METROLÓGIA ÉS HIBASZÁMíTÁS

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "METROLÓGIA ÉS HIBASZÁMíTÁS"

Átírás

1 METROLÓGIA ÉS HIBASZÁMíTÁS Metrológa alapfogalmak A metrológa a mérések tudománya, a mérésekkel kapcsolatos smereteket fogja össze. Méréssel egy objektum valamlyen tulajdonságáról számszerű értéket kapunk. A mérés eredményt egy számmal (a mértékszámmal) és a mértékegységgel adjuk meg. A mérés történhet mérőeszközzel vagy műszerrel. A mérőeszközzel való mérésnél az objektum valamlyen tulajdonságát közvetlen összehasonlítással kapjuk meg (pl. ha hosszúságot méterrúddal vagy tömeget mérleggel mérünk). A műszerrel való mérés vszont közvetett, az objektum és a műszer valamlyen kölcsönhatásából kalbrálással adja meg a mérn kívánt mennység értékét. (Pl. az elektromos áram erősségét mérő Deprez-rendszerű ampermérőben a szögelfordulás az áram, a mágneses tér és a rugó kölcsönhatásának az eredménye, de a műszer skálája már áramerősségre van kalbrálva.) Sok esetben azonban nem s tudjuk a jellemezn kívánt mennységet közvetlenül mérn, hanem csak más, vele kapcsolatban álló mennységet, lletve mennységeket, és az ezekre kapott mérés eredményekből számítással kapjuk a kívánt adatot. Ekkor s mérésről - közvetett, lletve összetett mérésről beszélünk. A mérést megsmételve általában nem kapunk azonos mérés eredményeket. Egyrészt, mert a mérendő mennység változhat az dővel. De ha a mérendő mennység állandó s, a mérés eredményt a műszer állapota és a megfgyelést végző ember s befolyásolja. Jelöljük a mérn kívánt mennység valóságos értékét x-szel, a mérés eredményt x m -mel. A mérés hbája a mért érték és a valóságos érték különbsége: x = x m - x és a relatív hba: x = x / x A mérés megbízhatóságát elsősorban a műszer jellemző határozzák meg. A műszerek jellemző a./ Érzékenység: Meghatározza, hogy a mérendő mennység egységny változásához a műszerről közvetlenül leolvasható érték mlyen változása tartozk. Ez a műszerről leolvasható legksebb egységnek (skálarésznek) megfelelő mérendő mennység recproka. (Pl. ha egy mutatós ma-mérő végktérése 50 ma, skálája lneárs és 50 beosztású, a műszer érzékenysége 50 skr / 50 ma = 0, skr/ma, és a mutató egy skálarészny ktérése 5 ma áramnak felel meg.) Ha a skála nem lneárs, akkor az érzékenység függ attól, hogy mlyen érték közelében mérünk. b./ Pontosság: A mért és valód érték maxmáls lehetséges eltérése, a hba abszolút értékének maxmuma. c./ Reprodukálhatóság: A műszerrel történő smételt mérésekkel kapható mérés eredmények lehetséges maxmáls eltérése egymástól. 3

2 A mérések törvény szabályozása: A fzka mérések szabályat törvény szabályozza:1991: XLV. tv. A mérésügyrôl. Ez tartalmazza a hvatalosan elfogadott (többségében SI) mértékegységeket s. A mérés módszerek csoportosítása: A mérés során a mért mennységet jellemzõ számérték meghatározása a célunk. Ehhez elõzetesen rögzítenünk kell a számérték kfejezéséhez alapul vett mértékegységet. Az SI mértékegységrendszer használata 1976 óta hazánkban kötelezõ. A mérést mérõeszközökkel végezzük. A mérõeszközök a mértékek (pl. méterrúd, domszerek) és a mérõmûszerek (pl. ampermérõ). Mndegyk eszközrõl a mérés során a mért mennység számértékét valamlyen módon le tudjuk olvasn. A számérték és a mértékegység szorzata adja a mért mennységet: A mérendõ mennységhez tartozó számérték meghatározásának módja szernt analóg és dgtáls mérés módszerrõl beszélhetünk. Analóg mérés módszer: A mérendõ mennységekhez folytonosan változó mennységeket rendelünk hozzá (pl. egy mutató szögelfordulása). Teljes szgorúsággal ez csak deáls esetben teljesül. Dgtáls mérés módszer: A módszer a mérendõ mennységekhez egymástól adott lépésnagyságokkal különbözõ - kvantált - mennységeket rendel ( pl. egy számkjelzõ által mutatott számérték). Az analóg ll. a dgtáls mérés módra a súlymérés területérõl vegyünk egy példát. A háztartás személymérlegeken ( ez lényegében rugós mérleg) egy folytonosan elforduló tárcsáról olvashatjuk le a súlyt jellemzõ számértéket, analóg mérés módról van szó. A patkamérleg ( emelõkaros, egyenlõkarú mérleg) dgtáls mérés módot valósít meg, a lépésnagyságot a kegyensúlyozáshoz használt súlysorozat legksebb súlyú tagja szabja meg. Hbatípusok 4

3 Véletlen hba: A mérés eredmények a valóságos értéktől mndkét rányban azonos valószínűséggel, véletlenszerűen térnek el. Nagy számú mérés átlagát véve a véletlen hba tetszőlegesen csökkenthető. Rendszeres hba: A mérés eredmények a valóságos értéktől eltérő érték körül ngadoznak. Oka a hbás vagy rosszul beállított műszer, de rendszeres hbát okoz az s, ha elhanyagolunk vagy rosszul veszünk fgyelembe valamlyen, a mérést befolyásoló külső tényezőt (pl. hőmérsékletet vagy nyomást). A hbaszámítás alapja A hbaszámítás a valószínűségszámítás és matematka statsztka felhasználásával a mérés során fellépő véletlen hbák becslésére ad módot. Valószínűségszámítás alapfogalmak; a valószínűség sűrűség- és eloszlásfüggvény Méréssel nemcsak egyetlen objektum valamlyen állandó értékű sajátosságára kaphatunk számszerű értéket, hanem jellemezhetjük egy objektum olyan sajátosságát s, mely dőben vagy helyleg változk. Vagy jellemezhetünk egy olyan egyedekből álló sokaságot, melyekre nézve a mérendő tulajdonság különböző mértékű. Beszélhetünk a terem hőmérsékletéről, akkor s, ha a hőmérséklet a radátor mellett más mnt az ajtó mellett, éjszaka más mnt nappal. Vagy megadhatjuk az évfolyamon a hallgató lányok átlagos magasságát. Egy sokaság esetén az egyed mérések valamlyen átlaga lesz az egész sokaság jellemzője, de tsztáznunk kell, hogy értjük ezt az átlagot. A sokaságot jellemző számnak az egyedekre s jellemzőnek kell lenn valamlyen módon, a sokaságra vonatkozó adatból bzonyos mértékg meg kell tudnunk jósoln az egyed mérések eredményét, azaz a sokaság jellemzésénél azt s meg kell adnunk, hogy a megadott átlagérték körül adott valószínűséggel mlyen ntervallumban lesznek az egyes mérések eredménye. Hasonló a probléma a terem hőmérsékletének megadásánál s. Ha a terem hőmérséklete dőben változk, a termet különböző dőpontokban elképzelve teknthetjük sokaságnak, melynek eleme az egyes dőpontokban a terem pllanatny állapota, és ezekben az állapotokban mérhetjük az egyed hőmérséklet értékeket. De ha egy jól meghatározott, dőben állandó mennységet smételten mérünk, a műszer dőben különböző állapota, a műszer és a mért objektum, valamnt a környezet dőben változó kölcsönhatása matt az smételt mérés eredménye változn fognak. Ezek az elképzelt smételt mérések megnt egy sokaság elemenek teknthetők. Tételezzünk fel egy sokaságot, és egy, a sokaságon értelmezett mennységet. különböző értékeket vehet fel, de egyeseket nagyobb, másokat ksebb valószínűséggel. (Egy dáklány magasságát gyakran mérjük 160 és 170 cm között értéknek, és a terem hőmérséklete kevéssé valószínű, hogy -10 C alatt van.) Azt mondjuk, hogy valószínűség változó. Egy valószínűség változó lehet folytonos (mnt a magasság vagy hőmérséklet), és lehet dszkrét (mnt a kockadobálás eredménye). A sokaság lehet véges elemű (mnt a másodkos vegyészlányok sokasága), vagy végtelen elemű (mnt a terem állapota tetszőleges dőpontokban). Amkor mérünk, kválasztjuk egy egyedét a sokaságnak, és ezen végezzük el a mérést. Azt s mondhatjuk, hogy mntát veszünk a sokaságból és azon egy kísérletet végzünk. A kísérlet eredményes vagy skeres, ha azt kaptuk, amt vártunk, pl. 6-ost a kockadobálásnál. A skeres 5

4 kísérletet nevezzük eseménynek. Az esemény valószínűsége P: az összes lehetséges kedvező kmenetelű mntavétel, kísérlet száma (n k ) osztva az összes lehetséges kísérlet számával (N Ö ): P = n k / N Ö A valószínűséget pontos értékét meghatározhatjuk, ha van nformácónk az egész sokaságról, különben a sokaság több-kevesebb elemén végzett kísérlet alapján becsüljük P értékét. Legyen például a sokaság 100 skatulya gyufa, és a dszkrét valószínűség változó a gyufaszálak száma egy dobozban. Ha a 100-ból 10 dobozban van 40 szál gyufa, akkor annak az eseménynek a valószínűsége, hogy egy véletlenül kválasztott skatulyában pont 40 szál gyufát találjunk, P ( =40) = P (40) = 10 / 100 = 0,1. Ha a valószínűség változó folytonos, akkor csak azt kérdezhetjük, hogy egy bzonyos ntervallumba eső értéket mlyen valószínűséggel vehet fel. Pl. ha a valószínűség változó a lányok magassága, és az évfolyam 50 hallgatólányából 10-nek a magassága 160 és 170 cm közé esk, akkor annak a valószínűsége, hogy egy véletlenszerűen kválasztott lány h magasságát 160 és 170 cm közöttnek találjuk: P (160<h<170) = 10 / 50 = 0,. Ismételjük meg a kísérletet N-szer, és tegyük fel, hogy n esetben kaptunk kedvező eredményt (pl. 40 szál gyufát a gyufaszámlálás kísérletben). Az esemény relatív gyakorsága: q = n / N Ha N nő, a relatív gyakorság a valószínűséghez tart: lm q N P Jelöljük a folytonos valószínűség változó aktuáls mért értékét x-szel. P (x < x < x + x) annak valószínűsége, hogy x értéke x és x + x közé essen. A P lm ( x x x x ) = f (x ) x x0 határérték a változó valószínűség sűrűsége x -nél, és f(x) eloszlásának valószínűség sűrűségfüggvénye vagy frekvenca függvénye. Annak valószínűsége, hogy x és x + x között értéket vegyen fel, közelítőleg P (x x x + x ) = f(x ) x, ha x elég kcs. Általában annak valószínűsége, hogy x 1 és x közé essen: P (x 1 x x ) = x x1 f( x) dx A valószínűség sűrűségfüggvény ntegrálja a valószínűség változó teljes értelmezés tartományára f( x' ) dx' P ( x ) 1. A valószínűség sűrűségfüggvény ntegrálfüggvényét valószínűség eloszlásfüggvénynek nevezzük és F(x)-szel jelöljük: 6

5 x F(x) = f( x' ) dx' F() = 1 F(x ) annak a valószínűsége, hogy a valószínűség változó értéke nem nagyobb, mnt egy adott x érték: P (x x ) = F(x ) Az eloszlásfüggvénnyel megadhatjuk annak a valószínűségét, hogy a valószínűség változó értéke x 1 és x közé esk: x x x1 P(x 1 x x )= f( x) dx f( x) dx f( x) dx F( x ) F( x ) x1 1 Összetett kísérlet eredményének valószínűsége Ha két mennységet, -t és -t mérünk egymás után, m a valószínűsége annak, hogy -re x-et, -ra y-t kapjunk eredményül? Ha N(y/x) azoknak az eseteknek a száma, amkor -ra y értéket kapunk, feltéve, hogy -re már x értéket kaptunk, akkor a valószínűség értelmezéséből N P(x,y) = lm ( y / x ) N lm ( y / x ) N( x) = P(y/x) P(x). N N N N( x) N P(y/x)-t feltételes valószínűségnek nevezzük. Ha az eredménye nem függ a változótól, akkor P(y/x) = P(y) és P(x,y) = P(x) P(y) változóra vonatkozó kísérlet Ebben az esetben a két esemény vagy kísérlet vagy valószínűség változó egymástól független. Független események valószínűsége szorzódnak, és ugyanez áll a valószínűség sűrűségfüggvényekre s. A mérést általában megsmételjük, hogy bztosabb eredményt kapjunk. Ilyenkor feltesszük, hogy az egyes méréseket egymástól függetlenül végeztük, hogy egy később mérés eredményét nem befolyásolja egy előző eredmény. Vgyázzunk, hogy ez tényleg teljesüljön! Nagyon gyakor a megsmételt mérés eredményének önkéntelen szubjektív torzítása! Az eloszlás paramétere, a mnta jellemző A valószínűség sűrűségfüggvényben szereplő konstansok és az azokból leszármaztatott mennységek az eloszlás paramétere. Amkor mntát veszünk a sokaságból és ezen a mntán mérést végzünk, a célunk az, hogy az eloszlásról kapjunk nformácót. Az eloszlásfüggvény alakja smert, vagy egy meghatározott függvénnyel közelítjük, a függvényben szereplő konstansokat vszont a mérésből akarjuk meghatározn, vagy megbecsüln. A mérés eredményekből az eloszlásparaméterekre kapott becsléseket nevezzük a mnta jellemzőnek. A mérés lehetséges kmenetele, a jövőbel mérés eredmény s valószínűség változó és így valamlyen valószínűség sűrűségfüggvény rendelhető hozzá. A mérésnél ténylegesen kapott 7

