Végeselem analízis (óravázlat)

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "Végeselem analízis (óravázlat)"

Átírás

1 Végslm analízis óravázlat Készíttt: Dr Pr Balázs Széchnyi István Egytm Alkalmazott Mchanika Tanszék dcmbr 8

2 Copyright Dr Pr Balázs Mindn jog fnntartva Ez a dokumntum szabadon másolható és trjsztht Módosítása és krskdlmi forgalomba krülés csak a szrz írásbli nglyévl lhtségs -mail:

3 Tartalomjgyzék Rugalmasságtani alapok 5 Dformálható tst kinmatikája 5 Az lmozdulások lírása 5 Az alakváltozások lírása 6 3 Kompatibilitási gynlt Fszültségi állapot 3 Tst gynsúlya 3 Bls r k Cauchy-hipotézis 4 3 Fszültség tnzor 5 4 Egynsúlyi gynltk 7 3 Anyaggynlt 9 3 Hook-törvény 9 4 A rugalmasságtani fladat kit zés 4 Skaláris gynltk 4 Ismrtln függvényk 43 Prmfltétlk A rugalmasságtani fladat közlít mgoldása Alapfogalmak Kinmatikailag lhtségs lmozdulásmz Statikailag lhtségs fszültségmz 3 3 Virtuális lmozdulásmz 3 4 Az lmozdulásmz variációja 4 A rugalmasságtan nrgia lvi 4 A virtuális munka lv 4 Virtuális lmozdulás lv 7 3 Potnciális nrgia minimuma lv 7 4 agrang-fél variációs lv 3 3 A Ritz-módszr 33 3 Elmozdulásmz n alapuló végslm módszr flépítés 38 3 Végslm csomópontjainak lokális sorszámozása 38 3 ináris közlít függvényk 38 3 Négy csomópontú lm 39 3 Nyolc csomópontú lm Az lmozdulásmz közlítés gy végslmn 4 34 Az alakváltozások közlítés gy végslmn 4 35 A fszültségmz közlítés gy végslmn Az alakváltozási nrgia közlítés gy végslmn Küls r k munkájának közlítés gy végslmn Flülti r k munkája Térfogati r k munkája Küls r k munkája Egy végslm potnciális nrgiája Csomópontok globális sorszámozása 49 3

4 3 A tljs szrkzt csomóponti lmozdulásvktora 49 3 A tljs szrkzt mrvségi mátrixa és thrvktora 5 3 Kinmatikai prmfltétlk gylmbvétl 53 3 Mgfogások 53 3 Kinmatikai trhlés A csomóponti lmozdulásvktor mghatározása 56 4 Kigészítésk: numrikus intgrálás 56 4 Numrikus intgrálás, Gauss-kvadratúra 56 5 Mchanikai modllk a végslm módszrbn 56 5 Spciális trhlésk 56 5 Rugalmas ágyazás 56 5 H mérséklt-változásból származó trhlés 56 5 Rúdszrkztk 56 5 Brnoulli-fél rúdlmélt 56 5 Elmozdulás állapot Alakváltozás állapot Fszültségi állapot Anyagtörvény Húzott-nyomott hajlított-nyírt és csavart rúd-végslm Csomóponti lmozdulás vktor 6 58 Alakfüggvényk mghatározása 6 59 Egy végslm alakváltozási nrgiája 63 5 Küls r k munkája gy végslmn 66 5 Végslmk összkapcsolása 73 5 A tljs szrkzt potnciális nrgiája A rugalmasságtan D-s fladatai Sík alakváltozás fladat Általánosított síkfszültség fladat Tnglyszimmtrikus fladat 76 4

5 Rugalmasságtani alapok Dformálható tst kinmatikája Az lmozdulások lírása A kinmatika a tstk mozgását, alakváltozását írja l, és nm krsi a mozgást vagy alakváltozást létrhozó okokat Olyan alapvt kinmatikai összfüggéskt próbálunk mgfogalmazni a matmatika szközivl, amlyk alkalmazásánál tljsn lénygtln a vizsgált tst mért és alakja Tkintsünk gy ttsz lgs flültkkl határolt tstt, amly a kzdti hlyztéhz képst lmozdult, alakja mgváltozott lásd ábra Az ábrán az alábbi jlöléskt használtuk: kzdti hlyzt χ r pillanatnyi hlyzt Q u Q r r z x O y ábra Tst pontjainak lmozdulása r a dformálatlan tst pontjaiba mutató vktor r a dformált tst pontjaiba mutató vktor r x x + y y + z z r x x + ỹ y + z z ahol x x x, y, z ỹ ỹ x, y, z z z x, y, z 5

6 u lmozdulás vktor, a dformálatlan tst gy anyagi pontjából Q a dformált tst ugyanazon anyagi pontjába Q mutató vktor ahol u r r x x x + ỹ y y + z z z u x + v y + w z u u x, y, z v v x, y, z w w x, y, z χ r gy vktor-vktor függvény, amly mgadja a dformálatlan tst pontjainak lképzését a dformált tst pontjaira Ez a függvény nm fltétlnül lináris! χ r χ x, y, z r Mgjgyzés: a vktor-vktor függvény gy vktort gy másik vktorra képz l Az alakváltozások lírása χ r P Q r u + u u Q P r r r z x O y Az alakváltozás értlmzés ábra A tst alakváltozása r A dformálatlan tstn értlmztt vktor, a Q pontból a Q pont lmi környztébn lév P pontba mutató vktor r A dformált tstn értlmztt vktor, a Q pontból a Q pont lmi környztébn lév P pontba mutató vktor, ahol a Q és Q valamint a P és P ugyanannak az anyagi pontnak a hlyét jlöli a dformálatlan és dformált tstkn Például: χ r P r P 6

7 vagy ugyan z másként χ r Q + r r Q + r Kérdés: Mkkora a u, ha r és r ttsz lgs? Az ábrából lolvasható, hogy Sorfjtés a lináris tagokig bzárólag r + r + u + u r + r r + r + u + u χ r + [ χ r + r χ r] r r r + r + u χ r r r }{{ + u } + r + u χ r + r r + χ x χ χ x + y + y z z + A továbbiakban fltétlzzük, hogy az alakváltozást lgnd lsz a lináris tagokig bzárólag lírni Ez azt jlnti, hogy az gymástól távolabb lév pontok alakváltozása nm bfolyásolja gymást Emiatt a közlít lg gynl jlt lhagyva gyszr n csak gynl ségt írunk r + u χ χ χ x + y + x y z z fladat Bizonyítsuk b, hogy χ x x x x + χ x x x x + χ y y y y + χ z z z z χ x x x x + χ y y y y + χ z z z z χ χ χ x x x x + y y y y + z z z z χ x x + χ y y + χ z z χ χ y y y y + z z z z x x + y y + z z χ r + u x x + χ y y + χ z z x x + y y + z z χ x x + y y + z z x x + y y + z z χ r r 7

8 ahol a χ a χ vktormz gradins Mivl χ r r r + u r r r r r r r + u r r r + u r r r r I r + u r r r + u r r azaz r + u r + u r r Az gyszr sítés után marad a u u r r dníció Az lmozdulás függvény gradinsét driválttnzornak nvzzük u r u D D u x x + u y y + u z z u u u [ ] x y z D v v v xyz x w x y w y z w z Az D flbontása szimmtrikus és frdén szimmtrikus részr D D + D T + D D T } {{}} {{} A Ψ tétl bizonyítás nélkül Ha u, v, w, azaz az lmozdulások nagyon kicsik, akkor az A jó közlítéssl az alakváltozást írja l, a Ψ pdig a tngly körüli szöglfordulást A az alakváltozási tnzor, Ψ a forgató tnzor A driválttnzor szmlélttés u D r A r + Ψ r A r hlyér írjuk b a Q pont lmi környztébn lév x, y és z gymásra páronként mr lgs gységvktorokat lásd 3 ábra u x A x + Ψ x α x + β x Egy v vktormz gradinsér szokásos jlölésk még a grad v v v r 8

9 u y A y + Ψ y α y + β y u z A z + Ψ z α z + β z A u x, u y és u z vktorok az x, y és z gységvktorok végpontjainak lmozdulását jlntik α z βz u z z β x y α y Q u x u y β y x α x 3 ábra Driválttnzor szmlélttés: gységvktorok végpontjainak lmozdulása A forgás szmlélttés A mrv tst szr lfordulás nm bfolyásolja sm a tstn blül ébrd bls r kt lásd a 9 Hook-törvényt, sm a tst alakváltozási nrgiáját lásd 3 tétl Szmléltssük a tngly körüli forgást ψ y β z ψ x ϕ x ϕ y z ϕ y Q ψ y β x ψ x βy ψ z ϕ z x ϕ x ϕ z y ψ z 4 ábra Forgás szmlélttés Egy Q pontból induló ttsz lgs n irányú gységvktor végpontjának lmozdulása a forgásból adódóan β n Ψ n, 9

10 ahol [ ] Ψ xyz v Könnyn blátható, hogy u x y w u x z u v y x u w z x v w z y w v y z β n Ψ n ψ n ψ z ψ y ψ z ψ x ψ y ψ x Amnnyibn a kzdti xyz és a tst gy anyagi pontjának lmi környztévl gyütt forgó x y z koordináta-rndszrk tnglyi csak kicsit térnk l gymástól, azaz ψ x w y v z ψ y u z w x ψ z v x u y akkor ψ x sin ϕ x ϕ x ψ y sin ϕ y ϕ y vagyis ψ z sin ϕ z ϕ z β n ϕ n ahol ϕ ϕ x x + ϕ y y + ϕ z z a mrvtst szr lfordulást líró vktor A ϕ abszolút érték a szöglfordulás nagyságát adja mg ϕ ϕ Az alakváltozások szmlélttés [ ] A xyz v A továbbiakban csak az alakváltozásokkal foglalkozunk u + v u + w y x z x u x + u x y w + u x z w v y + v y z v + w z y w z vagy tömörbbn A u + u Ezt az gynltt szokás kinmatikai vagy gomtriai gynltnk is nvzni Ez az gynlt trmt kapcsolatot az lmozdulások és az alakváltozások között Szmléltssük az alakváltozásokat

11 ε y α z γ xz γ yz z α x γ zx x Q y γ xz α y γ zy γ yx ε x ε y 5 ábra Alakváltozás szmlélttés Ha a kzdtbn gységnyi hosszúságú szakaszok hossza csak kis mértékbn változik mg és a koordináta-tnglyk kzdtbn kilncvn fokos szög csak kis mértékbn csökkn vagy növkszik, azaz és u y + v x u x v y v z + w y w z w x + u z akkor a fajlagos nyúlások az ε x u x ε y v y ε z w z összfüggéskkl, a szögtorzulások pdig a γ xy u γ yx arc tg y + v u x y + v x γ yz v γ zy arc tg z + w v y z + w y γ zx w γ xz arc tg x + u w z x + u z összfüggéskkl kaphatók [ ] ε x γ xy A γ yx ε y xyz γ zx γ zy ε z γ xz γ yz

12 Mivl az általunk vizsgált stkbn mindig kis alakváltozások fognak l fordulni, a közlít lg gynl jl hlytt az gynl ség jlt használjuk [ ] ε x γ xy γ xz A γ yx ε y γ yz xyz γ zx γ zy ε z fladat Ismrjük gy tst pontjainak lmozdulását líró χ r függvényt ahol γ gy skalár paramétr χ r x + γy x + y y + z z Szmléltss az lmozdulást gy gységnyi oldalú kockán Rajzolja mg a dformálatlan és dformált kockát l l-, oldalt- és flülnéztbn Sgítség: lgyn a kocka gyik csúcsa a koordinátarndszr orrigója, három bb l a csúcsból induló él pdig lgyn a koordinátarndszr három tngly Határozza mg az alakváltozási tnzort és írja fl az xyz koordinátarndszrbn a tnzor mátrixát Milyn összfüggés található a γ paramétr és a szögtorzulások között? 3 Határozza mg a forgató tnzort és írja fl az xyz koordinátarndszrbn a tnzor mátrixát Milyn összfüggés található a γ paramétr és a mrvtst szr lmozdulást líró ϕ szög között? 3 Kompatibilitási gynlt Szorozzuk mg a kinmatikai gynltt jobbról és balról is vktoriálisan a nabla oprátorral Az A u + u u + }{{ } u A gynltt kompatibilitási gynltnk nvzzük Az alakváltozási mz kompatibilis, ha tljsíti a kompatibilitási gynltt Az kinmatikai gynlttl l állított alakváltozási mz mindig kompatibilis, azaz a kompatibilitási fltétl automatikusan tljsül Mgjgyzés: Az uklidszi trt az jllmzi, hogy bnn gy tst párhuzamos ltolása transzláció függtln az útvonaltól Ha nm-uklidszi térbn próbálnánk az alakváltozásokból visszaállítani az lmozdulásokat, nm kapnánk gyértlm rdményt Ezért nm ngdjük mg, hogy a tér, amlybn az lmozdulásokat és alakváltozásokat lírjuk nm-uklidszi lgyn Ezt a fltétlt a kompatibilitási gynlttl tudjuk biztosítani

13 Fszültségi állapot Tst gynsúlya Er k gynsúlya Nyugalom stén a tstr ható r k gynsúlyban vannak, azaz rd jük nulla F A tstr ható r kt két csoportra lht osztani lásd: 6 ábra Az gyik csoportba azok az r k A V dv da n p r f r 6 ábra Tst flülti és térfogati trhlés tartoznak, amlyk a tstr a flültén krsztül hatnak Ezk a koncntrált, vonal mntén és flültn mgoszló trhlésk Mivl a valóságban a pontszr és vonal mntén mgoszló trhlésk mindig a pont és a vonal kis környztébn fllép flültn mgoszló trhlésk mchanikai modllji rd i, mondhatjuk hogy a tst flültér ható r k mind flült mntén mgoszló r t jlntnk F A p r da A ahol p r az r hlyvktorú gységnyi flültr jutó trhlés flült mntén mgoszló trhlés intnzitása, A a tst flült A másik csoportot a térfogati trhlésk jlntik, amikor az r nm a tst flültén, hanm közvtlnül a tst blsjébn hat F V f r dv V ahol f r az r hlyvktorú gységnyi térfogatra jutó trhlés térfogaton mgoszló trhlés intnzitása, V a tst térfogata Ilyn például a gravitációs r, vagy a thttlnségi r k Az gynsúlyt matmatikailag a F F A + F V pda + fdv 3 képlttl tudjuk lírni, amit tkinthtünk az gynsúlyi gynlt intgrál alakjának is A V 3

