Ábrahám Gábor: Az f -1 (x)=f(x) típusú egyenletekről. típusú egyenletekről, Megoldás: (NMMV hivatalos megoldása) 6 x.

Átírás

1 Ábrahám Gábor: Az f - ()=f() típusú gynltkről Az f ( ) = f( ) típusú gynltkről, avagy az írástudók fllősség és gyéb érdksségk Az alábbi cikk a. évi Rátz László Vándorgyűlésn lhangzott lőadásom alapján készült. Immár 8 év tanítok a szgdi Radnóti Miklós Kísérlti Gimnázium matmatika tagozatán. A tagozatunk főfladata a thtséggondozás, a matmatika vrsnykr történő flkészítés. Ennk nagyon fontos részét képzi, hogy olyan módszrkt, ötltkt, fogásokat adjunk át a diákoknak, mlykt hatékonyan tudnak használni a munkájuk során. Ezkt mi is hosszú évk alatt sajátítottuk l sok tanulással, fladatmgoldással. A mi fllősségünk többk között abban áll, hogy az általunk közradott mgoldások prcízk lgynk, a flhasznált tétlkt pontosan fogalmazzuk mg, hogy azok alkalmazása nhogy hibás, vagy hiányos mgoldásra vzssn. Ennk kapcsán szrtnék szólni az f ( ) = f( ) típusú gynltkről, mlykkl jó néhányszor találkozhattunk már matmatika vrsnykn. Az lső két fladat is vrsnyfladat volt. Az itt közölt mgoldásuk szó szrint az úgynvztt hivatalos mgoldás. Ezkbn kimltm azokat a részkt, mlykkl a cikk során részltsn foglalkozom.. fladat: Oldjuk mg a valós számok halmazán a = gynltt! + 6 (KöMaL F. 8., NMMV., KöMaL B. 47.) Mgoldás: (NMMV. hivatalos mgoldása) Nézzük a jobboldali függvényt, nnk gynlt: y = 6 6 y + Ezt -r rndzv = 6 adódik. y + Látható thát, ha az gyik oldalt az függvényénk tkintjük, akkor a másik oldal az lőbbi invrz függvény. A két függvény kép gymás tükörkép az y= gynsr nézv, zért mtszéspontjaik az y= gynsn vannak. 6( + ) Így lgndő az = gynltt mgoldani. + A rndzés utáni 6 + 6= gynlt baloldalának szorzatalakja (-) (-) (-)=. Ez alapján az gynlt mgoldásai az,, számok. Mlyk igazzá is tszik az rdti gynlőségt. Ezzl a hivatalos mgoldás végér értünk. Matmatika Oktatási Portál, - / 4 -

2 Ábrahám Gábor: Az f - ()=f() típusú gynltkről A llkiismrtünk mgnyugtatása végtt ábrázoljuk az 6 6 g: ;6 ; g ( ) = függvényt! 6 f + : ; f( ) = 6 és a + Az ábra alapján az alábbi mgállapításokat thtjük: A két függvény grafikonja az y= gynsn mtszi gymást, thát a mgoldás zn rész látszólag rndbn van. A figylms szmlélő számára látható az f függvény grafikonján, hogy a függvény nm kölcsönösn gyértlmű. Err az alapján is flfigylhtünk, hogy az f függvény páros, hisz ( ) + + mindn Df stén Df is tljsül és f( ) = 6 = 6 = f( ). ( ) + + Thát kéznfkvő az alábbi kérdés. Korrkt volt az invrz kapcsolat mlítés? Milőtt a kérdéssl bhatóbban foglalkoznánk, nézzünk mg gy másik vrsnyfladatot, mlyt -ban tűztk ki a Nmztközi Magyar Matmatika Vrsnyn! Matmatika Oktatási Portál, - / 4 -

