Példa: Síkbeli rugalmasságtani feladat megoldása végeselemes módszerrel

Átírás

1 Példa: Síkbeli rugalmasságtani feladat megoldása végeselemes módszerrel Készítette: Dr. Kossa Attila BME Műszaki Mechanikai Tanszék 213. november 17. Javítva: - Határozzuk meg az ábrán vázolt sík lemez deformált alakját és a lemezben ébredő feszültségeket végeselemes módszer alkalmazásával. A lemezt 2db 4 csomópontos lineáris izoparametrikus elemre osszuk fel. Az elemek merevségi mátrixainak számításakor 2 2-es Gauss-féle kvadratúrát alkalmazzunk. A lemez anyagának rugalmassági modulusza E, Poisson-tényezője ν, a lemez vastagsága t. A lemez a z-irányban terheletlen és szabadon deformálódhat. 1. ábra. A lemez geometriája, kényszerezése és terhelése Ennél a feladatnál ahol várhatóan eléggé inhomogén a feszültségeloszlás a megoldások keresése csupán két elem alkalmazásával pontatlan eredményt fog szolgáltatni. A kidolgozott feladatban a hangsúly a számítás menetének megértésén van, nem pedig a minél pontosabb megoldás előállításán. A feladat célja ismertetni a megoldási algoritmus főbb lépéseit. A számítási eljárás részleteinek ismeretében a többelemes megoldás keresése már nem igényel további lépéseket, csupán a megoldandó egyenletek és az ismeretlenek száma lesz nagyobb! 1

2 ELMÉLETI ÖSSZEFOGLALÓ A globális és lokális koordinátarendszerek értelmezését szemlélteti az alábbi ábra. 2. ábra. Négy csomópontos lineáris izoparaméteres sík elem lokális csomópontjainak számozása és koordinátái A globális és lokális koordináták közötti leképzések: x 4 N i x i, y i1 4 N i y i, (1) i1 ahol a formafüggvények alakjai: N (1 ξ)(1 η), N 2 1 (1+ξ)(1 η), (2) 4 N (1+ξ)(1+η), N 4 1 (1 ξ)(1+η). (3) 4 Izoparametrikus elemtípus esetén az elmozdulásmező interpolációjára is ugyanezen formafüggvényeket használjuk: u(ξ,η) u NU, [ u(ξ,η) v(ξ,η) ], u 4 N i u i, v i1 4 N i v i, (4) ahol az N transzformációs mátrix és az elem csomópontjainak elmozdulásait tartalmazó U vektor alakja: u 1 v 1 [ ] u 2 N1 N N 2 N 3 N 4, U v 2 N 1 N 2 N 3 N 4 u 3. (6) v 3 u 4 v 4 i1 (5) 2

3 A formafüggvények globális deriváltjainak felírása: [ ] [ ][ Ni / x ξ/ x η/ x Ni / ξ N i / y ξ/ y η/ y N i / η } {{ } J 1 ], i 1,2,3,4. (7) A J mátrix alakja: [ x/ ξ y/ ξ J x/ η y/ η ], (8) melynek elemei az alábbiak szerint számíthatóak: ( 4 ) x 4 N i N i x i ξ ξ ξ x i, i1 i1 ( 4 ) x 4 N i N i x i η η η x i, i1 i1 ( 4 ) y ξ N i y i ξ i1 ( 4 ) y η N i y i η A formafüggvények lokális koordináták szerinti deriváltjai egyszerűen számíthatóak: N 1 ξ N 1 η (η 1), 4 (ξ 1), 4 J mátrix determinánsának felírása: i1 N 2 ξ (1 η), 4 N 2 ( ξ 1), η 4 i1 N 3 ξ (1+η), 4 N 3 η (1+ξ), 4 4 i1 4 i1 N i ξ y i, (9) N i η y i. (1) N 4 ( η 1), (11) ξ 4 N 4 η (1 ξ). (12) 4 detj x y ξ η y x ξ η, (13) ( 4 )( 4 ) ( 4 )( 4 ) N i detj ξ x N i i η y N i i ξ y N i i η x i. (14) i1 Az alakváltozásokat tartalmazó vektor megadása: ε x ε ε y γ xy, ε BU, (15) ahol a formafüggvények globális deriváltjait tartalmazó B mátrix az alábbi alakú: B i1 N 1 N 2 N 3 N 4 x x x x N 1 N 2 N 3 N 4 y y y y N 1 N 1 N 2 N 2 N 3 N 3 N 4 N 4 y x y x y x y x i1. (16) A feszültségek számítása: σ x σ σ y, σ Dε DBU, (17) τ xy 3

4 ahol D mátrix tartalmazza az anyagjellemzőket. D alakja sík-feszültségi, illetve sík-alakváltozási esetekben: sík-feszültségi állapot: D E 1 ν ν 1, (18) 1 ν 2 1 ν sík-alakváltozási állapot: D E (1+ν)(1 2ν) 2 1 ν ν ν 1 ν 1 2ν 2. (19) A rugalmas alakváltozási energia felírása: U 1 σ T εdv 1 ε T D T εdv 1 ε T DεdV 1 U T B T DBUdV (2) V 1 2 UT V V B T DBdV U 1 2 UT KU, (21) V ahol az elem merevségi mátrixa: V V K B T DBdV B T DBtdA, K Az integrálás közelítése Gauss-kvadratúrával: K K A B T DB (detj) tdξdη. (22) F (ξ,η)dξdη, ahol F (ξ,η) B T DB (detj) t. (23) F (ξ,η)dξdη m i1 j1 m w i w j F (ξ i,η i ), K m m w i w j F (ξ i,η i ), (24) i1j1 ahol m az alkalmazott Gauss-pontok száma, w i és w j az integrálási súlyok, ξ i és η i pedig a Gauss-pontok koordinátái. Egy, kettő, illetve három Gauss-pont alkalmazása esetén a Gausskoordinátákat és az integrálási súlyok értékeit az alábbi táblázat foglalja össze. Gauss-pontok Gauss-pontok Integrálási száma koordinátái súlyok 1 ξ 1 w ξ 1 1/ 3 w 1 1 ξ 2 1/ 3 w ξ 1 3/5 w 1 5/9 ξ 2 w 2 8/9 ξ 3 3/5 w 3 5/9 4

