1. AZ MI FOGALMA. I. Bevezetés ELIZA. Első szakasz (60-as évek) Második szakasz (70-es évek) Harmadik szakasz (80-as évek)

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "1. AZ MI FOGALMA. I. Bevezetés ELIZA. Első szakasz (60-as évek) Második szakasz (70-es évek) Harmadik szakasz (80-as évek)"

Átírás

1 1. AZ MI FOGALMA I. Bvztés 1956 nyár. Darthmouth Collg-i konfrncia Kzdti cél: Az mbri gondolkodás számítógép sgítségévl történő rprodukálása. Grgorics Tibor Bvztés a mstrségs intllignciába 1 Grgorics Tibor Bvztés a mstrségs intllignciába 2 Első szakasz (60-as évk) ELIZA Erdményk: kétszmélys játékok (dáma, sakk), bszélgtő program (ELIZA,1966) Módszrk, szközök: GPS, rzolúció (1966), LISP(1958), mstrségs nuronhálózatok (1969), volúciós algoritmusok (1959), Turing tszt Kudarcok: DOCTOR-PARRY, nylvi fordítók, kombinatorikus robbanás Illsztési szabályok <a> ön <b> ngm <c>. Miért gondolja, hogy ön <a> én <b> <c>? Úgy érzm, hogy ön mostanában ngm un. Miért gondolja, hogy ön úgy érzi, hogy én mostanában unom? Emlékzési szabályok Folytatási szabályok Grgorics Tibor Bvztés a mstrségs intllignciába 3 Grgorics Tibor Bvztés a mstrségs intllignciába 4 Második szakasz (70-s évk) Erdményk: SHRDLU (1972), BACON, AM, EURISKO Módszrk, szközök: Prolog, hurisztikus krsési tchnikák, tudásábrázolási módszrk (kognitív modllk) Kudarcok: MI fjlődési trndj, msíró program Harmadik szakasz (80-as évk) Erdményk: DENDRAL ( ), MYCIN(1976), PROSPECTOR(1979), XCON (1982) Módszrk, szközök: tudásalapú szakértő rndszrk, shll-k, módszrtanok, nm klasszikus logikák, bizonytalanság kzlés Kudarcok: rndszrk lkészítés lassabb, mint a gyorsan változó programozási környzt Grgorics Tibor Bvztés a mstrségs intllignciába 5 Grgorics Tibor Bvztés a mstrségs intllignciába 6 1

2 Ngydik szakasz (90-as évktől) Erdményk: logisztika, űrkutatás, Dp Blu, döntés támogató rndszrk, nylvi fordítók, robotika (bszélgtés, gépi látás, trvgnrálás, gépi tanulás) Módszrk, szközök: losztott tudás rprzntálása (mstrségs nuron háló, volúciós algoritmus, ágns szmlélt), döntéslmélt (valószínűségi hálók), bszédflismrés (rjttt Markov modllk) Grgorics Tibor Bvztés a mstrségs intllignciába 7 MI hly Az MI az mbri gondolkodás számítógéps rprodukálása szmpontjából hasznos lvkt, módszrkt, tchnikákat kutatja, rndszrzi, fjlszti Nm az mbri gondolkodás számítógéps modlljét, hanm gy fladat minél jobb minőségű számítógéps mgoldását krsi Az MI az informatikának a gondolkodási-tudományos lőőrs. Vámos Tibor Grgorics Tibor Bvztés a mstrségs intllignciába 8 MI tárgya Azon fladatok számítógéps mgoldása, amlyk mgoldása nhéz, komplx ismrtkt igényl az mbrtől is kllő szakértlmt, krativitást és intuíciót kíván (szmléltmód váltások) mgoldásukban ma többnyir az mbr a jobb a probléma tr (lhtségs válaszok száma) nagy, az összs lhtőség kipróbálása szisztmatikus úton nm lhtségs, a válasz sokszor lmi tvéknységk sorozatával írható l, amly lőr nm rögzíthtő, hanm több lhtségs sorozat közül kll kiválasztani. irányított krsésr van szükség. Grgorics Tibor Bvztés a mstrségs intllignciába 9 Grgorics Tibor Bvztés a mstrségs intllignciába PROBLÉMA MODELLEZÉS Problémarprzntációs modllk: Állapottér rprzntáció Probléma rdukció, dkompozíció Logikai rprzntáció Strukturált objktum alapú rprzntáció Elosztott rprzntáció Útkrsési probléma Általában a problématérnk mgflltthtő gy irányított gráf, ahol a csúcsok a lhtségs válaszok, az élk az zk közötti szomszédsági kapcsolatok. Ebbn a gráfban a kiinduló válasznak mgfllő csúcstól indulva gy hlys választ rprzntáló csúcsot krsünk. Spciálisan, amikor a lhtségs válaszokat lmi lépésk sorozataként adjuk mg, akkor zk ábrázolhatók gy úttal, amlyk gy közös kzdő csúcsból indulnak. Ebbn a gráfban kll olyan utat krsünk, amlyik gy hlys választ rprzntál. Grgorics Tibor Bvztés a mstrségs intllignciába 11 Grgorics Tibor Bvztés a mstrségs intllignciába 12 2

3 Gráfrprzntáció fogalma Egy útkrsési probléma gráfrprzntációja gy (R,s,T) hármas, amlybn R=(N,A,c) δ-gráf az un. rprzntációs gráf, az s N startcsúcs a kiinduló pont, a T N halmazbli célcsúcsok. A fladat mgoldása: gy t T cél mgtalálása gy s T, stlg gy s * T optimális út mgtalálása Grgorics Tibor Bvztés a mstrségs intllignciába 13 Gráf fogalmak 1. csúcsok, ir. élk N, A N N (számosság) él n-ből m-b (n,m) A (n,m N) n utódai, szüli Γ(n), Π(n), π(n) irányított gráf R=(N,A) σ-tulajdonság {(n,m) A m N} <σ n N élköltség c:a R, c(n,m) (n,m) A δ-tulajdonság c(n,m) δ> 0 (n,m) A δ-gráf δ, σ -tulajdonságú élsúlyozott irányított gráf Grgorics Tibor Bvztés a mstrségs intllignciába 14 Gráf fogalmak 2. irányított út α=(n,n 1 ),(n 1,n 2 ),...,(n k-1,m) (n,n 1,n 2,...,n k-1,m), n α m, n m n-ből kiinduló utak {n m}, {n M} ir. út hossza α ir. út költség c α (n,m):=σ i c(n i-1,n i ) opt. költség c * (n,m):=min α {n m} c α (n,m) opt. költségű út n * m, n * M Állapottér-rprzntáció Ez gy széls körbn (nmcsak a MI-ban) használt modll, amly sgítségévl gy problémát spcifikálhatunk. Jllgztsség, hogy a problémák mgoldását művltk sorozataként fogalmazza mg, nnél fogva az állapottér-rprzntáció alkalmazása gy útkrsési problémát (többnyir spciális útkrsési problémát) ad mg. Grgorics Tibor Bvztés a mstrségs intllignciába 15 Grgorics Tibor Bvztés a mstrségs intllignciába 16 Állapottér-rprzntáció modllj Hanoi tornyai probléma Állapottér (domináns típusérték-halmaz) invariáns Művltk (lmi lépés az állapottérbn) lőfltétl, hatás Kzdő állapot(ok) vagy lőfltétl Célállapot(ok) vagy utófltétl Grgorics Tibor Bvztés a mstrségs intllignciába C BA A B C [3,3,3] [1,1,1] Állapottér: Állás=vktor( [A,B,C];{1,2,3}) Művlt: Rak(honnan, hová):állás Állás (a:állás) HA a-ban a honnan nm ürs, és a hová ürs vagy a hová flső korongja nagyobb, mint honnan flső korongja AKKOR a[honnan flső korongja] hová Grgorics Tibor Bvztés a mstrségs intllignciába 18 3

4 [3,3,3] [2,3,3] [1,3,3] Állapot gráf [2,1,3] [1,2,3] [1,1,3] [2,2,3] [3,1,3] [3,2,3] [1,1,2] [2,2,1] [3,1,2] [2,1,2] [1,2,1] [3,2,1] [3,2,2] [2,3,2] [1,3,1] [3,1,1] 3. KERESÉS A krsés gy olyan algoritmus, amly tárolja az addig fltárt információ gy részét flismri a tárolt információból azt, ha lért a célját látja az adott pillanatban lvégzhtő altrnatív lépéskt dönt arról, hogy mlyik lépést hajtsa végr az adott pillanatban gy lépést végrhajtásával módosítja a tárolt információt [2,2,2] [1,2,2] [1,3,2] [3,3,2] [3,3,1] [2,3,1] [2,1,1] [1,1,1] Grgorics Tibor Bvztés a mstrségs intllignciába 20 Krső rndszr Procdur KR 1. ADAT kzdti érték 2. whil trminálási fltétl(adat) loop 3. slct SZ from alkalmazható szabályok 4. ADAT SZ(ADAT) 5. ndloop nd A rprzntációs gráf fltti krsés, amly a gráf gy részét (ADAT) látja, azt változtatja mg (SZ) az általa mghatározott (slct) módon. Grgorics Tibor Bvztés a mstrségs intllignciába 21 globális munkatrült ADAT krső rndszr szabályai SZ vzérlési stratégia slct A KR részi a krsés során mgszrztt és mgőrzött (dklaratív) ismrt kzdti érték, trminálási fltétl globális munkatrültt mgváltoztató oprátorok (procdurális ismrt) hatás, értlmzési tartomány végrhajtható szabályt kiválasztó általános lv + a konkrét fladattól származó vzérlési ismrt Grgorics Tibor Bvztés a mstrségs intllignciába 22 Krsés és a problématér Egy útkrsés hatékonysága a rprzntációs gráf (itt állapot gráf) bonyolultságát (csúcsok, élk számát, körök gyakoriságát, körök hosszát) mghatározó rprzntáción múlik. A rprzntációs gráfnak csak a startcsúcsból lérhtő rész érdkl bnnünkt. Ha gy krsés nm végz körfigylést, csak a mglőző csúcsba történő visszalépést zárja ki, akkor tulajdonképpn nm az rdti gráfon, hanm annak úgynvztt fává gynsíttt változatában dolgozik. Grgorics Tibor Bvztés a mstrségs intllignciába 23 lsődlgs függtln a fladattól Vzérlési vagy krsési stratégia vzérlés másodlagos függtln a konkrét fladattól, d annak rprzntációs modlljér támaszkodik hurisztika Konkrét fladatból származó a rprzntációban nm rögzíttt ismrtk Grgorics Tibor Bvztés a mstrségs intllignciába 24 4

5 A hurisztika hatása a KR működésér A KR futási idj hurisztika költség rdmény futási idő hatékonyság mmóriaigény Grgorics Tibor Bvztés a mstrségs intllignciába 25 alkalmazott szabályok száma futási idő szabály kiválasztásának idj informáltság tljs Grgorics Tibor Bvztés a mstrségs intllignciába 26 5

6 Elsődlgs stratégiák osztályozása II. Krsésk Elsődlgs vzérlési stratégiák nmmódosítható módosítható visszalépéss gráfkrső Grgorics Tibor Bvztés a mstrségs intllignciába 1 Grgorics Tibor Bvztés a mstrségs intllignciába 2 1. Nmmódosítható stratégia A krsés során hozott döntésk visszavonhatatlanok Nincs lhtőség gy korábbi döntési ponthoz visszatérni, és másik döntést hozni Lokális krsésk A globális munkatrültn tárolt gytln csúcsot (lhtségs választ) annak környztéből vtt lhtőlg jobb csúccsal csrél l. A jobbság ldöntéséhz célfüggvényt használ Alkalmazás: Adott tulajdonságú lm krsés Függvény optimumának krsés Grgorics Tibor Bvztés a mstrségs intllignciába 3 Grgorics Tibor Bvztés a mstrségs intllignciába 4 Hgymászó algoritmus [3,3,3] Hanoi tornyai Lokális optimumban mgngdi az aktuális csúcsnál rosszabb értékű lgjobb szomszédra lépést, és kizárja a szülő csúcsra való visszalépést. Procdur Hgymászó módszr 1. n startcsúcs 2. whil n nm célcsúcs loop 3. n opt f ( Γ(n)\π(n) ) // ürs halmazra kilép 4. ndloop nd Grgorics Tibor Bvztés a mstrségs intllignciába 5 [2,3,3] [2,1,3] [1,1,3] [3,1,3] [1,3,3] [1,2,3] [2,2,3] [3,2,3] [1,1,2] [2,2,1] [3,1,2] [2,1,2] [1,2,1] [3,2,1] [3,2,2] [2,2,2] [2,3,2] [1,3,1] [3,1,1] [1,1,1] [1,2,2] [1,3,2] [3,3,2] [3,3,1] [2,3,1] [2,1,1] 1

7 Hátrányok: Nm végz körfigylést, zért lokális optimum hly körül ltévdht kvidisztans flültn ltévdht zsákutcába bragad csak rős hurisztika stén alkalmazható A baj okai: Túl kicsi az algoritmus mmóriája Túl rős az alkalmazott mohó stratégia Mgjgyzés Grgorics Tibor Bvztés a mstrségs intllignciába 7 Tabu-krsés Az n aktuális csúcson kívül nyilvántartjuk még az ddig lgjobbnak bizonyult n * csúcsot és az utóbbi néhány aktuális csúcsot; z a tabu halmaz Mindn lépésbn kiválasztjuk a lgjobb csúcsot az aktuális csúcs környztéből (kivév bből a tabu csúcsokat) ha z jobb, mint az n *, akkor azt lcsréljük frissítjük a tabu halmazt Trminálási fltétlk: ha a célfüggvény az n * -ban optimális ha az n nm vagy az n * sokáig nm változik. Grgorics Tibor Bvztés a mstrségs intllignciába 8 Tabu krrsés algoritmusa Procdur Tabu krsés 1. n, n*, Tabu startcsúcs, startcsúcs, 2. whil not trminálási fltétl (n* nm célcsúcs) loop 3. n opt f ( Γ(n)\Tabu ) // ürs halmazra kilép 4. Tabu Módosít(n,Tabu) 5. if f(n) > f(n*) thn n* n 6. ndloop nd Grgorics Tibor Bvztés a mstrségs intllignciába 9 [3,2,2] [2,2,2] [3,3,3] [2,3,3] [1,3,3] [2,1,3] [1,2,3] [1,1,3] [2,2,3] [3,1,3] [3,2,3] [1,1,2] [2,2,1] [3,1,2] [2,1,2] [1,2,1] [2,3,2] [1,3,1] Hanoi tornyai [3,2,1] [3,1,1] [1,1,1] [1,2,2] [1,3,2] [3,3,2] [3,3,1] [2,3,1] [2,1,1] Hátrányok: A tabu mértét kísérltzéssl kll blőni bszorulhat a krsés Mgjgyzés Szimulált hűtés A kövtkző csúcs választása véltlnszrű. Ha a kiválasztott r csúcs célfüggvény-érték rosszabb (itt nagyobb), mint az aktuális n csúcsé, akkor annak újcsúcsként való lfogadásának valószínűség fordítottan arányos f(r) és f(n) különbséggl. ha f(r) f(n) vagy f(n) f(r) f(r) > f(n) és > random [ 0,1 ] Grgorics Tibor Bvztés a mstrségs intllignciába 11 akkor n r Grgorics Tibor Bvztés a mstrségs intllignciába 12 2

