Néhány feladat a ferde helyzetű kéttámaszú tartók témaköréből

Átírás

1 Néhány feladat a ferde helyzetű kéttámaszú tartók témaköréből Egy korábbi dolgozatunkban melynek címe: A ferde tartó megoszló terheléseiről már jeleztük, hogy a témával kapcsolatban vannak még teendők; most ezt az adósságot pótoljuk, részben. A fő témakör: az igénybevételi ábrák, illetve függvények előállítása. Ezzel kapcsolatban fontos tudni, hogy ezek alapján akár döntések is születhetnek a szá - mítási modellválasztást illetően. Erre láthatunk példát [ 1 ] - ben, a szarufák statikai számításaival kapcsolatban. A választott feladatok tipikusak és viszonylag egyszerűek; tanulmányozásukhoz csak elemi matematikai és mechanikai ismeretek szükségesek. Ellenben ritkán láthatóak. A szakirodalmat nézegetve az alábbi kérdés merült fel: jó, megoldjuk a feladatot; ám mi hasznát vehetjük egy kipreparált statikai feladatnak a valós szerkezetszámításaink során? A válasz: ~ összefoglalják a fontosabb tudnivalókat; ~ követhető példát mutatnak; ~ segíthetnek a későbbiekben adódó statikai modellválasztási kérdések tisztázásában. 1. feladat: Egyenes tengelyű ferde tartó, középen függőleges hatásvonalú koncentrált erővel terhelve Adott az 1. ábra szerinti kéttámaszú tartó. Állítsuk elő az igénybevételi függvényeket, ill. ábrákat! Megoldás: 1. ábra Szimmetria - alapon vagy egyensúlyi egyenletekkel a reakciók: F A B. ( 1 ) Az igénybevételi függvényeket itt külön nem írjuk fel, hanem rögtön az igénybevételi ábrákat rajzoljuk meg, azok egyszerűsége miatt. Ennek érdekében a tartóra ható külső erőket ( aktív + reakció - erők ) felbontjuk az egyenes tartótengelyre merőleges és azzal

2 párhuzamos összetevőkre. ábra.. ábra Megjegyzések: M1. Az 1. és. ábrák alapján belátható, hogy ebben az esetben lényegtelen, hogy az A vagy a B támasz - e a fix támasz. M. A nyíróerő és a normálerő abszolút maximuma: F Fcos V ; max ( ) F Fsin N. max ( 3 ) A hajlítónyomaték legnagyobb értéke: F l / Fcos l / Fl M max ; cos cos 4 ( 4 )

3 ez megegyezik az l támaszközű vízszintes helyzetű kéttámaszú tartó esetében adódó legnagyobb hajlítónyomaték - értékkel. M3. A ( ) képlet szerint a ferde tartó maximális nyíróereje kisebb, mint a vízszintes tartóé, mivel a ferde tartóra cosα < 1. Azonban a ( 3 ) képlet szerint a ferde elhelyezés normálerőt ébreszt a vízszintes elhe - lyezéshez képest, mivel a ferde tartóra sinα > 0. M4. Látjuk, hogy ferde elhelyezés esetén már igen egyszerű terhelés mellett is egy összetettebb igénybevételi állapot lép fel a tartóban, mint vízszintes elhelyezésnél. Ez adott esetben lényegesen nehezebbé teheti a tartó pontosabb vizsgálatát. M5. Ha a függőleges koncentrált erő nem a tartó felében hat, akkor az igénybevételi ábrák is módosulnak ld. pl.: [ ]! 3 Kiegészítések: Érdekes fejlemények adódhatnak, ha a feladatot a szuperpozíció elvével oldjuk meg, azaz ha az F erő. ábra szerinti felbontásának megfelelően: 1.) meghatározzuk az F tehernek megfelelő igénybevételi ábrákat,.) meghatározzuk az F tehernek megfelelő igénybevételi ábrákat, 3.) összegezzük azokat. 3. ábra A 3. ábrán a rész - reakciók szerkesztéses meghatározását és összegzését szemléltetjük. Ez képezi az alapját az igénybevételi ábrák meghatározásának.