5 Egy Gauss-pont alkalmazása esetén: K e 1 1 w i w j F (ξ i,η i ) 2 2 F (,). (25) i1 j1 Kettő Gauss-pont alkalmazása esetén: K e 2 i1 j1 1 1 F 2 w i w j F (ξ i,η i ) (26) +1 1 F ( 1, 1 )+1 1 F 3 3 ( 1 3, 1 3 )+1 1 F ( 1 3, 1 ) 3 ( 1 3, (27) ) 1. (28) 3 5

6 MEGOLDÁS A számítások során a távolságok [mm]-ben értendőek, a feszültségek pedig [MPa]-ban. A vizsgált tartomány két elemre történő felosztásának és számozásának egy lehetséges megoldását mutatja az alábbi ábra ábra. Az alkalmazott elemfelosztás (hálózás) Az egyes elemekhez tartozó csomópontokat, a saját lokális csomópontjainak sorrendjében az alábbi táblázat tartalmazza: lokális 1. csp. lokális 2. csp. lokális 3. csp. lokális 4. csp. 1. elem elem Az elemtranszformációkat az alábbi ábra szemlélteti. 4. ábra. Az elemek transzformációnak szemléltetése Az elemek lokális 1,2,3,4 csomópontjainak globális koordinátái: 1 Fontos kihangsúlyozni, hogy a megoldások függnek az elemfelosztástól! 6

7 lokális 1. csp. lokális 2. csp. lokális 3. csp. lokális 4. csp. x 1 y 1 x 2 y 2 x 3 y 3 x 4 y 4 1. elem elem A csomópontok koordinátáinak ismeretében számíthatjuk az egyes elemekhez tartozó J mátrixokat (8)-(12) felhasználásával: [ ] [ ] 5 25(1+η) 25(5+η) J (1), J (2). (29) 25(ξ 3) 25(ξ 1) 5 A J mátrixok determinánsai: detj (1) 125(3 ξ), detj (2) 125(5+η). (3) J mátrixok inverzeinek alakja: [ J 1 1/5 (1+η)/(15 5ξ) (1) 1/(75 25ξ) ] [, J 1 (2) 1/(125+25η) (1 ξ)/(25+5η) 1/5 ]. (31) Ezek ismeretében (7) felhasználásával felírható a formafüggvények globális deriváltjai, melyek szintén elemhez kötött mennyiségek: ( ) (1) N1 x ( ) (1) N2 x ( ) (1) N3 x ( ) (1) N4 x A 2-es elem esetén: ( ) (2) N1 x ( ) (2) N2 x ( ) (2) N3 x ( ) (2) N4 x η ξ +2 1(ξ 3), 2η +ξ 1 1(ξ 3), η 1 5(ξ 3), η +1 1(ξ 3), η 1 1(η+5), 1 η 1(η+5), η +1 1(η+5), η 1 1(η+5), ( ) (1) N1 1 ξ y 1(ξ 3), (32) ( ) (1) N2 ξ +1 y 1(ξ 3), (33) ( ) (1) N3 ξ 1 y 1(ξ 3), (34) ( ) (1) N4 ξ 1 y 1(ξ 3). (35) ( ) (2) N1 3(ξ 1) y 1(η+5), (36) ( ) (2) N2 η 3ξ 2 y 1(η+5), (37) ( ) (2) N3 η+2ξ +3 y 1(η+5), (38) ( ) (2) N4 1 ξ y 5(η+5). (39) A globális deriváltak ismeretében a B mátrixok kitölthetőek (16) alapján: B (1) η ξ+2 2η+ξ 1 η 1 η+1 1(ξ 3) 1(ξ 3) 5(ξ 3) 1(ξ 3) 1 ξ ξ+1 ξ 1 ξ 1 1(ξ 3) 1(ξ 3) 1(ξ 3) 1(ξ 3) 1 ξ η ξ+2 ξ+1 2η+ξ 1 ξ 1 η 1 ξ 1 η+1 1(ξ 3) 1(ξ 3) 1(ξ 3) 1(ξ 3) 1(ξ 3) 5(ξ 3) 1(ξ 3) 1(ξ 3), (4) 7

8 B (2) η 1 1 η η+1 η 1 1(η+5) 1(η+5) 1(η+5) 1(η+5) 3(ξ 1) η 3ξ 2 η+2ξ+3 1 ξ 1(η+5) 1(η+5) 1(η+5) 5(η+5) 3(ξ 1) 1(η+5) η 1 1(η+5) η 3ξ 2 1(η+5) 1 η 1(η+5) η+2ξ+3 1(η+5) η+1 1(η+5) 1 ξ 5(η+5) η 1 1(η+5). (41) Jelen feladatnál sík-feszültségi állapotot modellezünk, emiatt az anyagjellemzőket tartalmazó D mátrix alakja (18) szerinti. 2 2-es Gauss-kvadratúra alkalmazása esetén az elemek merevségi mátrixait a (28) összefüggés szerint számítjuk (közelítjük). A Gauss-pontok elhelyezkedését az alábbi ábra illusztrálja. 5. ábra. A Gauss-pontok szemléltetése 2 2-es kvadratúra esetén A Gauss-koordináták behelyettesítése és az összegzés után az alábbi eredményekre jutunk: K (1) , (42) K (2) (43) Az elemekhez tartozó merevségi mátrixok ismeretében összeállítható a globális merevségi mátrix. Az elemek merevségi mátrixaiban a sorok és oszlopok az elem lokális sorszámozásának megfelelő sorrendben következnek és nem a globális számozás sorrendjében. Emiatt az összeállításnál ügyelnünk kell arra, hogy a megfelelő elemek a megfelelő helyekre kerüljenek. Az összeállítás folyamatát szemlélteti az alábbi ábra. 8