8 Szimulált hűtés algoritmusa Hűtési ütmtrv Procdur Szimulált hűtés 1. n startcsúcs; k 1 2. whil not trminálási fltétl (n nm célcsúcs) loop 3. for i = 1.. L k loop 4. r slct( Γ(n)\π(n) ) f(n) f(r) 5. if f(r) f(n) or f(r) > f(n) and T k > random 6. thn n r 7. ndloop 8. ndloop nd Grgorics Tibor Bvztés a mstrségs intllignciába 13 A T csökkntésévl csökkn gy rosszabb új csúcs lfogadásának valószínűség. Adjunk ütmtrvt a T változására Az ütmtrv lmi: Kzdti hőmérséklt: T 0 Hőmérséklt csökkntésénk mnt és gy hőmérséklt mlltti szakasz hossza: (T k, L k ) k= 1,2, ahol mindn T k érték L k lépésn krsztül van érvénybn. Grgorics Tibor Bvztés a mstrségs intllignciába 14 Szimulált hűtés rj A szimulált hűtés algoritmusa (aszimptotikusan) gy optimális mgoldáshoz konvrgál, ha az algoritmussal bármly csúcsból bármly csúcs végs lépésn blül lérhtő (rősn összfüggés, csúcs környzt) Ahhoz azonban, hogy végs lépésn blül is gy lég jó mgoldást találjunk, mgfllő hűtési ütmtrvt kll találni. 2. Visszalépéss stratégia A visszalépéss krső rndszr olyan KR, amly globális munkatrült: út a startcsúcsból az aktuális csúcsba (zn kívül a még ki nm próbált élk nyilvántartása) Kzdtbn a startcsúcsot tartalmazó nulla hosszúságú út trminálás célcsúccsal vagy startcsúcsból való visszalépéssl krsés szabályai: a nyilvántartott út végéhz gy új (ki nm próbált) él hozzáfűzés, vagy az lgutolsó él törlés (visszalépés szabálya) vzérlés stratégiája a visszalépés szabályát csak a lgvégső stbn alkalmazza Grgorics Tibor Bvztés a mstrségs intllignciába 15 Grgorics Tibor Bvztés a mstrségs intllignciába 16 Visszalépés fltétli az aktuális útra zsákutca, azaz végpontjából nm vzt tovább út zsákutca torkolat, azaz végpontjából kivztő utak nm vzttk célba kör, azaz végpontja mggyzik az út gy mglőző csúcsával mélységi korlátnál hosszabb [3,3,3] [2,3,3] [1,3,3] [2,1,3] [1,2,3] [1,1,3] [2,2,3] [3,1,3] [3,2,3] [1,1,2] [2,2,1] Hanoi tornyai [3,1,2] [2,1,2] [1,2,1] [3,2,1] [3,2,2] [2,3,2] [1,3,1] [3,1,1] Grgorics Tibor Bvztés a mstrségs intllignciába 17 [2,2,2] [1,2,2] [1,3,2] [3,3,2] [3,3,1] [2,3,1] [2,1,1] [1,1,1] 3

9 W sorrndi hurisztika: Hurisztikák sorrndt ad végpontból kivztő élk (utak) vizsgálatára vágó hurisztika: mgjlöli azokat a végpontból kivztő élkt (utakat), amlykt nm érdms mgvizsgálni Grgorics Tibor Bvztés a mstrségs intllignciába 20 Első változat A visszalépéss algoritmus lső változata az, amikor a visszalépés fltétli közül az lső kttőt építjük b a krső rndszrb. A VL1 végs körmnts irányított gráfokon (nm kll δ-gráf) mindig trminál, és ha létzik mgoldás, akkor talál gy mgoldást. Rkurzív algoritmussal (VL1) szokták mgadni Indítás: mgoldás VL1(startcsúcs) Grgorics Tibor Bvztés a mstrségs intllignciába 21 Rcursiv procdur VL1(csúcs) rturn mgoldás 1. if cél(csúcs) thn rturn(nil) ndif 2. élk kivztő-élk(csúcs) 3. whil not ürs(élk) loop 4. él kivsz-gyt(élk) 5. mgoldás VL1(vég(él)) 6. if mgoldás hiba thn rturn(hozzáfűz(él,mgoldás)) ndif 7. ndloop 8. rturn(hiba) nd Második változat A visszalépéss algoritmus második változata az, amikor a visszalépés fltétli közül mindt bépítjük a krső rndszrb. A VL2 δ-gráfban mindig trminál. Ha létzik a mélységi korlátnál nm hosszabb mgoldás, akkor mgtalál gy mgoldást. Rkurzív algoritmussal (VL2) adjuk mg Indítás: mgoldás VL2(<startcsúcs>) Grgorics Tibor Bvztés a mstrségs intllignciába 23 Rcursiv procdur VL2(út) rturn mgoldás 1. csúcs utolsó-csúcs(út) 2. if cél(csúcs) thn rturn(nil) 3. if hossza(út) korlát thn rturn(hiba) 4. if csúcs maradék(út) thn rturn(hiba) 5. élk kivztő-élk(csúcs) 6. whil not ürs(élk) loop 7. él kivsz-gyt(élk) 8. mgoldás VL2(fűz(út,vég(él))) 9. if mgoldás hiba thn rturn(fűz(él,mgoldás)) 10.ndloop 11.rturn(hiba) nd 4

10 Mgjgyzés Ha csak a mgadott mélységi korlátnál hosszabb mgoldási út van, akkor az algoritmus bár trminál, d nm talál mgoldást. A mélységi korlát önmagában biztosítja a trminálást körök stér is. A mélységi korlát llnőrzés jóval gyorsabb és kvsbb mmóriát igényl, mint a körfigylés. ELŐNYÖK könnyn implmntálható kicsi mmória igényű HÁTRÁNYOK Értéklés nm ad optimális mgoldást. (itrációba szrvzhtő) kzdtbn hozott rossz döntést csak sok visszalépés korrigál (visszaugrásos krsés) gy zsákutca részt többször is bjárhat a krsés Grgorics Tibor Bvztés a mstrségs intllignciába 25 Grgorics Tibor Bvztés a mstrségs intllignciába Gráfkrső stratégia A gráfkrső rndszr olyan KR, amlynk globális munkatrült a startcsúcsból kiinduló már fltárt utakat (részgráfot) tárolja kiinduló érték: a startcsúcs, trminálási fltétl: mgjlnik gy célcsúcs vagy mgakad az algoritmus. krsés gy szabálya: gy csúcs rákövtkzőit állítja lő (kitrjszti), vzérlés stratégiája: a lgkdvzőbb csúcs kitrjsztésér törkszik, Grgorics Tibor Bvztés a mstrségs intllignciába 27 [3,3,3] 1. [2,3,3] [1,3,3] 2. [2,1,3] [1,2,3] 3. [1,1,3] [2,2,3] 4. [3,1,3] [3,2,3] [1,1,2] [2,2,1] 5. [3,1,2] [2,1,2] 6. [1,2,1] [3,2,1] [3,2,2] [2,2,2] [2,3,2] [1,3,1] [3,1,1] 9. [1,1,1] [1,2,2] [1,3,2] [3,3,2] [3,3,1] [2,3,1] [2,1,1] 3.1. Általános gráfkrső algoritmus Jlölés: G - krsőgráf NYÍLT - nyílt csúcsok halmaza Γ - kitrjsztés kitrjszttt csúcsok - zárt csúcsok halmaza Az absztrakt krsési tér a továbbiakban is gy δ- gráf (nm fltétlnül végs) Nulladik vrzió Procdur GK0 1. G {s}: NYÍLT {s} 2. whil not ürs(nyílt) loop 3. n lm(nyílt) 4. if cél(n) thn rturn van mgoldás 5. G G Γ(n) 6. NYÍLT NYÍLT {n}: NYÍLT NYÍLT Γ(n) 7. ndloop 8. rturn nincs mgoldás nd Grgorics Tibor Bvztés a mstrségs intllignciába 29 Grgorics Tibor Bvztés a mstrségs intllignciába 30 5

11 Körökr érzékny Zárt csúcs n lhssn újra nyílt? Nhzn olvasható ki a mgoldás Jlölni klln a mgtalált utakat Mgjgyzés Nm garantál optimális mgoldást, sőt mgoldást sm Jlölni klln a mgtalált utak költségit Grgorics Tibor Bvztés a mstrségs intllignciába 31 f:nyílt R kiértéklő függvény a 3. lépésbn n min f (NYÍLT) Függvényk a G gy s gyökrű irányított fszítőfája pointrkkl π:g G π(n)= ncsúcs gyik szülőj π(s)=nil Jó lnn, ha a G-bli optimális költségű utakat mutatná Az n csúcshoz vztő, nyilvántartott α {s n} út költség g:g R költség függvény g(n):=c α (s,n) Jó lnn, ha konzisztns lnn a π -vl Jó lnn, ha a G-bli optimális költségt mutatná Grgorics Tibor Bvztés a mstrségs intllignciába 32 Gyrmk csúcs három st Optimális költségű konzisztns fszítőfa? Új csúcs Ha m G akkor π(m) n, g(m) g(n)+c(n,m) NYÍLT NYÍLT {m} Régi csúcs, amlyhz olcsóbb utat találtunk Ha m G és g(n)+c(n,m)<g(m) akkor π(m) n, g(m) g(n)+c(n,m) Régi csúcs, amlyhz nm találtunk olcsóbb utat Ha m G és g(n)+c(n,m) g(m) akkor SKIP Grgorics Tibor Bvztés a mstrségs intllignciába 33 Ha m G és g(n)+c(n,m)<g(m), és m csúcsnak vannak lszármazottai 5 g(s)=0 g(m)=42 1 s m k l g(k)=5 g(l)=5?? n g(n)=1 Nm törődjünk a zárt m csúcs lszármazottaival, d magát az m csúcsot hlyzzük vissza a NYÍLT halmazba. Grgorics Tibor Bvztés a mstrségs intllignciába 34 Procdur GK 1. G {s}: NYÍLT {s}: g(s) 0: π(s) nil 2. whil not ürs(nyílt) loop 3. n min f (NYÍLT) 4. if cél(n) thn rturn mgoldás 5. NYÍLT NYÍLT-{n} 6. for m Γ(n) loop 7. if m G or g(n)+c(n,m)<g(m) thn 8. π(m) n, g(m) g(n)+c(n,m), NYÍLT NYÍLT {m} 9. ndloop 10. G G Γ(n) 11. ndloop 12. rturn nincs mgoldás A GK a működés során gy csúcsot lgfljbb végs sokszor trjszt ki. (a körökr nm érzékny) A GK a működés során bármlyik s-ből lérhtő még ki nm trjszttt n csúcsra ismri az összs s * n optimális útnak gy nyílt csúcsig tartó kzdő szakaszát. Működés és rdmény A GK végs δ-gráfban mindig trminál. Ha gy végs δ-gráfban létzik mgoldás akkor a GK gy célcsúcs mgtalálásával trminál. nd Grgorics Tibor Bvztés a mstrségs intllignciába 35 Grgorics Tibor Bvztés a mstrségs intllignciába 36 6

12 3.2. Nvzts gráfkrső algoritmusok Most az f kiértéklő függvény mgválasztása kövtkzik. Nminformált mélységi, szélsségi, gynlts Hurisztikus lőr tkintő (mohó), A, A *, A c Hurisztikus függvény Azt h:n R függvényt, amlyik mindn n csúcsra az abból a célba vztő út költségér ad bcslést hurisztikus függvénynk hívjuk. h(n) h * (n) = min t T c*(n,t) = c*(n,t) Példa h=0 8-as játék: h=w, h=p Grgorics Tibor Bvztés a mstrségs intllignciába 37 Grgorics Tibor Bvztés a mstrségs intllignciába 38 Nvzts algoritmusok és tulajdonságaik 3.3. A* algoritmus hatékonysága mélységi szélsségi gynlts lőr tkintő A A* A c f = -g, c(n,m) = 1 f = g, c(n,m) = 1 f = g f = h f = g+h, 0 h A alg + h h* A alg + h(t) = 0 h(n)-h(m) c(n,m) csak mélységi korláttal garantál mgoldást lgrövidbb mgoldást adja lgfljbb gyszr trjszt lgolcsóbb mgoldást adja lgfljbb gyszr trjszt mgoldást ad, ha van optimális mgoldást ad, ha van optimális mgoldást ad, ha van lgfljbb gyszr trjszt Grgorics Tibor Bvztés a mstrségs intllignciába 39 h(t)=0 + h(n)-h(m) c(n,m) h h* mgngdhtő Mmória igény Hatékonyság Zárt csúcsok száma a trmináláskor 8-as kirakó: W P h* A* az gyik lgjobb Futási idő Kitrjsztésk száma a zárt csúcsok számához viszonyítva k és 2 k-1 között, ahol k a zárt csúcsok száma Olyan problémákat vizsgálunk, ahol van mgoldás: az A * algoritmus optimális mgoldással trminál. monoton mgszorításos Grgorics Tibor Bvztés a mstrségs intllignciába 40 7

13 1. Visszaflé haladó krsés III. REDUKCIÓ, DEKOMPOZÍCIÓ 1. Visszaflé haladó krsés 2. Probléma rdukció 3. Probléma dkompozíció 4. ÉS/VAGY gráfok Ha a problématér a cél flől nézv gyszrűbb (kvsbb altrnatívát mutat), mint a start flől nézv, akkor érdms visszaflé haladó krsést alkalmazni. A talált mgoldási utat azonban a starttól a cél flé haladva kll értlmzni. (Van- az útnak invrz?) Grgorics Tibor Bvztés a mstrségs intllignciába 1 Grgorics Tibor Bvztés a mstrségs intllignciába 2 start A B A mgoldási út mgtalálása a célból a start flé haladva gyszrűbb. B A A B Kockavilág probléma Grgorics Tibor Bvztés a mstrségs intllignciába 3 cél B A A B Két irányú krsés a Hanoi tornyai probléma állapotgráfján [3,3,3] start [2,3,3] [2,1,3] [1,1,3] [3,1,3] [1,3,3] [1,2,3] [2,2,3] [3,2,3] [1,1,2] [2,2,1] [3,1,2] [2,1,2] [1,2,1] [3,2,1] [3,2,2] [2,2,2] [2,3,2] [1,3,1] [3,1,1] [1,1,1] [1,2,2] [1,3,2] [3,3,2] [3,3,1] [2,3,1] [2,1,1] cél Miért nm oldja mg a kancsó-problémát gy visszaflé haladó krsés? l 3l 2l?? 1 5l 3l 2l Kiindulási célállapotot kiválasztása nm gyszrű: Nm lérhtő célállapot például a (2,2,1). A visszaflé haladó krséssl talált (4,0,1) (5,0,0) út nm értlmzhtő a fladat mgoldásaként. Visszaflé haladó krsés fltétli A művltk invrtálhatóak lgynk (lgalábbis a visszaflé haladó krsés által alkalmazottak). Konkrét célállapotot kll választani. (Ettől a talált mgoldás költség is függ.) Mit tgyünk, ha a fnti két fltétl nm áll fnn, d visszaflé haladó krsést akarunk mgvalósítani? Grgorics Tibor Bvztés a mstrségs intllignciába 5 Grgorics Tibor Bvztés a mstrségs intllignciába 6 1

