ELSORENDU ALLANDO EGYUTTHETOS LIN. DIFF. EGYENLET REND- SZER y1 =y2+y3+x, y2 =y1-y3+exp(2x), y3 =y1+y2-x

Méret: px

Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "ELSORENDU ALLANDO EGYUTTHETOS LIN. DIFF. EGYENLET REND- SZER y1 =y2+y3+x, y2 =y1-y3+exp(2x), y3 =y1+y2-x"

Sándor Pintér
5 évvel ezelőtt
Látták:

1 > restart; > with(linalg): Warning, the protected names norm and trace have been redefined and unprotected > with(inttrans): Warning, the name hilbert has been redefined > with(student): ELSORENDU ALLANDO EGYUTTHETOS LIN. DIFF. EGYENLET REND- SZER y =y2+y3+x, y2 =y-y3+exp(2, y3 =y+y2-x y(0)=y2(0)=y3(0)=/2 DIREKT MEGOLDAS Matrixos alakban Y=A.y+b > Y:=matrix([[diff(y(,],[diff(y2(,],[diff(y3(,]]); x y( Y := x y2( x y3( > A:=matrix([[0,,],[,0,-],[,,0]]); A := > y:=matrix([[y(],[y2(],[y3(]]); y := y( y2( y3(

2 > b:=matrix([[x],[exp(2*],[-x]]); x b := (2 e x > eh:=evalm(y=multiply(a,y)); x y( y2( + y3( eh := x y2( = y( y3( x y3( y( + y2( > ei:=evalm(y=multiply(a,y)+b); ei := x y( x y2( x y3( = y2( + y3( + x y( y3( + e y( + y2( x (2 Homogen megoldasa: > s:=eigenvects(a); s := [,, {[,, 0]}], [,, {[, 0, ]}], [0,, {[,, ]}] Az elso elem a sajatertek, a masodik a multiplicitasa, a harmadik a sajatvektor., tehat > s:=s[][]; > s2:=s[2][]; > s3:=s[3][]; > v:=s[][3][]; > v2:=s[2][3][]; > v3:=s[3][3][]; s := s2 := s3 := 0 v := [,, 0] v2 := [, 0, ] v3 := [,, ] > V:=convert(v,matri;

3 V := > V2:=convert(v2,matri; > V3:=convert(v3,matri; V2 := 0 V3 := 0 > e:=evalm(exp(s**v); e := e( e ( 0 > e2:=evalm(exp(s2**v2); e2 := > e3:=evalm(exp(s3**v3); Tehat az alaprendszer: e3 := ex 0 e x > F:=evalm(augment(e,e2,e3)); e ( e x F := e ( 0 0 e x A homogen altalanos: y ha = F.c > c:=matrix([[c],[c2],[c3]]); c := c c2 c3 > Z:=multiply(F,c);

4 azaz Z := e( c + e x c2 + c3 e ( c c3 e x c2 + c3 > Y:=Z[,]; > Y2:=Z[2,]; > Y3:=Z[3,]; Y := e ( c + e x c2 + c3 Y2 := e ( c c3 Y3 := e x c2 + c3 Ellenorzes: behelyettesitjuk a homogen egyenletbe: > evalm(subs(y(=y,y2(=y2,y3(=y3,eh)); x ( e( c + e x c2 + c3 ) = x (e( c c3 ) x (ex c2 + c3 ) e ( c + e x c2 e ( c e x c2 Inhomogen, allandok varialasa: y ia = F. d(, ahol d( ugy kaphato, hogy megoldandjuk az F.d (=b egyenletrendszert. Az egyenletrendszer matrixa: > M:=evalm(augment(F,b)); e ( e x x M := e ( 0 e 0 e x x (2 Gauss eliminacio: > MM:=simplify(expand(gaussjord(M))); x e x MM := 0 0 (x + e (2 ) e ( 0 0 (2 2 x e

