Az elektromos kölcsönhatás

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "Az elektromos kölcsönhatás"

Átírás

1 TÓTH.: lektrosztatka/ (kbővített óravázlat) z elektromos kölcsönhatás Rég tapasztalat, hogy megdörzsölt testek különös erőket tudnak kfejten. Így pl. megdörzsölt műanyagok (fésű), megdörzsölt üveg- vagy ebontrúd papírdarabokat, apró porszemcséket, hajszálakat képes magához vonzan, de a tapasztalat szernt a megdörzsölt testek között taszítás s felléphet. dörzsöléssel lyen különleges állapotba hozott testek által kfejtett erőket nem tudjuk megmagyarázn semmlyen mechanka jellegű vagy gravtácós kölcsönhatással. dörzsölés révén tehát az anyagnak egy új tulajdonsága válk érzékelhetővé, amely egy eddg smeretlen kölcsönhatást okoz. zt a kölcsönhatást elektromos- vagy elektrosztatkus kölcsönhatásnak, az anyagnak az elektromos kölcsönhatást okozó sajátságát elektromos töltésnek nevezzük. lektromos erőhatások, az elektromos töltés z elektromos kölcsönhatás megsmeréséhez először az elektromos állapotba hozott testek között fellépő erőhatásokat kell tanulmányozn, mert csak így smerhetjük meg a kölcsönhatást okozó elektromos töltések sajátságat, és így juthatunk el az elektromos kölcsönhatás számszerű leírásához. legegyszerűbb a nyugvó (sztatkus) elektromos töltések között fellépő erőket vzsgáln. Értelemszerűen az elektromos jelenségek kutatásának ezt a területét elektrosztatkának nevezzük. z erőhatásokkal kapcsolatos alapkísérletek egyszerű eszközökkel végrehajthatók. KÍSÉRLT_: Bőrrel megdörzsölt üvegrúd, szőrmével megdörzsölt ebontrúd apró tárgyakat magához vonz, majd eltaszítja azokat. z üvegrúd dörzsölésére használt bőr és az ebontrúd dörzsölésére használt szőrme ugyanlyen erőhatásokat fejt k. KÍSÉRLT_: Üvegrudakat bőrrel, ebontrudakat szőrmével dörzsölünk meg, és megfgyeljük a megdörzsölt rudak lletve a dörzsölő anyagok között fellépő kölcsönhatásokat. hhez a üvegrudat és ebontrudat vízszntes helyzetben felfüggesztünk egy cérnaszálra, majd ezek egyk végéhez egy másk megdörzsölt testet közelítünk. kkor a kölcsönhatás matt a felfüggesztett rúd elfordul. kölcsönható párok között az alább erőhatásokat tapasztaljuk: üveg - üveg kölcsönhatás: taszítás üveg - üveget dörzsölő bőr kölcsönhatása: vonzás ebont ebont kölcsönhatás: taszítás ebont ebontot dörzsölő szőrme kölcsönhatása: vonzás üveg - ebont kölcsönhatás: vonzás üveg - ebontot dörzsölő szőrme kölcsönhatása: taszítás ebont üveget dörzsölő bőr kölcsönhatása: taszítás kísérletek alapján a jelenségeket megpróbáljuk értelmezn: görögök kb. 500 évvel ezelőtt már tapasztalták, hogy a megdörzsölt borostyán könnyű tárgyakat (tollphe, szalmaszál) magához vonz. borostyán görög neve elektron : nnen ered az elektron és az elektromosság elnevezés. továbbakban az elektromos töltés kfejezés helyett gyakran a rövdebb töltés kfejezést használjuk.

2 TÓTH.: lektrosztatka/ (kbővített óravázlat) dörzsölés az összedörzsölt két testet olyan állapotba hozza, amely valam erőkfejtésre képes anyag dolog megjelenésével jár együtt, ezt nevezzük elektromos töltésnek. kísérletek csak úgy értelmezhetők, ha kétféle elektromos töltést tételezünk fel: az egyk fajta töltés az összedörzsölt testek egykén-, a másk fajta töltés a máskon jelenk meg. Megállapodás szernt a bőrrel megdörzsölt üvegrúdon megjelenő töltést poztívnak, a szőrmével megdörzsölt ebont töltését negatívnak nevezzük. z azonos előjelű töltések taszítják egymást, az ellenkező előjelűek vonzzák egymást, ennek alapján feltételezhető, hogy az üvegrudat dörzsölő bőrön negatív töltés van, az ebontot dörzsölő szőrmén pedg poztív. Mvel a magukra hagyott testek normáls körülmények között (dörzsölés nélkül) általában elektromos erőhatásokat nem fejtenek k egymásra, fel kell tételeznünk, hogy az anyagokban azonos mennységű poztív és negatív töltés van, amelyek egymás hatását semlegesítk, ezért kfelé az anyagok elektromos töltése nem érzékelhetők. dörzsölés hatására fellépő elektromos jelenségeket eszernt úgy értelmezhetjük, hogy a dörzsölés szétválasztja az anyagban azonos mennységben található poztív és negatív töltéseket, így az összedörzsölt testek egykén többlet poztív-, a máskon többlet negatív töltés jelenk meg. szétválasztott töltések között erőhatás lép fel, amt a töltést hordozó testek kölcsönhatásaként érzékelünk. Ma már azt s tudjuk, hogy az elektromos töltéseket a föld anyagot alkotó két elem részecske, a proton és az elektron hordozza. zek közül a proton töltése poztív (ez jelenk meg a megdörzsölt üvegrúdon), az elektroné pedg negatív (ez jelenk meg a megdörzsölt ebontrúdon). z elektromos töltések tovább tulajdonságat szntén egyszerű kísérletekkel vzsgálhatjuk meg. KÍSÉRLT_3: Cérnaszálra felfüggesztett sztanollemezt (alumínum fólát) a megdörzsölt üvegrúd vagy ebontrúd magához vonzza, majd eltaszítja. taszítás oka az, hogy a fémlemez a megdörzsölt rúd töltését átvesz, tehát a rúddal azonos töltésűre feltölthető. zt, hogy a dörzsölésnél töltésszétválasztás történk, az s mutatja, hogy az üvegrúddal poztívra feltöltött sztanollemezt a dörzsölő bőr vonzza (a bőrön tehát negatív töltés maradt), az ebonttal negatívra feltöltött sztanollemezt a dörzsölő szőrme vonzza (a szőrmén poztív töltés maradt). KÍSÉRLT_4: töltések jelenlétének kmutatására szolgáló egyszerű eszközök az ábrán látható elektroszkópok. zek két vékony, hajlékony fémlemezből (pl. alumínum fóla; a) ábra) vagy cérnaszálakra felfüggesztett két bodzabél (hungarocell) golyóból (b) ábra) állnak, amelyeket egyk végükön egy fém tartón egymáshoz rögzítünk. Ha a közös végre töltést vszünk, a lemezek lletve a bodzabél golyók a közöttük fellépő taszítás matt egymástól eltávolodnak, szétágaznak. a) b) z elnevezés B. Franklntól származk, ak a poztív és negatív számokat tekntette mntának: az ellenkező előjelű töltések egymás hatását koltják, ugyanúgy, ahogy a poztív és negatív számok összeadva egymást megsemmsítk.

3 TÓTH.: lektrosztatka/ (kbővített óravázlat) 3 zeknek az eszközöknek komolyabb mérésre s alkalmas változata az elektrométerek. zek lényegében egy fémvázból () és a hozzá vízszntes tengellyel csatlakozó, mutatóként működő, vékony fémrúdból () állnak. z eszközt a zavaró külső hatások kküszöbölése érdekében egy fém házban (3) helyezk el, amelyet a fémváztól elszgetelnek (4). z elektroszkóp töltetlen állapotában a mutató függőlegesen lóg (a) ábra). Ha a fémváz tetején lévő fémgömbre töltést vszünk fel, akkor az fémváz és a mutató ugyanolyan előjelű töltést kap, így köztük taszítás lép fel. nnek következtében a mutató eltávolodk a fémváztól, elfordul a tengelye körül, és jelz a töltés jelenlétét (b) ábra). mutató ktérését egy mögötte elhelyezett skálán (5) leolvashatjuk, így az eszköz durván a felvtt a töltés nagyságát s jelz. KÍSÉRLT_5: Két elektrométert egymás mellé helyezünk, és az alább kísérleteket végezzük el. z egyk elektrométert feltöltjük, majd a töltött és töltetlen elektrométer gömbjet fémrúddal összekötjük. kkor az eredetleg töltetlen elektrométer s töltést mutat, vagys a töltés bzonyos anyagokkal egyk helyről a máskra elvezethető. zokat az anyagokat, amelyek a töltést képesek elvezetn vezetőknek nevezzük (lyenek pl. a fémek). Környezetüktől elszgetelt vezetők dörzsöléssel vagy a hozzájuk érntett, töltött állapotba hozott (megdörzsölt) anyagokkal feltölthetők (a környezettől való elszgetelés fontos, mert a felvtt többlet-töltések csak ekkor maradnak meg a vezetőn). Ha a töltött- és töltetlen elektrométert farúddal kötjük össze, akkor a töltetlen elektrométer továbbra s töltetlen marad, nncs töltésvándorlás. Vannak tehát olyan anyagok, amelyek a töltést nem vezetk. zeket szgetelőknek nevezzük. Dörzsöléssel a szgetelőkön tudunk töltéseket könnyen felhalmozn, mert a szgetelőkről a szétválasztott töltések nem vezetődnek el. Ha a két elektrométerre ellenkező előjelű töltést vszünk, majd azokat vezetővel összekötjük, akkor mndkét elektrométer töltése csökken: a kétféle töltés kompenzálja egymás hatását a) b) KÍSÉRLT_6: lektromos megosztás: Két töltetlen elektrométert vezető rúddal kötünk össze, és az egykhez feltöltött üvegrudat (poztív töltés) közelítünk. kkor mndkét elektrométer töltést mutat. Ha az üvegrudat eltávolítjuk az elektrométer közeléből, akkor az elektrométerek töltése eltűnk. zt a jelenséget annak a megfgyelésnek a segítségével érthetjük meg, hogy vezetőkben a töltések könnyen elmozdulhatnak: a két elektrométerből és az összekötő rúdból álló összefüggő vezetőben a poztív töltésű üvegrúd a negatív töltéseket a rúdhoz közel elektrométerre vonzza, a távol elektrométeren pedg poztív töltés marad. Így mndkét elektrométer töltést jelez. vezetőkben a közelükben elhelyezett töltések által okozott lyen töltésszétválást elektromos megosztásnak nevezk. megosztó hatás megszűnése után a töltések vsszarendeződnek eredet állapotukba.