14 2. Probléma rdukció Hogyan határozható mg gy csak részbn ismrt állapothoz az azt mglőző állapot? Két kérdésr krssük a választ: Van- olyan művlt, amllyl lérhtő az éppn vizsgált állapot? Mlyik az a mglőző állapot, amlyikből gy kiválasztott művlt az éppn vizsgált állapotba vzt? Grgorics Tibor Bvztés a mstrségs intllignciába 7 Kancsók-probléma rdukciós gráfja [x,y,1] T 23 T53 T 35 [1,2,2] [u,v,1] T 32 T 52 [1,3,1] [3,2,0] T 25 T 23 T 32 T 32 [1,2,2] [3,0,2] T [2,3,0] T T T T T [3,2,0] T 53 [0,3,2] T 52 [3,0,2] [2,3,0] [5,0,0] [4,1,0] T 25 T 23 [2,1,2] [4,0,1] T52 [4,1,0] [2,1,2] Kancsók-probléma állapotgráfja cél cél cél cél start Rdukciós rprzntáció fogalma A rprzntációhoz mg kll adnunk a fladat állapottér-rprzntációját, majd mindn művlthz dfiniálunk gy rdukciós művltt, amly gy állapothoz azokat a mglőző állapotokat rndli, amlykből a rögzíttt művlt az aktuális állapotba vzt. M művlthz tartozó rdukciós művlt: B M állapot állapot és b B M (a) ham(b)=a Grgorics Tibor Bvztés a mstrségs intllignciába 10 Mgjgyzés A rdukció során ljuthatunk érdktln illtv hamis állapot-lírásokhoz. Gráfrprzntáció készíthtő: bbn kll utat krsni, hhz krső rndszr építhtő. A talált (célból startba vztő) út visszaflé olvasva adja ki a mgoldást, amly nm az invrz a talált útnak. 3. Dkompozíció A dkompozíció általánosítása a rdukciónak: gy fladatot több részfladatra bontunk, majd azokat tovább részltzzük, amíg nyilvánvalóan mgoldható fladatokat nm kapunk. probléma részprobl 11 részprobl 12 részprobl 21 részprobl 22 részprobl23 rész 1 rész 2 rész 3 rész 4 Grgorics Tibor Bvztés a mstrségs intllignciába 11 Grgorics Tibor Bvztés a mstrségs intllignciába 12 2

15 A rdukció kétflé bont gy problémát A rdukció során a mgoldandó fladatot mindig két részr: gy nyilvánvalóan mgoldható és gy további rdukálást igénylő részfladatra bontottuk. s t 1 s t s t 2 t 2 t 1 A t rdukálásának rdmény a t 1 és a t 1 -ből t-b vztő művlt. t 1 t Grgorics Tibor Bvztés a mstrségs intllignciába 13 H(n, i j, k) hlytt H(n-1, i k, j) H(1, i j, k) H(n-1, k j, i) H(2,3 2,1) Hanoi tornyai probléma mgoldása dkompozícióval H(1,3 1,2) H(1,1 2,2) H(1,3 2,2) H(3, 3 1, 2) H(1,3 1,2) H(2,2 1,3) H(1,2 3,2) H(1,3 1,2) H(1,2 1,2) Intgrálszámítás (5x 2 +x x )dx + 5x 2 dx x x dx * x 2 dx x x x dx (1/2) x 2 x (1/2) x 2 x dx * (1/3)x 3 x 1/2 x 2 x dx Dkompozíciós rprzntáció fogalma A rprzntációhoz mg kll adnunk: a fladat részproblémáinak általános lírását, az rdti problémát, az gyszrű problémákat, amlykről könnyn ldönthtő, hogy mgoldhatók- vagy sm, és a dkomponáló művltkt: D: probléma probléma + és D(p)=<p 1,, p n > Grgorics Tibor Bvztés a mstrségs intllignciába 15 Grgorics Tibor Bvztés a mstrségs intllignciába 16 A dkompozíciós rprzntáció nhéz Dkomponáló művltkt nagyon nhéz mgtalálni. Nm mindn fladat dkomponálható. Nm biztos, hogy mindn dkomponálást észrvttünk. Hamis dkomponáló művltk. Az gyszrű probléma flismrés sm gyértlmű sin(x) x dx = = sin(x) x -cos(x) x - sin(x) x dx A mgoldás kiolvasása nm nyilvánvaló. Grgorics Tibor Bvztés a mstrségs intllignciába 17 Gráfrprzntáció A fladat problématrét nm gy közönségs irányított gráf írja l, hanm gy úgynvztt ÉS/VAGY gráf. A mgoldást sm gy közönségs irányított út szimbolizálja, hanm gy spciális részgráf: a mgoldásgráf A mgoldásgráfnak gyértlmű haladási irányt kll kijlölni a startcsúcsból a célcsúcsokba. A probléma mgoldása nm a mgoldásgráf, d abból olvasásható ki. Grgorics Tibor Bvztés a mstrségs intllignciába 18 3

16 4. ÉS/VAGY gráfok Az R=(N,A) élsúlyozott irányított hiprgráf, ahol az N a csúcsok halmaza, A { (n,m) N 2 N 0 M < } a hiprélk a halmaza, M a hiprél rndj 1 (c(n,m) az (n,m) költség) 3 σ tulajdonság b c f 1 4 (δ tulajdonság) 2 g h 2 d 1 i j 1 Grgorics Tibor Bvztés a mstrségs intllignciába 19 Az n csúcsból az M csúcshalmazba vztő irányított hiprút fogalma A hiprút gyértlmű haladási irányt kijlölő hiprélk halmaza, azaz gy végs részgráf (n α M), amlybn a {d,} M csúcsaiból nm indul hiprél, a a többi csúcsból gy hiprél indul, 1 nincs közönségs irányított kör, 3 bármlyik részgráfbli csúcs lérhtő az n csúcsból közönségs úton. Hiprút hossza, költség b c f g h 2 d 1 i j 1 Grgorics Tibor Bvztés a mstrségs intllignciába 20 Dkompozíciós gráfrprzntáció Egy dkompozíciós rprzntációhoz tartozó (R,s,T) gráfrprzntációban az R=(N,A,c) gy olyan ÉS/VAGY gráf (dkompozíciós gráfban), ahol N a részprobémákat, A a dkomponáló művltkt, c azok költségit szimbolizálják, s az rdti problémát, T az gyszrű problémákat jlöli. Mgjgyzés A probléma mgoldását gy s M T hiprút, az úgynvztt mgoldásgráf mgtalálása jlnti. Az rdti probléma mgoldása bből a mgoldásgráfból nyrhtő ki. A mgoldás költség többnyir nm függ a mgoldásgráf költségétől, zért nm cél, az optimális mgoldásgráf lőállítása. Grgorics Tibor Bvztés a mstrségs intllignciába 21 Grgorics Tibor Bvztés a mstrségs intllignciába 22 Krsés ÉS/VAGY gráfban Egy ÉS/VAGY gráfon folyó krsés a startcsúcsból kivztő hiprutak (köztük a mgoldásgráfok) között folyik. Az útkrső algoritmusainkat közönségs gráfokra fogalmaztuk mg. D mivl mindn hiprút fogalma rokon a közönségs útéval, zért a tanult krsésk könnyn adaptálhatók ÉS/VAGY gráfokra. Vgyük szmügyr az ÉS/VAGY gráfok és a közönségs δ-gráfok közötti kapcsolatot, hogy zt az adaptációt lvégzhssük. Grgorics Tibor Bvztés a mstrségs intllignciába 23 Különbség a közönségs út és a hiprút bjárása között Egy közönségs út bjárásán az úton fkvő élk flsorolását értjük. Ennk mgadása gyértlmű. A hiprút is gyértlmű haladási irányt jlöl ki, d z többfélképpn is bjárható. a d b c bjárások: {a} {b,c} {b} {d,} {a} {b,c} {d,,c} {d,,b} {d,} Grgorics Tibor Bvztés a mstrségs intllignciába 24 4

17 Mgjgyzés Hiprút bjárása A bjárás a hiprút összs hiprélét tartalmazó hiprél-sorozat, amlybn ugyanaz a hiprél többször is szrplht. Az n M hiprút (k,k) hiprél lgfljbb annyiszor szrpl gy bjárás során, amnnyi közönségs út vzt a hiprútban az n csúcsból k csúcshoz. Egy bjárás végs hosszú. Egy hiprútnak végs sok különböző bjárása lht. Az n M hiprút gy bjárásán a hiprút csúcsaiból képztt halmazoknak olyan flsorolását értjük, amlybn Az lső az {n} halmaz, a második az n csúcsból kivztő (gytln) hiprél utódhalmaza. Általában gy C halmaz után a C-{k} K halmaz kövtkzik, ha van olyan (k,k) hiprél az n M hiprúton, hogy k C és k M. A bjárás utolsó csúcshalmaza az M halmaz. Grgorics Tibor Bvztés a mstrségs intllignciába 25 Grgorics Tibor Bvztés a mstrségs intllignciába 26 Egytln hiprélből álló útnak gytln bjárása van Több hiprélből álló útnak gyik bjárása Bjárások ábrázolása közönségs utakkal f Grgorics Tibor Bvztés a mstrségs intllignciába 27 c c 1 a a b b d {c,b} {c,d} {f,,d} {a} {b,c} {a} a = s d, T d c A startból induló hiprutak bjárásait közönségs útként rajzoljuk fl. Az átalakítás nm költségtartó. a Nm kll gy hiprútnak mindn bjárása! Törölni kll a hamis bjárásokat, azokat, ahol ugyanaz a csúcs többször és másként krül hlyttsítésr! b ÉS/VAGY gráf átalakítása {a} {b,c} {c} {d} 1 {c,d,} {d,} {b,d,} {c,d} {b,d} a = s d, T d c 1 a b {a} {b,c} {c} 1. Egy hiprútnak lég lnn csak gy bjárását mgadni, zért az átalakítás gy {d,} lépésébn lég gy halmaznak gy csúcsát hlyttsítni {d} 2. Számunkra csak az s M T hiprutak a fontosak, zért a célcsúcsokból már n lépjünk tovább. {b,d} {c,d} {d,} {d} {a} {b,c} {b,d,} {c,d,} {d,} {d} hamis bjárások! 3. A hamis bjárások kizárása érdkébn a közönségs gráfot fává gynsítv adjuk mg, és ha nnk gy csúcsát címkéző csúcshalmazból olyan k csúcsot választunk a továbblépéshz, amlyhz a halmazhoz vztő úton korábban már a (k,k) hiprélt illsztttük, akkor it isk zt a hiprélt használhatjuk fl, más él nm vztht ki. Átalakító algoritmus Btsszük gy SOR-ba az {s} halmazt, mint startcsúcsot. Amíg a SOR nm ürs addig kivszünk a SOR-ból gy C halmazt, és gnráljuk a C-ből kivztő élkt: Lgyn k C-bli nm célcsúcs. (Ha C csupa célcsúcsból áll, akkor a C maga is célcsúcs és blől nm indul ki él.) Ha a C-hz vztő úton nincs olyan él, amlyt (k,k) A hiprélll gnráltunk, akkor az összs (k,k) A hiprélr gnrálunk gy-gy C-{k} K utódot. Ha a C-hz vztő úton van olyan él, amlyt gy (k,k) A hiprélll gnráltunk, akkor csak zzl a (k,k) hiprélll gnrálunk gy C-{k} K utódot. Az utódokat btsszük a SOR-ba. Grgorics Tibor Bvztés a mstrségs intllignciába 30 5

18 Tétl 1. Az átalakítással nyrt közönségs gráfok mindn mgoldási útja gy s M T hiprútnak gy bjárását írja l. 2. Az átalakítás mindn s M T hiprút valamlyik bjárásához végs lépésbn mgflltt gy közönségs mgoldási utat. Mgjgyzés: Az átalakított gráf gy δ-gráf (költségk!) Az átalakítást bépítik a krséskb. Grgorics Tibor Bvztés a mstrségs intllignciába 31 Visszalépéss krsés ÉS/VAGY gráfokon Rcursiv procdur VL2(bjárás) rturn mgoldás 1. C vég(bjárás) 2. if csupacél(c) thn rturn(nil) ndif 3. if hossza(bjárás) korlát thn rturn(hiba) ndif 4. if C maradék(bjárás) thn rturn(hiba) ndif 5a. k kivsz-gy-nmcélcsúcsot(c) 5b. hiprélk kivztő-hiprélk(k) 6. whil not ürs(élk) loop 7. (k,k) kivsz(hiprélk) 8. mgoldás VL2( hozzáfűz(c-{k} K, bjárás) ) 9. if mgoldás hiba thn rturn(hozzáfűz((c, C-{k} K), mgoldás)) ndif 10. ndloop 11. rturn(hiba) nd 6

19 Tljs információjú, végs, zéró összgű kétszmélys játékok IV. KÉTSZEMÉLYES JÁTÉKOK Két játékos lép flváltva adott szabályok szrint. Mindkét játékos ismri a maga és az llnfl összs választási lhtőségét, és azok kövtkzményit. Mindkét játékos mindn lépésébn végs számú lhtőség közül választhat; mindn játszma végs lépésbn végt ér. Amnnyit az gyik játékos nyr, annyit vszít a másik. (Lggyszrűbb változatban: gyik nyr, másik vszít, stlg lht dönttln is) Grgorics Tibor Bvztés a mstrségs intllignciába 1 Grgorics Tibor Bvztés a mstrségs intllignciába 2 Grundy mama játéka Állapottér-rprzntáció állapot művlt kzdő állapot célállapot - állás + soron kövtkző játékos - lépés - kzdőállás + kzdő játékos - végállás (nyrő, vsztő vagy dönttln) Egy játszma gy kzdőállapotból célállapotba vztő (mindig végs) művltsorozat Grgorics Tibor Bvztés a mstrségs intllignciába 3 Grgorics Tibor Bvztés a mstrségs intllignciába 4 Grundy mama játékgráfja Grundy mama játékfája 5,1;B 6;A 4,2;B 5,1 6 4,2 A B 4,1,1;A 3,1,2;A 4,1,1 3,1,2 3,1,2 A 3,1,1,1;B 2,1,1,2;B 3,1,1,1 2,1,1,2 2,1,1,2 B 2,1,1,1,1;A 2,1,1,1,1 A Grgorics Tibor Bvztés a mstrségs intllignciába 5 Grgorics Tibor Bvztés a mstrségs intllignciába 6 1

