( x) = c, cos + cos l l. Mgjgyzzük, hogy a módszr lmélt részlt (például a konvrgnca kérdés, bázsfüggvényflvétl, stb.) ránt érdklődők számos munkában találnak részlts lmzéskt. Mgmlítjük például Galjorkn 933-ban mgjlntttt munkáját [Thn lastc plats (orosz nylvn), Gostrojzdat, Lnngrád], vagy az rodalomjgyzékbn flsorolt tovább munkákat. B./ A Rtz-módszr Waltr Rtz 5 98-ban publkálta a módszrét 6 bmutató, nagy fgylmt klttt ckkét [Übr n nu Mthod zur Lösung gwssr Varatonsproblm dr Math. Physk, Journal für d rn und angwandt Mathmatk., Bd ]. Ennél a módszrnél a g és a h hbákból képztt funkconál staconartását (az nrgtka hbalvt) használjuk. A kvadratkus funkconál mnmumtétl kmondja, hogy ha gy Lu= f, Bu= alakú prmérték-fladatban L poztív oprátor, akkor hhz a prmérték-fladathoz hozzárndlhtő Svájc származású lmélt fzkus. Éltéről lásd részltsbbn a honlapot lltv a Tartószrkztk Mchankája Tanszék tudósokat bmutató honlapját (pontos cím az gys lábjgyztnél). 6 Néha Raylgh-Rtz-módszr lnvzéssl s találkozhatunk a szakrodalomban. Raylgh 876- ban hasonló módszrt publkált, d ő mndg csak gytln gy bázsfüggvénnyl dolgozott, és nm általánosította ljárását. 6

27 F u funkconál. Ha a prmérték-fladatnak létzk gy u DL mgoldása, akkor gy ( ) u pontban van a mnmuma az F( u ) bbn (és kzárólag csaks bbn) az funkconálnak. Ez fordítva s gaz, vagys ha gy u függvénynél van az F (u) funkconál mnmumpontja, akkor az u gyúttal (lgalább gyng) mgoldása a prmértékfladatnak. Az nrgtka hbalv (célszrűség okából -vl osztva): < g,h>= mn! Ebb a hbákat bhlyttsítv: < g,h>= ( u u)( f Lu) d ( u f ulu ulu uf) d Ω= + Ω Ω Ω (.4) Itt az lső tag nm függ u-tól, így nm bfolyásolja a mnmumpont hlyét, thát lhagyható. A harmadk és a ngydk tag L szmmtrája matt mggyzk, thát a fltétl F (u) = < Lu,u> < f,u>= mn! (.5) alakban s írható. Mvl L poztív oprátor, a parcáls ntgrálást (stlg többször) alkalmazva az alak s használható. F (u) = < Ru,Ru> < f,u>= mn! (.6) A Rtz-módszr a funkconált staconárussá tvő közlítő mgoldás krsését a prmfltétlkt klégítő n darab gymástól lnársan függtln ϕ függvény bázsfüggvény lnárs kombnácójaként krs: n u = ϕ. (.7) n c = Ha zt a közlítő függvényt bhlyttsítjük az F (u) funkconál valamlyk alakjába, az kzárólag csak az smrtln c konstansoktól függ (így akár n-változós függvénynk s hívhatnánk): F( c,c,...,cn) = < Lu n,un > < f, un >= mn!, (.8/a) lltv F( c,c,...,cn) = < Ru n,run > < f,un >= mn! (.8/b) A mnmumpontban az F funkconál mndn c szrnt lső drváltja zérus értékű. Az F ( c, c,..., cn ) funkconál lső tagja a c smrtln állandók homogén másodfokú függvény, a másodk tag pdg ugyanzn állandók lnárs függvény, zért: 7

28 n F = c j < L ϕ j, ϕ > < f, ϕ >=, =,,..., n, vagy (.9/a) c j= n F = c j < R ϕ j,rϕ > < f, ϕ >=, =,,..., n. (.9/b) c j= (.9/a) lltv (.9/b) valamlykéből határozhatók mg végül a c állandók. Ezk az gynltk poztív lnárs L oprátor stén trmésztsn mggyznk a Galjorknmódszrrl kapott gynltkkl. Fontos smétltn hangsúlyoznunk, hogy az ltérés a két módszr között mndn st hasonlóság (azonos típusú közlítő függvényk, gys stkbn azonos formájú végső lnárs gynltrndszrk) llnér nagyon lénygs. A Galjorkn-ljárás ortogonaltás fltétl mndn akár nmlnárs - prmérték-fladat stén alkalmazható, thát a módszr általános, míg a Rtz-módszr szgorúan a staconartás fltétlhz kötődk, vagys gy spcáls mgoldás tchnkáról van szó. A Galjorkn-módszrnél mndg magát a prmérték-fladatot vzsgáljuk, a Rtz-módszr stébn pdg a kvadratkus funkconál mnmum- (staconartás) tétlénk sgítségévl kapott funkconált. A két különböző matmatka fladatmgfogalmazás általában különböző ϕ bázsfüggvényk flvétlét tsz lhtővé, és z végül nagyon jlntős ltérést okoz a gyakorlatban. Már mlíttt, d újból hangsúlyozandó kövtkzmény az ddg lmondottaknak, hogy a Rtz-módszr bázsfüggvény többnyr már alacsonyabb rndű drválás fltétlk stén s alkalmazhatók, hszn az R oprátor rndj az L oprátorénak fl. Egyszrű és szllms öszhasonlítás található a két módszr különböző flozófájáról Poppr könyvébn (lásd az rodalm hvatkozásokat a fjzt végén). Ennk lényg a kövtkző: Tétlzzük fl például, hogy gy fladat pontos mgoldása háromdmnzós vktor, d a közlítést csak a kétdmnzós térbn, magyarul gy síkon tudjuk bztosítan. Az adott síkon lgjobb bcslést kétfél gondolatmntt kövtv kaphatjuk. Mnmalzálhatjuk például a két vktor különbségénk hosszát (z a staconartás fltétl és a Rtz-módszrs mgoldás), vagy krshtünk olyan közlítést, amlynél lőírjuk, hogy a hbavktor (a pontos és a közlítő mgoldás különbség) lgyn a sík mndn vktorára mrőlgs (z az ortogonaltás lv és a Galjorkn-módszr). Ebbn a példában a kétfél mgoldás ugyanazt az rdményt szolgáltatja. Vzsgáljunk mg most néhány gyszrűbb mchanka problémát a Rtz-módszr sgítségévl!.9. Példa. Húzott rúd Vzsgáljuk mg lőször a.6. példában s lmztt húzott rudat. Ennk F (u) funkconálját írjuk fl lőször mndkét alakban. A kvadratkus funkconál mnmumtétl alapján flírható rdt alak: 8

29 l l d u F( u ) = EA u dx axu dx dx. Ennk parcáls ntgrálással átalakított változata (am mggyzk a rúd tljs potncáls nrgájával 7 ): l EA du F( u) = dx axu dx. dx Vgyünk fl két gyszrű bázsfüggvényt, amlyk klégítk a lénygs prmfltétlt ( u l = trmészts prmfltétl): u ( ) =, hszn a másk ( ( ) ) ϕ= x és ϕ = x. u cϕ + cϕ Hlyttsítsük b az így kapott = közlítő ltolódásfüggvényt a másodk funkconálba: l EA F( c, c ) = l 3 l l 3 ( c + c x) dx ax( c x+ c x ) dx= EA c l+ c c l + c 3 4 l l. 3 4 a c + c A staconartás (jln stbn mnmum-) fltétlből kövtkzk, hogy zt a funkconált c és c szrnt kll parcálsan drváln: 3 F al = clea+ cl EA =, c 3 F 4 3 al = cl EA+ cl EA =. c 3 4 A kétsmrtlns gynltrndszr mgoldásából kapjuk a krstt konstansokat: 7al al c=, c=. EA 4EA Az ltolódásfüggvény közlítő érték zk sgítségévl: al u( x) = ( 7xl 3x ). EA Ha a közlítés pontosságát akarjuk bcsüln, akkor számítsuk k az lmozdulásokat néhány krsztmtsztbn. Azt találjuk, hogy például a rúd közpén és végén a közlítés a prmérték-fladat pontos mgoldásából kapott értékkkl mggyzk, d más krsztmtsztkbn közlítésünk már ltér az lmélt mgoldástól. 4 7 Ez rről az alakról könnyn blátható. Az u függvény lső drváltja az ε fajlagos mgnyúlás. Ez E-vl szorozva a σ normálfszültségt kapjuk. Az ε σ dagram gyns, az alatta lévő trült (gy háromszög trült, 5εσ ) a fajlagos alakváltozás munka. Egy dx hosszúságú rúdszakasz lm alakváltozás munkáját úgy kapjuk, hogy a fajlagos értékt mgszorozzuk rúdszakasz térfogatával, vagys Adx -szl. A tljs rúd alakváltozás munkája az lm munka ntgrálja a rúd hossza mntén. A másodk tag a thr potncáljának csökknését adja, így a két tag összg a tljs potncáls nrga. 9

30 .. Példa. Hajlított grnda, koncntrált thr A kövtkző példában gy kéttámaszú hajlított grnda vzsgálatát végzzük l. Az ddgktől ltérőn tt nm gy, hanm kétfél bázsfüggvényt fogunk kpróbáln, és az ltolódásfüggvény mlltt kszámítjuk a nyomaték függvényét s. A szrkzt hajlítómrvség vség állandó..3. ábra: Hajlított grnda vzsgálata A szrkzt funkconálja a tljs potncáls nrgájának függvény (mlyt gyakran Π- vl jlölünk, hogy az rő jlévl n gyzzék): l EI d w Π ( w) = 5 dx Fwx, l dx. = Mgjgyzzük, hogy a jobb oldal másodk tagjánál most a thr koncntrált jllg matt nm határozott ntgrállal, hanm csak gytln szorzat számításával 8 kll mgadnunk a külső munkát. Első közlítésként vgyünk fl gy gytln tagból álló függvényt, amly trmésztsn klégít a w = fltétlt a tartó ljén és végén, d a másodfokú közlítés matt a w nyomatékfüggvényr vonatkozó (trmészts) fltétlkt ( = az x= l és az x= x hlyn) már r nm tljsít: 8 Koncntrált rő stén a trht nm lht thrfüggvénnyl mgadn, hanm lvlg az úgynvztt dsztrbúcókat klln használnunk (a dsztrbúcók a végtlnszr folytonosan dffrncálható függvényk C ( Ω ) trén értlmztt különlgs lnárs funkconálok). Ha gy a Ω ponthoz tartozó Drac Drac-dsztrbúcót ( δ a) skalársan szorzunk gy f ( ) pontbl értékét kapjuk: δ a ( x) f ( x) dω= f ( a) akkor az f függvény a pontbl értékét kapjuk: thrfüggvényét így az rőnagyság és a támadásponthoz tartozó Drac-dsztrbúcó szorzatának tknthtjük, a thr munkáját w x ltolódás-függvényn a kövtkzőképpn számítjuk: pdg a ( ) l F δ ( x ) w a ( x ) dx = Fw ( a ). A mérnök gyakorlatban használn, hanm a mgszokott fzka fogalmakkal dolgozunk: gy koncntrált rő munkája az rővktor és a támadáspont ltolódásvktorának skalárs szorzata, vagys az rő nagyságát mgszorozzuk az ltolódásvktornak az rő hatásvonalára vonatkozó vtültévl. Ω x függvénnyl, x f x d f a. A koncntrált rő. A mérnök gyakorlatban nm fogjuk zkt a dsztrbúcókat 3

31 x x w( x) = c l l. Hlyttsítsük b a tljs potncáls nrga funkconáljába a közlítő függvényt, és számítsuk k a határozott ntgrált: l EI EI 4 3 l 4 l 4 ( ) Π c = c dx F c = c F c. A funkconál staconartásának mnmumának fltétléből kövtkzk, hogy d Π =. A dc drválást végrhajtva c -r gy gysmrtlns gynltt kapunk, mlynk 3 F l mgoldásából c=. Az ltolódásfüggvény közlítés most már flírható: 6EI 3 Fl x x w ( x) =. 6EI l l Oldjuk mg ugyanzt a fladatot gy gészn más típusú közlítő függvénnyl, lgyn: πx w( x) = c sn. l Rtz módszr smmlyn korlátozást nm ír lő a közlítő függvény típusára, zért nncs akadálya trgonomtrkus függvényk alkalmazásának sm. A választott közlítés tljsít az ltolódásokra lőírt homogén prmfltétlkt. Hlyttsítsük b tt s a funkconálba az adott w(x) függvényt és számítsuk k az ntgrált: l 4 EI π π x EI π 3 l l 4 l ( ) Π c = c sn dx F c = c F c. Ezt az nrgafüggvényt drváljuk c szrnt, majd mghatározzuk a mnmumfltétlből dπ ( = ) az állandó értékét: dc F l c = 48,7 EI. Az alább ábrán összhasonlítottuk gymással az lső és másodk közlítésből kapott ltolódásfüggvénykt és a pontos ltolódást; a középső mtsztnél pdg a számított értékkt s fltüntttük. A b ábra az ltolódásfüggvényk másodk drváltjából d w számítható nyomaték ábrát ( M = EI ) mutatja b ugyanlyn csoportosításban. Jól dx látható, hogy az génybvétl számításánál kltkző hba lénygsn nagyobb, mnt amt az ltolódásoknál tapasztaltunk. Ez jllgzts tulajdonsága az lmozdulás-módszrn alapuló közlítésknk. 3 3

32 .4. ábra: Elmozdulás- és nyomaték vzsgálata.. Példa. Hajlított tartó, koncntrált nyomaték thrrl Határozzuk mg az ábrán vázolt grnda közlítő lmozdulását és génybvétlt! A grnda anyaga tt s homogén, zotrop, hajlítómrvség állandó. Az ábrára ránézv rögtön flmrül a kérdés, hogy prmérték-fladat- z, hszn a tartó közpén s lőírtuk az lmozdulás értékét. A válasz az, hogy tulajdonképpn két prmérték-fladat kapcsolódk össz a példában, a prmfltétlk: w =, w = w l, w l w l = M / EI, w l =, ( ) = ( ) =, ( ) = ( + ) =, ( ) és van két kapcsolódás fltétlünk s: w l = w l +, w l = w l+. A trmészts prmfltétlkt nm kll fltétlnül klégítnünk, továbbá ha az gész tartományra sma bázsfüggvénykt használunk, akkor a harmadk és a ngydk fltétl w l = fltétllé, valamnt a kapcsolódás fltétlk (mndkttő, bár összvonható a ( ) csak az lső lénygs) automatkusan tljsülnk, vagys így az lyn fladatokat gybn lht kzln. Közlítsünk (a lénygs prmfltétlkt klégítő) gytln bázsfüggvényt használva: w x = c x x l. A potncáls nrga a függvény:.5. ábra: Konzolos grndatartó ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3

33 l l EI d w dw EI Π ( c ) ( ) ( = 6 3 ) dx M = c x l dx M c x xl dx dx = x= l x= l 56 3 = EI c l 8c l M. M A staconartás fltétlből: c=. 7EI l Vzsgáljuk mg a szrkzt jobb oldal végén ( x= l ) az lfordulást, a nyírórőt és a nyomatékot: 3 dw M l d w 6M ϕ = = 8cl =,48, T( l) = EI =, 3 dx x= l EI dx 7 x= l M = =. 7 d w M( l) EI dx x= l Az lfordulás pontos értékét bbn a mtsztbn a vrtuáls rők tétlévl, vagy a ks M l lmozdulások lméltévl k tudjuk számítan, z,5 -r adódk. A hba valamvl EI több, mnt 8,5%. Az génybvétlknél a hba lénygsn nagyobb, a nyírórőnél nm lht %-ban értlmzn a hbát, a nyomatéknál pdg több mnt 4 %. Kísérljük mg a mgoldás pontosságát javítan gy két tagból álló közlítő függvény alkalmazásával. Lgyn az új ltolódásfüggvény: w( x) = c( x lx ) + c ( x lx ) alakú. Ha zt bhlyttsítjük a tljs potncáls nrga képltéb és ntgráljuk a blső nrgát -tól l -g, majd a mnmumfltétlnk mgfllőn parcálsan drváljuk Π Π c és c szrnt ( = = ), akkor végül az alább kétsmrtlns gynlthz c c jutunk: 8M M 56 5l c = lei c.33 A mgoldás : = lei l c M. c M.59 lei l EI Ennk a közlítésnk a sgítségévl a mgoldás már pontosabb. A jobb oldal végpont M l lfordulása,44 -r adódk, vagys,5%-nál ksbb a hba. Jlntősn csökknt az EI génybvétlk hbája s M T =, 66, lltv M =, 9M. l Mgjgyzzük, hogy a koncntrált rők alatt a nyírórők ugrása a sma bázsfüggvénykkl még rosszabbul közlíthtő. 33

34 .. Példa. Lmz vzsgálata Ebbn a példában fladatunk gy homogén, zotrop és állandó vastagságú vékony lmz vzsgálata lsz. A lmz négyzt alaprajzú, mndgyk oldalán csuklósan mgtámasztott, tljs flültén p nagyságú gynltsn mgoszló trhlés működk. A lmz önsúlyát lhanyagoljuk. A vékony lmzk prmérték-fladatához tartozó funkconál (vagys a tljs potncáls nrga): T Π = D da pwda ε ε. A A A példához tartozó szrkztt az alább ábrán láthatjuk..6. ábra: Csuklósan alátámasztott lmz. Ebbn a funkconálban ε a fajlagos görbültk vktora: T w w w ε =,,, y x x y D pdg a lmz anyag mrvség mátrxa: ν 3 E h D= ν. ( ν ) ν A mátrxban E a rugalmasság modulus, h a lmz vastagsága, ν pdg a Posson-tényző. Vgyünk fl a közlítés céljára gy gyszrű kétváltozós trgonomtra függvényt: π x π y w ( x, y) = c sn sn, l l w, y = w l, y = w x, = w x,l = lénygs prmfltétlkt. amlyk klégít a ( ) ( ) ( ) ( ) 34

35 A lmozdulásfüggvény másodk parcáls drváltjat írjuk b lőször a görbült vktor képltéb: T π c π x π y π x π y π x π y ε = sn sn, sn sn, cos cos. l l l l l l l Ezt a potncáls nrga funkconáljába bhlyttsítv, és a határozott ntgrált kttős ntgrálként ( x =...l, y =...l ) kszámítva: Π = π 4 3 Eh 4l ( ν ) 4lp c c. π Π A mnmumfltétl alapján kapott gynltből ( = ): c 4 48 pl ( ν ) c =. 6 3 π E h A flhasznált közlítő függvény alakja matt z a konstans rögtön mgadja a lmz középpontjának függőlgs ltolódását s. Ha zt összvtjük a pontos mgoldással, az ltérés tt s ksbb, mnt %..3. Példa. Sajátérték-fladat Határozzuk mg a Galjorkn-módszrrl már mgoldott, gyns tnglyű, állandó hajlító mrvségű, két végén bfogott rúd szabad rzgéshz tartozó lső két sajátértékt. A fladat dffrncálgynlt az alább volt: 4 d w 4 4 mω β w=, ahol β =. 4 dx EI A prmértékfladathoz tartozó funkconál: l 4 d w 4 F( w) = w β w dx 4 dx, ahol az lső tag a homogén prmfltétlk flhasználásával parcáls ntgrálással átalakítható, így a számításnál alkalmazott alak: l d w mω F( w) = ( ) w dx mn. = dx EI Lgyn a közlítés függvény: πx 4πx w( x) = cϕ + cϕ = c cos( ) + c cos( ). l l Bhlyttsítv és ntgrálva: l π πx 56π 4πx 8π πx 4πx F( w) = ( c 4 cos + c 4 cos + c 4 c cos cos l l l l l l l mω πx 4πx πx 4πx c ( cos ) + c ( cos ) + cc ( cos )( cos ) ) dx = EI l l l l m 3l 3l = π c 3 + π c 3 ω c + c + cc l = mn. l l EI 35

36 Fgylmb vév a jutunk: F F = = c c 6π EI fltétlkt, az alább homogén gynltrndszrhz 4 3ω ml ω ml 3 l c 4 56 EI c = π ω ml 3ω ml 3 l. A zérusértékű dtrmnáns alapján számított mgoldás:, 47 EI 4, EI ω =, ω =. l m l m Mvl ugyanazokat a bázsfüggvénykt használtuk mnt a Galjorkn-módszrnél, az rdmény s ugyanaz ltt. A fnt példák jól llusztrálják az általunk vzsgált mchanka fladatok mgoldására alkalmazható Rtz-módszr alapvtő lépést. Összfoglalva a lgfontosabbakat: - Egy adott fladat mgoldása stén a lgfontosabb a vzsgált szrkzthz és adott trhléséhz - tartozó funkconál smrt. Fzka tartalma szrnt z mndg a tljs potncáls nrga függvény lsz. - A mgfllő nrgafüggvény kválasztása után kövtkző lépésként olyan függvénykt kll krsnünk, amlyk folytonosak az gész vzsgált tartományban és külön-külön - klégítk a fladathoz tartozó lénygs prmfltétlkt. Ezk lnárs kombnácója adja az lmozdulások közlítő függvényét. - A közlítést bhlyttsítjük a potncáls nrga függvényéb, lvégzzük a szükségs művltkt (drválást, ntgrálást), majd a mnmum fltétlnk mgfllőn az gys smrtln változók szrnt parcálsan drváljuk az nrgafüggvényt. - A drválások rdményképpn lnárs gynltrndszrt kapunk, mlynk smrtln a krstt c állandók. Az gynltrndszr mgoldása után a konstansok vssza-hlyttsítésévl mgkapjuk a krstt közlítő lmozdulásfüggvényt, és szükség stén számíthatjuk a tovább függvénykt (például az génybvétlkt). Flhívjuk a fgylmt arra, hogy a kdolgozott példákban általában zkt a lépéskt mutattuk b, d lgkvsbb számítást akkor kll végzn, ha az smrtln gyütthatókat mghatározó < L ϕ, ϕ > K < L ϕn, ϕ > c < ϕ, f > M O M M = M, L ϕ, ϕn L ϕn, ϕ < > L < n > c n < ϕn, f > (./a) lltv a parcáls ntgrálással kapható 36

37 < R ϕ,rϕ > K < R ϕn,rϕ > c < ϕ, f > M O M M = M < R ϕ,rϕ > L < R ϕ,rϕ > c < ϕ, f > n n n n n (./b) lnárs gynltrndszr gyütthatót és jobb oldalát lmnként külön számítjuk, hszn khasználható az gyütthatómátrx szmmtrája, és nm kll lőször gy másodfokú kfjzést mghatároznunk, hogy abból drválással állítsuk lő a lnárs gynltrndszrt. Flhasznált rodalom:./ Kantorovcs, L. V. Krülov, V. I. : A flsőbb analízs közlítő módszr, Akadéma Kadó, 953../ Rktorys, K. : Varatonal mthods n mathmatcs, scnc and ngnrng, D. Rdl Publ. Company, Dordrcht-Boston, / Poppr Gy. : A végslm-módszr matmatka alapja, Műszak Könyvkadó, / Bojtár I. Gáspár Zs. : Végslmmódszr építőmérnököknk, Trc, 3. 37

38 3. lőadás: A Rtz- és Galjorkn-módszr alkalmazása végslms bázsflvétl tchnkával Az lőzőkbn bmutattuk a Rtz- és Galjorkn-módszrk lmélt alapjat, lltv matmatka-mchnka példák mgoldásán krsztül történő alkalmazásukat. Most mndkét módszrt gy különlgs bázsflvétl tchnka sgítségévl átalakítjuk a számítógéps numrkus modllzés szmpontjanak jobban mgfllő ljárássá. 3.. Példa Vzsgáljuk mg a kövtkző ábrán látható húzott rudat! A rúd anyagának rugalmasság modulusa állandó, krsztmtszt a két különböző tartományban más, d az gys szakaszokon állandó. Az önsúly hatását a számításban lhanyagoljuk. Határozzuk mg a rúd ltolódásfüggvényét a Rtz-módszr sgítségévl. 3.. ábra: Húzott rúd vzsgálata Az ddgktől ltérőn a bázsfüggvényktől nm kövtljük mg, hogy a lénygs prmfltétlkt klégítsék; zt később majd más módon bztosítjuk. A húzott rúd dffrncálgynlt másodrndű, zért az R oprátor csak lsőrndű lsz. A potncáls nrga számításánál az R oprátort tartalmazó kfjzéskt ntgráljuk, zért az sm baj, ha néhány pontban a bázsfüggvény nm dffrncálható, thát lgndő csak a folytonosságot és s a szakaszonként dffrncálhatóságot mgkövtlnünk tőlük. 3..ábra: Különlgs bázsfüggvényk 38

39 A fladat mgoldásához a fntk fgylmbvétlévl válasszuk az ábrán látható három bázsfüggvényt. Ezk szakaszonként lnársak és az lőr flvtt ktüntttt pontok (csomópontok) gykébn az értékük, a többkbn zérus. Az gys függvényk: x ϕ=, ha x l l, gyébként érték, x x l ϕ=, ha x l, gyébként pdg érték ϕ =, l l ϕ 3=, ha x l, gyébként x l ϕ 3=. l Azonnal észrvhtő zknk a spcáls bázsfüggvényk az lső haszna: - az -dk c konstans ( c ) pontosan mg fog gyzn az -dk csomóponthoz tartozó ltolódás értékévl. Írjuk fl most az ltolódásfüggvény tljs közlítését: x x l u (x) = c l + c + c3 x l. x l l l A kapcsos zárójlkbn lévő tagok közül a flsők az x l str, az alul lévők pdg az x > l hlyztr érvénysk. Számítsuk k most a tnglyrányú alakváltozást az ltolódásfüggvény lső drváltjaként. Err mndnképpn szükségünk lsz, hszn a tljs potncáls nrgában nnk négyztét kll ntgrálnunk: du l ( x) c l ε = = c + + c 3. dx l l A rúdszrkzt potncáls nrgájának függvényét használva: du Π = EA dx Qu F u. x= x= l l dx Itt l = l + l, Q pdg az smrtln rakcórő (ddg lyn tagra nm volt szükség, mrt a közlítőfüggvény tljsíttt a lénygs prmfltétlt, így a rakcórő munkája zérus volt). Az ntgrálásnál ügylnünk kll arra, hogy az ε függvényt szakaszonként különböző képlttl tudjuk mgadn (sőt most az gys szakaszokon különböző a rudak krsztmtszt s), thát az általános képlt blső nrgát mgadó tagjat tartományonként külön-külön kll ntgrálnunk: l l + l EA c c dx c c3 dx Qc F c3 l l l l l EA Π=

40 Érdms mgfgyln, hogy a blső potncáls nrga számításánál (a jobb oldalon szrplő lső és másodk tagnál) az lső tartománynál ( x l ) csak az ottan adatokra (hossz, normálmrvség, függvényapproxmácó) van szükség, és a másodk tartomány l x l + l stébn pdg csak a másodkéra. Ezkt a külön kzlndő ( ) tartományokat hívjuk végs lmknk. Π A staconartást kfjző gynltk: =, =,,3. Részltsn kfjtv: c Π EA = c c Q =, c l l Π EA EA = c c + c c 3 =, c l l l l Π EA = 3 =. 3 c c F c l l Rndzzük zkt az gynltkt mátrx formába: A A l l c Q A A A A E c +. l l l l = c3 F A A l l Az gyütthatómátrx bal flső -s blokkja az lső tartomány gomtra és anyag jllmzőtől, a jobb alsó -s blokk pdg a másodk tartomány hasonló jllgű adatatól függ. A középső (,) ndxű lmnél kapcsolódk össz a két szakasz. Ebbn az gynltrndszrbn még szngulárs az gyütthatómátrx, mgoldhatóvá akkor válk, ha fgylmb vsszük a lénygs lmozdulás prmfltétlt, vagys az u ()= c = lőírást. Így az gyütthatómátrx lső oszlopát lhagyjuk, az lső gynltt pdg külön választjuk, a fladat mgoldása után abból számíthatjuk majd a Q rakcórőt. A A A + E l l l c A, c Q A A c = 3 F =. l l l A végrdmény most nm fontos számunkra, vzsgáljuk mg nkább azt a kérdést, hogy a már mlítttk mlltt mlyn tovább lőnnyl járt z a sajátos bázsfüggvény-flvétl: - A mnmumfltétlt líró gynltrndszrbn most s szmmtrkus az gyütthatómátrx, d zn kívül bár z most a példa kcsny mért matt nm szmbtűnő szalagszrkztű s, hszn a függvényk csak gys tartományokban 4

41 különböznk zérustól. Az lyn mátrxok kzlés gyszrűbb, a számítógéps mgoldás pdg lénygsn gyorsabb, mnt más mátrxok stén. - A zérustól csak gys szakaszokon különböző, spcáls bázsfüggvényk és gyütthatók célszrű átcsoportosításával gn gyszrűn algortmzálható az gys szakaszokhoz tartozó függvényk flírása. Például a m stünkbn az lső tartománynál x x c c c c c x l + = + l l alakot tudunk flírn az lső és másodk bázsfüggvény kombnácójából, és zt mgsmétlhtjük a másodk tartománynál gy gyszrű x = x l ltolás transzformácó bvztésévl: x x c3 c c c3 c x. l + = + l l Az lyn típusú átalakításokkal szakaszonként (tartományonként) hasonló és így gységsn kzlhtő függvénykkl történht a közlítés és így a funkconál értékénk mghatározása 9. A félrértésk lkrülés végtt fl kll hívnunk a fgylmt arra, hogy nnk a bázsfüggvény-flvétlnk a sajátossága trmésztsn nm a lnartásában van az csupán magának a fladatnak lht a jllmzőj hanm a tartományonként tpzálhatóságban, amt trmésztsn magasabb fokú közlítő függvénykkl ugyanúgy végr lht hajtan. A lnartásnak gyébként most az volt az lőny, hogy végül csak konstans függvénykt klltt ntgrálnunk, vagys a konstans értékt csak az ntgrálás tartomány hosszával klltt szoroznunk. - A bázsfüggvényk flvétlénél a szrkzthz tartozó prmfltétlk fgylmbvétlér nm kll gondot fordítanunk, azok hatását lgndő a mnmumfltétlk fgylmbvétl után, a végső mgoldáskor az gynltrndszrb bépítn. - Már mlítttük, d most még gyszr hangsúlyozzuk, hogy a c gyütthatóknak bbn a mgoldás módban közvtln fzka tartalmuk van, hszn automatkusan mggyznk az -dk csomópont lmozdulásával. 3.. Példa A kövtkző fladat a Galjorkn-módszr hasonló jllgű átalakítását llusztrálja gy másk fladat sgítségévl. Vzsgáljuk mg az D staconárus hőáramlás ( a ( x) u ( x)) = f ( x) dffrncálgynltét (a(x)> a hővztés smrt fzka állandókat tartalmazó függvény, f(x) pdg a hőforrás szntén smrt függvény), ahol a krstt u(x) a hőmérséklt változása. Az gyszrűség kdvéért lgyn most a(x)=, alkalmazzunk homogén prmfltétlkt, és vzsgáljuk a fladatot a (,) tartományban: 9 Ebből kövtkzk, hogy ha a pontosság fokozás érdkébn növljük a bázsfüggvényk darabszámát, akkor nm kll a fokszámot növln. 4

42 u ( x) = f ( x), x, u() = u() =. A mgoldáshoz vgyünk fl a vzsgált tartományon az alább módon M+ darab pontot: x < x < < = x M + = Az rdt I = (,) tartományt így M+ darab, gynként I j = ( x j, x j ) -vl jlölhtő résztartomány összsségér bontottuk, zk hossza h j = x j x j. Vgyünk fl most M darab olyan bázsfüggvényt,, amlykr gaz az alább állítás (lásd az ábrán bmutatott vázlatot):, ha x x, x +, x x ϕ ( x) =, ha x [ x, x], x x x+ x, ha x x, x +. x+ x 3.3. ábra: Függvényflvétl Galjorkn-módszrhz Ezkr a függvénykr gaz az s, hogy ( x ), ha = j, ϕ j =δ j=, ha j. A fladat közlítő függvény nnk mgfllőn: Ha zn bázsfüggvénykr való ortogonaltás fltétlt írjuk lő, akkor a kövtkző kfjzést kapjuk: ( M ( ) ( )) ϕ j( ) A zárójl flbontása után kapott lső tagra a parcáls ntgrálás szabályát alkalmazva: j (. u x ϕ x dx = u ϕ + u ϕ + u x ϕ x dx M j M j M j M j ϕ a prmn zérus, thát a jobb oldal lső két tagja ksk. Ezt fgylmb vév : M M = = ( ) ϕ ( ) u x c x. u x f x x dx =, j =,...,M. ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) u ( x ) ϕ ( x )dx = f ( x ) ϕ ( x )dx, j =,...,M. M j j ( ) ( ) 4

43 Bhlyttsítv d a közlítő függvényt (az ntgrálás határoknál fgylmb vév, hogy a bázsfüggvényk csak két szakaszon különböznk zérustól): M x x j+ + c ϕ ( x) ϕ j( x) dx = f ( x) ϕ j( x) dx, j =,...,M. = x x j A számítások végrhajtása után végül gy Ac= b gynltrndszrhz jutunk, ahol a c vktor az smrtln gyütthatókat tartalmazza, a másk két komponns pdg az lőzők alapján: x+ x j+. a = ϕ ( x ) ϕ ( x )dx, b = f ( x ) ϕ ( x )dx j j j j x x j Az A mátrx a bázsfüggvényk flépítés matt most s szalagszrkztű lsz, hszn a = a j=, j=, j= + stkt kvév. Ezkr az ndxkombnácókra: j A b vktor lm: j x, x x ( ) a = ϕ ( x ) ϕ ( x )dx= dx= h h h x+ x x+ a = ϕ ϕ = + ( x) ( x) dx dx dx= +, h h+ x x h x h+ x+ x+, + = ϕ ( x) ϕ + ( x) dx= dx = x h x + h+ x a. h + x j+ x j x j+ j j+ ( ) ϕ j( ) ( ) ( ) h x j x j j h x j j+ x x x x b = f x x dx= f x dx+ f x dx. Dfnícók a mntapéldák alapján A varácós fladatok staconartás lvr épülő, Rtz-módszrrl történő mgoldásán blül a szrkztt lmkr osztó és az lmkhz spcáls bázsfüggvénykt választó tchnkát tkntjük végs lms számítás modllnk. A dfnícó tömörn: A végs lmk módszr a Rtz-módszr spcáls st, amlybn sajátosan mgválasztott bázsfüggvénykkl hajtjuk végr gy staconartás fladat mgoldását. Tljs joggal flvtődht azonban az a kérdés, hogy z a dfnícó nm tljs, hszn nm lmztük a Galjorkn-módszrrl vzsgált fladatokat. Az ortogonaltás problémák mgoldásánál alkalmazott tchnka alapja nagyon hasonlóak a Rtz-módszr által használtéhoz, még ha a függvénykválasztás fltétl és maga a vzsgálandó fladat más s. Láttuk, hogy a Rtz-módszrnél alkalmazható volt a spcáls bázsmgválasztás tchnka, d a prmérték-fladat ortogonaltás lvn történő mgoldásánál s ugyanúgy flhasználható a tartományokra osztás, és a zérustól csak lokálsan ltérő bázsfüggvényk 43

44 választásának lv. A Galjorkn-lv a maga általánosabb, staconartás fltétlhz nm kötődő mgoldás tchnkájával éppn úgy alkalmas végs lms tchnka mgfogalmazására, mnt Rtz ljárása, és zért a végs lms mgoldás módszr lőbb lírt dfnícóját pontosítanunk kll: A végs lmk módszrénk lényg a közlítő ljárásoknál a gomtra és a matmatka függvénytér fntzálásával gyütt járó sajátos bázsfüggvénymgválasztás tchnka. A másodkként flírt változat általánosabb, és mndn olyan stbn zt kll használnunk, amkor gy prmérték-fladatnak nncs staconartás alakja, és csak az ortogonaltás fltétl vzsgálata jlntht mgoldást. Ebbn az stbn Galjorkn-típusú, általános végslms vzsgálatról kll bszéln gy műszak fladatnál. Az bbn a félévbn tárgyalt fladatoknál azonban nm z a hlyzt. Mndgyk általunk vzsgált szrkztnél a korábban rögzíttt fltétlknk mgfllőn használható a staconartás fltétl, használható a Rtz-módszr, és így nncs szükségünk a Galjorknmódszr általánosabb, d jllgéből adódóan kssé komplkáltabb tchnkájára. Éppn zért főként a gyakorlatban való ltrjdtség matt az lsőként mlíttt, szűkbb értlmzésű, d számunkra lgndőn pontos mghatározásra hvatkozunk a végslms mgoldás részltnk bmutatásakor. A végs lmk módszrénk főbb lépés Az alábbakban hvatkozva az lőzőkbn lfogadott dfnícóra összfoglaljuk azokat az lv lépéskt, amlykt a végs lmk módszr gy műszak fladat mgoldása során használ. Mndgyk lépéshz magyarázatként és példaként flhasználjuk az lőzőkbn Rtz-módszrrl mgoldott fladat mgfllő részltét s. A végs lmk módszr lénygébn hat lépésbn old mg gy műszak fladatot. Ezk a lépésk a kövtkzők:./ A szrkzt lmkr osztása (a gomtra fntzálás)../ A szrkzt vzsgálatához szükségs spcáls bázsfüggvényk kválasztása (a függvénytér fntzálása). 3./ A részkr osztott szrkzt lmhz tartozó mátrxok lőállítása. 4./ A szrkzt gészéhz tartozó gynltrndszr összállítása. 5./ Az gynltrndszr mgoldása, az smrtln változók mghatározása. 6./ A fladat vzsgálatához szükségs úgynvztt másodlagos változók számítása. Vzsgáljuk mg mndn gys lépés részltt, flhasználva az lőbb bmutatott húzott rúd példáját. Kzdjük az lső lépéssl, a gomtra fntzálással. A gomtra fntzálás során a szrkztt végs mértű lmk halmazára osztjuk fl. Magának a módszrnk az lnvzés ( végs lmk ) s nnn származk. 44

45 Az lmk formája és mért nagyon sok tényzőtől függ. Olyan szrkztnél, ahol maga a tartó lénygébn gyváltozós kalakítású (grnda, oszlop, rácsos tartó, krt), a flosztás során kalakuló lmk s gyváltozósak lsznk, függtlnül attól, hogy stlg az gész szrkztnk kétdmnzós vagy éppn térbl a vslkdés (gondoljunk például a térbl rácsos tartóra: a szrkzt térbl, d lm külön-külön gyváltozósak, önmagukban kzlhtők gydmnzós fladatként). Egy faltartó (tárcsa) vagy gy lmz azonban már mndg kétdmnzós flosztást gényl, s külön mérlglnünk kll, hogy háromszög, vagy négyszög jllgű lmkt kívánunk- alkalmazn (bonyolultabb, például öt- vagy hatszög alakú polgonok gyakorlat okokból nm trjdtk l). Ha a vzsgált szrkzt görb vonalakkal határolt részkt s tartalmaz (például gy kör alakú áttörés gy födémlmzn), akkor célszrű az lmkt s ívs oldalúnak flvnn: lynkor görbült oldalú háromszög vagy négyszög alakú tartományokat alkalmazhatunk. A flosztás során akár többfél lmtípust s flhasználhatunk, a háromszög és négyszög alakú lmk gyütts alkalmazásának nncs lv akadálya. Valód térbl fladatoknál (gátak, gotchnka problémák, vastag szrkzt lmk stb.) ttraédr vagy általános téglatst típusú flosztás a szokásos. Az lmk határoló lapja lhtnk síkok vagy szükség stén (pl. gy ívs gát modllzésénél) görbült flültk. Az lmk flvétl szorosan összfügg a kövtkző lépéssl, a függvénytér fntzálással, hszn a gomtra flosztásnál az lm alakja mlltt már arról s döntnünk kll, hogy hány csomópontot hlyzünk l rajta. Az gy lmn flvndő csomópontok számát thát bfolyásolja a gomtra fntzálás (gyns vagy görbült flültt kívánunk modllzn) és hatással van rá a bázsfüggvényk flvétl (kvsbb ponttal általában (d nm mndg!) alacsonyabb rndű matmatka közlítést tudunk csak flvnn). Az lmk flvétl (az lmtípus kválasztása után) a lgtöbb szoftvrbn ma automatkusan történk, azonban tanácsoljuk nnk lhtőség szrnt llnőrzését. Hol célszrű lmkt sűrítn? Mndg ott, ahol z mchankalag ndokolt valamlyn változás hatása matt: pontszrű támaszok, sarkok, bmtszésk, áttörésk, lyukak, éls változás a vastagságban vagy az anyag tulajdonságokban stb. Ezk a hatások általában alakváltozás- és fszültségkoncntrácóval járnak, és környztükbn gy rtkább háló jlntősn ronthatja az rdményk pontosságát. Mgjgyzzük, hogy az lmk gomtra mérténk lméltlg nncs mnmáls vagy maxmáls határa, azonban az alkalmazott számítógép numrkus adottsága és a fladat fzka paramétr trmésztsn korlátok közé szorítják nnk értékt. Az lmk mértnk mgválasztásakor különösn arra ügyljünk, hogy gy lmn blül n alkalmazzunk gn jlntősn ltérő mértű ( : aránynál ksbb vagy nagyobb) oldalakat, mrt z rontja az rdményk pontosságát. Ugyanlyn ngatív hatása van annak s, ha az lmmértk gy lmn blül ugyan mgfllő arányúak, d gymás mllé krülnk nagyon ltérő mértű lmk. 45

46 Az lmkválasztás és a tljs szrkzt lmkr való flosztása gyütt jár a csomópontok globáls számozás rndjénk kalakulásával. lásával. Az automatkus hálógnrálás általában véltlnszrűn számozza b a csomópontokat, z azonban nm lőnyös az gynltrndszr mgoldásánál, mrt gn nagymértűvé tht a sávszélsségt, a nagy sávszélsség pdg mgnövl a számítás dőt. A modrn hálógnrálókhoz csatolt matmatka sgédprogramok azonban általában gondoskodnak arról, hogy a szrkzt hálón flsorolt csomópontok számozásának sorrndj a flhasznált gynltrndszr-mgoldó típusához llsztv - közl optmáls lgyn a globáls gynltrndszr mgoldása szmpontjából Példa Elmzzük az lőbb már bmutatott fladatot. Az a ábrán újból flrajzoltuk a szrkztt, a b ábra pdg (lforgatott hlyztbn) az lmflosztást mutatja b ábra: Elmflosztás gy szrkztn Két lmt, lmnként két-két t csomópontot, így az gész szrkztnél globálsan három csomópontot használunk. Jln stbn z célszrű lmflvétl, hszn így az gys lmkn blül állandó mrvség adatokkal dolgozhatunk. Hatékonyabb lnn tt több lmt választan? Nm, bbn az stbn, ahol maga a krstt lmozdulásfüggvény s lnárs gy lmn blül, csak a munka mnnységét növlné és fgylmb vév a szrkztt és a trhlést gyakorlat haszna sm lnn, nm növlné, sőt gy bzonyos lmszám fölött a halmozódó numrkus krkítés hbák matt akár még ronthatná s a pontosságot. Vzsgálhattuk volna a tartót gytln gy lmml? Ign,, z lméltlg mgthtő, d hátránya vannak, hszn az lmn blül változó normálmrvség bonyolítaná a számítást, és a két t különböző mrdkségű lnárs szakaszból álló lmozdulásfüggvényt gy lnárs függvénnyl csak jlntős hbával közlíthtjük. 46

47 Flvhtő ltt volna a. számú globáls csomópont máshol? Elvlg gn, d smétltn az lőbb mlíttt gondokkal találjuk magunkat szmbn. Az tt flvttt kérdésk arra fgylmzttnk, hogy különösn bonyolultabb szrkztnél a gomtra fntzálást nagy körültkntéssl kll végrhajtan. Folytassuk a másodk lépéssl, a függvénytér fntzálásával. Ez a mgoldás fontos lépés, az rdményk pontosságának gyk alapvtő mghatározója, hszn bbn a lépésbn választjuk k a spcáls Rtz-módszrhz a bázsfüggvénykt. Mvl m a szrkztt lmkr osztottuk, és az gész szrkzt nrgafüggvényét az gys tartományok lm nrga-függvénynk összgzéséből állítjuk lő, az gész szrkztr vonatkozó matmatka lírás s az lmkhz tartozó bázsfüggvényk sgítségévl adható mg. Egy adott típusú lmhz (ahol már ldöntöttük, hogy hány dmnzós mchanka modllt alkalmazunk, továbbá határoztunk az alakról, és az lmn blül csomópontok számáról) mndg ugyanolyan típusú bázsfüggvényk tartoznak. Ez a szabványosítás a végs lmk módszrénk nagy lőny. Trmésztsn lőfordulhat, hogy gy szrkztn blül többfél bázsfüggvény-rndszrt s használunk (pl. vgysn használunk háromszög és négyszög lmkt, vagy ltérő mchanka vslkdésű szrkzt lmkt pl. grndát és lmzt kombnálunk gymással stb.), d a lggyakorbb stkbn általában lgndő gyfél lmtípus és azon blül gyfél kövtlménynk mgfllő bázsfüggvény-család lőállítása. Mlyk a lgfontosabb fgylmb vndő tényzők a függvénytér fntzálásánál? Az gykt már a gomtra flosztásnál mlítttük: az lmn blül flvtt csomópontok száma és a függvény fokszáma között sok fladatfajtánál trmthtő kapcsolat. Még fontosabb tényző azonban maga a vzsgálandó fladat, pontosabban annak funkconálja, potncáls nrgája. Alapvtőn mndg a potncáls nrga, pontosabban annak blső nrgát líró rész szabja mg a flvndő függvény jllgét. Ez azt jlnt, hogy prcízn tudnunk kll a blső nrga függvényébn lőírt () () folytonosság kövtlményt ( C, C,... ), és annak mgfllőn szabad kválasztan a közlítő függvényt. Ennél a lépésnél nm szabad tévdn, mrt az rndkívül durva hbát okozhat a számításokban. Szrncsér a m mchanka fladatanknál nm nhéz zt ldöntn, hszn () az L dffrncáloprátorok rndjénk mgfllőn mndössz a C, () lltv a C folytonosság kövtlmény között kll választanunk. Előbb csoportba tartoznak például a rácsos tartók, a tárcsák és a klasszkus háromdmnzós fladatok, míg a másk jllgzts képvslő a klasszkus hajlított grndák és lmzk Példa Folytatjuk a 3.3 példában lkzdtt fladat vzsgálatát, most a matmatka fntzálást lmzzük. A lnt ábra a közlítő függvényt vázolja gy általános lmnél. Azért, hogy mndn lmt gyformán kzlhssünk, az lm csomópontjat -től ndulva Lásd például a Bojtár-Gáspár: Végslmmódszr építőmérnököknk c. tankönyv E függlékébn bmutatott példákat. 47

48 újraszámozzuk (lokáls sorszámok), és lokáls koordnáta-rndszrt rndszrt s flvszünk (tt például az orgót az lm kzdőpontjába toltuk) ábra: Közlítő függvény gy általános lmnél Mvl z a fladat (húzott rúd) C -folytonos bázsfüggvényt kíván (a blső potncáls nrga függvényébn u (x) lső drváltjával szrpl), és gy lmn blül két csomópontot vttünk fl, a közlítésr a kétfél fltétl gyütts fgylmbvétlévl kéznfkvő gy lnárs függvény. Az ábrán használt jlöléskkl (lokáls koordnáta-rndszrt használva): ξ u( ξ ) = u+ ( u u), l ahol ( ) ξ,l. Trmésztsn általánosan mátrxok sgítségévl s flírhatjuk a fnt gynltt. Ezt fogjuk majd használn a később fjztk során: u = N v. Itt a bal oldalon álló vktor az lm lmozdulásfüggvényét tartalmazza. Jln stbn z csak gytln skalár (u(ξ )),), d a többváltozós fladatoknál trmésztsn valód vktorként kll vl dolgoznunk (például gy tárcsánál már két, Mndln-lmznél három lm van, stb.). Az N mátrxot a bázsfüggvényk mátrxának hívjuk, mrt a bázsfüggvénykt tartalmazza. Jln stbn például: N = N N, ahol az gys bázsfüggvényk az lőbb bmutatott ntrpolácós gynlt sgítségévl: ξ ξ N= és N =. l l v az lm csomópont lmozdulásanak vktora, nnél a példánál két lm van: () [ ] Ennél a példánál nm használjuk többé az smrtln állandókra a c jlöléskt, hanm áttérünk a fzka tartalmú u jlöléskr. Ennk a lmztípusnak a mchanka modlljét a Mchanka MSc tárgyban részltsn bmutatjuk. 48

49 u v= u. Ha mndn tagot bhlyttsítünk a mátrxgynltb, akkor a szorzás lvégzés után vsszakapjuk az rdt ntrpolácós gynltt (mlékzttőül: z az gynlt a bal és jobb oldal csomóponton külön-külön gységny értékkkl bíró bázsfüggvényk lnárs kombnácójával kltkztt). Ha létrhoztuk gy általános lmnél azokat a tpkus, általános közlítő bázsfüggvénykt, amlykt aztán a több lmnél s használn akarunk, akkor áttérhtünk a kövtkző fladatra, a tartományokhoz, végs lmkhz rndlhtő lm mátrxok számítására. A módszr harmadk lépés lénygébn az gys lm tartományokhoz tartozó potncáls nrga értékénk mghatározása. Itt mndg azt az lőírást kll kövtnünk, amt maga a funkconál határoz mg számunkra Példa Adjuk mg a tovább számításhoz szükségs lm mátrxokat. Egy általános lmnél a blső potncáls nrga: l l lm EA du EA u u EA blső dξ l l dξ dξ ( u u u u ). Π = = = + Ez a funkconál mátrxok sgítségévl tömörbbn s flírható: lm T Π blső= v K v. u EA Ebbn az gynltbn v =, K, ahol v u = l a csomópont lmozdulások vktora (az lm lmozdulásvktora), K nv pdg az lm mrvség mátrxa. Ennk a vktornak és mátrxnak sgítségévl számítható gy ttszőlgs lm blső potncáls nrgája, csak a mgfllő szlárdság, gomtra és lmozdulás adatokat kll bhlyttsítnünk. Trmésztsn hasonló módon lht flépítn a külső potncáls nrga lmr vonatkozó adatat, d nnél a példánál rr nncs szükség, mvl csak gytln gy külső rő működk a 3-as csomóponton, nnk munkáját pdg lgndő a globáls nrgafüggvényb bépítn. Ahogy az lőző példában mgfogalmaztuk az általános mátrxgynltt, most s flírjuk az d tartozó alakot. Ehhz a potncáls nrga általános gynltét fogjuk használn. A BSc tanulmányok Szlárdságtan lltv az MSc sznt Mchanka-MSc c. tárgyanál már tárgyaltuk/tárgyaljuk azt a kérdést, hogy hogyan lht flírn gy gynsúlyban lévő általános szrkzt gy lménk (gy részénk) tljs potncáls nrgáját. A funkconál alakja a kövtkző: 49

50 Π = Ω Ω Ω S V T T T T ( Lu) D Lu d ( Lu) Dε d u p ds u p d, Ω Ω Sσ Ω ahol u az krstt lmozdulásmző függvényt jlöl, L a rugalmasságtan gomtra gynltnk dffrncál-oprátor mátrxa, D az anyag mrvség mátrx, ε a knmatka trhkt (például a hőmérsékltváltozás hatását), p és p pdg a prmn és tartományon működő trhkt jlnt, Ω az lm S V tartománya (jln példánál D vonal). jlöltük, ahol a fszültség lőírt értékű. S σ -vl az lm prménk azon részét Ha az nrga-funkconálban szrplő lmozdulás-függvényb bhlyttsítjük az általunk az lőzőkbn bvzttt közlítés mátrxgynlt formájában flírt képltét, akkor a jobb oldalon a kövtkző alakot kapjuk: T T T T ( LNv) DLNvdΩ ( LNv) D dω ( Nv) p ds ( Nv) p dω S V ε Ω Ω Sσ Ω Célszrű bbn a kfjzésbn az LN mátrxszorzatot gy új mátrxszal jlölnünk: B= L N. Ennk az új mátrxnak az alakváltozás mátrx nvt adjuk, fzka szrp pdg a csomópont lmozdulásokból az lm alakváltozás-függvénynk számítása. Írjuk b zt az új mátrxot a potncáls nrga függvényéb, és rndzzük át azt úgy, hogy az gys ntgrálokból kmljük a konstans v csomópont lmozdulásokat: T T T T T T v B DBdΩv v B D dω+ N p ds+ N p dω ε S. V Ω Ω Sσ Ω A függvény másodk (zárójls) tagjánál a zárójln blül komponnsk gyütts alkotja az lmr ható trhknk az lm csomópontjara rdukált thrvktorát (a mostan példában zkr nncs szükségünk, mvl csak koncntrált rő működk a szrkztr):. T T T S V Ω Sσ Ω q = B Dε dω+ N p ds+ N p dω A thrvktor a knmatka trhkt, a flült trhkt és a térfogat trhkt hlyttsítő csomópont trhkt tartalmazza. A potncáls nrga lső tagjában szrplő ntgrálból kapjuk a néhány sorral fljbb már bvzttt, számunkra kmlkdőn fontos új mátrxot, mlyt az lm mrvség mátrxának nvztünk l. Általános képlt: K T B DB d. Ω = Ω Nézzük mg, hogy az általános alak sgítségévl hogyan kaphatjuk mg a példa d ljén már flírt gynltkt. Most L= dx, N mátrxát pdg már az 5

51 lőzőkbn flírtuk. Így B lm (fgylmb vév a ξ = x x koordnátatranszformácót a lokáls és globáls koordnáta-rndszrk között ( x az gys számú csomópont globáls koordnátája)): B=. l l Az általában szükségs térfogat ntgrálás sokszor gyszrűsíthtő, hszn például az állandó krsztmtsztű homogén húzott-nyomott rudaknál az alakváltozás és így a fszültség a krsztmtsztk mndn pontjában ugyanakkora, zért a térfogat szrnt ntgráláson blül tt a krsztmtsztn való ntgrálás csak a krsztmtszt trülttl való szorzást jlnt. Ezt az anyag mrvség mátrxba D= EA. Így már csak a bépítv, annak módosításával vhtjük fgylmb: [ ] hossz mntén kll ntgráln: K T = B DB dl. l Mvl bbn a példában B és D s állandó, zért a hossz mntén való ntgrálás csak a rúdlm hosszával való szorzást jlnt: K T = B DBl. A művltk lvégzésévl újból mgkapjuk a példa ljén már gyszr kszámított mrvség mátrxot. A ngydk lépés kövtkzk, a tljs szrkztt jllmző gynltrndszr összállítása. Ezt a tljs potncáls nrgafüggvény számítása, majd a mnmumfltétl fgylmbvétl sgítségévl llusztráljuk gy mntapéldán krsztül Példa A tljs potncáls nrgát az lmknél számított értékk összgéből tudjuk számítan: szrkzt lső másodk szrkzt Π tljs = Π blső + Πblső Π külső. A mnmumfltétl jln stbn: szrkzt Π tljs =, =,, 3 u Mvl három globáls lmozdulás-komponnsünk van, háromszor kll a szrkzt tljs potncáls nrgáját parcálsan drválnunk. Írjuk fl például az lső drválást részltsn: T T u u u u K K Qu + F u 3 =. u u u u 3 u 3 (Itt Q az smrtln rakcórő.) Ennk végrdmény skalárs alakban: lső lső k u+ k u Q =. Ha a másodk lmozduláskomponns szrnt drválunk, akkor a skalár formájú rdmény: 5

52 ( ) lső lső másodk másodk = k u k k u k u. Ezkbn az gynltkbn a kj -vl jlölt komponnsk az gys lmk mrvség mátrxanak mgfllő ndxű komponns. A harmadk lmozdulásváltozó szrnt drválást s lvégzv, és a skalár gynltkt mátrx alakba rndzv mgkapjuk a példa lőző mgoldásának végén szrplő gynltrndszrt: lső lső k k u Q lső lső másodk másodk k k k k u + =. másodk másodk k k u 3 F Van gy nagyon fontos tanulsága nnk a fladatrésznk. Jól látható, hogy a szrkzt globáls mrvségt összgyűjtő véglgs gynltrndszr flírásához végül s gyáltalán nncs szükségünk magára a tljs nrgafüggvényr és a parcáls drválásra! Elgndő az gys lmk mrvség mátrxanak (lltv gys stkbn az lm thrvktoroknak) smrt és így képsk lszünk a továbbakban lhagyn a mnmumfltétlt mgfogalmazó drválás utasítások ténylgs végrhajtását, és hosszadalmas művltk hlytt közvtlnül a végső lnárs gynltrndszrt állíthatjuk össz! Ez numrkusan nagyon sok lőnyt jlnt, éppn zért a továbbakban mndg zt a hasznos mérnök gyszrűsítést fogjuk alkalmazn! Még gy fladat vár ránk az smrtlnk számítása lőtt. Mnt azt már az lőző mgoldásnál s mlítttük, az gyütthatómátrx bbn a formában még szngulárs, az gynltrndszr nm mgoldható, mndnképpn szükség van thát az lmozdulás prmfltétlk fgylmbvétlér. Ez annyt jlnt, hogy mg kll vzsgálnunk, mlyn globáls csomópontoknál írtunk lő lmozdulásokat, és zt az lőírást fgylmb kll vnnünk az gynltrndszrnél. Ennk tchnkájára többfél módszr létzk, most csak annyt jgyzünk mg, hogy ksmértű fladatoknál és zérus lőírt lmozdulásoknál sor-oszlop törléssl a lggyszrűbb az új gynltk flírása. Ha már az rdt változószámhoz tartozó gynltnk rndlkzésr állnak, akkor a nulla értékű lmozdulásokhoz tartozó sorok és oszlopok törlés és zt kövtőn az gész gynltrndszr mgfllő átrndzés után kaphatók mg az új gynltk a lggyorsabban (jln stbn z az lső gynlt tljs lhagyását, lltv az gyütthatómátrxban znkívül még az lső oszlop törlését jlnt): lső másodk másodk k + k k u másodk másodk k k = u 3 F. A kövtkző, ötödk lépés a szrkzt csomópontjanak lmozdulásaból alkotott vktor számítása. Tulajdonképpn a Rtz-módszr c állandót határozzuk mg bbn a lépésbn, d mvl a bázsfüggvénynk azzal a sajátossággal rndlkztk, hogy csomópont értékk rndr gységnyk (vagy zérus értékűk) voltak, így zk a Rtz-fél állandók azonossá váltak a csomópontok smrtln lmozdulásaval. A mndg szmmtrkus, sáv szrkztű gyüttható-mátrxú globáls gynltrndszr mgoldására 5