3 Ábrahám Gábor: Az f - ()=f() típusú gynltkről. fladat: Oldjuk mg a valós számok halmazán a log ( + 5) = log ( 5) gynltt! (NMMV.) (A hivatalos mgoldás az alábbi volt.) Mgoldás: Vizsgáljuk az alábbi két függvényt! ] [ f = ( + ) ] [ g= ( ) f : log 5; ; ( ) log 5 g: log 5; ; ( ) log 5 Mivl a két függvény gymás invrz, zért a grafikonjuk az y= gynsr nézv szimmtrikus, így grafikonjaik csak zn az gynsn mtszhtik gymást. Ezért az gynltnk csak olyan szám a mgoldása, mlyr log ( + 5) = = log ( 5) vagyis + 5=. Ebből az 5= gynlthz jutunk, amink csak a pozitív számok halmazán lht mgoldása, hisz a nmpozitív számok halmazán a jobb oldali kifjzés lső tagja nm nagyobb a második tagjánál. Az = mgoldás, több mgoldás pdig azért nincs, mrt a függvény a pozitív számok halmazán szigorúan monoton növkvő. Érdms mgjgyzni, hogy utolsó mgállapítás mindnképpn bizonyítást igényl. Az f : + ; a és a g: + ; a függvény is szigorúan monoton növkvő, és két szigorúan monoton növkvő függvény különbség nm fltétlnül szigorúan monoton növkvő. Ebbn az stbn viszont ign, hiszn + =, valamint mindn stén >, > és mindkét tényző szigorúan monoton növkvő. Ábrázoljuk az függvénykt! ] [ f = ( + ) ] [ g= ( ) f : log 5; ; ( ) log 5 g: log 5; ; ( ) log 5 Matmatika Oktatási Portál, - / 4 -

4 Ábrahám Gábor: Az f - ()=f() típusú gynltkről A grafikon újfnt mgrősítni látszik azt a gondolatot, mly szrint, ha gy invrtálható függvény és invrzénk a grafikonja mtszi gymást, akkor a mtszéspontnak az y= gynsn kll lnni. A továbbiakban alkalmazzuk a hivatalos mgoldásokban látott gondolatmntkt, módszrkt!.fladat: Határozzuk mg a kövtkző gynlt valós mgoldásait! = (Alkalmazzuk szó szrint az. fladatra közölt hivatalos mgoldást!) Mgoldás: Nézzük a baloldali függvényt, nnk gynlt: y = + 6 y 6 Ezt -r rndzv = adódik. Látható thát, hogy ha az gyik oldalt az függvényénk tkintjük, akkor a másik oldal az lőbbi invrz függvény. A két függvény kép gymás tükörkép az y= gynsr nézv, zért mtszéspontjaik az y= gynsn vannak. 6 Így lgndő az = gynltt mgoldani. Ennk mgoldásai: = + 7; = 7 Ellnőrzéssl mggyőződhtünk arról, hogy a második szám nm mgoldása az gynltnk, mrt a baloldal pozitív, a jobboldal ngatív értékű. Az lső viszont kilégíti az gynltt. f : ; ; f( ) = + 6, valamint Nyugtassuk mg a llkiismrtünkt és ábrázoljuk az [ [ a 6 g: ; g ( ) = függvényt! A grafikonok két pontban mtszik gymást. Eszrint az gynltnk két valós mgoldása van, szmbn azzal, amit lőző mgoldásban kaptunk. Hol a hiba a korábbi gondolatmntbn? Miért vszítttünk mgoldást az lőző fladatban? - Az gyik hibát ott kövttük l, hogy az invrz kapcsolat vizsgálata stén csak formális algbrai átalakításokat végztünk és nm foglalkoztunk az mögött rjlő matmatikai tartalommal. Adjuk mg a fladathoz kapcsolódó két kölcsönösn gyértlmű függvényt, mlyk + 6 gymás invrzi. Ezk az f :[ ; [ ; a + 6 és a g: + [ ; [ ; a Matmatika Oktatási Portál, / 4 -