20 Játékfa Nyrő stratégia csúcs - állás (gy állásnak több csúcs is mgfllht) szint - játékos él - lépés (szintről szintr) gyökér - kzdőállás(kzdő játékos) lvél - végállások ág - játszma Az gyik játékosnak akkor van nyrő stratégiája (vagy nm vsztő stratégiája), ha mindig tud olyat lépni, hogy llnfl bármilyn játéka stén számára kdvző végállásba tud jutni. Grgorics Tibor Bvztés a mstrségs intllignciába 7 Grgorics Tibor Bvztés a mstrségs intllignciába 8 Nyrő stratégia krsés az B játékos ÉS/VAGY fájában Nyrő stratégia krsés az A játékos ÉS/VAGY fájában A A B B A A B B B B A A B A A A B B B B B B B B A A B A A A B B B B Csak az gyik játékosnak lht nyrő stratégiája. Grgorics Tibor Bvztés a mstrségs intllignciába 9 Grgorics Tibor Bvztés a mstrségs intllignciába 10 Tétl Részlgs játékfa-kiértéklés Egyik játékos számára mindig létzik nyrő stratégia (nm vsztő stratégia). A B B A A A A A B A Minimax algoritmus Ngamax algoritmus Átlagoló kiértéklés Váltakozó mélységű Szlktív kiértéklés Alfabéta algoritmus B B A B B B B A B A A A A B Grgorics Tibor Bvztés a mstrségs intllignciába 11 Grgorics Tibor Bvztés a mstrségs intllignciába 12 2

21 Kiértéklő függvény Mindn stbn szükségünk van gy olyan hurisztikára, amly mgbcsüli, hogy gy állás mnnyir ígérts. Ez mindig csak az gyik játékos szmpontjait tükrözi. Sokszor z gy f:állás [ ] függvény. Grgorics Tibor Bvztés a mstrségs intllignciába 13 Minimax algoritmus Adott állásból indulva flépítjük a játékfa néhány szintjét. A részfa lvlit kiértékljük aszrint, hogy azok számunkra kdvző, vagy kdvzőtln állások. Az értékkt flfuttatjuk a fában. (Saját szintjink csúcsaihoz azok gyrmkink maximumát, llnfél csúcsaihoz azok gyrmkink minimumát rndljük.) Soron kövtkző lépésünk ahhoz az álláshoz vzt, ahonnan a gyökérhz flkrült a lgnagyobb érték. Grgorics Tibor Bvztés a mstrségs intllignciába 14 Példa Mgjgyzés 7 MAX MIN 7 6 MAX MIN Az algoritmust mindn alkalommal, valahányszor mi kövtkzünk, mgismétljük, hiszn lht, hogy az llnfél nm az általunk várt lgrősbb lépéskkl válaszol, mrt: ltérő mélységű részfával dolgozik, más kiértéklő függvényt használ, nm minimax ljárást alkalmaz, hibázik. Grgorics Tibor Bvztés a mstrségs intllignciába 15 Grgorics Tibor Bvztés a mstrségs intllignciába 16 Ngamax algoritmus Ngamax ljárást könnybb implmntálni. Az llnfél szintjén lvő lvlk értékénk vsszük a (-1)-szrsét, majd mindn szintn szülő=max(-gyrk 1,..., -gyrk n ). Átlagoló kiértéklés Az (m,n) átlagolás célja a kiértéklő függvény stlgs tévdésink simítása. Lgyn például n=2 és m=2. MAX MIN MAX MIN Grgorics Tibor Bvztés a mstrségs intllignciába 17 Grgorics Tibor Bvztés a mstrségs intllignciába 18 3

22 Váltakozó mélységű kiértéklés Szlktív kiértéklés Célja, hogy a kiértéklő függvény mindn ágon rális értékt mutasson. A részfa flépítését módosítjuk úgy, hogy gy adott szinttől kzdv, akkor vsszük bl gy csúcs utódait a részfába, ha mindn utódra tljsül a nyugalmi tszt: f(szülő) - f(gyrk) < K Célja a mmória-igény csökkntés. Elkülönítjük a lénygs és lénygtln lépéskt, és csak a lénygs lépésknk mgfllő részfát építjük fl. Grgorics Tibor Bvztés a mstrségs intllignciába 19 Grgorics Tibor Bvztés a mstrségs intllignciába 20 Alfa-béta algoritmus Példa Visszalépéss algoritmus sgítségévl járjuk b a részfát. (mélységi bjárás) Az aktuális úton fkvő csúcsokat: a mi szintünkön α értékkl (nnél rosszabb értékű állásba innn már nm juthatunk), az llnflén β értékkl(nnél jobb értékű állásba onnan már nm juthatunk) látjuk l. Lflé haladva α=-, és β=+. Ezk visszalépéskor a flhozott értékr változnak, ha az nagyobb, mint az α, illtv kisbb, mint a β. Vágás: ha az úton van olyan α és β, hogy α β. Grgorics Tibor Bvztés a mstrségs intllignciába 21 α= β= α= β= Erdmény Hatékonyság Több gyformán jó kzdőirány stén a baloldalit kll választani. Ekkor ugyanazt a kzdőlépést kapjuk rdményül, mint a minimax algoritmussal talált baloldali lgjobb kzdőlépés. Tárigény: csak gy utat tárol. Futási idő: a vágások miatt sokkal jobb, mint a minimax módszré. Optimális st: gy d mélységű b lágazású fában kiértéklt lvélcsúcsok száma: Átlagos st: gy csúcs alatt, két blől kiinduló ág mgvizsgálása után már vághatunk. Jó st: A bjárt részfa mgfllő rndzésévl érhtő l. ( cáfoló lépés lv ) d b Grgorics Tibor Bvztés a mstrségs intllignciába 23 Grgorics Tibor Bvztés a mstrségs intllignciába 24 4

23 Kétszmélys játékot játszó program Váltakozó mélységű, szlktív, (m,n) átlagoló, ngamax alfa-béta kiértéklést végz. Krtprogram, amly váltakozva fogadja a flhasználó lépésit, és gnrálja a számítógép lépésit. Kigészítő funkciók (bállítások, útmutató, sgítség, korábbi lépésk tárolása, mntés stb.) Flhasználói flült, grafika Hurisztika mgválasztása (kiértéklő függvény, szlkció, kiértéklés sorrndj) Grgorics Tibor Bvztés a mstrségs intllignciába 25 5

24 Trmészts nuronhálók V. Mstrségs nuronhálók axon dndrit szinapszis mmbrán K + Na + -90mV +30mV Grgorics Tibor Bvztés a mstrségs intllignciába 1 Grgorics Tibor Bvztés a mstrségs intllignciába 2 1. Mstrségs nuronháló fogalma 1.1. Mstrségs nuron Mstrségs nuron bmnő értékkből kimnő értékt számoló gység, amlynk számítási képlt változtatható Hálózati topológia több mstrségs nuron gymáshoz kapcsolásának módja Tanulási szabály gy nuron számítási képltét, stlg a hálózat topológiáját minták alapján módosító ljárás Alkalmazás approximáció asszociatív mmória optimalizálás bmntk x 1 x 2 x n x 0 f( ) a : mmória g kimnt a új = f(x 0,,x n, a régi ) o = g(a) o Grgorics Tibor Bvztés a mstrségs intllignciába 3 Grgorics Tibor Bvztés a mstrségs intllignciába Prcptron Mgjgyzés bmntk x 1 x 2 x n w 1 w 2 w n x 0 w 0 Σ stp o=stp(i) n I= Σ w i x i = w T x i=0 kimnt Az x 0 (stimuláló) bmntnk spciális szrp van: mghatározza a sjt ingrküszöb értékét. Például stp aktivizációs függvény stén n stp(i) = stp ( Σ w i x i + w 0 x 0 ) i=1 azaz itt gy Θ=- w 0 x 0 küszöbértékű lépcsős függvényről van szó n stp Θ ( Σ w i x i ) = stp(σ w i x i -Θ) n i=1 i=1 Θ Grgorics Tibor Bvztés a mstrségs intllignciába 5 Grgorics Tibor Bvztés a mstrségs intllignciába 6 1

25 Aktivizációs függvényk Bázisfüggvénys nuron sign stp linar a,b bmntk kimnt 1- -Kx 1+ -Kx Kx a sin(x) b x 1 x 0 w 1 x 2 w 2 w 0 Σ n o= Σ w i ϕ i (x) i=0 w n tangns hiprbolikusz logisztikus x n φ ( x) i 2 x c i 2 2 σ i = Grgorics Tibor Bvztés a mstrségs intllignciába 7 Grgorics Tibor Bvztés a mstrségs intllignciába Hálózati topológia Előrcsatolt, rétgztt topológia A mstrségs nuronháló gy olyan irányított gráf, amlynk csúcsai vagy a háló bmnti értékit jlnítik mg, vagy gy-gy (általában azonos konfigurációjú) mstrségs nuront szimbolizálnak. b m n t k 0.rétg 1.rétg 2.rétg r.rétg k i m n t k x = o [0] o [1] o [2] o [r] Grgorics Tibor Bvztés a mstrségs intllignciába 9 Grgorics Tibor Bvztés a mstrségs intllignciába 10 Előrcsatolt, rétgztt hálózat működés Visszacsatolt rétgztt topológia Számítási modll, amly bmnő értékkr kimnő értékkt számol: Az x i bmnti értékk gy 0-adik rétg nuronjainak kimntként foghatók fl (o i [0] ), Az s-dik rétgnk n darab nuronja van, amly mindgyik kiszámolja a saját kimnti értékét: o j Az s-dik rétg j-dik nuronjának i-dik bmnt = az s- 1-dik rétg i-dik nuronjának kimnt: o i [s-1] Az s-dik rétg j-dik nuronjának i-dik bmntéhz tartozó súly: w ij Grgorics Tibor Bvztés a mstrségs intllignciába 11 Grgorics Tibor Bvztés a mstrségs intllignciába 12 2

26 Hopfild topológia Hopfild topológia működés b m n t k i m n t Célja gy nyugalmi hlyzt lőállítása Mindn nuron kzdő állapota gy-gy bmnti érték Egy nuron mindaddig újra számolja a többi nuron kimnti érték alapján a blső állapotát, amddig az ltér a korábbi állapotától. A stabil hlyztbn kialakult állapotok lsznk a kimnti értékk. Grgorics Tibor Bvztés a mstrségs intllignciába 13 Grgorics Tibor Bvztés a mstrségs intllignciába 14 Kapcsolatok osztályozási szmpontjai kitöltöttség szrint: tljs, gy-gy, vagy véltln rétglés szrint: Ha a nuronokat rétgkr osztjuk (gy rétgb tartozó nuronok számításai párhozamosan végzhtők), akkor bszélhtünk rétgn blüli ill. rétgk közötti kapcsolatokról irányítás szrint: lőr csatolt vagy visszacsatolt Grgorics Tibor Bvztés a mstrségs intllignciába Tanulás A tanulás a hálózat paramétrink (topológia, aktivizációs függvény) tanító példák alapján történő bállítása. Lggyakrabban a súlyokat tanuljuk mg: Mintákat, azaz lhtségs bmntkt mutatunk a mstrségs nuronhálónak, amly mindn mintára kiszámítja a kimntt, majd z alapján módosítja a súlyokat: w i w i + Δw i Ez kihat gy-gy nuron számítási képltér, d közvtv a topológiára is. Grgorics Tibor Bvztés a mstrségs intllignciába 16 Tanulási formák Flügylt Flügylt nélküli Flügylt tanulás tanítóval adottak minta fladatok pontos rdményükkl Flügylt tanulás kritikussal (mgrősítéss tanulás) adottak minta fladatok értéklésükkl Flügylt nélküli (önszrvződő) tanulás adottak minta fladatok Analitikus tanulás A mintafladatok flhasználása nm adaptív módon történik Grgorics Tibor Bvztés a mstrségs intllignciába 17 Pl: Dlta szabály prcptronra ha x i a nuron i-dik bmnt t a várt kimnt o a számított kimnt akkor Pl: Hbb szabály prcptronra ha o a nuron számított kimnt x i a nuron i-dik bmnt, ami gybn gy mglőző nuron kimnt is akkor Δw i =η* x i *(t-o) Δw i =η* x i *o j η a tanulási gyüttható Grgorics Tibor Bvztés a mstrségs intllignciába 18 3

27 2. Prcptron modll Példa Stp aktivizációs függvényű, blső állapot nélküli nuronok gy rétgű prcptron hálója, flügylt tanulással. b m n t k 0.rétg 1.rétg k i m n t k x 0 x 1 w 1j... x n w nj w 0j Σ stp oj AND művlt Bállítások: x 1, x 2, o {0,1} x 0 = 1 w 0, w 1, w 2 R f(x) = stp(x) x 1 x 0 =1 x 2 w 1 w 2 w 0 Σ stp o Grgorics Tibor Bvztés a mstrségs intllignciába 19 Grgorics Tibor Bvztés a mstrségs intllignciába 20 o - a számított kimnt t - a várt kimnt Tanulás ha t-o=0 (t és o azonos) akkor smmit nm kll tnni ha t-o=1 (azaz t=1 és o=0) akkor az o-t növlni kll a kiszámításában aktív bmntk súlyainak növlésévl ha t-o=-1 (azaz t=0 és o=1) akkor az o-t csökkntni kll a kiszámításában aktív bmntk súlyainak csökkntésévl Ez gy dlta szabály: Δw i =η* x i *(t-o) Grgorics Tibor Bvztés a mstrségs intllignciába 21 η = 0.1 Alkalmazás x 1 x 2 w 0 w 1 w 2 I o t Mit tud gy prcptron? A prcptron súlyai annak a hiprsíknak gynltét határozzák mg, amlyik a bmnti érékkt két részr osztja. Az AND művltr btanított nuron bmnt-párjai a síkon ábrázolhatóak. A nuron összgztt bmnt gy I(x 1,x 2 ) = 0 gynst jlöl ki. A w 0 + w 1 x 1 + w 2 x 2 = 0 gynlt grafikonja ktté vágja a síkot: gyik fléb azok a bmnt-párok krülnk, amlykr I(x 1,x 2 )<0 (ilynkor a kimnt 0), a másikba azok, amlykr I(x 1,x 2 )<0 (a kimnt 1). x x2= x x 1 Grgorics Tibor Bvztés a mstrségs intllignciába 23 Lináris szparálhatóság Egy prcptron csak linárisan szparálható osztályozási problémákat képs mgoldani. Az gyrétgű prcptron modll csak hiprfélsíkokkal képs flosztani a bmntk trét, a kétrétgű prcptron modll már konvx poliédrkkl, a három rétgű háló pdig ttszőlgs poliédrkkl. A többrétgű prcptron modllkhz azonban nm találtak tanuló ljárást, zért a súlyai csak közvtln módon (analitikusan) állíthatók b. Grgorics Tibor Bvztés a mstrségs intllignciába 24 4

