1.Tartalomjegyzék 1. 1.Tartalomjegyzék

Átírás

1 1.Tartalomjegyzék 1 1.Tartalomjegyzék 1.Tartalomjegyzék...1.Beezetés... 3.A matematka modell kálasztása A ékony lap modell Egy más módszer a matematka modell kálasztására A felületet smaságát jellemzõ függény dszkretzálása Az nterpolácót megalósító neuráls hálózat A gradens módszer A template-ek megterezése Template terezés más módszerekkel Template terezés a bharmonkus egyenlettel Template terezés a neuráls hálózat energaképletéel Az áramkör mûködése néhány példa kapcsán Az approxmácót megalósító neuráls hálózat A gradens módszer A template-ek megterezése Az áramkör mûködése néhány példa kapcsán Összefoglalás Summary(összefoglalás angol nyelen) Függelék A cellulárs neuráls hálózat(cnn) A szmulátorprogram Irodalomjegyzék...66

2 .Beezetés.Beezetés Sok területen szükség an alós tárgyak, alakzatok háromdmenzós képének smeretére a tárgyak mechanka érntése nélkül. Számos lehetséges módszer közül kézenfekõ az ember látásból tanulnunk. A célszerûség ok mellett az sem hanyagolandó el, hogy az ember látáshoz kapcsolódó agymûködés megértése s serkent az ezrányú kutatásokat. Ugyans annak ellenére, hogy az agyról szerzett smeretenk gen hányosak, a látórendszer egyes része (amelyek a képfeldolgozas kora szakaszán találhatóak) szonylag smertek. Tehát az ember térlátástól tanulunk. Habár háromdmenzós lágban élünk, az ember szemében kétdmenzós kép keletkezk. Mégs képesek agyunk a tárgyakat felsmern, térbel elrendezésüket megérten. Vagys az ember a két szemében keletkezõ kétdmenzós képbõl képes egy alakzat háromdmenzós képének rekonstrukcójára. Ez a sztereolátás. Vzsgáljuk meg a térlátás mûködését egy egyszerû modell segítségéel. Legyen a leképzõ eszköz két egyforma, fényt át nem eresztõ falú doboz, egyk oldalán ks lyukkal. A doboz lyukkal szemközt oldalán keletkezk a kép. A köetkezõ ábra azt az esetet mutatja, amkor az egymás mellett elhelyezkedõ dobozokkal az A pontról alkotunk képet. Y A(x,y) d y d A A1(x1,0) A(x,0) C1(-d,0) C(d,0) O1(-d,h) O(d,h) O1 A1 C1 O A C h x B B(x,h) X.1.Ábra A1, A a két képpont. O1, O a dobozok falán elhelyezkedõ rések. A C1, C pont az O1, O merõleges etülete az x-z síkra.

3 .Beezetés 3 Az rögtön látható, hogy A1, A etület képpontok smeretében A térbel helye meghatározható, hszen A az A1O1 és az AO egyenesek metszéspontja. Az elrendezés toább analízséhez egyszerûsítéssel élünk. Vzsgáljunk a kérdést síkproblémaként, agys legyen A az x és y tengelyek által meghatározott síkban. Az O1, O pontok y koordnátája h, a kép az x koordnátára képzõdk. Az O1, O pontok táolsága az y tengelytõl d. B egy segédpont, amelyre késõbb még szükség lesz. Az egyes pontok koordnátát a kép mellett megadtuk. Az O1AB és az A1O1C1 derékszögû háromszög, llete az OAB és az AOC derékszögû háromszög hasonló. Így a befogók aránya egyenlõ: y h h = x + d AC 1 1 (.1) y h h = x d AC A két egyenletet A1C1-re, llete AC-re rendeze és egymásból kona, majd smét rendeze: hd y = + h (.) AC AC 1 1 Vagys ha smerjük az A pont helyzetének eltérését az egyk képen a másk képhez képest (ez A1C1-AC), abból az A pont táolsága, agys y, egyszerûen számolható. Tehát az alakzat háromdmenzós képének rekonstruálásakor az elsõ lépés az, hogy elkészítjük a két etület képet. A két etület képen gyekszünk mnél több egymásnak megfelelõ képpontpárt találn (amelyek egy tárgyponthoz tartoznak). Így az alakzat számos pontjának térbel helyét smerjük, bár némely pont helyzetét a alóságban mûködõ algortmusok rosszul határozzák meg. Eddg csak egyes pontok térbel helyét smerjük, égeredményként azonban a tárgy felületét árjuk. Ezért a tárgy térbel képének rekonstrukcójakor a másodk elem feladat ezekre az smert pontokra egy felületet lleszten. Dplomamunkám ezzel az llesztés problémáal foglalkozk. De mndezt nem számítógépes programmal alósítom meg, hanem cellulárs neuráls hálózattal. (A cellulárs neuráls hálózatról bõebb smeretek találhatók a függelékben.)

4 3.A matematka modell kálasztása 4 Az llesztés két alapetõ módszerét zsgáltam. Az egyszerûbb esetben a felületnek pontosan át kell haladna az smert pontokon. Ezt neezzük nterpolácónak. Végtelen olyan felület an, amely áthalad az smert pontokon. Ezek közül kell egyet, mnt optmálsat kálasztan. Nylán jó, ha ez a felület mnél smább. Ennek a tulajdonságnak kellett matematka megfogalmazását megtalálnom. Az elõzõ módszer nagy hátránya, hogy egy rosszul megadott pont az egész felületet eltorzíthatja, ugyans a megadott pontokon a felületet feltétlenül átezet. Ezen segít az llesztés egy bonyolultabb esete, amkor az llesztett felületnek nem kell pontosan áthaladn az smert pontokon. Ezt approxmácónak híjuk. Dplomamunkám elsõ részében a matematka modellálasztás problámáját tekntem át. Majd külön-külön az elõbb két módszer esetén tárgyalom a megalósítandó algortmust, annak alkalmazását cellulárs neuráls hálózatra. A terezett áramkör mûködését konkrét példák kapcsán mutatom be. 3.A matematka modell kálasztása A feladatunk smert térbel pontokra egy háromdmenzós felületet lleszten. Nylán számtalan lyen felület lehetséges, ezért meg kell határozn egy olyan matematka krtérumot, amely alapján e felületek közül egy, mnt optmáls, kálasztható. Törekedn kell arra, hogy az smert pontokra mnél smább felületet llesszünk. Ennek a smaságnak kell megtaláln matematka megfogalmazását. Ehhez fzka megfontolásokat s fel fogunk használn. Tekntsük elôször az egydmenzós esetet. Terzopoulos [4] a klasszkus ún. splne nterpolácós módszerbõl ndult k, amely a ( x ) = c, 1 N (3.1) c kényszerfeltételnek megfelelõ, [a,b]nterallumon értelmezett (x) függényekbõl azt álasztja k, amelyre a b m d ( x) = dx, N c m 1 (3.) m m dx a norma mnmáls. Az x azoknak a megadott pontoknak az x koordnátá, amelyen a függénygörbének mndenképpen át kell haladna, agys x helyen c értéket kell a függénynek felenne. Nc a megadott pontok száma.