14 Nyomatékok gynsúlya Ha gy tst gynsúlyban van, akkor a tstr ható r knk a tér gy ttsz lgs P pontjára flírt nyomatéka nulla Az gyszr ség kdvéért lgyn most a ttsz lgs pont az O origó M O r pda + r fdv 4 A V Ezt tkinthtjük úgy mint a nyomatékok gynsúlyának intgrális alakja Bls r k Cauchy-hipotézis Egy tstt, amlyr küls r k hatnak, képzltbn vágjunk ktté gy ttsz lgs n normálisú, P anyagi ponton átmn síkkal lásd 7 ábra Vizsgáljuk mg a kttévágás után kapott két rész gynsúlyát Blátható, hogy az lmtsztt flültn fllép r k nagysága és iránya függ az lmtsztt flült normálisától Ha az gész tst gynsúlyban volt, akkor az gys részi is ρ n da P n n ρ n da P 7 ábra gynsúlyban vannak, azaz az gész tstr ható r k és az gys részkr ható r k összg különkülön is nulla Ebb l kövtkzik, hogy az lmtsztt flültn az gyik és a másik tstr ható r k összg nulla ρ r, n da + ρ r, n da 5 A s A s ahol a ρ r, n vagy gyszr bb jlöléssl ρ n r az gységnyi flültn fllép bls r t jlnti Mivl az gys részk gynsúlyban vannak, azaz a tstkt alkotó összs anyagi pont is gynsúlyban 4

15 van, az 5 összfüggésnk mindn gys, az A s flültn lév anyagi pontra is tljsülni kll ρ r, n + ρ r, n da ρ r, n ρ r, n A s 3 Fszültség tnzor Most nézzük mg, hogy gy tst gy lmi térfogatának gynsúlya milyn fltétlkkl tljsül Továbbra is mondhatjuk, hogyha gy tst gynsúlyban van, akkor az t alkotó lmi térfogatok is külön-külön gynsúlyban vannak Mtszünk ki a tstb l gy lmi térfogatot úgy, hogy az lmi térfogat flülténk gy rész lgyn a tst küls flült A számítások lvégzéséhz célszr úgy mgválasztani az lmi térfogatot, hogy az ttraédr alakú lgyn 8 ábra Írjuk fl az lmi A V n p r da 8 ábra térfogatra ható küls és bls r k gynsúlyát lásd 9 ábra z ρ x ρ y h dv n p n y da ρ z x 9 ábra p da + ρ x da x + ρ y da y + ρ z da z + f dv p da ρ x da x ρ y da y ρ z da z + f dv 5

16 Az gyszr ség kdvéért használjuk a kövtkz jlöléskt: ρ x : ρ x ρ y : ρ y ρ z : ρ z p da ρ x n x da ρ y n y da ρ z n z da + f dv da x da y da z p da ρ x x n da ρ y y n da ρ z z n da + f dv da x da y da z p da ρ x x nda ρ y y nda ρ z z nda + f dv p da ρ x x + ρ y y + ρ z z nda + f dv A dv lmi térfogatot ki tudjuk fjzni a da lmi flült és a ttraédr h magasságának a sgítségévl Ezzl az lmi térfogat gynsúlya így írható dv da h 3 p da ρ x x + ρ y y + ρ z z nda + f h 3 da Osszuk l mindkét oldalt a da lmi flülttl da p ρ x x + ρ y y + ρ z z n + f h 3 Tartsunk a ttraédr h magasságával nullához: h Ami marad: ahol F a fszültségi tnzor vagy p ρ x x + ρ y y + ρ z z n F F ρ x x + ρ y y + ρ z z F r ρ x r x + ρ y r y + ρ z r z vagyis a fszültségi tnzor a hly függvény Az lmi da flültr ható trhlés így kifjzht a fszültségi tnzorral p r F r n 6 Fszültségtnzor szmlélttés gységvktorokkal Szorozzuk mg az F fszültségtnzort rndr az x, y és z 6

17 4 Egynsúlyi gynltk Térjünk vissza ismét az r k gynsúlyának 3 intgrál alakjához pda + fdv A V Hlyttsítsük b bb a fszültségi tnzorra kapott 6 összfüggést F nda + fdv A V Alkalmazzuk az ls tagra a Gauss-tétlt F dv + fdv F + f dv V V V Mivl az intgrálási tartomány ttsz lgs, az intgrál csak akkor lht nulla, ha a zárójls kifjzés mindig nullával gynl F + f 7 Ezt nvzzük az r kr vonatkozó gynsúlyi gynltnk F + f ρ x x + ρ y y + ρ z z x x + y y + z z + f x x + f y y + f z z ρ x x + ρ y y + ρ z z + f x x + f y y + f z z σx x x + τ yx x y + τ zx x z τxz + z x + τ yz z y + σ z Ez gynérték a σx x + τ xy y + τ xz + + τxy y x + σ y y y + τ zy y z z z + f x x + f y y + f z z z + f τyx x x + x + σ y y + τ yz z + f y τzx x + τ zy y + σ z z + f z z σ x x + τ xy y + τ xz z + f x τ yx x + σ y y + τ yz z + f y + y + skalár gynltrndszrrl τ zx x + τ zy y + σ z z + f z 7

18 Most vizsgáljuk mg a nyomatékok 4 gynsúlyát r pda + r fdv A V Szintén hlyttsítsük b a 6 összfüggést r F nda + r fdv A V és alkalmazzuk a Gauss-tétlt r F dv + r fdv r F + r f dv V V V Mivl az intgrálási tartomány ttsz lgs, az intgrál csak akkor lht nulla, ha a zárójls kifjzés mindig nullával gynl r F + r f Alakítsul át az ls tagot a szorzat driválási szabályának flhasználásával r F + r F + r f Emljük ki az r vktorral történ vktoriális szorzást F r F + r + f A zárójls kifjzés a 7 gynltnk mgfll n nulla Alakítsuk tovább a maradék gynltt r F x x + y y + z z ρ x x + ρ y y + ρ z z x x + y y + z z vagyis x ρ x x x + y ρ x y y + z ρ x z z x ρ x + y ρ x + z ρ x x σ x x + τ yx y + τ zx z + y τ xy x + σ y y + τ zy z + z τ xz x + τ yz y + σ z z τ yx z τ zx y + τ xy z + τ zy x + τ xz y τ yz x τ zy τ yz x + τ xz τ zx y + τ yx τ xy z τ zy τ yz τ xz τ zx τ yx τ xy Ez gybn azt is jlnti, hogy a fszültségi tnzor szimmtrikus A nyomatékok gynsúlyának dirnciális alakját zk alapján az F F T 8 gynl séggl fjzhtjük ki 8

19 3 Anyaggynlt 3 Hook-törvény Az anyaggynlt a szilárd tst küls bhatásokkal szmbni vislkdését írja l Itt csak mchanikai hatásokat tárgyaljuk gyn olyan az anyaggynlt, hogy: a vizsgált tst vislkdés lgyn izotrop, az anyagtörvény csak kis alakváltozások mlltt adja mg kll pontossággal a tstbn kltkztt fszültségkt, az alakváltozások és bls r k fszültségk között a kapcsolatot írja l lináris függvény A fnti tulajdonságokat a Hook-fél anyagtörvény tljsíti tétl bizonyítás nélkül Ha gy anyag izotop tulajdonságú, csak kis alakváltozásoknak van kitév ε és γ és a kltkztt fszültség arányos az alakváltozással, akkor az alakváltozási tnzor és a fszültségi tnzor kapcsolatát a F E + ν A + ν ν A II un Hook-törvény adja mg, ahol E az anyag rugalmassági- vagy Young-modulusza, ν a Poissontényz, A I az alakváltozási tnzor ls skalárinvariánsa, I pdig az gységtnzor Írjuk fl a Hook-törvényt drékszög Dscarts-fél koordinátarndszrbn σ x τ xy τ xz τ yx σ y τ yz E ε x γ xy γ xz + ν γ yx ε y γ yz + ν τ zx τ xy σ z γ zx γ ν ε x + ε y + ε z zy ε z Ha a vizsgált tst gynsúlyban van, akkor a fszültségi tnzor 8 miatt csak 6 db függtln skalár koordinátát jlnt σ x E ε x + ν + ν ν ε x + ε y + ε z σ y σ z E + ν E + ν ε y + ε z + τ xy τ yz τ zx ν ν ε x + ε y + ε z ν ν ε x + ε y + ε z E + ν γ xy E + ν γ yz E + ν γ zx 9 9

20 4 A rugalmasságtani fladat kit zés A rugalmasságtani prmérték fladat kit zéséhz az alábbi gynltkr van szükség: Kinmatikai gynlt Egynsúlyi gynltk A u + u F + f Anyaggynlt Hook-törvény 4 Skaláris gynltk F Nézzük mg a fnti gynltk skalár koordinátáit F F T E A + ν + ν ν A II Kinmatikai gynltk Egynsúlyi gynltk ε x u x ε y v y ε z w z γ xy u y + v x γ yz v z + w y γ zx w x + u z σ x x + τ xy y + τ xz z + f x τ yx x + σ y y + τ yz z + f y τ zx x + τ zy y + σ z z + f z

21 Anyagtörvény σ x σ y σ z Összsn 5 db skalár gynlt 4 Ismrtln függvényk Elmozdulás koordináták E ε x + + ν E + ν E + ν ε y + ε z + τ xy τ yz τ zx ν ν ε x + ε y + ε z ν ν ε x + ε y + ε z ν ν ε x + ε y + ε z E + ν γ xy E + ν γ yz E + ν γ zx u x, y, z, v x, y, z, w x, y, z, fajlagos nyúlások szögtorzulások normálfszültségk csúsztató fszültségk ε x x, y, z, ε y x, y, z, ε z x, y, z, γ xy x, y, z, γ yz x, y, z, γ zx x, y, z, σ x x, y, z, σ y x, y, z, σ z x, y, z, Összsn 5 db skalás fügvény 43 Prmfltétlk τ xy x, y, z, τ yz x, y, z, τ zx x, y, z Osszuk fl a vizsgált tst flültét két részr lásd ábra Az gyik flültn A u lgyn adott az lmozdulás, míg a másik flültn A p lgyn ismrt a trhlés A két flültr történ flosztás lgyn olyan, hogy A u A p A és A u A p A prmfltétlkt a flosztásnak mgfll n tudjuk l írni: Kinmatikai prmfltétl Dinamikai prmfltétl u r u r F r n p r r A u r A p

22 A p A u n ábra Prmfltétlk A rugalmasságtani fladat közlít mgoldása Alapfogalmak Kinmatikailag lhtségs lmozdulásmz dníció Egy lmozdulásmz t kinmatikailag lhtségsnk nvzünk, ha folytonos függvény, lgnd n sokszor driválható a hly szrint a tst V térfogatán, kilégíti a kinmatikai prmfltétlkt a tst A u flültén Jl: u u r u x, y, z Kinmatikailag lhtségs alakváltozás: Prmfltétlk: Kinmatikailag lhtségs fszültségmz : F A u + u u u E + ν A + r A u ν ν A II A kinmatikailag lhtségs fszültségmz az gynsúlyi gynltkt és a dinamikai prmfltétlt általában nm légíti ki A V térfogaton általában: és az A p flültn általában: F + f F n p Ha az gynsúlyi gynltk és a dinamikai prmfltétl is kilégülnk, akkor az u a ténylgs mgoldás u u Egy prmérték fladatnál végtln sok kinmatikailag lhtségs lmozdulásmz állítható l, azonban zk közül csak gy van, amly a prmérték fladat ténylgs mgoldását adja

23 Statikailag lhtségs fszültségmz 3 dníció Egy fszültségmz t statikailag lhtségsnk nvzünk, ha kilégíti az gynsúlyi gynltkt a tst V térfogatán szimmtrikus kilégíti a dinamikai prmfltétlkt a tst A p flültén Jl: F F r F x, y, z Prmfltétlk: Az gynsúlyi gynlt: F n p F + q Statikailag lhtségs alakváltozási mz : Ā + ν E F ν + ν F I I A statikailag lhtségs alakváltozási mz és a bl l számítható statikailag lhtségs lmozdulásmz a kompatibilitási gynltkt és a kinmatikai prmfltétlkt általában nm légíti ki Ā és u u Ha a kompatibilitási gynlt és a kinmatikai prmfltétlk is tljsülnk, akkor F x, y, z F x, y, z a fladat ténylgs mgoldása Egy prmérték fladatnál végtln sok statikailag lhtségs fszültségmz állítható l Ezk közül csak gy van, amly a prmérték fladatnak a ténylgs mgoldása 3 Virtuális lmozdulásmz 4 dníció gyn u és u két kinmatikailag lhtségs lmozdulásmz Virtuális lmozdulásmz nk nvzzük a δ u : u u különbséggl dniált függvényt A dnícióból kövtkz n a virtuális lmozdulásmz az alábbi tulajdonságokkal rndlkzik folytonos függvény, lgnd n sokszor driválható, a kinmatikai prmn az érték nulla 3

24 4 Az lmozdulásmz variációja 5 dníció gyn u a rugalmasságtani fladat gzakt mgoldása és u gy kinmatikailag lhtségs lmozdulásmz Az lmozdulásmz variációjának nvzzük a különbséggl dniált függvényt δ u : u u A dnícióból kövtkz n az lmozdulásmz variációja az alábbi tulajdonságokkal rndlkzik folytonos függvény, lgnd n sokszor driválható, a kinmatikai prmn az érték nulla A rugalmasságtan nrgia lvi A virtuális munka lv Az F statikailag lhtségs fszültségmz a dníciójából adódóan kilégíti az gynsúlyi gyn- A u A p n ábra A rugalmas tst prmfltétli: mgfogások és trhlésk ltt: F + f Szorozzuk mg zt az gynltt az u kinmatikailag lhtségs lmozdulásmz vl, majd intgráljuk a tst V térfogatán u F + u f dv V ahol lflé mutató nyíllal jlöltük, hogy a nabla oprátor mlyik tagra hat A szorzat driválási szabályának flhasználásával, azaz hogy u F u F + u F 4

25 a fnti intgrál átalakítható u F u F + u f dv V Végzzük l a középs tagon a driválást u F u ρx x + ρ y y + ρ z z x x + y y + z z u x ρx x + ρ y y + ρ z z x + u y ρx x + ρ y y + ρ z z y + + u z ρx x + ρ y y + ρ z z z u x ρ x + u y ρ y + u z ρ z Az utolsó sor gyszr bb flírása érdkébn gy új szorzás m vltt dniálunk 6 dníció Tnzorok kétszrs skaláris szorzásán a kövtkz m vltt értjük : Kövtkzmény Kövtkzmény A B : tr A T B B A tr B T A tr A T B A B A B tr A T B tr A B T A T B T Kövtkzmény a b c d tr b a c d tr b a c d Ezk alapján írhatjuk, hogy a c tr b d a c b d u x ρ x + u y ρ y + u z ρ z u x ρ u x x x + y ρ u y y y + z ρ z z z u x ρ u x x x + y ρ u y y y + z ρ z z z + u + x ρ u y x y + y ρ u z y z + z ρ x z x + A tr trac tnzorokon értlmztt függvény a tnzor f átlójában lév lmink összgét adja mg Például tr A A I 5

