Véletlen gráfok szerkesztésekor n csomópontból indulunk ki. p valószínűséggel két csomópontot éllel kötünk össze.

Átírás

1 9. előadás

2 P(k) k Véletlen gráfok szerkesztésekor n csomópontból ndulunk k. p valószínűséggel két csomópontot éllel kötünk össze. A fokszámok Posson eloszlásúak P( k) = e pn ( pn) k! k Ksvlág gráfokat úgy szerkesztünk, hogy rövdítőket adunk rendezett gráfokhoz A fokszámok eloszlása kcsúcsosodk az átlagérték körül

3 Növekvő hálózatok modellje (A.-L. Barabás R. Albert 1999) 1) Növekedés Mnden dőlépésben egy új csomópont jelenk meg a rendszerben 2) Preferencáls csatolódás A csatolódás valószínűsége a csomópont fokszámától függ P(k) k P( k ) = k j = 1, N k j A fokszámok hatványfüggvény eloszlásúak

4 dvatos ága a Komplex Rendszerek Fzkájának Közgazdaság és a társadalomtudományok makroskálán egy megfelelő rendszer a fzka egyes módszerenek az alkalmazására (makroskála: az egyének ndvdualtása elhanyagolható és átlagos vselkedéssel helyettesíthető) olyan folyamatok amelyben sok egyed komplkált módon kölcsönnhat vannak nylvánvaló ok-okozat kapcsolatok, habár egy bzonyos makrosznten a folyamatok stochasztkusnak (véletlenszerűnek) tűnnek vannak unverzáls és smétlődő törvényszerűségek lehet mérn, modellezn és kísérletezn ezen rendszerekben létezk egy általános elv amely ezen rendszerek evolúcóját vezérl: a maxmáls nyereség elve Kondor Imre Bank és kockázat (Mndentudás Egyeteme, 2004, május 24) fzkus értelemben komplex rendszer komplex modellekkel megközelíthető Néhány dvatos ökonofzka téma: tőzsdendexek és árak fluktuácónak a tanulmányozása, korrelácók ezek között... a pac és tőzsde modellezése gazdaság és kereskedelm kapcsolatok hálójának leírása és modellezése, ezen kapcsolathálókon levő tranzakcók és nformácó-áramlások modellezése bank kockázatok tanulmányozása és kezelése a társadalomban levő pozícók, jövedelmek és vagyoneloszlások leírása és modellezése

5 Kevesebb kísérlet adat (nehezen és általában csak ndrekt módon mérhető) Vagyoneloszlás az ókor Egyptomban Kummulatív vagyoneloszlás a magyar nemesség körében 1500 körül * (logartmkus skála) (az adott nemes család brtokában levő jobbágyporták alapján) * Hegy Géza & Néda Zoltán (BBTE, Fzka Kar)

6 Vagyoneloszlás az Inda társadalom leggazdagabb 100 családja között (2002, 2003) Vagyoneloszlás Nagy Brttánában (2000), (az örökösödés adatokból) * Kummulatív eloszlásfüggvény Vagyon a sorszám függvényében logartmkus skálán a kapott hatványfüggvény a Pareto törvényt gazolja * R. Coelho, Z. Neda and M.A. Santos, 2005

7 Pareto eredet mérése α-ra V. Pareto, Cours d Econome Poltque, vol. 2, Macmllan, Pars, 1897 C P >= ( w) = α: a Pareto exponens α w Év jövedelem eloszlása Japánban ( ) α [1.8, 2.2] Év jövedelem eloszlása Olaszországban ( ) α [1.6,1.9] Év övedelem eloszlása az Egyesült államokban (2000) α = 2.1 Vagyoneloszlás a magyar nemesség körében 1500 körül α =0.95 Vagyoneloszlás az Inda társadalom leggazdagabbja között (2002, 2003) α = 0.81; α =0.93 Vagyoneloszlás Nagy Brttánában (2000), (az örökösödés adatokból) α = 2.52 α : 0.8 Mnnél élénkebb gazdaság kapcsolatok vannak a vzsgált társadalom tagja között annál nagyobb a Pareto exponens! 2.6