4 A 3. ábráról közvetlenül leolvasható, hogy a második összeadandónál: A F Fsin. ( 5 ) Az első összeadandó szimmetria - viszonyai alapján a rész - reakciókra: A B. ( 6 ) A nagyságuk meghatározása vetületi egyenlettel: A cos F, ( 7 ) innen 4 F Fcos F A. cos cos ( 8 ) Most ( 6 ) és ( 8 ) - cal a rész - reakcióerők nagysága: F A B. ( 9 ) Ezek rúdtengely - irányú és tengelyre merőleges vetületei, az igénybevételi ábrákhoz: F At Bt sin, F ( 10 ) An Bn cos. A két részterhelési esethez tartozó igénybevételi ábrák és azok összege a 4. ábrán látható. Ahol az egyik összeadandó zérus volt, ott az összeget nem rajzoltuk meg újra. A. és a 4. ábra összevetésével megállapítható azok egyezése. A korábban említett, érdekesnek is mondható fejlemények: ~ a merőleges teher rész - esete mindjárt kiadja a görgős támasz teljes reakcióerejét, míg a fix támaszreakciónak csak az egyik részét; ~ a párhuzamos teher rész - esetében a görgős támasz terheletlen, mivel itt a tartót súly - talannak tekintjük. Javasoljuk, hogy az Olvasó végezze el a fenti összegzést arra az esetre is, ha felcseréljük a fíx és a görgős támaszok helyét!

5 5 4. ábra. feladat: Egyenes tengelyű ferde tartó, a tartó ferde hossza mentén intenzitású egyenletesen megoszló függőleges erőrendszerrel terhelve Adott az 5. ábra szerinti kéttámaszú tartó. Állítsuk elő az igénybevételi függvényeket, ill. ábrákat! 5. ábra

6 6 Megoldás: Először ismét tudatosítjuk, hogy az adott kialakítású és terhelésű tartó esetében az A és B támasz szerepe felcserélhető. Ezután meghatározzuk a reakciókat; a szimmetria alapján: Q A B, ( 11 ) ahol Q l, ( 1 ) 1 és az l 1 ferde hosszra: l l 1. cos ( 13 ) Az igénybevételi ábrákat a 6. ábrán mutatjuk meg. 6. ábra Az igénybevételi függvények kifejezései az alábbiak.

7 A függőleges terhelést felbontjuk két összetevőre; egy a tartó tengelyére merőleges és egy a tartó tengelyével párhuzamos összetevőre:. ( 14 ) A részteher - intenzitások nagysága a 6. ábra alapján: cos, sin. 7 ( 15 ) A megoszló rész - erőrendszerek eredőinek nagysága: Q Qcos, Q Q sin. Most ( 1 ), ( 15 ) és ( 16 ) szerint: Q l cos l, Q l sin l. A felbontásnak megfelelő rész - reakciók nagysága, ( 11 ) - gyel is: Q A B, Q A B. ( 16 ) ( 17 ) ( 18 ) A hajlítónyomaték függvénye: x Q l1 M(x) A x x x x x x l1 x x, M(x) l1 x x. ( 19 ) A nyíróerő függvénye: Q l 1 V(x) A x x x l1 x,

8 V(x) l x. 8 1 ( 0 ) A hajlítónyomaték maximumához a V( x 0 ) = 0 feltételből: l 1 x 0, ( 1 ) így ( 19 ) és ( 1 ) szerint: l1 l 1 l1 l1 Mmax M(x 0) l1 x0 x0 l 1, l1 M max. ( ) 8 A nyíróerő maximuma ( 0 ) szerint x = 0 - nál lép fel, nagysága pedig l1 V max. ( 3 ) A normálerő függvénye: Q l1 N(x) B l1 x l1 x l1 x l1 l1 l1 x x l1 x, N(x) l1 x. A normálerő abszolút maximuma x 1 = 0 - nál és x 1 = l 1 - nél lép fel, nagysága: l1 N. max ( 4 ) ( 5 ) Most a ( 15 ), ( 19 ), ( 0 ), ( 4 ) képletekkel:

9 9 cos M(x) l1 x x ; cos V(x) l1 x ; sin N(x) l x. 1 ( 6 ) Megjegyzések: M1. Egy ajánlás: ha jót akarunk, akkor egyszerűen csak ragaszkodjunk az igénybevételi ábrák ferde helyzetben való ábrázolásához, ahogyan azt pl. a 6. ábra esetében is tettük. Ugyanis nem ritkán találkozni a szakkönyvekben azzal a törekvéssel, hogy a ferde tartó esetét vezessék vissza a vízszintes tartó esetére. Nézzük meg ezt feladatunkban! Ehhez tekintsük a 7. ábrát is, az alkalmazott koordináták közti összefüggés bemutatásához! 7. ábra Az ábra szerint: x * x, cos ( 7 ) valamint fennáll ( 13 ) is. Most ( 13 ), ( 6 / 1 ) és ( 7 ) szerint: cos l x * x * cos M(x*) l x * x * cos cos cos cos * l x * x * l x * x *, cos