26 u + y ρ u x y x + z ρ u y z y + x ρ z x z u x x + u y y + u z z ρx x + ρ y y + ρ z z D F F D Az D kinmatikailag lhtségs driválttnzor flbontható gy szimmtrikus és gy frdén szimmtrikus részr D A + Ψ Ezt flhasználva kapjuk, hogy F D F A + Ψ F A + F Ψ A második tagban használjuk ki hogy F szimmtrikus, Ψ pdig frdén szimmtrikus F Ψ F T Ψ T F Ψ Ha gy skalár szám gynl saját maga mínusz gyszrsévl, akkor z a skalár szám a nulla, vagyis F Ψ Ezk alapján F D F A Visszatérv a virtuális munka lvéhz írhatjuk, hogy V u F F A + u f dv Bontsuk fl a zárójlt u F dv F A dv + u fdv V V V Alkalmazzuk az ls tagra a Gauss-tétlt u F n da F A dv + u fdv A V V Ez a virtuális munka lvénk általános alakja Azért virtuális munka lv, mrt nm gy valódi lmozduláson végztt munkát ad mg Alkalmazzuk a virtuális munka lvét a rugalmasságtani prmérték fladatra A vizsgált tst flült két részb l áll: az A u flültn az lmozdulás adott, az A p flültn pdig a trhlés Ennk mgfll n bontsuk két részr a flülti intgrált F A dv u F n da u p da u fdv V A u A p V 6

27 Virtuális lmozdulás lv Az l z kbn lvzttt virtuális munka lvét írjuk fl két különböz kinmatikailag lhtségs lmozdulásmz r F A dv u F n da u p da u fdv V A u F A dv u F n da A p V u p da u fdv V A u majd vonjuk ki kt gymásból F A A dv A p u u p da V u u fdv ahol V a virtuális lmozdulásmz, A p u u δ u V A A u + u u + u u u + u u δ u + δ u δa pdig a virtuális alakváltozás Így a virtuális lmozdulás lv a kövtkz alakú lsz F δadv δ u p da δ u fdv V A p Ezt szokás a fladat gyng alakjának is nvzni 3 V 3 Potnciális nrgia minimuma lv 7 dníció Egy tst potnciális nrgiáján értjük az alakváltozási nrgiájának és a küls r k munkájának a különbségét Π p : U W k ahol U az alakváltozási nrgia, W k a küls r k munkája 3 tétl bizonyítás nélkül Ha gy V térfogatú tstbn csak kis alakváltozások lépnk fl, és tst anyaga linárisan rugalmas, akkor az alakváltozási nrgia az U F AdV összfüggéssl számítható, ahol V F a fszültségi tnzor, A pdig az alakváltozási tnzor 3 A 4 fjztbn flírt parciális dirnciál-gynltrndszr pdig az r s alak A gyng alakban csak azt kövtljük mg, hogy az gynlt intgrál értlmbn tljsüljön 7

28 4 tétl Ha gy V térfogatú tstbn csak kis lmozdulások lépnk fl, akkor a tstn a küls r k által végztt munka az alábbi módon számítható W k u p da + u f dv A p V ahol p az A p flült pontjaiban az gységnyi flültr jutó trhlés, f a V térfogaton blül az gységnyi térfogatra jutó trhlés, u az anyagi pont lmozdulása Vagyis Π p Π p [ u r] F AdV u p da u f dv V Vgyük észr, hogy a potnciális nrgia gy másik függvénynk, az u r lmozdulás függvénynk a függvény, értékkészlt pdig a valós számok halmaza Az olyan függvénykt, amlyk változója gy másik függvény, értékük pdig gy skalár szám, funkcionál nak nvzzük A funkcionálok matmatikai vizsgálatával a funkcionál analízis foglalkozik 5 tétl Az összs kinmatikailag lhtségs lmozdulásmz t vizsgálva a ténylgs mgoldás stébn a tljs potnciális nrgiának minimuma van A p Π p [ u ] Π p [ u] Bizonyítás Induljunk ki az virtuális lmozdulásmz dníciójából δ u u u u u + δ u Mivl a kinmatikailag lhtségs lmozdulásmz k szabadon mgválaszthatók, lgyn az u az gzakt mgoldás és az u gy ttsz lgs kinmatikailag lhtségs lmozdulásmz V u u és u u u u + δ u Az így kapott δ u virtuális lmozdulásmz mggyzik az lmozdulásmz variációjával Az gyzést a kés bbikbn fl fogjuk használni Számítsuk ki a kinmatikailag lhtségs alakváltozási tnzort A u + u u + δ u + u + δ u u + u + δ u + δ u A + δa A δa δ u + δ u tagot az alakváltozási tnzor variációjának nvzzük Határozzuk mg a kinmatikailag lhtségs fszültség tnzort a Hook-törvény sgítségévl F E A + ν + ν ν A II E [ A + ν A I ] I + ν ν 8

29 E [ A + + ν E + ν E [ A + δa + + ν [ A + ν ] A I I + E ν + ν ν ] ν A II + E + ν ν ] A + δa I I ν [ δa + [ δa + ν ] δa I I ν ] ν ν δa II F + δf δa + ν ν δa II a fszültségi tnzor variációja Hlyttsítsük b a kinmati- ahol az δf E +ν kailag lhtségs lmozdulásmz t a potnciális nrgiába F A dv u p da Π p [ u ] Π p [ u + δ u] u f dv V F + δf A + δa dv A p u + δ u p da V u + δ u f dv V F AdV A p u p da V u f dv + + V A p F δa + δf A dv V δ u p da δ u f dv + V + A p δf δa dv V Alakítsuk át a δf A szorzatot δf A V E δa + ν + ν ν δa II A E E δa A + + ν + ν ν ν δa I I A A I E E ν δa A + δa I + ν + ν ν E δa + ν A + A I δa I ν ν IA I δa F F δa Hlyttsítsük b zt a kinmatikailag lhtségs potnciális nrgia képltéb Ha mgvizsgáljuk az így kapott összfüggést, érdks dolgot vhtünk észr Π p [ u ] Π p [ u + δ u] F AdV u p da u f dv + V A p V Π p 9

30 + F δadv δ u p da δ u f dv + V A p V δπ p + δf δa dv V δ Π p Az ls sor a potnciális nrgiát adja az gzakt mgoldás stér A második sort a potnciális nrgia ls variációjá nak is szokás nvzni, ami tulajdonképpn mggyzik a virtuális lmozdulás lvébn szrpl kifjzéssl 4, zért az érték nulla A harmadik sorban lév mnnyiség a potnciális nrgia második variációja nvt visli, ugyanis bbn l fordulnak az lmozdulásmz variációjának második hatványai is Határozzuk mg az l jlét δf δa E + ν δa + E E δa δa + + ν + ν ν ν δa II δa ν ν δa I I δa δa I E + ν δ α x x + δ α y y + δ α z z δ α x x + δ α y y + δ α z z + + E ν + ν ν δa I E + ν δ α x δ α x + δ α y δ α y + δ α z δ α z + E ν + ν ν δa I átható, hogy z a kifjzés nagyobb vagy gynl mint nulla, amnnyibn E és < ν <,5, azaz δ Π p δf δa dv Ebb l kövtkzik, hogy igaz a vagy V Π p [ u ] Π p [ u] Π p Π p gynl tlnség, vagyis a potnciális nrgiának az gzakt mgoldás stén minimuma van Mgjgyzés: A potnciális nrgia minimuma lv csak abban az stbn használható, ha a vizsgált rndszrbn nm lép fl disszipáció 4 Az gzakt ténylgs fszültségmz gybn statikailag lhtségs fszültségmz is 3

31 4 agrang-fél variációs lv A agrang-fél variációs lv a tljs potnciális nrgia minimuma lv variációs mgfogalmazása 6 tétl A tljs potnciális nrgiának az gzakt mgoldás stébn széls érték minimuma van A széls érték minimum létzésénk szükségs fltétl a tljs potnciális nrgia ls variációjának lt nés δπ p A széls érték minimum létzésénk légségs fltétl az, hogy a tljs potnciális nrgia második variációja nagyobb mint nulla δ Π p > Egy funkcionál ls illtv második variációját például a Gâtaux-fél jtsd: gató driválttal tudjuk kiszámítani gyn F [f x] gy funkcionál, amlynk változója az f x függvény Vgyünk az f x gy kis δf x mgváltozását variációját, szorozzuk b az α valós számmal és adjuk hozzá az f x-hz Az így kapott függvényt hlyttsítsük b a funcionálba Ezk után fjtsük sorba az F [f x + αδf x] funkcionált az f x körül d F [f x + αδf x] F [f x + αδf x] α + F [f x + αδf x] d f x + αδf x αδf x + α + d F [f x + αδf x] d f x + αδf x α δf x + α F [f x] + d dα F [f x + αδf x] dα d f x + αδf x αδf x + α + d d dα F [f x + αδf x] α d f x + αδf x dα d f x + αδf x α δf x + F [f x] + d F [f x + αδf x] dα α+ α + d d dα F [f x + αδf x] dα dα d f x + αδf x α δf x + α F [f x] + d F [f x + αδf x] dα α + d F [f x + αδf x] α dα α + α ahol kihasználtuk, hogy dα d f x + αδf x d f x + αδf x dα δf x δf x 8 dníció Egy F függvény vagy funkcionál Gâtaux-fél n-dik driváltján a D n F [x, δx] F x + αδx n kifjzést értjük dn dα 3 α

32 9 dníció Egy F funkcionál ls variációja mggyzik a Gâtaux-fél ls driváltjával δf : DF [x, δx] d F x + αδx dα dníció Egy F funkcionál második variációja mggyzik a Gâtaux-fél második driváltjával δ F : D F [x, δx] F x + αδx d dα Ezk alapján könnyn blátható, hogy δπ p DΠ p [ u, δ u] F δadv α α δ u p da δ u f dv V A p V és δ Π p D Π p [ u, δ u] V δf δa dv 3 fladat Számítsuk ki az ls és második Gâtaux drivált sgítségévl a potnciális nrgia ls és második variációját A 6 tétl bizonyítása hasonlóan végzht l, mint a 5 tétl bizonyítása Flmrülht a kérdés, hogy a potnciális nrgia minimuma lvb l kapott mgoldás kilégíti- a rugalmasságtan gynltrndszrét? A kérdés mgválaszolásához alakítsuk át a δπ p kifjzést δπ p F δadv δ u p da δ u f dv V F δddv A p V δ u p da δ u f dv V F A p δ u dv V δ u p da δ u f dv V δ u F dv A p δ u p da V δ u f dv V δ u F dv A p δ u F dv V δ u p da δ u f dv V V δ u F nda δ u F dv A p V δ u p da δ u f dv A p V δ u F n p da A p δ u V F + f dv A p V 3

33 A számítás során flhasználtunk néhány korábban már lvégztt átalakítást Mivl a vizsgált tst V térfogata, A flült valamint az lmozdulásmz δ u variációja ttsz lgs, a fnti kifjzés csak akkor nulla, ha a zárójlbn álló mnnyiségk nullával gynl k F + f és F n p Ezk alapján mgkaptuk, hogy a potnciális nrgia minimuma lv tartalmazza az gynsúlyi gynltt és a dinamikai prmfltétlt Ha a kinmatikailag lhtségs lmozdulások közül a szóba jöht összs függvényt gylmb vsszük, akkor gzakt mgoldást kapunk, mrt A kinmatikailag lhtségs lmozdulásmz kilégíti a kinmatikai gynltt és a kinmatikai prmfltétlkt A δπ p agrang-fél variációs lv pdig tartalmazza az gynsúlyi gynltt, a dinamikai prmfltétlt, valamint az anyagtörvényt Az az u, amlynél a Π-nk minimuma van, kilégíti a rugalmasságtan gynltrndszrét, thát gzakt mgoldás Ha a kinmatikailag lhtségs lmozdulások közül nm vsszük gylmb a szóba jöht összs függvényt, akkor közlít mgoldást kapunk Annál jobb a közlítés, minél több szóba jöht függvényt vsszünk gylmb * * * Egy f f x, x, x 3,, c, c, c 3, függvény mgváltozásán vagy tljs dirnciálján a kövtkz t értjük df f dx + f dx + f dx 3 + x x x 3 ugyanzn függvény variációja pdig a δf f c δc + f c δc + f c 3 δc 3 + kifjzés, ahol x, x, x 3, a függvény változói, c, c, c 3, pdig a függvény paramétri A függvény dirnciálját a változók kis mgváltozásával kapjuk, míg a variációt a paramétrk kis mgváltoztatásával állíthatjuk l Azokban a pontokban, ahol az f függvény érték adott, a variációnak l kll t nni Például a kinmatikailag lhtségs lmozdulásmz stét tkintv és u u δ u r A u r A u 3 A Ritz-módszr A rugalmasságtani fladat gy lhtségs közlít mgoldását kapjuk, ha az u lmozdulásmz t n számú paramétrt l tsszük függ vé u u c, c, c 3,, c n 33

34 Ha n végs szám, akkor nm biztos hogy az összs szóba jöht kinmatikailag lhtségs lmozdulásmz t gylmb vttük Ha bhlyttsítjük az u kinmatikailag lhtségs lmozdulásmz t a Π p potnciális nrgiába, a potnciális nrgia a c, c, c 3, paramétrk függvény lsz Π p Π p c, c, c 3, Képzzük zk után a Π p potnciális nrgia variációját δπ p Π p c δc + Π p c δc + Π p c 3 δc 3 + A agrang-fél variációs lv szrint a Π p potnciális nrgia ls variációja nulla Ha a Π p kinmatikailag lhtségs potnciális nrgiára írjuk l, hogy az ls variációja lgyn nulla, akkor az u kinmatikailag lhtségs lmozdulásmz t csak közlít lg kapjuk mg Minél több paramétrt alkalmazunk, annál jobb lsz z a közlítés Mivl a c, c, c 3, paramétrk gymástól függtlnk, a δπ p gynlt csak úgy áll fnn, ha Π p c i i,, 3, Ez a c, c, c 3, paramétrkr gy n darab gynltb l álló algbrai gynltrndszrt jlnt 4 fladat Határozzuk mg az ábrán látható bfogott tartó középvonalának alakját, a nyírór t és a hajlítónyomatékot a z koordináta függvényébn másodfokú közlítés alkalmazásával l, I x, E és f y adott y A f y l I x, E B z ábra Bfogott tartó alakváltozásának és igénybvétlink számítása Mgoldás: Írjuk fl a tartó potnciális nrgiáját Az alakváltozási nrgia kiszámításánál lhanyagoljuk a nyírásból származó tagot lásd: Mchanika-Szilárdságtan tankönyv U σ z ε z dv y R E y dv E R R y da dz V V l A σ z ε z I x EI x κ dz l ahol κ R a rúd görbült Gomtriából ismrt, hogy gy görb görbült arányos a görb ívkoordináta szrinti második driváltjával Itt a kérdéss görb a rúd alakváltozott középvonala lsz, amlyt a v v z lmozdulás 34

