Philosophiae Doctores. A sorozatban megjelent kötetek listája a kötet végén található

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "Philosophiae Doctores. A sorozatban megjelent kötetek listája a kötet végén található"

Átírás

1

2 Phlosophae Doctores A sorozatban megjelent kötetek lstája a kötet végén található

3 Benedek Gábor Evolúcós gazdaságok szmulácója AKADÉMIAI KIADÓ, BUDAPEST 3

4 Kadja az Akadéma Kadó, az 795-ben alapított Magyar Könyvkadók és Könyvterjesztõk Egyesülésének tagja 7 Budapest, Prelle Kornéla u Elsõ magyar nyelvû kadás: 005 Benedek Gábor, 005 Mnden jog fenntartva, beleértve a sokszorosítás, a nylvános elõadás, a rádó- és televízóadás, valamnt a fordítás jogát, az egyes fejezeteket lletõen s. 4

5 Zolának 5

6 6

7 TARTALOM. Bevezetés.... Az értekezés felépítése..... Saját eredmények Köszönetnylvánítás.... A szmulácós módszertan..... Defnícó, alapfogalmak..... A probléma és a rendszer defnálása A formáls modell Az elsõdleges kísérletek megtervezése Inputanalízs és nputadatok generálása A modell elkészítése (programozás) Verfkácó, valdácó és modellkalbrálás Kísérletezés Outputanalízs Összefoglalás Az evolúcós módszertan Evolúcós elméletek A numerkus optmalzálás A genetkus algortmus A neuráls háló Összefoglalás Az ACE-módszertan A Kyotak Wrght-modell A modell Analtkus eredmények Szmulácós eredmények A Kyotak Wrght-modell kterjesztése A sokszereplõs modellek kommunkácóstruktúrá Az elmélet A gráfstruktúrák kmutatása Gyakorlat alkalmazás Kommunkácós struktúrák és az egyensúlyelmélet Összefoglalás A ksvlágok pénzmodellje A modell Ksvlágstruktúra-alkotás Kísérletek és következtetések Összefoglalás... Irodalom

8 8

9 . BEVEZETÉS A tudomány nem próbál végsõ magyarázatot adn, fogalmakat értelmezn s alg. A természettudomány modelleket alkot. Modell alatt egy olyan matematka struktúra értendõ, amelyk bzonyos szóbel nterpretácó hozzáfûzésével leírja a jelenséget. Egy lyen matematka struktúra létjogosultságát egyedül az adja, hogy skeresen elõrelátja a jelenségeket, tehát mûködk. (Neumann János) A modern gazdaságelméletben alkalmazott módszerek és gazdaság elemzések eszköztára a 0. század végére rendkívül módon kszélesedett. Legnkább a matematka és statsztka módszerek terjedtek el és fejlõdtek tovább, közgazdaság modelleken keresztül. Így napjankban kevés olyan elmélet publkácó jelenk meg, amely ne alkalmazná a játékelmélet, a varácószámítás, a sztochasztkus folyamatok vagy más bonyolult területek módszeret. Az egzakt módszerek bonyolultságának növekedése azonban sajátos ellentmondást szült az elmélet és a gyakorlat alkalmazások között. A modern matematka és statsztka módszerek ugyans pontosan azt a célt hvatottak szolgáln, hogy a gazdaság folyamatat jobban és pontosabban magyarázzák meg, és mnd a gazdaság egészét rányító (makroszntû), mnd a vállalat (mkroszntû) döntéshozók számára olyan apparátust bztosítsanak, amelynek segítségével megalapozottabb és bztosabb döntéseket hozhatnak. A valóságban azonban a folyamatosan bõvülõ szakma háttérsmereteket génylõ módszereket és a nehezen nterpretálható modelleket a gazdaság gyakorlat szakembere egyre nehezebben képesek adaptáln. Az elmélet lehetõség és a gyakorlat oldal egymástól erõsen eltávolodott. Kvételként a pénzügy területen érezhetjük azt, hogy a modern matematka módszereket nap mnt nap alkalmazzák (többek között a Wall Street matematkus- és fzkus-közgazdász tanácsadó), a valóságban azonban a legtöbb nap szntû elemzés és döntés (pl. kockázatkezelés) 30 éves módszerekre épül. A közgazdaságtan másk módszertan lehetõsége a számítástechnka alkalmazása. A számítógép megjelenése a legtöbb tudományágat döntõ mértékben befolyásolta, pedg tulajdonképpen csak két funkcót valósít meg; egyrészt rendkívül nagy méretû adatbázst képes hatékonyan tároln és kezeln, másrészt órás sebességgel képes számoln. E tulajdonságok matt lehetõvé vált, hogy a nagy mennységû nformácó brtokában más modellek épüljenek, lletve az elméleteket és az elõrejelzéseket úgy változtassák, hogy azok a megfgyelt és rögzített adatok tükrében jobban és pontosabban írják le a valóságot. A számítógépes modellezés folytán lehetõség nyílt olyan korlátozó feltételezések elhagyására, amelyek egy-egy korább modellt rreálssá tettek. (Ezek közül az egyk legsúlyosabb feltételezés a lneartás.) Így az analtkus megoldások mellett megjelentek a numerkus megoldások. A számítógépes modellezés megjelenésével ugyanakkor azt várhatnánk, hogy a közgazdaság elmélet, lletve gyakorlat területén dolgozó szakemberek között távolság csökken, hszen az elmélet szakemberek jóval komplexebb modelleket s k tudnak értékeln, a gazdaság döntéshozók pedg jobban mûködõ modellek eredményere alapozva hozhatják meg döntéseket. Sajnos a közgazdaság-tudomány területén ez a közeledés még csak kezdet stádumban van. A számítógép töretlen fejlõdésének és egyre népszerûbbé válásának következtében azonban könnyen lehet, hogy a közel jövõben a számítástechnka fogja betölten a híd szerepét az elmélet és a gyakorlat oldal között. Analtkusan meg nem határozható vagy nehezen meghatározható problémák kezelésére számtalan esetben alkalmaznak numerkus módszereket a közgazdászok. Ilyen pél- 9

10 dául a numerkus ntegrálás, a numerkus egyenlet/egyenlõtlenség megoldás, a dfferencálegyenletek numerkus megoldása vagy az operácókutatás. Sõt, sokszor bzonyos problémák analtkus megoldására s numerkus módszereket vesznek génybe, mnt például a szmbolkus programozás (ntegrálás, algebra egyenlet megoldása, dfferencálegyenlet megoldása stb.) esetén. A jelen értekezés azonban nem általánosságban a numerkus módszerekkel, lletve ezek közgazdaság alkalmazásával, hanem ennek egy részterületével, a szmulácóval foglalkozk. A vzsgálódás középpontjában mnden esetben valamlyen gazdaság modell áll, amelynek vzsgálatára nagyon sok esetben az analtkus módszerek mellett numerkus módszereket használunk. Tekntsük ezt a közgazdaság modellt egy olyan leképzésnek, amely a valóságban megfgyelhetõ változók halmazához rendel egy halmazt. Ilyen értelemben a szmulácó nem más, mnt ezen leképzések (bzonyos esetben akár függvények) analízse. Így a szmulácó legfontosabb feladata gyakorlatlag megegyeznek az analízsben meghatározott feladatokkal, úgymnt függvénykértékelés (leszámolás), egyenletmegoldás (célértékkeresés) vagy szélsõérték-keresés. Knduló esetben a gazdaság modell elegendõen egyszerû kell legyen ahhoz, hogy analtkusan tanulmányozn lehessen. A szmulácóra abban az esetben van szükség, amkor az egyes feltételezések feloldása, lletve a modell dmenzójának növelése annyra megnehezít a feladatot, hogy annak kéz kszámolása lehetetlenné válk. Még lyen esetekben s jellemzõ az, hogy az analtkusan kszámolható eredményeket összehasonlítás végett numerkusan s elõállítják. Az értekezésben azt a célt tûztük k, hogy bemutassuk, hogyan lehet a szmulácós módszertant hatékonyan alkalmazn azokban az esetekben, amkor átléptük az analtkus módszerek határat. Maga a szmulácós módszertan s rendkívül fatal, kevesebb mnt ötvenéves. Az elmélet közgazdaságtanban való elterjedéséhez azonban az gaz lökést a mesterségesntellgenca-kutatások elsõsorban 990-es évenek eredménye adták. A társadalomtudományok számára felhasználható, mesterséges ntellgencát s alkalmazó, szmulácós módszertan csak 00-ben a Journal of Economc Dynamcs and Control különszámában kapta meg az azt meglletõ publctást és önálló nevet Agent-based computatonal economcs (ACE) 3, amelyet sokszereplõs szmulácós közgazdaságtannak fordítunk a továbbakban. Az értekezés az általánosan alkalmazható szmulácós megoldásokon túlmenõen erre a fatal és rendkívül ígéretesnek látszó módszertan területre kíván összpontosítan... Az értekezés felépítése Az értekezés két jól elkülöníthetõ részbõl áll. Az elsõ rész a 4. fejezet a módszertan smertetést tartalmazza, és az a célja, hogy bevezesse azokat a fogalmakat és eljárásokat, amelyeket a gyakorlat szmulácós modellek esetében alkalmazn lehet. Ezek a fejezetek erõsen épülnek a szmulácós szakrodalomra, valamnt a szerzõ által látoga- Szmbolkus programozáson olyan matematka mûveletek számítógépes megoldását értjük, ahol a matematka kfejezésben paraméterek s szerepelnek (lásd Maple vagy Matlab). A szakrodalom ezt a technkát benchmarkngnak nevez. 3 Tesfatson 00. 0

11 tott manchester és lmerck egyetemeken oktatott szmulácós kurzusok jegyzetere. A fejezetek strukturálása szempontjából a szerzõ által a Budapest Közgazdaságtudomány és Államgazgatás Egyetemen oktatott Szmulácó címû tárgy jelentett nagy segítséget. A módszertan fejezet során számos példa llusztrálja a fogalmakat, amelyeket a szakrodalomban fellelhetõ modellek mellett a szerzõ társszerzõs és saját publkácó, valamnt haza vállalatoknál végzett kutatás eredménye képeznek. A másodk rész az 5 7. fejezet a szmulácós módszertan konkrét alkalmazását tartalmazza. Ezek a modellek, bár látszólag elkülönülnek, a másodk rész végére egy új kutatás rányt határoznak meg, amely mnd az elmélet, mnd a gyakorlat közgazdászok számára alkalmazható. A fejezetekben szereplõ modellek részben a szerzõ publkácó, lletve konferencaelõadása, részben pedg tovább kutatás eredménye. Az értekezés elsõ része a szmulácós módszertan bemutatásával kezdõdk (. fejezet). A szakrodalomban számos olyan könyv található, amely a szmulácós módszerek alkalmazását írja le. A probléma azonban az, hogy ezek elsõsorban a mûszak tudományok területére koncentrálnak, és az tt szereplõ közgazdaság modellek sznte kzárólag vállalatgazdaság kérdésekkel foglalkoznak. (Például kszolgálás rendszerek szmulácójával, készletgazdálkodás problémával stb.) A. fejezetben ezekre az rodalmakra építünk, de az elmélet közgazdaságtan és pénzügy alkalmazásokra fókuszálunk. A 3. fejezetben a mesterséges ntellgenca módszeret mutatjuk be. Ez a fejezet erõsen épít Benedek (000, 00) publkácóra, de azokat kegészít a lényeges algortmkus részekkel és tételekkel. A. és 3. fejezet elõkészít a 4. fejezetben bemutatásra kerülõ sokszereplõs szmulácós közgazdaságtan módszerét, továbbakban ACE-t. Ez a fejezet kapcsolja össze a szmulácós és a mesterséges ntellgenca módszere lehetõséget, és alkalmazza azt olyan közgazdaság modellekben, ahol elkülönült szereplõk vselkedése határoz meg valamlyen gazdaság reakcót vagy jelenséget. A másodk fejezet modellje erre a módszertanra épülnek. A fejezet elsõsorban a Journal of Economc Dynamcs and Control ACE-módszertannal foglalkozó ckkere és a Legh Tesfatson által szerkesztett ACE hvatalos honlapjáról letölthetõ anyagokra épít. 4 Az 5. fejezetben a Kyotak Wrght-modellel foglalkozunk (Kyotak Wrght 989). Az eredet modell smertetése után olyan kbõvítéseket elemzünk, amelynek analtkus megoldása smeretlen, vagy az analtkus megoldást csak jóval késõbb, a numerkus eredmények nsprálására skerült meghatározn. A 6. fejezetben egy látszólag új témakört érntünk, a társadalm hálózatok problémáját. A modellt az nformácó telekommunkácós eszközökön keresztül terjedésének a kutatása és szmulácója alapozta meg. A kutatás eredményenek smertetése mellett a fejezetben elsõsorban Watts (999) munkája segítségével bevezetünk néhány alapvetõ gráfelmélet fogalmat. A 7. fejezetben megmutatjuk azt, hogy hogyan lleszkedk bele a Kyotak Wrght-féle modell vlágába a társadalm hálózatok problémaköre. Sõt továbbmegyünk, és felvllantunk néhány olyan elmélet modellt, ahol az ACE-módszertan és a hálózat szemlélet alkalmazásával új eredmények érhetõk el. A 8. fejezetben összefoglaljuk az eredményeket. 4