28 3. Backpropagation modll Logisztikus függvényű, blső állapot nélküli nuronok több rétgű hálója, flügylt tanulással. 0.rétg 1.rétg 2.rétg r.rétg b m n t k k i m n t k Az s-dik rétg j-dik nuronja: o [s-1] o [s-1] 1 0 o [s-1] i o n [s-1] [s-1] w w 0j 1j w ij w n[s-1]j Σ logiszt o j Nuron Az lső (s=1) rétgnél: o i [s-1] =x i Grgorics Tibor Bvztés a mstrségs intllignciába 25 Grgorics Tibor Bvztés a mstrségs intllignciába 26 w E ij w ij - η w ij Enrgia függvény A háló nrgiafüggvény gytln tanító minta stén: n [r] E= ½Σ (t j o[r] j ) 2 j=1 Az E tkinthtő úgy is, mint háló {w ij } súlyainak E(w 11 [1], ) függvény, zért értékénk minimalizálásához a háló súlyait a gradins módszr alapján lht változtatni: Grgorics Tibor Bvztés a mstrségs intllignciába 27 Az E többk között függ az s-dik rétg j-dik nuronjának összgztt bmntétől (I j ) is, ami viszont az i-dik súly (w ij ) értékétől függ: E = - η E I j -η w ij I w j ij hiszn n [s-1] I j = Σ w ij o i [s-1] i=0 az s-dik rétg j-dik nuronjára hárított hibahányad Tanulási szabály E =- η o [s-1] I i j j Grgorics Tibor Bvztés a mstrségs intllignciába 28 j [r] = Ui: Egyrészt az o j [r] =f(i j [r] ) miatt az nrgiafüggvény flírható az n [r] 1 2 j=1 E= - Σ (t j -f(i j [r] )) 2 másrészt f (x)=f(x)(1-f(x)), hiszn f(x) = Grgorics Tibor Bvztés a mstrségs intllignciába x s=r st E 1 = - 2 (tj -f(i[r] j )) f (I [r] j ) = (t I [r] j -o [r] j )o [r] j (1-o [r] j ) 2 j alakban, ahol f(i j [r] ) = o j [r] s<r st E függ s+1-dik rétg I k [s+1] összgztt bmntitől is, amlyk azonban mindannyian függnk az s-dik rétg j-dik nuronjának I j összgztt bmntétől. j = E E I [s+1] k E I [s+1] = Σ = k Σ = k=1 I I [s+1] k=1 k j I [s+1] k I j Ij n [s+1] Flismrv a [s+1] k jlölést a képlthz jutunk: j = n [s+1] Σ k=1 k [s+1] I k [s+1] I j n [s+1] E -ban, gy rkurzív I [s+1] k Grgorics Tibor Bvztés a mstrségs intllignciába 30 5

29 s<r st folytatása Összsítv Az I [s+1] k függ az s-dik rétg j-dik nuronjának (o j ) kimntétől, zért I [s+1] I [s+1] k = k o j I j o I j j Tudva, hogy az I k [s+1] = n [s+1] Σ [s+1] k=1 k n [s+1] = o j (1- o j ) n Σ j=1 w jk [s+1] o j Σ k=1 k [s+1] w ik [s+1] zért I k [s+1] o j = w ik [s+1] o Továbbá az o j = f(i j ) miatt j = f (I j ) = o j (1- o j ) I j Összolvasva n I [s+1] [s+1] j = k = Σ [s+1] k w [s+1] ik f'(i [s+1] k=1 j )= I j Grgorics Tibor Bvztés a mstrségs intllignciába 31 Ha s=r akkor j [r] = o j [r] (1-o j [r] )(t j -o j [r] ) Δw ij [r] = η j [r] o i [r-1] Ha s<r akkor j = o j (1- o j ) n[s+1] Σ k=1 k [s+1] w ik [s+1] Δw ij = η j o i [s-1] rkurzív szabályt kaptuk a súlyok módosítására. Grgorics Tibor Bvztés a mstrségs intllignciába 32 Algoritmus 1. Az x bmnti vktorból kiindulva rétgnként kiszámoljuk a nuronok kimntit: o j, így ljutunk a kimnti rétg kimntihz o j [r] is. 2. A kimnti rétg mindn nuronjára kiszámoljuk a lokális hibát: j [r] = o j [r] (1- o j [r] ) (t j -o j [r] ), és a súlytényzők mgváltozását: Δw ij [r] = η j [r] o i [r-1]. 3. Rétgnként hátulról lőr haladva számoljuk a nuronok n [s+1] hibáját: j = o j (1- o j )Σ k [s+1] w jk [s+1], k=1 és a súlytényző-változást: Δw ij = η j o i [s-1]. 4. Módosítjuk a hálózat súlyait: w ij w ij + Δw ij Grgorics Tibor Bvztés a mstrségs intllignciába 33 Bállítások: x 1, x 2 {0,1} f(x)=logiszt(x) o s i (0,1) w s ij =rand(-0.1, 0.1) o s 0=1.0 η=1.0 x 1 x w 1 10 w 1 11 w w 1 20 w 1 21 w 1 22 Σ f Σ f XOR művlt 1. példája Grgorics Tibor Bvztés a mstrségs intllignciába 34 o 1 1 o w 2 10 w 2 11 w 2 12 Σ f o XOR művlt 2. példája Számjgy flismrés Bállítások: x 1, x 2 {0,1} f(x)=logiszt(x) o i (0,1) w ij =rand(-0.1, 0.1) o s 0=1.0 η=1.0 x o x w w w 21 Σ f w 02 w 12 w 22 w 32 Σ f o Bmnti értékk száma: 42 Kimntk száma: 10 Mindn számjgyhz tartozik gy kimnt Közbülső rétg sjtjink száma: 11 Grgorics Tibor Bvztés a mstrségs intllignciába 35 Grgorics Tibor Bvztés a mstrségs intllignciába 36 6

30 Számjgy flismrés Bállítások: x i {0,1} f(x)=logiszt(x) o s i (0,1) w s ij =rand(-0.1, 0.1) o s 0=1.0 η=0.35 b m n t k 0.rétg 1.rétg 2.rétg k i m n t k Grgorics Tibor Bvztés a mstrségs intllignciába 37 7

31 Evolúciós (gntikus) algoritmusok VI. Evolúciós algoritmusok Egy adott pillanatban nm gytln lhtségs választ, hanm lhtségs válaszok (gydk) halmazát, populációját tartjuk nyilván.egy populáció annál jobb, minél inkább olyan gydkkl rndlkzik, amlyk a kitűzött probléma hlys válaszai vagy azokhoz közli lhtségs válaszok. A populációt lépésről lépésr próbáljuk mg gyr jobbra változtatni. A populáció mgváltozása visszavonhatatlan. Ez thát gy nm-módosítható stratégia. Grgorics Tibor Bvztés a mstrségs intllignciába 1 Grgorics Tibor Bvztés a mstrségs intllignciába 2 Először gy alkalmas kzdőpopulációt választunk. Mindn lépésbn Evolúciós algoritmus működés Szlkció: Kijlöljük szülőknk a rátrmttbb gydkt. Rkombináció (krsztzés): A szülőkből öröklődéssl utódokat állítunk lő. Mutáció: az utódokat kismértékbn módosítjuk. Visszahlyzés: új populáció kialakítása A cél lht gy krstt célgyd lőállítása, vagy a populáció globális értékénk változatlansága. Grgorics Tibor Bvztés a mstrségs intllignciába 3 Példa Hol vszi fl az f :[ ] [-1,1] függvény a gész intrvallumon a maximumát? (A f-t nm ismrjük, d az f(x)-t ttszőlgs x-r ki tudjuk számolni) Grgorics Tibor Bvztés a mstrségs intllignciába 4 x kód f(x) Össz: 2.33 Átl: 0.23 Max: 0.87 (f(x)+1)/(σ+10) rultt rultt rultt x szlkció rkombináció mutáció x kód kód kód

32 u = v = populáció mért Össz: 2.33 Átl: 0.23 Max: 0.87 x kód f(x) Össz: 5.82 Átl: 0.58 Max: 0.99 Procdur EA p kzdti populáció whil trminálási fltétl nm igaz loop p szlkció(p) p rkombináció( p ) p mutáció(p ) p visszahlyzés(p, p ) ndloop Alapalgoritmus Grgorics Tibor Bvztés a mstrségs intllignciába 8 Algoritmus lmi Kódolás Kódolás (gyd rprzntáció) Rátrmttségi (fitnsz) függvény Kapcsolat a célfüggvénnyl Evolúciós oprátorok szlkció, rkombináció (krsztzés), mutáció, visszahlyzés Kzdő populáció, Mgállási fltétl Stratégiai paramétrk populáció mért, mutáció valószínűség, utódképzési ráta, visszahlyzési ráta, stb. Grgorics Tibor Bvztés a mstrségs intllignciába 9 Egy gydt jlsorozattal (kromoszóma) kódolunk. A jlk vagy azok csoportjai (gén) írják l az gyd tulajdonságait: attribútum és érték. Sokszor gy jlnk a kódsorozatban lfoglalt pozíciója (lókusz) adja mg az attribútumot, a jl pdig az értékt (allél). Ilynkor a kód szrkzt tulajdonságonkénti fldarabolhatóságot mutat. Gyakori mgoldás: valós (gész) számok tömbj, bináris tömb, prmutáció, fa-ábrázolás Kódolás és a rátrmttségi függvény kapcsolata Grgorics Tibor Bvztés a mstrségs intllignciába 10 Gráfszínzési példa kódolásai és rátrmttségi függvényi Adott gy végs gyszrű gráf, amlynk a csúcsait a lhtő lgkvsbb szín flhasználásával úgy kll kiszínzni, hogy a szomszédos csúcsok ltérő színűk lgynk f = 10 dirkt 3 4 ω 1 ω 2 ω 3 Mstrségs nuronháló hirarchikus kódolása indirkt Grgorics Tibor Bvztés a mstrségs intllignciába 11 5 f = ω 0 ω 1 ω 2 ω 3 Grgorics Tibor Bvztés a mstrségs intllignciába 12 2

1. AZ MI FOGALMA. I. Bevezetés. Tulajdonságok. Kezdet ELIZA. Első szakasz (60-as évek)

1. AZ MI FOGALMA. I. Bevezetés. Tulajdonságok. Kezdet ELIZA. Első szakasz (60-as évek) 1. AZ MI FOGALMA I. Bevezetés Nincs pontos definíció Emberi gondolkodás számítógépes reprodukálása Intelligens viselkedésű programok Az ember számára is nehéz problémák számítógépes megoldása Intellektuálisan

Részletesebben

Modern piacelmélet. ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszék. Selei Adrienn

Modern piacelmélet. ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszék. Selei Adrienn Modrn piaclmélt ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszék Sli Adrinn A tananyag a Gazdasági Vrsnyhiatal Vrsnykultúra Központja és a Tudás-Ökonómia Alapítány támogatásáal készült az ELTE TáTK Közgazdaságtudományi

Részletesebben

Villamos érintésvédelem

Villamos érintésvédelem Villamos érintésvédlm A villamos nrgia ipari mértű flhasználása a század ljén kzdtt gyr nagyobb mértékbn ltrjdni és zzl gyidőbn jlntkztk az áramütésből rdő balstk is. Ennk kövtkztébn nagyarányú kutatás

Részletesebben

KOD: B377137. 0, egyébként

KOD: B377137. 0, egyébként KOD: 777. Egy csomagológép kilogrammos zacskókat tölt. A zacskóba töltött cukor mnnyiség normális loszlású valószínûségi változó kg várható értékkl és.8 kg szórással. A zacskó súlyra nézv lsõ osztályú,

Részletesebben

Mágneses anyagok elektronmikroszkópos vizsgálata

Mágneses anyagok elektronmikroszkópos vizsgálata Mágnss anyagok lktronmikroszkópos vizsgálata 1. Transzmissziós lktronmikroszkóp 1.1. A mágnss kontraszt rdt a TEM-bn Az lktronmikroszkópban 100-200 kv-os (stlg 1 MV-os) gyorsítófszültséggl gyorsított lktronok

Részletesebben

Országos Szilárd Leó fizikaverseny feladatai

Országos Szilárd Leó fizikaverseny feladatai Országos Szilárd Ló fizikavrsny fladatai I katgória döntő, 5 április 9 Paks A fladatok mgoldásáoz 8 prc áll rndlkzésr Mindn sgédszköz asználató Mindn fladatot külön lapra írjon, s mindn lapon lgyn rajta

Részletesebben

Szerző: Böröcz Péter János H-9026, Egyetem tér 1. Győr, Magyarország

Szerző: Böröcz Péter János H-9026, Egyetem tér 1. Győr, Magyarország In: Kóczy L, éánczos L, Bakó A, Prznszki J, Szgdi Z, Várlaki P (szrk.) Játéklmélt alkalmazási lhtőségi a logisztikai rndszrkbn - az gy- és többutas szállítási csomagolási szközök közötti döntéslmélti probléma

Részletesebben

MINŐSÉGIRÁNYÍTÁSI KÉZIKÖNYV

MINŐSÉGIRÁNYÍTÁSI KÉZIKÖNYV Lap: 1/145 AZ INCZÉDY GYÖRGY KÖZÉPISKOLA, SZAKISKOLA ÉS KOLLÉGIUM MINŐSÉGIRÁNYÍTÁSI E AZ MSZ EN ISO 9001 SZABVÁNY ALAPJÁN, ILLETVE MINŐSÉGIRÁNYÍTÁSI PROGRAMJA A KÖZOK-TATÁSI TÖR- VÉNY (1993. ÉVI LXXIX.)

Részletesebben

Teherhordó üveg födémszerkezet: T gerenda ragasztott öv-gerinc kapcsolatának numerikus vizsgálata

Teherhordó üveg födémszerkezet: T gerenda ragasztott öv-gerinc kapcsolatának numerikus vizsgálata Tudományos Diákköri Konrncia Thrhordó üvg ödémszrkzt: T grnda ragasztott öv-grinc kapcsolatának numrikus vizsgálata Készíttt: Gál Tamás F17JCS építőmérnök hallgató Konzulns: Dr. Vigh László Grgly Egytmi

Részletesebben

DR. JUHÁSZ MÁRTA BME Ergonómia és Pszichológia Tanszék 1111 Budapest, Egry J. u. 1. Email: juhaszm@erg.bme.hu Tel: 1/463 40 22 www.erg.bme.