35 koordinátával tudunk matmatikailag lírni, az ív-koordinátának pdig közlít lg a z koordináta fll mg A rúd alakváltozási nrgiája így írható U d v EI x dz dz A vonal mntén mgoszló trhlés munkájára a W k v z z f y z dz v z f y dz l u fdv l l adódik A támasztó r nk nincs munkája a bfogás miatt v z Közlítsük a tartó középvonalának lmozdulását a v z c + c z + c z polinommal A kinmatikailag lhtségs lmozdulásmz nk ki kll légítni a kinmatikai prmfltétlkt, azaz a bfogásnál a rúd nm mozdulhat l függ lgsn v z c + c + c c illtv a rúd középvonalának érint j a bfogásnál vízszints kll hogy maradjon dv dz c + c c z Ezk alapján a kinmatikailag lhtségs lmozdulásmz r adódik Hlyttsítsük b zt a potnciális nrgiába Π p U W k v z c z l l EI x c dz + c z f y dz A c paramétrt abból a fltétlb l tudjuk mghatározni, hogy a potnciális nrgia ls variációja nulla ami gynérték a δπ p dπ p dc gynlttl Végzzük l a kijlölt m vltkt Mivl a c paramétr és a z koordináta gymástól függtlnk, a driválás és az intgrálás sorrndj flcsrélht Célszr bb l bb a driválást lvégzni 4EI x c dπ l p dc l dz +f y l l EI x c dz + l z f y dz z l 3 dz 4EI x c l + f y 3 l 3 3 Ebb l a c kifjzht A rúd középvonalának lmozdulása c f yl EI x v z f yl EI x z 35

36 Ismrt, hogy lásd: Mchanika-Statika és Mchanika-Szilárdságtan tankönyvk dt y dz f y dm hx dz T y A hajlítónyomaték függvényr kapjuk a M hx I x E R Eκ Mhx d v z EI x dz f yl 6 konstans függvényt, ami nyilvánvalóan nm igaz, mivl itt másodfokú függvénynk klltt volna kijönni A nyírór r a Ty z dm hx dz a vonal mntén mgoszló trhlésr pdig az f y z dt y dz azonosan nulla függvénykt kapjuk, pdig az f y trhlés adott volt Az igénybvétlkr és trhlésr vonatkozó gynltk azért nm tljsültk, mrt az általunk választott másodfokú polinomot tartalmazó kinmatikailag lhtségs mgoldás nm tartalmazta az gzakt mgoldást Ezért csak közlít mgoldást kaptunk 5 fladat Oldjuk mg a 4 fladatot harmadfokú illtv ngyd fokú közlítéssl is! Ábrázoljuk mindgyik v z, T y z és M hx z függvényt! 6 fladat Határozzuk mg az 3 ábrán látható kéttámaszú tartó középvonalának alakját, a nyírór t és a hajlítónyomatékot a z koordináta függvényébn másod- és harmadfokú stlg még magasabb fokú közlítés alkalmazásával l, I x, E, F és M adott A nyírásból származó alakváltozási nrgiát hanyagoljuk l Ábrázoljuk mindgyik v z, T y z és M hx z függvényt! y F I x, E M A B C z l l l D 3 ábra Kéttámaszú tartó alakváltozásának és igénybvétlink számítása Mgoldás: Másodfokú közlítés v z c + c z + c z A kinmatikailag lhtségs lmozdulásmz nk ki kll légítni a kinmatikai prmfltétlkt, azaz a csuklós és görg s támasznál a rúd nm mozdulhat l függ lgsn v z c + c + c c v z l c l + c 4l c lc Ezk alapján a kinmatikailag lhtségs lmozdulásmz r v z c z l z 36

37 a krsztmtsztk szöglfordulására pdig a ϕ x d dz v z c z l adódik Az alakváltozási nrgiát hasonlóan számíthatjuk mint a 4 fladatban U A küls r k munkáját síkbli rúdszrkztknél általában a W k i l EI x c dz n F yi v i + M xj ϕ xj összfüggéssl kaphatjuk mg, ahol F yi az i-dik r, v i az i-dik r támadáspontjának az r irányával párhuzamos lmozdulása, M xj a j-dik koncntrált nyomaték, ϕ xj a j-dik koncntrált nyomaték támadáspontjánál a rúd krsztmtszténk szöglfordulása, n a koncntrált r száma és m pdig a koncntrált nyomatékok száma Bhlyttsítv a kinmatikailag lhtségs lmozdulásmz t a küls r k munkájára az j Wk c l l l F c 3l l M v B F By ϕ Dx M Dx mnnyiség adódik Hlyttsítsük b az így kapott alakváltozási nrgiát és küls r k munkáját a potnciális nrgiába Π p U W k l EI x c dz + c l l lf + c 3l l M A c paramétrt abból a fltétlb l tudjuk mghatározni, hogy a potnciális nrgia ls variációja nulla ami gynérték a δπ p dπ p dc gynlttl Végzzük l a kijlölt m vltkt Mivl a c paramétr és a z koordináta gymástól függtlnk, a driválás és az intgrálás sorrndj flcsrélht Célszr bb l bb a driválást lvégzni Ebb l a c kifjzht 4EI x c A rúd középvonalának lmozdulása A hajlítónyomaték függvényr kapjuk a dπ 3l p EI x c dz l F + 4lM dc 3l dz l F + 4lM EI x c l l F + 4lM 3l c lf 4M EI x v z lf 4M EI x z l z Mhx d v z EI x dz lf 4M 6 37

38 konstans függvényt, ami nyilvánvalóan nm igaz, mivl itt szakaszonként lináris függvénynk klltt volna kijönni A nyírór r a a vonal mntén mgoszló trhlésr pdig az azonosan nulla közlít függvénykt kapjuk Harmad- és ngydfokú közlítés: T y z dm hx dz f y z dt y dz 7 fladat Számítsuk ki B, C, D krsztmtsztk súlypontjainak az lmozdulását és a krsztmtsztk szöglfordulását a 4 és 6 fladatoknál a Btti- vagy Castigliano-tétl alkalmazásával! Hasonlítsuk össz az rdménykt a Ritz-módszrrl kapott mgoldásokkal! 3 Elmozdulásmz n alapuló végslm módszr flépítés 3 Végslm csomópontjainak lokális sorszámozása ábra 3 ináris közlít függvényk Az lmozdulásokat közlít függvényk mgválasztásának szmpontjai Az ismrtln paramétrk lgynk a csomópontokban lév lmozdulás koordináták Ez azt jlnti, hogy annyi függvényt kll l állítani, ahány paramétrünk van Ezn blül gy függvénynk úgy kll kinézni, hogy gy adott csomópontban az érték lgyn gy, a többibn viszont nulla Így a hozzá tartozó csomóponti lmozdulás koordináta nm bfolyásolja a többi csomópont lmozdulását Ugyanzkkl a függvénykkl lgyn lírható a tst gomtriája is, ahol a paramétrk szrpét a csomópontok koordinátái játsszák izoparamtrikus végslm 38

39 A közlít függvényk lgynk könnyn numrikusan intgrálhatók Az intgráláshoz az un Gauss-kvadratúrát lásd 4 fjzt fogjuk használni, ami a ; intrvallumon mgadott függvénykr alkalmazható Ez azt jlnti, hogy a közlít függvényk értlmzési tartománya is z az intrvallum kll hogy lgyn 3 Négy csomópontú lm 3 Nyolc csomópontú lm Ha a fnti fltétlkhz még azt is hozzávsszük, hogy a közlít függvényk lgynk linárisak, a függvénykt l tudjuk állítani Jlöljük az i-dik csomóponthoz tartozó közlít függvényt N i ξ, η, ζ-val Ha a függvény lináris, akkor N i ξ, η, ζ a i + a i ξ + a i3 η + a i4 ζ + a i5 ξη + a i6 ηζ + a i7 ζξ + a i8 ξηζ alakban írható A csomópontok lgynk rndr a ξ ±, η ± és ζ ± koordinátájú pontokban Nézzük mg példaként a ξ, η és ζ koordinátájú, nyolcadik csomóponthoz tartozó függvényt A 3 fjztbn mgadott fltétlkt az alábbi módon tudjuk tljsítni N 8 ξ, η, ζ a 8 a 8 a 83 a 84 + a 85 + a 86 + a 87 a 88 N 8 ξ, η, ζ a 8 + a 8 a 83 a 84 a 85 + a 86 a 87 + a 88 N 8 ξ, η, ζ a 8 + a 8 + a 83 a 84 + a 85 a 86 a 87 a 88 N 8 ξ, η, ζ a 8 a 8 + a 83 a 84 a 85 a 86 + a 87 + a 88 N 8 ξ, η, ζ a 8 a 8 a 83 + a 84 + a 85 a 86 a 87 + a 88 N 8 ξ, η, ζ a 8 + a 8 a 83 + a 84 a 85 a 86 + a 87 a 88 N 8 ξ, η, ζ a 8 + a 8 + a 83 + a 84 + a 85 + a 86 + a 87 + a 88 N 8 ξ, η, ζ a 8 a 8 + a 83 + a 84 a 85 + a 86 a 87 a 88 Írjuk fl zt az gynltrndszrt mátrixos alakban A mgoldás: a 8 a 8 a 83 a 84 a 85 a 86 a 87 a 88 a 8 8, a 8 8, a 83 8, a 84 8, a 85 8, a 86 8, a 87 8, a 88 8 A N 8 ξ, η, ζ függvény így írható N 8 ξ, η, ζ ξ + η + ζ ξη + ηζ ζξ ξηζ 8 39

40 Kis átalakítás után N 8 ξ, η, ζ ξ + η + ζ 8 Hasonló gondolatmnttl kapható a többi függvény is Itt csak a végrdményt közöljük N ξ, η, ζ ξ η ζ 8 N ξ, η, ζ + ξ η ζ 8 N 3 ξ, η, ζ + ξ + η ζ 8 N 4 ξ, η, ζ ξ + η ζ 8 N 5 ξ, η, ζ ξ η + ζ 8 N 6 ξ, η, ζ + ξ η + ζ 8 N 7 ξ, η, ζ + ξ + η + ζ 8 N 8 ξ, η, ζ ξ + η + ζ 8 33 Az lmozdulásmz közlítés gy végslmn Els lépésbn az lmozdulásmz t gy lmn közlítjük A vizsgált lm sorszáma lgyn, térfogata pdig V A számítások lvégzéséhz célszr bb lsz az lmozdulásvktort oszlopmátrixként flírni u r u x, y, z x + v x, y, z y + w x, y, z z u x, y, z u x, y, z v x, y, z w x, y, z r V 3 Az gyszr ség és célszr ség kdvéért az lmozdulás lírásához a végslmhz kötött ξηζ koordináta-rndszrt fogjuk használni Ehhz szükségünk lsz az xyz és ξηζ koordináta-rndszrk közötti transzformáció átmnt lírására Használjuk a líráshoz a 3 fjztbn tárgyalt közlít függvénykt x ξ, η, ζ y ξ, η, ζ z ξ, η, ζ n N i ξ, η, ζ x i i n N i ξ, η, ζ yi 3 i n N i ξ, η, ζ zi 4 i 4

41 ahol x i, yi és zi az -dik végslm i-dik csomópontjának x, y és z koordinátája A rugalmasságtani fladat mgoldásához valamilyn variációs lvt vagy gyng alakot fogunk használni, amlybn az lmozdulásmz az ls dlgs ismrtln Az lmozdulásmz t szintén a 3 fjztbn tárgyalt közlít függvénykkl írhatjuk l u x, y, z u x ξ, η, ζ, y ξ, η, ζ, z ξ, η, ζ u ξ, η, ζ n N i ξ, η, ζ qxi i v x, y, z v x ξ, η, ζ, y ξ, η, ζ, z ξ, η, ζ v ξ, η, ζ w x, y, z w x ξ, η, ζ, y ξ, η, ζ, z ξ, η, ζ w ξ, η, ζ u ξ,η,ζ 3 Nξ,η,ζ 3 3n n N i ξ, η, ζ qyi i n N i ξ, η, ζ qzi ahol qxi, qyi és qzi az -dik végslm i-dik csomópontjának x, y illtv z irányú lmozdulása vagy lmozdulás paramétr Ezt mátrixos alakban a qx q y q z q u x N N N n q v y N N N n q w z N N N n i qxn qyn q zn q 3n vagy rövidn az u ξ, η, ζ N ξ, η, ζ q kifjzéssl írhatjuk 34 Az alakváltozások közlítés gy végslmn [ ] ε x γ xy A r γ yx ε y xyz γ zx γ zy ε z γ xz γ yz r V ε x, y, z ε x x, y, z ε y x, y, z ε z x, y, z γxy x, y, z γyz x, y, z γzx x, y, z 6 4

42 ε x ε y ε z γ xy γ yz γ zx ε x,y,z 6 u y v z w x u x v y w z + v x + w y + u z x y z y x z y z x 6 3 u v w u x,y,z Az gyszr ség kdvéért a driválások jlölésénél lhagytuk az x, y és z koordináták fls indxét, ami a végslm sorszámára utalna Ez nm okoz gondot, mivl nnk a jlölésnk csak a közlítés l állításánál van jlnt ség Nyilván mindgyik végslmhz ugyan az a globális koordináta tartozik A -4 transzformációs függvénykt flhasználva fl tudjuk írni az alakváltozásokat úgy is mint a ξηζ koordináták függvényit x y z y x z y z x ε x ε y ε z γ xy γ yz γ zx ε x,y,z ε x ε y ε z γ xy γ yz γ zx ε ξ,η,ζ 6 x y z y x z y z x 6 3 u v w 3 u ξ,η,ζ 3 N N N n N N N n N N N n Nξ,η,ζ 3 3n q x q y q z q x q y q z qxn qyn q zn q 3n 4

43 N N N n x x x N N N n y y y N N N n z z z N N N N N n N n y y y y y y N N N N N n N n z y z y z y N N N N N n N n z x z x z x B ξ,η,ζ 6 3n ε ξ, η, ζ u ξ, η, ζ N ξ, η, ζ q B ξ, η, ζ q B ξ,η,ζ q x q y q z q x q y q z qxn qyn q zn q Az N ξ, η, ζ mátrix lmink xyz koordináták szrinti driváltjait a láncszabály alkalmazásával kaphatjuk mg 3n N i ξ, η, ζ x N i ξ, η, ζ ξ ξ x + N i ξ, η, ζ η η x + N i ξ, η, ζ ζ ζ x N i ξ, η, ζ y N i ξ, η, ζ z N i ξ, η, ζ ξ N i ξ, η, ζ ξ vagy tömörbbn, mátrixok sgítségévl írva ahol a N i ξ,η,ζ x N i ξ,η,ζ x N i ξ,η,ζ x ξ y + N i ξ, η, ζ η η y + N i ξ, η, ζ ζ ζ y ξ z + N i ξ, η, ζ η η z + N i ξ, η, ζ ζ ζ z ξ x ξ y ξ z J η x η y η z ξ x ξ y ξ z ζ x ζ y ζ z η x η y η z ζ x ζ y ζ z N i ξ,η,ζ ξ N i ξ,η,ζ η N i ξ,η,ζ ζ az un Jacobi mátrix invrz Problémát jlntht, hogy a ξ, η és ζ x, y és z szrinti driváltjait közvtlnül nm tudjuk kiszámítani, mivl az x ξ, η, ζ, y ξ, η, ζ és z ξ, η, ζ függvénykt ismrjük A ξ x, y, z, η x, y, z és ζ x, y, z függvényk gys stkbn nm biztos hogy flírhatók, zért n is vizsgáljuk kt Ha az xyz és ξηζ közötti lképzés nm lfajuló, akkor a Jacobi mátrix invrtálható Bizonyítható, hogy J x ξ x η x ζ 8 fladat Számítsa ki a J J szorzatot y ξ y η y ζ z ξ z η z ζ 43