12 .. Saját eredmények A magyar közgazdaság szakrodalomban rendkívül kevés szmulácóval foglalkozó tanulmány található. Ezek többsége valamlyen mûszak vagy vállalatgazdaság problémához kapcsolódk. A kfejezetten elmélet kutatásokban a szmulácó alkalmazását kzárólag statsztka/ökonometra, lletve pénzügy kutatásokban tapasztalhatjuk. Így a módszertan elmélet kutatásokba történõ bevezetése a szerzõ önálló munkája. Különösen gaz ez az ACE-módszertanra, amely annyra fatal terület, hogy haza publkácók még nem születtek ebben a témában. Az 5. fejezetben bemutatásra kerülõ Kyotak Wrght-modell kbõvítése lleszkedk a nemzetköz szakrodalomhoz. Az tt megfogalmazott eredmények újdonsága elsõsorban az új módszerek bevezetésének és alkalmazhatóságának vzsgálatában rejlk. A szakrodalomban szereplõ eredmények numerkus módszerekkel történõ reprodukálása bztosítja a komplexebb kterjesztések vzsgálatának lehetõségét. A 6. fejezet modellje és az ott alkalmazott módszerek kfejlesztése a szerzõ munkája. (Természetesen a vállalat kutatás kvtelezésén egy egész csapat dolgozott.) A 7. fejezet modellje szorosan kapcsolódnak az elõzõ fejezetekhez és szntén saját eredménynek teknthetõk. A dsszertácóhoz szervesen kapcsolódk a Budapest Közgazdaságtudomány Egyetem Matematka Közgazdaságtan és Gazdaságelemzés Tanszékének honlapján található melléklet ( amelyrõl a késõbbekben bemutatásra kerülõ programok nagy részének forráskódja, lletve futtatható verzója letölthetõ..3. Köszönetnylvánítás Ezúton s szeretném megköszönn Molnár Istvánnak, Tóth Nándornak és Zala Ernõnek azt a segítséget és motvácót, amely az egyetem évem alatt arra ösztönzött, hogy a sokak által vtatott hangsúlyú szmulácós területen kutathassak. Támogatásuknak köszönhetõen már 997-ben a legkorszerûbb szoftverek és hardverek váltak számomra elérhetõvé, továbbá a szmulácó számos külföld és haza szakértõjével dolgozhattam együtt, és tanulhattam tõlük. Köszönettel tartozom témavezetõmnek, Smonovts Andrásnak, opponensemnek Deák Istvánnak, Gáspár Bencénének, Móczár Józsefnek, Tarlós Bélának, továbbá Lpovszk Györgynek a rengeteg hasznos tanácsért, amelyek jobbá és teljesebbé tették dolgozatomat, érthetõbbé és alkalmazhatóbbá gondolatamat. Szeretnék köszönetet mondan Makara Tamásnak, Megyer Krsztnának és Patak Attlának, akk tudásukat és kutatás témájukat megosztották velem, így nspráló közgazdaság problémákkal tehettem szemléletesebbé és kézzel foghatóbbá a szmulácós módszertant. Végül köszönöm szülemnek megértésüket, támogatásukat és bátorításukat.

13 . A SZIMULÁCIÓS MÓDSZERTAN Ahhoz, hogy a szmulácós módszerek magas szntû alkalmazása elterjedjen a társadalomtudományok területén, el kell fogadtatn, hogy az nduktív és a deduktív módszerekkel szemben a tudomány mûvelésének harmadk útja a szmulácós kísérletezés. Az dézet Axelrod (997a) ckkébõl származk, amelyben a társadalomtudományokban alkalmazott szmulácós módszerek jelenét és jövõjét vzsgálta. A ckkbõl három gondolatot emelünk k. Az elsõ, hogy a szmulácós modellek publkálása során nem elegendõ az eredmények és a modell smertetése. Természetesen helykorlátok matt nncs lehetõség a forráskód publkálására, azonban a CD-k és az nternet segítségével lehetõséget kell bztosítan arra, hogy mnden érdeklõdõ személyesen végrehajthassa (futtathassa) a kísérleteket. A másodk fontos gondolat, hogy a területen tevékenykedõ szakemberek a korábban publkált szmulácókat újra végrehajtsák, kezdve a modell építésétõl, a programozáson átmenve, a futtatásokg. Erre azért van nagy szükség, mert a numerkus módszerek sok esetben nem bzonyító erejûek. Ahhoz, hogy a hbákat és az gaz khívásokat megtaláljuk, sokszor szükséges mások kutatás eredményet a legelsõ lépéstõl kezdve felépíten. Végezetül Axelrod azt hangsúlyozza, hogy a szmulácós módszertan elfogadtatásához arra s szükség van, hogy az elõzõek nyomán megalakuljon a társadalomtudósok olyan társasága, amely szmulácós módszerek segítségével végz kutatásat. Az értekezés során ezekre a gondolatokra külön nem hívjuk fel a fgyelmet. Mvel azonban a módszertan önállósodása szempontjából rendkívül fontosnak tartjuk, tt a bevezetõben hangsúlyoztuk... Defnícó, alapfogalmak A szmulácót nehéz defnáln. Az egyk lehetséges defnícó szernt a szmulácó egy rendszer modelljének a megfelelõ bemenetekkel (nputokkal) történõ ellátása, mûködtetése (drvng) és a kmenetek (outputok) megfgyelése (Bratley et al. 987). A szmulácós módszertan közgazdaság alkalmazása tehát a következõképpen képzelhetõ el. Megfgyeljük a valós rendszert, majd azt megkíséreljük legfontosabb tulajdonsága alapján formálsan leírn. Ezt nevezzük modellezõ tevékenységnek. Ha a modellt beprogramozzuk, úgy a valós rendszer egy vrtuáls reprodukcóját kapjuk. Ebben azután bzonyos paramétereket megváltoztatva a valós rendszer vselkedésére vonatkozó megfgyelések érdekében kísérleteket hajthatunk végre. A programozás és kísérletezés tevékenységet nevezzük szmulácós tevékenységnek (.. ábra). 3

14 Valós rendszer Modellezés Modell Szmulácó.. ábra. A szmulácó defnícója Számítógép Felmerül a kérdés, hogy mkor érdemes szmulácót alkalmazn és mlyen célokat lehet ezzel elérn. A mkor kérdésre vszonylag egyszerû a válasz. Akkor kell szmulácót alkalmazn, amkor mnden más lehetõség költségesebb. A más lehetõségen általában két alternatívát szoktak érten. Az elsõ az analtkus megoldás, a másk a valós rendszeren végzett kísérletezés. Mndegyk esetben a költség s gen összetett fogalom. Költségként jelenk meg az dõráfordítás, az ember erõforrás, az anyag ráfordítás és a kockázat tényezõ. A valós kísérletezéssel szemben a modellezés legfõbb elõnyének azt szokták megemlíten, hogy valós beavatkozás esetén rendkívül sok dõ telk el addg, amíg az adott beavatkozás hatása mérhetõvé válnak. Továbbá, nagy volumenû befektetéseket génylõ döntés esetében nem lehet próbálgatn. A modellezésnek ezzel szemben az a hátránya, hogy mvel a valóság egy leegyszerûsített mását valósítja meg elképzelhetõ a kszámított értékek és a tényleges realzácó (valós rendszer eredményenek) különbözõsége. Természetesnek tûnk az s, hogy abban az esetben, amkor analtkus megoldás áll rendelkezésre, felesleges a szmulácó. Sok esetben azonban az analtkus megoldáshoz vezetõ út nem egyszerû. Ilyen esetekben rendkívül nagy segítséget nyújthat a szmulácó, elsõsorban azért, hogy pontosabb képet alkothassunk a feladatról. Elõfordulhat az s, hogy egy problémának elvleg meg lehetne határozn az egzakt, analtkus megoldását, ennek ellenére szmulácós módszert használunk, mvel a probléma analtkus megoldása annyra bonyolult és mechankus, hogy egyszerûbb a numerkus vzsgálat eredményet használn (például leszámlálás). A szmulácós módszerek felhasználás területe a következõk: 5 elõrejelzés, feladatmegoldás, gyakorlatszerzés, szórakozás, oktatás, bzonyítás és kutatás.. Elõrejelzés. Ezt a célt szolgálja a vállalatgazdaság alkalmazások nagy része. Például egy vállalat arra kíváncs, hogy különbözõ árazás mellett várhatóan mekkora értékesítésre számíthat a jövõben.. Feladatmegoldás. A szmulácó arra s alkalmas, hogy különbözõ más módon nem meghatározható feladatokat oldjunk meg a segítségével. Ez a terület tpkusan a mesterségesntellgenca-kutatások kapcsolódás pontja. Olyan feladatokat lehet megoldan, mnt például az automatkus orvos dagnózskészítés (adatbányászattal), beszédfelsmerés (neuráls hálózatokkal) vagy függvényoptmalzálás (genetkus algortmussal). 3. Gyakorlatszerzés. Az elsõ szmulácók elsõsorban azt a célt szolgálják, hogy a szmulácót felhasználó emberek képességét javítsák egy, a valóságot kellõ pontossággal leíró, nteraktív környezetben. Klasszkus példá ennek az autó- és repülõszmulátorok. 5 Többek között Axelrod (997) alapján. 4

15 4. Szórakozás. Csak egy lépés az elõzõ ponttól és márs ktalált környezetek sokaságát teremthetjük meg erre a célra. 5. Oktatás. Az oktatásban használt szmulácós modellek legfontosabb célja, hogy lehetõvé tegyék a hallgatók számára a valóságban meghúzódó törvényszerûségek és összefüggések megsmerését. Jó példa a Közgazdaság Egyetemen s oktatott LUDUS vállalat szmulácós tantárgy. 6. Bzonyítás. Ez a legnkább vtatott terület, annak ellenére, hogy egy klasszkus és népszerû matematka problémát, a négyszín-tételt, számítógépes (szmulácós) lépések segítségével oldották meg. A szmulácós eszközök segítségével történõ bzonyítás olyan esetekben a leggyakorbb, amkor véges számú varácós lehetõséget kell átvzsgáln (pl. szmbolkus derválás). 6 A mesterséges ntellgenca kutató olyan programokat s készítettek, amelyek egyszerû matematka alapelemekbõl (pl. halmazok) komoly felfedezéseket tudtak tenn (pl. Goldbach-sejtés) (Hofstadter 998). 7. Kutatás. Utolsónak maradt az a cél, amelyet a legnkább fontosnak tartunk. A szmulácós módszerek ugyans a kutatásban, az új összefüggések felfedezésében s gaz segítséget nyújthatnak. Az értekezés másodk részében elsõsorban ennek bemutatására törekszünk. A szmulácós módszertan segítségével vzsgált modelleket (rövden: szmulácós modelleket) több szempontból kategorzálhatjuk annak alapján, hogy a háttérben meghúzódó matematka modell mlyen tulajdonságú. Az elsõ kérdés, hogy az dõ a modellben folytonos vagy dszkrét változó-e. A legtöbb közgazdaság modellben az dõ folytonos változóként szerepel. Nem mndegy azonban, hogy mlyen gyakran van lehetõség a szmulácó állapotváltozót megfgyeln és beavatkozásokat végezn. Abban az esetben, ha ez csak dszkrét dõpllanatokban történhet amnt az általában egy közgazdaság modellben tapasztalható, akkor dszkrétesemény-szmulácóról beszélünk. Ha bármely pllanatban lehetõségünk van a beavatkozásra és a megfgyelésre, akkor folytonos szmulácóról beszélünk. A szmulácóban szereplõ állapotváltozókat általában folytonosnak tekntjük, de vannak olyan modellek s, amelyekben kfejezetten szmbolkus (pl. mesterséges ntellgenca) vagy csak dszkrét numerkus (pl. dgtáls áramkörök) értéket vehetnek fel. Építhetünk természetesen olyan modelleket s, amelyekben az dõ nem szerepel. Ezek a statkus modellek. A statkus modellek szmulácója leggyakrabban a statsztka, ökonometra alkalmazások esetében játszk fontos szerepet, például a p-értékek numerkus elõállításánál vagy egy erõfüggvény alakjának meghatározásánál (Patak 00). A harmadk legfontosabb krtérum, am alapján a szmulácós modelleket megkülönböztetjük, hogy az sztochasztkus vagy determnsztkus. Az utóbbra jó példa a determnsztkus dfferencálegyenletek numerkus megoldásánál használt szmulácó. M a továbbakban olyan sztochasztkus, dnamkus szmulácós modellekkel foglalkozunk, amelyekben a megfgyelés és a beavatkozás dõpontok dszkrétek, azaz dszkrét események szmulácójával. Az állapotváltozók tekntetében nem teszünk megkötéseket. 6 A véges szó sajnos nagyon s meghatározott korlátokat jelent. A Ramsey-féle R(5,5) szám megtalálásához esetet kellene megvzsgáln, am több számításdõt venne génybe, mnt az unverzum életkora, még akkor s, ha a Föld összes számítógépe a nap 4 órájában ezt a problémát számolná (Leader 00). 5