4 TÓTH.: lektrosztatka/ (kbővített óravázlat) 4 KÍSÉRLT_7: megosztott töltések szétválaszthatók, és újra egyesíthetők: z összekötő vezető rudat a megosztott rendszerről levéve, a szétválasztott töltés megmarad az elektrométereken. két elektrométert újra vezetővel összekötve, a megosztott töltések semlegesítk egymást, a töltés mndkét elektrométerről eltűnk. KÍSÉRLT_8: Töltés előjelének meghatározása elektrométerrel a megosztás jelensége alapján: lektrométert smert töltéssel látunk el, majd smeretlen előjelű töltést közelítünk hozzá. kkor a megosztás matt a ktérés nő, ha az smeretlen töltés előjele megegyezk ez elektrométerével, ellenkező előjelű töltésnél a ktérés csökken. z elektrosztatkus kölcsönhatás számszerűsítése, a Coulomb-törvény z elektromos töltések kölcsönhatásának számszerű vzsgálatát először Coulomb (785) végezte el. mérés során töltött vezető gömbök kölcsönhatását mérte az gen ks erők mérésére alkalmas torzós mérleggel. torzós mérleg vékony, rugalmas szálra súlyzószerű elrendezésben, a "súlyzó" tömegközéppontjánál felfüggesztett két azonos méretű fémgömb (ábra). Ha a szál elég vékony, akkor a "súlyzó" egyk gömbjére ható gen ks erő esetén s mérhető módon elfordul. z elfordulás során a rugalmas szálban egy vsszatérítő nyomaték lép fel, amely arányos a szögelfordulással. matt a vsszatérítő nyomaték egy meghatározott szögelfordulásnál kompenzálja a súlyzóra ható erő nyomatékát, és egyensúly alakul k. vsszatérítő nyomaték a szögelfordulásból meghatározható, abból pedg a súlyzóra ható smeretlen erő kszámítható. Coulomb-féle mérésnél a fémgömbök egykére vtték fel (pl. megdörzsölt üvegrudat érntve hozzá) a kölcsönható töltések egykét (Q ), és ennek közelében helyezték el a másk töltött testet (Q töltésű fémgömb). torzós mérleg a gömbök elektromos kölcsönhatása matt elfordul. Megmérve az elfordulás szögét, és smerve a felfüggesztő szál rugalmas tulajdonságat, a golyók között fellépő erő meghatározható. gömb választása azért szerencsés, mert gömbszmmetrkus a töltéseloszlás, am várhatóan leegyszerűsít a mérés kértékelését (később látn fogjuk, hogy a gömb egy pontszerű töltéssel azonos módon vselkedk) egy töltött gömböt ugyanolyan üres gömbhöz érntve a töltés felezhető, vagys mód van a töltés nagyságának mérésére. berendezésben változtatható a kölcsönható testek egymáshoz vszonyított helyzete, vagys tanulmányozható a vonzóerő távolságfüggése, és mód van arra s, hogy a mérést különböző nagyságú töltésekkel végezzük el. mérések szernt a kölcsönhatásnál fellépő erők nagysága arányos a kölcsönható töltések nagyságával, és fordítva arányos a töltések távolságának négyzetével. z ábra jelölésevel: QQ F = F ~. r F r Q Q F

5 TÓTH.: lektrosztatka/ (kbővített óravázlat) 5 Szgorúan véve a töltések r távolságának csak akkor van értelme, ha pontszerű töltésekről van szó, vagys ha a töltések mérete sokkal ksebb, mnt a köztük lévő távolság. Később látn fogjuk, hogy gömbszmmetrkus töltéseloszlásnál távolságként a gömbök középpontjanak távolsága használható. F z arányosság tényezőt K e -vel jelölve, az egyes töltésekre ható erő vektor alakban (ábra): u Q QQ r F = F = K e u r F Q z a Coulomb-törvény, ahol r a két test távolsága, u az testtől a testhez mutató egységvektor, Q és Q a testek elektrosztatkus kölcsönhatásának erősségét jellemző elektromos töltések, K e pedg egyelőre smeretlen arányosság tényező. törvény kfejez azt a tapasztalatot s, hogy azonos előjelű töltések ( Q Q > 0 ) taszítják, ellenkező előjelűek ( Q Q < 0 ) pedg vonzzák egymást. tapasztalat szernt a két kölcsönható töltésre ható erő ellentétes rányú és azonos nagyságú (Newton III. törvénye teljesül): F = -F. z a törvény akkor érvényes, ha a két kölcsönható test környezetében nncs más, a kölcsönhatást zavaró pl. elektromosan töltött test. z gyakorlatlag azt jelent, hogy a két töltés kölcsönhatását üres térben vákuumban kellene vzsgálnunk, hszen az anyagokat töltött részecskék építk fel, s ezek a töltések módosítják a kölcsönhatást. Kmutatható azonban, hogy a levegő módosító hatása gen kcs, így a méréseket levegőben végezve, gen jó közelítéssel megkapjuk a vákuumban érvényes törvényt. törvénnyel kapcsolatban két kérdés vetődk fel: m a Q egysége? menny a K e? zt a problémát, hogy egyetlen összefüggésből két új mennységet, a töltést és az arányosság tényezőt kell meghatároznunk, kétféleképpen oldhatjuk meg (ugyanezzel a problémával találkoztunk már Newton II. törvényénél s, ahol a két mennység a tömeg és az erő volt): önkényesen rögzítjük a töltés egységét (pl. egységként egy reprodukálható módon feltöltött test töltését választjuk). kkor a K e arányosság tényező mérés útján határozható meg: ha két, egymástól r =d távolságban lévő, egységny töltésű (Q egys ) test által Fd egymásra kfejtett F =F erőt megmérjük, akkor az arányosság tényezőt a K e = Qegys összefüggésből kapjuk meg. töltés ma használt, törvényben rögzített egysége (az ún. SI egység) Coulomb=C. töltés egységének lyen választása esetén két C nagyságú 9 töltés között m távolságban F = 9 0 N erő lép fel, ezért a Coulomb-törvényben szereplő arányosság tényezőre az SI rendszerben azt kapjuk, hogy N m 9 Nm K e = = 9 0. C C a másk lehetőség az, hogy önkényesen rögzítjük a K e állandót, ekkor Q egysége a Coulomb-törvényből származtatható. zt az eljárást követk a fzka bzonyos területen még ma s használatos elektrosztatkus CGS rendszerben. Itt önkényesen a K e = egység nélkül értéket választják, amből következk, hogy az elektromos töltés egysége: g / cm 3/ s -. töltések kölcsönhatására vonatkozó Coulomb-törvényt eredetleg levegőben állapították meg. Csak később derült k, hogy az anyag jelenléte módosítja a töltések kölcsönhatását. z s kderült azonban, hogy a levegőben kmért törvények a vákuumban érvényes törvényekkel gyakorlatlag azonosak. z C egységet az SI rendszerben az áramerősség egységéből ( ) származtatjuk: C= s.

6 TÓTH.: lektrosztatka/ (kbővített óravázlat) 6 Lényegében forma okokból (bzonyos alaptörvények egyszerűbb alakban írhatók fel) az SI rendszerben a K e helyett egy új konstanst vezetnek be (ε 0 ): K e = ε 0 =8.855*0 - C /Nm. 4πε 0 zzel a Coulomb-törvény az QQ F = u 4πε0 r alakot ölt. törvény nyugvó, pontszerű töltések (vagy gömbszmmetrkus töltéseloszlások) között vákuumban fellépő kölcsönhatást ír le. z elektrosztatkus erők jellege, elektromos erőtér és elektromos térerősség Ha egy Q ponttöltés környezetében bárhol elhelyezünk egy másk (q) ponttöltést, akkor arra a Coulomb-törvénynek megfelelő erő hat, vagys egy töltés maga körül a térben olyan fzka állapotot hoz létre, amelynek eredményeképpen bármlyen másk, odahelyezett töltésre elektrosztatkus erő hat. Rövdebben ezt úgy szokás megfogalmazn, hogy a Q elektromos töltés maga körül ún. elektrosztatkus- vagy elektromos erőteret hoz létre. zt, hogy valahol van-e elektromos erőtér, eszernt úgy állapíthatjuk meg, hogy a kérdéses helyre egy mérőtöltést teszünk, és ha erre erő hat, akkor ott az erőtér jelen van, ha nem hat erő, akkor nncs jelen. fent módszerrel tehát az erőtér létezését akkor s meg tudjuk állapítan, ha az erőteret létrehozó töltést nem smerjük. kérdés az, hogy lehet-e ezt az erőteret számszerűen s jellemezn. zt, hogy egy töltés környezetében mlyen "erősségű" erőtér jön létre, megpróbálhatjuk jellemezn például úgy, hogy a tér különböző pontjaban meghatározzuk egy önkényesen kválasztott pontszerű q poztív mérőtöltésre ható erőt (ennek a mérőtöltésnek olyannak kell lenne, hogy jelenléte ne befolyásolja az eredet vszonyokat). Vzsgáljuk meg, hogy mlyen ez az erő különböző töltéselrendeződések által létrehozott elektromos erőtérben. lőször egy Q poztív ponttöltés által létrehozott erőteret vzsgálunk. lkalmazzuk a Coulomb-törvényt erre az esetre. q mérőtöltésre ható erő eszernt Qq Q Fq = u = q u, 4πε 0 r 4πε 0 r ahol u az erőteret létrehozó töltéstől a mérőtöltés felé mutató egységvektor, r a kölcsönható töltések távolsága. Látható, hogy ez az erőhatás nemcsak az erőteret létrehozó Q töltésre jellemző, hanem a q mérőtöltéstől s függ. z s látható azonban, hogy az erőhatás nagysága arányos a mérőtöltés nagyságával: F q ~ q. Következő lépésként vzsgáljuk meg, hogy több ponttöltés által létrehozott erőtérben mlyen erő hat a q mérőtöltésre. zt az erőt megpróbálhatjuk elmélet úton, a szuperpozícó elve alapján kszámítan. szernt az elv szernt a kválasztott q mérőtöltésre az egyes töltések által kfejtett erőt nem befolyásolja a több töltés jelenléte, vagys mnden egyes erő úgy számítható k, mntha a több töltés ott sem lenne. tapasztalat azt mutatja, hogy ez az elv különleges esetektől eltekntve teljesül. nnek alapján a q töltésre ható eredő erőt úgy kaphatjuk meg, hogy az egyes töltések által egyenként kfejtett erőket vektorlag összeadjuk (ez látható az alább a) ábrán), vagys a Q, Q,,...Q... töltések által a mérőtöltésre kfejtett eredő erő (F e ) az alább módon kapható meg:

7 TÓTH.: lektrosztatka/ (kbővített óravázlat) 7 F q e = 4πε 0 r Q u. Látható, hogy az erő most s arányos a mérőtöltéssel, a Q u 4 πε 0 r arányosság tényező pedg csak az erőteret létrehozó töltésektől, továbbá a helytől függ. Hasonlóan járhatunk el, ha egy kterjedt testhez tartozó folytonos töltéseloszlás által létrehozott erőteret akarunk jellemezn, csak ekkor a kterjedt testet fel kell osztan gen kcs térfogatelemekre (b) ábra), és az ezekben foglalt töltések által a kszemelt pontszerű töltésre kfejtett erőket kell összegezn. Könnyen belátható, hogy az erő ekkor s arányos lesz a mérőtöltéssel. Fq z azt jelent, hogy a vzsgált esetekben, adott helyen az q u mennység független a mérőtöltéstől, csaks az erőteret létrehozó töltésekre jellemző. töltések által létrehozott erőtér hatásat tehát ezekben az esetekben az F q = q vektorral jellemezhetjük. zt, hogy ez a jellemző valóban mndg használható, kísérletleg kell megvzsgáln. tapasztalat szernt az elektrosztatkus kölcsönhatásra a szuperpozícó elve érvényes, és az előbb meggondolások általában s helyesek. Mndezek alapján az elektromos erőtér jellemzésére bevezethetünk egy vektormennységet, az alább defnícóval: az elektromos töltések közelében létrejövő elektromos erőtérbe elhelyezünk egy pontszerűnek teknthető, az eredet vszonyokat elhanyagolható mértékben zavaró q poztív mérőtöltést, és meghatározzuk (megmérjük vagy kszámítjuk) a rá ható F q elektromos erőt. z elektromos erőtér jellemzésére az adott pontban az = q vektort használjuk, amelyet elektromos térerősségnek nevezünk, és ezt a defnícót mndenféle eredetű elektromos erőtér esetén érvényesnek tekntjük. defnícó alapján a térerősség mértékegységét s meghatározhatjuk, és arra azt kapjuk, hogy N/C. fentek alapján egy erőteret, amelyet valamlyen töltés maga körül létrehoz, úgy tudunk jellemezn, hogy az erőtér mnden pontjában megadjuk az elektromos térerősségvektort. Ha ezt megtettük, akkor ahhoz, hogy egy tetszőleges pontban elhelyezett töltésre ható erőt kszámítsuk, nncs szükségünk az erőteret létrehozó töltött objektumok smeretére, hszen azoknak az "erőkfejtő hatását" a térerősségvektor egyértelműen jellemz. (Például, egy térerősségű helyen elhelyezett q töltésre ható erő F e=q.) bben az értelemben tehát a térerősség-vektorokkal jellemzett erőtér hordozza az erőteret létrehozó objektumok hatásat. nnek alapján két töltött test kölcsönhatását úgy s felfoghatjuk, hogy az egyk maga körül létrehoz egy elektromos erőteret, és ez az erőtér hat a máskra: az erőtér közvetít a F q Q Q r Q u r q u r Q u Q Q (poztív) a) b) u F r F F r F q r F F u Q