5 3.A matematka modell kálasztása 5 Nylán az ntegrálás elégzéséhez az m. deráltnak [a,b] mnden pontjában létezne kell. Ennek szükséges feltétele az m-1. derált folytonossága. Kérdés, hogy az m értéket mekkorára álasszuk a konkrét esetben. Itt fzka megfontolásokat kell segítségül hínunk. Az m=1 esetben a norma alakja: b d = dx (3.3) 1 dx a Ilyen alakú a égtelen hosszú deáls fonál potencáls energáját megadó képlet. Egy mechanka rendszer olyan egyensúly helyzetet esz fel, amelyben adott kényszerek mellett potencáls energája mnmáls. Jelen esetben a fonál úgy áll be, hogy két rögzítés pont között egyenesen halad. Vagys ha azt a függényt álasztjuk k, amelyre ez a norma mnmáls, lneárs nterpolácót kapunk. Ismert tény, hogy ez a mnmum kelégít a x = 0 (3.4) egyenletet. (Ez arácószámítással bzonyítható. Lásd Terzopoulos [4].) Az m= esetben a norma alakja: = d dx dx b a (3.5) Ilyen alakú a égtelen hosszú rugalmas rúd rugalmasság energáját megadó képlet hajlítás esetén. Az elõbb függény mnmuma a köetkezõ egyenletet elégít k: 4 x = 4 0 (3.6) Kétdmenzós esetben a fonal megfelelõje a membrán agy hártya, a rúdé pedg a ékony, rugalmas lap. A membránok (m=1) által generált felületek nem elég smák. Hasonlóképpen, mnt ahogy egydmenzós megfelelõjük által nyújtott lneárs közelítés sem az. A ékony lap (m=) nyújtotta lehetõségek úgy tûnk, hogy megfelelõek.

6 4.A ékony lap modell 6 A matematka megfontolások mellett a sztereolátásról szerzett smeretek s az m= esetet támogatják. Ezért a szakrodalom, neezetesen Grmson [1] és Terzopoulos [4] s ezt a áltozatot részesítette elõnyben. A toábbakban tehát a ékony lapot fogjuk modellként alkalmazn. 4.A ékony lap modell Fzka modellnek a ékony lapot álasztottuk. Ez azt jelent, hogy az általunk álasztott módszer olyan felületet erdeményez, mnt ahogy adott rögzítések mellett a ékony lap beáll. Fzka rendszerek potencáls energája adott kényszerek mellett egyensúly állapotban mnmáls. Ezért meghatározzuk a ékony lap potencáls energáját. A kíánt felület az lesz, amelyre ez mnmáls. Legyen (x,y) a felületet leíró függény, amely megadja a felület adott pontjának alapsíktól mért magasságát. Így tehát a felületet most a (x,y) függény reprezentálja. Az nterpolácós probléma kedéért olyan elrendezést állítottunk össze, amely késõbb köetkeztetések leonását tesz lehetõé. Így a ékony laphoz egyes pontokon rugók csatlakoznak. Ezek testesítk meg azt az elárásunkat, hogy adott (x,y) koordnátákkal jellemzett pontokban a felület az smert pontokhoz mnél közelebb haladjon el. A ékony lap alapsíktól mért magassága az (x,y) pontban (x,y). A felület ezen pontjához rugó csatlakozk, a rugók ége nyújtatlan állapotban a c ( x, y ) magasságú pontban lenne. Nylán a rugó arra törekszk, hogy adott pontban a felület (x,y) magassát c ( x, y )-hoz közelítse. Adott körülmények közt a rendszer úgy áll be, hogy a potencáls energák E((x,y))összege a mnmáls legyen. Az E energa két tag összege, a ékony lapban felhalmozódótt energáé és a rugók rugalmasság energájé. E( ( x, y))= Eékony lap + Erugók (4.1) A ékony lapra onatkozó energaképlet Hlbert [5] szernt a köetkezõképp alakul:

7 4.A ékony lap modell 7 E ékony lap Ω Ω = gdxdy Ω Ω p( s) ds 1 ( ) m( s) ds + n (1 σ ) x y xy dxdy (4.) Az elsõ tag az Ω felülettel jellemzett lapban ébredõ feszültségekkel kapcsolatos energát jelent. A σ a Posson-féle szám, más néen harántösszehúzódás együttható. A megnyúlt anyag átmérõje csökken. Ezt a hatást jellemz a Posson-féle szám. A másodk tag a g(x,y) függénnyel reprezentált, függõlegesen lefele mutató lapra ható erõ hatását mutatja. Ilyen pl. a gratácó. Tehát ez a tag tulajdonképpen a magasság energa. A harmadk és negyedk tag a lap dω kerületére ható p(s)-sel jellemzett külsõ erõt és a kerületen jelentkezõ m(s)-sel jellemzett hajlítónyomatékot jelent. Az n szernt parcáls rányment deráltat jelöl. Az rány tt a felület határának kfelé mutató normálsa. Az s íhossz a dω kerület mentén. A másodk energatag pedg a x-szel megnyúlt rugóra onatkzó Epotencáls = 1 α( x) (4.3) potencáls energát megadó képletbõl adódóan: 1 Erugók = α( ( x, y) c( x, y ) ) ( x, y ) I (4.4) Itt x, y, c ( x, y ) az. rugó égének három koordnátája nyújtatlan állapotban, I az smert pontok (x,y)koordnátapárjanak halmaza, α a rugók drekcós ereje. Elõállt tehát az energaképlet, azonban szükséges bzonyos egyszerûsítésekkel éln. Esetünkben sem a gratácós erõ nem hat, sem a peremen jelentkezõ erõk. Így a lap potencáls energáját megadó tagok közül csupán az elsõ marad. A σ konstanst 0-nak álaszta a teljes potencáls energára ez adódk:

8 5.Egy más módszer a matematka modell kálasztására 8 ), ( ), ( ] ), ( [ 1 ) ( 1 y x I y x teljes c y x dxdy y x y x E + = Ω α (4.5) Felhasznála, hogy x y = + (4.6) a képlet toább alakítható: ), ( ), ( ] ), ( [ 1 1 y x I y x teljes c y x dxdy y y x x E = α (4.7) A két tag szemléletes jelentéssel bír. Az elsõ annál ksebb, mnél smább a függény. Vagys a (x,y)-nal megadott felület smaságát jellemz. A másodk annál ksebb, mnél jobban lleszkedk a felület az smert pontokra. A toábbakban az 1/-es szorzót elhagyjuk, hszen a mnmum így nem áltozk, a számolás szont egyszerûsödk. 5.Egy más módszer a matematka modell kálasztására Grmson [3] más meggondolások után jutott ugyanarra az eredményre. Õ egy olyan függényt keresett, amely jellemz a felület smaságát. Adott felületre ennek az E() függénynek az értéke annál ksebb, mnél smább az a felület. Tehát a legsmább felületre az E függény mnmáls. A köetkezõ feltételeket szabta a kálasztandó függényre: 1.Legyen a másodrendû deráltak függénye, mel azt szeretnénk,ha a felület "rányáltásat"mérné. Az elsõ deráltak a felület meredekségére utalnak, a másodk deráltak ennek a meredekségnek a megáltozására..a függény felírható legyen, mnt E ( ) (, ) = µ 1, (5.1)

9 5.Egy más módszer a matematka modell kálasztására 9 ahol a µ-el jelölt skalárs szorzatra a köetkezõ tulajdonságok érényesek: 1. µ ( f, g ) = µ ( g, f ). µ ( f + g, h) = µ ( f, h) + µ ( g, h) (5.) 3. µα ( f, g) = αµ ( f, g) 4. µ ( f, f) 0 Ez az egyértelmû megoldás matt szükséges. Grmson [3] bebzonyította, hogy ekkor létezk olyan felület, amelyre a függény a több felület közül a legksebb értéket adja. Ez a mnmum az E() nullterének elemetõl elteknte egyértelmû. (E() nulltere azon felületek halmaza, amelyre E=0.) Az, hogy az E függény két különbözõ felületre s mnmumot ad ( agys E(1)=E() ) csak úgy lehetséges, hogy 1(x,y)-(x,y) E nullterének eleme, agys E(1(x,y)-(x,y))=0. 3.A függényérték ne áltozzon, ha a felületet elforgatjuk. A megoldások két függény lneárs kombnácó. Ezek: 1( (, )) + + E x y = dxdy x xy y E 1 ( ( ) ( ) ) = dxdy 1 (5.3) (5.4) E1 nulltere (agys azon felületek halmaza, amelyre 0-át ad) a lneárs függények halmaza. E nulltere a harmonkus függények halmaza ( ennek E1 nulltere részhalmaza ). Ez azt eredményez, hogy az egymástól egy lneárs addtí tagban különbözõ ( mnmumot adó) felületeket E1 nem tudja megkülönböztetn. E pedg ugyan olyan értéket ad az egymástól egy harmonkusokból álló addtí tagban különbözõ függényre. A két függény lneárs kombnácónak nulltere tartalmazza a lneárs függényeket, és esetleg más függényeket s. Nylán célunk a mnél ksebb nulltér, ezért E1 kedezõbbnek látszk. Vzsgáljuk meg, létezk-e az adott pontokon áthaladó két mnmumot adó felület, amelyre E1, llete E egyenlõ. E1 akkor adna két lyen felületre azonos értéket, ha azok x és y egy lneárs függényben különböznének. Két pont esetén ez még elképzelhetõ, de három, nem egy egyenesbe esõ pont esetén már nem. Ugyanakkor E-nél találhatunk két olyan függényt, amelyek átmennek az smert pontokon és csak harmonkusokban különböznek. Ez döntõ