6 mérés eredmények vszont konkrét számok, melyekkel kapcsolatban már nncs értelme valószínűségről beszéln. A mntavételnél s beszélhetünk a majdan mntáról mnt sokaságról, melynek eleme -az elképzelt mérés eredmények- valószínűség változók. Ennek az elképzelt mntának mnt sokaságnak a jellemző szntén valószínűség változók lesznek. A következőkben az eloszlás paraméteret -melyek a sokaságra jellemzők- görög, a mnta jellemzőt pedg latn betűkkel fogjuk jelöln. A legfontosabb eloszlásparaméterek Legyen a sokaságon egy valószínűség változó (egy tulajdonsága a sokaság elemenek) értelmezve, melynek értékét x-szel jelöljük. a./ A várható érték Tételezzünk fel egy véges, N elemű sokaságot, melyen értelmezett valószínűség változó dszkrét értékeket vehet fel. Pl. legyen a sokaság 100 doboz gyufa és a valószínűség változó a gyufaszálak száma egy dobozban. Legyen értéke a sokaság n számú elemén x. Akkor x átlagértéke N x ( n x ) / N x P( x ), N 1 1 mvel P (x ) = n / N..13a-t általánosítva, tetszőleges eloszlásra defnálhatunk egy, az eloszlásra jellemző paramétert, az eloszlás várható értékét: Legyen az eloszlás dszkrét, de a sokaság nem feltétlenül véges; a valószínűség változó az x értéket P valószínűséggel vegye fel. Akkor a valószínűség változó várható értékén, E [x]-en a következő összeget értjük: E [x] = x P( x ) x, ahol az összegzés a sokaság összes elemére történk. Ha az eloszlás folytonos, és az eloszlás valószínűség sűrűségfüggvénye f(x), akkor a várható érték,.13 analógájára E [x] = x f(x) dx = x A valószínűség változó konstansszorosának várható értéke a várható érték konstansszorosa: E [cx] = cx f(x) dx = c x f(x) dx = c E [x] Két valószínűség változó, és összegének és szorzatának várható értékénél az összetett kísérlet valószínűségével kell számolnunk. Ha a valószínűség változók dszkrétek, annak valószínűsége, hogy a tulajdonságra x-et, az tulajdonságra y-t kapjunk mérés eredményül,.11 szernt P(x,y). Folytonos eloszlásnál a valószínűségeket a sűrűségfüggvénnyel határozzuk meg. Annak valószínűsége, hogy a tulajdonság mért értéke x és x + dx közé essen, és az tulajdonságé y és y + dy közé: 8

7 P (x x+dx, y y+dy) = h(x,y) dx dy és.1-nek megfelelően, ha a két valószínűség változó független, h(x,y) = f(x) g(y), vagys két, csak x-től, lletve csak y-tól függő sűrűségfüggvény szorzata. Két folytonos valószínűség változó összegének várható értéke a két várható érték összege: = E [x+y] = (x+y) h(x,y) dx dy = x ( h(x,y) dy) dx + y ( h(x,y) dx) dy = x f(x) dx + y g(y) dy = E [x] + E [y]. Két független valószínűség változó szorzatának várható értéke az egyes várható értékek szorzata: E [xy] = xy h(x,y) dx dy = xy f(x) g(y) dx dy = = x f(x) dx y f(y) dy = E [x] E [y] Ha a valószínűség sűrűségfüggvény szmmetrkus egy x 0 értékre, akkor y = x-x 0 várható értéke E [y] = 0, azaz az eredet várható érték éppen x 0 -lal egyenlő. (Bzonyítás: E [y] = y f(y) dy = 0 y f(y) dy + y f(y) dy, 0 és mvel a szmmetra matt f(y) = f(-y), így 0 y f(y) dy + y f(y) dy = - y f(-y) dy + y f(y) dy = 0. ) 0 b./ A medán és a módusz A eloszlás medánja ( e) a valószínűség változónak az az értéke, melynél ksebb és nagyobb érték s ugyanolyan valószínűségű, azaz ahol az eloszlásfüggvény értéke F( e) = 0,5. Az eloszlás módusza a sűrűségfüggvény maxmum helye. Szmmetrkus eloszlás várható értéke, medánja és módusza azonos. c./ A varanca A valószínűség változó értéke ksebb vagy nagyobb mértékben eltérhet a várható értéktől a sokaság elemen. A varanca ennek az eltérésnek a mértéke: Var [x] = (x- x) f(x) dx = E [(x- x) ] Változó konstansszorosának varancája a varanca szorozva a konstans négyzetével: Var [cx] = E [cx-c x ] = c E [x- x] = c Var [x] Két független valószínűség változó összegének varancája az egyes varancák összege: 0 0 9

8 Var [x+y] = E [(x+y- x- y) ] = = E [(x- x) ] + E [(y- y) ] + E [(x- x)(y- y)] = Var [x] + Var [y] Itt felhasználtuk az összeg várható értékére vonatkozó.17 összefüggést, és mvel függetlenek,.1 harmadk tagjánál fel tudtuk használn.18-at, mszernt E [(x- x)(y- y)] = E [x- x] E [y- y] = 0. Két független valószínűség változó szorzatának varancája nem egyezk meg vszont a varancák szorzatával! és A normáls (Gauss) eloszlás Normáls eloszlást mutatnak azok a valószínűség változók, melyek értékét sok ksmértékű véletlenszerű hatás befolyásolja. A normáls eloszlásnál a valószínűség sűrűségfüggvény az ún. Gauss-függvény: f ( x) 1 e 1 x, ahol az eloszlás várható értéke, pedg az úgynevezett szórás, a varanca négyzetgyöke. Az ún. normalzált Gauss-függvényt.-ből az u = (x- ) / transzformácóval kapjuk, és a következő alakú: f(u) = 1 1 e u A normalzált Gauss-eloszlás várható értéke 0, varancája 1. Bzonyítás: A várható érték.14 és a varanca.19 defnícójából: E [u] = u f(u) du = 1 u e mert az ntegrandus páratlan függvény. 1 u du = 0, Var [u] = u f(u) du = u e Felhasználva, hogy 1 u du = 1 u (u e 1 u ) du u e 1 u du = - e 1 u és parcálsan ntegrálva, kapjuk: 10

9 1 u 1 u 1 u u u e du u e e du. Az első tag kesk, a másodk pedg -vel egyenlő, így Var [u] = 1. A normalzált Gauss-eloszláshoz tartozó valószínűség eloszlásfüggvény: F(u) = u 1 1 t e dt ( u) (hbantegrál), F()=1. A normalzált Gauss-függvény, a (u) hbantegrál vagy az erf (u) = u t e dt hbafüggvény 0 értéket matematka kézkönyvekben táblázatosan megtaláljuk 1. A két függvény összefüggése (u) = 0,5 (1 + erf (u/ )). A Gauss-eloszlás alkalmazása Tételezzük fel, hogy smerjük egy adott sokaságban egy bzonyos valószínűség változó eloszlását, és ez normáls eloszlás, adott várható értékkel és szórással. Mlyen valószínűséggel esk a valószínűség változó értéke a várható érték körül, adott sugarú ntervallumba, tehát x 1 = - x és x = + x közé? Ilyen feladatoknál az aktuáls változót.3 alapján úgy transzformáljuk, hogy normalzált Gausseloszlást kapjunk. Az ntervallum végpontja: u 1 = - x/ és u = x/ = v..11-et alkalmazva P(u 1 u u ) = F(u ) - F(u 1 ) = (v) - (-v). A táblázatokban vszont csak poztív argumentumra találjuk meg a hbantegrált. Az ábrán a két pöttyözött terület a függvény szmmetrája matt egyenlő, azaz (-u) = 1 - (u) P(-vuv) = (v)

10 Annak a valószínűsége pedg, hogy a változó értéke kessen az adott szmmetrkus ntervallumból, tehát egy adott tűrésnél jobban eltérjen a várható értéktől: P(u -v U u v) = 1- ( (v)-1) = (1- (v)). Példa Legyen a másodéves lányok magasságeloszlásának valószínűség sűrűségfüggvénye (a magasságot h-val jelölve és cm-ben mérve): f( u) 1 e 5 h165 0, 5 5 a/ M annak a valószínűsége, hogy egy véletlenül kválasztott lány magassága 160 és 170 cm között legyen? b/ Ha az évfolyamon 80 lány van, várhatóan hány magasabb 160 cm-nél, hánynak a magassága 160 cm és 170 cm között, lletve 170 és 175 cm között érték? c/ Van-e 175 cm-nél magasabb lány? És 150 cm-nél alacsonyabb? Megoldás: Térjünk át a normalzált eloszlásra (A) és keressük k az 1. Táblázatból a (u) függvény értéket (B). Az eloszlás várható értéke = 165 cm, szórása = 5 cm. A B h (cm) u v (v) (v) , ,8413 0, ,977 0, ,9986 0,997 a/ A cm ntervallum a várható érték körül sugarú ntervallumnak felel meg (v=1), a táblázat szernt ebbe az ntervallumba 68,6% valószínűséggel esnek a magasságok. b/ A 160 cm a normalzált változóban u = -1-nek felel meg, annak valószínűsége, hogy u -1 legyen, P(u-1) = (-1) = 1- (1) = 15,7 %, 1-P = 84,13%. Enny annak a valószínűsége, hogy valaknek a magassága nagyobb legyen, mnt 160 cm. Mvel P = n kedvező /N összes, az évfolyamon 80 lány közül n = 800,8413 = 67 lánynak a magassága 160 cm-nél nagyobb. Hasonlóan, a 160 és 170 cm között magasságú lányok száma n = 800,686 = 54,6, azaz lány magassága esk 160 és 170 cm közé. A [170 cm, 175 cm] ntervallum a normalzált változóban az [1,] ntervallumnak felel meg. P(1u)= ()- (1)=0,1359. Ez 11 személyt jelent. c/ A 175 cm-es magasság u = -nek felel meg. P(u>)=1-P(u)=1- ()=0,08. Ez azt jelent, hogy várhatóan két 175 cm-nél magasabb lány van. A 150 cm u = -3-nak felel meg, P(u<-3)= (-3)=1- (3)=0,0014. Ez 0,1 személynek felel meg, tehát az évfolyamon valószínűleg nncs 150 cm-nél alacsonyabb lány. Célszerű megjegyezn, hogy a normáls eloszlásnál a várható érték körül sugarú ntervallumba (v=1) a valószínűség változó értéke 68,3 % valószínűséggel esk, a sugarú ntervallumba pedg (v=) kb. 95,4 % valószínűséggel. A középérték eloszlásának tulajdonsága 1

11 Mérjük egy sokaságon a sajátosságot n-szer. Képzeljünk el egy n mérésből álló mntát, ahol az egyes mérések (egyelőre elképzelt) eredménye x 1,...,x n. Ezek valószínűség változók, még nem tudjuk, mlyen értéket kapnak a mérésnél. Az x 1,...,x n valószínűség változó számtan közepe n x x 1 n szntén valószínűség változó, tehát tartozk hozzá egy f(x 1,...,x n ) valószínűség sűrűségfüggvény, és kérdezhetjük, m ennek a várható értéke és varancája. Az egyes mérés eredmények függetlenek egymástól, tehát f(x 1,...,x n ) = f(x 1 )...f(x n ). Mvel ugyanazt a mérést smételjük, az egyes mérés eredmények várható értéke E[x ] = és varancája Var[x ] = azonos mnden egyes mérésre. Az összeg és konstansszoros várható értékére és varancájára kapott.15,.17,.0,.1 formulákat alkalmazva kapjuk, hogy E [ x] = 1/n n 1 Var [ x ] = 1/n E [x ] = n 1 Var [x ] = 1 n és Azaz a középérték várható értéke megegyezk az egyes mérések várható értékével, varancája vszont n-ed része az egyes mérésének. A centráls határeloszlás tétele szernt bármlyen eloszlású sokaság esetén az n elemű mnta számtan középértékének eloszlása a mnta elemszámának növekedésével egy olyan normáls eloszláshoz tart, melynek várható értéke megegyezk az eredet eloszlás várható értékével. Ez azt jelent, hogy ha már egyetlen mérés eredmény s átlagnak, pl. dőátlagnak teknthető, akkor várható, hogy az Gauss-eloszlású lesz. A mérés eredmények vszont nagyon gyakran lyen átlagértékek. A mutató tehetetlensége matt egy átlagértéknek megfelelő helyzetbe áll be. Ha elektronkusan gyűjtünk adatot, azt s egy bzonyos deg tesszük, és az átlagjelet dolgozzuk tovább fel. Így a gyakorlatban legtöbbször normáls eloszlású mérés eredményekkel találkozunk. Az eloszlásparaméterek becslése A mntavétel és mérés célja, hogy nformácót kapjunk a sokaságon az adott tulajdonság eloszlásáról, azaz meg tudjuk becsüln az eloszlásparamétereket a sokaság elemszámánál sokkal ksebb mnta alapján. A becsült paramétereket hullámvonallal fogjuk jelöln. Egy becslés torzítatlan a paraméterre nézve, ha a becsült és valóságos várható értékek megegyeznek, azaz E [ ~ ] = vagy E [ ~ - ] = 0, a hba várható értéke 0. A várható érték és a varanca becslése 13

