Egy általánosabb súrlódásos alapfeladat

Átírás

1 Egy általánosabb súrlódásos alapfeladat Az előző dolgozatunkban címe: Egy súrlódásos alapfeladat, jele: ( E D ) tárgyalt probléma általánosítása az alábbi, melynek forrása [ 1 ]. Tekintsük az 1. ábrát! 1. ábra Az α hajlásszögű ferde sík felülete érdes, nyugalmi súrlódási tényezője mindenhol μ. A sík egy P pontján nyugszik a G súlyú tömegpont, melyre egy F erő hat, a sík e esésvonalával φ szöget zárva be. A sík normálisa mentén hat az N felületeket összenyomó erő. Az esésvonallal β szöget zár be az S súrlódási erő. A tömegpont még éppen egyensúlyban van, az elmozdulás határán. Ha elmozdulna, az akkor az S erővel ellentétes értelemben történne meg, a β szöggel jellemzett egyenes mentén, de már a μ < μ csúszó súrlódási tényezővel. Ezek után a feladat kiírása az alábbi. Adott: α, G, μ. Keresett: F(φ ), β(φ ). Megoldás: A térbeli nyugalmi egyensúlyi helyzetet két rész - egyensúlyi helyzettel írhatjuk le: ~ a ferde síkra merőleges z - tengely menti egyensúlyi helyzettel, valamint ~ a ferde síkban érvényes egyensúlyi helyzettel. Ennek megfelelően a z - tengely menti egyensúlyi kijelentés: F : N G. z z Innen: N G. ( 1 ) z

2 Ámde az 1. ábra szerint: Gz Gcos, ( ) így ( 1 ) és ( ) - vel: N Gcos. ( 3 ) Majd az y - tengely menti vetületi egyenlettel: F y : F S, y y innen Fy S y. ( 4 ) Az 1. ábra szerint: F Fsin, ( 5 ) y így ( 4 ) és ( 5 ) - tel: S Fsin. ( 6 ) y Végül az - tengely menti vetületi egyenlettel: F : G F S, innen S G F. ( 7 ) Ismét az 1. ábra szerint: G Gsin, ( 8 ) F Fcos, ( 9 ) így ( 7 ), ( 8 ) ( 9 ) - cel: S Gsin Fcos. ( 1 ) Ezután Pitagorász tételével: S S S. ( 11 ) y Most ( 6 ), ( 1 ), ( 11 ) - gyel: S G sin F cos F sin G sin G sin F cos F cos F sin F sin cos G F sin cos G sin, tehát az ismert trigonometriai azonossággal is: S F GFsin cosg sin. ( 1 ) Tudjuk, hogy a megcsúszás határán: S N, ( 13 ) azaz ( 3 ) és ( 13 ) szerint fennáll, hogy: S Gcos. ( 14 ) Majd ( 1 ) és ( 14 ) - gyel: G cos F G F sin cos G sin, innen

3 3 F GFsin cos G sin G cos, vagy F G sin cos F G cos sin. ( 15 ) Oldjuk meg ( 15 ) - öt F - re az ismert megoldóképlettel! 1 F Gsin cos Gsin cos 4G cos sin. Egyszerűsítés után, figyelembe véve, hogy F nemnegatív szám: F G sin cos cos sin sin cos. (! ) Átalakítva: F( ) G sin cos cos tg sincos. ( 16 ) A ( 16 ) képletből kiolvasható, hogy F( ), ha tg. ( 17 ) Másként: fenn kell állnia a tg ( 18 ) feltételnek. Ez megegyezik az ( E D / 8 ) feltétellel. Most alakítsuk át másként (! ) - et! F G sin cos cos sin sin cos G cos sin 1 cos sincos G cos sin sin sin cos, tehát F( ) G cos sin sin sin cos. ( 16 / 1 ) Ezután határozzuk meg a β szöget leíró függvényt! Az 1. ábra jobb oldali mellékábrája szerint: Fsin sin. ( 19 ) S Majd a ( 14 ), ( 16 / 1 ) és ( 19 ) képletekkel:

4 4 G cos sin sin sin cos sin sin Gcos tg tg sin 1sin cos, tehát tg tg sin sin 1 sin cos. ( ) Végül: tg tg ( ) arcsin sin 1 sin cos. ( 1 ) Most vizsgáljuk meg az ( E D ) - nek megfelelő, a φ = 9 által jellemzett ( * ) speciális esetet! Ekkor ( 16 ) - ból: F* G cos sin G cos tg. ( ) A ( ) képlet megegyezik ( E D / 6 ) - tal. Majd ( ) - ból: tg sin * 1. Most felhasználjuk, hogy sin * sin * tg *. cos * 1sin * Ezután ( 3 ) és ( 4 ) - gyel: tgtgtg tg * 1, tg tg tg tg 1 1 ( 3 ) ( 4 )

5 5 tehát tg tg * 1. ( 5 ) A ( 5 ) képlet megegyezik ( E D / 7 ) - tel. Ezzel a kitűzött feladatot elvileg megoldottuk. Most nézzük meg egy példa esetében a függvények lefutását, a Graph programmal! Adatok: G 1 N;,3; 15. A. ábrán ( 16 ) grafikonja látható. F ( N ) f()=sqrt( *sqr(cos()))-.588*cos() fi ( fok ) ábra A 3. ábrán ( 1 ) grafikonja látható, utána pedig értéktáblázata szemlélhető meg. A függvény furcsa lefutása az adatok ismeretében talán könnyebben emészthető. Megjegyezzük, hogy ha a képletekben szereplő állandók értékét nem elegendően sok tizedesjegyre számítjuk ki, akkor a számítás során error adódhat.

6 béta ( fok ) f()=asin((sqrt( *sqr(sin())) *cos())*sin()) fi ( fok ) ábra f() f'() f''(), ,7771,19599,5687,13381, , ,474674,13551,3 4 4,961713,164379, ,867379,1857, ,33864,954569, , ,43887, ,486431,67475, , ,666, ,419 1,3669, , ,561977, , ,749861, , ,846934, , , , ,5657-1, , , , , ,9761-1, , ,893

7 ,9761-1,89419, , ,88159, ,5657-1, , , ,836496, , , , , , , , , , ,419 1,3669 -, , ,666 -, ,486431, , , , , ,33864, , ,867379,1857 -, ,961713, , ,474674, ,3 34 -,13381, , ,7771, , ,168 Egy további észrevételünk az alábbi. Ehhez tekintsük a 4. ábrát! 4. ábra Rajzoljunk egy O középpontú, S = áll. sugarú kört, majd vegyük fel a körön a β szöggel jellemzett K pontot! Ezután a K pontból hordjuk fel a G = KT = áll. szakaszt, majd T és O összekötése kiadja F - et és φ - t. Ez azt jelenti, hogy ezzel az egyszerű szerkesztéssel könnyen és gyorsan megkaphatjuk az F( β ) és φ( β ) összetartozó értékpárokat, melyekkel azután akár az F( φ ) grafikon is kirajzolható. E szerkesztés alapját az képezi, hogy ~ adott G, α, μ esetén az S súrlódási erő - nagyság ( 14 ) szerint állandó; ~ adott G, α esetén a G összetevő erő - nagyság ( 8 ) szerint állandó; ~ az 1. ábra jobb oldali mellékábrája és a 4. ábra szerint S, G és F viszonya ugyanaz a két ábrán; nevezetesen: a síkbeli egyensúlyt kifejező zárt vektorháromszög oldalait képezik. Látjuk, hogy ennél a megoldásnál a β szög játssza a független változó szerepét.

8 8 Irodalom: [ 1 ] Lawrence E. Goodman ~ William H. Warner: Statics Dover Publications, Inc., Mineola, New York, 1. Sződliget, 1. február 3. Összeállította: Galgóczi Gyula mérnöktanár