16 Az lyen rendszerek szmulácós modelljét formálsan s meg lehet határozn. 7 A formáls leírásnak két szntje van: az atom (atomc) sznt és az összetett (coupled) sznt. δ con (s,x) δ nt (s) δ ext (s,e,x) S t(s) λ(s).. ábra. Az atom szmulácós modell reprezentácója Az atom sznt a következõ: M = X, S, Y, δ, δ, δ, λ, t, nt ext con (.) ahol X: a külsõ események halmaza, S: a szekvencáls állapotok halmaza, Y: az outputok halmaza, δ nt : S S : belsõ átmenet leképzés, δ ext : Q X S : külsõ átmenet leképzés, δ con : S X S : torlódás átmenet leképzés, λ: S S : output leképzés, t: S R : dõzítés függvény, és Q ( s, e) s S,0 e t( s) { } =, ahol e az utolsó állapotváltozás óta eltelt dõ. A.. ábrán láthatjuk az atom sznt modelljének felépítését. A formáls modell szemléltetésére példaképpen vegyünk egy kszolgálás feladatot. 8 Tegyük fel, hogy egy csomag beérkezk egy sorbanállás rendszerbe. Ennek következtében a rendszer s állapotváltozója, jelen példánkban a várakozás sor hossza egységgel növekszk. Ezt a δ ext függvény valósítja meg. Ezután a t függvény által megadott dõ elteltével a modell megvzsgálja a sor hosszát. Néhány csomagot eltávolít, és ennyvel csökkent az állapotváltozó értékét, amelyet formálsan a δ nt függvény valósít meg. A δ con függvény eldönt, hogy m történjen abban az esetben, ha egyszerre jelentkezk a külsõ és belsõ esemény (például meghatározza δ ext és δ nt sorrendjét). A λ függvény végül elõállítja a kmenet változót, jelen esetben például a várakozás sor átlagos hosszát. Az összetett modell formálsan két alapvetõ objektumból áll. Komponensekbõl (amelyek lehetnek atom szntû vagy összetett modellek) és az ezeket összekapcsoló struktúrából. A struktúra formálsan a következõ: 7 Cho Cho (997) munkájára támaszkodunk. 8 Kszolgálás folyamatok szmulácójával kapcsolatban ld. például Benedek Molnár

17 { } { } { j} DN = D, M, I, Z, (.) ahol D jelöl a komponensek egyed azonosítóját, M az atom vagy magasabb szntû modelleket, I az egyes komponenseknek az összetett modellre vonatkozó hatását, Z j pedg a komponensek egymásra vonatkozó hatását, herarcháját. A.3. ábrán egy olyan sémát láthatunk, amely egy sorba kötött kszolgálás rendszer erõforrásat optmalzálja. Az A modul dönt arról, hogy az erõforrások hány százalékát kapja a B és hány százalékát a C kszolgálás egység. Az A modul vsszacsatolásként megkapja a BC modul outputját és a belsõ függvények segítségével eldönt, hogy elérkezett-e az optmumba, vagy tovább futtatásra van szükség. Ha újabb futtatás kell, akkor új erõforrás-allokácót határoz meg. A B C.3. ábra. Az összetett modell reprezentácója A.3. ábra jól jellemz egy determnsztkus rendszer szmulácóját, de sztochasztkus modell esetén az egyes kmenetek mndg csak egy lehetséges megvalósulást (replkácót vagy lefutást) jelentenek. A sztochasztkus modellek kmenet változója s nylvánvalóan sztochasztkus, ezért több smétlésre (replkácóra) van ahhoz szükség, hogy ennek a változónak az eloszlását megsmerjük. Így a.3. ábra úgy módosul, hogy a BC rész n-szer valósul meg. Az A modul feladata lesz az, hogy eldöntse, mlyen vsszacsatolást generál a BC kmenetekbõl, például egyszerû átlagot (várható érték becslését). Egy sztochasztkus összetett modell reprezentácója látható a.4. ábrán. A B C B C B n C n.4. ábra. A sztochasztkus összetett modell reprezentácója 7

18 Nézzük, mlyen alapvetõ lépésekbõl áll a szmulácós modellezés: probléma és rendszer defnálása, modellkoncepcó kdolgozása (formáls modell), elsõdleges kísérletek megtervezése, nputanalízs és nputadatok generálása, modell elkészítése (programozás), verfkácó, valdácó és modellkalbrálás, kísérletezés, outputanalízs és nterpretálás. A következõ alpontokban részletesen mutatjuk be ezeket a lépéseket. Az smertetést Benedek (999) modellje segítségével végezzük, mvel ebben a publkácóban mnden fontos lépés megtalálható. 9.. A probléma és a rendszer defnálása Mnden szmulácós modellezés elsõ lépése, hogy defnáljuk azt a problémát és a probléma keretrendszerét, amely a kutatás középpontjában áll. Tegyük fel például, hogy azt a feladatot tûzzük k, hogy egy részvényre vonatkozó vétel opcó (call opton) árát kívánjuk meghatározn. 0 Ebben az esetben a értéket kell meghatározn, ahol C( S C: az opcó értéke, S t : a t dõpontbel részvényárfolyam, E: a kötés árfolyam, R: a pac kamatláb, T-t: pedg a hátralévõ futamdõ. T { S E,0} r( T t), t) = e max (.3) A probléma analtkus kezeléséhez gen erõs és a valóságban nem teljesülõ feltételezésekkel kell éln. Elõször s a részvényárfolyamtól megköveteljük, hogy általánosított Brown-mozgást kövessen, konstans dõben állandó drfttel (µ) és volatltással (σ), azaz ds = µ Sdt + σsdz (.4) dz = ε dt, ε ~ N(0,). Megköveteljük továbbá a pac kamatláb állandóságát, a részvény tökéletes oszthatóságát és zéró osztalékfzetését, a pac kamatlábon történõ kölcsönvétel és kölcsönadás lehetõségét, T 9 Szeretnénk hangsúlyozn, hogy tt a Benedek (999) ckkben smertetett opcóárazás modell csak llusztrácóként szerepel, a részletekre és az eredmények bemutatására nem térünk k. 0 Igen részletesen tárgyalja ezt a problémát Hull

19 részvényeladást jövõbel teljesítéssel (short sellng), a folytonos kereskedés lehetõséget, az adók és a tranzakcós költségek hányát. Feltételezzük továbbá, hogy európa típusú opcóról van szó és a pacon nncs lehetõség arbtrázsra. Ilyen megszorító feltételezések mellett meg lehet határozn a C értékét T, t, r, E, σ és µ függvényében (Black Scholes 973). Az egyes feltételek feloldására számos kutató adott analtkus, lletve numerkus megoldást. (Ezek közül a leglényegesebbek Cox Ross 976, Hull Whte 987, Merton 973 és Cox et al. 979.) A Benedek (999) ckkben szmulácó segítségével határoztuk meg az opcó értékét abban az esetben, ha a részvény árával arányos tranzakcós költséget kell fzetn a kereskedés pllanatában. A fentek segítségével defnáltuk a közgazdaság (jelen esetben pénzügy) problémát, a megoldáshoz szükséges rendszer pedg egy sztochasztkus dszkrét esemény szmulátor. A késõbbekben látn fogjuk, hogy a rendszert k kellett egészíten egy numerkus optmalzáló rendszerrel, amely a genetkus algortmusra épül..3. A formáls modell A formáls modell elkészítése során olyan leírást kell készíten, amely segítségével bárk képes a meghatározott szmulácós feladat programját elkészíten. A programozáshoz gen hasznos segítség a folyamatábra. Az elõzõ példát folytatva a szmulácóhoz szükséges paraméterek a következõk voltak: E: az opcó kötés árfolyama, r: a kockázatmentes kamatláb, Q: a tranzakcós költség nagysága százalékban, S 0 : a részvény kezdet árfolyama (az opcó értékelésének pllanatában), µ és σ: a részvény drftje és volatltása és T: az opcó lejáratának dõpontja. A szmulácó során három állapotváltozót használtunk: P t : a szmulált befektetõ egyenlege t dõpontban, P 0 = 0, S t : a részvény árfolyama t dõpontban, t : az opcó fedezet aránya t dõpontban. Ez a Black-Scholes formula: rt ( t) CSt (, ) = SNd ( ) Ee Nd ( ), ln( SE) + ( r+ σ )( T t) d =, σ T t ln( SE) + ( r σ )( T t) d. = = d σ T t σ T t ahol N(.) a standard normáls eloszlás eloszlásfüggvénye. Azaz Q = 0,0 esetén két darab 00 Ft értékû részvény eladása, lletve vásárlása - Ft extra költséget jelent. 9

20 Szmulácós modellünkben egy képzeletbel befektetõ t = 0 dõpontban elad egy darab vétel opcót, és vásárol 0 darab részvényt. A vásárlást kockázatmentes kamatlábon adott htel segítségével valósítja meg. Ezután mnden dõpllanatban megfgyel a részvény aktuáls árfolyamát (S t ), és megváltoztatja a portfólójában szereplõ részvények számát t mennységre. Amennyben ez smételten vásárlást jelent, akkor tovább htelt vesz fel, ha eladást, akkor törleszt. Ezt a technkát dnamkus fedezés stratégának (dynamc hedgng) nevezk. Az opcó lejártakor (t = T) helyt kell állna az opcónál, am max{s T E, 0} tovább kadást jelent. (Ha ugyans a részvény ára magasabb a kötés árfolyamnál, akkor az opcót lehívják, így a teljesítésekor a részvényár és a kötés árfolyam különbségét kell kfzetne az opcó eladójának. Ha azonban a részvényárfolyam nem ér el a kötés árfolyamot, akkor az opcót nem fogják lehívn, így az eladó nem szenved veszteséget.) Végül a befektetõ eladja portfólójában szereplõ T- részvényt s. A maradék összeg dszkontált értéke adja meg azt az opcóárat (C), amely kfzetése esetén a befektetõ pontosan zéró nyereséget/veszteséget realzál (arbtrázs-mentesség). A szmulácó futtatásához tsztázn kell a részvényárfolyamok generálásának képletét, amely a következõ: 3 ( µ σ )( Y) + σε Y S = + Se, ε ~ N(0,). (.5) Vegyük észre, hogy az dõpont-beosztások fnomítása az Y paraméter segítségével történk. Mvel a részvény paraméteret éves sznten adtuk meg, ezért Y azt jelent, hogy hány részntervallumra osszuk fel egyenletesen az egy évet. (Ha például naponta adunk lehetõséget a portfóló fedezésére, akkor Y = 360, ha naponta tízszer, akkor Y = Természetesen T-t s ebben a mértékegységben kell mérnünk, azaz ha az opcó futamdeje egy hónap, akkor az elõbb esetben T = 30, míg az utóbbban T = 300.) Nem nehéz belátn, hogy az dõ végtelen fnomításával a (.5) formula pontosan a (.4) sztochasztkus folyamatot eredményez. 4 A (.5) formulából jól látható, hogy mnden újabb részvényár szmulálásánál egy standard normáls eloszlású értéket kell generálnunk. Ennek módszerét a következõ alpontban mutatjuk be. Végül meg kell határoznunk azt az eljárást, amnek segítségével a dnamkus fedezést megvalósítjuk. Ez a következõ: ( ln ( ) ( t + + σ )( )) C N S E r T t t = = S σ T t, (.6) ahol N(.) a standard normáls eloszlás eloszlásfüggvénye. Mután az output változó (C) a sztochasztkus szmulácó matt valószínûség változó, ezért nem elegendõ egy értéket vzsgáln. A szmulácót független véletlen számok segítségével többször le kell futtatn. (Ezeket nevez a szakrodalom replkácóknak vagy mntának. A replkácók számát mntaméretnek s hívjuk.) Készítsük el a szmulácó folyamatábráját! 3 Ennek levezetését lásd Benedek Lásd például Benedek

21 Összes replkácó kész? Nem Hányadk kereskedés pllanat? Igen C eloszlásának meghatározása t-t növeld eggyel t =0 Induló portfóló kalakítása: P 0 = S 0 0 (+Q) 0<t<T Kamatfzetés: P t = P t- e -r/y t=t Kamatfzetés: P T = P T- e -r/y S t generálása t meghatározása S T generálása t t- t < t Részvényeladás: P t = P t- + + S t ( t- t )( Q) különben Részvényvásárlás: P t = P t- + S t ( t t- ) (+Q) Részvényeladás: P T = P T- + + S T t- ( Q) Opcó teljesítése: P T = P T- max{ S T E,0} következõ replkácó Opcó értéke: C = P T e -rt/y.5. ábra. A szmulácó folyamatábrája.4. Az elsõdleges kísérletek megtervezése A szmulácó futtatásához természetesen meg kell határozn bzonyos paramétereket. Az elsõdleges kísérleteket érdemes úgy megtervezn, hogy a kmenetelét könnyû legyen valamlyen már meglévõ értékhez vszonyítan. Ilyen érték lehet a szakrodalomban szereplõ számítás eredmény, lletve bzonyos esetekben az analtkus eredmény. Ilyenkor olyan egyszerûsítéseket feltételezünk, amelyeket a késõbb kísérletek során fel lehet oldan, azonban az ellenõrzéshez és a hbakereséshez jól lehet alkalmazn. Az opcóár szmulácóban a következõ feltételezésekkel éltünk az elsõdleges kísérletek megtervezése során:

22 E = 00 r = 0,05 S 0 = 00 µ = 0, σ = 0,3 T/Y = 30 nap A mntaméretet 5000 replkácónak választottuk, és a szmulácó kmenet változójának a kapott opcóárak átlagát és szórását választottuk. A tranzakcós költség (Q) rátáját elõször zérusra, majd %-ra állítottuk. A zérus tranzakcós költség szmulácójának vssza kell adna a Black Scholes-formula értékét, hszen ebben az esetben analtkus eredmények állnak a rendelkezésünkre..5. Inputanalízs és nputadatok generálása A valóságos rendszer mûködésének pontos számítógépen belül elõállításához a valóságban lezajló folyamatokat részleteben kell megfgyeln. Fel kell tárn az összefüggéseket, és jellemezn kell a véletlen jelenségeket. Ez a feladat az nputanalízs, vagys azon adatok elemzése, amelyek a rendszerbe beérkeznek. Az elemzéshez elsõsorban statsztka módszereket alkalmaznak, különösen nagy fgyelmet szentelve az eloszlások becslésének. Az utóbb dõben elterjedt másk vzsgálat módszer az adatbányászat, amelyet akkor érdemes alkalmazn, ha a megfgyelés adathalmaz rendkívül nagy, és valószínûsíthetõ, hogy vszonylag bonyolult, nemlneárs összefüggések húzódnak meg bennük, amelyeket célszerû felhasználn a szmulácóban. 5 Az adatbányászat elemzések bemutatása sajnos meghaladja az értekezés keretet, érdemes azonban annyt megjegyezn róla, hogy a módszertan szntén a mesterséges ntellgenca algortmusat használja; olyan algortmusokat, mnt amelyeket a 3. fejezetben mutatunk be. Az opcóár-szmulácóhoz szükséges nputanalízs elsõsorban a részvényárfolyam eloszlásának vzsgálatát jelent. A Benedek (999) publkácóban lyen típusú vzsgálatot nem végeztünk, mvel a szakrodalomban alkalmazott normaltás feltételt elfogadtuk, az alkalmazott µ és σ paraméter értékeket a szakrodalomból vettük (Hull 993). Most azonban bemutatjuk, hogy hogyan kellene eljárnunk ezek smerete hányában. Vegyük például a Matáv-részvényt a Budapest Értéktõzsdérõl. A.6. ábrán ábrázoljuk a részvényárfolyamokat (S t ) 998. január 7-tõl 000. december 7-g. A.7. ábrán pedg megvzsgáljuk a részvényárfolyam-növekmények (ln(s t / S t- )) eloszlását ábra. A Matáv árfolyama.7. ábra. Az árfolyamnövekmények eloszlása 5 Az adatbányászat alkalmazásáról számos könyv áll rendelkezésre, pl.: Bgus 996, Berry Lnoff 000. Magyar nyelven lásd Benedek 999b bevezetõ jellegû ckkét.