53 ma már nagyon sokfél változat alakult k a közvtln mgoldások ötlts numrkus módosításatól kzdv az gn nagymértű rndszrknél szokásos trácós ljárásokg. Mndgyk mgoldástípus gykszk fgylmb vnn a számítógépk adattárolás lhtőségt. Az utolsó, hatodk lépés smét közvtln mchanka tartalommal bír. Ha már smrjük a szrkzt csomópontjanak lmozdulásat, akkor abból mndn nhézség nélkül kválaszthatók bármly lm csomópontjanak lmozdulása ( v ). Ezk flhasználásával akár az lm lmozdulás-függvény( u= N v ), akár az alakváltozás-függvény ( ε = Bv ) számíthatók, az alakváltozásokból pdg az anyagmodllk sgítségévl ( σ= D ε ε ). mgkaphatók a fszültségk ( ) Sok szrkzttípusnál például a rúdszrkztknél, lltv lmzknél, lmzművknél nm a fszültségkt, hanm zk ntgrált értékt: génybvétlkt, lltv fajlagos génybvétlkt számítunk a fnt képlttl. Ezkből a szlárdságtanban tanult összfüggéskkl trmésztsn bármlyk pont fszültség mghatározhatók Példa Tétlzzük fl, hogy a prmfltétlk fgylmbvétl után mgoldott gynltrndszrből kszámítottuk az ltolódásvktort, smrt thát u és u 3 érték. Számítsuk k az lmkbn kltkző fszültségkt! Az gys lmkhz tartozó lm lmozdulásvktorok: ( ) ( ) u v =, v. u = u 3 Az lmk alakváltozása: du u u3 u ε = =, ε =. dx l l Az lm fszültség (lltv génybvétl) nnn gyszrűn számíthatóak: σ = E ε, σ = Eε, ( N = EAε, N = EAε ). A végrdmény újból kml a bázsfüggvényk fontosságát: mvl csak gyszrű lnárs közlítést alkalmaztunk az ltolódásfüggvényr, az alakváltozások az ltolódások lső drváltjaként már konstans értékűk voltak az gys lmkbn, és így trmésztsn a fszültségk s bár lmnként lhtnk különbözők, d gy tartományon blül állandóak. Ennél a fladatnál a szrkzt és a thr spcáls jllg matt most pontos rdménykt kaptunk. Bfjzésül most gy példába sűrítv mgsmétljük a végs lms ljárás főbb lépésről ddg mondottakat. 53

54 3.8. Példa ( ) Egy l hosszúságú konzolt vzsgálunk, amlyr lnársan változó ntnztású p( x) = ax tnglyrányú mgoszló thr hat. A szrkztt az gyszrűség kdvéért három gyforma hosszúságú lmr osztjuk. A flosztott szrkzt rajzát az lm- és csomópontszámozással és a négy csomóponthoz tartozó négy darab bázsfüggvénnyl gyütt az ábrán láthatjuk. A trhlésfüggvényt gy később ábrán fogjuk fltünttn ábra: Húzott rúd vzsgálata Az -dk lmn csak ϕ és ϕ + különbözk zérustól. Mvl mndgyk lm hossza pontosan l / 3, gy ttszőlgs lm (mondjuk, az -dk) bázsfüggvény könnyn flírhatók az lm bal oldal kzdőpontjától nduló ξ lokáls koordnáta- rndszrbn. ξ érték -tól l / 3-g változk. Ezk a függvényk a kövtkző ábrán láthatók ábra: Egy lm bázsfüggvény 54

55 Az lmk mrvség mátrxa mvl a bázsfüggvényk most s lnársak trmésztsn mggyznk az lőbb példában mgadottal. Ellnőrzésképpn számítsuk k az -dk lm mrvség mátrx (,) ndxű lmét: l / 3 l / 3 dϕ dϕ EA dξ= EA ( )( ) d = d d ξ ξ ξ l l l k = EA = = / 3 3EA l Az -dk lm mrvség mátrxának lm: 3EA K = l. Az -dk lmr ható thr lokáls koordnáta-rndszrbn rndszrbn a kövtkző: ábra: A trhlés függvény Az lmr ható trht az lm thrvktor számítására a 3.5 példánál bmutatott tchnkával a csomópontokra kll rdukálnunk (lásd a külső potncál átalakításakor lmondottakat!): l /3 l /3 l l q = p ( ξϕ ) d ξ= ( p + p ), q + = + p( ξϕ ) dξ= ( p+ p ). 8 8 A tljs szrkzt mrvség mátrxát most már közvtlnül az lm mátrxokból állítjuk lő. Ha fgylmb vsszük, hogy az lső pont nm mozdulhat l ( u =), akkor az lső sort és az lső oszlopot azonnal l s hagyhatjuk, és így csak gy háromszor hármas mátrxot kll számítanunk: 3EA K =. l A globáls thrvktor a csomópontokra rdukált lm thrvktorokból adódk össz: l a q = / 3 A globáls Kv= q gynltrndszr mgoldásából mgkapjuk az lmozdulások értékét: 55

56 3 / 8 3 al v = 3 / 8. EA / 3 Ez a három ltolódás mggyzk a pontos mgoldás x= l / 3, l / 3, és l hlyn flvtt értékvl, d a pontok között lnárs a közlítés a magasabb fokú pontos lmozdulásfüggvény hlytt. Ha a 3.5 példában bmutatott tömör és általános mátrxgynltk sgítségévl, az ott bmutatott vktort és mátrxokat kívánjuk lőállítan, akkor az alábbakat kapjuk: T d ξ ξ v = [ u u ], L =, D [ EA ], N, B. dx = = = l l l l A mrvség mátrxok számításánál arra kll ügylnünk, hogy az ntgrálás határ most és l / 3 között van. A thrvktor számításánál az lőző példában lvzttt képltt alkalmazhatjuk: a thrfüggvény korábban flírt képltét kll szorozn T N mátrxszal, majd az így kapott két lmt ntgráln és l / 3 között. Mvl a thr különbözk a három lmn, mndhárom lm thrvktorát külön-külön kll számítan. Összfoglalás: - A mchanka fladatok matmatka fladatmgfogalmazása közül a staconartás lvt választottuk. - A staconartás lvbn szrplő smrtln függvénykt bázsfüggvényk lnárs kombnácójával közlítjük (Rtz-módszr). - A Rtz-módszr spcáls bázsfüggvényflvétlll történő mgoldását ( szűkíttt ktrjsztésű ) végslm-módszrnk nvzzük. Flhasznált rodalom:./ Bojtár I. Gáspár Zs. : Végslmmódszr építőmérnököknk, Trc, 3../ Znkwcz, O. C. Taylor, R. L. : Th fnt lmnt mthod th bass, Buttrworth-Hnmann,. 3./ Chandrupatla, T. R. Blgundu, A. D. : Introducton to fnt lmnts n ngnrng. Prntc Hall,

57 4. lőadás: A gomtra fntzálás szmpontja. Az automatkus hálógnrálás tchnká. Lokáls koordnáta-rndszrk. A szrkzt gészénk gomtráját gy x, y, z (síkbl szrkzt stén x, y) globáls, drékszögű koordnáta-rndszrbn adjuk mg. Jln tárgyban jobbsodrású koordnátarndszrt használunk, mgjgyzv azt, hogy trmésztsn más rndszr s alkalmazható lnn. Ebbn az lőadásban mgmutatjuk, hogy - vzsgált tartományt hogyan oszthatjuk részkr (végs lmkr), - az gys lmkhz mlyn lokáls koordnáta-rndszrt vhtünk fl, és m a kapcsolat a globáls és lokáls koordnáták között, és - hogyan vhtjük fl automatkusan az lmkt. Gomtra fntzálás A végslm-módszr lső lépés a vzsgált Ω tartomány fntzálása, vagys végs lmkr való flosztása. A kövtkző változatokat vzsgáljuk: - a globáls koordnáta-rndszrhz llszkdő, - ponthálózatra llszkdő, - szmplxkr való flosztások. Mgjgyzzük, hogy z az osztályozás nm tljs és nm dszjunkt. A végslms programrndszrk nagy részébn az automatkus lmflosztást s bépítk, amt a flhasználó gy-két paramétrrl vzérlht, majd szükség szrnt fnomíthat. A koordnáta-rndszrhz llszkdő flosztásmód akkor kéznfkvő, ha a vonatkozás rndszr jól smul a vzsgált alakzathoz, vagys határa olyan részkből áll, mlyknél gy koordnáta állandó értékű. Ha háromdmnzós (3D) tartományoknál a tartomány (külső és blső) határa koordnátaflültkr, vagy kétdmnzós (D) tartományoknál koordnátavonalakra llszkdk, akkor a vzsgált tartományt koordnátaflültkkl, lltv koordnátavonalakkal kénylmsn oszthatjuk végs lmkr. Így 3D-s tartományokat téglatstkr (kubusokra), D-s tartományokat téglalapokra, és D-s tartományokat trmésztsn csak szakaszokra oszthatjuk. Illusztrácóképpn az alább ábrán bmutatjuk gy nyílással llátott lmz flosztását. Mgfgylhtő, hogy az osztóvonalak távolsága nm fltétlnül gynlts, a nyílás 57

58 közlébn például sűrűbb osztást készítttünk. Krüln kll azonban olyan lmk létrjöttét, mlyknél az oldalak aránya túl nagy (pl. nagyobb, mnt ). 4.. ábra: Globáls koordnátarndszr tnglyvl párhuzamos flosztás A kapott lmkn ktüntttt pontokat (csomópontokat) vszünk fl. A szomszédos lmk közös ös csomópontjan az lmozdulás-jllmzőkt llsztn fogjuk. Ktüntttt pontnak tkntjük az lmk sarokpontjat, d tovább pontokat vhtünk fl az élkn, a lapokon, sőt akár az lm blsjébn s. Hangsúlyozzuk, hogy az lmkt látszólag csupán a ktüntttt pontokban llsztjük, pdg valójában, ha a két lmnk van közös oldallapja, akkor a tljs oldallapon, ha csak közös él van, akkor a tljs éln kll a mgfllő folytonosságot bztosítanunk. Ezt akkor értük l, ha a közös részn flvtt adatok gyértlműn mghatározzák a függvénynk a közös lapon, lltv éln flvtt értékt. Kéznfkvőnk látszk az a módszr, mly szrnt éppn a ktüntttt pontok mgadásával jlöljük k az lmkt. A kövtkző ábrán két flosztás részltt mutatunk b. Az gyknél 4-44 pont, a másknál 8-88 pont határoz mg gy lmt. Láthatjuk, hogy az élkn flvtt pontok lhtőségt adnak görboldalú lmk kjlölésér s. Igazság szrnt az oldalakat nm s tudjuk flvnn, hanm csak a ktüntttt pontokat, és azok határoznak mg gy gynst, vagy gy másod-, stlg harmadfokú parabolát. Egy oldal alakját csak az oldalon fkvő pontok adata bfolyásolják, így a szomszédos lmk hézagmntsn llszkdnk. Ha a vzsgált tartomány prm görb, akkor az lm oldala nm fltétlnül pontosan gyzk a prm alakjával, d az lmk mérténk csökkntésévl a pontosság fokozható. 4.. ábra: Csomópontok flvétl 58

59 A harmadk flosztás változat a szmplxkr való osztás. A szmplxk a lggyszrűbb alakú domok, az n-dmnzós térbn n+ sarokpont határoz mg gy szmplxt: 3D stén ttraédrt, D stén háromszögt, D stén pdg gy szakaszt. A szmplxkr való flosztás thát az lőző osztásmód spcáls st. Ezzl a flosztással a lgkönnybb változtatn az lmsűrűségt. Például gy D-s tartományon pontokat vszünk fl, a kénysbb hlykn sűrűbbn, az állapotváltozók lassúbb változásának tartományában pdg rtkábban, majd úgy jlöljük k sorban a háromszögkt, hogy a blsjükbn n lgyn kjlölt pont ábra: Elmsűrűség változtatása Mndhárom flosztás mód stén lhtőség van utólagos lmsűrítésr. Ha gy flvtt lmflosztással kapott rdményből mgállapítjuk, hogy a szomszédos lmk génybvétl között nagy különbségk adódtak (és zt nm ndokolhatja az stlg ott ható koncntrált thr), akkor zt a részt sűríthtjük, és az újból futtatással pontosabb rdményhz juthatunk. A kövtkző ábrán gy háromszög- és gy négyszöglm ksbbkr való flosztását mutatja. Trmésztsn lynkor s kll vgyázn az oldalarányok szélsőségnk lkrülésér ábra: Utólagos lmsűrítés Két különlgs str hívjuk fl még a fgylmt. Alkalmazhatók ún. átmnt lmk, mlyknk az oldalan nm ugyananny csomópontot vszünk fl. Ezk mgkönnyítk az lmsűrűség változtatását. Egy másk lhtőség az ún. végtln végs lm alkalmazása. Ez például gotchnka fladatoknál fordul lő, amkor végtln féltrt vagy félsíkot kll vzsgálnunk. A trhlés környékén az ddg tárgyalt lmtípusokat vsszük fl, től 59

60 távolabb, ahol már ksbb hatása van a thrnk, a végtlnb nyúló lmk s alkalmazhatók. Ezkhz spcáls bázsfüggvénykt kll flvnn. Végül mgmlítjük, hogy az alkalmazható lmk és csomópontok számát korlátozza a számítógép kapactása, az alkalmazott program futás dj,, költség, nagyon nagy lmszám stén pdg a számítás krkítésk halmozódása s ronthat az rdményn. Ugyanakkor ks lmszámmal a számítás pontatlan lht. Lokáls koordnáta-rndszrk Az gys végs lmkr vonatkozó összfüggésk lvztéséhz gyakran célszrű mndn lmr gy-gy lokáls koordnáta-rndszr flvétl. Ezk használata mgkönnyít az gytln lmr vonatkozó összfüggésk flírását. Előnyt jlnt az s, hogy gyakran a lokáls rndszrbn sok lm mrvség mátrxa, thrvktora mggyzk, így a szrkzt vzsgálatához szükségs számítás munka s lcsökknht. A lokáls rndszrk használata nm jlnt smmlyn hátrányt, hszn a tljs tartományra érvénys kfjzéskr többnyr gyszrű koordnáta-transzformácóval transzformácóval lht áttérn. Egy lm vzsgálatánál a kövtkző lokáls koordnátarndszr-típusokat típusokat használhatjuk: o a globáls rndszr, stlg mrvtst-szrű lmozdítással, o paramétrs koordnáta-rndszr, o trmészts koordnáta-rndszr. A./ A globáls koordnáta-rndszr mrvtst-szrű szrű lmozdítása Mndg mgthtjük, hogy az lmhz nm vszünk fl külön lokáls rndszrt, hanm mndn összfüggést a tljs szrkztr vonatkozó globáls rndszrbn írunk fl, és így nm használjuk k a korábban vázolt lőnyökt. Ha mgngdjük a globáls koordnáta-rndszr rndszr mrvtst-szrű lmozdítását s (vagys ltolhatjuk az orgót, majd az új orgó körül l s fordíthatjuk a koordnátatnglykt), akkor az gybvágó lmknél azonos anyagjllmzők és stlg azonos trhk stén összvonhatók bzonyos művltk ábra: Eltolt-lforgatott koordnáta-rndszrrndszr 6

61 Egy ttszőlgs pont globáls és az lmozdított rndszrbl (lokáls) koordnátá között az alább kapcsolatok állnak fnn (síkbl str lásd a fnt ábra): x ξ x ξ x x y = T η + y, T η = T y y, z ζ z z z ζ (4.) ahol x, y, z a lokáls rndszr orgójának koordnátá és cos ( x, ξ) cos ( x, η) cos ( x, ζ) T = cos ( y, ξ) cos ( y, η) cos ( y, ζ). cos ( z, ξ) cos ( z, η) cos ( z, ζ) (4.) A T mátrxban mndg a mgadott két tngly által bzárt szögk kosznusza szrplnk. A transzformáló mátrx ortogonáls mátrx, vagys T = T. Mnt látjuk, a szükségs transzformácó nm függ sm az lm alakjától, sm az lm ktüntttt pontjanak számától. 4.. Példa Számítsuk k a fnt ábrán látható síkbl stbn a P pont globáls koordnátát, ha x =3, y =4, ξ = 3, η =, α = 3! P P A transzformáló mátrx lmnél fgylmb vév, hogy cos( + α) = snα o cos( 9 α) = snα, azt kapjuk, hogy o T 9 és xp cos3 sn , 98 = + =. yp sn3 cos3 4 6, 366 Mgjgyzzük, hogy az lőzőkbn mgadott dfnícó hlytt általában könnybb a ξ, η, ζ koordnátatnglyk rányába mutató gységvktorok koordnátáként flírn T gys oszlopat. B./ Paramétrs koordnáta-rndszr Bármlyk lmtípus stén alkalmazhatunk paramétrs koordnáta-rndszrkt s. Ezt az stlg frdszögű vagy éppn görbült koordnáta-rndszrt úgy választjuk mg, hogy pontosan llszkdjék az lmr, sőt a léptékt s úgy vsszük fl, hogy a ktüntttt pontok koordnátá ktüntttt (, +, -, stb.) értékűk lgynk. 6

62 4.6. ábra: Paramétrs koordnáta-rndszrk Ilyn (D-s) koordnáta-rndszrkt mutatunk b a fnt ábrán, fltünttv a ktüntttt pontok lokáls koordnátát és néhány koordnátavonalat. Ezkt a paramétrs koordnáta-rndszrkt akkor tkntjük smrtnk, ha a ktüntttt pontok globáls koordnátának smrtébn gy ttszőlgs pont lokáls koordnátából gyértlműn mghatározhatók pont globáls koordnátá. Trmésztsn mg kll kövtln azt s, hogy kölcsönösn gyértlmű lgyn kapcsolat. Ezt a mgkövtlt kapcsolatot szmléltt a kövtkző ábra, mutatva, hogy a lokáls rndszrbn nagyon spcáls alakzat mndn pontjához gyértlműn és kölcsönösn hozzárndlhtő az lm gy pontja. 6

63 4.7. ábra: Lokáls és globáls koordnáták között kapcsolatok A pont lokáls koordnátából a globáls koordnáták mndn koordnáta stén ugyanazon N ( ξ, η, ζ) ( =,, K, n ; ahol n az lm ktüntttt pontjanak száma) bázsfüggvényk 3 sgítségévl számíthatók: n = ( ξ, η, ζ), y= N ( ξ, η, ζ) y, z= N ( ξ ηζ, ) z x= N x vagy mátrxalakban: x y z [ ] [ ] x y z x y z = N N L Nn M M M xn yn zn ahol az -dk ktüntttt pont globáls koordnátát jlöl x, y, z. n = n =,, (4.3) T = n X, (4.4) Trmésztsn gy-, lltv kétdmnzós fladatnál csak az lső, lltv az lső két gynlt kll, és a bázsfüggvényk s csak ξ, lltv ξ és η függvény. Ezn. A Rtz-módszr smrttéskor s használtuk a bázsfüggvény kfjzést, ott az gész tartományra értlmztük. A végslm-módszr gyakorlat alkalmazásakor a bázsfüggvényknk csak gy-gy lm fltt részét használjuk, és zkt s bázsfüggvényknk nvzzük. A koordnáták ntrpolácójához s zkt az gy lm fltt értlmztt függvénykt alkalmazzuk. 63

64 bázsfüggvényk olyan polnomok, mlyk az ndxnk mgfllő csomópontban, a több csomópontban értékt vsznk fl. Mgjgyzzük, hogy mghatározásukkal a kövtkző lőadáson részltsn foglalkozunk, mrt mggyznk az ott lőállított C -folytonos bázsfüggvénykkl. A globáls koordnáták smrt stén a lokáls koordnáták szntén az lőző gynltből számíthatók, azonban ha az N függvényk magasabb fokú polnomok, akkor az smrtln lokáls koordnátákat rndszrnt csak trácós úton lht mghatározn. Lnárs bázsfüggvényk stén a kapcsolat gynlt lokáls koordnátákra nézv könnyn mgoldható lnárs gynltrndszrt ad. Egyszrűn llnőrzhtő, hogy valóban mgfordítható- a lképzés. Ennk fltétl az, hogy a ξ J = x y z η ζ [ ] x ξ x = η x ζ y ξ y η y ζ z ξ z η z ζ (4.5) ún. Jacob-mátrx az értlmzés tartomány mndn pontjában nvrtálható lgyn, vagys dtrmnánsa shol s lgyn zérus. Ha az N bázsfüggvénykt smrjük, akkor a Jacob-mátrx könnyn mghatározható, hszn gyszrű bhlyttsítés után (és mvl X konstans) csak az lső tényzőt kll drváln: N N Nn L ξ ξ ξ ξ T N N Nn J = n X = L X. (4.6) η η η η N N Nn ζ L ζ ζ ζ A Jacob-mátrx nvrzénk jlntését mgkapjuk, ha a dfnícójában a latn és a görög btűk szrpét mgcsréljük: ξ η ζ x J x x x ξ η ζ = [ ξ η ζ] =. (4.7) y y y y ξ η ζ z z z z A Jacob-mátrx nvrzét később a paramétrsnk választott koordnáták szrnt drválások számításánál fogjuk használn. Trmésztsn gy-, lltv kétdmnzós stbn J lső-, lltv másodrndű mátrx. 64

65 4.. Példa Az ábrán mgadott háromszöglmhz paramétrs koordnáta-rndszrt vttünk fl. Állítsuk lő a szükségs transzformácó Jacob-mátrxát, és ha lht, akkor adjuk mg, hogy hogyan lht a globáls koordnátákból a lokálsakat számítan! 4.8. ábra: Paramétrs koordnátarndszr háromszögnél Az ábra jobb oldalán flrajzoltuk a bázsfüggvénykt, és mgadtuk az síkokat líró függvénykt s: 3 3 ξ J = [ ξ η ξ η ] 7 5 = = η 9 7 Thát jln stbn (és lnárs bázsfüggvényk stén mndg) a Jacob-mátrx nm függ a koordnátáktól. Mvl J = 5 4 ( ) 7= 34 a mgadott transzformácó mgfordítható. Jln stbn [ ] [ x x y y ] J [ x y 3] ξ η = = C./ Trmészts koordnáta-rndszr Trmészts koordnáta-rndszrt csak akkor használhatunk, ha a végs lmk szmplxk. Egy szmplxn blül ttszőlgs P pontot a csomópontokkal összkötv n+ blső szmplxt kapunk. Ezk térfogatának a tljs 65

66 térfogathoz vszonyított aránya a dmnzó nélkül koordnáta-mérőszámként (L ) használható. A térfogat gydmnzós szmplx stén a hossz (l), kétdmnzós stbn a trült (A), háromdmnzós stbn pdg valóban a térfogat (V). A blső szmplx ndx annak a sarokpontnak az ndxévl gyzk mg, amlykt nm tartalmazza. A három stt az ábra szmléltt ábra: Trmészts koordnátarndszrk A koordnáták dfnícójából látszk, hogy az -dk sarokpont -dk koordnátája, a több pdg.. A globáls és a lokáls koordnáták közt kapcsolatot az L x = x x x3 x4 L (4.8) y y y y3 y4l3 z z z z3 z4 L4 gynlt írja l, mlyt rövdbbn x= Al (4.9) alakban s írhatunk. A globáls koordnátákból a lokálsakat az l= A x (4.) 66

67 összfüggéssl számíthatjuk. Trmésztsn gy-, lltv kétdmnzós stbn A másod-, lltv harmadrndű mátrx Példa Határozzuk mg a 4. példa ábrájánál mgadott háromszög stén a globáls és a trmészts koordnáták kapcsolatát! L x = 7 9 L, y 3 7 L3 míg az nvrz kapcsolat: L 4 6 L = x. 34 L3 9 5 y A végslmháló automatkus gnrálása Az automatkus gnráló rndszrk lhlyzk a vzsgált tartományban a csomópontokat, bszámozzák őkt, kalakítják az lmk hálózatát, hozzájuk rndlk a mgfllő szlárdságtan tulajdonságokat, továbbá képsk a trhk és prmfltétlk hálózathoz való rndlésér s. Két jllgzts gnrálás tchnkát mlünk k a sokfél lhtségs változat közül: - mozaktchnka, - fastruktúrák alkalmazása. A./ Mozakgnrálás tchnka A módszr két- és háromdmnzós fladatoknál gyaránt használható. Első lépésként a bhálózn kívánt tartomány határvonalát (határflültét) kll kjlöln, tt vsszük fl az lső lmkt, majd nnn bflé haladva kövtkzk a több lm (általában szmplxk) kjlölés. Az lmk lhtségs maxmáls-mnmáls mértét a határokon lltv a blső tartománynál külön-külön lőírják. Az alább ábra példát mutat a módszr alkalmazására. Mgjgyzzük, hogy a tartomány blsjébn lhlyzkdő blső ürgkt (támaszokat, rőkt, stb.) szntén kzdéskor látjuk l csomópontokkal. 67

68 4.. ábra: Hálógnrálás mozak-tchnkával A végrdményr láthatunk példát az alább hálózatnál: 4.. ábra: Hálógnrálás rdmény Külön gondot kll fordítan a különlgs hlyztű saroktartományok kzlésér. Ilynkor csak zk flosztása (hálózása) után folytatódhat a blső tartomány gomtra fntzálása, lásd az ábra vázlatát: 4.. ábra: Hálóflvétl sarkoknál 68

69 B./ Fastruktúrák alkalmazása Egy-, két- és háromdmnzós változatokban gyaránt alkalmazzák, bár rdtlg 3D stk mgoldására dolgozták k. A flosztandó d-dmnzós tartományt lőször bfoglalják gy d-dmnzós kubusba (szakasz, téglalap vagy téglatst). A kubushoz a tartományt líró fában gy ks kör tartozk. Ha a kubus mndn pontja a tartományhoz tartozk, akkor a kört bsötétítjük.. Ha a kubusnak gyk pontja sm blső pontja a vzsgált tartománynak, akkor a kört ürsn hagyjuk. E két stbn kubust nm kll tovább osztan. Ha a kubusban van a flosztandó tartománynak blső pontja és van olyan pontja s, amlyk nm tartozk a tartományhoz, akkor a körb gy krsztt tszünk. Az lyn kubust d gyforma nagyságú kubusra osztjuk. Az zkhz a kubusokhoz tartozó körökt gy sznttl ljjbb rajzoljuk, és gy-gy vonallal összkötjük az őt tartalmazó lőző szntű kubus körévl. Az ljárást addg folytatjuk, amíg vagy nncs vgys clla, vagy a cllamérttl lértünk gy lőírt határt Példa. Egydmnzós, nm összfüggő tartomány lmnk mghatározására mutat llusztráló példát az ábra ábra: Fastruktúra D lmnél 4.5. Példa. A kövtkző ábrán két kétdmnzós tartomány flosztását mutatjuk b. Az ábra jobb oldalán az gy cllán blül részcllák flvtt sorrndj látszk ábra: Fastruktúra D lmnél 69

70 4.6. Példa A háromdmnzós változatnál már 8 kubusra osztjuk a vgys kubusokat. (A fa nagyon gyors növkdés matt gy nagyon gyszrű fladatot mutatunk b.) 4.5. ábra: Fastruktúra 3D lmnél Ezn flosztás után még a kövtkző tndők maradnak: - Ha a pontossághoz szükségs, akkor a túl nagy lmk tovább oszthatók. - Ha a prmk környékén maradtak vgys lmk, akkor a jobb llsztés céljából az ottan lmk átalakíthatók más típusú lmkké. Például kétdmnzós fladatnál nm téglalap alakú négyszög, stlg háromszög flvétl. - Ha gymás mllé különböző mértű kubusok krültk, akkor a nagyobb lm oldalan új csomópontok s mgjlnnk, vagys szabálytalan lmk jönnk létr. Ilynkor vagy átmnt lmkt kll alkalmazn, vagy más típusú lmkkl való sűrítéssl kll a hbákat kküszöböln Példa A kövtkző ábra bal oldalán gy háromszögtartománynak a fastruktúra flhasználásával kapott (négyztkr való) flosztását mutatjuk. A jobb oldalon háromszög és négyszög lmk gyütts használatával már részbn javítottuk a hbákat. (A prmkn már jó az llsztés, a blsjébn a rossz lmk gy részét mgszüntttük.) 7

71 4.6. ábra: Háromszögtartomány flosztása Mgjgyzzük, hogy bonyolult gomtrájú szrkztk (bomchanka fladatok, gépészmérnök szrkztk, stb.) flosztására gyakran használják zt a fajta gnrálás alaplvt (lásd például az ábra combcsont-modlljét): modlljét): 4.7. ábra: Combcsont modllj (CT-flvétlk alapján) Az lkészült hálókat általában gy vagy több lépésbn még fnomítják, például: - kszűrk (és módosítják) az aránytalan oldalélű lmkt, - sűrítk az lmosztást a szlárdságtanlag krtkus hlykn, 7

72 - a később gynltrndszr-mgoldó típusának mgfllőn átszámozzák az lmkt és/vagy csomópontokat gy optmálshoz közl mgoldás dő lérés érdkébn, stb., Az tt bmutatott kétfél hálógnrálás mlltt trmésztsn másfél változatokat s használnak a gyakorlatban, az utóbb évkbn sznt önálló szaktrültté fjlődött a hálózatgnrálás különlgs kérdésnk mgoldása. Jllgzts modrn változata hálógnrálásnak például az a módszr, amkor gy térbl alakzatról készült par vagy orvos CT (computr tomograph) flvétlsorozatából nyrt mtsztk alapján készül 3D modll. Flhasznált rodalom:./ Bojtár I. Gáspár Zs.: Végslmmódszr építőmérnököknk, Trc, 3../ Akn, J. E.: Fnt Elmnts and Dsgn, Acadmc Prss, / Stn, W. d Borst, R. Hughs, T. J. R.: Encyclopda of Computatonal Mchancs, Vol I., Wly, 4. 7

73 5. lőadás: A matmatka fntzálás. Bázsfüggvényk flvétl D, D és 3D fladatoknál Általános mgjgyzésk A gomtra fntzálás után a végslm-módszr másodk lépés a függvénytér fntzálása. Ez azt jlnt, hogy az u vktorban szrplő smrtln függvénykt nm választhatjuk k ttszőlgsn a tljs végtln dmnzós függvénytérből, hanm zn függvénytér gy (stlg az gys függvénykt különböző mértű) végs dmnzós altréből. Az altrt az őt kfszítő bázsfüggvényk mgadásával jlöljük k, vagys az altér zn bázsfüggvényk lnárs kombnácót tartalmazza. Először azt fogjuk mgmutatn, hogy ha smrjük az lm alakját, valamnt az lm ktüntttt pontjanak számát és tudjuk, hogy hányadfokú folytonosságot kll mgkövtlnünk, akkor hogyan határozhatjuk mg a bázsfüggvénykt, lltv a bázsfüggvényknk a vzsgált lmn értlmztt részét. Ezkt a részkt úgy dfnáljuk, hogy ha a szomszédos végs lmk közös ktüntttt pontjaban a függvényértékkt és stlg néhány drváltjának értékét gynlőnk választjuk, akkor a tljs Ω tartományon értlmztt bázsfüggvény a mgkövtlt rndbn folytonos lgyn. Például, ha az gyváltozós u(x) ) függvénytől mgkövtljük, hogy C () -folytonos lgyn, akkor azokat a bázsfüggvénykt, amlyk a kjlölt szakaszon nm mndnütt zérusok, választhatjuk a kövtkző ábrán látható módon. (A vzsgált szakasz fltt függvényrészt vonalkázással mltük k.) 5.. ábra: Függvényflvétl 73

74 Válasszunk k most például gytln végs lmt,, és szűkítsük l a bázsfüggvényk értlmzés tartományát rr az lmr! Ezk közül a függvényk közül csak néhány nm lsz zérus-függvény. Ezkt a nmzérus függvénykt alak- vagy ntrpolácós függvényknk nk nvzzük, és N -vl jlöljük őkt. Mgjgyzzük, hogy nagyon gyakran zkt s bázsfüggvénynk nvzzük, hszn valóban azok gy szakaszát jlntk. Az N függvénykt általában polnomoknak választjuk, és így a ϕ bázsfüggvénykt különböző szakaszan különböző alakú függvénykkl írjuk l. Például az lőző ábrán mgadott stbn: 3 ha x x k xk x xk x 3 + ha x x k k xk xk x x xk k ϕ( x) = 3. (5.) x xk x xk 3 + ha xk x xk+ + + xk xk xk xk ha x xk+ Az N ntrpolácós függvénykt gykszünk a lhtő lgalacsonyabb fokszámú tagokból összállítan. szállítan. A tagokat gyváltozós függvény stén az 3 4 x x x x K (5.) sor, kétváltozós stbn az x y (5.3) x xy y 3 x x y xy y 3 ún. Pascal-háromszög,, háromváltozós stbn az ábrán jlztt ún. Pascal-gúla lmből választjuk. 5.. ábra: 3D Pascal-gúla Ezkből anny lmt használunk, ahány fltétlt kll az N függvénynk tljsítn. Ez azt jlnt, hogy gys pontokban lőírjuk a függvényértékkt és stlg néhány drvált értékét. Általában arra törkszünk, hogy tljs n-dfokú polnomot használjunk. Többnyr nncs okunk arra, hogy ktüntssük bármlyk koordnátarányt, így mndn lőforduló koordnátában ugyanolyan ktvőjű tagokat kívánunk használn. 74

75 A kövtkzőkbn áttkntjük a lggyakrabban használt N függvénykt gy-, két- és háromváltozós stbn, C vagy C -folytonosság bztosításával különböző lmalakra (pl. háromszögr és négyszögr) továbbá különböző közlítésk és különböző koordnátarndszrk stén. Egyváltozós függvényk Egyváltozós fladat stén a végs lm gy szakasz. A két végén mndg vszünk fl ktüntttt pontokat, d tovább közbnső pontokat s flvhtünk. Ezkbn a pontokban lőírhatjuk a közlítndő függvény és drváltja értékét. A közlítndő függvényt tt a polnom szó kzdőbtűjévl, p-vl fogjuk jlöln, mrt többfél függvény közlítésér használhatjuk függvénykt, zért bbn a pontban nm akarjuk gyk közlítndő függvény jlét sm ktünttn. A p mlltt alsó ndx azt jlnt, hogy mly változó szrnt drváltra hvatkozunk. Néhány stt az ábrán közlünk, mgadva azt, hogy mly ktüntttt pontban mlyn értékkt írunk lő ábra: D fladatok közlítés A szakasz két szélén a folytonosság kövtlménybn szrplő drváltg mndgyknk lőírtnak kll lnn, a közbnső pontokban nncs lyn mgkötöttség. Ha gy lmnél m darab lőírásunk van, akkor m darab ntrpoláló függvényt kll használnunk, és azok (m-)-dfokúak lsznk. Az gys ntrpoláló függvényknél gy lőírt érték gységny, a több pdg zérus. A./ C -folytonos lmk A C -folytonos vonallmk stébn Lagrang-polnomokat használunk, mlyk általános alakja n ktüntttt pont flvétlkor a globáls koordnátarndszrbn a kövtkző: ( ) ( x x )( x x) K( x x )( x x+ ) K( x xn) N x =. (5.4) x x x x K x x x x K x x ( )( ) ( )( ) ( ) + n 75

76 Trmésztsn ugyanlyn flépítésű ésű a paramétrs koordnátarndszrbn s a bázsfüggvény, sőt tt a ktüntttt pontok koordnátát rögtön smrjük. A Lagrang-polnom függvényéről könnyn mgállapítható, hogy az -dk pont koordnátáját bhlyttsítv a számláló és a nvző mggyzk, thát a függvény érték, míg a több pontban a számláló gyk tényzőj, s így a függvény érték s. Két és három ktüntttt pont stér az alább ábra mutatja bázsfüggvényk alakját. A szakaszok gybn szmplxk s, thát a trmészts koordnáták s használhatók. Mgjgyzzük, hogy a trmészts koordnáták nm függtlnk gymástól, zért ugyanaz a függvény többfél alakban s flírható ábra: Bázsfüggvényk és 3 pont stén. Az ábra bázsfüggvénynk gynlt a három koordnáta-rndszrbl kétpontos lmnél: x N ( x) = x x x =, N ( ξ) = ( ξ), N ( L, L) = L, x x x x x x N ( x) = =, N ( ξ ) = ( +ξ), N ( L, L ) = L, (5.5) x x l lltv a hárompontos lmnél N ( ) ( x x)( x x3) x =, N ( ξ) = ξ( ξ ), N ( x x)( x x3) ( L, L ) = L ( L ), (5.6/a) N ( ) ( x x)( x x3) x =, N ( ξ) = ξ, N ( L, L) = 4L L, ( x x)( x x3) (5.6/b) 76

77 B./ N 3 ( ) ( x x)( x x) x =, N 3 ( ξ) = ξ( ξ+ ), ( x x )( x x ) 3 ( L L ) = L ( L ) C -folytonos lmk 3 3 N,. (5.6/c) A C - (és a magasabb rndbn) folytonos vonallmk stén az Hrmtpolnomokat használjuk. Előállításuk általános módját globáls koordnátarndszrt alkalmazva gy hárompontos lmn mutatjuk b, mlynél a középső ponton a függvény értékét írjuk lő. Mgjgyzzük, hogy a globáls koordnátarndszrt általában ltolják úgy, hogy az orgó az lm ljér vagy a közpér llszkdjék, az lm közbnső ktüntttt pontjat s úgy vszk fl, hogy az lmt gynlő hosszú szakaszokra osszák, így a csomópont koordnáták gytln hosszal jllmzhtők. A mostan magyarázatnál zkt az lőnyös tulajdonságokat nm használjuk k. Mvl az lmn 5 fltétlt kll tljsítn (három függvényérték és az lső drvált két érték), így 5 tag lnárs kombnácójaként állítjuk lő a bázsfüggvénykt, azaz ngydfokú polnomot választunk. Ebből az öt lmből (gytagból, más névn mononomból) állítjuk lő az x vktort: x x x x x T 3 4 =. (5.7) A kombnácóhoz szükségs, gylőr smrtln gyütthatókat az -dk bázsfüggvény stén gy a vktorba foglaljuk: T a = a a a a a. (5.8) [ ] Az N bázsfüggvény nnk a két vktornak skalárs szorzata, vagys T N x = x a. (5.9) ( ) E függvény lső drváltjának számításakor csak az lső tényzőt kll drválnunk, hszn a másodk konstansokat tartalmaz. Thát: T dn d x a 3 x 3 x 4 x a = = dx dx. (5.) A krstt N függvénynk a kövtkző öt adatát smrjük: N ( x ), dn ( x ), N ( x ), N ( x 3 ), dn ( x 3 ), (5.) dx dx mégpdg az -dk adat, a több pdg, thát gyütt az -dk gységvktort, -t alkotják. Így a fltétlkt lőíró gynltk bhlyttsítésévl: 3 4 x x x x 3 x 3x 4x 3 4 = x x x x a = B% a, (5.) 3 4 x3 x3 x3 x3 3 x3 3x3 4x 3 77

78 ahol a konstansokból álló gyütthatómátrxot jlöltük B % -mal. Innn az smrtln gyütthatókból álló a vktor a = B % (5.3) alakban számítható, azaz a krstt bázsfüggvényk: ( ) T Ha az lőzőkbn bvzttt, az összs bázsfüggvényt tartalmazó n vktort akarjuk számítan, akkor az lőző módszrt n-szr (most ötször) alkalmazzuk, vagys T T n = N N N N N = x B %. (5.5) Ez az öt gységvktor éppn pn az ötödrndű gységmátrxot alkotja. Mvl az gységmátrxszal való szorzás nm változtat a szorzott sorvktoron, így az összs bázsfüggvényt t a fnt gynlt alapján az T T n = N N N N N = x B % (5.6) képlttl számíthatjuk. A kapott bázsfüggvényk alakját az alább ábra mutatja: A közölt módszr bármlyk Hrmt-polnom lőállítására használható (sőt a Lagrang-polnomok számítására s,, csak azokat gyszrűbb az lőbb bmutatott módszr szrnt számoln), csupán x és B % mért és flépítés változk értlmszrűn. Paramétrs koordnáta-rndszr stén s alkalmazhatjuk a fnt módszrt. Ekkor T n x = ξ K ξ (5.7) flépítésű, továbbá van gy kdvző és gy kdvzőtln változás. A globáls koordnátákhoz képst az az lőny, hogy az osztópontok lokáls koordnátá nm függnk az lm mértétől, azok rögzíttt értékk. N x = x B%. [ ] [ [ ] ] 5 (5.4) 5.5. ábra: C folytonos bázsfüggvény 78

79 Mgnhzít azonban a B % mátrx lőállítását az a tény, hogy az x vktorban a ξ változó szrpl, d az x szrnt drváltak értékét írtuk lő. Ilynkor a drválásra vonatkozó láncszabályt kll alkalmaznunk: dn( ξ) dn( ξ) dξ =. (5.8) dx dξ dx A jobb oldal lső tényzőj könnyn számítható, a másodk tényző pdg a globáls és a lokáls koordnáták közt transzformácó Jacob-mátrxának az nvrz. A Jacob-mátrx általános lőállítás módját a korábbakban már bmutattuk. Egyszrűbb a hlyzt, ha mnt általában szokásos az lmn a ktüntttt pontok gynltsn vannak kjlölv. Ekkor a ktüntttt pontok számától függtlnül lnárs a két változó közt kapcsolat l l x = x+ + ξ, (5.9) 5.6. ábra: Paramétrs koordnáták D lmn. thát dx l dξ J = = dξ, és J = = dx. (5.) l Az lőzőkbn lmztt drválás tchnkának mgfllőn ( ξ) dn ( ξ) dn dξ d x = = a. (5.) dx dξ dx dξ l Például a kétpontos C () -folytonos l hosszúságú vonallm stén B % / l 4/ l 6/ l =, (5.) / l 4/ l 6/ l mlynk nvrz 4 l 4 l B% 6 l 6 l =. 8 l l l l Mgjgyzzük, hogy a Mathmatca, Mapl vagy más szmbolkus nylvű programcsomag nvrtáln tud változókat lltv paramétrkt tartalmazó mátrxokat s. T 79

80 A krstt bázsfüggvényk gynlt: 3 3 N ( ξ ) = ξ+ ξ, (5.3) N ( ξ ) = l ( ξ ξ + ξ ), N 3( ξ) = + ξ ξ, N 4( ξ ) = l ( ξ+ ξ + ξ ). 8 Fontosságukra való tkntttl az alább ábrán s mgmutatjuk zkt a függvénykt: 5.7. ábra: C folytonos bázsfüggvény két csomópont stén Mgjgyzzük, hogy kétpontos vonallmnél úgy s választhatjuk a paramétrs koordnáta-rndszrt, rndszrt, hogy a ξ érték az lm bal végén, a jobb végén lgyn. Ekkor (mvl d dξξ / dx= / l ) a bázsfüggvényk: 3 ( ξ ) = 3ξ + ξ N, 3 ( ξ ) = l( ξ ξ + ) N ξ, N ξ = 3ξ ξ, ( ) ( ξ ) = l( ξ + ) N. 4 ξ Az Hrmt-polnomok s mgadhatók a trmészts koordnáták függvényként. A bázsfüggvényk négy gynltébn ξ éppn L -vl gynlő, thát mndn ξ hlytt L s írható. Trmésztsn mgadhatók a függvényk vgysn s, mndg a kdvzőbb változót használva: 3 N L, L = 3L L (5.5) N ( ), 3 L L = l L L ( ) ( ),, (5.4) 8

81 N 3 ( L, L ) = 3L L, L L = l L L ( ) ( ) N, +. Kétváltozós függvényk Ebbn a pontban C és C - folytonos bázsfüggvénykt állítunk lő három- és négyszög alakú lmk stén különböző számú ktüntttt pont és különböző típusú koordnátarndszr alkalmazásával. A./ C -folytonos függvény háromszöglmhz Ha csak C -folytonosságot kll bztosítanunk és háromszög alakú lmt választunk, akkor tljs n-dfokú polnomokat használunk. A kövtkző ábra bmutatja, hogy a Pascal-háromszög sgítségévl hogyan állapítható mg az, hogy különböző fokszámok stén hány tagból állhat a polnom, és nnk mgfllőn hol hlyzkdjnk l a ktüntttt pontok (éppn a Pascal-háromszögbn lévő tagok hlyéhz hasonló lrndzésbn) ábra: Háromszöglmk A 4.. példában már mgadtuk a hárompontos (lsőfokú, lnárs) háromszöglm bázsfüggvénynk képltét a paramétrs koordnátákkal. A sík gynlt könnyn flírhatók a másk két rndszrbn s. Az alábbakban az ábra jlölést használva mgadjuk mndhárom rndszrbn zn függvénykt (a mrvtstszrűn lmozdított koordnáta-rndszrnél az x, y jlkt használjuk, hogy mgkülönböztssük a paramétrs rndszrtől): 8

82 x a b N b bc x a N ( x, y) = y b bc y N ( x, y) = c ( x, y) = + y, N ( ξ η) = ξ η, N ( L L, L3) = L,,,, N ( ξ, η) = ξ, ( 3) N, =, L L, L L 3, N 3( ξ, η) = η, N 3( L L, L3) = L3,. (5.6) 5.9. ábra: Különböző koordnáta-rndszrk háromszög lmnél A függvényk most s lőállíthatók az lőzőkbn bmutatott általános érvényű képlttl. Ennk alkalmazását gy hatpontos (másodfokú, kvadratkus) lm stér mutatjuk b a mrvtst-szrűn lmozdított globáls koordnátarndszrbn. Az -dk bázsfüggvényt most T N x, y = x a (5.7) ( ) alakban krssük, ahol T x = x y x xy y, (5.8/a) A fltétl gynlt: [ ] T a = a a a a a a. (5.8/b) x y x x y y x y x x y y x3 y3 x3 x3 y3 y 3 = = x4 y4 x4 x4 y4 y4 x5 y5 x5 x5 y5 y 5 x6 y6 x6 x6 y6 y6 a Ba %. (5.9) Az így lőállított B % mátrx flhasználásával [ ] T T n N N N3 N4 N5 N6 x B = = %. (5.3) Trmésztsn a paramétrs koordnáták stén s alkalmazható ugyanz a módszr, csupán az x és y hlytt ξ és η szrpl, továbbá a ktüntttt pontok lokáls koordnátá tt smrtk. 8

83 Fontos mgjgyznünk, hogy kéz számítás stén célszrű lkrüln a B % mátrx nvrtálását, a bázsfüggvényk kvsbb számítással s lőállíthatók. A módszrt gy példával llusztráljuk. 5.. Példa: Állítsuk lő gy hatpontos háromszöglmnk az lső, a másodk és az ötödk pontjához tartozó bázsfüggvény gynltét paramétrs koordnátákkal! Mndhárom bázsfüggvénynk öt ktüntttt pontban zérusnak kll lnn. A kövtkző ábrán bmutatjuk, hogy mndn stbn flrajzolható két gyns, amlyk gyütt tartalmazzák az öt csomópontot. Az ábrán mgadtuk az gynsk gynltét zérusra rndztt formában. 5.. ábra: Paramétrs koordnáta-rndszr Ha az gynltk bal oldalán lévő kfjzéskt összszorozzuk, akkor olyan másodfokú függvényt kapunk, amlyk a jlztt öt pontban (trmésztsn a két gyns mndn pontjában s) zérusértékű. Írjuk fl függvénykt, és számítsuk k értékükt a hatodk pontban: N ~ = ( ξ η) ξ η, N ~ (, ) =, (5.3) N ~ ~ = ( ξ η)ξ, N, =, 4 N ~ 5 = η η, N ~ 5(, ) =. Mvl a bázsfüggvényk értékénk hatodk pontban éppn -nk klln lnn, a sgédfüggvényt az így kapott konstanssal kll osztanunk: N ( ξ, η) = N ~ ( ξ, η) / N ~ (, ) = ( ξ η) ξ η, (5.3) N ξ η = 4 ξ η, ( ) ( )ξ, N 5( ξ,η) = η η. 83

84 A kapott függvénykt az alább ábra mutatja. 5.. ábra: Háromszög bázsfüggvény A tljsség kdvéért közöljük a maradék három függvényt s: N 3( ξ,η) = ξ ξ, N 4 ( ξ, η) = 4ξη, N ξ η = 4 ξ η. ( ) ( )η 6, (5.33) Szmplx stén a trmészts koordnáták s használhatók. A hárompontos stbn már mgadtuk a bázsfüggvénykt. A több s mgadható koordnátákkal, fgylmb vév, hogy ξ = L, és η = L3, sőt a trmészts koordnáták szmmtrkus értlmzés matt mndg választhatjuk a lggyszrűbb alakot. Például a hatpontos lm stén a három sarokpont és a három oldalközéphz tartozó függvény hasonló alakú lsz: N ( L, L, L 3 ) = L ( L ), N ( L, L, L3) = 4L L, (5.34) N 3 ( L, L, L 3 ) = L ( L ), N 4 ( L, L, L3) = 4LL3, N 5 ( L, L, L 3 ) = L 3 ( L 3 ), N 6( L, L, L3) = 4L L3. Mgjgyzzük, hogy ha a csomópontokat másképp sorszámozzuk (lőször a sarokpont, majd az oldal közpén fkvőkt), akkor a bázsfüggvényk sorszáma és a koordnáták ndx között s lnn gyzés. B./ C -folytonos függvény négyszöglmhz Az általános módszr tt s alkalmazható. Itt azonban nm tljs polnomokat használunk, hanm a Pascal-háromszögből négyszögkt vágunk k. Ezt mutatja a kövtkző ábra, így kapunk például mndkét változójában lnárs (blnárs), vagy mndkét változójában kvadratkus (bkvadratkus) lmkt. 84

85 5.. ábra: Négyszöglmk bázsfüggvénynk kválasztása 5.. Példa Állítsuk lő paramétrs koordnátákat alkalmazva a blnárs bázsfüggvénykt! Ennél a fladatnál négypontos lmt kll választanunk. A kövtkző ábra sorszámozását használva: T x = [ ξ η ξη ], B% =. (5.35) A bázsfüggvényk közös képlttl s mgadhatók: N ( ξ, η) = ( + ξξ)( + ηη ), ( =,, 3,4) (5.36) 4 ahol ξ, η az -dk pont smrt koordnátá ( ± ), vagys zk mutatják a változók lőjlét ábra: Négycsomópontú lm blnárs bázsfüggvény 85

86 A téglalap (jln stbn négyzt) alakú lmk stén smét van gyszrűbb út a kétváltozós bázsfüggvényk számítására. Korábban már bmutattuk a lnárs és a kvadratkus s gyváltozós bázsfüggvénykt. A blnárs vagy bkvadratkus függvényk lyn gyváltozós függvényk szorzataként flírhatók. Az lvt a blnárs függvény stér az lőző ábra szmléltt. Az -dk bázsfüggvénynél azt a két gyváltozós függvényt kll összszoroznunk, amlyknk a ξ, lltv az η koordnátájú pontban az érték. Ezt az lvt alkalmazva mutatja a kövtkző ábra a nyolcadk csomóponthoz tartozó bkvadratkus bázsfüggvényt. Az így kapott bázsfüggvénykt mgadhatjuk a kövtkző formában s: ξηξη ( + ξξ)( + ηη ) ha =,3, 7,9 4 ξξ ( ) ( + ξξ)( η ) ha = 4,6 N ξ, η = (5.37) ηη ( ξ )( + ηη ) ha =,8 ( ξ )( η ) ha = ábra: Bkvadratkus bázsfüggvény lőállítása Előfordulhat, hogy gy téglalaplmnél a két változóban nm gyforma fokszámú függvényt alkalmaznak. Ennk ndoka lht a két oldalhossz nagy különbség, vagy a vzsgált szrkztbn mglévő ortotropa. Mgjgyzzük, hogy négyszöglm stén gyakran alkalmazzák az ún. srndpty-lmkt t s. Ezknél az oldalak közbnső pontján vszünk fl csomópontot, d az lm blsjébn nm. A srndpty-lmklmk bázsfüggvény a korábban smrtttt módszrrl lőállíthatók, csak a Pascal-háromszögből kmtsztt téglalapban lévő lmk közül nm krülnk az x vktorba azok, amlyk mndkét változójukban lsőnél magasabb fokúak. 86

87 Például gy 8 csomópontos srndpty-lmnél T x = ξ η ξ ξη η ξ η ξη, (5.38) η [ vagys lhagytuk a ξ tagot. Az általános módszrrl kapott rdményk: ( + ξξ)( + ηη )( ξξ+ ηη ) ha =,,3,6,8 4 N ( ξ, η ) = ( + ξξ)( η ) ha = 4,5, (5.39) ( ξ )( + ηη) ha =,7 ahol a csomópontok számozását a kövtkző ábra mutatja, amlyn két bázsfüggvény alakját s szmlélttjük. ] 5.5. ábra: Srndpty lm bázsfüggvény A kapott összfüggéskből látható, hogy a bázsfüggvényk folytonossága tt s bztosított, mrt az oldalak mntén ξ vagy η érték rögzíttt, a másk változóban lgfljbb másodfokú a görb, mlyt az oldalon lőírt három függvényérték gyértlműn mghatároz. A szomszédos lmn a közös ktüntttt pontokban llsztjük a függvénykt, így az a tljs oldal mntén s llszkdn fog. C./ C -folytonos függvény háromszöglmhz A bázsfüggvényk C -folytonosságához nm lgndő az, hogy az lmk közös oldalán a mgfllő ntrpoláló függvényk mtszt mggyznk, hszn z még csak a függvény és az oldal rányának mgfllő drváltak folytonosságát bzonyítja, hanm az oldalra mrőlgs (normáls) rányú lső drváltnak s folytonosnak kll lnn. Ez a fltétl például bztosítható az ábrán látható szabadságfokú háromszöglmn tljs ötödfokú polnom alkalmazásával: 87

88 5.6. ábra: C -folytonos háromszöglm Ennk blátásához válasszuk úgy a koordnáta-rndszrt, rndszrt, hogy az x tngly az gyk oldallal párhuzamos lgyn. A folytonosságon nm változtathat a koordnáta-rndszr rndszr flvétlénk módja, így azt választhatjuk spcálsan s. A kétváltozós ötödfokú polnomnak zn oldal fltt mtszt gy gyváltozós ötödfokú görb.. A vzsgált oldal két végpontján lőírt p, p x, pxx (vagys a függvény, az érntő ránytangnsénk és a görbültnk az érték), z összsn hat érték, az pdg gyértlműn mghatározza a görbét (kövtkző ábra). Ez még csak a függvény folytonosságát gazolja, zért még b kll látnunk, hogy a x csak a függvény folytonosságát gazolja, zért még b kll látnunk, hogy a ( ) függvény s folytonos. Ez a függvény gy ötödfokú függvény lső drváltja, thát ngydfokú. A b ábra szrnt mndhárom csomópontban smrjük zn függvény értékét, valamnt a két végpontban az érntő ránytangnsét s, thát z az öt érték gyértlműn mghatározza a p y x függvényt. Thát ha két gyértlműn mghatározza a ngydfokú ( ) szomszédos lm közös élén lvő 3 csomópontban mnd a 3 lmozduláskomponnst llsztjük, akkor a közös él mndn pontjában folytonos a bázsfüggvény valamnt az x és y szrnt drváltja s. Így gazoltuk, hogy a bázsfüggvényk C () -folytonosak. p y 5.7. ábra: Függvényllsztés 88

89 A mghatározásukra használt képltbn a lmű x vktor x x y x xy y x x y K x y xy y. (5.4) T = A -drndű B % lőállításához szükség van nnk drváltjara s: x x x y T 3 4 = x y 3x xy xy y K, (5.4) T 3 4 = x y x 3x y 4xy 5y K, T 3 6x y y x = x K, T x 3 = x 6xy 4y x y K, T x 3 = 6x y xy y y K, T T T x x x = cosα+ snα, n x y ahol α az x tngly és az oldalra mrőlgs n rány által bzárt szög. Ezkb a vktorokba kll bhlyttsítn a mgfllő csomópontok koordnátát, hogy mgkapjuk B % gy-gy sorát. Flhívjuk a fgylmt arra, hogy paramétrs koordnátákat alkalmazva a drválásokhoz tt s a láncszabályt kll használn. Az lső drváltakhoz lgndő a korábban már tárgyalt Jacob-mátrx lmnk használata, például T T T x x ξ x η = + x ξ x η x. (5.4) A másodk drváltakat csak akkor könnyű mghatározn, ha az gyns oldalak közpén vannak a csomópontok, mrt kkor a globáls és a lokáls koordnáták között lnárs a kapcsolat, és így például a T T x x ξ x ξ η x η = + + x ξ x ξ η x x η x + x ξ x η + (5.43) ξ x η x képltbn az utolsó két tag zérus lsz. Trmésztsn az ránymnt drváltat számító képltbn az α szögt a globáls rndszrbn kll mérn. T Azokat az lmkt, mlyk bázsfüggvény a szükségs folytonosságot tljsítk, konform lmknk nvzzük. Jó numrkus rdménykt érnk l nm konform lmk alkalmazásával s, mlyknél az oldalra mrőlgs rányú drváltak nm fltétlnül folytonosak. Például a kövtkző ábrán látható 5 szabadságfokú lmml, amlynél tljs ngydfokú polnomot használnak. Ennél az lőző ábrához fűzötthöz hasonló gondolatmnttl blátható, hogy a függvény folytonos, hszn a ngydfokú T T T 89

90 mtszthz öt lőírás tartozk, d a harmadfokú p y függvényt a három csomópontban lőírt érték nm határozza mg gyértlműn.) 5.8. ábra: Nm komform háromszöglm Elvlg használható a 9 szabadságfokú nm konform lm s (kövtkző ábra). Itt külön problémát okoz az, hogy a tljs harmadfokú polnomnak tagja lnn, d mg g kll tartanunk a két koordnáta szmmtráját s. Ezt úgy oldják mg, hogy vagy az x vktor gyk lmként két gytag (mononom) összgét szrplttk: T 3 3 x = x y x xy y x x y+ xy y (5.44) vagy az xy tagot khagyják: T 3 3 x = x y x y x x y xy y. (5.45) ( ) 5.9. ábra: Egyszrű nm konform lm Másfajta lhtőség az lőző probléma kküszöbölésér: a szabadságfokot kll ggyl növln,, mrt kkor a tljs harmadfokú polnom használható. Ehhz a háromszög súlypontjában vsznk fl gy ngydk csomópontot, ahol a függvény értékét írják lő. 9

91 D./ C -folytonos függvény téglalaplmhz Hangsúlyozzuk, hogy tt nm általános alakú négyszöglmkkl foglalkozunk, hanm csak téglalap alakúakkal. A 6 szabadságfokú lm négy sarkán vszünk fl csomópontot, és mndgykbn szabadságfoknak tkntjük a függvényértékt, a függvény két lső és a vgys másodk drváltjának értékét, lásd a kövtkző ábrát. Ehhz mndkét változójában tljs harmadfokú függvényt használunk, thát a 6 lmű x vktor: T x = x y x xy y x x y xy y x y x y xy x y x y x y (5.46) 5.. ábra: Téglalap lm Hrmt-polnommal Itt a C -folytonos téglalaplmknél használt módon gyszrűbb az gyváltozós C -folytonos függvényk szorzataként lőállítan a bázsfüggvénykt. Például a kövtkző ábrán vázolt stbn az lső csomóponthoz tartozó lső négy bázsfüggvény: N, η = N ξ η, (5.47) ( ξ ) ( ) 3( ) ( ξ η) ( ξ) 3( η) ( ξ η) ( ξ) 4( η) ( η) ( ξ) ( η) N N, = N, N N, = N, 3 N 4 ξ N4 N, = N. 5.. ábra: Bázsfüggvényk 9

92 Téglalap alakú lmknél s használnak nm konform bázsfüggvénykt. Például a kövtkző ábrán bmutatatott atott szabadságfokú lmnél a másodk drváltak érték nm szrplnk. Ezknél a javasolt lmű x vktor: T x = x y x xy y x x y xy y x y xy. (5.48) 5.. ábra: Nm komform téglalap lm Háromváltozós függvényk Háromváltozós függvényknél csak C -folytonos bázsfüggvénykt használunk. Ttraédr és téglatst alakú lmkt s bmutatunk. A./ Ttraédrlmk Egy térbl Pascal-gúláról lolvasható, hogy lnárs közlítésnél négy tagunk van, thát gy ttraédr (lásd a kövtkző ábrát) négy sarokpontjában lőírt függvényértékkr gyértlműn llszthtő gy háromváltozós lnárs függvény. Mvl bármlyk lapon a három függvényérték gy kétváltozós, az élkn pdg a két függvényérték gy gyváltozós lnárs függvényt határoz mg, a C - folytonosság bztosított. A négy bázsfüggvény az általános módszr szrnt mghatározható. A globáls koordnáták flhasználásával T x = x y z, (5.49) mlykt flhasználva ( [ ] x y z x y z B%, = x3 y3 z T T n = N x,y,z N x, y,z N 3 x,y,z N 4 x, y,z = x B x y z ) ( ) ( ) ( ) = = %. (5.5) Paramétrs koordnáta-rndszrbn smrjük a koordnátákat, így (5.5) 9