9 6. ábra. A globális merevségi mátrix összeállítása A globális merevségi mátrix szerkezete 2 : K (44) 2 A oszlopok sortöréssel szerepelnek, hogy kiférjen a mátrix. 9

10 A felső élen a megoszló erőrendszerből származó erő a 4-es és 6-os csomópontokon adódik át. A felső lap területe (3a) t, emiatt az átadódó erő értéke p (3a) t/2. A globális tehervektor alakja: F F 1y F 2y p (3a) t/2 F 5x F 6x p (3a) t/2 F 1y F 2y 1875 F 5x F 6x 1875, (45) amely tartalmazza a kényszerek helyén fellépő reakcióerőket. A kondenzált merevségi egyenletet megkapjuk, ha a globális merevségi egyenletből törüljük a kényszereknek megfelelő sorokat és oszlopokat. Mivel jelen feladatnál az 1-es és 2-es csomópont y-irányú mozgása, valamint az 5-ös és 6-os csomópont x-irányú mozgása kötött, emiatt a 2,4,9,11 sorokat és oszlopokat kell törölnünk. A kondenzált merevségi egyenletre az alábbi alakot kapjuk: u 1 u 2 u 3 v 3 u 4 v 4 v 5 v (46) A kondenzált merevségi egyenlet megoldása: u u u v 3 u , (47) v v v

11 melynek ismeretében a globális elmozdulásvektor alakja: u v 1 u v 2 u U v 3 u (48) v u 5 v u 6 v U ismeretében ábrázolható a deformált alak, melyet az alábbi ábrán láthatunk, az elmozdulások 5x-es felnagyításával. 7. ábra. A deformált alak szemléltetése a csomóponti elmozdulások 5x-es felnagyításával A globális elmozdulásvektor ismeretében az F ismeretlen elemei (a reakcióerők) számíthatóak: F KU. (49) Érdeksségképpen számíthatjuk a teljes alakváltozási energiát és a külső erők munkáját: U 1 2 UT KU , (5) W U T F (51) 11

12 U ismeretében számíthatóak a másodlagos mennyiségek. Az egyes elemekhez tartozó elmozdulások: U (1) u 1 v 1 u 2 v 2 u 3 v 3 u 4 v , U (2) u 3 v 3 u 5 v 5 u 6 v 6 u 4 v (52) Az elemeken belüli elmozdulásmező (5) felhasználásával: [ ] [ u u (1) (1).18884ηξ η ξ NU (1) ηξ η ξ v (1) [ ] u u (2) (2) NU (2) v (2) Ezen megoldásokat szemléltetik az alábbi ábrák: [ ηξ η ξ ηξ η.89211ξ ], (53) ]. (54) 8. ábra. Az x-irányú elmozdulások szemléltetése az elemek lokális koordinátarendszerében 12

13 9. ábra. Az y-irányú elmozdulások szemléltetése az elemek lokális koordinátarendszerében Az egyes elemekhez tartozó feszültségmegoldások: σ (1) x σ (1) DB (1) U (1) 1 ξ 3 σ (2) σ (1) y τ (1) xy σ (2) x σ (2) y τ (2) xy DB (2) U (2) 1 η +5 Ezen megoldásokat szemléltetik az alábbi ábrák: ( η + ξ ) (.12713η + ξ ) (1.7336η + ξ.641) (η ξ ) 459.7(η ξ ) (η ξ ), (55). (56) 1. ábra. Az σ x feszültségek szemléltetése az elemek lokális koordinátarendszerében 13

14 11. ábra. Az σ y feszültségek szemléltetése az elemek lokális koordinátarendszerében 12. ábra. Az τ xy feszültségek szemléltetése az elemek lokális koordinátarendszerében Érdekességképpen nézzük meg a HMH-féle egyenértékű feszültségre kapott megoldásokat is. Sík-feszültségi állapot (σ z τ xz τ yz ) esetén a HMH-féle egyenértékű feszültség képlete legyszerűsödik az alábbi alakra: σ HMH egy σ 2 x +σ2 y σ xσ y +3τ 2 xy. (57) Az egyes elemek esetén a behlyettesítések után az alábbi megoldásokat kapjuk: σ HMH(1) egy η 2 + η( ξ ) ξ ξ (ξ 3) 2, (58) σ HMH(2) egy η 2 + η( ξ ) ξ ξ (η + 5) 2. (59) 14

15 Ábrázolásuk az elemek lokális koordinátarendszerében: 13. ábra. A HMH-féle egyenértékű feszültségek szemléltetése az elemek lokális koordinátarendszerében Ha a globális rendszerben szeretnénk kirajzoltatni a megoldásokat akkor szükséges az inverz transzformáció számítása. A globális és lokális koordináták közötti transzformációkat az (1) felhasználásával kapjuk: x (1) 5ξ +5, y (1) 25ηξ +75η 25ξ +75, (61) x (2) 25ηξ 25η +125ξ +175, (62) y (2) 5η+15. Ezen leképzések inverzei: (6) (63) ξ (1) x 5 1, η (1) 2y x 2 1, ξ (2) 2x+y 5, y +1 η (2) 3+y/5. (64) (65) (66) (67) Az inverz leképzések ismeretében, a behelyettesítések után, felírhatóak az elemekhez tartozó megoldások a globális (x,y) koordinátarendszerben: u (1) u (2) [.75536xy y x xy y +. x 2 x 2 x x [ xy x y2 y+1 y xy x.28812y2 y+1 y+1 y y y+1 y y y+1 ], (68) y y y y+1 ], 15