10 M(x*) l x * x *, 10 * ( 8 ) ahol bevezettük a * cos ( 9 ) képlettel definiált redukált teherintenzitást. Ennek értelmezéséhez tekintsük a 8. ábrát is! 8. ábra Ha a ferde tartó tényleges hossza menti teherintenzitását át akarjuk számítani a ferde tartó vízszintes vetületi hossza mentén megoszlóra, akkor a Q Q* ( 30 ) feltételből: l * l, 1 innen ( 13 ) - mal is: l l cos 1 *, ami ( 9 ) - et adja. Ezek szerint: ha a hajlítónyomatékok szempontjából akarjuk megfe - leltetni a ferde és a vízszintes tartót egymásnak, akkor a ferde hossz mentén megoszló terhelést ( 9 ) szerint redukálni kell az alaprajzi vetületi hossz mentén megoszlóra. A maximális hajlítónyomaték ( ) szerint: l1 cos l cos l l l M max *, 8 8 cos 8 cos cos 8 8 ( 31 ) ahogyan vízszintes tartóra annak lennie kell. Ezzel tehát nincs sok gond. ( * )

11 Most nézzük meg a nyíróerő - függvény átírását! ( 13 ), ( 6 / ) és ( 7 ) szerint: cos l x * cos V(x*) lx * l x *, cos cos cos 11 V(x*) l x *. ( 3 ) Itt már van némi kavarodás: a vetületben mért hossz, ill. koordináta együtt szerepel a ferde hossz mentén megoszló teher intenzitásával. Ennek elkerülésére: cos l x * cos * cos V(x*) l x * l x *, cos cos cos * cos V(x*) l x *. ( 33 ) Ez a kifejezés szerkezetében ugyanolyan alakú, mint ( 6 / ). Majd nézzük a normálerő kifejezését! ( 13 ), ( 6 / 3 ) és ( 7 ) szerint: sin l x * sin tg N(x*) lx * lx *, cos cos cos tg N(x*) l x * ; ( 34 ) ha nem akarunk kavarodást, akkor: sin l x * sin * sin N(x*) lx * l x *, cos cos cos * sin N(x*) l x *. ( 35 ) Ez a kifejezés szerkezetében ugyanolyan alakú, mint ( 6 / 3 ). Ez utóbbival persze egy szemléletbeli bakugrás is jár, hiszen a vízszintes tartóban a függőleges teherre nem ébred normálerő, statikailag határozott megtámasztás és elegen - dően nagy merevség esetén. Látjuk, hogy ferde tartó vízszintes tartó megfeleltetés problémás, így az jó szívvel nem ajánlható. M. A gyakorlati méretezési feladatokban néha csak a hajlítónyomatékot veszik figye - lembe, a nyíróerő és a normálerő hatását elhanyagolják. Ekkor a megfeleltetés viszony - lag egyszerűen működhet. Azonban nem felejthető el, hogy a többi igénybevételi kom - ponens esetében már könnyen elvéthető a lépés.