5 Ábrahám Gábor: Az f - ()=f() típusú gynltkről + függvényk. Ha az gynltt a Df Dg = halmazon oldjuk mg, akkor az gytln mgoldás ténylg az = + 7 szám. D a + nm az, hanm a ; 6 6; Adjunk a fladatra korrkt mgoldást! = gynlt értlmzési tartománya halmaz. Ezn a halmazon viszont két mgoldása van.. mgoldás: A ; 6 6; halmazon az gynlt mindkét oldala nmngatív értékű, így négyztr mléssl az rdtivl kvivalns gynlthz jutunk. Végzzük l a négyztr mlést és rdukáljunk nullára! 4 8+ = 6 Mivl az f és g függvény grafikonja az y= gynsn mtszi gymást, zért az = gynlt mgoldásai gyöki lhtnk az lőző ngydfokú gynltnk is. Így azt várjuk, hogy ( 6) ( ). A polinomosztást lvégzv kapjuk, hogy 4 8 ( 6)( ) = +. Így az rdti gynlt mgoldásai, az 6= és az + = másodfokú gynltk mgoldásai közül krülnk ki, mlyk az + 7; 7; + ; számok. Ezk közül az értlmzési tartománynak csak az + 7; számok az lmi.. mgoldás: A ; 6 6; 6 halmazon krssük az y = + 6 és az y = gynltű görbék mtszéspontjainak lső koordinátáját. Emljük négyztr az lső gynltt, majd adjuk hozzá a második kétszrsét! Ekkor az y + y = + kétismrtlns gynlthz jutunk, mlyt könnyn szorzattá alakíthatunk: ( y )( y ) + + =. Ebből kapjuk, hogy y= vagy y= Ezt visszahlyttsítv a második gynltb az = és a = gynltkhz jutunk. Innn pdig mgkaphatjuk mgoldásokat. Könnyn gyárthatunk az lőzőhöz hasonló gynltkt! Az alábbiakban oldjunk mg még gy ilyn típusút! 4. fladat: Oldjuk mg a valós számok halmazán a = gynltt! Mgoldás: Az f : ; f( ) = függvény nyilván kölcsönösn gyértlmű, így létzik invrz. Könnyn látható, hogy z a függvény, hisz D = R, R = D valamint g: ; g ( ) = g f g f Matmatika Oktatási Portál, / 4 -

6 Ábrahám Gábor: Az f - ()=f() típusú gynltkről ( ( )) ( ) f g = = ( ) =. Az ddig jól működő gondolatmnt alapján az f és g függvény grafikonja csak az y= gynsn mtszhti gymást, így a = gynlthz + + = gynltt, mlynk jutunk. Ezt átrndzv és szorzattá alakítva kapjuk az ( )( ) csak az = a mgoldása. Ábrázoljuk az f és g függvénykt! Úgy tűnik, a grafikon továbbra is igazolja a mgoldásban alkalmazott gondolatmntt. Az lőző fladatban szrplő f függvényből kiindulva foglalkozzunk az f : ; a ( c) függvénnyl, ahol c c nmngatív valós paramétr! Mivl fcbármly c stén kölcsönösn gyértlmű, zért létzik invrz. Adjuk mg zt az invrz függvényt! Fjzzük ki az y = ( c) gynltből az -t! Ekkor az = c+ y gynlthz jutunk. Ha flcsréljük -t és y-t, akkor mgkapjuk f c függvény invrzénk hozzárndlési szabályát. Thát f c invrz az fc : ; ac+ függvény. Ábrázoljuk néhány c érték stén az fcfüggvényt és invrzét! A c= stt már láttuk, lgyn c=,5! c=,8 c= Matmatika Oktatási Portál, / 4 -

