SPECIÁLIS TÖBBVÁLTOZÓS ELOSZLÁSOK MODELLEZÉSE KOPULÁK SEGÍTSÉGÉVEL

Átírás

1 5 Kovács Edth * SPECIÁLIS TÖBBVÁLTOZÓS ELOSZLÁSOK MODELLEZÉSE KOPULÁK SEGÍTSÉGÉVEL Összfoglaló: A ckkbn bmutatunk gy módszrt az gyütts loszlás modllzésér, azzal a fltétlzéssl, hogy smrjük a prmloszlás-függvénykt. A többváltozós gyütts loszlásfüggvény tljs mértékbn jllmz a valószínûség változók összfüggésénk mértékét, zért z gyütts loszlásfüggvény modllzés az összfüggés mérésénk a knduló pontja. Egy portfoló kockázatának a modllzésér dág lggyakrabban a többváltozós Gauss-loszlás volt használatos, mvl nagyon sok kénylms tulajdonsággal rndlkzk. A gyakorlat sajnos bbzonyította, hogy nm mndg llszthtõ a valós adatokra. Egydmnzós valószínûség változók stébn a normáls loszlással való mgközlítés nagyon hasznosnak bzonyul, mvl nagyon sokfél loszlás közlíthtõ mg bzonyos fltétlk mlltt a normálssal. Mnt smrts sok olyan nm normáls gyütts loszlás létzk, amlynk a prmloszlás- függvény normálsak. Az gyk fõ hányossága a többváltozós normáls loszlásfüggvénynk, hogy az összfüggés az xtrmtásokban. A valós vlágban, például a pénzügykbn, sok olyan st van, amkor a nagyon nagy értékk, lltv nagyon kcs értékk gyüttsn fokozott valószínûséggl kövtkznk b. Ezknk a sajátosságoknak a modllzéséhz fogjuk az archmédsz kopulák fajtájából a Gumbl, Frank és Clayton 4, 5. családokat használn [ ][] Kulcsszavak: normál loszlás, kopula, xtrmtásokban való függõség, archmédsz kopula. Bvztés Dolgozatunk célja két olyan valószínûség változó gyütts loszlásának a modllzés, amlyk xtrmtásokban való összfüggést mutatnak (a kugró értékk gyszrr kövtkznk b és zk összfüggésénk jllmzés. A gyakorlatból láthattuk, hogy a kockázat-lmzésbn nagyon fontos szrpt játszanak az gyütt bkövtkzõ xtrém értékk. Ezknk fgylmbvétlévl kll majd a modllt mgszrksztn. A dolgozatban gy nm normáls gyütts loszlás sgítségévl modllzünk; a fnt mlíttt spcáls kívánalmakat fgylmb vév, a kétváltozós gyütts-loszlást úgy, hogy a prmloszlásokat normálsnak tkntjük. Ehhz flhasználjuk az lõzõ ckkünkbn [ 2 ] bmutatott Gumbl, Clayton és Frank kopulákat. * Fõskola adjunktus, Általános Vállalkozás Fõskola