16 σ (1) σ (2) y x (x 2.) 2 x 2. x y x (x 2.) 2 x 2. x y x (x 2.) 2 x 2. x 2. y( y) x (y+1.) 2 y+1. y( y) x (y+1.) 2 y x+y( y ) (y+1.) 2 y+1. (69), (7), (71) σ HMH(1) egy x x 3 + x 2 ( y) (x 2.) 4 (72) x( y ) + y( y ) (x 2.) 4, (73) σ HMH(2) egy x 2 + x(y( y ) ) (y + 1.) 4 (74) y(y(y( y ) ) ) (y + 1.) 4. (75) A fenti megoldásokat ha kirajzoltatjuk az elemek által definiált tartományokon akkor az alábbi eloszlásokat kapjuk: 14. ábra. Az x-irányú elmozdulások szemléltetése a globális koordinátarendszerben 16

17 15. ábra. Az y-irányú elmozdulások szemléltetése a globális koordinátarendszerben 16. ábra. A σ x feszültségek szemléltetése a globális koordinátarendszerben 17. ábra. A σ y feszültségek szemléltetése a globális koordinátarendszerben 17

18 18. ábra. A τ xy feszültségek szemléltetése a globális koordinátarendszerben 19. ábra. A HMH-féle egyenértékű feszültség szemléltetése a globális koordinátarendszerben Vegyük észre a megoldásokon az alábbi tulajdonságokat: A két elem találkozásának mentén az elmozdulásra kapott megoldások azonosak. Ezt az interpolációs függvény jellege biztosítja. A két elem találkozásának mentén a feszültségmegoldások nem azonosak. Mivel az interpolációs függvények (formafüggvények) az elemhatárokon lineáris interpolációt szolgáltatnak, emiatt az elmozdulásmező deriváltjai (melyekből az alakváltozásokat számoljuk majd aztán az alakváltozásokból a feszültségeket) az elemhatárokon nem folytonosak. Természetesen az elemméret sűrítésével fokozatosan közelednek egymáshoz a megoldások. A feszültségmegoldások általában a Gauss-pontok helyén a legpontosabbak, emiatt a végeselemes szoftverek sok esetben a Gauss-pontok helyén lévő feszültségmegoldásokból extrapolálják/interpolálják az elemek menti feszültségmegoldásokat amikor csomóponti feszültségmegoldásokat próbálunk kilistáztatni. A feladat megoldásához használt Wolfram Mathematica kódot az a következő oldalak tartalmazzák. 18

19 : MatrixForm@xD; a 1; t 5; p 25; ALLAPOT "SF"; RUG 182 ; Ν.3; TOPO K a a a ; 2a 3a a 3a 2a O; CORD PL Graphics@8EdgeForm@DashedD, Yellow, Polygon@Table@Table@ 8CORD@@TOPO@@e, idd, 1DD, CORD@@TOPO@@e, idd, 2DD, 8i, 1, 4D, 8e, 1, 2DDD H1 - ΞL H1 + ΗL; SHAPE 8N1, N2, N3, N4; dxξ FullSimplify@ Table@Sum@D@SHAPE@@iDD, ΞD * CORD@@TOPO@@e, idd, 1DD, 8i, 1, 4D, 8e, 1, 2DD; dxη FullSimplify@Table@Sum@D@SHAPE@@iDD, ΗD * CORD@@TOPO@@e, idd, 1DD, 8i, 1, 4D, 8e, 1, 2DD; dyξ FullSimplify@Table@Sum@D@SHAPE@@iDD, ΞD * CORD@@TOPO@@e, idd, 2DD, 8i, 1, 4D, 8e, 1, 2DD; dyη FullSimplify@Table@Sum@D@SHAPE@@iDD, ΗD * CORD@@TOPO@@e, idd, 2DD, 8i, 1, 4D, 8e, 1, 2DD; J Table@88dxΞ@@eDD, dyξ@@edd, 8dxΗ@@eDD, dyη@@edd, 8e, 1, 2D; 1 N1 H1 - ΞL H1 - ΗL; N2 1 H1 + ΞL H1 - ΗL; N3 1 H1 + ΞL H1 + ΗL; N4 1 MF@dxΞD MF@dxΗD MF@dyΞD MF@dyΗD MF@J@@1DDD MF@J@@2DDD DETJ FullSimplify@Table@Det@J@@eDDD, 8e, 1, 2DD JI FullSimplify@Table@Inverse@J@@eDDD, 8e, 1, 2DD; LD Transpose@Table@8D@SHAPE@@iDD, ΞD, D@SHAPE@@iDD, ΗD, 8i, 1, 4DD; MF@DETJD MF@JI@@1DDD MF@JI@@2DDD MF@LDD GD Table@FullSimplify@JI@@eDD.LDD, 8e, 1, 2D; GD@@e, 1, 1DD GD@@e, 1, 2DD GD@@e, 1, 3DD GD@@e, 2, 1DD GD@@e, 2, 2DD GD@ B TableB GD@@e, 2, 1DD GD@@e, 1, 1DD GD@@e, 2, 2DD GD@@e, 1, 2DD GD@@e, 2, 3DD GD@ MF@GD@@1DDD MF@GD@@2DDD MF@B@@1DDD MF@B@@2DDD