12 1 M3. További probléma, hogy a szakirodalomban nem ritkán találni olyan feladat - megoldást, hogy nem tesznek élesen különbséget az itteni és * között. Ilyennel talál - kozhatunk az általunk is kedvelt [ ] - ben is. Ez abból is adódhat, hogy eleve csak egyfajta pl. alaprajzi vetületre vonatkoztatott megoszló terheléssel dolgoznak, de a statikai vázlatrajzon a terhelést a ferde hosszra rajzolják rá. Ez félreértés, ill. elvi hiba forrása lehet. Érdekes, hogy a kiváló [ 3 ] műben is találtunk egy hasonló bibit. Szerencsére a [ ] és [ 3 ] munkákban a szövegben közli a szerző, hogy a terhelés alap - rajzi vetületben értendő. 3. feladat: Egyenes tengelyű ferde tartó, a tartó ferde hossza mentén egyenletesen megoszló, a tartóra merőleges intenzitású erőrendszerrel terhelve Ehhez tekintsük a 9. ábrát! 9. ábra Itt két eltérő megtámasztási esetet tüntettünk fel. Látjuk, hogy az 1. és a. eset csak a támaszok elhelyezésében tér el egymástól. Hamarosan belátjuk, hogy megkülönbözteté - sük fontos. A feladat: az igénybevételi ábrák / függvények előállítása. Megoldás: Először előállítjuk a reakcióerőket, majd felbontjuk azokat rúdtengelyre merőleges és rúdtengellyel párhuzamos összetevőkre. A megoldás menete a 10. ábrán követhető. Látható, hogy ~ az 1. esetben a tartó igénybevétele: húzás + nyírás + hajlítás, ~ a. esetben a tartó igénybevétele: nyomás + nyírás + hajlítás. Ez bizony jelentős különbség! Ez rögtön arra is figyelmeztet minket, hogy Csak óvatosan a statikai modell megválasztásával! A reakcióerők nagysága mindkét esetre: Q l / cos l A1 B1 A B. cos cos cos ( 36 )

13 ábra A reakciók összetevői: Q Q l A1 B1 A B cos ; cos cos ( 37 ) Q Q l lsin A1 B1 sin tg tg, ( 38 ) cos cos cos l sin A B. cos ( 39 ) Az 1. és. eset igénybevételi ábráit a 11. ábra együtt mutatja. Az igénybevételi függvények az alábbiak. A hajlítónyomaték függvénye ( mindkét esetre ): l l M(x) A x x x x x x, cos cos

14 14 l cos M(x) x x. 11. ábra ( 40 ) A nyíróerő függvénye ( mindkét esetre ): l l V(x) A x x x, cos cos l V(x) x. cos ( 41 ) A nyomatéki maximum helye a V( x 0 ) = 0 feltételből, ( 41 ) - gyel: l x 0. cos ( 4 )

15 15 A nyomatéki maximum értéke ( 40 ) és ( 4 ) - vel: l l l l Mmax M(x 0) x0 x 0 cos cos cos 4cos l l 4cos 8cos, l max M. 8 cos ( 43 ) A nyíróerő abszolút maximuma x 1 = 0 - nál és x 1 = l 1 = l / cosα - nál lép fel; nagysága: l V. max ( 44 ) cos A normálerő függvénye: l sin N(x) 1, A 1, cos l sin N(x) 1,. cos ( 45 ) Itt a ( + ) előjel az 1. esetre, a ( ) előjel a. esetre vonatkozik. A normálerőnek nincs helyi szélső értéke. Megjegyzés: Itt is elmondhatjuk, hogy az 1. és a. megtámasztási eset közötti különbségtétel csak akkor válik fontossá, ha a tartó méretezése során a normálerők hatását is figyelembe kívánják venni. Ez bizonyos esetekben elkerülhetetlen ld.: szabványok! Kiegészítés: A [ ] munkában a következőket olvashatjuk a szelemeneken nyugvó szarufa statikai helyzetéről 1. ábra : Ebben az esetben a tartó terhelési módja teljesen azonos a vízszintes helyzetű, függőleges erőkkel terhelt tartóéval. Az A és B támaszerők irányát a tartó tengelyére merőlegesnek vehetjük fel, mert feltételezhetjük, hogy az alátámasztások valamelyike a tartótengely irányában elmozdulhat.

16 16 1. ábra forrása: [ ] Ezek szerint a szelemeneken nyugvó, a tengelyére merőleges egyenletesen megoszló erőrendszerrel terhelt szarufa statikai modellje a 13. ábra szerinti. 13. ábra Ekkor a hajlítónyomaték és a nyíróerő függvénye az előző szerinti, a normálerő függvé - nye pedig azonosan zérus. Olyan ez, mint egy salamoni döntés. Azonban az a baj vele, hogy ugyanazon statikai modellt kell alkalmazni, többféle terhe - lés megléte esetén is. Másképpen mondva: nem válthatunk statikai modellt ugyanazon szerkezet más terhelésére. Vagy igen? Látjuk, nagyon gondosan kell mérlegelni a statikai modell megválasztását. Persze lehet, hogy ezt mások már elvégezték, majd tankönyvek - ben, szakkönyvekben, szabványokban közölték velünk. Ettől azonban nem lettünk sok - kal jobban, mert tudjuk, hogy a valóság és a modell eléggé felemás kapcsolatban állnak. 4. feladat: Egyenes tengelyű ferde tartó, a tartó ferde hossza mentén egyenletesen megoszló, a tartóval párhuzamos intenzitású erőrendszerrel terhelve Ehhez tekintsük a 14. ábrát! Itt is a korábbi két megtámasztási esetet tüntettük fel. A feladat: az igénybevételi ábrák és függvények előállítása.