2 6 A: Rövd mlékzttõ a kopulákról. A kopulafüggvény értlmzésérõl (rövdn Egyszrûn fogalmazva[ 3 ]: több valószínûség változóhoz tartozó kopulafüggvény az gyütts loszlásfüggvény és a szmpla valószínûség változók loszlásfüggvényt gysít magában. Ahogyan azt már [] 2 bmutattam, a kopulafüggvény sgítségévl tljsn lírható kttõ vagy több valószínûség változó statsztka összfüggésénk a mérték. A kopulafüggvényk flhasználásának két fõ ránya: Mghatározhatjuk a kopulafüggvényt az gyütts loszlásfüggvény smrtébn. (Az gyütts l oszlásfüggvény gyértlmûn mghatározza a prmloszlás-függvénykt. Ezk smrtébn a Sklar tétl [] alapján konstruálható gyértlmûn a kopulafüggvény. A mntából kapott adatok alapján mgválasztjuk a mgfllõ kopulát, amlyt gysítünk a prmloszlás-függvénykkl. Így modllzhtjük a mntának mgfllõ gyütts loszlást. Dfncó.: Kopulafüggvénynk nvzünk mndn olyan függvényt, amly a kövtkzõ képpn van értlmzv: C : ; 2, és lgt tsz a kövtkzõ tulajdonságoknak:, a u v I C( u, C(, v b u, v I C( u, u C(, v v c u, u2, v, v2 I; u u2, v v2 Tétl.. (Sklar[] H x, y gyütts loszlásfügg- F x lltv G y prmloszlás-függvénykkl, akkor létzk gy : Ha X és Y folytonos valószínûség változók ( vénnyl és ( ( C : [ ; ] 2 [ ; ] C kopulafüggvény, amlyr gaz, hogy [ ] [ ] ( u v C( u, v C( u, v + C( u, v 2, ( [ ;] C( u, v H F ( u, G ( v u, v. Fordítva: Ha C : [ ; ] 2 [ ; ], ( F( x G( y C, gy kopula, akkor létzk gytln gy gyütts loszlásfüggvény H(x,y, F(x és G(y prmloszlásokkal. Err tljsül: ( x, y C( F( x G( y x, y R H,

3 7 2. Az archmédsz kopulák[ 5] Dfncó 2.: Azt mondjuk, hogy gy :[,] 2 [,] csökknõ függvény φ ], ] R C kopula archmdsz, ha létzk gy konvx : a kövtkzõ két tulajdonsággal: φ ( és C ( u v φ, φ( u + φ( v Az archmédsz kopulafüggvényt gyértlmün mghatározza a φ gnrálófüggvény [][], 4 A továbbakban a kövtkzõ archmédsz kopulacsaládokat fogjuk használn: [ ] ;. Gumbl-család (96 ( ln u + ( ln v C u v. (, φ φ ( v ( lnv ( 3. Ezt a családot a flsõ xtrmtásokban való rõs összfüggés jllmz, mnt z az. ábrán látható.. ábra + 2. Clayton-család (978 ( u, v ( u v ; C. φ ( v v. Ezt a családot az összfüggés az alsó xtrmtásokban jllmz, ahogyan azt a 2. ábra mutatja.

4 8 3. Frank család (978 C( u, v ln + φ ( v u v ( ( R Ez a család szmmtrkusan rõs xtrmtásokban való dpndncát mutat. Ez látható a 3. ábrán. ln u u 3. ábra 3. Extrmtásokban való dpndnca (összfüggés: Flsõ xtrmtásokban való összfüggés, akkor létzk, ha a kövtkzõ határérték poztív (vagys a nagy klógó értékk gyszrr kövtkznk b: λ uppr lm P Y u u< ( G ( u / X F ( u Alsó xtrmtásokban való összfüggés akkor van, ha a kövtkzõ határérték poztív (vagys a kcs klógó értékk gyszrr kövtkznk b: λ lowr lm P Y u u> ( G ( u / X F ( u Mgjgyzésk: A Gauss-loszlásnak, amlyhz tartozó korrlácó ksbb mnt nulla az alsó xtrmtásokban való dpndncája, úgyszntén a flsõ xtrmtásokban való dpndncája. Az xtrmtásokban való összfüggés a kopulán múlk és nm a prmloszlásokon, zért a kopulát kll mgfllõn mgválasztan.

5 9 B: Egy spcáls gyütts loszlásnak mgfllõ kopula modllzés µ,σ µ 2,σ 2 N normál loszlású valószínûség változók. Az alapötlt a kövtkzõ: modllzn fogjuk numrkusan a mntának mgfllõ kopulát, szm lõtt tartva az xtrmtásokban való összfüggés típusát. Ennk érdkébn a fnt bmutatott három kopulacsaládot fogjuk használn. Tgyük föl, hogy van gy n darab ( x, y párból álló mntánk. Ezkhz hozzárndljük a mgfllõ u és v értékkt az alább képltk szrnt: A továbbakban abból ndulunk k, hogy X és Y N ( lltv (. X Y x µ u F( x Φ σ y µ v G( y Φ σ2 2 x y u v M M M M xn yn u n vn 2. Kszámoljuk az mprkus Kndall-mutatókat: τ c d, c + d ahol c a mntában lévõ konkordáns párok számossága (azok a párok az {( x y ; ( x j, y j } számossága amlykr gaz, hogy ( x x j ( y y j f, d dszkordáns párok számossága (azok a párok az {( x y ; ( x j, y j } gaz, hogy ( x x ( y y p. j j, párok, párok számossága, amlykr 3. Kszámoljuk az paramétrt, amly a Kndall-fél mprkus mutatónak a függvény. Kválasztjuk az adott kopula családból a mgfllõ kopulát. Gumbl Clayton Frank ;, τ ( 2τ τ [, 4 D τ + R ( whr D t ( dt t