12 A várható értéket úgy vezettük be véges elemű, dszkrét sokaságra, mnt a sokaságra vett átlagát az adott tulajdonságnak (.13). Ha most nem az egész sokaságot vesszük, csak egy mntát belőle, becsülhetjük úgy az egész sokaságra vonatkozó átlagot, hogy csak a mntára átlagolunk, azaz a várható értéket, -t a következőképp becsüljük: n ~ = 1/n x 1 Amíg a mérésről csak beszélünk, ~ valószínűség változó, az x valószínűség változók számtan közepe, melynek várható értéke megegyezk az egyes mérés várható értékével. Tehát ~ =, a becslés torzítatlan. Hasonlóan okoskodva, a varancát becsülhetjük az egyes mérések hbanégyzetének átlagával: n ~ = 1/n (x - x) 1 Meg akarjuk határozn ennek a becslésnek a várható értékét; de egyszerűbb, ha n ~ várható értékét számítjuk k. E [n ~ ] = E ( x x) E ( x ) ( x ) = E ( x ) x j n 1 j 1 E 1 n x 1 x j ( ) ( ) n j 1 1 E ( x ) n n n E ( x )( x j ) n E ( x j ) j j Az első tag éppen az egyes mérések varancájának (1-1/n) -szerese. A másodk tagban a j= tag kmarad, így tehát az összeg egyes tagjaban a tényezők függetlenek, szorzatuk várható értéke a tényezők várható értékének szorzata, am vszont 0. A harmadk tagot kfejtve (x j - ) -es tagok fognak szerepeln és vegyes szorzatok. Az utóbbak várható értéke, az előző okfejtés értelmében 0. Így végül a fent összeg a következőképp alakítható: E [n ~ ] = n E( x n j ) n j ( n 1) 1 n ( ) 1 n 1 n ( n 11) (n-1), n n n azaz a varanca n-szeresének becsült értéke a valóságos varanca (n-1)-szerese, ~ = (n-1) / n. Ez a becslés torzított, így célszerűbb a varancát a mérés eredményekből a következőképp becsüln: n ( x x) ~ = s 1 x = n 1 s x -et az egyes mérés eredmények korrgált tapasztalat szórásának nevezzük. Mvel.31 szernt a középérték varancája az egyes mérések varancájának n-ed része, s x sx, n a középérték korrgált tapasztalat szórása (standard devácója): 14

13 s x ( x x) ( x x) és s x = n 1 ( n 1) n A mérés eredményének megadása A mérés eredmények szórása; a tűrés Ha smerjük egy valószínűség változó eloszlását, azaz értékenek valószínűség sűrűségfüggvényét, akkor egy bzonyos valószínűséggel meg tudjuk jósoln, hogy a változó mérésénél az eredményeket mlyen ntervallumban kapjuk meg az eloszlás várható értéke körül. Láttuk a Gauss-eloszlásnál, hogy az egyes mérés eredmények a várható érték körül sugarú ntervallumba 68,3% valószínűséggel, a sugarú ntervallumba 95,4 % valószínűséggel esnek. Ha más P valószínűséggel - P konfdenca sznten - akarjuk megjósoln a mérés eredményeket, [ - K, + K ] lesz az a konfdenca ntervallum, melybe a mérés eredmények az adott P valószínűséggel beleesnek. Ha vásárolunk valamlyen előre csomagolt árut vagy alkatrészt, melyeknek valamlyen mennység jellemzője van (pl. tömeg lletve ellenállás), akkor az áru tömegén, vagy az ellenállás névleges értékén kívül sokszor feltüntetk a tűrést s, mely a névleges értéktől való megengedett eltérést jelent. Ez tulajdonképpen egy konfdenca ntervallum, és általában 95% konfdenca szntre van megállapítva. Ha egy 100 darabos szállítmányból 3 darab kesk a tűrésből, még nem llk reklamáln a szállítónál, de ha 10 kesk, akkor már lehet. A Student-féle t-eloszlás és t paraméter Mérésnél adottak a mérés eredmények, és azt akarjuk tudn, m közük van a mérendő mennység valóságos értékéhez. Hogyan értékeljük k a méréssorozatot, hogy a legmegbízhatóbb nformácót kapjuk a valóságos értékről (a valószínűség változó várható értékéről)? Ha legalább a mérés szórását smernénk, mondhatnánk, hogy a mérés eredmény ugyanolyan távol van a valóságos várható értéktől, mnt fordítva, azaz ha a valóságos érték K sugarú környezetébe esnek P valószínűséggel a mérés eredmények, akkor P valószínűséggel a mérés eredmény K sugarú környezetébe esk a mérendő mennység várható értéke. Ha pedg egy mérés sorozatunk van, akkor a sorozat számtan közepének a K / n sugarú környezetébe esk a valóságos érték. A baj ott van, hogy általában a szórást sem smerjük, ezt s csak becsüln tudjuk, az egyes mérés lletve a középérték korrgált tapasztalat szórásával. Mvel a szórás sem pontos, ugyanahhoz a valószínűséghez nagyobb számmal kell megszorozn a becsült szórást a 15

14 konfdenca ntervallum meghatározásánál, mnt ezt egy smert szórású Gauss-eloszlásnál tennénk. A jellemezn kívánt valószínűség változó várható értéke, x, valamnt a méréssorozatból számított középérték, x és a középérték korrgált tapasztalat szórása, s x között álljon fenn a következő egyenlőség: x = x + s x. Mvel x és s x a konkrét méréssorozattól függ, tehát véletlenszerűen változk, a = x x, s x paraméter mnt az x és s x valószínűség változók függvénye, szntén valószínűség változó, melynek eloszlása meghatározható x és s x eloszlásából. Az eredet x változóra Gauss-eloszlást feltételezve W.S. Gosset határozta meg a paraméter valószínűség sűrűség- és eloszlásfüggvényét, de mvel munkát Student (dák) névvel szgnálta, a paraméter eloszlását "Student-féle t-eloszlásnak" hívják. Az eloszlás- és sűrűségfüggvény függ a mérések számától, ezek számának csökkenésével az f( ) sűrűségfüggvény félértékszélessége nő. várható értéke 0, és f( ) szmmetrkus, tehát az F( ) eloszlásfüggvényre fennáll, éppúgy, mnt a normalzált Gauss-eloszlásnál: F (- ) = 1 - F ( ) és annak a valószínűsége, hogy P (-t t) = F(t) - 1. értéke egy [-t, t] ntervallumba essen: Vsszatérve a paraméter értelmezésére, az előző mondat így hangzk: "Annak valószínűsége, hogy x és x eltérése a [-t s x, t s x ] ntervallumba essen, P = F(t) gyel egyenlő". Vagy: "P = F(t) - 1 valószínűséggel a meghatározandó x várható érték az x körül ts x sugarú ntervallumba esk". Az adott P valószínűséghez (konfdencasznthez) és a mérések számához tartozó t paraméterérték a II. táblázatból határozható meg. Méréssorozat kértékelése A fentek alapján egy n mérésből álló sorozat kértékelése a következőképp történk. a./ Meghatározzuk a mérés eredmények számtan közepét: x = 1/n n x 1 b./ Meghatározzuk a x devancákat, az egyes mérés eredmények eltérését a középértéktől: x = x - x c./ A devancákból meghatározzuk a középérték korrgált tapasztalat szórását: s x = x n( n 1) 16

15 d./ A mérések számához és a kívánt konfdencasznthez tartozó t paraméterértéket kkeressük a II. táblázatból. e./ Megadjuk a következő formában a mérés eredményt: (mért mennység) = ( x t s x ) [mértékegység] Ez azt jelent, hogy a mérendő mennység valóságos értéke a konfdencaszntnek megfelelő valószínűséggel az [ x - t s x, x + t s x ] ntervallumba esk. Megadhatjuk a relatív hbantervallumot s: (mért mennység) = x [mértékegység] 100 t s x / x % Közvetett mérés hbája (hbaterjedés) Láttuk, hogy a mérés hbáját a középérték varancájának becsült értékéből (s x ) határoztuk meg. Tegyük fel, hogy meg akarunk határozn egy mennységet, melyet nem tudunk közvetlenül mérn, de függ az x,y,z,... mennységektől és az utóbbak vszont megmérhetők, smerjük várható értéküket és varancájukat (lletve megbecsültük ezeket a paramétereket). Hogyan függ össze várható értéke és varancája az x,y,z... várható értékével és varancájával? Fejtsük sorba -t változónak várható értéke körül, és álljunk meg a lneárs tagoknál: (x,y,..) = ( x, y,...) + x (x- x) + y (y- y) +... A parcáls dfferencálhányadosok az x = x, y = y,... helyen értendők. A lneárs sorfejtés a várható értékektől való ks eltérések esetén jó közelítés. Most határozzuk meg varancáját, -t.40-nel közelítve. Alkalmazva az összeg és konstansszoros varancájára vonatkozó.0 és.1 formulát: Var [ ] = x Var [x] + y Var [y] +... Az x,y,... mért mennységek varancáját a korrgált tapasztalat szórásuk négyzetével közelítjük, várható értéküket pedg a méréssorozatok középértékével. A mennység korrgált tapasztalat szórásával közelítjük varancáját, melyet úgy kapunk, hogy.41-ben az x,y,... mennységek varancájának helyébe s x -et, s y -et helyettesítünk. Ugyanezt megtehetjük a középértékek korrgált tapasztalat szórásával s, és akkor középértékének korrgált tapasztalat szórását kapjuk: s sx x y s y... Az egyenlőség érvényes marad akkor s, ha a középértékek korrgált tapasztalat szórását beszorozzuk a t paraméterrel, azaz a hbantervallumokra s. Ha x-szel jelöljük x hbantervallumának sugarát, és y-nal y-ét, akkor a mennységre a hbantervallum sugara: 17

16 x y x y... 18

17 Regresszószámítás. A legksebb négyzetek módszere Sok esetben az a feladat, hogy két mennység között függvénykapcsolatot akarunk "kmérn", méréssel meghatározn. Ez azt jelent, hogy a függvény alakját smerjük, vagy smertnek tételezzük fel, és a függvény paraméteret akarjuk a méréssel megállapítan. Legyen y = f(,x),.44 ahol a meghatározandó paraméterek. Tegyük fel, hogy x-et pontosan tudjuk szabályozn lletve mérn, és N darab x értéknél meghatározzuk az y értékeket. Feltételezzük azt s, hogy y varancája független x értékétől, a mérés ntervallumban állandó. Hogyan határozzuk meg a függvény paraméteret? Az (x, y ) pontokra egy olyan görbét kell llesztenünk, mely ahhoz a "legközelebb" halad. A mérés pontoknak a görbétől való távolságát jellemezhetjük az y-bel eltérések négyzetösszegével: S(,...) = y f x N 1 Azt kívánjuk, hogy S mnmáls legyen. Ehhez vszont az szükséges, hogy S szernt parcáls derváltja zérussal legyenek egyenlők: S / = 0, S / = 0,... paraméterek Ez a paraméterek számával azonos számú algebra egyenletet jelent, melyekből a paraméterek értéke meghatározható. Ha a függvény n-ed rendű polnom, a feladat vszonylag egyszerűen megoldható, mert a paraméterekre egy lneárs egyenletrendszert kapunk. Mérjük meg y értékét N különböző x -nél és legyen f(x) = a 0 + a 1 x + a x +... = a x n k0 k k. N Az S = f x 1 y mennységnek mnmálsnak kell lenn, azaz S a j N f x y x 0, mnden 0 j n -re. 1 j Lneárs regresszó Ha f lneárs függvény, y = a x + b, akkor csak két llesztendő paraméter van. S a = (a+bx -y ) x = 0 a x + b x = x y 19

18 S b = (a+bx -y ) = 0 N a + b x = y Bevezetve (.46)-ban a következő jelöléseket: x = 1/N x, y = 1/N y, xy = 1/N (x y ), x = 1/N (x ) az egyenletrendszer megoldása: a = ( x y-xy) / ( x - x ), b = y - a x. Lneárs regresszó esetén az a,b paraméterek varancáját a következőképp becsülhetjük: y Var [ a] N N x y 1, Var [ b] ( x x) ( x x) ahol y az úgynevezett rezduáls szórásnégyzettel, s r -tel közelíthető: s r = ( y f ( x )) N. Mérőskála tervezés, szögmérő, tolómérő Sokszor van a kezünkben a tolómérce, ez az gazán egyszerű hosszmérő eszköz, amelyre szerelt mellék-skála-az úgynevezett nónusz skála-segítségével, a tolómérce fő skálájának mlméteres leolvasás pontossága a tzed, esetleg század mlméterek becslésével nagyságrendben fokozható. Hétköznap, mégs nagyszerű egyszerűségében ZSENIÁLIS eszköz a nónusz-skálás tolómérce!! A nónusz-skála nevét Pedro Nunez portugál matematkus után kapta, ak 149-ben született és 1577-ben halt meg (Mátyás krály halálát követő másodk évben született, pontosan Amerka felfedezésének évében, melyet Colombus Krstófnak NAGYSZERŰ portugál hajósnak köszönhetünk.) a combra egyetemen a matematka tanára volt és a nautka körül érdemeket szerzett. Műve Opera mathemaca cím alatt Baselban jelentek meg 1566-ban. 0