44 A J mátrix lmit az -dik végslmn a -4 képltk flhasználásával ki tudjuk számítani x ξ, η, ζ n N i ξ, η, ζ x i ξ ξ x ξ, η, ζ η x ξ, η, ζ ζ y ξ, η, ζ ξ y ξ, η, ζ η y ξ, η, ζ ζ z ξ, η, ζ ξ z ξ, η, ζ η z ξ, η, ζ ζ i n i n i n i n i n i n i n i n i N i ξ, η, ζ x i η N i ξ, η, ζ x i ζ N i ξ, η, ζ yi ξ N i ξ, η, ζ yi η N i ξ, η, ζ yi ζ N i ξ, η, ζ zi ξ N i ξ, η, ζ zi η N i ξ, η, ζ zi ζ 9 fladat Számítsa ki a 5 ábrán látható gységnyi oldalhosszúságú, kocka alakú végslm Jacobi mátrixát a ξ, η, ζ, a ξ, η, ζ és a ξ, η, ζ koordinátájú pontokban Jlölj mg zkt a pontokat az ábrán z ζ 6 y η ξ 7 x 3 5 ábra Egységnyi oldalhosszúságú, kocka alakú végslm 44

45 fladat A 5 ábrán látható gységnyi oldalhosszúságú, kocka alakú végslm 7-s számú csomópontjának z irányú lmozdulása qz7,mm, 6-os számú csomópontjának x és y irányú lmozdulása qx6,mm és qy6,3mm, a többi csomóponti lmozduláskoordináta pdig nulla Számítsa ki az ε oszlopvktor lmit a ξ, η, ζ, a ξ, η, ζ és a ξ, η, ζ koordinátájú pontokban 35 A fszültségmz közlítés gy végslmn [ ] F r σ x σ y σ z τ xy τ yz τ zx xyz σ x,y,z 6 E + ν E +ν E +ν E +ν σ x τ xy τ xz τ yx σ y τ yz τ zx τ zy σ z ε x + ν ε y + ν ε z + ν ν ν ν E +ν γ xy E +ν γ yz E +ν γ zx ν ν ε x + ν ν ε y + ν ν ε z ν ν ε x + ν ν ε y + ν ν ε z ν ν ε x + ν ν ε y + ν ν ε z γ xy γ yz γ zx r V σ x, y, z ε x + ε y + εz ε x + ε y + εz ε x + ε y + εz E +ν ν E +ν ν E +ν ν ν ν ν ν ν ν σx x, y, z σy x, y, z σz x, y, z τxy x, y, z τyz x, y, z τzx x, y, z 6 ν ε x + νε y + νεz νε x + ν ε y + νεz νε x + νε y + ν εz ν ν ν ν ν ν E +ν γ xy E +ν γ yz E +ν γ zx ν ν ν E ν ν ν + ν C 6 6 σ x, y, z σ ξ, η, ζ C ε ξ, η, ζ C B ξ, η, ζ q 36 Az alakváltozási nrgia közlítés gy végslmn ε x ε y ε z γ xy γ yz γ zx ε ξ,η,ζ 6 valamint F A σ x ε x + σ y ε y + σ z ε z + τ xy γ xy + τ yz γ yz + τ zx γ zx σ T ε ε T σ σ x ε x + σ y ε y + σ z ε z + τ xy γ xy + τ yz γ yz + τ zx γ zx U F AdV ε T σ dv V V T q B ξ, η, ζ T C B ξ, η, ζ q dt J dξdηdζ dv 45

46 q T B ξ, η, ζ T C B ξ, η, ζ dt J dξdηdζ K U T q K q Osszuk a mrvségi mátrixot és a csomóponti lmozdulásvktort lmit blokkokra aszrint, hogy mlyik csomóponthoz tartoznak qx q y q q z q q x q qy q qz 3 q 4 qxn q qyn n ahol qzn 3n q i q xi q yi qzi 3 3n Hasonló jlöléssl a mrvségi mátrix is flírható Kxx Kxy Kxz Kxx Kxyn Kxzn Kyx Kyy Kyz Kyx Kyyn K yzn Kzx Kzy Kzz Kzx Kzyn K zzn K Kxx Kxy Kxz Kxx Kxyn Kxzn Kyxn Kyyn Kyzn Kyxn Kyynn Kyznn Kzxn Kzyn Kzzn Kzxn Kzynn Kzznn K K K 3 K K K 3 3n 3n K 3 K 3 K 33 K n K n K 3n q ahol K n K ij K K n n3 3n 3n K nn Kxxij Kxyij Kxzij Kyxij Kyyij Kyzij Kzxij Kzyij Kzzij

47 Ezzl az alakváltozási nrgia az U q T K q [ T T T T T ] q q q q q 3 4 n K K K 3 K n K K K 3 K n K 3 K 3 K 33 K n3 K n K n K 3n K nn q q q 3 q 4 q n alakban is írható 37 Küls r k munkájának közlítés gy végslmn 37 Flülti r k munkája blátható, hogy valamint p r p x x, y, z x + p y x, y, z y + p z x, y, z z p x x, y, z p x, y, z p y x, y, z p z x, y, z 3 u p up x + vp y + wp z u T p up x + vp y + wp z r A p Könnyn Tgyük fl, hogy a trhlés a végslm ζ flültén lép fl A flülti r k munkája Wk p u p da u x, y, z T p x, y, z da T q A p A p T q T N ξ, η, ζ p ξ, η, ζ J A ξ, η, ζ dξdη da N ξ, η, ζ T p ξ, η, ζ J A ξ, η, ζ dξdη f p ahol da dξ ξ dη η r dξ ξ r dη η r ξ r η dξdη 47

48 x ξ x + y ξ y + z x ξ z η x + y η y + z η z dξdη x y ξ η y x z x z + ξ η ξ η x z y z y + ξ η ξ η z y x dξdη ξ η x y ξ η y x z x + ξ η ξ η x z y z + ξ η ξ η z y dξdη ξ η J A ξ, η, ζ dξdη A flülti r k thrvktorát az gys csomópontokhoz tartozó lmit csoportosítva szét lht bontani blokkokra W k p A p T [ u p da q f q T T T T T ] q q q q p 3 4 n f p f p f p 3 f p 4 f p n 37 Térfogati r k munkája blátható, hogy valamint Ezért a térfogati r k munkája Wk f f r f x x, y, z x + f y x, y, z y + f z x, y, z z f x, y, z f x x, y, z f y x, y, z f z x, y, z 3 u f uf x + vf y + wf z u T f uf x + vf y + wf z u fdv r V u x, y, z T f x, y, z dv Könnyn V V T q T q T N ξ, η, ζ f ξ, η, ζ dt J dξdηdζ dv N ξ, η, ζ T f ξ, η, ζ dt J dξdηdζ f f 48

49 A térfogati r k thrvktorát az gys csomópontokhoz tartozó lmit csoportosítva szét lht bontani blokkokra W k f V u fdv T [ q f q T T T T T ] q q q q p 3 4 n f f f f f f 3 f f 4 f f n 373 Küls r k munkája Wk u p da + A p V u f dv T q f + f p f f q T f p + q T f f q T f [ T T T T T ] q q q q q 3 4 n 38 Egy végslm potnciális nrgiája Π p U W k q T K q 39 Csomópontok globális sorszámozása q q xñ q yñ q zñ f f f 3 f 4 f n q T f 3 A tljs szrkzt csomóponti lmozdulásvktora q x q y q z q x q q y q q z 49 qñ

50 ábra ábra ahol ñ a tljs szrkzt csomópontjainak száma 3 A tljs szrkzt mrvségi mátrixa és thrvktora K K ii ij Π p Π p [ T T T ] K q q K ji jj qñ q T 3ñ K ki K kj K ik K jk K kk K 3ñ 3ñ q q qñ q 3ñ 5

51 [ T T T ] q q qñ } {{} q T 3ñ [ q T q T qñ q T 3ñ f i f j f k f 3ñ K K K ñ T ] K K K ñ 3ñ } Kñ Kñ {{ Kññ } K 3ñ 3ñ [ T T T ] q q qñ } {{} q T Π p qt Kq q T f f f f ñ f 3ñ q q qñ q 3ñ Ennk alkalmazását gy konkrét végslm flosztásra az alábbi példa szmléltti fladat Írja fl a 7 ábrán látható szrkzt globális mrvségi mátrixát Mgoldás: K K K 4 K 8 K 5 K K 4 K 8 K 5 K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K 4 K 8 K 5 K + K K + 3 K 4 K + 7 K 8 K + 6 K 5 K K 4 K 8 K 3 K 43 K 83 K 53 K + 3 K 4 K + 33 K 44 K + 73 K 84 K + 63 K 54 K 3 K 34 K 38 K 7 K 47 K 87 K 57 K + 7 K 8 K + 37 K 48 K + 77 K 88 K + 67 K 58 K 7 K 74 K 78 K 6 K 46 K 86 K 56 K + 6 K 5 K + 36 K 45 K + 76 K 85 K + 66 K 55 K 6 K 64 K 68 K K 4 K 8 K 5 K K 3 K 7 K 3 K 43 K 83 K 53 K 3 K 33 K 73 K 7 K 47 K 87 K 57 K 7 K 37 K 77 K 6 K 46 K 86 K 56 K 6 K 36 K 76 K 5 K 35 K 75 K 65 K 6 K 63 K 67 K 66 Pl: K 4 K ij K 5 5

52 Ennk jlntés: a globális sorszámozás szrinti és 4 csomóponthoz tartozó mrvségi mátrix 3 3-as mért almátrix a lokális lmhz kötött számozás szrint az ls végslm és 5 csomópontjához tartozik K 56 K ij K + 3 K 4 Ennk jlntés: a globális sorszámozás szrinti 5 és 6 csomóponthoz tartozó mrvségi mátrix 3 3-as mért almátrix a lokális lmhz kötött számozás szrint az ls végslm és 3 valamint a második végslm és 4 csomópontjához tartozó mátrixok összg K 3 K ij Ennk jlntés: a globális sorszámozás szrinti 3 csomópont csak az ls lmhz tartozik, a globális sorszámozás szrinti csomópont pdig csak a második lmhz tartozik Emiatt sm az ls, sm a második végslm mrvségi mátrixában nm található olyan almátrix, amly gyszrr tartozna a globális számozás szrinti 3 és csomóponthoz Ezért a K 3 mátrix érték nulla 3 3 darab nullát tartalmaz fladat Írja fl a 8 ábrán látható szrkzt globális thrvktorát ábra Mgoldás: [ f T f 8 f 5 f 7 + f 8 f 6 + f 5 f 7 f 6 ] 5

53 3 Kinmatikai prmfltétlk gylmbvétl 3 Mgfogások A tljs szrkzt potnciális nrgiája lásd 3 fjzt K ii Π p Π p [ ] q T q T q T K ji ñ q T 3ñ gyn vagyis Ekkor a potnciális nrgia így írható Π p K ki K ij K jj K kj K ik K jk K kk K [ ] q T q T q T ñ q T 3ñ Π p [ q T q T ] l l+ q T 3ñ q l q xl q yl q zl 3ñ 3ñ f i f j f k f K ii K ji K ki 3ñ K ij K jj K kj K ik K jk K kk K 3ñ 3ñ q q qñ q 3ñ q l q l+ q 3ñ 53

Széchenyi István Egyetem. Alkalmazott Mechanika Tanszék

Széchenyi István Egyetem. Alkalmazott Mechanika Tanszék Széchnyi István Egytm Alkalmazott Mchanika Tanszék Végslm analízis Elmélti kérdésk gytmi mstrképzésbn (MSc) résztvv járm mérnöki, mchatronikai mérnök és logisztikai mérnök szakos hallgatók számára 0. októbr

Részletesebben

Széchenyi István Egyetem. Alkalmazott Mechanika Tanszék

Széchenyi István Egyetem. Alkalmazott Mechanika Tanszék Széchnyi István Egytm Alkalmazott Mchanika Tanszék Végslm analízis Elmélti kérdésk gytmi mstrképzésbn MSc) résztvv járm mérnöki, mchatronikai mérnök és logisztikai mérnök szakos hallgatók számára. Mit

Részletesebben

TERMÉKTERVEZÉS NUMERIKUS MÓDSZEREI Előadás jegyzet Dr. Goda Tibor. 3. Lineáris háromszög elem

TERMÉKTERVEZÉS NUMERIKUS MÓDSZEREI Előadás jegyzet Dr. Goda Tibor. 3. Lineáris háromszög elem TERMÉKTERVEZÉS NUMERIKUS MÓDSZEREI Előadás jgyzt Dr. Goda Tibor 3. Lináris háromszög lm - A végslms mgoldás olyan approximációs függvénykn alapul, amlyk az gys lmk vislkdését írják l (lmozdulás függvény

Részletesebben

Villamos érintésvédelem

Villamos érintésvédelem Villamos érintésvédlm A villamos nrgia ipari mértű flhasználása a század ljén kzdtt gyr nagyobb mértékbn ltrjdni és zzl gyidőbn jlntkztk az áramütésből rdő balstk is. Ennk kövtkztébn nagyarányú kutatás

Részletesebben

Mágneses anyagok elektronmikroszkópos vizsgálata

Mágneses anyagok elektronmikroszkópos vizsgálata Mágnss anyagok lktronmikroszkópos vizsgálata 1. Transzmissziós lktronmikroszkóp 1.1. A mágnss kontraszt rdt a TEM-bn Az lktronmikroszkópban 100-200 kv-os (stlg 1 MV-os) gyorsítófszültséggl gyorsított lktronok

Részletesebben

Országos Szilárd Leó fizikaverseny feladatai

Országos Szilárd Leó fizikaverseny feladatai Országos Szilárd Ló fizikavrsny fladatai I katgória döntő, 5 április 9 Paks A fladatok mgoldásáoz 8 prc áll rndlkzésr Mindn sgédszköz asználató Mindn fladatot külön lapra írjon, s mindn lapon lgyn rajta

Részletesebben

13. gyakorlat Visszacsatolt műveletierősítők. A0=10 6 ; ω1=5r/s, ω2 =1Mr/s R 1. Kérdések: uki/ube=?, ha a ME ideális!