8 TÓTH.: lektrosztatka/ (kbővített óravázlat) 8 kölcsönhatást. z a felfogás szemben áll azzal a korább elképzeléssel, amely szernt az egymástól távol elhelyezkedő töltések közvetlenül és azonnal hatnak egymásra (ez volt az ún. távolhatás elképzelés). bben a kérdésben csak a tapasztalat dönthet, az pedg azt mutatja, hogy ha valahol töltés jelenk meg, akkor az erőtér először a töltés közelében változk meg, és a változás véges sebességgel halad tovább, a hatásokat az erőtér véges sebességgel közvetít. töltés tehát közvetlenül az erőtérrel áll kapcsolatban, vagys a korább távolhatás elképzeléssel szemben ez az ún. közelhatás működk. térerősséget a defnícó alapján elvleg mérés segítségével határozhatjuk meg. Látn fogjuk azonban, hogy smert töltéselrendeződések által létrehozott térerősség k s számítható. Ha az erőteret pontszerű töltés hozza létre, akkor könnyű helyzetben vagyunk, hszen ekkor a mérőtöltésre ható erőt a Coulomb-törvényből kszámíthatjuk, és ebből a korábban megsmert módon a térerősségvektor helytől való függését s megkapjuk. Bonyolultabb esetekben a számításhoz a térerősségvektor tulajdonságanak megsmerése útján felállított általános törvényekre van szükség. z elektromos erőtér szemléltetése, erővonalkép z elektromos erőtérben a tér mnden pontjához tartozk egy vektor, az elektromos térerősségvektor, amely az elektromos erőteret (az ott fellépő erőhatást) jellemz. Sok esetben nagyon hasznos, ha az erőtér jellegét szemléletessé tudjuk tenn, vagys azt valamlyen módon ábrázoljuk. z erőtér szemléletes megjelenítésének egy lehetséges módja az, hogy különböző pontokhoz tartozó térerősségvektorokat lerajzoljuk, ahogy az pontszerű negatív- és poztív elektromos töltés által létrehozott erőtérben az ábrán látható. Így egy térerősség-térképet kapunk, amely az egyes pontokban mutatja a térerősség nagyságát és rányát. - nnél átteknthetőbb és hasznosabb ábrázolást kapunk a térerősségvonalak (másk szokásos elnevezéssel elektromos erővonalak)bevezetésével. térerősségvonalakat úgy kapjuk, hogy a berajzolt térerősségvektorokhoz olyan görbéket szerkesztünk, amelyekhez egy pontban húzott érntő az adott ponthoz tartozó térerősségvektor rányába mutat. térerősségvonalnak rányt s adunk, am megegyezk a hozzátartozó térerősségvektorok rányával. Más szóval, a térerősségvonal az elektromos erőtér "rányváltozásat" követ és szemléltet. z alább ábrán vázlatosan bemutatjuk az előző ábrán s szereplő ponttöltések (a) és b) ábra) és egymáshoz közel elhelyezett poztív és negatív elektromos töltés egy ún. dpólus (c) ábra) által létrehozott erőtér térerősségvonalat. dpólus esetén a térerősségvektor egy adott pontban a két töltés által létrehozott térerősségek vektor összegeként kapható meg a) b) c) d)

9 TÓTH.: lektrosztatka/ (kbővített óravázlat) 9 (alkalmazzuk a szuperpozícó elvét). Bemutatunk továbbá egy fontos szerepet játszó specáls esetet, amkor egy bzonyos térrészben a térerősségvektor nagysága és ránya mnden pontban azonos (d) ábra). z lyen erőteret, (vagy egy erőtér lyen tartományát) homogén erőtérnek nevezk. Homogén erőtérben a térerősségvonalak párhuzamos egyenesek. zeket az erővonalakat egyszerűbb esetekben (pl. ponttöltés vagy ponttöltésekből álló töltésrendszerek) esetén meghatározhatjuk a térerősségvektorok kszámításával, de az erővonalkép kísérletek segítségével s megvzsgálható. rre az ad lehetőséget, hogy szgetelő anyagszemcsék elektromos erőtérben dpólusokká válnak. Ha ezeket a dpólusokat folyadékba betéve mozgásképessé tesszük, akkor kölcsönhatásuk matt rendeződnek: a dpólusok beállnak a térerősség rányába, ugyanakkor ellentétes végükkel egymáshoz csatlakoznak, és láncokat képezve, dpólus-lánc krajzolják az elektromos erőtér erővonalat (ábra). KÍSÉRLT: gy üvegedénybe daraszemcséket tartalmazó olajat teszünk, majd az edény aljára ponttöltést, dpólust, síklapot vagy kondenzátort modellező fém elektródokat helyezünk el, és azokat feltöltjük (feszültséget kapcsolunk rájuk). kkor a daraszemcsék megmutatják a különböző töltések körül kalakuló elektromos erőtér erővonalat. z üvegedényt vetítő gépre téve, a kapott térerősség-ábra jól láthatóvá tehető. z alább ábrákon a valóságos képhez hasonló grafka látható, amely egy dpólus és két ellentétes töltésű, párhuzamos síklap elektromos erőterét mutatja. z ábrákon bemutatott esetek azt sugallják, hogy a térerősségvonalak sűrűségével az elektromos térerősség nagysága s jellemezhető. z erővonalábrákon ugyans vlágosan látható, hogy a térerősségvektor nagyságának csökkenése rányában haladva (pl. a ponttöltéstől távolodva) a térerősségvonalak rtkulnak. térerősségvonal-képbe elvleg tetszőleges számú térerősségvonalat berajzolhatunk, de célszerűnek látszk, hogy a térerősség nagyságának egyértelmű jellemzése érdekében valamlyen megállapodást fogadjuk el a berajzolt erővonalak sűrűségére vonatkozóan. z általánosan elfogadott megállapodás a következő: a térerősségvonal-képet mndg úgy szerkesztjük meg, hogy bármely pontban a térerősségvonalakra merőleges egységny felületet anny térerősségvonal metssze át, amenny ott a térerősségvektor számértéke. z más szóval azt jelent, hogy a térerősség számértéke az egységny (térerősségre merőleges) felületen átmenő erővonalak számát adja meg. szernt a megállapodás szernt egy elektromos erőtérben az térerősségű helyen a térerősségvonalakra merőleges N nagyságú felületen át rajzolandó erővonalak N számát az N ( ) számért. = ( N ) számért. összefüggésből kaphatjuk meg: N = ( ) ( számért. N ) számért

10 TÓTH.: lektrosztatka/ (kbővített óravázlat) 0 z lyen módon elkészített térerősségvonal-képről a térerősség nagysága az ábrán látható módon olvasható le. = N/C Nylvánvaló, hogy homogén erőtérben egy adott helyen a =3 N/C fent szabály szernt megrajzolt erővonalsűrűség a tér bármelyk pontjában ugyanaz lesz, és a térerősségre merőleges felületet átmetsző erővonalak száma a fent Q módon tetszőleges méretű felület esetén kszámítható. Felmerül azonban a kérdés, hogy nem homogén erőtérben (pl. egy ponttöltés erőterében) gaz-e az, hogy ha egy adott helyen a szabály szernt megrajzoljuk az erővonalakat, majd ezeket meghosszabbítjuk, akkor az erővonalkép másutt s meg fog feleln a szabálynak? Próbáljuk megrajzoln a fent defnícó alapján egy pontszerű, poztív Q ponttöltés körül kalakuló erőtér erővonalképét. hhez meg kell határoznunk, hogy a töltés elektromos erőterét szemléltető sugárrányú erővonalakat mlyen sűrűn kell berajzolnunk, hogy az erővonal-ábra a térerősség nagyságát s tükrözze. bben az erőtérben a térerősség sugárrányú és gömbszmmetrkus, a töltéstől r távolságban a térerősség mndenütt azonos nagyságú. Ha az egyszerűség kedvéért a térerősségre merőleges felületként a töltés körül elképzelt r sugarú gömbfelületet vesszük fel, akkor ennek a felületnek mnden egyes pontján a térerősség nagysága Q =. 4πε0 r Mvel a felület nagysága = 4r π, a berajzolandó erővonalak száma N Q N ( N ) számért. 4r 4 0 r = = π =. πε számért. ε 0 számért. Vegyük észre, hogy a szükséges erővonalak száma nem függ r-től, ezért a berajzolandó erővonalak száma a ponttöltéstől mért tetszőleges távolságban ugyananny. z azt jelent, hogy egy adott helyen a szabály szernt berajzolt erővonalak megszakítás nélkül továbbrajzolhatók, nem kell új erővonalakat bektatn vagy erővonalakat megszakítan. Érdemes megjegyezn, hogy ez az eredmény annak a specáls körülménynek a következménye, hogy pontszerű töltések elektrosztatkus kölcsönhatása és ennek következtében egy ponttöltés térerőssége /r -es távolságfüggést mutat. zért esk k a számolásból az r, vagys az erővonalszámnak az r-től való függése. Tovább meggondolásokból (és a tapasztalatból) az s kderül, hogy a fent megállapítás nem csak ponttöltések, hanem tetszőleges töltéseloszlások erőterére s gaz: az elektrosztatkus erőtér erővonala megszakítás nélkül, folytonos vonalakként rajzolhatók fel. fent számításból kderült, hogy egy poztív Q ponttöltésből összesen Q N e = ε 0 számért. számú erővonalnak kell knduln az erővonalak ábrázolására elfogadott szabály szernt, vagys a gömbfelületet metsző erővonalak száma arányos a gömbfelületen belül található Q töltés nagyságával. bből az a fontos következtetés adódk, hogy ha a Q ponttöltést nem gömb alakú, zárt felülettel vesszük körül, a felületet metsző erővonalak száma akkor s ugyananny lesz, tehát a fent összefüggés általában s érvényes. ( zárt felületre vonatkozóan tt anny megszorítás van, hogy az állítás csak olyan felületre gaz, amelyet a töltésből knduló bármely erővonal csak egyszer metsz.) Q m

11 TÓTH.: lektrosztatka/ (kbővített óravázlat) Ha a töltés negatív, akkor az erővonalak száma ugyanenny, csak most az erővonalak nem a töltésből ndulnak k, hanem abba érkeznek meg. Ha ugyanabban a pontban Q >0 poztív- és Q <0 negatív töltést helyezünk el, akkor az eredő térerősség nagyságát a töltésektől r távolságban az Q Q Q Q = = 4πε0 r 4πε0 r összefüggés adja meg. Ilyenkor a töltéselrendezésből knduló, és a töltéseket körülvevő zárt felületet metsző erővonalak száma Q Q Q Q Q Q N e = = =. ε 0 számért. ε 0 számért. ε 0 számért. ε 0 számért. ε 0 számért. z a szám úgy s felfogható, hogy a zárt felületből kfelé haladó erővonalak számát poztívnak-, a zárt felületbe befelé haladó erővonalak számát negatívnak tekntjük, és kszámítjuk az erővonalszámok algebra összegét (a kfelé- és befelé haladó erővonalak számának különbségét). llenkező előjelű ponttöltések egydejű jelenléte esetén tehát a töltéseket körülvevő felületet metsző erővonalak előjeles összege arányos a felületbe bezárt eredő töltéssel. Ha a zárt felületet metsző erővonalak számát nem pontszerű töltések esetén vzsgáljuk, akkor kderül, hogy a fent megállapítás tetszőleges töltéseloszlások erőterére s gaz. zt a tapasztalatot érdemes valamlyen praktkusan használható matematka formában megfogalmazn. hhez azonban szükség van egy olyan mennységre, amelynek segítségével automatkusan megkapható egy felületet egyk- lletve másk oldalról átmetsző erővonalak számának különbsége. z a mennység a fluxus, amt a következő pontban vezetünk be. Fluxus elektromos erőtérben, az elektrosztatkus erőtér II. alaptörvénye felületet metsző erővonalakat előjelesen összeszámláló a mennységet az egyszerűség kedvéért először homogén elektromos erőtérben vezetjük be. z homogén erőtérben a térerősségre merőleges felületet (ábra) átmetsző erővonalak számát megadó mennység az elektromos erőtérnek az felületre vonatkozó fluxusa, és jelölésére rendszernt a Φ szmbólumot használják: z alsó ndex arra utal, hogy ez az elektromos térerősség fluxusa, a felső ndex pedg azt mutatja, hogy a fluxus az felületre vonatkozk. z így defnált fluxus a szemléletes jelentését megadó erővonalszámtól eltérően nem dmenzó nélkül szám, hanem Nm /C egységben megadott fzka mennység. vzsgált felület azonban nem mndg merőleges a térerősségre. Ilyenkor a fluxust (és a felületet metsző erővonalak számát) úgy kapjuk meg, hogy a felületnek a térerősségre N N merőleges N vetületét szorozzuk meg a térerősséggel (a) ábra) α Φ = N = cosα. bben az esetben a fluxus kszámítása úgy s történhet, hogy a felület állását a felületre merőleges u N egységvektorral adjuk meg α u N (b) ábra). kkor a fent kfejezés úgy s a) b)