19 Érdekes, hogy a nónusz-skála leírása Perre Verner franca matematkus la constructon, l usage et les proprétés du quadrant de mathématque című munkájában található meg. Így van olyan vélemény, amely szernt ezt az eszközt helytelenül nevezzük nónusznak, például a francák vernernek hívják. Akármnt s volt, ez a mndmág fennmaradt mérőeszköz 4 évszázados, tehát abból az dőből való találmány, amkor kezdett kalakuln a mechanka vlágkép és a reneszánsz kor tudósa számára egyre fontosabbá vált a hosszmérés pontossága. A nónusz olyan skála, mely lehetővé tesz a leolvasás pontosságának növelését hosszmérő és szögmérő műszereknél. A nónusz az egyenletes alapbeosztás mellé helyezett eltolható segéd skála. Ez a skála az alapbeosztástól eltérő, de szntén egyenletes beosztással készül. Az ember szem felbontása nem tesz lehetővé egy bzonyos távolságnál (kb. 1 mm) ksebb távolság tovább beosztását, de két egymás mellé helyezett skála vonásanak egybeesését még ennél sokkal ksebb távolságon s bztonsággal meg tudja állapítan. Ezt a képességünket használja k a nónusz a leolvasás pontosság növelésére. Egyenes skálájú nónuszt lehet alkalmazn hosszmérő műszereknél és körskálájú nónuszt szögmérő eszközöknél. A nónuszt Perre Verner találta fel 1631-ben. Találmányát Pedro Nunez portugál tudós latnos névváltozatáról, Petrus Nonusról nevezte el, aknek először támadt az ötlete, hogy műszerek pontosságát ezen az elven növelje meg. (Egyes nyelveken, így angolul s, az eszköz neve Vernerskála. A nónusz skálát úgy szerkesztk, hogy beosztása kcst ksebb legyen a fő skáláénál, N osztás a nónuszon legyen egyenlő N-1 osztással a fő skálán, páldául a fő skála 9 osztása legyen egyenlő hosszú a nónusz skála 10 osztásával, vagys, ha a két skála 0 pontja egybeesk, a nónusz 10-k osztása essen egybe a fő skála 9-k osztásával. 1

20 Ha egy adott hosszúságot mérünk, a fő skálán a nónusz skála 0 pontja mutatja a mért értéket, de ez általában nem esk pontosan valamelyk osztáspontra, hanem kettő között van. A nónusz skálának az az osztáspontja mutatja a mért érték tört részet, amelyk egybeesk a fő skála egy osztásával. A fent ábrán a fő skála pros jelénél kell leolvasn az egész mllnmétert, (3 mm) és az alsó nónusz skála pros jelénél pedg a töredék mllmétert (0,58 mm), a kettő összege a mért érték: 3,58 mm. A nónusz skálát úgy szerkesztk, hogy osztása a rögzített fő skálának egy adott törtrészénél legyenek. Így tzedes nónusznál az osztás a fő skála osztásának klenc tzedét tesz k. Ha a mérőeszközt nullázzuk (a csúszkát olyan helyzetbe hozzuk, hogy a két skála 0 pontja egybeessen), a nónusz skála első osztása a fő skála 0,9-énél, a másodk jel a másodk klenc tzednél, vagys 1,8-nál, a harmadk jel,7-nél stb. fog álln. Ha kcst elmozdítjuk a nónusz skálát, mondjuk egy tzeddel, akkor az egyetlen osztáspár, amelyk egybeesk, ez első lesz, mvel tt a nónusz eredetleg egy tzed mllméterrel hátrább állt. Ha öt tzeddel mozdítjuk el a skálát, egybeesés csak az ötödk osztásnál lesz, és így tovább. Nagyobb pontosságú szögmérés feladatokra az egyetemes (vagy unverzáls) szögmérőt alkalmazzuk. Két, azonos tengely körül elforduló szára van. Az egyk szár a körosztással van összekötve, ennek középpontja egybe esk a forgástengellyel. A másk szár a leolvasás pontosságot növelő nónusszal áll szlárd kapcsolatban. A főskála négy, egyenként 90 -os szögtartományra van osztva. Erről az egész szögek olvashatók le. A 0 vonalaktól jobbra és balra egy nónusz skála helyezkedk el. A szögnónusz egy 3 -os ívdarab, amely 1 egyenlő részre van osztva. A szögnónusz egy osztása A leolvasás pontossága: 5. Mérés az egyetemes szögmérővel: 1. A munkadarab szöget bezáró felületet a mozgó szárak közé kell befogn.. A kérdéses szöget a nónusz segítségével kell leolvasn:

21 3. A főskálán 0-tól kndulva a nónusz nulla vonalág meg kell számoln a fokokat, majd ugyanabban az rányban haladva kell a nónusz fedőosztását megkeresn. A fedőosztás adja meg, hogy hányszor 5 percet kell a fokokhoz hozzáadn. A mérés eredmény előállítása: Hegyesszögeknél (0-90 ) a mért érték közvetlenül a mérés eredményt adja. Tompaszögeknél ( ) a mérés eredmény úgy áll elő, hogy a leolvasott értéket levonjuk 180 -ból. Esztergálásnál, gépalkatrészek megmunkálásakor szükség van a mllméteresnél s nagyobb pontosságra. A mllméter tzedét s meghaladó pontosságú, gyakran használt mérőeszköz a tolómérő. A tolómérő két részből áll: egy "fejesvonalzóhoz" hasonlítható álló részből, és egy ezen hosszrányban elcsúsztatható mozgó részből. Ha egy tárgy méretét meg kívánjuk mérn, a tárgyat az álló és mozgó rész érntkező pofá közé kell fogn. A tolómérő álló részén egy mm beosztású skála található, a mozgó részen szntén van skála (ezt nevezzük mellékbeosztásnak (nónusznak). A képen bemutatott nónusz-skála teljes hossza 39 mm, amely 10x egyenlő részre van beosztva. Ha a tolómérő mozgó részének érntkező-pofáját nektoljuk az állórész érntkezőjének, akkor a két skála 0 pontja egybeesk, az összes több osztásvonal azonban eltér. Az eltérés az első vonal esetén a legksebb, majd egyre nagyobb. A nónusz utolsó osztásvonala az álló skála 39 mm-es vonalával esk egybe, azaz a két skála eltérése 1 mm. A nónusz mnden osztásvonala 1/0=0,05 mm-rel ksebb az 1 3

22 mm-nél. Ha a két pofa közé egy 0,05 mm vastag lapot csúsztatunk, akkor a nónusz-skála éppen 0,05 mm-rel eltolódk el a knduló helyzethez képest. Ekkor a nónusz skála első vonala éppen a főskála egy osztásvonalával kerül szembe. Ha x0.05 mm-es lapot fogunk a tolómérő pofá közé, akkora a nónusz-skála eltolódása pont akkora, hogy a másodk vonala (1-es jelzés) esk egy vonalba a főskála egyk osztásvonalával. Általában, ahányszor 0,05 mm a lap vastagsága, a nónusznak s "ugyanannyadk" osztásvonala esk egybe a főbeosztás valamelyk osztásvonalával. A leolvasás pontossága nagyrészben függ az ember tényezőtől, hogy mlyen szögben nézzük a leolvasandó mérőeszközt. A főskála osztásérétke A= a segédskála osztásértéke és az osztások száménak szorzatával a segédskálán. A segédskála osztásértéke megegyezk a föskála osztásértéke és az osztások számának hányadosával. Ebből következk, hogy az osztások száma a segédskálán a főskála osztásértéke és a segédskála osztásértékével egyenlő. A segédskála osztástávolsága (Is) megegyezk a segédskála nyújtás tényezőjének és a főskála lletve segédskála osztásérték különbségének szorzatával. A segédskála hosszát Ls jelöljük, melynek értéke pontosan megegyezk a segédskálán az osztások számának és a segédskála osztástávolságának szorzatával. Ebből az összefüggésből következk, hogy a segédskála osztástávolsága, amt Is-el jelölünk megegyezk a segédskála hosszának és a segédskálán az osztások számának hányadosával. 4

23 Lehet, hogy száz év múlva vagy még hamarabb a nónuszos tolómérce vagy legalábbs a nónusz skála épp olyan kurózum lesz, mnt amlyenné a közelmúltban gen gyorsan a logarléc, a 7 jegyű logartmus tábla, a brunnsvga és trumph rendszerű tekerős számológép vagy a kontnentál írógép vált. Kfogják szorítan a gyakorlatból a mérőórás és az elektromos kjelzésű vagy még azoknál s korszerűbb hosszmérő berendezések, és nyoma csak a múzeumokban, régség kereskedésekben marad meg. Mérőskálás mérésnél a mért jellemző űrmérték s lehet. Szögmérésre példa: Ha a segédskála nyújtás tényezője 1, a főskála osztásértéke 10 fok és segédskála osztásértéke 1 fok, a főskála osztástávolsága 5 mm akkor a segédskála osztástávolságát megkapjuk a segédskála nyújtás tényezőjánek és a főskála segédskála különbségének szorzatából. Is=9 fok. A segédskála hosszát megkapjuk az osztások számának és a segédskála osztástávolságának szorzatából, am jelen esetben 90 fok. 5

24 A mkrométer A mkrométer precízós hosszmérő műszer, mely elsősorban a gépparban használatos, leolvasás pontossága nagyobb, mnt a tolómércéé, általában 0,01 mm. Működés elve A mkrométer precízósan megmunkált csavarból és anyából áll, melynek menetemelkedése általában 0,5 mm. A csavarszár mllméteres beosztású skáláján leolvashatók az egész és fél mllméterek. A csavarszár kerületén, mely esetenként nónusz skálával van ellátva, 50 részre van osztva, ezen a mllméter tört részet lehet leolvasn, egy osztás 0,01 mm-nek felel meg. Angolszász mértékegységekre készült mkrométerek esetén a menetemelkedés 0,05 n (hüvelyk), azaz egy nchre 40 menet esk. Az orsó kerületének skálája 5 részre van osztva, egy osztás 0,001 nchnek felel meg. Ha a csavarszáron nónusz skála s van, úgy a leolvasás pontossága metrkus mkrométer esetén 0,001 mm, angolszász mértékegységek esetén pedg 0,0001 n. Újabban dgtáls leolvasású mkrométereket s gyártanak. 6

25 mkrométereket a tolómércékhez hasonlóan rögzítő szerkezettel s ellátják, hogy a beállított méret a leolvasásg ne változhasson. Mvel a csavar befeszítésével helytelen kezelés esetén gen nagy mérőerő s alkalmazható, egyes mkrométereket nyomaték-határoló szerkezettel látnak el. Ez tulajdonképpen egy súrlódó tengelykapcsoló, mely a beállítottnál nagyobb nyomaték esetén old. A mkrométerek fajtá Különböző célokra más más mkrométereket használnak. Külső mkrométer mérőpofá síkok. Több méretben készülnek, például a következő mérés tartományokra: o o 0-5 mm, 5-50 mm, mm, mm. a mérés leolvasását lehetővé tevő hengeres szerkezetet általában csak 0-5mm-es tartományban gyártják, és a méréstartományt a kengyel által meghatározott mérettel bővítk k, így alakulnak k a 5 mm-es mérés Pontmkrométer. Ez külső mkrométer kúpos mérőpofákkal Belső mkrométer Furatmélység-mkrométer A mkrométer története A mkrométer a görög mcros (kcs) és metron (mér) szavak újkor összetételéből származk. Elsőként az angol Wllam Gascogne alkalmazta a 17. században a nónusz továbbfejlesztéseként csllagászat teleszkópon, a csllagok szögtávolságának pontos mérése céljából. Hosszmérések céljára először a franca Jean Laurent Palmer készített mkrométert 1848-ban Párzsban. Angolszász országokban tömegtermelését először a Brown & Sharpe cég ndította be 1867-ben. 7