20 2 peldasikelem.nb RUG DSA H1 + ΝL H1-2 ΝL 1-Ν Ν RUG Ν 1-Ν ; DSF 1-Ν*Ν H1-2 ΝL 2 DD Which@ALLAPOT "SA", DSA, ALLAPOT "SF", DSFD; 1 Ν Ν 1 ; H1 - ΝL 2 MF@DDD BTDB Simplify@Table@Transpose@B@@eDDD.DD.B@@eDD, 8e, 1, 2DD; GC : , >; KE Table@Sum@HBTDB@@eDD * t * DETJ@@eDDL. 8Ξ HGC@@iDDL, Η HGC@@jDDL, 8i, 1, 2, 8j, 1, 2D, 8e, 1, 2D; MF@KE@@1DDD MF@KE@@2DDD DOF Table@Flatten@Table@82 * TOPO@@e, idd - 1, 2 * TOPO@@e, idd, 8i, 1, 4DD, 8e, 1, 2D KGLOB Table@, 8i, 1, 12, 8j, 1, 12D; Do@ KGLOB@@DOF@@e, idd, DOF@@e, jdddd KGLOB@@DOF@@e, idd, DOF@@e, jdddd + KE@@e, i, jdd;, 8e, 1, 2, 8i, 1, 8, 8j, 1, 8D; MF@KGLOBD FGLOB Table@, 8i, 1, 12D; FN 3 a * t * p 2; LOAD 88, 12; FGLOB@@LOADDD - FN * 81, 1; BCs 82, 4, 9, 11; aktiv Complement@Table@i, 8i, 1, 12D, BCsD; KRED KGLOB@@aktiv, aktivdd; FRED FGLOB@@aktivDD; U Table@, 8i, 1, 12D; U@@aktivDD LinearSolve@KRED, FREDD; MF@UD FORCE Chop@KGLOB.UD; n 5; cord CORD + n * U@@1DD U@@2DD U@@3DD U@@4DD U@@5DD U@@6DD ; U@@7DD U@@8DD U@@9DD U@@1DD U@@11DD U@@12DD PLDEF Graphics@8Opacity@.7D, EdgeForm@ThickD, Green, Polygon@Table@Table@8cord@@TOPO@@e, idd, 1DD, cord@@topo@@e, idd, 2DD, 8i, 1, 4D, 8e, 1, 2DDD; Show@ 8PL, PLDEFD

21 peldasikelem.nb STRAINENERGY U.KGLOB.U 2 WORK U.FORCE Ue1 U@@DOF@@1DDDD; Ue2 U@@DOF@@2DDDD; N1 N2 N3 N4 NN K O; N1 N2 N3 N4 u1 Expand@NN.Ue1D; u2 Expand@NN.Ue2D; Ε1 FullSimplify@B@@1DD.Ue1D; Ε2 FullSimplify@B@@2DD.Ue2D; Σ1 FullSimplify@DD.B@@1DD.Ue1D; Σ2 FullSimplify@DD.B@@2DD.Ue2D; MF@u1D MF@u2D MF@Together@Ε1DD MF@Together@Ε2DD MF@Together@Σ1DD MF@Together@Σ2DD femcolor@ z_ D : Hue@.7 H1 - zld; u1min Table@NMinimize@8u1@@iDD, - 1 u2min Table@NMinimize@8u2@@iDD, - 1 u1max Table@NMaximize@8u1@@iDD, - 1 u2max Table@NMaximize@8u2@@iDD, - 1 umax Max@8u1max@@1DD, u2max@@1ddd; umin Min@8u1min@@1DD, u2min@@1ddd; vmax Max@8u1max@@2DD, u2max@@2ddd; vmin Min@8u1min@@2DD, u2min@@2ddd; Ξ Ξ Ξ Ξ 1 && && && && - 1 Η Η Η Η 1, 1, 1, 1, 8Ξ, 8Ξ, 8Ξ, 8Ξ, ΗD@@1DD, ΗD@@1DD, ΗD@@1DD, ΗD@@1DD, 8i, 8i, 8i, 8i, 1, 1, 1, 1, 2D; 2D; 2D; 2D; ContourPlot@Rescale@u1@@1DD, 8umin, umaxd, 8Ξ, - 1, 1, 8Η, - 1, 1, Frame False, AxesLabel 8"Ξ", "Η", Contours 1, Axes True, LabelStyle 8FontSize 16, BoldD ContourPlot@Rescale@u2@@1DD, 8umin, umaxd, 8Ξ, - 1, 1, 8Η, - 1, 1, Frame False, AxesLabel 8"Ξ", "Η", Contours 1, Axes True, LabelStyle 8FontSize 16, BoldD ð - umax BarLegendB: HueB-.7 F &, 8umin, umax>, umax - umin 1, LabelStyle 8FontSize 16, BoldF ContourPlot@Rescale@u1@@2DD, 8vmin, vmaxd, 8Ξ, - 1, 1, 8Η, - 1, 1, Frame False, AxesLabel 8"Ξ", "Η", Contours 1, Axes True, LabelStyle 8FontSize 16, BoldD ContourPlot@Rescale@u2@@2DD, 8vmin, vmaxd, 8Ξ, - 1, 1, 8Η, - 1, 1, Frame False, AxesLabel 8"Ξ", "Η", Contours 1, Axes True, LabelStyle 8FontSize 16, BoldD ð - vmax BarLegendB: HueB-.7 F &, 8vmin, vmax>, vmax - vmin 1, LabelStyle 8FontSize 16, BoldF 3