93 B% =. (5.5) Ebből a bázsfüggvényk s könnyn számíthatók, sőt mvl a ttraédr stén ξ = L, η = L3 és ζ = L4, a trmészts koordnátákkal s flírhatjuk a négypontos ttraédrlm bázsfüggvényt: ξ, η ζ = ξ η N L, L, L, L =, N (, ) ζ, ( 3 4) L N ( ξ, ηζ, ) = ξ, N ( L L, L3, L4) = L N 3( ξ, ηζ, ) = η, N 3( L L, L3, L4) = L3 N ( ξ, η, ζ) = ζ, N 4( L L, L3, L4) = L4 4,,,,,. (5.5) 5.3. ábra: Ttraédr lmk Trmésztsn a háromdmnzós lmknél s növlhtjük a csomópontok számát. A bmutatott pontos lmnél a tljs másodfokú polnomot használjuk, és így T x = x y z x xy y yz z xz, (5.53) a tljs harmadfokú polnomhoz pdg már csomópont szükségs. A és a csomópontos ttraédrlmknk az él már görbék s lhtnk. B./ Téglatstlmk A C -folytonos bázsfüggvényk lőállítására téglatstlmk stébn s használható az általános képlt. Itt a téglatst szót a gomtra értlmzésénél általánosabban használjuk, az élk nm fltétlnül mrőlgsk, sőt nm T fltétlnül gynsk. Az x vktor lmt tt s a Pascal-gúla lmből választhatjuk. Ha csak a 8 sarokpontot tünttjük k (kövtkző ábra), akkor a mndhárom változójában lnárs (trlnárs) függvényt alkalmazzuk: 93

94 T [ ] x = x y z xy yz xz xyz. (5.54) Ez az lv könnyn ktrjszthtő arra az str s, ha gy olyan rasztrhálóban vsszük fl a csomópontokat, amlyknk x, y, lltv z rányban rndr k, l, lltv m pontja van. Ekkor az x-bn lgfljbb (k-)-, y-ban lgfljbb (l-)-, z-bn lgfljbb (m-)-dfokú tagokat kll az x vktorban szrplttnünk. Ilyn lmkkl görbült élk s lírhatók ábra: Téglatst lmk Ha az lm alakja a szgorú értlmbn vtt téglatst, akkor a globáls koordnáták vagy pdg a paramétrs koordnáták alkalmazásakor 4 mndg gyszrűbb úton s mghatározhatjuk a bázsfüggvénykt: három gyváltozós függvény szorzataként. Például paramétrs koordnáta-rndszrbn a 8 pontos lm bázsfüggvénynk közös képlt: N ( ξ, η, ζ) = ( + ξ ξ)( + ηη )( + ζ ζ), ( =,, K, 8) ) (5.55) 8 ahol ξ, η, ζ az -dk pont jól smrt koordnátá ( ± ), vagys zk mutatják a változók lőjlét. Mgjgyzzük, hogy magasabb fokú polnomok stén tt s lőállíthatók srndpty-lmk, mlyknél csak a csúcsokon és az élkn vszünk fl ktüntttt pontokat. Például a kövtkző ábrán látható húsz csomópontos lm stén: 4 Hszn az lm tartománya kkor gy kocka. 94

95 N ( ξ, η, ζ) ( + ξ ξ + ηη + ζ ζ 8 ( ξ )( + ηη )( + ζ ζ) = 4 ( + ξ ξ)( η )( + ζ ζ) 4 ( + ξ ξ)( + ηη )( ζ ) 4 )( )( )( ξξ+ ηη+ ζ ζ ) ha 8 ha 9. (5.56) ha 3 6 ha ábra: Srndpty téglatst A bázsfüggvényk használata Az ddg lmondottakból kövtkzk, hogy a bázsfüggvénykt - gyrészt a lokáls és a globáls koordnáta-rndszrk rndszrk kapcsolatának lírására, - másrészt az smrtln (lmozdulás-) függvényknk a csomópont lmozdulásjllmzőkből való ntrpolálására használjuk. Ha mndkét célra ugyanazokat a függvénykt alkalmazzuk, akkor zoparamtrkus lmkről bszélünk. Ha az lső stbn alacsonyabb fokú függvénykt használunk, akkor szubparamtrkus,, fordított stbn szuprparamtrkus lmkt kapunk. A koordnáták ák ntrpolálásához mndg C -folytonos bázsfüggvénykt használunk. Az lmozdulásfüggvényk stébn lgndő a C folytonos bázsfüggvényk alkalmazása, ha a gomtra gynltkbn szrplő L dffrncáloprátor-mátrx szrnt az 95

96 lmozdulásfüggvénynk csak az lső drváltját kll lőállítan, d bázsfüggvénykr van szükség, ha a másodk drváltak s lőfordulnak. C -folytonos A paramétrs koordnátákból a globáls koordnátákat az alább módon számítjuk: x y z [ ] [ ] x y z = T x y z N N L N n = n X, (5.57) M M M xn yn zn vagys a korábban már bmutatott p ( ξ, η, ζ) polnom hlyér rndr az x( ξ, η, ζ), az y ( ξ, η, ζ) és a z( ξ, η, ζ) függvénykt hlyttsítjük, így mndhárom koordnáta számítására ugyanazokat a bázsfüggvénykt használhatjuk. Ezt az alakot használtuk gyébként a koordnáta-transzformácó Jacob-mátrxának mghatározására s. p polnom hlyér az aktuáls lmozdulásfüggvénykt hlyttsítjük. Ezkt a csomópont lmozdulásjllmzőkből kívánjuk ntrpoláln. Egy ltolódásfüggvénynk a rá mrőlgs rányban értlmztt koordnáta szrnt drvált fzka jlntés gy, mndkét rányra mrőlgs tngly körül lfordulás. Az lfordulást vktorként értlmzzük, így gy komponnsénél az ndx azt jlnt, hogy mlyk tngly körül lfordulást adja mg, thát a p és a ϕ Az lmozdulásfüggvényk közlítéskor trmésztsn a ( ξ, η, ζ) ndx nm gyzk, vagys például a C -folytonos bázsfüggvényk alkalmazásakor az ndxkt és az lőjlkt alaposan mg kll fontoln. Ennél s nhzbb probléma adódk a magasabb rndű drváltak használatakor (például a szabadságfokú háromszöglmnél p xx, p xy és p yy ). Egy lhajlásfüggvénynél a másodk drváltak nm tknthtők a pont lmozdulásanak, hanm azok az ltolódásfüggvény zn pontbl görbültnk jllmző, thát az lmozdulásfüggvénykt a ktüntttt pontok lmozdulásjllmzőből ntrpoláljuk, amlyk gyakran (bár nm mndg) tknthtők pontok (lltv a hozzájuk rögzíttt koordnáta-rndszrk) lmozdulásanak. Nézzünk néhány példát az lmozdulásfüggvényk ntrpolálására Példa A csomópontok ltolódásanak smrtébn ntrpoláljuk gy húzott-nyomott rúd lmozdulásfüggvényét! Húzott-nyomott rúd stén csak gy lmozdulásfüggvényt (u) kll fgylmb vnnünk, és zt a gomtra gynlt szrnt csak gyszr kll drváln, thát C -folytonos bázsfüggvénykt használunk. Az ltolódásfüggvény ntrpolácója például kétpontos lmnél a globáls koordnáta-rndszrbn: u u ( x) = [ N( x) N( x) ], (5.58) u 96

97 vagy hárompontos lmnél paramétrs koordnátákkal: u u( ξ ) = [ N ( ) ( ) ( )] ξ N ξ N u 3 ξ, (5.59) u3 vagy trmészts koordnátákkal kfjzv: u u ( L ) = [ ( ) ( ) ( )], L N L, L N L u, L N3 L, L. (5.6) u Példa A csomópontok lmozdulásanak smrtébn ntrpoláljuk az xy síkban hajlított Tmoshnko-rúd lmozdulásfüggvényt! vϕ, z kll fgylmb vnnünk, és a gomtra gynltknk mgfllőn mndkttőt csak gyszr kll drváln, thát tt s C (o) -folytonos bázsfüggvénykt használunk. Az lmozdulásfüggvényk ntrpolácója például kétpontos lmnél a globáls koordnáta-rndszrbn: v ( ) ( ) ( ) v x N x N x ϕ z = ( ) ( ) ( ). (5.6) ϕ z x N x N x v ϕ z Mgjgyzzük, hogy tt az lfordulásokat nm az ltolódásfüggvény drváltjaként számítottuk, hanm a p ( x) függvényt lőször a v ( x) majd a ϕ z( x) függvénnyl hlyttsítttük. Tmoshnko-rúd stén két lmozdulásfüggvényt ( ) 5.5. Példa A csomópontok lmozdulásanak smrtébn ntrpoláljuk az xy síkban hajlított klasszkus rúd ltolódásfüggvényét! Hajlított rúd stén a klasszkus lméltt használva csak gy lmozdulásfüggvényt ( v ) kll használnunk, d azt kétszr kll drváln, thát C -folytonos bázsfüggvénykt kll alkalmaznunk. Az lmozdulásfüggvény ntrpolácója: v ( ) [ ( ) ( ) ( ) ( )] ϕ z vξ = N ξ N ξ N3 ξ N4 ξ. (5.6) v ϕ z Itt a v függvény az y rányú ltolódást jlöl, zt tsszük a p polnom hlyér, így a p x drvált a z tngly körül lfordulást jlnt. Flhívjuk a fgylmt arra, hogy ha az xz síkban hajlított rudat vzsgálnánk, akkor az y tngly körül lfordulást kll használnunk, d az nm a w függvény x szrnt drváltja, hanm annak llntttj, thát 97

98 5.6. Példa w ( ) [ ( ) ( ) ( ) ( )] ϕ y wξ = N ξ N ξ N3 ξ N4 ξ. (5.63) w ϕ y Vzsgáljunk mg gy térbl rudat a klasszkus lmélttl! Négy lmozdulásfüggvényünk ( u, v, wϕ, x) van, a két szélsőt csak gyszr, d a két közbnsőt kétszr kll drváln, thát kll C -folytonos és C -folytonos bázsfüggvénykt s használnunk. Az lmozdulásfüggvény ntrpolácója például kétpontos lmnél (a flső ndxszl azt mutatjuk, hogy hányadfokú a bázsfüggvény, d az gyszrűség kdvéért nm jlöljük, hogy mlyn koordnátákat használunk): u v w ϕ x u N N ϕ y v N N N3 N4 ϕ z = w (5.64) N u N N3 N 4 ϕ x N v N w ϕ x ϕ y ϕ z 5.7. Példa Kövtkző példaként tkntsünk gy olyan stt, amkor mndgyk lmozdulásfüggvényt C -folytonos függvénnyl kll közlítn, mégsm azonos bázsfüggvényt alkalmazunk mndgykr! Több szrző javasolta az ún. htross-lmt a nyírás alakváltozást s fgylmb vvő lmzk számításához (lásd részltsn a Rssnr-Mndln-lméltt a Mchanka-MSc tárgyban). Ennél a w ltolódásfüggvényt 8 pontos srndpty-függvénnyl, az lfordulásokat 9 pontos Lagrang-függvénnyl közlítk. 98

99 ábra: Htross-lm. Így az u vktor ntrpolácójához gy 3 6 mértű mátrxot (bbn a bázsfüggvényk flső ndx azt mutatja, hogy hány csomóponthoz tartoznak) használunk: y x w ϕ ϕ = y x y x y x w w N N N N N N N N ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ M K K K. (5.65) A fnt gynltkt közösn az u Nv =. (5.66) formában írhatjuk, ahol u az lmozdulás-függvénykt tartalmazó vktor, N a bázsfüggvénykt tartalmazó ntrpoláló mátrx, v pdg az lm (rr utal az alsó ndx) ktüntttt pontja (konstans) lmozdulásjllmzőnk vktora. Ennk a v vktornak az lm a Rtz-módszrnél bmutatott konstansok 5, mlykkl a bázsfüggvényk lnárs kombnácót képztük, és mlykről korábban mgállapítottuk, hogy a végslm-módszrbn jól mghatározott fzka jlntésük van (zk a csomópontok lmozdulás-jllmző) Példa Oldjunk mg bfjzésül gy olyan példát, mlybn az lmozdulásfüggvény magasabb rndű drváltja s szrplnk! A korábban már bmutatott szabadságfokú háromszöglmt gyakran használjuk a klasszkus lmzlméltbn. A bázsfüggvényk lőállításához a sarokpontokban 6-6, az 5 Ehhz például a 5.5. példában mlíttt páros ndxű bázsfüggvényknél a mgszokott függvényk -szrst kll használnunk.

100 oldalközpkn - lmozdulásjllmzőt vttünk fl. Az ntrpolálandó lmozdulásfüggvény a w ltolódásfüggvény. Így ϕ x = p y, ϕ y = px, κ x = p yy, κ xy = pxy, κ y = pxx. (5.67) A három oldalközépn gy-gy ránymnt drváltat választottunk szabadságfoknak. Mndhárom pontban más rányt, az oldalra mrőlgs, a háromszögből kflé mutató rányt (n) vttünk. Ezk mndg a mgfllő oldalvonalra llszkdő t tngly körül lfordulást jlntk. A t tngly rányát úgy kapjuk, hogy az n tnglyt a z-vl szmből nézv az óramutató járásával gyző rányba fordítjuk l 9 o -kal. Ekkor ϕ t = p n. (5.68) Mvl a bázsfüggvényk mghatározásához a szabadságfokokat p, p, p, p, p, p, p, 3 5 x p, p p, p x3 x5, p, p y y3 y5, p, p xx xx3 xx5, p xy, p xy3 xy5 yy, p, p yy3 yy5 n, p, p n4 n6, (5.69) sorrndbn soroltuk fl, az N bázsfüggvénynk az -dk jllmzőj, a több zérus. Ezért ha a csomópont lmozdulásjllmzők vktorát (hlyhány matt 3 sorba tördlv) w ϕ ϕ κ κ κ ϕ v [ x y x xy y t T = w3 ϕx3 ϕy3 κx3 κxy3 κ y3 ϕt 4 w ϕ ϕ κ κ κ ϕ 5 x5 y5 x5 xy5 y5 t 6 alakban vsszük fl, akkor az típusú N mátrx (szntén tördlv) alakú lsz. [ N N N N N N N N = N N N N N N N N N N N N N N ] ] (5.7). (5.7) Flhasznált szakrodalom:./ Bojtár I. Gáspár Zs. : Végslmmódszr építőmérnököknk, Trc, Budapst, 3../ Rao, S. S. : Th fnt lmnt mthod n ngnrng, Prgamon Prss, 989.

101 6. Előadás: Elm mátrxok (mrvség mátrx, thrvktor) számítása Ebbn az lőadásban gytln gy ttszőlgsn kválasztott végs lmml foglalkozunk. Fltétlzzük, hogy smrjük a kválasztott modllhoz tartozó p, u, ε, ε és σ vktort, valamnt az L és a D mátrxot, lltv a./ tudjuk, hogy mlyn alakú lmml dolgozunk, kjlöltük az lm ktüntttt pontjat, választottunk lokáls koordnáta-rndszrt (ha z paramétrs koordnátarndszr, akkor mghatároztuk a transzformácó J Jacob-mátrxát, és nnk nvrzét), zn koordnátákkal lőállítottuk a szükségs bázsfüggvénykt, és zkt flhasználva flírtuk az u= Nv (6.) alakú ntrpolácós gynltt. Mndzn lőkészítést fgylmb vév a továbbakban b./ lőállítjuk az lm B alakváltozás mátrxát, majd c./ mghatározzuk az lm K mrvség mátrxát, és végül d./ az lmr stlg ható trhkt rdukáljuk az lm ktüntttt pontjara, vagys kszámítjuk a q rdukált thrvktort. Alakváltozás mátrxok számítása Bármlyn szrkzt gomtra gynlt ε= Lu (6.) alakban írható fl. Ebb az gynltb bhlyttsítv az lmozdulásokra 7. alatt mgadott közlítést, a kövtkzőt kapjuk: ε= LNv = Bv. (6.3) Ennél a lépésnél bvzttük a B= LN jlölést, ahol a B mátrxot a tovébbakban az lm alakváltozás mátrxának nvzzük, hszn mgadja az alakváltozás-vktor és a csomópontok lmozdulás-jllmzőnk vktora közt kapcsolatot. Ha a bázsfüggvénykt a(z stlg mrvtstszrűn lmozdított) globáls rndszrbn írtuk fl, akkor a B mátrx számítása vszonylag gyszrű, hszn polnomokat kll valamlyk változójuk szrnt drválnunk. Ha a koordnáta-rndszrt l s forgattuk, akkor z a mgállapítás látszólag nm gaz, pdg zotrop anyag stén az L oprátorban mgadott drválás rányokat jogunk van a lokáls koordnáta-rndszr szrnt flvnn. Ilynkor majd az lm mrvség mátrxát valamnt a rdukált thrvktorát kll a globáls rndszrb forgatnunk. Néhány példával llusztráljuk a B mátrx lőállításának módját.

102 6.. Példa Állítsuk lő a két- és hárompontos húzott-nyomott rúd B mátrxát, valamnt llusztráljuk a fzka jlntésükt! Az L oprátor és az N mátrx korább lvztésnkből adódk. Így kétpontos lmnél: d x x x x B= LN = =, dx l l l l lltv hárompontos lmnél: d ( x x)( x x3) ( x x)( x x3) ( x x)( x x) B= = dx ( x x)( x x3) ( x x)( x x3) ( x3 x)( x3 x) x x x3 x x x3 x x x ( )( ) ( )( ) ( )( ) =. x x x x3 x x x x3 x3 x x3 x A kövtkző ábrán azt szmlélttjük, hogy a kétpontos lmnél trmésztsn zérus alakváltozást kapunk, ha a két csomópontban azonos lmozdulást írunk lő, v T = u u, hszn vagys [ ] u ε= Bv = =. l l u Az gész lmn konstans az alakváltozás, ha az lmozdulások különbözők: u u u ε=bv = = l l u. l 6.. ábra: Alakváltozás-függvényk két különböző rúdlmnél

103 A b ábra szrnt a hárompontos lm stén a mrvtst-szrű lmozdulásnál u x x x3 x x x3 x x x ε= Bv ( )( ) ( )( ) ( )( ) = = x x x x3 x x x x3 x3 x x3 x u, u gy lnárs ltolódásfüggvényből számított csomópont lmozdulásvktor stén pdg: u ε= B u a( x x ) + = a, u+ a( x3 x) vagys konstans az alakváltozás, míg általános stbn lnárs alakváltozásfüggvényt kapunk, hszn a mátrx lm lnárs függvényk, és azok lnárs kombnácóját képzzük. A példa alapján mgállapíthatjuk, hogy a B mátrx általában az x változó (a jllmző koordnáta) függvény, d spcáls stbn az lm konstansok s lhtnk. Paramétrs koordnáták stén a bázsfüggvényk drválásánál a láncszabályt kll alkalmaznunk. Például kétváltozós bázsfüggvény stén: N( ξ,η) N ξ N η = +. (6.4) x ξ x η x 6.. Példa Állítsuk lő gy hárompontos háromszög alakú tárcsalm alakváltozás mátrxát (lásd a 4.. példa vonatkozó ábráját)! A korábbakban már láttuk, hogy N = ξ η, N = ξ, N 3 = η bázsfüggvényk flhasználásával mghatározható a két koordnáta-rndszr közt transzformácó Jacob-mátrxának nvrz: ξ η 4 x x J = =. ξ η 7 5 y y Így a bázsfüggvényk drváltja a láncszabály szrnt: N ( ) ξ η 4 6 = = ( ) + ( ) = x x N, 7 5 = ( ) + ( ) 34 y =, 34 N ξ 4 4 = = + x x = N 7, 7 5 = + = 34 y 34 34, 34 N 3 η 4 = = + x x = N 5, = + 34 y =. 34 A tárcsa L oprátorának flhasználásával: 3

104 B x N N N y N N N 3 y x 3 = = A példa alapján két kövtkzttést vonhatunk l az n darab csomóponttal rndlkző tárcsalmr: gyrészt a bázsfüggvényk drváltjat közösn számíthatjuk a N Nn K x x ξ = J [ N K Nn] (6.5) N Nn K y y η képlttl, másrészt a B mátrx n azonos flépítésű blokkból áll: ahol B B K B, (6.6) B = n N x = N y N y N x. (6.7) A trmészts koordnáták használata stén s a láncszabályt kll alkalmazn. Például négyváltozós bázsfüggvény stén N( L, L, L3, L4) N L N L = + N L3 N L (6.8) x L x L x L x L x A trmészts koordnáták x, y és z szrnt drváltjat a korábbakban már bmutatott összfüggésből állapíthatjuk mg. Mvl z lnárs kapcsolatot mutatott, a krstt drváltak az A mátrx utolsó három oszlopának az lm (az lső oszlop az orgó trmészts koordnátát mutatja): 3 4 4

105 A L L L L x y z L L L L x y z =. L3 L3 L3 L3 x y z L4 L4 L4 L4 x y z (6.9) 6.3. Példa Állítsuk lő az alább ábrán bmutatott ttraédr alakú lm alakváltozás mátrxát! 6.. ábra: Ttraédr lm. Mvl a négycsomópontú ttraédrlm bázsfüggvény N = L alakban s flírhatók, az nvrz mátrxban mndg csak az -dk tag különbözk zérustól, sőt nnk a tagnak s az lső tényzőj. Ebbn az stbn thát az A mátrx utolsó három oszlopa rögtön a bázsfüggvényk drváltjat adja: 6 3 A 3 = = Az u vktor és az L oprátor smrtébn az alakváltozás mátrx: 5

106 x y L L L3 L4 z B = L L L3 L 4 6 = L L L3 L4 y x z x z y = Mgállapíthatjuk, hogy a ttraédrlmnél s a csomópontok számával gyző számú azonos szrkztű blokkból áll a mátrx. A nm trválsan zérus lmkt s fltüntttük a blokkok szrkzténk hangsúlyozásának érdkébn. Ha a bázsfüggvénykt n T T x B = % (6.) módon számítjuk k, akkor a B mátrxot gyakran lőnyösbb két mátrx szorzatának formájában flírn. Ha az u vktor csak gy függvényt tartalmaz, akkor A B= LN = Lx B = B B N T = n, és így T % %. (6.) o B mátrx lőállítása sokkal kvsbb számítást gényl, hszn az x vktor csak gytagú lmkt tartalmaz, és B nm függ az lm mérttől Példa Állítsuk lő a klasszkus lmzmodll stén alkalmazott (nm konform) 5 szabadságfokú háromszög alakú lm B mátrxát! A 5 szabadságfokú lmhz tljs ngydfokú polnomot használunk, így 6

107 y B x y x xy y x x y xy y x x y x y xy y x x y = = o = 6x y 4x x 4y 6y x 6xy 6x x y 8xy 6xy 6y y. Az lv ktrjszthtő arra az str s, ha az u vktornak több lm van. Ezt gy újabb példával llusztráljuk Példa Vzsgáljunk mg gy Tmoshnko-fél hajlított grndát, ahol a két lmozdulásfüggvényt másodfokú, C (o) -folytonos függvénykkl közlítjük. A továbbakban fltsszük, hogy a három bázsfüggvényt T T n = x B% módon határoztuk mg. A két függvény ntrpolálható v v v x x B% v 3 = ϕ x x B% ϕ ϕ ϕ3 alakban s, hszn csak gymás alá írtuk a két mgszokott ntrpolácós képltt. Mgjgyzzük, hogy a ktüntttt pontok lmozdulás-jllmzőt nm lyn sorrndbn szoktuk mgadn, a hagyományos sorrndhz való vsszatéréskor azonban a középső tényző oszlopanak sorrndjét s mg kll változtatn: v ϕ v x x g g g 3 v =, ϕ x x g g g ϕ 3 v3 ϕ3 7

108 ahol g a B% mátrx -dk oszlopát jlz. Ha az lőző gynltt formában jlöljük, akkor Ezzl B Mrvség mátrxok o d dx = d dx x T = % u X B v T % %. o B= LX B = B B x x = x x x x. x A bvztő példában már láttuk, hogy az lm mrvség mátrxát a T K = B DB dω (6.) Ω általános képlttl számíthatjuk 6. A D mátrxot a különböző modllk stér a Mchanka MSc tárgyban 7 részltsn bmutatjuk, a B alakváltozás mátrx lőállításának módjat pdg az lőzőkbn tárgyaltuk. Most pdg összfoglalásként a mrvség mátrx kszámításának különböző spcáls stt smrttjük. A képlt alapján mgállapíthatjuk, hogy az lmk mrvség mátrxa mndg szmmtrkus, hszn a D mátrx szmmtrkus, a szorzat transzponáltja pdg a tényzők transzponáltjanak fordított sorrndbn vtt szorzatával gynlő, azaz: ( B T DB) T és trmésztsn az ntgrálás sm rontja l a szmmtrát. Konstans lmű mátrxok st T = B DB, (6.3) A lnárs fladatokat vzsgáló végslm-módszrbn általában úgy vsszük fl az lmkt, hogy gy lmn blül az anyagállandók nm változnak, vagys a D mátrx állandó. Az lőző pontban láttuk, hogy spcáls közlítésk stén a B mátrx s állandó. Ekkor az ntgrálandó mátrx kmlhtő az ntgráljl lé, a maradék ntgrál érték pdg éppn az lm térfogata (lltv trült vagy hossza). Thát konstans lmű mátrxok stén az lm mrvség mátrxát három-, két-, lltv gyváltozós fladat stébn rndr a 6 Trmésztsn gy-, két- lltv háromváltozós fladat stén az ntgrálás a konkrét fladat típusának mgfllőn módosul: általában az lm hossza, trült, lltv térfogata fltt kll ntgrálnunk. 7 Illtv a Bojtár-Gáspár: Végslmmódszr építőmérnököknk c. könyv D és E jlű függlékbn. 8

109 6.6. Példa K képlttl számíthatjuk. T = B DBV, K T = B DB A, K T = B DBl (6.4) Határozzuk mg az l hosszúságú kétpontos húzott-nyomott rúdlm mrvség mátrxát! rők: A fntkbn lírtak alapján: l EA K = [ EA] l l l = l. l A mrvtst-szrű lmozdulás stén az gynsúlyhoz nm kllnk csomópont EA u q % = K v = l = u, míg a több lmozdulás stén az lm két végén ható rők gymás llntttj: EA u EA( u u) q % = K v = l = u l Példa Határozzuk mg gy hárompontos, háromszög alakú (a 6.. példában s használt) síkbl fszültség állapotban lévő tárcsalm mrvség mátrxát! A Posson-tényző érték,. K = A háromszög trült 7 (a Jacob-mátrx dtrmnánsának fl, d trmésztsn könnyn kszámítható gy nagy és két ksbb trapéz trülténk különbségként s) = 5 6, 6 7 Eh, 4, 5, , 6 7, 9, 6, 6 8 7, 8, 4 8, 4 3, 6, 9, 6 8, 4 35, 6 6, 8 6, 6 3, 6 6, 8 55, 4 5, 8, 6 5, 4 4, 4 5,, 6 3, 8 6 Eh 68, , 4 5,, 6. 38, 6 6, = 9

110 Bojtár-Gáspár: A végslmmódszr m 6.8. Példa Adjuk mg gy (a 6.3. példában kszámítás módját! A Posson A ttraédr térfogata pontosan (a Jacob K = Intgrálás a globáls koordnáták stén Ha a B (stlg a D stkbn a T B DB ntgrálhatók Példa Határozzuk mg az alább ábrán látható mátrxát! égslmmódszr matmatka alapja 6.3. példában s vzsgált) ttraédr alakú lm Posson-tényző érték,3. A ttraédr térfogata pontosan (a Jacob-mátrx dtrmnánsának hatoda), thát: ,,,,,,,, E Intgrálás a globáls koordnáták stén D ) mátrx a globáls koordnáták függvény, akkor gyszrűbb szorzatmátrx lm képlt szrnt lőállíthatók és gynként Határozzuk mg az alább ábrán látható hárompontos húzott-nyomott rúd 6.3. ábra: Hárompontos lm mrvség mátrxának mátrx dtrmnánsának hatoda), thát: 7 3 3,,,,,, 6. ) mátrx a globáls koordnáták függvény, akkor gyszrűbb szorzatmátrx lm képlt szrnt lőállíthatók és gynként nyomott rúd mrvség

111 x 9 K = 6 x [ EA] [ x 9 6 x x 7] dx= x 7 x 8x 8 x + 34x 44 x 6 x+ 63 EA = 6 4x 64x+ 56 x + 3 x dx= 6 szmm. x 4x EA = EA = Példa Ismrtssük az alább ábrán látható négypontos, síkbl alakváltozás állapotban lévő téglalaplm mrvség mátrxának lőállítás módját! 6.4. ábra: Négycsomópontú téglalap lm A B mátrx négy azonos szrkztű blokkból áll: B= B B B B. 3 4 A D mátrx: ν ν Eh D = ν ν ( + )( ). ν ν ν Az lm mrvség mátrxa:

112 T B b a T B = T 3 4 B3 T B 4 K D B B B B dxdy ahol gy általános blokk A K b a T j = B DB dxdy. j K K K K K K K K = K K K K K K K K B blokkok kszámításához szükségs bázsfüggvénykt a 6.. példában bmutatott módon határozzuk mg: x y x y N =, N =, a b a b x y x y N = 3 a b, N = a b Határozzuk mg példaként a K blokkot! 4. b a ν ν y y a x K = Eh ab a x y ( )( ) ν ν x dxdy + ν ν ν ab = x y ν ν b a ( ) ( ) ( ) Eh ν y + ax x νxy+ ay xy = = a b ( + ν)( ν ) dxdy ν ν ν( ay xy) xy ( ν)( ax x ) y ( ν ) b ( ν ) a 4ν ( )( ) ( ) ( ) + Eh = 3a b 8. + ν ν 4ν ν a ν b 8 6b 6a Flhívjuk a fgylmt arra, hogy általános alakú négyszögnél és háromszögnél az ntgrálás határok függvényk s lhtnk, matt részkr kll bontan az lm tartományát. Ilynkor célszrűbb lht a numrkus ntgrálást használn. Intgrálás a paramétrs koordnáták stén Ha a B (stlg a D ) mátrx a paramétrs koordnáták függvény, akkor a K mátrx T közvtln lőállításához nm lgndő, hogy a B DB szorzatmátrxot smrjük, hszn z a lokáls koordnáták függvény, és nkünk a globáls változók szrnt klln ntgrálnunk. A lokáls változókra a Jacob-mátrx dtrmnánsának flhasználásával térhtünk át: dv = dxdydz= J dξdηdζ, (6.5/a),

113 da= dxdy= J dξdη, (6.5/b) dl= dx= J dξ. (6.5/c) A paramétrs koordnáta-rndszr használata stén az ntgrálás határok szabályosak: - vonallmnél: fd ξ, (rtkábban: fd ξ ), (6.6/a) η - háromszöglmnél: fd ξdη, (6.6/b) - négyszöglmnél: fd ξdη ζ η ζ - ttraédrlmnél: - téglatstlmnél:, (rtkábban: fd ξdη ), (6.6/c) fd ξdηdζ, (6.6/d) fd ξdηdζ, (rtkábban: fd ξdηdζ ). (6.6/) Görbvonalú koordnáta-rndszr stén a Jacob-mátrx lm s ξ, η, ζ függvény, így J dtrmnánsa magasabb fokú polnom s lht, az nvrz (mlyt a B lőállításához használtunk) pdg törtfüggvény, így várhatóan nhézks az ntgrálás analtkus lvégzés, hlytt numrkus ntgrálás javasolható. 6.. Példa Határozzuk mg a 6.9. példában szrplő ábrán látható hárompontos húzott-nyomott rúd mrvség mátrxát mnd analtkus, mnd numrkus ntgrálással! N ( ξ) = ξ( ξ ), N ( ξ) =, ( ξ) = ξ( ξ ) 3 x = x N = 8+ ξ, = ξ N 3 +, J dx = = dξ, = 5, D EA J, =, B = ξ, 5 ξ, 5 ξ+, 5, 3

114 ξ ξ ξ EA = B DB J dξ= ξ EA ξ + dξ= ξ Kétpontos numrkus ntgrálással (az ntgrálás pontok koordnátának pontos érték 8 : ξ = 3, mndkét súly: ): T K [ ], m / + = T T K B DB J B DB J ξ= / 3 ξ= / = [ EA ] EA EA = [ ] 6. 4 Hangsúlyozzuk, hogy mndgyk stbn ugyanazt az rdményt kaptuk (a numrkus ntgrálásnál azért hlyttsítttük b a Gauss-pontok gzakt értékét, hogy zt a tényt kmutathassuk), a mrvség mátrx nm függht a koordnáta-rndszrtől. A numrkus ntgrálással azért kaptunk pontos rdményt, mrt a B mátrx lsőfokú, a J konstans, így az ntgrálandó mátrx másodfokú volt, és nnk ntgrálásakor két pont stén a Gauss-Lgndr-módszr pontos rdményt ad. Flmrül a kérdés, hogy hány pontot célszrű flvnn a numrkus ntgráláshoz? A pontok számának növlés (általában) növl a pontosságot, d trmésztsn a számítás dőt s. A pontok számának túlzott csökkntés lv hbával trhlt rdményhz vzt: ún. mchanzmusok 9 jöhtnk létr. A mchanzmusok az lmnk olyan dformácó, mlynél a függvény érték mndn ntgrálás pontban éppn zérus, és így a dformácó hatását nm tudjuk számítan. Irons angol mérnök fogalmazott mg gy mprkus képltt a létrjöhtő mchanzmusok számának mghatározására: M = d N R r n, (6.7) ahol d a csomópontok szabadságfoka, 8 Lásd még az lőbb déztt könyv C jlű függlékét. 9 Irons angol kutató fdzt fl zt az 97-s évkbn, róla Irons-fél mchanzmusoknak s szokták nvzn a jlnségt. 4

115 N a csomópontok száma, R a függtln mrvtst-szrű lmozdulások száma, r a D mátrx rangja, n az ntgrálás pontok száma. Úgy kll n értékét mgválasztan, hogy n alakulhassanak k mchanzmusok, azaz M lgyn. 6.. Példa Vzsgáljuk mg, hogy használhatunk- gy tárcsánál nyolcpontos srndpty-lm alkalmazása stén pontos numrkus ntgrálást? Irons képlt alapján: M = 8 3 3( ) =. Mvl M >, létrjöht mchanzmus, zért nm lgndő a 4 ntgrálás pont. Intgrálás a trmészts koordnáták stén Trmészts koordnátákat csak szmplxk stén használhatunk. A trmészts koordnáták polnomjanak tagjara (ún. gytagokra vagy más névn mononomokra) smrtsk a kövtkző összfüggésk: p q p! q! p q r p! q! r! L Ldx= l, p+ q+! L LL3dx= A, (6.8) p+ q+ r+! l ( ) p q r s p! q! r! s! L LL3L4dx= 6V. +! V ( p+ q+ r+ s 3) A ( ) Emlékzttőül a faktoráls kszámításának szabálya:!= és n!=n(n-)!. Hangsúlyozzuk, hogy a fnt képltk általános alakú szmplxkr s érvénysk Példa Határozzuk mg a kétpontos, xy síkban hajlított rúd mrvség mátrxát a Tmoshnko-fél grndamodll alkalmazásával! A bázsfüggvénykt már korábban kszámítottuk. Mvl tt s két lmozdulásfüggvényt közlítünk C () -folytonos bázsfüggvénykkl, az N mátrx szrkzt hasonló a tárcsákéhoz, csak tt két csomópont van. Ezk flhasználásával N N N = L, N = L, N = N N, x+ l A= x x+ l, A = l x, 5

116 6 d dx B LN d dx = = L L L L = l l L l L l, l l L l K l L l = z y EI GA l l L l L l dx = = l y z y y y z y y z y y y y dx L GA l EI L l GA l GA L L GA l EI L l GA L GA l EI L l GA l GA L l GA l GA szmm. = = szmm. 6 3 l GA l EI GA l GA GA l EI GA l GA l EI GA l GA GA l GA y z y y y z y y z y y y y Példa Határozzuk mg a kétpontos, xy síkban hajlított rúd mrvség mátrxát a klasszkus rúdmodll alkalmazásával! ( ),, 3 3 L L L L N = ( ) ( ) 3 L L l L L N =,, ( ),, L L L L N = ( ) ( ) 3 4 L L l L L N + =,, ( ) ( ) ( ) ( ) 3 4 N N L N L N L N L =.

117 = EI z l x+ l A= x x+ l, A = l x, d L =, D = [ EI z ]. dx A bázsfüggvénykt úgy írtuk fl, hogy azok mndg csak gy trmészts koordnátától függnk. A trmészts koordnáták x-nk lnárs függvény, thát az x szrnt másodk drváltjuk zérus, zért a bázsfüggvényk másodk drváltja gyszrűbbn számíthatók. Például ( L ) N d N d dl = ( 6 ) = L. dx dl dx l Thát 6 L 6L 6 L + 6L B= LN =, l l l l majd a mrvség mátrx: 6 L l 6L l K = 6 L [ EI 6 L 6L 6 L + 6L z] dx= l l l l l l + 6L l 4L + 4L 5L + 6L L L + 4L L + L + 3L 6L L l l l l 6L + 9L 3L L + 6L L + 3L + 3L 9L L 4 4 l l l 4L + 4L + 5L 6L l l 6L + 9L szmm. 4 l l l l l = EI l l l l z l l l l l l l l dx 7

118 Intgrálás B lőállítása nélkül A számítás munka jlntősn csökknht, ha gyszrűbb (kvsbb tagból álló) függvénykt kll ntgrálnunk. Ha a B mátrxot alakban, szorzatként állítjuk lő, ahol mátrxát B B= B B% (6.9/a) o % lm konstansok, akkor az lm mrvség ( ) ( ) ( ) T T T T T T K = B DB dω= B% B DB B% dω= B% B DB dω B% = B% K B% o o o o o Ω Ω Ω formában számíthatjuk, és így a K (6.9/b) T = o B DB dω (6.9/c) o o Ω mátrx mghatározásakor az ntgrálandó függvényk jóval gyszrűbbk. (Ennk trmésztsn az az ára, hogy zk után még két mátrxszal szorozn s kll az rdményt ahhoz, hogy mgkapjuk az lm véglgs mrvség mátrxát.) 6.5. Példa Határozzuk mg a 6.. példában szrplő ábrán mgadott négypontos, síkbl fszültség állapotban lévő tárcsalm K mátrxát! Most két lmozdulásfüggvényt kll közlítnünk blnárs függvénykkl, így T x y xy X = x y xy. x y B = x y xy y = x y xy x. x y y x A ν λ= jlölés alkalmazásával 8

119 9 T o o B DB = ( ) szmm. y x x y xy y x x y y x x y Eh λ λ λ λ ν ν λ λ λ λ λ λ ν ν ν, thát b a T o o o K B DB dxdy = = = ( ) szmm. 4 3 b a a b ab b a a b b a a b Ehab λ λ λ λ ν ν λ λ λ λ λ λ ν ν ν. Emlékzttünk rá, hogy mátrxot még jobbról, lltv balról mg kll szorozn a 6.5. példában bmutatott módon lőállított B % mátrxszal, lltv nnk transzponáltjával az lm mrvség mátrxának kszámításához. A rdukált trhk vktora A 3.5. példánál láttuk, hogy háromdmnzós stbn az lmk kzdt alakváltozásából (gyártás hba, hőmérsékltváltozás hatása) a T V q B D = ε dv, (6.) az lmr ható rőjllgű trhkből pdg a T V q N p dv = (6.)

120 képlttl számíthatjuk a csomópontokra rdukált trhk vktorát 3. Trmésztsn az tt szrplő mátrxok és vktorok s lhtnk akár a globáls, akár a paramétrs, akár a trmészts koordnáták függvény. Ezk ntgrálására a mrvség mátrxok lőállításához smrtttt módszrk alkalmazhatók. Ha az lmr ható thr nm térfogaton mgoszló (tömgrő jllgű), hanm flültn vagy vonal mntén mgoszló, stlg pontokba koncntrált, akkor az ntgrálást s a mgfllő flült vagy vonal mntén kll végrhajtan, lltv koncntrált rő stén nm s kll ntgráln. Thát az rőjllgű trhkből számítható rdukált thrvktor általános képlt: T T q N p dv = + N p dv T T + A A N p ds N p s s +. (6.) A A s V A s p, p, p, p vktoroknak mndg anny lm van, mnt az u vktornak, mégpdg olyan sorrndbn, hogy a mgfllő lmk szorzata (a kjlölt ntgrálás után) a thr által végztt munkát szolgáltassa. E thrvktorok lm anny változós függvényk, ahány változó szrnt ntgráln kll. A trht mndg a támadáspontjának lmozdulásával kll szorozn, thát az N mátrx és a thrvktorok változó (a számukban s) mg kll, hogy gyzznk. Például a koncntrált thrnk nncs változója, thát az N mátrxba s b kll hlyttsítn a koncntrált rő támadáspontjának koordnátát (rr utal a később képltbn az N mátrx ndx) Példa Határozzuk mg a 6.9. fladatban szrplő hárompontos húzott-nyomott rúd rdukált thrvktorát gynlts hőmérsékltváltozás stér! x 9 T q = B Dε dx [ ][ ] = = 6 x EA α ts dx EAα t s 4. l 6 x 7 Mgjgyzzük, hogy a szlárdságtan smrtnkből s kövtkzk, hogy a rúdlm két végén ható kkora húzórőkkl tudjuk ugyanazt az alakváltozást létrhozn, mnt amt a hőmérsékltváltozás okozna Példa Tmoshnko-fél grndamodll stén rdukáljuk az gynltsn mgoszló trhkt a csomópontokra két- és hárompontos lm alkalmazásával! 3 Mgjgyzzük, hogy a támaszlmozdulások fgylmbvétlénk módját a későbbkbn smrttjük.

121 T A thrvktor mndkét stbn p [ p ] használn, mlynél J = l /. =. Paramétrs koordnátákat fogunk Thrvktor a kétpontos lmnél: ξ pl ξ T p l q = N p J dξ= d ξ= +ξ pl +ξ Thrvktor a hárompontos lm stén: ξ( ξ ) pl ξ( ξ ) 4 6 pl ξ p l q = = dξ 6. ξ ξ( ξ+ ) pl 6 ( ) ξ ξ+, Az rdménykt a kövtkző ábra foglalja össz: a kétpontos lmnél trmésztsn a thr fl jutott mndkét csomópontra, d a hárompontos lmnél a thr nagyobb fl a középső csomópontra rdukálódott. Flhívjuk a fgylmt, hogy mnt azt a 6.9. példában s látn fogjuk a klasszkus rúdlmélt alkalmazásakor a rúdtnglyr mrőlgs thrből nm csak rők, hanm nyomatékok s kltkznk a rdukálás során ábra: Thrvktor hárompontos lmnél

122 6.8. Példa A kövtkző ábrán látható tárcsalm síkbl fszültségállapotban van. A kövtkző trhkt kll rdukálnunk a három csomópontra: - t gynlts hőmérsékltváltozás, - önsúly, mlyt a γ fajsúllyal jllmzünk, a gravtácó ránya az y tngllyl llntéts, - az a ábrán mgadott lnársan változó vonalmnt thr, - a b ábrán mgadott koncntrált rő (támadáspont x =, y = ). F F 6.6. ábra: Tárcsalm thrvktorának számítása A globáls koordnáta-rndszrbn a bázsfüggvényk: x y x y N=, N =, N 3 = N és B : N N N3 N = N N N, B= Az gys hatásokból a csomópontokra rdukált trhk vktora a kövtkző: - A hőmérsékltváltozásnál khasználjuk, hogy a B mátrx lm konstansok: hő T T q = B Dε da= B Dε A = A

123 = Eh ν ν ν α t s α ts ν 4 3 Ehα t s = ( ν ) Az önsúlynál az ntgrálást lkrüljük azzal, hogy a bázsfüggvényk alatt köbtartalmat a gúla köbtartalmának képltévl számítjuk: N N N öns. T N A q = N p da da h da h h = N = γ = γ = γ hγ. N 3 A A A N 3 N3 N3 A számításból azt kaptuk, hogy az lm súlyának harmada jut mndhárom csomópontra. Trmésztsn hat csomópont stén z azonban már nm gaz. - A vonal mntén mgoszló thrnél mndnt az s koordnáta szrnt írunk fl: s 3 s x = y=, px = p y =, s o =, so 7 így s s 4 3 s s s 7 8 s o vonal 4 3 s q = ds s s = o s s A koncntrált rő stén az N mátrxba bírjuk a támadáspont koordnátát: 3

124 konc. 4 5 q = 7 = A koncntrált thrnk a csomópontra rdukált hlyttsítő trhét a kövtkző ábra vázlata mutatja b: 6.9. Példa 6.7. ábra: Koncntrált rő rdukálása csomópontokra A kövtkző ábrán látható xy síkban hajlított rudat a klasszkus modlll vzsgáljuk. A kövtkző trhkt kll rdukálnunk a két csomópontra a trmészts koordnátákat használva: - t gynlőtln hőmérsékltváltozás, - önsúly, mlyt a γ folyómétrsúllyal jllmzünk, a gravtácó ránya az y tngllyl llntéts, - az ábrán mgadott lnársan változó mgoszló thr, - az ábrán mgadott koncntrált rő. 4

125 6.8. ábra: Thr rdukálása csomópontokra Az ntgrálásokhoz a korábban bmutatott képltt használjuk, mly szrnt: k l L dx=. k+ l A hőmérsékltváltozás hatásának számításához az ε o vktort használjuk: 6 L l 6L hő T t q = B Dε dx= l α EI [ EI z] dx L h = z α t, 6 l l h l + 6L l thát a rúd végn két nyomaték hlyttsít a hőtrht. Az önsúly rdukálásához a p vktort használjuk: öns. 3 3L L l 3 T l( L L) [ ] 3. q = N p dx= γ dx=γl 3 l l L L 3 l ( L L ) + l + A trmészts koordnáták ntgráljat csak a tljs rúdhosszra adják mg a korább képltk, zért a parcáls trhlés rdukálásához az ltolt globáls koordnátákat használjuk, mlyk bázsfüggvényt például az L = ( l x) / l, és az L = x / l bhlyttsítéssl kapjuk az lőzőkből. A thrfüggvény gynlt p = p x / l, így y o ( ) 5

126 3 x x 3 + l l 3 4 x x x l + 7l l l l l mgoszló x 96 q = p 3 o dx pol l = 9. l / x x 3 l l 4 3 3l x x l + 96 l l A koncntrált rő támadáspontjának trmészts koordnátá: L = 3/ 4, L = / 4. Így a thrvktor: l konc. 64 q = [ F] = F l Flhasznált rodalom:./ Bojtár I. Gáspár Zs. : Végslmmódszr építőmérnököknk, Trc, 3../ Rao, S. S. : Th fnt lmnt mthod n ngnrng, Prgamon. 6

127 7. lőadás: Globáls mátrxok, prmfltétlk, mgoldás tchnkák, másodlagos változók Az lőző lőadáson bmutattuk, hogy hogyan kll lőállítan gy lm mrvség mátrxát, és hogyan kll az lm csomópontjara rdukáln az lmr stlg ható trhkt. Ezn az lőadáson azzal foglalkozunk, hogy - az lmkhz tartozó mátrxok és vktorok hogyan transzformálhatók át a globáls rndszrb, - zk flhasználásával hogyan állítható össz (komplálható) a szrkzt állapotgynlt, mlynél a mgtámasztások hatását s fgylmb vsszük, - mlyn főbb mgoldás módok vannak az állapotgynlt mgoldására, - a csomópont lmozdulások smrtébn hogyan számíthatók a másodlagos mnnységk, vagys gy általános pont lmozdulása és az zn pontbl alakváltozások valamnt fszültségk, - mlyn llnőrzés lhtőségnk vannak. Transzformálás globáls rndszrb Egy végslm mrvség mátrxa ( K ) mgadja az lm ktüntttt pontjanak lmozdulás-jllmző ( v ) és az bbn a hlyztbn tartáshoz szükségs csomópont rők ( q% ) közt kapcsolatot: K v = q%. (7.) Az lőző lőadáson az lmozdulásokat, valamnt a külső és blső rőkt általában az lmhz valamlyn módon gazodó lokáls koordnáta-rndszrbn értlmztük, így a mrvség mátrxot s zn lokáls rndszrbn állítottuk lő 3. Ha az lmnél zkt a vktorokat valóban az gész szrkztr érvénys globáls koordnáta-rndszrbn értlmztük, akkor az lm mrvség mátrxát és az stlg az lmr ható thrből mghatározott q rdukált thrvktort nm kll 3 Ebbn a mondatban a lokáls rndszr nm arra utal, hogy a bázsfüggvénykt mlyn változók (pl. paramétrs vagy trmészts koordnáták) függvényébn írtuk fl, hanm arra, hogy például a rudaknál az x tngly mndg gybstt a rúd tnglyévl (pdg gy rácsos tartó vagy gy krt rúdja nm mnd párhuzamosak), vagy ha gy tárcsalmnél mrvtst-szrűn lmozdított globáls rndszrt használtunk, akkor az u és v ltolódásokat lokáls rndszr tnglynk rányában értlmztük. Mgjgyzzük, hogy paramétrs vagy trmészts koordnáták használatakor az számít, hogy a koordnáta-transzformácók lőállításakor a csomópontok x, y, z koordnátát mlyn rndszrbn értlmztük. 7

128 transzformálnunk. Ha z a fltétl nm tljsül, akkor a komplácó lőtt zkt közös koordnáta-rndszrb kll llsztnünk. Először csak a szükségs átalakítások formáját smrttjük, majd részltsbbn s bmutatjuk a mátrxok szrkztét (struktúráját), végül néhány példával llusztráljuk az ljárást. Tgyük fl, hogy a mrvség mátrxra flírt összfüggést valamlyn lokáls rndszrbn írtuk fl, és zt mndn változónál jlzzük s: K lok. v lok. q lok. = %. (7.) Ugyanlyn alakban szrtnénk a globáls rndszrbn értlmztt összfüggést s mgadn: K gl. v gl. q gl. = %. (7.3) A ktüntttt pontokban ható rőknk a lokáls rndszrbn flírt vktorából lnárs transzformácóval számítható a globáls rndszrbn flírt vktor: gl. lok. q% = T q%, (7.4) Hasonlóan lnárs transzformácó áll fnn a globáls és a lokáls rndszrbn flírt csomópont lmozdulásjllmzők vktora között s: gl. lok. v = Av. (7.5) Szorozzuk mg balról T -vl a lokáls rndszrbn flírt kapcsolat gynlt mndkét oldalát: T K lok. v lok. T q lok. = %, (7.6) így már az gynlt jobb oldala a kívánt alakú. Ahhoz, hogy a lokáls rndszrbn szmmtrkus mrvség mátrx a globálsban s szmmtrkus maradjon, azt K gl. T K lok. T T = (7.7) módon kll transzformáln. Hlyttsítés után: T K lok. T T Av lok. T q lok. = %. (7.8) Ez és a kttővl korább gynlt csak úgy lhtnk gyszrr hlys, ha T T A= E. (7.9) Mgjgyzzük, és majd a példákban bmutatjuk, hogy általában - T és A kvadratkus (kvétl a rácsos tartók húzott-nyomott lm), és kkor T T A =, - a csomópont thrvktorokat ( q% ) és a csomópontok lmozdulás-jllmzőt tartalmazó v vktorokat általában gyző transzformácóval vhtjük a lokáls rndszrből a globálsba (kvétl például a klasszkus lmzlmélt stén használható -szabadságfokú háromszöglm, ahol az ltolódásfüggvény görbült s szrplnk), thát T = A, vagys mndkttő ortogonáls mátrx. 8

129 Az lmhz tartozó rdukált thrvktor lmnk sorrndj mggyzk a q% vktor lmnk sorrndjévl, így az lőbbt trmésztsn szntén az lőbb bmutatott transzformácóval vhtjük a globáls rndszrb: gl. lok. q = T q. (7.) Mnd a v mnd a q% vktorban az lmkt csomópontonként csoportosítva soroltuk fl. Egy-gy csomóponthoz tartozó változókat blokkokba foglaljuk, és nnk mgfllőn blokkokra osztjuk az lm mrvség mátrxát s. A különböző csomópontokhoz tartozó változók gymástól függtlnül transzformálhatók az gyk rndszrből a máskba, zért a T mátrx hprdagonáls szrkztű. Jlölj n az lm ktüntttt pontjanak számát. Ekkor: gl. lok. q T q M O M gl. q = T lok. q, (7.) M O M gl. q lok. T n n q n lltv gl. gl. gl. K L K L K j n M M gl. gl. gl. K L K L K j n = M M gl. gl. gl. K K K L L n nj nn lok. lok. lok. T K K K T L L j n T O M M O = T lok. lok. lok. T K K K L L j n T j O M M O lok. lok. lok. T n K K K T L L T n nj nn n (7.) alakban írható, thát a transzformácók blokkonként lvégzhtők: gl. lok. q T q =,, K,n (7.3/a) Mgjgyzzük, hogy a =, ( ) =. (, j,, K, n) gl. lok. T K T K T j j j =. (7.3/b) T blokkok általában mggyznk gymással, d ha két csomópont lmozdulás-jllmzőnk száma sm gyzk (pl. a htross lm, vagy a és a 5 szabadságfokú C () -folytonos háromszöglmk), akkor trmésztsn a hozzájuk tartozó transzformáló blokkok s különböznk gymástól. 9

130 Ezután nézzünk néhány példát a transzformácókra! 7.. Példa Vzsgáljuk mg gy síkbl (térbl) rácsos tartó gyk rúdját, mlyt kétpontos lmml modllztünk. Adjuk mg, hogy hogyan kll a rúd mrvség mátrxát és a rdukált thrvktorát a globáls rndszrb transzformáln! Szmléltssük a kapott rdményt az a) jlű ábrán mgadott rúdnál! A lokáls rndszrbn csak a rúdtngllyl párhuzamos rőkkl foglalkoztunk, így azok gy-gy skalárral jllmzhtők voltak. Egy általános hlyztű rő vktora a síkban két (a térbn három) koordnátájával adható mg, thát a T blokkok nm kvadratkusak. A csomópontok ltolódása a globáls rndszrbn szntén (a térbn 3) koordnátával adható mg. 7.. ábra: Rácsos tartó gy rúdjához tartozó változók lokáls és globáls rndszrbn A csomópont lmozdulása nm fltétlnül párhuzamos a rúdtngllyl, d a rúd alakváltozásának mghatározásához lgndő a rúdtngllyl párhuzamos komponns smrt, mrt a rúdtnglyr mrőlgs ltolódások a ks lmozdulások lméltébn lfogadott közlítésk szrnt nm okoznak alakváltozást a rúdban. Thát A= T és T = T =, 3

131 ahol a rúd kzdőpontjából a végpont flé mutató gységny hosszúságú vktor. A vktornak síkbl rúdszrkzt stén két (térbl stén három) lm van: cos ( x, ξ) cos ( x, ξ) =, lltv térbn = cos ( y, ) cos ( y, ξ) ξ, cos ( z, ξ) ahol mndg a mgadott két tngly által bzárt szögnk kll a kosznuszát vnn. Az lm mrvség mátrxát a lokáls rndszrbn már mgadtuk. A szükségs transzformácóval T T T gl. EA EA K = T T T l =. l A rdukált thrvktor transzformálása: gl. q q q = q = q. Az ábrán mgadott rúd stén a globáls rndszrbn értlmztt mrvség mátrx: c cs c cs gl. EA cs s cs s K = l c cs c cs cs s cs s ahol c = cosα és s = snα. Mozdítsuk l a rúd végpontját gységny távolsággal az x tngly rányában, azaz lgyn gl. v =. Ha zzl a vktorral mgszorozzuk a kapott mrvség mátrxot, akkor a csomópont rőkr a mrvség mátrx harmadk oszlopát kapjuk, azaz c gl. EA cs q% =. l c cs Valóban zk az rők képsk az lmozdult hlyztbn a rudat gynsúlyban tartan, hszn az gységny lmozdulás hatására a rúd mgnyúlása cos α (b jlű ábra), és zt a c jlű ábrán szmléltttt két rő hozza létr, mlyknk a globáls rndszrbn flírt koordnátát a d jlű ábra adja mg. 3

132 7.. Példa Tétlzzük fl, hogy smrjük a kövtkző ábrán látható hatpontos tárcsalm mrvség mátrxát a ξ, η koordnáta-rndszrbn. Határozzuk mg azt a T mátrxot, mllyl z a mátrx az xy rndszrb transzformálható! 7.3. Példa 7.. ábra: Kvadratkus tárcsalm Az lm mnd a hat pontjában a thrvktorban két rőkomponnst ( F x, F y ), az lmozdulásvktorban két ltolódás-komponnst (u, v) kll transzformálnunk, így a főátlóblokkok mggyznk. A transzformáló mátrxot most síkbl str alkalmazzuk. Így A= T és T = T T T T T T, o o o o o o T o cosα snα = snα cosα. Ismrjük az ábrán látható kétpontos térbl rúdlm mrvség mátrxát a ξ, η, ζ koordnáta-rndszrbn. Határozzuk mg azt a T mátrxot, mllyl z a mátrx az x,y,z rndszrb transzformálható! 7.3. ábra: Térbl rúdlm koordnáta-rndszr 3

133 A trhk stén rő- és nyomatékvktorokat, az lmozdulások stén ltolódás- és lfordulásvktorokat kll transzformálnunk, thát A= T. Az lm mnd a két pontjában hat lmozdulás-komponnst kll transzformálnunk, thát a két transzformácó mggyzk. A hat komponnsből az lső három gy ltolódásvktort, a másk három gy lfordulásvktort határoz mg, zk gymástól függtlnül, d gyformán transzformálódnak. Így cosα snα T = T T, T = T T, T sn cos o o o oo oo oo = α α. Mgjgyzzük, hogy ha ugyanz a rúd gy síkbl szrkztnk a rész, akkor a két csomópont lmozdulásvktorat azonos módon kll transzformálnunk, d az ltolódásvktornak két, az lfordulásvktornak csak gy lm van, zért T T T cosα snα =, T = T, T o o o oo oo = snα cosα Példa Ismrjük a ξ, η, ζ koordnáta-rndszrbn az ábrán látható 6 csomópontú lmzlm mrvség mátrxát, mlyt a klasszkus lmélt szrnt, d a 5 szabadságfokú nmkonform bázsfüggvénykt használva számítottunk k. Határozzuk mg azt a T mátrxot, mllyl a mrvség mátrx az x,y,z rndszrb transzformálható! 7.4. ábra: Lmzlm transzformácó A thrvktorokban rők és nyomatékok, az lmozdulásvktorokban ltolódások és lfordulások szrplnk, mlyk azonos módon transzformálhatóak, thát A= T. A páratlan sorszámú csomópontokhoz tartozó lmozdulásjllmzők ( w, ϕ, ) ξ ϕη gyformán transzformálandók. A w ltolódás-komponns nm változk (hszn ζ és z ugyanarra mutat), az lfordulásvktor pdg a mgszokott síkbl vktor. A páros sorszámú csomópontoknál két lmozdulás-jllmző van. A w ltolódáskomponns szntén változatlan marad. A ϕ t lfordulással azonban más a hlyzt. Trmésztsn mgthtnénk, hogy az lőző példához hasonlóan nm kvadratkus mátrx sgítségévl kszámoljuk az x és az y komponnst. Ott a blső rő transzformácójánál rr azért volt szükség, mrt a csomópontban találkozó rudakról átadódó rők különböző rányúak lhttk, zkt vktorszrűn klltt 33

