A véges forgatás vektoráról

Átírás

1 A véges forgatás vektoráról Az idők során sokszor olvastuk azt a mondatot a mechanika - könyvekben hogy a végtelen kis szögelfordulások az elemi forgások vektornak tekinthetők [ ] Természetesen adódik a kérdés hogy a véges forgatásoknak is van - e vektora A véges forgatások kapcsán korábban megtanultuk hogy r x y z CXYZ r x y z ( ) ahol ~ r az elforgatás előtti P pont helyvektora ~ r az elforgatás utáni P pont helyvektora egy ( Oxyz ) koordináta - rendszerben ~ C XYZ a forgatási operátor mátrixa ahol a forgatás egy f ( ψ ψ ψ 3 ) vektorú forgástengely körül θ szöggel történik [ ] : 0 0 cos cos cos cos cos 3 C 0 0 cos cos cos cos cos cos XYZ 3 cos 0 0 cos cos 3 cos cos 3 cos 3 0 cos 3 cos cos 3 0 cos sin cos cos 0 ( ) A forgatási mátrix más / egyenértékű alakja megtalálható pl [ 3 ] - ban is A fenti képleteknek megfelelő külön magyarázó ábrát nem készítettünk helyette a [ 4 ] - ből vett hasonló ábrát mutatjuk be ábra Itt: ~ e: a forgástengely egységvektora ~ χ: az elforgatás szöge ábra

2 Az ábra bal oldali részén a forgatás axonometrikus magyarázó ábráját látjuk Ez azt szemlélteti hogy a merev test egy tetszőleges M pontja a mozdulatlan O ponton átmenő e egységvektorú OO forgástengely körül χ szöggel elfordulva a tér M pontjába kerül A továbbiakban a jobbcsavar - szabállyal dolgozunk Az ábra jobb oldali része azt mutatja amit a forgástengellyel szembenézve látunk Ez azt jelenti hogy a forgás síkjára vett vetületet szemléljük Az ábra szerint: OM ρ OM ' ρ' MM ' ρ ' ρ ( 3 ) OM MM ' OM ' MM ' OM ' OM A továbbiakban főleg [ 4 ] szerint haladunk saját ízlésünk szerint tálalva Először kifejezzük az MM ' elmozdulás - vektort a forgatást jellemző (e χ ) adatokkal Az ábráról leolvasható hogy a ρ helyvektorok egy körkúp alkotóin helyezkednek el ezzel pedig OO ρ cos eρ eρ' tehát: eρ eρ' ( 4 ) ahol κ a forgáskúp fél nyílásszöge Ezzel: OO OO e eρ e Továbbá ( 3 ) - mal is: OO OO e eρe OM ρ0 ρ0 ρeρe ( 6 ) OM OO O M O M OM OO Teljesen hasonlóan kapjuk hogy ρ ' ρ' eρ' e ( 7 ) 0 Most ( 4 ) és ( 7 ) - tel: ρ ' ρ' eρ e ( 8 ) 0 ( 5 ) Majd az ábra jobb oldali képe szerint: OM ' OS SM ' ρ0 ρ 0' SM ' ( 9 )

3 e O S e O S SM ' SM ' O S tg tg e O S e O S 3 O ( 0 ) S sin 90 de e OS e ρ 0 + ρ 0' e ρ 0 + ρ 0' ( ) így ( 0 ) és ( ) - gyel: SM ' tg e ρ 0 + ρ 0' ( ) Most ( 9 ) és ( ) - vel: OM ' ρ 0' ρ0 ρ 0' tg e ρ 0 + ρ 0' ( 3 ) majd ( ) - t rendezve: ρ 0' ρ0 ρ 0' tg e ρ 0 + ρ 0' ρ 0' ρ0 tg e ρ0 tg e ρ 0' innen: ρ 0' tg e ρ 0' ρ0 tg e ρ 0 ( 4 ) Ezután ( 6 ) ( 8 ) és ( 4 ) - gyel: ρ' eρe tg e tg ρ' e ρ e ρ e ρ e e ρ e ρ e elvégezve a kijelölt műveleteket: ρ' eρe tg e ρ' tg eρe e ρeρe tg e ρ tg eρe e figyelembe véve hogy e e 0 az előző egyenletből: ρ' eρe tg e ρ' ρeρe tg e ρ rendezve: ρ' tg e ρ' ρ tg e ρ ( 5 ) A ( 5 ) egyenletből kell ρ - t ρ - val kifejezni Ennek érdekében először szorozzuk meg a ( 5 ) egyenletet balról vektoriálisan e - vel! Ekkor:

4 4 e tg tg ρ' e ρ' e ρ e ρ kifejtve: e ρ' tg e e ρ' e ρ tg e e ρ ( 6 ) most figyelembe vesszük az ábra alapján belátható alábbi összefüggéseket: e e ρ' ρ' eρ' e ρ' eρe ( 7 ) e e ρρ eρe így ( 6 ) és ( 7 ) - tel: e ρ' tg tg ρ' e ρ e e ρ ρ e ρ e rendezve: e ρ' tg ρ' e ρ tg ρ tg eρe ( 8 ) ( 8 ) - ból további átalakításokkal: e ρ' e ρ tg ρ tg eρe tg ρ' tg e ρ' tg e ρtg ρ tg eρetg ρ' ( 9 ) tg e ρ tg ρ tg eρe tg ρ' most ( 5 ) és ( 9 ) - cel: ρ' tg e ρtg ρ tg eρe tg ρ' ρ tg e ρ utóbbit rendezve: ρ' tg ρ' tg e ρ tg ρtg eρe ρ tg e ρ ρ' tg tg tg tg ρ e ρ e ρ e innen: ρ' ρ tg tg tg tg e ρ e ρ e ( 0 )

5 5 ( 0 ) átalakításával: tg ρ' ρ tg e ρ tg eρe tg tg tovább alakítjuk ( ) első tagját: tg tg tg tg ρ ρ ρ tg tg tg most ( ) és ( ) - vel: tg ρ' ρ tg e ρ tg eρe tg tg tg ρρ tg e ρ tg eρe tg tg ρ tg e ρ tg eρe tg ρ tg tehát: tg ρ' ρ tg e ρ tg eρ e tg ρ ( ) ( ) ( 3 ) Most ( 7 / ) - vel: e e ρ ρ e ρ e innen: tg e e ρ tg ρ eρ e a bal oldal: B tg e e ρ ( 4 ) a jobb oldal:

6 6 J tg tg tg ρ eρ e eρ eρ ( 5 ) minthogy ( 3 ) kapcsos zárójelén belül az utolsó két tag éppen J - t teszi ki ami pedig egyenlő B - vel ezért átalakításokkal: ρ' ρ tg e ρ tg tg e e ρ ρ tg tg tg e ρ e e ρ tg tg e ρ ρ tg e ρ tg tehát: tg e ρ' ρ ρ tg e ρ Bevezetjük a tg θ tg e ( 6 ) ( 7 ) új vektort Most ( 6 ) és ( 7 ) - tel: ρ' ρ θ ρ θ ρ 4 ( 8 ) A ( 7 ) szerinti vektort nevezik a véges forgatás vektorának Alkalmazása ( 8 ) szerinti Legyen a forgástengely egységvektora egy ( Oxyz ) koordináta - rendszerben: e cosi cos j cos k ( 9 ) itt ( α β γ ) a forgástengely és az ( x y z ) tengelyek által bezárt szögek Ekkor ( 7 ) és ( 9 ) - cel:

7 θ tg cosi cos jcos k tg cos tg cos tg cos i j k i jk x y z 7 azaz θ vetületei a ( x y z ) tengelyekre: x tg cos y tg cos ( 30 ) z tg cos A [ 4 ] műben figyelmeztetnek hogy hiba lenne a θ által meghatározott véges forgást úgy tekinteni mint három az ( x y z ) tengelyek körül végzett x y z nagyságú véges forgás eredőjét Ez akkor lenne megtehető ha a véges forgásokra is érvényes lenne a vektorok szokásos összeadási szabálya a paralelogramma - szabály amit a sebes - ségeknél az erőknél stb megismertünk és alkalmazunk Az a helyzet hogy a véges forgások összeadási szabálya ennél jóval bonyolultabb Megjegyzések: M Tekintsük újra a ( ) képletet! tg ρ' ρ tg e ρ tg eρe tg tg ( ) Írjuk át a szögfüggvény - szorzókat más alakba! Ehhez az azonos átalakítások [ 5 ] : tg tg sin sin cos tg tg tg tg tg cos cos sin tg tg tg ( 3 ) tg tg tg tg cos tg tg tg

8 Most - vel és ( 3 ) - gyel: tg cos cos tg 8 tg sin sin tg tg cos cos tg ( 3 ) Most ( ) és ( 3 ) - vel: ρ' cos ρ sin e ρ cos eρ e ( 33 ) A ( 33 ) képlet megfelelőjét megtaláljuk [ 3 ] - ban is Ezt a szakirodalomban gyakran Rodrigues - formulának nevezik [ 6 ] Érdekes hogy [ 4 ] - ben a ( 8 ) képletet nevezik így M A véges forgások összetételének szabályát a szakirodalom [ 4 ] [ 7 ] szerint az alábbiak szerint nyerhetjük ( Itt főképpen [ 7 ] - re támaszkodunk ) Ehhez tekintsük először a ábrát! ábra Itt a közös kezdőpontú v és v vektorokat szemléltetjük melyek ~ hossza egységnyi valamint ~ φ szöget zárnak be egymással A vektoralgebra szerint:

9 9 v cos cos cos v v v v 0 v v v v v v v sin e sin e amiből: v v sin e f tg e v v cos ( 34 ) ( 35 ) Most hasonlítsuk össze a ( 7 ) és a ( 35 ) képleteket! θ tg e g tg e Innen a θ g helyettesítésekkel kapjuk hogy ( 36 ) ( 37 ) g tg e ( 38 ) Ezek szerint a g ( fél - )vektor is egy forgatást ír le az e egységvektorral kijelölt forgástengely körül szöggel Most tekintsük az egységsugarú gömb felületére mutató a b c vektorokat ábra! ábra

10 0 Képezzük ezekkel a fentiek szerinti a b ω tg e a b b c ω tg e bc a c ω tg e ac ( 39 ) véges forgatási ( fél - )vektorokat! A feladat: meghatározni az összefüggést ω ω és ω között Először: képezzük az ω és ω - re merőleges ω ω ω ( 40 ) vektort! ( 39 ) és ( 40 ) szerint: a b b c a b b c ω ab bc ab bc Az idevágó kifejtési tétel szerint [ 8 ] : ( 4 ) a b b c abc b ( 4 ) ahol: abca bc b ca c ab ( 43 ) Most ( 4 ) és ( 4 ) - vel: a b b c abcb abc ω b k b ab bc ab bc ab bc ahol a k skaláris szorzótényező: k abc a b b c ( 44 ) ( 45 ) ( 44 ) szerint az ω vektor b - irányú Másodszor: ω - t felbontjuk ω ω és ω - irányú összetevőkre Ehhez ( 44 ) - gyel is: ω pω qω r ω ( 46 ) ahol p q r : meghatározandó skalárok

11 A meghatározásuk érdekében ( 46 ) - ot skalárisan megszorozzuk a b c - vel Részletezve a - val: aω a pω qω rω paω qaω r aω ( 47 ) most ( 39 ) ( 44 ) és ( 47 ) - tel: a b b c a c kab pa qa r a ac bc ac ( 48 ) felhasználva hogy aa b aa c 0 ( 49 ) így ( 43 ) ( 48 ) és ( 49 ) szerint: b c abc kab qa q ( 50 ) b c b c majd ( 45 ) és ( 50 ) - nel: abc q abc a b ab bc bc innen: q ( 5 ) Részletezve b - vel ( 5 ) - gyel is: bω b pω qω rω pbω bω r bω ( 5 ) most ( 39 ) ( 44 ) és ( 5 ) - vel: a b b c a c kbb pbb r b ab bc ac majd figyelembe véve hogy ( 43 ) - mal is: bb ba b bb c 0 ba cb c aabc ( 53 ) ( 54 ) így ( 53 ) és ( 54 ) - gyel:

12 abc k r ac ( 55 ) ezután ( 45 ) és ( 55 ) - tel: abc abc r ab bc ac innen: ac r a b b c ( 56 ) Részletezve c - vel ( 56 ) - tal is: ac cω cpω qω rω pcω cω cω ( 57 ) most ( 39 ) ( 44 ) és ( 57 ) - tel: a b b c ac a c kbc pc c c ab bc ab bc ac majd figyelembe véve hogy 0 abbc ( 58 ) c b c c a c ( 59 ) ( 43 ) ( 58 ) és ( 59 ) - cel: abc kbc p ab ( 60 ) most ( 45 ) és ( 60 ) - nal: abc abc bc ab bc ab p innen: p ( 6 ) Ezután ( 46 ) ( 5 ) ( 56 ) és ( 6 ) szerint:

13 3 ac ω ω ω ω abbc ( 6 ) vagyis ( 40 ) és ( 6 ) - vel: ac ω ω ω ω ω abbc ( 63 ) Az ω szorzójának ω és ω - vel való kifejezéséhez képezzük utóbbiak skaláris szorzatát! ( 39 ) - cel: a b b c a bb c ω ω ab bc ab bc ( 64 ) Egy idevágó kifejtési tétellel [ 8 ] : a b b c a b b c a c ( 65 ) most ( 64 ) és ( 65 ) - tel: abbcac ac ω ω ab bc ab bc majd ( 66 ) - ból: abbc ac ω ω ( 66 ) ( 67 ) ezután ( 63 ) és ( 67 ) - tel: ω ω ω ω ω ω ω ( 68 ) rendezve: ω ω ω ω ω ω ω innen: ω ω ω ω ω ω ω ( 69 ) [ 7 ] - ben ez a képlet található