10 5.Egy más módszer a matematka modell kálasztására 10 ér E1 mellett. Hszen E-õt alkalmaza elõfordulhatna, hogy ugyan azokra az smert pontokra több mnmumot adó felületet s tud lleszten. Varácószámítással belátható, hogy mndkét megoldás kelégít a = + + = x x y y (5.5) bharmonkus egyenletet, csupán más peremfeltételekkel. Ebbõl sejthetjük, hogy a kapott megoldások legnkább a szélek mentén különböznek. Ez így s an. Grmson [3] mndkét módszert kpróbálta felületnterpolácóra. A E-t mnmalzáló a széleken torzulásokhoz ezetett. Általános értelemben az eredmény nem olt elég sma. Ez s hozzájárult, hogy Grmson az elsõ függényt álasztotta. Így a felület smaságát mérõ függény a gyökonás elhagyásáal (mel ez a mnmumot adó (x,y) függényen nem áltoztat, de a számolást könnyít): + + = dxdy y y x x y x E )), ( ( (5.6) Interpolácó esetén, ha a felületnek mndenképpen át kell haladna az smert pontotkon, azt a felületet kell kálasztan, amelyre ez a kfejezés mnmáls. A másk eset az approxmácó. (Lásd Grmson [1].) Ilyenkor az smert pontokon nem kell pontosan átmenne a felületnek. Ekkor a felületet értékelõ függényben megjelenk egy másodk tag s, amely az lleszkedés pontosságát mér. ), ( ), ( ] ), ( [ )), ( ( y x I y x c y x dxdy y y x x y x E = α (5.7) Tehát ez egy olyan függény, amely annál ksebb, mnél kedezõbb számunkra a felület. Az elsõ tag a smaságot mér, a másodk az lleszkedést. Így Grmson s hasonló eredményre jutott, bár más meggondolások után.

11 6.A felületet smaságát jellemzõ függény dszkretzálása 11 6.A felületet smaságát jellemzõ függény dszkretzálása A m problémánk esetén a felületek egy síkrács segítségéel annak megada. Mnden egyes rácsponthoz egy alós szám tartozk, amely a felület adott pontjának a síktól mért magasságát mutatja. Tehát az x és y koordnáta nem folytonos, hanem dszkrét. A köetkezõkben kszámítjuk a mnmalzálandó energafüggényt erre a dszkrét esetre a Grmson [1] által jaasolt módszer szernt. Elõször a függény elsõ tagjáal foglalkozunk. Alakja a köetkezõ: Eékony lap( ( x, y)) = + + dxdy (6.1) x xy y Egy-egy rácspont helyét két egész szám jelöl k. A toábbakban az (,j) koordnátákkal jellemzett rácselemnél a felület magasságát (, j) jelöl. A teljes m*m méretû rács jellemzõ (, j) értékebõl egy ektort képezhetünk. Ez az m*m elemû ektor a teljes felületet megadja. (0,0) = (0,1)... ( m 1, m ) ( m 1, m 1) (6.) Ezzel a ektorral az aktuáls felületet úgy adjuk meg, mnt a lehetséges felületeket tartalmazó m*m dmenzós tér egy pontját. A dszkrét formára hozás elsõ lépése a dfferencálhányadosok dfferencahányadossá alakítása. A h a két rácspont közt táolság. j x j y j x y (, ) (, ) (, ) 1 = [ ( + 1, j) (, j) + ( 1, j) ] + O( h ) (6.3) h 1 = [ (, j + 1) (, j) + (, j 1) ] + O( h ) h 1 = [ 4 ( + 1, j + 1) ( + 1, j 1) ( 1, j + 1) + ( 1, j 1) ] + O( h ) h O(h) a tényleges érték és a közelítésünk közt hba. Ha h nullához tart, ez s nullához tart.

12 6.A felületet smaságát jellemzõ függény dszkretzálása 1 Ezek után köetkezk az ntegrálás dszkretzálása, agys az ntegrálás szummáá alakítása. Így az E() függény a köetkezõ alakot ölt: m m 1 Eékony lap ( ) = ( + ) + j = 1 = 1 j = 0 m 1m = 0 = 0 j = 0 ( 1, j) (, j) ( + 1, j) ( + ) + (, j 1) (, j) (, j+ 1) m m ( + ) (, j) ( + 1, j) (, j+ 1) ( + 1, j+ 1) (6.4) Ehhez járul az lleszkedést zsgáló másodk tag. Legyen I azon rácspontok (,j) koordnátának halmaza, amelyeknél a felület síktól mért magasságát smerjük. I = {(, j) smerjük a magasságot az (, j) rácspontban} (6.5) A másk új jelölés c (, j). Ez az smert magasságérték az (,j) pontban. Ezekkel a másodk energatag dszkretzált alakja: Erugók ( ) = α ( (, j) c(, j) ) (, j) I (6.6) Így a ékony lap potencáls energájának mndkét tagot tartalmazó dszkretzált alakja: m m 1 ( 1, j) (, j) ( + 1, j) = 1 j = 0 E( ) = ( + ) + m 1m = 0 α j = 1 ( + ) + j = 0 (, j 1) (, j) (, j+ 1) m m = 0 (, j) I ( + ) + (, j) ( + 1, j) (, j+ 1) ( + 1, j+ 1) ( c ) (, j) (, j) (6.7)

13 7.Az nterpolácót megalósító neuráls hálózat 13 7.Az nterpolácót megalósító neuráls hálózat A probléma egyszerûsödk, ha az llesztett felületnek az smert pontokon mndenképpen át kell haladna. A ékony lap analógában ez annak felel meg, amkor a ékony lapot az smert pontokhoz mereen rögzítjük rugók nélkül. Ezt az esetet nterpolácónak neezzük. Ilyenkor a mnmalzálandó függény csupán a felület smaságát meghatározó elsõ tagot tartalmazza. 7.1.A gradens módszer A mnmum megkeresésére az ún. gradens módszert használjuk. Ez az eljárás azt használja k, hogy a ektor által kjelölt pontból ks -el elmozdula az E() függény értéke grade() rányban nõ a legtöbbet, llete - grade() rányban csökken a legtöbbet. M a függény mnmumát keressük, ezért a -grade() rányban ndulunk el. Ily módon a 0 kndulás pontból az elsõ terácó után a köetkezõt kapjuk: 1 = 0 β grade ( ) 0 (7.1) Általában a (k+1). pontot a k. pontból: k k grade k + 1 = β ( ) (7.) A β állandót úgy álasztjuk meg, hogy -grade() rányaban halada a köetkezõ terácós pontban E() értéke a lehetõ legksebb legyen. E() smeretében β, mnt függénye meghatározható(grmson [1]).