134 összadn. Itt a páros sorszámú csomópontokban csak két lm találkozhat, és mndkttőnél a közös oldal körül lfordulást kll gyzttn, lltv az oldal körül forgató nyomatékokat kll összadn, így zkbn a pontokban flslgs lnn áttérnünk gy globáls koordnáta-rndszrhz, hszn a lokáls rndszrbn s majdnm mggyzk a nyomaték értlmzés. A majdnm szó arra hívja fl a fgylmt, hogy az oldalra llszkdő t tnglykt úgy dfnáltuk, hogy az oldalra mrőlgs, a háromszögből kfl mutató n tnglykt lforgattuk 9 o -kal az óramutató járásával llntéts rányban. Így a közös oldalhoz tartozó két t tngly gymással llntéts rányú, az llsztéshz az gykt mg kll fordítanunk. Err például hozhatunk gy olyan szabályt, hogy azt a t tnglyt fogadjuk l közös tnglynk, amlyk a ksbb sorszámú sarok flől a nagyobb flé mutat. Ezért a három sarokcsomópontnál ks karkában fltüntttük a csomópont globáls sorszámát s. A. és 4. csomópontnál z az hhz az lmhz rndlt lokáls t tngly marad, a 6. csomópontnál (hszn 35>4) vszont az llntéts rányú t tnglyr kll áttérnünk. Thát T = T T T T T T, o o 4 o 6 cosα snα T = T, T o oo oo = snα cosα, T = T =, T = Példa Ismrjük a ξ, η, ζ koordnáta-rndszrbn az lőző ábrán látható 6 csomópontú lmzlm mrvség mátrxát, a csomópontokra rdukált thrvktorát és a csomópontok lmozdulás-jllmzőt tartalmazó v vktort, mlykt a klasszkus lmélt szrnt, a - szabadságfokú konform bázsfüggvénykt használva számítottunk k. Határozzuk mg azt az A és T mátrxot, mlykkl az mlíttt mátrxot és vktorokat az x,y,z rndszrb transzformálhatjuk! A -szabadságfokú lmnél az 5.8. példa szrnt a w ϕ ϕ κ κ κ ϕ v [ x y x xy y t T = w3 ϕx3 ϕy3 κx3 κxy3 κ y3 ϕt 4 w ϕ ϕ κ κ κ ϕ 5 x5 y5 x5 xy5 y5 t6 csomópont ltolódás-jllmzőkt használjuk. Itt a (lokáls számozás szrnt) páratlan sorszámú csomópontoknál nmcsak ltolódás és lfordulás, hanm görbült s mgjlnk, így a rdukált thrvktorban az rő és a nyomaték mlltt szrpl olyan thr s, amlyk a görbültn végz munkát. Az lmozdulás- ] 34

135 jllmzőknél könnybb mgállapítan a koordnátarndszr változásának hatását, zért az A mátrxot határozzuk mg, majd bből számoljuk a T mátrxot. A páros sorszámú csomópontokban csak a háromszög oldala körül történő lfordulás szrpl. Már az lőző példában mgmutattuk, hogy zknél nm kll a globáls rndszrr áttérn, hanm csak az llsztndő csomópontok gykénél lőjlt kll váltanunk. A páratlan sorszámú csomópontoknál gy ltolódás, két lfordulás és három görbült szrpl. Az utóbb két csoport lmt w w ϕ y( x, y) =, ϕ x( x, y) =, x y w w w κ x( x, y) =, κ ( x y) y, =, κ xy( x, y) = y x x y módon értlmztük. Most a ξ, η, ζ rndszrbn smrjük az lmozdulásjllmzőkt, zkből kívánjuk az x,y,z rndszrbn érvénys jllmzőkt mghatározn. Mndhárom csomópontban azonos transzformácó szükségs, zért kválasztjuk például az -s csomópontot, mly éppn a lokáls rndszr orgójában van. Itt a w ltolódásfüggvény Taylor-sorának lj w ( ξ, η) = w ϕξη+ ϕηξ+ κξη + κξηξη κηξ. Ebb bhlyttsítv a ξ = x cosα+ ysnα, η= x snα+ y cosα transzformácókat (az x = y= bhlyttsítéssl) és a c = cosα, s = snα jlöléskt alkalmazva w w ϕ x c s ϕξ ϕ y s c ϕη =. κ x c cs s κξ κ xy cs c s cs κξη κ y s cs c κη Az A -lal jlölt gyütthatómátrx trmésztsn most s hprdagonáls, hszn az ltolódás, az lfordulás és a görbültk nm kvrhtők a transzformácó során: A = T A. o oo Ebbn T a korábban s alkalmazott ortogonáls mátrx. Az A mátrx nm ortogonáls, d nvrz könnyn mgkapható a fzka jlntés alapján, hszn llnkző rányban s kll α -val forgatn a vktort, hogy a knduló értékt vsszakapjuk, thát 35

136 c cs s A = cs c s cs. s cs c Thát a példában mgfogalmazott transzformácókhoz szükségs mátrxok: A= A A A, ahol o o o T = T T T, A T A o o o =, =, T T T o oo o oo c cs s c cs s A = cs c s cs, T = cs c s cs, s cs c s cs c c s T = oo s c, c = cosα, s = snα. Komplácó és prmfltétlk Az lőző pontban mgállapítottuk, hogy mndn lmhz mghatározható a globáls koordnáta-rndszrbn értlmztt mrvség mátrx ( K ) és rdukált thrvktor ( q ), valamnt foglalkoztunk a ktüntttt pontok lmozdulás-jllmzőt tartalmazó v vktorral s. Ezkt a mátrxokat és vktorokat a csomópontokhoz tartozó blokkokra bontottuk. Ha az lmnk n csomópontja van, akkor K L K q n v K = M M, q = M, v = M. (7.4) K K L n nn q n vn A 3. lőadáson közölt példában látott módszrhz hasonlóan most s az gész szrkztr vonatkozó, Kv= q (7.5) alakú gynltrndszrt szrtnénk összállítan, dgn szóval kompláln. A szrkzt csomópontjat s sorszámozzuk (az így kapott sorszámok a globáls sorszámok), és zkt s blokkokra bontjuk. Ha a szrkztnk összsn c csomópontja van, akkor az gynltrndszr K L K,, c v q M M M = M (7.6) K K v c, c, c c q L c alakban s flírható. 36

137 Az sorszámú lm mrvség mátrxának K αβ blokkja a lokáls sorszám szrnt v β csomópont lmozdulással szorzódk, és a szorzatuk az α-adk csomópont gynsúly gynltébn szrpl. Az α-adk, lltv β-adk lokáls csomópontnak a globáls sorszámát jlöljük α -val, lltv β -val. Így az gynltbn a K αβ blokknak v β -val kll szorzódna és az α -adk csomópont gynltébn kll a szorzatnak szrpln, thát z a blokk a szrkzt mrvség mátrxának K α, blokkjába krül. Trmésztsn a rdukált β thr q α blokkja a szrkzt thrvktorának q α blokkjában szrpl. Mlőtt példákkal llusztrálnánk a komplálást, tkntsük át, hogy mlyn lhtőségk vannak a mgtámasztások hatásának fgylmbvétlér. Az lső lőadásokon közölt mntapéldáknál a támaszokkal mghatározott lmozdulás-komponnskhz tartozó gynsúly gynltkt különválasztottuk a többtől. Ezkből a rakcórők határozhatók mg. A zérusnak lőírt lmozdulás-komponnsknk mgfllő oszlopokat s töröltük az gyütthatómátrxokból. Ha zérustól különböző támaszlmozdulás ltt volna lőírva, akkor zzl mg klltt volna szorozn az gyütthatómátrx mgfllő oszlopát, és azt hozzá klltt volna adn a thrvktorhoz. Nagyobb fladatoknál, és így a végslm-módszrt alkalmazó programrndszrkbn, azonban általában nm zt a módszrt szokták alkalmazn, hanm a támaszokat mgfllő rugókkal hlyttsítk. Az -dk csomópontot mgtámasztó rugók mrvség ( ρ ) az lméb krülnk. Az R mátrx mgfllő főátló R mátrx rndjét az -dk csomópont lmozdulás-jllmzőnk a száma adja mg. Ez a mátrx a szrkzt mrvség mátrxának -dk főátlóblokkjába krül. Ha a támasz gy ltolódás-komponnst gátol, akkor a rugómrvség rő/hosszúság, ha lfordulást akadályoz, akkor rő hosszúság dmnzójú. Ha mrv mgtámasztást modllzünk a rugóval, akkor annak mrvségét az lmk mrvség mátrxában szrplő számoknál több nagyságrnddl nagyobbnak választjuk, így a trhk hatására a rugók alakváltozása lhanyagolhatóan kcsny lsz. Rugós modlll trmésztsn fgylmb lht vnn rugalmas mgtámasztásokat s. Ekkor nm hlyttsítő, vagys végtln nagy rugómrvségkkl számolunk, hanm valód mrvségkkl. A rugalmas mgtámasztások gyakran nm pontszrűk, hanm vonal vagy flült mntén hatnak. A trvző gyakorlatban lggyakrabban Wnklr-fél 3 ágyazással számolnak, vagys a mgtámasztott pontokban az ott létrjövő lmozdulás és a rugómrvség szorzatával számítható rakcórőt vsznk számításba. Az lm lmozdulásat u= Nv (7.7) módon ntrpoláljuk a csomópontok lmozdulásaból. Az lmozdulásvktor gys komponnst akadályozó ágyazás rugómrvségt gy W mátrx főátlójába tsszük. A 3 E. Wnklr ( ) némt mérnök, hajlított szrkztk, főlg többtámaszú grndák vzsgálatával foglalkozott. Vonatkozó munkája: Vorträg übr Esnbahnbau, Prága,

138 W u= W Nv (7.8) szorzat az lmr ható mgoszló rakcót adja, mlyt trmésztsn a mgoszló thrrl gyző módon lht az lm ktüntttt pontjara rdukáln. Thát a csomópontok lmozdulása és az ott kltkző rdukált rők között a kapcsolat: ( q = V v, (7.9) ahol az lm vonal mnt ágyazása stén: T V = N W N dl, (7.) míg flült mnt ágyazás stén: V l T = N W N da. (7.) A A fnt képltkbn a vonal mnt, lltv a flültn ható thr rdukálásához hasonlóan csak az ágyazott vonal, lltv az ágyazott flült mntén kll ntgráln. A V mátrx az lm mrvség mátrxával azonos mértű és jllgű, thát az ágyazott lm mrvség mátrxát az ágyazatlan lm mrvség mátrxának és a V mátrx összgként kapjuk: ágyazott ágy.nélkül K = K + V. (7.) Mgjgyzzük, hogy ha gy D-s lm csak gy oldalvonalán, vagy gy 3D-s lm csak gy élén, lltv lapján ágyazott, akkor csak az oldalra, élr, lltv lapra llszkdő csomópontok lmozdulásanak hatására dolgozk az ágyazat, és csak zkr a csomópontokra rdukálódk a rakcórő, thát lyn stkbn a V mátrx lmnk nagy rész zérus. Ha gy D-s lm csak gy oldalvonalán (vagy gy 3D-s lm csak gy élén, lltv lapján) mrvn mgtámasztott, akkor lgndő csak az zkr llszkdő csomópontoknál és csak a kapott főátló lmkt fgylmb vnn (vagys csomópontonként koncntrált rugókkal hlyttsítn a mgtámasztást), ugyans zzl a mgtámasztott oldalvonal (él, lltv lap) mndn pontja mozdulatlan marad. Flhívjuk a fgylmt arra, hogy a csomópontoknál néha nm csak azokat az lmozduláskomponnskt kll mggátoln, amlykt az éln mggátoltunk, hszn például gy lmz stén gy x tngllyl párhuzamos él függőlgs ltolódásának mgakadályozása a csomópontokban az y tngly körül lfordulás-komponnst s zérussá tsz. Előfordul, hogy (folytonos) rugalmas ágyazás stén s a csomópontokban működő koncntrált rugókkal modllzk a mgtámasztást, azaz a V mátrxot gy dagonáls mátrxszal közlítk. Ezn közlítő mátrx -dk főátlólménk a sorában lévő lmk összgét vszk. V mátrx -dk A szrkzt K mrvség mátrxának komplácójára vonatkozó szabályok összfoglalásaként mgállapíthatjuk, hogy 38

139 - a K főátló blokkba anny lm mrvség mátrxának gy-gy blokkja krül, ahány közvtlnül kapcsolódk az -dk csomóponthoz, és ha z a csomópontot még mg s van támasztjuk, akkor gy R mátrx s hozzájuk adódk, - gy j blokkba anny lm mrvség mátrxának gy-gy blokkja krül, j ahány közvtlnül összköt az -dk és a j-dk csomópontot (vagys ha a két csomópontot nm köt össz gyk lm sm, akkor a K blokk mndn lm zérus). K ( ) j A kövtkzőkbn vzsgáljuk mg, hogy m krül a szrkzt thrvktorának összállításakor az -dk blokkjába. q rdukált - Korábban láttuk, hogy mndn olyan trhlt lmről átadódk gy-gy blokk, amlyk közvtlnül kapcsolódk az -dk csomóponthoz. - Trmésztsn az -dk csomópontra közvtlnül s működht koncntrált thr, mlyt nm lmr hatónak tkntünk (akkor sm, ha csak gy lmhz tartozk csomópont), hanm közvtlnül az -dk blokkhoz adunk. - Végül a rugós modll lhtőségt ad az lőírt támaszlmozdulások fgylmbvétlér s, hszn ha a csomópont nm mozdul l, d a rugó másk végét (a földt ) v lőírt értékkl lmozdítjuk, akkor a rugókban R v rők kltkznk, mlyk a rugókról az -dk csomópontra adódnak át Példa Az a ábrán látható síkbl krtt három kétpontos lmml, a támaszokat pdg rugókkal modllzzük. A b ábrán a körb foglalt számok mutatják a csomópontok globáls sorszámát, továbbá róma számokkal láttuk l az lmkt, és fltüntttük az lmk csomópontjanak lokáls sorszámát s. Fltétlzzük, hogy a korábbak szrnt mghatároztuk mndhárom lm mrvség mátrxát és rdukált thrvktorát a globáls rndszrb transzformálva. Állítsuk lő zk flhasználásával a szrkzt K v= q állapotgynltét! 7.5. ábra: Krt vzsgálata 39

140 7.7. Példa Ismrjük a három rúd I I II II III III I K K II K K III K K K =, K =, K = I I II II III III K K K K K K mrvség mátrxát (mndn blokk harmadrndű) és I II III q q q I II III q =, q =, q = I q II q III q thrvktorát. A b ábra alapján könnyn lőállíthatjuk a másodk csomópont közvtln trhénk qˆ = F y vktorát, a két mgtámasztott csomópont rugómrvségt (mlykt most a mértékgységtől függtlnül mnd -nk választunk) tartalmazó R =, R = 3 4 mátrxot és az lőírt támaszlmozdulást v3 = v 3 y tartalmazó vktort. Ezk alapján a szrkzt állapotgynlt: I II I II II I K + K K K q + q v II II III III II III K K + K K ˆ v q + q + q I I =. I K K + R v 3 3 q + R v 3 3 III III K K R v 4 III + 4 q A kövtkző ábrán látható tárcsát három darab hárompontos lmml, a mgtámasztást rugókkal modllzzük. A b ábrán a körb foglalt számok mutatják a csomópontok globáls sorszámát, továbbá róma számokkal láttuk l az lmkt, és fltüntttük az lmk csomópontjanak lokáls sorszámát s. Fltétlzzük, hogy a korábbak szrnt mghatároztuk mndhárom lm mrvség mátrxát és a trhlt lm rdukált thrvktorát a globáls rndszrb transzformálva. Állítsuk lő zk flhasználásával a szrkzt K v= q állapotgynltét! 4

141 7.6. ábra: Tárcsa vzsgálata Ismrjük a három rúd α α α K K K 3 α α α α K =K K K 3, α = I, II, III α α α K K K mrvség mátrxát (mndn blokk másodrndű) és a trhlt lm I q I I q = q I q 3 rdukált thrvktorát 33. A b ábra alapján könnyn lőállíthatjuk a harmadk csomópont közvtln trhénk ˆq = 3 F vktorát. Mrv vonalmnt mgtámasztás stén flslgs a csomópontokra rdukáln a végtln nagy rugómrvségkt, hszn abból a mgtámasztott él mndn csomópontjának a mgfllő rugóállandója végtln nagy lsz. Most az él mndkét ltolódás lln mg volt támasztva, thát a csomópontokra s mndkét ltolódás lln működő rugót tszünk. Válasszuk a rugóállandókat -nk, így R = R =. 5 Ezk alapján a szrkzt állapotgynlt: I II II I II I I K + K + R K K + K K q v II III III II III K + K K K + K 3 3 v III III K K v qˆ = 3. I II III I I K K K K v 4 q I szmm. v5 I K + R 5 q 33 Mgjgyzzük, hogy mvl a thr az lm gyk oldalára hat, a rdukálásnál csak az oldalra llszkdő csomópontokra jut thr, így q =. I 3 4

142 7.8.Példa Az ábrán gy -szabadságfokú háromszöglmkkl modllztt lmznk gy két 3 lmből álló részlt látható. A lmzt gy ρ [ kn/m ] mrvségű, Wnklr-típusú ágyazat támasztja alá. Fltétlzzük, hogy a korábbak szrnt mghatároztuk mndkét lm mrvség mátrxát az ágyazat fgylmbvétl nélkül. Fladat: - Adjuk mg az ágyazott lmk mrvség mátrxának lőállítás módját! - Állítsuk lő a szrkzt mrvség mátrxának a K, K, K, K blokkjat! 39,39 3,5 5,4, ábra: Lmz vzsgálata A -szabadságfokú lm bázsfüggvényt a korábban smrtttt módon az T N = x B% képlttl állítjuk lő. A klasszkus lmzlméltbn az u vktornak gy lm van, így most W ρ, thát az ágyazás mrvség mátrxa: A ( ) T T T V = N ρ N da= B% ρ xx dab%. Ha V -t nm a globáls rndszrbn értlmznénk, akkor transzformáln klln. Végül összgzéssl kapjuk az ágyazott lm mrvség mátrxát. Ezknk a mrvség mátrxoknak a blokkjat flhasználva kapjuk a szrkzt mrvség mátrxának krstt blokkjat. A 39-dk csomóponthoz két lm kapcsolódk, így az gy skalárt tartalmazó főátlóbl blokk: I II K = K + K. 39, A 3-adk csomópontot mndkét lm összköt az 5-dk csomóponttal, így a krstt hatodrndű blokk: I II K = K + K. 3, Az 5-dk és a 4-dk csomópontot csak gy lm köt össz, így a krstt 6 típusú blokk: ( ) K II = K. 5,4 5 A 4

143 A -dk csomópont nncs közvtln kapcsolatban az 54-dk csomóponttal, így 6 típusú zérusmátrx. K gy ( ),54 A kövtkző példa azt llusztrálja, hogy a szrkzt mrvség mátrxának lht olyan blokkja, amlynk mért nm gyzk az lmk oda krülő blokkjának mértévl Példa Egy hajlított Grbr-tartót kétpontos grndalmkkl közlítünk. Az ábra nnk gy részltét mutatja, az gyk csuklót és a hozzá kapcsolódó két lmt. Mutassuk mg, hogy a két lm mrvség mátrxából hogyan állíthatók lő a szrkzt mrvség mátrxának a 8-adk blokksorában lévő nm zérus blokkok! 7.8. ábra: Grbr-tartó csuklójának vzsgálata Akár a klasszkus, akár a Tmoshnko-fél grndamodllt alkalmazzuk, az lmk mrvség mátrxa ngydrndűk, hszn mndkét végükön gy ltolódás és gy lfordulás szabadságfok szrpl. A 7-dk és 9-dk csomópontnál a szomszédos lmvégk mndkét lmozdulás-komponns mggyzk, így zknk a csomópontoknak s két lmozdulás szabadságfoka van. A 8-adk csomópontban azonban csak az ltolódás-komponnsk llszkdnk, mlltt még két függtln ϕ,, így nnk a csomópontnak az lmozdulás lfordulás-komponns s van ( ) 8b ϕ8 j szabadságfoka három. (Itt a ϕ ndxébn a btűk a bal, lltv a jobb szóra utalnak.) Az I. rúd mrvség mátrxából csak a két alsó, a II. rúdéból pdg csak a két flső blokk krül a krstt blokksorba. Ezknk a blokkoknak az lmr a kövtkző jlölést vztjük b:.... A B C D I.... K II E F G H =, K =. a b c d.... f g h.... A szrkzt csomópontjanak lmozdulásvktorából a számunkra érdks részlt: T T T T v = v7 v8 v L 9 L = [ L v7 ϕ7 v8 ϕ8b ϕ8 j v9 ϕ9 L]. A 8-adk csomópont lmozdulásanak mgfllőn az oda rdukált thrvktornak s gy rő- és két nyomatékkomponns van: 43

144 q Q 8 = W 8 8b. W 8 j Így a mrvség mátrx 8-adk blokksorának krstt blokkja: a b c+ A d B C D K K K 8,7 8,8 8,9 = f g h. E F G H Mgoldás tchnkák 34 Az lőző pontban mgállapítottuk, hogy hogyan lht összállítan a szrkzt Kv= q (7.3) állapotgynltét. Ennk a lnárs gynltrndszrnk a mgoldása a végslmmódszr gyk lgdőgénysbb lépés, zért fontos, hogy mgoldásakor khasználjuk az gyütthatómátrx szrkztébn mglévő, stlg fokozható lőnyökt. a) Az gyütthatómátrx szmmtrkus, így azokat a mgoldás módszrkt kll lőnybn részsítnünk, amlyk khasználják a szmmtrát, és csak gy alsó vagy flső háromszögmátrx lmt tárolják, csak azokkal végznk művltkt. Ha az gyütthatómátrx poztív dfnt (z a lnárs lméltbn a nm mchanzmusként működő szrkztknél tljsül), akkor flbontható két háromszögmátrx szorzatára: T K = CC, (7.4) z az ún. Cholsky 34 -flbontás, ahol C alsó háromszögmátrx. Így az gynltrndszr mgoldását két spcáls gynltrndszr gymás után történő mgoldásával kapjuk mg: C y = q, T C v= y. (7.5) Ezknk az gynltrndszrknk az a spcaltása, hogy az gyütthatómátrx háromszög alakja matt az smrtln vktor lm gy-gy skalár gynltből számíthatók. Az lső gynltből y lmt az ndxk növkvő sorrndjébn, majd zkt az rdménykt flhasználva a másodk gynltből v lmt az ndxk csökknő sorrndjébn haladva határozhatjuk mg. b) A K mrvség mátrx összállításánál láttuk, hogy a K blokkja j zérusblokk, ha az -dk és a j-dk csomópontot nm köt össz közvtlnül gy lm. A globáls sorszámozás célszrű mgválasztásával lérhtő (az Andr-Lous Cholsky (875-98) kváló franca matmatkus, gynltrndszrk vzsgálatával és godéza problémák matmatka lmzésévl foglalkozott. Az lső vlágháború utolsó ütköztnk gykébn stt l. 44

145 optmáls, vagy közl optmáls sorszámozás mgkrsésér spcáls algortmusok vannak), hogy gy lm globáls csomópontszáma különbségénk maxmuma a lhtő lgksbb lgyn, és így a mrvség mátrx az smrtlnk számához vszonyítva kskny szalagmátrx lgyn. Ekkor nm kll a tljs gyütthatómátrxot lőállítan, tároln, hanm lég az ábrán vázolt rész kzlés. A flbontáskor a C mátrx-nak a K mátrxszal gyzk mg a szalagszélsség ábra: A mrvség mátrx szalagszrkzt c) Az ún. körvonal-módszrnél (más névn skyln-módszrnél) a fél szalagnál s ksbb a tárolás gény, mrt khasználható, hogy gy oszlopban a lgflső nmzérus lm fölé az ljárás során sm krülht nmzérus lm. A tárolandó részt az ábra szmléltt. Trmésztsn lynkor az gyütthatómátrx szrkzténk lírásához még néhány külön adatot s tárolnunk kll. 7..ábra: Skyln tchnka tárolás rndj d) Mnél nagyobb a szrkzt, mnél nagyobb a csomópontok száma, annál ksbb a mrvség mátrxon blül a nmzérus blokkok aránya az összs blokkhoz vszonyítva. (Például gy tárcsát négypontos téglalaplmkkl modllzv gy blokksorban lgfljbb 9 nmzérus blokk lht, akármlyn nagy csomópontszám stén s.) Így a mrvség mátrx általában nagyon 45

146 rtka mátrx. Sajnos az gyütthatómátrx faktorzácója során jlntősn mgnő a nmzérus lmk száma, így a rtkaság tulajdonság jlntősn romolhat, lltv tljsn mg s szűnht. Az gynltrndszrk mgoldásakor a rtkaság tulajdonság szrtágazó flhasználás lhtőségr mutat rá SPARSPAK vagy a MATLAB programrndszr. ) A végslm-módszrnél ltrjdt az Irons által bvzttt, ún. frontáls módszr alkalmazása s az gynltrndszr mgoldására. Itt nm a csomópontok, hanm az lmk sorszámozása határozza mg a számítás dőgényét. Ennél a módszrnél nm állítjuk lő lőr a tljs szrkzt mrvség mátrxát, hanm komplálás közbn a már végrhajtható művltkt lvégzzük. Az gyütthatómátrxban mndg csak a nmzérus blokksorokat és blokkoszlopokat tároljuk. Ha gy lm mrvség mátrxának blokkjat lhlyztük az aktuáls gyütthatómátrxban, és az lmnk van olyan csomópontja, amlyhz nm kapcsolódk nagyobb sorszámú lm, akkor nnk a csomópontnak az lmozdulása kfjzhtő a több éppn aktuáls csomópont lmozdulásának függvényébn. E képltt mgjgyzv a maradék csomópont-lmozdulás és a thr összfüggését kfjző gynltkkl kll csak folytatnunk az ljárást, thát az aktuáls gynltrndszr mért lépésnként változhat. Mvl az gyütthatómátrx lőállítása és az gynltrndszr mgoldása nm válk szét, a program bonyolultabb, d a program futás dj rndszrnt kcst csökkn. Mgjgyzzük, hogy a párhuzamos procsszoros számítógépk használata stén a multfrontáls ljárásokat s lht használn. Az ddg vázolt mgoldás módszrk ún. drkt mgoldás módszrk voltak. Nagyon nagy gynltrndszrk stén a krkítés hbák halmozódása matt a rzduáls hba mgnőht: a mrvség mátrx és a kapott mgoldás szorzata jlntősn ltérht az rdt q vktortól, lynkor flmrülht az utólagos, ún. tratív javítás használata. Mgjgyzzük, hogy a drkt módszrk hlytt mnd szélsbb körbn lv trácós módszrkt alkalmaznak. f) Az trácós ljárások stén azonban problémát jlntht a mgfllő konvrgnca-sbsség bztosítása, mly a spktrálsugártól (a mátrx sajátérték abszolút értéknk maxmumától) vagy a spktrálkondícószámtól (a lgnagyobb és a lgksbb sajátérték arányától) függ. Ezkt prkondconálással lht javítan. A mchanka fladatok mgoldásakor nagy hatékonysága matt gyakran alkalmazzák a prkondconált konjugált gradns módszrt, amlybn a prkondconáló mátrx célszrű lőállításához a műszak fladat spcaltásat s khasználják, és a hatékonyság növlés érdkébn rndzés algortmusokat s alkalmaznak a nm tljs flbontás (nkompltt faktorzácó) lőtt. 46

147 A gradnsmódszrnk 35 az a lényg, hogy a Kv= q lnárs gynltrndszr mgoldását gy T T F( v) = v Kv v q (7.6) alakú kvadratkus függvény mnmumaként krs, mégpdg úgy, hogy több gyváltozós függvényt mnmalzál. A k-adk lépésbn a F v +λ h λ szám a λ változóban az ( ) gyváltozós függvényt (ahol h k az F függvény ngatív gradns, vagys hk = Kvk + q ) mnmalzálja, és a vk+ = vk +λ k hk képlttl számítjuk a mgoldás (k+)-dk közlítését. A konjugált gradns módszrnél a h k vktorok nm a ngatív gradnsk, hanm úgy vsszük fl azokat, hogy j stén a T k h K h = (7.7) fltétl tljsüljön, vagys a K mátrxra nézv konjugáltak lgynk. A prkondconáláshoz gy poztív dfnt A mátrx és így lynkor az T y= C v transzformácó alapján az j T A= CC faktorzácóját használják, T T T y C KC y y C q (7.8) függvényt kll mnmalzáln. Err a v flvétl után a kövtkző lépéssorozatot ajánlják: ) g = Kv q, h = A g, d = h, k=, (7.9) ) T g hk λ k =, d K d k T k 3) vk+ = vk+λ d k, 4) g = g +λ K d, + k k k k k k k k 5) ha g < ε q, akkor v + k + lfogadható az gynlt mgoldásaként, k 6) 7) h k+ A g k+ =, T g h k+ k+ β k =, T g h k k d = h +β d, 8) k+ k+ k k 9) k értékét -gyl növlv a ) ponttól smétlndő. Mgjgyzzük, hogy 35 Tovább részltk például: 47

148 - az A mátrxszal való szorzást gy A gyütthatójú gynlt mgoldásával hajtjuk végr, am az smrt A T = CC flbontás matt nagyon gyorsan lvégzhtő, - lvlg lgfljbb n lépéssl mgkapjuk az rdt gynltrndszr pontos mgoldását, azonban az lkrülhttln numrkus hbák halmozódása matt a kszámított h rányok nm lsznk a K mátrxra nézv konjugáltak, így valóban trácós ljárást kaptunk. Másodlagos változók A K v= q gynltrndszr mgoldásával mgkapjuk a csomópont lmozdulásjllmzőkt. A tovább számításoknál már nm kll a tljs szrkztt gészbn kzlnünk, hanm az gys lmkt külön-külön vzsgálva számíthatók bármly pont lmozdulása, alakváltozása és fszültség. Ehhz lőször mg kll állapítanunk, hogy a kérdéss pont mlyk lmhz tartozk, majd a v vktorból k kll választanunk nnk az lmnk a ktüntttt (csomó-) pontjara kszámított lmozdulás-jllmzőkt. Ha az lm valamlyk ktüntttt pontjánál koordnáta-transzformácót klltt alkalmaznunk a szrkzt mrvség mátrxának lőállításakor, akkor a v vktor mgfllő lmr az nvrz transzformácót kll végrhajtanunk, vagys lőállítjuk a v vktort. A csomópontok lmozdulásaból az génybvétl függvénykt ntrpolálhatjuk. Ha az N mátrxba bhlyttsítjük gy, mondjuk P-vl jlölt pont koordnátát, akkor mgkapjuk pont lmozdulásat: u P = N v. (7.3) P Az alakváltozás-függvénykt s ntrpolálhatjuk gy lmn blül. Így a P pont alakváltozásának számításához a B mátrxba kll a pont koordnátát bhlyttsítn: ε ( ) P P = LN v = B v. (7.3) Ebből a P pont fszültség (sok stbn génybvétl) a σ = D ε ε (7.3) képlttl számíthatók. ( ) P P op Mgjgyzzük, hogy az lmk közös pontjaban, élbn, stlg lapjan az lmozdulások a bázsfüggvényk folytonossága matt a különböző lmkn számolva mggyzők lsznk, d az alakváltozások és az génybvétlk általában nm gyznk, zknk a függvényknk az lmhatároknál szakadása van. A végslmmódszrt alkalmazó programok az génybvétlkt grafkusan s szmlélttk, D-s P 48

149 fladatoknál vagy 3D-s fladatok mtsztbn szntvonalakkal, színárnyalatokkal mutatják. Ezk ábrázolásához sokkal lőnyösbbk a folytonos függvényk, és ha a szrkztn nncsnk koncntrált trhk, akkor a valóságos függvényk s folytonosak, zért gyakran ksmítják az ábrákat: a ktüntttt pontokban a kapcsolódó lmknél számított alakváltozások, fszültségk valamlyn átlagát számítják, majd zkből az átlagokból ntrpolálják az N mátrx flhasználásával az alakváltozás vagy génybvétl függvénykt. Ellnőrző módszrk Egy-gy új lmtípus, új program kdolgozásakor, mgvétlkor a kövtkző llnőrző lépéskt célszrű végrhajtan: A./ Folytonosság llnőrzés A bázsfüggvénykt lmnként dfnáltuk. Lírásukra polnomokat használtunk, így gy lmn blül smák a függvényk, azaz folytonosak és bármly drváltjuk s létzk és folytonos. Ellnőrznünk kll azonban, hogy ha a szomszédos lmk közös ktüntttt pontjaban az lmozdulás-jllmzőkt azonosnak választjuk, akkor az lmozdulásfüggvényk a két lm határán s az lőírt rndbn (C (o) lltv C () ) folytonosak-. Ehhz azt kll kmutatnunk, hogy a két lm közös határán a függvényk (és C () -folytonosság mgkövtlés stén az lső drváltja) nm függnk az lm több ktüntttt pontján flvtt lmozdulás-jllmzőktől. Mgjgyzzük, hogy nm-konform lmknél nm mndn folytonosság kövtlmény tljsül. B./ Mrvtst-szrű lmozdulások Ha gy lm mrvtst-szrűn mozdul l, akkor abban nm kltkzht alakváltozás. A B mátrx hlysségét részbn llnőrzhtjük azzal, hogy a lnársan függtln mrvtst-szrű lmozdulásokhoz tartozó v vktorokat lőállítjuk, és zkr kmutatjuk, hogy Bv =. (7.33) Trmésztsn az lmozdulás-rndszrk mghatározásánál a ks lmozdulások lméltébn használt lnárs közlítéskt kll alkalmaznunk, hszn ddg s mndnütt lnárs gynltkkl dolgoztunk. Az lm mrvség mátrxára s tljsüln kll annak a fltétlnk, hogy a mrvtst-szrű lmozdulásokhoz tartozó v vktorokkal való szorzata zérus: K v =, (7.34) mrt zzl a szorzással azokat a csomópont rőkt kapjuk, amlykkl az adott állapotban az lmt gynsúlyban lht tartan, hhz pdg nncs rőr szükség. 49

150 7.. Példa Állítsunk lő gy tárcsa négypontos téglalaplméhz lnársan függtln csomópont lmozdulás-vktorokat, amlyk az lmk mrvtst-szrű lmozdulásat rdményzk! 7.. ábra: Mrvtst-szrű lmozdulások A síkban három függtln lmozdulás lht. Lggyszrűbb az ábrán mgadott két ltolódás és a z tngly körül lfordulás. Ezknél a csomópont ltolódások vktora: u v u v v =, v aϕ u =, v =. bϕ v aϕ u bϕ v C./ Tszta alakváltozások Mndg könnyn flvhtő az lmkr olyan lmozdulásfüggvény(-rndszr), amly hatására mndn pontban csak gy nmzérus, konstans alakváltozáskomponns jön létr, thát az lm tszta alakváltozás állapotban van. Ha a v vktorba bírjuk az lm ktüntttt pontjaban számítható lmozdulásjllmzőkt, akkor hlys B mátrx stén a Bv szorzattal konstans vktort kll kapnunk, mlynk gytln nmzérus lm éppn a kívánt alakváltozás. 5

151 7.. Példa Az ábra gy klasszkus lmzlmélt szrnt vzsgált lmz gy lmét mutatja. A lmzbn tszta alakváltozás jön létr, ha például az ltolódásfüggvény w= x alakú. Határozzuk mg az hhz tartozó alakváltozás-vktort, valamnt 5- és -szabadságfokú lm stén a v vktort! 7..ábra: Lmzlm alakváltozása A krstt alakváltozás-vktor: κx( x, y) y ε= κ y( x, y) = ( ) w x, y =. κxy( x, y) x x y Az lfordulás- és görbült jllmzők ϕ w =, ϕ = = x, x = y y w x κ w =, κ w =, κ w =, ϕ x = yy xy = xy y = xx = w cosα+ w snα = acosα. t4 x4 y4 Így a 5-szabadságfokú lm stén, T v = a 4a a a a cosα 5

152 míg a -szabadságfokú lmnél T v = 4 a a a D./ Folt-tszttszt Az ddg smrtttt llnőrző lépéskkl csak a bázsfüggvénykt vagy gy lm B és K mátrxát tudtuk llnőrzn. A fnt lvkt alkalmazhatjuk acosα. trmésztsn tljs szrkztkr s, és így a koordnáta-transzformácókat, a szrkzt mrvség mátrxának komplálását valamnt az génybvétl-számítást s llnőrzhtjük. Ezt az llnőrzés módszrt nvzzük folt-tsztnk. A folt-tszt tszt alaplvénk mgértéséhz tkntsünk például gy akár szabálytalan alakú szrkztt. Ezt osszuk fl végs lmkr (lásd az ábra vázlatát), és a prmén támaszlmozdulásként működtssük az akár mrvtst-szrű lmozdulásból, akár a tszta alakváltozást létrhozó lmozdulásból számítható csomópont jllmzőkt. Számítsuk k a blső pontok lmozdulásat és génybvétlt. Ezknk mg kll gyznük az lmozdulás függvényből számított pontos értékkkl. ] 7..ábra: Folt-tszt Mgthtjük azt s, hogy konstans fszültségmzőt képzlünk l, és a (szabad) prmkn zkt thrként működttjük. A mrvtst-szrű lmozdulást statkalag határozott módon való mgtámasztással akadályozzuk mg, így azokban (mvl önmagában gynsúlyban lévő trht alkalmaztunk) zérus nagyságú támaszrők kltkznk, thát a program futtatásával s mg kll kapnunk a flvtt konstans fszültségmzőt. Hangsúlyozzuk, hogy a vzsgált tartomány, d lgalább az lmflosztás szabálytalan lgyn, mrt lőfordulhat, hogy szabályos flosztás stén gyznk az állapotjllmzők a flvtt értékkkl, míg szabálytalan flosztás stén nm. Némly lmtípusnál csak az lmmértk jlntős csökkntésévl, vagys 5

153 határátmnttl az nfntzmáls osztáskor kapjuk mg a kívánt értékkt, d a konvrgncának valóban z a szükségs és légségs fltétl. 7.. Példa Az ábrán gy négyzt alakú lmzt osztottunk öt szabálytalan alakú lmr. A Rssnr- Mndln-lméltt alkalmazva négypontos közlítést használunk. Írjunk lő olyan prmlmozdulásokat, amlyk hatására tszta lcsavarodás jön létr a lmzbn! 7.3.ábra: Lmz csavarása A Rssnr-Mndln-lméltbn a három lmozdulásfüggvényt gymástól függtlnül, C (o) -folytonos bázsfüggvénykt használva közlítjük. A lmz tszta lcsavarodást végz, ha w ( x, y) = Cxy és nyírás alakváltozást sm tétlzünk fl, thát a sarokpont lfordulásokat úgy vsszük fl, hogy az ottan normáls a dformált középflült érntősíkjára mrőlgs lgyn, vagys w w ϕ x = = Cx, ϕ y = = Cy. y x Így a sarokpontokban lőírandó lmozdulások: Ca Ca Ca Ca v= Ca, v = Ca, v3 = Ca, v4 = Ca. Ca Ca Ca Ca Flhasznált rodalom:./ Bojtár I. Gáspár Zs. : Végslmmódszr építőmérnököknk, Trc, 3../ Rao, S. S. : Th fnt lmnt mthod n ngnrng, Prgamon Prss,

154 8. Előadás: A hbaanalízs alaplv, a p, a h, és a hp típusú módosítások A végslms módszr mnt mndn közlítő ljárás gy mchanka fladat vzsgálata során általában nm ad pontos rdményt. Éppn zért főlg bonyolultabb és/vagy fontosabb fladatok lmzés során célszrű lmzn, bcsüln a kapott rdménykbn rjlő hba nagyságát és csökkntésénk lhtőségt. Ezzl a témakörrl foglalkozk nnk az lőadásnak a nagyobbk rész az utolsó rész kvétlévl, ahol azt mutatjuk b, hogy hogyan lht növln a másodlagos smrtlnnk tknttt fszültségfüggvény számításának pontosságát. A közlítés hba fogalmának llusztrálása Az gyszrűség kdvéért vzsgáljunk lsőként gy gydmnzós u( x ) függvényt. Ha z a függvény az [ a, a h] + zárt ntrvallumban folytonos és ugyanott (n-)-dk rndg a drváltja s létznk, akkor a Taylor-tétl sgítségévl flírhatjuk az alább kfjzést: n n n n h u h u h u h u u( a+ h) = u( a) + ( a) + ( a) ( a) + ( a+ θ h) (8.) n n! x! x ( n )! x n! x ahol <θ<. Ez azt jlnt, hogy ha az u( a+ h) függvényértékt az a pontban flírt Taylor-sor lső n tagjával közlítjük, akkor (8.) utolsó (n+)-dk tagja mgadja a hbát. Ezt a hbát úgy csökknthtjük, ha n értékét növljük vagy/és h-t csökkntjük. A továbbakban zt a fladatot kívánjuk általánosítan, hszn a m mchanka/matmatka fladatanknál nm csak gy adott pontban kll a függvény értékét mghatároznunk, hanm a tljs vzsgált (-, - vagy 3D-s) tartományban. Tovább bonyolítja a vzsgálatankat az, hogy a mérnökök számára nm csak az lsődlgs (általában lmozdulás-) függvényk fontosak, hanm a blőlük származtatott másodlagos (például alakváltozás- és fszültség-) függvényk s 36. A számítás hba mérés A hba értékét kzárólag azokban az stkbn lht pontosan mgadn, ha a vzsgált fladat pontos mgoldása smrt 37. Azokat az stkt, ahol a pontos mgoldás smrt, a hbaanalízs három csoportba sorolja: 36 Mgjgyzzük, hogy az lső lőadáshoz hasonlóan a hbát (a hbafüggvénykt) a továbbakban gy skalár számmal mérjük, vagys valamlyn blnárs funkconált kll bvztnünk. 37 Mvl az analtkus mgoldás vszonylag rtkán smrt, pontos mgoldásnak szoktak lfogadn gy nagyon fnom flosztással kapott rdményt s. Lásd az [ ] alatt mű 3. oldal. sorában lírt kommntárt. 54

155 - A csoport: A mgoldás analtkus 38 a vzsgált tartomány gész trültén (a prmkt s blértv), shol nncsnk bnn szngulartások. - B csoport: A mgoldás analtkus a tartomány blső pontjan és prmén, kvév néhány végs számú pontot (lltv térbl fladatnál végs számú pontot és szakaszt). Ezkt a kvétls pontokat (lltv szakaszokat) szngulárs pontoknak (vagy szngulárs élknk) hívják. Ennél a típusnál fltétlzzük, hogy résztartományonként analtkus a mgoldás és a prmfltétlk s lgalább szakaszonként analtkusak. Mgjgyzzük, hogy a szlárd tstk mchankájában a gyakorlat fladatok többség bb a katgórába sorolható. - C csoport: Elképzlhtő olyan fladat s, amly kzárólag szngulárs tartományok összsségéből áll, vagys sm az A, sm a B katgórába nm sorolható. Ilyn változattal jln fjztbn nm foglalkozunk. Mgjgyzzük, hogy például a különfél kétdmnzós fladatoknál lőforduló pontszrű szngulartások stébn az lmozdulásokra flírható pontos mgoldást gyakran krsk az alább 39 formában: λ u pontos = A r F ( θ), (8.) = ahol r, θ a szngulárs ponthoz llszttt polárkoordnáta-rndszr paramétr, λ és A a fladattól függő mndg adottnak fltétlzhtő valós számok 4, F pdg (lgalább résznként) analtkus függvénykt tartalmazó vktorokat jlnt. A mgoldásnál fltétlzk, hogy r<ρ, λ > d / (ρ a konvrgnca-sugár, d pdg a fladat mn dmnzójának száma). Fnt mgoldás tulajdonképpn a szngulárs ponton kívül tartományon adódó mgoldás ktrjsztés a szngulárs pontra. Ez a mgoldás képlt azért hasznos, mrt sok szrző adja mg az általa vzsgált fladat hbabcslését az tt mlíttt paramétrk sgítségévl. A számításban lkövttt hbát mérhtjük az lmozdulás-, vagy az annak drváltjaként számítható alakváltozás- lltv fszültségfüggvényk és azok pontos függvénynk (mlykt gy flső szmbólummal jlölünk) különbségként: = u uˆ, ε=ε ε ˆ, σ=σ σ ˆ. (8.3) Régbbn a vzsgált tartomány néhány pontjában mghatározták zn hbafüggvényknk (valamlyküknk, stlg gyszrr többnk s) a nagyságát, és az abszolút értékr lgnagyobb számmal jllmzték a hbát. Ez a módszr félrvztő s lht: gondoljunk 38 Egy függvényt akkor hívnak analtkusnak, ha a vzsgált tartomány mndn pontjában Taylorsorba fjthtő. 39 Lásd a törésmchanka mgoldás tchnkákat, lltv az nhomogén anyagú szrkztk modllzés módszrt. A rugalmasságtan mgoldásokban fszültségcsúcsok kltkznk a ngatív prmsarkokban s. 4 A valós mérnök mgoldásoknál a végtln sorból csak néhány tagot szoktak fgylmb vnn, így a szükségs paramétrk száma sm lsz túlzottan magas. 55

156 például gy koncntrált rő alatt fszültség vzsgálatára, mlynk végtlnnk klln lnn az gynsúly gynltk alapján, d az lmozdulásfüggvény drváltjaként számolva végs lsz. Ehlytt az gyszrű, d sokszor pontatlan módszr hlytt ma már többnyr ntgrálnormákat használnak a hbák llnőrzésér. Gyakran használt hbanorma például a vzsgált Ω tartomány (térfogat, flült vagy hossz) gészér ktrjszthtő nrganorma: T = ( L) D Ld Ω, (8.4) Ω ahol (az ddg használt jlöléskkl gyzőn): L=ε ε ˆ, DL=σ σ. ˆ (8.5) Ezkt az összfüggéskt bhlyttsítv az nrganorma képltéb különböző változatok adódnak: T T T = D d d D d ε ε ε ε Ω = ε ε σσ Ω = σ σ σ σ Ω Ω Ω Ω Ugyancsak használatosak az alább (ún. L -) normák s: ( ˆ) ( ˆ) ( ˆ) ( -ˆ) ( ˆ) ( ˆ) (8.6) T T ɶ = ( u uˆ) ( u uˆ ) d, σ ( ˆ) ( ˆ) d Ω = σ σ σ σ Ω. (8.7) Ω Ω Mgjgyzzük, hogy a fnt normák bármlyk lőállítható gys résztartományokra számítható normák összgként, így például m darab résztartomány (vagy akár m darab lm) stén: m = =. (8.8) Szokás zkt a normákat a vzsgált tartomány jllmző gomtra adatához (például hossz, trült vagy térfogatértékéhz) vszonyítan és sgítségükkl dfnáln az lmozdulás- vagy fszültség közlítésér az adott tartományban jllmző hbát: / / σ ɶ u=, σ= Ω Ω. (8.9) Az lsőként bmutatott nrganorma mlltt annak rlatív változata s használatos: T η= %, ahol A= D d Ω A ε ε. (8./a) Ω A módosítások során általában célszrű fgylmb vnn az lőbb bmutatott hbanormákat. Sgítségükkl mérhtő az lmmértk csökkntésénk lltv az lmk átrndzésénk hatása. Gyakran használják az lmkhz rndlt ξ k paramétrt (a k ndx gy ttszőlgs lmr utal), amt az lőírt hbahatár ( m ) függvényébn adunk mg. Az / 56

157 ndxbn szrplő m az éppn alkalmazott lmk számára utal. Az lőbb bmutatott hbaváltozatok gykénk sgítségévl számolunk: k ξ k=. (8./b) m Az új, módosítandó lmmért jllmző adatát nnk lltv a bázsfüggvényknél alkalmazott polnomok p fokszámának sgítségévl szokás flvnn ( h k a korább lmmért): / p h új = ξ h. (8./c) Mgjgyzzük, hogy zt a módszrt adaptív sűrítés ljárásnak hívjuk. A számítás hba csökkntésénk lhtőség k A végslms gyakorlat tapasztalata szrnt tljsn általánosan, vagys ttszőlgs dmnzószámban mgvzsgálva a kérdést az alább lhtőségnk vannak a végslms számítás hbájának mérséklésér: a./ csökkntjük az lm h mértét (zt hívják a végslms tchnkában h- módszrnk), b./ a korább lőadásokon már sokszor mlíttt matmatka lépést alkalmazzuk, vagys újabb tag(ok) bvonásával magasabb fokú polnomot használunk a közlítésr (nnk a változatnak p-módszr a nv), c./ a két lőbb módszrt gyszrr alkalmazzuk, az lmmért csökkntés mlltt a polnom fokszámát s növljük (z az úgynvztt hp-módszr). Mgjgyzzük, hogy a már mglévő csomópontok áthlyzésévl s fnomítható gy számítás pontossága, hszn lynkor lhtőségünk van arra, hogy a mchankalag érzéknybb trültkn sűrítsük a hálót. Ezt a módszrt nm tkntjük külön változatnak, csupán az a pont gy sajátos sténk. A kövtkző ábrák kétdmnzós vázlata a három különböző módszrnk mgfllő lv stkt mutatják b kétdmnzós stkr (jln stbn nm vzsgálva mélybbn a csatlakozás problémákat a csomópontoknál, csupán a tartományokon lhtségs módosításokra utalva). A 8.. ábrán gy téglalap és gy háromszög flosztását szmlélttjük. A 8.. ábra bal oldalán gynltsn csökkntttük az lmmértkt, jobb oldalán a tartomány különböző részn ltérő a flosztás sűrítés. k 8.. ábra. Egy lm flosztása ksbbkr 8.. ábra Az lmmértk csökkntésénk típusa 57

158 8.3. ábra. A polnomok fokszámának mgválasztása 8.4. ábra. Változó mértk és fokszámok A 8.3. ábrán az lmkb írt számok jlzk a közlítő függvény fokszámát. Egynlts flosztás stén mutatjuk b, hogy az lmknél kétfél lhtőségünk van: választhatunk különböző fokszámokat, vagy pdg használhatunk (lásd a jobb oldal részt) mndgyknél ugyanolyat. A 8.4. ábra bal oldalán azt szmlélttjük, hogy ha gy lmt újabb lmkr osztunk fl (sűrítjük a hálót), akkor lhtségs olyan módosítás, amkor mndkét rányban gyforma módon tsszük azt, d lht olyan sűrítés s, amkor (lásd a jobb oldal vázlatot) nm gyformán változtatunk a két rányban 4. Az lmk mérténk csökkntés és/vagy a közlítő függvény fokszámának mlés növl a szrkzt lmozdulás szabadságfokát, így nő a szükségs számítás gény. Egy fnomítás ljárás hatékonyságát gy dagram sgítségévl mutatják b: különböző közlítésk stén mghatározzák valamlyk hbanormát, és azt ábrázolják a szabadságfok függvényébn. A végslm-módszrt akkor nvzk konvrgnsnk, ha az nrganormára p> érték mlltt tljsül az alább gynlőtlnség: p ch, (8.) ahol c gy smrtnk fltétlztt konstans, érték függ a vzsgált tartomány alakjától és a prmfltétlktől; h pdg többdmnzós stbn s az lm jllmző mért (például a csomópontok átlagos távolsága); végül p-t a konvrgnca mértékénk nvzk, és (nmszngulárs mgoldás stén) tpkusan az alább módon dfnálják: p= n+ m, (8.) ahol n a vzsgálatban flhasznált lgmagasabb fokú tljs polnom fokszáma, m pdg az L oprátorban lőforduló lgmagasabb drválás rndj. Mgjgyzzük, hogy a lgksbb c stén (8.) gynlőségnk tknthtő. Ha gy d-dmnzós tartomány flosztását gynltsn sűrítjük, akkor az lmk száma, és így a szrkztr jllmző N fokszám s a h paramétr d-dk hatványával fordítva arányos (a képltbn szrplő c szntén smrt konstans): N= ch d. (8.3) 4 Mndkét stnél lmnként ltérő fokszámokat alkalmaztunk. 58

159 Ha az bből kfjztt h-t bhlyttsítjük (9.)-b, akkor p / d N p / d = c = c3n c, (8.4) vagy mndkét oldal logartmusát vév a 8.5a ábra szrnt gyns gynltét kapjuk a log N és a log változókat használva: log = log c p / d log N. (8.5) 3 Trmésztsn ugyanzt az gynst kapjuk (lásd a 8.5b ábrát), ha az N és változókat használjuk, d mndkét tnglyn logartmkus skálát alkalmazunk (az ránytangns bmutatásához tt s a változók logartmusát tüntttük fl). Egy adott flosztásnál számolt hbából az ránytangns smrtébn jól mghatározható, hogy mlyn gynlts sűrítésnél csökknthtjük l a hbát gy lőírt érték alá. Ha nm gynlts az lmsűrítés vagy a fokszámokat s változtatjuk, akkor már nm gynst kapunk ábra. A hbanorma változása a szabadságfok függvényébn A kövtkzőkbn bmutatunk gy olyan példát, amlyknél a fladat pontos (analtkus) mgoldása smrt, így a különböző közlítésknél a hba számítható. 8.. Példa Vzsgáljuk mg a 9.6. ábrán látható rúdtngly rányú mgoszló thrrl trhlt húzott rúd végslms mgoldásának konvrgnca-vszonyat [ 3 ] alapján: 8.6. ábra. Húzott rúd 59

160 EA=, l=, a mgoszló thr pdg p( x) = sn(8 x), így az ltolódásfüggvény pontos érték: sn( 8x) cos(8) u( x) = + x A p-módszr alkalmazásánál gytln lmt fogunk használn, vszont az lm bázsfüggvény p =,,,9-dfokú polnomok lsznk. A h-módszrnél csak lnárs lmt használunk (p = ), d az lmk darabszáma -től 9-g nőht. Az lső stbn (csak az lső nyolcat fltünttv) az lmozdulásfüggvény pontos és közlítő értékénk kapcsolata a kövtkzőképpn változk (a függőlgs tnglyn lflé ngatív ltolódásértékk vannak fltünttv): 8.7. ábra. A (pros) pontos és a (kék) p-dfokú közlítő ltolódásfüggvény A h-közlítés stén a kövtkzőképpn változk a kapcsolat: 8.8. ábra. A (pros) pontos és a (kék) közlítő ltolódásfüggvény az lmszám növléskor 6

161 A 8.9. ábrán kttős logartmkus léptékbn a (8.)-bn bmutatott rlatív nrganorma sgítségévl számított összhasonlítást mutatjuk b: 8.9. ábra. A rlatív nrganorma változása a fnomítások hatására Mgállapítható,, hogy az lmszám növléskor valóban lnárs a kapcsolat, és az ránytangns, mrt d= és (8.) szrnt p=+ =. =. A fokszám növléskor a hba csökknés sokkal gyorsabb. A számítás hba bcslés Ha a fladat pontos mgoldását nm smrjük, akkor a fnt hbák normája sm számítható, zért csak a modll által szolgáltatott rdménykből valamlyn fltétlzéssl számított norma változását (többnyr a változás sbsségét) tudjuk vzsgáln, vagys csak azt llnőrzhtjük, hogy a mgoldás rdmény hogyan változk a bázsfüggvényk vagy a hálósűrítés mgváltoztatásának hatására. A végslms kutatók tapasztalat alapon kétfél bcslést s szoktak használn a hbák korlátjara.. Az lső változatot algbra bcslésnk hívják: k u u, pontos a máskat pdg xponncálsnak: k u pontos uvem. xp( γ N θ ) A képltkbn szrplő k, β, γ és θ poztív konstansok 4, N pdg a vzsgált végslms rndszr szabadságfokának száma. Két- és háromdmnzós VEM bmutatjuk, hogy a különböző fladattípusoknál mlyk bcslést és N mlyn ktvőjét ajánlják a szakrodalomban 43 : 4 A paramétrk közül k és γ értékét gy adott fladat hbalmzésénél kll flvnn az lért pontosságnak mgfllőn. 43 A táblázatokban szrplő λ a (8.) alatt képltbn végtln sor alakjában flírt mgoldásban szrplő paramétrk lgksbbk. 6 N β háromdmnzós str [ ] 3 alapján

162 a./ Kétdmnzós vzsgálatokra alkalmazott adatok b./ Háromdmnzós vzsgálatokra alkalmazott adatok: Most vzsgáljunk mg két B katgórás fladatot, mlyknél szntén smrjük a pontos mgoldást, d a fszültségkbn szngulartás van. 8.. Példa Ha a 8.6. ábrán a trhlésfüggvény f ( x) =λ λ x λ, ( ) alakú, és mndn más fltétl változatlan, akkor a pontos mgoldás λ u( x) = x +λ x 6

163 formában írható fl 44. Ennk az lmozdulás-függvénynk <λ<, stén az lső drváltja (az alakváltozás függvény) szngulárs lsz az x = hlyn ( B típus). Válasszuk most például a λ=, 65 -ös értékt, és hajtsuk végr mndkét vrzóval a számítást úgy, hogy az lső stbn gy lmt választunk és p =,,,5, míg a másk változatnál p = és az lmk száma növkszk gytől ötvng. Ismét a rlatív nrganormát használjuk és kttős logartmkus léptékbn ábrázoljuk az összhasonlítást: 8.. ábra: A rlatív nrganorma változása a fnomítások hatására 8.3. Példa Vzsgáljunk mg gy másk fladatot, ahol szntén gy B csoportba tartozó példát modllzzünk, ugyancsak 3 alapján. Sík alakváltozás állapotban lévő, négyzt alakú modllzzünk, ugyancsak [ ] tárcsát húzunk, mlynk közpén gy ugyancsak négyzt alakú lyuk van. A blső lyuk prm thrmnts. A szmmtrát khasználva csak gy L btű alakú tárcsarészt vzsgálunk. A vastagság gységny, a Posson-tényző,3. A fladat mgoldását a Koloszov-Muszhlsvl-Wstrgaard-fél komplx fszültségfüggvénys tchnkával lht mgadn. A blső sarokpont képét látjuk nagyítva a 8.. ábrán. 8.. ábra. A sarokpont környzténk knagyítása két fokozatban 44 A példában szrplő λ a mgoldás smaságát szabályozó paramétr. 63

164 A sarokponthoz llszttt polárkoordnáta-rndszrbn értlmzv az alább függvénykkl adható mg az lméltlg pontos mgoldás: A λ u x( r, θ ) = r ( Q ( ) ) cos cos( ), G κ λ + λ θ λ λ θ A λ u y( r, θ ) = r ( κ+ Q ( λ + ) ) snλθ+λ sn( λ ) θ, G ahol G a nyírás rugalmasság modulus, λ =, , Q =, és κ=,8. Az A paramétrt általánosított fszültségntnztás tényzőnk nvzk, számításának módját a törésmchanka szakkönyvk tartalmazzák. Az lmozdulások mlltt a fszültségk érték s pontosan mghatározhatók a fladatnál: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) λ σ x = Aλ r Q ( λ + ) cos( λ ) θ λ cos( λ 3) θ, λ σ y = Aλ r + Q ( λ + ) cos( λ ) θ+ λ cos( λ 3) θ, λ τ x y = Aλ r ( λ )sn( λ 3) θ+ Q λ + sn( λ ) θ. A 8.. ábra a konvrgnca-vzsgálat rdményét mutatja. A h-módszrnél a külső oldalél tzdég sűrítttük a hálót, míg a p-módszr stébn nyolcadfokú polnomok voltak a lgmagasabb rndű közlítésk. Az ábra harmadk (lgjobb konvrgncát mutató) görbéj a p-módszr azon változata, amkor a szngulartás pont környékén lokáls sűrítést alkalmaztunk (lokáls hp-módszrnk nvzhtjük): Az ábra vázlatán jól látszk, hogy tt gaz a bcslésnél korábban mgadott táblázat azon tétl, hogy a h vrzónál λ /, a p-változatnál pdg λ az ránytangns. A harmadk görbénél s ugyanzt az ránytangnst kaptuk, amkor a fokszámot mgállítottuk. 8.. ábra: A rlatív nrganorma változása a fnomítások hatására 64