17 ábra Megoldás: Ehhez tekintsük a 15. ábrát is! 15. ábra A hajlítónyomaték függvénye ( mindkét esetre ): M(x) 0. ( 46 ) A nyíróerő függvénye ( mindkét esetre ): V(x) 0. ( 47 ) A normálerő függvénye: 1. eset: A reakcióerők: l A ; cos B 0. ( 48 )

18 A normálerő: l N(x) x. cos 18 ( 49 ). eset: A reakcióerők: A 0 ; l B. cos ( 50 ) A normálerő: N(x) x. ( 51 ) Minden esetre fennáll, hogy l 0 x. cos ( 5 ) Ezzel a feladatot megoldottuk. Megjegyzés: Látjuk, hogy az 1. megtámasztási esetben a tartó igénybevétele nyomás, míg a. esetben húzás. A két megtámasztás teljesen más viselkedést vált ki a tartóból. Kiegészítés: Most vegyük úgy, hogy a 3. és a 4. feladatban szereplő teherintenzitásokra fennáll ( 15 ), azaz: cos, sin. ( 53 ) Ekkor a. feladat megfelelő igénybevételi ábrái, ill. függvényei a szuperpozíció / az egymásra halmozás elve alapján is előállíthatók. Most nézzük meg ezt, a két esetre külön - külön!

19 19 A 3. feladat hajlítónyomaték - függvénye az 1. és a. esetre: l M(x) x x. cos A 3. feladat nyíróerő - függvénye az 1. és a. esetre: l V(x) x. cos A 3. feladat normálerő - függvénye az 1. és a. esetre: lsin N(x) 1 ; cos lsin N(x). cos ( M / 3 1, ) ( V / 3 1, ) ( N / 3 1, ) A 4. feladat hajlítónyomaték - függvénye az 1. és. esetre: M(x) 0. ( M / 4 1, ) A 4. feladat nyíróerő - függvénye az 1. és. esetre: V(x) 0. ( V / 4 1, ) A 4. feladat normálerő - függvénye az 1. és a. esetre: l N(x) 1 x ; cos N(x) x. Most érvényesítve ( 53 ) - at is, a 3. feladat eredményei: cos l M(x) x x ; cos cos l V(x) x ; cos coslsin N(x) 1 ; cos cos l sin N(x). cos ( N / 4 1, ) ( M; V; N / 3 1, )

20 0 Hasonlóan a 4. feladat eredményeire: M(x) 0 ; V(x) 0 ; l N(x) 1 sin x ; cos N(x) sin x. ( M; V; N/ 4 1, ) Most a két utóbbi képletcsoport tagonkénti összegzésével: cos l cos M(x) M(x) M(x) x x 0.feladat 3.feladat 4.feladat cos l cos x x, cos l cos M(x) x x..feladat ( 54 ) Az ( 54 ) kifejezés megegyezik ( 19 ) - cel, a jelölésektől eltekintve. Folytatva: cos l V(x) V(x) V(x) x 0.feladat 3.feladat 4.feladat cos cos l x, cos cos l V(x) x..feladat cos ( 55 ) Az ( 55 ) kifejezés megegyezik ( 0 ) - szal, a jelölésektől eltekintve. Folytatva:

21 1 cos lsin l N(x) N(x).feladat 1.eset,3.feladat N(x) 1.eset,4.feladat sin x cos cos l l l sin x sin x cos cos cos sin l x, cos sin l N(x) x,.feladat cos ( 56 / 1 ) ami a jelölésektől eltekintve megegyezik ( 4 ) - gyel. Hasonlóképpen a. eset N - képleteivel is: coslsin N(x) N(x).feladat.eset,3.feladat N(x).eset,4.feladat sin x cos sin l x, cos sin l N(x) x,.feladat cos ( 56 / ) mint előbb. Megjegyezzük, hogy nem teljesen felesleges egy feladat kétféle úton való megoldása, mint ahogyan itt is tettük, a. feladat esetében; ugyanis a hibák ( tévesztések, elírások ) kiszűrésének ez egy jól bevált módja: a befektetett többletmunka többszörösen megtérül.