14 7.Az nterpolácót megalósító neuráls hálózat 14 Tehát ez a módszer alkalmas az E() függény lokáls mnmumhelyének megtalálására. (Bõebben lásd [10].) A fõbb lépések jelen esetben a köetkezõk: 0.A kezdet állapot meghatározása. (, j) I: 0(, j) = c(, j) (, j) I: 0(, j) = 0 1. grad ( E( )) számítása a. β számítása függényében. 3.A köetkezõ terácós pont számítása. = βgrade ( ) (Kée az smert pontokat. Itt a felület c 4. Ha 0 k+ 1 k > ε, ssza az 1. lépésre. k k aktuáls terácós pontban (, j) magassértéke nem áltoznak.) (7.3) Tehát a m m 1 E( ) = ( + ) + j = 1 = 1 j = 0 ( 1, j) (, j) ( + 1, j) m 1m = 0 ( + ) + j = 0 (, j 1) (, j) (, j+ 1) m m = 0 ( + ) (, j) ( + 1, j) (, j+ 1) ( + 1, j+ 1) (7.4) függény mnmumát keressük a (, j) c(, j) = 0, (, j) I (7.5) feltétel mellett. (Utóbb képlet annak az elárásnak matematka megfogalmazása, hogy a felület pontosan áthaladjon az smert pontokon.) Ha felbontjuk a zárójelet az E() függény kfejezésében, azt tapasztaljuk hogy, háromtényezõs szorzatok összegébõl áll. Egy tényezõ egy konstans és két rácspont magasságértékenek szorzata. Megfgyelhetõ, hogy a szorzatban szereplõ magasságértékek olyan rácspontokhoz tartoznak, amelyek egymásnak r= sugarú környezetében annak.

15 7.Az nterpolácót megalósító neuráls hálózat 15 1 E( ) = C(, j, k, l) (, j) ( k,) l, r= (, j) ( kl, ) Nr (, j) C(, j, k,) l = C( k,,, l j) (7.6) A módszerhez szükséges a gradens meghatározása. Ha az energafüggény az elõbb alakú, akkor a grade() egy koordnátája a köetkezõképp alakul: E (, j) = C(, j, k,) l ( kl, ), r = (7.7) ( kl, ) Nr (, j) A kfejezést (k,l) szernt derála megkapjuk a C konstansokat s. C(, j, k,) l = E (, j) ( k,) l (7.8) A C(,j,k,l) konstansokat az energafüggény (7.4) alakjából kaphatjuk, úgy, hogy felbontjuk a zárójeleket és összehasonlítjuk a (7.6) kfejezéssel. A C(,j,+,j+ j) értékeket a köetkezõ táblázatok tartalmazzák. (Ha agy j abszolút értéke kettõnél nagyobb, C értéke nulla. ) Nylán ezek a tábázatok függnek -tõl és j-tõl. / j a.) / j b.) (7.9) (7.10)

16 7.Az nterpolácót megalósító neuráls hálózat 16 / j c.) / j d.) / j e.) / j f.) (7.14) (7.11) (7.1) (7.13) A köetkezõ tábázat azt mutatja, adott és j értékek mellett melyk ks táblázatot kell fgyelembe enn. Az elsõ betû a hat ks táblázat egykére utal."x", "y", "z" tükrözést jelent az x, az y tengelyre, llete az x és y tengellyel egyaránt 45 fokos szöget bezáró egyenesre.

17 7.Az nterpolácót megalósító neuráls hálózat 17 / j m - 3 m - m -1 0 f d c c c. c dy fy 1 dz e b b b. b ey dzy cz bz a a a. a bzy czy 3 cz bz a a a. a bzy czy 4 cz bz a a a. a bzy czy m - 3 cz bz a a a. a bzy czy m - dzx ex bx bx bx. bx exy dzxy m -1 fx dx cx cx cx. cx dxy fxy 71..Táblázat Tehát például ha m=9, az energafüggény deráltja a rács középsõ pontjához tartozó magasságérték szernt (az "a" jelû ks táblázatot felhasznála): E = 40( 44, ) 16( ( 34, ) + ( 54, ) + ( 43, ) + ( 45, )) + ( 44, ) (7.15) 4( ) + ( ) ( 33, ) ( 53, ) ( 53, ) ( 55, ) ( 4, ) ( 64, ) ( 4, ) ( 46, ) Fontos megjegyezn, hogy bár a módszer lokáls mnmumot keres, ennél a konkrét E() függénynél ez egybeesk a globáls mnmummal (Grmson [1]). 7..A template-ek megterezése A neuráls hálózattal aló megalósítás a dgtáls számítógéppel aló (pl. gradens módszeren alpuló) mnmumkereséshez képest számos elõnnyel bír. Ezek közül a legfontosabb a nagy sebesség. Ez a ténylegesen megépített (nem csak szmulált) hálózatoknál jelentõs részben a párhuzamosságból adódk. Hszen m*m-es ráccsal ábrázolt felületeknél m*m elem processzorsejt dolgozk párhuzamosan. A nagy sebesség másk oka az analóg számítás el. Vagys a dgtáls számítógépeknél szokásos címzések, adatmozgatások elmaradnak. Tehát most a cellulárs neuráls hálózatra jellemzõ template-ek megterezése köetkezk. Olyan template-et álasztunk, hogy a hálózat az általunk elárt dfferencálegyenlet-rendszert oldja meg. A rácselemek magasságértéke most a sejtek belsõ állapotaban annak.

18 7.Az nterpolácót megalósító neuráls hálózat 18 Elõször s zsgáljuk meg a cellulárs neuráls hálózat matematka modelljét (Roska [10], 87.o.). Egy sejt selkedését a köetkezõ egyenlet írja le: C d xj () t = 1 dt R xj () t + A (, j, k,) l ykl () t + B (, j, k,) l ukl () t + I x ( kl, ) Nr(,j) ( kl, ) Nr(, j) yj = f( xj ) (7.16) C, R és I a sejthez tartozó kapactás, ellenállás, és addtí áramérték. A xj, yj és uj az (,j) pozícóban leõ sejt belsõ állapota, kmenete, és a sejthez tarozó bemenet. Az A(,j,k,l) és B(,j,k,l) a kmenetek és a bemenetek csatolására onatkozó súlytényezõk. A rácselrendezés egy sejtje csak egy r sugarú környezetéel an közetlen kapcsolatban. Ha a C=1, R=1 gyakran használt egyszerûsítésekkel élünk: d xj () t = xj () t + A(, j, k,) l ykl () t + B(, j, k,) l ukl () t + I dt ( kl, ) N ( kl, ) N r(, j) r(, j) (7.17) Megjegyzendõ, hogy tt az állapotáltozó áltozás gyorsaságát adja meg az egyenlet jobb oldala. A gradens módszerrel ektor két terácó közt áltozását a köetkezõképpen kapjuk: = β grad E( ) (7.18) A gradens módszer lényege az, hogy a ektort mndg a negatí gradens rányába áltoztatjuk, hszen adott pontból kndula ebben az rányban csökken az E() függény értéke ugyanakkora ks áltozásra a legnkább. A mnmalzálandó E() függény, és ebbõl adódóan a gradens alakja a köetkezõ:

19 7.Az nterpolácót megalósító neuráls hálózat 19 1 E( ) = C(, j, k, l) (, j) ( k,) l, r= E (, j) = C(, j, k,) l, r = C(, j, k,) l = (, j) ( kl, ) Nr (, j) ( kl, ) Nr (, j) E (, j) ( k,) l ( kl, ) (7.19) Azonban CNN esetén nem az állapotáltozók két terácó közt megáltozását, hanem a áltozás gyorsaságot tudjuk megadn. Így áll elõ a köetkezõ alak: d = β grade ( ) (7.0) dt Megjegyzem,hogy a β tt s egy konstans,bár dmenzója más. A hasonló szerep matt jelöltem ugyan azzal a betûel. A cellulárs neuráls hálózatnál a magasságértékek a sejtek belsõ állapotaban annak tárola. Így ezek után a (, j) magasságérték helyét xj esz át. Egy rácselemre: d dt xj E = β xj (7.1) Mel a gradensrõl már megmutattuk, hogy egy-egy koordnátája a xj értékek lneárs kombnácója: d xj = β C(, j, k,) l xj dt ( kl, ) Nr (, j) (7.) E C(, j, k,) l = xj xkl ahol a C(,j,k,l) együtthatókat smerjük. Az (7.4) és (7.) egyenletet összehasonlíta megkapjuk, hogy az A, B, I értékek és a sejt kmenetét adó nemlneárs függény mként alakulnak.

