Egy érdekes nyeregtetőről

Átírás

1 Egy érdekes nyeregtetőről Adott egy nyeregtető, az 1 ábra szerinti adatokkal 1 ábra Végezzük el vetületi ábrázolását, az alábbi számszerű adatokkal: a = 10,00 m; b = 6,00 m; c = 3,00 m; α = 45 ; M 1:100! Az 1 ábrán az ereszvonalakat kék, az oromélek vonalait piros színnel rajzoltuk meg A nyilak a csapadékvíz lefolyásának irányát adják meg, a felülnézeti képen 1 Megoldás Ekkor a szokásos módon járunk el ábra ábra

2 A szerkesztés lépései: ~ a nem párhuzamos eresz - szakaszokat meghosszabbítjuk, kapjuk az M metszés - pontot, valamint a γ szöget; ~ ez utóbbi szög felező egyenese kimetszi az oromcsúcsok C 1 és C vetületeit; ~ a bal oldali alsó ereszsarok pontban felmérjük a tetősíkok közös α hajlásszögét, majd a C 1 pontban a bal oldali oromél - vetületre állított merőleges kimetszi a bal oldali oromcsúcs m 1 magasságát; ~ utóbbit az elölnézeti képen felhordva kapjuk a C 1 pontot, majd ezt M - vel összekötve kapjuk a ferde él - / taréjgerinc - egyenes elölnézeti képét, annak ϕ vet hajlásszögével együtt; ~ a jobb oldali oromsík egyenese kimetszi a C pontot, így előállt a jobb oldali oromcsúcs képe és m magassága is; C 1 és C képeinek kihúzása megadja a taréj - szakasz felül - és elölnézeti képeit; ~ a ábra felülnézeti képén megszerkesztett derékszögű háromszögek az ereszvonalakra merőleges metszősíkok által lettek a tetőből kivágva, majd azután a felülnézeti képsíkba ledöntve, vízszintes befogójuk körül A ábra felülnézeti képe alapján felírhatók az alábbi összefüggések b c tg ( 1 ) a Majd ( ) innen b tg b cos tg, 1 amiből b b cos 1 ( 3 ) Felhasználva, hogy b b b ( 4 ) 1, ( ) és ( 3 ) - mal kapjuk, hogy b b cos b b 1 cos, innen

3 3 b b 1 cos Most ( 3 ) és ( 5 ) szerint: b 1 bcos 1 cos ( 5 ) ( 6 ) Ismét a ábra felülnézeti képe alapján, az előzőkhöz teljesen hasonlóan: m c1 tg, c1 c cos ( 7 ) m c cos tg, Továbbá c c c ( 8 ) 1, így ( 7 ) és ( 8 ) szerint c c c c c c 1 cos cos 1 cos ( 9 ) Most ( 7 ) és ( 9 ) - cel: c 1 c cos 1 cos ( 10 ) Ezután megint a ábráról: b c ( 11 ) a 1 1 tg 1 Majd ( 6 ), ( 10 ) és ( 11 ) - gyel: bcos ccos b1 c1 1 cos 1 cos cos bc tg 1, a a 1cos a cos bc tg 1 ; 1cos a ( 1 ) majd ( 1 ) és ( 1 ) - vel:

4 4 cos sin tg1 tg tg, 1 cos 1 cos innen 1 ( 13 ) Felhasználva, hogy jelöléseink szerint 1, ( 14 ) ( 13 ) és ( 14 ) - ből: 1, ( 15 ) A ábrán feltüntettük a ( 13 ) és ( 15 ) eredményeket is Most ( / 1 ) és ( 6 ), valamint ( 7 / 1 ) és ( 10 ) szerint: cos m1 b tg, 1cos cos m c tg 1cos ( 16 ) Majd áttérünk a ábra elölnézeti képére; eszerint: m m ( 17 ) a 1 tg vet Most ( 16 ) és ( 17 ) - tel: bc cos tgvet tg, a 1cos ( 18 ) amiből ( 1 ) - gyel kapjuk, hogy cos sin tgvet tg tg tg tg tg, 1 cos 1 cos

5 5 tgvet tg tg ( 19 ) Most a ábra felülnézeti képéről, ( 17 ) - tel is: m1 m m1 m tg cos tgvet cos, a / cos a tg tgvet cos ; ( 0 ) majd ( 19 ) és ( 0 ) szerint: tg tgvet cos tg tgcos sin tg, tg sin tg ( 1 ) Megemlítjük, hogy ( 1 ) képletünket először az [ 1 ] dolgozatban közöltük, az ottani jelöléseknek megfelelően kissé más alakban Megjegyzések: M1 A ( 3 ) képlet szerint is b b 1 M A ( 1 ) képlet kapcsán említettük, hogy azt már korábban is levezettük Azt még hozzátesszük, hogy [ 1 ] - ben egy kissé más alakú tetőről volt szó 3 ábra / jobb 3 ábra

6 6 Azonban adott α és γ esetén ϕ ugyanaz marad, függetlenül az orom - síkoknak az ereszekhez viszonyított helyzetétől Megoldás Ekkor egy sajátos módon járunk el Ehhez tekintsük a 4 ábrát is! 4 ábra Itt úgy oldjuk meg az oromcsúcsok m 1 és m magasságának meghatározását, hogy ~ először: azonos hajlású kontytetőnek tekintjük a tetőidomot, és szögfelezésekkel előállítjuk a felülnézeti képét, majd az elölnézeti képen felhordott 45 fokos kontysík - esésvonalakra felvetítjük a kontycsúcsok képét a felülnézetről; ~ másodszor: elvégezzük a kontysíkokkal az α k 90 átmenetet; ennek során a konty K 1 és K csúcsai átmennek a nyereg C 1 és C oromcsúcsaiba, a taréj már ismert ferde egyenesén haladva az oromsíkok függőleges egyeneséig Visszatekintve az imént megoldott feladatra mondhatjuk, hogy a feladat kiírása az alábbi lehet: Adott: a, b, c ; α Keresett: m 1, m, ϕ

7 7 A keresett mennyiségek kifejezése az adottakkal az alábbiak szerint alakul Az ( 1 ) és a ( 16 / 1 ) képletekből kiindulva: cos 1 1 1, 1cos tg 1 b c cos 1 1 a ( ) majd a ( 16 ) és ( ) képletekkel: m m 1 btg, b c 1 1 a c tg b c 1 1 a ( 3 ) Most ( 1 ) - hez, az ( 1 ) képlettel is: sin 1 cos 1 1, 1 tg b c 1 a ( 4 ) így ( 1 ) és ( 4 ) - gyel: 1 1 tg tg 1 b c 1 a ( 5 ) A ( 3 ) és ( 5 ) képletek már végeredményeknek tekinthetők, mert csak az adott ( a, b, c ; α ) mennyiségek függvényei

8 8 Jelen dolgozatunkban már sokadszor foglakozunk e témával Úgy tűnik, a téma fel - dolgozása igényli a többféleképpen való megközelítést, a másfajta levezetést Az érdeklődő Olvasónak figyelmébe ajánljuk korábbi dolgozatainkat is, melyeket honlapunk más részein találhat meg Továbbá javasoljuk, hogy szerkessze meg a tető( k ) oldalnézeti képét is! Irodalom: [ 1 ] Galgóczi Gyula: Diplomamunka, 34 o Soproni Egyetem Tanárképző Intézet, okleveles mérnöktanári szak Sopron, 1999 Sződliget, 013 szeptember 9 Összeállította: Galgóczi Gyula mérnöktanár