23 Elsõ feladat az, hogy megvzsgáljuk, vajon tényleg normáls eloszlást követnek-e az árfolyamnövekmények. Az adatokra egy 0, várható értékû és 0,08 szórású Gauss-görbét llesztettünk, így a teljes négyzetes hba 0,00850 volt. Sajnos azonban mnden teszt (χ -teszt, Kolgomorov Szmrnov-teszt, Jarque Bera-teszt) elutasítja az adatsor normaltását. Ennek ellenére ebben a példában fogadjuk el a normáls eloszlás feltételezését, mvel a szmulácós problémát nem a Matáv-részvényre vonatkozó opcó kszámítása céljából vzsgáljuk, hanem elmélet szempontból a tranzakcós költség vzsgálata érdekében. 6 Természetesen tovább fontos teszteknek kellene még alávetn az adatokat (pl. függetlenség, homoszkedasztctás), amelyektõl eltekntünk, de még egyszer felhívjuk a fgyelmet ezek fontosságára, hszen hbás feltevések mellett hbás következtetésekre jutunk a szmulácó során. 7 Az llesztett eloszlás és a (.5) formula segítségével megállapíthatjuk µ és σ paramétereket, amelyek rendre 0,094 és 0,406. Az nputanalízs elvégzése után következõ feladat az, hogy hogyan lehet ezeket a véletlen sorozatokat újra elõállítan, azaz hogyan történk a véletlenszám-generálás. Ez a terület a szmulácós modellezés egyk legnkább kutatott témaköre, és gyakorlatlag mnden szmulácóval foglalkozó tankönyv részletesen foglalkozk vele. A továbbakban a véletlen számok smertetésénél Káta (98) és Knuth (987) munkára hvatkozunk. (A módszertan eredmények mellett kváló történet és alkalmazás áttekntés található Knuth (987) másodk kötetében, a Szemnumerkus algortmusokban.) Véletlenszám-generálásra két módszer áll rendelkezésre. Az egyk módszer az analóg generátor, amkor valamlyen perféra véletlen vselkedése határozza meg a sorban következõ számot. Ilyen lehet például egy számítógépbe épített nga, amely állandó ktérése véletlen sorozatokat hozhatnak létre. Az lyen generátorokkal a legnagyobb probléma az, hogy lehetetlen rekonstruáln egy korább folyamatot. Sok esetben ugyans szükséges lehet arra, hogy ugyanazokkal a véletlen számokkal megsmételjünk egy-egy kísérletet. A másk módszer számelmélet alapokon nyugszk. Matematka módszer segítségével egyenletes eloszlású változókat generálunk, majd ezután ezek transzformálása segítségével juthatunk a legkülönbözõbb eloszlásokhoz. Nézzük például a Neumann János által javasolt négyzetközép-módszert! A véletlen sorozat úgy épül fel, hogy az utolsó számot négyzetre kell emeln, és ennek a középsõ jegye alkotják a következõ számot. Például négyjegyû számok generálása esetén: V 0 = 5784 V 0 = V = 4546 V = V = 666 V = Felmerül azonban a kérdés, hogy egy algortmus által elõre meghatározott képlet szernt kszámított számok lehetnek-e véletlenszerûek. Valójában nem azok, vszont úgy vselkednek, mntha tényleg egyenletes eloszlásúak lennének. (Ezért ezeket a sorozatokat 6 Amennyben ezt a részvényt kívánjuk felhasználn, úgy tovább eloszlásokat kell megpróbáln lleszten, esetleg meg lehet tartan az emprkus eloszlás feltételezését s. Ebben az esetben magából a hsztogramból kell mntavételezn. A Matáv-adatsorra végül alacsony szabadságfokú t-eloszlás llesztése bzonyult hatékonynak (Benedek et. al. 00). 7 Statsztka vzsgálatokhoz lásd pl. Hunyad Vta 99, Móry Székely

24 a szakrodalom pszeudovéletlennek vagy kvázvéletlennek nevez.) A pszeudovéletlen sorozatokkal két gond lehet. Az egyk, hogy cklusba kerül, azaz egy meghatározott sorozat után újból ugyanazokat a számokat generálja ugyanabban a sorrendben. (Például a négyzetközép-módszer esetén nduljunk a 379-bõl!) Belátható, hogy a négyzetközépmódszer tetszõleges ndulóérték esetén hamar cklusba torkollk. A másk probléma, hogy a módszer nem ad olyan számsorozatot, amely valóban független egyenletes eloszlású. A véletlenszám-generáló eljárásokat tehát ebbõl a két aspektusból kell megvzsgáln. Napjankban a leggyakrabban használt egyenletes eloszlást adó numerkus véletlenszámgenerátor a lneárs kongruenca módszere, amelyet Lehmer (95) vezetett be. Vegyük a következõ sorozatot: V = ( ) (.7) av + + c mod m, ahol mnden paraméter nem-negatív egész, mégpedg: m: a modulus (maradékos osztó): m > 0, a: az együttható: m > a 0, c: a növekmény: m > c 0, V 0 : a kezdõérték (seed): m > V 0 0. Ezt nevezzük lneárs kongruenca-sorozatnak. Az elõállított szám mndg az m-mel történõ osztás maradéka. Például, ha m = 0 és V 0 = a = c = 7, akkor a sorozat a következõképpen fest: 7, 6, 9, 0, 7, 6, 9, 0, Jól látható, hogy az lyen típusú megválasztás esetén a sorozat egy négy elembõl álló cklust hoz létre. A lneárs kongruenca-sorozatban kalakuló cklus elemszámát peródushossznak nevezzük. A következõkben kmondunk néhány fontos tételt:.. Tétel: Mnden V + = f(v ) eljárással megadott korlátos sorozatnál elõbb vagy utóbb cklus jelentkezk. Így nylvánvaló, hogy a (.7) esetében s bztosan fellép az smétlõdés. Kérdés azonban az, hogy lehet-e kellõen nagyra választan a peródushosszt annak érdekében, hogy ez ne okozzon gondot a véletlen sorozat generálásánál. Könnyû belátn a következõ tételt:.. Tétel: A (.7) lneárs kongruenca-sorozat maxmáls peródushossza pontosan m. Ha egy lyen sorozat peródushossza m, akkor teljes peródusú (full perod) lneárs kongruenca-sorozatnak nevezzük. Ezek szernt számunkra olyan paraméterek szükségesek, ahol m értéke nagy. Sok algortmus esetében ezért m-et olyan nagynak szokták választan, mnt amekkora a számítógép processzorának számábrázolás kapactása. (3 btes processzor esetén például m = 3 ). A nagy m mellett olyan egyéb paraméterválasztás a célszerû, hogy a sorozat teljes peródusú legyen. Így khasználjuk a maxmáls peródus lehetõséget, továbbá bztosítjuk, hogy mnden egyes szám pontosan egyszer fog elõforduln 0 és m között 4

25 egy ckluson belül. A paraméterek helyes megválasztásához a következõ nehéz számelmélet tételt kell felhasználn..3. Tétel: A (.7) lneárs kongruenca-sorozat peródushossza pontosan akkor m, ha:. c relatív prím m-hez,. b = a többszöröse p-nek m mnden p prímosztójára, 3. b többszöröse 4-nek, ha m többszöröse 4-nek. A tételek bzonyítása megtalálható Knuth (987) munkájában (II / 4 35). Bzonyítás helyett nézzünk egy példát, ahol m = 8, ezért p =, tehát b legyen 4, így a = 5, c = 3, és nduljunk az -bõl. Ekkor a következõ sorozatot kapjuk:, 0, 3,, 5, 4, 7, 6,, 0, 3,, 5, 4, 7, 6, A sorozat tényleg teljes peródusú, a független egyenletes eloszlás próbáját azonban algha állná k. Ezért rendkívül fontos az, hogy statsztka próbákkal megvzsgáljuk a generált sorozatot. A leggyakrabban a következõ teszteket szokták elvégezn: χ -próba, Kolgomorov Szmrnov-próba, gyakorságpróba, sorozatpróba, hézagpróba, partícópróba (pókerpróba), sorozatkorrelácópróba, spektrálpróba. A legtöbb teszt smertetése megtalálható általános statsztka könyvekben, azonban a korábban többször s dézett Knuth (987) könyvben ezeket megvalósító, erõforrástakarékos algortmusok s szerepelnek. A ma legnkább megbízható algortmusok megtalálhatók Press et al. (99) mûvében, ahonnan a 0 8 peródushosszú ran és a 0 6 peródushosszú ran algortmusokat alkalmaztuk a pénzügy szmulácó esetében. Bzonyos szmulácók esetén elképzelhetõ, hogy még a ran vagy a ran algortmusoknál s hosszabb peródusú vagy gyorsabb eljárásra van szükség. A ma legfrssebb kutatások számos lyen algortmust ajánlanak, amelyek általában már nem kzárólag a lneárskongruenca-módszerre épülnek. Eddg közgazdaság szmulácónk során azonban ezekre a módszerekre még nem volt szükségünk, így bemutatásuktól eltekntünk. Skerült tehát független egyenletes eloszlású számsorozatokat generáln számelmélet módszerek alkalmazásával. A szmulácós alkalmazásokhoz azonban különbözõ eloszlású változókra lehet szükség. Ezeket az eloszlásokat egyenletes eloszlású változókból transzformálva készíthetjük el, leggyakrabban a következõ módszereket alkalmazva: drekt módszer, kzárás módszere (acceptance-rejecton method), konvolúcós módszer és specáls módszerek. Drekt módszer. Tetszõleges θ folytonos valószínûség változó esetén jelölje F θ θ eloszlásfüggvényét, f θ pedg θ sûrûségfüggvényét. A következõ tételek vszonylag egyszerûek, bzonyításuk a legtöbb valószínûségszámítással foglalkozó tankönyvben megtalálható (Rény 973). 5

26 .4. Tétel: Legyen ξ folytonos valószínûség változó, g pedg egy folytonos, valós, monoton növekvõ függvény. Legyen továbbá η = g(ξ). Ekkor: Ebbõl következk az alább tétel. ( ) ( ) ( ) F x = F g x. (.8) η ξ.5. Tétel: Legyen ξ folytonos valószínûség változó egyenletes eloszlású a [0,] ntervallumon, F(x) pedg egy tetszõleges folytonos eloszlásfüggvény. Ekkor η = F - (ξ) olyan valószínûség változó, amelynek eloszlásfüggvénye F. A tétel alapján már látjuk, mért volt fontos az egyenletes eloszlású valószínûség változó generálása. Ennek segítségével bármlyen más eloszlást készíthetünk, feltéve, hogy smerjük az eloszlás eloszlásfüggvényének nverzét. Nézzünk egy példát, az exponencáls eloszlást, 8 amelynek az eloszlásfüggvénye a következõ: xb e, ha x 0, F( x) = 0, különben (.9) Ezért könnyû elõállítan F nverzét: x= F () u= bln( u). Sajnos a legtöbb esetben nem lyen egyszerû a helyzet, például a számunkra gen fontos normáls eloszlás esetén nem adható meg analtkus formában az eloszlásfüggvény. 9 A folytonos valószínûség változó esetét megvzsgáltuk, nézzük mlyen lehetõségek vannak a dszkrét véletlen változók elõállítására!.6. Tétel: Legyen ξ dszkrét valószínûség változó, mégpedg: Legyen továbbá Ezért S ( = x ), = 0,,,... pm = P ξ m m (.0) m m = pk, Ik = k k k = 0 p [ S, S ), k 0, S = 0. ( S u < S ) = P( u I ). m = P m m m (.) (.) Ekkor a következõ eljárással egy u egyenletes eloszlású változó segítségével pontosan a ξ dszkrét eloszlású valószínûség változót generáljuk: x0, ha u I0, ξ = x, ha u I,... (.3) 8 Az exponencáls eloszlás a sorbanállás és készletgazdálkodás modellek tekntélyes részénél szerepel, ezért gen fontos eloszlás. 9 Több program s közelítõ függvény segítségével, drekt módszerrel generál normáls eloszlást. Ezek megbízhatósága különös tekntettel az eloszlás szélere gen különbözõ. 6