26 Mechankus mérőeszközök hosszmérésre "Csak az van, amt mérn lehet", tartják a műszak szakemberek. És valóban, a műszak és a tudományos kutatások, fejlesztések alapja a mérhető mennységek mnél pontosabb, mnél megbízhatóbb mérése. Sorozatunk első részében a hosszmérés hagyományos eszközet mutatjuk be. Egyenes szakaszok mérésének legegyszerűbb módja a vonalzóval való mérés. A mérés pontossága, adott hosszúságú vonalzó esetén független a vonal hosszától, értéke - megfelelően pontos 1 mm-es beosztású acélvonalzó esetén - ± 0.14 mm. Ez tulajdonképpen nem más, mnt a leolvasás rendszeres hbája. Ha a mérendő egyenes szakasz hosszabb, mnt az acélvonalzó, akkor a mérést csak több lépésben tudjuk elvégezn, s ez megtöbbszöröz a rendszeres hba nagyságát, sőt tovább hbaforrásként léphet fel az egyenes szakasz több részre osztásakor elkerülhetetlenül fellépő hba s. Fa-, vagy műanyagvonalzó a gyártás pontatlanságok, lletve a nem megfelelő mérettartás matt (vetemedés stb.) precíz mérésre nem alkalmas. Egyéb nem állítható mérőeszközök: lyenek a mérőhasábok, mérőlécek, mérőszalagok. Ezek az eszközök hosszméretek mérésére alkalmasak. Használatuk mérés pontossága a beosztásuktól függően mllméter nagyságrendű. Mérés hbalehetőségekről és okokról a következő ábra ad felvlágosítást. Az ábrázolt hbák gyakorlatlag mnden méréskor felléphetnek, elkerülésükkel a mérés htelessé válk. A mkrométer 8

27 Pontosabb mérés elvégzésére alkalmas a mkrométer (5). Méréstartománya kcs, általában 5 mm. Mérés pontossága 0,01 mm. Használata egyszerű, de célszerű a tévedések elkerülése matt először tolómérővel ellenőrzn az egész mllméterek nagyságát és csak a pontos századrész értékeket meghatározn vele. A mkrométer szerkezet felépítését mutatja be következő ábránk. A méretek leolvasására a henger palástfelületén elhelyezett leolvasó skála nyújt lehetőséget. Mérés a mkrométerrel A mérendő hosszúságot a kengyelben rögzített mérőtapntó, és a mérőhüvelyben forgatható mérőorsó mérőfelülete között mérjük. A mérőfelületek általában keményfém-lapkákkal készülnek. A mérőorsóval együtt forog a mérődob, melynek peremén körkörös mérőskálát alakítottak k a 1/100 mm-es értékek leolvasására. Az egész, és a 0,5 mm-es értékek a vezetőhüvelyen vízszntesen kképzett skálán olvashatók le. A kengyelben lévő orsórögzítővel lehet a menetes mérőorsót rögzíten. 9

28 A mérődob végében elhelyezett fnombeállító csavarral lehet megvéden a túlhúzástól a mkrométert. (Túlhúzáskor túl nagy a mérőnyomás, ekkor egy klncsmű elforog, a mérőnyomás állandó marad.) A mérődob egy teljes fordulata alatt a mérőorsó 0,5 mm-t fordul a tengely rányban, mközben a mérődob s vele fordul. A mérődob alatt vezetőhüvelyen lévő hosszrányú mllméteres skála és a mérődob peremén található 0,01 mm-es körskála vszonylagos helyzetéből a mért értékek közvetlenül leolvashatóak. A leolvasás 0,01 mm-es pontosságát az tesz lehetővé, hogy a menetes orsó 0,5 mm-es elmozdulására a mérődob egy teljes fordulatot, lletve a peremén lévő körskálán mérve 50 osztást fordul el. Amkor tehát a körskála egy osztást fordul, a mérőorsó a 0,5 mm-es emelkedésének 1/50 részével mozdul el, tehát 0,01 mm utat tesz meg. A legelterjedtebb mkrométertípus a kengyeles mkrométer, am a következő ábrán látható. Része: Kengyel, benne az álló és a mozgó tapntóval, a mechanka nagyítást végző csavarmenet, a száron a fél mllméter osztásértékű főskála, a dobon az 50 osztású mellékskála és a dob végén az erőhatárolást segítő kelep ( racsn ), és még egy, a mozgó tapntót rögzítő csavar. 30

29 A mkrométer a csavarmenettel vsz át a dob forgását a mozgó tapntó eltolódásába, az áttétel a menet emelkedésének felel meg, jelen esetben a menet 0,5 mm-es emelkedésű. A leolvasás elve, hogy az egész és fél mllmétereket a főskálán a dobg olvassuk le, majd a dobon olvassuk hozzá a századmllmétereket. Mvel a dob kerületének körülbelül 1 mm -es elmozdulása a mozgó tapntó 0,01 mm-es elmozdulását eredményez, ezért a mechanka áttétel kb. 100-szoros, ezért a mérőerő s lyen nagy mértékben nő. Ez ndokolja a dobon az erőhatároló alkalmazását, ezt használn s kell! Ha a racsn nélkül mértünk, akkor egy kcst (kb. fél fordulatnyt) vssza kell lazítan a forgódobot, majd a racsnval kell újra ráhajtan! A tört osztásértékek leolvasás szabálya az, hogy a mérőeszköz legksebb osztásértékég (mérőeszköz felbontása) le kell a skálá(k)ról olyan sorrendben olvasn, ahogy a tzedesjegyek következnek, majd a legksebb osztás tört osztásértéket egy tzedesg kell és szabad csak megbecsüln, tehát a mellékelt ábra szernt mkrométerekről leolvasható értékek: 7,995 mm, lletve 8,445. Az utolsó tzedes (5 ezred mllméter) becsült érték, tehát lehet 4 és 6, és közötte 5 s, nem lehet 1 3, vagy (±1 becsült tzedest szabad tévedn!)! A tovább tzedesek megadása félrevezető, mert azt mutatja, mntha a tzedesek értékes jegyek lennének, ezért tlos a fent értékeket például 7, mm-nek leolvasn. Ha a mérés eredményből tovább számolunk, akkor kaphatunk eredményül akár végtelen tzedes törtet s, lyenkor vagy a hasznos tzedesg, vagy legfeljebb annál egy tzedessel többg kerekítve kell az eredményt megadn! Ha egy mérőeszközön több skála van (sok lyen mérőeszköz létezk), akkor a leolvasás szabálya az, hogy a nagyobb tzedesjegyeket mutató skála után olvassuk le a ksebb tzedesjegyűt (mkrométeren először a mm-es skálát, majd a 0,01 mm-t) úgy, hogy megkeressük azt az osztásértéket, amn a skálán legutoljára elhagytunk (7,5 vagy 8) ha egy osztásérték közelében vagyunk (mnt például ebben az esetben), akkor úgy tudjuk eldönten, hogy a következő osztásérték előtt, vagy után vagyunk, hogy leolvassuk a következő osztásértéket (49). Ha ez az osztásérték a következő skála vége előtt van (ebben az esetben gen, mert az 50. osztás a skála végét és újrakezdését jelöl), akkor a nagyobb osztásértékű skálán s még az osztás előtt vagyunk, ha pedg a skála elején (1. 10), akkor pedg az előző skálán az osztás után vagyunk. Ha tt úgy olvasnánk le, hoyg mvel a 8. mm-osztás már klátszk, ehhez adnánk hozzá a 49 századot, akkor 8,49 mm-et olvasnánk le, amvel 0,5 mm-t tévednénk, am durva hba! 31

30 megbecsüljük a következő tzedest (ezredeket). A 0-5 mm méréstartományú kengyeles mkrométereknél alaphelyzetben (ha a tapntókat a racsnval összetekerjük), akkor a fő és mellékskáláknak knduló helyzetben (0-án) kell lennük és a tapntófelületeknek légrés nélkül kell lleszkednük. 3

Az elektromos kölcsönhatás

Az elektromos kölcsönhatás TÓTH.: lektrosztatka/ (kbővített óravázlat) z elektromos kölcsönhatás Rég tapasztalat, hogy megdörzsölt testek különös erőket tudnak kfejten. Így pl. megdörzsölt műanyagok (fésű), megdörzsölt üveg- vagy

Részletesebben

Fuzzy rendszerek. A fuzzy halmaz és a fuzzy logika

Fuzzy rendszerek. A fuzzy halmaz és a fuzzy logika Fuzzy rendszerek A fuzzy halmaz és a fuzzy logka A hagyományos kétértékű logka, melyet évezredek óta alkalmazunk a tudományban, és amelyet George Boole (1815-1864) fogalmazott meg matematkalag, azon a

Részletesebben

1.Tartalomjegyzék 1. 1.Tartalomjegyzék

1.Tartalomjegyzék 1. 1.Tartalomjegyzék 1.Tartalomjegyzék 1 1.Tartalomjegyzék 1.Tartalomjegyzék...1.Beezetés... 3.A matematka modell kálasztása...5 4.A ékony lap modell...7 5.Egy más módszer a matematka modell kálasztására...10 6.A felületet

Részletesebben

Darupályák ellenőrző mérése

Darupályák ellenőrző mérése Darupályák ellenőrző mérése A darupályák építésére, szerelésére érvényes 15030-58 MSz szabvány tartalmazza azokat az előírásokat, melyeket a tervezés, építés, műszak átadás során be kell tartan. A geodéza

Részletesebben

Konfidencia-intervallumok

Konfidencia-intervallumok Konfdenca-ntervallumok 1./ Egy 100 elemű mntából 9%-os bztonság nten kéített konfdenca ntervallum: 177,;179,18. Határozza meg a mnta átlagát és órását, feltételezve, hogy az egé sokaság normáls elolású

Részletesebben

Biostatisztika e-book Dr. Dinya Elek

Biostatisztika e-book Dr. Dinya Elek TÁMOP-4../A/-/-0-005 Egészségügy Ügyvtelszervező Szakrány: Tartalomfejlesztés és Elektronkus Tananyagfejlesztés a BSc képzés keretében Bostatsztka e-book Dr. Dnya Elek Tartalomjegyzék. Bevezetés a mátrok

Részletesebben

ALAKOS KÖRKÉS PONTOSSÁGI VIZSGÁLATA EXCEL ALAPÚ SZOFTVERREL OKTATÁSI SEGÉDLET. Összeállította: Dr. Szabó Sándor

ALAKOS KÖRKÉS PONTOSSÁGI VIZSGÁLATA EXCEL ALAPÚ SZOFTVERREL OKTATÁSI SEGÉDLET. Összeállította: Dr. Szabó Sándor MISKOLCI EGYETEM Gépgyártástechnológa Tanszék Mskolc - Egyetemváros ALAKOS KÖRKÉS PONTOSSÁGI VIZSGÁLATA EXCEL ALAPÚ SZOFTVERREL OKTATÁSI SEGÉDLET Összeállította: Dr. Szabó Sándor A orgácsoló megmunkálásokhoz

Részletesebben

Philosophiae Doctores. A sorozatban megjelent kötetek listája a kötet végén található

Philosophiae Doctores. A sorozatban megjelent kötetek listája a kötet végén található Phlosophae Doctores A sorozatban megjelent kötetek lstája a kötet végén található Benedek Gábor Evolúcós gazdaságok szmulácója AKADÉMIAI KIADÓ, BUDAPEST 3 Kadja az Akadéma Kadó, az 795-ben alapított Magyar

Részletesebben

NKFP6-BKOMSZ05. Célzott mérőhálózat létrehozása a globális klímaváltozás magyarországi hatásainak nagypontosságú nyomon követésére. II.

NKFP6-BKOMSZ05. Célzott mérőhálózat létrehozása a globális klímaváltozás magyarországi hatásainak nagypontosságú nyomon követésére. II. NKFP6-BKOMSZ05 Célzott mérőhálózat létrehozása a globáls klímaváltozás magyarország hatásanak nagypontosságú nyomon követésére II. Munkaszakasz 2007.01.01. - 2008.01.02. Konzorcumvezető: Országos Meteorológa

Részletesebben

Differenciál egyenletek

Differenciál egyenletek Galik Zsófia menedzser hallgató Differenciál egyenletek osztályzása Differenciál egyenletek A differenciálegyenletek olyan egyenletek a matematikában (közelebbről a matematikai analízisben), melyekben

Részletesebben

8. Programozási tételek felsoroló típusokra

8. Programozási tételek felsoroló típusokra 8. Programozás tételek felsoroló típusokra Ha egy adatot elem értékek csoportja reprezentál, akkor az adat feldolgozása ezen értékek feldolgozásából áll. Az lyen adat típusának lényeges jellemzője, hogy

Részletesebben

Bevezetés a kémiai termodinamikába

Bevezetés a kémiai termodinamikába A Sprnger kadónál megjelenő könyv nem végleges magyar változata (Csak oktatás célú magánhasználatra!) Bevezetés a kéma termodnamkába írta: Kesze Ernő Eötvös Loránd udományegyetem Budapest, 007 Ez az oldal

Részletesebben

Békefi Zoltán. Közlekedési létesítmények élettartamra vonatkozó hatékonyság vizsgálati módszereinek fejlesztése. PhD Disszertáció

Békefi Zoltán. Közlekedési létesítmények élettartamra vonatkozó hatékonyság vizsgálati módszereinek fejlesztése. PhD Disszertáció Közlekedés létesítmények élettartamra vonatkozó hatékonyság vzsgálat módszerenek fejlesztése PhD Dsszertácó Budapest, 2006 Alulírott kjelentem, hogy ezt a doktor értekezést magam készítettem, és abban

Részletesebben

Véletlenszám generátorok. 5. előadás

Véletlenszám generátorok. 5. előadás Véletlenszám generátorok 5. előadás Véletlenszerű változók, valószínűség véletlen, véletlen változók valószínűség fogalma egy adott esemény bekövetkezésének esélye értékét 0 és között adjuk meg az összes

Részletesebben

2. személyes konzultáció. Széchenyi István Egyetem

2. személyes konzultáció. Széchenyi István Egyetem Makroökonóma 2. személyes konzultácó Szécheny István Egyetem Gazdálkodás szak e-learnng képzés Összeállította: Farkas Péter 1 A tananyag felépítése (térkép) Ön tt áll : MAKROEGENSÚL Inflácó, munkanélkülség,

Részletesebben

4 205 044-2012/11 Változtatások joga fenntartva. Kezelési útmutató. UltraGas kondenzációs gázkazán. Az energia megőrzése környezetünk védelme

4 205 044-2012/11 Változtatások joga fenntartva. Kezelési útmutató. UltraGas kondenzációs gázkazán. Az energia megőrzése környezetünk védelme HU 4 205 044-2012/11 Változtatások joga fenntartva Kezelés útmutató UltraGas kondenzácós gázkazán Az energa megőrzése környezetünk védelme Tartalomjegyzék UltraGas 15-1000 4 205 044 1. Kezelés útmutató

Részletesebben

4 2 lapultsági együttható =

4 2 lapultsági együttható = Leíró statsztka Egy kísérlet végeztével általában tetemes mennységű adat szokott összegyűln. Állandó probléma, hogy mt s kezdjünk - lletve mt tudunk kezden az adatokkal. A statsztka ebben segít mnket.