8 - Mndenk mndenkvel kölcsönhat (vagyont cserél)! W : az egyedek vagyona; J(,j) az egyedek közt kölcsönhatás erőssége; η (t): egy normáls (Gauss) eloszlású véleltlenszerű változó 2 η ( t) = 0 2 η ( t) η ( t) = 2σ J.-P. Bouchod, M. Mezard; Physca A, vol. 282, pp (2000) 2 A feladat másztersz egyenlete (a vagyonok dőbel evolucóját vezérlő egyenlet) dw dt = η ( t) W =1,2,...N + j( ) J ( j, ) W N j j( ) J (, j) W az átlagtér közelítés: az átlagtér megoldás: J α = 1+ σ 2 J (, j) = w J N ( α 1) exp[ ] A w w ρ ech( ) = 1+ α Pareto exponens

9 -A valód társadalmakban a vagyoncsere nem egy teljesen összekötött hálon történk (nem mndenk mndenkvel hat kölcsön). - A társadalm háló fogalma és topologája (szerkezete) fontos a vagyoncsere mechanzmusának a leírásához! (k kvel van összekötve?) - A vagyoncsere mechanzmusában a család hálóknak van ktüntetett szerepe! - Mlyen a család hálónak a szerkezete??? - A család háló és vagyoneloszlás között szoros kapcsolat van! Barabás Albert László, A hálozatok csodálatos vlága, (Mndentudás Egyeteme, 2005 okt. 10) családháló vagyoneloszlás -Egy helyes (komplex) modellnek generálna kell úgy a helyes vagyoneloszlást mnt az őt meghatározó társadalm hálót - A modellnek realsztkus és lehetőleg egyszerű törvényszerűségeket kell tartalmazna - A modell a bonyolult hálószerkezet matt valószínűleg analtkusan nem tanulmányozható - Monte Carlo tpusú számítógépes szmulácók szükségesek... * R. Coelho, Z. Neda, J.J. Ramasco ş M.A. Santos; Physca A, 2005 Szocáls Háló, V. Hugo Nyomorultak

10 a csomópontok a kötések a családok az elsőrangú család kapcsolatok mnden () csomópontnak van vagyona W() + és kora A() A modell állandó: - a családok száma - az összvagyon a rendszerben Kezdet feltételek: - egy véletlenszerű háló - a vagyonok egyenletes eloszlása a (0,1) ntervallumon - a családok kora a csomópontok () sorszáma A modell dnamkája (1) A legöregebb csomópontot () eltávolítjuk. A vagyonát egyenletesen elosztjuk azon csomópontok között amellyel kötése voltak (ha nncs kötése senkvel, akkor a vagyonát preferencálsan szétosztjuk az összes csomópont között) az örökösödés folyamat (2) Az eltávolított csomópont () 0 korral vsszakerül (születés), és két olyan (j és k) csomóponthoz kapcsolódk amelyeknek a vagyona nagyobb mnt: q (egy új család megalakítása pénzbe kerül). A q vagyon levónódk j és k vagyonából és preferencálsan szétosztódk a családok között (az új család megalapításából a társadalomnak nyeresége van). A j és k családok a megmaradt vagyonuk p-ed részét az új családnak adják (megndulás vagyon) (3) Mnden csomópont kora egységgel nő. W W W ' ( ) = [ W ( j ) q ] p + [ W ( k ) ' ( k ) = [ W ( k ) q ]( 1 p ) ' ( j ) = [ W ( j ) q ]( 1 p ) Kétparaméteres modell: q és p q ] p (2)

11 A modell a helyes vagyoneloszlást és a hálóstrukturát s generálja! A vagyoneloszlás - q= és p= értékekre a P >= (w) kummulatív vagyonelszolás görbék megfelelőek - a társadalom felső 10%-ra érvényes a Pareto törvény - a ks vagyonok esetén P >= (w) exponencáls -az α-ra kapott értékek: Számítógép-szmulácós eredmény a családháló modellre. Kummulatív eloszlásfüggvény log-log skálán. - p=0.3, q=0.7 (N=10000 csomópont, 10 generácós szmulácó) A számított Pareto exponens α=1.8

12 A családháló topológája -A P(k) fokszám-eloszlás (a csomópontokból knduló kötések számának, k, eloszlása) exponencáls - k prob =2; <k>=1.9 (realsztkus) - a kalakuló családháló ks-vlág (small-word) típusú (általában ez jellemző a valós társadalm hálókra) Számítógép-szmulácós eredmények a generált háló fokszámeloszlására. Normál-log skála, N=10000 család (csomópont ) és 10 generácós szmulácó