7 Ábrahám Gábor: Az f - ()=f() típusú gynltkről A grafikon alapján kijlnthtjük, hogy az ( ) + = + gynltnk öt valós mgoldása van, mlyk közül négyhz tartozó mtszéspont nincs rajta az y= gynsn. Thát hibás az az állítás, hogy ha gy invrtálható függvény és invrzénk a kép mtszi gymást, akkor a mtszéspont az y= gynsn van! Oldjuk mg az lőző gynltt! Mgoldás: Lgyn y=-! Ekkor az y + = + y gynltt kapjuk, mlyt köbr mlv és rndzv az 9 6 y y y y + + = gynlthz jutunk. Ennk az y=, így az rdtink az = mgoldása, 8 5 ahogy azt a grafikonról is lolvashattuk. Az y kimlésévl kapott y + y + y nyolcadfokú polinomnak az y=- gyök, hisz az gyütthatók váltakozó lőjlű összg (a hiányzó tagok gyütthatója és zt figylmb kll vnni). Ebből kapjuk az rdti gynlt grafikonról is lolvasható másik gész gyökét, az =-t. 8 5 Az lőzők alapján (y+) ( y + y + y ), a hányadospolinomot a Hornr-fél lrndzés ([.] 84. oldal) sgítségévl könnydén mghatározhatjuk. Így kapjuk, hogy y + y + y = ( y+ )( y y + y + y y + y + y ) Mivl a két grafikon mtszi gymást az y= gynsn, zért az gyök, mgoldása az rdti gynltnk is. Áttérv y-ra azt kapjuk, hogy az gynlt valós mgoldása, gyök a is. Ez alapján azt várjuk, hogy ( y y y y y y y y = ( ) + gynlt valós Matmatika Oktatási Portál, / 4 - y + y+ = htdfokú polinomnak + y+ ) ( is, mint arról polinomosztással mggyőződhtünk, hisz y y y y y y y ), ami tljsül 4 y y y + a hányadospolinom. 4 Thát a fladatot visszavzttük az y + y+ = és az y y + y = gynltk mgoldására. Ebből mghatározhatjuk a még hiányzó három valós gyököt. (Lásd [.] -. oldal!) A továbbiakban foglalkozzunk a középiskolából jól ismrt klasszikus invrz kapcsolattal! 5. fladat: Mly gytől különböző pozitív valós a stén van lgalább gy valós mgoldása az a = loga gynltnk? Mgoldás: Látható, hogy a fladat kvivalns azzal a kérdéssl, hogy mly gytől különböző pozitív valós a + stén van lgalább gy közös pontja az f : ; a a és a g: + ; a log a függvény grafikonjának. Az ddigik alapján csak annyit állíthatunk, hogy ha van közös pontjuk, akkor azok között biztosan található olyan, amlyik lm az y= gynsnk, hisz az f és g függvény folytonos az értlmzési tartományán. Az ddigi ismrtink alapján az nyilván való, hogy ha <a<, akkor a két grafikon mtszi gymást. Lgyn a>! Ábrázoljuk a= illtv a=, stén a függvénykt!

8 Ábrahám Gábor: Az f - ()=f() típusú gynltkről Az y= gyns lválasztja a két grafikont a= stén. Az y= gyns blmtsz a grafikonokba a=, stén. Mivl a g függvény szigorúan konkáv, a kövtkzőt állíthatjuk. Az f és g függvény grafikonjának a> stén akkor és csak akkor van közös pontja, ha a g grafikonjának az y= gynssl párhuzamos érintőj az y tnglyt a nmngatív tartományban mtszi. Határozzuk mg az érintő gynltét! Mivl az érintő mrdkség és g`( ) = ln a, zért az érintési pont koordinátája = ln a. Thát az érintési pont az E ;loga pont. Az y koordinátából látszik, hogy z a pont csak lna ln a a> stén létzik. Az érintő gynlt: y = loga lna +. ln a Az f és g grafikonjának akkor és ln( ln a) csak akkor van közös pontja, ha loga = logaln a =. Ezt végigszorozva a lna lna ln a gynlőtlnséghz jutunk. Használjuk fl, hogy >! ngatív lna -val a ln( ln a) a = ( a) ln ln ln a c a Thát a vizsgált paramétrs gynltnk akkor és csak akkor van valós mgoldása, ha <a< vagy c a <. Matmatika Oktatási Portál, / 4 -