165 A bmutatott példák mgrősítk azt a szakma gyakorlatban lfogadott vélményt, hogy azon stk kvétlévl, amkor valamlyn mérnök oknál 45 fogva gyértlműn mglégszünk alacsony szntű pontossággal, a lnárs fladatok végslms mgoldásában általában lában a p-módszr az lőnyösbb, és zt még tovább lht javítan lokáls hp-változat alkalmazásával Példa. A h-módszr alkalmazása A h-módszr alkalmazásának néhány gyakorlat változatát mutatja b a 8.3. ábra a FEM- DESIGN építőmérnök szoftvrrndszrt ndszrt készítő cég munkatársatól kapott képk sgítségévl. A fladat gy támfal vzsgálatához szükségs végslms háló lkészítés volt. Az a ábrán gy már mgfllő rdményt adó, gynlts, d még lég rtka háló látható. A b ábrán az gynlts sűrítés mntapéldájaként valamnny lmt négy részr vágták, ahol lhttt a háromszögkt négyszögkké gysíttték, hogy a lhtő lgkvsbb háromszög lgyn. A c ábrán csak a hajlatokban, a szlárdságtanlag érzéknybb hlykn hajtottak végr lokáls sűrítést. A háromszögkből tt s lhtőlg négyszögkt hoztak létr. a./ b./ 45 Közlítő számítás, nagyon szűk határdő,. 65

166 c./ d./ 8.3. ábra. Támfal lmflosztása A d ábra a lokáls sűrítés újból mgsmétlését llusztrálja. Ebbn az stbn smét a krtkus hlykn fnomították a hálót. Mnd numrkus, mnd szlárdságtan szmpontból z a háló lőnyösbbnk tűnk az gynltsn sűríttthz képst Példa. Elmsűrítés a rlatív hba flhasználásával Az alább ábra gy lyn automatkus módosítás-sorozat rdményét mutatja b gy rövd, baloldalt bfogott faltartó vzsgálatán krsztül. Kvadratkus háromszöglmkt használtunk a számításhoz (sűrítést és áthlyzést gyszrr alkalmazva). Az ábrák alatt látható η a rlatív nrganormát jlnt (lásd a 8.-s képltt) ábra: Elmsűrítés változata 66

167 A végslms számítások pontosságát és mgbízhatóságát bfolyásoló ddg bmutatott hatások szmlélttésér gy magyar fjlsztésű végslms szoftvrcsomagot, a FEM- Dsgn 8. vrzóját választottuk. ( Ennk a választásnak az az oka, hogy zn programcsomag fjlsztés során a fjlsztők különös gondot fordítottak a végslm háló numrkus szmpontból közl dáls kalakítására az rdményk mgbízhatósága érdkébn. Számos lhtőségt, funkcót lltv tudományos alapossággal kdolgozott algortmust s bépítttk a háló optmáls automatkus és kéz kalakíthatóságát lősgítndő. Az alább (valós rdtű) lmz példában vzsgáln fogjuk a Mndln-típusú végslmk mérténk (azaz a globáls sűrítésnk), a lokáls sűrítésnk és a választott lmtípusnak és lmalaknak az rdménykr gyakorolt hatását. A statka modllt oly módon vttük föl, hogy az a lhtő lgközlbb álljon a födémlmz valós vslkdéséhz, zért a pontszrű (oszlop) és vonalszrű (fal) támaszokat a valós mértüknk és rugalmasságuknak mgfllő (Wnklr-fél) flült támaszokként kzltük. Ennk köszönhtőn a fladat a korábban bmutatott A csoportba tartozk, azaz a mgoldás analtkus, shol nncsnk bnn szngulartások. Fontos mgjgyznünk, hogy llnkző stbn a számított nyomatékok éppn az mlíttt támaszok fölött szngulartást mutatnának, azaz a háló sűrítésévl azok gyr csak nőnénk, a végtlnhz tartanának. Ez gyrészt nhézzé tnné az rdményk pontosságának értlmzését és mérését, másrészt a kapott rdményknk smm köz nm lnn a födémlmz valós statka 46 vslkdéséhz. A vzsgált fladatot thát az alább ábra szmléltt, ahol a zöld vasbton födémlmzn kék sraffozás jlöl a flült támaszokat. Az ábrán tájékoztató jllggl néhány lénygs gomtra mértt s föltüntttünk; a födémlmz vastagsága cm. (Ezk és gyéb tovább adatok mnt például az anyagjllmzők céljank szmpontjából a továbbakban érdktlnk.) Trhlésnk gynltsn mgoszló (függőlgs) trhlést ( kn/m) választottunk, mlyt prossal szmléltttünk. 46 Egy mérnök szrkzt statka modlljénk mgválasztásakor zkr a szmpontokra mndnkor érdms fgylmml lnn. 67

168 8.5. ábra. Födémlmz Mvl a fladat analtkus mgoldása trmésztszrűlg nm áll rndlkzésünkr, zért pontos rdménynk az alább ábrán látható nagyon sűrű háló szolgáltatta rdménykt tkntjük. (Az átlagos lmmért, m.) Fgylmml lszünk a mzőközép kék krszttl jlztt pontjának ltolódására, valamnt a vonalszrű (részbn bfogást bztosító) támasz pros krszttl jlztt pontja fölött a lmz (vonalszrű támasz tngly körül) fajlagos hajlító nyomatékára. A pontos mgoldásban lőbb 4,877 mm, míg utóbb 36,378 knm/m. 68

169 8.6. ábra. Elmflosztás A számított (nagyított) ltolódás ábrát a bal, míg a hozzá tartozó nyomaték ábrát alant a jobb oldalon tanulmányozhatjuk. A választott végslm típusa 9 csomópontú, kvadratkus Lagrang-fél zoparamtrkus négyszög (lltv mnmáls számú 6 csomópontú háromszög) sík héjlm ábra. Eltolódások és hajlítónyomatékok Elsőként változtassuk az átlagos lmmértt a kövtkzők szrnt: 3, m,, m,, m,,5 m,,35 m,,5 m,,5 m,, m, és fgyljük mg az rdményk változását nnk függvényébn. Az gys stkhz tartozó hálót az alább ábrák szmlélttk. 3, m, m 69

170 , m,5 m,35 m,5 m,5 m, m 8.8. ábra. Különböző sűrűségű gynlts hálók 7

171 A kapott rdménykt az alább két táblázatban foglaltuk össz: 4 csomópontú, lnárs zoparamtrkus négyszög (lltv mnmáls számú 3 csomópontú háromszög) sík héjlm használata stén: 8. táblázat Átl. lmmért Eltolódás Fajlagos nyomaték Számítás dő Elmszám [m] [mm] Hba [%] [knm/m] Hba [%] [másodprc] [db] 3,,7 3,39 6,6 55,3 <,,48 3,4 4,84 59, < 39,,53 5,77,784 64, ,5 3,77 7,86,59 38,8 8 8,35 3,94 6,4 4,4 33, ,5 4,4 4,94 4,553 3, ,5 4,78 4,3 7,66 3,97 447, 4,48 3,5 3,35 6, csomópontú, kvadratkus zoparamtrkus négyszög (lltv mnmáls számú 6 csomópontú háromszög) sík héjlm használata stén: 8. táblázat Átl. lmmért Eltolódás Fajlagos nyomaték Számítás dő Elmszám [m] [mm] Hba [%] [knm/m] Hba [%] [másodprc] [db] 3, 3,84 6,97 8,,4 <, 5,,5,765 37,4 < 39, 4,686,8 36,93,5 3 36,5 4,76,79 36,56,6 8,35 4,734,94 35,84, ,5 4,68,3 35,993, ,5 4,793,56 36,87, , 4,877, 36,378, Mgjgyzzük, hogy a táblázatokban szrplő számítás dőknk csak gymáshoz vszonyítva van jlntőségük. Prossal a mérnöklg általában már nm lfogatható 5 %-nál nagyobb hbaszázalékokat jlöltük. Ezt a jlölést a továbbakban s mgtartjuk. A két táblázat tanulmányozása után a kövtkző lénygs észrvétlk thtők: - Az átlagos lmmért csökkntés jó szköz az rdményk pontosságának növlésébn. - Az átlagos lmmért csökkntés magasabb fokszámú végslmk stén jlntősn hatékonyabb mgoldás az rdményk mgbízhatóságának növlésébn. - A másodlagosan számított mnnységk (stünkbn a fajlagos nyomaték) általában sokkal pontatlanabbak, mnt az lsődlgsn számítottak. Ez csak kllőképpn sűrű hálóval kompnzálható. - A másodlagosan számított mnnységk mérnöklg lgndő pontossága lnárs lmfajták használata stén még vszonylag sűrű hálózattal sm 7

172 garantálható, sőt még rndkívül sűrűnk tknthtő hálózat stén s azok lfogadhatatlanul pontatlanok maradnak. - Kvadratkus (általában magasabb fokszámú) lmk alkalmazása határozottan gazdaságosabb, azaz ugyanazon pontosság összhasonlíthatatlanul kvsbb rőforrással lérhtő. (Lásd a számítás dőr és az lmszámra vonatkozó adatokat!) - Az átlagos lmmért csökkntés (azaz a háló gynlts sűrítés) csak átlagos értlmbn bztosítja a vzsgált rdményk pontosságának növlését (főlg a másodlagosan számítottaknál). A pontosság ngadozásának oka, hogy az függ a vzsgált pont közvtln környztébn lévő végslmk gomtra kalakításától, arányatól, lltv aránytalanságatól. Ez a hatás rtka háló stén különösn mérvadó. Lásd még zn lmzés végén lévő, hhz kapcsolódó mgjgyzéskt! - Fgyljük mg, hogy kvadratkus (általában magasabb fokszámú) lm használata stén létzk gyfajta dáls átlagos lmmért, mlynél ksbb lmk alkalmazása már nm javítja a pontosságot, ( sűrűbb hálók hasztalanul mésztk föl a számítógép számítás kapactását,) ugyans a kapott rdményk ttől kzdv végg mérnöklg pontosak. (A m konkrét példánkban z az dáls átlagos lmmért valamvl, m fölött van.) E rndkívül poztív tulajdonság lnárs lmk stén sajnos nm fgylhtő mg; a mnd pontosabb rdményk érdkébn kénytlnk vagyunk gyr sűrűbb és sűrűbb hálóval opráln. - Végül észr kll vgyük, hogy a lnárs lmkt tartalmazó hálóból kapott mndn rdmény jlntős mértékbn a bztonság kárára vonatkozó közlítés. Másodjára változtassuk mg például a,5 m átlagos lmmértű lnárs lmkt tartalmazó hálót oly módon, hogy sűrítsük azt lokálsan az alább ábráknak mgfllőn ábra. Lokáls hálósűrítés,5 m átlagos lmmértről Az adódó rdményk a kövtkzők: 7

173 8.3 táblázat Végslm- Eltolódás Fajlagos nyomaték Számítás dő Elmszám háló [mm] Hba [%] [knm/m] Hba [%] [másodprc] [db] gynlts 3,77 7,86,59 38,8 8 8 lokálsan sűríttt 4,95 3,9 3,76 4, Mvl az gynlts háló lénygsn kvsbb lmt tartalmaz, mnt a sűríttt, zért fölmrülht a gyanú, hogy a pontosabb rdményt pusztán az lmszám növkdésnk tudhatjuk b. E gyanú mgcáfolására vgyük k a 8. táblázat azon sorát, amlybn az lmk száma éppn mghaladja a 45-t (zzl némlg lőnybn részsítv az gynlts hálót). Ez a,5 m átlagos lmmérthz tartozó sor. Vssük össz az zn sorban lévő rdménykt s a lokálsan sűríttt háló rdményvl: 8.4 táblázat Végslm- Eltolódás Fajlagos nyomaték Számítás dő Elmszám háló [mm] Hba [%] [knm/m] Hba [%] [másodprc] [db] gynlts 4,4 4,94,59 3, lokálsan sűríttt 4,95 3,9 3,76 4, Thát a,5 m átlagos lmmértű gynlts háló szolgáltatta rdményk jlntősn rosszabbak, mnt a,5 m átlagos lmmértről lokálsan sűríttt hálóból kapottak (közl azonos rőforrásgény mlltt). Hajtsunk végr ugyanlyn jllgű lokáls sűrítést, m-s átlagos lmmértből kndulva s a kövtkző ábra szrnt, d most kvadratkus lmkt használva. 8.. ábra. Lokáls hálósűrítés, m átlagos lmmértről 73

174 Ekkor az alábbakat kapjuk: 8.5 táblázat Végslm- Eltolódás Fajlagos nyomaték Számítás dő Elmszám háló [mm] Hba [%] [knm/m] Hba [%] [másodprc] [db] gynlts 5,,5,765 37,4 < 39 lokálsan sűríttt 4,886,6 36,6,47 8 Az gynlts háló most s határozottan kvsbb lmt tartalmaz, zért z stbn s gondolhatnánk arra, hogy a pontosabb rdmény csupán az lmszám növkdésnk köszönhtő. E tévht loszlatása érdkébn krssük k a 8. táblázat azon sorát, amlybn az lmk száma éppn mghaladja az 8-t. Ez a,35 m átlagos lmmérthz tartozó sor. Vssük össz az bbn a sorban lévő rdménykt s a lokálsan sűríttt háló rdményvl: 8.6 táblázat Végslm- Eltolódás Fajlagos nyomaték Számítás dő Elmszám háló [mm] Hba [%] [knm/m] Hba [%] [másodprc] [db] gynlts 4,734,94 35,84, lokálsan sűríttt 4,886,6 36,6,47 8 Mvl a 358 lm jóval több, mnt az 8, zért mondhatjuk, hogy még lénygsn nagyobb rőforrással sm tudunk az gynlts hálóval olyan pontosságot lérn, mnt a lokálsan sűrítttl. Foglaljuk össz, hogy m olvasható k az utóbb két táblázatból: - Az ndokolt hlykn végrhajtott lokáls sűrítés sokkal jobb mgoldás a pontosság növlésér, mnt az gynlts sűrítés. Lokáls sűrítéssl ugyanolyan, vagy még nagyobb pontosságot l lht érn, mnt a globáls sűrítéssl, d jóval kvsbb lmml és számítás dővl. (Ez az észrvétl sznkronban van a támfalat ábrázoló példánál bmutatottakkal, azaz, hogy a mgfllő hlyn végrhajtott lokáls sűrítés gn hatékony.) - A kvadratkus lmk z stbn s sokkal lőnyösbbnk mutatkoznak, hszn tördék rőforrás növléssl mérnöklg pontos mgoldást kaptunk, mközbn lnárs lmtípus stén a fajlagos nyomaték még nm lfogatható mértékű hbát tartalmaz a lokáls sűrítés (és a jlntősn ksbb átlagos lmmért) dacára. - Azonos lmszámot föltétlzv lnárs lmk stén különösn fontos, majdhogynm alapkövtlmény az gyntln (azaz a szükségs hlykn sűrűbb) háló használata, az gynltssl szmbn. Harmadk vzsgálandó hatásként csréljünk lmtípust. A,5 m átlagos lmmértű hálóban lőször alkalmazzunk 4 csomópontú lnárs négyszög (plusz mnmáls számú 3 csomópontú háromszög) lmzlmt, majd 9 csomópontú kvadratkus négyszög (plusz mnmáls számú 6 csomópontú háromszög) héjlmt. A mgdöbbntő rdményk a kövtkzők: 74

175 8.7 táblázat Elmtípus Eltolódás Fajlagos nyomaték Számítás dő Elmszám [mm] Hba [%] [knm/m] Hba [%] [másodprc] [db] lnárs 3,77 7,86,59 38,8 8 8 kvadratkus 4,76,79 36,56,6 8 Az azonos lmszámot látva joggal fölmrülht, hogy gazságtalanok vagyunk a lnárs lmkkl szmbn, hszn ugyananny smrtlnszámot négyszr anny lnárs lmml érhtünk l, mnt kvadratkussal. Drítsük hát k, hogy kvadratkus lmk stébn a jlntősn nagyobb smrtlnszám okozza- a pontosság mghökkntő javulását, vagy az valóban a fokszám növkdésénk a hatása. Ehhz vgyük k a 8. táblázat azon sorát, amlybn az lmk száma éppn mghaladja a 4 8= 49 -t. Ez a táblázat utolsó lőtt sora, mlybn az lmk száma 447, azaz jóval több, mnt 49 és az átlagos lmmért,5 m. E sor rdményt hasonlítsuk most össz a kvadratkus lmkhz tartozó (,5 m átlagos lmmértű hálóhoz számított) rdménykkl: 8.8 táblázat Elmtípus Eltolódás Fajlagos nyomaték Számítás dő Elmszám [mm] Hba [%] [knm/m] Hba [%] [másodprc] [db] lnárs 4,78 4,3 7,66 3, kvadratkus 4,76,79 36,56,6 8 Talán z az összhasonlítás vlágít rá lgnkább arra, hogy mnnyvl mgbízhatóbb rdménykr számíthatunk magasabb fokszámú (stünkbn kvadratkus) lmtípus használatakor. A hbaszázalékok magukért bszélnk. E különbség érdmbn annyt jlnt, hogy amíg a kvadratkus lmtípushoz tartozó rdményk mérnöklg tökéltsnk mondhatók, addg a lnárshoz kapottak használhatatlanok, nmcsak azonos lmszám, hanm közl azonos rőforrásgény (smrtlnszám) stén s. Sőt a lnárs lmk m hányossága még jlntősn nagyobb smrtlnszámmal (sokszorta sűrűbb végslm-hálóval) sm kompnzálható. Utolsó bfolyásoló körülményként fgyljük mg az rdményk változását abból adódóan, hogy lső stbn gy tsztán háromszög, míg másodszorra a lhtő lgtöbb négyszögt tartalmazó hálót választunk (a csomópontok számának és hlyénk mgváltoztatása nélkül, kvadratkus lmkt alkalmazva az, m-s átlagos lmmértű hálóban). E két hálót az alább két ábra szmléltt. 75

176 8.. ábra. Háromszög és négyszög típusú hálók Az adódó rdményk az alábbak: 8.9 táblázat Elmalak Eltolódás Fajlagos nyomaték Számítás dő Elmszám [mm] Hba [%] [knm/m] Hba [%] [másodprc] [db] háromszög 4,388 3,9 3,85, négyszög 4,686,8 36,93, Ezn összhasonlítás jól mutatja azt a gyakorlatból már jól smrt tapasztalatot, mszrnt a háromszög lmk alkalmazása határozottan rontja az rdményk pontosságát, különösképpn a másodlagosan számítottakét, ráadásul jlntősn nagyobb az rőforrásgény. Egys rdményk (pl. a pont- és az élszrű támaszok rakcó) akár -5 % hbát s tartalmazhatnak háromszög végslmk használata stén, mközbn a négyszögkkl kapottak mérnöklg pontosak. Végül fontosnak érzzük összvtn a FEM-Dsgn automatkusan szolgáltatott rdményt s a pontos rdménykkl. Ha az átlagos lmmért mgállapítását a FEM-Dsgn-ba bépíttt algortmusra, automatzmusra bízzuk, lltv ngdélyzzük a szükségs hlykn az automatkus lokáls sűrítést, akkor a program az gynlts hálóhoz,66 m-r választja az átlagos lmmértt, majd az gy lépéss lokáls sűrítés automatkus végrhajtása után a kövtkző rdménykt szolgáltatja: 8. táblázat Eltolódás Fajlagos nyomaték Számítás dő Elmszám [mm] Hba [%] [knm/m] Hba [%] [másodprc] [db] FEM-Dsgn 4,76,78 36,6, automatka Ehhz az alább kgynsúlyozott hálót állítja lő a FEM-Dsgn automatkusan: 76

177 8.. ábra. FEM-Dsgn automatka által gnrált háló Ha thát a FEM-Dsgn automatkára bízzuk magunkat, akkor példában mndkét vzsgált rdmény hbája % alatt marad, azaz mérnök értlmbn pontos mgoldáshoz jutunk, a körülménykhz képst cskély rőforrás (dő és mmóra) fölhasználásával. A végslm-háló gomtra kalakítása az ddgkbn bmutatottakon kívül számos más tknttbn s lénygsn bfolyásolhatja az rdményk mgbízhatóságát, pontosságát. Ezkt trjdlm okokból tt és most nncs módunk numrkusan bmutatn, hlytt az alábbakban gyszrűn összfoglaljuk (szakma gyakorlat által alátámasztott) fontosabb tudnvalókat. A numrkus szmpontból korrkt végslm-háló kalakításakor thát még a továbbakra s fgylmml kll lnn: Óvakodn kll az aránytalan oldalú végslmktől. Az olyan végslmk, mlyknél az oldalak aránya nagy (általában nagyobb, mnt 5 lnárs, lltv nagyobb, mnt 8 kvadratkus lmnél), rontják (főlg a származtatott) rdményk pontosságát. Krüln kll az olyan végslmkt s, mlykn blül a blső szögk nagy ltéréskt mutatnak. Az lyn végslmk s ngatívan bfolyásolják az rdményk mgbízhatóságát. Ign sokat rontanak az rdményk pontosságán a konkáv (vagy ahhoz közl) négyszög végslmk. Ezk mndnképpn krülndők, akár a konkáv szögnél történő két háromszögr bontás árán s. Az gymás mlltt végslmk trült sm térhtnk l gymástól nagy mértékbn. Err lgnkább a lokáls sűrítésk végrhajtásakor kll tkntttl lnn; az lmk mérténk változása fokozatos (és lhtőlg gynlts) kll lgyn. 77

178 A végslm háló kéz mgrajzolásakor zk mndgykér lgyünk tkntttl, d automatkus háló kalakításkor s lgyünk óvatosak, és llnőrzzük azt a fönt szmpontok alapján. Szükség stén akár kézzl módosítsuk a hálót. Végztül fontos mgmlítnünk, hogy a végslm háló korrkt kalakítását nagyban mgnhzít a rosszul, átgondolatlanul fölvtt statka váz, függtlnül attól, hogy a háló kéz rajzolással vagy automatkusan ltt lkészítv. Az lyn statka vázhoz rndszrnt csak sok alak hbát tartalmazó, vagy több hlyn ndokolatlanul sűríttt háló készíthtő (pl. a födémlmz szélét alátámasztó fal támasztnglyénk nm a lmz szélén, hanm annál kssé bljbb történő fölvétl; az gn kcsny födémáttörésk ndokolatlan fgylmbvétl; stb.). Az matt kltkztt alak hbákat, gomtra torzulásokat tartalmazó hálótól nm várhatunk mgbízható rdménykt. Optmáls pontok kválasztása A végslms számításokban az lmozdulásfüggvénykt folytonos függvényk lnárs kombnácóval közlítjük, így a kapott lmozdulásfüggvényk s folytonosak lsznk. A fszültségfüggvénykt (génybvétl-függvénykt) az lmozdulásfüggvényk drválásával számítjuk (C () -folytonos bázsfüggvényk stén az lső, C () - folytonosoknál az lsőnél magasabb fokú drválással), zért azok az lmhatárokon általában nm folytonosak, az lmozdulásokhoz képst a fszültségkt sokkal pontatlanabbul kapjuk mg. Ebbn a pontban két darab gydmnzós fladat sgítségévl mgmutatjuk, hogy a fszültségkt (génybvétlkt) ügysn kválasztott - úgynvztt optmáls - pontokban számítva és az ottan értékkből ntrpolálva (néha xtrapolálva) függvénykt sokkal ksbb hbával közlíthtjük, mnt azt másfél pontok flhasználásával thttük Példa Vzsgáljunk gy 3 m hosszú przmatkus konzolt, amlyr kn/m gynltsn mgoszló rúdtngly rányú thr hat (8.3a ábra). Az önsúly hatásától ltkntünk. A fladatot mghatározó prmérték-fladat: (8.5) d u du EA, u ( ), () 3 dx = = dx =. A dffrncálgynlt pontos mgoldása és az ltolódásfüggvényből számítható génybvétl: u x = 6 x x / EA, N x = 6 x. (8.6) ( ) ( ) ( ) Oldjuk mg a fladatot a végslm-módszrrl s, gy darab két- és gy darab gymétrs kétpontos rúdlmt használva (a lvonható kövtkzttésk általánosabbá 78

179 tétl érdkébn választottunk különböző hosszúságú lmkt), vagys gy lmn blül az lmozdulásfüggvénykt lnárs, az génybvétlkt konstans függvénykkl közlítv. A kapott csomópont ltolódások érték: u=, u = 8/ EA, u = 9 / EA, (8.7) 3 lltv a két lm normálrő-függvény: ( ) ( ) N x = 4, N x =. (8.8) I II 8.3. ábra. A húzott konzol (a), a nagyított ltolódásfüggvényk (b), a számított (c) és az ntrpolált (d) normálrő-függvényk A 8.3/b ábrán az ltolódásfüggvényk nagyított értékét, a 8.3c ábrán pdg az génybvétl-függvénykt ábrázoltuk, folytonos vonallal a pontos, szaggatottal a végslms tchnkával számítottakat. Mgállapítható, hogy a csomópontokban az ltolódásokat pontosan mgkaptuk, d az génybvétlknél jlntős a hba. 79

180 Egy lmn blül az génybvétl konstans, thát értékét lgndő csak gy pontban mghatározn. Ezt célszrű a numrkus ntgrálásnál s használt Gauss-pontokban mgtnn. Jln stbn lgndő gy pontot alkalmazn, z az gy pont az lm közpén hlyzkdk l. Mgjgyzzük, hogy nnél a példánál kssé rőltttt a Gauss- pontok lnvzés, d később majd érthtővé válk nnk jlntőség. Mgállapítható, hogy zkbn a pontokban a pontos génybvétlkt kaptuk mg, és a két (gymás mlltt) lmnél kapott értékr gy gynst fkttv mgkapjuk a pontos génybvétl-függvényt (8.3.d ábra) Példa Vzsgáljuk újból az lőző konzolt, d most a mgoszló thr a rúdtnglyr mrőlgsn működjön (8.4a ábra). Az hhz a változathoz tartozó prmérték-fladat: 4 3 d v dv d v d v ( ) ( ) () () EI =, v = = 3= 3=. (8.9) 4 3 dx dx dx dx Az gynlt pontos mgoldása és a blől számítható génybvétlk: 4 3 ( ) ( )( ) ( ) ( ) v x = x x + 54 x / EI, M x = x 6x+ 9, T x = 6 x. Mgnt gy két- és gy gymétrs kétpontos rúdlmt használunk, vagys gy lmn blül az lmozdulásfüggvénykt harmadfokú, a hajlítónyomaték függvényét lsőfokú, a nyírórőt konstans függvénnyl közlítjük. A kapott csomópont lmozdulások érték: ( ) ( ) ( ) ( ) v=, ϕ =, v = 36 / EI, ϕ = 4 / EI, v = 43/ EI, ϕ = 8 / EI, 3 3 az génybvétl-függvényké: ( ) ( ) ( ) ( ) M x = 5 / 3 4 x, T x = 4, M x = 7 / 6 x, T x =. I I II I A csomópont lmozdulás-értékkt mgnt pontosan kaptuk mg. A 9.4b és c ábrákon az génybvétl-függvénykt ábrázoltuk, folytonos vonallal a pontos, szaggatottal a végs lmkkl számítottakat. Egy lmn blül az M ábra lnárs, thát értékét lgndő két pontban mghatározn. A Gauss-pontok hly: () () (3) (4) x = 3, x = + 3, x =,5 3 /, x =,5+ 3 /. 8

181 Ezkbn a pontokban a nyomatékok érték mgnt pontos, így a két (szomszédos) lm 4 pontjára fktthtő harmadfokú görb most s pontosan mgadja a (másodfokú) nyomatékfüggvényt (9.4d ábra). A nyírórő ábránál a két pontra fktthtő gyns mgnt a pontos ábrát adja (9.4 ábra) ábra. A hajlított konzol (a), a valód és a számított nyírórő- (b) és hajlítónyomatékfüggvényk (c) és az ntrpolált hajlítónyomaték- (d) és nyírórő-függvényk () Mlyn kövtkzttéskt vonhatunk l az lőző két példából, és mvl támaszthatjuk azokat alá? Azt tapasztaltuk, hogy érdms az génybvétl függvénykt a Gausspontokban mghatározn, és zután két szomszédos lmnél kapott függvényértékr 8

182 Lagrang-polnomot fkttn. A vzsgált példákban pontos génybvétl függvényk nm voltak túlzottan magas fokúak, zért a fnt módszrrl mgkaptuk a pontos függvénykt. Magasabb fokú függvényknél sajnos zt nm mndg várhatjuk, általános mgjgyzésként csak az mondható l, hogy ha a végslms tchnkában az génybvétl függvény (p )-dfokú, és a valód génybvétl függvény p-nél nm magasabb fokú, akkor a p darabszámú Gauss-pontban a pontos értékt kapjuk, és p pontos értékr llsztv a Lagrang polnomok mgadják a pontos génybvétl függvényt s. A matmatka ndoklást az úgynvztt Hrrmann-tétl alapján látjuk b (lásd 5 alatt munkát). részltsbbn az [ ] Hrrmann tétl 47 : A Π = Ω+ Ω T T ( u) ( Lu) D Lu d u p d (8.) Ω potncáls nrga mnmalzálása gynértékű gy másk funkconál, nvztsn a T Π ( u) = ( L( u u) ) D L( u u) dω (8.) Ω mnmumának mgkrsésévl, ahol u a (8.) funkconál mnmumhly. A tétl bzonyítása: Lgyn a fladat vzsgálatánál használt orgó az u pontban: u= u ˆ + u, (9.) így a (8.) funkconál új alakja: T T Π ( uˆ) = ( L( u+ uˆ) ) D L( u+ uˆ) dω+ ( u+ uˆ) p dω. (8.3) Ω Ennk lső varácója az u pontban (khasználva D szmmtráját): T T ( u) ( L u) Du dω+ δu p dω. δπδ = δ (8.4) Az u pontban az lső varácó bármly δ u stén zérus, thát Ω T Ω Ω Ω δ u= uˆ stén s: T ( uˆ) ( L uˆ) D u d uˆ p d. (8.5) δπ = Ω+ Ω= Ω Vonjuk k zt a zérus értékű lmt a (8.3) funkconálból (vgyük smét fgylmb D szmmtrkus voltát): T T T Π ( uˆ) = ( Luˆ) D Luˆ d ( Lu) D Lu d u p d Ω+ Ω+ Ω. (8.6) Ω Ω Ω Ennk a funkconálnak az lső tagja éppn a (8.) funkconál, a másk két tag pdg nm függ û -tól, thát 47 Mgjgyzzük, hogy a Hrrmann-tétl sgítségévl gazolható, hogy az lső lőadásban bvzttt nrgtka hbalv hlys. Ω 8

183 Π=Π + állandó, vagys mnmumfltétl azonos a Π -r flírt mnmumfltétlll. D-s s fladatoknál a Hrrmann-tétl sgítségévl blátható, hogy * q.. d. - ha a pontos mgoldásból Lu lgfljbb p-d rndű, akkor a (8.)-bn az ntgrálandó landó ( ) - a (8.)-nk ott lht mnmuma, ahol a gradns nulla (hhz az lőző kfjzés gradnsénk ntgrálja kll, hogy zérus lgyn), T - a grad ( L ( u u ) D L ( u u ) lgfljbb (p-)-drndű, ( T L( u u ) D L( u u ) kfjzés lgfljbb p-drndű, ) ) - gy lgfljbb (p )-drndű polnom ntgrálját pontosan mgkapjuk a p számú Gauss-pontban mghatározott függvényértékk súlyozott összgként, - ahhoz, hogy az ntgrál érték zérus lgyn, mndn Gauss-pontban zérusnak kll a függvényértéknk lnn, azaz a D L( u u) génybvétl hbáknak mndn Gauss-pontban zérusnak kll lnn ábra. A trültgynlőségk llusztrálása 83

184 Összfoglalva a fntkt, mgállapíthatjuk, hogy az lmozdulásfüggvényk általában a csomópontokban a lgpontosabbak, az génybvétlk pdg általában az lm blsjébn lévő spcáls pontokban. Ezk flhasználásával az génybvétlk ksbb hbával közlíthtők, mnt azt a drválással kapható függvényk tszk. Ezt a hatást a mchankában szuprkonvrgncának nvzk. Az D-s stkbn a szuprkonvrgncát bztosító pontok (zkt nvztük korábban optmáls pontoknak) a Gauss-Lgndr numrkus ntgrálás kvadratúra pontja lsznk. A 8.5. ábra p =,, 3 str azt llusztrálja, hogy a Gauss-pontokban mgadott függvényértékkt flvvő lgfljbb (p-)-dfokú polnom alatt trültk gynlők. Mgjgyzzük, hogy az ábra kssé félrvztő, mrt csak (p+)-dfokú polnomra látszk gazoln zt a trültgyzést. Téglalap- és téglatst alakú lmnél az optmáls pontokat a mndn koordnátájukban optmáls rasztrpontok adják. Mgjgyzzük, hogy a részlts lmzésk kmutatták, hogy háromszög alakú lmknél nm adhatók mg pontosan a szuprkonvrgncát alatt munkájában zzl bztosító pontok, csak azok közlítés. Znkwcz [ ] kapcsolatban azt tanácsolja, hogy lggyszrűbb módszrként használjuk továbbra s a numrkus ntgrálás pontokat Példa A D-s st bmutatására a 8.6. ábrán az gynltsn trhlt konzolt 4 darab 8-pontos tárcsalmml közlítttük. A tartó fltt ábrarészn a szaggatott vonal az gys krsztmtsztkbn az átlagos nyírófszültségt mutatja. A tartón a fkt háromszögk mutatják az optmáls pontokat. Ha csak tt számítjuk a fszültségkt és azokat átlagoljuk, akkor az ürs háromszögkkl jlölt pontokat kapjuk a fszültségábrán. A háromszögkkl jlölt pontokat összkötv mgkapjuk az átlagos nyírófszültség pontos ábráját. Ezkből a csomópont értékk (négyszögk) s számíthatók ábra: A konzoltartó átlagos nyírófszültség 84

185 Intrpolálás a szuprkonvrgns pontokból a csomópontokba Kétdmnzós fladatnál már nm trváls a szomszédosnak tknttt lmk halmaza, és az sm, hogy a közlítő polnomnak hány tagja lgyn, lltv hhz mlykt vgyük a Pascal-háromszögből. Szomszédos lmknk knk azokat tkntjük, amlyknk közös gy sarokpontjuk. Ilyn lmcsoportokat tüntttünk fl a 8.7. ábrán. Egy-gy csoportnál háromszögkkl jlztük azokat a pontokat 48, amlykbn kszámítottuk a fszültségt (négyszöglmknél a szuprkonvrgncát rgncát bztosító ntgrálás, háromszögknél az optmáls értékkt szolgáltató hlykt) ) és ktöltött körökkl azokat a csomópontokat, amlykbn az lőbb értékkt flhasználva kívánjuk a fszültségkt közlítn ábra. Elmcsoportok a csomópont fszültségértékk ntrpolálásához. Ha valamlyk lm a vzsgált tartomány határán van, akkor a határon fkvő csomópontokban s nnk az lmcsoportnak az adataból számítjuk a fszültségkt. Ha valamlyk csomópontban több lmcsoportból s mghatározunk fszültségértékkt, akkor azok átlagát fogadjuk l. Mgjgyzzük, hogy mgthtjük például azt s, hogy a mghatározandó függvénnyl csak azokban a csomópontokban számítjuk a fszültségt, amlyk gytln más lmk közlbb, így csak azokban a csomópontokban klln átlagolnunk, amlyk ugyanolyan távolságra vannak két sarokponthoz sncsnk sarokponthoz. 48 Az gyk tárcsacsoportnál ál gyszrr szrpl, lltv 6 pont, az lőbb a magasabb pontszámúnak srndpty-típusú típusú átalakításából adódk. 85

186 Jlöljük n-nl az lmcsoport szuprkonvrgns pontjanak számát. (A 8.7. ábrán n érték rndr: 4, 6, 6, 36, 6, 8.) Az -dk szuprkonvrgns pontban a fszültségt jlölj σ ˆ. A fszültségfüggvényt közlítő polnom lmt úgy kll a Pascalháromszögből kválasztan, hogy - a tagok száma (m) n lgyn nagyobb n-nél, - az x, y változókban szmmtrkus lgyn, és - az gys változókban lhtőlg mnél alacsonyabb fokú tagok szrpljnk. A fszültségfüggvénykt a bázsfüggvényk lőállításához s használt módszrrl gyző módon: ( x, y) T σ = x a T T alakban krssük, ahol [... ], [... ] x x y a a a a m = =. Akkor tkntjük jónak gy lyn fszültségfüggvény közlítését, ha annak szuprkonvrgns (lltv optmáls) pontokban kszámított érték csak kcst tér l az ott számított fszültségértékktől. Ennk léréséhz az ltérésk négyztösszgét mnmalzáljuk 49 : n T Π ( a) = xk a ˆ σ k = mn!, ahol xk= x( xk, yk ). k= E függvény gradns kll, hogy zérus lgyn: n dπ T = x k xk a ˆ k d a σ =. k= Innn az smrtln a vktor számítható: - n n T k k k k= k= a = A b, ahol A= x x, b= xσˆ. Az lőzőkbn azt mutattuk mg, hogy a szuprkonvrgns (lltv optmáls) pontokban számított fszültségértékkből hogyan xtrapolálható a csomópontokban a fszültség érték. A kutatók úgy s próbálták zt az ljárást pontosítan, hogy az ntrpolálás közbn flhasználták az gynsúly dffrncálgynltnk a vzsgált lmr (vagy lmcsoportra) érvénys részét. Flhasznált rodalom:./ Akn, J.E. : Fnt Elmnts for Analyss and Dsgn, Acadmc Prss, 995../ Znkwcz, O.C. Taylor, R.L. : Th Fnt Elmnt Mthod, Vol. : Th Bass, Buttrworth Hnmann,. 3./ Stn, E. d Borst, R. Hughs, T. J. R. : Encyclopda of Computatonal Mchancs, Vol. : Th Fundamntals, John-Wly, 4. 4./ Páczlt I. : Végslm-módszr a mérnök gyakorlatban, I. kött, Mskolc Egytm Kadó, / Hrrmann, L. R. : Intrprtaton of fnt lmnt procdur as strss rror mnmzaton procdur, ASCE, Vol. 98, pp , 97. k 49 A modll matmatka alapjaról lásd részltsbbn a lgksbb négyztk módszréről szóló matmatka lírásokat. 86

187 9. lőadás: Nyírás és térfogat záródás. Szlktív ntgrálás tchnkák A klasszkus grndalmélt fltétlz, hogy a krsztmtsztk síkja a dformácó után s mrőlgs marad a (görbült) rúdtnglyr, pontosabban annak pontbl érntőjér. A Tmoshnko-modll fgylmb vsz a nyírás dformácó hatását s, zért a rúdtngly pontjanak a tnglyr mrőlgs ltolódását és a krsztmtsztk lfordulását gymástól függtlnnk tknt 5. Érdms alaposabban mgvzsgálnunk, hogy gy hosszú, karcsú rúdnál (amlynél az lmozdulások létrjöttébn nagyon kcs a nyírás fszültségk hatása) jó rdményt kapunk- a Tmoshnko-modlll? Ennk a kérdésnk a tsztázására két példát mutatunk b: lőször azt vzsgáljuk, hogy a karcsúságot növlv hogyan változk a számítás hbája, majd rögzíttt karcsúság stén az lmszám növlésénk hatását szmlélttjük. 9.. Példa Számítsuk k az ábrán látható konzol jobb oldal végén a koncntrált rő hatására kltkző lmozdulásokat lnárs bázsfüggvényű Tmoshnko-modll sgítségévl. A rúd krsztmtszt téglalap alakú. 9.. ábra: Koncntrált rővl trhlt konzol A fladat mgoldásához az gyszrűség kdvéért használjunk gytln kétpontos lmt, így a bal oldal csomópontnál w ésθ (az ltolódás és a csomópont lfordulás), míg a jobb oldalon w ésθ a krstt smrtlnk. Trmésztsn a bfogás matt az lső csomópontnál szrplő két paramétr érték most zérus, így mndössz két smrtlns lsz a fladat. Az lm mrvség mátrxa a Tmoshnko-modllnél a hajlítás és a nyírás hatások összgként számítható: 5 Lásd a tovább lmélt részltkt a Mchanka MSc tárgyban. 87

188 l / l / EI GA l / l / 3 l / l / 6 K = K + K = + hajlítás nyírás. l l l / l / l / l / 6 l / l / 3 A most vzsgált fladatnál a prmfltétlk matt csak a jobb alsó blokkokat kll fgylmb vnn, így a szrkzt (globáls) mrvség mátrxa: EI GA l / K = K + K = +. glob. hajlítás nyírás l l l / l / 3 A tljs gynltrndszr: w F K =. glob. Θ Az nrcát és a krsztmtszt flültt a mgadott krsztmtszt jllmzők függvényébn írhatjuk fl, a krsztmtszt trülténél az gyszrűség kdvéért ltkntünk az alak tényző módosító hatásától: 3 bh I =, A= b h. Ugyancsak az gyszrűbb számítás kdvéért vgyük fl a Posson-tényzőt nullára, így a nyírás rugalmasság modulus E/-vl lsz gynlő. Mndzk fgylmbvétlévl az gynltrndszr mgoldása: h + 4l Fl 6l F w=, Θ =. h l Ebh + h + l Ebh Az lméltlg pontos értékk: 3 3 pontos Fl Fl 4Fl Fl 6 w = + = +, 3 3 3EI GA Ebh Ebh Θ pontos = Fl Fl EI = Ebh. A közlítő és a pontos érték hányadosa mndkét stbn: w Θ h = =. pontos pontos w Θ l + h Vzsgáljuk mg a két szélső stt: amkor l << h lltv nnk llntttjét, amkor l >> h. Az lső stnél (rövd, magas konzol) határátmntbn hlys rdménykt kapunk, hszn h lm =. l / h l + h A másodk stnél (hosszú, alacsony konzol) határátmntbn hlytlnk az rdményk: h lm =. h / l l + h A vrtuáls rők tétlénk sgítségévl könnyn llnőrzhtő, hogy z utóbb stbn a konzolvég ltolódása a koncntrált rővl trhlt konzol nyírás hatásból adódó ltolódásának a négyszrs. 88

189 Ebbn a példában azt láttuk, hogy ha a nyírás alakváltozásokból sokkal ksbb lmozdulások adódnak, mnt a hajlításból, akkor a flhasznált numrkus modll nm az lméltlg hlys rdményt, hanm annál gy jóval ksbb értékt szolgáltat; a modll a valóságos szrkztnél lénygsn mrvbbn vslkdk. A végs lms számításokban zt a jlnségt hívják záródásnak. 9.. Példa Vzsgáljuk mg gy két végén bfogott, téglalap krsztmtsztű grndát kcst részltsbbn. Lgyn most a rugalmasság modulus E=, ν =, a rúd hosszát jlöljük l-ll, a krsztmtszt magassága lgyn t, a külső mgoszló thr pdg 3 q( x) = t ( cos( x / )). Mgjgyzzük, hogy a t 3 szorzó matt az rdményt nm bfolyásolja a krsztmtszt mért, továbbá a trhlés trgonomtrkus alakja matt a pontos lhajlásfüggvény polnommal nm írható l. A számításhoz n darab azonos hosszúságú lmt használunk. Oldjuk mg lőször a fladatot gy úgynvztt magas ( vastag ) rúd stér (l/t = ) a klasszkus Brnoull-Navr-lméltt kövtő (köbös bázsfüggvényű) végslms modlll. A (9.) ábra a bfogás krsztmtsztébn az génybvétlk, lltv az alakváltozás nrga rlatív hbáját ábrázolja. Érdms mgjgyzn, hogy a nyírórő lső-, a nyomaték másod-, az nrga pdg ngydrndű konvrgncát mutat a kttős logartmkus léptékt használó ábrán. Rlatív hba 89

190 9.. ábra: Rlatív hbák a klasszkus lmélttl. A vékonyabb vonalak a jlölt hatványú függvény mrdkségét mutatják. Végzzük l most a számítást (lnárs bázsfüggvényű) Tmoshnko-fél végslms modlll. A konvrgnca-vzsgálat rdményét a 9.3. ábra mutatja. A konvrgnca most s bztosított (lgalábbs mgfllő lmsűrűség stén), d mgjgyzzük, hogy az abszolút hba vszonylag nagy. Rlatív hba Eltol. Elford ábra: Rlatív hbák a Tmoshnko-modlll (rövd konzol) Vzsgáljunk mg most gy karcsú grndát (l/t = ) a lnárs Tmoshnkomodlll (9.4. ábra). A konvrgnca-sbsség radkálsan csökknt, sőt, éppn abban a tartományban, ahol az lőbb a hálózat lmszám gyakorlatlag mgfllőnk bzonyult, kfjzttn rossz rdménykt kaptunk. 9

191 Rlatív hba Eltol. Elford ábra: Rlatív hbák a Tmoshnko-modlll (hosszú konzol) Bár némlg ltérő hangsúllyal, z a fladat s az lőző fladathoz hasonló numrkus problémát, a záródás jlnségét llusztrálta. Mlőtt a záródás jlnségénk részlts lmzésér rátérnénk, rövdn utalunk a probléma mérnök szmpontból lgfontosabb kérdésér: hogyan szüntthtő mg az lmozdulások értékénk lyn jllgű rossz bcslés? A válasz rövdn 5 a kövtkző: csökkntn kll a modllbn a nyírás mrvség arányát. Az gyk lggyszrűbb és gn hatékony módszr az úgynvztt szlktív ntgrálás, vagys a hajlítás és nyírás hatások különböző szntn történő fgylmbvétl. Így például, ha a mrvség mátrx számításánál az EI hajl. -t (hajlítás mrvségt) tartalmazó tagok ntgrálását 3 pontos (D lltv 3D fladatoknál 3 3 lltv 3 3 3) kvadratúrával számoljuk, akkor a GA-t (nyírás mrvségt) tartalmazókat csak pontos (, ) módon vsszük fgylmb. 5 A későbbkbn még vsszatérünk a részlts bzonyításra. 9

192 Rlatív hba Rlatív hba Eltol. Elford ábra: Rlatív hbák a Tmoshnko-modlll szlktív ntgrálással (flül a rövd, alul a hosszú konzol rdmény) Érdms összhasonlítan a példa korább rdményt a (9.5) ábra rajzaval. Itt a lnárs Tmoshnko-lm mrvség mátrxát úgy módosítottuk, hogy a nyírás hatást csak gypontos numrkus ntgrálással vttük fgylmb. Már z a lépés mgszünttt a záródás hajlamot a modllnél. A záródás fogalma A záródást a végslms tchnkában a kövtkző módon dfnálják: 9

193 A záródás a végslms mgoldás konvrgnca-sbsségénk csökknés, lltv gys stkbn rossz értékhz történő konvrgálása. Egy adott fladatnál mndg a konvrgnca-sbsségt jllmző, úgynvztt krtkus paramétr függvényébn szokás lírn a hatását. A záródás magyarázata A záródást háromfél módon szokás magyarázn: A./ Mchanka magyarázat Mchanka szmpontból az ún. parazta fszültségk hatásával szokás magyarázn a záródást. Paraztának olyan fszültségkt szokás nvzn, amlyk gy fladat pontos mgoldásában nm jlnnk mg. Ilynk például gy lmz tszta hajlításánál a nyíró-, vagy a héjak hajlításánál létrjövő mmbránfszültségk. Az zkből a fszültségkből származó (ugyancsak parazta ) blső nrga olyan addtív mrvségt kölcsönöz a modllnk, amly bzonyos stkbn akár domnánssá s válhat a tljs szrkzt mrvséghz képst. A parazta fszültségk jlnlétét általában gys fzka paramétrk nm mndg mgfllő ntrpolácójának tulajdonítják. Például ha a fzka gynltk alapján az alakváltozásokból számítható gys fszültségkomponnsk közlítő függvénynk rndj ggyl magasabb, mnt az nrgaértlmbn társítandó alakváltozásoké, mstrségsn lőírt fszültségk kltkzhtnk. Amkor gy lnárs Tmoshnko-fél végslmnél az ltolódásokat és az lfordulásokat ugyanazzal a lnárs bázsfüggvénnyl ntrpoláljuk, akkor a Brnoull-Navr modllhz való közlítés stén (amkor a γ nyírás szögtorzulás zérus) a mchanka fltétl csak mrvtst-szrű lfordulással lltv lmozdulással tljsíthtő ( ϕz -t lnársan közlítjük, így konstans w -vl zt a fltétlt nm lht tljsítn) 5 : dw γ xy= = +ϕz w = ϕ z. (9.) dx Ha zt a fltétlt nm tudjuk bztosítan, akkor parazta nyírófszültségk kltkznk a modllbn. xy 5 Ha gy alakváltozást két lmozdulásfüggvény különböző rndű drváltjaból határozzuk mg, akkor az lmozdulásfüggvénykt úgy klln ntrpoláln, hogy a mgfllő számú drválás után a két tag fokszáma mggyzzék. Az tt mlíttt példánál a w ltolódást ggyl magasabb fokú ntrpolácóval klln közlítn, mnt az lfordulást. 93

194 B./ Numrkus magyarázat Az gys fladattípusoknál az u lmozdulásfüggvény n sz f lmszáma azt mutatja, hogy mkkora gy pontban az lmozdulás szabadságfoka. A krtkus paramétr bzonyos tartományában zk az lmozdulások nm függtlnk gymástól, hanm n darab fltétlt lőírást kll tljsítnük (lyn lőírás flt például a Krchhoff-Lov-fltétl a lmzknél vagy az össznyomhatatlanság fltétl 3D fladatoknál). A végslms közlítéskor a tljs szrkztnk s van szabadságfoka (jlöljük zt N szf -fl), és azoknak s kll bzonyos számú ( N flt darab) fltétlt tljsítnük. T. J. Hughs szrnt az a jó végslms modll, amlyknél - az lmszám sűrítésévl az általa korlátozás paramétrnk nvztt r változók nszf Nszf rpont=, rszrk=. (9.) n N flt érték mggyzk. Amnnybn rszrk< rpont, akkor a szrkzt záródásra hajlamos, az llnkző st ( r szrk > r pont ) pdg a szrkzt túlzottan lágy voltára utal (mgjgyzzük, hogy az r pont változót optmáls értéknk s szokás nvzn). Az r szrk paramétr mghatározásához,, ll. 3D-s fladat stén lgndő gy szakasz, gy négyzt, lltv gy kocka gynlts flosztásának sűrítésévl kszámoln a határértékt, hszn lyn tartományok unójával lfdhtő az gész vzsgált tartomány. Az ljárás llusztrálására vzsgáljunk két dmnzóban gy N lm = n n lmből flépíttt négyszögt. Használjunk például gyszrű blnárs lmkt, bbn az stbn a szrkztn a csomópontok száma N = ( n+ ). Egy-gy csomópontban a szabadságfok n sz f, így Nsz f= nsz f Ncs p. (9.3) Jlölj n nt az gy lmnél használt ntgrálás pontok számát. A,5-ös Possontényzőből adódó össznyomhatatlanságot csak zkbn a pontokban vhtjük fgylmb 53. Ennél a példánál a fltétlk száma: N = n n N. (9.4) flt flt nt lm Így határátmntbn a szrkzt korlátozás paramétr r szrk flt cs p ( n+ ) N n N r r = lm = lm = lm =. (9.5) szf szf csp pont pont n N n n flt n fltnnt Nlm n nt n nnt 53 Ha analtkusan ntgrálunk, akkor a pontos ntgráláshoz szükségs ntgrálás pontok számát használjuk. 94

195 A képltből látszk, hogy -nél több ntgrálás pontot alkalmazva Hughs szrnt a modll záródásra hajlamos. Ha ugyanzt a hálót 3 csomópontú lnárs háromszögkből alakítottuk volna k a négyszögkt mgflzv, akkor csak az lmk száma duplázódna, thát r szrk ( n+ ) n N r r = lm = lm =, (9.6) n n n N n n n szf csp pont pont n flt nt lm nt nt vagys a modll mndnképpn záródásra hajlamos. B-kvadratkus négyszöglmnél (9 csomópont), lltv kvadratkus (6 csomópontú) háromszögnél: r szrk ( n+ ) r 4r = =, pont pont lm n n nt n nnt r szrk ( n+ ) r r = =. (9.7) pont pont lm n n nt n nnt Mgállapítható, hogy zkbn z stkbn már választható úgy az ntgrálás pontok száma, hogy a modll n lgyn záródásra vszélys. Fl kll hívnunk azonban a fgylmt arra, hogy az ntgrálás pontok száma nm csökknthtő ttszőlgs mértékbn, ugyans úgynvztt. mchanzmusok jöhtnk létr a modllbn. A mchanzmusok az lmk olyan dformácó, amlyknél az alakváltozások érték mndn ntgrálás pontban éppn zérus, és így a dformácó hatását nm tudjuk fgylmb vnn az alakváltozás nrga számításánál. Irons adott képltt a létrjöhtő mchanzmusok számának mghatározására (lásd korábban a htdk hét lőadását): M= nszf Ncsp R rang( D) n nt, (9.8) ahol R az lm függtln mrvtstszrű lmozdulásanak száma. Az n nt értékét úgy kll mgválasztan, hogy M lgyn. Például gy Rssnr-Mndln-fél lmzmodllhz használt b-kvadratkus négyszöglmnél M= 9 3 5n nt, (9.9) thát a ntgrálás pont lgndő a mchanzmus lkrülésér, és a záródás vszély s lkrülhtő. Ellnbn, ha tárcsafladatot vzsgálunk ugyanzkkl a bázsfüggvénykkl, akkor M= 9 3 3n nt, (9.) lgalább 6 ntgrálás pont kll a mchanzmus lkrüléséhz, az pdg a záródásra vszélys modllt rdményz, ha a Posson-tényző,5 közlébn van! A záródást llusztráló később példáknál különböző lmkr és ntgrálás változatokra mgadjuk r értékét. C./ Matmatka magyarázat A vonatkozó matmatka rodalom rtkán használja a záródás szót, hlytt lőnybn részsít a rosszul kondconált kfjzést. 95

196 A végslms mgoldás matmatka gynltrndszrénk rosszul kondconált jllg trmésztsn mchanka okokra vzthtő vssza. Például a Tmoshnkofél grndamodllnél a hajlítás mrvségt jllmző nrca a vastagság köbétől, míg a nyírás mrvség t lső hatványától függ. A kttő között két nagyságrndny ltérés jlntősn bfolyásolja az gynltrndszr gyütthatómátrxának flépítését, és végül rosszul kondconáltsághoz vzt akkor, amkor a vastagság csökkn. Matmatka értlmbn trmésztsn hasonló hlyztt okoz homogén zotrop sík alakváltozású D vagy 3D fladatoknál a Posson-tényző,5-hz való közlítés. A záródás jllgzts típusa A./ Krsztrányú nyírás záródás Ez a záródás forma azoknál a grnda, lmz és héj végslms modllknél fordul lő, ahol a nyírás alakváltozások hatását s fgylmb vszk a számításoknál (Tmoshnko-fél grndamodll, Rssnr-Mndln-fél lmzés héjmodll). Krtkus paramétrnk zknél a szrkztknél gy jllmző hosszmértnk (grndahossz, lmzszélsség) a vastagsághoz képst arányát tkntjük. A gyakorlatban z a záródásfajta fordul lő a lgsűrűbbn, a számítás rdménykr gyakorolt torzító hatása s a lgvszélysbb. Grndamodllkr már a bvztésbn láttunk záródás példát. Mgjgyzzük, hogy a záródás hatás (szlktív ntgrálás nélkül) akkor s fnnáll, ha az ottan példákat magasabb fokú bázsfüggvénykkl vzsgáljuk! Lmzmodllkr s bmutatunk néhány konvrgnca-vzsgálatot. A fladat gy négyzt alakú, bfogott, gynltsn mgoszló thrrl trhlt lmz vzsgálata. Ennél klasszkus lmzlmélt alkalmazása stén smrt a középső pont lhajlásának pontos érték 54 : 4 3 ql Et wc=,6, D= D ν. (9.) ( ) Vzsgáljuk mg 5 különböző lmtípust alkalmazva, hogy a Rssnr-Mndlnlmélttl kapott rdmény tart- hhz az értékhz, ha az L/t arány növlésévl gyr vékonyabb lmzt vzsgálunk. Az optmáls korlátozás paramétr: nszf 3 rpont= =. (9.) n flt Jln stbn a három lmozdulás: vϕ,, ϕ ; a két fltétl pdgγ = γ = x y x z y z. Mndgyk lmfajtánál 8 8-as lmflosztást alkalmaztunk a numrkus modllzésnél. A kövtkző oldalon látható 9.6 ábrán a vízsznts tnglykn az oldalhosszúság és a vastagság hányadosát tüntttük fl logartmkus léptékbn, a 54 A 9.6 ábrán zt mutatja a vízsznts pros vonal. 96

197 függőlgs koordnátatnglyn a középső pont függőlgs ltolódását normáltuk a lmzmrvséggl, a trhléssl és a lmzmérttl. Elmtípusonként 3 különböző numrkus ntgrálás változatot alkalmaztak. A (T)- vl jlölt görb a tljs ntgrálást mutatja, tt anny ntgrálás pontot vttk fl, hogy a numrkus ntgrálás n jlntsn újabb hbát 55. A rdukált ntgrálásnál (R) mndkét rányban -gyl kvsbb pontot alkalmaztak, a szlktív ntgrálásnál (S) a hajlítás tagokban a tljs, a nyírás tagokban a rdukált ntgrálásnak mgfllő számú ntgrálás pontot használtak. A bal flső ábra mutatja a blnárs bázsfüggvény használatát (k = ). A (9.5) képlt szrnt (T) a záródás matt nagyon rossz rdményt szolgáltat a vékony lmzknél, az (S) nm záródk (a vszonylag kvés lm matt trmésztsn a pontos mgoldástól néhány százalékra ltérő értékhz konvrgál). Bal oldalon középn b-kvadratkus bázsfüggvényt használtak (k = 3). A (9.7a) képlt szrnt (F) záródk, a másk kttő nm. A magasabb fokú függvény matt a közlítésbn ksbb a hba. Bal oldalon alul mndkét rányban harmadfokú a bázsfüggvény (k = 4). A korlátozás paramétr: r szrk ( 3n+ ) r 9r = =. (9.3) pont pont lm n n nt n nnt Hughs fltétl az (F)-nél alkalmazott 4 4= 6 ntgrálás pont stén nm tljsül, nnk llnér bbn az stbn mndhárom görb azonosan konvrgál. 55 k pont alkalmazásával gy gyváltozós k--dfokú polnom pontosan ntgrálható. Ha a bázsfüggvény valamlyk rányban n-dfokú, akkor az ntgrálandó függvény n-dfokú, hszn az L oprátorban van konstans lm s, és a B mátrx a transzponáltjával s szorzódk. 97

198 9.6. ábra: A lmz közpénk lhajlása a krtkus paramétr függvényébn (T - tljs, R rdukált, S szlktív ntgrálással) 5 lmtípus stén A (9.6) ábra jobb oldalán a srndpty lmkkl kapott rdményk vannak. A flsőnél k = 3, az alsónál k = 4. A korlátozás paramétrk:. r szrk ( ) n+ n r 3r = =, és r pont pont lm n n nt n nnt szrk ( ) 3n+ 4n r 5r = = Egyk stbn sm tljsül Hughs fltétl még ( k ) ( k ) pont pont lm n n nt n nnt ntgrálás pont stén sm, így mndgyk stbn a vékony lmzknél fllép a záródás. 98