DR. JUHÁSZ MÁRTA BME Ergonómia és Pszichológia Tanszék 1111 Budapest, Egry J. u. 1. Email: juhaszm@erg.bme.hu Tel: 1/463 40 22 www.erg.bme. DR. JUHÁSZ MÁRTA BME Ergonómia és Pszichológia Tanszék 1111 Budapst, Egry J. u. 1. Email: juhaszm@rg.bm.hu Tl: 1/463 40 22 www.rg.bm.hu A KIVÁLASZTÁS ÉS A MUNKAKÖRI ALKALMASSÁG PSZICHOLÓGIÁJA II. Az lızı

Részletesebben

A művészeti galéria probléma

A művészeti galéria probléma A műészti galéria probléma A műészti galéria probléma (art galry problm): A műészti galéria mgfigylés kamrákkal / őrökkl. Hálózattrzés Alapjai 2007 8: Műészti Galéria Probléma Őrzési / Mgilágítási problémák

Részletesebben

VT 265 www.whirlpool.com

VT 265 www.whirlpool.com VT 265.hirlpool.com 1 BEÜZEMELÉS A HÁLÓZATRA CSATLAKOZTATÁS ELŐTT ELLENŐRIZZE, HOGY A TÖRZSLAPON jlztt fszültség mggyzik- a lakás fszültségévl. NE TÁVOLÍTSA EL A MIKROLLÁM-BEVEZETÉST VÉDŐ LE- MEZEKET,

Részletesebben

JT 379 www.whirlpool.com

JT 379 www.whirlpool.com JT 379.hirlpool.com A HÁLÓZATRA CSATLAKOZTATÁS ELŐTT ÜZEMBE HELYEZÉS ELLENŐRIZZE, HOGY A TÖRZSLAPON jlztt fszültség mggyzik- a lakás fszültségévl. NE TÁVOLÍTSA EL A MIKROLLÁM-BEVEZETÉST VÉDŐ LEMEZEKET,

Részletesebben

Feladatok megoldással

Feladatok megoldással Fladatok mgoldással. sztmbr 6.. Halmazrdszrk. Igazoljuk! A \ B A r (A r B) (A [ B) r ((A r B) [ (B r A)) Mgoldás. A r (A r B) A \ A \ B A \ A [ B A \ A [ (A \ B) A \ B (A [ B) r ((A r B) [ (B r A)) (A

Részletesebben

1. FELADATLAP TUDNIVALÓ

1. FELADATLAP TUDNIVALÓ 0851 modul: GEOMETRII ISMÉTLÉS z alakzatokról tanultak ismétlés 135 TUDNIVLÓ Egy alakzatot akkor nvzünk tnglysn szimmtrikusnak, ha létzik lgalá gy olyan gyns, amlyr az alakzatot tnglysn tükrözv önmagát

Részletesebben

Az Integrációs Pedagógiai Rendszer projektelemeinek beépülése

Az Integrációs Pedagógiai Rendszer projektelemeinek beépülése Az Intgrációs Pdagógiai Rndszr projtlmin bépülés a Fsttics Kristóf Általános Művlődési Központ Póaszpti 1-8. évfolyamos és a Paodi 1-4. évfolyamos Általános Isola tagintézményin otató-nvlő munájába 2011/2012.

Részletesebben

2011. évi intézmény-felújítás,intézményi javaslatok

2011. évi intézmény-felújítás,intézményi javaslatok agasépítési csoport PRIORITÁSOK: BRH=biztonságos és rndlttésszrű használat, =állagmgóvás, = műszak iés funkcionális szükség, =gyéb 13 Holdfény Utcai Óvoda Kincskrső Tagóvodája Prioritás gjgyzés 13.1 Krt

Részletesebben

Bojtár-Gáspár: A végeselemmódszer matematikai alapjai

Bojtár-Gáspár: A végeselemmódszer matematikai alapjai Bojtár Imr Gáspár Zsolt A végslmmódszr matmatka alapja Elktronkusan ltölthtő lőadásvázlat építőmérnök hallgatók számára. http://www.pto.bm.hu/m/htdocs/oktatas/oktatas.php Kadó: BME Tartószrkztk Mchankája

Részletesebben

ANYANYELVI FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára

ANYANYELVI FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára 2006. fruár 2. ANYANYELVI FELADATLAP 8. évfolymosok számár 2006. fruár 2. 14:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: A fltokt ttszés szrinti sorrnn olhto mg. Ügylj mgfllő iőosztásr és küllkr! Tolll olgozz! A

Részletesebben

segítségével! Hány madárfajt találtál meg? Gratulálunk!

segítségével! Hány madárfajt találtál meg? Gratulálunk! Odú llnőrzés CSORMÍVES Ha mgfogadtad a téli számban javasolt odúkihlyzést, vagy már volt odú kihlyzv a krtbn, márciustól már érdms figylgtnd trmésztsn csak gy kissé távolabbról hogy van- a környékén mozgolódás,

Részletesebben

Kazincbarcikai ÁPRILIS 6-ÁN PARLAMENTI VÁLASZTÁS HUSZONEGY EGYÉNI JELÖLT INDUL A VÁLASZTÓ- KERÜLETBEN 2014. MÁRCIUS 28.

Kazincbarcikai ÁPRILIS 6-ÁN PARLAMENTI VÁLASZTÁS HUSZONEGY EGYÉNI JELÖLT INDUL A VÁLASZTÓ- KERÜLETBEN 2014. MÁRCIUS 28. Kazincbarcikai 2014. MÁRCIUS 28. Facbook: Barcika Art Kft www.barcikaart.hu/kommunikacio/ ÁPRILIS 6-ÁN PARLAMENTI VÁLASZTÁS HUSZONEGY EGYÉNI JELÖLT INDUL A VÁLASZTÓ- KERÜLETBEN Választás 2014 Fotó: Barcika

Részletesebben

MUNKAANYAG, A KORMÁNY ÁLLÁSPONTJÁT NEM TÜKRÖZI

MUNKAANYAG, A KORMÁNY ÁLLÁSPONTJÁT NEM TÜKRÖZI Az önkormányzati és trültfjlsztési minisztr../2008. (..) ÖTM rndlt a katasztrófavédlmi szrvk és az önkormányzati tűzoltóság hivatásos szolgálati viszonyban álló tagjaival kapcsolatos munkáltatói jogkörök

Részletesebben

Vizsgakérdések az MI előadás anyagából. 2011. 1. A Russel féle négy cél MI rendszer 2. Megoldás keresés az állapottérben: hegymászó keresés, Hanoi

Vizsgakérdések az MI előadás anyagából. 2011. 1. A Russel féle négy cél MI rendszer 2. Megoldás keresés az állapottérben: hegymászó keresés, Hanoi Vizsgakérdések az MI előadás anyagából. 2011. 1. A Russel féle négy cél MI rendszer 2. Megoldás keresés az állapottérben: hegymászó keresés, Hanoi tornyai példával bemutatva. 3. Dekompozíciós módszer,

Részletesebben

ELSÔ FEJEZET 1829. március Wadham Gardens, London

ELSÔ FEJEZET 1829. március Wadham Gardens, London ELSÔ FEJEZET 1829. március Wadham Gardns, London Amint bttt a lábát Lady Hrford szalonjába, Hathr Cynstr tudta, hogy lgutóbbi trv, miszrint mgfllő férjt talál magának, kudarcra van ítélv. Egy távoli sarokban

Részletesebben

Kisbodaki Harangláb Kisbodak Község Önkormányzatának lapja 2012. február hó V. évfolyam 1. szám

Kisbodaki Harangláb Kisbodak Község Önkormányzatának lapja 2012. február hó V. évfolyam 1. szám Kibodaki Haangláb Kibodak Közég Önkományzatának lapja 2012. fbuá hó V. évfolyam 1. zám hatályát vzttt a kataztófák llni védkzé iányítááól, zvztéől é a vzély anyagokkal kapcolato úlyo baltk llni védkzéől

Részletesebben

Néhány pontban a függvény értéke: x -4-2 -1-0.5 0.5 1 2 4 f (x) -0.2343-0.375 0 6-6 0 0.375 0.2343

Néhány pontban a függvény értéke: x -4-2 -1-0.5 0.5 1 2 4 f (x) -0.2343-0.375 0 6-6 0 0.375 0.2343 Házi ladatok mgoldása 0. nov.. HF. Elmzz az ( ) = üggvényt (értlmzési tartomány, olytonosság, határérték az értlmzési tartomány véginél és a szakadási pontokban, zérushly, y-tnglymtszt, monotonitás, lokális

Részletesebben

ANYANYELVI FELADATLAP

ANYANYELVI FELADATLAP 2007. jnuár 26. ANYANYELVI FELADATLAP 4. évfolymosok számár 2007. jnuár 26. 14:00 ór A 1 fltlp NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: A fltokt ttszés szrinti sorrnn olhto mg. Ügylj mgfllő iőosztásr és küllkr! A mgolásr

Részletesebben

ELSÔ FEJEZET St. Ives-ház Grosvenor Square, London

ELSÔ FEJEZET St. Ives-ház Grosvenor Square, London ELSÔ FEJEZET St. Ivs-ház Grosvnor Squar, London Ez így gyszrűn nm tisztsségs. Elizabth Margurit Cynstr, akit mindnki csak Elizának hívott, alig hallhatóan méltatlankodott. Egydül állt köpönygbn gy hatalmas

Részletesebben

ISO 9000 és ISO 20000, minőségmenedzsment és információtechnológiai szolgáltatások menedzsmentje egy szervezeten belül

ISO 9000 és ISO 20000, minőségmenedzsment és információtechnológiai szolgáltatások menedzsmentje egy szervezeten belül ISO 9000 és ISO 20000, minőségmndzsmnt és információtchnológiai szolgáltatások mndzsmntj gy szrvztn blül dr. Vondrviszt Lajos, Vondrviszt.Lajos@nhh.hu Nmzti Hírközlési Hatóság Előzményk A kormányzati intézményk

Részletesebben

- 1 - A következ kben szeretnénk Önöknek a LEGO tanítási kultúráját bemutatni.

- 1 - A következ kben szeretnénk Önöknek a LEGO tanítási kultúráját bemutatni. Játékok a tanításhoz? - 1 - Tanító játékok? A Lgo kockák gészn biztosan fontos szívügyi gy gész sor gyrk és szül gnráció éltébn. Mi köz van a Lgo kockáknak a tanuláshoz? Vagy lht gyáltalán tanítani /órákat

Részletesebben

A Mozilla ThunderBird levelezőprogram haszálata (Készítette: Abonyi-Tóth Zsolt, SZIE ÁOTK, 2004-04-15, Version 1.1)

A Mozilla ThunderBird levelezőprogram haszálata (Készítette: Abonyi-Tóth Zsolt, SZIE ÁOTK, 2004-04-15, Version 1.1) A Mozilla ThundrBird lvlzőprogram haszálata (Készíttt: Abonyi-Tóth Zsolt, SZIE ÁOTK, 2004-04-15, Vrsion 1.1) Tartalomjgyzék Tartalomjgyzék...1 A Központi Lvlző Szrvr használata... 1 A ThundrBird lvlzőprogram

Részletesebben

A szeretet tanúi. 2013. március 31. 18. évfolyam, 1. szám. Az algy i egyházközség kiadványa KRISZTUS FELTÁMADT! ÚJ PÁPÁNK

A szeretet tanúi. 2013. március 31. 18. évfolyam, 1. szám. Az algy i egyházközség kiadványa KRISZTUS FELTÁMADT! ÚJ PÁPÁNK 2013. március 31. 18. évfolyam, 1. szám A szrtt tanúi Az algy i gyházközség kiadványa KRISZTUS FELTÁMADT! A Húsvét a Fltámadás - és nm a nyuszi - ünnp Ádám és Éva az s-b nnl vszíttt l az örök éltt. Az

Részletesebben

Villamosságtan példatár 1.4 verzió A példatár hibáit a. email címeken szíveskedjen mindenki jelenteni!

Villamosságtan példatár 1.4 verzió A példatár hibáit a. email címeken szíveskedjen mindenki jelenteni! Vszrémi Egym Auomaizálás anszék Villamosságan éldaár. vrzió A éldaár hibái a nova@axl.hu ohrola@vn.hu mail címkn szívskdn mindnki lnni! Villanyan éldaár Bvzés: A Villamosságan éldaár a Vszrémi Egymn okao

Részletesebben

MAGYAR NYELVI FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára

MAGYAR NYELVI FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára 8. évfolym AMNy1 fltlp MAGYAR NYELVI FELADATLAP 8. évfolymosok számár 2010. jnuár 23. 10:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll olgozz! Ügylj küllkr! A fltokt ttszés szrinti sorrnn olhto mg. A mgolásr

Részletesebben

Országos Szakiskolai Közismereti Tanulmányi Verseny 2007/2008 IRODALOM MAGYAR NYELV ÉS HELYESÍRÁS. II. (regionális) forduló. 2008. február 22.

Országos Szakiskolai Közismereti Tanulmányi Verseny 2007/2008 IRODALOM MAGYAR NYELV ÉS HELYESÍRÁS. II. (regionális) forduló. 2008. február 22. Országos Szkiskoli Közismrti Tnulmányi Vrsny 2007/2008 IRODALOM MAGYAR NYELV ÉS HELYESÍRÁS II. (rgionális) foruló 2008. fruár 22. Mgolás 1 Országos Szkiskoli Közismrti Irolom Mgyr nylv és hlysírás Tnulmányi

Részletesebben

Analízisfeladat-gyűjtemény IV.

Analízisfeladat-gyűjtemény IV. Oktatási segédanyag a Programtervező matematikus szak Analízis. című tantárgyához (003 004. tanév tavaszi félév) Analízisfeladat-gyűjtemény IV. (Függvények határértéke és folytonossága) Összeállította

Részletesebben

53. sz. mérés. Hurokszabályozás vizsgálata

53. sz. mérés. Hurokszabályozás vizsgálata 53. sz. mérés Hurokszaályozás vizsgálata nagyszültségű alap- illtv losztóhálózat (4,, kv a hálózatok unkcióáól kövtkzőn hurkolt (töszörösn hurkolt kialakítású. sok csomóponttal, tö táplálási illtv ogyasztási

Részletesebben

ANYANYELVI FELADATLAP a 4. évfolyamosok számára

ANYANYELVI FELADATLAP a 4. évfolyamosok számára 2006. jnuár 27. ANYANYELVI FELADATLAP 4. évolymosok számár 2006. jnuár 27. 14:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: A ltokt ttszés szrinti sorrnn olhto mg. Ügylj mgllő iőosztásr és küllkr! Tolll olgozz! A

Részletesebben

ANYANYELVI FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára

ANYANYELVI FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára 2006. jnuár 28. ANYANYELVI FELADATLAP 8. évfolymosok számár 2006. jnuár 28. 10:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: A fltokt ttszés szrinti sorrnn olhto mg. Ügylj mgfllő iőosztásr és küllkr! Tolll olgozz!