22 4 peldasikelem.nb Ε1min Ε2min Ε1max Ε2max Ξ Ξ Ξ Ξ 1 && && && && - 1 Η Η Η Η 1, 1, 1, 1, Εxmax Max@8Ε1max@@1DD, Ε2max@@1DDD; Εxmin Min@8Ε1min@@1DD, Ε2min@@1DDD; Εymax Max@8Ε1max@@2DD, Ε2max@@2DDD; Εymin Min@8Ε1min@@2DD, Ε2min@@2DDD; Γxymax Max@8Ε1max@@3DD, Ε2max@@3DDD; Γxymin Min@8Ε1min@@3DD, Ε2min@@3DDD; 8Ξ, 8Ξ, 8Ξ, 8Ξ, ΗD@@1DD, ΗD@@1DD, ΗD@@1DD, ΗD@@1DD, 8i, 8i, 8i, 8i, 1, 1, 1, 1, 3D; 3D; 3D; 3D; 1, 1, 1, 1, 3D; 3D; 3D; 3D; ContourPlot@Rescale@Ε1@@1DD, 8Εxmin, ΕxmaxD, 8Ξ, - 1, 1, 8Η, - 1, 1, Frame False, AxesLabel 8"Ξ", "Η", Contours 1, Axes True, LabelStyle 8FontSize 16, BoldD ContourPlot@Rescale@Ε2@@1DD, 8Εxmin, ΕxmaxD, 8Ξ, - 1, 1, 8Η, - 1, 1, Frame False, AxesLabel 8"Ξ", "Η", Contours 1, Axes True, LabelStyle 8FontSize 16, BoldD ð - Εxmax BarLegendB: HueB-.7 F &, 8Εxmin, Εxmax>, Εxmax - Εxmin 1, LabelStyle 8FontSize 16, BoldF ContourPlot@Rescale@Ε1@@2DD, 8Εymin, ΕymaxD, 8Ξ, - 1, 1, 8Η, - 1, 1, Frame False, AxesLabel 8"Ξ", "Η", Contours 1, Axes True, LabelStyle 8FontSize 16, BoldD ContourPlot@Rescale@Ε2@@2DD, 8Εymin, ΕymaxD, 8Ξ, - 1, 1, 8Η, - 1, 1, Frame False, AxesLabel 8"Ξ", "Η", Contours 1, Axes True, LabelStyle 8FontSize 16, BoldD ð - Εymax BarLegendB: HueB-.7 F &, 8Εymin, Εymax>, Εymax - Εymin 1, LabelStyle 8FontSize 16, BoldF ContourPlot@Rescale@Ε1@@3DD, 8Γxymin, ΓxymaxD, 8Ξ, - 1, 1, 8Η, - 1, 1, Frame False, AxesLabel 8"Ξ", "Η", Contours 1, Axes True, LabelStyle 8FontSize 16, BoldD ContourPlot@Rescale@Ε2@@3DD, 8Γxymin, ΓxymaxD, 8Ξ, - 1, 1, 8Η, - 1, 1, Frame False, AxesLabel 8"Ξ", "Η", Contours 1, Axes True, LabelStyle 8FontSize 16, BoldD ð - Γxymax BarLegendB: HueB-.7 F &, 8Γxymin, Γxymax>, Γxymax - Γxymin 1, LabelStyle 8FontSize 16, BoldF Σ1min Σ2min Σ1max Σ2max Table@NMinimize@8Σ1@@iDD, Table@NMinimize@8Σ2@@iDD, Table@NMaximize@8Σ1@@iDD, Table@NMaximize@8Σ2@@iDD, Ξ Ξ Ξ Ξ 1 && && && && - 1 Η Η Η Η 1, 1, 1, 1, 8Ξ, 8Ξ, 8Ξ, 8Ξ, ΗD@@1DD, ΗD@@1DD, ΗD@@1DD, ΗD@@1DD, 8i, 8i, 8i, 8i,

23 peldasikelem.nb Σxmax Σxmin Σymax Σymin Τxymax Τxymin 8Σxmin, ΣxmaxD, 8Ξ, - 1, 1, 8Η, - 1, 1, Frame False, AxesLabel 8"Ξ", "Η", Contours 1, Axes True, LabelStyle 8FontSize 16, BoldD ContourPlot@Rescale@Σ2@@1DD, 8Σxmin, ΣxmaxD, 8Ξ, - 1, 1, 8Η, - 1, 1, Frame False, AxesLabel 8"Ξ", "Η", Contours 1, Axes True, LabelStyle 8FontSize 16, BoldD ð - Σxmax BarLegendB: HueB-.7 F &, 8Σxmin, Σxmax>, Σxmax - Σxmin 1, LabelStyle 8FontSize 16, BoldF ContourPlot@Rescale@Σ1@@2DD, 8Σymin, ΣymaxD, 8Ξ, - 1, 1, 8Η, - 1, 1, Frame False, AxesLabel 8"Ξ", "Η", Contours 1, Axes True, LabelStyle 8FontSize 16, BoldD ContourPlot@Rescale@Σ2@@2DD, 8Σymin, ΣymaxD, 8Ξ, - 1, 1, 8Η, - 1, 1, Frame False, AxesLabel 8"Ξ", "Η", Contours 1, Axes True, LabelStyle 8FontSize 16, BoldD ð - Σymax BarLegendB: HueB-.7 F &, 8Σymin, Σymax>, Σymax - Σymin 1, LabelStyle 8FontSize 16, BoldF ContourPlot@Rescale@Σ1@@3DD, 8Τxymin, ΤxymaxD, 8Ξ, - 1, 1, 8Η, - 1, 1, Frame False, AxesLabel 8"Ξ", "Η", Contours 1, Axes True, LabelStyle 8FontSize 16, BoldD ContourPlot@Rescale@Σ2@@3DD, 8Τxymin, ΤxymaxD, 8Ξ, - 1, 1, 8Η, - 1, 1, Frame False, AxesLabel 8"Ξ", "Η", Contours 1, Axes True, LabelStyle 8FontSize 16, BoldD ð - Τxymax BarLegendB: HueB-.7 F &, 8Τxymin, Τxymax>, Τxymax - Τxymin 1, LabelStyle 8FontSize 16, BoldF Σ sx txy 1 txy sy ; s Σ - Tr@ΣD IdentityMatrix@3D; 3 3 VM FullSimplifyB 2 Tr@s.sD F 5