9 Ábrahám Gábor: Az f - ()=f() típusú gynltkről Az lőző fladat után kéznfkvő az alábbi kérdés. 6. fladat: Az 5. fladatban szrplő gynltnk az a paramétr mly értékinél van, illtv valós mgoldása? Van- olyan a érték, amly stén az gynltnk kttőnél több valós mgoldása van? Mgoldás: Az lőző fladatban láttuk, hogy ha van, ha a=,5 a < <, akkor az gynltnk két mgoldása a =, akkor gy. Vizsgáljuk mg a <a< stt! Készítsünk néhány ábrát! a=,5 a=,5 a=,4 Vizsgáljuk mg, hogy milyn fltétlk mlltt van három mtszéspontja a két görbénk! Húzzuk b mindkét görb érintőjét az y= gynsr ső P( ; ) pontba! Matmatika Oktatási Portál, / 4 -

10 Ábrahám Gábor: Az f - ()=f() típusú gynltkről Lht- olyan st, hogy a két görb érintőj mggyzik? Mivl a két görb gymás tükörkép az y= gynsr nézv, zért a P pontba húzott érintőik is gymás tükörképi rr az gynsr nézv. Thát a két érintő csak úgy sht gyb, ha mrőlgs az y= gynsr, így iránytangns -, azaz irányszög -45. Használjuk fl, hogy a = és az ponnciális függvény driváltja az pontban -, thát a lna =. Így a =. a = Ha < a <, akkor az ponnciális függvény P( ; ) pontjába húzott érintőjénk a mrdkség ngatív, d nagyobb --nél. Így a P pontba húzott érintő irányszögénk abszolút érték kisbb 45 -nál, a logaritmus függvényé nagyobb. Ezért az -nak van olyan jobboldali környzt, amlyb ső -k stén a logaritmus függvény grafikonja az ponnciális függvényhz húzott érintő alatt halad, míg az ponnciális függvény grafikonja az érintő fölött. Az a< alapú logaritmus függvény < abszcisszájú pontjaiba húzott érintőink a mrdkség kisbb, mint az invrz ugyanilyn abszcisszájú pontjába húzott érintőjénk mrdkség. Így a két grafikon csak a P pontban mtszi gymást. Összgzés Az a = log (<a, a ) gynltnk: a - nincs valós mgoldása, ha - gy valós mgoldása van, ha - két valós mgoldása van, ha < a a = vagy < a< Ha < a <, akkor az ponnciális függvény P- bli érintőjénk az irányszög a nagyobb abszolút értékű. Így a P abszcisszájának van olyan baloldali környzt, ahol a logaritmus függvény grafikonja az ponnciális függvény grafikonja alatt halad (lásd az alábbi ábrát). Valahol viszont bl kll mtszni, mrt az ponnciális függvény grafikonja mtszi az y tnglyt, a logaritmus függvényé nm. Több mtszéspont pdig nm jön létr, mrt a tnglyk lválasztják a grafikonokat. a < Matmatika Oktatási Portál, - / 4 -