5 Innen leolvashatoak a d(, d2(, d3( derivaltjai, tehat megkaphatoak maguk a d, d2, d3 : > d:=simplify(expand(subs(t=x,int(mm[,4],x=0..t)))); d := 2 x e x + 2 e x 2 > d2:=simplify(expand(subs(t=x,int(mm[2,4],x=0..t)))); d2 := e ( x e ( + e x > d3:=simplify(expand(subs(t=x,int(mm[3,4],x=0..t)))); d3 := x Vektort csinalunk a d-bol, hogy az alaprendszer matrixaval osszeszorozhassuk (ez csak Maple ugyeskedes): > d:=convert([d,d2,d3],vector); [ d := 2 x e x + 2 e x 2, e ( x e ( + e x, x ] 2 > dd:=simplify(evalm(augment(d))); dd := 2 x e x + 2 e x 2 e ( x e ( + e x x Es ime a partikularis megoldas vektora: > S:=simplify(expand(multiply(F,dd))); x e( + 2 x 2 S := 2 x e( + x x + 2 x 2 Es ezzel az inhomogen partikularis > w:=s[,];

6 w := x e( + 2 x 2 > w2:=s[2,]; w2 := 2 x e( + x > w3:=s[3,]; w3 := 2 x + 2 x 2 Ellenorzes: behelyettesitjuk az inhomogen egyenletbe: > evalm(subs(y(=w,y2(=w2,y3(=w3,ei)); x (x e( + 2 x 2 ) 2 x + 2 e ( (2 + e x ( 2 x e( + x ) x ( 2 x + 2 x 2 ) = 2 x e ( + e + e (2 2 x (2 Tehat az altalanos megoldas: > z:=y+w; z := e ( c + e x c2 + c3 + x e( + 2 x 2 > z2:=y2+w2; z2 := e ( c c3 2 x e( + x > z3:=y3+w3; z3 := e x c2 + c3 2 x + 2 x 2 Az altalanos megoldas ellenorzese: > evalm(subs(y(=y+w,y2(=y2+w2,y3(=y3+w3,ei));

7 x ( e( c + e x c2 + c3 + x e( + 2 x 2 ) x (e( c c3 2 x e( + x ) x (ex c2 + c3 2 x + 2 x 2 ) e ( c 2 x + 2 e ( + e (2 + e x c2 e ( c + 2 x e ( (2 + e e x c2 + e (2 2 x = Kezdet ertek: z(0)=z2(0)=z3(0)=/2 : > simplify(subs(x=0,z))=/2; c + c2 + c3 = 2 > simplify(subs(x=0,z2))=/2; c c3 = 2 > simplify(subs(x=0,z3))=/2; c2 + c3 = 2 A megoldando linearis egyenletrendszer tehat: > K:=matrix([[-,,,/2],[,-,0,/2],[0,,,/2]]); 2 K := > KV:=gaussjord(K);

8 0 0 0 KV := Ezzel megvannak az alkalmas konstansok, igy a kezdeti ertek problema megoldasa : > W:=subs(c=0,c2=-/2,c3=,z); W := ex + x + 2 e ( + 2 x 2 > W2:=subs(c=0,c2=-/2,c3=,z2); W2 := 2 2 x 2 e( + x > W3:=subs(c=0,c2=-/2,c3=,z3); W3 := 2 ex + 2 x + 2 x 2 > restart; > with(linalg): Warning, the protected names norm and trace have been redefined and unprotected > with(inttrans): Warning, the name hilbert has been redefined > with(student): MEGOLDAS LAPLACE-val > de:=diff(y(,=y2(+y3(+x; de := x y( = y2( + y3( + x > de2:=diff(y2(,=y(-y3(+exp(2*; de2 := x y2( = y( y3( + > de3:=diff(y3(,=y(+y2(-x; de3 := x y3( = y( + y2( x

9 Ezek Laplace transzformaltjai: > alias(u=laplace(y(,x,s)); Point, U > alias(v=laplace(y2(,x,s)); Point, U, V > alias(w=laplace(y3(,x,s)); Point, U, V, W > alias(a=y(0)); > alias(b=y2(0)); > alias(c=y3(0)); Point, U, V, W, a Point, U, V, W, a, b Point, U, V, W, a, b, c > L:=laplace(de,x,s); > L2:=laplace(de2,x,s); L := s U a = V + W + s 2 L2 := s V b = U W + s 2 > L3:=laplace(de3,x,s); L3 := s W c = U + V s 2 Most a Laplace transzformaltakbol allo linearis egyenletrendszert kell megoldani: > G:=solve({L,L2,L3},{U,V,W});