199 B./ Térfogat (vagy más lnvzéssl Posson-fél) záródás A záródásnak z a típusa alapvtőn az anyag vslkdés modllzésétől függ. Olyan stkbn, amkor zotrop anyagoknál a Posson-tényző érték mgközlít a,5-ös lmélt határértékt, a K térfogatváltozás modulus E K = (9.4) 3 6ν a végtlnhz tart, az anyag nm változtatja térfogatát a külső hatásokra (zt hívják rugalmasan össznyomhatatlan anyag állapot -nak). Nagyon közl hhz a gumk, gys szlkonok és az mbr szövtk (zmok, rk fala) vslkdés ( ν,49 ). Térfogat záródás nm csak rugalmas anyagoknál fordul lő, képlékny állapotba krülő fémknél s számoln kll vl (a fémk képlékny vslkdésér általában nncsnk hatással a hdrosztatkus fszültségk). 3D stbn a zérus térfogatváltozás fltétl ε +ε +ε =, (9.5) ugyanz D változatban x y z ε +ε =, (9.6) x y Mgjgyzzük, hogy kétdmnzós stbn kzárólag sík alakváltozás állapot vzsgálata stén bszélhtünk záródásról, síkbl fszültség állapot stén soha nncs záródás, hszn a z rányú nyúlással lhtségs a térfogat-állandóság bztosítása! 3 Az optmáls korlátozás paramétr r pont= = 3 (D str r pont= = ). Parazta fszültségként a normálfszültségkt kll fgylmb vnnünk, amlyk mgakadályozzák az lmt a térfogatváltozáshoz vztő mozgásokban. Illusztrálásul vzsgáljunk mg gy D fladatot három csomópontú lnárs lmkkl. Az lmozdulásmző ntrpolálása bbn az stbn a kövtkzőképpn történk: u ( x, y) = c+ c x+ c y, u ( x, y) = c + c x+ c y. ( 9.7) x 3 5 y 4 6 A ( 9.7) ábra vázolja a hat konstanshoz tartozó gys lmozdulás- és alakváltozáskomponnskt: 99

200 9.7. ábra: Elmozdulás- és alakváltozás-komponnsk A c és c paramétrk mrvtstszrű ltolódást jllmznk. A mrvtstszrű lfordulást c4 és c 5 sgítségévl hozhatunk létr, flhasználva a c5= c4 fltétlt: u x y = c 4. (9.8) u y x A 4-s és 5-ös lmozdulás összg tszta nyírás dformácót rdményz, a fnnmaradó 3-as és 6-os pdg x és y rányú tszta nyúlást jllmz. Lhtségs olyan kombnácóját lőállítan zknk az alakváltozás állapotoknak, mlyk tljsítk az lőzőkbn flírt össznyomhatatlanság fltétlt. A 4-s és 5-ös változatok lv tljsítk zt, a 3-as és 6-os állapotnál hhz a c = c ε + ε = c + c = (9.9) 3 6 x y 6 6 fltétl szükségs. Fontos tudn azonban, hogy az össznyomhatatlanság fltétl a fntk fgylmbvétl stén s csak akkor tljsül pontosan, ha az alakváltozás állapot a tljs tartományon állandó! A (9.6) szrnt korlátozás paramétr (gy ntgrálás pontot fgylmb vév) rpont r szrk=, z záródás hajlamot jlnt. Mgjgyzzük, hogy lnárs négyszög alkalmazása stén ntgrálás ponttal (9.5) szrnt még rosszabb a hlyzt: rpont r szrk=. 4 Egy numrkus példán s llusztráljuk a térfogat záródást. Sík alakváltozás állapotú tárcsát vzsgálunk, három oldala mrvn bfogott, ngydk élén konstans nyírórőt működttünk. Háromfél lmml vzsgáljuk a szrkztt, az gyk gy lnárs bázsfüggvényű háromszög (T), a másk gy blnárs

201 négyszög (Q), a harmadk pdg gy spcáls négyszöglm, amlynk flépítését a kövtkző lőadás fogja majd bmutatn: úgynvztt vgyslm (Q-EAS), amlynél az lmozdulások mlltt a fszültségkt s ntrpoláljuk az úgynvztt vgys varácós lv sgítségévl. A (9.8) ábra rdmény (az lmozdulások szorzószáma a növkvő értékű térfogatváltozás modulus függvényébn) azt llusztrálják, hogy mndkét lmozdulásmódszr alapú lm záródk (nm sgít rajtuk még a mnmáls számú rdukált ntgrálás sm!), a hbrd lm azonban jó rdményt ad, nncs záródás hajlama ábra: Tárcsa lmozdulása a térfogatváltozás állandó függvényébn C./ Nyírás záródás Ez a fajta záródás D és 3D fladatoknál lltv héjlmknél fordul lő, jóval rtkább az lőbb mlíttt két változatnál és az általa okozott mchanka zavarok sm olyan jlntősk. Kzárólag tszta hajlítás stén bszélünk rről a fajta jlnségről (lásd a (9.9) ábrát, ahol két különböző lnárs D lm flhasználásával ábrázoltuk a különlgs állapotot) ábra: Tszta hajlításból nyírófszültség s kltkzk

202 A háromszöglmnél a σ x normálfszültség és a τ x y nyírófszültség s konstans. A négyszöglmnél lnársan változk mndkét lőbb mlíttt fszültség az gyk változótól lnársan függ. A nyírófszültség komponnsk parazta jllgűk, hszn a tszta hajlításból jlnlétük nm kövtkzk. A blnárs négyszöglm stér gazoljuk zt. Az lmozdulásfüggvényk: u ( x, y ) = c+ c x + c y+ c xy, u ( x, y ) = c + c x+ c y+ c xy. x y ábra: Elmozdulás- és alakváltozás-komponnskkomponnsk A (9.) ábrán vázoltuk a különböző dformácós módokat. A nyírás záródáshoz kapcsolódó krtkus st a 7-s és 8-as állapot, az összs több konstans nyírást, normál alakváltozást vagy mrvtstszrű szrű mozgást jllmz. A dagram bmutatja, hogy y-tól függő εx csak úgy kapható, ha c7, d kkor kltkzk x-től függő nyírófszültség, amlyk a több komponnssl nm tüntthtő l. Az optmáls korlátozás paramétr jln stbn (D fladatnál) r pont= = (a korlátfltétlt a nyírás szögtorzulás zérus érték jlnt). (9.6) és (9.5) alapján gy darab ntgrálás pontú lnárs háromszögnél a korlátozás paramétr ( / ) r szrk = =, blnárs négyszögnél pdg (az lméltlg szükségs három ntgrálás ponttal számolva) r szrk =. Mndkét érték záródás hajlamra utal. 3 D./ Mmbrán záródás Görbült grndákban és héjlmkbn fordulhat lő, ha tszta hajlítás alakváltozások kombnálódnak parazta mmbránfszültségkkl. Néha kvrk a B és C pontban mlíttt változatokkal, d a jlnség fzkalag más, alapvtőn kötődk az lm görbült gomtrájához (például hngrhéjak négy csomópontos

203 lmkkl történő modllzésénél nncs lyn típusú záródás, d a kvadratkus vagy magasabbrndű lmknél már számoln kll vl). Egyszrű példája a mmbrán záródásnak gy olyan három csomópontú görbült gomtrájú grnda, ahol konstans hajlítónyomatékok stén zérustól ltérő mmbrán alakváltozások és fszültségk ( normálrők ) fgylhtők mg a számítás rdménybn. Ezk oka általában a pontatlan bázsfüggvény-flvétl (görbült grndáknál az gzakt mgoldás trgonomtrkus függvénykt s tartalmaz, zk pdg nm szrplnk a bázsfüggvényk között). Matmatkalag zknél a szrkztknél a normálmrvség a krtkus tag, nnk a hajlítás mrvségkhz képst érték bfolyásolhatja az gyütthatómátrx kondconáltságát. Flhasznált rodalom:./ Bojtár I. Gáspár Zs. : Végslmmódszr építőmérnököknk, Trc, 3../ Hnton, E. Own, D. R. J. : Fnt lmnt softwar for plats and shlls, Pnrdg Prss, / Bltzngr, K. U. : Lctur nots n FEM, Tchncal Unvrsty Münchn, 7. 4./ Znkwcz, O. C. Taylor, R. L. : Th fnt lmnt mthod - Th bass, 5. dton, Buttrworth-Hnmann Publ.,. 3

204 . lőadás: Többmzős varácós lvkr épülő végslms ljárások Az ddg vzsgálatok során valamnny mchanka fladatnál az lmozdulásmódszrr építő tchnkát használtuk, hszn a potncáls nrga funkconáljában az lmozdulásfüggvény volt az smrtln változó. A gyakorlat végslms számításokban gyszrűség és kdolgozottsága matt ma z a lgltrjdtbb numrkus tchnka. Elmélt kutatásokban és gys spcáls gyakorlat trültkn (térfogat záródásra érzékny fladatok, grndák lltv lmzk nyírás hatásokat s fgylmb vvő modllj, fszültség szngulartások, stb.) azonban már régóta ltrjdt más smrtlnk fgylmbvétl s, akár prmértékfladat, akár gy varácós fladat mgoldását kll végslms számítással végrhajtan. Ezkt a vzsgálat módszrkt többmzős ljárásoknak nvzzük. Az lőadás az lyn numrkus tchnkák néhány smrtbb módszrér mutat b példákat 56. Emlékzttőül írjuk, hogy a Mchanka MSc tárgy krtébn már mgsmrkdtünk a többváltozós nrgagynltk flírásával. Az ott tárgyalt témához képst annyban korlátozzuk a vzsgálatok körét, hogy most kzárólag lnárs modllkt mutatunk b, nm foglalkozunk az általános nmlnárs célokra használható funkconál-változatok lmzésévl lltv a hozzájuk kapcsolódó végslms ljárásokkal. A többmzős ljárások csoportosítása Elsőként arra szrtnénk flhívn a fgylmt, hogy a szakrodalom trmnológa jlölés nm tljsn gységsk zn a trültn. Sok olyan ckk vagy szakkönyv található, amly mndn többmzős ljárást az úgynvztt vgys varácós ljárások ( mxd varatonal prncpls ) köréb sorol, mások mgkülönbözttnk vgys lltv hbrd lvkt lltv tchnkákat. Ebbn a tárgyban zt az utóbb jlölésrndszrt fogjuk kövtn, mrt zt tartjuk a végslms mgoldások szmpontból logkusabbnak és gyértlműbbnk. A kövtkzőkbn thát: a./ vgys ljárásnak fogjuk nvzn azokat a varácós lvkt (lltv a rájuk épülő végslms tchnkákat), amlyknél mndn alapvtő mzőfüggvény ugyanolyan típusú változó, azaz zn függvényk függtln változónak száma gynlő a vzsgált tartomány dmnzószámával, b./ hbrd ljárásnak fogjuk nvzn azokat a modllkt, amlyknél az alapvtő mzőváltozók különböző típusúak, azaz vannak olyan alapvtő változó, amlyk függtln változónak száma különbözk (lásd a részlts magyarázatot később, a hbrd ljárásokat bmutató pontnál). M bbn a rövd összfoglalóban lsősorban a vgys végslms ljárásokra mutatunk példát, a hbrd tchnkát csak az lv összfoglalás és gy hozzá kapcsolódó gyszrű modll szntjén érntjük. 56 Mgjgyzzük, hogy a továbbakban csak a varácós lvkt flhasználó változatokkal foglalkozunk. 4

205 A lnárs rugalmasságtan fltétlrndszrénk mgfllőn a vgys varácós lvk körébn három mzőváltozó függvény alkalmazható 57 : az lmozdulások ( u, u, u ), az alakváltozások ( ε j, ε, ε ) és a fszültségk ( σ j, σ, σ ). Ha zkt a varácós lvk funkconáljában gymással varáljuk, akkor a kövtkző változatokhoz jutunk: Típus Mzőváltozók A varácós lv nv./ Egyváltozós Elmozdulások Tljs potncáls nrga./ Egyváltozós Fszültségk Tljs kgészítő potncáls nrga 3./ Egyváltozós Alakváltozások Nncs lfogadott lnvzés 4./ Kétváltozós Elmozdulások és Hllngr-Rssnr-lv 58 fszültségk 5./ Kétváltozós Elmozdulások és Nncs lfogadott lnvzés alakváltozások 6./ Kétváltozós Alakváltozások és Nncs lfogadott lnvzés fszültségk 7./ Háromváltozós Elmozdulások, Vubk-Hu-Washzu-lv 59 fszültségk és alakváltozások 57 A továbbakban az lmélt jllgű képltknél lhtőség szrnt alkalmazzuk a Mchanka MSc lírásmódjánál már mgszokott tchnkát: ugyanazt a változót vagy gynltt ndxs, Vogt-, lltv tnzoros jlöléssl s mgadjuk, hogy a szakrodalmat olvasóknak sgítsük a különböző művkbn ltérő módon jlölt változatok mgértését. Sokszor gyd jlölésknél s váltakozva használjuk őkt. 58 Emlékzttőül: Az lv alapvtő ötlt Ernst Davd Hllngr (883 95) némt matmatkustól származk. Kapcsolódó publkácója: D allgmn Ansätz dr Mchank dr Kontnua, Encyklopda dr Mathmatschn Wssnschaftn, Vol. 4, d. F. Kln C. Müllr, Tubnr Vrlag, Lpzg, 94. Mérnök fladatokra történő lső alkalmazása Gorg Prang (885 94) némt matmatkusnál olvasható: Dr Varatons- und Mnmalprnzp dr Statk dr Baukonstruktonn, Habltatonsschrft, Tchn. Unv. Hanovr, 96. Az lv általánosítását és a mchanka prmfltétlkkl való pontos kapcsolatrndszr tsztázását Erc Rssnr (93-996) némt származású amrka kutató végzt l: On varatonal thorm n lastcty, Journal of Mathmatcs and Physcs, Vol. 9, pp. 9-95, Emlékzttőül: Ma használt formájában gy kína és gy japán kutató publkálta gymástól függtlnül, két gymást kövtő évbn. A kína H. Hu munkája: On som varatonal prncpls n th thory of lastcty and th thory of plastcty, Sc. Snca, Vol. 4, pp , Pkng, 954. A japán K. Washzu ckk: On th varatonal prncpls of lastcty and plastcty, Arolastc and Structurs Rsarch Laboratory, Tchncal Rport 5-8, Massachustts Insttut of Tchnology, Cambrdg, March, 955. A kontnuummchankával foglalkozók körébn ma s kvésbé smrt (lsősorban végslms kutatók által fltárt) azon tény, hogy Baudoun M. Frajs d Vubk (97-976) blga kutató négy évvl korábban már bmutatta ugyanzt az lvt, zért lgalább nnk a tárgynak a krtén blül az ő nvér s fltétlnül hvatkoznunk kll. Ckk: Dffuson ds nconnus hyprstatqus dans ls volurs à longron couplés, Bull. Srv. Tchnqu d L'Aéronautqu No. 4, Imprmrí Marcl Hayz, Bruxlls, pp. -56, 95. 5

206 A végslms számítások szmpontjából az tt flsoroltak közül az,,4 és 7 számmal jlöltknk van jlntőség (gys kutatók az ötöst s használják), a hármas és a hatos lsősorban lmélt jllgű változat. Különböző varácós lvkhz tartozó funkconálok flépítésénk alapvtő lépés A fnt táblázat tanulmányozása során joggal vtődht fl az a kérdés, hogy az általunk vzsgált mchanka fladatok alapvtőn gyértlmű és gységs rős alakjának többfél módon történő átalakítására van- gyakorlat gény, és ha gn, akkor mlyn általános szmpontokat szoktak fgylmb vnn a különböző varácós lvk flírásakor. Az lső kérdésr valamvl gyszrűbb válaszoln: a fnt táblázatban flsorolt hétfél lv közül numrkus számítások céljára az lmúlt mntgy hatvan évbn összsn négy vált b és még azok közül s kmlkdk gyakorlat használhatóságával a potncáls nrga mnmumtétl, nm véltln, hogy gész ddg tanulmányunk rr épült. Bár a komplmntr nrgára alapuló lvkkl nagyon sok kutató foglalkozk, a statka prmfltétlk fgylmbvétlénk nhézség komoly gondot jlnt gy par célokra s alkalmas, általános és rugalmas szoftvrrndszr kdolgozásakor. Ugyanz a hlyzt a másk két a táblázatban kmlt többváltozós lvvl: a gyakorlat nm gazolta rugalmas és sokoldalú alkalmazhatóságukat, ma s lsősorban kutatás célokra, spcáls fladatok mgoldására használják őkt. Ez trmésztsn nm jlnt azt, hogy z a hlyzt a jövőbn nm változhat, és zért vlük kapcsolatban lgalább a fontosabb lvkkl tsztában kll lnn a másfél tchnkát használó mérnököknk s. Ez az alapvtő célja nnk a fjztnk. A másk kérdésr válaszul a kövtkzőkbn a varácós lvk flépítésénk általános szmpontjat foglaljuk össz, majd zt kövtőn a tovább pontokban bmutatjuk a HR, lltv a VHW változatok részltt. Az általános algortmushoz llusztrácóként azt a varácós lvt fogjuk használn, amlyt (másfél flépítés tchnkával létrhozva) már nagyon alaposan smrünk, vagys a tljs potncáls nrga függvényénk flépítés sgítségévl magyarázzuk l a többváltozós lvk létrhozásának módját. A rugalmasságtan alapvtő összfüggést a.. ábrán vázoltuk. Az smrt tömgrők valamnt az lőírt lmozdulások és trhk b, uˆ, t ˆ függvényből kll az öt darab mzőgynlt flhasználásával az lmozdulások, alakváltozások és fszültségk u, ε, σ függvényt mghatároznunk. 6

207 .. ábra: A rugalmasságtan alapgynlt./ Első lépésként az smrtln mchanka mzőváltozók u lmozdulás, ε alakváltozás, σ fszültség j j közül kll kválasztan annyt, amnnyt alapvtő varálandó paramétrként használn kívánunk (szokás a kválasztottakat néha főlg az lmélt végslms rodalomban mstr-, vagy alap-változóknak s hívn, llntétbn a több, másodlagos ( sgéd, származtatott, stb.) függvénnyl). A kválasztott mstr-változók számától függőn lsz gy-, két- vagy hárommzős a varácós lv. Fontos mgjgyznünk, hogy az smrt adatnak tknttt függvényk (tömg-, flült-, vonalmnt- és koncntrált trhk, valamnt prmfltétl adatok) soha nm lhtnk varálandó mnnységk (zkt gyszrűn adat -mzőknk nvzk)../ Lépés: A mstrváltozó(k)ból az ún. rős kapcsolat gynltkkl lőállítjuk a másodlagos változókat. Ha gy mstrváltozóra prmfltétlt s lőírtunk, akkor azt a fltétlt tknthtjük rősnk vagy gyngénk. Az rős prmfltétl lnvzést akkor használjuk, amkor a mstrváltozót csak azon függvényk halmazából választjuk, amlyk tljsítk zkt a prmfltétlkt. Ha gy másodlagos változót két mstrváltozóból s lőállítunk (vagy két összkapcsolódó mstrváltozó stén az gykből számíthatjuk a máskat, azt másodlagosnak tkntv), akkor azoknak lvlg mg klln gyznük. Az zt kmondó gynltt, valamnt az ddg k nm légíttt gynltkt gyng gynltknk tkntjük, és zkt csak átlagos értlmbn tljsítjük. Az átlagos értlmbn való tljsülés azt jlnt, hogy mndn, a tartományon flvtt lgalább szakaszonként dffrncálható függvényr (az ún. Lagrang-szorzók függvényr) lgynk zk a kfjzésk ortogonálsak. 7

208 3./ Lépés: A Lagrang-szorzók 6 célszrű mgválasztásával és mgfllő átalakítások után mgkapjuk a krstt funkconál lső varácójának zérus voltát (vagys a krstt funkconál staconartását) lőíró δπ= gynltt (többváltozós stbn gynltkt). Ebből lőállítható maga a funkconál s. 4./ Lépés: A kész varácós lv numrkus rdménykt adó közlítő (például végslms) számítás tchnkájának kdolgozása a mgfllő bázsfüggvényk, lmk, stb. flvétlévl A fnt lépéskt alkalmazzuk llusztrálásul a tljs potncáls nrga funkconáljának lőállítására. Ebbn az stbn az gys változók között korább tanulmányank alapján mndn részltébn smrtnk tknthtő kapcsolat hálózatot mutatja b a kövtkző ábra:.. ábra: A potncáls nrga függvényénk származtatása A kválasztott mstrváltozó most az u lmozdulásmző. Mgjgyzzük, hogy az gész S flültt két részr osztjuk, az S u részn lőírt lmozdulásokat, az S t flültn pdg lőírt rőkt vszünk fgylmb. A másodk lépésbn az lmozdulás prmfltétlk alapján a mgngdtt lmozdulásmzők tartományát szűkítjük, majd az rős gomtra és 6 Emlékzttőül: A Lagrang-szorzók alkalmazásának módszr rész a BSc-mérnökhallgatók matmatka alapképzésénk, lásd a Thomas-fél Kalkulus III. kötténk oldalan található tananyagot. Mgjgyzzük, hogy a Lagrang-szorzós tchnkát varácós lvk kdolgozására lsőként Kurt Otto Frdrchs némt matmatkus (9-98) alkalmazta, ő gyébként két másk kváló némt matmatkus, Davd Hlbrt (86-943) és Rchard Courant (888-97) tanítványa volt. 8

209 anyaggynltkkl a mstrváltozóból számítjuk az alakváltozásokat és fszültségkt (bbn az llusztráló bmutatásban kzárólag ndxs jlöléskkl dolgozunk): u u u ε j = ( u, j+ u j, ) ( V n), σ j = D j k lεkl ( V n). (.) Most gyng kapcsolat gynlt lsz az gynsúly gynlt és a statka prmfltétl (zkt jlöltük az lőbb ábrán szaggatott kapcsolat vonallal). Ezk Lagrang-szorzós alakja: u u ( σ j, j + b) λ dv =, ( ˆ σj n j t) λ ds =. (.) V St A harmadk lépésbn alkalmazzuk a Gauss-tétlt a térfogat ntgrál átalakítására a (.) másodk gynlt bal oldalának lső tagjánál (a képltbn szrplő n j a flült normálsvktort jlöl), továbbá használjuk fl a Függlék (F.76) alatt harmadk gynltét: σ λ dv = σ λ dv + σ n λ ds (.3) u u u j, j j, j j j V V S A fszültségtnzor szmmtrkus jllgét flhasználva z az gynlőség tovább módosítható: u u u σ j, jλ dv = σ j ( λ, j +λ j, ) dv + σ jn jλ ds (.4) V V S A kfjzés tovább átalakításához, a varálás bvztéséhz a jobb oldal lső tagjának a gomtra gynltkhz való hasonlóságát kll flhasználn 6, vagys lgyn a továbbakban λ δ u, (.5) Ez a lépés azt jlnt, hogy a Lagrang-szorzót az lmozdulásmző (lső) varácójának tkntjük. Hlyttsítsük b zt a (.4) gynltb 6 : u u u u σ δ u dv = σ δε dv + σ n δu ds. (.6) j, j j j j j V V S A (.6) alatt gynlt utolsó tagjában a flült ntgrált bontsuk két részr ( S u és S t ). Az S u részn azonban az lmozdulás-függvény varácója ( δ u ) zérus, így z a tag csak az S t részn ntgrált tagra szűkíthtő: σ n δ u ds = σ n δu ds. (.7) S u u j j j j St Ez a kfjzés a (.) alatt másodk gynlt két tagra bontása sgítségévl a kövtkzőképpn s flírható: 6 Hasonló a postror módosítás nélkül általában csak jóval nhézksbbn lht gyakorlatlag használható varácós alakhoz jutn. Ezt maga Frajs d Vubk, nnk a lvztéstípusnak lső mchanka alkalmazója s így vélt. 6 Az új alaknál khasználtuk az alakváltozások és lmozdulások között rős kapcsolat gynltt, nnk varácójaként szülttt a jobboldal lső tagjánál fltüntttt alakváltozáskomponns varácó: ε u u j = ( u, j + u j, ) δε j = ( δ u, j +δ u j, ). 9

210 u ˆ σ jn δ j uds = tδuds. (.8) St Kövtv a (.8) (.7) (.6 ) (.3) (.a) St vsszahlyttsítéskt, mgkapjuk a tljs potncáls nrga lső varácójának zérus voltát lőíró gynlt: u u δπ u = σ δε dv b δu dv t δ u ds = ( ) ˆ. (.9) TPE j j V V St Mgjgyzzük, hogy tt az lső ntgrál alatt a flső ndxk azt mutatják, hogy a fszültség és az alakváltozás s az lmozdulás-függvénytől függ. Az lső varácós alakból most már gyszrűn lőállítható maga a tljs potncáls nrga funkconálja: u u Π ( u) ˆ TPE = σ jε jdv b u dv t u ds (.) V V St Az lső tagnál részltzzük a varácós, lltv a tljs alak között kapcsolatot: u u u u u u δ σ jε jdv = j j j j δσ ε dv + σ δε dv = V V V u u u u u u u u u u δεk l Dk l jε jdv + σ jδε jdv = δεk lσ kldv + σ jδε jdv = σ jδε jdv. V V V V V Az átalakításnál flhasználtuk a D j k l= Dk l j szmmtrafltétlt. (.) A varácós alak mgfogalmazása után kövtkzht a ngydk lépés, a numrkus vzsgálatok tchnkájának kdolgozása. Err most nnél az llusztráló példánál trmésztsn nm térünk k, hszn az ddg fjztk alapvtőn zzl kérdéssl foglalkoztak. A Hllngr-Rssnr-lv bmutatása és alkalmazása a végslms modllzésbn Ez a varácós lv (a továbbakban a rövdség kdvéért csak HR-lvként fogunk rá hvatkozn) az lmozdulásokat és a fszültségkt használja alapvtő mzőváltozóként. Most a másodk lépésbn az lmozdulás prmfltétlk alapján a mgngdtt lmozdulásmzők tartományát szűkítjük, d a fszültségkét nm (a statka prmfltétlkt gyng gynltnk tkntjük), mrt zkt általában nhzbb klégítn. A másodlagos alakváltozásokat kétfél módon s számítjuk, gyk változatuk a gomtra gynltk sgítségévl az lmozdulások approxmácójából adódk, a máskat pdg az anyagmodll gynltk flhasználásával kapjuk az ugyancsak alapváltozó fszültségkből: u (,, ), σ u σ ε j = u j + u j ε j = C j k lσ k l ε = Lu, ε = Cσ (.) u ( ( ) T ), σ ε = u u ε =C : + σ = D : σ. Fnt gynltkbn C az anyag hajlékonyság tnzor, z az ddgkbn használt D anyag mrvség tnzor nvrz.

211 A HR-lvnél thát gyng kapcsolat gynlt lsz a kétfélképpn számított alakváltozások gynlőség, az gynsúly gynltk és a statka prmfltétlk (3. ábra). Ezk flírásánál két különböző Lagrang-szorzót használunk, a két alapvtő változónk varácóját, mégpdg úgy hogy a gyng gynlt tagjaval szorozva fajlagos munkát (nrgát) kapjunk (most csak az ndxs és a Vogt-fél jlölést mutatjuk):.3. ábra: A HR-lvhz tartozó alapvtő gynltk u σ ( ) (, ) ( ˆ ) ε ε δσ dv =, σ + b δu dv =, σ n t δ u ds =, j j j j j j j V V St u σ T ( ) ( ) ( ˆ) T T T ε ε δσ dv =, L σ + b δ u dv =, σ n t δ u ds =. V V St (.3) A (.3) alatt másodk és harmadk gynlt csak annyban különbözk a (.) gynlttől, hogy most a fszültség alapvtő változó, zért nncs flső u ndx, d a (.)-(.8) gynltkbn mgadott lépésk tt s lvégzhtők, így zk a kövtkző alakba írhatók: u σ δε dv b δu dv tˆ δ u ds =, j j V V St. (.4) T u T T σ δε dv b δudv tˆ δ u ds =. V V St A (.3) lső gynlt és a (.4) alatt gynltk gyütt a HR-lvhz tartozó funkconál lső varácójának a zérus voltát fjzk k (lőbb a fszültség, utóbb az lmozdulás szrnt varácó). Újból flhívjuk a fgylmt arra, hogy mndg a flső ndx mutatja (most például az alakváltozásnál), hogy az adott mchanka komponns mlyk alapvtő változó függvény. Most s van gy tag, amlyk a fszültségtől s, és a növkményétől s lnársan függ, thát (.) analógájára a HR-funkconálban a fszültség négyztét tartalmazó tagnak ½

212 lsz az gyütthatója. Fntk fgylmbvétlévl a HR-lv funkconáljának véglgs alakja (tt a végrdménynél mndhárom flírás módot mgadtuk, a tnzoros jlölésnél a változatosság kdvéért a korábbakban használt anyag mrvség tnzort alkalmazva): Π (, ) (,, ) ˆ HR u σ j = σ j u j + u j σ jc j k lσ k l bu dv tuds, V T T T T Π (, ) ˆ HR u σ = σ Lu σ Cσ b u dv t uds, (.5) V Π = dv ˆ HR( u, σ) σ : u σ : D : σ b u t u. V St A HR-lv azt mondja k, hogy nnk a funkconálnak a tljs lső varácója zérus. Itt mgsmétljük a (.3a) és (.4) gynltkt, d mndnütt mgadjuk az alapvtő változókhoz való kapcsolat alakját. Először ndxs jlöléssl: δu δπ (, ) (,, ) ˆ HR u σ j = σ j δu j + δ u j bδ u dv tδuds, V δσ j δπ HR ( u, σ j) = δσ j ( u, j + u j, ) δσ jc j k lσ k l dv, V majd Vogt-jlöléskkl: ( ( ) ) δu δπ ( u, σ) = Lδu σ δu b dv δu tˆ ds=, HR δσ HR V T T ( ) δπ ( u, σ) = δσ Lu δσ Cσ dv=, V St t St ds T T T végül tnzorokkal: δu δπ ( u, σ) = δu : σ δu b dv δu tˆ ds=, HR δσ HR V ( ) ( ) δπ ( u, σ) = δσ : u δ σ : D : σ dv=. V S t S St (.6) (.7) (.8) A HR-funkconálban lvő változók folytonosságáról (3D rugalmasságtan fladatokat vzsgálva) mgállapíthatjuk, hogy az lmozdulások közlítésénk fokszáma mndg ggyl magasabb, mnt a fszültségké, hszn az lmozdulásoknál szrplt lső drvált, míg a fszültségknél nm. Ez például azt jlnt, hogy ha az lmozdulás-függvényknél C folytonos közlítést alkalmazunk, akkor a fszültségfüggvényk közlítés csak C rndű, azaz lynkor az gys lmk között általában szakadás lsz a fszültségmzőkbn! Mgjgyzzük, hogy ha az alapvtő változóként kzlt lmozdulás-függvényknél nm szűkítjük l a vzsgálatba bvont függvényk trét az S u flültn lőírt u ˆ lmozdulást klégítő függvénykr, akkor a gomtra prmfltétlkt s gyngén kll klégítn, és zért a (.3) alatt gynltk még kgészülnk gy új gynlttl, mlybn a prmfltétlkt az S u -n értlmztt r rakcórők varácójával szorozzuk:

213 ( u ˆ) lltv ( ˆ u δ rds = u u) δ r ds=. (.9) Su Su Így az rdt HR függvény gy tovább változóval és gy tovább taggal s kgészül. Az új funkconált a mchankában lőírt lmozdulásokkal általánosított HR-funkconálnak hívják, jl Π. Flépítés: g HR ( σ ) ( ˆ ) g Π u,, r =Π u u rds, HR j HR Su ( σ ) ( ˆ HR ) g Π u,, r =Π u u r ds, HR Su ( ) ( ˆ) g Π u, σ, r =Π u u r ds. HR HR Su T T (.) Így az lső varácók zérus voltának lőírására vonatkozó gynltk a kövtkzőképpn adhatók mg (a rövdség kdvéért csak a Vogt-fél jlöléssl):.. Példa. gδu HR (( ) ) ˆ δπ ( u, σ, r) = Lδu σ δu b dv δu t ds δu r ds=, gδσ HR T T ( ) δπ ( u, σ, r) = δσ Lu δσ Cσ dv=, gδr HR ( ˆ) δπ ( u, σ, r) = δr u u ds=. u T T T T V S S V S T t u (.) Tkntsünk gy két végén mgtámasztott, változó krsztmtsztű, kzárólag normálrőkkl trhlhtő rudat, mlynél a két vég (rúdtngly rányú) ltolódásat írjuk g lő, és az gyszrűség kdvéért most más trht n rakjunk rá. A Π HR funkconált kívánjuk használn..4. ábra: Változó krsztmtsztű rúd a) Alapvtő összfüggésk: { } { } V= x, x l, S =, l, S ürs halmaz. u t 3

214 b( x) = uˆ = uˆ ˆ ˆ ˆ u l = u t A normálvktorok: n( ) =, n() l =. A krsztmtszt változása: A( x) = A+ ( A A ) x / l. A mstrváltozók (vagy más névn: alapváltozók) : u( x), N( x )., (), ( ), -nk nncs értlmzés tartománya. A másodlagos változó származtatása: u du σ ε ( x) =, ε ( x) = N( x). dx EA x b) Az alapváltozók közlítés: ( ) Az lmozdulásfüggvényt közlítsük lnárs függvénnyl: u u( x) = [ x / l x / l], u a fszültségk függvényét (jln példánál a normálrőnk) pdg gy alacsonyabb fokszámú ( C -folytonos) függvénnyl: N x = N. ( ) [] Ugyanz a varácókra: δu δ u x = x l x l ( ) [ ] / /, u δ ( ) [] N δ N x = δ. Ha a V nm gydmnzós tér rész lnn, akkor S u sm dszjunkt 63 pontokból állna, és kkor az r függvényt s az S u -n értlmztt bázsfüggvényk lnárs kombnácójával klln közlítn. Most azonban zk a bázsfüggvényk -gyl gynlők: ( ) [], () [], lltv ( ) [], () [] r = r r l = r δ r = δr δ r l = δ r. A másodlagos változók számítása: u u σ ( x) [ / l / l] ε =, ε ( x) = u ( ) [] N. EA x c) Bhlyttsítés a (.) alatt gynltkb: l g u / l x / l δ δπ HR= [ u u] Ndx [ u u] r( x) δ δ δ δ / l x / l x= x / l [ δu δu] r( x) =, x / l l g u δσ δπ HR = N [ / l / l] N δ dx=, u EA( x) x= l 63 Dszjunkcó: A logkában a vagy -nak mgfllő kapcsolat, azaz gymást kölcsönösn kzáró lltv kölcsönösn mgngdő fogalmak vagy állítások. 4

215 g r u δ δπ HR= r( x) [ x / l x / l] uˆ( x) δ u x= u r( x) [ x / l x / l] uˆ( x) δ =. u x= l Ezknk a kfjzésknk bármlyn δu, δu, δn, δr, δ r varácóra tljsülnük kll, zért a kjlölt bhlyttsítésk és ntgrálások lvégzés után a kövtkzőkt kapjuk: N r r=, ln( A / A ) l u + u + N E A A =, u+ uˆ =, u + uˆ =. ( ) Mgjgyzzük, hogy tt az utolsó gynltből azért ltt kttő, mrt a δ Π = gynltnk tljsüln kll mnd a δr, δ r=, mnd a δ r=, δr stbn.) Az gynltrndszr mgoldása: E( A A) u ˆ ˆ = u, u= u, N= u u, r= N, r= N. ln A / A l.. Példa ( ) ( ) A kétváltozós varácós ljárások hatékonyságának érzéklttésér mgvzsgálunk gy gyszrű numrkus fladatot. Tkntsük újra a.4. ábrán bmutatott változó krsztmtsztű rudat, d most a kzdőpontot rögzítjük ( u= ˆ ), a végponton pdg gy P nagyságú húzórőt működttünk. Az lőző példa mgoldásat flhasználva (fgylmb vév, hogy most û nncs mgadva, d r ˆ = t= P ) és a krsztmtszt trültk átlagát A m ml jlölv ln( A ( ) / A ) Pl ln( A / A ) A+ A Pl u= =, A A E ( A A) EA r= P m adódk. Különböző végkrsztmtsztű oszlopokat vzsgáltunk, és gyúttal mndgyk fladatot mgoldottuk a klasszkus lmozdulásmódszrs végslms tchnkával s, szntén lnárs közlítést alkalmazva (a TP jlzés a táblázat fjlécébn a tljs potncáls nrgára utal). Az utolsó oszlopban az analtkus úton számított pontos rdménykt s fltüntttük: Trültk aránya u HR alapján u TP alapján pontos u A / A = Pl /( EA m) Pl /( EA m) Pl /( EA m) g δ r HR 5

216 A / A =, 397 /( m), 397 Pl /( EA m) A / A = 5, 7 /( m), 7 Pl /( EA m) Pl EA Pl /( EA m) Pl EA Pl /( EA m) Mgállapíthatjuk,hogy a HR-lvt használva a végkrsztmtszt lmozdulását pontosan mgkaptuk 64. Az ddgk flhasználásával mgfogalmazható gy lmr a HR-lv végslms mgoldásán alapuló közlítés. Az lmozdulások közlítésér ddgkbn használt appr. u u = N v (.) közlítés mlltt most bvzttünk gy appr. u σ σ = σ (.3) N σ közlítést s ( v ésσ gy darab végslm csomópontjahoz tartozó lmozdulás- és u fszültség-smrtlnkt jlölk, N és N σ pdg az lmr vonatkozó mgfllő bázsfüggvényk). A (.6-8) gynltkbn szrplő ntgrálokat lmnként számítjuk (kmlv a δ, δσ, v ésσ vktorokat), bvztv a kövtkző jlöléskt: = V v T σ u T σ T T, = σ ( ) ˆ = u u V V S A N D N dv B LN N dv, g N b dv N t ds. t (.4) A tljs szrkztr vonatkozó komplácóval (és gy lőjlváltással) a lőbbkbn bmutatott két staconartás fltétl az alább gynltrndszrt rdményz: T A B σ B =. (.5) v g.3. Példa Tkntsünk gy 3 m hosszú, két végén bfogott állandó krsztmtsztű rudat, mlyr b ntnztású, gynltsn mgoszló tnglyrányú thr hat. Bontsuk fl a rudat 3 lmr, mlykn az lmozdulásokat kétpontos ( C -folytonos), a fszültségkt gypontos ( C - folytonos) függvénnyl közlítjük. Állítsuk lő a (.5) alatt gynltrndszrt! Az lmk lokáls koordnáta-rndszrénk orgóját az lm kzdőpontjában vsszük fl, így az ntrpoláló mátrxok: u N σ =. N = [ ξ ξ ], [] Az lmhz tartozó mátrxok (.4) szrnt 64 Az lmozdulás- és alakváltozás függvényk trmésztsn nm pontosak! 6

217 b / A = [ / EA], B =, g =. b / A (.5) gynltrndszr (a zérusnak lőírt u és u 4 oszlopat és sorat lhagyva): / EA N / EA N / EA N 3 =. u b u b 3 Ennk mgoldása: u= u3 = b / EA, N = b, N =, N 3= b. Példák a Hllngr-Rssnr-funkconálon alapuló D végslms modllzésr Pan és Sumhara 65 javasolta a.5. ábrán látható szabályos drékszögű négyszöglm (téglalaplm) használatát kétváltozós végslms tchnkához: Az lmozdulások u.5. ábra: Téglalaplm 4 = N (, ) x y v ntrpolácójára a mgszokott blnárs = bázsfüggvénykt javasolták: x x y y x x y y N( x, y) = ( )( ), N( x, y) = ( + )( ), 4 a b 4 a b x x y y x x y y N3( x, y) = ( + )( + ), N( x, y) = ( + )( + ). 4 a b 4 a b A fszültségkt öt paramétrrl ntrpolálták, a nyírófszültségkt konstansnak vtték fl: 65 Pan, T.H.H.- Sumhara, K.: Ratonal approach for assumd strss fnt lmnts, Int. J. Numrcal Mthods n Engnrng, Vol.., pp ,

218 Itt az lmozdulásfüggvény σ x x y y σ σ y y x x σ = τxy. xy σ τ x σy C -folytonos, a fszültségfüggvény pdg szakadásos. Johnson és Mrcr 66 háromszöglm használatát javasolta (.6-os ábra). A HRfunkconál (.5) alatt képltét a (.4) gynlőség alapján átírták gynsúly Π HR ( u, ) ˆ σ j = σ j, ju σ jc j k lσ k l bu dv tuds V (.6) St alakra, khasználva azt a fltétlt, hogy olyan fszültségfüggvénykt fognak használn, mlyknél az lmk a háromszöglmk három oldalán gyütt számított fszültségkr gynsúlyban vannak, és így (.4) utolsó tagja zérus..6. ábra: Háromszöglm A (.6) alatt HR-funkconálban a fszültségfüggvényt drváltuk, thát annak kll lgalább C -folytonosnak lnn, az lmozdulásfüggvény már lht szakadásos ( C osztálybl). Ennél a modllnél a háromszöglmt lőször három darab al-háromszögr bontották (lásd a fnt ábrát), középpontnak kjlölv a súlypontot. A fszültségapproxmácóhoz h a./ mndn al-háromszögbn a közlítndő σ vktor komponnst lnárs függvényként vtték fl (3 darab háromszögbn gynként 3 fszültségfüggvény, függvénynként 3 smrtln gyüttható: z összsn 7 paramétr). b./ A szomszédos al-háromszögk közös (a.6. ábrán fktévl jlölt) éln fltétlzték a σ n összfüggésből számítható fszültségvktorok 67 folytonosságát 66 Johnson, C. Mrcr, B.: Som qulbrum fnt lmnt mthods for two dmnsonal lastcty problms, Numr. Math., Vol. 3, pp. 3 6, Itt és a továbbakban n az élr mrőlgs gységvktort jlöl. 8

219 (3 éln - komponns értékét - pontban kll gyzttn), így fltétlt kll tljsítnünk. A maradék (7-=5) szabadságfok (lásd a.7. ábra bal oldal rajzát):.7. ábra: Háromszöglm a./ a háromszög három külső élén a pontban ( szabadságfok), σ n fszültségvktorok érték - b./ 3 szabadságfok szükségs a háromszög külső élr ható fszültségk gynsúlyának bztosításához, Az lmozdulásvktor ( u ) mndkét komponnsét konstansnak vtték fl, z lmozdulás szabadságfokot jlnt. Arnold és Wntr 68 szntén háromszöglmt ajánlottak a vgys varácós lvvl történő mgoldáshoz a (.6.)-os képlt alapján. Ők a σ vktorhoz szükségs fszültségfüggvénykt harmadfokú (3 =3 paramétr), az u lmozdulásfügvénykt lnárs ( 3=6 paramétr) függvénykkl közlíttték. A fszültségtnzor σ x, x+τ xy, y dvσ= τ xy, x+σy, y módon számítható dvrgncája másodfokú függvény lnn, d a szrzők kkötötték, hogy csak lsőfokúak lhtnk. Ezt a másodfokú tagok 3=6 gyütthatójának zérusként való lőírásával bztosítják, thát csak 3-6=4 szabadságfoka lsz a fszültségknk (lásd a.8. ábra bal oldala): a./ a fszültségtnzor 3 lménk érték a három sarokpontban (9 szabadságfok), b./ a háromszög három külső élén a σ n fszültségvktorok érték tovább - pontban ( szabadságfok), (hszn a sarokpont értékkkt a fszültségtnzor 68 Arnold, D. N. Wnthr, R. : Mxd fnt lmnts for lastcty, Numr. Math., Vol. 4, pp. 4-49,. 9

220 lmnk lőírása mgadja, és így mndn éln 4 pontban smrt a fszültségfüggvény, thát a harmadfokú függvény gyértlmű), c./ 3 szabadság fok szükségs a háromszög külső élr ható fszültségk gynsúlyának bztosításához..8. ábra: Háromszöglm Az lmozdulásvktor ( u ) mndkét komponnsét a.8. ábra jobb oldal vázlata szrnt 3-3 pontban vtték fl, z 6 lmozdulás szabadságfokot jlnt. Vékony lmzk számítására javasolta Rddy és Chn-Shyh-Tsay 69 az alább modllkt (a 6 alatt ckkbn olvasható tömör összfoglaló mlltt tovább részltk találhatók a [ ] műbn): a lmzszrkzt gy darab végs lmér vonatkozó HR-funkconál gynlt (p a trhlés, w az ltolódás, m pdg a nyomaték függvényét jlöl): 6 Π HR lmz ( w, mx, my, mxy ) = ( m ( ) 3 x my mxmy m + ν + +ν x y + Et A w m m x xy w my m xy w pw) da mn s ds x x y y y x s w mnwn ds ( Q nw mn s ) ds, s S w S t ahol a másodk ntgrál az lm krültét jlöl, az utolsó két ntgrál pdg azokat a prmrészkt, ahol a vzsgált lm az gész szrkzt (lőírt lmozdulásokat és génybvétlkt tartalmazó) prméhz llszkdk 7. Rddy a csavarónyomatékokat az ltolódásfüggvény másodk drváltja sgítségévl hlyttsíttt, így a funkconál gy módosított alakját s flírta (az gyszrűség kdvéért a prmkr vonatkozó tagokat most nm smétljük mg): S 69 Rddy, J. N. Chn-Shyh-Tsay: Mxd rctangular fnt lmnts for bndng., Proc. Okla. Acad. Sc. Vol. 57, pp , Ha az lm a lmz blsjébn van, akkor z a két ntgrál trmésztsn hányzk a funkconálból.

221 HR lmz, mód. ( w, mx, my ) ( m 3 x my mxmy Et A 3 6 Et w Π = + ν + + ( +ν) x y w m m x w y + + Pw) da... x x y y.9. ábra: Lmzlmk A szrzők (lásd a.9. ábrát) háromfél vgys modllt hoztak létr: a./ A funkconál flhasználásával gy négycsomópontos négyszöglmnél (Modl- I) blnárs approxmácót alkalmaztak. Egy csomópontnál az alább változókat használták: w, m, m, m, így az lm 6 szabadságfokú. x y x y b./ Blnárs approxmácóval közlítttk (Modl-II) csomópontonként három változót ( w, m x, m ), így nnk az lmvaránsnak a szabadságfoka. Ezt az y lmfajtát lkészíttték nyolc-csomópontos változatban s, z munkákban kvadratkus névn szrpl (4 szabadságfok). c./ A harmadk varáns (Modl-III) csomópontonként különböző típusú változókat alkalmaz, tt az lmozdulásokra blnárs, a nyomatékokra (az gyk változóban) lnárs approxmácót használtak, így az lm szabadságfoka összsn 8. Háromváltozós varácós ljárások Három mzőváltozót alkalmazó fladatként a Vubk-Hu-Washzu-funkconált (továbbakban VHW-funkconált) szokás numrkus célokra használn. Mnt azt a bvztésbn közölt táblázatban már bmutattuk, z a funkconál az lmozdulásokat, a fszültségkt és az alakváltozásokat használja smrtln függvényként 7. 7 Mgjgyzzük, hogy a gyakorló mérnökök körébn ltrjdt tévs nézt llnér nm z a lgáltalánosabb varácós lv, nála össztttbb matmatka formák s flírhatók (lásd például

222 Elmélt jlntőség és a numrkus fladatokban való sokszínű alkalmazhatósága matt az lv többfél változatát s bmutatjuk. Először gy olyan alakot közlünk, mlynél az lőírt prmfltétl lmozdulások s rész a funkconálnak (általánosított VHW-lvnk hívják a mchankában). A mchanka gynltk között kapcsolatok lénygét az ddgkhz hasonló értlmzéssl az alább ábra llusztrálja:.. ábra: Folyamatábra a VHW-funkconálhoz A HR-lvnél korábban már bmutatotthoz hasonló lépéskt (Lagrang-szorzós tchnkát) alkalmazva most s lőállítható a VHW-funkconál lső varácója: Flppa, C. A. : A survy of paramtrzd varatonal prncpls and applcatons to computatonal mchancs, Comp. Mths. Appl. Mch. Engrg., Vol. 3, pp. 9-39, 994 alatt ckkét), d zkr témánk a klasszkus lnárs rugalmasságtan szmpontjából nm lsz szükség.

223 u ε {( ) ( ) (, ) } ( ˆ ) δπ = ε ε δσ + σ σ δε σ + b δu dv + σ n t δ u ds ált. VHW j j j j j j j j j j V S t ( ) S u u T ε T T T {( ) ( ) ( ) } ( ˆ ) S u u uˆ n δσ ds, j j j δ ε ε δσ σ σ δε σ δ σ δ ált. T Π VHW = + L + b u dv + n t u ds V S t A j, j u ( ) T u uˆ ( δσ n) ds. (.6) σ δ tagot ugyanúgy alakítjuk át, mnt azt a korábbakban tttük. A mgfllő lépéskt végrhajtva az alább kfjzéshz jutunk: δπ = ε ε δσ + σ σ δε + σ δε bδu dv tˆ δu ds ε { ( ) ( ) } ált. u u VHW j j j j j j j j V S t ált. VHW ( ) u ˆ j u n jδσ j σ jn jδ u + ds, S u u T ε T T u T {( ) ( ) } ˆ T δπ = ε ε δσ + σ σ δε+ σ δε b δ u dv t δ u ds V T u uˆ ( δσ n) σ n δ u ds. S u T ( ) ( ) Innn adódk maga a VHW-funkconál: ált. u ε Π (,, ) ( ) ˆ VHW u σ j ε j = σ j ε j ε j + σ jε j bu dv t u ds V ( ) ( ) u uˆ σ n ds, ált. T u T T T Π (,, ) ˆ VHW u σ ε = σ ε ε + σε ε b u dv t u ds V S u S u j j j ( ˆ) S t T ( σ n) u u ds. S t S t (.7) (.8) A VHW-lv azt mondja k, hogy nnk a funkconálnak az lmozdulások, fszültségk és alakváltozások szrnt lső varácója zérus: ált. δπ VHW =. (.9) Ebből a funkconálból többfél más változatot s létrhoztak és használnak az lmélt és numrkus mchankában. Egy lhtségs módosítás 7 például az, hogy u -t az 7 Mgjgyzzük, hogy z az úgynvztt általánosított alak származk Vubk-től 95-ből, míg Hu és Washzu 954-bn lltv 955-bn az gyszrű -nk, vagy alapvtő -nk nvztt 3

224 lmozdulás prmfltétlkt klégítő függvényk közül választjuk, így kapjuk a különböző mchanka és végslms könyvkbn gyakran szrplő úgynvztt alapvtő VHW-funkconált: T u T T (,, ) ( ) ˆ T Π VHW u σ ε = σ ε ε + σε ε b u dv t u ds. (.3) A staconartás fltétl: V T T ( ) δε δσ dπ ( u, σε, ) = δε Dε ε σ dv=, dπ ( u, σε, ) = δσ ( ε Lu) dv=, VHW V δu VHW VHW S t V T T T {( ) } ˆ dπ ( u, σε, ) = Lδu σ δu b dv δ u t ds=. (.3) A funkconálok vzsgálatából mgállapítható, hogy a közlítésnél szükségs folytonosság kövtlményk hasonlóak a HR-lvnél alkalmazottakkal: a fszültségk és alakváltozások approxmácója alacsonyabb függvényosztály alkalmazásával történk, vagys ha például gy tárcsánál vagy 3D fladatnál az lmozdulásokat C folytonos függvénykkl közlítjük, akkor a másk két függvény már csak az lmn blül lsz folytonos ( C osztályba tartoznak). Hajlított szrkztknél még nagyobb a különbség, vagys ha gy héjat, lmzt vagy grndát vzsgálunk, akkor a C folytonos közlítésű lmozdulások mlltt kll C rndű génybvétlkt és görbültkt használnunk. Vzsgáljunk mg most s gy gyszrű példát az lv alkalmazására..4. Példa Vzsgáljuk mg a.. ábrán látható spcáls grndalmt, ahol középn gy nyomaték flvétlér nm képs csuklót hlyztünk l V T St.. ábra: Csuklós grnda változatot publkálta. A [ 7] és[ 8 ] alatt művkbn más változóvaránsok használatával s találkozhat az olvasó. 4

225 Az lmn két csomópontot vszünk fl, maga az lm a rajz szrnt az xz síkban hlyzkdk l. A térfogat rőkt lhanyagoljuk, a krsztmtszt és az anyag állandó, rugalmasságtan modllnk pdg a klasszkus Brnoull-Navr-változatot használjuk. A csomópontokon a klasszkus grndamodllnk mgfllőn az lmozdulásokat két-két ltolódás és lfordulás jllmz : w, w, θ, θ. A csomópont rők: f, f, M, M, a lokáls és globáls koordnáta kapcsolata a rajz szrnt: ξ = ( x l) / l. Az alapvtő VHW-funkconál a grndamodllr a kövtkzőképpn írható fl: w Π VHW( w, M, κ) = M( κ κ) + EIκ dx fw fw Mθ M θ, l w ahol M a hajlítónyomaték, κ pdg a fajlagos görbültk függvény (jln stbn w d w κ = = w ). dx A közlítéskt az alább formában vsszük fl: a./ A nyomatékot és a fajlagos görbültt lnárs függvénnyl közlítjük (zk tljsítk a ξ= M= κ = fltétlt): M= Mξ, κ= κξ. b./ Az ltolódásokat harmadfokú Hrmt-polnomokkal közlítjük: w= ( ξ) ( + ξ) w+ l( ξ) ( + ξθ ) + ( + ξ) ( ξ) w l( + ξ) ( ξθ ) A funkconál számításához szükségünk lsz az ltolódásfüggvény másodk drváltjára: w 6 6 w ξ ξ κ = = w+ (3ξ ) θ w+ (3ξ+ ) θ. l l l Mndzkt az értékkt bhlyttsítjük a VHW-funkconálba, lvégzzük a hossz szrnt ntgrálást, majd a M, κ és w szrnt parcáls drváltakat nullával gynlővé tév az alább gynltrndszrt kapjuk: EIl l 3 3 l κ 3 l l M w f l = M. θ w f θ M l 5

226 Általánosítsuk most s a fntkt a végslms számítás céljára, hasonló módon, mnt ahogy azt a HR-lvnél tttük az lőzőkbn. Vzssük b az alább approxmácókat: (.3) (.33) appr. u u = N v, appr. σ σ = σ, u N σ appr. = N ε ε ε ε. (.34) Az gys jlölésk értlmzés tljs mértékbn mggyzk a HR-lv modllzésénél használttal, az gytln különbségt az jlnt, hogy most az alakváltozásokra s flírunk gy ntrpolácót. Az approxmácók sgítségévl flírható mátrxok: T ( ) ˆ T ε T ε u σ T T ε σ u u V V V V S A = N D N dv, B = N N dv, C = LN N dv, g = N b dv+ N t ds. (.35) A háromváltozós varácós fladathoz tartozó komplált numrkus gynltrndszr zk sgítségévl állítható össz. Végső alakja: T A B ε T B C σ=. (.36) C v g Rugalmasan össznyomhatatlan anyagok vzsgálata módosított Hllngr-Rssnr-funkconállal Mnt azt az lőző lőadás térfogat záródás témakörénél mlítttük, az lmozdulásmódszrn alapuló végslms tchnkák alkalmazásakor komoly problémát jlnt a rugalmasan össznyomhatatlan (Posson tényzőjébn,5-höz közlítő) anyagok vzsgálata. A többváltozós funkconálok sgítségévl flépíttt végslms ljárások alkalmazásával lkrülhtő a záródás jlnség. Ilyn stk vzsgálatánál az alakváltozás és fszültségtnzorokat hdrosztatkus és dvátoros komponnskr flbontva használják, és trmésztsn z a flbontás a prmérték- lltv a varácós fladatmgfogalmazásban s mgjlnk. Az alapváltozók komponns az smrt tnzoros mchanka jlöléskkl (I az gységtnzor): ε= + Θ I és σ= s + pi, aholθ= tr( ε), p= tr( σ ). (.37) 3 3 Írjunk fl lőször gy módosított Vubk-Hu-Washzu-funkconált zkkl a paramétrkkl: Π, ( u,,, s, ) : s : ( s VHW mód Θ p = G + KΘ dv u dv V V t 6

227 [ p( dv u) ] dv b u dv. (.38) Θ V A fnt funkconálban G a nyírás rugalmasság modulus, K a térfogatváltozás modulus (a nyírás rugalmasság modulus és a másk Lamé-paramétr függvényébn K = λ+ G / 3), az lmozdulás-függvényr alkalmazott oprátornál az S ndx arra utal, hogy a kapott tnzor szmmtrkus részét kll vnnünk, a flülvonással pdg a dvátoros S S részt jlöljük: u = u+ dv u I. Az lmozdulás-dvrgncáról mgjgyzzük, hogy 3 S dv u= tr( u) módon s számítható. Ha fgylmb vsszük az alább fltétlkt: S = u, p= KΘ, (.39) akkor a VHW-funkconálról áttérhtünk a valamvl gyszrűbb, módosított Hllngr- Rssnr-változatra: S S Π HR, mód ( u, p) = G u : u dv p dv p dvu dv b u dv + K. V V V V V (.4) Mgjgyzzük, hogy ha nnk a funkconálnak p szrnt varácóját vsszük, akkor a hdrosztatkus nyomás és az lmozdulás-gradns között összfüggéshz jutunk: p K dvu = = λ+ G dvu 3. (.4) A rugalmas össznyomhatatlanság stébn ( K ) a módosított funkconál az alább alakra rdukálódk: S S Π HR, mód ( u, p) = G u : u dv+ p dvu dv b u dv (.4) V V V Ez a funkconál mlékztt az össznyomhatatlanság fltétlll kgészíttt klasszkus potncáls nrga függvényér, azzal a különbséggl, hogy most az lmozdulásfüggvény gradnséből csak a dvátoros részt vttük fgylmb. A módosított HRfunkconál staconartás fltétl: δu,. (, ) S : S dπ HR mód u p = G u u δ dv+ dv( δu ) p dv δu b dv=, V V V δp HR mód dπ, ( u, p) = δ p dvu dv=. V (.43) (.44) Vzssük b az alább approxmácókat: appr. u u u = N v, appr. p p p = N pˆ (.45) A = G N : N dv, B = N dv N dv, f = N b dv, S u S u p u u (.46) V V V így a szélsőérték-fltétlk (komplálás után) az alább gynltrndszrt rdményzk: T A B uˆ f =. (.47) B pˆ 7

228 A numrkus tapasztalatok azt mutatták, hogy z a mgoldás dőnként még mndg numrkus nstabltásokhoz vztht, zért mgbízhatóbb változatnak tartják azt a kétparamétrs funkconált, amlyt gy ɶp= λ dv u fszültségmző bvztésévl állítanak lő (z nm tévsztndő össz az ddg használt p hdrosztatkus nyomással, hszn p= K dvu= ɶ p+ G dvu ): 3 s s Π mód ( u, pɶ ) = G( u : u) p dv p dvu dv b u dv ɶ + λ ɶ.(.48) V V V A szokásos módon flírva az approxmácókat varácókat és bhlyttsítv az appr. u appr. pˆ u u = N v, pɶ pɶ = N ɶ pˆ (.49) S u S u p u u A G N : N ɶ = dv, B= N dv N dv, f= N b dv V V V (.5) a komplálást végrhajtva az alább gynltrndszrhz jutunk: T A B uˆ f B = pˆ. (.5) ɶ A numrkus tapasztalatok szrnt z a változat gn stabl. Módosított Hu-Washzu-funkconál Smo és Rfa 73 javasolta az 99-s évkbn a Vubk-Hu-Washzu-funkconál gy újabb, spcáls módosítását (a szakrodalom javított (nhancd) változatnak nvz módszrükt). Ebbn a változatban az alakváltozásokat gy kompatbls ( S u ) és gy nkompatbls (ε ~ ) rész összgként írják fl (csak a tnzoros jlölést írjuk fl): ε= S u+ ~ ε. (.5) Bhlyttsítv zt a flbontást a VHW-funkconálba: S S Π VHW, jav. ( u, σ, ɶε ) = ( u+ ε) : D :( u+ ε) dv : ε dv b u dv ɶ ɶ σ ɶ. A staconartás fltétl és a szokásos V V V appr. u u = N v, u (.54/a) appr. = N appr. ε ɶˆ S u S u ε S u ɶ (.55) V V σ σ σ, (.54/b) ɶε ɶε = N ε (.54/c) A = N : D N dv, B = N : D N dv, ɶε ɶε σ ɶε u C = N : D N dv, D = N : N dv, f = N b dv V V V, (.53) (.56) 73 Smo, J. C. Rfa, M. S. : A class of mxd assumd stran mthods and th mthod of ncompatbl mods, Int. J. Numr. Mthods Eng., Vol. 9, pp , 99. 8