11 Ábrahám Gábor: Az f - ()=f() típusú gynltkről - három valós mgoldása van, ha < a < Térjünk vissza az., majd a. fladatra! Először adjunk az.-r gy olyan mgoldást, amly lkrüli a két oldal közötti invrz kapcsolat flhasználását! + 6. fladat: Oldjuk mg a valós számok halmazán a 6 = gynltt! + 6 Mgoldás: (Ezzl a mgoldással lénygébn azonos a B. 47-s fladatra adott, KöMaL honlapon szrplő mgoldás.) 6 Az gynlt értlmzési tartománya ;6 intrvallum. Emljük négyztr az gynltt, majd 5 4 rdukáljunk nullára. Ekkor a = gynlthz jutunk. Mivl az gyütthatók összg, zért az = gyök az gynltnk, thát 5 4 ( ) ( ) ( ) 4 Hornr-lrndzéssl mghatározhatjuk a hányadost, amly a polinom. Ha nnk van gész gyök, akkor az csak a konstans tag osztói közül krülht ki. Könnyn mggyőződhtünk arról, hogy az = gyök. Így 4 ( ) a hányados mgint mghatározható Hornr- lrndzéssl, amly a polinom. Ennk az = gyök, így osztható -- mal. A hányados a mlynk nincs valós gyök, mrt a diszkriminánsa ngatív. Thát az gynlt mgoldásai az,, számok. A. fladat kapcsán, az ábra alapján már mggyőződtünk arról, hogy az ] [ f = ( + ) ] [ g= ( ) f : log 5; ; ( ) log 5 g: log 5; ; ( ) log 5 függvényk grafikonja csak az y= gynsn mtszi gymást. Ezt most bizonyítsuk is b! Azt már bbizonyítottuk, hogy az ] [ f = ( + ) ] [ g= ( ) f : log 5; ; ( ) log 5 g: log 5; ; ( ) log 5 függvényk grafikonjának az y= gynsn csak az = hlyn van mtszéspontja, mrt a log ( + 5) = = log ( 5) gynltnk csak az = a mgoldása. Bizonyítsuk b, hogy az f függvény az értlmzési tartományán szigorúan konv, a g pdig szigorúan konkáv! ln Az f lső driváltja f '( ) = ( log ( + 5) )' =, z alapján a második drivált ln( + 5) ' ln ln 5 f ''( ) = =, ami bármly valós stén pozitív, thát f ln( + 5) ln ( + 5) Matmatika Oktatási Portál, - / 4 -

12 Ábrahám Gábor: Az f - ()=f() típusú gynltkről ln '( ) = log ( 5) ' = ln( 5) szigorúan konv függvény. A g függvény lső driváltja g ( ), ln ln 5 A második driváltja g''( ) = = ami a g értlmzési ln( 5) ln ( 5) tartományának bármly értékér ngatív, így a g az értlmzési tartományán szigorúan konkáv. Az ddigikből kövtkzik, hogy a -nél kisbb hlykn az f függvény grafikonjának mindn pontja az y= gyns fltt, a g függvényé pdig az alatt hlyzkdik l, thát itt nm mtszhtik gymást, míg a -nél nagyobb hlykn fordított a hlyzt, így ott sm mtszhtik gymást. Ezzl igazoltuk, hogy a két grafikonnak csak az = hlyn van közös pontja. Konklúzió: Nagyon fontos, hogy két függvény közötti invrz kapcsolat bizonyítása n csak formális algbrai átalakítás lgyn, hanm nnél mélybb mgfontolás! Az f ( ) = f( ) típusú gynltknél akkor és csak akkor hivatkozhatunk arra, hogy a függvény és invrzénk a grafikonja csak az y= gynsn mtszi gymást, ha zt az adott gynlt kapcsán bizonyítottuk. Létzik- olyan tétl, amly sgítségt nyújt a bizonyításhoz? Milőtt rr rátérnénk, oldjuk mg az alábbi fladatot! 7. fldata: Oldjuk mg a valós számok halmazán az alábbi gynltt! + 4 = 4 Mgoldás: Az könnyn látható, hogy z az gynlt is az f ( ) = f( ) típusú gynltk közé + tartozik, hisz az f : ; a 4 és a g: ; a függvényk gymás 4 invrzi, ahol mindkét függvény szigorúan monoton növkvő. Átrndzés után az rdtivl kvivalns 4 4 = gynltt kapjuk, mly az f függvénnyl kifjzv a kövtkző alakban írható fl : f(f())=. Az alábbiakban bbizonyítjuk, hogy mivl az f függvény szigorúan monoton növkdő, zért az f(f())= gynlt mgoldáshalmaza mggyzik az f()= gynlt mgoldás halmazával. Lgyn z mgoldása az f()= gynltnk! Ekkor f(z)=z, így f(f(z))=f(z), thát f(f(z))=z. Lgyn r mgoldása az f(f())= gynltnk, azaz tljsül, hogy f(f(r))=r! Tgyük fl, hogy r<f(r)! Mivl az f függvény szigorúan monoton növkvő, zért f(r)<f(f(r)), thát r<f(r)<f(f(r)), ami llntmondás. Hasonlóan b lht látni, hogy f(r)<r nm lhtségs, thát szükségképpn r=f(r). Így a két gynlt mgoldáshalmaza gynlő. Thát az rdti gynlt kvivalns az 4 = gynlttl. Köbr mlés és átrndzés után az 4+ =. Ennk a mgoldásai az ddig alkalmazott módszrk flhasználásával már + könnyn mghatározhatók, mlyk az,, számok. Matmatika Oktatási Portál, - / 4 -.

