Példa: Normálfeszültség eloszlása síkgörbe rúd esetén

Átírás

1 Példa: Normálfeszültség eloszlása síkgörbe rúd esetén Készítette: Kossa Attila BME, Műszaki Mechanikai Tanszék március 20. Az 1. ábrán vázolt síkgörbe rúd méretei és terhelése ismert. Írjuk fel a tartó igénybevételi függvényeit és rajzoljuk meg az igénybevételi ábrákat. Határozzuk meg a K keresztmetszetben a normálfeszültség eloszlást! 1. ábra. A síkgörbe rúd méretei és terhelése 1

2 Megoldás A reakcióerők számítása A B helyen a görgős támasz miatt csak Y -irányú reakcióerő ébredhet. Az A pontban a kényszer képes X- és Y -irányú erő felvételére is. Vagyis az ismeretlen reakcióerők: F BY, F AX, F AY. Ezekről feltételezzük kezdetben, hogy a pozitív koordinátairányok felé mutatnak. AzX-irányú erőegyensúlyi egyenletből következik, hogyf AX = 0. AzApontra felírt nyomatéki egyenlet: F 1 (R Rsin30 )+F BY (R+Rsin30 ) = 0, (1) Az Y -irányú erőegyensúlyi felírása: 0,5 F 1 +1,5 F BY = 0 = F BY = F 1 3 = N. (2) F AY F 1 +F BY = 0 = F AY = F 1 F BY = N. (3) Mivel a reakcióerők pozitív értékre jöttek ki, emiatt a feltételezett irányok helyesek. A következőkben az igénybevételi függvények felírása következik. Az igénybevételi függvények felírása 2. ábra. A tartó felosztása, általános szögkoordináta bevezetése Első lépésként a tartót fel kell oszatnunk annyi részre, ahol változik az igénybevételi függvények jellege. Jelen esetben ez két részre történő feloszlást jelent: az A-tól az F 1 bevezetéséig tartó rész, valamint az F 1 -től a B-ig tartó rész. Ennek matematikai leírására vezessük be a ϕ szöget, amit a 2.a ábra szemléltet. Az igénybevételi függvényeket ennek a ϕ szögnek a függvényében fogjuk felírni. Választhatnánk máshonnan is a szög indítását, de a 2.a ábrán szemléltetett választás esetén viszonlyag könnyen fel tudjuk írni a keresett függvényeket. Ezekhez a részekhez tartózó ϕ tartományok: I. rész: ϕ = II. rész: ϕ = (4) Az igénybevételi fügvények felírása előtt tisztázni kell az alkalmazott előjelkonvenciót. Síkgörbe rudak esetén azt a hajlítónyomatékot tekintjük pozitívnak ami növeli akarja a tartó görbületét. 2

3 3. ábra. Az alkalmazott előjelkonvenció Ebből kiindulva, az egyenes rudaknál bevezetett előjelkonvencióra alapozva, a 3. ábra ismerteti az alkalmazott előjelkonvenciót. I. rész: Az I. részen, egy általános ϕ szögkoordináta helyzetét szemlélteti a 4.a ábra. Az ehhez a keresztmetszethez tartozó igénybevételeket megkapjuk, ha az elhagyott rúdrészen 1 működő erőket és koncentrált erőpárokat redukáljuk a vizsgált keresztmetszetre. Az egyszerűség kedvéért most a jobboldali részt hagyjuk el, mert így csak az F B erőt kell redukálni. Az F B redukálása az F B erő áthelyezésével jár, valamint az F B erő nyomatékának számításával a ϕ szöggel jellemzett keresztmetszetbe. A normál- és nyíróigénybevételt úgy kapjuk, hogy a redukált erőnek számítjuk a keresztmetszet síkjára merőleges, valamint a keresztmetszet síkjába eső összetevőjét, amit a 4.b ábra szemléltet. Az előjelkonvenció figyelembevételével az I. részen érvényes normál- és nyíróigénybevétel (N-ban számítva): N I (ϕ) = F B sinϕ = sinϕ, (5) V I (ϕ) = F B cosϕ = cosϕ. (6) A hajlítónyomatéki igénybevétel számítása (Nmm-ben számítva): M hi (ϕ) = F B t 1 = F B (R sinϕ R sin30 ) = F B R(sinϕ sin30 ), (7) M hi (ϕ) = F B R(sinϕ 0,5) = (sinϕ 0,5). (8) 1 Akár a jobboldalról nézve, akár a baloldalról nézve. 3