13. gyakorlat Visszacsatolt műveletierősítők. A0=10 6 ; ω1=5r/s, ω2 =1Mr/s R 1. Kérdések: uki/ube=?, ha a ME ideális! . gyakorlat Visszacsatolt művltirősítők.) Példa b (s) 6 ; r/s, Mr/s kω, 9 kω, kω, ( s )( s ) Kérdésk: /b?, ha a ME ális! Mkkora lgyn érték ahhoz, hogy az /b rősítés maximális lapos lgyn ( ξ ). Mkkora a

Részletesebben

1. Testmodellezés. 1.1. Drótvázmodell. Testmodellezés 1

1. Testmodellezés. 1.1. Drótvázmodell. Testmodellezés 1 Tstmodllzés 1 1. Tstmodllzés Egy objktum modlljén az objktumot rprzntáló adatrndszrt értjük. Egy tstmodll gy digitális rprzntációja gy létz vagy lképzlt objktumnak. trvzés, a modllzés során mgadjuk a objktum

Részletesebben

Modern piacelmélet. ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszék. Selei Adrienn

Modern piacelmélet. ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszék. Selei Adrienn Modrn piaclmélt ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszék Sli Adrinn A tananyag a Gazdasági Vrsnyhiatal Vrsnykultúra Központja és a Tudás-Ökonómia Alapítány támogatásáal készült az ELTE TáTK Közgazdaságtudományi

Részletesebben

KOD: B377137. 0, egyébként

KOD: B377137. 0, egyébként KOD: 777. Egy csomagológép kilogrammos zacskókat tölt. A zacskóba töltött cukor mnnyiség normális loszlású valószínûségi változó kg várható értékkl és.8 kg szórással. A zacskó súlyra nézv lsõ osztályú,

Részletesebben

53. sz. mérés. Hurokszabályozás vizsgálata

53. sz. mérés. Hurokszabályozás vizsgálata 53. sz. mérés Hurokszaályozás vizsgálata nagyszültségű alap- illtv losztóhálózat (4,, kv a hálózatok unkcióáól kövtkzőn hurkolt (töszörösn hurkolt kialakítású. sok csomóponttal, tö táplálási illtv ogyasztási

Részletesebben

Néhány pontban a függvény értéke: x -4-2 -1-0.5 0.5 1 2 4 f (x) -0.2343-0.375 0 6-6 0 0.375 0.2343

Néhány pontban a függvény értéke: x -4-2 -1-0.5 0.5 1 2 4 f (x) -0.2343-0.375 0 6-6 0 0.375 0.2343 Házi ladatok mgoldása 0. nov.. HF. Elmzz az ( ) = üggvényt (értlmzési tartomány, olytonosság, határérték az értlmzési tartomány véginél és a szakadási pontokban, zérushly, y-tnglymtszt, monotonitás, lokális

Részletesebben

A központos furnérhámozás néhány alapösszefüggése

A központos furnérhámozás néhány alapösszefüggése A közpotos furérhámozás éháy alapösszfüggés 1. ábra: A hámozás jllmző myiségi Az 1. ábra forrása: Dr. Lugosi Armad ( szrk. ) : Faipari szrszámok és gépk kéziköyv Műszaki Köyvkiadó, Budapst, 1987, 57. oldal.

Részletesebben

RSA. 1. Véletlenszerűen választunk két "nagy" prímszámot: p1, p2

RSA. 1. Véletlenszerűen választunk két nagy prímszámot: p1, p2 RS z algoritmus. Véltlnszrűn választunk két "nagy" prímszámot: p, p, p p. m= pp, φ ( m) = ( p -)( p -)., < φ( m), ( φ( m ),) = - 3. d = ( mod φ( m) ) 4. k p s = ( m,), = ( d, p, p ) k. Kódolás: y = x (

Részletesebben

FIZIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

FIZIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Fizika középszint 080 ÉRETTSÉGI VIZSGA 008. novmbr. FIZIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI ÉS KULTURÁLIS MINISZTÉRIUM A dolgozatokat az útmutató utasításai szrint,

Részletesebben

Feladatok megoldással

Feladatok megoldással Fladatok mgoldással. sztmbr 6.. Halmazrdszrk. Igazoljuk! A \ B A r (A r B) (A [ B) r ((A r B) [ (B r A)) Mgoldás. A r (A r B) A \ A \ B A \ A [ B A \ A [ (A \ B) A \ B (A [ B) r ((A r B) [ (B r A)) (A

Részletesebben

MUNKA- ÉS ENERGIATÉTELEK

MUNKA- ÉS ENERGIATÉTELEK MUNKA- ÉS ENERGIAÉELEK 1. előadás: Alapfogalmak; A virtuális elmozdulások tétele 2. előadás: Alapfogalmak; A virtuális erők tétele Elmozdulások számítása a virtuális erők tétele alapján 3. előadás: Az

Részletesebben

- 1 - A következ kben szeretnénk Önöknek a LEGO tanítási kultúráját bemutatni.

- 1 - A következ kben szeretnénk Önöknek a LEGO tanítási kultúráját bemutatni. Játékok a tanításhoz? - 1 - Tanító játékok? A Lgo kockák gészn biztosan fontos szívügyi gy gész sor gyrk és szül gnráció éltébn. Mi köz van a Lgo kockáknak a tanuláshoz? Vagy lht gyáltalán tanítani /órákat

Részletesebben

MATEMATIKAI STATISZTIKAI ESZKÖZÖK. Tartalomjegyzék.

MATEMATIKAI STATISZTIKAI ESZKÖZÖK. Tartalomjegyzék. MATEMATIKAI STATISZTIKAI ESZKÖZÖK Tartalomjgyzék../Bvztés...3./Néhány nvzts loszlástípus...3../normális loszlás... 3../A logaritmikus normális loszlás... 5.3./Wibull loszlás... 7 3./Spciális matmatikai

Részletesebben

Életkor (Age) és szisztolés vérnyomás (SBP)

Életkor (Age) és szisztolés vérnyomás (SBP) Lináris rgrsszió Éltkor (Ag) és szisztolés vérnyomás (SBP) Ag SBP Ag SBP Ag SBP 22 131 41 139 52 128 23 128 41 171 54 105 24 116 46 137 56 145 27 106 47 111 57 141 28 114 48 115 58 153 29 123 49 133 59

Részletesebben

A hőmérsékleti sugárzás

A hőmérsékleti sugárzás A hőmérséklt sugárzás (Dr. Parpás Béla lőadása alapján ljgyzték a Mskolc gytm harmadévs nformatkus hallgató) Alapjlnségk Mndnnap tapasztalat, hogy a mlgíttt tstk hősugárzást (nfravörös sugárzást) bocsátanak

Részletesebben

Ábrahám Gábor: Az f -1 (x)=f(x) típusú egyenletekről. típusú egyenletekről, Megoldás: (NMMV hivatalos megoldása) 6 x.

Ábrahám Gábor: Az f -1 (x)=f(x) típusú egyenletekről. típusú egyenletekről, Megoldás: (NMMV hivatalos megoldása) 6 x. Ábrahám Gábor: Az f - ()=f() típusú gynltkről Az f ( ) = f( ) típusú gynltkről, avagy az írástudók fllősség és gyéb érdksségk Az alábbi cikk a. évi Rátz László Vándorgyűlésn lhangzott lőadásom alapján

Részletesebben

A végeselemes modellezés kontinuummechanikai alapjai

A végeselemes modellezés kontinuummechanikai alapjai Foglalkoztatásoltka és Munkaügy Mnsztérum Humánrőforrás-fjlsztés Oratív Program Dr. Páczlt István Dr. Nándor Frgys - Dr. Sárköz László - Dr. Szabó Tamás - Dr. Baksa Attla - Dluh Kornél A végslms modllzés

Részletesebben

FIZIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

FIZIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Fizika középszint 08 ÉRETTSÉGI VIZSGA 010. május 18. FIZIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI ÉS KULTURÁLIS MINISZTÉRIUM A dolgozatokat az útmutató utasításai

Részletesebben

A fotometria alapjai

A fotometria alapjai A fotomtria alapjai Mdicor Training Cntr for Maintnanc of Mdical Equipmnt Budapst, 198 Írta: Porubszky Tamás okl. fizikus Lktorálta: Bátki László és Fillingr László Szrkszttt: Török Tibor 1. ÁLTALÁNOS

Részletesebben

4. A háromfázisú hálózatok

4. A háromfázisú hálózatok 4. hármázisú hálózatk többázisú hálózatk lyan több grjsztést (gnrátrt) tartalmazó hálózatk, amlykbn a gnrátrk szültség azns rkvnciájú, d ltérő ázishlyztű. többázisú szültség-rndszr szimmtrikus, ha a szültségk

Részletesebben

1. ábra A rádiócsatorna E négypólus csillapítása a szakaszcsillapítás, melynek definíciója a következő: (1)

1. ábra A rádiócsatorna E négypólus csillapítása a szakaszcsillapítás, melynek definíciója a következő: (1) Az antnna Adó- és vvőantnna Az antnna lktomágnss hullámok kisugázásáa és vétlé szolgáló szköz. A ádióndszkbn btöltött szp alapján az antnna a tápvonal és a szabad té közötti tanszfomáto, mly a tápvonalon

Részletesebben

Matematika (mesterképzés)

Matematika (mesterképzés) Matematika (mesterképzés) Környezet- és Településmérnököknek Debreceni Egyetem Műszaki Kar, Műszaki Alaptárgyi Tanszék Vinczéné Varga A. Környezet- és Településmérnököknek 2016/2017/I 1 / 29 Lineáris tér,

Részletesebben

5. modul: Szilárdságtani Állapotok. 5.3. lecke: A feszültségi állapot

5. modul: Szilárdságtani Állapotok. 5.3. lecke: A feszültségi állapot 5 modul: Silárdságtai Állapotok 53 lck: A fsültségi állapot A lck célja: A taaag flhasálója mgismrj a fsültségi állapot fogalmait valamit mg tudja határoi g lmi pot körték fsültségi állapotát Kövtlmék:

Részletesebben

Cikória szárítástechnikai tulajdonságainak vizsgálata modellkísérlettel

Cikória szárítástechnikai tulajdonságainak vizsgálata modellkísérlettel Cikória szárítástchnikai tulajdonságainak vizsgálata modllkísérlttl Kacz Károly Stépán Zsolt Kovács Attila Józsf Nményi Miklós Nyugat-Magyarországi Egytm Mzőgazdaság- és Éllmiszrtudományi Kar Agrárműszaki,

Részletesebben

Mezőszimuláció végeselem-módszerrel házi feladat HANGSZÓRÓ LENGŐTEKERCSÉRE HATÓ ERŐ SZÁMÍTÁSA

Mezőszimuláció végeselem-módszerrel házi feladat HANGSZÓRÓ LENGŐTEKERCSÉRE HATÓ ERŐ SZÁMÍTÁSA Mősimuláció végslm-módsl hái fladat HNGSZÓRÓ LENGŐTEKERCSÉRE HTÓ ERŐ SZÁMÍTÁS Késíttt: Gaamvölgyi Zsolt, 2007 visgált nds ábán látható fogássimmtikus nds komponnsi a kövtkők: állandómágns gyűű fémlmk tkcs

Részletesebben

DR. JUHÁSZ MÁRTA BME Ergonómia és Pszichológia Tanszék 1111 Budapest, Egry J. u. 1. Email: juhaszm@erg.bme.hu Tel: 1/463 40 22 www.erg.bme.

DR. JUHÁSZ MÁRTA BME Ergonómia és Pszichológia Tanszék 1111 Budapest, Egry J. u. 1. Email: juhaszm@erg.bme.hu Tel: 1/463 40 22 www.erg.bme. DR. JUHÁSZ MÁRTA BME Ergonómia és Pszichológia Tanszék 1111 Budapst, Egry J. u. 1. Email: juhaszm@rg.bm.hu Tl: 1/463 40 22 www.rg.bm.hu A KIVÁLASZTÁS ÉS A MUNKAKÖRI ALKALMASSÁG PSZICHOLÓGIÁJA II. Az lızı

Részletesebben

DINAMIKA A minimum teszt kérdései a gépészmérnöki szak hallgatói részére (2004/2005 tavaszi félév)

DINAMIKA A minimum teszt kérdései a gépészmérnöki szak hallgatói részére (2004/2005 tavaszi félév) DINAMIKA A minimum teszt kérdései a gépészmérnöki szak hallgatói részére (2004/2005 tavaszi félév) Dinamika Pontszám 1. A mechanikai mozgás fogalma (1) 2. Az anyagi pont pályája (1) 3. A mozgástörvény

Részletesebben

Teherhordó üveg födémszerkezet: T gerenda ragasztott öv-gerinc kapcsolatának numerikus vizsgálata

Teherhordó üveg födémszerkezet: T gerenda ragasztott öv-gerinc kapcsolatának numerikus vizsgálata Tudományos Diákköri Konrncia Thrhordó üvg ödémszrkzt: T grnda ragasztott öv-grinc kapcsolatának numrikus vizsgálata Készíttt: Gál Tamás F17JCS építőmérnök hallgató Konzulns: Dr. Vigh László Grgly Egytmi

Részletesebben

Mágneses momentum, mágneses szuszceptibilitás

Mágneses momentum, mágneses szuszceptibilitás Mágnss ontu, ágnss szuszcptibilitás A olkuláknak (atooknak, ionoknak) lktronszrkztüktől függőn lht pranns (állandóan glévő) ágnss ontua. Ha ágnss térb krülnk, a tér hatására indig ágnss ontu jön létr az

Részletesebben

A szeretet tanúi. 2013. március 31. 18. évfolyam, 1. szám. Az algy i egyházközség kiadványa KRISZTUS FELTÁMADT! ÚJ PÁPÁNK

A szeretet tanúi. 2013. március 31. 18. évfolyam, 1. szám. Az algy i egyházközség kiadványa KRISZTUS FELTÁMADT! ÚJ PÁPÁNK 2013. március 31. 18. évfolyam, 1. szám A szrtt tanúi Az algy i gyházközség kiadványa KRISZTUS FELTÁMADT! A Húsvét a Fltámadás - és nm a nyuszi - ünnp Ádám és Éva az s-b nnl vszíttt l az örök éltt. Az

Részletesebben

Megjegyzés: jelenti. akkor létezik az. ekkor

Megjegyzés: jelenti. akkor létezik az. ekkor . Hármas Integrál. Bevezetés és definíciók A bevezetés első részében egy feladaton keresztül jutunk el a hármasintegrál definíciójához. Feladat: Legyen R korlátos test, és a testnek legyen az f(x, y, z

Részletesebben

Függvényhatárérték és folytonosság

Függvényhatárérték és folytonosság 8. fejezet Függvényhatárérték és folytonosság Valós függvények és szemléltetésük D 8. n-változós valós függvényen (n N + ) olyan f függvényt értünk amelynek értelmezési tartománya (Dom f ) az R n halmaznak