229 approxmácók flírása, valamnt a komplálás után az alább gynltrndszrhz jutunk: T A B v f T B C D εˆ ɶ =. (.57) D σ A Smo-Rfa-javaslatot néha kgészítk az nkompatbls alakváltozásokra flírt ortogonaltás fltétlll: σ :ε ~ dv =. (.58) Ebbn az stbn (.53) másodk tagja ltűnk. V Mgjgyzésk a vgys varácós lvkn alapuló végslms számításokhoz Külön pontban szrtnénk flhívn a végslms modllzés különböző lhtőség közül választan kívánók fgylmét arra, hogy a vgys varácós lvk nagyon sokszor valóban hatékonyan oldanak mg bzonyos problémákat (például D szrkztknél az lmozdulásmódszrhz képst alacsonyabb smrtlnszámmal képsk anyag és krsztmtszt változások pontosabb kövtésér, alkalmasak térfogat és nyírás jlnségk kküszöbölésér, stb.). Alkalmazásuk során azonban sajnos nagyon sokszor tapasztaltak numrkus nstabltásokat, amlyk általában csak vszonylag bonyolult korrkcós tchnkákkal voltak mgszüntthtők, sokszor éppn anny gondot okozva a számítások során, mnt maga az a probléma, amnk mgszünttésér rdtlg a vgys módszrt bvztték az gyváltozós varácós lvk hlytt. Strang, a kváló amrka matmatkus, a végslms számítások matmatka lmzésénk gyk lgjobb szakmbr jgyzt mg a közlmúltban, hogy bzony sokszor a vgys modllk vgys rdménykhz vztnk. Mndnnk llnér a vgys modllknk mgvan a maguk jlntőség a numrkus modllzés körébn s, csupán arra kll ügylnünk, hogy alkalmazásuk kzárólag ott történjn, ahol hatékonyságuk arányban áll a használatukra fordított munkamnnységgl. Hbrd varácós lvk és végslms modllzésük A hbrd varácós lvk lmélt kontnummchanka alapjat Pragr 74 dolgozta k részltsn, d mgjgyzzük, hogy néhány évvl korábban Pan 75 már publkált gy 74 Pragr, W.: Varatonal prncpls for lnar lastostatcs for dscontnous dsplacmnts, strans and strsss, n Rcnt Progrss n Appld Mchancs, d. Brogr-Hult-Nordson- Almqust-Wksll, pp , Stockholm, Pan, T. H. H.: Drvaton of lmnt stffnss matrcs by assumd strss dstrbutons, AIAA J., Vol., pp ,

230 nnk mgfllő végslms változatot. Ezt kövtőn gészn a klncvns évkg nagyon kvsn foglalkoztak vl, d azóta gyökrs változás kövtkztt b, z a tchnka ma már a aktívan kutatott végslms fjlsztés trültk közé tartozk. Ennk főlg az az oka, hogy az utóbb évkbn mgnövkdtt az gény a valamlyn értlmbn nm folytonos fladatok (ltérő mchanka modllzésű részkből összrakott tartók, makrorpdéskkl vagy másfél fszültség szngulartásokkal trhlt szrkztk, stb.) vzsgálat módszr ránt. A vgys ljárásoknál tapasztalt numrkus nstabltások s fokozták a várakozást gy olyan numrkus modll mgtrmtés ránt, amly képs lsz mgtartan a vgys tchnkák lőnyt, azok hátránya nélkül. A szakrodalomban olvasható vélményk szrnt ma a kutatók körébn z az ljárás kfjzttn ígértsnk tűnk a végslms tchnka hatékonyságának növlésér. A hbrd ljárás lénygét a kövtkző ábrán próbáljuk érzéklttn... ábra: Hbrd modllk tartományflosztása A bal oldal ábrán látható 3D rugalmas tstt (térfogat V, külső flült S) vágjuk ktté gy ttszőlgs hlyn flvtt S flülttl (a kmtsztt részt, vagys mndkét oldalát gyütt blső prm -nk szokás nvzn a vonatkozó szakrodalomban), amly az rdt + térfogatot két ( V és V ) részr osztja. A mtsző flülthz tartozó normálsokat jlöljük + n és n normálsokkal, a maradék külső flült nv pdg lgyn S x. Mgjgyzzük, hogy a blső prm kétszr jlnht mg az gynltkbn. Err a jlnségr utal a fnt kép jobb oldal ábrája s, ahol gy D tstt négy részr vágtunk 3

231 (jln stbn görbékkl, hszn nm 3D tstről van szó), majd valamnny tartományt körbjártunk valamlyn mchanka gynlt flírása érdkébn. A varácós lvkbn szrplő flült és térfogat ntgrálokat lyn fladatoknál a részkr osztásnak mgfllőn kll lőállítan 76 (M a részk száma): M f dv= f dv, g ds= g ds+ g ds+ g ds. (.59) V m= m V S Su St S A hbrd módszrkbn használt nrgafüggvénykt éppn lyn blső prmk flhasználásával állítják lő. A módszr általános lv mndg két függvény flhasználására épül: HIBRID lv = BELSŐ funkconál + BELSŐ PEREM potncáljának gyütts használata A blső funkconál valamlyk ddg tanult (gy- vagy többváltozós 77 ) potncálfüggvény, a blső prm potncálja pdg a mtsztflültn mérhtő alakváltozás nrgát mér. A blső funkconálra gyakran használják például a rugalmasságtan tljs kgészítő potncáls nrgájának ngatív lőjlű függvényét: Π ( ) ( ) ˆ blső σ j = Π ɶ σ j = σ jc j k lσ k l dv+ uσ jn jds. (.6) V Ennk sgítségévl a hbrd lv gy lhtségs potncálfüggvény: d Π Hbrd=Π blső ( σ j ) + πd ( σ j, d ) =Π blső ( σ j ) + dσ jn j ds, (.6) ahol d a prmflültn flvtt lmozdulásmző 78, mlynk fladata az gys (fktívn) lvágott részk összkapcsolása. A π ( σ, d ) tagot fogjuk a blső prm d j potncáljának 79 nvzn. Mgjgyzzük, hogy érték csak akkor lsz zérustól különböző, ha az lvágott flültn flvtt függvényk nm azonosak. Mgjgyzzük, hogy a végslms tchnkákban lgtöbbször az összs lm körül prmflültt vsznk fl, mntgy krtb foglalva az gys lm tartományokat (nnn adódk az lőbb mlíttt krtző jlző s a d lmozdulásokra. Su S 76 A közbnső flültkből adódó, lőbb mlíttt kétszrződés a flült ntgrál utolsó tagjánál általában nm jlntkzk, mrt folytonos függvényk stén z a tag zérus lsz. Kzárólag a flültn lvő valamlyn dszkontnutás okozhat zérustól ltérő rdményt, a hbrd modllk alkalmazása azonban főlg az lyn stkt érnt. 77 Hangsúlyozzuk, hogy z lht klasszkus potncáls nrgafüggvény, d lht HR- vagy VHW-funkconál s. 78 A szakrodalom kapcsoló vagy krtző lmozdulásmzőnk s nvz. 79 Mgjgyzzük, hogy az így kapott függvényt azért nm lht vgys funkconálnak tknt (bár van olyan publkácó, ahol így nvzk zt a modllt s), mrt a blső alakváltozásmző kzárólag a prmflültn létzk, így nm tknthtő térfogat változónak (lásd a korább osztályozásunkat). 3

232 A ahol d Π Hbrd potncálfüggvényt másfél flbontásban s mgadják: d Π = Π ɶ +W, (.6) blső Hbrd blső d Π ɶ a komplmntr blső nrga, a másk tag pdg az lőzők alapján: (.63) W = uˆ σ n ds+ d σ n ds d j j j j Su S módon számítható. Ezt az átalakítást lsősorban a végslms számítások érdkébn hajtják végr, ugyans lynkor a prmflültkr vonatkozó ntgrált k lht fjzn a tljs flültr vonatkozó hatással: d σ j n j ds= d σ j n j ds d σ j n j ds d σ j n j ds. (.64) S S Su St Ha zt a kfjzést bhlyttsítjük a W -r kapott képltb, akkor a kövtkzőt kapjuk: uˆ d σ j n j mvl a ( ) d, (.65) W = dσ n ds d tˆ ds d j j S tag S u fltt ntgrálja zérus lsz az zn a tartományon alkalmazható d = uˆ fltétl matt. A jobb oldal másodk tagjának átalakításakor flhasználtuk az S t flültrészr gaz S t σ n = tˆ gynlőségt. j j Írjuk fl most a hbrd funkconált W d módosított alakjával: d Π ˆ Hbrd= σ jc j k lσ k l dv+ dσ jn j ds d t ds. (.66) V S S t Jlntős különbség az lőzőkhz képst, hogy most a blső potncált az gész külső flültn kll számítanunk és nm kll foglalkoznunk külön a prmflültkkl. Ezt az alakot szokás a végslms tchnkákban hbrd potncálként használn. Nézzünk végül gy gyszrű végslms modllt a fntk llusztrálására. Először magának a fntzálásnak a hbrd tchnkáknál alkalmazott lv lépést llusztráljuk gy vázlaton:.3. ábra: Fntzálás a hbrd tchnkánál 3

233 A ténylgs számítást Pan-nak jln pont bvztéskor mlíttt ckkéből vtt példával llusztráljuk. Mgjgyzzük, hogy z az lm a modrn számításokban már rtkán fordul lő vszonylag alacsony pontossága és még mndg mglévő nyh záródás hajlama matt, skolapéldának azonban tökéltsn mgfll, mrt a ma használatos, sokkal bonyolultabb függvénykt alkalmazó változatok ugyanzkt a lépéskt alkalmazzák..4. ábra: Egy lm vázlata A rajzon látható tárcsalmn négy csomópontot vttünk fl. A vastagság és az anyag tulajdonságok állandóak, a vslkdés lnársan rugalmas, a tömgrőkt lhanyagoljuk. A D fszültségmzőt Pan lnárs függvénykkl ntrpolálta 8 : σ = a+ a x+ a y, σ = a + a x+ a y, τ = a+ a x+ a y. (.67) x 4 5 y 6 7 x y A fszültségknk k kll légítn a Cauchy-gynltkt: σ τ x y τ x x y σ y + =, + =. (.68) x y x y A közlítéskt d hlyttsítv a dffrncálgynltk flhasználásával az alább kapcsolatokat kapjuk: a4+ a9=, a7+ a8=. (.69) Ha a nyírófszültség képlténél zkt fgylmb vsszük, akkor annak érték: τ x y= a3 a7 x a4 y. (.7) Mndzk fgylmbvétlévl hét függtln paramétrünk maradt, zk sgítségévl mátrx alakban írjuk fl az ntrpolácót: 8 Az a paramétrkt a hbrd VEM szakrodalom fszültség ampltúdóknak, vagy gyszrűn fszültség paramétrknk hívja. 33

234 a a σ x x y. σ y x y = σ S a. =. (.7) τ x y y x. a7 Adjuk mg most a prmflült lmozdulásmző és a csomópont lmozdulások kapcsolatát mgadó gynltkt ( P mért 8 x 8-as): d x ξ + ξ u x d y ξ + ξ u y d 3 ξ3 + ξ3 u x. = u y d= P v d y 4 + ξ4 ξ u 4 y4 (.7) Látható, hogy az - éln a kompatbltást bztosító dx és d y prmflült mozgásokat az gys és ktts csomópontok lmozdulásaból számítjuk 8. Kövtkző számítandó változóként a flült fszültségkt határozzuk mg. Az gys komponnsk általános képlt: t = σ n + τ n, t = τ n + σ n. (.73) x x x x y y y y x x y y Az lm gys éln a normálvktorok rögzíttt rányúak, sgítségükkl a fszültségk gyszrűn transzformálhatók. Például az --s éln: σ x, t x nx n y = σ y, N σ N S a t ny n = =, (.74) x τ x y, ahol az lőbb bmutatott S mátrx --s élr alkalmazott változata. Mgsmétlv zt S az ljárást a több három élr, a flült rők vktorára az alább gynltt kapjuk: t= T a, (.75) ahol az rők vktora: T t = tx ty tx3 ty 3... t y4. (.76) A T transzformácó 8 7 -s mátrx, négy darab 7 -s blokkból építhtő fl N S, N S, N S és N S sgítségévl Az gynltbn szrplő j ξ az és j csomópontok között oldaléln flvtt ( l és + között változó értékű) lokáls koordnátát jlöl. 34

235 Mgjgyzzük, hogy ha az lm élr külső trhk működnk, akkor azokat s hasonló módon vhtjük fgylmb. Mgkülönbözttésül zkt a komponnskt másfél módon jlöljük: T tˆ = tˆ ˆ ˆ ˆ ˆ x ty tx3 ty3... t y 4. (.77) A fntkbn az lmr számított gys komponnskt végül bhlyttsíthtjük a hbrd funkconálba. Vogt-szmbólumokkal: d T T T Π Hbrd= a F a+ a Gu f u, (.78) ahol az gys mátrxok jlntés (h az lm vastagsága): T T T,, ˆ. (.79) Ω Γ St, F= h S D S dω G= ht P dγ f= ht P dγ A hbrd funkconál szélsőértékét a fszültségk és az alakváltozások szrnt drváltak sgítségévl határozzuk mg: d d Πhbrd Πhbrd T = F a+ Gu=, = G a f=. (.8) a u Az lső gynlt mchanka tartalmát tkntv a dszkrét kompatbltás fltétlknk, a másodk pdg az gynsúly fltétlknk fll mg. Hprmátrx alakban a hbrd lm gynltrndszr: F G a T G = u f Az lső gynltből mghatározható az a vktor:. (.8) a= F G u. (.8) Ezt bhlyttsítv a másodk gynltb, mgkapjuk az lm gynsúly fltétlét líró gynltrndszrt, bnn az lm mrvség mátrxával: T ( ) ( ) ( ) ( ) T G F G u f= K u = f, K = G F G. (.83) Bfjzésül néhány mgjgyzés: a./ Mndn gyszrűség llnér z az lm például hajlítás fladatok tárcsaszrű modllzésénél jobb rdményt ad, mnt a hagyományos négycsomópontos zoparamtrkus lm. b./ Pan a nyolcvanas évk közpén módosította a fszültségk ntrpolácóját, mndössz öt paramétrr csökkntv a fszültség gyütthatók számát (lásd például a vgys lmknél bmutatott modlljét). Ez gys stkbn javította az alkalmazhatóságot és a futás sbsségét, vszont csak drékszögű négyszög tartományok vzsgálatára ttt alkalmassá az lmt. c./ Sok kutató próbálkozott általános görbült lokáls koordnáta-rndszr használatával a hbrd lmknél, d zk általában nagyon bonyolult 35

236 kfjzéskhz vzttk, mkor a fszültség fltétl gynltknél használták őkt. Flhasznált szakrodalom:./ Znkwcz, O. C. Taylor, R. L. : Th Fnt Elmnt Mthod, Th Bass Sold Mchancs, Buttrworth-Hnmann,../ Rddy, J. N. : An Introducton to th Fnt Elmnt Mthod, McGraw-Hll, / Stn, E. d Borst, R. Hughs, T. J. R. : Encyclopda of Computatonal Mchancs, Vol. : Th Fundamntals, pp. 4 78, John-Wly, 4. 4./ Lctur Nots n FEM, Colorado Unvrsty, Colorado, 6. 5./ Rddy, J. N. Chn-Shyh-Tsay : Mxd rctangular fnt lmnts for plat bndng. Proc. Oklahoma Acad. Sc. 57: 44-48, / Rddy, J. N. : Enrgy prncpls and varatonal mthods n appld mchancs, John Wly,. 7./ Bojtár I. Gáspár Zs. : Végslmmódszr építőmérnököknk, Trc, 3. 8./ Washzu, K. : Varatonal prncpls n lastcty and plastcty, Prgamon,

237 . lőadás: A prmlmmódszr alapja 8.. Bvztő mgjgyzésk A prmlmmódszr sok trültn a végslmmódszr hatékony altrnatívája az lmélt kutatásokban és a gyakorlat számításokban. Olyan stkbn célszrű alkalmazn, amkor a vzsgált tartomány blsjébn sm gomtra, sm szlárdságtan értlmbn nncsnk jlntős változások. A módszr lényg az, hogy az rős alakban mgadott prmérték-fladatot különlgsn mgválasztott súlyfüggvényk használatával átírjuk olyan gyng alakba, amlybn az smrtln függvénynk gy ttszőlgs pontbl érték kfjzhtő zn függvénynk a vzsgált tartomány prmén flvtt jllmzővl. Így ha a prmt dszkrtzáljuk akkor az ott flvtt csomópont értékk a tartomány blsjébn flvtt paramétrktől függtlnül mghatározhatóak, majd a tartomány blső pontjaban flvtt értékk gynként számíthatók a prmn kapott értékkből. A lépésk mgértés céljából lőször a síkbl staconr hővztés fladat prmlms mgoldását mutatjuk b, mrt bbn a fladatban skalárfüggvény az smrtln függvény. A mgoldás lépés zk után már általánosíthatók a rugalmasságtan térbl fladata stér. A módszr nagy lőny, hogy (a) a fladat dmnzószáma általában ggyl csökkn (térbl fladatok stén a tartomány flültér flírt ntgrálgynltkt kll numrkusan mgoldan, síkfladatok stén pdg a tartomány kontúrgörbéjér flírt ntgrálgynltk adják a mgoldást), (b) a dmnzószám csökknéséből adódóan ugyanazon fladatot tkntv a végslms tchnkához képst lgalább gy nagyságrnddl kvsbb a csomópontok száma, és így trmésztsn ksbb számítógéps kapactásra van szükség és jóval ksbb a futás dő. 8 A módszr hátránya közé tartozk, hogy (a) (b) a mgoldást adó lnárs gynltrndszr mátrxa, ltérőn a végslms ljárásoktól, nm sávos szrkztű és nm szmmtrkus, az gynltrndszr mgoldhatóságát jllmző kondícószám spcáls stkbn nagyon nagy lht, am numrkus stabltás problémákat okozhat. A prmlms tchnka általában csak a prmkn (D fladatoknál a kontúrvonalakon, 3D fladatoknál a határoló flültkn) alkalmaz fntzálást (gy síkbl str vonatkozó prmlm flosztást a.. ábra szmléltt). A szrzők köszöntükt fjzk k dr. Szdl Györgynk a fjzt összállításában nyújtott aktív sgítségért és hasznos tanácsaért. 37

238 .. ábra: A prm flosztása prmlmkr Hangsúlyozzuk, hogy a módszr tárgyalásakor lsősorban a prmkn flvtt smrtlnk számításának bmutatása a célunk, mvl zk smrtébn a tartomány blsjénk fzka állapotát líró mnnységk mghatározása, mnt azt (lgalábbs lvlg, d a vonatkozó numrkus ljárások bmutatása nélkül) látn fogjuk, csupán határozott ntgrálok számítását gényl. Az érdklődő olvasó az rodalomjgyzékbn flsorolt művkbn tájékozódhat a vonatkozó részltkről. Külön s kmljük hlyütt zk közül a bvztő szntű [], valamnt a tárgyalásmódjában tömör, d jlntős áttkntést nyújtó [] alatt művt. A módszr ntgrálgynltről magyarul a [3] alatt könyv 8. fjztét, pdf formában ltölthtőn pdg a [4] alatt művt ajánljuk... A staconr hővztés fladat vzsgálata prmlmmódszrrl... A staconr hővztés fladat Mnt már mlítttük, lső példaként a síkbl staconér (dőfüggtln) hővztés fladat mgoldását mutatjuk b, mrt nnk vzsgálata némlg gyszrűbb, mnt a rugalmasságtan trültn flmrülő fladatoké. A vzsgálat tárgyát képző kétdmnzós Ω tartományt, annak Γ prmét (prmgörbéjét vagy kontúrját), lltv a prmt alkotó Γ és Γ prmrészkt (a prmt alkotó prmívkt) a.. ábra szmléltt ( u u t t Γ Γ=Γ, Γ Γ= ). u t.. ábra: Végsbn fkvő síkbl tartomány és prmgörbéj 38

239 Lgyn a vzsgálat tárgyát képző tst homogén és zotrop. Jlölj u a krstt hőmérsékltmzőt, λ a hővztés tényzőt, ˆb a tartomány hőforrássűrűségt (az dőgység alatt gységny térfogatban kltkző, vagy ott lvont hőmnnységt). A Γ prmn n κ ( n n = κ κ ) a külső normáls83. Elsődlgs fladatunk az u hőmérséklttmző mghatározása, ha a Γ prmívn az u hőmérsékltmző, a u prmívn pdg t hőáram (a prm adott pontjában dőgység alatt átáramló hőmnnység) az lőírt. Az lőírt értékkt tt és a továbbakban flülvonással jlöljük.... A staconr hővztés fladatok gynlt A hővztés fladat gynltt a h ˆk hőmérséklt gradnst adó ĥκ= u, κ (./a) értlmző gynlt, a hőáramvktort adó h hˆ κ=λ κ (./b) anyaggynlt, valamnt a lokáls hőgynsúlyt kfjző h + ˆ κκ, b = (./c) mérlggynlt alkotják. A Γ prmn átáramló t hőmnnység a hőáramvktor és a külső normáls gységvktor szorzata (az u hőmérsékltmző n rány szrnt drváltjának és a λ hővztés tényzőnk a szorzata): u t= hκ nk=λ u, κ nκ=λ. (.) n A h ˆk és h k lsődlgs és másodlagos közbülső változók lmnálásával a λ uκκ+ b= (.3/a) u dffrncálgynltt kapjuk az u alapváltozóra (a hőmérsékltmzőr). A (.3/a) dffrncálgynlthz (a staconr hővztés fladat alapgynltéhz) az u u= aγu n és t t= aγ t n (.3/b) prmfltétlk tartoznak 84. A (.3/a) alapgynltből a λ hővztés tényzővl történő átosztással a bˆ u+ b=, b= (.4) λ az ún. Posson-gynltt kapjuk. A továbbakban nnk az gynltnk a mgoldásával foglalkozunk majd. 83 Görög ndx érték,; latn ndx érték,,3 lht az ndxs jlölésmódban írt gynltk stén. 84 u Lgyn α, β és γ három állandó. Mgjgyzzük, hogy az α +βφ+γ= alakú és a gyakorlatban sokszor n lőforduló prmfltétlt a szakrodalom ún. Robn-fél prmfltétlnk hívja. M a továbbakban zt kzárjuk vzsgálódásank köréből. 39 Γ t

240 Az gyszrűség kdvéért mostantól kzdv fltétlzzük 85, hogy λ= (z stbn azonos a hőmérséklt gradns és a hőáramvktor, a b pdg önmagában a hőforrássűrűség). A (.3b) alatt prmfltétlk változatlanok. Ha zérus értékű a hőforrássűrűség, akkor az u hőmérsékltmző a u= (.5) ún. Laplac-gynlt (potncálgynlt) mgoldása. Az utóbb gynlt mgoldásat potncálfüggvényknk szokás nvzn...3. A súlyozott maradékok módszr a staconr hővztés fladatra Alkalmazzuk továbbakban a súlyozott maradékok módszrét a (.4) dffrncálgynlt és a (.3/b) prmfltétlk által mghatározott prmértékfladatra: a w, w és w 3 súlyfüggvényk sgítségévl gytln ntgrál-kfjzésb vonjuk össz az alapgynltt és a két prmfltétlt: w( u+ b) dω+ w ( u u ) dγ+ w3( t( u) t) dγ=. (.6) Ω Γu Γt Mvl a súlyfüggvénykr nncs smmfél kötött lőírás, úgy s flvhtjük őkt, hogy tljsüljnk az alább fltétlk 86 : w= w, w= w / n= t( w), w3= w, (.7) ahol t( w) = w / n az a hőáram a prmn, am a w hőmérsékltmzőhöz tartozna, ha a w függvényt hőmérsékltmzőnk tkntnénk. A (.6) gynlt új alakja nnk mgfllőn: w u dω+ wb dω+ ( u u ) t( w) dγ w( t( u) t) dγ=. (.8) Ω Ω Γu Γt Az lső tagot át lht alakítan az Ω síktartományon flvtt ntgrálokkal kapcsolatos ún. Grn-tétl sgítségévl 87 : w u dω= u wdω+ wt( u) dγ u t( w) dγ. (.) Ω Ω Γ=Γ Γ Γ=Γ Γ u t u t A fnt képlt bhlyttsítés és ném rndzés után az alább alakba írható át a (.8) gynlt: 85 A mgoldás lnárs függvény lsz a b -nk. Ezért z a fltvés nm sért az általánosságot és ugyanakkor sgít a fzka háttér szövgbn történő kmlését. 86 Mgjgyzzük, hogy később még a w -t s spcálsan választjuk mg. 87 Lgyn az u és w két lgalább kétszr folytonosan drválható, d gyébként ttszőlgs skalármző. A Grn-tétl szrnt w u dω u wd wt( u) d u t( w) d. Ω Ω= Γ Γ Ω Γ (.9) Γ A tovább részltkért lásd a honlapot. 4

241 u wd wb d u t( w) d u t( w) d Ω+ Ω ΓΓ= Ω Ω Γu Γt = wt( u) dγγ w t dγ. Γu Γt (.) Ha fgylmb vsszük, hogy u= u a Γ u prmrészn, és t( u) akkor összvonható két-két tag: = t a Γ t prmrészn, u wdω+ wb dω ut( w) dγ= wt( u) dγ. (./a) Ω Ω Γ Γ Ha zérus a hőforrásloszlás érték zt a továbbakban gylőr fltétlzzük az gynlt tovább gyszrűsödk: u wdω ut( w) dγ= wt( u) dγ. (./b) Ω Γ Γ..4. Alapmgoldások a hővztés fladatra A továbbakban fltétlzzük, hogy D stén a sík, 3D stén a tér gy futópontját (nnk koordnátát változónak tkntjük) p, gy rögzíttt pontját (zt paramétrnk tkntjük) pdg q jlöl. Mgállapodunk abban s, hogy nagybtűvl jlöljük a p, lltv q pontot, ha az az Ω tartomány (síktartomány, tértartomány) Γ prmér (prmgörbéjér, prmflültér) sk. Vzssük b az alábbakban a δ( p q) módon jlölt Drac-függvényt (Dracdsztrbúcót). A függvény értlmzésébn szrplő Ω tartomány síkbl és térbl gyaránt lht. Lgyn az f ( p ) függvény az Ω tartományon értlmztt ttszőlgs folytonos függvény. Értlmzés szrnt a Drac-függvény (a) zérus, ha p q ; (b) végtln értékű, ha p= q, továbbát (c) tljsüljön a f ( q) q Ω f ( p) ( p q) d δ Ω p= f ( q) / q= Q Γ Ω q /Ω Γ (.3) fltétl. Ha f ( p ) =, akkor a (.3) értlmző gynlt azt fjz k, hogy a végtln sík, lltv a végtln tér p pontjahoz a p= q pontot kvév zérus értékű, gyébként ntgrál értlmbn gységny értékű hatást rndlünk, z utóbbt akkor, ha q az Ω tartomány blső pontja. A hővztés fladat trmnológájával úgy s fogalmazhatunk, hogy a Dracfüggvény olyan gységny értékű hőforrásloszlás, amly mndnütt zérus, kvév a p= q pontot. 4

242 Mgállapodunk abban, hogy valamly dffrncáloprátor fltt álló p vagy q azt jlöl, hogy a futópontnak tknttt p pont, vagy pdg a paramétrnk tknttt q pont koordnátá szrnt drválunk. Jlölj U ( p, q ) a p u+δ ( p q) = b (.4) dffrncálgynlt (hővztés gynlt) partkulárs mgoldását a tljs (végtlnnk tknttt) sík fltt. A nagybtű használatát az gyéb fladatok mgoldásától való különbségtétl, valamnt az ndokolja, hogy z a mgoldás a p futópont és a paramétrnk tknttt q pont függvény (úgynvztt kétpontfüggvény ). Emlékzttv a Drac-függvényről mondottakra, az U ( p, q ) mgoldás az a hőmérsékltloszlás, amly a sík q pontjához kötött gységny ntnztású hőforráshoz tartozk. Az U ( p, q ) függvény az lsőrndű alapmgoldás, vagy rövdn alapmgoldás. A q pontot forráspontnak, a p pontot pdg, ahol éppn k akarjuk számítan az U ( p, q ) függvény értékét, mgfgylés pontnak fogjuk nvzn (szokásos mlltt még a trhlés pont és a mzőpont lnvzés s). Lgyn r= r( p, q) a p és q pontok távolsága, r κ pdg a q -ból p -b mutató hlyvktor. Ismrts, hogy a (.4) gynlt partkulárs mgoldása, azaz az U ( p, q ) alapmgoldás zárt formában adható mg: U ( p, q) = ln. (.5) π r Mgjgyzésk 88 : Vgyük észr, hogy szmmtrkus függvény az alapmgoldás a p és q pontoknak, kövtkzőlg fnnáll a w( p, q) = w( q, p) gynlt. Rögzíttt q mlltt a p pontra nézv, rögzíttt p mlltt pdg a q pontra nézv pontszmmtrkus függvény az U ( p, q ) alapmgoldás. Ha p= q, akkor logartmkus szngulartása van az alapmgoldásnak. Ha p q, akkor Laplac-gynlt a (.4) hővztés gynlt. Kövtkzésképp p q stén harmonkus függvény 89 kll, hogy lgyn a (.5) alatt alapmgoldás. Fgylmb vév, hogy polárkoordnáta-rndszrbn pontszmmtrkus vszonyok mlltt d U du + = (.6) dr r dr 88 Az smrttés a mgjgyzésk nélkül s érthtő, azokat a mélybb részltk ránt s érdklődők kdvéért közöljük. 89 A Laplac-gynlt mgoldásat harmonkus függvényknk szokás nvzn. 4

243 az U -ra flírt Laplac-gynlt, nm nhéz llnőrzn, hogy zt p q -ra valóban tljsít a síkbl str vonatkozó (.5) alapmgoldás. Nylvánvaló, hogy U ( p, q ) mndkét változójában klégít a fnt gynltt. Ha λ= (z volt a fltvésünk), akkor a hőmérsékltmző gradns mggyzk a h κ hőáramvktorral. A δ( p q) hőforrásloszláshoz tartozó U ( p, q ) hőmérsékltmző stén thát r h U ( p, q) κ κ=, κ= π r (.7) a hőáramvktor a p pontban ( p szrnt kll drváln). Nylvánvaló a (.) képlt alapján hogy az Ω tartomány Γ prmén U ( p, q) nκ ( P) rκ ( q, P) t( U ) = T ( P, q) = n ( P) U ( p, q) κ, κ = = (.8) p= P n p= P πr ( q, P) az átáramló hőmnnység. Az utóbb képlt a T ( P, q ) másodrndű alapmgoldást értlmz. Mgjgyzésk: Ha p= P= Q, akkor / r típusú szngulartása van a másodrndű alapmgoldásnak. Korábban mgmutattuk, hogy p q -r tljsít az U ( p, q ) alapmgoldás a (.4) dffrncálgynltt. Az alábbakban gazoljuk, hogy p= q -ra s tljsül a (.4) gynlt. Ehhz lgndő azt.3. ábra: Hőáram a prmn mgmutatn, hogy q Ω stén l a tartomány prmén átáramló hőmnnység. Ez stbn ugyans tljsül a hőgynsúly, azaz zérus értékű a tartományon és a prmn közölt hőmnnység. Khasználva a.3. ábra jlölést, az alábbak szrnt rható fl a prmn áthaladó hőmnnység: n ( P) r ( q, P) cosϕ I= T ( P, q) ds = ds = ds = dσ. κ κ P P P Γ Γ πr ( q, P) Γ πr( q, P) π Γ 43

244 Vgyük fgylmb a végső rdmény flírásánál, hogy a ds P ívlmnk dσ a látószög. Kövtkzésképp az Ω tartomány q pontból vtt látószög adja a lgutolsó vonalntgrál értékét. Ez az érték nylvánvalóan a q pont tartományhoz vszonyított hlyztétől függ. Ha a q blső pont, π a látószög, ha a q prmpont és sma a prm, akkor π a látószög, az Ω -n kívül fkvő q stén pdg zérus. Kövtkzésképp azt kapjuk, hogy: q Ω, I= T ( P, q) dsp= / q= Q Γ, (.9) Γ q /Ω Γ. A (.9) gynlt szrnt bármly Ω tartományra l a prmn áthaladó hő, ha blső pont a q. Ezzl gazoltuk, hogy az alapmgoldás valóban tljsít a (.4) gynltt...5. A súlyfüggvény mgválasztása a hővztés fladat stén A továbbakban a (.4) dffrncálgynlt U ( p, q ) mgoldását tkntjük w súlyfüggvénynk. Ezzl a súlyfüggvénnyl átírható a (./b) gynlt a p ( ) (, ) Ωp ( ) [ (, )] Γ P= (, ) [ ( )] ΓP u p U p q d u P t U P q d U P q t u P d Ω δ( p q) Γ T ( P, q) Γ (.) alakba. Vgyük észr, hogy mndnütt jlöltük, hogy (a) mlyn változó szrnt történk a drválás, és (b) mlyn változóban ntgrálunk. Ezt a jlölésbl mgállapodást mndnütt ahol szükségsnk véljük fnntartjuk majd a továbbakban. Azt s fgylmb vttük (.5), valamnt a (.8) alapján, hogy m az érték a l az p U ( p, q) és t[ U ( P, q)] skalároknak. Ezkt hlyttsítv ném rndzéssl alakba írható át a (.) gynlt...6. A Grn-fél formulák u( p) δ( p q) dω = U ( P, q) t( P) dγ T ( P, q) u( P) dγ p P P Ω Γ Γ (.) A (.) gynlt bal oldalán álló tartomány ntgrál értékér a δ( p q) Dracfüggvénnyl kapcsolatos (.3) összfüggés flhasználásával fltétlzzük, hogy blső pont a q az u( p) δ( p q) dω p= u( q) rdmény adódk. Ezt hlyttsítv Ω kapjuk a (.) gynltből az lső Grn-fél formulát: P P (.) Γ Γ u( q) = U ( P, q) t( P) dγ T ( P, q) u( P) dγ, q Ω. Ez az gynlt a mgoldásra vonatkozó rprzntácós tétl: ha az Ω tartomány tljs Γ prmén smrt a u függvény, és annak t[ u( P)] = t( P) normálrányú drváltja, akkor kvadratúrákkal állítható lő a (.4) hővztés gynlt mgoldása zérus 44

245 tartomány hőforrásloszlás fltétlzés mlltt az Ω tartomány gy blső pontjában. A rprzntácós tétl alkalmazásánál az okozza a gondot, hogy adott P prmpontban vagy csak maga a u függvény, vagy pdg csak annak t normálrányú drváltja smrt a prmfltétlkből. A képlt alkalmazhatóságához mg kll thát határoznunk az smrtln u( P ) P Γ t függvényt, valamnt az ugyancsak smrtln t( P ) P Γ u függvényt. A.. ábrát kövtő bkzdés általánosságban utal arra a kérdésr, hogy hogyan kll számítan a tartomány blső pontjaban az smrtln fzka mnnységkt (jln stbn a hőáramvktort). A hővztés fladat stén z a számítás a (.) gynltn az lső Grn-fél formulán alapul. A továbbakban azzal a kérdéssl foglalkozunk, hogy mlyn gynlt flhasználásával lht a prmn smrtln u( P ), P Γ t, valamnt t( P ), P Γ u függvénykt mghatározn. Ennk érdkébn a.4. ábrán vázolt Ω tartomány stén alkalmazzuk majd a (.) összfüggést. Az Ω tartomány lgfontosabb sajátossága:.4. ábra: A síkbl Ω tartomány - Fltvés szrnt a forráspont az Ω tartomány Γ prmgörbéjénk gy ttszőlgsn rögzíttt pontja: q= Q. - Fltvés szrnt sma a Γ kontúr a Q pontban. - Az Ω tartomány azon rész az Ω tartománynak, mlyt a Q ponthoz, mnt középponthoz kötött ε sugarú kör Ω tartományba ső részénk Ω tartományból 45

246 történő ltávolításával kapunk. Az ε sugár értékét lgndőn kcsnk tétlzzük fl. - Jlölj Γ ε az ε sugarú kör Ω tartományban fkvő ívét. Lgyn továbbá Γ a Γ kontúr ε sugarú körön kívül rész. Nylvánvaló, hogy a Ω tartományt a Γ Γ ε kontúr határolja. A fntk fgylmbvétlévl alkalmazva a (.) összfüggést az Ω tartományra az alább gynlt adódk: u( p) δ( p Q) dω p= U ( P, Q) t( P) dγp T ( P, Q) u( P) dγp (.3) Ω Γ Γ ε Γ Γ ε Ezt az alábbak szrnt alakítsuk át: - Vgyük fgylmb, hogy δ( p Q) =, mvl a Q forráspont nm rész az Ω tartománynak, - ntgráljunk külön-külön a Γ ε és Γ ívkn, és végül - vgyük a vonalntgrálok határértékét, ha ε. Az lső két lépés végrhajtása után az alább gynltt kapjuk. T ( P, Q) u( P) dγ U ( P, Q) t( P) dγ = U ( P, Q) t( P) dγ T ( P, Q) u( P) dγ. P P P P Γε Γε Γ Γ (.4) Most határozzuk mg az gys ntgrálok határértékét 9! A bal oldalon álló lső ntgrál stén, fgylmb vév - T ( P, q ) (.8) szrnt lőállítását, - azt, hogy a Γ ε körívn rκ ( Q, P) = ε nκ ( P); nκ = (a normáls külső!), - az r( Q, P ) =ε összfüggést, továbbá azt, hogy - a Γ ε ív hossza lgndőn kcs ε stén πε (sma a prmgörb a Q pontban), az ntgrálszámítás középértéktétlét ( P a középértéktétl alkalmazásához szükségs pont a Γ körívn) használva flírhatjuk, hogy ε 9 A számítás során flhasználjuk az ntgrálszámítás középértéktétlét. Eszrnt az f ( x ) függvény [ a, b], b> a ntrvallumon vtt ntgrálja a f ( x) dx= ( b a) f ( x ), x [ a, b] módon számítható, azaz az ntgrálás ntrvallum hosszának, és a függvény valamly az ntrvallumon blül fkvő x pontban vtt értékénk a szorzata. b a 46

247 n ( P) r ( Q, P) lm T ( P, Q) u( P) dγ = lm u( P) ds = P ε ε Γε Γε κ κ πr ( Q, P) εn ( P) n ( P) = lm u( P) ds = lm u( P) ds = lm u( P ) / = u( Q) /. κ κ P P ε πε ε πε ε Γε Γ (.5/a) A bal oldalon álló másodk ntgrál stén a w( P, Q) = U ( P, Q) alapmgoldás (.8) alatt képltét flhasználva hasonló gondolatmnttl lm U ( P, Q) t( P) d P lm t( P) ln dsp lm t( P ) ln ε Γ = ε ε = ε ε= (.5/b) π ε Γε Γε az rdmény. A jobb oldalon álló két ntgrál határérték a vonatkozó ntgrálok ún. Cauchy-fél főértékét 9 értlmz: ε lm U ( P, Q) t( P) dγ = U ( P, Q) t( P) dγ, ε Γ P lm T ( P, Q) u( P) dγ = T ( P, Q) u( P) dγ. Γ P Γ Γ P P P (.5/c) (.5/d) Vgyük észr, hogy az lső stbn logartmkus, a másodk stbn / r típusú szngulartása van az ntgrandusznak. Az a pont pdg, ahol az ntgrandusz végtlnné válk jln stbn a Q pont a Γ kontúrgörb gy pontja. Az ntgrál számítása (a határérték képzés) során zt a pontot khagyjuk az ntgrálás tartományból (zn alapul a főérték lnvzés). A (.5/a) ntgrálban csak akkor / az u( Q ) gyütthatója, ha sma a prm a Q pontban. Valójában az u( Q ) gyütthatója a Q pontbl érntők gymással bzárt szögétől függ. Ematt fgylmml a nm sma prmgörb lhtőségér s a lm T( P, Q) u( P) dγ = c( Q) u( Q), ε Γε c( Q) = /, ha sma a Γ a Q pontban. alakban írjuk a fnt határértékt. P (.5/) Mgjgyzés: A c( Q ) lvlg mgadható zárt alakban, d később a numrkus mgoldás tárgyalásakor k fog drüln, hogy nncs szükség c( q ) zárt alakban flírható értékér a numrkus számítások során. A (.5) képltk fgylmbvétlévl P P (.6) Γ Γ c( Q) u( Q) = U ( P, Q) t( P) dγ T ( P, Q) u( P) dγ 9 A főértékr utal az ntgrál áthúzása. 47

248 a (.4) gynlt határérték. Ez az gynlt lnvzés szrnt a másodk Grn-fél formula olyan ntgrálgynlt, amlybn a P Γ prmpontokban a krstt u( P ) prmérték, a P Γ u prmpontokban pdg a krstt t( P ) normálrányú drvált az smrtln. Az gynlt mgoldása után alkalmazhatóvá válk a (.) alatt lső Grnfél formula a krstt fzka mnnység, azaz az u( q ) számítására. Szokás a Q forráspontot pontot kollokácós pontnak nvzn a numrkus mgoldások során. Az lnvzésnk az az alapja, hogy a kövtkző pontban bmutatásra krülő numrkus mgoldás olyan kollokácós ljárás, mlybn a Q ponthoz kötünk majd mghatározandó mnnységkt...7. A hővztés gynlt numrkus mgoldása prmlmmódszrrl A numrkus vzsgálat a (.6) ntgrálgynlt numrkus mgoldását jlnt. A mgoldás érdkébn ltkntv gylőr attól, hogy az u( P ) hőmérséklt, avagy a t( P ) hőáram az smrtln a tknttt P prmpontban a Γ prmt N= nb számú prmlmr bontjuk és az gys prmlmk fltt vagy lnárs, vagy pdg kvadratkus zoparamtrkus approxmácót alkalmazunk a gomtra, valamnt az u( P ) hőmérsékltmző, lltv a prmn átáramló t( P ) hőáram közlítésér. Jlölj α= nn az gy lmn blül csomópontok számát, lgyn továbbá n bn a prmn található összs csomópontok száma 9 (például a.. ábra stén kvadratkus approxmácó fltétlzés mlltt nyolc lmr osztottuk a Γ prmgörbét, továbbá az ábra a lokáls és globáls csomópont sorszámozást, valamnt az lmk sorszámat s fltüntt). Az zoparamtrkus bázsfüggvénykkl a gomtra, lltv nn nn j j x= N j ( ξ ) x = N( ξ ) x, y= N j ( ξ ) y = N( ξ) y j= j= (.7/a) nn nn j j u= N j ( ξ ) u = N( ξ ) u, t= N j ( ξ ) t = N( ξ) t j= j= (.7/b) a hőmérsékltmző és a hőáram approxmácója a prmn a -dk lm fltt a fntk szrnt adható mg. t 9 Az angol nylvű szakrodalomban: n b = numbr of boundary lmnts, lmnt nods, n bn = numbr of boundary nods. n n = numbr of 48

249 Hlyttsítsük a gomtrát, az u hőmérsékltmzőt, lltv a t hőáramot a prmlmk fltt közlítő (.7) képltkt a (.6) ntgrálgynltb, amlyr nézv azt tétlzzük fl, hogy a Q kollokácós pont gybsk valamlyk mondjuk az -dk ( Q ) csomóponttal a prmn. Azt kapjuk, hogy a prmn fnn kll állna a kövtkző gynlőségnk: nb nn j c( Q ) u( Q ) + T ( P( ξ), Q ) N ( ξ) dγξ ( ) u = j = Γ j= nb nn j U P Q N j d t nbn = Γ j= = ( ( ξ), ) ( ξ) Γξ ( ), =,,, vagy am ugyanz mátrxjlöléskkl a c( Q ) u( Q ) + T ( P( ξ), Q ) N( ξ) dγξ ( ) u = nb = Γ = U ( P( ξ), Q ) N( ξ) dγξ ( ) t, =,, n = Γ nb gynltknk. Vgyük észr, hogy bn (.8/a) (.8/b) (a) az így adódó gynltk száma mggyzk a prmcsomópontok számával, és (b) mndn gys csomópontban gy smrtlnt kll mghatározn: vagy a csomópont hőmérsékltét (ha ugyanott smrt a hőáram), vagy pdg a csomópontbl hőáramot (ha ugyanott smrt a hőmérséklt). Az a( j, ) függvény értlmzés szrnt az -dk lm globáls sorszámozás szrnt j- dk csomópontjának adja mg a lokáls (lmn blül) a csomópont számát. Áttknthtőbb szrkztbn írhatók fl a (.8) gynltk, ha a hˆ = T ( P( ξ), Q ) N ( ξ) dγξ ( ) és g = U ( P( ξ), Q ) N ( ξ) dγξ ( ) j a( j, ) j a( j, ) j Γ j Γ (.9) ntgrálokkal bvztjük a h ˆj és g j jlöléskt, ahol az összgzés csak azokra az lmkr trjd k, mlyknk csomópontja a j-dk csomópont. Nm nhéz blátn, hogy h ˆj a (.8/a) gynlt bal oldalán álló ntgrálösszgbn a globáls sorszámozás szrnt vtt u j gyütthatója, és ugyanígy g j a jobb oldalon álló ntgrálösszgbn a gyütthatója. Ha a fntkn túlmnőn bvztjük még a C = c( Q ), (.3/a) valamnt a jlöléskt, akkor a h j hˆ + C, ha = j = hˆ j, ha j (.3/b) t j 49

250 u t u t h h h g g g n u n t bn nbn gynltt kapjuk a (.8/a) gynltből. A fnt gynltk gysítés a h h h n u g g g bn n bn t h h h n u bn g g g nbn t =......, h u nbn hn bn hn n bnn g bn bn nbn gn bn gn bnn t n bn bn n =,,..., bn n = bn bn vagy tömörbb formában írva a H u H u G t (.3) (.3) = Gt (.33) gynltrndszrr vzt. Az smrtln csomópont értékk mghatározása tovább átrndzést tsz szükségssé, hszn a Γ prmívhz tartozó csomópontokban a t u hőáram, a Γ t prmívhz tartozó csomópontokban pdg az u hőmérséklt az smrtln. Ez azt jlnt, hogy szét kll választanunk az smrt és smrtln mnnységkt. A szétválasztás után az A X= F (.34) alakú lnárs gynltrndszrt kapjuk, ahol a fntkkl összhangban az X oszlopmátrx -dk lm az -dk csomópontbl smrtln (hőáram vagy hőmérséklt), ha bbn a csomópontban a hőmérséklt vagy hőáram az lőírt. A prmlmmódszr pontossága nagymértékbn attól függ, hogy kllőn pontosak- a H és G mátrxok lm. Ez azt jlnt, hogy a h ˆj és a g j gyütthatókat adó (3.9) képltkbn nagy körültkntéssl kll ljárn az ntgrálok numrkus számítása során. 93 Ha j, akkor általában alkalmazható a végslmmódszrbn szokásos valamlyk Gauss-kvadratúraformula, mvl sosm lsz zérus a Pξ ( ) futópont, és a Q kollokácós pont távolsága. Ha azonban = j, akkor a Q pont rész a (.9) képltkbn szrplő Γ lmknk, kövtkzésképp rősn szngulársak a hˆ -t adó (.9) ntgrálok, továbbá logartmkus szngulartása van a g -t adó (.9) ntgráloknak. 93 Mgjgyzzük, hogy konstans, lltv lnárs alakfüggvényk stén zárt alakban adhatók mg a kérdéss ntgrálok. A krskdlm programok azonban résznt a ksbb smrtlnszám, továbbá a kllő pontosság lérés érdkébn többnyr kvadratkus, vagy köbös alakfüggvénykt alkalmaznak. 5

251 Elsőként az rősn szngulárs ntgrálok kérdésévl foglalkozunk. Tgyük fl, hogy állandó a hőmérsékltmző a tljs Ω tartományon és annak Γ prmén: u= u =. Nylvánvaló, hogy z stbn azonosan zérus a hőáramvktor. Ezkkl az értékkkl a (.3) gynltből, tkntttl még a (.3/b) összfüggésr s, végső soron a n bn bn, vagy am ugyanaz a ˆ h = h = C + h = h, =,..., n (.35) j j bn j= j= ( j) rdmény kövtkzk. A fnt képlt kttős jlntőségű, gyrészt kdrül blől, hogy nncs szükség sm az rősn szngulárs ntgrálok, sm pdg a C állandók lőzts számítására 94. Másrészről az s adódk a fnt képltből, hogy nncs nvrz a H mátrxnak, hszn lnársan összfüggők az oszlopa. Ez gybn azt s jlnt, hogy ha a tljs Γ prmn a hőáramot írjuk lő z az ún. Numann-fladat, akkor nncs mgoldása a (.3) gynltrndszrnk az u -ra nézv. Ez a gond úgy oldható fl, hogy gy csomópontban ttszőlgsn lőírjuk a hőmérsékltt, ly módon ugyans konstans értékkl változtatjuk mg a hőmérsékltmző értékét, am azonban a Numann-fladat stén nm sért az általánosságot. n A logartmkusan szngulárs ntgrálok numrkus kzlés az f ( η)ln dη Ak f ( ηk ) (.36) η logartmkus Gauss-fél formulán alapul, ahol f ( η ) adott függvény, száma, k n g k= n g a Gauss-pontok A és η (,) pdg az ntgrácós súlyokat, lltv az ntgrácós alappontok k koordnátát jlöl (lásd pl. [5]-öt). A fnt képlt alkalmazása során (a) a ξ [,] ntgrálás ntrvallumot (ha a kollokácós pont a tknttt lm lső vagy utolsó csomópontja), lltv (b) annak részt, azaz a [, ], továbbá a [,] ntrvallumokat (ha a kollokácós pont az lm középső csomópontja) l kll képzn a η [,] ntrvallumra. Mgmutatható formáls átalakításokkal, hogy az r( Q, Pξ ( )) távolság mndhárom stbn flírható a lképzés után a 94 Emlékzttjük az olvasót, hogy sma prmpontokban C = /, és a nm sma prmpontokban (töréspontokban) s mgadható C zárt alakban. A fntk szrnt zkr az összfüggéskr valójában nncs szükség a numrkus számítások során. 5

252 r( Q, P( ξ )) = r( Q, P( ξ )) = r( Q, η ) =ηρ( Q, η), ρ( Q, η) ha η [,] (.37) alakban. Jlölj az gyszrűség kdvéért és összhangban a (.36) ntgrálás szabállyal f ( η ) a kérdéss logartmkus szngulartású ntgrálokban az ln/[ r( Q, Pξ ( ))] gyütthatóját. A fntk alapján zk az ntgrálok szétsnk két részr: f ( η )ln d f ( )ln d f ( )ln d, r( Q, η) η= η η η+ η ρ( Q, η) η logartmkus Gauss-formula polnomáls Gauss-formula (.38) ahol az lső ntgrált a logartmkus, a másodkat pdg a végslmmódszrből smrt polnomáls Gauss-képlttl kll numrkusan számítan a kllő pontosság bztosítására. Az alább mgjgyzés gy str áttknt példaként a flbontást. Mgjgyzés: Tgyük fl, hogy az lm lső csomópontja a kollokácós pont. A vonatkozó vszonyokat a.5. ábra szmléltt. Célunk az [ ] [ ] 3 3 Γ U ( P( ξ), Q ) N ( ξ) N ( ξ) N ( ξ) dγξ ( ) = U ( P( ξ), Q ) N ( ξ) N ( ξ) N ( ξ) J ( ξ) dξ (.39) ntgrál kszámítása, ahol a kvadratkus alakfüggvényk ddg VEM tanulmányank alapján írhatók fl N( ξ ) = ξξ ( ), N( ξ ) = ξ, N3( ξ ) = ξξ+ ( ), (.4/a) továbbá (lhagyva az x és y fltt álló, és az lmt azonosító -t) ahol dx dy J ( ξ ) = +, dξ dξ 3 3 x= ( x x + x) ξ + ( x x) ξ+ x, 3 3 y= ( y y + y) ξ + ( y y) ξ+ y, dx 3 3 = ( x x + x) ξ+ ( x x), dξ (.4/b) (.4/c) dy 3 3 = ( y y + y) ξ+ ( y y). dξ Flhívjuk a fgylmt arra, hogy a flső ndxbn álló számok nm hatványktvők, hanm a lokáls számozás alapulvétlévl azonosítják a csomópontokat..5. ábra: Logartmkus ntgrálás: (a) a vzsgált lm (b) a Q P sugár 5

253 A képltk flírásánál khasználtuk a (.7/a) összfüggést. Mvl Nk ( ξ ) ξ= =, ha k=,3, bből kövtkzk, hogy a (.39) alatt három ntgrált tkntv a másodk kttő nm szngulárs és zért zk számításánál alkalmazható a szokásos Gauss-kvadratúraformulák valamlyk. A logartmkus szngulartású U ( P( ξ), Q ) N( ξ) J ( ξ) dξ (.4) ntgrál mghatározásához képzzük l a ξ [,] ntrvallumot a η [,] ntrvallumra: ξ+ η=, ξ= η, dξ= dη. (.4) A (.4/c),, (.4) képltkt valamnt a.5.b. ábrarészltt flhasználva ném számolással azt kapjuk, hogy 3 3 rx= x x = x x x 3x 4 x x + η + η= A xη B xη, amvl A x B x 3 3 ry= y y = y y y 3y 4 y y + η + η= A yη B yη, A y B y ( ) ( ) ρ (.43) r= r( q, P) = rx + ry =η A xη B x + A yη B y =ηρη ( ). (.44) A (.4) transzformácót, a fnt képltt, valamnt az lsőrndű alapmgoldás (.5) alatt értlmzését khasználva a (.4) ntgrál két részr sk szét: U ( P( ), Q ) N( ) J ( ) d ln N( ) J ( ) d ln ξ ξ ξ ξ= η η η+ N( ξ) J ( ξ) dξ. π η π ρξ ( ) I I (.45) Az I ntgrál kllőn pontos számítása a (.36) alatt logartmkus Gauss-formula alkalmazását tétlz fl. Az I ntgrál azonban nm szngulárs matt a flírásánál vsszatértünk formálsan az ξ ntgrálás változóra és így az a VEM-ből smrt Gauss-képlttl számítható. A fnt gondolatmnt vlágosan tükröz, hogy valóban a prmlmmódszr gyk kulcskérdés a numrkus ntgrálás alapos végggondolása. A töréspontok kzlésér különös fgylmt kll fordítan, mvl a töréspont lőtt és után általában ltérő a hőáram érték: z gybn azt rdményz, hogy mgnő ggyl az smrtlnk száma, ha a hőmérséklt érték az lőírt a tknttt töréspontban. A mgoldás az ún. szakadásos lmk alkalmazásával érhtő l (a részltkt lltőn lásd [6] tanulmányt). Mgjgyzés: A.6.a. ábrarészlt gy töréspontot z a Γ prmgörb globáls sorszámozás szrnt -dk csomópontja, valamnt a töréspontot mglőző Γ, lltv a töréspontot kövtő Γ + lmt, továbbá a lokáls 53

254 .6. ábra: Töréspont (a) folytonos, (b) részlgsn folytonos (szakadásos) lmkkl csomópont számozást s szmléltt. A töréspontban lőírható prmfltétlkt táblázatba foglaltuk, ahol az lőírt értékkt a mgszokott flülvonás jlz, [ s ]{ s+ } rndr az s ívkoordnáta az -dk csomópontban a töréspontban d a [ Γ ]{ Γ + } lmn tkntv. A gondot az okozza, hogy a töréspont lőtt és után különböző.. Hőmérséklt érték Prmfltétlk töréspont stén Hőáram Hőáram töréspont töréspont lőtt után t s+ u t( s ) ( ) u t( s ) t( s+ ) Ismrtlnk száma lht a hőáram. Ez vszont mgnövlht a csomóponthoz tartozó smrtlnk számát. A mgoldás vagy (a) az ún. kttős csomópontok flhasználásával, vagy (b) részlgsn folytonos lmk alkalmazásával zk tknttébn lásd a.6.b. ábrát lhtségs. A kttős csomópont használata rontja a mgoldandó gynltrndszr kondícószámát, zért a profsszonáls programok részlgsn folytonos lmkt használnak. Estünkbn z azt jln, hogy a Γ lm harmadk csomópontja (a globáls számozás szrnt -dk csomópont) nm az lm végén van, hanm az lmn blül hlyzkdk l. A lm végén fkvő pont pdg + -dk csomópontként már a Γ + lm lső csomópontja, vagys úgy tkntjük, hogy az közvtlnül a töréspont után hlyzkdk l. Ha a tljs prmn smrt a hőmérsékltmző és a hőáram azaz a (.6) ntgrálgynltből lszármaztatott (.34) lnárs gynltrndszr mgoldása után, akkor az lső Grn-fél formula használható az Ω tartomány blső pontjaban a hőmérsékltmző mghatározására. A (.) alatt Grn-formulából a (.7/b) képltk flhasználásával lmnként ntgrálva a nb nb u( q) = U ( P( ξ), q) N( ξ) dγξ ( ) t T ( P( ξ), q) N( ξ) dγξ ( )( ξ) u, q Ω = Γ = Γ (.46) képlt adja a q blső pontban a hőmérséklt értékét. Nm nhéz llnőrzn, hogy ugyanakkor Γ 54

255 nb q t ( q) = u( q) = U ( P( ξ), q) N( ξ) dγξ ( ) ( ξ) t κ, κ, κ = Γ nb T, ( P( ), q) κ ξ N( ξ) dγξ ( ) u, q Ω = Γ (.47/a) a q pontbl hőáramvktor, ahol a q pont koordnátá szrnt történk a drválás. Az alapmgoldásokat adó (.5) és (.8) összfüggésk flhasználásával azonnal adódk, hogy a fnt képltbn r ( q, P) n ( P) n ( P) r ( q, P) r ( q, P) κ κ ρ ρ κ U ( P, q), κ= és T ( P, q), κ=. 4 πr ( q, P) π r ( q, P) r ( q, P) (.47/b) Flhívjuk a fgylmt arra a körülményr, hogy csak akkor alkalmazhatók a (.46) és (.47) összfüggésk a hőmérséklt és hőáramvktor blső q pontban történő számítására, ha nncs nagyon közl a q pont a Γ prmgörbéhz. A hőáramvktor normálrányú össztvőjét t adja a Γ prmgörbén. A prmgörb érntőjénk rányába ső össztvő pdg a du d N dξ = u (.48) ds d ξ ds képltből számítható. A fnt összfüggés hátránya, hogy az u hőmérsékltt a prmn mgadó (.7/b) közlítő összfüggés drválásával számítjuk ugyantt a hőmérsékltmző ívkoordnáta szrnt drváltját. A korszrű PEM programok a hőmérséklt gradns (.47/a) alatt formulájára támaszkodva kdolgozott ljárással zt trjdlm okokból nm részltzzük határozzák mg a hőmérséklt gradnst a prmn. Ha nm zérus a b( p ) hőforrássűrűség az Ω tartományon, akkor a (.) alatt lső, és a (.6) alatt másodk Grn-fél formulához hozzá kll adn a U ( p, q) b( p) dωp (.49) Ω partkulárs mgoldást (az ntgrandusz a q pont hőmérséklt a p pontbl b( p) dω p hőforrás hatására). Ily módon azt kapjuk, hogy lltv, hogy P P p (.5/a) Γ Γ Ω u( q) = U ( P, q) t( P) dγ T ( P, q) u( P) dγ + U( p, q) b( p) dω, c( Q) u( Q) = U ( P, Q) t( P) dγ T ( P, Q) u( P) dγ + U( p, Q) b( p) dω. P P p Γ Γ Ω (.5/b) A fnt gynlt alapján a (.34) alatt gynltrndszr s bővül gy taggal: A X= F+ B, (.5/a) 55