20 7.Az nterpolácót megalósító neuráls hálózat 0 1. B = 0,agys a. I = yj = xj,tehát f ( x) = x. 4.Az smert pontokhoz tartozó a felület adott pontbel magasságát 5.Az smeretlen pontokhoz tartozó sejtekbe nullát töltünk. 6.A smert pontokhoz tartozó sejtek belsõ állapotának áltozását letltjuk. 7.A kalakított felületet a sejtek agy az ezzel egyenlõ bemenetek nem számítanak. 8.Az energaképletben r =, tehát A 5x5 - ös. 9.Az A mátrx eleme a köetkezõképp alakulnak : βc(, j, k, l),ha A(, j, k, l) = βc(, j, k, l) + 1,ha uj yj sejtek xj kmenetekben. (, j) belsõ állapotaban kapjuk, (, j) xj töltjük. (k,l) = (k,l) belsõ állapotaba (7.3) A +1 (,j)=(k,l) esetén azért szükséges, mel a CNN (7.4) egyenletében a jobb oldalon már elee szerepel egy xj -s tag. Sajnos többfajta template adódk, a template értékek nem lesznek helyfüggetlenek. β=1 esetén ezek a köetkezõk: a.) c.) e.) b.) d.) f.) (7.4) (7.5) (7.6)

21 7.Az nterpolácót megalósító neuráls hálózat 1 Elhelyezkedésük az m*m-es rácson: / j m - 3 m - m -1 0 f d c c c. c dy fy 1 dz e b b b. b ey dzy cz bz a a a. a bzy czy 3 cz bz a a a. a bzy czy 4 cz bz a a a. a bzy czy m - 3 cz bz a a a. a bzy czy m - dzx ex bx bx bx. bx exy dzxy m -1 fx dx cx cx cx. cx dxy fxy 7..Táblázat A táblázatban az elsõ betû az (7.4), (7.5), (7.6) alatt felsorolt template-eket jelöl, az "x", "y", "z" pedg tükrözést jelent az x, y tengelyre, llete az x és y tengellyel 45 fokos szöget bezáró egyenesre. Ebbõl látható, hogy összesen 5 féle template szükséges. Lássuk a hálózat mûködését egy egyszerû példán. A felületet m*m-es ráccsal jellemeztük, ahol j a felület alapsíktól mért magassága az (,j) pontban. A cellulárs neuráls hálózatunk s m*m sejtbõl áll. Most az (,j) pozcójú sejt belsõ állapota jelent a felület magasságát az alapsík (,j) pontjától. Így reprezentáljuk a felületet a hálózattal. A köetkezõ példán egy oldalán fekõ háromszög alapú hasáb látható. 7.3.Ábra

22 7.Az nterpolácót megalósító neuráls hálózat A két felsõ lap által alkotott felület így jelenk meg egy 5*5-ös struktúrában: \ j (7.7) Felület llesztésére a köetkezõképpen használhatjuk a terezett hálózatot. Ha az alapsík (,j) pontjában smerjük a felület magasságát, az (,j) pozcójú sejt belsõ állapotába ezt a magasságértéket töltjük, és a sejt állapotáltozását letltjuk. Ha nem smert a felület magassága ebben a pontban, a sejtbe nullát töltünk. A köetkezõ ábra egy olyan esetben mutatja be a cellulárs neuráls hálózat sejtjebe töltendõ értékeket, mkor csak három pontot smerünk. \ j (7.8) Ezután elndítjuk a hálózatot. Ks dõ múla megkapjuk a pontokra llesztett felületet. Három smert pont esetén ez árhatóan síklap. És tényleg egy síklapot írnak le a sejtek belsõ állapota az terácó égén. \ j (7.9) Megjegyzendõ, hogy amennyben a cellulárs neuráls áramkört szmuláló program csak egyféle template alkalmazását tesz lehetõé, egyszerûsítésekkel mégs létrehozható ez a fajta hálózat. Ilyenkor a legegyszerûbb lehetõség az "a"-al jelölt template-et használn, és a szmulátor azon opcóját beállítan, amkor a szabadon maradt bemenetekre nullát ad. Ez aal jár, hogy a kalakuló felület széle két sorban a nulla sznten annak rögzíte.

23 7.Az nterpolácót megalósító neuráls hálózat 3 Valamel több lehetõséget nyújt az a megoldás, amkor a szélsõ két sorban letltjuk a sejtek állapotánal áltozását és a nekünk megfelõ értékre állítjuk ezt a belsõ állapotot. Vagys a rács szélsõ két sorában mnden pontot smertnek adunk meg. Ha a szmulátor rendelkezk egy specáls opcóal, az ún. kettõzéssel, egy harmadk módszer s kínálkozk. A szmulátor lyenkor a szélsõ oszlopban/sorban leõ sejteket a széleken megsmétl. Vagys a sejtekbõl álló négyzetrács körül létrejön egy rtuáls sejtsor. Itt egy sejt kmenete megegyezk a elük szomszédos, alód sejt kmenetéel. Értelemszerûen ez a módszer két rtuáls sejtsorral s használható. Így a szélen nem kell nekünk meghatározn a felület pontjat. A módszer hátránya, hogy a felület a szélen (a szélre merõleges zszntes által meghatározott rányban) ízsznetes érntõre fog törekedn, akkor s, ha ezt az smert pontok nem ndokolják. 7.3.Template terezés más módszerekkel Az elõbb gondolatmenet mellett másképpen s meg lehet kapn a template-eket. Erre smertetek röden két módszert. Ez azért s tanulságos, mert új összefüggésekre lágít rá Template terezés a bharmonkus egyenlettel Mnt azt a matematka modell Grmson féle tárgyalásánál megállapítottuk, a legsmább felületet jellemzõ (x,y) függény kelégít a bharmonkus egyenletet: 4 4 = + + = x x y y 4 4 (7.30) Ha a határgörbe x-y síkra aló etülete négyzet alakú, Grmson [3]szernt a köetkezö peremfeltételek érényesek: f y 3 f = 0, = 0 (7.31) x y az x tengellyel párhuzamos határolóoldal mentén, és

24 7.Az nterpolácót megalósító neuráls hálózat 4 f x 3 f = 0, = 0 (7.3) y x az y tengellyel párhuzamos határolóoldal mentén. Elõször a bal oldalon szereplõ operátort kell dszkretzáln, az E() függény dszkrét alakjához hasonlóan. Ez ugyanúgy megkapható, mnt a rácselemekhez tartozó magasságértékek függénye. Legyen a (, j) felületen értelmezett, dszkretzált operátor jele a nagy D betû. Ezek után a neuráls hálózattal a d (, j) dt =± D (7.33) (, j) egyenletet kell megalósítan. Ez azért oldja meg a bharmonkus egyenletet, mert stabl állapotban a derált nulla. A jobb oldal elõjelét stabltás megfontolásokból kell leezetn. Az, hogy an stabl égállapot, bzonyításra szorul. (Nylán a gradens módszerrel mûködõ hálózat s ezt számítja k, az pedg stabl. ) Ez olt tehát a bharmonkus egyenleten alapuló leezetés ázlata. Ez azonban kapcsolatban áll a gradens módszerrel számítottakkal. A gradens módszerrel ezt az egyenletet alósítottuk meg: d xj E = β (7.34) dt xj Ebbõl látszk, hogy a két jobboldal csak egy skalár szorzóban térhet el egymástól Template terezés a neuráls hálózat energaképletéel A template-ek egyszerûen megkaphatók, ha felhasználjuk a cellulárs neuráls hálózat energafüggényét. Ez a Hoppfeld-féle hálózat energafüggényéel (Roska [10], o.) megegyezk, csupán a kapcsolatok lokálsak. 1 E = n n = 1 j= 1 T V V j j + n V j j= g ( V ) dv R j n = 1 V I (7.35) Itt n a neuronsejtek száma, V az. sejt kmenete, g(x) a belsõ állapotból a kmenetet adó nemlneárs függény, I az. sejtbe befolyó áram, R az.