27 Például egy dobókocka dobásat rendkívül egyszerûen szmulálhatjuk, ha az egyenletes eloszlású u < / 6, akkor a kockadobás -es, ha / 6 < u < / 6, akkor -es stb. A drekt módszer utolsó tétele megmutatja, hogy tetszõleges eloszlás generálható egyenletes eloszlás segítségével:.7. Tétel: Legyen ξ eloszlásfüggvénye F, ξ -é pedg F. Tegyük fel továbbá, hogy: ( ) ( ) ( ) F x = pf (.4) x + qf x, p+ q=, p, q 0. Tegyük fel, hogy ξ lehetséges értéke és, rendre p és q valószínûséggel, továbbá ξ független ξ és ξ változóktól. Defnáljuk η-t: ξ, haξ =, η = (.5) ξ, haξ =. Ekkor η eloszlásfüggvénye F, továbbá mvel mnden monoton növekvõ függvény felbontható két monoton növekvõ függvény összegére úgy, hogy az egyk folytonos, a másk pedg dszkrét (tszta ugró), ezért mnden eloszlásfüggvény felírható (.4) alakban, ahol F folytonos, F pedg dszkrét eloszlásfüggvény. Kzárás módszere. A módszert nevezk még Monte-Carlo-módszernek s, bár ezt a nevet általában a hasonló elven mûködõ numerkus ntegrálásra szokták használn. Az eljárás lényege a következõ. Legyen adott u, v egyenletes eloszlású független valószínûség változó a [0,] ntervallumon. Szeretnénk elkészíten ξ véletlen változót, ahol ξ [a, b], sûrûségfüggvénye g, és g maxmumértéke pedg c <. Transzformáljuk elõször u-t u -be, v-t v -be, ahol ezek rendre egyenletes eloszlásúak az [a, b] és a [0, c] ntervallumon. Ezután vzsgáljuk meg, hogy gaz-e a v < g(u ) egyenlõtlenség. (Grafkusan elképzelve vajon a generált (u v ) pont a sûrûségfüggvény alatt vagy felett helyezkedk el.) Ha gaz (alatta), akkor fogadjuk el ξ = u -t, ha nem, akkor generáljunk újabb u, v párost..8. Tétel: Az így kapott ξ valószínûség változó pontosan olyan eloszlást követ, amelynek sûrûségfüggvénye g, továbbá mnden egyes ξ változó elõállításához (b-a) c számú független egyenletes eloszlású változóra van szükség. Ezzel a módszerrel két probléma van. A megvalósításhoz egyrészt smern kell g sûrûségfüggvényt, másrészt csak korlátos valószínûség változót tudunk generáln. Ha például standard normáls eloszlású valószínûség változót szeretnénk készíten, akkor meg kell határozn azt a tartományt, amelynél ksebb, lletve nagyobb számokat 0 valószínûséggel generálunk. Mvel a sûrûségfüggvény széle nagyon gyorsan konvergálnak nullához, ezért már a [ 3, 3] választással elég kcs hbát vétünk 0 (3σ szabály). A.8. ábra segítségével könnyen megérthetõ a.8. tétel. Az ábrán háromszöggel jelöltük az elfogadott, négyzettel az elutasított számpárokat. Az elfogadott számpárok elsõ koordnátá adják a normáls eloszlású valószínûség változókat. 0 Természetesen mnél több független véletlen változóra van szükségünk, annál nagyobb az így elkövetett hba valószínûsége. A pénzügy szmulácó során a [, ] ntervallummal próbálkoztunk. 7

28 v' u'.8. ábra. Normáls eloszlás generálása a kzárás módszerével Konvolúcós módszer. Sok eloszlást tudunk más eloszlások összegeként generáln. Így készíthetünk például Erlangen-eloszlást azonos várható értékû exponencáls eloszlásokat összegezve. Az egyk legegyszerûbb a központ határeloszlás segítségével a normáls eloszlás készítése. Ezt mutatjuk most be:.9. Tétel: Adott egy y ~ U(0, ), azaz egy egyenletes eloszlású mnta a [0,] ntervallumon. Transzformáljuk y ~ U( α,α)-ra, azaz y = αy α. Ezután n-esével összeadjuk és standardzáljuk õket, azaz: z ( y + y y ) n n =, ahol σ n α. 3 σ = (.6) Természetesen tt z s ndexelt, azaz mnta, pontosan anny elemû, ahány n-es csoportot létre lehet hozn a független egyenletes eloszlású mntából. Ekkor () y független, egyenletes eloszlású a [ α,α] ntervallumon, várható értéke 0 és szórása σ, () z normáls eloszlást követ, ha n tart a végtelenhez, továbbá () z már egészen kcs n értékekre s gen jól közelít a standard normáls eloszlást, különös tekntettel az eloszlás közepére. A tétel () része trváls, a () pedg a központ határeloszlás tételének következménye. A () azonban nem trváls, és nem található meg a szakrodalomban, ezért ezt a bzonyítást részletezzük: Bzonyítás: A bzonyítás során azt mutatjuk meg, hogy z karaktersztkus függvénye gyorsan konvergál a standard normáls eloszlás karaktersztkus függvényéhez. Elõször állítsuk elõ y karaktersztkus függvényét: α tx tx tx tα -tα ky () t = E( e ) = e dx= e ( e e ) α α = = t α αt α sn ( tα) = ( cos( tα) + sn ( tα) cos( tα) sn ( tα) ) =. αt tα α (.7) Ekkor a karaktersztkus függvények tulajdonsága matt könnyen kszámíthatjuk z karaktersztkus függvényét. 8

Fuzzy rendszerek. A fuzzy halmaz és a fuzzy logika

Fuzzy rendszerek. A fuzzy halmaz és a fuzzy logika Fuzzy rendszerek A fuzzy halmaz és a fuzzy logka A hagyományos kétértékű logka, melyet évezredek óta alkalmazunk a tudományban, és amelyet George Boole (1815-1864) fogalmazott meg matematkalag, azon a

Részletesebben

Békefi Zoltán. Közlekedési létesítmények élettartamra vonatkozó hatékonyság vizsgálati módszereinek fejlesztése. PhD Disszertáció

Békefi Zoltán. Közlekedési létesítmények élettartamra vonatkozó hatékonyság vizsgálati módszereinek fejlesztése. PhD Disszertáció Közlekedés létesítmények élettartamra vonatkozó hatékonyság vzsgálat módszerenek fejlesztése PhD Dsszertácó Budapest, 2006 Alulírott kjelentem, hogy ezt a doktor értekezést magam készítettem, és abban

Részletesebben

Az elektromos kölcsönhatás

Az elektromos kölcsönhatás TÓTH.: lektrosztatka/ (kbővített óravázlat) z elektromos kölcsönhatás Rég tapasztalat, hogy megdörzsölt testek különös erőket tudnak kfejten. Így pl. megdörzsölt műanyagok (fésű), megdörzsölt üveg- vagy

Részletesebben

1.Tartalomjegyzék 1. 1.Tartalomjegyzék

1.Tartalomjegyzék 1. 1.Tartalomjegyzék 1.Tartalomjegyzék 1 1.Tartalomjegyzék 1.Tartalomjegyzék...1.Beezetés... 3.A matematka modell kálasztása...5 4.A ékony lap modell...7 5.Egy más módszer a matematka modell kálasztására...10 6.A felületet

Részletesebben

A bankközi jutalék (MIF) elő- és utóélete a bankkártyapiacon. A bankközi jutalék létező és nem létező versenyhatásai a Visa és a Mastercard ügyek

A bankközi jutalék (MIF) elő- és utóélete a bankkártyapiacon. A bankközi jutalék létező és nem létező versenyhatásai a Visa és a Mastercard ügyek BARA ZOLTÁN A bankköz utalék (MIF) elő- és utóélete a bankkártyapacon. A bankköz utalék létező és nem létező versenyhatása a Vsa és a Mastercard ügyek Absztrakt Az előadás 1 rövden átteknt a két bankkártyatársasággal

Részletesebben

METROLÓGIA ÉS HIBASZÁMíTÁS

METROLÓGIA ÉS HIBASZÁMíTÁS METROLÓGIA ÉS HIBASZÁMíTÁS Metrológa alapfogalmak A metrológa a mérések tudománya, a mérésekkel kapcsolatos smereteket fogja össze. Méréssel egy objektum valamlyen tulajdonságáról számszerű értéket kapunk.

Részletesebben

Hitelderivatívák árazása sztochasztikus volatilitás modellekkel

Hitelderivatívák árazása sztochasztikus volatilitás modellekkel Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudomány Kar Budapest Corvnus Egyetem Közgazdaságtudomány Kar Hteldervatívák árazása sztochasztkus volatltás modellekkel Bztosítás és pénzügy matematka MSc Kvanttatív

Részletesebben

8. Programozási tételek felsoroló típusokra

8. Programozási tételek felsoroló típusokra 8. Programozás tételek felsoroló típusokra Ha egy adatot elem értékek csoportja reprezentál, akkor az adat feldolgozása ezen értékek feldolgozásából áll. Az lyen adat típusának lényeges jellemzője, hogy

Részletesebben

NKFP6-BKOMSZ05. Célzott mérőhálózat létrehozása a globális klímaváltozás magyarországi hatásainak nagypontosságú nyomon követésére. II.

NKFP6-BKOMSZ05. Célzott mérőhálózat létrehozása a globális klímaváltozás magyarországi hatásainak nagypontosságú nyomon követésére. II. NKFP6-BKOMSZ05 Célzott mérőhálózat létrehozása a globáls klímaváltozás magyarország hatásanak nagypontosságú nyomon követésére II. Munkaszakasz 2007.01.01. - 2008.01.02. Konzorcumvezető: Országos Meteorológa

Részletesebben

Bevezetés a kémiai termodinamikába

Bevezetés a kémiai termodinamikába A Sprnger kadónál megjelenő könyv nem végleges magyar változata (Csak oktatás célú magánhasználatra!) Bevezetés a kéma termodnamkába írta: Kesze Ernő Eötvös Loránd udományegyetem Budapest, 007 Ez az oldal

Részletesebben

Elosztott rendszerek játékelméleti elemzése: tervezés és öszönzés. Toka László

Elosztott rendszerek játékelméleti elemzése: tervezés és öszönzés. Toka László adat Távközlés és Médanformatka Tanszék Budapest Műszak és Gazdaságtudomány Egyetem Eurecom Telecom Pars Elosztott rendszerek játékelmélet elemzése: tervezés és öszönzés Toka László Tézsfüzet Témavezetők:

Részletesebben

Balogh Edina Árapasztó tározók működésének kockázatalapú elemzése PhD értekezés Témavezető: Dr. Koncsos László egyetemi tanár

Balogh Edina Árapasztó tározók működésének kockázatalapú elemzése PhD értekezés Témavezető: Dr. Koncsos László egyetemi tanár Balogh Edna Árapasztó tározók működésének kockázatalapú elemzése PhD értekezés Témavezető: Dr. Koncsos László egyetem tanár Budapest Műszak és Gazdaságtudomány Egyetem Építőmérnök Kar 202 . Bevezetés,

Részletesebben

IMPRESSA C5 Használati útmutató

IMPRESSA C5 Használati útmutató IMPRESSA C5 Használat útmutató Kávé Prof Kft. 1112 Budapest, Budaörs út 153. Tel.: 06-1-248-0095 kaveprof@freemal.hu A TÜV SÜD független német mnôségvzsgáló ntézet Az IMPRESSA kézkönyvének és a hozzá tartozó

Részletesebben

Biostatisztika e-book Dr. Dinya Elek

Biostatisztika e-book Dr. Dinya Elek TÁMOP-4../A/-/-0-005 Egészségügy Ügyvtelszervező Szakrány: Tartalomfejlesztés és Elektronkus Tananyagfejlesztés a BSc képzés keretében Bostatsztka e-book Dr. Dnya Elek Tartalomjegyzék. Bevezetés a mátrok

Részletesebben

The original laser distance meter. The original laser distance meter

The original laser distance meter. The original laser distance meter Leca Leca DISTO DISTO TM TM D510 X310 The orgnal laser dstance meter The orgnal laser dstance meter Tartalomjegyzék A műszer beállítása - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 2 Bevezetés - -

Részletesebben

2. személyes konzultáció. Széchenyi István Egyetem

2. személyes konzultáció. Széchenyi István Egyetem Makroökonóma 2. személyes konzultácó Szécheny István Egyetem Gazdálkodás szak e-learnng képzés Összeállította: Farkas Péter 1 A tananyag felépítése (térkép) Ön tt áll : MAKROEGENSÚL Inflácó, munkanélkülség,

Részletesebben

Darupályák ellenőrző mérése

Darupályák ellenőrző mérése Darupályák ellenőrző mérése A darupályák építésére, szerelésére érvényes 15030-58 MSz szabvány tartalmazza azokat az előírásokat, melyeket a tervezés, építés, műszak átadás során be kell tartan. A geodéza

Részletesebben

A mágneses tér energiája, állandó mágnesek, erőhatások, veszteségek

A mágneses tér energiája, állandó mágnesek, erőhatások, veszteségek A mágneses tér energája, állandó mágnesek, erőhatások, veszteségek A mágneses tér energája Egy koncentrált paraméterű, ellenállással és nduktvtással jellemzett tekercs Uáll feszültségre kapcsolásakor az

Részletesebben

HAVRAN DÁNIEL. Pénzgazdálkodási szokások hatása a működőtőkére. A Magyar Posta példája

HAVRAN DÁNIEL. Pénzgazdálkodási szokások hatása a működőtőkére. A Magyar Posta példája HAVRAN DÁNIEL Pénzgazdálkodás szokások haása a működőőkére. A Magyar Posa példája A hálózaos parágakban, ahogy a posa szolgálaásoknál s, a forgalomban lévő készpénz nagyméreű működőőké jelenhe. A Magyar