256 ahol A az smrtlnk gyütthatómátrxa, X az smrtlnk oszlopmátrxa és F valamnt B B B=, B= U ( p, Q ) b( p) dω p, =,, nbn (.5/b) Ω B nbn smrt oszlopmátrxok. Vgyük észr, hogy a tartomány ntgrál mgjlnésévl a prmlmmódszr lvszt a dmnzószám csökknéséhz kötődő lőnyét. Érdms azonban mgmlítn, hogy számos hatékony ljárás szülttt a dmnzószám mgőrzésér, azaz a tartomány ntgrálok prmr történő kvtlér. Ezkről rövdn a rugalmasságtan fladatok kapcsán sk majd szó..3. A rugalmasságtan térbl fladata és mgoldásuk prmlmmódszrrl.3.. A rugalmasságtan térbl fladata A prmlmmódszr a rugalmasságtan fladatok körébn a hővztés fladat kapcsán mgsmrt gondolatmntr támaszkodva építhtő fl. A gondolatmnt kfjtés során térbl fladatok vzsgálatára fordítjuk majd a fgylmt. A vzsgálat tárgyát az Ω tértartományt ktöltő, homogén és zotrop anyagú szrkzt lm képz (a vonatkozó.7. ábra lv jllgű). A vzsgált Ω tértartomány Γ prm (prmflült), a prmt alkotó Γ u, lltv Γ t prmrészkr bontott ( Γu Γ=Γ, t Γu Γ= t, a két prmrészt a g görb választja l gymástól). Jlölj u az lmozdulásmzőt, lgyn továbbá b a térfogaton mgoszló rőrndszr sűrűség. Homogén zotrop tstr a G nyírás rugalmasság modulus és a ν Possonszám a két anyagjllmző. A Γ prmflültn n ( n n = ) a külső normáls. Fladatunk az u lmozdulásmző mghatározása, ha a k k k Γ prmrészn az lmozdulásmző, a Γ t prmrészn pdg pdg t fszültségmző az lőírt az lőírt értékkt a korábbakkal összhangban flülvonással jlöljük. u u.7. ábra: Az Ω tértartomány 56

257 Ez a fladat azért nhzbb a hővztés fladatnál, mrt a hővztés fladat stén az u hőmérsékltmző (azaz gy skalár), míg a rugalmas tstk térbl prmérték-fladata stén az u lmozdulásvktor (három skalár) az smrtln. A prmlms mgoldás ljárás lépés azonban nagyon hasonlóak a hővztés fladat mgoldása során smrtttt ljárásához. Ennk hangsúlyozására a képltkt nm folytonosan sorszámozzuk (!!), hanm úgy, hogy az analóg képltk sorszáma között éppn lgyn a különbség. Ha gy képltnk nm volt lőzőlg analogonja, akkor az fltt sorszámot kap..3.. A rugalmasságtan térbl fladatának gynlt A rugalmasságtan térbl fladatának gynltt a lnárs lmélt krt között az ε j alakváltozás tnzort adó ε j= ( u, j+ u j, ) (./a) értlmző (gomtra) gynlt, a homogén zotrop tst stén a σ j fszültség tnzor és az ε j alakváltozás tnzor kapcsolatát jlntő ν σ j= G[ ( u, j+ u j, ) + ( u k, k ) δ j] = ν εj εkk ν = G[ δ δ +δ δ + δδ ] u ν k jl jk l j kl k, l Cjkl (./b) anyaggynlt (Hook-modll) a képltbn δ j a Kronckr-függvény, C jkl a rugalmasság állandók ngydrndű tnzora, valamnt a lokáls gynsúlyt kfjző σ + b= (./c) j, j mérlggynlt (gynsúly gynlt) alkotják. Az n j normálsú flültlmn fszültségvktor ébrd. t =σ n (.) j j A Hook-modll gynsúly gynltb történő hlyttsítésévl (az ε j és σ j közbülső változók kküszöbölésévl) az lmozdulásmzőr vonatkozó parcáls dffrncálgynlt, azaz a Navr-gynlt (a térbl rugalmasságtan fladatok alapgynlt) adódk: b Lju j+ =, L j= ( ) δ j+ ( ), j. (.3/a) G ν A (.3/a) dffrncálgynltt a Γ u és Γ t prmrészkr vonatkozó lmozdulás és fszültség prmfltétlkkl kll kgészítn: u u=, t t=. (.3/b) 57

258 .3.3. A súlyozott maradékok módszr a rugalmasságtan térbl fladatara Alkalmazzuk továbbakban a súlyozott maradékok módszrét a (.3) mzőgynlt és prmfltétlk által mghatározott prmértékfladatra -- a vktoráls súlyfüggvénykt rndr w, w és w 3 jlöl: ( ) w GL u + b dω+ w ( u u ) dγ+ w ( t t ) dγ=.(.6) j j 3 Ω Γu Γt A továbbakban tétlzzük fl, hogy a w ( p ) vktormző flhasználásával amlyt formalag lmozdulásmzőnk tkntünk a w ( ) ( ), p = w p (.7/a) p ν w ( P) = t[ wk ( P)] = G[ δkδ jl+δ jkδ l+ δδ j kl] ( wk ( p) l ) p= P n j ( P), (.7/b) ν σj ( wk ) w ( ) ( ) 3 P = w P (.7/c) módon értlmzzük a súlyfüggvénykt. Vgyük észr, hogy t [ w ( P )] az lmozdulásmzőnk tknttt w ( p ) vktormzőhöz tartozó fszültségvktor a Γ prmflült P pontjában. A (.7) súlyfüggvényk hlyttsítés után a (.6) gynlt átírható: w GL ju j dω+ w b dω+ ( u u ) t ( wk ) dγ w[ t ( uk ) t ] dγ=. (.8) Ω σj ( uk ) Ω Γ j u Γt A fnt gynlt lső tagja átalakítható a Btt-tétl sgítségévl 95 : w GL u dω= u GL w dω+ w t ( u ) dγ u t ( w ) dγ. (.) j j j j k k Ω Ω Γ Γ Az utóbb képlt bhlyttsítés és alkalmas rndzés után az alább alakba írható át a (.8) gynlt: k 95 Lgyn w az Ω tértartományt ktöltő rugalmas tst stén az az lmozdulásmző, amly a b ( w ) térfogat trhléshz és a t ( w ) prmtrhléshz tartozk. Az k k w b ( uk ) dω+ w t ( uk ) dγ= u b ( wk ) dω+ u t( wk ) dγ gynlt az dgn munkák Ω Γ Ω Γ gynlőségét mondja k, azaz Btt-tétl. Ha fgylmb vsszük, hogy mnd a (.3a) alapgynltt, akkor átírhatjuk Btt-tétlét az w, mnd pdg u kötls tljsítn w GL u dω u GL w dω= w t ( u ) dγ+ u t ( w ) dγ (.9) j j j j k k Ω Ω Γ Γ alakba. Kmutatható az s, hogy z az gynlt mndg fnnáll, ha a w és az u lgalább kétszr folytonosan dffrncálható vktormző (gyébként mndkttő ttszőlgs lht). Vgyük azt s észr, hogy az utóbb gynlt a (.9) alatt Grn-tétl gyfajta általánosítsa. A két tétl ugyans mgkapható gymásból a (.)-bn közölt btűcsrékkl. 58

259 u GL w dω+ w b dω u t ( w ) dγ u t ( w ) dγ= j j k k Ω Ω Γu Γt = w t ( u ) dγ w t dγ. Γu k Γt (.) Ha fgylmb vsszük, hogy u= u a Γ u prmrészn, és t ( uk ) = t a Γ t prmrészn, akkor összvonható két-két tag: u GL w dω+ w b dω u t ( w ) dγ= w t ( u ) dγ. (./a) j j k k Ω Ω Γ Γ Ha zérus a tartomány thr érték, akkor z az gynlt tovább gyszrűsödk: Mgjgyzés: u GL w dω + u t ( w ) dγ= w t ( u ) dγ. (./b) j j k k Ω Ω Γ Γ Vgyük észr, hogy a (.) és (.) képltkttősök gymás analogonja, mvl az u u, u, w w, w, t t, t, GL (.) btűcsrékkl bármlyk mgkapható a máskból. k k k j.3.4. Alapmgoldások a rugalmasságtan térbl fladatara Tgyük fl, hogy a végtlnb nyúló homogén zotrop rugalmas anyaggal ktöltött tér gy gylőr rögzítttnk tknttt q pontjában az l ( q ), l ( q ) = rő működk. Igazolható a vszonylag hosszú formáls gazolás a [7] alatt könyv 7-75 oldalan található, hogy a rugalmas tér p pontjában w ( p) = ( q) U ( p, q) (.5/a) l l az lmozdulásmző az l ( q ) rő hatására, ahol rl r Ul ( p, q) = (3 4 νδ ) l+ (.5/b) 6 πg( ν) r r az ún. lsőrndű alapmgoldás. A fnt képltbn összhangban a korábbakkal r= r ( p, q) a p pont q ponthoz vszonyított hlyvktora: r= r( p, q) = r. Mgjgyzésk: A fnt fladatot Klvn-fél fladatnak szokás nvzn. Maga a mgoldás Klvn-fél mgoldás névn smrt. Ismétltn hangsúlyozzuk, hogy az U ( p, q ) alapmgoldás a rugalmas anyaggal ktöltött l tér p pontjának rányú lmozdulása a p -től különböző q pontban alkalmazott l rányú gységny rő hatására. Tkntsük változónak a q pontot s. Vgyük észr, hogy U ( p, q) = U ( q, p) = U ( p, q) = U ( q, p). l l l l Szavakban: az U l alapmgoldás mnd a p, q változópárban, mnd pdg az l ndxpárban szmmtrkus. Ez a Maxwll-fél flcsrélhtőség tétl a tljs trt ktöltő rugalmas tstr. Rögzíttt q mlltt a p pontra nézv, rögzíttt p mlltt pdg a q pontra nézv 59

260 gömbszmmtrkus függvény az Ul ( p, q ) alapmgoldás. Ha p= q / r típusú gyng szngulartása van az alapmgoldásnak. Vsszadézv a Drac-függvénnyl kapcsolatos (.3) képltkt, valamnt a δ l Kronckr-függvény tulajdonságat, azt mondhatjuk hogy az ( q ) thr b ( p, q) = lδδ l ( p q) alakú tartomány thrnk tknthtő. Másként fogalmazva a Klvn-fél mgoldás a p GL w+ δδ( p q) = (.4) j j l l dffrncálgynlt mgoldása. Fgylmb vév, hogy a Klvn-fél mgoldás a fnt gynltt bármly l ( q ) stén tljsít, khasználva továbbá az alapmgoldás szmmtra-tulajdonságat az adódk, hogy az U ( p, q ) alapmgoldás a rugalmas térbn kötls lgt tnn (lgt tsz) a p l Lj U ( p, q) +δδ( p q) =, L j U ( p, q) +δδ( p q) = lj l lj l dffrncál-gynltknk. Szavakban: az U ( p, q ) alapmgoldás [sora]{oszlopa} mndkét lj változójukban klégítk a tljs rugalmas térbn a vonatkozó alapgynltt. A (.5/a) lmozdulásmzőhöz rögzíttt q mlltt rl r r k σ k ( p, q) = l ( q) ( ν)( r ) 3 3 lδk δlkr δ lr k (.7) 8 π( ν) r r a fszültség tnzor. A képlt hlysség a (./b) alatt Hook-modll flhasználásával kssé munkagénys számítással llnőrzhtő. Igazolható, hogy a P prmponthoz tartozó n ( P ) normálsú flültlmn a t ( wk ) = t( P, q) = l ( q) Tl ( P, q) (.8/a) fszültség ébrd, ahol nkrk rl r Tl ( P, q) = ( ν)( r ) 3 3 ln nlr nkrkδ l (.8/b) 8 π( ν) r r a fszültségkr vonatkozó alapmgoldás -- az ún. másodrndű alapmgoldás. Mgjgyzésk: k A (.8) képlt hlysség a (.7) képltéből kövtkzk, ha abban P -t írunk p hlyér és véggszorozzuk az így adódó gynltt n ( P) -vl. A (.8) másodrndű alapmgoldásnak q k / r típusú rős szngulartása van. Igazolható tt nm részltztt formáls számításokkal hogy a Tl ( P, q ) másodrndű alapmgoldás oszlopa (ha zkt q -tól függő lmozdulásvktornak tkntjük) P q -ra klégítk a homogén Navr-gynltt. A.9. ábra a végtln ktrjdésű rugalmas tér Γ flülttl határolt Ω tartományát szmléltt. A q ponthoz kötött l ( q ) gységny rő az (a) stbn a tartomány blső pontja, a (b) stbn pdg a 6

261 3.8. ábra: A q pont két lhtségs hlyzt tartomány határflültén kívül hlyzkdk l. Ha a q blső pont, akkor az Ω tartomány gynsúlyának a t ( P, q) dγ P+ l ( q) δ l= (./a) Γ gynlt, ha pdg külső pont, akkor pdg a t ( P, q) dγ P= (./b) Γ gynlt fnnállása a szükségs fltétl. Hlyttsítsük zkb t ( P, q ) (.5a) alatt képltét, és hagyjuk l l ( q) -t az rdményből (z ugyans nm sért az általánosságot). Ily módon azt kapjuk, hogy a másodrndű alapmgoldás kötls lgt tnn a δ l q Ω, Tl ( P, q) d Γ p= δ l q= Q Γ, (.9) Γ q /Ω Γ. q rő gynltknk. A (.9) gynlt pdg azt fjz k, hogy sma prmpontban az ( ) l hatása gynlő arányban oszlk mg az Ω tartomány és az azon kívül lévő rugalmas térrész között A súlyfüggvény mgválasztása a rugalmasságtan fladat stén A továbbakban a (.4/b) dffrncál-gynlt (.5) alatt w ( p) = ( q) U ( p, q) l l mgoldását (mnt lmozdulásmzőt), valamnt az abból képztt t ( wk ) = l ( q) Tl ( P, q) fszültségvktort tkntjük súlyfüggvénynk. Ezkkl a súlyfüggvénykkl átírható a (./b) gynlt az p l ( q) u ( p) GLj Ulj ( p, q) dω p l ( q) Tl ( P, q) u ( P) dγ P= Ω δδ l ( p q) = ( q) U ( P, q) t ( P) dγ l l P Γ Γ t ( uk ) (.) 6

262 alakba. Vgyük észr, hogy mndnütt jlöltük, hogy (a) mlyn változó szrnt történk az ntgrálás, továbbá (b) khasználva a (.4/c) gynltt azt s, hogy m az érték a GL j U ( p, q) szorzatnak. Mvl a (.) gynlt ttszőlgs l ( q ) stén fnnáll, az lhagyható. Ném rndzéssl nnn az u ( p) δδ l ( p q) dω p= Ul ( P, q) t( P) dγp Tl ( P, q) u ( P) dγp (.) Ω Γ Γ rdmény kövtkzk A Somglana-fél formulák A (.) gynlt bal oldalán álló tartomány ntgrál értékér a δ( p q) Dracfüggvénnyl kapcsolatos (.3) összfüggés most blső pont a q, valamnt a Kronckr-szmbólum ndxátnvző tulajdonságának khasználásával az u ( p) δδ l ( p q) dω p= ul ( q) (./a) Ω rdmény adódk. Ezt az összfüggést flhasználva kapjuk a (.) gynltből az ún. lső Somglana-fél formulát: (./b) u ( q) = U ( P, q) t ( P) dγ T ( P, q) u ( P) dγ, q Ω l l P l P Γ Γ Az utóbb gynlt a krstt lmozdulásmzőr vonatkozó rprzntácós tétl: ha az Ω tartomány tljs Γ prmén smrt a u lmozdulásmző és a t fszültségmző, akkor kvadratúrákkal állítható lő a (.3/a) Navr-gynlt ul ( q ) mgoldása zérus tartomány thr fltétlzés mlltt az Ω tartomány gy blső pontjában. Ha a q= Q, vagys ha a prmr sk a q pont, akkor az lőző gondolatmnt lépést kövtv a (.) gynlt hlytt formáls módon kapjuk a u ( p) δδ l ( p Q) dω p= Ul( P, Q) t ( P) dγp Tl ( P, Q) u ( P) dγp (.3) Ω Γ Γ összfüggést. A bal oldal érték a δ( p q) Drac-függvénnyl kapcsolatos (.3) alatt összfüggés most prmn lévő pont a q, valamnt a Kronckr-szmbólum ndxátnvző tulajdonságának khasználásával az u ( p) δδ l ( p Q) dω p= ul ( Q) Ω módon írható, ha sma a prmflült a Q pontban. Érdms zt az rdményt a p lj 6

263 u( p) δδ l ( p Q) dω= cl( Q) u( Q), (ha Γ sma a Q pontban, akkor cl = δl ) módon Ω átírn, mrt z az gynlt azt mutatja mg, hogy a cl ( Q ) érték attól a körülménytől függ, hogy van- érntősík a Γ flülthz a Q pontban. A végső alak flírásánál arra s ügyln kll, hogy a (.3) jobb oldalán álló ntgrálok számítása stn k kll zárn az alapmgoldások szngulartása matt a Q pontot az ntgrálás tartományból. Másként fogalmazva: főértékbn kll vnn zkt az ntgrálokat. Az utóbb mondottak fgylmbvétlévl kapjuk a (.3)-ból a másodk Somglanafél formulát: (.6) c ( Q) u ( Q) = U ( P, Q) t ( P) dγ T ( P, Q) u ( P) dγ. l l P l P Ez gy olyan ntgrálgynlt, amlybn a Γ t Γ P Γ prmpontokban a krstt u ( P ) lmozdulásvktor, a P Γ u prmpontokban pdg a krstt t ( P ) fszültségvktor az smrtln. Az gynlt mgoldása után alkalmazhatóvá válk a (./b) alatt lső Somglana-fél formula a krst fzka mnnység, azaz az u ( q ) lmozdulásmző számítására. Ha nm zérus a tartomány thr, akkor a (./b) gynlt hlytt a (./a) gynltből kll knduln. A két gynlt között a súlyfüggvény választást s fgylmb l l p ntgrál adja az ltérést. Nm nhéz Ω Ω vév az w b dω= ( q) U ( p, q) b ( p) dω llnőrzn a (.)-r vztő gondolatmnt alapján, hogy a fnt ntgrál l ( q ) nélkül az lső és a másodk Somglana-formula jobb oldalára krül. Kövtkzésképp ha nm zérus a tartomány thr, akkor u ( q) = U ( P, q) t ( P) dγ T ( P, q) u ( P) dγ + l l P l P Γ Γ az lső, lltv + U ( p, q) b ( p) dω, q Ω Ω l p c ( Q) u ( Q) = U ( P, Q) t ( P) dγ T ( P, Q) u ( P) dγ + l l P l P Γ Γ + U ( p, Q) b ( p) dω, Q Γ Ω l p (.5/a) (.5/b) a másodk Somglana-formula alakja. A fnt képltk jobb oldalán álló utolsó ntgrál matmatka jlntését tkntv a nm zérus térfogat thrhz tartozó partkulárs mgoldás. Ennk alapján úgy s fogalmazhatunk, hogy a homogén Navr-gynlt (.) alatt mgoldását kgészítttük a nm zérus tartomány thr stéhz tartozó partkulárs mgoldással. 63

264 Mgjgyzésk: A [(.), (.6)] és {(.5)} gynltkttősök (a két Grn-fél formula zérus és nm zérus tartomány hőforrás stér), valamnt a [(.), (.6)] és {(.5)} gynltkttősök (a két Somglana-fél formula zérus és nm zérus tartomány thr stér) gymás analogonja, mrt a c c, u u, U U, t t, T T, b b (.4) l l l btűcsrékkl mgkapható az gyk gynltkttős a másk gynltkttősből. A jln mgjgyzés a másodk Somglana-formula szgorú lvztését tárgyalja. A gondolatmnt hasonló a síkbl másodk Grn-formulára vztő gondolatmnthz. A kívánt rdmény léréséhz a.9. ábrán vázolt Ω tértartomány stén z az Ω tértartománytól, amnt az az ábráról s lolvasható, csak a forráspont ks környztébn tér l alkalmazzuk majd értlmszrűn a (.) gynltt. Ennk során az Ω tértartomány alább sajátosságat vsszük fgylmb:. A forráspont fltvés az Ω tértartomány Γ prmflülténk gy ttszőlgsn rögzíttt pontja: q= Q. A.9. ábrán a g görbén hlyztük l a q= Q pontot, így ugyans jobban érzékltthtők a gomtra vszonyok.. Fltsszük, hogy van érntősíkja a Γ prmflültnk a Q pontban. Ez a fltvés nm rős, mnt azt majd látn fogjuk. 3. Amnt a.9. ábráról s lolvasható, az Ω tértartomány azon rész az Ω tértartománynak, amlyt a Q ponthoz, mnt középponthoz kötött ε sugarú gömbflült ltávolításával kapunk mg. A gömb ε sugarát lgndőn kcsnk tétlzzük fl. 4. Jlölj Γ ε az ε sugarú gömb Ω tértartományban fkvő részét. Lgyn továbbá Γ a Γ prmflült ε sugarú gömbön kívül rész. Nylvánvaló, hogy a határolja. Ω tértartományt a Γ Γ flült ε.9. ábra: Az Ω tértartomány A fntk fgylmbvétlévl alkalmazva a (.) gynltt az Ω tértartományra (q=q, Ω hlytt Ω, Γ hlyér Γ Γ ε krül, az l ( q= Q) lhagyható) p u ( p) GL j Ulj ( p, Q) dωp Tl ( P, Q) u ( P) dγ P= Ul ( P, Q) t ( P) dγp. (.3) Ω δδ l ( p Q) Γ Γ ε Γ Γε t ( uk ) 64

265 az rdmény. Mvl a Q pont az Ω tartományon kívül van, zérus a bal oldalon álló lső ntgrál (zérus a Drac-függvény érték). Ha a flült ntgrálokat külön tkntjük a Γ és Γ ε részflültkn, akkor ném rndzéssl azt írhatjuk, hogy T ( P, Q) u ( P) dγ U ( P, Q) t ( P) dγ = U ( P, Q) t ( P) dγ T ( P, Q) u ( P) dγ l l P l P l P ΓεP Γε Γ Γ (.4) A továbbakban az a célunk, hogy mghatározzuk a fnt gynlt határértékét, ha ε. A számítások során fgylmb vsszük majd, hogy az alapmgoldások a Q pontból a p pont flé mutató rk ρ k= ; ρρ s s= (.5) r gységvktor sgítségévl flírhatók az U ( p, q) = Uɶ, Uɶ [(3 4 ) ] l r = l l 6 G( ) νδ +ρρ (.6) π ν l l és Tl ( P, q) = Tɶ l, Tɶ l= [( ν)( ρln nlρ nkρkδl ) 3nkρ kρρ l ] (.7) r 8 π( ν) alakban. A (.4)-bn álló ntgrálokat balról jobbra haladva vsszük sorra. Az lső két stbn a.. ábrán vázolt gömb koordnáta-rndszrt célszrű flhasználn a számítások során. A rndszr orgója a Q ponttal sk gyb, az xx koordnáta-sík fltvés szrnt a Γ flült érntősíkja. A Γ ε flült gybn a gömb koordnáta-rndszr ε sugarú koordnáta-flült. Az ábráról lolvasható a ϕ és θ gömb koordnáták értlmzés s. Az n k külső normáls (z gységvktor) lőjlbn különbözk a.. ábra: A Γ ε flült gömb KR-bn ρ gységvktortól. A (.7) képlt alkalmazásával r = ε a k határérték a Γ ε flültn az lső ntgrál 65

266 lm T ( P, Q) u ( P) dγ = lm Tɶ ( P, Q)[ u ( P) u ( Q)] dγ + lm T ( P, Q) dγ u ( Q) = (.8) l P l P l P ε ε ε ε Γε Γε Γε = lm 4 πtɶ ( P, Q)[ u ( P ) u ( Q)] + lm T ( P, Q) dγ u ( Q) l l p ε ε Γ ε alakban írható fl. Vgyük észr, hogy a jobb oldalon álló lső ntgrálra alkalmaztuk az ntgrálszámítás középértéktétlét: az ntgrál érték az ntgrálás tartomány mérőszáma (félgömbnk vttük a Γ -t: ε Γ ε= 4πε és z, mvl az ntgrál határértékéről van szó mgngdhtő) szorozva az ntgrandusz az ntgrálás tartományon blül alkalmasan választott pontban vtt értékévl (zt a pontot P jlöl). Mvl T ɶ l ( P, Q) korlátos, a ( u ) ( ) P u Q különbség pdg ε stén zérushoz tart, a (.7) kfjzés jobb oldalán álló lső tagnak zérus a határérték 96. Ez gybn azt s jlnt, hogy a továbbakban a lm T ( P, Q) u ( P) dγ = lm T ( P, Q) dγ u ( Q) = c ( Q) u ( Q) (.5a) l P l p l ε ε Γε Γε összfüggésbn álló c ( ) l cl ( Q) Q mghatározása a fladatunk. Hlyttsítsünk b a vonatkozó ntgrálba, mgőrzv gylőr az r -t, valamnt khasználva az ábra alapján írható nρ = gynltt a (.7) képltt. Azt kapjuk, hogy dγ p cl ( Q) = lm Tɶ (, ) lm [( ) 3 ]. l P Q dγ p= νδ l+ ρρ (.9) l ε r 8 π( ν) ε r Γε Lolvasható az ábráról, hogy a P pont k Γε x koordnátá vagy am ugyanaz, az rányvktor lm, továbbá a skalárs flültlm a x= r= r snθ cos ϕ, x = r= r snθsnϕ x = r= r cosθ és 3 3 ρ = x / r= snθ cos ϕρ = x / r= snθsn ϕρ = x / r= cosθ 3 3 dγ = r snθ dθ dϕ p módon számíthatók. Vgyük azt s észr, hogy az ( νδ ) kl+ 3ρρ kfjzés csak a k l p / sn s s r k vktor, a ρ k (./a) (./b) ρ k gységvktor függvény. Ennk a Q pont a kzdőpontja, a végpontja pdg a Q középpontú gységsugarú K gömbflült gy σ résztartományán fut végg azaz függtln az r=ε -tól és fnnáll, hogy dσ= dγ r = θ dθ dϕ a K gömb flültlm (a dγ látószög). Nylvánvaló, hogy a (.9) ntgrált a K gömb mlíttt résztartományára kll ktrjsztn. Kövtkzésképp a krstt határértékt a cl ( Q) = [( νδ ) l+ 3ρρ l ] dσ 8 π( ν) (.) σ ntgrál adja mg. p A Q kzdőpontú és a Γ flültt érntő félgynskt félérntőknk fogjuk nvzn. A félérntők srg (mvl a flült most sma) a Q pontbl érntősíkot alkotja, és z a sík a K gömböt két félgömbr vágja szét. Jlölj K ( Q) K gömbflült azon flét, amly csaknm, vagy tljs gészébn az Ω Γ a 96 A határérték ltűnéséhz valójában csak anny kll, hogy a gömbflült Ω-n blül rész az ntgrálás tartomány mérőszáma az ε sugár másodk hatványával lgyn arányos. Ez mndg tljsül. 66

267 tartományon blül fkszk. Nylvánvaló, hogy most K ( Q) Kövtkzésképp KΓ ( Q) σ= a krstt ntgrálás tartomány. Γ dσ= dσ= π. (.) σ A fntbb mondottak, továbbá (.9) és (.) képltk, lltv a.. ábra alapján π π c ( Q ) ( ) 3 sn l = dσ νδ + ρρ θ dθdϕ 8 π( ν) K ( Q) kl k l Γ θ= ϕ= Mgmutatjuk, hogy c ( Q ) =δ / Ha l, akkor az l. kl = π π π cos nϕ dϕ= sn nϕ dϕ= ( n=±, ±, ± 3,...) gynlőségk használhatók k. A k= l= és k= l= stkbn az π 3 π/ π π 3 cos θ sn θdθ= cos θ =, cos ϕdϕ= sn ϕdϕ=π 3 3 ntgrálokat, a k= l= 3 stbn pdg az π 3 π/. (.3) (.4/a) cos θ cos θsnθdθ= = (.4/b) 3 3 ntgrált kll többk között khasználn. Elvégzv fntk sgítségévl a szükségs ntgrálásokat, valóban a ckl ( Q ) =δkl / rdmény adódk. Az utóbb rdmény flhasználásával (.5/a) határérték a lm Tl ( P, Q) u ( P) dγ P= cl ( Q) u ( Q); cl ( Q) = δ alakú lsz. A (.4) gynlt bal oldalán álló l ε Γ ε másodk ntgrál határértékt khasználva a (.6) átalakítást ugyancsak a középértéktétl flhasználásával határozzuk mg: lm Ul ( P, Q) t ( P) dγ P= lm Uɶ l ( P, Q) t ( P) dγ P= lm 4 πεuɶ l ( P, Q) t ( P ). ε ε r ε Γε Γε A képltbn smét 4πε -nk vttük a Γ ε trültét, P pdg smét a Γ ε tartomány középértéktétl alkalmazásához szükségs pontja. Mvl mnd Uɶ l ( P, Q), mnd t ( P ) korlátos a tstbn ébrdő fszültség korlátos mnnység, ha végsk a trhlésk a fnt ntgrálnak zérus a határérték, azaz lm Ul ( P, Q) t ( P) dγ P=. (.5/b) ε Γε A (.4) gynlt jobb oldalán álló két ntgrál határérték nylvánvalóan az ntgrál főérték: lm U ( P, Q) t ( P) dγ = U ( P, Q) t ( P) dγ, ε Γ lm T ( P, Q) u ( P) dγ = T ( P, Q) u ( P) dγ. ε Γ l P l P l P l P Γ Γ (.5/ c) (.5 / d) A (.5) alatt rdményk (.4) összfüggésb történő hlyttsítés a (.6) másodk Somglanaformulát adja. Ezt kívántuk mgmutatn Fszültségk számítása blső pontban Az alábbakban mghatározzuk a (.5) alatt lső Somglana-formulával adott ( ) l u q lmozdulásmzőhöz tartozó fszültségkt. A számítások során -- a nm nhéz, d fgylmt génylő formáls átalakításokat nm részltzzük -- az alábbak szrnt járunk l: 67

268 (a) mghatározzuk rndr az u ( q) = U ( P, q) t ( P), u ( q) = U ( p, q) b ( p), és u ( q) = T ( P, q) u ( P) (.5) l l l l l l vktormzők u l, s, u l, s ( q), és u l, s ( q) gradnst (a q pont koordnátá szrnt kll drváln, és érdms továbbá khasználn, hogy a q szrnt páratlan rndszámú drváltak lőjlbn különböznk a p szrnt páratlan drváltaktól (a páros rndű drváltak azonosak), (b) majd hlyttsítjük a kapott rdményt a (./b) Hook-modllb. A Hook-modllből rndzés után adódk, hogy σ ls ( P, q) = Dls ( P, q) t ( p), σ ls ( p, q) = Dls ( p, q) t ( p), σ ls ( P, q) = Sls ( P, q) u ( p), (.6) ahol rl rs r Dls ( p, q) = ( ν)( r ) 3 3 δls rlδ s δlrs (.7/a) 8 π( ν) r r és G 3 Sls( p, q) = 5{ nkr k( νδ ) lsr+ν( rsδ l+ rlδ s) 4π ν r ( ) r r r r 5n r +ν n r r+ n r r + ν 3r r n+ nδ + nδ 4νδ n r 3 3 l s k k l s s l l s l s s l ls ( ) ( )( ) ( ) } A (.5) és (.6) képltk alapján kapjuk a (.5) alatt lső Somglanaformulából, hogy (.8) ( ) (, ) ( ) (, ) ( ) (, ) ( ) σ q = D P q t P dγ S P q u P dγ + D p q b p dω ls ls P ls P ls p Γ Γ Ω a fszültség tnzor a q Ω pontban A numrkus mgoldás alapja A (.5/b) ntgrálgynlt numrkus mgoldása érdkébn prmlmkr bontjuk az Ω tértartomány Γ határflültét. Az gys lmk fltt alkalmasan választott alakfüggvénykkl közlítjük mnd a gomtrát (azaz az x vktort), mnd pdg az u lmozdulás-, valamnt t fszültségvktorokat: Vgyük észr, hogy nn nn nn k k k x= Nk ξ x u= Nk ξ u t= Nk ξ t k= k= k= ( ), ( ) és ( ). (.7) (a) am a jlöléskt llt, gazodtunk a hővztés fladat kapcsán bvzttt jlöléskhz, lásd a..7. pont lső bkzdését, (b) a ξ, ξ koordnáta-kttőst a tömörbb írásmód kdvéért gyszrűn ξ-vl jlöltük, 68

269 (c) ha a latn ndx nmcsak, és 3 lht, akkor összgző ndxk stén mndg kírjuk az összgzés jlét (pl. k, ). Egyébként az ndxs jlölésmód érvénys, azaz alsó ndxsorban álló kttős (néma) ndxk szrnt ugyanúgy, mnt ddg, összgzn kll. A (.7) alatt közlítéskt hlyttsítv, továbbá a Q =,, nbn pontot választva kollokácós pontnak átírható a másodk Somglana-formula, azaz a drkt módszr (.5/b) alatt ntgrálgynlt: nb nn ( ) ( ) ( ( ), ) ( ) ( ) k ls s ls k s Γ = k= c Q u Q = U Pξ Q N ξ dγξ t nb nn ( ( ), ) ( ) ( ) k Tls Pξ Q N k ξ dγξ u s+ Uls ( p, Q ) bs ( P) d p,,, nbn Γ Ω = Ω = k= Lgynk u t j j j j j= j=, =,..., bn j u 3 t 3 u u és t t j n (.8) (.9) a prmn tknttt lmozduláskoordnáták és fszültségkoordnáták (vktora) a globáls sorszámozás szrnt j -dk csomópontban. A tljs prmr nézv a VEM-nél mgszokott módon, azaz az T nbn nbn nbn u = [ u u u3 u u u3... u u u3 ], (./a) és T T T u u u nbn T nbn nbn nbn t = [ t t t t t t... t t t ] T T T u u u nbn (./b) képltk értlmzk az lmozdulások és fszültségk 3n bn lmű u és t vktorat. Az a( j, ) függvény ugyanúgy, mnt azt már láttuk a (.9) képltk kapcsán az -dk lm globáls sorszámozás szrnt j -dk csomópontjának adja mg a lokáls (lmn blül) sorszámát. A későbbk kdvéért az alábbakban értlmzzük a hˆ j= Tls ( P( ), Q ) Na( j, ) ( ) d ( ) ξ ξ Γξ Γ (.9) (3 3) j és g j= Uls ( P( ), Q ) Na( j, ) ( ) d ( ) ξ ξ Γξ Γ (.9) (3 3) j ntgrálokat, ahol az összgzés azokra az lmkr trjd k, mlyknk csomópontja a globáls sorszámozás szrnt j -dk csomópont; a képltbn N a( j, ) az -dk lm lokáls számozás szrnt a -adk csomópontjához tartozó bázsfüggvény (a bázsfüggvényk s lmtől függők lhtnk), az pdg a rögzítttnk tknttt Q 69

270 csomópont, azaz a kollokácós pont száma. Vgyük azt s észr (zt a jlölésbn s érzékltttük), hogy mnd h ˆ, mnd pdg g gy 3 3 mértű mátrx. Nm nhéz j j blátn a (.8) és (.9) gynlt, lltv képltk alapján, hogy zk a mátrxok jobbról vannak mgszorozva a 3 lmű u j, lltv a t j oszlopvktorokkal. Mgjgyzés: A h ˆ és j g mátrxok rndr a (.9) alatt h ˆj és j g j skalárok analogonja. Ha bvztjük még a fntkn túlmnőn a (.8) gynlt baloldalát tkntv a C = c ( Q ) (.3/a) (3 3) [ ] κλ jlölést (mátrxot), valamnt a ˆ h + C, ha = j h =, j=,, n j bn (.3/b) hˆ j, ha j továbbá a B = Uls ( p, Q ) bs ( P) dω p =,, nbn (3 ) (.5/b) Ω jlöléskt, akkor a h ˆ és j b j mátrxok értlmzés kapcsán mondottakat s khasználva a u t u t h h h n g g g B,,..., bn = n + = nbn bn (.3) u n t bn nbn gynltt kapjuk a Q kollokácós pontban vtt (.8) alatt másodk Somglanaformulából. A fnt gynltk gysítés a h h h g g g n bn u nbn t B h h h g g g n u bn nbn t B =... +, (.3)... h h h u n nbn nbn nbn n bn g g g t n nbn nbn nbnnbn B n u t B vagy tömörbb formában írva a H G Hu= Gt+ B (.33) gynltrndszrr vzt. A (.33) gynltkbn vagylagosan adott az u k, lltv a t k, hszn gy csomópontban a két érték közül csak az gyk smrt a prmfltétlk alapján. Ez gybn azt jlnt, hogy anny smrtlnünk van, ahány gynlt áll rndlkzésr, és a (.33) gynltrndszr alkalmas átrndzés után formalag a 7

271 (.5/a) gynltrndszrrl mggyző szrkztű lnárs gynltrndszrt kapunk az smrtln csomópont értékkr: A X= F+ B. (.5/a) Az ltérés az gys mátrxok mértbn, továbbá a mátrxok lmnk mghatározásában érhtő tttn. Mgjgyzésk: A prmn tknttt lmozdulásmzőr és fszültségmzőr nézv a lgtöbb stbn a prmn értlmztt ún. flült koordnátarndszrbn tszünk a prmfltétlkn krsztül lőírásokat. A flült koordnátarndszrbn tknttt mnnységkt, mvl a prmlms formalzmus a globáls koordnátarndszrt használja, transzformáln kll a globáls koordnátarndszrb. A transzformácó tchnkáját és a numrkus mplmntácóban való szrpét az [5] alatt tanulmány smrtt. A (.33) gynlt jobb oldalán mgjlnk a tartomány trhlés hatása. Ennk fgylmbvétl azt rdményz, hogy az Ω tartomány fltt kll ntgráln, vagys lvszt a módszr a dmnzószám csökknéséből adódó lőnyét ha u. nncs tartomány thr, akkor a háromváltozós fladat numrkus mgoldása a PEM révén kétváltozós fladat mgoldására van vsszavztv és a VEM módszrrl szmbn nncs szükség tartomány háló gnrálására. A nm zérus tartomány thr fgylmbvétlér több lhtőség kínálkozk. Az alábbakban vázlatosan smrttjük zkt. Az érdklődő olvasó az déztt művk alapján tud mélybbn tájékozódn. (a) Ha lfogadjuk a dmnzószám lvsztésévl járó hátrányokat, és végslmkr bontjuk fl az Ω tartományt, akkor a VEM mgszokott tchnkájával a nrn B = U ( p, Q ) b ( P) d Ω =,, n (3 ls s p bn ) = Ω módon vhtő fgylmb a tartomány thr, a tartományon flvtt lmkt számlálja, tartományon flvtt lmk száma (numbr of rgon lmnts). n r a (b) A konstans gravtácós thr, lltv a forgásból adódó thttlnség rőrndszr, mnt tartomány thr stén a vonatkozó tartomány ntgrálok kvhtők a Γ prmflültr. a (.5/a) alatt lső Somglana-fél formula stén konstans, azaz b ( p) = b= állandó alakú tartomány thr stér szorítkozva a tartomány ntgrálra nézv a Ω ˆ ˆ U ( p, q) b ( p) dω = B ( q, P) dγ b, B = n rδ n rδ 8πG r ( ν) Γ l p l p l k k l l k k összfüggés áll fnn. Ez az rdmény az alapmgoldás és az ún. Galjorkn-fél vktor között kapcsolat alapján adódott [8]. (c) A tovább lhtőségk közül a partkulárs ntgrálás tchnkája, mnt az úgynvztt duál rcproctás ljárás spcáls st, a többszörös rcproctás ljárás [9] és végül a duál rcproctás tchnka az utolsó az, am mndg alkalmazható és gn hatékony ljárás tchnka. A módszr dnamka fladatok kapcsán krült [] kdolgozásra, d gyorsan ltrjdt a statka fladatok körébn s [, o.]. 7

272 .3.9. Az lmozdulások és fszültségk numrkus számítása A (.33) gynltrndszr mgoldása után a tljs prmn smrt az lmozdulás és fszültségmző. Kövtkzőlg alkalmazható az lmk fltt ntgrálással a (.5/a) alatt lső Somglana-formula az lmozdulásmző számítására az Ω tartomány blső q pontjaban: nb nn ( ) ( ( ), ) ( ) ( ) k s ls k s = Γ k= u q = U Pξ q N ξ dγξ t nb nn k Tls P q Nk d u s Ul p q b p d p = Γ k= Ω ( ( ξ), ) ( ξ) Γξ ( ) + (, ) ( ) Ω, (.46) Hasonló módon kapjuk a fszültségkt az Ω tartomány blső q pontjában mgadó, azaz a (.8) képltből a fszültségk numrkus számításának nb nn ( ) ( ( ), ) ( ) ( ) k ls q Dls P q Nk d t s = Γ k= σ = ξ ξ Γξ nb nn ( ( ), ) ( ) ( ) k Sls P q Nk d u s Dls ( p, q) b ( p) d p = Γ k= Ω ξ ξ Γξ + Ω (.47/a) formuláját. Mndkét képlt csak akkor alkalmazható mgbízhatóan a magfüggvényk szngulárs jllg matt, ha a q Ω pont nncs nagyon közl a Γ prmhz. A Γ prmn ébrdő fszültségkt kétfélképpn lht mghatározn. Az gyk stbn azt használjuk k, hogy a (.33) gynltrndszr mgoldása után a tljs prmn smrt mnd az lmozdulásmző, mnd pdg a fszültségmző [], []. Az alábbakban zt a lhtőségt smrttjük vázlatosan... ábra: Az lmhz kötött flült KR x 3 O x x A.. ábrán szmléltttt prmlmhz kötjük az ortogonáls ( x xx3) flült koordnátarndszrt, x, x a flült koordnáták, az x 3 pdg flültr mrőlgs koordnáta. Ennk a koordnátarndszrnk mndn pontjában smrjük lvbn a fszültségvktort, kövtkzésképp smrtnk vhtők a σ kl fszültségtnzor σ 3=σ 3, 7

273 σ 3=σ 3 és 33 σ komponns. Mvl az lm fltt ugyancsak smrt az ul( x, x) lmozdulásmző, a flült koordnáták szrnt drválásokkal mg tudjuk határozn az alakváltozás tnzor érntősíkban fkvő lmt 97 : (,,) u u ε κλ= κλ+ λκ. A hányzó ν érntősíkbl σ κλ fszültségkt a σ kl= G ε kl+ εssδkl Hook-modllből ν számíthatók. Ehhz azonban smrnünk kll a ε 33 fajlagos nyúlás értékét. Ez a fnt σ33 ν Hook-modll alapján írható =ε 33+ ( ε +ε +ε33) gynltből adódk: G ν ν σ33 ν 33 ( ) ε = ε +ε. Az ε ν G ν 33 fajlagos nyúlás smrtébn ν σ 33 ε ss=ε +ε +ε 33= +ε +ε G az alakváltozás tnzor lső skalárs ν nvaránsa, és zzl a Hook-modllből azonnal adódk a három hányzó fszültség: σ = νσ 33+ G( ε +νε), ν σ = 33 G( ), νσ + νε +ε (.) ν σ =σ = Gε. A (.) összfüggésk használata általában klégítő rdményr vzt és vszonylag költséghatékony. Ugyanakkor a pontossággal bajok lhtnk, különösn akkor, ha vszonylag nagymértű lmkt alkalmazunk. Mgjgyzés: A fnt smrttés csak az lv alapokat tknttt át. Hányzk bből a lírásból annak részltzés, hogy a lokáls és globáls koordnátarndszrk között transzformácót hogyan kll bépítn az algortmusba. A drválások számítása s függ attól, hogy mlyn alakfüggvénykt használunk, vagys a kódolás munka még számos tovább kérdést vtht, lltv vt fl. A prmn ébrdő fszültségk számításának pontossága jlntősn fokozható, ha a (.8) gynlt határértékét képzzük a q Q str kvsszük a q pontot a prmr és az így kapott gynlt alapján dolgozunk k számítás algortmust [3]. Ez az ljárás azonban nm költséghatékony, és a programozás munka, amvl társul, ugyancsak komoly nhézségkt okoz. 97 A görögbtűs ndx korább mgállapodás szrnt csak és lht! 73

274 .3.. A numrkus mgoldás gys problémá A hővztés fladat kapcsán már hangsúlyoztuk, hogy a prmlmmódszr pontossága nagymértékbn függ attól, hogy kllőn pontosak- a H és G mátrxok lm. Másként fogalmazva amnt arról már szó stt a h ˆj és nagy körültkntéssl kll ljárn a h ˆ és j ntgrálok numrkus mghatározása során. g j skalárok számítása kapcsán most s g gyütthatókat adó (.9) képltkbn a j Ha j, akkor általában thát rugalmasságtan fladatok stén s alkalmazható a végslmmódszrbn szokásos valamlyk Gauss-kvadratúra, mvl sosm lsz zérus a Pξ ( ) futópont, és a Q kollokácós pont távolsága. Különbségt kll azonban tnn a kollokácós ponthoz közl fkvő, és a től távolabb lévő prmlmk között. Az utóbbak stén klégítő pontosságot adhat gy alacsonyabbrndű Gauss-formula (a kommrcáls programok a Gauss-pontok számát általában a távolság függvényébn választják mg). A kollokácós ponthoz közlbb fkvő lmk stén a numrkus pontosság növlés érdkébn növln kll a Gauss-pontok számát, és az s lőfordul, hogy a kollokácós ponthoz közl lmt részlmkr bontják fl és zkn a részlmkn külön-külön ntgrálnak [4], [5]. Amnnybn = j, akkor a Q pont most s rész a (.9) képltkbn szrplő lmknk az ntgrálást zk fltt végzzük, kövtkzésképp / r alakú rős szngulartása van a hˆ -t adó (.9/a) ntgráloknak, továbbá / r típusú gyng szngulartása van a g -t adó (.9/b) ntgráloknak. Az rősn szngulárs ntgrálok kérdés ugyanúgy kzlhtő, mnt a hővztés fladat stén. Tgyük fl, hogy zérus a b tartomány thrvktor érték a tljs Ω tértartományon. Ez stbn nylvánvalóan zérus a B vktor s. Továbbá azt s fltétlzhtjük, hogy mndnütt állandó és gységny az lmozdulásvktor három koordnátája, azaz u= u= u3=. Kövtkzésképp mndnütt azonosan zérus a σ j fszültségtnzor, és így azonosan zérus az Ω tértartomány Γ prmflültén a t fszültségvktor s. Ezkkl az értékkkl a (.3) gynltből, tkntttl még a (.3/b) összfüggésr s, végső soron a n bn bn, vagy am ugyanaz a ˆ h = h = C + h = h, =,..., nbn (.35) j j j= j= ( j) rdmény kövtkzk. A fnt képlt most s kfjz, hogy (a) nncs szükség az rősn szngulárs ntgrálok lőzts számítására, n Γ (b) a C állandókat sm kll képltszrűn (vagy numrkusan) mghatározn, mvl a 74

275 fntk szrnt nncs szrpük a numrkus mgoldásban, (c) a H mátrx szngulárs, thát ha tljs Γ prmn a fszültségkt írjuk lő (az gynsúlynak tljsüln kll!), akkor gy csomópontban ttszőlgsn lőírható az lmozdulás. Mgjgyzésk: A gyng / r típusú szngulartást lltőn az a kérdés a (.9) összfüggés alapján, hogy hogyan határozzuk mg a U kl( P( ξ, ξ), Qa) Na ( ξ, ξ) J ( ξ, ξ) dξ dξ K( P( ξ, ξ ), Q) dγξ ( ) a típusú ntgrálok értékét. A képltbn a kollokácós pontot a lokáls sorszámozás szrnt jlöltük: b N,, n, Q a, az a -tól ltérő ndxű b= n b a bázsfüggvényk zérus értékűk a Q a pontban, zért mgszünttk az / r típusú szngulartást, kövtkzésképp rájuk nézv a szokványos Gauss-ntgrálás használható, J ( ξ, ξ ) a Jacob-fél függvénydtrmnáns, és részltsn kírtuk flhasználva Jξ (, ξ) -t a dγξ ( ) flültlmt. A továbbakban az általánosság kdvéért a bmutatásra krülő ljárás ugyans nm csak rugalmasságtan fladatokban alkalmazható a K( P Q) magfüggvényt. ( ξ, ξ ), a módon jlöljük a.. ábra: A ( ξ, ξ ) ( u, v) lképzés A flvttt problémára a szngulartás mgszünttés jlnt a mgoldást. Ez úgy érhtő l, hogy a ( ξ, ξ ) változópár hlytt olyan alkalmasan választott ( u, v ) változópárt vztünk b, mlyk révén mgszüntthtő az ntgrandusz / r típusú szngulartása. A vonatkozó, Lachat és Watson ([]) által kdolgozott transzformácó csak háromszög alakú lmkr alkalmazható. Az alábbakban a.. ábrán szmléltttt srndpty típusú lmr mutatjuk b gy stbn a gondolatmntt. Lgyn Qa= Q és bontsuk fl az ntgrálás tartományt az orgó középpontú két gységny oldalélű négyztt a szngulárs ntgrál nnk mgfllőn két részr bontható: ( ξ, ξ ) síkon az ábrán látható módon két háromszögr: A gyngén 75

276 ξ I I I K( P(, ), Qa) Na (, ) J (, ) d d = + = ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ+ ( ) + K P( ξ, ξ ), Q N ( ξ, ξ ) J ( ξ, ξ ) dξ dξ a a ξ I A továbbakban a szürkén kmlt háromszögr, azaz az I ntgrálra fordítjuk a fgylmt. Tkntsük a I ξ = u, ξ = ( + u) v ( u) [ ] lképzést. Nm nhéz llnőrzn, hogy z a lképzés a jobb oldal ábrarészltn látható, szntén szürk színnl kmlt orgó középpontú és két gységny oldalélű négyztr képz l a szürkén kmlt háromszögt. Tsz zt oly módon, hogy a ( ξ, ξ ) sík 3, 5 és jlű csomópontját rndr az ( u, v ) sík (, ) (zt tt s 3-mal jlöltük) és (,) (zt tt s 5-tl jlöltük) csomópontjara, lltv az u= gynsr képz l. A lképzés Jacob-fél dtrmnánsának ξ ξ ( + v) u u J ( u, v) = = = ( + u) ξ ξ ( + u) v v az érték. Kövtkzőlg v= u= ( ξ ξ ) K P(, ), Qa Na ( ξ, ξ) J ( ξ, ξ) J ( u, v) du dv I ntgrál érték. Kolvasható bből az rdményből, hogy az ( + u ) az u= érték stén (kkor r= ) az ( + u) / szorzó mgszüntt szngulartást. A fnt ljárás más stkbn s alkalmazható. A lhtségs stkt részltsn tárgyalja (bár a jlölésrndszr a fntktől ltérő) a [6] alatt könyv. A gyngén szngulárs ntgrálok kzlésér vannak más ugyancsak hatékony módszrk ([7]). A sarokpontok, lltv élk kzlés különös fgylmt gényl a térbl fladatok stén. Ha magában a sarokpontban az lmozdulásvktor az lőírt, akkor a problémát az okozza, hogy a sarokpontban összfutó oldallapokon a sarokpontra ső csomópontban (a különböző lmk gymással gybső csomópontjában) mndgyk lmn smrtln a fszültség, azaz háromnál több smrtln van. Ha a prmflültn lévő valamly éln ugyancsak az lmozdulásmző az lőírt, akkor az élb bfutó két lapon smét általában smrtln a fszültség, így az éln lévő csomópontokban smét háromnál több a fszültség jllgű smrtlnk száma. A mgoldást a részlgsn folytonos, vagy a nm folytonos lmozdulásmzőt adó lmk használata jlnt..3. ábra: Részlgsn folytonos lmk lhlyzés sarokpontban, lltv él mntén

277 A.3. ábra valamly tst gy sarokpontjában, lltv a tstn lévő gy él mntén szmléltt a nyolc csomópontú srndpty típusú, részlgsn folytonos, lltv folytonos lmk csatlakozását..3.. PEM és VEM: lőnyök, hátrányok Az alábbakban táblázatszrűn áttkntjük a két módszr a prmlmmódszr és a végslmmódszr főbb tulajdonságat, lőnyt és hátrányat a máskkal szmbn: PEM ) A mzőgynltk pontosan tljsülnk. ) A fladat mért (dmnzója) ggyl csökkn. 3) Szngulárs ntgrálok mghatározását gényl a mgoldandó ER gyütthatómátrxának számítása. 4) Ugyanazon pontosság léréséhz lénygsn ksbb mértű ER-t kll mgoldan. 5) Nm szmmtrkus és tl mátrx a mgoldandó ER mátrxa. 6) Ismrn kll az alapmgoldásokat. 7) A módszr alapja (potncállmélt alapok, rugalmasságtan alapok) nm rész a hagyományos mérnök kurzusoknak. VEM ) A mzőgynltk csak ntgrál értlmbn tljsülnk. ) Nm változk a fladat mért. 3) Nncs szükség szngulárs ntgrálok számítására a mrvség mátrx számítása során. 4) Vszonylag nagyszámú gynlt mgoldására van szükség. 5) Szmmtrkus és sávszrkztű (dagonáls szrkztűvé thtő) a mgoldandó ER. 6) Nncs szükség alapmgoldásokra. 7) A módszr alapja (vrtuáls munka és tljsítmény lv, varácószámítás) valamlyn formában rész a hagyományos mérnök kurzusoknak. 77

278 Végztül mgjgyzzük, hogy a jln lőadásvázlatban bmutatott módszrt drkt prmlm-módszrnk szokás nvzn, mvl a fladat smrtlnnk van közvtln fzka jlntés (lasztostatka fladatoknál lmozdulásvktor lltv fszültségvktor). A drkt jlző mgkülönböztt a módszrt az ún. ndrkt módszrtől, z utóbb módszrnél általában valamlyn prmn vtt potncálfüggvény az smrtln. Flhasznált rodalom:./ Brbba, C.A. Domnguz, J. : Boundary Elmnts: An Introductary Cours, Computatonal Mchancs Publcatons and Mc Graw Hll, nd dton, 99../ Alabad, M. H. : Th boundary lmnt mthod - Applcatons n Solds and Structurs, Volum. John Wly & Sons,. 3./ Béda Gy. - Kozák. I. : Rugalmas tstk mchankája, Műszak Könyvkadó, Budapst, / Szdl. G. : Kísérlt és numrkus fszültséganalízs: A prmlmmódszr ntgrálgynlt, Mskolc Egytm, 999. ( 5./ Watson, J. O. : Advancd mplmntaton of th boundary lmnt mthod for two- and thr-dmnsonal lastostatcs, Chaptr 3, pp. 3-63, Th Dvlopmnts Srs, Appld Scnc Publ., London, / Pattrson, C. - Shkh. M. A. : Intrlmnt contnuty n th boundary lmnt mthod, In C. Brbba A. (dtor) Topcs n Boundary Elmnt Rsarch, Vol, pp Sprngr, / Lur, A. I. : Thory of lastcty, Nauka, Moscow, / Danson, D. J. : A boundary lmnt formulaton n lnar lastcty wth body forcs. pp. 5-, Sprngr, Brln, / Nowak, A. Nvs, A. : Th multpl rcprocty boundary lmnts, Computatonal Mchancs Publcatons, Southampton, 994../ Nardn, N. Brbba, C. A. : A nw approach to fr vbraton analyss usng boundary lmnts, Computatonal Mchancs Publcatons, pp. 3-36, Southampton, 997../ Lachat, J. C. Watson, J. O. : Effctv numrcal tratmnt of boundary ntgral quatons: A formulaton for thr dmnsonal lastostatcs, Intrnatonal Journal for Numrcal Mthods n ngnrng, :99-5, 976../ Sladk, V. Sladk, J. : Improvd computaton of strsss usng th boundary lmnt mthod., Appld Mathmatcal Modllng, :49-55, / Wld, A. J. Alabad, M. H. : Drct valuaton of boundary strsss n th 3d BEM of lastostatcs. Communcatons n Numrcal Mthods of Engnrng, 4:55--57, / Musto, G. G. W. : Advancd ntgraton schms ovr boundary lmnts and volum clls for two and thr dmnsonal nonlnar analyss, Chaptr 9. In P. K. Banarj and S. Mukhrj, (dtors), Dvlomnts n Boundary Elmnt Mthods, Vol. 4. Elsvr Appld Scnc, London, / Tlls, J. C. F. : A slf adaptv coordnat transformaton for ffcnt numrcal valuaton of gnral boundary lmnt ntgrals. Intrnatonal Journal for Numrcal Mthods n Engnrng, 4: , / Hall, W. S. : Th boundary lmnt mthod, Kluwr Acadmc Publ., / Hall, W. S. Hbbs, T. T. : Subtructon, xpanson and rgularsng transfgormaton mthods for sngular krnl ntgraton n lastostatcs, Mathmatcal and Computr Modllng, 5:33-33, 99.

279 . Előadás: A végs sávok módszrénk alapja A módszr lső alkalmazója és az lmélt alapok mgalkotója a kína Chung volt az 96- s évk végén. Az zt kövtő dőszakban tovább ckkk és könyvk foglalkoztak az ljárással (példaként mlítjük a [] és [5] alatt munkákat). A végs sávok módszr lsősorban olyan szrkztk stébn alkalmazható lőnyösn, amlyknél a szrkzt valamlyn módon azonos mchanka vslkdésű sávokra osztható. Az lyn szrkztk néhány jllgzts típusát a. ábrán mutatjuk b:.. ábra: A végs sávok alkalmazásának lőnyös st Nagyon fontos hangsúlyoznunk az azonos jlzőt a sávokra osztott szrkzt gy sávján blül. Ha például gy hosszú lmz gytln sávján blül lhlyzünk gy (ttszőlgs alakú) áttörést, a módszr gyakorlatlag alkalmazhatatlanná válk, lvszt mndn numrkus lőnyét a klasszkus végs lms tchnkával szmbn. A modll lényg gyszrű és szmlélts. Chung az javasolta, hogy olyan szrkztknél, ahol a vslkdés két gymásra mrőlgs rányú tartományban 98 karaktrsztkusan más, d lgalább az gyk rányban flosztható a szrkzt olyan gomtra tartományokra sávokra, ahol az anyagjllmzők nm változnak és a gomtra s azonos a sávon végg, a modllzést a végs lms ljárás sajátos módosításával oldjuk mg, khasználva a szrkztr jllmző két spcáls rány tulajdonságat. 98 Mgjgyzzük, hogy a témakör magyar kutatója Szlágy György frd lmzkt s vzsgált. Tovább részltkt lásd az ő publkácóban. 79