A főtengelyproblémához

Átírás

1 1 A főtengelyproblémához Korábbi, az ellipszis perspektivikus ábrázolásával foglalkozó dolgozatainkban előkerült a másodrendű görbék kanonikus alakra hozása, majd ebben a főtengelyrendszert előállító elforgatási szög meghatározása. Az internetes szakirodalom - keresés / kutatás során rábukkantunk egy képletre, amely újnak tűnt számunkra. Most ezt vizsgáljuk meg. A főtengelyrendszer helyzetét megadó φ* elforgatási szögre fennáll, hogy ( 1 ) ahol A, B, C az alakú másodrendű görbe három állandója, és A 0, B 0, C 0. Szeretnénk az ( 1 ) megoldását jelentő φ* szögre az alábbi korlátozást kiróni: ( 2 ) ( 3 ) Mi lesz ekkor φ* kifejezése? Írjuk fel φ* - ot az alábbi alakban! ( 4 ) ahol ϑ egy meghatározandó mennyiség. Most ( 4 ) - ből: ( 5 ) innen: ( 6 ) majd ( 1 ) és ( 6 ) - tal: ( 7 ) innen reciprok - képzéssel: ( 8 ) ebből pedig ( 9 )

2 2 Végül ( 4 ) és ( 9 ) - cel: ( 10 ) A ( 10 ) képletre bukkantunk az [ 1 ] munkában. Itt azt írják, hogy ( 1 ) mindig megoldható a ( 10 ) formában. A ( 3 ) korlátozást pedig [ 2 ] szerint így indokolhatjuk: ~ ha akkor így ; ~ ha akkor így ~ ezek szerint elegendő a szögtartományt vizsgálni. A Szilárdságtanban fentiek a fő másodrendű nyomatékokat megadó tengelyek megkere - sésénél hasznosíthatók. Ekkor A I x1, C I y1, B I x1y1, amivel az ( 1 ) képlet a ( 11 ) alakot veszi fel. Ekkor (10 ) átmegy a ( 12 ) alakba. Az itt előforduló eseteket az 1. ábra foglalja össze, jelöléssel. 1. ábra forrása: [ 2 ] Az I. és a II. esetben I x = I min, a III. és a IV. esetben I x = I max. Talán meglepő, de a tárgyalás ezen formájával korábban még ( így ) nem találkoztunk. Most le kell ellenőriznünk, hogy a ( 12 ) képlet rendesen működik - e. Ezt az 1. ábra példáján visszük végig.

3 3 Az I. eset ( I y1 > I x1, I x1y1 > 0 ) vizsgálata Az inercianyomatékok és a deviációs nyomaték kifejezései ekkor, ha a téglalap rövidebb oldala b, a hosszabb oldala h, és a főtengelyrendszerben ismert ( 13 ) fő másodrendű nyomatékokból indulunk ki: ( 14 ) ( 15 ) ( 16 ) Most kiszámítjuk az alábbi segédmennyiséget, ( 14 ), ( 15 ) és ( 16 ) - tal: ( 17 ) Majd ( 12 ) és ( 17 ) - tel: ( 18 ) A ( 18 ) összefüggés megfelel az 1. ábra 1. rész - ábrájának, azaz ( 19 ) vagyis a φ I * = α 0 szöggel való forgatás során az x 1 tengelyt visszük át az x tengelybe. Itt a ( 12 ) képlet közvetlenül működött.

4 4 A II. eset ( I y1 > I x1, I x1y1 < 0 ) vizsgálata Ekkor a megfelelő képletek az alábbiak: ( 20 ) ( 21) ( 22 ) Továbbá: ( 23 ) Most ( 12 ) és ( 23 ) - mal: ( 24 ) Az 1. ábra 2. rész - ábrájával összevetve ez azt jelenti, hogy ( 25 ) majd ebből: ( 26 )

5 5 Ez azt jelenti, hogy a φ II * szöggel való forgatás során az x 1 tengelyt az y tengelybe visszük át ( π / 2 α 0 ) szögű, illetve az x 1 tengelyt az x tengelybe ( α 0 ) szögű forgatással. Látjuk, itt a ( 12 ) képlet csak közvetve működik. A III. eset ( I y1 < I x1, I x1y1 > 0 ) vizsgálata Ekkor a fő másodrendű nyomatékok kifejezései: ( 27 ) az eredeti Ox 1 y 1 tengely - rendszerben számított másodrendű nyomatékok kifejezései: ( 28 ) ( 29 ) ( 30 ) Továbbá: ( 31 ) Most ( 12 ) és ( 31 ) - gyel: ( 32 )

6 6 Az 1. ábra 3. rész - ábrájával összevetve ez azt jelenti, hogy ( 33 ) majd ebből: ( 34 ) Ez azt jelenti, hogy a φ III * szöggel való forgatás során az x 1 tengelyt az y tengelybe visszük át ( π / 2 α 0 ) szögű, illetve az x 1 tengelyt az x tengelybe ( α 0 ) szögű forgatással. Látjuk, itt is a ( 12 ) képlet csak közvetve működik. A IV. eset ( I y1 < I x1, I x1y1 < 0 ) vizsgálata Ekkor a megfelelő kifejezések az alábbiak: ( 35 ) ( 36 ) ( 37 ) Továbbá: ( 38 ) Majd ( 12 ) és ( 38 ) - cal:

7 7 ( 39 ) A ( 39 ) összefüggés megfelel az 1. ábra 4. rész - ábrájának, azaz ( 40 ) vagyis a φ IV * = α 0 szöggel való forgatás során az x 1 tengelyt visszük át az x tengelybe. A ( 12 ) képlet tehát itt is közvetlenül működött. Tapasztalataink szerint tehát a ( 12 ) képlet úgy működik, hogy ~ az I. és a IV. esetben: ~ a II. és a III: esetben: Ez azt jelenti, hogy a ( 12 ) képletet sem szabad gépiesen használni. Látjuk, hogy a ( 3 ) relációnak megfelelő ( 4 ) alakú kifejezés nem működik közvetlenül. De mit tehetünk így? Keressünk ( 4 ) alakú, 2 - lépéses megoldást! Ehhez tekintsük a 2. ábrát is! 2. ábra

8 8 Itt azt szemléltettük, hogy a keresztmetszeti síkidom esetében milyen koordináta - transzformációkat alkalmazunk, a súlyponti főtengelyrendszer megkeresése során: ~ az O 1 x 1 y 1 párhuzamos eltolással, ~ az Oxy pedig O = O 1 körüli forgatással áll elő, a kiindulási O 2 x 2 y 2 k. r. - hez képest. A közvetlen feladatunk a φ* forgatási szög meghatározása. Mint az előzmények során láttuk, ez kétféle értéket vehet fel, melyekre fennáll, hogy egyik a másik ellentettje. Érvényesítjük, hogy a főtengelyrendszert megadó forgatási szög kifejezése ( 4 ) alakú legyen. Vagyis: ( 41 ) ( 42 ) Látjuk, hogy ekkor már eleget tettünk a ( 3 ) korlátozásnak is, hiszen összefoglalóan írható, hogy: ahol ( 43 ) Ezzel pontosítottuk a ( 10 ) képlet után mondottakat. Megjegyzések: M1. Az a tény, hogy ( 1 ) vagy ( 11 ) egyetlen φ* megoldására fennáll, hogy φ 2 * = φ 1 *, közvetlenül belátható:

9 9 M2. Azért beszélünk egyetlen φ* megoldásról, mert a fenti két eset közül csak az egyik következik be; ugyanis az x 1 tengelyt kell valamekkora φ* szöggel elforgatnunk, hogy az x főtengelyhez jussunk. Az y 1 tengely merőleges az x 1 tengelye, így y 1 automatikusan ugyanúgy fordul, mint az x 1 tengely. M3. ( 41 ) és ( 42 ) szerint ( 12 ) így írható át végleges, tömör alakjába:. ( 44 ) Ezt kiegészíthetjük azzal ld. 1. ábra!, hogy ( 45 / 1 ) ( 45 / 2 ) M4. Úgy tűnik, van értelme a főtengely - probléma ( 44 ), ( 45 ) alakú megoldásáról beszélni, mert előny származik belőle. Meglehet, a kezdő szilárdságtani tanulmányoknak nem lesz része, de később nagyon is érdemes lehet visszatérni rá. M5. Az 1. ábra magyarázatát szolgálhatják az alábbiak is. Az eredeti O x y k. r. - hez képest φ szöggel elforgatott Oxy k. r. - ben ( ahol O O ) a másodrendű nyomatékok kifejezései az alábbiak ld. pl. [ 2 ]! : ( 46 ) ( 47 ) ( 48 ) Ha akkor főtengelyrendszerben vagyunk, melyre I xy = 0, így ( 48 ) - ból: ( 49 ) Majd ( 46 ) és ( 47 ) - tel is: ( 50 ) ( 51 ) Most képezzük ( 50 ) és ( 51 ) különbségét! Ekkor, felhasználva, hogy ( 52 )

10 10 kapjuk, hogy ( 53 ) Ezután ( 53 ) két átalakítását végezzük el, ( 49 ) - et is felhasználva. ezzel: ( 54 ) Hasonlóképpen: ezzel: ( 55 ) Az ( 54 ) és ( 55 ) egyenletek képezik az 1. ábra magyarázatának egy másik alapját. Minthogy a cos2φ* szögfüggvény a ( π / 2, + π / 2 ) intervallumban megtartja pozitív előjelét, így ( 54 ) szerint: ( 56 / 1 ) vagyis: ( 56 / 2 )

11 11 Most ( 54 ) és ( 55 ) - tel: ( 57 ) Ezután tekintsük az 1. ábrának megfelelő 4 esetet! 1. eset: ekkor ( 57 ) szerint ( e1 ) 2. eset: ekkor ( 57 ) szerint ( e2 ) 3. eset: ekkor ( 57 ) szerint ( e3 ) 4. eset: ekkor ( 57 ) szerint ( e4 ) Úgy tűnik, sikerült az 1. ábra magyarázatát megtalálni. Érdekességként megemlítjük, hogy az ( 56 ), ( 57 ) szerinti képletekre egy [ 3 ] - ból vett ötlet vezetett. Források: [ 1 ] Ruslan A. Sharipov: Course of Analytical Geometry 2. English Edition, Université du Quebec `a Chicoutimi, 2013., 202. o. [ 2 ] I. A. Birger ~ R. R. Mavljutov: Szoprotyivlenyije matyerialov Moszkva, Nauka, 1986., 8. fejezet, 30. pont [ 3 ] John Casey: A treatise on the analytical geometry of the point, line, circle and conic sections Longmans, Green & Co., London, 1893., 547. o. Sződliget, Összeállította: Galgóczi Gyula mérnöktanár