12 TÓTH.: lektrosztatka/ (kbővített óravázlat) felfogható, mnt az vektor és az u N vektor skalárs szorzata (ugyans α éppen e két vektor által bezárt szög): Φ = u cosα. N = legáltalánosabb és eléggé gyakor eset az, hogy az erőtér nem homogén, tehát a térerősség helyről-helyre változk, és a felület sem sík. Ilyenkor a szokásos eljárást követjük: a felületet olyan ks elem részekre ( ) osztjuk, amelyeken belül a térerősség ( ) már u N u 3 u N u N közelítőleg állandónak teknthető, és amely közelítőleg sík, tehát az állása megadható a rá merőleges u egységvektorral (a) ábra). z egyes felületelemekre vonatkozó fluxust így a N a) b) Φ = u N kfejezés adja meg. z a kfejezés rövdebben s felírható, ha bevezetjük a felületvektort: ezt olyan vektorként defnáljuk, amely merőleges a felületre, és nagysága a felület nagyságával egyenlő. szernt a felületelem felületvektora = u N. zzel a felületelemre vonatkozó fluxus (b) ábra) Φ =. teljes felületre vonatkozó fluxus közelítőleg az elem Φ fluxusok összege, vagys: Φ Φ. = ahol a felületelem sorszáma. z felületre vonatkozó fluxus pontos értékét úgy kapjuk meg, hogy a felület felosztását egyre fnomabbá tesszük (ekkor egyre nkább gaz lesz, hogy a felületelemen belül a térerősség már nem változk, és a felületelem síknak teknthető), és megkeressük az így kszámított összeg határértékét: Φ = lm Φ = lm = d. 0 0 matematkában az lyen határérték neve: az vektornak felületre vett felület ntegrálja, amelynek jelölésére az egyenlet jobboldalán álló ntegrál-szmbólumot használják. Kszámításának módszerevel a matematka foglalkozk, az általunk vzsgálandó egyszerű

13 TÓTH.: lektrosztatka/ (kbővített óravázlat) 3 esetekben azonban ezekre az smeretekre nem lesz szükségünk: ezt az ntegrál-szmbólumot a továbbakban egy gen fnom felosztáson végrehajtott összegzésként kezelhetjük. Ha a térerősségvonal-képet a tárgyalt megállapodás szernt rajzoljuk meg, akkor egyszerű esetekben az így defnált fluxus számértéke valóban megadja a felületelemet átmetsző térerősségvonalak számát. fluxus azonban több, mnt egyszerű térerősségvonal-szám: egyrészt azért, mert a fluxus láthatóan dmenzóval és egységgel rendelkező fzka mennység, amely az elektromos erőteret jellemz (tehát nem darabszám, mnt a metsző erővonalak száma), másrészt azért, mert a fluxusnak előjele van, hszen ha a térerősség és a felületvektor szöge α, akkor skalárs szorzat smert tulajdonsága matt a fluxus az α<90 0 esetben poztív, az α>90 0 esetben pedg negatív (az előző ábrán pl. az felületelemre vonatkozó fluxus poztív, a felületelemre vonatkozó fluxus pedg negatív). ddg a fluxust hallgatólagosan mndg nyílt (tehát egy görbével határolt, pl. téglalap alakú) felületekre értelmeztük. Vzsgáljuk meg most, hogy egy zárt felületre (pl. egy krumpl héjára) hogyan lehet a fluxust kszámítan. defnícó és az eljárás most s ugyanaz, mnt egy nyílt felület esetén, csak el kell döntenünk, hogy az egyes felületelemek felületvektorat a zárt felületbe befelé (a krumpl belseje felé) vagy onnan kfelé rányítjuk. ttől függn fog a kszámított fluxus előjele, de a nagysága nem. szokás az, hogy a felületvektort a zárt felületből kfelé mutató vektornak tekntk. szernt a defnícó szernt a zárt felületbe befelé mutató elektromos térerősség esetén a fluxus negatív, a felületből kfelé mutató térerősség esetén pedg poztív. teljes zárt felületre vonatkozó fluxust ezek után a korábbakhoz hasonlóan (elem felületekre vonatkozó fluxusok összegeként) kaphatjuk meg. zárt felület tényét a jelölésben s kemelk, a fluxust jelölő felület ntegrálban az ntegrál jelre egy kört rajzolnak: zárt Φ = d. fluxus geometra jelentésének (zárt felület) megfelelően ennek a mennységnek a Φ Ε >0 Φ Ε <0 számértéke a zárt felületet átmetsző erővonalak összegét adja meg. z az összeg azonban előjeles összeg: a zárt felület által határolt térfogatból (a krumplból) kfelé d (kfelé) mutató erővonalakat a fluxusban poztív előjellel, a térfogatba (a krumplba) kívülről Φ Ε =0 Φ Ε =0 befelé mutató erővonalakat pedg negatív előjellel vesszük fgyelembe. zért a zárt felületre vett fluxus számértéke a felület belsejéből klépő és a felület belsejébe belépő erővonalak számának a különbségét adja meg. z azt jelent, hogy egy zárt felületre vett fluxus csak akkor különbözhet nullától, ha a felületen belül erővonalak kezdődnek vagy végződnek, és a kezdődő és végződő erővonalak száma különböző. Szemléltetésül a mellékelt sematkus ábrán bemutatjuk a zárt felületre vett fluxus néhány esetét. Érdemes ezt a szemléletes de egyelőre csupán elmélet érdekességnek tűnő eredményt összevetn az elektromos erővonalakra vonatkozó tapasztalatokkal.

14 TÓTH.: lektrosztatka/ (kbővített óravázlat) 4 Mnd a térerősségre vonatkozó számítások (pl. ponttöltések esetén), mnd pedg a kísérletek azt mutatják, hogy az elektrosztatkus erőtérben az erővonalak töltéseken kezdődnek és töltéseken végződnek. Vagys egy zárt felületre vonatkozó fluxus akkor lesz nullától különböző, ha a felület töltést zár körül. kérdés az, hogy ez a fluxus hogyan függ a bezárt töltés nagyságától. rre a kérdésre egy specáls esetben már tudjuk a választ: láttuk, hogy egy Q ponttöltésből a Q ε 0 számértékével megegyező számú erővonal ndul k, tehát a töltést körülvevő felületet metsző erővonalak száma és a fluxus számértéke s enny. fluxus kszámításának gyakorlása kedvéért azonban most határozzuk meg, hogy egy poztív Q ponttöltés által keltett elektromos erőtérben menny a fluxus egy olyan r sugarú Q gömbfelületen, amelynek középpontja a töltéssel esk egybe r (ábra). d Mvel a ponttöltés erőterében a térerősség sugárrányú, és a gömbfelület bármely elem részének felületvektora s sugárrányú, a térerősség és a felületvektor a felület mnden helyén párhuzamos egymással. bből a skalárs szorzatra vonatkozó szabály szernt következk, hogy d = d. Másrészt a térerősség nagysága a gömbfelület mnden pontján ugyanakkora, tehát kemelhető, így a gömbfelületre vett fluxus: zárt Φ = d = d = d = 4 r π. z utolsó lépésben azt használtuk k, hogy a gömbfelület felületelemenek összege a gömb felületével egyenlő. fent kfejezésbe a ponttöltés smert térerősségét beírva a várakozásnak megfelelően a zárt Q Q Φ = d = 4r π = 4πε 0 r ε 0 eredményt kapjuk. Vagys ebben a specáls esetben a zárt felületre vett fluxus arányos a felület által bezárt ponttöltés nagyságával. (Itt látszk az ε 0 állandó bevezetésének egyk forma előnye: a törvényből kesett a 4π szorzó.) Korábban láttuk, hogy a szabályosan megrajzolt erővonalképen egy ponttöltésből knduló erővonalak száma csak a ponttöltés nagyságától függ. bből 4 következk, hogy a zárt felületet metsző erővonalak száma és 5 így a fluxus akkor sem változk meg, ha a töltést bezáró zárt felület alakját vagy elhelyezkedését megváltoztatjuk. zt szemléltet a mellékelt ábra, amelyen jól látható, hogy az eredet, koncentrkus gömbfelületet (), az eltolt gömbfelületet 3 () és egy tetszőleges alakú, a töltést körülvevő zárt felületet (3) metsző erővonalak előjeles összege (az ábrán 6), és így a fluxus s ugyanaz. Vagys a fent összefüggés tetszőleges alakú, a ponttöltést körülvevő felület esetén érvényes. Ha a zárt felületet úgy vesszük fel, hogy nem zárja körül a ponttöltést (4,5), akkor a térfogatba bemenő és az abból kmenő erővonalak száma megegyezk, és a fluxus nulla lesz. **************************************************** Itt már valóban tetszőleges alakú lehet a zárt felület. fluxus bevezetésével ugyans megszűnk az a probléma s, hogy bonyolultabb felület esetén egy erővonal kettőnél többször s metszhet a felületet: a zárt felület által határolt térfogatból klépő majd oda újra belépő erővonalak a fluxusban nem adnak járulékot. z látható a fent

15 TÓTH.: lektrosztatka/ (kbővített óravázlat) 5 ábra 3 felületénél, ahol a metszések előjeles összege a gömbfelületekhez hasonlóan 6, és az 5 felületnél, ahol ez az összeg nulla (nncs bezárt töltés). ******************************************************************* z s könnyen belátható, hogy több ponttöltés esetén az egyes töltések által keltett erőterekben a metsző erővonalak száma és így a fluxusok s összeadódnak, így a zárt felületre vett fluxus kfejezésében a zárt felület belsejében lévő töltések összege szerepel. Mvel pedg bármlyen töltésalakzat felosztható pontszerű töltésekre, az állítás tetszőleges töltésekre gaz. Ha a felületen belül negatív töltések s vannak, akkor azok a térfogatba befelé mutató térerősséget keltenek, és ennek az erőtérnek az erővonala a térfogatba befelé mutatnak. fluxus kszámításánál ezek negatív járulékot adnak, így végül megállapíthatjuk, hogy a zárt felületre vett fluxusban a felületen belül elhelyezkedő töltések előjeles összege ( Q ) szerepel, ezért érvényes az alább összefüggés = Q d. z összefüggés tetszőleges zárt felületre, és tetszőleges töltéseloszlásra gaz. zt a törvényt gyakran az elektrosztatka Gauss-törvényének, vagy az elektrosztatkus erőtér II. alaptörvényének nevezk. Ha a zárt felület nem zár be töltést vagy a bezárt töltések előjeles összege nulla, akkor a jobboldalon nulla áll: a zárt felületre vett fluxus nulla. törvény lényegében azt a tapasztalatot foglalja össze matematka formában, hogy az elektrosztatkus erőtérben az erővonalak töltéseken kezdődnek és végződnek, kezdő- és végpontjuk között pedg folytonos vonalak. z a megállapítás úgy s megfogalmazható, hogy az elektrosztatkus erőtér forrása a töltés. ********************* ************************ ********************** zárt z elektrosztatkus erőtérben egy zárt felületre vonatkozó Φ fluxust gyakran a zárt felület által határolt térrész forráserősségének nevezk. z elnevezés a fluxus geometra jelentésével hozható összefüggésbe. Ha a felület belsejében lévő eredő töltés poztív, akkor a forráserősség számértéke a térrészből klépő ott keletkező erővonalak számát adja meg, negatív eredő töltés esetén pedg a térrészbe bemenő ott eltűnő erővonalak számával egyenlő. Ha a zárt felületen belül folytonos eloszlású töltés van, akkor a teljes töltést a térfogat töltéssűrűség segítségével határozhatjuk meg. Ha egy elem V térfogatban Q töltés van, akkor ott a térfogat töltéssűrűség közelítő Q értéke ρ. töltéssűrűség egy pontban érvényes értékét úgy kapjuk meg, hogy a pont körül felvett V térfogatot egyre csökkentjük, és meghatározzuk a ρ = ε 0 lm V 0 Q V = dq dv határértéket. z az adott pontban a térfogat töltéssűrűség, amely előjeles mennység, előjele az adott helyen lévő töltés előjelével egyezk meg. Ha a töltéssűrűséget a zárt felület által határolt térfogat mnden pontjában smerjük, akkor a zárt felület által körülzárt Q töltés meghatározására a szokásos eljárást alkalmazzuk: a teljes V térfogatot elem osztjuk, a Q ρ V így kapott töltéseket összeadjuk (előjelesen): ρ. V térfogatokra = összefüggés segítségével kszámítjuk a töltést az egyes térfogatelemekben, majd az Q = Q V zzel megkaptuk a töltés közelítő értékét. töltés pontos értékét úgy határozhatjuk meg, hogy a V térfogat felosztását egyre fnomítjuk (az elem térfogatokat egyre ksebbre választjuk), és kszámítjuk a fent összeg határértékét, amelynek jelölésére az alább egyenlet jobboldalán álló szmbólumot használják: Q = lm ρ V = V 0 V ρdv.