24 6 peldasikelem.nb Σ1HMH SimplifyA, - * * Σ1@@3DD2 ME Σ2HMH SimplifyA, IΣ2@@1DD2 - Σ2@@1DD * Σ2@@2DD + Σ2@@2DD2 + 3 * Σ2@@3DD2 ME ΣHMHmax Max@8NMaximize@8Σ1HMH, - 1 Ξ 1 && - 1 Η 1, 8Ξ, ΗD@@1DD, NMaximize@8Σ2HMH, - 1 Ξ 1 && - 1 Η 1, 8Ξ, ΗD@@1DDD; ΣHMHmin Min@8NMinimize@8Σ1HMH, - 1 Ξ 1 && - 1 Η 1, 8Ξ, ΗD@@1DD, NMinimize@8Σ2HMH, - 1 Ξ 1 && - 1 Η 1, 8Ξ, ΗD@@1DDD; ContourPlot@Rescale@Σ1HMH, 8ΣHMHmin, ΣHMHmaxD, 8Ξ, - 1, 1, 8Η, - 1, 1, Frame False, AxesLabel 8"Ξ", "Η", Contours 1, Axes True, LabelStyle 8FontSize 16, BoldD ContourPlot@Rescale@Σ2HMH, 8ΣHMHmin, ΣHMHmaxD, 8Ξ, - 1, 1, 8Η, - 1, 1, Frame False, AxesLabel 8"Ξ", "Η", Contours 1, Axes True, LabelStyle 8FontSize 16, BoldD ð - ΣHMHmax BarLegendB: HueB-.7 F &, 8ΣHMHmin, ΣHMHmax>, ΣHMHmax - ΣHMHmin 1, LabelStyle 8FontSize 16, BoldF xx1 Expand@N1 * CORD@@TOPO@@1, 1DD, 1DD + N2 * CORD@@TOPO@@1, 2DD, N3 * CORD@@TOPO@@1, 3DD, 1DD + N4 * CORD@@TOPO@@1, 4DD, 1DDD yy1 Expand@N1 * CORD@@TOPO@@1, 1DD, 2DD + N2 * CORD@@TOPO@@1, 2DD, N3 * CORD@@TOPO@@1, 3DD, 2DD + N4 * CORD@@TOPO@@1, 4DD, 2DDD xx2 Expand@N1 * CORD@@TOPO@@2, 1DD, 1DD + N2 * CORD@@TOPO@@2, 2DD, N3 * CORD@@TOPO@@2, 3DD, 1DD + N4 * CORD@@TOPO@@2, 4DD, 1DDD yy2 Expand@N1 * CORD@@TOPO@@2, 1DD, 2DD + N2 * CORD@@TOPO@@2, 2DD, N3 * CORD@@TOPO@@2, 3DD, 2DD + N4 * CORD@@TOPO@@2, 4DD, 2DDD 1DD + 2DD + 1DD + 2DD + inv1 FullSimplify@Solve@x xx1 && y yy1, 8Ξ, ΗD@@1DDD inv2 FullSimplify@Solve@x xx2 && y yy2, 8Ξ, ΗD@@1DDD ux1 uy1 ux2 uy2 Expand@u1@@1DD Expand@u1@@2DD Expand@u2@@1DD Expand@u2@@2DD.... inv1d inv1d inv2d inv2d Pux1 ContourPlot@Rescale@ux1, 8umin, umaxd, 8x,, 1, 8y,, 2, Frame False, AxesLabel 8"Ξ", "Η", Contours 5, LabelStyle 8FontSize 16, Bold, RegionFunction Function@8x, y, z, y 2 - xd, Pux2 ContourPlot@Rescale@ux2, 8umin, umaxd, 8x,, 3, 8y, 1, 2, Frame False, AxesLabel 8"Ξ", "Η", Contours 5, LabelStyle 8FontSize 16, Bold, RegionFunction Function@8x, y, z, 1 y 2 && x > 2 - yd, Show@8Pux1, Pux2, AspectRatio Automatic, PlotRange AllD ð - umax BarLegendB: HueB-.7 F &, 8umin, umax>, umax - umin 5, LabelStyle 8FontSize 16, BoldF

25 peldasikelem.nb Puy1 8vmin, vmaxd, 8x,, 1, 8y,, 2, Frame False, AxesLabel 8"Ξ", "Η", Contours 5, LabelStyle 8FontSize 16, Bold, RegionFunction y, z, y 2 - xd, Puy2 ContourPlot@Rescale@uy2, 8vmin, vmaxd, 8x,, 3, 8y, 1, 2, Frame False, AxesLabel 8"Ξ", "Η", Contours 5, LabelStyle 8FontSize 16, Bold, RegionFunction Function@8x, y, z, 1 y 2 && x > 2 - yd, Show@8Puy1, Puy2, AspectRatio Automatic, PlotRange AllD ð - vmax BarLegendB: HueB-.7 F &, 8vmin, vmax>, vmax - vmin 5, LabelStyle 8FontSize 16, BoldF Εx1 Chop@FullSimplify@Ε1@@1DD. inv1dd Εy1 Chop@FullSimplify@Ε1@@2DD. inv1dd Γxy1 Chop@FullSimplify@Ε1@@3DD. inv1dd Εx2 Chop@FullSimplify@Ε2@@1DD. inv2dd Εy2 Chop@FullSimplify@Ε2@@2DD. inv2dd Γxy2 Chop@FullSimplify@Ε2@@3DD. inv2dd PΕx1 ContourPlot@Rescale@Εx1, 8Εxmin, ΕxmaxD, 8x,, 1, 8y,, 2, Frame False, AxesLabel 8"Ξ", "Η", Contours 5, LabelStyle 8FontSize 16, Bold, RegionFunction Function@8x, y, z, y 2 - xd, PΕx2 ContourPlot@Rescale@Εx2, 8Εxmin, ΕxmaxD, 8x,, 3, 8y, 1, 2, Frame False, AxesLabel 8"Ξ", "Η", Contours 5, LabelStyle 8FontSize 16, Bold, RegionFunction Function@8x, y, z, 1 y 2 && x > 2 - yd, Show@8PΕx1, PΕx2, AspectRatio Automatic, PlotRange AllD ð - Εxmax BarLegendB: HueB-.7 F &, 8Εxmin, Εxmax>, Εxmax - Εxmin 5, LabelStyle 8FontSize 16, BoldF 7