Részletesebben

The original laser distance meter. The original laser distance meter

The original laser distance meter. The original laser distance meter Leca Leca DISTO DISTO TM TM D510 X310 The orgnal laser dstance meter The orgnal laser dstance meter Tartalomjegyzék A műszer beállítása - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 2 Bevezetés - -

Részletesebben

II. Rákóczi Ferenc Kárpátaljai Magyar Fıiskola. Pataki Gábor. STATISZTIKA I. Jegyzet

II. Rákóczi Ferenc Kárpátaljai Magyar Fıiskola. Pataki Gábor. STATISZTIKA I. Jegyzet II. Rákócz Ferenc Kárátalja Magyar Fıskola Patak Gábor STATISZTIKA I. Jegyzet 23 Tartalomjegyzék evezetés... 3 I. Statsztka alafogalmak... 4. Statsztka kalakulása, tudománytörténet összefüggése... 4.2

Részletesebben

Elosztott rendszerek játékelméleti elemzése: tervezés és öszönzés. Toka László

Elosztott rendszerek játékelméleti elemzése: tervezés és öszönzés. Toka László adat Távközlés és Médanformatka Tanszék Budapest Műszak és Gazdaságtudomány Egyetem Eurecom Telecom Pars Elosztott rendszerek játékelmélet elemzése: tervezés és öszönzés Toka László Tézsfüzet Témavezetők:

Részletesebben

A mágneses tér energiája, állandó mágnesek, erőhatások, veszteségek

A mágneses tér energiája, állandó mágnesek, erőhatások, veszteségek A mágneses tér energája, állandó mágnesek, erőhatások, veszteségek A mágneses tér energája Egy koncentrált paraméterű, ellenállással és nduktvtással jellemzett tekercs Uáll feszültségre kapcsolásakor az

Részletesebben

Leica DISTOTMD510. X310 The original laser distance meter. The original laser distance meter

Leica DISTOTMD510. X310 The original laser distance meter. The original laser distance meter TM Leca DISTO Leca DISTOTMD510 X10 The orgnal laser dstance meter The orgnal laser dstance meter Tartalomjegyzék A műszer beállítása - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 2 Bevezetés - - -

Részletesebben

Fazekas nyílt verseny matematikából 8. osztály, speciális kategória

Fazekas nyílt verseny matematikából 8. osztály, speciális kategória Fazekas nyílt verseny matematikából 8. osztály, speciális kategória 2005. január 12. feladatok kidolgozására két óra áll rendelkezésre. Számológép nem használható. példák tetszőleges sorrendben megoldhatók.

Részletesebben

Merev test mozgása. A merev test kinematikájának alapjai

Merev test mozgása. A merev test kinematikájának alapjai TÓTH : Merev test (kbővített óraválat) Merev test mogása Eddg olyan dealált "testek" mogását vsgáltuk, amelyek a tömegpont modelljén alapultak E aal a előnnyel járt, hogy nem kellett foglalkon a test kterjedésével

Részletesebben

Az entrópia statisztikus értelmezése

Az entrópia statisztikus értelmezése Az entrópa statsztkus értelmezése A tapasztalat azt mutatja hogy annak ellenére hogy egy gáz molekulá egyed mozgást végeznek vselkedésükben mégs szabályszerűségek vannak. Statsztka jellegű vselkedés szabályok

Részletesebben

Analízisfeladat-gyűjtemény IV.

Analízisfeladat-gyűjtemény IV. Oktatási segédanyag a Programtervező matematikus szak Analízis. című tantárgyához (003 004. tanév tavaszi félév) Analízisfeladat-gyűjtemény IV. (Függvények határértéke és folytonossága) Összeállította

Részletesebben

A bankközi jutalék (MIF) elő- és utóélete a bankkártyapiacon. A bankközi jutalék létező és nem létező versenyhatásai a Visa és a Mastercard ügyek

A bankközi jutalék (MIF) elő- és utóélete a bankkártyapiacon. A bankközi jutalék létező és nem létező versenyhatásai a Visa és a Mastercard ügyek BARA ZOLTÁN A bankköz utalék (MIF) elő- és utóélete a bankkártyapacon. A bankköz utalék létező és nem létező versenyhatása a Vsa és a Mastercard ügyek Absztrakt Az előadás 1 rövden átteknt a két bankkártyatársasággal

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika emelt szint 0613 ÉRETTSÉGI VIZSGA 007. május 8. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI ÉS KULTURÁLIS MINISZTÉRIUM Formai előírások: Fontos tudnivalók

Részletesebben

Schlüter -KERDI-BOARD. Közvetlenűl burkolható felületű építőlemez, többrétegű vízszigetelés

Schlüter -KERDI-BOARD. Közvetlenűl burkolható felületű építőlemez, többrétegű vízszigetelés Schlüter -KERDI-BOARD Közvetlenűl burkolható felületű építőlemez, többrétegű vízszgetelés Schlüter -KERDI-BOARD Schlüter -KERDI-BOARD A csempeburkolat készítésének unverzáls alapfelülete Pontosan, ahogy

Részletesebben

III. Áramkör számítási módszerek, egyenáramú körök

III. Áramkör számítási módszerek, egyenáramú körök . Árakör száítás ódszerek, egyenáraú körök A vllaos ára a vllaos töltések rendezett áralása (ozgása) a fellépő erők hatására. Az áralás ránya a poztív töltéshordozók áralásának ránya, aelyek a nagyobb

Részletesebben

d(f(x), f(y)) q d(x, y), ahol 0 q < 1.

d(f(x), f(y)) q d(x, y), ahol 0 q < 1. Fxponttétel Már a hétköznap életben s gyakran tapasztaltuk, hogy két pont között a távolságot nem feltétlenül a " kettő között egyenes szakasz hossza" adja Pl két település között a távolságot közlekedés

Részletesebben

Első sorozat (2000. május 22. du.) 1. Oldjamegavalós számok halmazán a. cos x + sin2 x cos x. +sinx +sin2x =

Első sorozat (2000. május 22. du.) 1. Oldjamegavalós számok halmazán a. cos x + sin2 x cos x. +sinx +sin2x = 2000 Írásbeli érettségi-felvételi feladatok Első sorozat (2000. május 22. du.) 1. Oldjamegavalós számok halmazán a egyenletet! cos x + sin2 x cos x +sinx +sin2x = 1 cos x (9 pont) 2. Az ABCO háromszög

Részletesebben

oktatási segédlet Kovács Norbert SZE, Gazdálkodástudományi tanszék 2007. október

oktatási segédlet Kovács Norbert SZE, Gazdálkodástudományi tanszék 2007. október Fogyasztók a tõkepacon oktatás segédlet Kovács Norbert SZE, Gazdálkodástudomány tanszék 007. október Költségvetés egyenes kamatláb esetén. dõszak fogyasztása A. év fogyasztásának maxmuma költségvetés egyenes

Részletesebben

CRT Monitor gammakarakteriszikájának

CRT Monitor gammakarakteriszikájának Budapest Műszak és Gazdaságtudomány Egyetem Mechatronka, Optka és Gépészet Informatka Tanszék CRT Montor gammakarakterszkájának felvétele 9. mérés Mérés célja: Számítógéppel vezérelt CRT montor gamma karaktersztkájának

Részletesebben

2) = 0 ahol x 1 és x 2 az ax 2 + bx + c = 0 ( a,b, c R és a 0 )

2) = 0 ahol x 1 és x 2 az ax 2 + bx + c = 0 ( a,b, c R és a 0 ) Fogalom gyűjtemény Abszcissza: az x tengely Abszolút értékes egyenletek: azok az egyenletek, amelyekben abszolút érték jel szerepel. Abszolútérték-függvény: egy elemi egyváltozós valós függvény, mely minden

Részletesebben

Optikai elmozdulás érzékelő illesztése STMF4 mikrovezérlőhöz és robot helyzetérzékelése. Szakdolgozat

Optikai elmozdulás érzékelő illesztése STMF4 mikrovezérlőhöz és robot helyzetérzékelése. Szakdolgozat Mskolc Egyetem Gépészmérnök és Informatka Kar Automatzálás és Infokommunkácós Intézet Tanszék Optka elmozdulás érzékelő llesztése STMF4 mkrovezérlőhöz és robot helyzetérzékelése Szakdolgozat Tervezésvezető:

Részletesebben

Fizika II. (Termosztatika, termodinamika)

Fizika II. (Termosztatika, termodinamika) Fzka II. (Termosztatka, termodnamka) előadás jegyzet Élelmszermérnök, Szőlész-borász mérnök és omérnök hallgatóknak Dr. Frtha Ferenc. árls 4. Tartalom evezetés.... Hőmérséklet, I. főtétel. Ideáls gázok...3

Részletesebben

IMPRESSA C5 Használati útmutató

IMPRESSA C5 Használati útmutató IMPRESSA C5 Használat útmutató Kávé Prof Kft. 1112 Budapest, Budaörs út 153. Tel.: 06-1-248-0095 kaveprof@freemal.hu A TÜV SÜD független német mnôségvzsgáló ntézet Az IMPRESSA kézkönyvének és a hozzá tartozó

Részletesebben

Elsôfokú egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlôtlenségek

Elsôfokú egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlôtlenségek Elsôfokú egyváltozós egyenletek 6 Elsôfokú egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlôtlenségek. Elsôfokú egyváltozós egyenletek 000. Érdemes egyes tagokat, illetve tényezôket alkalmasan csoportosítani, valamint

Részletesebben

Szerelési útmutató FKC-1 síkkollektor tetőre történő felszerelése Junkers szolár rendszerek számára

Szerelési útmutató FKC-1 síkkollektor tetőre történő felszerelése Junkers szolár rendszerek számára Szerelés útmutató FKC- síkkollektor tetőre történő felszerelése Junkers szolár rendszerek számára 604975.00-.SD 6 70649 HU (006/04) SD Tartalomjegyzék Általános..................................................

Részletesebben

Munkafüzet megoldások 7. osztályos tanulók számára. Makara Ágnes Bankáné Mező Katalin Argayné Magyar Bernadette Vépy-Benyhe Judit

Munkafüzet megoldások 7. osztályos tanulók számára. Makara Ágnes Bankáné Mező Katalin Argayné Magyar Bernadette Vépy-Benyhe Judit Kalandtúra 7. unkafüzet megoldások 7. osztályos tanulók számára akara Ágnes Bankáné ező Katalin Argayné agyar Bernadette Vépy-Benyhe Judit BEELEGÍTŐ GONDOLKODÁS. SZÓRAKOZTATÓ FELADVÁNYOK. oldal. 6... 6.

