Összefüggések egy csonkolt hasábra

Átírás

1 Összefüggések egy sonkolt hasábra Az idők során ár többször készítettünk hasonló dolgozatokat. Ne baj: az isétlés sose árt. Most tekintsük az. ábrát!. ábra Eszerint úgy is képzelhetjük hogy egy téglalap alapú egyenes hasábot először az α és β hajlású síkokkal hároszög alapú hasábbá alakítunk ajd ezt sonkoljuk a δ hajlású síkkal. A feladat: néhány szög - és terület - összefüggés áttekintése. Szög - összefüggések Először határozzuk eg az f f f kapsolatokat! 3 Az. ábra alapján a C C C derékszögű hároszögből: os =. os ( ) Ezután: ( ) tg valaint

2 tg ; ( 3 ) ost ( ) ( ) ( 3 ) - al: tg tg os os tg os tg ( 4 ) illetve tg artg os ( 5 ) Hasonlóan eljárva: ( 6 ) tg tg ( 7 ) ajd ( ) ( 6 ) ( 7 ) - tel: tg tg os os tg os tg illetve tg artg. os ( 8 ) ( 9 ) A haradik szögre vonatkozó isert összefüggés: 8. ( )

3 Másodszor előállítjuk a többi szög függvényét is. Isét az. ábra szerint: b tg A ; ( ) tg de sin ( ) b így ( ) és ( ) - vel: tg A. ( 3 ) sin tg 3 Bevezetve az. ábra ellékábrája szerint a 9 ( 4 ) jelöléssel a sonkoló sík hajlásszögét ( 3 ) és ( 4 ) - ből: tg tg A sin tg 9 sin tg sin tg tg A. sin ( 5 ) Ezután az. ábra szerint: tg A ; ( 6 ) d de d tg ; ( 7 ) ehhez tg így ( 4 ) ( 6 ) ( 7 ) és ( 8 ) - al: tg A d tg tg tg tg ( 8 )

4 4 tg A. tg tg ( 9 ) Ez átírható az elegánsabb tg A tg tg tg tg tg A ( ) illetve a ég könnyebben egjegyezhető tg A tg tg ( ) alakba. Végül isét az. ábra szerint: tg A ; tg ( ) ost ( 4 ) ( 8 ) és ( ) - vel: tg tg. A tg ( 3 ) Megjegyezzük hogy ~ a B sús körüli szög - összefüggések teljesen hasonlóan vezethetők le; ~ a ( ) és ( 3 ) képletekkel leírt összefüggésekkel ár korábbi dolgozatainkban is találkoztunk. Egy kis szeléltetés: α = β = 45 esetén ( 5 ) és ( 9 ) szerint artg. os Ezt a függvényt ábrázolja a. ábra.

5 5 alfa = béta ( fok ) theta ( fok ) f(x)=atan(/os(x)) -. ábra Egy további kapsolat: tg sin os tg tg tg tg A sin sin sin tg tg tg tg tg tg tg tg tg A ( 4 ) tg A tg tg A ; vagy ( ) - hez hasonló alakban: tg A tg A tg. ( 5 )

6 A levezetett képleteken kívül szükség lehet ég az alábbiakra is. Az. ábra szerint: 6 ; ( 6 ) tg ; tg ost ( 6 ) és ( 7 ) - tel: tg tg tg tg ( 7 ) innen: tg tg ajd ( 7 ) és ( 8 ) - al: tg tg. tg tg ( 8 ) ( 9 ) Isét az. ábra alapján: Terület - összefüggések TAC C b tg ; ( 3 ) de b os így az ( ) ( 4 ) ( 3 ) és ( 3 ) képletekkel: ( 3 )

7 7 sin T b tg tg os os os ACC os os sin T ACC os os os os os TAC C T ACC. os ( 3 ) Innen leolvasható hogy Hasonlóképpen: T T ha. AC C AC C TBC C a tg ; ( 33 ) a ( 34 ) os így az ( ) ( 4 ) ( 33 ) és ( 34 ) képletekkel: sin TBC C a tg sin os os os os os os T BC C os os os TBC C T BCC. os ( 35 ) Innen leolvasható hogy Isét az. ábra alapján: ABC AC C BC C T T ha. BC C BC C T T T. ( 36 ) Most ( 3 ) - ből:

8 8 TAC C T AC C továbbá os os os os TBC C T BC C így ( 36 ) ( 37 ) ( 38 ) szerint: os os TABC TAC C TBC C os os TAC C os TBC C os ; os ( 37 ) ( 38 ) ( 39 ) de ( 3 ) ( 3 ) és ( 39 ) - el: TAC C os b tgos b os tg tg T ACC T os T ( 4 ) AC C AC C továbbá ( 33 ) ( 34 ) és ( 39 ) - el: TBC C os a tgos a os tg tg T BCC T os T. ( 4 ) BC C BC C Most ( 39 ) ( 4 ) és ( 4 ) - gyel: TABC TABC TAC C os TBC C os TAC C T BCC os os os TABC T ABC. os ( 4 )

9 9 Egy ásik összefüggés: TABC T ABC os os os TABC T ABC. os ( 43 ) Megjegyzések: M. α = β = δ esetén ( 39 ) szerint az az érdekes fejleény áll elő hogy T T T ; ABC AC C BC C ez azt jelenti hogy egyenlő tetőhajlások esetén a kontytető - síkido területe egyenlő a kontysík által a nyeregtetőből levágott síkidook területének összegével. Ez szintén egkönnyítheti a tetőfelszín - száítási unka elvégzését v. ö.: [ ]! M. A ( 4 ) és ( 43 ) képletek is azt a fontos összefüggést forulázzák eg hároszögek esetére ely szerint: T vet A ( 44 ) os azaz egy S síkbeli síkido területét egkapjuk ha valaely S síkra vett erőleges vetületének területét elosztjuk a két sík által bezárt szög koszinuszával. Minthogy egy tetszőleges görbe vonalú síkido sokszögekkel azaz: beírt és körülírt sokszögekkel közelíthető a sokszögek pedig hároszögekre bonthatók így látható hogy a ( 44 ) for - ula a síklapú testek felszínszáításának az egyik alapképlete. Mint ilyet alkalazzuk például a tetők felszínének száítása során is. Ennek egyik eglepő tapasztalata lehet a tanulók száára az a tény hogy tetszőlegesen bonyolult alaprajzú állandó hajlású tető felszínszáítása esetén is közvetlenül sak az alaprajzi síkido területszáítását kell elvégezni a térbeli tetősík - idook területszáítása helyett. Ez óriási könnyebbség. Ehhez képest igensak eglepő az a tény hogy a ( 44 ) képlet ne szerepel pl. az ás szakai tankönyvekben. Néhány agyar lelőhely ahol találkoztunk ( 44 ) - gyel illetve egfelelőjével: [ ] [ 3 ] [ 4 ]. M3. Figyelere éltó az a körülény is hogy fentiek sak a középiskolai tananyag iseretében is egérthetők valaint a unka hasonló szelleben folytatható. A íbeli téa kidolgozásának folytatását ost ár az Olvasóra bízzuk. M4. A ( 44 ) képlet tetőfelszín száítására való alkalazásának lehetőségét kínálja [ ] is egy kis sajtóhibától eltekintve. A ( 44 ) képletnek az ás szakai unkába való bevonására Hajdu Endre hívta fel figyeleet ég a kezdetekkor. A néet nyelvű szakai segédkönyvekben ( 44 ) egfelelőjével sűrűn találkozhatunk ld. pl.: [ 5 ]!

10 Irodalo: [ ] Galgózi Gyula : Diploaunka Soproni Egyete Tanárképző Intézet Sopron 999. [ ] Szerk. Boldizsár Tibor : Bányászati Kézikönyv I. kötet Műszaki Könyvkiadó Budapest 956. [ 3 ] Dezső Ágnes ~ Édes Zoltán ~ Sárkány Péter : Középiskolai ateatikai lexikon Corvina Kiadó Budapest 997. [ 4 ] Hajdu Endre : Ábrázoló geoetria I. Jegyzet Erdészeti és Faipari Egyete Sopron 983. [ 5 ] Johannes Karduk ~ Rihard Stein : Dahgeoetrie 3. Auflage Verlagsgesellshaft Rudolf Müller GbH Köln - Braunsfeld 985. Sződliget. január. Összeállította: Galgózi Gyula érnöktanár