16 TÓTH.: lektrosztatka/ (kbővített óravázlat) 6 z tt használt ntegrált a benne szereplő, helytől függő ( x, y,z) ρ függvény V térfogatra vett térfogat ntegráljának nevezk. gy lyen ntegrál kszámításának részletes szabályaval tt nem foglalkozunk, számunkra elegendő az ntegrál szemléletes, gen fnom felosztáson elvégzett összegzésként történő értelmezése. folytonos töltéseloszlásból származó töltésnek térfogat ntegrállal történő kszámításával az elektrosztatka Gauss-törvénye az általánosabb d = ρdv V alakba írható. ******************************************************************* ε 0

Az elektrosztatika törvényei anyag jelenlétében, dielektrikumok

Az elektrosztatika törvényei anyag jelenlétében, dielektrikumok TÓTH.: Dielektrikumok (kibővített óravázlat) 1 z elektrosztatika törvényei anyag jelenlétében, dielektrikumok z elektrosztatika alatörvényeinek vizsgálata a kezdeti időkben levegőben történt, és a különféle

Részletesebben

Darupályák ellenőrző mérése

Darupályák ellenőrző mérése Darupályák ellenőrző mérése A darupályák építésére, szerelésére érvényes 15030-58 MSz szabvány tartalmazza azokat az előírásokat, melyeket a tervezés, építés, műszak átadás során be kell tartan. A geodéza

Részletesebben

A mágneses tér energiája, állandó mágnesek, erőhatások, veszteségek

A mágneses tér energiája, állandó mágnesek, erőhatások, veszteségek A mágneses tér energája, állandó mágnesek, erőhatások, veszteségek A mágneses tér energája Egy koncentrált paraméterű, ellenállással és nduktvtással jellemzett tekercs Uáll feszültségre kapcsolásakor az

Részletesebben

Merev test mozgása. A merev test kinematikájának alapjai

Merev test mozgása. A merev test kinematikájának alapjai TÓTH : Merev test (kbővített óraválat) Merev test mogása Eddg olyan dealált "testek" mogását vsgáltuk, amelyek a tömegpont modelljén alapultak E aal a előnnyel járt, hogy nem kellett foglalkon a test kterjedésével

Részletesebben

1.Tartalomjegyzék 1. 1.Tartalomjegyzék

1.Tartalomjegyzék 1. 1.Tartalomjegyzék 1.Tartalomjegyzék 1 1.Tartalomjegyzék 1.Tartalomjegyzék...1.Beezetés... 3.A matematka modell kálasztása...5 4.A ékony lap modell...7 5.Egy más módszer a matematka modell kálasztására...10 6.A felületet

Részletesebben

Békefi Zoltán. Közlekedési létesítmények élettartamra vonatkozó hatékonyság vizsgálati módszereinek fejlesztése. PhD Disszertáció

Békefi Zoltán. Közlekedési létesítmények élettartamra vonatkozó hatékonyság vizsgálati módszereinek fejlesztése. PhD Disszertáció Közlekedés létesítmények élettartamra vonatkozó hatékonyság vzsgálat módszerenek fejlesztése PhD Dsszertácó Budapest, 2006 Alulírott kjelentem, hogy ezt a doktor értekezést magam készítettem, és abban

Részletesebben

Villamosságtan. Dr. Radács László főiskolai docens A3 épület, II. emelet, 7. ajtó Telefon: 12-13 elkrad@uni-miskolc.hu www.uni-miskolc.

Villamosságtan. Dr. Radács László főiskolai docens A3 épület, II. emelet, 7. ajtó Telefon: 12-13 elkrad@uni-miskolc.hu www.uni-miskolc. Vllamosságtan Dr. adács László főskola docens A3 épület,. emelet, 7. ajtó Telefon: -3 e-mal: Honlap: elkrad@un-mskolc.hu www.un-mskolc.hu/~elkrad Ajánlott rodalom Demeter Károlyné - Dén Gábor Szekér Károly

Részletesebben

Póda László Urbán János: Fizika 10. Emelt szintű képzéshez c. tankönyv (NT-17235) feladatainak megoldása

Póda László Urbán János: Fizika 10. Emelt szintű képzéshez c. tankönyv (NT-17235) feladatainak megoldása Póda László Urbán ános: Fizika. Emelt szintű képzéshez c. tankönyv (NT-75) feladatainak megoldása R. sz.: RE75 Nemzedékek Tudása Tankönyvkiadó, Budapest Tartalom. lecke Az elektromos állapot.... lecke

Részletesebben

METROLÓGIA ÉS HIBASZÁMíTÁS

METROLÓGIA ÉS HIBASZÁMíTÁS METROLÓGIA ÉS HIBASZÁMíTÁS Metrológa alapfogalmak A metrológa a mérések tudománya, a mérésekkel kapcsolatos smereteket fogja össze. Méréssel egy objektum valamlyen tulajdonságáról számszerű értéket kapunk.

Részletesebben

+ - kondenzátor. Elektromos áram

+ - kondenzátor. Elektromos áram Tóth : Eektromos áram/1 1 Eektromos áram tapasztaat szernt az eektromos tötések az anyagokban ksebb vagy nagyobb mértékben hosszú távú mozgásra képesek tötések egyrányú, hosszútávú mozgását eektromos áramnak

Részletesebben

8. Programozási tételek felsoroló típusokra

8. Programozási tételek felsoroló típusokra 8. Programozás tételek felsoroló típusokra Ha egy adatot elem értékek csoportja reprezentál, akkor az adat feldolgozása ezen értékek feldolgozásából áll. Az lyen adat típusának lényeges jellemzője, hogy

Részletesebben

mágnes mágnesesség irányt Föld északi déli pólus mágneses megosztás influencia mágneses töltés

mágnes mágnesesség irányt Föld északi déli pólus mágneses megosztás influencia mágneses töltés MÁGNESESSÉG A mágneses sajátságok, az elektromossághoz hasonlóan, régóta megfigyelt tapasztalatok voltak, a két jelenségkör szoros kapcsolatának felismerése azonban csak mintegy két évszázaddal ezelőtt

Részletesebben

É11. Nyugvó villamos mező (elektrosztatika) Cz. Balázs kidolgozása. Elméleti kérdések: 1.Az elektromos töltések fajtái és kölcsönhatása

É11. Nyugvó villamos mező (elektrosztatika) Cz. Balázs kidolgozása. Elméleti kérdések: 1.Az elektromos töltések fajtái és kölcsönhatása É11. Nyugvó villamos mező (elektrosztatika) Cz. Balázs kidolgozása Elméleti kérdések: 1.Az elektromos töltések fajtái és kölcsönhatása A testek elektromos állapotát valamilyen közvetlenül nem érzékelhető

Részletesebben

Bevezetés a kémiai termodinamikába

Bevezetés a kémiai termodinamikába A Sprnger kadónál megjelenő könyv nem végleges magyar változata (Csak oktatás célú magánhasználatra!) Bevezetés a kéma termodnamkába írta: Kesze Ernő Eötvös Loránd udományegyetem Budapest, 007 Ez az oldal

Részletesebben

Elektrosztatikai jelenségek

Elektrosztatikai jelenségek Elektrosztatikai jelenségek Ebonit vagy üveg rudat megdörzsölve az az apró tárgyakat magához vonzza. Két selyemmel megdörzsölt üvegrúd között taszítás, üvegrúd és gyapjúval megdörzsölt borostyánkő között

Részletesebben

Optikai elmozdulás érzékelő illesztése STMF4 mikrovezérlőhöz és robot helyzetérzékelése. Szakdolgozat

Optikai elmozdulás érzékelő illesztése STMF4 mikrovezérlőhöz és robot helyzetérzékelése. Szakdolgozat Mskolc Egyetem Gépészmérnök és Informatka Kar Automatzálás és Infokommunkácós Intézet Tanszék Optka elmozdulás érzékelő llesztése STMF4 mkrovezérlőhöz és robot helyzetérzékelése Szakdolgozat Tervezésvezető:

Részletesebben

MUNKAANYAG. Szabó László. Szilárdságtan. A követelménymodul megnevezése:

MUNKAANYAG. Szabó László. Szilárdságtan. A követelménymodul megnevezése: Szabó László Szilárdságtan A követelménymodul megnevezése: Kőolaj- és vegyipari géprendszer üzemeltetője és vegyipari technikus feladatok A követelménymodul száma: 047-06 A tartalomelem azonosító száma

Részletesebben

ALAKOS KÖRKÉS PONTOSSÁGI VIZSGÁLATA EXCEL ALAPÚ SZOFTVERREL OKTATÁSI SEGÉDLET. Összeállította: Dr. Szabó Sándor

ALAKOS KÖRKÉS PONTOSSÁGI VIZSGÁLATA EXCEL ALAPÚ SZOFTVERREL OKTATÁSI SEGÉDLET. Összeállította: Dr. Szabó Sándor MISKOLCI EGYETEM Gépgyártástechnológa Tanszék Mskolc - Egyetemváros ALAKOS KÖRKÉS PONTOSSÁGI VIZSGÁLATA EXCEL ALAPÚ SZOFTVERREL OKTATÁSI SEGÉDLET Összeállította: Dr. Szabó Sándor A orgácsoló megmunkálásokhoz

Részletesebben

Philosophiae Doctores. A sorozatban megjelent kötetek listája a kötet végén található

Philosophiae Doctores. A sorozatban megjelent kötetek listája a kötet végén található Phlosophae Doctores A sorozatban megjelent kötetek lstája a kötet végén található Benedek Gábor Evolúcós gazdaságok szmulácója AKADÉMIAI KIADÓ, BUDAPEST 3 Kadja az Akadéma Kadó, az 795-ben alapított Magyar

Részletesebben

13. Tárcsák számítása. 1. A felületszerkezetek. A felületszerkezetek típusai

13. Tárcsák számítása. 1. A felületszerkezetek. A felületszerkezetek típusai Tárcsák számítása A felületszerkezetek A felületszerkezetek típusa A tartószerkezeteket geometra méretek alapjá osztálozzuk Az eddg taulmáakba szereplı rúdszerkezetek rúdjara az a jellemzı hog a hosszuk

Részletesebben

III. Áramkör számítási módszerek, egyenáramú körök

III. Áramkör számítási módszerek, egyenáramú körök . Árakör száítás ódszerek, egyenáraú körök A vllaos ára a vllaos töltések rendezett áralása (ozgása) a fellépő erők hatására. Az áralás ránya a poztív töltéshordozók áralásának ránya, aelyek a nagyobb

Részletesebben

Mágneses jelenségek. 1. A mágneses tér fogalma, jellemzői

Mágneses jelenségek. 1. A mágneses tér fogalma, jellemzői . mágneses tér fogama, jeemző Mágneses jeenségek mágneses tér jeenségenek vzsgáatakor a mozgó vamos tötések okozta jeenségekke fogakozunk mozgó vamos tötések (áram) a körüöttük évő teret küöneges áapotba

Részletesebben

Elektrosztatika tesztek

Elektrosztatika tesztek Elektrosztatika tesztek 1. A megdörzsölt ebonitrúd az asztalon külön-külön heverı kis papírdarabkákat messzirıl magához vonzza. A jelenségnek mi az oka? a) A papírdarabok nem voltak semlegesek. b) A semleges