Részletesebben

Optikai elmozdulás érzékelő illesztése STMF4 mikrovezérlőhöz és robot helyzetérzékelése. Szakdolgozat

Optikai elmozdulás érzékelő illesztése STMF4 mikrovezérlőhöz és robot helyzetérzékelése. Szakdolgozat Mskolc Egyetem Gépészmérnök és Informatka Kar Automatzálás és Infokommunkácós Intézet Tanszék Optka elmozdulás érzékelő llesztése STMF4 mkrovezérlőhöz és robot helyzetérzékelése Szakdolgozat Tervezésvezető:

Részletesebben

IT jelű DC/DC kapcsolóüzemű tápegységcsalád

IT jelű DC/DC kapcsolóüzemű tápegységcsalád IT jelű DC/DC kapcsolóüzemű tápegységcsalád BALOGH DEZSŐ BHG BEVEZETÉS A BHG Híradástechnka Vállalat kutató és fejlesztő által kdolgozott napjankban gyártásban levő tárolt programvezérlésű elektronkus

Részletesebben

4 205 044-2012/11 Változtatások joga fenntartva. Kezelési útmutató. UltraGas kondenzációs gázkazán. Az energia megőrzése környezetünk védelme

4 205 044-2012/11 Változtatások joga fenntartva. Kezelési útmutató. UltraGas kondenzációs gázkazán. Az energia megőrzése környezetünk védelme HU 4 205 044-2012/11 Változtatások joga fenntartva Kezelés útmutató UltraGas kondenzácós gázkazán Az energa megőrzése környezetünk védelme Tartalomjegyzék UltraGas 15-1000 4 205 044 1. Kezelés útmutató

Részletesebben

Hálózat gazdaságtan. Kiss Károly Miklós, Badics Judit, Nagy Dávid Krisztián. Pannon Egyetem Közgazdaságtan Tanszék 2011. jegyzet

Hálózat gazdaságtan. Kiss Károly Miklós, Badics Judit, Nagy Dávid Krisztián. Pannon Egyetem Közgazdaságtan Tanszék 2011. jegyzet Hálózat gazdaságtan jegyzet Kss Károly Mlós, adcs Judt, Nagy Dávd Krsztán Pannon Egyetem Közgazdaságtan Tanszé 0. EVEZETÉS... 3 I. HÁLÓZTOS JVK KERESLETOLDLI JELLEMZŐI HÁLÓZTI EXTERNÁLIÁK ÉS KÖVETKEZMÉNYEIK...

Részletesebben

Szerelési útmutató FKC-1 síkkollektor tetőre történő felszerelése Junkers szolár rendszerek számára

Szerelési útmutató FKC-1 síkkollektor tetőre történő felszerelése Junkers szolár rendszerek számára Szerelés útmutató FKC- síkkollektor tetőre történő felszerelése Junkers szolár rendszerek számára 604975.00-.SD 6 70649 HU (006/04) SD Tartalomjegyzék Általános..................................................

Részletesebben

Jövedelem és szubjektív jóllét: az elemzési módszer megválasztásának hatása a levonható következtetésekre

Jövedelem és szubjektív jóllét: az elemzési módszer megválasztásának hatása a levonható következtetésekre Tanulmányok Jövedelem és szubjektív jóllét: az elemzés módszer megválasztásának hatása a levonható következtetésekre Hajdu Tamás, az MTA Közgazdaságés Regonáls Tudomány Kutatóközpont Közgazdaságtudomány

Részletesebben

Statisztikai. Statisztika Sportszervező BSc képzés (levelező tagozat) Témakörök. Statisztikai alapfogalmak. Statisztika fogalma. Statisztika fogalma

Statisztikai. Statisztika Sportszervező BSc képzés (levelező tagozat) Témakörök. Statisztikai alapfogalmak. Statisztika fogalma. Statisztika fogalma Témakörök Statsztka Sortszerező BSc kézés (leelező tagozat) 2-2-es tané félé Oktató: Dr Csáfor Hajnalka főskola docens Vállalkozás-gazdaságtan Tsz E-mal: hcsafor@ektfhu Statsztka fogalmak Statsztka elemzések

Részletesebben

II. Rákóczi Ferenc Kárpátaljai Magyar Fıiskola. Pataki Gábor. STATISZTIKA I. Jegyzet

II. Rákóczi Ferenc Kárpátaljai Magyar Fıiskola. Pataki Gábor. STATISZTIKA I. Jegyzet II. Rákócz Ferenc Kárátalja Magyar Fıskola Patak Gábor STATISZTIKA I. Jegyzet 23 Tartalomjegyzék evezetés... 3 I. Statsztka alafogalmak... 4. Statsztka kalakulása, tudománytörténet összefüggése... 4.2

Részletesebben

VEZÉRIGAZGATÓI UTASÍTÁS

VEZÉRIGAZGATÓI UTASÍTÁS Követeléskezelés Szabályzat Sgma Követeléskezelı Zrt. A Sgma Követeléskezelı Zrt. tevékenység köre A Sgma Követeléskezelı Zrt. 1923-ban, részvénytársaság formában került bejegyzésre, magánosítására 1988.

Részletesebben

Szennyvíztisztítási technológiai számítások és vízminőségi értékelési módszerek

Szennyvíztisztítási technológiai számítások és vízminőségi értékelési módszerek Szennyvíztsztítás technológa számítások és vízmnőség értékelés módszerek Segédlet a Szennyvíztsztítás c. tantárgy gyakorlat foglalkozásahoz Dr. Takács János ME, Eljárástechnka Tsz. 00. BEVEZETÉS Áldjon,

Részletesebben

Leica DISTOTMD510. X310 The original laser distance meter. The original laser distance meter

Leica DISTOTMD510. X310 The original laser distance meter. The original laser distance meter TM Leca DISTO Leca DISTOTMD510 X10 The orgnal laser dstance meter The orgnal laser dstance meter Tartalomjegyzék A műszer beállítása - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 2 Bevezetés - - -

Részletesebben

MISKOLCI EGYETEM GÉPÉSZMÉRNÖKI KAR DOKTORI ISKOLA VEZETŐ: MTA rendes tagja TÉMACSOPORT VEZETŐ: MTA rendes tagja TÉMAVEZETŐ: egyetemi docens

MISKOLCI EGYETEM GÉPÉSZMÉRNÖKI KAR DOKTORI ISKOLA VEZETŐ: MTA rendes tagja TÉMACSOPORT VEZETŐ: MTA rendes tagja TÉMAVEZETŐ: egyetemi docens MISKOLCI EGYETEM GÉPÉSZMÉRNÖKI KAR ÚJ ELJÁRÁS AUTOKLÁV GÉPCSOPORTOK EXPOZÍCIÓJÁNAK MEGHATÁROZÁSÁRA PhD értekezés KÉSZÍTETTE: Szees L. Gábor okleveles géészmérnök SÁLYI ISTVÁN GÉPÉSZETI TUDOMÁNYOK DOKTORI

Részletesebben

Nyeregetetős csarnokszerkezetek terhei az EN 1991 alapján

Nyeregetetős csarnokszerkezetek terhei az EN 1991 alapján BME Hdak és Szerkezetek Tanszék Magasépítés acélszerkezetek tárgy Gyakorlat útmutató Nyeregetetős csarnokszerkezetek terhe az EN 1991 alapján Összeállította: Dr. Papp Ferenc tárgyelőadó Budapest, 2006.

Részletesebben

Szerelési és beüzemelési útmutató

Szerelési és beüzemelési útmutató Mndg az Ön oldalán Szerelés és beüzemelés útmutató Exacontrol E7 C Exacontrol E7R C TARTALOMJEGYZÉK BEVEZETÉS 1 Szerelés útmutató... 3 1.1 A dokumentácó... 3 2 CE jel... 3 FELSZERELÉS 3 A készülék felszerelése...

Részletesebben

Makroökonómiai fogalmak, meghatározások

Makroökonómiai fogalmak, meghatározások Makroökonóma fogalmak, meghatározások Tartalom 1. A MAKROÖKONÓMIA ALAPÖSSZEFÜGGÉSEI 2 2. A MAKROGAZDASÁG ÁRUPIACA 5 3. A MAKROGAZDAÁG PÉNZPIACA 6 4. A MAKROGAZDASÁGI EGYENSÚLY 8 Makrogazdaág kereslet 8

Részletesebben

Véletlenszám generátorok. 5. előadás

Véletlenszám generátorok. 5. előadás Véletlenszám generátorok 5. előadás Véletlenszerű változók, valószínűség véletlen, véletlen változók valószínűség fogalma egy adott esemény bekövetkezésének esélye értékét 0 és között adjuk meg az összes

Részletesebben

A pályázat címe: Új elméleti és numerikus módszerek tartószerkezetek topológiaoptimálására

A pályázat címe: Új elméleti és numerikus módszerek tartószerkezetek topológiaoptimálására 00. év OKA zárójelentés: Vezetı kutató:lóó János A pályázat címe: Új elmélet és numerkus módszerek tartószerkezetek topolóaoptmálására determnsztkus és sztochasztkus feladatok esetén. (Részletes jelentés)

Részletesebben

Környezetvédelmi analitika

Környezetvédelmi analitika Az anyag a TÁMOP-4...A/- /--89 téma keretében készült a Pannon Egyetemen. Környezetmérnök Tudástár Sorozat szerkesztő: Dr. Domokos Endre XXXIV. kötet Környezetvédelm analtka Rezgés spektroszkópa Blles

Részletesebben

RENDSZERSZINTŰ TARTALÉK TELJESÍTŐKÉPESSÉG TERVEZÉSE MARKOV-MODELL ALKALMAZÁSÁVAL I. Rendszerszintű megfelelőségi vizsgálat

RENDSZERSZINTŰ TARTALÉK TELJESÍTŐKÉPESSÉG TERVEZÉSE MARKOV-MODELL ALKALMAZÁSÁVAL I. Rendszerszintű megfelelőségi vizsgálat ENDSZESZINTŰ TATALÉK TELJESÍTŐKÉPESSÉG TEVEZÉSE MAKOV-MODELL ALKALMAZÁSÁVAL I. endszerszntű megfelelőség vzsgálat Dr. Fazekas András István okl. gépészmérnök Magyar Vllamos Művek Zrt. Budapest Műszak és

Részletesebben

Szigorúan visszacsatolásos alakban adott n relatív fokszámú rendszer: x

Szigorúan visszacsatolásos alakban adott n relatív fokszámú rendszer: x VIII. Autonóm járművek, formácó rányítás 1. Autonóm robotok rányításánál alkalmazott nemlneárs rányítás módszerek áttekntése. A bemenet/kmenet lnearzálás, a backsteppng és a mozgó horzontú predktív rányítás

Részletesebben

oktatási segédlet Kovács Norbert SZE, Gazdálkodástudományi tanszék 2007. október

oktatási segédlet Kovács Norbert SZE, Gazdálkodástudományi tanszék 2007. október Fogyasztók a tõkepacon oktatás segédlet Kovács Norbert SZE, Gazdálkodástudomány tanszék 007. október Költségvetés egyenes kamatláb esetén. dõszak fogyasztása A. év fogyasztásának maxmuma költségvetés egyenes

Részletesebben

Termodinamikai állapot függvények és a mólhő kapcsolata

Termodinamikai állapot függvények és a mólhő kapcsolata ermdnamka állapt függvények és a mólhő kapslata A mólhő mnd állandó nymásn, mnd állandó térfgatn könnyen mérhető. A különböző energetka és mdellszámításkhz vsznt az állapt függvényeket - a belső energát,

Részletesebben

Konfidencia-intervallumok

Konfidencia-intervallumok Konfdenca-ntervallumok 1./ Egy 100 elemű mntából 9%-os bztonság nten kéített konfdenca ntervallum: 177,;179,18. Határozza meg a mnta átlagát és órását, feltételezve, hogy az egé sokaság normáls elolású

Részletesebben

Mit találtam RÓLAD a meddőséggel foglalkozó honlapokon?

Mit találtam RÓLAD a meddőséggel foglalkozó honlapokon? Mt találtam RÓLAD a meddőséggel foglalkozó honlapokon? Kgyűjtöttem, hogy a vlághálón mk kerngenek arról, mért vagy meddő. 10 honlapot olvastam át részletesen, azokat, melyeket a Google keresője felkínált

Részletesebben

MEZŐGAZDASÁGI TERMÉKEK FELVÁSÁRLÁSI FOLYAMATÁNAK SZIMULÁCIÓJA, KÜLÖNÖS TEKINTETTEL A CUKORRÉPÁRA OTKA

MEZŐGAZDASÁGI TERMÉKEK FELVÁSÁRLÁSI FOLYAMATÁNAK SZIMULÁCIÓJA, KÜLÖNÖS TEKINTETTEL A CUKORRÉPÁRA OTKA MEZŐGAZDASÁGI TERMÉKEK FELVÁSÁRLÁSI FOLYAMATÁNAK SZIMULÁCIÓJA, KÜLÖNÖS TEKINTETTEL A CUKORRÉPÁRA OTKA Kutatás téma 2002 2005. Nylvántartás szám: T0 37555 TARTALOMJEGYZÉK 1. Kutatás célktűzések... 2 2.