25 7.Az nterpolácót megalósító neuráls hálózat 5 sejthez tartozó ellenállásérték. A T együtthatók azt határozzák meg, mekkora súllyal an az. sejt kmenete a j. sejt bemenetére sszacsatola. Tekntsük azt az esetet, amkor a sejtekbe befolyó áram 0, g(x)=x (agys a kmenet egyenlõ a sejt belsõ állapotáal), az ellenállás pedg mnden sejtre R=1. Ezenkíül fgyelembe ée, hogy az m*m négyzetrácson elhelyezkedõ sejteket kettõs ndexszel láttuk el, és hogy a cellulárs neuráls hálózatnál a T tényezõk megfelelõje A(,j,k,l): m 1m 1m 1m 1 m 1m E = A(, j, k,) l xj xkl + xj (7.36) = 0 j = 0 k = 0 l = 0 = 0 j = 0 Feleleeníte a gradens módszer során kszámolt energafüggényt: 1 E( ) = C(, j, k, l) (, j) ( k,) l, r= (7.37) (, j) ( kl, ) Nr (, j) Ahhoz, hogy a két energafüggény mnmuma ugyanott legyen, megengedett, hogy egy konstans szorzóban különbözzenek. Az egyszerûség érdekében ettõl tekntsünk el, és álasszuk a két függényt megegyezõnek. A neuráls hálózatot meghatározó A értéket ekkor így kapjuk: C(, j, k, l), ha(, j) (k, l) A(, j, k, l) = (7.38) C(, j, k, l) + 1, ha (, j) = (k, l) Ebbõl az A mátrx ugyanúgy adódk, mnt azt az elõzõ pontban kszámoltuk. Ez a hálózat egyéb jellemzõre s gaz. A B mátrx 0, a I áramérték szntén, a belsõ állapotból a kmenetet az f(x)=x függény állítja elõ. 7.4.Az áramkör mûködése néhány példa kapcsán Az elõbb jellemzõkkel rendelkezõ cellulárs neuráls áramkör szmulálására megfelelõ számítógépprogramot készítettem, amely az elõrelépõ Euler formuláal oldotta meg a dfferencálegyenletet. A közelítés C=1, R=1 esetén 0,015-es dõlépésnél még a helyes megoldáshoz konergált, 0,0-es értéknél már dergens olt. A felületek ábrázolásához 40x40-es rácsot használtam. A köetkezõ példák bemutatják, hogyan függ a konergenca gyorsasága az smert pontok sûrûségétõl és elhelyezkedésétõl, mlyen hbát okoz egy rosszul smert pont, és hogyan selkedk a rendszer a felület hrtelen meredekségáltozásánál.

26 7.Az nterpolácót megalósító neuráls hálózat 6 Az elsõ példa azt mutatja, mlyen felületet lleszt a hálózat három nem egy egyenesbe esõ pontra. Három ponton át mndg fektethetõ egy síklap. Egyenlete z = ax + by + c. (7.39) Így x = 0, = 0, = 0 (7.40) x x y Ebbõl az adódk, hogy a síklap esetén az energafüggény 0. Tehát három pont esetén a síklap a mmmumot adó felület. A 7.1.a.ábra a knduló helyzetet mutatja,a 7.1.b,c,d,e ábra pedg az 15,150,750,17550 dõegység után állapotot. 7.1.a.Ábra

27 7.Az nterpolácót megalósító neuráls hálózat b.Ábra 7.1.c.Ábra

28 7.Az nterpolácót megalósító neuráls hálózat d.Ábra 7.1.e.Ábra A köetkezõ példa egy hányosan defnált hengerpalástrészlet rekonstrukcóját mutatja. A 7..a ábrán az smert pontok, a 7..b és a 7..c ábrán a CNN struktúra által 100 és 850 dõegység után kalakított felület látható.

29 7.Az nterpolácót megalósító neuráls hálózat 9 7..a.Ábra 7..b.Ábra

30 7.Az nterpolácót megalósító neuráls hálózat c.Ábra A harmadk példa egy hányosan defnált gömbfelület esetén mutatja az áramkör mûködését. A 7.3.a.ábrán látható helyzethez csupán 0,75 dõegységre olt szükség. A 15 dõegység után elõálló égeredményt a 7.3.b.ábra mutatja. Az smert pontok sûrûsége 30%. A feladatot kpróbáltam úgy s,hogy az smert pontok sûrûsége 10% és 3% olt. A 7.3.c.ábra a 10%-os esetben mutatja a 0,75 dõegység után elõálló eredményt. A 7.3.d.ábrán és a 7.3.e.ábrán pedg az smert pontok 3%-os sûrûsége esetén 0,75 és 75 dõegység után elõálló helyzet látható. Érdekes az összehasonlítás a 7.3.a, c és d ábra között. Látható, hogy a 30, 10 és 3%-os esetben 0,75 dõegység után hoa jut el a rendszer. Az utóbb esetben az erre az dõre kalakuló kép nem túl bíztató, ennek ellenére még így s skerült a felület rekonstrukcója 150 dõegység után.

31 7.Az nterpolácót megalósító neuráls hálózat a.Ábra 7.3.b.Ábra

32 7.Az nterpolácót megalósító neuráls hálózat c.Ábra 7.3.d.Ábra

33 7.Az nterpolácót megalósító neuráls hálózat e.Ábra A két példa közt lényeges eltérés, az hogy a hengerpalástrészletnél az smert pontok sûrûsége az ábra egyes részen különbözõ. Egyes egyenesek mentén mnden pontot smerünk, nagy területek azonban smeretlenek. A félgömb esetén az smert pontok sûrûsége az egész ábrán 30%. Ennek a konergenca gyorsaságára an khatása, mel a nagy smeretlen területek csak hosszú dõ alatt alakulnak k megfelelõképpen a módszer lokaltásának köszönhetõen. Másként fogalmaza, a lokaltás köetkeztében a hba (a égállapot és a jelenleg állapot közt különbség) ks térfrekencás komponense gen nehezen tûnk el. A negyedk példa a 7.4.ábrán azt mutatja hogyan selkedk a módszer akkor, ha egy felület rosszul megadott pontot s tartalmaz. Ez alós tárgy háromdmenzós képének rekonstrukcójakor gyakran elõfordul, mel nncs 100%-os bztonságú eljárás a két etület képbõl az smert pontok kszûrésére. Látható, hogy az algortmus a megadott pontokon mndenképpen átezet a felületet, ezért egy rosszul megadott pont szerencsétlen esetben az egész ábrát jelentõsen torzíthatja. Az smert pontok sûrûsége egyébként 30% olt, az áramkör mûködés deje 15 egység.

34 7.Az nterpolácót megalósító neuráls hálózat Ábra A köetkezõ példa a 7.5.ábrán látható esküõ torta ("weddng cake") alakzat. Ez alapesetnek számít a randompont sztereogrammoknál, hszen ott gyakorak az olyan alakzatok, amelyek az alapsíkkal párhuzamos síkokból jönnek létre. Az smert pontok sûrûsége 30%, a kép létrejöttéhez szükséges dõ 16,5 egység. A síklapok belsõ része szonylag hamar kalakulnak, a probléma a síklapok határán jelentkezk. Itt bzonyos "túllöés" tapasztalható. A módszer hátránya, hogy hrtetlen meredekségáltozást nehezen tud áthdaln. Másrészt a rácsreprezentácó amúgy sem alkalmas függõleges felületek ábrázolására.