Részletesebben

Biostatisztika e-book Dr. Dinya Elek

Biostatisztika e-book Dr. Dinya Elek TÁMOP-4../A/-/-0-005 Egészségügy Ügyvtelszervező Szakrány: Tartalomfejlesztés és Elektronkus Tananyagfejlesztés a BSc képzés keretében Bostatsztka e-book Dr. Dnya Elek Tartalomjegyzék. Bevezetés a mátrok

Részletesebben

Budapesti Műszaki- és Gazdaságtudományi Egyetem Közlekedésmérnöki Kar Gépjárművek Tanszék

Budapesti Műszaki- és Gazdaságtudományi Egyetem Közlekedésmérnöki Kar Gépjárművek Tanszék Budapesti Műszaki- és Gazdaságtudományi Egyetem Közlekedésmérnöki Kar Gépjárművek Tanszék Gépjármű elektronika laborgyakorlat Elektromos autó Tartalomjegyzék Elektromos autó Elmélet EJJT kisautó bemutatása

Részletesebben

Elosztott rendszerek játékelméleti elemzése: tervezés és öszönzés. Toka László

Elosztott rendszerek játékelméleti elemzése: tervezés és öszönzés. Toka László adat Távközlés és Médanformatka Tanszék Budapest Műszak és Gazdaságtudomány Egyetem Eurecom Telecom Pars Elosztott rendszerek játékelmélet elemzése: tervezés és öszönzés Toka László Tézsfüzet Témavezetők:

Részletesebben

A bankközi jutalék (MIF) elő- és utóélete a bankkártyapiacon. A bankközi jutalék létező és nem létező versenyhatásai a Visa és a Mastercard ügyek

A bankközi jutalék (MIF) elő- és utóélete a bankkártyapiacon. A bankközi jutalék létező és nem létező versenyhatásai a Visa és a Mastercard ügyek BARA ZOLTÁN A bankköz utalék (MIF) elő- és utóélete a bankkártyapacon. A bankköz utalék létező és nem létező versenyhatása a Vsa és a Mastercard ügyek Absztrakt Az előadás 1 rövden átteknt a két bankkártyatársasággal

Részletesebben

Fizika belépő kérdések /Földtudományi alapszak I. Évfolyam II. félév/

Fizika belépő kérdések /Földtudományi alapszak I. Évfolyam II. félév/ Fizika belépő kérdések /Földtudományi alapszak I. Évfolyam II. félév/. Coulomb törvény: a pontszerű töltések között ható erő (F) egyenesen arányos a töltések (Q,Q ) szorzatával és fordítottan arányos a

Részletesebben

A semleges testeket a + és a állapotú anyagok is vonzzák. Elnevezés: töltés: a negatív állapotú test negatív töltéssel, a pozitív állapotú test

A semleges testeket a + és a állapotú anyagok is vonzzák. Elnevezés: töltés: a negatív állapotú test negatív töltéssel, a pozitív állapotú test Elektrosztatika Elektromos alapjelenségek Egymással szorosan érintkező ( pl. megdörzsölt) felületű anyagok a szétválás után elektromos állapotba kerülnek. Azonos elektromos állapotú anyagok taszítják egymást,

Részletesebben

Balogh Edina Árapasztó tározók működésének kockázatalapú elemzése PhD értekezés Témavezető: Dr. Koncsos László egyetemi tanár

Balogh Edina Árapasztó tározók működésének kockázatalapú elemzése PhD értekezés Témavezető: Dr. Koncsos László egyetemi tanár Balogh Edna Árapasztó tározók működésének kockázatalapú elemzése PhD értekezés Témavezető: Dr. Koncsos László egyetem tanár Budapest Műszak és Gazdaságtudomány Egyetem Építőmérnök Kar 202 . Bevezetés,

Részletesebben

Tartalom ELEKTROSZTATIKA AZ ELEKTROMOS ÁRAM, VEZETÉSI JELENSÉGEK A MÁGNESES MEZÕ

Tartalom ELEKTROSZTATIKA AZ ELEKTROMOS ÁRAM, VEZETÉSI JELENSÉGEK A MÁGNESES MEZÕ Tartalom ELEKTROSZTATIKA 1. Elektrosztatikai alapismeretek... 10 1.1. Emlékeztetõ... 10 2. Coulomb törvénye. A töltésmegmaradás törvénye... 14 3. Az elektromos mezõ jellemzése... 18 3.1. Az elektromos

Részletesebben

NKFP6-BKOMSZ05. Célzott mérőhálózat létrehozása a globális klímaváltozás magyarországi hatásainak nagypontosságú nyomon követésére. II.

NKFP6-BKOMSZ05. Célzott mérőhálózat létrehozása a globális klímaváltozás magyarországi hatásainak nagypontosságú nyomon követésére. II. NKFP6-BKOMSZ05 Célzott mérőhálózat létrehozása a globáls klímaváltozás magyarország hatásanak nagypontosságú nyomon követésére II. Munkaszakasz 2007.01.01. - 2008.01.02. Konzorcumvezető: Országos Meteorológa

Részletesebben

2. Hatványozás, gyökvonás

2. Hatványozás, gyökvonás 2. Hatványozás, gyökvonás I. Elméleti összefoglaló Egész kitevőjű hatvány értelmezése: a 1, ha a R; a 0; a a, ha a R. Ha a R és n N; n > 1, akkor a olyan n tényezős szorzatot jelöl, aminek minden tényezője

Részletesebben

Környezetvédelmi analitika

Környezetvédelmi analitika Az anyag a TÁMOP-4...A/- /--89 téma keretében készült a Pannon Egyetemen. Környezetmérnök Tudástár Sorozat szerkesztő: Dr. Domokos Endre XXXIV. kötet Környezetvédelm analtka Rezgés spektroszkópa Blles

Részletesebben

IMPRESSA C5 Használati útmutató

IMPRESSA C5 Használati útmutató IMPRESSA C5 Használat útmutató Kávé Prof Kft. 1112 Budapest, Budaörs út 153. Tel.: 06-1-248-0095 kaveprof@freemal.hu A TÜV SÜD független német mnôségvzsgáló ntézet Az IMPRESSA kézkönyvének és a hozzá tartozó

Részletesebben

The original laser distance meter. The original laser distance meter

The original laser distance meter. The original laser distance meter Leca Leca DISTO DISTO TM TM D510 X310 The orgnal laser dstance meter The orgnal laser dstance meter Tartalomjegyzék A műszer beállítása - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 2 Bevezetés - -

Részletesebben

Hálózat gazdaságtan. Kiss Károly Miklós, Badics Judit, Nagy Dávid Krisztián. Pannon Egyetem Közgazdaságtan Tanszék 2011. jegyzet

Hálózat gazdaságtan. Kiss Károly Miklós, Badics Judit, Nagy Dávid Krisztián. Pannon Egyetem Közgazdaságtan Tanszék 2011. jegyzet Hálózat gazdaságtan jegyzet Kss Károly Mlós, adcs Judt, Nagy Dávd Krsztán Pannon Egyetem Közgazdaságtan Tanszé 0. EVEZETÉS... 3 I. HÁLÓZTOS JVK KERESLETOLDLI JELLEMZŐI HÁLÓZTI EXTERNÁLIÁK ÉS KÖVETKEZMÉNYEIK...

Részletesebben

Feladatok GEFIT021B. 3 km

Feladatok GEFIT021B. 3 km Feladatok GEFT021B 1. Egy autóbusz sebessége 30 km/h. z iskolához legközelebb eső két megálló távolsága az iskola kapujától a menetirány sorrendjében 200 m, illetve 140 m. Két fiú beszélget a buszon. ndrás

Részletesebben

Leica DISTOTMD510. X310 The original laser distance meter. The original laser distance meter

Leica DISTOTMD510. X310 The original laser distance meter. The original laser distance meter TM Leca DISTO Leca DISTOTMD510 X10 The orgnal laser dstance meter The orgnal laser dstance meter Tartalomjegyzék A műszer beállítása - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 2 Bevezetés - - -

Részletesebben

A műszaki rezgéstan alapjai

A műszaki rezgéstan alapjai A műszaki rezgéstan alapjai Dr. Csernák Gábor - Dr. Stépán Gábor Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Műszaki Mechanikai Tanszék 2012 Előszó Ez a jegyzet elsősorban gépészmérnök hallgatóknak

Részletesebben

A válaszok között több is lehet helyes. Minden hibás válaszért egy pontot levonunk.

A válaszok között több is lehet helyes. Minden hibás válaszért egy pontot levonunk. A válaszok között több is lehet helyes. Minden hibás válaszért egy pontot levonunk. 1) Villamos töltések rekombinációja a) mindig energia felszabadulással jár; b) energia felvétellel jár; c) nincs kapcsolata

Részletesebben

S T A T I K A. Az összeállításban közremûködtek: Dr. Elter Pálné Dr. Kocsis Lászlo Dr. Ágoston György Molnár Zsolt

S T A T I K A. Az összeállításban közremûködtek: Dr. Elter Pálné Dr. Kocsis Lászlo Dr. Ágoston György Molnár Zsolt S T A T I K A Ez az anyag az "Alapítvány a Magyar Felsôoktatásért és Kutatásért" és a "Gépészmérnök Képzésért Alapítvány" támogatásával készült a Mûszaki Mechanikai Tanszéken kísérleti jelleggel, hogy

Részletesebben

Nyeregetetős csarnokszerkezetek terhei az EN 1991 alapján

Nyeregetetős csarnokszerkezetek terhei az EN 1991 alapján BME Hdak és Szerkezetek Tanszék Magasépítés acélszerkezetek tárgy Gyakorlat útmutató Nyeregetetős csarnokszerkezetek terhe az EN 1991 alapján Összeállította: Dr. Papp Ferenc tárgyelőadó Budapest, 2006.

Részletesebben

Optika feladatok (szemelvények a 333 Furfangos Feladat Fizikából könyvből)

Optika feladatok (szemelvények a 333 Furfangos Feladat Fizikából könyvből) Fénytan 1 Optika feladatok (szemelvények a 333 Furfangos Feladat Fizikából könyvből) Feladatok F. 1. Vízszintes asztallapra fektetünk egy negyedhenger alakú üvegtömböt, amelynek függőlegesen álló síklapját

Részletesebben

Elektrodinamika. Nagy, Károly

Elektrodinamika. Nagy, Károly Elektrodinamika Nagy, Károly Elektrodinamika Nagy, Károly Publication date 2002 Szerzői jog 2002 Nagy Károly, Nemzeti Tankönyvkiadó Rt. Szerző: Nagy Károly Bírálók: DR. GÁSPÁR REZSŐ - egyetemi tanár, a

Részletesebben

Konfidencia-intervallumok

Konfidencia-intervallumok Konfdenca-ntervallumok 1./ Egy 100 elemű mntából 9%-os bztonság nten kéített konfdenca ntervallum: 177,;179,18. Határozza meg a mnta átlagát és órását, feltételezve, hogy az egé sokaság normáls elolású

Részletesebben

Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kara. Csordásné Marton Melinda. Fizikai példatár 4. FIZ4 modul. Elektromosságtan

Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kara. Csordásné Marton Melinda. Fizikai példatár 4. FIZ4 modul. Elektromosságtan Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kara Csordásné Marton Melinda Fizikai példatár 4 FIZ4 modul Elektromosságtan SZÉKESFEHÉRVÁR 2010 Jelen szellemi terméket a szerzői jogról szóló 1999 évi LXXVI

Részletesebben

Fuzzy rendszerek. A fuzzy halmaz és a fuzzy logika

Fuzzy rendszerek. A fuzzy halmaz és a fuzzy logika Fuzzy rendszerek A fuzzy halmaz és a fuzzy logka A hagyományos kétértékű logka, melyet évezredek óta alkalmazunk a tudományban, és amelyet George Boole (1815-1864) fogalmazott meg matematkalag, azon a

Részletesebben

FIZIKA MECHANIKA MŰSZAKI MECHANIKA STATIKA DINAMIKA BEVEZETÉS A STATIKA HELYE A TUDOMÁNYBAN

FIZIKA MECHANIKA MŰSZAKI MECHANIKA STATIKA DINAMIKA BEVEZETÉS A STATIKA HELYE A TUDOMÁNYBAN BEVEZETÉS A STATIKA HELYE A TUDOMÁNYBAN A statika a fizikának, mint a legszélesebb körű természettudománynak a része. A klasszikus értelemben vett fizika azokkal a természeti törvényekkel, illetve az anyagoknak