10 G := {V = b s4 + s 3 c s 3 b s 3 + a s 3 2 b s c s 2 2 a s 2 + s s 4 (s + ) (s 2) s 3, W = a s3 3 c s s 2 a s c s c s 4 + b s 3 2 b s 2 s 3 ( 3 s s 2, U = ( 4 3 c s 3 ) + a s 3 2 b s 2 b s 3 + c s 4 + b s 4 2 a s 4 + a s s + 2 s 3 2 s c s 2 2 a s 2 )/(s 3 ( 3 s s 2 ) (s + ))} Egyenletrendszer megoldas ellenorzes: > A:=matrix([[s,-,-,a+/s^2],[-,s,,b+/(s-2)],[-,-,s,c-/s^2]]): > gaussjord(a): Parcialis tortekre bontva (ez persze itt nem kell, csak ha kezzel szamoljuk a visszatranszformaltat): > convert(g[],parfrac,s); V = 2 + c a (2 a b 2 c) + 2 s + s s s s 3 > convert(g[2],parfrac,s); W = b + a + s + 2 s 2 2 > convert(g[3],parfrac,s); U = 2 + c a s c + 2 a + 2 b s 2 c + 2 b + 2 a s s 2 2 s 3 + s 2 2 s 3 + b + a + s + 2 s 2 Ezeket visszatranszformalva: > z:=invlaplace(g[],s,; z := y2( = ( 2 + c a) e ( a b c 2 x + x2 > z2:=invlaplace(g[2],s,;

11 z2 := y3( = b a + c 2 x x2 + (b + a) e x + 2 > z3:=invlaplace(g[3],s,; z3 := y( = c a b + x x2 + (b + a) e x (a + 2 c) e ( Ahhoz, hogy a szokasos jelolessel (amit a kozvetlen megoldasnal hasznaltunk) kapjuk a megoldast, az egyutthatokat alkalmasan atjeloljuk: > e:=c_=-5/2-b+c-a+3; e := c = 2 b + c a > e2:=c_2=b+a; e2 := c 2 = b + a > e3:=c_3=2-c+a; e3 := c 3 = a + 2 c > s:=solve({e,e2,e3},{a,b,c}); s := {a = c 2 + c c, b = c c, c = c 2 + c 2 } > s[]; > s[2]; > s[3]; a = c 2 + c c b = c c c = c 2 + c 2 Ezeket visszahelyettesitve a megoldasba megkapjuk az altalanos megoldast (valamiert nem okkvetlenul sorremdben adja meg): > m:=subs(a=c_2+c_3-5/2+c_,b=-c_3+5/2-c_,c=c_-/2+c_2,z); m := y2( = c 3 e ( c 2 x + x 2

12 > m2:=subs(a=c_2+c_3-5/2+c_,b=-c_3+5/2-c_,c=c_-/2+c_2,z2); m2 := y3( = + c x x 2 + c 2 e x + 2 > m3:=subs(a=c_2+c_3-5/2+c_,b=-c_3+5/2-c_,c=c_-/2+c_2,z3); m3 := y( = c 3 + x x 2 + c 2 e x c 3 e ( (b) Kezdeti ertek problema: y(0)=y2(0)=y3(0)=/2 A kezdeti ertek problema megoldasat termeszetesen a z, z2, z3-bol az a=b=c=/2 helyettesitesekbol kovetlenul megkaphatjuk: > k:=subs(a=/2, b=/2, c=/2, z); k := y2( = 2 e ( x + x 2 > k2:=subs(a=/2, b=/2, c=/2, z2); k2 := y3( = x x 2 + e x + 2 > k3:=subs(a=/2, b=/2, c=/2, z3); k3 := y( = 3 + x x 2 + e x e ( De persze kozvetlenul az elejen is elvegezhettuk volna a helyettesitest: > restart; > with(linalg): Warning, the protected names norm and trace have been redefined and unprotected > with(inttrans): Warning, the name hilbert has been redefined > with(student): > de:=diff(y(,=y2(+y3(+x; de := x y( = y2( + y3( + x > de2:=diff(y2(,=y(-y3(+exp(2*; de2 := x y2( = y( y3( + > de3:=diff(y3(,=y(+y2(-x;