22 5. feladat: Egyenes tengelyű ferde tartó, többféle egyenletesen megoszló erőrendszerrel terhelve Ehhez tekintsük a 16. ábrát is! 16. ábra Adott a 16. ábra szerinti tartó az ( l, α ) geometriai és a (, w, s ) teher - adatokkal. Utóbbiak jelentése: ~ : önsúlyteher, a tartó ferde hosszára vonatkoztatva; ~ w: szélteher, a tartó ferde hosszára vonatkoztatva; ~ s: hóteher: a tartó vízszintes vetületi hosszára vonatkoztatva. A feladat: az igénybevételi függvények felírása. Megoldás: A megoldás lényege: a szuperpozíció elvének alkalmazása. Ehhez a meglévő terhelése - ket egy és egy megoszló erőrendszerbe foglaljuk, majd alkalmazzuk az előző feladatok eredményeit. A függőleges terhek összefoglalása: scos. ( 57 ) 1 A második tag a ( 30 ) utáni ( * ) képletből adódik. A megoszló erőrendszerek intenzi - tásai ( 15 ) - höz hasonlóan: w 1 cos w cos s cos ; ( 58 ) sin sin ssin cos. 1 ( 59 )

23 3 Az igénybevételi függvények részekre bontása a szuperpozíciónak megfelelően: M(x) M(x) M(x) ; V(x) V(x) V(x) ; N(x) N(x) N(x). ( 60 ) De tudjuk, hogy az elsőrendű elmélet keretében maradva: M(x) 0, V(x) 0, N(x) 0, ( 61 ) ezért ( 60 ) és ( 61 ) szerint: M(x) M(x) ; V(x) V(x) ; N(x) N(x). ( 6 ) Most a 9., a 15. és a 16. ábra összevetéséből adódik, hogy az 1. terhelési esettel van dolgunk, így a terheléshez tartozó igénybevételi függvényeket a 3. feladatból, a terheléshez tartozót pedig a 4. feladat 1. esetéből vesszük át. A ( 40 ) és ( 6 / 1 ) képletek szerint: l M(x) x x. cos ( 63 ) A ( 41 ) és ( 6 / ) képletek szerint: l V(x) x. cos ( 64 ) A ( 49 ) és ( 6 / 3 ) képletek szerint: l N(x) x. cos ( 65 ) Most érvényesítve ( 58 ) és ( 59 ) - et a ( 63 ), ( 64 ), ( 65 ) képletekben:

24 4 w cos scos l M(x) x x, cos w cos scos l V(x) x, cos l N(x) sin ssin cos x. cos ( 66 ) A ( 66 ) képletek már a kitűzött feladat megoldását adják. Megjegyzések: M1. Javasoljuk, hogy az Olvasó önállóan végezze el a. megtámasztási esetre is a megfelelő képletek felírását, a fentiek alapján! M. Egyenes tengelyű, ferde helyzetű tartóval kapcsolatos további feladatokat talál az érdeklődő a [ 4 ] munkában is. M3. Ha a statikai modell megválasztásával kapcsolatban erős kétségek merülnek fel, gondoljunk arra, hogy a kérdés eldöntéséhez vezető jó út lehet kísérletek végzése is. A Szilárdságtan kísérleti módszerei ma már kellően fejlettek ahhoz, hogy pl. nyúlásmé - rések elemzésének eredményeiből visszafelé haladva következtessünk a szerkezet számítása során alkalmazandó statikai / erőtani modellre. Irodalom: [ 1 ] Szerk. Palotás László: A fa mint építőanyag Benne Tobiás László: Faszerkezetek a magasépítésben A Budapesti Építőmesterek Ipartestülete, Budapest, [ ] Tobiás Loránd ~ Visy Zoltán: Szilárdságtan Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 196. [ 3 ] Rudolf Saliger: Praktische Statik 6. Auflage, Franz Deuticke, Wien, [ 4 ] Csonka Pál: Statikai példatár Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 197. Sződliget, 011. szeptember 5. Összeállította: Galgóczi Gyula mérnöktanár