35 7.Az nterpolácót megalósító neuráls hálózat Ábra Az általam terezett neuráls hálózatot kpróbáltam a CNNM V5.3-mas szmulátorral s. (Bõebben lásd [10].) Ennek an egy egész számokkal és egy lebegõpontos számokkal megalósított erzója. Az elõbb nem elég pontos, mel a törtrész ábrázolásához 9 btet használ, az az 1/51 a legksebb ábrázolható érték, a áltozások pedg a ks dõlépés (0,015) matt kcsk. Így a lebegõpontos áltozatot alkalmaztam. A template terezésrõl szóló fejezet égén már írtam a szmulátoros megalósításról, llete arról, hogyan lehet egy template alkalmazásáal mégs kelégítõ eredményt kapn. Ezt llusztrálom a 10%-os smert pontsûrûséggel rendelkezõ gömbfelület 45 dõlépés után rekonstrukcóján. A 7.6.a.ábrán a szélen leõ sejtek szabadon maradt lábara 0-át adattam. A gömbfelület magasságértéke -0,9 és +0,9 között mozogtak, mel a szmulátor olyan, hogy ha a sejtek belsõ állapota a [-1,+1] nterallumban an, a sejtek kmenete megegyezk a bemenettel. Tehát ez a sejtekben léõ nemlneartás lneárs szakasza. Azzal, hogy a szélekre nullát adtunk, a hálózat a felület szélét a nulla szntre gyekszk kötn,ez látható s az ábrán.

36 7.Az nterpolácót megalósító neuráls hálózat a.Ábra A 7.6.b.ábrán a már említett kettõzést próbáltam k. Ekkor a széleken a szélsõ sort/oszlopot a szmulátor megsmétl. A hálózat lyenkor a felület szélén (a szélre merõleges zszntes által meghatározott rányban) ízsznetes érntõre törekszk. Ez látható s az ábrán, hszen a felület széle ndokolatlanul felhajlk.

37 8.Az approxmácót megalósító neuráls hálózat b.Ábra 8.Az approxmácót megalósító neuráls hálózat Az elõzõ nterpolácós eljárásnál az llesztett felület feltétlenül átment mnden smert ponton. A gyakorlatban ennek sok hátránya an. Randompont sztereogrammoknál, és általában akkor, ha két etület képbõl kíájuk a háromdmenzós alakzatot rekonstruáln, az smertnek feltételezett pontok jelentõs része a megalósított algortmusok esetén téedés eredménye. Tehát az smert háromdmenzós pontokat meghatározó eljárások a gyakorlatban nem nyújtanak teljes bztonságot. Az elsõ nterpolácós eljárás pedg egy rosszul meghatározott ponton akkor s átezetné a felületet, ha ez az ábra jelentõs torzulását eredményezné. A most smertetésre kerülõ módszer kküszöböl ezt a hbát. Az smert pontokra aló lleszkedést nem úgy bztosítjuk, hogy a felületnek feltétlenül át kell menne rajtuk, hanem úgy, hogy a mnmalzálandó függényben a smaságot kfejezõ elsõ tag mellett megjelenk az smert pontokra aló lleszkedést jellemzõ másodk tag. Azt a modellt használjuk, amelyben a ékony lapot rugókkal rögzítettük, nem pedg mereen. Így a kszámított potencáls energaképlet mndkét tagját alkalmazzuk. 8.1.A gradens módszer

38 8.Az approxmácót megalósító neuráls hálózat 38 A függény mnmumának megkeresésére Grmson [1]a konjugált gradens módszert alkalmazta. Ez csupán annyban különbözk a gradens módszertõl, hogy nem a negatí gradens rányában lép, hanem a lépés rányának kszámításában az elõzõ terácó rányát s felhasználja. Így gyorsabb a konergenca. A cellulárs neuráls hálózathoz a gradens módszert tartottam mplementálásra alkalmasnak. Így a mnmalzálandó energafüggény: E( ( x, y)) = + x ( x, y ) I + x y α[ ( x, y ) c ( x, y ) + y ] dxdy (8.1) Ennek dszkretzált alakja: m m 1 E( ) = ( + ) + j = 1 = 1 j = 0 ( + ) + ( + ) + ( c ) ( 1, j) (, j) ( + 1, j) m 1m = 0 α j = 0 (, j 1) (, j) (, j+ 1) m m = 0 (, j) I (, j) ( + 1, j) (, j+ 1) ( + 1, j+ 1) (, j) (, j) (8.) Az α konstans tt azt határozza meg, hogy az optmáls felület keresésénél mlyen súllyal együk fgyelembe az smert pontokra lleszkedést a smasághoz képest. Mnél nagyobb, a felület annál nkább lleszkedn fog az smert pontokra. Most a gradens maghatározása a feladat. Ehhez új alakra hozzuk az energafüggényt a zárójelek felbontásáal. 1 E( ) = C(, j, k, l) (, j) ( k,) l + α ( (, j) c(, j) ), r= (, j) ( kl, ) Nr (, j) (, j) I C(, j, k,) l = C( k,,, l j) (8.3)

39 8.Az approxmácót megalósító neuráls hálózat 39 Ebbõl adódóan a (, j) szernt derált, agys a gradens ektor egy koordnátája, ha az (,j) rácspontban a c (, j) magasság smert: E = C(, j, k,) l ( kl, ) αc(, j) + α(, j), r = (8.4) (, j) ( kl, ) Nr (, j) Ha az (,j) pontban nem smert a magasság, a jobb oldal összegnek csupán elsõ tagja szerepel. C(,j,k,l) ugyanúgy alakul, mnt nterpolácónál. Így az ott kapott táblázatok használhatóak. 8..A template-ek megterezése A neuráls hálózatot jellemzõ dffrencálegyenlet C=1, R=1 esetén: d xj () t = xj () t + A(, j, k,) l ykl () t + B(, j, k,) l ukl () t + I dt ( kl, ) N ( kl, ) N r(, j) r(, j) (8.5) Látható, hogy az I áramérték helyfüggõ. Erre a cellulárs neuráls hálózatoknál szokatlan tulajdonságra szükség lesz késõbb. A gradens módszer neuráls hálózatra alkalmazása pedg a köetkezõ egyenletet adja: d xj E = β (8.6) dt xj j Ide a deráltra elõbb kapott képletet helyettesíte: xj = β (,,, ) (, ) C j k l xkl αc j + αxj, r = t ( k, l) Nr (, j) (8.7)

40 8.Az approxmácót megalósító neuráls hálózat 40 A hálózat jellemzõ (8.5) és (8.7) összehasonlításából β=1 esetén a köetkezõképp adódnak: 1. Az abszolút pontos llesztés módszertõl csupán azoknál a sejteknél különbözk,amelyek olyan rácsponthoz tartoznak, amelynél a felület magassága smert. A különbség az Amátrx középsõ elemében és I - ben an..ekkor az (, j) rácsponthoz tartozó sejt A mátrxának középsõ eleme: a = C(, j,, j) α 3.Ugyanennél a sejtnél I I (,) 33 j j = αc (, j) j : j (8.8) A gyakorlatban ez azt jelent, hogy ezekben a pontokban az A mátrx annyban különbözk az nterpolácónál kapott A mátrxtól, hogy a középsõ elemébõl le kell onjunk α-t, a sejthez tartozó áramérték pedg nem 0, hanem a fent képlet szernt alakul. Ez az áramérték az smert pont magasságától és α- tól függ. Megjegyzem, hogy ezt a módszer csak egyfajta template-et lehetõé teõ szmulátorral már megkötések mellett sem lehet használn. Sõt ha többféle template-et s megengedõ programot alkalmazunk, az smert pontoknak akkor s befolyása an a template értékekre és az áramértékekre. Vagys egy-egy feladathoz külön template-összeállítást kell készíten. Így egy külön a feladat szmulálására szolgáló program a helyzetet jelentõsen egyszerûsít. 8.3.Az áramkör mûködése néhány példa kapcsán A köetkezõ példák olyan eseteket mutatnak, amkor az áramkör által kalakított felület jelentõsen különbözk az nterpolácó esetén kapott eredménytõl. Az elsõ példán olyan felület rekonstrukcóját mutatjuk be, amelyen egy pontot hbásan adtunk meg. Ezt az problémát már a másk llesztés módszernél s tárgyaltuk. Akkor ez az egy rosszul megadott pont az egész ábrát elrontotta. Most sokkal ksebb a torzulás. A legksebb az 8.1.a.ábrán látható esetben,