Részletesebben

RSA. 1. Véletlenszerűen választunk két "nagy" prímszámot: p1, p2

RSA. 1. Véletlenszerűen választunk két nagy prímszámot: p1, p2 RS z algoritmus. Véltlnszrűn választunk két "nagy" prímszámot: p, p, p p. m= pp, φ ( m) = ( p -)( p -)., < φ( m), ( φ( m ),) = - 3. d = ( mod φ( m) ) 4. k p s = ( m,), = ( d, p, p ) k. Kódolás: y = x (

Részletesebben

Miskolci Egyetem GÉPÉSZMÉRNÖKI ÉS INFORMATIKAI KAR. Analízis I. példatár. (kidolgozott megoldásokkal) elektronikus feladatgyűjtemény

Miskolci Egyetem GÉPÉSZMÉRNÖKI ÉS INFORMATIKAI KAR. Analízis I. példatár. (kidolgozott megoldásokkal) elektronikus feladatgyűjtemény Miskolci Egyetem GÉPÉSZMÉRNÖKI ÉS INFORMATIKAI KAR Analízis I. példatár kidolgozott megoldásokkal) elektronikus feladatgyűjtemény Összeállította: Lengyelné Dr. Szilágyi Szilvia Miskolc, 013. Köszönetnyilvánítás

Részletesebben

Lineáris programozás. Modellalkotás Grafikus megoldás Feladattípusok Szimplex módszer

Lineáris programozás. Modellalkotás Grafikus megoldás Feladattípusok Szimplex módszer Lineáris programozás Modellalkotás Grafikus megoldás Feladattípusok Szimplex módszer Feladat: Egy gyár kétféle terméket gyárt (A, B): /db Eladási ár 1000 800 Technológiai önköltség 400 300 Normaóraigény

Részletesebben

Rockfall lejtésképző elemek

Rockfall lejtésképző elemek LAPOSTETŐ SZIGETELÉS LEZÁRVA: 00. MÁRCIUS. Rokll ljtésképző lmk Műszki tlp Vonlr-, lln- és pontrljtő lmk, ttikék A Rokwool Rokll rnszrévl iztosíthtó ttők tökélts vízlvztés Műgynt kötésű, tljs krtmtsztén

Részletesebben

A központos furnérhámozás néhány alapösszefüggése

A központos furnérhámozás néhány alapösszefüggése A közpotos furérhámozás éháy alapösszfüggés 1. ábra: A hámozás jllmző myiségi Az 1. ábra forrása: Dr. Lugosi Armad ( szrk. ) : Faipari szrszámok és gépk kéziköyv Műszaki Köyvkiadó, Budapst, 1987, 57. oldal.

Részletesebben

5. Trigonometria. 2 cos 40 cos 20 sin 20. BC kifejezés pontos értéke?

5. Trigonometria. 2 cos 40 cos 20 sin 20. BC kifejezés pontos értéke? 5. Trigonometria I. Feladatok 1. Mutassuk meg, hogy cos 0 cos 0 sin 0 3. KöMaL 010/október; C. 108.. Az ABC háromszög belsejében lévő P pontra PAB PBC PCA φ. Mutassuk meg, hogy ha a háromszög szögei α,

Részletesebben

Írásbeli szorzás kétjegyû szorzóval

Írásbeli szorzás kétjegyû szorzóval Írásli szorzás kétjgyû szorzóvl Kiolgozott mintpél Egy krtész 36 plántát ültttt gy sor. Hány plántát ül - t ttt 24 sor? Atok: sor 36 plánt 24 sor x Trv: x = 24 36 vgy x = 36 24 Bslés: x 20 40 = 800 Számolás:

Részletesebben

közel vagyunk. Ez az érzés erősödött meg bennem a nyíregyházi műszaki ügyllleten.

közel vagyunk. Ez az érzés erősödött meg bennem a nyíregyházi műszaki ügyllleten. Vll. i ÉVFOLYAM i ~.szám 1998. t QECEMBER AZ ALSO-TlSZA.. VDEK VZUGYGAZGATOSAG LAPJA Szrtttljs, békés és boldog karácsonyi ünnpkt, sikrkbn gazdag, rdménys új sztndőt kiván a VÍZPART mindn olvasójának A

Részletesebben

ANYANYELVI FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára

ANYANYELVI FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára ÚJ FELADATLAP 2007. ruár 1. ANYANYELVI FELADATLAP 8. évolymosok számár 2007. ruár 1. 14:00 ór ÚJ FELADATLAPI NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: A ltokt ttszés szrinti sorrnn olhto mg. Ügylj mgllő iőosztásr és

Részletesebben

Analízis előadás és gyakorlat vázlat

Analízis előadás és gyakorlat vázlat Analízis előadás és gyakorlat vázlat Készült a PTE TTK GI szakos hallgatóinak Király Balázs 00-. I. Félév . fejezet Számhalmazok és tulajdonságaik.. Nevezetes számhalmazok ➀ a) jelölése: N b) elemei:

Részletesebben

M3 ZÁRT CSATORNÁBAN ELHELYEZETT HENGERRE HATÓ ERŐ MÉRÉSE

M3 ZÁRT CSATORNÁBAN ELHELYEZETT HENGERRE HATÓ ERŐ MÉRÉSE M3 ZÁRT CSATORNÁBAN ELHELYEZETT HENGERRE HATÓ ERŐ MÉRÉSE. A mérés élja A mérés fladat égyzt krsztmtsztű satorába bépíttt, az áramlás ráyára mrőlgs szmmtratglyű, külöböző átmérőjű hgrkr ható ( x, y ) rő

Részletesebben

1.1. Gyökök és hatványozás... 1 1.1.1. Hatványozás... 1 1.1.2. Gyökök... 1 1.2. Azonosságok... 2 1.3. Egyenlőtlenségek... 3

1.1. Gyökök és hatványozás... 1 1.1.1. Hatványozás... 1 1.1.2. Gyökök... 1 1.2. Azonosságok... 2 1.3. Egyenlőtlenségek... 3 Tartalomjegyzék 1. Műveletek valós számokkal... 1 1.1. Gyökök és hatványozás... 1 1.1.1. Hatványozás... 1 1.1.2. Gyökök... 1 1.2. Azonosságok... 2 1.3. Egyenlőtlenségek... 3 2. Függvények... 4 2.1. A függvény

Részletesebben

A gyakorlatok HF-inak megoldása Az 1. gyakorlat HF-inak megoldása. 1. Tagadások:

A gyakorlatok HF-inak megoldása Az 1. gyakorlat HF-inak megoldása. 1. Tagadások: . Tagadások: A gyakorlatok HF-inak megoldása Az. gyakorlat HF-inak megoldása "Nem észak felé kell indulnunk és nem kell visszafordulnunk." "Nem esik az es, vagy nem fúj a szél." "Van olyan puha szilva,

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára 2008. jnuár 31. MATEMATIKA FELADATLAP 8. évfolymosok számár 2008. jnuár 31. 15:00 ór M 2 fltlp NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll olgozz! Zsszámológépt nm hsználhtsz. A fltokt ttszés szrinti sorrnn olhto

Részletesebben

Arculati Kézikönyv. website branding print

Arculati Kézikönyv. website branding print Arculati Kézikönyv wbsit branding print 22 2. A logó 23 A logó gy cég, szrvzt vagy szolgáltatás gydi, jól flismrhtő, azonosításra szolgáló vizuális jl. A logó lsődlgs célja a mgkülönbözttés, az gyértlmű

Részletesebben

Félévi időbeosztás (nagyjából) házi feladat beadási határidőkkel (pontosan) Valószínűségszámítás 2. matematikusoknak és fizikusoknak, 2009 tavasz

Félévi időbeosztás (nagyjából) házi feladat beadási határidőkkel (pontosan) Valószínűségszámítás 2. matematikusoknak és fizikusoknak, 2009 tavasz Félévi időbeosztás (nagyjából) házi feladat beadási határidőkkel (pontosan) Valószínűségszámítás 2. matematikusoknak és fizikusoknak, 2009 tavasz Dátum Téma beadandó Feb 12Cs Konvolúció (normális, Cauchy,

Részletesebben

33 522 04 0001 33 10 Villámvédelmi felülvizsgáló Villanyszerelő

33 522 04 0001 33 10 Villámvédelmi felülvizsgáló Villanyszerelő A 10/007 (II. 7.) SzMM rndlttl módosított 1/006 (II. 17.) OM rndlt Országos Képzési Jgyzékről és az Országos Képzési Jgyzékb történő flvétl és törlés ljárási rndjéről alapján. Szakképsítés, szakképsítés-lágazás,

Részletesebben

HELYI TANTERV SZOCIÁLIS GONDOZÓ ÉS ÁPOLÓ OKJ 34 762 01. (3 éves, esti munkarend szerint) szakiskolai képzés közismereti oktatással 2014.

HELYI TANTERV SZOCIÁLIS GONDOZÓ ÉS ÁPOLÓ OKJ 34 762 01. (3 éves, esti munkarend szerint) szakiskolai képzés közismereti oktatással 2014. HELYI TANTERV SZOCIÁLIS GONDOZÓ ÉS ÁPOLÓ OKJ 34 762 01 (3 évs, sti munkarnd szrint) szakiskolai képzés közismrti oktatással 2014. 1. A TANULÓK FELVÉTELÉNEK FELTÉTELEI A képzés mgkzdésénk szükségs fltétli:

Részletesebben

Első sorozat (2000. május 22. du.) 1. Oldjamegavalós számok halmazán a. cos x + sin2 x cos x. +sinx +sin2x =

Első sorozat (2000. május 22. du.) 1. Oldjamegavalós számok halmazán a. cos x + sin2 x cos x. +sinx +sin2x = 2000 Írásbeli érettségi-felvételi feladatok Első sorozat (2000. május 22. du.) 1. Oldjamegavalós számok halmazán a egyenletet! cos x + sin2 x cos x +sinx +sin2x = 1 cos x (9 pont) 2. Az ABCO háromszög

Részletesebben

Operatív döntéstámogatás módszerei

Operatív döntéstámogatás módszerei ..4. MSKOLC YM azaságtuomáyi Kar Üzlti formációgazálkoási és Mószrtai tézt Számvitl tézti aszék Opratív ötéstámogatás mószri Dr. Musiszki Zoltá Opratív ötéstámogatás mószri Statisztikai, matmatikai mószrk

Részletesebben

Erő- és munkagépek I.

Erő- és munkagépek I. Áramlás- és Hőtikai Gék Taszék r. zabó zilárd Erő- és mkagék I. Előadásvázlat iskol-egytmváros 005 r. zabó zilárd: Erő- és mkagék Készült r. Nyíri Adrás Erő- és mkagék I. és II. gytmi jgyzti (iskoli Egytmi

Részletesebben

Forrás Nyelő. Fizikai. Kémiai BELSŐ. Biológiai. Mesterséges szennyvíz KÜLSŐ. Természetes. hordalék felkeveredés

Forrás Nyelő. Fizikai. Kémiai BELSŐ. Biológiai. Mesterséges szennyvíz KÜLSŐ. Természetes. hordalék felkeveredés BESŐ ÜSŐ Fizikai émiai Biológiai Forrá Nylő hordalék flkvrdé nirifikáció, NO - NO lpuzul, auolízi, akriáli loná, minralizáció Mrég znnyvíz vzé Trméz flzíni folyá, capadékvízzl, l. a-hoz köö znny a. kiülpdé

Részletesebben

Nemzeti versenyek 11 12. évfolyam

Nemzeti versenyek 11 12. évfolyam Nemzeti versenyek 11 12. évfolyam Szerkesztette: I. N. Szergejeva 2015. február 2. Technikai munkák (MatKönyv project, TEX programozás, PHP programozás, tördelés...) Dénes Balázs, Grósz Dániel, Hraskó

Részletesebben

Egy általános iskola nyolcadikosainak vallomásai

Egy általános iskola nyolcadikosainak vallomásai ÉLETEM w Egy általános iskola nyolcadikosainak vallomásai A fjlődéslélktan művlői és ismrői számára nm újság, hogy a gyrmk llki fjlődésébn szociális körülményir, zn körülményink változására is tkintttl

Részletesebben

8. Mohó algoritmusok. 8.1. Egy esemény-kiválasztási probléma. Az esemény-kiválasztási probléma optimális részproblémák szerkezete

8. Mohó algoritmusok. 8.1. Egy esemény-kiválasztási probléma. Az esemény-kiválasztási probléma optimális részproblémák szerkezete 8. Mohó algoritmusok Optimalizálási probléma megoldására szolgáló algoritmus gyakran olyan lépések sorozatából áll, ahol minden lépésben adott halmazból választhatunk. Sok optimalizálási probléma esetén

Részletesebben

13. gyakorlat Visszacsatolt műveletierősítők. A0=10 6 ; ω1=5r/s, ω2 =1Mr/s R 1. Kérdések: uki/ube=?, ha a ME ideális!

13. gyakorlat Visszacsatolt műveletierősítők. A0=10 6 ; ω1=5r/s, ω2 =1Mr/s R 1. Kérdések: uki/ube=?, ha a ME ideális! . gyakorlat Visszacsatolt művltirősítők.) Példa b (s) 6 ; r/s, Mr/s kω, 9 kω, kω, ( s )( s ) Kérdésk: /b?, ha a ME ális! Mkkora lgyn érték ahhoz, hogy az /b rősítés maximális lapos lgyn ( ξ ). Mkkora a

Részletesebben

Beadható feladatok. 2006. december 4. 1. Add meg az alábbi probléma állapottér-reprezentációját!

Beadható feladatok. 2006. december 4. 1. Add meg az alábbi probléma állapottér-reprezentációját! Beadható feladatok 2006. december 4. 1. Feladatok 2006. szeptember 13-án kitűzött feladat: 1. Add meg az alábbi probléma állapottér-reprezentációját! Adott I 1,..., I n [0, 1] intervallumokból szeretnénk

Részletesebben

Múlt BETSBŐL Szombaton 23. 3tán. 1787.-

Múlt BETSBŐL Szombaton 23. 3tán. 1787.- Múlt BETSBŐL Szombaton 23. 3tán. 1787.- : o-^a a' közl fkvő dolgot4s homállyofon látó, ** -R- fávól l é v ő k t pdig tsak képzlni fm tudd né- "ljy Bétsi köz uéptől tudakoznók: mikor érkzika' F. Mónárkha?

Részletesebben

BIATORBÁGYI ÁLTALÁNOS ISKOLA MINŐSÉGIRÁNYÍTÁSI PROGRAMJA

BIATORBÁGYI ÁLTALÁNOS ISKOLA MINŐSÉGIRÁNYÍTÁSI PROGRAMJA A Biaorbágyi Álaláno Ikola Minőégirányíái Programja 2009. Kézí: Bnkő C. Gyuláné BIATORBÁGYI ÁLTALÁNOS ISKOLA MINŐSÉGIRÁNYÍTÁSI PROGRAMJA Kézí: Bnkő C. Gyuláné igazgaó A minőégirányíái munkacopor közrműködéévl

Részletesebben

Név:... osztály:... Matematika záróvizsga 2005. 1. Ugyanazon értékek szerepelnek mindhárom oszlopban. Kösd össze az egyenlőket!