Részletesebben

A800. Az eredeti használati utasítás fordítása. Kávéfőző gép: FCS4050 - Hűtőegység: FCS4053

A800. Az eredeti használati utasítás fordítása. Kávéfőző gép: FCS4050 - Hűtőegység: FCS4053 A800 Az eredet használat utasítás fordítása Kávéfőző gép: FCS050 - Hűtőegység: FCS053 A készülék használata előtt olvassa el a használat utasítást és a «Bztonság tudnvalók» című fejezetet. Tartsa a használat

Részletesebben

Fizika II. (Termosztatika, termodinamika)

Fizika II. (Termosztatika, termodinamika) Fzka II. (Termosztatka, termodnamka) előadás jegyzet Élelmszermérnök, Szőlész-borász mérnök és omérnök hallgatóknak Dr. Frtha Ferenc. árls 4. Tartalom evezetés.... Hőmérséklet, I. főtétel. Ideáls gázok...3

Részletesebben

Die Sensation in der Damenhygiene Hasznos információk a tamponokról www.123goodbye.com

Die Sensation in der Damenhygiene Hasznos információk a tamponokról www.123goodbye.com nokról tampo a k ácó form n s no Hasz Mért használnak tamponokat? A tampon szó francául és a szó szernt fordításban dugó. Már a szó s sokat mond. A tamponok körülbelül öt centméteres rudak, amely közel

Részletesebben

Ahol mindig Ön az első! www.eon.hu/ugyintezes. Segítünk online ügyféllé válni Kisokos

Ahol mindig Ön az első! www.eon.hu/ugyintezes. Segítünk online ügyféllé válni Kisokos Ahol mndg Ön az első! www.eon.hu/ugyntezes Segítünk onlne ügyféllé váln Ksokos Kedves Ügyfelünk! Szeretnénk, ha Ön s megsmerkedne Onlne ügyfélszolgálatunkkal (www.eon.hu/ugyntezes), amelyen keresztül egyszerűen,

Részletesebben

MŰSZAKI TUDOMÁNYI DOKTORI ISKOLA. Napkollektorok üzemi jellemzőinek modellezése

MŰSZAKI TUDOMÁNYI DOKTORI ISKOLA. Napkollektorok üzemi jellemzőinek modellezése MŰSZAKI TUDOMÁNYI DOKTORI ISKOLA Napkollektorok üzem jellemzőnek modellezése Doktor (PhD) értekezés tézse Péter Szabó István Gödöllő 015 A doktor skola megnevezése: Műszak Tudomány Doktor Iskola tudományága:

Részletesebben

Számítógép-architektúrák II.

Számítógép-architektúrák II. Várady Géza Számítógép-archtektúrák II. Pécs 2015 A tananyag a azonosító számú, A gépészet és nformatka ágazatok duáls és modulárs képzésenek kalakítása a Pécs Tudományegyetemen című projekt keretében

Részletesebben

A pályázat címe: Rugalmas-képlékeny tartószerkezetek topológiai optimalizálásának néhány különleges feladata

A pályázat címe: Rugalmas-képlékeny tartószerkezetek topológiai optimalizálásának néhány különleges feladata 6. év OTKA zárójeletés: Vezető kutató:kalszky Sádor OTKA ylvátartás szám T 4993 A pályázat címe: Rugalmas-képlékey tartószerkezetek topológa optmalzálásáak éháy külöleges feladata (Részletes jeletés) Az

Részletesebben

1. DINAMIKUS OPTIMALIZÁLÁS

1. DINAMIKUS OPTIMALIZÁLÁS Szolnok Tudományos özlemények XV. Szolnok, 2011. Fazekas Tamás 1 A DINAMIUS OPTIMALIZÁLÁS MÓDSZERÉNE ALALMAZÁSA A MAROÖONÓMIAI MODELLEZÉSBEN A anulmányban rövd összefoglaló és áeknés adok arról, hogy a

Részletesebben

Autópálya forgalom károsanyag kibocsátásának modellezése és szabályozása

Autópálya forgalom károsanyag kibocsátásának modellezése és szabályozása Autópálya forgalom árosanyag bocsátásána modellezése és szabályozása Csós Alfréd Budapest, 00. Köszönetnylvánítás Ezúton szeretné öszönetet mondan onzulensemne, Varga Istvánna, atől ezdettől fogva rengeteg

Részletesebben

4 2 lapultsági együttható =

4 2 lapultsági együttható = Leíró statsztka Egy kísérlet végeztével általában tetemes mennységű adat szokott összegyűln. Állandó probléma, hogy mt s kezdjünk - lletve mt tudunk kezden az adatokkal. A statsztka ebben segít mnket.

Részletesebben

Általános statisztika II. Kriszt, Éva Varga, Edit Kenyeres, Erika Korpás, Attiláné Csernyák, László

Általános statisztika II. Kriszt, Éva Varga, Edit Kenyeres, Erika Korpás, Attiláné Csernyák, László Általános statisztika II Kriszt, Éva Varga, Edit Kenyeres, Erika Korpás, Attiláné Csernyák, László Általános statisztika II Kriszt, Éva Varga, Edit Kenyeres, Erika Korpás, Attiláné Csernyák, László Publication

Részletesebben

III. Áramkör számítási módszerek, egyenáramú körök

III. Áramkör számítási módszerek, egyenáramú körök . Árakör száítás ódszerek, egyenáraú körök A vllaos ára a vllaos töltések rendezett áralása (ozgása) a fellépő erők hatására. Az áralás ránya a poztív töltéshordozók áralásának ránya, aelyek a nagyobb

Részletesebben

Tartalomjegyzék. 4.3 Alkalmazás: sorozatgyártású tűgörgő átmérőjének jellemzése

Tartalomjegyzék. 4.3 Alkalmazás: sorozatgyártású tűgörgő átmérőjének jellemzése 3 4 Tartalomegyzék. BEVEZETÉS 5. A MÉRÉS 8. A mérés mt folyamat, fogalmak 8. Fotosabb mérés- és műszertechka fogalmak 4.3 Mérés hbák 8.3. Mérés hbák csoportosítása eredetük szert 8.3. A hbák megeleítés

Részletesebben

A poliolefinek bemutatása

A poliolefinek bemutatása A pololefnek bemutatása Poletlén és polproplén 1. Szntetkus polmerek 1.1. Osztályozás 1.2. Globáls termelés 2. Pololefnek 2.1. A pololefnek családja 2.2. PE típusok és szerkezetek 2.3. PP típusok és szerkezetek

Részletesebben

Analízisfeladat-gyűjtemény IV.

Analízisfeladat-gyűjtemény IV. Oktatási segédanyag a Programtervező matematikus szak Analízis. című tantárgyához (003 004. tanév tavaszi félév) Analízisfeladat-gyűjtemény IV. (Függvények határértéke és folytonossága) Összeállította

Részletesebben

Dr. Ratkó István. Matematikai módszerek orvosi alkalmazásai. 2010.11.08. Magyar Tudomány Napja. Gábor Dénes Főiskola

Dr. Ratkó István. Matematikai módszerek orvosi alkalmazásai. 2010.11.08. Magyar Tudomány Napja. Gábor Dénes Főiskola Dr. Ratkó István Matematka módszerek orvos alkalmazása 200..08. Magyar Tudomány Napja Gábor Dénes Főskola A valószínűségszámítás és matematka statsztka főskola oktatásakor a hallgatók néha megkérdezk egy-egy

Részletesebben

KOMBINATORIKA ELŐADÁS osztatlan matematika tanár hallgatók számára. Szita formula

KOMBINATORIKA ELŐADÁS osztatlan matematika tanár hallgatók számára. Szita formula KOMBINATORIKA ELŐADÁS osztatlan matematka tanár hallgatók számára Szta formula Előadó: Hajnal Péter 2015. 1. Bevezető példák 1. Feladat. Hány olyan sorbaállítása van a a, b, c, d, e} halmaznak, amelyben

Részletesebben

Gráfokkal megoldható hétköznapi problémák

Gráfokkal megoldható hétköznapi problémák Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar Gráfokkal megoldható hétköznapi problémák Szakdolgozat Készítette Vincze Ágnes Melitta Konzulens Héger Tamás Budapest, 2015 Tartalomjegyzék Bevezetés

Részletesebben

Kecskeméti Fıiskola GAMF Kar Informatika Tanszék. Johanyák Zsolt Csaba

Kecskeméti Fıiskola GAMF Kar Informatika Tanszék. Johanyák Zsolt Csaba Kecskeméti Fıiskola GAMF Kar Informatika Tanszék Johanyák Zsolt Csaba 003 Tartalomjegyzék. Bevezetés.... A megbízhatóság fogalmai..... A termék idıtıl függı képességei...... Használhatóság /Üzemkészség/

Részletesebben

Félévi időbeosztás (nagyjából) házi feladat beadási határidőkkel (pontosan) Valószínűségszámítás 2. matematikusoknak és fizikusoknak, 2009 tavasz

Félévi időbeosztás (nagyjából) házi feladat beadási határidőkkel (pontosan) Valószínűségszámítás 2. matematikusoknak és fizikusoknak, 2009 tavasz Félévi időbeosztás (nagyjából) házi feladat beadási határidőkkel (pontosan) Valószínűségszámítás 2. matematikusoknak és fizikusoknak, 2009 tavasz Dátum Téma beadandó Feb 12Cs Konvolúció (normális, Cauchy,

Részletesebben

KAPILLÁRIS NYOMÁS GÖRBE MEGHATÁROZÁSA HIGANYTELÍTÉSES POROZITÁSMÉRÉS ADATAIBÓL DETERMINATION OF CAPILLARY PRESSURE CURVE FROM MERCURY POROSIMETRY DATA

KAPILLÁRIS NYOMÁS GÖRBE MEGHATÁROZÁSA HIGANYTELÍTÉSES POROZITÁSMÉRÉS ADATAIBÓL DETERMINATION OF CAPILLARY PRESSURE CURVE FROM MERCURY POROSIMETRY DATA Műszak Földtudomány Közlemények, 84. kötet,. szám (03), pp. 63 69. KAPILLÁRIS NYOMÁS GÖRBE MEGHATÁROZÁSA HIGANYTELÍTÉSES POROZITÁSMÉRÉS ADATAIBÓL DETERMINATION OF CAPILLARY PRESSURE CURVE FROM MERCURY

Részletesebben

VIII. ELEKTROMOS ÁRAM FOLYADÉKOKBAN ÉS GÁZOKBAN

VIII. ELEKTROMOS ÁRAM FOLYADÉKOKBAN ÉS GÁZOKBAN VIII. ELEKTROMOS ÁRAM FOLYADÉKOKBAN ÉS GÁZOKBAN Bevezetés: Folyadékok - elsősorban savak, sók, bázsok vzes oldata - áramvezetésének gen fontos gyakorlat alkalmazása vannak. Leggyakrabban az elektronkus

Részletesebben

vállalatok esetén Technológia és költségek, Árdiszkrimináció és monopólium: A vállalati árbevétel megoszlása Számviteli költségek + számviteli profit

vállalatok esetén Technológia és költségek, Árdiszkrimináció és monopólium: A vállalati árbevétel megoszlása Számviteli költségek + számviteli profit 3. Elõadás Technológa és költségek, Árdszkrmnácó és monopólum: lneárs árképzés Kovács Norbert SZE KGYK, GT vállalat árbevétel megoszlása Gazdaság költség + gazdaság proft Számvtel költségek + számvtel

Részletesebben

Következõ: Lineáris rendszerek jellemzõi és vizsgálatuk. Jelfeldolgozás. Lineáris rendszerek jellemzõi és vizsgálatuk

Következõ: Lineáris rendszerek jellemzõi és vizsgálatuk. Jelfeldolgozás. Lineáris rendszerek jellemzõi és vizsgálatuk 1 1 Következõ: Lineáris rendszerek jellemzõi és vizsgálatuk Jelfeldolgozás 1 Lineáris rendszerek jellemzõi és vizsgálatuk 2 Bevezetés 5 Kérdések, feladatok 6 Fourier sorok, Fourier transzformáció 7 Jelek

Részletesebben

Az entrópia statisztikus értelmezése

Az entrópia statisztikus értelmezése Az entrópa statsztkus értelmezése A tapasztalat azt mutatja hogy annak ellenére hogy egy gáz molekulá egyed mozgást végeznek vselkedésükben mégs szabályszerűségek vannak. Statsztka jellegű vselkedés szabályok

Részletesebben

Összeszerelési és kezelési útmutató. VideoTerminal 2600..

Összeszerelési és kezelési útmutató. VideoTerminal 2600.. Összeszerelés és kezelés útmutató VdeoTermnal 2600.. Tartalom Készülékleírás...3 Szerelés...4 Az üvegfedél leszerelése...5 Kezelés...5 Normál beszéd üzemmód...6 Hívás fogadása... 6 Érvényesítés funkcó...