Részletesebben

Körmozgás és forgómozgás (Vázlat)

Körmozgás és forgómozgás (Vázlat) Körmozgás és forgómozgás (Vázlat) I. Egyenletes körmozgás a) Mozgás leírását segítő fogalmak, mennyiségek b) Egyenletes körmozgás kinematikai leírása c) Egyenletes körmozgás dinamikai leírása II. Egyenletesen

Részletesebben

2. személyes konzultáció. Széchenyi István Egyetem

2. személyes konzultáció. Széchenyi István Egyetem Makroökonóma 2. személyes konzultácó Szécheny István Egyetem Gazdálkodás szak e-learnng képzés Összeállította: Farkas Péter 1 A tananyag felépítése (térkép) Ön tt áll : MAKROEGENSÚL Inflácó, munkanélkülség,

Részletesebben

VIII. ELEKTROMOS ÁRAM FOLYADÉKOKBAN ÉS GÁZOKBAN

VIII. ELEKTROMOS ÁRAM FOLYADÉKOKBAN ÉS GÁZOKBAN VIII. ELEKTROMOS ÁRAM FOLYADÉKOKBAN ÉS GÁZOKBAN Bevezetés: Folyadékok - elsősorban savak, sók, bázsok vzes oldata - áramvezetésének gen fontos gyakorlat alkalmazása vannak. Leggyakrabban az elektronkus

Részletesebben

O 1.1 A fény egyenes irányú terjedése

O 1.1 A fény egyenes irányú terjedése O 1.1 A fény egyenes irányú terjedése 1 blende 1 és 2 rés 2 összekötő vezeték Előkészület: A kísérleti lámpát teljes egészében egy ív papírlapra helyezzük. A négyzetes fénynyílást széttartó fényként használjuk

Részletesebben

Jövedelem és szubjektív jóllét: az elemzési módszer megválasztásának hatása a levonható következtetésekre

Jövedelem és szubjektív jóllét: az elemzési módszer megválasztásának hatása a levonható következtetésekre Tanulmányok Jövedelem és szubjektív jóllét: az elemzés módszer megválasztásának hatása a levonható következtetésekre Hajdu Tamás, az MTA Közgazdaságés Regonáls Tudomány Kutatóközpont Közgazdaságtudomány

Részletesebben

Fizika II. (Termosztatika, termodinamika)

Fizika II. (Termosztatika, termodinamika) Fzka II. (Termosztatka, termodnamka) előadás jegyzet Élelmszermérnök, Szőlész-borász mérnök és omérnök hallgatóknak Dr. Frtha Ferenc. árls 4. Tartalom evezetés.... Hőmérséklet, I. főtétel. Ideáls gázok...3

Részletesebben

Az entrópia statisztikus értelmezése

Az entrópia statisztikus értelmezése Az entrópa statsztkus értelmezése A tapasztalat azt mutatja hogy annak ellenére hogy egy gáz molekulá egyed mozgást végeznek vselkedésükben mégs szabályszerűségek vannak. Statsztka jellegű vselkedés szabályok

Részletesebben

Hitelderivatívák árazása sztochasztikus volatilitás modellekkel

Hitelderivatívák árazása sztochasztikus volatilitás modellekkel Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudomány Kar Budapest Corvnus Egyetem Közgazdaságtudomány Kar Hteldervatívák árazása sztochasztkus volatltás modellekkel Bztosítás és pénzügy matematka MSc Kvanttatív

Részletesebben

b) Adjunk meg 1-1 olyan ellenálláspárt, amely párhuzamos ill. soros kapcsolásnál minden szempontból helyettesíti az eredeti kapcsolást!

b) Adjunk meg 1-1 olyan ellenálláspárt, amely párhuzamos ill. soros kapcsolásnál minden szempontból helyettesíti az eredeti kapcsolást! 2006/I/I.1. * Ideális gázzal 31,4 J hőt közlünk. A gáz állandó, 1,4 10 4 Pa nyomáson tágul 0,3 liter térfogatról 0,8 liter térfogatúra. a) Mennyi munkát végzett a gáz? b) Mekkora a gáz belső energiájának

Részletesebben

A Sturm-módszer és alkalmazása

A Sturm-módszer és alkalmazása A turm-módszer és alalmazása Tuzso Zoltá, zéelyudvarhely zámtala szélsőérté probléma megoldása, vagy egyelőtleség bzoyítása agyo gyara, már a matemata aalízs eszözere szorítoz, mt például a Jese-, Hölderféle

Részletesebben

GYAKORLÓ FELADATOK. Színmérés, színkeverés CIE RGB és CIE XYZ rendszerben. 2013. március 10., Budapest

GYAKORLÓ FELADATOK. Színmérés, színkeverés CIE RGB és CIE XYZ rendszerben. 2013. március 10., Budapest GYAKORLÓ FELADATOK Színmérés, színkeverés CIE RGB és CIE XYZ rendszerben 2013. márcus 10., Budapest Színmérés, színkeverés alapelvek Kndulás (Grassmann törvény): Két, tetszőlegest spektráls eloszlású lá

Részletesebben

Szerelési útmutató FKC-1 síkkollektor tetőre történő felszerelése Junkers szolár rendszerek számára

Szerelési útmutató FKC-1 síkkollektor tetőre történő felszerelése Junkers szolár rendszerek számára Szerelés útmutató FKC- síkkollektor tetőre történő felszerelése Junkers szolár rendszerek számára 604975.00-.SD 6 70649 HU (006/04) SD Tartalomjegyzék Általános..................................................

Részletesebben

Statisztikai. Statisztika Sportszervező BSc képzés (levelező tagozat) Témakörök. Statisztikai alapfogalmak. Statisztika fogalma. Statisztika fogalma

Statisztikai. Statisztika Sportszervező BSc képzés (levelező tagozat) Témakörök. Statisztikai alapfogalmak. Statisztika fogalma. Statisztika fogalma Témakörök Statsztka Sortszerező BSc kézés (leelező tagozat) 2-2-es tané félé Oktató: Dr Csáfor Hajnalka főskola docens Vállalkozás-gazdaságtan Tsz E-mal: hcsafor@ektfhu Statsztka fogalmak Statsztka elemzések

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika emelt szint 0 ÉRETTSÉGI VIZSGA 00. február. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI MINISZTÉRIUM Matematika emelt szint Fontos tudnivalók Formai

Részletesebben

VILLAMOS ÉS MÁGNESES TÉR

VILLAMOS ÉS MÁGNESES TÉR ELEKTRONIKI TECHNIKUS KÉPZÉS 3 VILLMOS ÉS MÁGNESES TÉR ÖSSZEÁLLÍTOTT NGY LÁSZLÓ MÉRNÖKTNÁR - - Tartalomjegyzék villamos tér...3 kondenzátor...6 Kondenzátorok fontosabb típusai és felépítésük...7 Kondenzátorok

Részletesebben

4 205 044-2012/11 Változtatások joga fenntartva. Kezelési útmutató. UltraGas kondenzációs gázkazán. Az energia megőrzése környezetünk védelme

4 205 044-2012/11 Változtatások joga fenntartva. Kezelési útmutató. UltraGas kondenzációs gázkazán. Az energia megőrzése környezetünk védelme HU 4 205 044-2012/11 Változtatások joga fenntartva Kezelés útmutató UltraGas kondenzácós gázkazán Az energa megőrzése környezetünk védelme Tartalomjegyzék UltraGas 15-1000 4 205 044 1. Kezelés útmutató

Részletesebben

Első sorozat (2000. május 22. du.) 1. Oldjamegavalós számok halmazán a. cos x + sin2 x cos x. +sinx +sin2x =

Első sorozat (2000. május 22. du.) 1. Oldjamegavalós számok halmazán a. cos x + sin2 x cos x. +sinx +sin2x = 2000 Írásbeli érettségi-felvételi feladatok Első sorozat (2000. május 22. du.) 1. Oldjamegavalós számok halmazán a egyenletet! cos x + sin2 x cos x +sinx +sin2x = 1 cos x (9 pont) 2. Az ABCO háromszög

Részletesebben

Váltakozó áram. A váltakozó áram előállítása

Váltakozó áram. A váltakozó áram előállítása Váltakozó áram A váltakozó áram előállítása Mágneses térben vezető keretet fogatunk. A mágneses erővonalakat metsző vezetőpárban elektromos feszültség (illetve áram) indukálódik. Az indukált feszültség

Részletesebben

Alkalmazott fizika Babák, György

Alkalmazott fizika Babák, György Alkalmazott fizika Babák, György Alkalmazott fizika Babák, György Publication date 2011 Szerzői jog 2011 Szent István Egyetem Copyright 2011, Szent István Egyetem. Minden jog fenntartva, Tartalom Bevezetés...

Részletesebben

Matematika felvételi feladatok bővített levezetése 2013 (8. osztályosoknak)

Matematika felvételi feladatok bővített levezetése 2013 (8. osztályosoknak) Matematika felvételi feladatok bővített levezetése 2013 (8. osztályosoknak) Erre a dokumentumra az Edemmester Gamer Blog kiadványokra vonatkozó szabályai érvényesek. 1. feladat: Határozd meg az a, b és

Részletesebben

FIZIKA Tananyag a tehetséges gyerekek oktatásához

FIZIKA Tananyag a tehetséges gyerekek oktatásához HURO/1001/138/.3.1 THNB FIZIKA Tananyag a tehetséges gyerekek oktatásához Készült A tehetség nem ismer határokat HURO/1001/138/.3.1 című projekt keretén belül, melynek finanszírozása a Magyarország-Románia

Részletesebben

MŰSZAKI TUDOMÁNYI DOKTORI ISKOLA. Napkollektorok üzemi jellemzőinek modellezése

MŰSZAKI TUDOMÁNYI DOKTORI ISKOLA. Napkollektorok üzemi jellemzőinek modellezése MŰSZAKI TUDOMÁNYI DOKTORI ISKOLA Napkollektorok üzem jellemzőnek modellezése Doktor (PhD) értekezés tézse Péter Szabó István Gödöllő 015 A doktor skola megnevezése: Műszak Tudomány Doktor Iskola tudományága:

Részletesebben

2. OPTIKA 2.1. Elmélet 2.1.1. Geometriai optika

2. OPTIKA 2.1. Elmélet 2.1.1. Geometriai optika 2. OPTIKA 2.1. Elmélet Az optika tudománya a látás élményéből fejlődött ki. A tárgyakat azért látjuk, mert fényt bocsátanak ki, vagy a rájuk eső fényt visszaverik, és ezt a fényt a szemünk érzékeli. A

Részletesebben

Tanulói munkafüzet. FIZIKA 9. évfolyam 2015. egyetemi docens

Tanulói munkafüzet. FIZIKA 9. évfolyam 2015. egyetemi docens Tanulói munkafüzet FIZIKA 9. évfolyam 2015. Összeállította: Scitovszky Szilvia Lektorálta: Dr. Kornis János egyetemi docens Tartalomjegyzék 1. Az egyenletes mozgás vizsgálata... 3 2. Az egyenes vonalú

Részletesebben

járta, aprít ó é s tuskófuró a NEFA G fejlesztésében

járta, aprít ó é s tuskófuró a NEFA G fejlesztésében ható, max. 140 cm munkaszélességre és 15 25 cm-es munkamélységre készült. A gép üzem próbájára ez évben kerül sor. A műveletcentrkus egyed gépkalakítások mellett nem mondtunk le egy bázsgép rendszerű csemetekert

Részletesebben

MISKOLCI EGYETEM GÉPÉSZMÉRNÖKI KAR DOKTORI ISKOLA VEZETŐ: MTA rendes tagja TÉMACSOPORT VEZETŐ: MTA rendes tagja TÉMAVEZETŐ: egyetemi docens