Részletesebben

GYAKORLÓ FELADATOK. Színmérés, színkeverés CIE RGB és CIE XYZ rendszerben. 2013. március 10., Budapest

GYAKORLÓ FELADATOK. Színmérés, színkeverés CIE RGB és CIE XYZ rendszerben. 2013. március 10., Budapest GYAKORLÓ FELADATOK Színmérés, színkeverés CIE RGB és CIE XYZ rendszerben 2013. márcus 10., Budapest Színmérés, színkeverés alapelvek Kndulás (Grassmann törvény): Két, tetszőlegest spektráls eloszlású lá

Részletesebben

Jövedelem és szubjektív jóllét: az elemzési módszer megválasztásának hatása a levonható következtetésekre

Jövedelem és szubjektív jóllét: az elemzési módszer megválasztásának hatása a levonható következtetésekre Tanulmányok Jövedelem és szubjektív jóllét: az elemzés módszer megválasztásának hatása a levonható következtetésekre Hajdu Tamás, az MTA Közgazdaságés Regonáls Tudomány Kutatóközpont Közgazdaságtudomány

Részletesebben

Feladatok és megoldások a 4. hétre

Feladatok és megoldások a 4. hétre Feladatok és megoldások a. hétre Építőkari Matematika A3. Pisti nem tanult semmit a vizsgára, ahol 0 darab eldöntendő kérdésre kell válaszolnia. Az anyagból valami kicsi dereng, ezért kicsit több, mint

Részletesebben

Komputer statisztika gyakorlatok

Komputer statisztika gyakorlatok Eszterházy Károly Főiskola Matematikai és Informatikai Intézet Tómács Tibor Komputer statisztika gyakorlatok Eger, 2010. október 26. Tartalomjegyzék Előszó 4 Jelölések 5 1. Mintagenerálás 7 1.1. Egyenletes

Részletesebben

Kódolás, hibajavítás. Tervezte és készítette Géczy LászlL. szló 2002

Kódolás, hibajavítás. Tervezte és készítette Géczy LászlL. szló 2002 Kódolás, hibajavítás Tervezte és készítette Géczy LászlL szló 2002 Jelkapcsolat A jelkapcsolatban van a jelforrás, amely az üzenő, és a jelérzékelő (vevő, fogadó), amely az értesített. Jelforrás üzenet

Részletesebben

VIII. ELEKTROMOS ÁRAM FOLYADÉKOKBAN ÉS GÁZOKBAN

VIII. ELEKTROMOS ÁRAM FOLYADÉKOKBAN ÉS GÁZOKBAN VIII. ELEKTROMOS ÁRAM FOLYADÉKOKBAN ÉS GÁZOKBAN Bevezetés: Folyadékok - elsősorban savak, sók, bázsok vzes oldata - áramvezetésének gen fontos gyakorlat alkalmazása vannak. Leggyakrabban az elektronkus

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2007. október 25. EMELT SZINT I.

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2007. október 25. EMELT SZINT I. 1) x x MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 007. október 5. EMELT SZINT I. a) Oldja meg a valós számok halmazán az alábbi egyenletet! (5 pont) b) Oldja meg a valós számpárok halmazán az alábbi egyenletrendszert! lg x

Részletesebben

Miskolci Egyetem. Diszkrét matek I. Vizsga-jegyzet. Hegedűs Ádám Imre 2010.12.28.

Miskolci Egyetem. Diszkrét matek I. Vizsga-jegyzet. Hegedűs Ádám Imre 2010.12.28. Miskolci Egyetem Diszkrét matek I. Vizsga-jegyzet Hegedűs Ádám Imre 2010.12.28. KOMBINATORIKA Permutáció Ismétlés nélküli permutáció alatt néhány különböző dolognak a sorba rendezését értjük. Az "ismétlés

Részletesebben

Valószínűségszámítás

Valószínűségszámítás Eszterházy Károly Főiskola Matematikai és Informatikai Intézet Tómács Tibor Valószínűségszámítás programtervező informatikusok részére Eger, 010. szeptember 0. Tartalomjegyzék 1. Véletlen események...............................

Részletesebben

VARIANCIAANALÍZIS (szóráselemzés, ANOVA)

VARIANCIAANALÍZIS (szóráselemzés, ANOVA) VARIANCIAANAÍZIS (szóráselemzés, ANOVA) Varancaanalízs. Varancaanalízs (szóráselemzés, ANOVA) Adott: egy vagy több tetszőleges skálájú független változó és egy legalább ntervallum skálájú függő változó.

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika emelt szint 113 ÉRETTSÉGI VIZSGA 015. május 5. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ EMBERI ERŐFORRÁSOK MINISZTÉRIUMA Formai előírások: Fontos tudnivalók

Részletesebben

Szerelési és beüzemelési útmutató

Szerelési és beüzemelési útmutató Mndg az Ön oldalán Szerelés és beüzemelés útmutató Exacontrol E7 C Exacontrol E7R C TARTALOMJEGYZÉK BEVEZETÉS 1 Szerelés útmutató... 3 1.1 A dokumentácó... 3 2 CE jel... 3 FELSZERELÉS 3 A készülék felszerelése...

Részletesebben

VEZÉRIGAZGATÓI UTASÍTÁS

VEZÉRIGAZGATÓI UTASÍTÁS Követeléskezelés Szabályzat Sgma Követeléskezelı Zrt. A Sgma Követeléskezelı Zrt. tevékenység köre A Sgma Követeléskezelı Zrt. 1923-ban, részvénytársaság formában került bejegyzésre, magánosítására 1988.

Részletesebben

2. Interpolációs görbetervezés

2. Interpolációs görbetervezés 2. Interpolációs görbetervezés Gondoljunk arra, hogy egy grafikus tervező húz egy vonalat (szabadformájú görbét), ezt a vonalat nekünk számítógép által feldolgozhatóvá kell tennünk. Ennek egyik módja,

Részletesebben

A800. Az eredeti használati utasítás fordítása. Kávéfőző gép: FCS4050 - Hűtőegység: FCS4053

A800. Az eredeti használati utasítás fordítása. Kávéfőző gép: FCS4050 - Hűtőegység: FCS4053 A800 Az eredet használat utasítás fordítása Kávéfőző gép: FCS050 - Hűtőegység: FCS053 A készülék használata előtt olvassa el a használat utasítást és a «Bztonság tudnvalók» című fejezetet. Tartsa a használat

Részletesebben

MŰSZAKI TUDOMÁNYI DOKTORI ISKOLA. Napkollektorok üzemi jellemzőinek modellezése

MŰSZAKI TUDOMÁNYI DOKTORI ISKOLA. Napkollektorok üzemi jellemzőinek modellezése MŰSZAKI TUDOMÁNYI DOKTORI ISKOLA Napkollektorok üzem jellemzőnek modellezése Doktor (PhD) értekezés tézse Péter Szabó István Gödöllő 015 A doktor skola megnevezése: Műszak Tudomány Doktor Iskola tudományága:

Részletesebben

2.3.2.2.1.2.1 Visszatérítő nyomaték és visszatérítő kar

2.3.2.2.1.2.1 Visszatérítő nyomaték és visszatérítő kar 2.3.2.2.1.2 Keresztirányú stabilitás nagy dőlésszögeknél A keresztirányú stabilitás számszerűsítésénél, amint korábban láttuk, korlátozott a metacentrikus magasságra való támaszkodás lehetősége. Csak olyankor

Részletesebben

Balogh Edina Árapasztó tározók működésének kockázatalapú elemzése PhD értekezés Témavezető: Dr. Koncsos László egyetemi tanár

Balogh Edina Árapasztó tározók működésének kockázatalapú elemzése PhD értekezés Témavezető: Dr. Koncsos László egyetemi tanár Balogh Edna Árapasztó tározók működésének kockázatalapú elemzése PhD értekezés Témavezető: Dr. Koncsos László egyetem tanár Budapest Műszak és Gazdaságtudomány Egyetem Építőmérnök Kar 202 . Bevezetés,

Részletesebben

Lineáris Algebra gyakorlatok

Lineáris Algebra gyakorlatok A V 2 és V 3 vektortér áttekintése Lineáris Algebra gyakorlatok Írta: Simon Ilona Lektorálta: DrBereczky Áron Áttekintjük néhány témakör legfontosabb definícióit és a feladatokban használt tételeket kimondjuk

Részletesebben

+ - kondenzátor. Elektromos áram

+ - kondenzátor. Elektromos áram Tóth : Eektromos áram/1 1 Eektromos áram tapasztaat szernt az eektromos tötések az anyagokban ksebb vagy nagyobb mértékben hosszú távú mozgásra képesek tötések egyrányú, hosszútávú mozgását eektromos áramnak

Részletesebben

Ahol mindig Ön az első! www.eon.hu/ugyintezes. Segítünk online ügyféllé válni Kisokos

Ahol mindig Ön az első! www.eon.hu/ugyintezes. Segítünk online ügyféllé válni Kisokos Ahol mndg Ön az első! www.eon.hu/ugyntezes Segítünk onlne ügyféllé váln Ksokos Kedves Ügyfelünk! Szeretnénk, ha Ön s megsmerkedne Onlne ügyfélszolgálatunkkal (www.eon.hu/ugyntezes), amelyen keresztül egyszerűen,

Részletesebben

2. OPTIKA 2.1. Elmélet 2.1.1. Geometriai optika

2. OPTIKA 2.1. Elmélet 2.1.1. Geometriai optika 2. OPTIKA 2.1. Elmélet Az optika tudománya a látás élményéből fejlődött ki. A tárgyakat azért látjuk, mert fényt bocsátanak ki, vagy a rájuk eső fényt visszaverik, és ezt a fényt a szemünk érzékeli. A

Részletesebben

Szennyvíztisztítási technológiai számítások és vízminőségi értékelési módszerek

Szennyvíztisztítási technológiai számítások és vízminőségi értékelési módszerek Szennyvíztsztítás technológa számítások és vízmnőség értékelés módszerek Segédlet a Szennyvíztsztítás c. tantárgy gyakorlat foglalkozásahoz Dr. Takács János ME, Eljárástechnka Tsz. 00. BEVEZETÉS Áldjon,

Részletesebben

járta, aprít ó é s tuskófuró a NEFA G fejlesztésében

járta, aprít ó é s tuskófuró a NEFA G fejlesztésében ható, max. 140 cm munkaszélességre és 15 25 cm-es munkamélységre készült. A gép üzem próbájára ez évben kerül sor. A műveletcentrkus egyed gépkalakítások mellett nem mondtunk le egy bázsgép rendszerű csemetekert

Részletesebben

Villamosságtan. Dr. Radács László főiskolai docens A3 épület, II. emelet, 7. ajtó Telefon: 12-13 elkrad@uni-miskolc.hu www.uni-miskolc.

Villamosságtan. Dr. Radács László főiskolai docens A3 épület, II. emelet, 7. ajtó Telefon: 12-13 elkrad@uni-miskolc.hu www.uni-miskolc. Vllamosságtan Dr. adács László főskola docens A3 épület,. emelet, 7. ajtó Telefon: -3 e-mal: Honlap: elkrad@un-mskolc.hu www.un-mskolc.hu/~elkrad Ajánlott rodalom Demeter Károlyné - Dén Gábor Szekér Károly

Részletesebben

Die Sensation in der Damenhygiene Hasznos információk a tamponokról www.123goodbye.com

Die Sensation in der Damenhygiene Hasznos információk a tamponokról www.123goodbye.com nokról tampo a k ácó form n s no Hasz Mért használnak tamponokat? A tampon szó francául és a szó szernt fordításban dugó. Már a szó s sokat mond. A tamponok körülbelül öt centméteres rudak, amely közel

Részletesebben

IT jelű DC/DC kapcsolóüzemű tápegységcsalád

IT jelű DC/DC kapcsolóüzemű tápegységcsalád IT jelű DC/DC kapcsolóüzemű tápegységcsalád BALOGH DEZSŐ BHG BEVEZETÉS A BHG Híradástechnka Vállalat kutató és fejlesztő által kdolgozott napjankban gyártásban levő tárolt programvezérlésű elektronkus

Részletesebben

MEGOLDÓKULCS AZ EMELT SZINTŰ FIZIKA HELYSZÍNI PRÓBAÉRETTSÉGI FELADATSORHOZ 11. ÉVFOLYAM

MEGOLDÓKULCS AZ EMELT SZINTŰ FIZIKA HELYSZÍNI PRÓBAÉRETTSÉGI FELADATSORHOZ 11. ÉVFOLYAM AZ OSZÁG VEZETŐ EGYETEMI-FŐISKOLAI ELŐKÉSZÍTŐ SZEVEZETE MEGOLDÓKULCS AZ EMELT SZINTŰ FIZIKA HELYSZÍNI PÓBAÉETTSÉGI FELADATSOHOZ. ÉVFOLYAM I. ÉSZ (ÖSSZESEN 3 PONT) 3 4 5 6 7 8 9 3 4 5 D D C D C D D D B

Részletesebben

Hálózat gazdaságtan. Kiss Károly Miklós, Badics Judit, Nagy Dávid Krisztián. Pannon Egyetem Közgazdaságtan Tanszék 2011. jegyzet

Hálózat gazdaságtan. Kiss Károly Miklós, Badics Judit, Nagy Dávid Krisztián. Pannon Egyetem Közgazdaságtan Tanszék 2011. jegyzet Hálózat gazdaságtan jegyzet Kss Károly Mlós, adcs Judt, Nagy Dávd Krsztán Pannon Egyetem Közgazdaságtan Tanszé 0. EVEZETÉS... 3 I. HÁLÓZTOS JVK KERESLETOLDLI JELLEMZŐI HÁLÓZTI EXTERNÁLIÁK ÉS KÖVETKEZMÉNYEIK...

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATGYŰJTEMÉNY

MATEMATIKA FELADATGYŰJTEMÉNY Pék Johanna MATEMATIKA FELADATGYŰJTEMÉNY Nem matematika alapszakos hallgatók számára Tartalomjegyzék Előszó iii. Lineáris algebra.. Mátrixok...................................... Lineáris egyenletrendszerek..........................

Részletesebben

Nyeregetetős csarnokszerkezetek terhei az EN 1991 alapján

Nyeregetetős csarnokszerkezetek terhei az EN 1991 alapján BME Hdak és Szerkezetek Tanszék Magasépítés acélszerkezetek tárgy Gyakorlat útmutató Nyeregetetős csarnokszerkezetek terhe az EN 1991 alapján Összeállította: Dr. Papp Ferenc tárgyelőadó Budapest, 2006.