14 4 Most megint ( 7 ) és ( 39 ) - cel: ω tg tg e e θ ω tg tg e e θ ω tg e tg e θ ( 70 ) Majd ( 69 ) és ( 70 ) - nel: θ θ θ θ θ θ θ innen: θ θ θ θ θ θ θ 4 ( 7 ) A ( 7 ) képlet adja meg a véges forgatási vektorok összeadási szabályát M3 [ 4 ] - ben a ( 7 ) képlet - alak helyett a θ θ θ θ ( 7 ) miatt ( 7 ) - ből adódó θ θ θ θ θ θ θ 4 ( 73 ) képlet - alakot találjuk

15 5 M4 Infinitezimális forgatások esetén ( 73 ) - ból: lim θ θ lim sin θ θ θ θ 0 θ 0 θ 0 θ 0 θ 0 lim θ θ lim θ θ cos θ θ θ θ 0 θ 0 θ 0 ( 74 ) Most megint ( 73 ) - ból ( 74 ) - gyel is: lim θ lim θ lim θ θ θ 0 θ 0 θ 0 0 * * θ θ θ 0 lim θ θ * θ * lim θ θ θ 4 θ θ 0 θ 0 ( 75 ) ámde lim θ θ* θ 0 θ 0 ( 76 ) majd ( 75 ) és ( 76 ) - ból adódik hogy θ* θ * θ * ( 77 ) vagyis végtelen kis elfordulási szögek esetén θ - t vektornak lehet tekinteni [ 9 ] M5 Úgy tűnik [ 9 ] - ben ( 73 ) megfelelőjében előjelhiba van Az ott közölt itteni jelölésekkel θ θ θ θ θ' θ θ 4 ( 78 ) alakú kifejezés a θ θ sorrendű forgatásoknak felel meg [ 4 ] M6 További speciális eset: ugyanazon tengely körüli forgatások Ekkor ( 7 ) szerint:

16 6 θ θ tg e tg e ( 79 ) majd ( 7 ) és ( 79 ) - cel: tg e tg e tg e tg e θ tg e tg e 4 tg tg e e tg tg tg tg e tehát: θ tg e ( 80 ) Ez a szemlélettel is egyező eredmény Minthogy a ( 80 ) - ban szereplő vektorszorzat zérusvektor ezért az eredmény érzéketlen a forgatások sorrendjére azaz ekkor [ 4 ] : θ ' θ ( 8 ) M6 Furcsa hogy eddigi műszaki tanulmányaink során mondhatni szinte sehol sem találkoztunk a véges forgatások ( 7 ) ( 8 ) ( 7 ) stb szerinti leírásával Az iroda - lomjegyzékben felsorolt munkák közül a magyar nyelvűekben csak [ 0 ] - ben esik szó a véges forgatások vektorral való leírásáról nyilván kötelezően a kézikönyv - jelleg miatt Itt Gibbs - vektornak nevezik Ez a mi ( 38 ) képletünknek felel meg Ugyanis a ( 0 ) képlettel: ρ' ρ e ρ e ρ e tg tg tg tg ( 0 ) Majd ( 38 ) - cal: g tg e ( 38 )

17 Írjuk át ( 0 ) - at ( 38 ) - cal! 7 ρ' cos ρ g g ρ g ρ g ( 8 ) Az ( ) ( ) és ( 8 ) képletek megfelelnek a [ 0 ] - ben található képleteknek Irodalom: [ ] Budó Ágoston: Mechanika 5 kiadás Tankönyvkiadó Budapest 97 [ ] Hoffmann Pál: Kábelipari kézikönyv I / Prodinform Budapest 983 [ 3 ] Nagyné Szilvási Márta: CAD - iskola Typotex Kft Budapest 99 [ 4 ] A I Lurje: Analityicseszkaja mehanyika Goszizdat FML Moszkva 96 [ 5 ] Szerk Gáspár Gyula: Műszaki matematika I kötet Tankönyvkiadó Budapest 973 [ 6 ] [ 7 ] Max Lagally: Vorlesungen über Vektor - rechnung 4 Auflage Akademische Verlagsgesellschaft Geest und Portig K - G Leipzig 949 [ 8 ] Hajós György: Bevezetés a geometriába 6 kiadás Tankönyvkiadó Budapest 979 [ 9 ] N A Kil csevszkij: Kursz tyeoretyicseszkoj mehanyiki Tom I: Kinyematyika sztatyika gyinamika tocski Nauka Moszkva 97 [ 0 ] G A Korn ~ T M Korn: Matematikai kézikönyv műszakiaknak Műszaki Könyvkiadó Budapest 975 Sződliget 0 január Összeállította: Galgóczi Gyula mérnöktanár