Részletesebben

Szerző: Böröcz Péter János H-9026, Egyetem tér 1. Győr, Magyarország

Szerző: Böröcz Péter János H-9026, Egyetem tér 1. Győr, Magyarország In: Kóczy L, éánczos L, Bakó A, Prznszki J, Szgdi Z, Várlaki P (szrk.) Játéklmélt alkalmazási lhtőségi a logisztikai rndszrkbn - az gy- és többutas szállítási csomagolási szközök közötti döntéslmélti probléma

Részletesebben

MECHANIKA I. rész: Szilárd testek mechanikája

MECHANIKA I. rész: Szilárd testek mechanikája Egészségügyi mérnökképzés MECHNIK I. rész: Szilárd testek mechanikája készítette: Németh Róbert Igénybevételek térben I. z alapelv ugyanaz, mint síkban: a keresztmetszet egyik oldalán levő szerkezetrészre

Részletesebben

FÉLVEZETŐK VEZETÉSI TULAJDONSÁGAINAK VIZSGÁLATA

FÉLVEZETŐK VEZETÉSI TULAJDONSÁGAINAK VIZSGÁLATA FÉLVEZETŐK VEZETÉSI TULAJDONSÁGAINAK VIZSGÁLATA FÉLVEZETŐK VEZETÉSI TULAJDONSÁGAINAK VIZSGÁLATA. BEVEZETÉS A szilárd tstkbn a töltés, az nrgia vagy más mnnyiség áramlását vztési (transzport) folyamatnak

Részletesebben

22. előadás OLIGOPÓLIUM

22. előadás OLIGOPÓLIUM . lőadás OLIGOPÓLIUM Krtsi Gábor Varró László Varian 7. fjzt átdolgozva. Varian 7.-7.3 és 7.0-7. alfjzti nm részi a tananyagnak. . Bvztő Az lmúlt lőadásokon áttkintttük a piaci struktúrák két szélső stét:

Részletesebben

Szerkezetek numerikus modellezése az építőmérnöki gyakorlatban

Szerkezetek numerikus modellezése az építőmérnöki gyakorlatban Szrkztk numrikus modllzés az éítőmérnöki gakorlatban intéztigazgató hltts, tanszékvztő, őiskolai docns a Magar Éítész Kamara tagja, a Magar Mérnöki Kamara tagja a ib Nmztközi Btonszövtség Magar Tagozatának

Részletesebben

A Mozilla ThunderBird levelezőprogram haszálata (Készítette: Abonyi-Tóth Zsolt, SZIE ÁOTK, 2004-04-15, Version 1.1)

A Mozilla ThunderBird levelezőprogram haszálata (Készítette: Abonyi-Tóth Zsolt, SZIE ÁOTK, 2004-04-15, Version 1.1) A Mozilla ThundrBird lvlzőprogram haszálata (Készíttt: Abonyi-Tóth Zsolt, SZIE ÁOTK, 2004-04-15, Vrsion 1.1) Tartalomjgyzék Tartalomjgyzék...1 A Központi Lvlző Szrvr használata... 1 A ThundrBird lvlzőprogram

Részletesebben

Lemez- és gerendaalapok méretezése

Lemez- és gerendaalapok méretezése Lemez- és gerendaalapok méretezése Az alapmerevség hatása az alap hajlékony merev a talpfeszültség egyenletes széleken nagyobb a süllyedés teknıszerő egyenletes Terhelés hatása hajlékony alapok esetén

Részletesebben

Név:... osztály:... Matematika záróvizsga 2010.

Név:... osztály:... Matematika záróvizsga 2010. Mtmtik záróvizsg 00. Név:... osztály:.... Az lái rjzon gy thrutó rktrénk vázltos rjz láthtó. Az árán olvshtó számtok, rkoásr ténylgsn flhsználhtó térfogtr vontkoznk. Mkkor thrutó hsznos rktrénk térfogt?

Részletesebben

1. AZ MI FOGALMA. I. Bevezetés ELIZA. Első szakasz (60-as évek) Második szakasz (70-es évek) Harmadik szakasz (80-as évek)

1. AZ MI FOGALMA. I. Bevezetés ELIZA. Első szakasz (60-as évek) Második szakasz (70-es évek) Harmadik szakasz (80-as évek) 1. AZ MI FOGALMA I. Bvztés 1956 nyár. Darthmouth Collg-i konfrncia Kzdti cél: Az mbri gondolkodás számítógép sgítségévl történő rprodukálása. Grgorics Tibor Bvztés a mstrségs intllignciába 1 Grgorics Tibor

Részletesebben

ISO 9000 és ISO 20000, minőségmenedzsment és információtechnológiai szolgáltatások menedzsmentje egy szervezeten belül

ISO 9000 és ISO 20000, minőségmenedzsment és információtechnológiai szolgáltatások menedzsmentje egy szervezeten belül ISO 9000 és ISO 20000, minőségmndzsmnt és információtchnológiai szolgáltatások mndzsmntj gy szrvztn blül dr. Vondrviszt Lajos, Vondrviszt.Lajos@nhh.hu Nmzti Hírközlési Hatóság Előzményk A kormányzati intézményk

Részletesebben

10. Aggregált kínálat

10. Aggregált kínálat Univrsität Miskolci Miskolc, Egytm, Fakultät für Gazdaságtudományi Wirtschaftswissnschaftn, Kar, Gazdaságlmélti Institut für Wirtschaftsthori 10. Aggrgált kínálat Univrsität Miskolci Miskolc, Egytm, Fakultät

Részletesebben

MINŐSÉGIRÁNYÍTÁSI KÉZIKÖNYV

MINŐSÉGIRÁNYÍTÁSI KÉZIKÖNYV Lap: 1/145 AZ INCZÉDY GYÖRGY KÖZÉPISKOLA, SZAKISKOLA ÉS KOLLÉGIUM MINŐSÉGIRÁNYÍTÁSI E AZ MSZ EN ISO 9001 SZABVÁNY ALAPJÁN, ILLETVE MINŐSÉGIRÁNYÍTÁSI PROGRAMJA A KÖZOK-TATÁSI TÖR- VÉNY (1993. ÉVI LXXIX.)

Részletesebben

Elorejelzés (predikció vagy extrapoláció) Adatpótlás (interpoláció)

Elorejelzés (predikció vagy extrapoláció) Adatpótlás (interpoláció) lorjlzés (prdikció vagy xrapoláció) Adapólás (inrpoláció) kompozíciós vagy drminiszikus modllk. A rndfüggvény A ciklikus haás A szzonális haás A zaj (hibaag) 3-3 4 5 6 7 8 9 Az idõsor 3 - - - 3 4 5 6 7

Részletesebben

5. előadás. Skaláris szorzás

5. előadás. Skaláris szorzás 5. előadás Skaláris szorzás Bevezetés Két vektor hajlásszöge: a vektorokkal párhuzamos és egyirányú, egy pontból induló félegyenesek konvex szöge. φ Bevezetés Definíció: Két vektor skaláris szorzata abszolút

Részletesebben

Utófeszített vasbeton lemezek

Utófeszített vasbeton lemezek Utófszíttt vasbton lmzk Pannon Fryssint Kft. 1117 udapst, udafoki út 111. Tl.: + 36 1 279 03 58 - Fax: + 36 1 209 15 10 www.fryssint.com 2008. dcmbr Utófszíttt vasbton lmzk z utófszíttt szrkztk alkalmazása,

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára 2009. jnuár 29. MATEMATIKA FELADATLAP 8. évfolymosok számár 2009. jnuár 29. 15:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll olgozz! Zsszámológépt nm hsználhtsz. A fltokt ttszés szrinti sorrnn olhto mg. Minn

Részletesebben

4. Izoparametrikus elemcsalád

4. Izoparametrikus elemcsalád SZÉCHENYI ISTVÁN EGYETEM AKAMAZOTT MECHANIKA TANSZÉK 8. MECHANIKA-VÉGESEEM MÓDSZER EŐADÁS (kidolgozta: Szül Vronika, g. ts.) VIII. lőadás 4. Izoparamtriks lmcsalád A krskdlmi szoftvrkbn lggakrabban ún.

Részletesebben

Az egyenlőtlenség mindkét oldalát szorozzuk meg 4 16-al:

Az egyenlőtlenség mindkét oldalát szorozzuk meg 4 16-al: Bevezető matematika kémikusoknak., 04. ősz. feladatlap. Ábrázoljuk számegyenesen a következő egyenlőtlenségek megoldáshalmazát! (a) x 5 < 3 5 x < 3 x 5 < (d) 5 x

Részletesebben

A vállalati likviditáskezelés szerepe eszközfedezettel rendelkező hitelszerződésekben

A vállalati likviditáskezelés szerepe eszközfedezettel rendelkező hitelszerződésekben VERSENY ÉS SZABÁLYOZÁS Közgazdasági Szml LVIII. évf. 2011. július augusztus (633 652. o.) Havran Dánil A vállalati likviditáskzlés szrp szközfdzttl rndlkző hitlszrződéskbn Az alkun alapuló mgközlítés rdményi

Részletesebben

Analitikus térgeometria

Analitikus térgeometria 5. fejezet Analitikus térgeometria Kezd és végpontjuk koordinátáival adott vektorok D 5.1 A koordináta-rendszer O kezd pontjából a P pontba mutató OP kötött vektort a P pont helyvektorának nevezzük. T

Részletesebben

Számok tízezerig. ezer forint. ezer forint. ezer forint. ezer forint. ezer forint. ezer forint. ezer forint. ezer forint

Számok tízezerig. ezer forint. ezer forint. ezer forint. ezer forint. ezer forint. ezer forint. ezer forint. ezer forint Számok tízzrig 1. Vásároltatok olyan holmit tanévkzdésr, ami több mint -ba krült? Mnnyi volt az érték? Mondd l! 2. Írd a számgyns mgfllő pontjához, amnnyi forintot fölött látsz! Hasonlítsd össz az gymás

Részletesebben

Rockfall lejtésképző elemek

Rockfall lejtésképző elemek LAPOSTETŐ SZIGETELÉS LEZÁRVA: 00. MÁRCIUS. Rokll ljtésképző lmk Műszki tlp Vonlr-, lln- és pontrljtő lmk, ttikék A Rokwool Rokll rnszrévl iztosíthtó ttők tökélts vízlvztés Műgynt kötésű, tljs krtmtsztén

Részletesebben

Bevezetés. 1. fejezet. Algebrai feladatok. Feladatok

Bevezetés. 1. fejezet. Algebrai feladatok. Feladatok . fejezet Bevezetés Algebrai feladatok J. A számok gyakran használt halmazaira a következ jelöléseket vezetjük be: N a nemnegatív egész számok, N + a pozitív egész számok, Z az egész számok, Q a racionális

Részletesebben

Szélsőérték feladatok megoldása

Szélsőérték feladatok megoldása Szélsőérték feladatok megoldása A z = f (x,y) függvény lokális szélsőértékének meghatározása: A. Szükséges feltétel: f x (x,y) = 0 f y (x,y) = 0 egyenletrendszer megoldása, amire a továbbiakban az x =

Részletesebben

2011. évi intézmény-felújítás,intézményi javaslatok

2011. évi intézmény-felújítás,intézményi javaslatok agasépítési csoport PRIORITÁSOK: BRH=biztonságos és rndlttésszrű használat, =állagmgóvás, = műszak iés funkcionális szükség, =gyéb 13 Holdfény Utcai Óvoda Kincskrső Tagóvodája Prioritás gjgyzés 13.1 Krt

Részletesebben

Frissítve: 2015.04.29. Feszültség- és alakváltozási állapot. 1. példa: Írjuk fel az adott kockához tartozó feszültségtenzort!

Frissítve: 2015.04.29. Feszültség- és alakváltozási állapot. 1. példa: Írjuk fel az adott kockához tartozó feszültségtenzort! 1. példa: Írjuk fel az adott kockához tartozó feszültségtenzort! 1 / 20 2. példa: Rajzoljuk fel az adott feszültségtenzorhoz tartozó kockát! 2 / 20 3. példa: Feszültségvektor számítása. Egy alkatrész egy

Részletesebben

Mérıkapcsolások 5. fejezet /Elmélet & Képletgyőjtemény/

Mérıkapcsolások 5. fejezet /Elmélet & Képletgyőjtemény/ . Kompnzált osztó: Mérıkpcsolások 5. fjzt /Elmélt & Képltgyőjtmény/ C b C. Hídkpcsolás: τ b τ C C 4 t Alpértlmztt stbn: 4, íd mnti fzsültség gynlíttt állpotbn 0V. I.. st Egy llnállás változik d 4 t d (

Részletesebben

Fizikai geodézia és gravimetria / 12. VONATKOZTATÁSI RENDSZER PARAMÉTEREINEK MEGHATÁROZÁSA g MÉRÉSEK ALAPJÁN.