Részletesebben

ORVOSI STATISZTIKA. Az orvosi statisztika helye. Egyéb példák. Példa: test hőmérséklet. Lehet kérdés? Statisztika. Élettan Anatómia Kémia. Kérdések!

ORVOSI STATISZTIKA. Az orvosi statisztika helye. Egyéb példák. Példa: test hőmérséklet. Lehet kérdés? Statisztika. Élettan Anatómia Kémia. Kérdések! ORVOSI STATISZTIKA Az orvos statsztka helye Élettan Anatóma Kéma Lehet kérdés?? Statsztka! Az orvos döntéseket hoz! Mkor jó egy döntés? Mennyre helyes egy döntés? Mekkora a tévedés lehetősége? Példa: test

Részletesebben

Termodinamikai állapot függvények és a mólhő kapcsolata

Termodinamikai állapot függvények és a mólhő kapcsolata ermdnamka állapt függvények és a mólhő kapslata A mólhő mnd állandó nymásn, mnd állandó térfgatn könnyen mérhető. A különböző energetka és mdellszámításkhz vsznt az állapt függvényeket - a belső energát,

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika középszint 1413 ÉRETTSÉGI VIZSGA 015. május 5. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ EMBERI ERŐFORRÁSOK MINISZTÉRIUMA Fontos tudnivalók Formai előírások:

Részletesebben

A pályázat címe: Új elméleti és numerikus módszerek tartószerkezetek topológiaoptimálására

A pályázat címe: Új elméleti és numerikus módszerek tartószerkezetek topológiaoptimálására 00. év OKA zárójelentés: Vezetı kutató:lóó János A pályázat címe: Új elmélet és numerkus módszerek tartószerkezetek topolóaoptmálására determnsztkus és sztochasztkus feladatok esetén. (Részletes jelentés)

Részletesebben

Az alap- és a képfelület fogalma, megadási módjai és tulajdonságai

Az alap- és a képfelület fogalma, megadási módjai és tulajdonságai A VETÜLETEK ALAP- ÉS KÉPFELÜLETE Az alap- és a képfelület fogalma, megadási módjai és tulajdonságai A geodézia, a térinformatika és a térképészet a görbült földfelületen elhelyezkedő geometriai alakzatokat

Részletesebben

A Sturm-módszer és alkalmazása

A Sturm-módszer és alkalmazása A turm-módszer és alalmazása Tuzso Zoltá, zéelyudvarhely zámtala szélsőérté probléma megoldása, vagy egyelőtleség bzoyítása agyo gyara, már a matemata aalízs eszözere szorítoz, mt például a Jese-, Hölderféle

Részletesebben

Tómács Tibor. Matematikai statisztika

Tómács Tibor. Matematikai statisztika Tómács Tibor Matematikai statisztika Eszterházy Károly Főiskola Matematikai és Informatikai Intézet Tómács Tibor Matematikai statisztika Eger, 01 Szerző: Dr. Tómács Tibor főiskolai docens Eszterházy Károly

Részletesebben

10. Valószínűségszámítás

10. Valószínűségszámítás . Valószínűségszámítás.. Események A valószínűségszámítás nagyon leegyszerűsítve események bekövetkezésének valószínűségével foglalkozik. Példák: Ha egy játékban egy dobókockával dobunk, akkor a kockadobás

Részletesebben

MEZŐGAZDASÁGI TERMÉKEK FELVÁSÁRLÁSI FOLYAMATÁNAK SZIMULÁCIÓJA, KÜLÖNÖS TEKINTETTEL A CUKORRÉPÁRA OTKA

MEZŐGAZDASÁGI TERMÉKEK FELVÁSÁRLÁSI FOLYAMATÁNAK SZIMULÁCIÓJA, KÜLÖNÖS TEKINTETTEL A CUKORRÉPÁRA OTKA MEZŐGAZDASÁGI TERMÉKEK FELVÁSÁRLÁSI FOLYAMATÁNAK SZIMULÁCIÓJA, KÜLÖNÖS TEKINTETTEL A CUKORRÉPÁRA OTKA Kutatás téma 2002 2005. Nylvántartás szám: T0 37555 TARTALOMJEGYZÉK 1. Kutatás célktűzések... 2 2.

Részletesebben

Szeminárium-Rekurziók

Szeminárium-Rekurziók 1 Szeminárium-Rekurziók 1.1. A sorozat fogalma Számsorozatot kapunk, ha pozitív egész számok mindegyikéhez egyértelműen hozzárendelünk egy valós számot. Tehát a számsorozat olyan függvény, amelynek az

Részletesebben

Feladatok és megoldások a 6. heti eladshoz

Feladatok és megoldások a 6. heti eladshoz Feladatok és megoldások a 6. heti eladshoz Építőkari Matematika A3 1. Ha E(X = 1 és D 2 (X = 5, határozzuk meg (a E[(2 + X 2 ], (b D 2 (4 + 3X értékét. 2. Legyenek X 1, X 2,... független azonos eloszlású

Részletesebben

Statisztikai. Statisztika Sportszervező BSc képzés (levelező tagozat) Témakörök. Statisztikai alapfogalmak. Statisztika fogalma. Statisztika fogalma

Statisztikai. Statisztika Sportszervező BSc képzés (levelező tagozat) Témakörök. Statisztikai alapfogalmak. Statisztika fogalma. Statisztika fogalma Témakörök Statsztka Sortszerező BSc kézés (leelező tagozat) 2-2-es tané félé Oktató: Dr Csáfor Hajnalka főskola docens Vállalkozás-gazdaságtan Tsz E-mal: hcsafor@ektfhu Statsztka fogalmak Statsztka elemzések

Részletesebben

Valószín ségelmélet házi feladatok

Valószín ségelmélet házi feladatok Valószín ségelmélet házi feladatok Minden héten 3-4 házi feladatot adok ki. A megoldásokat a következ órán kell beadni, és kés bb már nem lehet pótolni. Csak az mehet vizsgázni, aki a 13 hét során kiadott

Részletesebben

MATEMATIKA Kiss Árpád Országos Közoktatási Szolgáltató Intézmény Vizsgafejlesztő Központ

MATEMATIKA Kiss Árpád Országos Közoktatási Szolgáltató Intézmény Vizsgafejlesztő Központ MATEMATIKA Kiss Árpád Országos Közoktatási Szolgáltató Intézmény Vizsgafejlesztő Központ I. RÉSZLETES ÉRETTSÉGI VIZSGAKÖVETELMÉNY Az érettségi követelményeit két szinten határozzuk meg: középszinten a

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2009. október 20. EMELT SZINT

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2009. október 20. EMELT SZINT MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 009. október 0. EMELT SZINT ) Oldja meg az alábbi egyenleteket! a), ahol és b) log 0,5 0,5 7 6 log log 0 I., ahol és (4 pont) (7 pont) log 0,5 a) Az 0,5 egyenletben a hatványozás megfelelő

Részletesebben

2. Hatványozás, gyökvonás

2. Hatványozás, gyökvonás 2. Hatványozás, gyökvonás I. Elméleti összefoglaló Egész kitevőjű hatvány értelmezése: a 1, ha a R; a 0; a a, ha a R. Ha a R és n N; n > 1, akkor a olyan n tényezős szorzatot jelöl, aminek minden tényezője

Részletesebben

JANUS PANNONIUS TUDOMÁNYEGYETEM. Schipp Ferenc ANALÍZIS I. Sorozatok és sorok

JANUS PANNONIUS TUDOMÁNYEGYETEM. Schipp Ferenc ANALÍZIS I. Sorozatok és sorok JANUS PANNONIUS TUDOMÁNYEGYETEM Schipp Ferenc ANALÍZIS I. Sorozatok és sorok Pécs, 1994 Lektorok: Dr. FEHÉR JÁNOS egyetemi docens, kandidtus. Dr. SIMON PÉTER egyetemi docens, kandidtus 1 Előszó Ez a jegyzet

Részletesebben

Parciális differenciálegyenletek numerikus módszerei számítógépes alkalmazásokkal Karátson, János Horváth, Róbert Izsák, Ferenc

Parciális differenciálegyenletek numerikus módszerei számítógépes alkalmazásokkal Karátson, János Horváth, Róbert Izsák, Ferenc Karátson, János Horváth, Róbert Izsák, Ferenc numerikus módszerei számítógépes írta Karátson, János, Horváth, Róbert, és Izsák, Ferenc Publication date 2013 Szerzői jog 2013 Karátson János, Horváth Róbert,

Részletesebben

Hraskó András, Surányi László: 11-12. spec.mat szakkör Tartotta: Surányi László. Feladatok

Hraskó András, Surányi László: 11-12. spec.mat szakkör Tartotta: Surányi László. Feladatok Feladatok 1. Színezzük meg a koordinátarendszer rácspontjait két színnel, kékkel és pirossal úgy, hogy minden vízszintes egyenesen csak véges sok kék rácspont legyen és minden függőleges egyenesen csak

Részletesebben

Környezetvédelmi analitika

Környezetvédelmi analitika Az anyag a TÁMOP-4...A/- /--89 téma keretében készült a Pannon Egyetemen. Környezetmérnök Tudástár Sorozat szerkesztő: Dr. Domokos Endre XXXIV. kötet Környezetvédelm analtka Rezgés spektroszkópa Blles

Részletesebben

23. Kombinatorika, gráfok

23. Kombinatorika, gráfok I Elméleti összefoglaló Leszámlálási alapfeladatok 23 Kombinatorika, gráfok A kombinatorikai alapfeladatok esetek, lehetőségek összeszámlálásával foglalkoznak Általában n jelöli a rendelkezésre álló különbözőfajta

Részletesebben

KAPILLÁRIS NYOMÁS GÖRBE MEGHATÁROZÁSA HIGANYTELÍTÉSES POROZITÁSMÉRÉS ADATAIBÓL DETERMINATION OF CAPILLARY PRESSURE CURVE FROM MERCURY POROSIMETRY DATA

KAPILLÁRIS NYOMÁS GÖRBE MEGHATÁROZÁSA HIGANYTELÍTÉSES POROZITÁSMÉRÉS ADATAIBÓL DETERMINATION OF CAPILLARY PRESSURE CURVE FROM MERCURY POROSIMETRY DATA Műszak Földtudomány Közlemények, 84. kötet,. szám (03), pp. 63 69. KAPILLÁRIS NYOMÁS GÖRBE MEGHATÁROZÁSA HIGANYTELÍTÉSES POROZITÁSMÉRÉS ADATAIBÓL DETERMINATION OF CAPILLARY PRESSURE CURVE FROM MERCURY

Részletesebben

22. szakkör (Csoportelméleti alapfogalmak 1.)

22. szakkör (Csoportelméleti alapfogalmak 1.) 22. szakkör (Csoportelméleti alapfogalmak 1.) A) A PERMUTÁCIÓK CIKLIKUS SZERKEZETE 1. feladat: Egy húsztagú társaság ül az asztal körül. Néhányat közülük (esetleg az összeset) párba állítunk, és a párok

Részletesebben

86 MAM112M előadásjegyzet, 2008/2009

86 MAM112M előadásjegyzet, 2008/2009 86 MAM11M előadásjegyzet, 8/9 5. Fourier-elmélet 5.1. Komplex trigonometrikus Fourier-sorok Tekintsük az [,], C Hilbert-teret, azaz azoknak a komplex értékű f : [,] C függvényeknek a halmazát, amelyek

Részletesebben

4. modul Poliéderek felszíne, térfogata

4. modul Poliéderek felszíne, térfogata Matematika A 1. évfolyam 4. modul Poliéderek felszíne, térfogata Készítette: Vidra Gábor Matematika A 1. évfolyam 4. modul: POLIÉDEREK FELSZÍNE, TÉRFOGATA Tanári útmutató A modul célja Időkeret Ajánlott

Részletesebben

HAVRAN DÁNIEL. Pénzgazdálkodási szokások hatása a működőtőkére. A Magyar Posta példája

HAVRAN DÁNIEL. Pénzgazdálkodási szokások hatása a működőtőkére. A Magyar Posta példája HAVRAN DÁNIEL Pénzgazdálkodás szokások haása a működőőkére. A Magyar Posa példája A hálózaos parágakban, ahogy a posa szolgálaásoknál s, a forgalomban lévő készpénz nagyméreű működőőké jelenhe. A Magyar

Részletesebben

TARTALOMJEGYZÉK ELŐSZÓ... 7 1. GONDOLKOZZ ÉS SZÁMOLJ!... 9 2. HOZZÁRENDELÉS, FÜGGVÉNY... 69

TARTALOMJEGYZÉK ELŐSZÓ... 7 1. GONDOLKOZZ ÉS SZÁMOLJ!... 9 2. HOZZÁRENDELÉS, FÜGGVÉNY... 69 TARTALOMJEGYZÉK ELŐSZÓ............................................................ 7 1. GONDOLKOZZ ÉS SZÁMOLJ!............................. 9 Mit tanultunk a számokról?............................................

Részletesebben

Matematika POKLICNA MATURA

Matematika POKLICNA MATURA Szakmai érettségi tantárgyi vizsgakatalógus Matematika POKLICNA MATURA A tantárgyi vizsgakatalógus a 0-es tavaszi vizsgaidőszaktól kezdve alkalmazható mindaddig, amíg új nem készül. A katalógus érvényességét

Részletesebben