4 4. ábra. Az I. részen az igénybevételek számítása II. rész: A II. részen, egy általános ϕ szögkoordináta helyzetét az 5.a ábra szemlélteti. Itt célszerűbb az A felé eső részt elhagyni, és az elhagyott részen működő erőrendszer redukálásával felírni az igénybevételi függvényeket. Tehát: N II (ϕ) = F A cos(270 ϕ) = F }{{} A sinϕ = sinϕ, (9) sinϕ V II (ϕ) = F A sin(270 ϕ) = F }{{} A cosϕ = cosϕ. (10) cosϕ A hajlítónyomatéki függvény: M hii (ϕ) = F A t 2 = F A R R cos(270 ϕ) = F }{{} A R(1+sinϕ), (11) sinϕ M hii (ϕ) = (1+sinϕ). (12) Az igénybevételi függvények változását a ϕ koordináta függvényeként a 6. ábra mutatja. Az igénybevételek poláris diagramban való ábrázolását szemlélteti a 7. ábra, ahol egy adott szöghöz tartozó igénybevétel értéket úgy akpunk, hogy a sugárirányú metszéket vesszük a 0 értéktől (vastag szaggatott vonal). 4

5 5. ábra. Az II. részen az igénybevételek számítása Normálfeszültség számítása a K keresztmetszetben A K keresztmetszetben az igénybevételek nagysága: N K = N I (90 ) = N, (13) V K = V I (90 ) = 0 N, (14) M hk = M hi (90 ) = Nmm. (15) Mivel síkgörbe rúdról van szó, emiatt először azt kell eldöntenünk, hogy a síkgörbe rudakra levezetett Grashof -képletet kell alkalmaznunk a normálfeszültség számítására, vagy pedig közelíthetjük ezt az egyenes rudak hajlításánál bevezetett Navier-képlettel. Ennek eldöntésére az R/(2e) arányszámot kell megvizsgálnunk, melyben R jelenti a tartó súlypontvonalának görbületi sugarát, míg 2e a keresztmetszet sugárirányú mérete. Vagyis jelen esetben: R 2e = R b = 250 = 2,5. (16) 100 Ennek a viszonyszámnak az ismeretében az alábbi egyszerűsítéseket tehetjük: - ha 8 < R/(2e) akkor a rúd csak mérsékelten görbült, emiatt a normálfeszültség számításánál használhatjuk a Navier-képletet; - ha 2 R/(2e) 8 akkor a Grashof -képletet kell alkalmaznunk, viszont a képletben szereplő I 0 redukált másodrendű nyomatékot közelíthetjük a hajlítás tengelyére számolt I-vel. A Grashof -képlet: σ = N A + M h RA + M h y I 0 R R+y, (17) ahol az M h értékét pozitívnak kell tekinteni ha növelni akarja a rúd görbületét; I 0 a keresztmetszet hajlítás tengelyére számított redukált másodrendű nyomatéka; y koordinátát pedig úgy kell felvenni, hogy a keresztmetszet súlypontjában zérus és a görbületi középponttól kifele növekszik, ahogyan ezt az 1. ábrán is láthatjuk, ahol egy általános szöghelyzethez van berajzolva a lokális (x, y, z) koordinátarendszer. 5

6 6. ábra. Az igénybevételi ábrák 6

7 7. ábra. Az igénybevételi ábrák poláris diagramban rajzolva 7

8 Mivel a jelen példánál R/(2e) = 2,5, emiatt a Grashof -képletet kell alkalmaznunk, de I 0 -t közelíthetjük I-vel is. A keresztmetszeti jellemzők: A = a b = mm 2, I 0 I z = a b3 12 = ,33 mm4. (18) Tehát a K keresztmetszetben a normálfeszültség változását leíró függvény: σ = N K A + M hk RA + M hk y I z σ = R R+y, (19) ,33 y y, (20) σ = y 250+y, (21) ahol ha y-t mm-ben helyettesítjük be feszültséget MPa-ban kapjuk. A keresztmetszet belső és külső pontjában, valamint a súlypont helyén ébredő feszültségek: σ belső = ( 50) 250+( 50) = 39,5 MPa, (22) σ külső = (+50) = 23 MPa, (23) 250+(+50) σ s = (0) 250+(0) = 2 MPa. (24) 8. ábra. Normálfeszültség-eloszlás a keresztmetszet mentén 8

9 A keresztmetszet mentén a feszültségeloszlást a 8.a ábra mutatja. A 8.a ábrán vékony szaggatott vonal jelzi a Navier-képlettel számított feszültségeloszlást a szemléltetés végett. A Grashof - képlettel kapott függvény egy hiperbola, melynek aszimptotája a görbületi középontba behúzott egyenes, ahogyan ezt a 8.b ábra szemlélteti. Megjegyzés A vizsgált derékszögű négyszög keresztmetszet esetén a hajlítás tengelyére számolt redukált másodrendű nyomaték 2 : I 0 = R 2 A ( R b ln [ ] ) 2R+b 1 = ,85 mm 4, (25) 2R b vagyis a (18) 2 által számított közelítő érték eltérése a pontos értéktől 2,41%. 2 lásd: Muttnyánszky Ádám: Szilárdságtan. Műszaki Könyvkiadó, Budapest, oldal. 9