13 de3 := x y3( = y( + y2( x Ezek Laplace transzformaltjai: > alias(u=laplace(y(,x,s)); Point, U > alias(v=laplace(y2(,x,s)); Point, U, V > alias(w=laplace(y3(,x,s)); Point, U, V, W > alias(a=y(0)); > alias(b=y2(0)); > alias(c=y3(0)); Point, U, V, W, a Point, U, V, W, a, b Point, U, V, W, a, b, c > L:=laplace(de,x,s); > L2:=laplace(de2,x,s); L := s U a = V + W + s 2 L2 := s V b = U W + s 2 > L3:=laplace(de3,x,s); L3 := s W c = U + V s 2 > k:=subs(a=/2, b=/2, c=/2, L); k := s U 2 = V + W + s 2 > k2:=subs(a=/2, b=/2, c=/2, L2); k2 := s V 2 = U W + s 2 > k3:=subs(a=/2, b=/2, c=/2, L3); k3 := s W 2 = U + V s 2 Most a Laplace transzformaltakbol allo linearis egyenletrendszert

14 kell megoldani: > G:=solve({k,k2,k3},{U,V,W}); G := {U = 2 W = 2 s 5 + s 3 6 s s 8 ( + s) (s 2) (s ) s 3, V = s 4 + s s 8 2 s 3 (s 2) ( + s), 8 s s 2 s 2 + s 4 s 3 (2 3 s + s 2 } ) Egyenletrendszer megoldas ellenorzes: > A:=matrix([[s,-,-,a+/s^2],[-,s,,b+/(s-2)],[-,-,s,c-/s^2]]): > gaussjord(a): Parcialis tortekre bontva (ez persze itt nem kell, csak ha kezzel szamoljuk a visszatranszformaltat): > convert(g[],parfrac,s); U = 2 + s + 2 s 2 + s 2 s 3 + s 2 3 s > convert(g[2],parfrac,s); V = 2 + s + 2 s s 3 2 s s > convert(g[3],parfrac,s); W = 2 s 2 + s 2 s 3 s 2 s Ezeket visszatranszformalva: > z:=invlaplace(g[],s,; z := y( = 2 e ( e x x 2 + x 3 > z2:=invlaplace(g[2],s,;

15 z2 := y2( = x 2 2 x e ( > z3:=invlaplace(g[3],s,; z3 := y3( = x 2 x + e x + 2 ELLENORZES Altalanos megoldas: > ds:=dsolve({de,de2,de3},{y(,y2(,y3(}); ds := {y3( = e x C2 + 2 x x 2 + C3 + 2, y2( = e ( C 2 x x 2 C3, y( = e x C2 e ( C x x + C3 } Tehat: > ds[]; y3( = e x C2 + 2 x x 2 + C3 + 2 > ds[2]; y2( = e ( C 2 x x 2 C3 > ds[3]; y( = e x C2 e ( C x x + C3 Az osszehasonlitashoz (lehet, hogy maskor mas sorrendben sorolja fel, ugyhogy az indexek valtozhatnak, meg kell nezni, hogy melyik komponens melyik megoldast adja). A megfelelo c-k megvalasztasaval lathatoan) azonos alakuak.

16 Es a kezdeti ertek problema megoldasanak ellenorzese: > dsk:=dsolve({de,de2,de3,y(0)=/2,y2(0)=/2,y3(0)=/2}, > {y(,y2(,y3(}); dsk := {y( = 2 e ( e x x 2 + x 3, y2( = x 2 2 x e (, y3( = x 2 x + e x + 2 } > dsk[]; y( = 2 e ( e x x 2 + x 3 > dsk[2]; y2( = x 2 2 x e ( > dsk[3]; y3( = x 2 x + e x + 2 Es az osszehasonlitas (ez konnyebb): > z; y( = 2 e ( e x x 2 + x 3 > z2; y2( = x 2 2 x e ( > z3; y3( = x 2 x + e x + 2

Hasonló dokumentumok

DIFFERENCIÁLEGYENLETEK. BSc. Matematika II. BGRMA2HNND, BGRMA2HNNC

DIFFERENCIÁLEGYENLETEK. BSc. Matematika II. BGRMA2HNND, BGRMA2HNNC 016.03.1. BSC MATEMATIKA II. ELSŐ ÉS MÁSODRENDŰ LINEÁRIS DIFFERENCIÁLEGYENLETEK BSc. Matematika II. BGRMAHNND, BGRMAHNNC AZ ELSŐRENDŰ LINEÁRIS DIFFERENCIÁLEGYENLET FOGALMA Az elsőrendű közönséges differenciálegyenletet