6 4. smrtébn mgállapítjuk a gnráló függvényt Gumbl Clayton Frank φ ( v ( ln v φ( v x φ( v ln x x 5. Flhasználva az lsõ lépésbn kszámított u és v értékkt, most kszámoljuk a kválasztott kopula * φ u és φ v értékt: gnráló függvényénk a ( ( φ ( u φ( v M M φ ( u n φ( v n 6. Az ötödk lépés nyomán kszámolhatjuk a kopula dszkrét pontokban flvtt értékt. Gumbl Clayton Frank C( u, v [ ( ln u + ( ln v ] ; C( u, v ( u + v ; C( u, v R ln + u ( v ( n 7. Kszámoljuk ugyanzkn az ( u, v értékkt: Π ( u, v u. v. dszkrét pontokon, a függtlnség kopula által flvtt 8. Kszámoljuk ugyanzkn az ( u, v dszkrét pontokon, a maxmáls kopula értékt ( u v lltv W (, értékkt. u v M,, 9. Bvztünk gy mutatót, amllyl az összfüggés mértékét fogjuk jllmzn. Ehhz a kövtkzõ jlöléskt lsznk szükségsk: Jlölj A C( u, v Π( u, v. ha A > Jlölj δ és különbn ha A < δ különbn * A Gnst, Mac Kay 993 lmélt és [8] alapján

7 Az alapötlt az, hogy számszrûsítsük a modllztt kopula C(u,v és a függtlnség kopula között n ltérést. Ehhz használhatjuk például a az ltérésk négyzténk összgét a mntából származtatott pontokon: ( C( u v Π( u, v 2,. Mnél közlbb áll z az összg a nullához, annál közlbb áll a változok kapcsolata a függtlnséghz. A probléma, abból adódhat, hogy nnk a számnak nncsn számszrû flsõhatára. Tudjuk, hogy mndn kopula a mnmáls és a maxmáls kopula közé sk, bbõl kfolyólag pdg u, pontban számolhatunk gy maxmáls ltérést: mndn ( v Ha a C(u,v kopula a függtlnség kopula fölött halad, akkor a maxmáls ltérést az ( u, v pontban a M u, v Π( u, v adja. ( Ha a kopula a C(u,v kopula a függtlnség kopula alatt halad l akkor a maxmáls ltérés az( u, v pontban a Π u, v W ( u, v adja. ( A probléma az, hogy lõfordulhat, hogy gy kopula mtszht a függtlnség kopulát, matt pdg mgváltoztathatja a függtlnség kopulához képst a pozícóját. A dolgozat végén található ábrákon bmutatjuk az általunk konstruált kopula és a függtlnség kopula között ltéréskt [a Clayton (CG, Gumbl (CG, Frank (CF] különbözõ értékkr. Ha az ltérésk poztív rányban rajzolódtak k, akkor az általunk konstruált kopula van fölül (4, 5, 6. ábrák, ha pdg ngatív rányban rajzolódnak k, akkor az általunk konstruált kopula halad l a függtlnség kopula alatt (7, 8. ábrák, d lõfordul, hogy ngatív tartományból poztívba vált át, vagy fordítva. Ilyn stkbn pdg valahol mtsz a függtlnség kopulát, így mgváltoztatva a hozzá vszonyított rlatív pozícóját. Ezn sajátosságok fgylmbvétlévl bvztjük a kövtkzõ mutatót: σˆ XY ( C( u, v Π( u, v n n 2 2 [ δ( M ( u, v C( u, v ] + [ δ( C( u, v W ( u, v ] n 2. Ez a mutató már nulla és gy közé sk. C: Kövtkzttésk A B: részbn bmutatott módszr által numrkusan modllztünk gy normáls prmloszlású, d nm normáls gyütts-loszlásnak mgfllõ kopula függvényt, fgylmb vév az xtrmtásokban mgfgylhtõ sajátosságokat. A mntából nyrt adatokra támaszkodva bvztünk gy mprkus mutatót ˆσ X, Y, amly jllmz az összfüggés mértékét. Mnél közlbb áll ˆσ X, Y az -hz, annál rõsbb kapcsolatot sjthtünk a két valószínûség változó között; mnél közlbb áll z a mutató a nullához annál gyngébb kapcsolatot sjtt.