41 8.Az approxmácót megalósító neuráls hálózat 41 hszen tt az llesztettség pontosságát jellemzõ α konstans s a legksebb, csupán 0,5. Az 8.1.b.ábrán a hbás pont már jobban zaar, tt α=1,5. Az 8.1.c.ábrán látható esetben pedg ez a kellemetlen hatás még nagyobb, tt α=5. Az smert pontok aránya egyébként 30% olt, a mûködés dõ 30 dõegység. 8.1.a.Ábra

42 8.Az approxmácót megalósító neuráls hálózat b.Ábra

43 8.Az approxmácót megalósító neuráls hálózat c.Ábra Ebbõl látható, hogy α mnél nagyobb, a módszer annál nkább közelít az nterpolácóhoz. Hszen az egyes felületeket értékelõ E() függényben a nagy α matt már az smert pontoktól aló ks eltérés s nagy addtí tagot produkál. Azt a felületet keressük, amelyre az E() függény értéke a legksebb. A nagy addtí tag matt azonban a rosszul lleszkedõ felületek kesnek a mnmumért aló küzdelembõl. A másk példa a lakodalm süteményt mutatja. A 8..a.ábránál α=5 olt. Az nterpolácóhoz képest a égeredmény alamel kedezõbb. A 8..b.ábra α=0,5 esetén mutatja a kalakult felületet. Az α konstans, így az lleszkedés súlya az E függényben túl kcs olt. Így a mexkó pramsból majdnem egyptom prams lett. Az smert pontok sûrûsége 30%, a futás dõ 45 dõegység olt.

44 8.Az approxmácót megalósító neuráls hálózat a.Ábra 8..b.Ábra

45 9.Összefoglalás 45 9.Összefoglalás Habár háromdmenzós lágban élünk, az ember szemében kétdmenzós kép keletkezk. Mégs képesek agyunk a tárgyakat felsmern, térbel elrendezésüket megérten. Vagys az ember a két szemében keletkezõ kétdmenzós képbõl képes egy alakzat háromdmenzós képének rekonstrukcójára. Ez a sztereolátás. Készítsünk fényképet két, párhuzamos optka tengellyel rendelkezõ fényképezõgéppel, amelyek egymástól bzonyos táolságra helyezkednek el. Vajon hogyan tudnánk a képpáron szereplõ tárgy térbel alakját rekonstruáln számítógépes módszerrel? A feladatot analzála azt találjuk, hogy az elsõ elem feladat mnél több tárgypont táolságának meghatározása. Ehhez az kell, hogy a két képen azonosítan tudjuk az azonos tárgyponthoz tartozó két képpontot. Mnél nagyobb az egyk képen leõ képpont elmozdulása a másk képen leõhöz képest, annál közelebb an a hozzájuk tartozó tárgypont. Az elmozdulásból a tárgypont táolsága egyébként egy egyszerû képlettel számítható. (Ezt a képletet a beezetõben meg s adom.) Eddg csak egyes pontok térbel helyét smerjük, égeredményként azonban a lefényképezett tárgy felületét árjuk. Ezért a tárgy térbel képének rekonstrukcójakor a másodk elem feladat ezekre az smert pontokra egy felületet lleszten. Dplomamunkám ezzel az llesztés problémáal foglalkozk. De mndezt nem számítógépes programmal kell megalósítanom, hanem cellulárs neuráls hálózattal. (A cellulárs neuráls hálózatról bõebb smeretek találhatók a függelékben.) Az llesztés két alapetõ módszerét zsgáltam. Az egyszerûbb esetben a felületnek pontosan át kell haladna az smert pontokon. Ezt neezzük nterpolácónak. Végtelen olyan felület an, amely áthalad az smert pontokon. Ezek közül kell egyet, mnt optmálsat kálasztan. Nylán jó, ha ez a felület mnél smább. Ennek a tulajdonságnak kellett matematka megfogalmazását megtalálnom. Az elõzõ módszer nagy hátránya, hogy egy rosszul megadott pont az egész felületet eltorzíthatja, ugyans a megadott pontokon a felületet feltétlenül átezet. Ezen segít az llesztés egy bonyolultabb esete, amkor az llesztett felületnek nem kell pontosan áthaladn az smert pontokon. Ezt approxmácónak híjuk. Elárjuk, hogy a felület mnél közelebb haladjon el az smert pontokhoz, másrészt hogy mnél smább legyen. Ez a két feltétel gyakran ellentmond egymásnak. Ezért a két elárás súlyát a felület kálasztásában meg kell adnunk.

46 10.Summary(összefoglalás angol nyelen) 46 Dplomamunkám elsõ részében a matematka modellálasztás problámáját tekntem át. Majd külön-külön az elõbb két módszer esetén tárgyalom az ún. gradens módszer segítségéel megalósítandó algortmust, és annak alkalmazását cellulárs neuráls hálózatra. Interpolácó esetén olyan cellulárs neuráls hálózat adódott, amelynél a sejtek nem egyformák. Azonban megkötések árán használható azonos sejtekbõl álló hálózat s. Approxmácó esetén a hálózat bonyolultabb. Itt már az smert pontok elhelyezkedése s befolyásolja a sejteket jellemzõ ún. template-ek értékét. A terezett áramkör mûködését konkrét példák kapcsán mutatom be. Ehhez megfelõ szmulátorprogramot készítettem. 10.Summary(összefoglalás angol nyelen) Although our world has three spatal dmensons, the projecton of lght rays onto the retna presents our sual system wth an mage of the world that s nherently two-dmensonal. In spte of ths we are able to recognze the objects n the three-dmensonal world. So we can reconstruct the threedmensonal son of the object from the two two-dmensonal pctures. Ths s stereoson. Let s make photos wth two cameras. They hae parallel optcal axes and there s a dstance between them. How could we reconstruct the threedmensonal shape of the object beng on the photos usng computer? If we analyse the problem, we can see, that the frst thng to do s to fnd ponts on the two pctures, whch belong to the same pont on the object. The larger the dfference between the poston of the two ponts on the photos, the closer the pont of the object, whch belongs to them. The relatonshp between ths dfference and the dstance of the pont of the object can be easly computable by a smple formula, whch s gen n the ntroducton of ths dploma work. Now we know the spatal poston of some ponts of the object, but we ntend to get the surface of the object. So the second step of the reconstructon s to make surface that fts to ths known ponts. The am of my dploma work s to examne ths fttng problem usng cellular neural network (CNN). Two basc methods are dscussed n ths work. In the surface nterpolaton problem we construct a surface that exactly fts the set of known ponts. There are nnumerable surfaces that ft these ponts. We must choose the best one. There are seeral features that we could examne. The most mportant of these s smoothness. Therefore we choose the smoothest surface. So I had to

47 10.Summary(összefoglalás angol nyelen) 47 construct a mathematcal functon, whch characterze the smoothness of the surface. The real algorthms that collect the known ponts sometmes make mstakes. If there are some wrong ponts among our known ponts, then the surface gen by the nterpolaton method fts exactly these ponts. So one bad pont could deform the whole shape. The fttng problem can be relaxed somewhat nto a surface approxmaton problem, by only requrng that the surface should approxmately ft the known data and be smooth n some sense. The two condtons are sometmes nconsstent, so we use a weght-factor, that determne the weght of the two features n choosng the optmal surface. In the frst part of my dploma work I consder the problem of the mathematcal model. The followng part s wrtten about the nterpolaton and approxmaton method. In both of these two sectons I examne the mathematcal background usng the gradent method, the realzaton wth cellular neural network, and the features of the networks wth examples n smulator.