26 8 peldasikelem.nb PΕy1 8Εymin, ΕymaxD, 8x,, 1, 8y,, 2, Frame False, AxesLabel 8"Ξ", "Η", Contours 5, LabelStyle 8FontSize 16, Bold, RegionFunction y, z, y 2 - xd, PΕy2 ContourPlot@Rescale@Εy2, 8Εymin, ΕymaxD, 8x,, 3, 8y, 1, 2, Frame False, AxesLabel 8"Ξ", "Η", Contours 5, LabelStyle 8FontSize 16, Bold, RegionFunction Function@8x, y, z, 1 y 2 && x > 2 - yd, Show@8PΕy1, PΕy2, AspectRatio Automatic, PlotRange AllD ð - Εymax BarLegendB: HueB-.7 F &, 8Εymin, Εymax>, Εymax - Εymin 5, LabelStyle 8FontSize 16, BoldF PΓxy1 ContourPlot@Rescale@Γxy1, 8Γxymin, ΓxymaxD, 8x,, 1, 8y,, 2, Frame False, AxesLabel 8"Ξ", "Η", Contours 5, LabelStyle 8FontSize 16, Bold, RegionFunction Function@8x, y, z, y 2 - xd, PΓxy2 ContourPlot@Rescale@Γxy2, 8Γxymin, ΓxymaxD, 8x,, 3, 8y, 1, 2, Frame False, AxesLabel 8"Ξ", "Η", Contours 5, LabelStyle 8FontSize 16, Bold, RegionFunction Function@8x, y, z, 1 y 2 && x > 2 - yd, Show@8PΓxy1, PΓxy2, AspectRatio Automatic, PlotRange AllD ð - Γxymax BarLegendB: HueB-.7 F &, 8Γxymin, Γxymax>, Γxymax - Γxymin 5, LabelStyle 8FontSize 16, BoldF Σx1 Chop@FullSimplify@Σ1@@1DD. inv1dd Σy1 Chop@FullSimplify@Σ1@@2DD. inv1dd Τxy1 Chop@FullSimplify@Σ1@@3DD. inv1dd Σx2 Chop@FullSimplify@Σ2@@1DD. inv2dd Σy2 Chop@FullSimplify@Σ2@@2DD. inv2dd Τxy2 Chop@FullSimplify@Σ2@@3DD. inv2dd Σhmh1 Chop@FullSimplify@Σ1HMH. inv1dd Σhmh2 Chop@FullSimplify@Σ2HMH. inv2dd

27 peldasikelem.nb PΣx1 8Σxmin, ΣxmaxD, 8x,, 1, 8y,, 2, Frame False, AxesLabel 8"Ξ", "Η", Contours 5, LabelStyle 8FontSize 16, Bold, RegionFunction y, z, y 2 - xd, PΣx2 ContourPlot@Rescale@Σx2, 8Σxmin, ΣxmaxD, 8x,, 3, 8y, 1, 2, Frame False, AxesLabel 8"Ξ", "Η", Contours 5, LabelStyle 8FontSize 16, Bold, RegionFunction Function@8x, y, z, 1 y 2 && x > 2 - yd, Show@8PΣx1, PΣx2, AspectRatio Automatic, PlotRange AllD ð - Σxmax BarLegendB: HueB-.7 F &, 8Σxmin, Σxmax>, Σxmax - Σxmin 5, LabelStyle 8FontSize 16, BoldF PΣy1 ContourPlot@Rescale@Σy1, 8Σymin, ΣymaxD, 8x,, 1, 8y,, 2, Frame False, AxesLabel 8"Ξ", "Η", Contours 5, LabelStyle 8FontSize 16, Bold, RegionFunction Function@8x, y, z, y 2 - xd, PΣy2 ContourPlot@Rescale@Σy2, 8Σymin, ΣymaxD, 8x,, 3, 8y, 1, 5, Frame False, AxesLabel 8"Ξ", "Η", Contours 1, LabelStyle 8FontSize 16, Bold, RegionFunction Function@8x, y, z, 1 y 2 && x > 2 - yd, Show@8PΣy1, PΣy2, AspectRatio Automatic, PlotRange AllD ð - Σymax BarLegendB: HueB-.7 F &, 8Σymin, Σymax>, Σymax - Σymin 5, LabelStyle 8FontSize 16, BoldF PΤxy1 ContourPlot@Rescale@Τxy1, 8Τxymin, ΤxymaxD, 8x,, 1, 8y,, 2, Frame False, AxesLabel 8"Ξ", "Η", Contours 5, LabelStyle 8FontSize 16, Bold, RegionFunction Function@8x, y, z, y 2 - xd, PΤxy2 ContourPlot@Rescale@Τxy2, 8Τxymin, ΤxymaxD, 8x,, 3, 8y, 1, 2, Frame False, AxesLabel 8"Ξ", "Η", Contours 5, LabelStyle 8FontSize 16, Bold, RegionFunction Function@8x, y, z, 1 y 2 && x > 2 - yd, Show@8PΤxy1, PΤxy2, AspectRatio Automatic, PlotRange AllD ð - Τxymax BarLegendB: HueB-.7 F &, 8Τxymin, Τxymax>, Τxymax - Τxymin 5, LabelStyle 8FontSize 16, BoldF 9

28 1 peldasikelem.nb Phmh1 8ΣHMHmin, ΣHMHmaxD, 8x,, 1, 8y,, 2, Frame False, AxesLabel 8"Ξ", "Η", Contours 5, LabelStyle 8FontSize 16, Bold, RegionFunction y, z, y 2 - xd, Phmh2 ContourPlot@Rescale@Σhmh2, 8ΣHMHmin, ΣHMHmaxD, 8x,, 3, 8y, 1, 2, Frame False, AxesLabel 8"Ξ", "Η", Contours 5, LabelStyle 8FontSize 16, Bold, RegionFunction Function@8x, y, z, 1 y 2 && x > 2 - yd, Show@8Phmh1, Phmh2, AspectRatio Automatic, PlotRange AllD ð - ΣHMHmax BarLegendB: HueB-.7 F &, 8ΣHMHmin, ΣHMHmax>, ΣHMHmax - ΣHMHmin 5, LabelStyle 8FontSize 16, BoldF