8 2 4. ábra * ** alfa4; ltérés CG - uv,25,2,5,,5 5. ábra * ** alfa-,5; ltérés: CF - uv,6,4,2,,8,6,4,2 -,2 [ ;] 2 * A síkban mérjük az u és v értékkt, thát fkvõ négyzt ** Érdms mgfgyln a függõlgs tngly értékt. Mnél nagyobbak annál nagyobb az ltérés a függtlnség kopulától, thát rõsbb az összfüggés. (Mgjgyzés: különbözõ ábrákon különbözõ a mértékgység.

9 3 6. ábra * ** alfa3; ltérés CG - uv,8,6,4,2,,8,6,4,2 7. ábra * ** alfa,5; ltérés: CF - uv,2 -,2 -,4 -,6 -,8 -, -,2 -,4 -,6 [ ;] 2 * A síkban mérjük az u és v értékkt, thát fkvõ négyzt ** Érdms mgfgyln a függõlgs tngly értékt. Mnél nagyobbak annál nagyobb az ltérés a függtlnség kopulától, thát rõsbb az összfüggés. (Mgjgyzés: különbözõ ábrákon különbözõ a mértékgység.

10 4 8. ábra * ** alfa,5; ltérés: CC - uv, -, -,2 -,3 -,4 -,5 -,6 -,7 FELHASZNÁLT IRODALOM: [] Sklar, A.: Random varabls, dstrbuton functons, and copulas-a prsonal look backward and forward, n Dstrbutons wth Fxd Margnals and Rlatd Topcs, d. By L. Rüschndorff, B. Schwzr, and M. Taylor, pp. -4. Insttut of Mathmatcal Statstcs, Hayward, CA. [] 2 Kovács, E.: Valószínûség változók gyütts loszlásának lltv összfüggésénk jllmzés kopulák sgítségévl. Általános Vállalkozás Fõskola, Tudományos Közlményk 2. szám, 25. áprls. [] 3 Gnst, C. and Mac Kay: Th joy of copulas: Bvarat dstrbutons wth unform margnals, Th Amrcan Statstcan, 4. pp (986a. [] 4 Gnst, C. and Mac Kay: Copula archmédnns t famlls d los bdmnsonll dont ls margs sont donns, Th Canadan Journal of Statstcs 4. pp (986b. [] 5 Gnst, C. and Rvst, L.-P.: Statstcal nfrnc procdurs for bvarat Archmdan copulas, Journal of th Amrcan Statstcal Assocaton, 88. pp [] 6 Embrchts, P. Lndskog, F and Mc Nl A.: Modllng Dpndnc wth Copulas and Applcatons to Rsk Managmnt Dpartamnt of Mathmatcs ETHZ sptmbr, 2. pp [] 7 Nlsn, R.: An Introducton to Copulas, Sprngr, Nw York, 998. [] 78 Kovács, E.: Algortmusok az gyütts loszlás modllzéséhz kopulák sgítségévl. Országos Matmatka, Fzka, Infomatka Konfrnca. Szgd, 25. [ ;] 2 * A síkban mérjük az u és v értékkt, thát fkvõ négyzt ** Érdms mgfgyln a függõlgs tngly értékt. Mnél nagyobbak annál nagyobb az ltérés a függtlnség kopulától, thát rõsbb az összfüggés. (Mgjgyzés: különbözõ ábrákon különbözõ a mértékgység.