Egy furcsa tartóról. A probléma felvetése. Adott az 1. ábra szerinti kéttámaszú tartó. 1. ábra

Átírás

1 Egy furcsa tartóról Az alábbi probléma ha jól emlékszem tanulói felvetés, melyet tanáruk volt kol - légánk G. A. továbbított. ( Üdv Néked, Nagy Király! ) Hogy a probléma valós - e vagy mondvacsinált, azt mindenki saját maga eldöntheti az tény, hogy a tanítás során néha felvetődnek ilyen kérdések is, melyek megválaszolása talán nem is annyira egyszerű. A probléma felvetése Adott az. ábra szerinti kéttámaszú tartó.. ábra A kérdés: ha a = l, akkor A = 0 de egy ilyen tartó elgondolt alakváltozása érzésből ilyen. ábra.. ábra Ekkor azonban a bal oldali tartóvég rálógna az A támaszra, így ott feltámaszkodna, vagyis nem lehetne ilyen a deformált tartó tengelyvonalának alakja. Mi az ellentmondás ha van egyáltalán!, és mi a feloldása? A megoldás Úgy tűnik, a tanulói felvetés értelmes. Gondoljunk csak pl. a kötéltáncosra, aki egy hosszú rudat fog középtájon és azzal egyensúlyoz. De ha ez nem elég, akkor képzeljük azt, hogy a homogén, prizmatikus, egyenes rudat pontosan középen egy kötélre felfüg - gesztjük. Látjuk, hogy a probléma valódi, azaz tényleg megvalósulhat a. ábra szerinti eset. Tudjuk, hogy a. ábra szerinti deformáció is valósághű, a szimmetria miatt is. Ez esetben a bal oldali tartóvég tényleg rálóg az A támaszra. És mit csinál ekkor a tartó?

2 Elfordítja magát egy α szöggel, és ebben a helyzetben marad egyensúlyban. Eközben a gerenda bal oldali vége halványan érinti az A támaszt. Hogy ez hogyan történhet meg? Úgy pl., hogy a B csukló nem teljesen súrlódásmentes, és így egy kis ellenálló nyomatékot ki tud fejteni, az elfordulást megakadályozva. Hasonlóan a játszó - téri libikókához / mérleghintához. ábra.. ábra A. ábra szerint: ha α szögben, támaszkodás nélkül megáll a libikóka, akkor fennáll az M csap G hsin ( ) összefüggés. Ha nem, akkor a libikóka elforog, a földnek ütközik, azaz fellép egy ( kis ) támasztóerő is. Ha az. ábra szerinti tartó a = l esetében B körül α szöggel elfordul, az óramutató járásának megfelelően, akkor ha kevés a csapsúrlódás nyomatéka egy igen kicsi A reakcióerő elég lehet már az egyensúlyban tartáshoz, a további elfordulás megakadályozásához. Ekkor valószínűleg még fennáll az A 0 összefüggés. Az itt vázolt helyzetnek a közelítő vizsgálatát végezzük most el. Először nézzük a reakciókat, az. ábra szerinti tartón! Ehhez tekintsük a. ábrát! Az egyensúlyi egyenletek: l a MA 0 Q Bl 0, innen: l a B Q. l. ábra ( )

3 l a M B 0 Al Q l 0, innen: la A Q. l Ellenőrzés: F 0 A BQ 0, y majd ( ) és ( ) - mal is: la l a Q Q Q 0. l l Ha a = l, akkor ( ) és ( ) alakja: la ll B Q Q Q, l l la ll A Q Q 0. l l Ezzel számítással is beláttuk, hogy a probléma felvetésében leírt helyzet azaz: ha a = l, akkor A = 0 valóban fennáll. Most vegyük szemügyre a tartó tengelyvonalának deformált alakját 5. ábra! ( ) ( ) y 0.8 A "furcsa" tartó deformált tengelyvonala x f(x)=(x-x^)*0.05 y=-0.5x+0.5 f(x)=(-*(x-)-6*(x-)^+*(x-)^-(x-)^)*0.05 y=-0.5x ábra

4 Az 5. ábrán feltüntettük a támasz keresztmetszetében a rugalmas vonal érintőjét is. Az ábra erősen torzított a valósághoz képest, a szemlélhetőség miatt. Az 5. ábra a Graph szoftver alkalmazásával készült ehhez fel kellett írni a rugalmas vonal egyenletét [ ]. Az értelmezéshez tekintsük a 6. ábrát is! 6. ábra 0 x l. szakasz: Az elmozdulások a x y x l x lx x l x EI EI l. szakasz: 0 x a l y x 6l x l x x a l x. EI EI ( 5 ) ( 6 ) A szögelfordulások. szakasz: 0 x l a l x x y ' x l 6l x x EI EI l. szakasz: 0 x a x y ' x l x l x x EI l a l. EI ( 7 ) ( 8 ) Most érvényesítjük az a = l feltételt:

5 5 Először ( 5 ) és ( 6 ) - tal: 0 x l : l x yx l x l x x x EI EI l 0 x l : l y x 6 l x l x x x. EI EI ( 9 ) Másodszor ( 7 ) és ( 8 ) - cal: 0 x l : l x x y ' x l 6l x x E I EI l 0 x l : l x y ' x l x l x x. EI EI ( 0 ) A B támasz feletti szögelfordulás nagysága ( 0 ) - ből: l x l l 6l l EI EI l l l l, EI EI EI 8EI tehát: l x l. 8 E I ( ) Ellenőrzés: l x 0, 8 E I az előzővel egyezésben. Ezután határozzuk meg a jobb oldali rúdvégi elmozdulást! ( 9 / ) - vel:

6 6 l y x l 6l l l EI EI l l, EI EI tehát: l y x l. E I ( ) Most gondoljuk meg a következőket! Ha azt akarjuk elérni, hogy a tartó bal oldali vége az A támasz eredeti magasságában maradjon, vagyis ne a. ábrán jelzett deformációs vonal alakuljon ki, hanem az 5. ábra szerinti, akkor el kell forgatni a. ábra szerinti gör - bét a B támasz feletti α = φ ( x = l ) szöggel, az óramutató járásával egyezően ld. 7. ábra! 7. ábra A jobb oldali rúdvég teljes elmozdulása a korábbi / régi számításra utalóan : f f f ', ( ) régi f h ahol: ~ f f : az elforgatásból származó elmozdulás - rész ~ f h : a hajlításból származó elmozdulás vetülete.

7 7 Részletezve tg miatt: tg ff lsin l l tg tg f h ' fh cos fh f h tg ( ) ( 5 ) most ( ), ( ) és ( 5 ) szerint: f l tg f. ( 6 ) régi h A Szilárdságtan tanítása szerint [ ] az egyik végén befogott, intenzitású egyenletesen megoszló terheléssel terhelt, l hosszúságú egyenes, prizmatikus rúd behajlása a tengelyére merőlegesen járulékképletek : l f h. 8 E I Az α szögelfordulásra ( ) szerint, α tgα miatt: l tg. 8 E I Most ( 6 ), ( 7 ) és ( 8 ) - cal: l l l frégi ltg fh l, 8EI 8EI EI tehát: l f régi, E I ( 7 ) ( 8 ) ( 9 ) egyezésben ( ) - vel. Minthogy a régi és az új számítás azonos eredményre vezetett, így igazoltuk, hogy a tartó úgy vehet fel egy a. ábrára emlékeztető behajlási alakot, hogy a. ábra szerinti szimmetrikus görbét el kell forgatni az 5. ábra szerinti aszimmetrikus görbe középső érintőjének hajlásszögével, az óra járásával egyező értelemben. Ekkor tehát megvan az elvárt szimmetrikus alak is és a bal oldali rúdvégnek a támaszához való finom érintke - zése is. Úgy tűnik, kicsit hosszúra nyúlt a magyarázat reméljük, az érvelés érthető, elegáns és meggyőző volt.

8 8 Megjegyzések: M. Eddig a ferde helyzetű egyensúlyi alakot a B támasz csapsúrlódási nyomatékával, illetve egy nagyon kicsi visszahúzó, stabilizáló A támaszerő meglétével magyaráztuk. De mi van akkor, ha középen nem fix csukló van, vagy a bal oldali tartóvég nem ér a támaszhoz, és mégis nyugalmi egyensúlyi helyzetben van a tartó? Ez pl. két vékony élre helyezett papírcsíkkal is kipróbálható. Nos, a nem laboratóriumi kísérlet azt mutatta, hogy ~ a papírcsík egyensúlyi helyzete eléggé bizonytalan: nagyon kis zavarás légmozgás, elektrosztatikus erők, stb. is kitéríti, lengésre kényszeríti ~ a támasz(ok ) és a papírcsík közti csekély súrlódás hatása sem elhanyagolható a csík viszonylag nagy ferdeség mellett is megáll.. M. A ( 7 ) képlet felírásánál felhasználtuk, hogy ferde vízszint es Valóban, a 8. ábra szerint is: ferde vízsz int es, majd ( 5 ) - höz hasonlóan: ferde ferde cos vízsz int es cos vízsz int es. Irodalom: 8. ábra [ ] Stephen Prokop Timoshenko: Strength of Materials, Vol. I.: Elementary Theory and Problems. kiadás, D. van Nostrand, Inc., New York, 90. [ ] Muttnyánszky Ádám: Szilárdságtan Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 98. Összeállította: Galgóczi Gyula mérnöktanár Sződliget, 0. július 0.