13 Ábrahám Gábor: Az f - ()=f() típusú gynltkről A fladatnak két nagyon fontos hozadéka a kövtkző.. hozadék: Adott az f ( ) = f( ) gynlt, ahol f : D R ; a f( ) szigorúan monoton növkvő f függvény. Ebből kövtkzik, hogy f ( ) is szigorúan monoton növkvő. (Lásd [.] 5. oldal!) Az gynlt két oldalára alkalmazva a szigorúan monoton f függvényt kapjuk, hogy f( f ( )) = f( f( )) c = f( f( )) Azt pdig az lőbb bláttuk, hogy az utolsó gynlt mgoldáshalmaza mggyzik az f()= gynlt mgoldáshalmazával, mivl f szigorúan monoton növkvő. Így az f ( ) = f( ) gynlt mgoldáshalmaza mggyzik az f()= gynlt mgoldáshalmazával, ha f szigorúan monoton növkvő. Így mgfogalmazhatjuk az alábbi tétlt. Tétl: Ha az f : Df Rf; a f( ) függvény szigorúan monoton növkvő, akkor a Df Rf halmazon az f ( ) = f( ) gynlt mgoldáshalmaza mggyzik az f()= gynlt mgoldáshalmazával. Mgjgyzés: Az. és a. fladatra adott lső mgoldást úgy thtjük tljsn korrkté, ha blátjuk, hogy az invrz kapcsolatban szrplő függvényk szigorúan monoton növkvők. Ezt az olvasóra bízzuk.. hozadék Ha az f : D R ; a f( ) függvény szigorúan monoton növkvő, akkor az f f (f( (f()) ))= gynlt mgoldáshalmaza mggyzik az f()= gynlt mgoldáshalmazával. f Matmatika Oktatási Portál, - / 4 -

14 Ábrahám Gábor: Az f - ()=f() típusú gynltkről Végül nézzünk néhány fladatot, mlynk mgoldását az olvasóra bízzuk! Oldjuk mg a valós számok halmazán! =. + 7 = log log ( + ) + = ] [ 4 5. = log4 + ( ) = + 4. ( ) ; ( Dan Ngulscu, MatmatikaiOlim pia, Braila.) ( ) 6. 6 = = Külön köszönttl tartozom Dr. Katz Sándornak, aki értéks tanácsaival sgíttt munkámat. Flhasznált irodalom [.] Laczkovich Miklós-T. Sós Vra: Analízis I. (Nmzti Tankönyvkiadó 6.) [.]Szl Tibor: Bvztés az algbrába (Tankönyvkiadó 97.) [.]Dr. Szndri János: Algbra és számlmélt (Tankönyvkiadó) [4.]Olosz Frnc: Egynltk mgoldása invrz függvényk flhasználásával [.]Szilassi Lajos: A kétlkdés joga és kötlsség [4.]KöMaL (89-) [5.]NMMV fladatok és mgoldások 99-7 (CD Szgd, 7.) Matmatika Oktatási Portál, / 4 -