Fizikai geodézia és gravimetria / 12. VONATKOZTATÁSI RENDSZER PARAMÉTEREINEK MEGHATÁROZÁSA g MÉRÉSEK ALAPJÁN. MSc Fzka godéza és gravmtra / 1. BMEEOAFML01 VONATKOZTATÁSI RENDSZER PARAMÉTEREINEK MEGHATÁROZÁSA g MÉRÉSEK ALAPJÁN. Godéza vonatkoztatás rndszrnk (Godtc Rfrnc Systm = GRS) a godéza földmodllt matmatkalag

Részletesebben

Statikailag határozatlan tartó vizsgálata

Statikailag határozatlan tartó vizsgálata Statikailag határozatlan tartó vizsgálata Készítette: Hénap Gábor henapg@mm.bme.hu E E P MT A y F D E E d B MT p C x a b c Adatok: a = m, p = 1 N, b = 3 m, F = 5 N, c = 4 m, d = 5 mm. m A kés bbikekben

Részletesebben

A művészeti galéria probléma

A művészeti galéria probléma A műészti galéria probléma A műészti galéria probléma (art galry problm): A műészti galéria mgfigylés kamrákkal / őrökkl. Hálózattrzés Alapjai 2007 8: Műészti Galéria Probléma Őrzési / Mgilágítási problémák

Részletesebben

Határozott integrál és alkalmazásai

Határozott integrál és alkalmazásai Határozott integrál és alkalmazásai 5. május 5.. Alapfeladatok. Feladat: + d = Megoldás: Egy határozott integrál kiszámolása a feladat. Ilyenkor a Newton-Leibniz-tételt használhatjuk, mely azt mondja ki,

Részletesebben

Arculati Kézikönyv. website branding print

Arculati Kézikönyv. website branding print Arculati Kézikönyv wbsit branding print 22 2. A logó 23 A logó gy cég, szrvzt vagy szolgáltatás gydi, jól flismrhtő, azonosításra szolgáló vizuális jl. A logó lsődlgs célja a mgkülönbözttés, az gyértlmű

Részletesebben

Használhatósági határállapotok. Alakváltozások ellenőrzése

Használhatósági határállapotok. Alakváltozások ellenőrzése 1.GYAKORLAT Használhatósági határállapotok A használhatósági határállapotokhoz tartozó teherkombinációk: Karakterisztikus (repedésmentesség igazolása) Gyakori (feszített szerkezetek repedés korlátozása)

Részletesebben

Integrált Intetnzív Matematika Érettségi

Integrált Intetnzív Matematika Érettségi tgrált ttzív Matmatika Érttségi. Adott az f : \ -, f függvéy. a) Számítsd ki az f függvéy driváltját! b) Határozd mg az f függvéy mootoitási itrvallumait! c) gazold, hogy f ( ) bármly sté!. Adott az f

Részletesebben

segítségével! Hány madárfajt találtál meg? Gratulálunk!

segítségével! Hány madárfajt találtál meg? Gratulálunk! Odú llnőrzés CSORMÍVES Ha mgfogadtad a téli számban javasolt odúkihlyzést, vagy már volt odú kihlyzv a krtbn, márciustól már érdms figylgtnd trmésztsn csak gy kissé távolabbról hogy van- a környékén mozgolódás,

Részletesebben

HÕSÉMA SZÁMÍTÁS TERVEZÉSI SEGÉDLET

HÕSÉMA SZÁMÍTÁS TERVEZÉSI SEGÉDLET TERVEZÉSI SEGÉDLET Készíttt: Dr. Aszódi Atla Ellnõrizt: Dr. Gács Iván gytmi docns Budapst, 1993. szptmbr 1. A FELADAT A fladat célja a gõzkörfolyamatok üzmállapotainak pontos mghatározása során gyakran

Részletesebben

VT 265 www.whirlpool.com

VT 265 www.whirlpool.com VT 265.hirlpool.com 1 BEÜZEMELÉS A HÁLÓZATRA CSATLAKOZTATÁS ELŐTT ELLENŐRIZZE, HOGY A TÖRZSLAPON jlztt fszültség mggyzik- a lakás fszültségévl. NE TÁVOLÍTSA EL A MIKROLLÁM-BEVEZETÉST VÉDŐ LE- MEZEKET,

Részletesebben

ANYANYELVI FELADATLAP

ANYANYELVI FELADATLAP 2007. jnuár 26. ANYANYELVI FELADATLAP 4. évfolymosok számár 2007. jnuár 26. 14:00 ór A 1 fltlp NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: A fltokt ttszés szrinti sorrnn olhto mg. Ügylj mgfllő iőosztásr és küllkr! A mgolásr

Részletesebben

33 522 04 0001 33 10 Villámvédelmi felülvizsgáló Villanyszerelő

33 522 04 0001 33 10 Villámvédelmi felülvizsgáló Villanyszerelő A 10/007 (II. 7.) SzMM rndlttl módosított 1/006 (II. 17.) OM rndlt Országos Képzési Jgyzékről és az Országos Képzési Jgyzékb történő flvétl és törlés ljárási rndjéről alapján. Szakképsítés, szakképsítés-lágazás,

Részletesebben

MODERN MIKROSZKÓPIAI MÓDSZEREK 1-2

MODERN MIKROSZKÓPIAI MÓDSZEREK 1-2 A LEGFONTOSABB FOGALMAK MODERN MIKROSZKÓPIA MÓDSZEREK BIOFIZIKA SZEMINÁRIUM A ikroszkópiai ószrk csoportosítása. Fényikroszkópia. A ikroszkóp képalkotása. A képalkotással szbn táasztott lgfőbb kövtlényk:

Részletesebben

KORLÁTOS. mateking.hu BINOMIÁLIS ELOSZLÁS. Egy úton hetente átlag 3 balesetes nap van. Mi a valószínűsége, hogy egy adott héten 2 balesetes nap van?

KORLÁTOS. mateking.hu BINOMIÁLIS ELOSZLÁS. Egy úton hetente átlag 3 balesetes nap van. Mi a valószínűsége, hogy egy adott héten 2 balesetes nap van? NEVEZETES DISZKRÉT ÉS FOLYTONOS OK HIPERGEO. BINOM. POISSON VAN ITT EGY FELADAT ISMERTHOGY MENNYI AZ ÖSSZES ELEM ÉS AZ ÖSSZES SELEJT VAGYIS N K ILLETVE n k. CSAK VALAMI %-OS IZÉ ISMERT A VÁRHATÓ AZ ÁTLAG

Részletesebben

Elemi algebrai eszközökkel megoldható versenyfeladatok Ábrahám Gábor, Szeged

Elemi algebrai eszközökkel megoldható versenyfeladatok Ábrahám Gábor, Szeged Magas szintű matematikai tehetséggondozás Elemi algebrai eszközökkel megoldható versenyfeladatok Ábrahám Gábor, Szeged Ahhoz, hogy egy diák kimagasló eredményeket érhessen el matematika versenyeken, elengedhetetlenül

Részletesebben

Feladatok a Gazdasági matematika II. tárgy gyakorlataihoz

Feladatok a Gazdasági matematika II. tárgy gyakorlataihoz Debreceni Egyetem Közgazdaságtudományi Kar Feladatok a Gazdasági matematika II tárgy gyakorlataihoz a megoldásra ajánlott feladatokat jelöli e feladatokat a félév végére megoldottnak tekintjük a nehezebb

Részletesebben

Megoldott feladatok november 30. n+3 szigorúan monoton csökken, 5. n+3. lim a n = lim. n+3 = 2n+3 n+4 2n+1

Megoldott feladatok november 30. n+3 szigorúan monoton csökken, 5. n+3. lim a n = lim. n+3 = 2n+3 n+4 2n+1 Megoldott feladatok 00. november 0.. Feladat: Vizsgáljuk az a n = n+ n+ sorozat monotonitását, korlátosságát és konvergenciáját. Konvergencia esetén számítsuk ki a határértéket! : a n = n+ n+ = n+ n+ =

Részletesebben

Kazincbarcikai ÁPRILIS 6-ÁN PARLAMENTI VÁLASZTÁS HUSZONEGY EGYÉNI JELÖLT INDUL A VÁLASZTÓ- KERÜLETBEN 2014. MÁRCIUS 28.

Kazincbarcikai ÁPRILIS 6-ÁN PARLAMENTI VÁLASZTÁS HUSZONEGY EGYÉNI JELÖLT INDUL A VÁLASZTÓ- KERÜLETBEN 2014. MÁRCIUS 28. Kazincbarcikai 2014. MÁRCIUS 28. Facbook: Barcika Art Kft www.barcikaart.hu/kommunikacio/ ÁPRILIS 6-ÁN PARLAMENTI VÁLASZTÁS HUSZONEGY EGYÉNI JELÖLT INDUL A VÁLASZTÓ- KERÜLETBEN Választás 2014 Fotó: Barcika

Részletesebben

V É G E S E L E M M Ó D S Z E R M É R N Ö K I M E C H A N I K A I A L K A LM A Z Á S A I

V É G E S E L E M M Ó D S Z E R M É R N Ö K I M E C H A N I K A I A L K A LM A Z Á S A I ALKALMAZOTT MECHANIKA TANSZÉK V É G E S E L E M M Ó D S Z E R M É R N Ö K I M E C H A N I K A I A L K A LM A Z Á S A I Előadásvázlat a Multidiszciplináris Műszaki Tudományi Doktori Iskola hallgatói számára

Részletesebben

Typotex Kiadó. Jelölések

Typotex Kiadó. Jelölések Jelölések a = dolgozók fogyasztása (12. fejezet és A. függelék) a i = egyéni tőkeállomány i éves korban A = társadalmi (aggregált) tőkeállomány b j = egyéni nyugdíj j éves korban b k = k-adik nyugdíjosztály

Részletesebben

Módosítások: a) 22/2005. (IX. 19.) ör. b) 48/2006. (XII. 22.) ör. c) 7/2007. (II. 23.) ör. /2007.III. 1-

Módosítások: a) 22/2005. (IX. 19.) ör. b) 48/2006. (XII. 22.) ör. c) 7/2007. (II. 23.) ör. /2007.III. 1- 1 Módosítások: Budapst Főváros Trézváros Önkormányzat Képvislő-tstülténk 34/1996. (XII. 16.) rndlt az Önkormányzat tulajdonában álló lakások bérlőink lakbértámogatásáról a) 22/2005. (IX. 19.) ör. b) 48/2006.

Részletesebben

Lagrange egyenletek. Úgy a virtuális munka mint a D Alembert-elv gyakorlati alkalmazását

Lagrange egyenletek. Úgy a virtuális munka mint a D Alembert-elv gyakorlati alkalmazását Lagrange egyenletek Úgy a virtuális munka mint a D Alembert-elv gyakorlati alkalmazását megnehezíti a δr i virtuális elmozdulások egymástól való függősége. (F i ṗ i )δx i = 0, i = 1, 3N. (1) i 3N infinitezimális

Részletesebben

Fizikai kémia Elektronszínképek és a lézerek. I 2(g) I 2(aq) Dr. Berkesi Ottó SZTE Fizikai Kémiai és Anyagtudományi Tanszéke 2015

Fizikai kémia Elektronszínképek és a lézerek. I 2(g) I 2(aq) Dr. Berkesi Ottó SZTE Fizikai Kémiai és Anyagtudományi Tanszéke 2015 Fizikai kémia 2. 12.Elktronszínképk és a lézrk Dr. Brksi Ottó SZTE Fizikai Kémiai és Anyagtudományi Tanszék 2015 21787cm -1 ~18800 cm -1 0,25 0,20 0,15 0,10 0,05 I 2(aq) I 2(g) 0,00 26000 24000 22000 20000

Részletesebben

TÁMOGATÁSI SZERZŐDÉS. Leonardo da Vinci Innováció transzfer projektekre. Az Egész életen át tartó tanulás program 1 keretében

TÁMOGATÁSI SZERZŐDÉS. Leonardo da Vinci Innováció transzfer projektekre. Az Egész életen át tartó tanulás program 1 keretében TÁMOGATÁSI SZERZŐDÉS Lonardo da Vinci Innováció transzfr projktkr Az Egész éltn át tartó tanulás program 1 krtébn amlyt gyrészről a Tmpus Közalapítvány Hivatalos jogi forma: közalapítvány Nyilvántartási

Részletesebben

25 i, = i, z 1. (x y) + 2i xy 6.1

25 i, = i, z 1. (x y) + 2i xy 6.1 6 Komplex számok megoldások Lásd ábra z = + i, z = + i, z = i, z = i z = 7i, z = + 5i, z = 5i, z = i, z 5 = 9, z 6 = 0 Teljes indukcióval 5 Teljes indukcióval 6 Az el z feladatból következik z = z = =

Részletesebben

ANYANYELVI FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára

ANYANYELVI FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára 2006. jnuár 28. ANYANYELVI FELADATLAP 8. évfolymosok számár 2006. jnuár 28. 10:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: A fltokt ttszés szrinti sorrnn olhto mg. Ügylj mgfllő iőosztásr és küllkr! Tolll olgozz!

Részletesebben

Város Polgármestere ELŐTERJESZTÉS

Város Polgármestere ELŐTERJESZTÉS Város Polgármstr 251 Biatorbágy, Baross Gábor utca 2/a Tlfon: 6 23 31-174/233 mllék Fax: 6 23 31-135 E-mail: bruhazas@biatorbagy.hu www.biatorbagy.hu ELŐTERJESZTÉS Budapst Balaton közötti krékpárút nyomvonalával

Részletesebben

Gyakorló feladatok javítóvizsgára szakközépiskola matematika 9. évfolyam

Gyakorló feladatok javítóvizsgára szakközépiskola matematika 9. évfolyam Gyakorló feladatok javítóvizsgára szakközépiskola matematika 9. évfolyam Halmazok:. Adott két halmaz: A = kétjegyű pozitív, 4-gyel osztható számok B = 0-nél nagyobb, de 0-nál nem nagyobb pozitív egész

Részletesebben

ARCHIMEDES MATEMATIKA VERSENY

ARCHIMEDES MATEMATIKA VERSENY Koszinusztétel Tétel: Bármely háromszögben az egyik oldal négyzetét megkapjuk, ha a másik két oldal négyzetének összegéből kivonjuk e két oldal és az általuk közbezárt szög koszinuszának kétszeres szorzatát.

Részletesebben

EGYENLETRENDSZEREK MEGOLDÁSA ELEMI BÁZISTRANSZFORMÁCIÓVAL. együttható-mátrix x-ek jobb oldali számok 2.LÉPÉS: A BÁZISTRANSZFORMÁCIÓ. easymaths.

EGYENLETRENDSZEREK MEGOLDÁSA ELEMI BÁZISTRANSZFORMÁCIÓVAL. együttható-mátrix x-ek jobb oldali számok 2.LÉPÉS: A BÁZISTRANSZFORMÁCIÓ. easymaths. www.symhs.hu mk ilágos oldl symhs.hu.lépés: GENERÁLÓ ELEM VÁLASZTÁSA Csk -s oszlopól és -s soról álszhunk gnráló lm, nullá nm álszhunk és lhőlg - gy -- érdms AZ JÁTÉKSZABÁLYAI.LÉPÉS: A BÁZISTRANSZFORMÁCIÓ

Részletesebben

Operatív döntéstámogatás módszerei

Operatív döntéstámogatás módszerei ..4. MSKOLC YM azaságtuomáyi Kar Üzlti formációgazálkoási és Mószrtai tézt Számvitl tézti aszék Opratív ötéstámogatás mószri Dr. Musiszki Zoltá Opratív ötéstámogatás mószri Statisztikai, matmatikai mószrk

Részletesebben

Szervomotor sebességszabályozása

Szervomotor sebességszabályozása Srvomotor sbsségsabályoása. A gyaorlat célja Egynáramú srvomotor sbsségsabályoásána trvés. A motorsabályoás programváána flépítés. A sbsség rányítás algortms mgvalósítása valós dbn. 2. Elmélt bvt A motor

Részletesebben

Függvények határértéke, folytonossága

Függvények határértéke, folytonossága Függvények határértéke, folytonossága 25. február 22.. Alapfeladatok. Feladat: Határozzuk meg az f() = 23 4 5 3 + 9 a végtelenben és a mínusz végtelenben! függvény határértékét Megoldás: Vizsgáljuk el

Részletesebben

Dinamikus modellek szerkezete, SDG modellek

Dinamikus modellek szerkezete, SDG modellek Diagnosztika - 3. p. 1/2 Modell Alapú Diagnosztika Diszkrét Módszerekkel Dinamikus modellek szerkezete, SDG modellek Hangos Katalin PE Villamosmérnöki és Információs Rendszerek Tanszék Diagnosztika - 3.

Részletesebben

Szélsőérték-számítás

Szélsőérték-számítás Szélsőérték-számítás Jelölések A következő jelölések mind az f függvény x szerinti parciális deriváltját jelentik: Ugyanígy az f függvény y szerinti parciális deriváltja: f x = xf = f x f y = yf = f y

Részletesebben