Részletesebben

lks~71 ~~ Dr. Szemán Sándor címzetes főjegyző ,~ LU:Lll ;rejl Faragón'é Széles Andrea Jegyzői kabinet vezetője q GAZDÁLKODÁSI FŐOSZTÁLY

lks~71 ~~ Dr. Szemán Sándor címzetes főjegyző ,~ LU:Lll ;rejl Faragón'é Széles Andrea Jegyzői kabinet vezetője q GAZDÁLKODÁSI FŐOSZTÁLY Ügyratszám7092-10/2011.v1l1. Ügyntéző: Ferenczné NYíREGYHÁZA MEGYE JOGÚ VÁROS POLGÁRMESTER HVATALA GAZDÁLKODÁS FŐOSZTÁLY 4401 Nyíregyháza, Kossuth tér 1. Pf.: 83. Telefon: (42) 524-524, (42) 524-540; Fax:

Részletesebben

Szerelési és beüzemelési útmutató

Szerelési és beüzemelési útmutató Mndg az Ön oldalán Szerelés és beüzemelés útmutató Napkollektorok SRD. H Vízszntes elhelyezés teraszon és ferde tetőn, karbantartás TRTLOMJEGYZÉK BEVEZETÉS Műszak leírás.... dokumentácó....... készülék

Részletesebben

13. Tárcsák számítása. 1. A felületszerkezetek. A felületszerkezetek típusai

13. Tárcsák számítása. 1. A felületszerkezetek. A felületszerkezetek típusai Tárcsák számítása A felületszerkezetek A felületszerkezetek típusa A tartószerkezeteket geometra méretek alapjá osztálozzuk Az eddg taulmáakba szereplı rúdszerkezetek rúdjara az a jellemzı hog a hosszuk

Részletesebben

Merev test mozgása. A merev test kinematikájának alapjai

Merev test mozgása. A merev test kinematikájának alapjai TÓTH : Merev test (kbővített óraválat) Merev test mogása Eddg olyan dealált "testek" mogását vsgáltuk, amelyek a tömegpont modelljén alapultak E aal a előnnyel járt, hogy nem kellett foglalkon a test kterjedésével

Részletesebben

Statisztikai módszerek

Statisztikai módszerek Statisztikai módszerek A hibaelemzı módszereknél azt néztük, vannak-e kiugró, kritikus hibák, amelyek a szabályozás kivételei. Ezekkel foglalkozni kell; minıségavító szabályozásra van szükség. A statisztikai

Részletesebben

választással azaz ha c 0 -t választjuk sebesség-egységnek: c 0 :=1, akkor a Topa-féle sebességkör teljes hossza 4 (sebesség-)egységnyi.

választással azaz ha c 0 -t választjuk sebesség-egységnek: c 0 :=1, akkor a Topa-féle sebességkör teljes hossza 4 (sebesség-)egységnyi. Egy kis számmisztika Az elmúlt másfél-két évben elért kutatási eredményeim szerint a fizikai téridő geometriai jellege szerint háromosztatú egységet alkot: egymáshoz (a lokális éterhez mért v sebesség

Részletesebben

Regressziószámítás alkalmazása kistérségi adatokon

Regressziószámítás alkalmazása kistérségi adatokon Lengyel I. Lukovics M. (szerk.) 2008: Kérdıjelek a régiók gazdasági fejlıdésében. JATEPress, Szeged, 264-287. o. Regressziószámítás alkalmazása kistérségi adatokon Szakálné Kanó Izabella 1 A lokális térségek

Részletesebben

járta, aprít ó é s tuskófuró a NEFA G fejlesztésében

járta, aprít ó é s tuskófuró a NEFA G fejlesztésében ható, max. 140 cm munkaszélességre és 15 25 cm-es munkamélységre készült. A gép üzem próbájára ez évben kerül sor. A műveletcentrkus egyed gépkalakítások mellett nem mondtunk le egy bázsgép rendszerű csemetekert

Részletesebben

VARIANCIAANALÍZIS (szóráselemzés, ANOVA)

VARIANCIAANALÍZIS (szóráselemzés, ANOVA) VARIANCIAANAÍZIS (szóráselemzés, ANOVA) Varancaanalízs. Varancaanalízs (szóráselemzés, ANOVA) Adott: egy vagy több tetszőleges skálájú független változó és egy legalább ntervallum skálájú függő változó.

Részletesebben

Felhasználói kézikönyv

Felhasználói kézikönyv GC961NP2 NA5HLL-HUN 5/18/04 12:14 PM Page 1 Felhasználó kézkönyv Vdeomagnetofon Modell: LV4981 LV4961 LV4480 LV4260 LV4280 Hungaran Czech Serban Croatan Slovak Bulgaran Englsh PAL Az új vdeokészülék csatlakoztatása,

Részletesebben

A csõdelõrejelzés és a nem fizetési valószínûség számításának módszertani kérdéseirõl

A csõdelõrejelzés és a nem fizetési valószínûség számításának módszertani kérdéseirõl MÛHELY Közgazdasági Szemle, LV. évf., 2008. május (441 461. o.) KRISTÓF TAMÁS A csõdelõrejelzés és a nem fizetési valószínûség számításának módszertani kérdéseirõl A Bázel 2 tõkeegyezmény magyarországi

Részletesebben

s n s x A m és az átlag Standard hiba A m becslése Információ tartalom Átlag Konfidencia intervallum Pont becslés Intervallum becslés

s n s x A m és az átlag Standard hiba A m becslése Információ tartalom Átlag Konfidencia intervallum Pont becslés Intervallum becslés A m és az átlag Standard hba Mnta átlag 1 170 Az átlagok szntén ngadoznak a m körül. s x s n Az átlagok átlagos eltérése a m- től! 168 A m konfdenca ntervalluma. 3 166 4 173 x s x ~ 68% ~68% annak a valószínűsége,

Részletesebben

CRT Monitor gammakarakteriszikájának

CRT Monitor gammakarakteriszikájának Budapest Műszak és Gazdaságtudomány Egyetem Mechatronka, Optka és Gépészet Informatka Tanszék CRT Montor gammakarakterszkájának felvétele 9. mérés Mérés célja: Számítógéppel vezérelt CRT montor gamma karaktersztkájának

Részletesebben

ALAKOS KÖRKÉS PONTOSSÁGI VIZSGÁLATA EXCEL ALAPÚ SZOFTVERREL OKTATÁSI SEGÉDLET. Összeállította: Dr. Szabó Sándor

ALAKOS KÖRKÉS PONTOSSÁGI VIZSGÁLATA EXCEL ALAPÚ SZOFTVERREL OKTATÁSI SEGÉDLET. Összeállította: Dr. Szabó Sándor MISKOLCI EGYETEM Gépgyártástechnológa Tanszék Mskolc - Egyetemváros ALAKOS KÖRKÉS PONTOSSÁGI VIZSGÁLATA EXCEL ALAPÚ SZOFTVERREL OKTATÁSI SEGÉDLET Összeállította: Dr. Szabó Sándor A orgácsoló megmunkálásokhoz

Részletesebben

VALLALKQZÁSf SZERZ Ő DES ESPAN Nyugat-dunántúli Regionális Energia Stratégia és a három kistérség i energetikai koncepció kidolgozása tárgyban "

VALLALKQZÁSf SZERZ Ő DES ESPAN Nyugat-dunántúli Regionális Energia Stratégia és a három kistérség i energetikai koncepció kidolgozása tárgyban VALLALKQZÁSf SZERZ Ő DES ESPAN Nyugat-dunántúl Regonáls Energa Stratéga és a három kstérség energetka koncepcó kdolgozása tárgyban " Amely létrejött egyrészrő l a Nyugat-dunántúl Regonáls Fejlesztés Ügynökség

Részletesebben

d(f(x), f(y)) q d(x, y), ahol 0 q < 1.

d(f(x), f(y)) q d(x, y), ahol 0 q < 1. Fxponttétel Már a hétköznap életben s gyakran tapasztaltuk, hogy két pont között a távolságot nem feltétlenül a " kettő között egyenes szakasz hossza" adja Pl két település között a távolságot közlekedés

Részletesebben

Valószín ségelmélet házi feladatok

Valószín ségelmélet házi feladatok Valószín ségelmélet házi feladatok Minden héten 3-4 házi feladatot adok ki. A megoldásokat a következ órán kell beadni, és kés bb már nem lehet pótolni. Csak az mehet vizsgázni, aki a 13 hét során kiadott

Részletesebben

4. sz. Füzet. A hibafa számszerű kiértékelése 2002.

4. sz. Füzet. A hibafa számszerű kiértékelése 2002. M Ű S Z A K I B I Z O N S Á G I F Ő F E L Ü G Y E L E 4. sz. Füzet A hibafa számszerű kiértékelése 00. Sem a Műszaki Biztonsági Főfelügyelet, sem annak nevében, képviseletében vagy részéről eljáró személy

Részletesebben

Mérési adatok feldolgozása. 2008.04.08. Méréselmélet PE_MIK MI_BSc, VI_BSc 1

Mérési adatok feldolgozása. 2008.04.08. Méréselmélet PE_MIK MI_BSc, VI_BSc 1 Mérés adatok feldolgozása 2008.04.08. Méréselmélet PE_MIK MI_BSc, VI_BSc Bevezetés A mérés adatok külöböző formába, általába ömlesztve jeleek meg Ezeket az adatokat külöböző szempotok szert redez kértékel

Részletesebben

~ C ~' 11 110 f1/7 /~ f.\

~ C ~' 11 110 f1/7 /~ f.\ ' ' ' r ~~ / / _-f';/" d -\--- r -A~0\ ~ : :Oszolo Általános skola skolakönyvára' : " :543 Tszafödváro; Öszolo Fo Út 3-5. szám : : : DO D D = = D D l ' ;[ T r...) ~~7 ft'\ \ ( 'ú [L V 7cll m Ve' rn) ~

Részletesebben

ALGORITMUSOK ÉS BONYOLULTSÁGELMÉLET Matematika MSc hallgatók számára. 3. Előadás

ALGORITMUSOK ÉS BONYOLULTSÁGELMÉLET Matematika MSc hallgatók számára. 3. Előadás ALGORITMUSOK ÉS BONYOLULTSÁGELMÉLET Matematika MSc hallgatók számára 3. Előadás Előadó: Hajnal Péter Jegyzetelő: Sallai Gyöngyi 2011. február 15. 1. Eldöntő Turing-gépek Emlékeztető. L Σ nyelv pontosan

Részletesebben

(eseményalgebra) (halmazalgebra) (kijelentéskalkulus)

(eseményalgebra) (halmazalgebra) (kijelentéskalkulus) Valószínűségszámítás Valószínűség (probablty) 0 és 1 között valós szám, amely egy esemény bekövetkezésének esélyét fejez k: 0 - (sznte) lehetetlen, 0.5 - azonos eséllyel gen vagy nem, 1 - (sznte) bztos

Részletesebben

Hazánkban jelentõs múlttal rendelkeznek a klasszikus tesztelméleti módszerekkel

Hazánkban jelentõs múlttal rendelkeznek a klasszikus tesztelméleti módszerekkel Iskolakultúra 2008/1 2 Molnár Gyöngyvér SZTE, Pedagógia Tanszék, MTA-SZTE Képességkutató Csoport A Rasch-modell kiterjesztése nem dichotóm adatok elemzésére: a rangskálás és a parciális kredit modell A

Részletesebben

Kockázati folyamatok. Sz cs Gábor. Szeged, 2012. szi félév. Szegedi Tudományegyetem, Bolyai Intézet

Kockázati folyamatok. Sz cs Gábor. Szeged, 2012. szi félév. Szegedi Tudományegyetem, Bolyai Intézet Kockázati folyamatok Sz cs Gábor Szegedi Tudományegyetem, Bolyai Intézet Szeged, 2012. szi félév Sz cs Gábor (SZTE, Bolyai Intézet) Kockázati folyamatok 2012. szi félév 1 / 48 Bevezetés A kurzus céljai

Részletesebben

2012.03.01. Méréselmélet PE_MIK MI_BSc, VI_BSc 1

2012.03.01. Méréselmélet PE_MIK MI_BSc, VI_BSc 1 Mérés adatok feldolgozása 202.03.0. Méréselmélet PE_MIK MI_BSc, VI_BSc Bevezetés A mérés adatok külöböző formába, általába ömlesztve jeleek meg Ezeket az adatokat külöböző szempotok szert redez kértékel

Részletesebben

Könczöl Erzsébet. A vállalati értéknövelés helye a magyar középvállalatok stratégiai célrendszerében

Könczöl Erzsébet. A vállalati értéknövelés helye a magyar középvállalatok stratégiai célrendszerében Könczöl Erzsébet A vállalati értéknövelés helye a magyar középvállalatok stratégiai célrendszerében Üzleti Gazdaságtan Tanszék Témavezető: Dr. Chikán Attila Minden szerzői jog fenntartva Budapesti Corvinus

Részletesebben

Foglalkoztatáspolitika. Modellek, mérés.

Foglalkoztatáspolitika. Modellek, mérés. Foglalkoztatáspoltka. Modellek, mérés. Galas Péter Budapest, 20 Galas Péter, 20 Kézrat lezárva: 20. júnus Bevezetés A tananyag célja a foglalkoztatáspoltka közgazdaságtan szempontú elemzésében és értékelésében

Részletesebben

Mágneses jelenségek. 1. A mágneses tér fogalma, jellemzői

Mágneses jelenségek. 1. A mágneses tér fogalma, jellemzői . mágneses tér fogama, jeemző Mágneses jeenségek mágneses tér jeenségenek vzsgáatakor a mozgó vamos tötések okozta jeenségekke fogakozunk mozgó vamos tötések (áram) a körüöttük évő teret küöneges áapotba

Részletesebben

FOKOZAT NÉLKÜLI KAPCSOLT BOLYGÓMŰVES

FOKOZAT NÉLKÜLI KAPCSOLT BOLYGÓMŰVES ISKOLCI EGYETE GÉÉSZÉRNÖKI- ÉS INFORATIKAI KAR FOKOZAT NÉLKÜLI KACSOLT BOLYGÓŰVES SEBESSÉGVÁLTÓK TERVEZÉSI KÉRDÉSEI.D. ÉRTEKEZÉS KÉSZÍTETTE: Czégé Levente Ol. géészménö SÁLYI ISTVÁN GÉÉSZETI TUDOÁNYOK

Részletesebben

Sztochasztikus folyamatok 1. házi feladat

Sztochasztikus folyamatok 1. házi feladat Sztochasztikus folyamatok 1. házi feladat 1. Egy borfajta alkoholtartalmának meghatározására méréseket végzünk. Az egyes mérések eredményei egymástól független valószínûségi változók, melyek normális eloszlásúak,

Részletesebben