Név:... osztály:... Matematika záróvizsga 2005. 1. Ugyanazon értékek szerepelnek mindhárom oszlopban. Kösd össze az egyenlőket! Mtmtik záróvizs 00. Név:... osztály:.... Uynzon értékk szrplnk minhárom oszlopn. Kös össz z ynlőkt! 0, % pl.:., 0 % 0,66 6 8, : 0,8 66 : 6 0,7 8 0 0,6 6 : 0 6, 80 % 66,6% 0 %. T ki rláiójlkt!. 00 k 0,0

Részletesebben

MAGYARORSZÁGI KYUDO SZÖVETSÉG 2012. ÉVI ELNÖKI BESZÁMOLÓ

MAGYARORSZÁGI KYUDO SZÖVETSÉG 2012. ÉVI ELNÖKI BESZÁMOLÓ MAGYARORSZÁGI KYUDO SZÖVETSÉG 212. ÉVI ELNÖKI BESZÁMOLÓ A 212-s év volt a frissn alakult Kyuo Szövtség lső aktív év. A Magyarországi Kyuo Szövtség létrjött és az Európai Szövtséghz történő csatlakozása

Részletesebben

MAGYAR NYELVI FELADATLAP a 4. évfolyamosok számára

MAGYAR NYELVI FELADATLAP a 4. évfolyamosok számára 4. évfolym AMNy1 fltlp MAGYAR NYELVI FELADATLAP 4. évfolymosok számár 2010. jnuár 22. 14:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll olgozz! Ügylj küllkr! A fltokt ttszés szrinti sorrnn olhto mg. A mgolásr

Részletesebben

22. előadás OLIGOPÓLIUM

22. előadás OLIGOPÓLIUM . lőadás OLIGOPÓLIUM Krtsi Gábor Varró László Varian 7. fjzt átdolgozva. Varian 7.-7.3 és 7.0-7. alfjzti nm részi a tananyagnak. . Bvztő Az lmúlt lőadásokon áttkintttük a piaci struktúrák két szélső stét:

Részletesebben

Miskolci Egyetem. Diszkrét matek I. Vizsga-jegyzet. Hegedűs Ádám Imre 2010.12.28.

Miskolci Egyetem. Diszkrét matek I. Vizsga-jegyzet. Hegedűs Ádám Imre 2010.12.28. Miskolci Egyetem Diszkrét matek I. Vizsga-jegyzet Hegedűs Ádám Imre 2010.12.28. KOMBINATORIKA Permutáció Ismétlés nélküli permutáció alatt néhány különböző dolognak a sorba rendezését értjük. Az "ismétlés

Részletesebben

Az optimális szabadalmak elméletének magatartásgazdaságtani és nemzetközi közgazdasági kiterjesztése

Az optimális szabadalmak elméletének magatartásgazdaságtani és nemzetközi közgazdasági kiterjesztése Szdi Tudományym Gazdasáudományi Ka Közazdasáani Dokoi Iskola Nay Bndk Az opimális szabadalmak lmélénk maaaásazdasáani és nmzközi közazdasái kijszés Dokoi ékzés Témavzők: Pof. D. Hámoi Balázs CSc Eymi aná

Részletesebben

Elsőfokú egyenletek...

Elsőfokú egyenletek... 1. Hozza egyszerűbb alakra a következő kifejezést: 1967. N 1. Elsőfokú egyenletek... I. sorozat ( 1 a 1 + 1 ) ( 1 : a+1 a 1 1 ). a+1 2. Oldja meg a következő egyenletet: 1981. G 1. 3x 1 2x 6 + 5 2 = 3x+1

Részletesebben

Matt Leacock játéka. KArtúm. SzuDán. moszkva. hô Chi minh ville. oroszország. essen. Montreal. németország. manila. Canada. Montreal.

Matt Leacock játéka. KArtúm. SzuDán. moszkva. hô Chi minh ville. oroszország. essen. Montreal. németország. manila. Canada. Montreal. Mtt Lcock játék Mgvn bnntk mindn, mi z mbriség mgmntéséhz kll? Egy járványlhárító cspt szkképztt tgjiként kll flfdzntk tomboló hlálos járványok llnszérumit, még milőtt zok világszrt ltrjdnénk. Nkd és cspt

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára 2009. jnuár 29. MATEMATIKA FELADATLAP 8. évfolymosok számár 2009. jnuár 29. 15:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll olgozz! Zsszámológépt nm hsználhtsz. A fltokt ttszés szrinti sorrnn olhto mg. Minn

Részletesebben

Gyakorló feladatok ZH-ra

Gyakorló feladatok ZH-ra Algoritmuselmélet Schlotter Ildi 2011. április 6. ildi@cs.bme.hu Gyakorló feladatok ZH-ra Nagyságrendek 1. Egy algoritmusról tudjuk, hogy a lépésszáma O(n 2 ). Lehetséges-e, hogy (a) minden páros n-re

Részletesebben

GÁZOK TRANSZPORTJA MEMBRÁNOKON KERESZTÜL permeabilitás, diffúziós állandó és oldhatóság mérése

GÁZOK TRANSZPORTJA MEMBRÁNOKON KERESZTÜL permeabilitás, diffúziós állandó és oldhatóság mérése GÁZOK TRANSZPORTJA MEMBRÁNOKON KERESZTÜL rmabiitás, diffúziós áandó és odhatóság mérés Sbők Béa, Kiss Gábor Budasti Műszaki és Gazdaságtudományi Egytm, Atomfizika Tanszék Mmbránokka számos trütn taákozunk,

Részletesebben

5.10. Exponenciális egyenletek... 155 5.11. A logaritmus függvény... 161 5.12. Logaritmusos egyenletek... 165 5.13. A szinusz függvény... 178 5.14.

5.10. Exponenciális egyenletek... 155 5.11. A logaritmus függvény... 161 5.12. Logaritmusos egyenletek... 165 5.13. A szinusz függvény... 178 5.14. Tartalomjegyzék 1 A matematikai logika elemei 1 11 Az ítéletkalkulus elemei 1 12 A predikátum-kalkulus elemei 7 13 Halmazok 10 14 A matematikai indukció elve 14 2 Valós számok 19 21 Valós számhalmazok

Részletesebben

1. ábra A rádiócsatorna E négypólus csillapítása a szakaszcsillapítás, melynek definíciója a következő: (1)

1. ábra A rádiócsatorna E négypólus csillapítása a szakaszcsillapítás, melynek definíciója a következő: (1) Az antnna Adó- és vvőantnna Az antnna lktomágnss hullámok kisugázásáa és vétlé szolgáló szköz. A ádióndszkbn btöltött szp alapján az antnna a tápvonal és a szabad té közötti tanszfomáto, mly a tápvonalon

Részletesebben

Feszített vasbeton gerendatartó tervezése költségoptimumra

Feszített vasbeton gerendatartó tervezése költségoptimumra newton Dr. Szalai Kálmán "Vasbetonelmélet" c. tárgya keretében elhangzott előadások alapján k 1000 km k m meter m Ft 1 1 1000 Feszített vasbeton gerendatartó tervezése költségoptimumra deg A következőkben

Részletesebben

Komputer statisztika gyakorlatok

Komputer statisztika gyakorlatok Eszterházy Károly Főiskola Matematikai és Informatikai Intézet Tómács Tibor Komputer statisztika gyakorlatok Eger, 2010. október 26. Tartalomjegyzék Előszó 4 Jelölések 5 1. Mintagenerálás 7 1.1. Egyenletes

Részletesebben

Munkafüzet megoldások 7. osztályos tanulók számára. Makara Ágnes Bankáné Mező Katalin Argayné Magyar Bernadette Vépy-Benyhe Judit

Munkafüzet megoldások 7. osztályos tanulók számára. Makara Ágnes Bankáné Mező Katalin Argayné Magyar Bernadette Vépy-Benyhe Judit Kalandtúra 7. unkafüzet megoldások 7. osztályos tanulók számára akara Ágnes Bankáné ező Katalin Argayné agyar Bernadette Vépy-Benyhe Judit BEELEGÍTŐ GONDOLKODÁS. SZÓRAKOZTATÓ FELADVÁNYOK. oldal. 6... 6.

Részletesebben

Természetes számok: a legegyszerűbb halmazok elemeinek. halmazokat alkothatunk, ezek elemszámai természetes 3+2=5

Természetes számok: a legegyszerűbb halmazok elemeinek. halmazokat alkothatunk, ezek elemszámai természetes 3+2=5 1. Valós számok (ismétlés) Természetes számok: a legegyszerűbb halmazok elemeinek megszámlálására használjuk őket: N := {1, 2, 3,...,n,...} Például, egy zsák bab felhasználásával babszemekből halmazokat

Részletesebben

Módosítások: a) 22/2005. (IX. 19.) ör. b) 48/2006. (XII. 22.) ör. c) 7/2007. (II. 23.) ör. /2007.III. 1-

Módosítások: a) 22/2005. (IX. 19.) ör. b) 48/2006. (XII. 22.) ör. c) 7/2007. (II. 23.) ör. /2007.III. 1- 1 Módosítások: Budapst Főváros Trézváros Önkormányzat Képvislő-tstülténk 34/1996. (XII. 16.) rndlt az Önkormányzat tulajdonában álló lakások bérlőink lakbértámogatásáról a) 22/2005. (IX. 19.) ör. b) 48/2006.

Részletesebben

Egyetemi matematika az iskolában

Egyetemi matematika az iskolában Matematikatanítási és Módszertani Központ Egyetemi matematika az iskolában Hegyvári Norbert 013 Tartalomjegyzék 1. Irracionális számok; 4. További irracionális számok 7 3. Végtelen tizedestörtek 7 4. Végtelen

Részletesebben

Sztochasztikus folyamatok 1. házi feladat

Sztochasztikus folyamatok 1. házi feladat Sztochasztikus folyamatok 1. házi feladat 1. Egy borfajta alkoholtartalmának meghatározására méréseket végzünk. Az egyes mérések eredményei egymástól független valószínûségi változók, melyek normális eloszlásúak,

Részletesebben

Lineáris algebra - jegyzet. Kupán Pál

Lineáris algebra - jegyzet. Kupán Pál Lineáris algebra - jegyzet Kupán Pál Tartalomjegyzék fejezet Vektorgeometria 5 Vektorok normája Vektorok skaláris szorzata 4 3 Vektorok vektoriális szorzata 5 fejezet Vektorterek, alterek, bázis Vektorterek

Részletesebben

Három dimenziós barlangtérkép elkészítésének matematikai problémái

Három dimenziós barlangtérkép elkészítésének matematikai problémái Szegedi Tudományegyetem Természettudományi és Informatikai Kar Bolyai Intézet Geometria Tanszék Három dimenziós barlangtérkép elkészítésének matematikai problémái Szakdolgozat Írta: Pásztor Péter Matematika

Részletesebben

Orosz Gyula: Markov-láncok. További feladatok

Orosz Gyula: Markov-láncok. További feladatok Oroz Gyula: Markov-lánok További flaatok.6. flaat: Két játéko y zabályo érmét többzör flob ymá után. Az A játéko akkor yőz ha a fjk záma hárommal több lz mint az íráok záma; mí B akkor yőz ha az íráok

Részletesebben

Zsebmérleg 500 g méréshatárral Magas mérési tartomány Szállítás során védett kivitel Jól olvasható, megvilágított LCD

Zsebmérleg 500 g méréshatárral Magas mérési tartomány Szállítás során védett kivitel Jól olvasható, megvilágított LCD 22_Labormrlk_atnzv_Layout 1 2010.03.15. 13:43 Pa 160 Labormérlk Piktoraok PCE-JS 500 Blső kalibrálás: a pontossá bállítása motorizált blső súllyal történik Külső kalibrálás: a pontossá bállításához külső

Részletesebben

Relációs algebra áttekintés és egy táblára vonatkozó lekérdezések

Relációs algebra áttekintés és egy táblára vonatkozó lekérdezések Relációs algebra áttekintés és egy táblára vonatkozó lekérdezések Tankönyv: Ullman-Widom: Adatbázisrendszerek Alapvetés Második, átdolgozott kiadás, Panem, 2009 2.4. Relációs algebra (áttekintés) 5.1.

Részletesebben

3. Strukturált programok

3. Strukturált programok Ha egy S program egyszerű, akkor nem lehet túl nehéz eldönteni róla, hogy megold-e egy (A,Ef,Uf) specifikációval megadott feladatot, azaz Ef-ből (Ef által leírt állapotból indulva) Uf-ben (Uf által leírt

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika középszint 161 ÉRETTSÉGI VIZSGA 016. május. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ EMBERI ERŐFORRÁSOK MINISZTÉRIUMA Fontos tudnivalók Formai előírások:

Részletesebben

R sugarú egyenletes körmozgás képleteinek kereszttáblája

R sugarú egyenletes körmozgás képleteinek kereszttáblája R sugarú egyenletes körmozgás képleteinek kereszttáblája v ω T n v -------------- R ω 2 π R/T 2 π Rn ω v/r -------------- 2π /T 2π n T 2π R/v 2π / ω -------------- 1/n n v/ 2π R ω / 2π 1/T --------------

Részletesebben

Város Polgármestere ELŐTERJESZTÉS

Város Polgármestere ELŐTERJESZTÉS Város Polgármstr 251 Biatorbágy, Baross Gábor utca 2/a Tlfon: 6 23 31-174/233 mllék Fax: 6 23 31-135 E-mail: bruhazas@biatorbagy.hu www.biatorbagy.hu ELŐTERJESZTÉS Budapst Balaton közötti krékpárút nyomvonalával

Részletesebben

III. A RÉSZVÉNYEK ÉRTÉKELÉSE (4 óra)

III. A RÉSZVÉNYEK ÉRTÉKELÉSE (4 óra) 5.3.3. VÁLLALATI ÉNZÜGYEK III. A RÉSZVÉNYEK ÉRTÉKELÉSE ( óa Összállíoa: Naá János okl. üzmgazdász, okl. közgazdász-aná Részvény: olyan ljáa nélküli éékaí, amly a ásasági agnak: az alaők mghaáozo hányadá

Részletesebben

ELŐFESZÍTETT VASBETON TARTÓ TERVEZÉSE AZ EUROCODE SZERINT

ELŐFESZÍTETT VASBETON TARTÓ TERVEZÉSE AZ EUROCODE SZERINT BUDAPEST MŰSZAKI ÉS GAZDASÁGTUDOMÁNYI EGYETEM Építőmérnöki Kar Hidak és Szerkezetek Tanszéke ELŐFESZÍTETT VASBETON TARTÓ TERVEZÉSE AZ EUROCODE SZERINT Segédlet v1.14 Összeállította: Koris Kálmán Budapest,

Részletesebben