MISKOLCI EGYETEM GÉPÉSZMÉRNÖKI KAR DOKTORI ISKOLA VEZETŐ: MTA rendes tagja TÉMACSOPORT VEZETŐ: MTA rendes tagja TÉMAVEZETŐ: egyetemi docens MISKOLCI EGYETEM GÉPÉSZMÉRNÖKI KAR ÚJ ELJÁRÁS AUTOKLÁV GÉPCSOPORTOK EXPOZÍCIÓJÁNAK MEGHATÁROZÁSÁRA PhD értekezés KÉSZÍTETTE: Szees L. Gábor okleveles géészmérnök SÁLYI ISTVÁN GÉPÉSZETI TUDOMÁNYOK DOKTORI

Részletesebben

Azonos névleges értékű, hitelesített súlyokból alkotott csoportok együttes mérési bizonytalansága

Azonos névleges értékű, hitelesített súlyokból alkotott csoportok együttes mérési bizonytalansága Azoos évleges értékű, htelesített súlyokból alkotott csoportok együttes mérés bzoytalasága Zeleka Zoltá* Több mérés feladatál alkalmazak súlyokat. Sokszor ezek em egyekét, haem külöböző társításba kombácókba

Részletesebben

IT jelű DC/DC kapcsolóüzemű tápegységcsalád

IT jelű DC/DC kapcsolóüzemű tápegységcsalád IT jelű DC/DC kapcsolóüzemű tápegységcsalád BALOGH DEZSŐ BHG BEVEZETÉS A BHG Híradástechnka Vállalat kutató és fejlesztő által kdolgozott napjankban gyártásban levő tárolt programvezérlésű elektronkus

Részletesebben

1. Ha két közeg határfelületén nem folyik vezetési áram, a mágneses térerősség vektorának a(z). komponense folytonos.

1. Ha két közeg határfelületén nem folyik vezetési áram, a mágneses térerősség vektorának a(z). komponense folytonos. Az alábbi kiskérdéseket a korábbi Pacher-féle vizsgasorokból és zh-kból gyűjtöttük ki. A többségnek a lefényképezett hivatalos megoldás volt a forrása (néha még ezt is óvatosan kellett kezelni, mert egy

Részletesebben

Feladatok a koordináta-geometria, egyenesek témaköréhez 11. osztály, középszint

Feladatok a koordináta-geometria, egyenesek témaköréhez 11. osztály, középszint TÁMOP-.1.4-08/2-2009-0011 A kompetencia alapú oktatás feltételeinek megteremtése Vas megye közoktatási intézményeiben Feladatok a koordináta-geometria, egyenesek témaköréhez 11. osztály, középszint Vasvár,

Részletesebben

= szinkronozó nyomatékkal egyenlő.

= szinkronozó nyomatékkal egyenlő. A 4.45. ábra jelöléseit használva, tételezzük fel, hogy gépünk túllendült és éppen a B pontban üzemel. Mivel a motor által szolgáltatott M 2 nyomaték nagyobb mint az M 1 terhelőnyomaték, a gép forgórészére

Részletesebben

EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA

EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA É RETTSÉGI VIZSGA 2015. október 22. FIZIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA 2015. október 22. 14:00 Az írásbeli vizsga időtartama: 240 perc Pótlapok száma Tisztázati Piszkozati EMBERI ERŐFORRÁSOK MINISZTÉRIUMA

Részletesebben

Tanulói munkafüzet. FIZIKA 10. évfolyam 2015.

Tanulói munkafüzet. FIZIKA 10. évfolyam 2015. Tanulói munkafüzet FIZIKA 10. évfolyam 2015. Összeállította: Scitovszky Szilvia Lektorálta: Dr. Kornis János Szakképző Iskola és ban 1 Tartalom Munka- és balesetvédelmi, tűzvédelmi szabályok... 2 1-2.

Részletesebben

Mikrohullámok vizsgálata. x o

Mikrohullámok vizsgálata. x o Mikrohullámok vizsgálata Elméleti alapok: Hullámjelenségen valamilyen rezgésállapot (zavar) térbeli tovaterjedését értjük. A hullám c terjedési sebességét a hullámhossz és a T rezgésido, illetve az f frekvencia

Részletesebben

II. Rákóczi Ferenc Kárpátaljai Magyar Fıiskola. Pataki Gábor. STATISZTIKA I. Jegyzet

II. Rákóczi Ferenc Kárpátaljai Magyar Fıiskola. Pataki Gábor. STATISZTIKA I. Jegyzet II. Rákócz Ferenc Kárátalja Magyar Fıskola Patak Gábor STATISZTIKA I. Jegyzet 23 Tartalomjegyzék evezetés... 3 I. Statsztka alafogalmak... 4. Statsztka kalakulása, tudománytörténet összefüggése... 4.2

Részletesebben

- hányadost és az osztót összeszorozzuk, majd a maradékot hozzáadjuk a kapott értékhez

- hányadost és az osztót összeszorozzuk, majd a maradékot hozzáadjuk a kapott értékhez 1. Számtani műveletek 1. Összeadás 73 + 19 = 92 összeadandók (tagok) összeg Összeadáskor a tagok felcserélhetőek, az összeg nem változik. a+b = b+a Összeadáskor a tagok tetszőlegesen csoportosíthatóak

Részletesebben

FIZIKA munkafüzet. o s z t ály. A Siófoki Perczel Mór Gimnázium tanulói segédlete

FIZIKA munkafüzet. o s z t ály. A Siófoki Perczel Mór Gimnázium tanulói segédlete A Siófoki Perczel Mór Gimnázium tanulói segédlete FIZIKA munkafüzet Tanulói kísérletgyűjtemény-munkafüzet az általános iskola 8. osztálya számára 8. o s z t ály CSODÁLATOS TERMÉSZET TARTALOM 1. Elektrosztatika

Részletesebben

Tevékenység: Olvassa el a fejezetet! Gyűjtse ki és jegyezze meg a ragasztás előnyeit és a hátrányait! VIDEO (A ragasztás ereje)

Tevékenység: Olvassa el a fejezetet! Gyűjtse ki és jegyezze meg a ragasztás előnyeit és a hátrányait! VIDEO (A ragasztás ereje) lvassa el a fejezetet! Gyűjtse ki és jegyezze meg a ragasztás előnyeit és a hátrányait! VIDE (A ragasztás ereje) A ragasztás egyre gyakrabban alkalmazott kötéstechnológia az ipari gyakorlatban. Ennek oka,

Részletesebben

NYUGAT-MAGYARORSZÁGI EGYETEM Faipari Mérnöki Kar. Mőszaki Mechanika és Tartószerkezetek Intézet. Dr. Hajdu Endre egyetemi docens MECHANIKA I.

NYUGAT-MAGYARORSZÁGI EGYETEM Faipari Mérnöki Kar. Mőszaki Mechanika és Tartószerkezetek Intézet. Dr. Hajdu Endre egyetemi docens MECHANIKA I. NYUGAT-MAGYARORSZÁGI EGYETEM aipari Mérnöki Kar Mőszaki Mechanika és Tartószerkezetek Intézet Dr Hajdu Endre egyetemi docens MECHANIKA I Sopron 9 javított kiadás TARTALOMJEGYZÉK I Bevezetés a mőszaki mechanika

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Geometria I.

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Geometria I. Geometria I. Alapfogalmak: Az olyan fogalmakat, amelyeket nem tudunk egyszerűbb fogalmakra visszavezetni, alapfogalmaknak nevezzük, s ezeket nem definiáljuk. Pl.: pont, egyenes, sík, tér, illeszkedés.

Részletesebben

A megnyúlás utáni végső hosszúság: - az anyagi minőségtől ( - lineáris hőtágulási együttható) l = l0 (1 + T)

A megnyúlás utáni végső hosszúság: - az anyagi minőségtől ( - lineáris hőtágulási együttható) l = l0 (1 + T) - 1 - FIZIKA - SEGÉDANYAG - 10. osztály I. HŐTAN 1. Lineáris és térfogati hőtágulás Alapjelenség: Ha szilárd vagy folyékony halazállapotú anyagot elegítünk, a hossza ill. a térfogata növekszik, hűtés hatására

Részletesebben

Geodézia 4. Vízszintes helymeghatározás Gyenes, Róbert

Geodézia 4. Vízszintes helymeghatározás Gyenes, Róbert Geodézia 4. Vízszintes helymeghatározás Gyenes, Róbert Geodézia 4.: Vízszintes helymeghatározás Gyenes, Róbert Lektor: Homolya, András Ez a modul a TÁMOP - 4.1.2-08/1/A-2009-0027 Tananyagfejlesztéssel

Részletesebben

CRT Monitor gammakarakteriszikájának

CRT Monitor gammakarakteriszikájának Budapest Műszak és Gazdaságtudomány Egyetem Mechatronka, Optka és Gépészet Informatka Tanszék CRT Montor gammakarakterszkájának felvétele 9. mérés Mérés célja: Számítógéppel vezérelt CRT montor gamma karaktersztkájának

Részletesebben

Három dimenziós barlangtérkép elkészítésének matematikai problémái

Három dimenziós barlangtérkép elkészítésének matematikai problémái Szegedi Tudományegyetem Természettudományi és Informatikai Kar Bolyai Intézet Geometria Tanszék Három dimenziós barlangtérkép elkészítésének matematikai problémái Szakdolgozat Írta: Pásztor Péter Matematika

Részletesebben

L Ph 1. Az Egyenlítő fölötti közelítőleg homogén földi mágneses térben a proton (a mágneses indukció

L Ph 1. Az Egyenlítő fölötti közelítőleg homogén földi mágneses térben a proton (a mágneses indukció A 2008-as bajor fizika érettségi feladatok (Leistungskurs) Munkaidő: 240 perc (A vizsgázónak két, a szakbizottság által kiválasztott feladatsort kell kidolgoznia) L Ph 1 1. Kozmikus részecskék mozgása

Részletesebben

Tanulói munkafüzet. FIZIKA 11. évfolyam emelt szintű tananyag 2015. egyetemi docens

Tanulói munkafüzet. FIZIKA 11. évfolyam emelt szintű tananyag 2015. egyetemi docens Tanulói munkafüzet FIZIKA 11. évfolyam emelt szintű tananyag 2015. Összeállította: Scitovszky Szilvia Lektorálta: Dr. Kornis János egyetemi docens Tartalomjegyzék 1. Egyenes vonalú mozgások..... 3 2. Periodikus

Részletesebben

Lineáris algebra I. Kovács Zoltán. Előadásvázlat (2006. február 22.)

Lineáris algebra I. Kovács Zoltán. Előadásvázlat (2006. február 22.) Lineáris algebra I. Kovács Zoltán Előadásvázlat (2006. február 22.) 2 3 Erdős Jenő emlékének. 4 Tartalomjegyzék 1. A szabadvektorok vektortere 7 1. Szabadvektorok összeadása és skalárral való szorzása...............

Részletesebben

Elektrosztatikai alapismeretek

Elektrosztatikai alapismeretek Elektrosztatikai alapismeretek THALÉSZ: a borostyánt (élektron) megdörzsölve az a könnyebb testeket magához vonzza. Az egymással szorosan érintkező anyagok elektromosan feltöltődnek, elektromos állapotba

Részletesebben

2. előadás: További gömbi fogalmak

2. előadás: További gömbi fogalmak 2 előadás: További gömbi fogalmak 2 előadás: További gömbi fogalmak Valamely gömbi főkör ívének α azimutja az ív egy tetszőleges pontjában az a szög, amit az ív és a meridián érintői zárnak be egymással

Részletesebben

Áramlástan. BMEGEÁTAE01 www.ara.bme.hu Dr. Lajos Tamás lajos@ara.bme.hu Tanszék: AE épület. v1.00

Áramlástan. BMEGEÁTAE01 www.ara.bme.hu Dr. Lajos Tamás lajos@ara.bme.hu Tanszék: AE épület. v1.00 Áramlástan BMEGEÁTAE01 www.ara.bme.hu Dr. Lajos Tamás lajos@ara.bme.hu Tanszék: AE épület v1.00 Összeállította: Péter Norbert Forrás: Lajos Tamás - Az áramlástan alapjai A 21-es kérdésért köszönet: Papp

Részletesebben

Az alap- és a képfelület fogalma, megadási módjai és tulajdonságai

Az alap- és a képfelület fogalma, megadási módjai és tulajdonságai A VETÜLETEK ALAP- ÉS KÉPFELÜLETE Az alap- és a képfelület fogalma, megadási módjai és tulajdonságai A geodézia, a térinformatika és a térképészet a görbült földfelületen elhelyezkedő geometriai alakzatokat

Részletesebben